Una recta  d  que pasa por del circuncentro  O  de un triángulo  ABC, corta a los lados  BC, CA  y  AB  en los puntos D, E  y  F, respectivamente. Sean   Oa, Ob y Oc los puntos medios de los segmentos OA, OB y OC, entonces son inversamente semejantes los pares de triángulos (AEF,OObOc),  (BFD, OOcOa) y (CDE, OOaOb).

  Designamos por fa la semejanza inversa (depende de la recta d) que transforma el triángulo AEF en el triángulo OObOc,  por fb la semejanza inversa   que transforma el triángulo BFD en el triángulo OOcOa y por fc la semejanza inversa  que transforma el triángulo CDE en el triángulo OOaOb.

 

 Para un punto L, el lugar geométrico de los puntos fa(L), cuando d gira alrededor de O, es una recta La. Análogamente, se definen las rectas Lb y Lc. Sea A'B'C' el triángulo formado por esta tres rectas.




      El triángulo A'B'C'  es perspectivo con ABC si L queda sobre la quíntica central bicircular de centro O, de ecuación baricéntrica:





a^6 b^2 c^4 x^4 y+a^4 b^4 c^4 x^4 y-a^2 b^6 c^4 x^4 y-b^8 c^4 x^4 y-a^4 b^2 c^6 x^4 y+2 a^2 b^4 c^6 x^4 y+3 b^6 c^6 x^4 y-a^2 b^2 c^8 x^4 y-3 b^4 c^8 x^4 y+b^2 c^10 x^4 y+a^8 c^4 x^3 y^2+4 a^6 b^2 c^4 x^3 y^2-2 a^4 b^4 c^4 x^3 y^2-3 b^8 c^4 x^3 y^2-4 a^6 c^6 x^3 y^2-4 a^4 b^2 c^6 x^3 y^2+4 a^2 b^4 c^6 x^3 y^2+8 b^6 c^6 x^3 y^2+6 a^4 c^8 x^3 y^2-6 b^4 c^8 x^3 y^2-4 a^2 c^10 x^3 y^2+c^12 x^3 y^2+3 a^8 c^4 x^2 y^3+2 a^4 b^4 c^4 x^2 y^3-4 a^2 b^6 c^4 x^2 y^3-b^8 c^4 x^2 y^3-8 a^6 c^6 x^2 y^3-4 a^4 b^2 c^6 x^2 y^3+4 a^2 b^4 c^6 x^2 y^3+4 b^6 c^6 x^2 y^3+6 a^4 c^8 x^2 y^3-6 b^4 c^8 x^2 y^3+4 b^2 c^10 x^2 y^3-c^12 x^2 y^3+a^8 c^4 x y^4+a^6 b^2 c^4 x y^4-a^4 b^4 c^4 x y^4-a^2 b^6 c^4 x y^4-3 a^6 c^6 x y^4-2 a^4 b^2 c^6 x y^4+a^2 b^4 c^6 x y^4+3 a^4 c^8 x y^4+a^2 b^2 c^8 x y^4-a^2 c^10 x y^4-a^6 b^4 c^2 x^4 z+a^4 b^6 c^2 x^4 z+a^2 b^8 c^2 x^4 z-b^10 c^2 x^4 z-a^4 b^4 c^4 x^4 z-2 a^2 b^6 c^4 x^4 