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Hechos Geométricos en el Triángulo (2023)

Angel Montesdeoca
(Última actualización: )

Hechos Geométricos en el Triángulo de:
(2013) (2014) (2015) (2016) (2017) (2018) (2019) (2020) (2021) (2022)

Cómo es el enlace a un Hecho Geométrico correspondiente a un día concreto:
http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2023.htm#HGddmmaa
EJEMPLO: 1 de enero del 2023
http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2023.htm#HG010123

C O N T E N I D O
Glosario
Centros del triángulo que NO figuran en la Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)
Ejercicios relativos a triángulos
Resolución De Triángulos
Construcción de cónicas (Para prescindir de JAVA, se han sustituido los "<applet>" por "<script>")
Contribuciones y citas en otras webs de Geometría del Triángulo
Geometría afín y euclídea
Geometría proyectiva. Cónicas y Cuádricas

Domingo, 5 de febrero del 2023
Parábolas con focos en los exincentros

El 5 de febrero de 1937 falleció (a los 75 años de edad) Lou Andreas-Salomé, nacida en Rusia, psicoanalista distinguida y la única mujer que Freud aceptó en él "círculo interno" de la Sociedad Psicoanalítica de Viena. Salome tuvo como pretendientes a las más grandes inteligencias de su tiempo. Fue una gran seductora que no se comprometía con nadie y que quería sentirse siempre libre. Salome solía decir "Mi obligación es estar libre de obligaciones". Andreas-Salomé adquirió una notable popularidad tras la publicación, en 1951, de la primera edición alemana de su autobiografía: "Mirada retrospectiva", que sirvió a Liliana Cavani para hacer su película "Más allá del bien y del mal".

Dado ABC un triángulo, con incentro I=X₁ y I_a, I_b, I_c, sean 𝒫_a y 𝒫'_a las parábolas con focos I y I_a, con tangente en sus vértices la recta BC. La otra tangente común pasa por el pie de la bisectriz interior en A.
Para determinar algebraicamente las tangentes comunes a las parábolas 𝒫_a y 𝒫'_a, se puede recurrir a sus ecuaciones tangenciales

En coordenadas baricéntricas respecto a ABC.
𝒫_a: a^2 U V+a b U V-a c U V-a b V^2-b^2 V^2+b c V^2+a^2 U W-a b U W+a c U W-2 a^2 V W+a b V W+b^2 V W+a c V W-2 b c V W+c^2 V W-a c W^2+b c W^2-c^2 W^2=0
𝒫'_a: a^2 U V-a b U V+a c U V+a b V^2-b^2 V^2+b c V^2+a^2 U W+a b U W-a c U W-2 a^2 V W-a b V W+b^2 V W-a c V W-2 b c V W+c^2 V W+a c W^2+b c W^2-c^2 W^2=0.

y encontrar las cónicas degeneradas del haz tangencial que ellas determinan.
Las dos cónicas degeneradas de esta haz bitangente son:
(V - W) ((b - c )U - b V + c W)=0, (b V + c W) (2 a^2 U+(-a^2 - b^2+ c^2) V+(-a^2+ b^2- c^2) W) =0.
Con lo que las rectas tangentes comunes son x=0 (BC), x+y+z=0 (recta del infinito) y la recta paralela a I_bI_c por por el pie D(0:b:c) de la bisectriz interior en A:
t_a: 2 b c x-c (-b+c) y-b (b-c) z =0.
( Mostrar/Ocultar figura )
Procediendo cíclicamente, se obtienen las tangentes t_b y t_c. Sea el triángulo formado por estas tres rectas. Como las bisectrices interiores son perpendiculares a t_a, t_b, t_c, entonces los triángulos ABC y son .
El centro de ortología de respecto a ABC es la intersección de la paralela a la por el incentro con el punto de intersección del con la :

W = ( a (a^5 (b+c)-4 a^4 b c-a^3 (2 b^3+b^2 c+b c^2+2 c^3)+a^2 b (b-c)^2 c+a (b^5-b^3 c^2-b^2 c^3+c^5)+3 b c (b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-1.09954972920206, -1.09219001272548, 4.90428051957989).
Es el punto medio de X₉₆₂ y X₅₀₄₁₉.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {1, 48903}, {40, 9840}, {5881, 48937}, {7991, 48882}, {15971, 946}, {37425, 48894}, {48897, 1}, {48907, 10222}, {48915, 48930}, {48916, 5453}, {48917, 48939}, {48923, 5882}, {48941, 4301}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,30}, {4,386}, {34,46468}, {40,846}, {42,31673}, {43,18492}, {58,21669}, {165,48915}, {381,3216}, {511,7982}, {517,5492}, {519,48877}, {524,12629}, {546,5400}, {580,6912}, {581,3146}, {936,49734}, {946,1201}, {962,33100}, {990,15938}, {991,3529}, {1012,4252}, {1043,27792}, {1046,7701}, {1064,51118}, {1154,11280}, {1193,18483}, {1389,6003}, {1657,50317}, {1699,46704}, {1724,37234}, {1754,3560}, {1765,5165}, {1770,37558}, {1834,37447}, {2475,45924}, {2654,4292}, {3191,22010}, {3214,50796}, {3293,18480}, {3340,6000}, {3543,19767}, {3545,17749}, {3576,37425}, {3585,4551}, {3627,5396}, {3651,4653}, {3679,48887}, {3853,22392}, {4080,34772}, {4188,21849}, {4300,28150}, {4301,48941}, {4747,50809}, {4853,49716}, {4915,49718}, {5587,6048}, {5691,37529}, {5713,6925}, {5881,48937}, {5882,48923}, {5903,24430}, {6097,7280}, {6361,30116}, {6684,50420}, {6831,33810}, {6913,37537}, {6920,13329}, {7991,48882}, {8227,15973}, {8583,50169}, {9623,49728}, {9955,49997}, {10222,48907}, {10246,48926}, {10459,28194}, {11001,48855}, {11459,50599}, {11522,48931}, {13744,18180}, {13754,25415}, {14157,17104}, {14636,35242}, {14853,20582}, {15030,50597}, {15488,37331}, {15979,37554}, {16160,45926}, {16200,48909}, {16475,48922}, {17188,37157}, {18357,31855}, {19765,37411}, {19860,49735}, {19861,50171}, {21214,38021}, {29181,43166}, {29821,46975}, {31423,50418}, {34627,50575}, {34648,50587}, {37406,37693}, {41343,45977}, {48917,48939}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Los ocho puntos de tangencia de cuatro tangentes comunes de dos cónicas están sobre una misma cónica.
En el caso de las parábolas 𝒫_a y 𝒫'_a hay tres tangentes comunes (la recta del infinito contada dos veces), entonces solo existen cinco puntos de tangencia:
(-2 a^2:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2) [en la recta del infinito], A'=(0:-a-b+c:-a+b-c), A"=(0:-a+b-c:-a-b+c),
A₁=(-a (a-b-c) (b-c)^2:b (2 a^2 b-(b-c)^2 (b+c)+a (-b^2+c^2)):c (2 a^2 c-(b-c)^2 (b+c)+a (b^2-c^2))),
A₂=(a (b-c)^2 (a+b+c):b (-2 a^2 b+(b-c)^2 (b+c)+a (-b^2+c^2)):c (-2 a^2 c+(b-c)^2 (b+c)+a (b^2-c^2))).
La parábola que pasa por estos puntos es:
𝒞_a: 4 a^4 x^2-5 a^2 b^2 x^2+b^4 x^2+10 a^2 b c x^2-5 a^2 c^2 x^2-2 b^2 c^2 x^2+c^4 x^2+4 a^4 x y-4 a^2 b^2 x y+12 a^2 b c x y-8 a^2 c^2 x y+a^4 y^2-a^2 b^2 y^2+2 a^2 b c y^2-a^2 c^2 y^2+4 a^4 x z-8 a^2 b^2 x z+12 a^2 b c x z-4 a^2 c^2 x z-2 a^4 y z-2 a^2 b^2 y z+4 a^2 b c=0.
La directriz de esta parábola (paralela a BC) es:
d_a: (8 a^4+5 (b^2-c^2)^2-a^2 (13 b^2-10 b c+13 c^2)) x+(4 a^4-5 a^2 (b-c)^2+(b^2-c^2)^2) y+(4 a^4-5 a^2 (b-c)^2+(b^2-c^2)^2) z = 0.
Si d_b y d_c son las correspondientes directices, obtenidas cíclicamente, el centro de homotecia de ABC y el triángulo formado por d_a, d_b y d_c es
Z = 4r X₄-5 (2 r - R) X₁₁, R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC y s su semiperímetro.:
Z = ( 4 a^4-5 a^2 (b-c)^2+(b^2-c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (0.555039866111904, 0.887062121477146, 2.77037230575625).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,549}, {4,11}, {5,37587}, {12,3628}, {36,548}, {55,5265}, {145,6174}, {354,15556}, {388,7486}, {495,7294}, {496,15326}, {497,50693}, {498,999}, {499,3614}, {524,49690}, {551,4757}, {956,50038}, {1125,31157}, {1250,42686}, {1319,13607}, {1387,3336}, {1420,10950}, {1428,12007}, {1478,5072}, {1479,17800}, {1482,21154}, {1837,13462}, {2098,5435}, {2646,6744}, {3058,5204}, {3085,15709}, {3091,51097}, {3304,5432}, {3337,5901}, {3338,15950}, {3361,11246}, {3534,6284}, {3582,5066}, {3584,11540}, {3585,3856}, {3600,15022}, {3616,4860}, {3632,17564}, {3636,37298}, {3649,22936}, {3749,15723}, {3857,7741}, {3874,34123}, {3911,20323}, {3925,5253}, {4188,6154}, {4299,49136}, {4315,17606}, {4355,17234}, {5193,10958}, {5217,15698}, {5225,15640}, {5270,44904}, {5274,50692}, {5288,52264}, {5303,49736}, {5425,51700}, {5552,34749}, {5719,7161}, {6667,20060}, {6691,21031}, {6738,51085}, {7677,37564}, {8572,11269}, {9352,13463}, {9657,10589}, {9663,31474}, {9669,15684}, {9672,35472}, {10069,14692}, {10165,17609}, {10200,34606}, {10483,33699}, {10527,40726}, {10529,34612}, {10543,11019}, {10593,23046}, {10638,42687}, {10832,15750}, {10959,37583}, {11238,15683}, {11502,51773}, {12607,31235}, {12953,49140}, {14043,26686}, {14065,26561}, {14078,50303}, {15172,15759}, {15178,21155}, {15670,15808}, {15695,16189}, {15908,37535}, {18398,38028}, {18965,35769}, {18966,35768}, {19027,43431}, {19028,43430}, {24470,37735}, {24928,40663}, {31146,45036}, {31224,32049}, {32577,37646}, {32636,44675}, {33179,50800}, {44682,51817}, {45081,51788}.
Miércoles, 1 de febrero del 2023
Centros ortológicos relacionados con el ortocentro

En memoria de mi hija Marta

Sea ABC un triángulo con ortocentro H=X₄, la circunferencia (HBC) vuelve a cortar a AC y a AB en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b son definidos cíclicamente. En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC,
A_b=(a^2 - c^2:0:-a^2 + b^2 + c^2), A_c=(a^2-b^2:-a^2+b^2+c^2:0).
A'=A_bB_a∩A_cC_a =
(-a^4 (a^2-b^2) (a^2-c^2):-(b^2-c^2) (a^6+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (2 b^2+c^2)+a^2 (3 b^2 c^2-c^4):
(b^2-c^2) (a^6+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^2+2 c^2)-a^2 (b^4-3 b^2 c^2))),
A"=B_cB_a∩C_aC_b =
(a^4:-a^4+b^4-c^4-a^2 (b^2-2 c^2):-a^4-b^4+c^4+a^2 (2 b^2-c^2)).

Los triángulos ABC, A'B'C', A''B''C'' son dos a dos ortológicos.
( Mostrar/Ocultar figura )
:

• ABC respecto a A'B'C': X₇₄, del punto del infinito de la .

• ABC respecto a A"B"C": X₃, el circuncentro.

• A'B'C' respecto a ABC: X₁₀₇₂₁, simétrico de X₇₄ respecto al ortocentro.

• A"B"C" respecto a ABC: X₃₈₂, reflexión del circuncentro en el ortocentro.

