Triángulos

Enunciado ejercicio 98 de la lista "Triángulos". (Con la flecha Atrás, del Navegador, vas al principio de las lista de donde vienes)

 Sean un triángulo $\triangulo{ABC}$, $\triangulo{M_aM_bM_c}$ su triángulo medial y $\triangulo{M'_aM'_bM'_c}$ el triángulo medial de éste. Si $G$ es el baricentro de $\triangulo{ABC}$, consideremos la homología $h_A$ de centro en $A$, eje la paralela por $G$ a $BC$ y tal que $M_a$ es el homólogo de $M'_a$. Análogamente se definen, cíclicamente, las homologías $h_B$ y $h_C$.

Tomemos un punto arbitrario $X$ en el plano y definimos los puntos $U=h_A(X)$, $Y=h_B(U)$, $Z=h_C(U)$, $X'$ el punto de intersección de la recta $GX$ con la paralela por $U$ a $BC$, $Y'$ el punto de intersección de la recta $GY$ con la paralela por $U$ a $CA$ y $Z'$ el punto de intersección de la recta $GZ$ con la paralela por $U$ a $AB$.

Establecer que los siete puntos $U, X, Y, Z, X', Y'$ y $Z'$ están en una misma cónica $\Gamma_a$.

Demostrar que para cualquier triángulo $\triangulo{A'B'C'}$ tal que $A'$ divide $BC$ en la misma proporción que $B'$ a $CA$ y $C'$ a $AB$, es perspectivo con $\triangulo{X'Y'Z'}$ y su centro de perspectividad está en en la cónica $\Gamma_a$.


gtre2308.fig

Para información sobre el manejo de los Applet CabriJava, pulsar aquí.

Angel Montesdeoca (22-03-10)