z+3 b^8 c^4 x^4 z+a^2 b^4 c^6 x^4 z-3 b^6 c^6 x^4 z+b^4 c^8 x^4 z-4 a^4 b^6 c^2 x^3 y z+8 a^2 b^8 c^2 x^3 y z-4 b^10 c^2 x^3 y z-8 a^2 b^6 c^4 x^3 y z+8 b^8 c^4 x^3 y z+4 a^4 b^2 c^6 x^3 y z+8 a^2 b^4 c^6 x^3 y z-8 a^2 b^2 c^8 x^3 y z-8 b^4 c^8 x^3 y z+4 b^2 c^10 x^3 y z+a^10 c^2 x^2 y^2 z+3 a^8 b^2 c^2 x^2 y^2 z-14 a^6 b^4 c^2 x^2 y^2 z+14 a^4 b^6 c^2 x^2 y^2 z-3 a^2 b^8 c^2 x^2 y^2 z-b^10 c^2 x^2 y^2 z-4 a^8 c^4 x^2 y^2 z+4 a^6 b^2 c^4 x^2 y^2 z-4 a^2 b^6 c^4 x^2 y^2 z+4 b^8 c^4 x^2 y^2 z+6 a^6 c^6 x^2 y^2 z-6 a^4 b^2 c^6 x^2 y^2 z+6 a^2 b^4 c^6 x^2 y^2 z-6 b^6 c^6 x^2 y^2 z-4 a^4 c^8 x^2 y^2 z+4 b^4 c^8 x^2 y^2 z+a^2 c^10 x^2 y^2 z-b^2 c^10 x^2 y^2 z+4 a^10 c^2 x y^3 z-8 a^8 b^2 c^2 x y^3 z+4 a^6 b^4 c^2 x y^3 z-8 a^8 c^4 x y^3 z+8 a^6 b^2 c^4 x y^3 z-8 a^4 b^2 c^6 x y^3 z-4 a^2 b^4 c^6 x y^3 z+8 a^4 c^8 x y^3 z+8 a^2 b^2 c^8 x y^3 z-4 a^2 c^10 x y^3 z+a^10 c^2 y^4 z-a^8 b^2 c^2 y^4 z-a^6 b^4 c^2 y^4 z+a^4 b^6 c^2 y^4 z-3 a^8 c^4 y^4 z+2 a^6 b^2 c^4 y^4 z+a^4 b^4 c^4 y^4 z+3 a^6 c^6 y^4 z-a^4 b^2 c^6 y^4 z-a^4 c^8 y^4 z-a^8 b^4 x^3 z^2+4 a^6 b^6 x^3 z^2-6 a^4 b^8 x^3 z^2+4 a^2 b^10 x^3 z^2-b^12 x^3 z^2-4 a^6 b^4 c^2 x^3 z^2+4 a^4 b^6 c^2 x^3 z^2+2 a^4 b^4 c^4 x^3 z^2-4 a^2 b^6 c^4 x^3 z^2+6 b^8 c^4 x^3 z^2-8 b^6 c^6 x^3 z^2+3 b^4 c^8 x^3 z^2-a^10 b^2 x^2 y z^2+4 a^8 b^4 x^2 y z^2-6 a^6 b^6 x^2 y z^2+4 a^4 b^8 x^2 y z^2-a^2 b^10 x^2 y z^2-3 a^8 b^2 c^2 x^2 y z^2-4 a^6 b^4 c^2 x^2 y z^2+6 a^4 b^6 c^2 x^2 y z^2+b^10 c^2 x^2 y z^2+14 a^6 b^2 c^4 x^2 y z^2-6 a^2 b^6 c^4 x^2 y z^2-4 b^8 c^4 x^2 y z^2-14 a^4 b^2 c^6 x^2 y z^2+4 a^2 b^4 c^6 x^2 y z^2+6 b^6 c^6 x^2 y z^2+3 a^2 b^2 c^8 x^2 y z^2-4 b^4 c^8 x^2 y z^2+b^2 c^10 x^2 y z^2+a^10 b^2 x y^2 z^2-4 a^8 b^4 x y^2 z^2+6 a^6 b^6 x y^2 z^2-4 a^4 b^8 x y^2 z^2+a^2 b^10 x y^2 z^2-a^10 c^2 x y^2 z^2-6 a^6 b^4 c^2 x y^2 z^2+4 a^4 b^6 c^2 x y^2 z^2+3 a^2 b^8 c^2 x y^2 z^2+4 a^8 c^4 x y^2 z^2+6 