• A'B'C' respecto a A"B"C":
V = ( a^2 (a^12 (b^2+c^2)-a^10 (4 b^4+3 b^2 c^2+4 c^4) +a^8 (5 b^6+4 b^4 c^2+4 b^2 c^4+5 c^6)-a^6 (6 b^6 c^2-b^4 c^4+6 b^2 c^6) -a^4 (5 b^10-9 b^8 c^2+3 b^6 c^4+3 b^4 c^6-9 b^2 c^8+5 c^10) +a^2 (b^2-c^2)^2 (4 b^8+b^6 c^2+b^2 c^6+4 c^8)-(b^2-c^2)^4 (b^6+2 b^4 c^2+2 b^2 c^4+c^6) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-1.68591397946276, 0.0709396984503623, 4.36966652734771).
Es el punto medio de X₅₈₈₉ y X₇₇₃₁.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {3, 1986}, {74, 6102}, {110, 38898}, {265, 52}, {5562, 11557}, {6101, 11561}, {7723, 1112}, {7728, 13417}, {10733, 10263}, {11412, 1511}, {11750, 10114}, {12111, 1539}, {12121, 11562}, {12162, 11807}, {12219, 5}, {12273, 5609}, {12281, 10113}, {13201, 12041}, {15101, 13358}, {18436, 113}, {18438, 5095}, {18439, 13202}, {18440, 40949}, {18442, 11560}, {20126, 14831}, {20127, 185}, {21650, 5446}, {22584, 4}, {22815, 2914}, {32272, 1843}, {32338, 11702}, {37484, 16163}, {41726, 11805}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,1986}, {4,22584}, {5,12219}, {30,7722}, {49,13289}, {52,265}, {74,6102}, {110,1154}, {113,18436}, {125,568}, {143,14644}, {146,31725}, {185,20127}, {381,1112}, {382,5663}, {389,15061}, {399,7517}, {511,11562}, {974,15041}, {1216,16223}, {1351,2781}, {1511,11412}, {1539,12111}, {1656,12358}, {1657,13148}, {1658,3043}, {1843,32272}, {2777,10111}, {2914,7488}, {3024,9642}, {3060,10113}, {3448,31723}, {3526,9826}, {3534,44573}, {3567,20304}, {3581,12893}, {3830,12292}, {5054,13416}, {5076,12133}, {5095,18438}, {5446,21650}, {5562,11557}, {5609,12273}, {5640,15088}, {5890,12041}, {5891,41671}, {5946,15059}, {5972,23039}, {6101,11561}, {6241,34584}, {6243,14448}, {6699,37481}, {7387,12165}, {7728,13417}, {9140,13358}, {9730,38728}, {10114,11750}, {10117,18445}, {10574,35496}, {10625,38723}, {10627,15051}, {10688,41512}, {11536,32607}, {11560,18442}, {11597,22109}, {11702,32338}, {11746,13321}, {11805,41726}, {11806,14831}, {11807,12162}, {12160,12412}, {12236,38724}, {12308,18534}, {12825,38789}, {12901,37495}, {13198,15087}, {13202,18439}, {13203,18917}, {13340,38726}, {13630,15055}, {14130,15472}, {14531,23236}, {15027,16625}, {15040,41673}, {15043,34128}, {16111,44439}, {16163,37484}, {17835,36747}, {17847,37489}, {18435,46686}, {18440,40949}, {18475,32226}, {18531,18947}, {19457,36749}, {25711,32609}, {37488,45016}, {38788,40647}.

• A"B"C" respecto a A'B'C':
W = ( a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^10 (b^2+c^2) -a^8 (3 b^4+b^2 c^2+3 c^4)+2 a^6 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)+a^4 (2 b^8-8 b^6 c^2+9 b^4 c^4-8 b^2 c^6+2 c^8) -3 a^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) +(b^2-c^2)^4 (b^4+b^2 c^2+c^4) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (10.0636858607265, 13.6623199365962, -10.4626427945330).
Es el punto medio de X₅₈₈₉ y X₁₂₂₈₄.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {110, 6102}, {265, 21649}, {399, 1986}, {1657, 17854}, {5562, 11806}, {5655, 14831}, {5876, 13358}, {7728, 52}, {10625, 17855}, {10721, 10263}, {11412, 12041}, {12111, 10113}, {12121, 185}, {12162, 11800}, {12219, 10264}, {12273, 1511}, {12778, 31728}, {12825, 12236}, {13201, 51522}, {14094, 38898}, {18436, 125}, {18439, 12295}, {22584, 265}, {22815, 15089}, {23236, 11562}, {37484, 16111}, {41726, 11804}..
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,974}, {25,399}, {49,12893}, {52,7728}, {74,1154}, {110,6102}, {113,568}, {125,18436}, {146,44276}, {185,12121}, {195,15463}, {265,1531}, {381,12236}, {382,5663}, {389,14643}, {511,20127}, {542,9973}, {858,10264}, {895,11559}, {1112,38789}, {1181,15085}, {1216,38728}, {1511,5890}, {1539,3060}, {1656,46430}, {1657,17854}, {1658,3047}, {2777,6243}, {2781,34777}, {2931,18445}, {3448,18569}, {3581,13289}, {3851,11746}, {5562,11806}, {5655,11557}, {5876,13358}, {5899,9934}, {5972,37481}, {6101,15055}, {6240,6242}, {6699,23039}, {7391,12317}, {7687,18435}, {7723,38724}, {7727,9629}, {9706,13630}, {9730,38794}, {10111,10938}, {10113,12111}, {10254,46085}, {10620,12085}, {10625,17855}, {10628,14864}, {11412,12041}, {11444,34128}, {11459,20304}, {11562,23236}, {11591,15059}, {11597,12227}, {11744,18325}, {11800,12162}, {11804,41726}, {12228,15087}, {12295,18439}, {12319,18917}, {12358,30771}, {12596,39562}, {12778,31728}, {13201,51522}, {13293,37495}, {13340,37853}, {13621,48670}, {14094,38898}, {14708,32609}, {14984,39899}, {15027,45187}, {15056,15088}, {15089,22815}, {16111,37484}, {17701,41597}, {17702,18565}, {17838,37489}, {18531,18932}, {37954,38534}, {38723,40647}, {40280,48378}.

Los cuatro centros ortológicos V, W, X₃₈₂, X₁₀₇₂₁ están sonre una recta paralela a la que contiene a los dos restanes centros ortológicos: X₃ y X₇₄.
Lunes, 30 de enero del 2023
Circunferencias exincritas y un centro ortológico

Este es el artículo nº 1000 de Hechos Geométricos en el Triángulo

Sea ABC un triángulo, sus circunferencias circunscrita Γ y Γ_a se cortan en los puntos, expresados en coordenadas baricéntticas por:
A₁ =(2a^2(a+b-c)(a-b+c) : -((a-b+c)(a+b+c) (a^2-(b-c)(-b+c+Sqrt[a^2+(b-c)^2+ 2a(b+c)])+ a(2c+Sqrt[a^2+(b-c)^2+2a(b+c)]))) :
-((a+b-c)(a+b+c) (a^2-a(-2b+Sqrt[a^2+(b-c)^2+ 2a(b+c)])-(b-c)(-b+c+ Sqrt[a^2+(b-c)^2+2a(b+c)])))),

A₂ = (2a^2(a+b-c)(a-b+c) : -((a-b+c)(a+b+c) (a^2-a(-2c+Sqrt[a^2+(b-c)^2+ 2a(b+c)])+(b-c) (b-c+Sqrt[a^2+(b-c)^2+2a(b+c)]))) :
-((a+b-c)(a+b+c) (a^2+a(2b+Sqrt[a^2+(b-c)^2+ 2a(b+c)])+(b-c) (b-c+Sqrt[a^2+(b-c)^2+2a(b+c)])))).
( Mostrar/Ocultar figura )
A'₁ y A'₂ son las proyecciones de A sobre las tangentes a Γ_a en A₁ y A₂, respectivamente.
La tangente en A'₁ a la circunferencia (AA₁A'₁) corta a la tangente en A'₂ a la circunferencia (AA₂A'₂) en A', que está sobre la altura por A (AoPS).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
El de ABC respecto a es el de la reflexión del punto Alkalurops en el punto Pohoata:

W = ( a^2/(3 a^4+2 a^3 (b+c)-2 a^2 (b-c)^2-2 a (b-c)^2 (b+c)-(b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (6.97242915216055, 0.568950218816301, 0.0287316448066879).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {40,1859}, {271,31445}, {942,7013}, {1819,8021}, {3295,7078}.
Domingo, 29 de enero del 2023
Un par bicéntrico formado con centros de cónicas

El 29 de enero de 1860 nació el médico, escritor y dramaturgo ruso Antón Chéjov. Encuadrado en la corriente naturalista, se convertirá en un maestro del relato corto que será magníficamente acogido por escritores y crítica. Entre sus obras dramáticas más conocidas tal vez se encuentren "Tío Vania" y "La gaviota".

Sea ABC un triángulo con incentro I=X₁. Las circunferencias (ABI) y (ACI) vuelven a corta a BC en A₂ y A₃, respectivamente. Se consideran los puntos:
A_b=BI∩AA₃ = (a:a - c:c), A_c=CI∩AA₂ = (a:b:a - b). (coordenadas baricéntricas)
Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b, se definen cíclicamente.

Por construcción, los triángulos y son perspectivos con ABC, con centro de perspectividad el incentro. En concecuencia, los tres ejes de perspectividad concurren (Theorem 19). El punto de concurrencia es X₉₄₃₆.
( Mostrar/Ocultar figura )
El centro de la , 𝒞₁,

-a^5 b c x^2+2 a^4 b^2 c x^2-2 a^2 b^4 c x^2+a b^5 c x^2+2 a^4 b c^2 x^2-6 a^3 b^2 c^2 x^2+4 a^2 b^3 c^2 x^2+2 a b^4 c^2 x^2-2 b^5 c^2 x^2+4 a^2 b^2 c^3 x^2-6 a b^3 c^3 x^2+2 b^4 c^3 x^2-2 a^2 b c^4 x^2+2 a b^2 c^4 x^2+2 b^3 c^4 x^2+a b c^5 x^2-2 b^2 c^5 x^2-2 a^5 c^2 x y+4 a^4 b c^2 x y+2 a^3 b^2 c^2 x y-6 a^2 b^3 c^2 x y+2 b^5 c^2 x y+2 a^4 c^3 x y-10 a^3 b c^3 x y+8 a^2 b^2 c^3 x y+6 a b^3 c^3 x y-6 b^4 c^3 x y+2 a^3 c^4 x y-12 a b^2 c^4 x y+6 b^3 c^4 x y-2 a^2 c^5 x y+6 a b c^5 x y-2 b^2 c^5 x y+a^5 b c y^2-2 a^4 b^2 c y^2+2 a^2 b^4 c y^2-a b^5 c y^2-2 a^5 c^2 y^2+2 a^4 b c^2 y^2+4 a^3 b^2 c^2 y^2-6 a^2 b^3 c^2 y^2+2 a b^4 c^2 y^2+2 a^4 c^3 y^2-6 a^3 b c^3 y^2+4 a^2 b^2 c^3 y^2+2 a^3 c^4 y^2+2 a^2 b c^4 y^2-2 a b^2 c^4 y^2-2 a^2 c^5 y^2+a b c^5 y^2+2 a^5 b^2 x z-6 a^4 b^3 x z+6 a^3 b^4 x z-2 a^2 b^5 x z+6 a^3 b^3 c x z-12 a^2 b^4 c x z+6 a b^5 c x z-6 a^3 b^2 c^2 x z+8 a^2 b^3 c^2 x z-2 b^5 c^2 x z+2 a^2 b^2 c^3 x z-10 a b^3 c^3 x z+2 b^4 c^3 x z+4 a b^2 c^4 x z+2 b^3 c^4 x z-2 b^2 c^5 x z-2 a^5 b^2 y z+2 a^4 b^3 y z+2 a^3 b^4 y z-2 a^2 b^5 y z+6 a^5 b c y z-10 a^3 b^3 c y z+4 a^2 b^4 c y z-2 a^5 c^2 y z-12 a^4 b c^2 y z+8 a^3 b^2 c^2 y z+2 a^2 b^3 c^2 y z+6 a^4 c^3 y z+6 a^3 b c^3 y z-6 a^2 b^2 c^3 y z-6 a^3 c^4 y z+2 a^2 c^5 y z-2 a^5 b^2 z^2+2 a^4 b^3 z^2+2 a^3 b^4 z^2-2 a^2 b^5 z^2+a^5 b c z^2+2 a^4 b^2 c z^2-6 a^3 b^3 c z^2+2 a^2 b^4 c z^2+a b^5 c z^2-2 a^4 b c^2 z^2+4 a^3 b^2 c^2 z^2+4 a^2 b^3 c^2 z^2-2 a b^4 c^2 z^2-6 a^2 b^2 c^3 z^2+2 a^2 b c^4 z^2+2 a b^2 c^4 z^2-a b c^5 z^2 = 0

de ABC y es:
P₁ = (a ((a-c)^2-b^2) (a^3 b (b-c)-a^2 (b^3-4 b c^2+c^3)+a c (b^3-2 b^2 c+c^3)-b^2 (b-c)^2 c) : ... : ...).

