Construir un cuadrado, conociendo cuatro puntos, uno en cada arista

Utilizaremos, para su construcción, un método basado en lugares geométricos

Dados cuatro puntos P, Q, R y S, para construir un cuadrado ABCD, tal que P, Q, R y S estén en los lados (o en sus prolongaciones) AB, BC, CD y DA, respectivamente, procederemos como sigue:

1. Se traza por P una recta arbitraria PM.
2. Trazamos por Q la perpendicular a PM, que corta a ésta en B'.
3. Trazamos por R la perpendicular a QB', que corta a ésta en C'.
4. Trazamos por S la perpendicular a RC', que corta a ésta en A'.

   • Tenemos construido un paralelogramo A'B'C'D', y se ha de localizar la posición de la recta PM, para que sea un CUADRADO. Para lo cual, la circunferencia Γ, de centro en B' y radio B'A', ha de pasar por C'.
   El lugar geométrico que describen los puntos de intersección, M₁ y M₂, de la circunferencia Γ con la recta B'C', decriben sendas circunferencia Γ₁ y Γ₂. Estas circunferencia pasan por Q y por el punto Q' de intersección de la recta QS con la perpendicular a ésta por P.

5. Trazamos las circunferencias Γ₁ y Γ₂, que pasa por QQ'M₁ y QQ'M₂, respectivamente, para una posición particular de la recta PM.

   • Además, al ser perpendiculares las recta QC' y RC', ellas se cortan sobre la circunferencia de diámetro QR.
   

6. Trazamos la circunferencia γ de diámetro QR.
7. Hallamos los puntos. C₁ y C₂, de intersección de las circunferencias Γ₁ y Γ₂ con la circunferencia γ, respectivamente, los cuales son uno de los vértices de los cuadrados solución A₁B₁C₁D₁ y A₂B₂C₂D₂.

Angel Montesdeoca, Creado con GeoGebra