a^6 b^2 c^4 x y^2 z^2-14 a^2 b^6 c^4 x y^2 z^2-6 a^6 c^6 x y^2 z^2-4 a^4 b^2 c^6 x y^2 z^2+14 a^2 b^4 c^6 x y^2 z^2+4 a^4 c^8 x y^2 z^2-3 a^2 b^2 c^8 x y^2 z^2-a^2 c^10 x y^2 z^2+a^12 y^3 z^2-4 a^10 b^2 y^3 z^2+6 a^8 b^4 y^3 z^2-4 a^6 b^6 y^3 z^2+a^4 b^8 y^3 z^2-4 a^6 b^4 c^2 y^3 z^2+4 a^4 b^6 c^2 y^3 z^2-6 a^8 c^4 y^3 z^2+4 a^6 b^2 c^4 y^3 z^2-2 a^4 b^4 c^4 y^3 z^2+8 a^6 c^6 y^3 z^2-3 a^4 c^8 y^3 z^2-3 a^8 b^4 x^2 z^3+8 a^6 b^6 x^2 z^3-6 a^4 b^8 x^2 z^3+b^12 x^2 z^3+4 a^4 b^6 c^2 x^2 z^3-4 b^10 c^2 x^2 z^3-2 a^4 b^4 c^4 x^2 z^3-4 a^2 b^6 c^4 x^2 z^3+6 b^8 c^4 x^2 z^3+4 a^2 b^4 c^6 x^2 z^3-4 b^6 c^6 x^2 z^3+b^4 c^8 x^2 z^3-4 a^10 b^2 x y z^3+8 a^8 b^4 x y z^3-8 a^4 b^8 x y z^3+4 a^2 b^10 x y z^3+8 a^8 b^2 c^2 x y z^3-8 a^6 b^4 c^2 x y z^3+8 a^4 b^6 c^2 x y z^3-8 a^2 b^8 c^2 x y z^3-4 a^6 b^2 c^4 x y z^3+4 a^2 b^6 c^4 x y z^3-a^12 y^2 z^3+6 a^8 b^4 y^2 z^3-8 a^6 b^6 y^2 z^3+3 a^4 b^8 y^2 z^3+4 a^10 c^2 y^2 z^3-4 a^6 b^4 c^2 y^2 z^3-6 a^8 c^4 y^2 z^3+4 a^6 b^2 c^4 y^2 z^3+2 a^4 b^4 c^4 y^2 z^3+4 a^6 c^6 y^2 z^3-4 a^4 b^2 c^6 y^2 z^3-a^4 c^8 y^2 z^3-a^8 b^4 x z^4+3 a^6 b^6 x z^4-3 a^4 b^8 x z^4+a^2 b^10 x z^4-a^6 b^4 c^2 x z^4+2 a^4 b^6 c^2 x z^4-a^2 b^8 c^2 x z^4+a^4 b^4 c^4 x z^4-a^2 b^6 c^4 x z^4+a^2 b^4 c^6 x z^4-a^10 b^2 y z^4+3 a^8 b^4 y z^4-3 a^6 b^6 y z^4+a^4 b^8 y z^4+a^8 b^2 c^2 y z^4-2 a^6 b^4 c^2 y z^4+a^4 b^6 c^2 y z^4+a^6 b^2 c^4 y z^4-a^4 b^4 c^4 y z^4-a^4 b^2 c^6 y z^4 = 0.



 Esta quíntica es simétrica respecto al circuncentro (punto central), los puntos cíclicos son dobles, pasa por los vértices de  ABC  y del triángulo excentral, por los centros del triángulo X1, X3, X30, X36, X40, X2077.
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  La tangente en el circuncentro (punto de inflexión) es la recta de Euler, que también es la asíntota real.

  Las tangentes en los vértices de ABC pasan por el circuncentro.