El centro de la , 𝒞₂,

a^5 b c x^2-2 a^4 b^2 c x^2+2 a^2 b^4 c x^2-a b^5 c x^2-2 a^4 b c^2 x^2+6 a^3 b^2 c^2 x^2-4 a^2 b^3 c^2 x^2-2 a b^4 c^2 x^2+2 b^5 c^2 x^2-4 a^2 b^2 c^3 x^2+6 a b^3 c^3 x^2-2 b^4 c^3 x^2+2 a^2 b c^4 x^2-2 a b^2 c^4 x^2-2 b^3 c^4 x^2-a b c^5 x^2+2 b^2 c^5 x^2-2 a^5 c^2 x y+6 a^3 b^2 c^2 x y-2 a^2 b^3 c^2 x y-4 a b^4 c^2 x y+2 b^5 c^2 x y+6 a^4 c^3 x y-6 a^3 b c^3 x y-8 a^2 b^2 c^3 x y+10 a b^3 c^3 x y-2 b^4 c^3 x y-6 a^3 c^4 x y+12 a^2 b c^4 x y-2 b^3 c^4 x y+2 a^2 c^5 x y-6 a b c^5 x y+2 b^2 c^5 x y-a^5 b c y^2+2 a^4 b^2 c y^2-2 a^2 b^4 c y^2+a b^5 c y^2+2 a^5 c^2 y^2-2 a^4 b c^2 y^2-4 a^3 b^2 c^2 y^2+6 a^2 b^3 c^2 y^2-2 a b^4 c^2 y^2-2 a^4 c^3 y^2+6 a^3 b c^3 y^2-4 a^2 b^2 c^3 y^2-2 a^3 c^4 y^2-2 a^2 b c^4 y^2+2 a b^2 c^4 y^2+2 a^2 c^5 y^2-a b c^5 y^2+2 a^5 b^2 x z-2 a^4 b^3 x z-2 a^3 b^4 x z+2 a^2 b^5 x z-4 a^4 b^2 c x z+10 a^3 b^3 c x z-6 a b^5 c x z-2 a^3 b^2 c^2 x z-8 a^2 b^3 c^2 x z+12 a b^4 c^2 x z+2 b^5 c^2 x z+6 a^2 b^2 c^3 x z-6 a b^3 c^3 x z-6 b^4 c^3 x z+6 b^3 c^4 x z-2 b^2 c^5 x z+2 a^5 b^2 y z-6 a^4 b^3 y z+6 a^3 b^4 y z-2 a^2 b^5 y z-6 a^5 b c y z+12 a^4 b^2 c y z-6 a^3 b^3 c y z+2 a^5 c^2 y z-8 a^3 b^2 c^2 y z+6 a^2 b^3 c^2 y z-2 a^4 c^3 y z+10 a^3 b c^3 y z-2 a^2 b^2 c^3 y z-2 a^3 c^4 y z-4 a^2 b c^4 y z+2 a^2 c^5 y z+2 a^5 b^2 z^2-2 a^4 b^3 z^2-2 a^3 b^4 z^2+2 a^2 b^5 z^2-a^5 b c z^2-2 a^4 b^2 c z^2+6 a^3 b^3 c z^2-2 a^2 b^4 c z^2-a b^5 c z^2+2 a^4 b c^2 z^2-4 a^3 b^2 c^2 z^2-4 a^2 b^3 c^2 z^2+2 a b^4 c^2 z^2+6 a^2 b^2 c^3 z^2-2 a^2 b c^4 z^2-2 a b^2 c^4 z^2+a b c^5 z^2 = 0

de ABC y es:
P₂ = (a ((a-b)^2-c^2) (a^3 c (-b+c)-a^2 (b^3-4 b^2 c+c^3)+a b (b^3-2 b c^2+c^3)-b c^2 (b-c)^2) : ... : ...).

Los puntos P₁ y P₂ forman un .

NOTAS:

Este para bicéntrico sido incorporado a "Bicentric Pairs of Points" con el número P(212) = 5TH MONTESDEOCA POINT.

Las cónicas 𝒞₁ y 𝒞₂ pasan por X₃₂₇₁ y X₁₄₉₃₆. Los otros dos puntos comunes de estas cónicas están sobre el eje de perspectividad de los triángulos y :
a (a-b-c) (b-c) (a^2+2 b c-a (b+c)) x+b (a-c) (a-b+c) (-a b+b^2+2 a c-b c) y-(a-b) (a+b-c) c (2 a b-(a+b) c+c^2) z=0,
que pasa por los centros del triángulo X_i, para i∈{982, 3663, 4941, 9436, 9950, 11019, 21629, 24210, 24216, 24217, 24241, 30545, 31627, 32023, 33154, 39126, 40593, 44735}.
Miércoles, 25 de enero del 2023
Cónicas asociadas a las parábolas de Artzt

El 25 de enero de 1843 nació Hermann Amandus Schwarz, matemático alemán. Llevó a cabo numerosos trabajos sobre análisis matemático, geometría diferencial y teoría de funciones y transformaciones conformes. Dió una solución geométrica al problema de Fagnano: El , con vértices en los pies de las alturas de un triángulo dado, tiene el perímetro más pequeño de todos los triángulos inscritos en un triángulo agudo.

Artzt Parabolas (Paris Pamfilos)

1. Artzt Parabolas (first kind) Given a triangle ABC the Artzt-parabola with respect to A, which I denote by p_BC, is a parabola passing through vertices {B,C} and being there tangent respectively to lines {BA,CA}.
From the general properties of parabolas follows that this parabola passes also through the middle K of the segment EF of middles of sides {AC,AB} respectively.

3. Geometric description The Artzt parabola p_BC can be described geometrically also as an envelope of a very easily constructible line.
In fact, consider an arbitrary point D on the basis BC of the triangle and project it parallel to the sides to points C' on AC and B' on AB. The envelope of the diagonal B'C' of the parallelogram DB'AC' is the Artzt parabola p_BC.

Sea ABC un triángulo y D un punto sobre BC, la paralela por D a AB corta a AC en D_b y la paralela por D a AC corta a AB en D_c.
La envolvente de la recta D_bD_c, cuando D se mueve sobre BC, es la A-, 𝒫_a.
Existen dos posiciones del punto D, sobre BC, que dan lugar a triángulos DD_bD_c rectangulares.
( Mostrar/Ocultar figura )
Estos puntos son, en coordenadas baricéntricas respecto a ABC,
D₂ = (0:b^2+c^2-a^2:2c^2), D₃ = (0:2b^2:b^2 + c^2-a^2 ).
Procedienfo cíclicamente, se definen los puntos E₃, E₁ sobre CA y F₁, F₂ sobre AB.

Si K₁ = F₁D₃∩D₂E₁, K₂ = D₂E₁∩E₃F₂, K₃ = E₃F₂∩F₁D₃, los triángulos ABC y son perspectivos (con centro de perspectividad el ). En consecuencia, los seis puntos D₂, D₃, E₃, E₁, F₁, F₂ están sobre una misma cónica

2 a^6 b^2 c^2 x^2-2 a^4 b^4 c^2 x^2-2 a^2 b^6 c^2 x^2+2 b^8 c^2 x^2-2 a^4 b^2 c^4 x^2+4 a^2 b^4 c^4 x^2-2 b^6 c^4 x^2-2 a^2 b^2 c^6 x^2-2 b^4 c^6 x^2+2 b^2 c^8 x^2-a^8 c^2 x y-4 a^6 b^2 c^2 x y+10 a^4 b^4 c^2 x y-4 a^2 b^6 c^2 x y-b^8 c^2 x y+2 a^6 c^4 x y-2 a^4 b^2 c^4 x y-2 a^2 b^4 c^4 x y+2 b^6 c^4 x y+8 a^2 b^2 c^6 x y-2 a^2 c^8 x y-2 b^2 c^8 x y+c^10 x y+2 a^8 c^2 y^2-2 a^6 b^2 c^2 y^2-2 a^4 b^4 c^2 y^2+2 a^2 b^6 c^2 y^2-2 a^6 c^4 y^2+4 a^4 b^2 c^4 y^2-2 a^2 b^4 c^4 y^2-2 a^4 c^6 y^2-2 a^2 b^2 c^6 y^2+2 a^2 c^8 y^2-a^8 b^2 x z+2 a^6 b^4 x z-2 a^2 b^8 x z+b^10 x z-4 a^6 b^2 c^2 x z-2 a^4 b^4 c^2 x z+8 a^2 b^6 c^2 x z-2 b^8 c^2 x z+10 a^4 b^2 c^4 x z-2 a^2 b^4 c^4 x z-4 a^2 b^2 c^6 x z+2 b^4 c^6 x z-b^2 c^8 x z+a^10 y z-2 a^8 b^2 y z+2 a^4 b^6 y z-a^2 b^8 y z-2 a^8 c^2 y z+8 a^6 b^2 c^2 y z-2 a^4 b^4 c^2 y z-4 a^2 b^6 c^2 y z-2 a^4 b^2 c^4 y z+10 a^2 b^4 c^4 y z+2 a^4 c^6 y z-4 a^2 b^2 c^6 y z-a^2 c^8 y z+2 a^8 b^2 z^2-2 a^6 b^4 z^2-2 a^4 b^6 z^2+2 a^2 b^8 z^2-2 a^6 b^2 c^2 z^2+4 a^4 b^4 c^2 z^2-2 a^2 b^6 c^2 z^2-2 a^4 b^2 c^4 z^2-2 a^2 b^4 c^4 z^2+2 a^2 b^2 c^6 z^2 = 0

( de ABC y ), de X₃₉₉₅₁:
𝒞: 𝔖_{_{abc xyz}} 2 b^2 c^2 (-a^2+b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) x^2+
a^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4+6 b^2 c^2+c^4) y z = 0.
El centro de 𝒞 es:
Z = ( a^2 (a^4-(b^2-c^2)^2) (a^6-b^6-7 b^4 c^2-7 b^2 c^4-c^6+a^4 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-6 b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.06061605378784, 1.12734716230681, 2.37067826779297).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2138}, {6,468}, {25,39}, {112,40916}, {378,15302}, {450,47738}, {1184,37453}, {1506,2207}, {1611,52297}, {1995,39575}, {3055,8746}, {5020,40938}, {5158,11284}, {5359,38282}, {7484,8778}, {7493,23115}, {9699,21284}, {13854,37439}, {15262,40132}, {15355,41891}, {22112,51437}, {23041,46243}, {40126,40135}, {41370,46336}.

La cónica 𝒞 es homotética a la cónica circunscrita,

(a^2 (a^2-b^2-3 c^2) (a^2-3 b^2-c^2) y z)/(-a^2+b^2+c^2) + (b^2 (-a^2+b^2-3 c^2) (-3 a^2+b^2-c^2) z x)/(a^2-b^2+c^2)+(c^2 (-a^2-3 b^2+c^2) (-3 a^2-b^2+c^2) x y)/(a^2+b^2-c^2)= 0

𝒞_h, de perspector:
P_o = ( a^2 (a^2-b^2-3 c^2) (a^2-3 b^2-c^2)/ (b^2+c^2-a^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (3.16874807990465, 3.57883919483449, -0.299492536010877).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,10311}, {4,3815}, {5,15075}, {6,74}, {24,15815}, {25,574}, {32,3516}, {34,31448}, {39,1593}, {64,217}, {83,37199}, {99,458}, {115,5094}, {187,11410}, {216,21312}, {232,1597}, {235,31401}, {264,31859}, {275,35941}, {317,8356}, {376,3087}, {403,31489}, {427,2549}, {1003,36794}, {1015,7071}, {1033,13341}, {1285,35483}, {1398,1500}, {1506,37197}, {1571,1829}, {1594,44518}, {1625,11472}, {1861,31449}, {1870,31477}, {1885,2548}, {1902,9619}, {1906,31450}, {1968,9605}, {1975,28441}, {2971,51927}, {3044,39849}, {3053,3520}, {3066,4230}, {3088,7738}, {3172,7772}, {3199,11403}, {3515,37512}, {3541,5254}, {3618,35940}, {3767,47297}, {4255,7431}, {5007,8778}, {5023,10312}, {5107,11405}, {5198,31652}, {5210,35473}, {5412,9600}, {5475,44438}, {6240,44519}, {6421,11473}, {6422,11474}, {6748,18533}, {6749,35485}, {7395,22401}, {7436,37500}, {7507,7748}, {7526,23115}, {7709,33971}, {7713,31421}, {7739,16318}, {7756,12173}, {7757,9308}, {8743,14865}, {8770,52299}, {8889,43448}, {8962,15201}, {9300,41370}, {9607,41361}, {9818,14961}, {10151,31415}, {10295,44541}, {10314,40349}, {10984,41759}, {10986,35472}, {11174,15014}, {11402,39913}, {11413,26216}, {11425,39643}, {13488,31406}, {13881,37119}, {14130,22120}, {14482,40138}, {14590,35936}, {14907,27377}, {15271,44146}, {15515,15750}, {17907,35920}, {22332,35502}, {22416,37498}, {35324,47391}, {35921,36748}, {36417,39951}, {37118,37637}, {37855,42849}, {41372,47739}, {41758,44832}, {45207,46680}.

