Equation of the Outer Montesdeoca-Lemoine Circle a^2yz+b^2zx+c^2xy+ K1(x+y+z)(b^2c^2x+a^2c^2y+a^2b^2z))=0 a^2yz+b^2zx+c^2xy+ (Sin[w]/(2S))(x+y+z)(b^2c^2x+a^2c^2y+a^2b^2z))=0 Simplification made by Peter Moses , using Mathematica: {num,den}={Numerator[#],Denominator[#]}&[K1]; denConj=den/.S->-S; (*a kind of conjugate to den like the idea of (a+Sqrt[b]) (a-Sqrt[b]) to rid the roots. This makes denA 'nice' bacause (S Csc[w])^2 = a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2*) denA=Factor[Expand[den denConj]/.S^2Csc[w]^2->a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2]; numA=Factor[Expand[num denConj]/.S^2Csc[w]^2->a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2]; (*leading to*) (numA/denA)/.a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2->S^2Csc[w]^2 (w: Brocard angle) K1=(a^16 b^4+5 a^14 b^6+25 a^8 b^12-32 a^6 b^14+20 a^4 b^16-7 a^2 b^18+b^20+2 a^16 b^2 c^2+19 a^14 b^4 c^2+9 a^12 b^6 c^2+2 a^10 b^8 c^2+112 a^8 b^10 c^2-74 a^6 b^12 c^2+6 a^4 b^14 c^2+15 a^2 b^16 c^2-5 b^18 c^2+a^16 c^4+19 a^14 b^2 c^4+22 a^12 b^4 c^4-6 a^10 b^6 c^4+233 a^8 b^8 c^4-99 a^6 b^10 c^4-28 a^4 b^12 c^4+a^2 b^14 c^4+11 b^16 c^4+5 a^14 c^6+9 a^12 b^2 c^6-6 a^10 b^4 c^6+268 a^8 b^6 c^6-99 a^6 b^8 c^6-113 a^4 b^10 c^6-13 a^2 b^12 c^6-11 b^14 c^6+2 a^10 b^2 c^8+233 a^8 b^4 c^8-99 a^6 b^6 c^8-126 a^4 b^8 c^8-56 a^2 b^10 c^8+13 b^12 c^8+112 a^8 b^2 c^10-99 a^6 b^4 c^10-113 a^4 b^6 c^10-56 a^2 b^8 c^10-26 b^10 c^10+25 a^8 c^12-74 a^6 b^2 c^12-28 a^4 b^4 c^12-13 a^2 b^6 c^12+13 b^8 c^12-32 a^6 c^14+6 a^4 b^2 c^14+a^2 b^4 c^14-11 b^6 c^14+20 a^4 c^16+15 a^2 b^2 c^16+11 b^4 c^16-7 a^2 c^18-5 b^2 c^18+c^20-(5 a^14 b^4-7 a^12 b^6+29 a^10 b^8-34 a^8 b^10+30 a^6 b^12-7 a^4 b^14-3 a^2 b^16+b^18+10 a^14 b^2 c^2-5 a^12 b^4 c^2+70 a^10 b^6 c^2-48 a^8 b^8 c^2+27 a^6 b^10 c^2+58 a^4 b^12 c^2-22 a^2 b^14 c^2-b^16 c^2+5 a^14 c^4-5 a^12 b^2 c^4+94 a^10 b^4 c^4-74 a^8 b^6 c^4+36 a^6 b^8 c^4+109 a^4 b^10 c^4+17 a^2 b^12 c^4-4 b^14 c^4-7 a^12 c^6+70 a^10 b^2 c^6-74 a^8 b^4 c^6+10 a^6 b^6 c^6+180 a^4 b^8 c^6+23 a^2 b^10 c^6+b^12 c^6+29 a^10 c^8-48 a^8 