Sean T_ab(4 c^2 (-a^2+b^2+c^2):(-a^2+b^2+c^2)^2:4 c^4) el punto de contacto de la A-parábola de Artzt con la tangente correspondiente al punto D₂ (tangente, distinta de AB, desde el punto donde la directriz de 𝒫_a corta a AB) y A_b(0:(-a^2+b^2+c^2)^2:-4 c^4) el punto donde esta tangente corta a BC.
Y sean T_ac(4 b^4 (-a^2+b^2+c^2):4 b^6:b^2 (-a^2+b^2+c^2)^2) el punto de contacto con la tangente correspondiente al punto D₃ (tangente, distinta de AC, desde el punto donde la directriz de 𝒫_a corta a AC) y A_c(0:4 b^4:-(-a^2+b^2+c^2)^2) el punto donde esta tangente corta a BC..
Se definen cíclicamente, T_bc y T_ba sobre la B-parábola de Artzt, T_ca y T_cb sobre la C-parábola de Artzt; B_c y B_a sobre CA, C_a y C_b sobre AB.

Sea P_a(-a^4-b^4-6 b^2 c^2-c^4+2 a^2 (b^2+c^2):-2 b^2 (-a^2+b^2+c^2):-2 c^2 (-a^2+b^2+c^2)) el de la recta T_abT_ac. Se definen P_b y P_c, cíclicamente.

El punto P_o también es el punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica ABC en .
σ: (x:y:z) ↦
(3 a^2+b^2-c^2) (a^2+3 b^2-c^2) (3 a^2-b^2+c^2) (a^2-b^2+3 c^2) (a^4+b^4+6 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) x+
2 a^2 (a^2-b^2-3 c^2) (a^2-3 b^2-c^2) (3 a^2+b^2-c^2) (a^2+3 b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) y+
2 a^2 (a^2-b^2-3 c^2) (a^2-3 b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (3 a^2-b^2+c^2) (a^2-b^2+3 c^2) z : ... : ...

Las rectas B_cC_b, B_cC_b, B_cC_b forman un triángulo, UVW, perspectivo con ABC, con centro de perspecividad X₃₃₅₈₁.
En consecuencia, los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b están sobre una misma cónica:
𝔖_{_{abc xyz}} 4 b^4 c^4 (a^2+b^2-c^2)^2 (a^2-b^2+c^2)^2 (-a^2+b^2+c^2)^2 x^2+
a^4 ((a^2-b^2)^4-4 (a^2-b^2)^3 c^2+2 (3 a^4-6 a^2 b^2+11 b^4) c^4+4 (-a^2+b^2) c^6+c^8) (a^4-(b^2-c^2)^2)^2 y z = 0.
Martes, 24 de enero del 2023
Elipses envolventes de los lados de triángulos inscritos en la circunferencia inscrita

El 24 de enero de1984 sale a la venta la primera computadora Apple Macintosh. Llegando dos elementos claves para el futuro: el GUI (Graphical User Interface) y el ratón.

Triangles Inscribed In The Incircle (Euclid #5633, Abdilkadir Altintaş)

Dado un triángulo ABC con incentro I=X₁ y , sea el de I respecto a . A₂ es la intersección de la A-mediana con B₁C₁, etc.
Para un punto Q, sobre la circunferencia inscrita Γ, sea Q_a el inverso de Q respecto a la circunferencia de diámetro AA₂ y se definen cíclicamente los puntos Q_b y Q_c.
El triángulo está inscrito en la circunferencia inscrita (Abdilkadir Altintaş).
Cuando Q varía sobre Γ, la recta Q_bQ_c envuelve una elipse, ℰ_a, bitangente a Γ. Sus puntos de tangencia están sobre la recta que pasa por los puntos medios, O_b y O_c, de BB₂ y CC₂.
Si las coordenadas baricéntricas de Q se expresan por ((a (t-1)+(b-c) (1+t))^2 : (b+c-a) (a-b+c) : (b+c-a) (a+b-c) t^2), entoces la ecuación de Q_bQ_c es:
((a-b-c) (a-b+c)^2 (6 a^2+8 a b+2 b^2+3 a c+3 b c-c^2)-(a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (13 a^2+12 a b+3 b^2+12 a c+12 b c+3 c^2) t+(a-b-c) (a+b-c)^2 (6 a^2+3 a b-b^2+8 a c+3 b c+2 c^2) t^2)x+
((a-b+c)^3 (2 a^2-2 b^2+3 a c+3 b c+3 c^2)-(a+b-c) (a-b+c)^2 (a^2-4 a b-b^2+6 a c+6 b c+5 c^2) t-(a+b-c)^2 (a-b+c) (2 a^2+a b+b^2-4 a c-b c-2 c^2) t^2)y+
(-(a+b-c) (a-b+c)^2 (2 a^2-4 a b-2 b^2+a c-b c+c^2)-(a+b-c)^2 (a-b+c) (a^2+6 a b+5 b^2-4 a c+6 b c-c^2) t+(a+b-c)^3 (2 a^2+3 a b+3 b^2+3 b c-2 c^2) t^2)z=0.
La ecuación de ℰ_a es:
(a-b-c)^2 (25 a^4+48 a^3 b+102 a^2 b^2+80 a b^3+17 b^4+48 a^3 c+164 a^2 b c+176 a b^2 c+60 b^3 c+102 a^2 c^2+176 a b c^2+106 b^2 c^2+80 a c^3+60 b c^3+17 c^4) x^2+2 (a-b-c) (a-b+c) (13 a^4-8 a^3 b+6 a^2 b^2+8 a b^3-3 b^4-14 a^3 c-10 a^2 b c+30 a b^2 c+26 b^3 c-4 a^2 c^2+44 a b c^2+64 b^2 c^2+14 a c^3+38 b c^3+7 c^4) x y+(a-b+c)^2 (17 a^4+6 a^2 b^2-7 b^4+4 a^3 c-8 a^2 b c-4 a b^2 c+8 b^3 c+6 a^2 c^2-16 a b c^2+42 b^2 c^2-12 a c^3+24 b c^3+c^4) y^2+2 (a-b-c) (a+b-c) (13 a^4-14 a^3 b-4 a^2 b^2+14 a b^3+7 b^4-8 a^3 c-10 a^2 b c+44 a b^2 c+38 b^3 c+6 a^2 c^2+30 a b c^2+64 b^2 c^2+8 a c^3+26 b c^3-3 c^4) x z-2 (a+b-c) (a-b+c) (15 a^4-2 a^3 b+12 a^2 b^2+2 a b^3-11 b^4-2 a^3 c+4 a^2 b c+14 a b^2 c-16 b^3 c+12 a^2 c^2+14 a b c^2-6 b^2 c^2+2 a c^3-16 b c^3-11 c^4) y z+(a+b-c)^2 (17 a^4+4 a^3 b+6 a^2 b^2-12 a b^3+b^4-8 a^2 b c-16 a b^2 c+24 b^3 c+6 a^2 c^2-4 a b c^2+42 b^2 c^2+8 b c^3-7 c^4) z^2=0.
El polo de BC respecto a Γ es:
A_a = (2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+2 (b+c))^2:
-(a+b-c) (13 a^4+5 b^4+36 b^3 c+62 b^2 c^2+28 b c^3+c^4-2 a^3 (5 b+6 c)+2 a^2 (b^2-6 b c+c^2)+6 a (b^3+6 b^2 c+7 b c^2+2 c^3)):
-(a-b+c) (13 a^4+b^4+28 b^3 c+62 b^2 c^2+36 b c^3+5 c^4-2 a^3 (6 b+5 c)+2 a^2 (b^2-6 b c+c^2)+6 a (2 b^3+7 b^2 c+6 b c^2+c^3))).
Los puntos B_b y C_c, se definen cíclicamente.
Los triángulos y son perspectivos, con centro de perspectividad X₅₅₈₆.
( Mostrar/Ocultar figura )
Sea A_o es el punto de intersección de las tangentes comunes de Γ y ℰ_a, y B_o, C_o definidos cíclicamente. es el de respecto a Γ.
Entonces, también y son perspectivos en X₅₅₈₆.
Los triéngulos y son perspectivos, con centro de perspectividad Z = 8 (r R - s^2) X(1) + r (r+12 R) X(5586), R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC y s su semiperímetro.

Z = ( 5 a^4+17 a^3 (b+c)+a^2 (25 b^2+22 b c+25 c^2)+a (15 b^3+17 b^2 c+17 b c^2+15 c^3) +2 (b^2-c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.81088299248862, 1.79916642684445, 1.55929557448194).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,376}, {3672,51785}, {4256,51103}, {11512,38314}, {25055,39711}.

La terna de , , tiene los correspodientes centros de perspectividad (X(1), X(5586), Z) alineados, entonces por (Theorem 19) los tres ejes de perspectividad coinciden, con la de X₂₇₈₁₈:
(a-b-c) (3 a-b-c) x+(a-3 b+c) (a-b+c) y+(a+b-3 c) (a+b-c) z=0.

El punto de intersección la recta que contiene a los tres centros de perspectividad con el eje de perspectividad común es:
W = (r^2+16 r R-4 s^2) X(1) + 3 r (r+12 R) X(5586).
W = ( 2 a^3+3 a^2 (b+c)-2 a (5 b^2-6 b c+5 c^2)-3 (b-c)^2 (b+c) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (5.62902739125691, 5.24629086879998, -2.58939568476495).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,376}, {527,7292}, {752,34718}, {982,3982}, {1266,38473}, {3621,6555}, {3626,42055}, {3667,3676}, {3677,4114}, {3911,17719}, {4003,43180}, {4031,4310}, {4668,12618}, {5219,50300}.

El centro de la [(a-b-c)^2 (a^2-6 a b-3 b^2-6 a c-2 b c-3 c^2) x^2-2 (a+b-c) (a-b+c) (a^2-4 a b-5 b^2-4 a c-14 b c-5 c^2) y z + ... =0] de y es X₃₆₇₂.

Los triángulos ABC y son ortológicos, con centro de perspectividad el baricentro, centro de ortología de respecto a ABC X₉₄₆, punto medio del incentro y el ortocentro, y centro de ortología de ABC respecto a T=rR X₄₀- s^2 X₉₄₆.

T = ( (b+c) (a^6+4 a^5 (b+c)+a^4 (5 b^2+6 b c+5 c^2) -a^2 (b-c)^2 (5 b^2+14 b c+5 c^2)-4 a (b-c)^2 (b+c)^3-(b-c)^2 (b+c)^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-2.94069643343172, -3.27589360843290, 7.26583533394487).
T=3s^2 X₂-(2r R+s^2) X₄₀ = 3rR X₂-(2 r R + s^2) X₉₆₄.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,40}, {4,2331}, {10,21068}, {65,8808}, {76,322}, {226,227}, {321,21075}, {516,37062}, {1029,31673}, {1519,45098}, {2052,47372}, {3672,21620}, {4052,21077}, {4444,28478}, {5485,17133}, {5587,43533}, {5706,13478}, {5711,12053}, {12610,17758}, {13583,18406}, {14534,37422}, {21628,43672}, {31730,37402}, {39579,40149}.
Domingo, 22 de enero del 2023
Un triángulo perspectivo al triángulo Atik

El 22 de enero de 1788 nació George Gordon Byron, «Lord Byron», poeta británico y gran exponente del Romanticismo que se involucró en la guerra de independencia de Grecia del imperio otomano. Byron encarnó para sus coetáneos el ideal del héroe romántico, tanto en su obra como en su vida, y como tal fue considerado y admirado por no pocos escritores.

Dado un triángulo ABC con DEF, sean A_b y A_c los puntos de intersección de la altura por A con las bisectrices interiores en B y C.
Las circunferencias (BFA_b) y (CEA_c) se cortan en un punto sobre BC y en otro punto A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
En coordenenadas baricéntricas:
A_b = (a (a^2 - b^2 + c^2) : c (a^2 + b^2 - c^2) : c (a^2 - b^2 + c^2)), A_c = (a (a^2+b^2-c^2) : b (a^2+b^2-c^2) : b (a^2-b^2+c^2)).
A' = (a^3-3 a (b-c)^2+2 (b-c)^2 (b+c) : b (a^2-2 a b+b^2+2 a c+2 b c-3 c^2) : c (a^2-3 b^2+2 a (b-c)+2 b c+c^2)).

El , ABC y A'B'C' son una terna de , con centro de perspectividad común X₃₀₆₂.
Los tres ejes de perspectividad, correspondients a cada par de estos tres triángulos, concurren (Theorem 17) en:
Z = ( (b-c) (-a+b+c)^2 (-2 a^5+8 a^3 (b-c)^2+a^4 (b+c)-10 a^2 (b-c)^2 (b+c)+(b-c)^4 (b+c)+2 a (b-c)^2 (b^2+6 b c+c^2)) (-9 a^6+a^2 (b-c)^4+14 a^5 (b+c)+(b-c)^4 (3 b^2+10 b c+3 c^2)+a^4 (5 b^2-58 b c+5 c^2)-2 a (b-c)^2 (b^3-9 b^2 c-9 b c^2+c^3)-4 a^3 (3 b^3-7 b^2 c-7 b c^2+3 c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-12.1613797032153, 13.7912948075130, -0.294210521809865).
Esta sobre la recta X₃₂₃₉X₃₉₀₀, eje de perspectividad de ABC y el triángulo Atik.
Viernes, 20 de enero del 2023
X(43448) como centro de homotecia

El 20 de enero de 1971 falleció, a los 87 años de edad, Jan Arnoldus Schouten, matemático holandés y profesor en la Universidad Tecnológica de Delft . Fue un importante contribuyente al desarrollo del cálculo tensorial y el cálculo de Ricci. Estuvo estimulado por la teoría de la relatividad general de Albert Einstein.

Dado un triángulo ABC, de baricentro G=X(2) y ortocentro H=X(4), sean A_b y A_c los puntos donde las alturas BH y CH vuelven a corta, respectivamente, a la circunferencia (GBC).
A_b = ((a^2+b^2-c^2) (4 a^4+b^4-3 b^2 c^2+2 c^4-a^2 (b^2+6 c^2) :
b^2 (a^2+b^2-c^2) (-5 a^2+b^2+c^2) :
-(a^2-b^2-c^2) (4 a^4+b^4-3 b^2 c^2+2 c^4-a^2 (b^2+6 c^2))),

A_c = ((a^2-b^2+c^2) (4 a^4+2 b^4-3 b^2 c^2+c^4-a^2 (6 b^2+c^2)):
-(a^2-b^2-c^2) (4 a^4+2 b^4-3 b^2 c^2+c^4-a^2 (6 b^2+c^2)):
c^2 (a^2-b^2+c^2) (-5 a^2+b^2+c^2)).
Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente.
El triángulo A'B'C', formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b, es homotético al DEF, y el centro de homotecia es X₄₃₄₄₈.
a^4 - 2a^2b^2 - 3b^4 - 2a^2c^2 + 6b^2c^2 - 3c^4 : ... : ...
( Mostrar/Ocultar figura )
El centro de la circunferencia circunscrita a A'B'C', que pasa por el baricentro, es el punto medio, W, de X₈₇₁₉ y X₉₇₆₆.
W = ((b^2+c^2-a^2) (a^6-7 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (3 b^4-2 b^2 c^2+3 c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en 9.46043181410876, 16.8952312946362, -12.4223872516601).
Es el punto medio de X₈₇₁₉ y X₉₇₆₆.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2782}, {3,69}, {4,7777}, {5,5024}, {20,7900}, {30,7710}, {39,14561}, {99,9744}, {114,2549}, {193,2080}, {376,7840}, {511,34511}, {542,7618}, {549,42850}, {574,1352}, {631,7891}, {1007,15980}, {1353,1384}, {1513,31859}, {1992,37461}, {2482,11179}, {3090,7864}, {3398,32973}, {3522,12252}, {3523,10104}, {3546,28441}, {3548,28417}, {5013,10516}, {5050,8369}, {5067,7923}, {5171,7758}, {5286,32448}, {5654,14961}, {5921,52090}, {6248,31401}, {6459,49355}, {6460,49356}, {6515,41275}, {7615,51520}, {7694,23698}, {7735,37459}, {7736,35930}, {7757,9753}, {7763,11257}, {7774,11676}, {7782,36998}, {7795,13334}, {7801,21163}, {7813,8722}, {7836,32522}, {7844,20399}, {7863,37479}, {8290,35925}, {8550,32459}, {8719,9766}, {8721,9737}, {9742,33272}, {9752,32519}, {9754,14568}, {9755,35297}, {10131,32964}, {10201,37808}, {10359,14037}, {10796,37665}, {11180,48657}, {11185,23235}, {11245,35302}, {11648,36519}, {13108,32828}, {13188,32815}, {13449,43619}, {14693,37689}, {14853,32447}, {14912,32985}, {15048,37071}, {18860,46264}, {22712,32833}, {30227,44231}, {31412,37342}, {32830,49111}, {33237,38110}, {33364,48772}, {33365,48773}, {35287,38225}, {35298,37644}, {37242,51872}, {37343,42561}, {37645,47526}, {39656,41624}, {40248,52229}, {40254,51427}, {40330,40925}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Triangles that are similar to the pedal triangle of one of their defining points (Euclid #5627, Elias M Hagos)

Una situación más general:

En vez del baricentro, tomamos un punto arbitrario P y sustituimos el ortocentro por un punto U, que se mueve sobre la cúbica de MacCay (K003 del catálogo de Bernard Gibert), cuyo es DEF.
Sean A_b y A_c los puntos donde BU y CU vuelven a corta, respectivamente, a la circunferencia (PBC). Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente. A'B'C' es el triángulo formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b.
Los triángulos DEF y A'B'C' son homotéticos.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si se designa por Z el centro de homotecia de los triángulos DEF y A'B'C', tenemos algunos casos de ternas {P=X_i, U=X_j (sobre K003), Z==X_k,}, para los índices {i,,j,k}:
{1, 4, 1837}, {2, 4, 43448}, {3, 1, 7335}, {4, 1, 56}, {4, 3, 26917}.
La expresión de la primera coordenada baricéntrica del centro de semejanza de los triángulos DEF y A'B'C' , en el caso general, si P(p:q:r) y U(u:v:w), es:
((a^2-c^2) v+b^2 (2 u+v)) ((-a^2+b^2) w-c^2 (2 u+w)) (-c^4 p q r u^2 v (u+w)+r w^2 (b^4 p q u^2-a^4 p q v (u+w)-a^2 b^2 (q r u^2+p u (q u-q v-r v)+p^2 v w))+c^2 (-a^2 q v (u+w) (r^2 u^2+p^2 w^2)+b^2 p u^2 (-r^2 u v-p q w^2+r w (p v+q v-q w)))) (b^4 p q r u^2 (u+v) w+q v^2 (-c^4 p r u^2+a^4 p r (u+v) w+a^2 c^2 (q r u^2+p^2 v w+p u (r u-q w-r w)))+b^2 (a^2 r (u+v) (q^2 u^2+p^2 v^2) w+c^2 p u^2 (p v (r v-q w)+q (r v (v-w)+q u w))))+(b^6 p q (p+q) u^2 (u+v) w^2+b^4 (-a^2 (u+v) (q^2 r u^2+p q u (q (u-2 v)-2 r v)+p^2 (q u (u-2 v)+r v^2)) w^2+c^2 p u^2 (q^2 v (u+v-2 w) w-q r u v (2 u+2 v+w)+p r v^2 (2 u+2 v+w)+p q w (v (v-w)+u (v+w))))-q v^2 (a^6 p (p+q) (u+v) w^2+c^6 p u^2 (-q (2 u+w)+p (2 v+w))+a^4 c^2 (p u (p (u+v-2 w) w-r v (2 u+2 v+w))+q (r u^2 (2 u+2 v+w)+p w (u^2+u v-u w+v w)))+a^2 c^4 (-q r u^2 (2 u+w)+p u (r v (2 u+w)+q (2 u^2+2 u v+v w))-p^2 (v w^2+2 u^2 (v+w)+u (2 v^2+v w-w^2))))+b^2 (a^4 (u+v) (p^2 r v^2+p q v (-2 r u+p (-2 u+v))+q^2 (r u^2+p v (-2 u+v))) w^2+c^4 p u^2 (-p r v^2 (2 v+w)+q v (2 p v^2+p u (2 v+w)+r u (2 v+w))-q^2 (2 u^2 v+v (2 v-w) w+u (2 v^2+v w+w^2)))+a^2 c^2 (-p q v w (r u (u-v) (u+v-2 w)+p (u^3-u v (v-3 w)-2 u^2 w+v^2 w))+p^2 r v^2 (v w^2+u^2 (2 v+w)+u (2 v^2+2 v w-w^2))-q^2 u (-p w (v^2 (v-2 w)+3 u v w+u^2 (-v+w))+r u (2 u^2 v+v (v-w) w+u (2 v^2+2 v w+w^2)))))) (a^6 p r (p+r) v^2 w^2 (u+w)+a^4 (-c^2 v^2 (u+w) (-p r (p+r) (2 u-w) w+q (r u-p w)^2)+b^2 r w^2 (q u (2 u+v+2 w) (r u-p w)+p v (p u (u-2 v+w)+r (u^2-u v+u w+v w))))-p u^2 (c^6 r (p+r) v^2 (u+w)+b^6 r w^2 (r (2 u+v)-p (v+2 w))+b^4 c^2 (-p q w^2 (v+2 w)+r w (2 p w^2+p u (v+2 w)+q u (v+2 w))-r^2 (2 u^2 w-v (v-2 w) w+u (v^2+v w+2 w^2)))+b^2 c^4 (r w (r v (u-2 v+w)-q u (2 u+v+2 w))+p (q w^2 (2 u+v+2 w)+r v (w (-v+w)+u (v+w)))))+a^2 (c^4 v^2 (u+w) (q r^2 u^2+p r u (r (u-2 w)-2 q w)+p^2 (r u (u-2 w)+q w^2))+b^4 r w^2 (-q r u^2 (2 u+v)+p u (q (2 u+v) w+r (2 u^2+2 u w+v w))-p^2 (v^2 w+2 u^2 (v+w)+u (-v^2+v w+2 w^2)))+b^2 c^2 (q r^2 u^2 (2 u^2 w+v w (-v+w)+u (v^2+2 v w+2 w^2))-p r u v (-q (u-w) w (u-2 v+w)+r (u^2 (v-w)+3 u v w+w^2 (-2 v+w)))+p^2 w (r v (u^3-2 u^2 v+u (3 v-w) w+v w^2)-q w (v^2 w+u^2 (v+2 w)+u (-v^2+2 v w+2 w^2)))))).
Miércoles, 18 de enero del 2023
Conjugado isogonal de X(7173)

El 18 de Enero de 1867 nació Ruben Darío, poeta nicaragüense que jugó un papel decisivo en el movimiento literario hispanoamericano conocido como Modernismo, por su obra "Azul...". Considerado uno de los poetas en lengua española más importantes de finales del siglo XIX y principios del XX.