b^2 c^8+36 a^6 b^4 c^8+180 a^4 b^6 c^8+82 a^2 b^8 c^8+7 b^10 c^8-34 a^8 c^10+27 a^6 b^2 c^10+109 a^4 b^4 c^10+23 a^2 b^6 c^10+7 b^8 c^10+30 a^6 c^12+58 a^4 b^2 c^12+17 a^2 b^4 c^12+b^6 c^12-7 a^4 c^14-22 a^2 b^2 c^14-4 b^4 c^14-3 a^2 c^16-b^2 c^16+c^18)S Csc[w])/(2 (-5 a^16 b^6+7 a^14 b^8-29 a^12 b^10+34 a^10 b^12-30 a^8 b^14+7 a^6 b^16+3 a^4 b^18-a^2 b^20-15 a^16 b^4 c^2+7 a^14 b^6 c^2-92 a^12 b^8 c^2+53 a^10 b^10 c^2-23 a^8 b^12 c^2-81 a^6 b^14 c^2+32 a^4 b^16 c^2+3 a^2 b^18 c^2-b^20 c^2-15 a^16 b^2 c^4-159 a^12 b^6 c^4+52 a^10 b^8 c^4-15 a^8 b^10 c^4-194 a^6 b^12 c^4-53 a^4 b^14 c^4+27 a^2 b^16 c^4+b^18 c^4-5 a^16 c^6+7 a^14 b^2 c^6-159 a^12 b^4 c^6+54 a^10 b^6 c^6+28 a^8 b^8 c^6-325 a^6 b^10 c^6-149 a^4 b^12 c^6-14 a^2 b^14 c^6+4 b^16 c^6+7 a^14 c^8-92 a^12 b^2 c^8+52 a^10 b^4 c^8+28 a^8 b^6 c^8-370 a^6 b^8 c^8-285 a^4 b^10 c^8-31 a^2 b^12 c^8-b^14 c^8-29 a^12 c^10+53 a^10 b^2 c^10-15 a^8 b^4 c^10-325 a^6 b^6 c^10-285 a^4 b^8 c^10-96 a^2 b^10 c^10-7 b^12 c^10+34 a^10 c^12-23 a^8 b^2 c^12-194 a^6 b^4 c^12-149 a^4 b^6 c^12-31 a^2 b^8 c^12-7 b^10 c^12-30 a^8 c^14-81 a^6 b^2 c^14-53 a^4 b^4 c^14-14 a^2 b^6 c^14-b^8 c^14+7 a^6 c^16+32 a^4 b^2 c^16+27 a^2 b^4 c^16+4 b^6 c^16+3 a^4 c^18+3 a^2 b^2 c^18+b^4 c^18-a^2 c^20-b^2 c^20+(a^16 b^4+5 a^14 b^6+25 a^8 b^12-32 a^6 b^14+20 a^4 b^16-7 a^2 b^18+b^20+2 a^16 b^2 c^2+19 a^14 b^4 c^2+9 a^12 b^6 c^2+2 a^10 b^8 c^2+112 a^8 b^10 c^2-74 a^6 b^12 c^2+6 a^4 b^14 c^2+15 a^2 b^16 c^2-5 b^18 c^2+a^16 c^4+19 a^14 b^2 c^4+22 a^12 b^4 c^4-6 a^10 b^6 c^4+233 a^8 b^8 c^4-99 a^6 b^10 c^4-28 a^4 b^12 c^4+a^2 b^14 c^4+11 b^16 c^4+5 a^14 c^6+9 a^12 b^2 c^6-6 a^10 b^4 c^6+268 a^8 b^6 c^6-99 a^6 b^8 c^6-113 a^4 b^10 c^6-13 a^2 b^12 c^6-11 b^14 c^6+2 a^10 b^2 c^8+233 a^8 b^4 c^8-99 a^6 b^6 c^8-126 a^4 b^8 c^8-56 a^2 b^10 c^8+13 b^12 c^8+112 a^8 b^2 c^10-99 a^6 b^4 c^10-113 a^4 b^6 c^10-56 a^2 b^8 c^10-26 b^10 c^10+25 a^8 c^12-74 a^6 b^2 c^12-28 a^4 b^4 c^12-13 a^2 b^6 c^12+13 b^8 c^12-32 a^6 c^14+6 a^4 b^2 c^14+a^2 b^4 c^14-11 b^6 c^14+20 a^4 c^16+15 a^2 b^2 c^16+11 b^4 c^16-7 a^2 c^18-5 b^2 c^18+c^20) S Csc[w]))