Sea ABC un triángulo con DEF. La paralela por D a la bisectriz interior por A corta a AC y AB en D_b y D_c, respectivamente.
La circunferencia Γ_ab, de diámetro ED_b, y la circunferencia Γ_ac, de diámetro FD_c, vuelven a cortar a la circunferencia inscrita, γ, en los puntos P_ab y P_ac, respectivamente.
P_ab=((a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)^2:4 b^2 (a+b-c) (-a+b+c):-(a-b-c) (a-b+c)^3),
P_ac=((-a+b-c) (a+b-c)^3:-(a+b-c) (-a+b+c) (a+b+c)^2:-4 c^2 (a-b+c) (-a+b+c)).
Se definen cíclicamente los puntos P_bc, P_ba y P_ca, P_cb.
( Mostrar/Ocultar figura )
Se consideran los puntos A₁=P_abP_cb ∩ P_acP_bc, B₁=P_bcP_ac ∩ P_baP_ca, C₁=P_caP_ba ∩ P_cbP_ab.
A₁ = (a^6+2 a^5 (b+c)+4 a^3 b c (b+c)-(b-c)^4 (b+c)^2-a^2 (b^2-c^2)^2+a^4 (b^2+6 b c+c^2)-2 a (b^5-b^4 c-b c^4+c^5):
2 b^2 (-a^4+b^4-2 a^3 (b-c)+4 a^2 (b-c) c+2 b^2 c^2-3 c^4+2 a (b^3+b^2 c-b c^2+3 c^3)):
2 c^2 (-a^4-3 b^4+2 a^3 (b-c)-4 a^2 b (b-c)+2 b^2 c^2+c^4+2 a (3 b^3-b^2 c+b c^2+c^3))).

Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ concurren en el , Z, de X₇₁₇₂.

Z = ( a^2/((b + c-a) (3 a^2 + b^2 + 2 b c + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.226011977654606, 0.531652016310703, 3.16828448092869).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1350}, {7,1220}, {34,1122}, {57,2297}, {69,1222}, {86,3598}, {1469,2334}, {2097,7129}.
Si R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC y s su semiperímetro:
Z = 2R(2r^2+4r R-s^2) X₁ - r(4r R-s^2) X₁₃₅₀.

Sea el hexágono P_a P'_b P_c P'_a P_b P'_c circunscrito a γ, cuyos vértices son los polos, respecto a γ, de las rectas P_abP_ac, P_acP_ca, P_caP_bc, P_bcP_ba, P_baP_ab, respectivamente.
Las rectas AP_a, BP_b, CP_c concurren en X₂₆₉.
Las rectas AP'_a, BP'_b, CP'_c concurren en X₅₇.
El de P_a P'_b P_c P'_a P_b P'_c es

W = (a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^4 (b + c) + a^3 (6 b^2 + 8 b c + 6 c^2) + 4 a^2 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) + 2 a (b^4 + 6 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 6 b c^3 + c^4)+ (b - c)^2 (b + c)^3 ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (0.271168450005640, 0.567383057640635, 3.12270615738441).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1350}, {1427,7023}.
Los puntos A₁, B₁, C₁ están sobre las rectas P_aP'_a, P_bP'_b. P_cP'_c. respectivamente.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Uno de los puntos de intersección de las circunferencias Γ_ab y Γ_ac está sobre Γ, circunferencia circunscrita a ABC:
D' = (a^2 (a+b-c) (a-b+c):b(b-c) (a+b-c) (-a+b+c):c(a-b-c) (b-c)(a-b+c)).

Las circunferencias Γ_ab y Γ_ac vuelven a cortar a Γ, en los puntos A_b y A_c, respectivamente.
A_b=((a+b-c) (b+c) (a^3-b^2 c+c^3-a^2 (b+c)-a c (b+c)):b^2 (a+b-c) (b+c) (-a+b+c):-(a-b-c) c (a^3-b^2 c+c^3-a^2 (b+c)-a c (b+c))),
A_c=((a-b+c) (b+c) (a^3+b^3-b c^2-a^2 (b+c)-a b (b+c)):b (-a+b+c) (a^3+b^3-b c^2-a^2 (b+c)-a b (b+c)):-(a-b-c) c^2 (a-b+c) (b+c)).
Se definen cíclicamente los puntos B_c, B_a y C_a, C_b.
( Mostrar/Ocultar figura )
Se consideran los puntos A₂=A_bC_b ∩ A_cB_c, B₂=B_cA_c ∩ B_aC_a, C₂=C_aB_a ∩ C_bA_b.
A₂ = (a^10-2 a^9 (b+c)-b (b-c)^4 c (b+c)^2 (b^2+b c+c^2)-a^8 (2 b^2+b c+2 c^2)+a^6 b c (4 b^2+13 b c+4 c^2)+6 a^7 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3)+a b^2 (b-c)^2 c^2 (b^3+7 b^2 c+7 b c^2+c^3)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4-4 b^3 c-3 b^2 c^2-4 b c^3+c^4)-3 a^5 (2 b^5+2 b^4 c+3 b^3 c^2+3 b^2 c^3+2 b c^4+2 c^5)+a^4 (2 b^6-6 b^5 c-17 b^4 c^2-14 b^3 c^3-17 b^2 c^4-6 b c^5+2 c^6)+2 a^3 (b^7+b^6 c+b^5 c^2-7 b^4 c^3-7 b^3 c^4+b^2 c^5+b c^6+c^7):
b^2 (-a^8+2 a^6 b^2+2 a^7 (b+c)-2 a^2 b^3 (b-2 c) (b+c)^2+(b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)-a^5 (6 b^3+6 b^2 c+3 b c^2+2 c^3)+a^4 (-4 b^2 c^2+2 c^4)+a^3 (6 b^5+6 b^4 c+4 b^3 c^2+6 b^2 c^3-2 c^5)+a (-2 b^7-2 b^6 c-b^5 c^2+2 b^3 c^4+b c^6+2 c^7)):
c^2 (-a^8+2 a^6 c^2+2 a^7 (b+c)+2 a^2 (2 b-c) c^3 (b+c)^2-(b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)+2 a^4 (b^4-2 b^2 c^2)-a^5 (2 b^3+3 b^2 c+6 b c^2+6 c^3)+a^3 (-2 b^5+6 b^3 c^2+4 b^2 c^3+6 b c^4+6 c^5)+a (2 b^7+b^6 c+2 b^4 c^3-b^2 c^5-2 b c^6-2 c^7))).

Las rectas AA₂, BB₂, CC₂ concurren en:

W = ( a^2/(a^7-a^6 (b+c)-a^5 (b^2+b c+c^2)+a^4 (b^3+c^3)-a^3 (b^4+b^3 c+b c^3+c^4)+a^2 (b+c)^3 (b^2-3 b c+c^2)+a (b-c)^2 (b+c)^4-(b-c)^4 (b+c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (1.04239292068923, 3.46873354492885, 0.758129141253992).
No existen rectas determinadas por centros del triángulo, listados Actualmente en ETC, que pasen por W.
Martes, 17 de enero del 2023
Punto y centro ortológico asociado coincidentes

El 17 de enero dee1944 nació Françoise Hardy, cantante francesa, una de las figuras más icónicas de los años sesenta en Francia. En abril de 1962, su primer disco Oh Oh Chéri lleva en la cara B la composición Tous les garcons et les filles, escrita por ella y que se convirtió en un enorme éxito europeo grabándose también en italiano (Quelli Della Mia Etá).

Sean un triángulo ABC y dos puntos P, U, la parábola

Si U=(u:v.w), en baricéntricas:
4 a^4 u^2 x^2-8 a^2 b^2 u^2 x^2+4 b^4 u^2 x^2-8 a^2 c^2 u^2 x^2-8 b^2 c^2 u^2 x^2+4 c^4 u^2 x^2+4 a^4 u v x^2-8 a^2 b^2 u v x^2+4 b^4 u v x^2-8 a^2 c^2 u v x^2-8 b^2 c^2 u v x^2+4 c^4 u v x^2+a^4 v^2 x^2-2 a^2 b^2 v^2 x^2+b^4 v^2 x^2+2 a^2 c^2 v^2 x^2-2 b^2 c^2 v^2 x^2+c^4 v^2 x^2+4 a^4 u w x^2-8 a^2 b^2 u w x^2+4 b^4 u w x^2-8 a^2 c^2 u w x^2-8 b^2 c^2 u w x^2+4 c^4 u w x^2-2 a^4 v w x^2+2 b^4 v w x^2-4 b^2 c^2 v w x^2+2 c^4 v w x^2+a^4 w^2 x^2+2 a^2 b^2 w^2 x^2+b^4 w^2 x^2-2 a^2 c^2 w^2 x^2-2 b^2 c^2 w^2 x^2+c^4 w^2 x^2+4 a^4 u^2 x y-8 a^2 b^2 u^2 x y+4 b^4 u^2 x y-8 a^2 c^2 u^2 x y-8 b^2 c^2 u^2 x y+4 c^4 u^2 x y+2 a^4 u v x y-4 a^2 b^2 u v x y+2 b^4 u v x y-12 a^2 c^2 u v x y-4 b^2 c^2 u v x y+2 c^4 u v x y+6 a^4 u w x y-8 a^2 b^2 u w x y+2 b^4 u w x y-8 a^2 c^2 u w x y-4 b^2 c^2 u w x y+2 c^4 u w x y-4 a^4 v w x y+4 a^2 b^2 v w x y-4 a^2 c^2 v w x y+4 a^4 w^2 x y+4 a^2 b^2 w^2 x y-4 a^2 c^2 w^2 x y+a^4 u^2 y^2-2 a^2 b^2 u^2 y^2+b^4 u^2 y^2+2 a^2 c^2 u^2 y^2-2 b^2 c^2 u^2 y^2+c^4 u^2 y^2+4 a^4 u w y^2-4 a^2 b^2 u w y^2+4 a^2 c^2 u w y^2+4 a^4 w^2 y^2+4 a^4 u^2 x z-8 a^2 b^2 u^2 x z+4 b^4 u^2 x z-8 a^2 c^2 u^2 x z-8 b^2 c^2 u^2 x z+4 c^4 u^2 x z+6 a^4 u v x z-8 a^2 b^2 u v x z+2 b^4 u v x z-8 a^2 c^2 u v x z-4 b^2 c^2 u v x z+2 c^4 u v x z+4 a^4 v^2 x z-4 a^2 b^2 v^2 x z+4 a^2 c^2 v^2 x z+2 a^4 u w x z-12 a^2 b^2 u w x z+2 b^4 u w x z-4 a^2 c^2 u w x z-4 b^2 c^2 u w x z+2 c^4 u w x z-4 a^4 v w x z-4 a^2 b^2 v w x z+4 a^2 c^2 v w x z-2 a^4 u^2 y z+2 b^4 u^2 y z-4 b^2 c^2 u^2 y z+2 c^4 u^2 y z-4 a^4 u v y z+4 a^2 b^2 u v y z-4 a^2 c^2 u v y z-4 a^4 u w y z-4 a^2 b^2 u w y z+4 a^2 c^2 u w y z-8 a^4 v w y z+a^4 u^2 z^2+2 a^2 b^2 u^2 z^2+b^4 u^2 z^2-2 a^2 c^2 u^2 z^2-2 b^2 c^2 u^2 z^2+c^4 u^2 z^2+4 a^4 u v z^2+4 a^2 b^2 u v z^2-4 a^2 c^2 u v z^2+4 a^4 v^2 z^2 = 0

con foco U y directriz BC corta a la A-altura en U_a.
Si (u:v:w) y (p:q:r) son las coordenadas barcéntricas de U y P, respectivamente,
U_a = (2 (a (b^2-c^2) (q u+r u-p (v+w))+a^3 (r (u+2 v)+p (v-w)-q (u+2 w)))^2:
-(b^2-c^2)^3 ((q+r) u+p (2 u+v+w))^2-a^6 (r^2 (u+2 v)^2+q^2 (9 u^2+8 u v+12 u w+4 w^2)+2 q r (3 u^2-4 v w+2 u (v+w))+p^2 (4 u^2+(v-w)^2+4 u (v+w))+2 p (r (2 u^2+2 v (v-w)+u (3 v+w))+q (6 u^2+2 w (-v+w)+u (5 v+7 w))))+a^4 (c^2 (r^2 (3 u^2+8 u v+4 v^2)+p^2 (12 u^2-v^2-2 v w+3 w^2+12 u (v+w))+q^2 (15 u^2+4 w^2+16 u (v+w))+2 q r (7 u^2-4 v w+4 u (2 v+w))+2 p (r (6 u^2+7 u v+3 u w-4 v w)+q (14 u^2+4 w^2+15 u (v+w))))+b^2 (-r^2 (3 u^2+8 u v+4 v^2)+2 q r (9 u^2+8 u v+12 u w+4 v w)+p^2 (4 u^2+v^2+2 v w-3 w^2+4 u (v+w))+q^2 (17 u^2-4 w^2+16 u (v+w))+2 p (q (10 u^2-4 w^2+9 u (v+w))+r (2 u^2+4 v w+u (v+5 w)))))+a^2 (b^2-c^2) (b^2 (-(q+r) u (7 q u+3 r u+8 q v+4 r v+4 q w)+p^2 (4 u^2+v^2-2 v w-3 w^2+4 u (v+w))-2 p q (2 u^2+2 w (v+w)+u (3 v+w))+2 p r (2 u^2+2 v (v+w)+u (3 v+5 w)))+c^2 ((q+r) u (7 q u+3 r u+8 q v+4 r v+4 q w)+p^2 (12 u^2-v^2+2 v w+3 w^2+12 u (v+w))+2 p (r (6 u^2-2 v (v+w)+u (5 v+3 w))+q (10 u^2+2 w (v+w)+u (11 v+9 w))))):
(b^2-c^2)^3 ((q+r) u+p (2 u+v+w))^2-a^6 (q^2 (u+2 w)^2+r^2 (9 u^2+12 u v+4 v^2+8 u w)+2 q r (3 u^2-4 v w+2 u (v+w))+p^2 (4 u^2+(v-w)^2+4 u (v+w))+2 p (q (2 u^2+2 w (-v+w)+u (v+3 w))+r (6 u^2+2 v (v-w)+u (7 v+5 w))))+a^4 (b^2 (q^2 (3 u^2+8 u w+4 w^2)+p^2 (12 u^2+3 v^2-2 v w-w^2+12 u (v+w))+r^2 (15 u^2+4 v^2+16 u (v+w))+2 q r (7 u^2-4 v w+4 u (v+2 w))+2 p (q (6 u^2+3 u v+7 u w-4 v w)+r (14 u^2+4 v^2+15 u (v+w))))+c^2 (2 q r (9 u^2+12 u v+8 u w+4 v w)-q^2 (3 u^2+8 u w+4 w^2)+p^2 (4 u^2-3 v^2+2 v w+w^2+4 u (v+w))+r^2 (17 u^2-4 v^2+16 u (v+w))+2 p (r (10 u^2-4 v^2+9 u (v+w))+q (2 u^2+4 v w+u (5 v+w)))))-a^2 (b^2-c^2) (c^2 (-(q+r) u (3 q u+7 r u+4 r v+4 q w+8 r w)+p^2 (4 u^2-3 v^2-2 v w+w^2+4 u (v+w))+2 p (-r (2 u^2+2 v (v+w)+u (v+3 w))+q (2 u^2+2 w (v+w)+u (5 v+3 w))))+b^2 ((q+r) u (3 q u+7 r u+4 r v+4 q w+8 r w)+p^2 (12 u^2+3 v^2+2 v w-w^2+12 u (v+w))+2 p (q (6 u^2-2 w (v+w)+u (3 v+5 w))+r (10 u^2+2 v (v+w)+u (9 v+11 w)))))).

Los puntos U_b y U_c se definen cíclicamente. El de ABC respecto a es:
(P, U) ↦ U_p=Φ(P,U) =
=(a^2 u)/((b^2-c^2)^2 ((q+r) u+p (2 u+v+w))^2+a^4 (p^2 (4 u^2+(v-w)^2+4 u (v+w))+(r (u+2 v)-q (u+2 w))^2+2 p (r (2 u^2+2 v (v-w)+u (3 v+w))+q (2 u^2+2 w (-v+w)+u (v+3 w))))-2 a^2 (c^2 (p^2 (4 u^2-v^2+w^2+4 u (v+w))-(q+r) u (-r (u+2 v)+q (u+2 w))+2 p (r (2 u^2-v (v+w)+u (2 v+w))+q (2 u^2+w (v+w)+u (3 v+2 w))))+b^2 (p^2 (4 u^2+v^2-w^2+4 u (v+w))+(q+r) u (-r (u+2 v)+q (u+2 w))+2 p (q (2 u^2-w (v+w)+u (v+2 w))+r (2 u^2+v (v+w)+u (2 v+3 w)))))): :
( Mostrar/Ocultar figura )
Φ(P,P)=P*, de P.

Si P'=((a+b+c) p-2 a (p+q+r):(a+b+c) q-2 b (p+q+r):(a+b+c) r-2 c (p+q+r)) es el simétrico de P, respecto al incentro, Φ(P,P')=P'.

Si es el de P', entonces Φ(P,P_i)=P_i (i=1,2,3).

La recta P'P₁ tiene dos puntos comunes, P₁₁ y P₁₂, con las parábolas de foco P y tangentes en sus vértices AB y AC. Cíclicamente, se definen los puntos P₂₁, P₂₂ y P₃₁, P₃₂. Entonces, Φ(P,P_ij)=P_ij (i=1,2,3, j=1,2).
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Lunes, 16 de enero del 2023
La estrofoide de Jerabek, lugar de centros ortológicos

A Aye por su cumple

Sean un triángulo ABC y un punto P, la parábola

Si P=(u:v.w), en baricéntricas:
a^4 u^2 x^2-2 a^2 b^2 u^2 x^2+b^4 u^2 x^2-2 a^2 c^2 u^2 x^2-2 b^2 c^2 u^2 x^2+c^4 u^2 x^2+2 a^4 u v x^2-4 a^2 b^2 u v x^2+2 b^4 u v x^2-4 a^2 c^2 u v x^2-4 b^2 c^2 u v x^2+2 c^4 u v x^2+a^4 v^2 x^2-2 a^2 b^2 v^2 x^2+b^4 v^2 x^2+2 a^2 c^2 v^2 x^2-2 b^2 c^2 v^2 x^2+c^4 v^2 x^2+2 a^4 u w x^2-4 a^2 b^2 u w x^2+2 b^4 u w x^2-4 a^2 c^2 u w x^2-4 b^2 c^2 u w x^2+2 c^4 u w x^2-2 a^4 v w x^2+2 b^4 v w x^2-4 b^2 c^2 v w x^2+2 c^4 v w x^2+a^4 w^2 x^2+2 a^2 b^2 w^2 x^2+b^4 w^2 x^2-2 a^2 c^2 w^2 x^2-2 b^2 c^2 w^2 x^2+c^4 w^2 x^2-8 a^2 c^2 u v x y+4 a^4 u w x y-4 a^2 b^2 u w x y-4 a^2 c^2 u w x y-4 a^4 v w x y+4 a^2 b^2 v w x y-4 a^2 c^2 v w x y+4 a^4 w^2 x y+4 a^2 b^2 w^2 x y-4 a^2 c^2 w^2 x y+4 a^2 c^2 u^2 y^2+4 a^4 u w y^2-4 a^2 b^2 u w y^2+4 a^2 c^2 u w y^2+4 a^4 w^2 y^2+4 a^4 u v x z-4 a^2 b^2 u v x z-4 a^2 c^2 u v x z+4 a^4 v^2 x z-4 a^2 b^2 v^2 x z+4 a^2 c^2 v^2 x z-8 a^2 b^2 u w x z-4 a^4 v w x z-4 a^2 b^2 v w x z+4 a^2 c^2 v w x z-4 a^4 u^2 y z+4 a^2 b^2 u^2 y z+4 a^2 c^2 u^2 y z-4 a^4 u v y z+4 a^2 b^2 u v y z-4 a^2 c^2 u v y z-4 a^4 u w y z-4 a^2 b^2 u w y z+4 a^2 c^2 u w y z-8 a^4 v w y z+4 a^2 b^2 u^2 z^2+4 a^4 u v z^2+4 a^2 b^2 u v z^2-4 a^2 c^2 u v z^2+4 a^4 v^2 z^2 = 0

con foco P y directriz BC corta a la A-altura en P_a.
Si (u:v:w) son las coordenadas barcéntricas de P,
P_a = (2 a^2 (a^4 (u^2-(v-w)^2)+(b^2-c^2)^2 (u^2-(v+w)^2)-2 a^2 (c^2 (u^2+v^2-w^2)+b^2 (u^2-v^2+w^2))):
(a^2+b^2-c^2) ((b^2-c^2)^2 (u+v+w)^2+a^4 (u^2+(v-w)^2+2 u (v+w))-2 a^2 (b^2 (u^2+v^2-w^2+2 u (v+w))+c^2 (u^2-v^2+w^2+2 u (v+w)))):
(a^2-b^2+c^2) ((b^2-c^2)^2 (u+v+w)^2+a^4 (u^2+(v-w)^2+2 u (v+w))-2 a^2 (b^2 (u^2+v^2-w^2+2 u (v+w))+c^2 (u^2-v^2+w^2+2 u (v+w))))).

Los puntos P_b y P_c se definen cíclicamente. El de ABC respecto a es:
P' = (a^2 u)/(a^4 (-3 u^2+(v-w)^2-2 u (v+w))+2 a^2 (c^2 (u^2+v^2-w^2)+b^2 (u^2-v^2+w^2))+(b^2-c^2)^2 (u+v+w)^2) : :

El lugar geométrico de P', cuando P recorre la , es la de Jerabek (K039, del catálogo de Bernard Gibert)
( Mostrar/Ocultar figura )
Pares {P=X_i, P'=X_j}, con P está en la circunferencia Euler y P' está sobre K039, para loss índices{i, j}: {11, 34442}, {113, 15469}, {114, 40083}, {115, 3455}, {116, 40076}, {120, 40084}, {122, 40082}, {124, 40081}, {125, 74}, {126, 40078}, {127, 18876}, {131, 40047}, {132, 40080}, {135, 15478}, {136, 5961}, {137, 34418}, {1312, 3}, {1313, 3}, {2679, 40077}, {3258, 186}, {5099, 187}, {5139, 6091}, {5520, 5172}, {16177, 11589}, {16221, 13754}, {25641, 39986}, {42426, 40079}, {46439, 1157}, {48317, 5866}.
Otros pares {P=X_i, P'=X_j}: {4,3}, {5095,895}, {20411,51243}, {20412,51242}.

Cuando P es el las tres parábolas en cuestión pasan por el incentro y se cortan en otros tres puntos alineados, sobre la recta de ecuación:
(b-c) (a^5-b^5+b^4 c+b c^4-c^5-a^4 (b+c)+a^3 (-2 b^2+b c-2 c^2)+2 a^2 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3)+a (b^4-3 b^3 c-3 b c^3+c^4))x + ... =0,
que pasa por los centros del triángulo X_i, para i∈{484, 516, 1737, 2957, 2958, 3583, 6840, 34529, 37718, 37787, 45043, 51768}.
Jueves, 12 de enero del 2023
Un centro ortológico

El 12 de enero de 1628 nació Charles Perrault, escritor y abogado francés autor de cuentos infantiles como: "Barba Azul", "La Bella durmiente", "Cenicienta", "El Gato con Botas", "Piel de Asno", "Caperucita Roja" y "Pulgarcito".

Sea ABC un triángulo, el problema de Apolonio LCC, en el caso particular de la recta BC y las circunferencias B-exinscrita Γ_b y C-exinscrita Γ_c, tiene cuatro soluciones. Consideremos las dos soluciones Γ₁ y Γ₂, cuyos puntos de tangencia con BC no coinciden con los de las dos circunferencias exinscritas consideradas.
Los centros de estas circunferencias son los puntos de intersección, A₁ y A₂, de las parábolas de focos I_b, I_c y tangentes en sus vértices la recta BC.
A₁ = (2 a^6 (b + c)^5 :
-(a^4 (b + c)^3 (2 a^4 - 2 a^3 Sqrt[(b - s) (c - s)] + 2 a Sqrt[(b - s) (c - s)] (b + c)^2 - (b - c) (b + c)^3 + a^2 (b^2 - 2 b c - 3 c^2))) :
-(a^4 (b + c)^3 (2 a^4 - 2 a^3 Sqrt[(b - s) (c - s)] + 2 a Sqrt[(b - s) (c - s)] (b + c)^2 + (b - c) (b + c)^3 + a^2 (-3 b^2 - 2 b c + c^2)))),
A₂ = (2 a^6 (b + c)^5:
a^4 (b + c)^3 (-2 a^4 - 2 a^3 Sqrt[(b - s) (c - s)] + 2 a Sqrt[(b - s) (c - s)] (b + c)^2 + (b - c) (b + c)^3 + a^2 (-b^2 + 2 b c + 3 c^2)):
-(a^4 (b + c)^3 (2 a^4 + 2 a^3 Sqrt[(b - s) (c - s)] - 2 a Sqrt[(b - s) (c - s)] (b + c)^2 + (b - c) (b + c)^3 + a^2 (-3 b^2 - 2 b c + c^2)))).
( Mostrar/Ocultar figura )
Sean A_b1 y A_c1 los puntos de tangencia de Γ₁ con Γ_b y Γ_c, respectivamente y sean A_b2 y A_c2 los puntos de tangencia de Γ₂con Γ_b y Γ_c, respectivamente.
Los cuatro puntos A_b1, A_c1, A_b2, A_c2 están en una circunferencia de centro O_a, situado sobre la altura por A, de coordenadas baricéntricas:
O_a=(2 a^2 (2 a^2-3 (b+c)^2):(b+c)^2 (a^2+b^2-c^2):-(b+c)^2 (-a^2+b^2-c^2)).
Procediendo cíclicamente, se definen O_b y O_c.
El de ABC respecto a es

U = ( a^2 (a^8-7 a^6 (b^2+c^2) -2 a^5 b c (b+c) +a^4 (15 b^4+19 b^2 c^2+15 c^4) +2 a^3 b c (2 b^3+5 b^2 c+5 b c^2+2 c^3) +a^2 (-13 b^6+13 b^4 c^2+4 b^3 c^3+13 b^2 c^4-13 c^6) -2 a b c(b-c)^2 (b^3+6 b^2 c+6 b c^2+c^3) +(b^2-c^2)^2 (4 b^4-17 b^2 c^2+4 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.0347580475793658, 0.0408162473353115, 3.59636490410023).
No existen rectas que contengan a U y que pasen por centros del triángulo que figuren en ETC.
El punto fijo finito de la transformación afín σ, que aplica ABC en es X(60).
x:y:z ↦ σ(x:y:z)=2 a^2 b^2 c^2 (2 a^4+3 (b^2-c^2)^2-a^2 (5 b^2+2 b c+5 c^2)) x-a^2 c^2 (a+c)^2 (a^4-2 a^3 c-(b^2-c^2)^2+a (-2 b^2 c+2 c^3)) y-a^2 b^2 (a+b)^2 (a^4-2 a^3 b-(b^2-c^2)^2+2 a (b^3-b c^2)) z : :
Lunes, 9 de enero del 2023
Una propiedad de la cúbica nK₀(X32,X6)

Si tu experimento necesita estadística, deberías haber hecho uno mejor. Ernest Rutherford (Premio Nobel de Química de 1908)

Construction of line knowing newton line direction (AoPS. RH HAS)

Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre los lados ni sobre la circunferencia circunscrita), sea DEF el de P.
Sea d_ab la recta paralela a la dirección del D* de D, tal que la , ℓ_ab, del formado por d_ab, BC, CA, AB tiene la dirección del conjugado isogonal E* de E.
Similarmente, sea d_ac la recta paralela a la dirección de D*, tal que la recta de Newton, ℓ_ac, del cuadrilátero formado por d_ac, BC, CA, AB tiene la dirección del conjugado isogonal F* de F.
Se definen los puntos A_b=d_ab∩ℓ_ab y A_c=d_ac∩ℓ_ac. Cíclicamente, se definen los puntos B_c, B_a y C_a, C_b.
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El triángulo ABC y el triángulo A'B'C', formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b, son perspectivos.
Las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son concurrentes (en el baricentro) si y solo si P está sobre la no pivotal nK₀(X32,X6).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
d_ab: a^2 b^2 v w^2 x+v (c^2 u+a^2 w) (c^2 v+b^2 w) y-b^2 u w (c^2 v+b^2 w) z=0,
d_ac: a^2 c^2 v^2 w x-c^2 u v (c^2 v+b^2 w) y+(b^2 u+a^2 v) w (c^2 v+b^2 w) z=0.

Parábola 𝒫_a, inscrita en el triángulo medial y con punto en el infinito D*:
-b^2 c^2 v w x^2+c^2 v (c^2 v+b^2 w) y^2+b^2 w (c^2 v+b^2 w) z^2=0.

A_b = ((c^2 v+b^2 w) (c^4 u^2 v+c^2 u (b^2 u+2 a^2 v) w+a^4 v w^2):b^2 w (c^4 u^2 v+b^2 c^2 u^2 w-a^4 v w^2):
c^2 v (c^4 u^2 v+c^2 u (b^2 u+2 a^2 v) w+a^2 (2 b^2 u+a^2 v) w^2)),
A_c = ((c^2 v+b^2 w) (b^4 u^2 w+a^4 v^2 w+b^2 u v (c^2 u+2 a^2 w)):b^2 w (b^4 u^2 w+a^2 v^2 (2 c^2 u+a^2 w)+b^2 u v (c^2 u+2 a^2 w)):
c^2 v (b^2 c^2 u^2 v+b^4 u^2 w-a^4 v^2 w)).

A' = (a^2 (c^6 u v^3+c^4 v^2 (-b^2 u+a^2 v) w+b^2 c^2 v (-b^2 u+a^2 v) w^2+b^4 (b^2 u+a^2 v) w^3):
-b^2 (c^6 u^2 v^2+3 c^4 u v (b^2 u+a^2 v) w+2 c^2 (b^4 u^2+a^2 b^2 u v+a^4 v^2) w^2+a^2 b^2 (b^2 u+a^2 v) w^3):
-c^2 (b^6 u^2 w^2+a^2 c^2 v^3 (c^2 u+a^2 w)+3 b^4 u v w (c^2 u+a^2 w)+2 b^2 v^2 (c^4 u^2+a^2 c^2 u w+a^4 w^2)).
nK₀(X32,X6), X₆ es el y X₃₂ es el del simediano:
a^2 x (c^4 y^2+b^4 z^2)+b^2 y (c^4 x^2+a^4 z^2)+c^2 z(b^4 x^2+a^4 y^2) = 0.

El centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es:
Q = a^2/(b^4 u^2 w (c^2 u+2 a^2 w)+a^2 v^2 (2 c^4 u^2+3 a^2 c^2 u w+a^4 w^2)+b^2 u v (c^4 u^2+2 a^2 c^2 u w+3 a^4 w^2)) : ... : ...
• Si P es el simediano, Q es el baricentro.
• Si P es el circuncentro, Q es el conjugado isogonal de X₃₇₄₇₅:
W = ( 1/(a^8-6 a^4 (b^2-c^2)^2-(b^2-c^2)^2 (3 b^4+2 b^2 c^2+3 c^4)+8 a^2 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-2.64298225182020, -2.92819464433429, 6.88771412113283).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,16657}, {20,34289}, {275,6623}, {378,459}, {2986,3091}, {3424,18396}, {10982,31363}.
( Mostrar/Ocultar figura )
• Si P es el incentro, Q es:
Q₁ = ( a/(a^3 + 3 a^2 (b + c) + b c (b + c) + 2 a (b^2 + b c + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (2.20271384366679, 1.76815731285784, 1.39991841439043).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {81,30116}, {985,5251}, {995,1255}, {3616,39698}, {25430,49997}.
• Si P es el baricentro, Q es:
Q₂ = ( a^2/(a^6 + 3 a^4 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (1.74471854891119, 1.78922506406983, 1.59671549190010).
Está en la recta X₂X₉₀₄₅.
Domingo, 1 de enero del 2023
Cónica circunscrita de perspector el incentro y triángulos perspectivos

El 1 de enero de 1972, se adoptó la hora universal coordinada (UTC) en todo el mundo. UTC se determina a partir de una media ponderada de las señales de los relojes atómicos, localizados en cerca de 70 laboratorios nacionales de todo el mundo que son coordinados por la Oficina Internacional de Pesas y Medidas ubicada en Francia (https://dayspedia.com/time/zones/utc-about/?lang=es)

Sean ABC un triángulo, P un punto en su plano con DEF su , A'B'C' y A"B"C" el primer y segundo .
Para un punto variable M, sobre la circunferencia circunscrita Γ, sea M' es el punto donde la recta MD vuelve a cortar a Γ, la circunferencia que pasa por M' y es tangente a BC en D, vuelve a cortar a Γ en M".
Sean M₁ y M₂ los puntos de intersección de la mediatriz de MD con las rectas A'M'' y A"M", respectivamente.
El lugar geométrico de M₁ y M₂, cuando M recorre Γ, son sendas rectas recta, ℓ'_a y ℓ"_a.
La recta ℓ'_a pasa por los puntos A'_b, intersección de BA' con la mediatriz de BD y por A'_c, intersección de CA' y la mediatriz de CD.
La recta ℓ"_a pasa por los puntos A"_b, intersección de BA" con la mediatriz de BD y por A"_c, intersección de CA" y la mediatriz de CD.

Procediendo cíclicamente, se definen las rectas ℓ'_b, ℓ'_c y ℓ"_b, ℓ"_c. Sean el triángulo formado por las rectas ℓ'_a, ℓ'_b, ℓ'_c y el triángulo formado por las rectas ℓ"_a, ℓ"_b, ℓ"_c.
Los triángulos ABC, y forman una , con eje de perspectividad común, la del de P.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
ℓ'_a: (a^2 v w-(b+c) (v+w) (c v+b w)) x-a^2 w^2 y-a^2 v^2 z=0,
ℓ"_a: (a^2 v w-c^2 v (v+w)-b^2 w (v+w)-b c (v+w)^2) x-a^2 w^2 y-a^2 v^2 z=0,

A₁ = (a^4 v (u+v) w (u+w)-a^3 (u+v) (u+w) (b (u+v) w+c v (u+w))-(b^2-c^2) u^2 (b^2 (u+v) w-c^2 v (u+w))-a u (-b^3 (u+v)^2 w+b c^2 (u+v)^2 (u+w)-c^3 v (u+w)^2+b^2 c (u+v) (u+w)^2)+a^2 (c^2 u v (u+v-w) (u+w)+b c (u+v)^2 (u+w)^2+b^2 u (u+v) w (u-v+w)):
b^2 (-(a-b) (u+v) (-b u+a v) w^2+c^2 u v (u v+w^2)):
c^2 (-c^2 u v^2 (u+w)-a^2 v^2 w (u+w)+a c v^2 (u+w)^2+b^2 u w (v^2+u w)),

A₂ = (a^4 v (u+v) w (u+w)+a^3 (u+v) (u+w) (b (u+v) w+c v (u+w))-(b^2-c^2) u^2 (b^2 (u+v) w-c^2 v (u+w))+a u (-b^3 (u+v)^2 w+b c^2 (u+v)^2 (u+w)-c^3 v (u+w)^2+b^2 c (u+v) (u+w)^2)+a^2 (c^2 u v (u+v-w) (u+w)+b c (u+v)^2 (u+w)^2+b^2 u (u+v) w (u-v+w)):
-b^2 ((a+b) (u+v) (b u+a v) w^2-c^2 u v (u v+w^2)):
-c^2 (c^2 u v^2 (u+w)+a^2 v^2 w (u+w)+a c v^2 (u+w)^2-b^2 u w (v^2+u w))).
Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ concurren en:
P₁ =a^2/(a^2 v w (u^2+v w)+(b-c) u^2 (v+w) (c v-b w)) : ... : ....
Las rectas AA₂, BB₂, CC₂ concurren en:
P₂ = a^2/(a^2 v w (u^2+v w)-(b+c) u^2 (v+w) (c v+b w)) : ... : ....

Cuando P recorre la cónica circunscrita de el incentro, el centro de perspectividad P₂ es el incentro y el eje de perspectividad es tangente a Γ en el punto P', donde la recta que pasa por P y por el complemento del , X₁₀₀, la vuelve a cortar.
( Mostrar/Ocultar figura )
Cuando P=(-a t:c+b t:t (c+b t)) está sobre la cónica circunscrita (ayz+bzx+cxy=0) de perspector el incentro, P₂=X₁=(a:b:c).
Otros pares {P=X_i, P₂=X_j}, para {i, j}: {2, 56}, {7, 1}, {99, 2608}, {162, 1}, {189, 90}, {3218, 513}, {6630, 649}, {8046, 44}, {8047, 513}, {9510, 2238}, {18359, 3435}.

Para P el incentro, P₂ es:
W = ( a (2 a^2+3 a b+2 b^2-c^2) (2 a^2-b^2+3 a c+2 c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.720348390617527, 1.04277786563638, 2.58627285618187).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,187}, {2,896}, {81,18201}, {88,16477}, {171,1255}, {274,6629}, {291,4663}, {330,17497}, {846,25430}, {982,25417}, {1280,8298}, {1432,32636}, {1962,27789}, {3227,35180}, {3337,7313}, {5221,7132}, {9881,34892}.