Construir triángulos ha va b+c, ha va b-c, ha wa b+c, ha wa b-c
Vamos a utilizar la concoide de Nicomedes para dar una construcción de triángulos de los que se conocen la altura, la bisectriz interior o exterior desde un vértice y la suma o diferencias de las longitudes de los lados adyacentes. O sea, los casos siguientes:
havab+c,
havab-c,
hawab+c,
hawab-c.
Usaremos el método de lugares geométricos (aunque los cálculos sean tediosos, pero no necesitamos recordar fórmulas que relacionan medidas del triángulo), estableciendo un sistema de coordenadas cartesianas rectangular, con origen en el vértice A del triángulo a construir ABC y los vértices B y C sobre la recta δ de ecuación y=-ha. Tomamos como el pie Va de la bisectriz interior uno de los puntos de intersección de esta recta con la circunferencia A(va), de centro A y radio va (va>ha).
Nota: Conocida la altura ha y una de las bisectrices desde A, la otra queda determinada.
Consideremos un triángulo variable AB'C', con ha y va, conocidos: los vértices B' y C' están sobre la recta y=-ha y las rectas AB' y AC' son simétricas respecto a AVa.
Llamamos k=|b±c|. La circunferencia B'(k) corta a la recta AB' en puntos que están en la concoide de Nicomedes de polo A y directriz y=-ha.
Cuando B' varía, los lugares geométricos de la reflexión Cv y Cw de C' en las bisectrices AVa y AWa, respectivamente, son las rectas VaW'a y WaV'a; donde V'a y W'a son las reflexiones de Va y Wa en A, respectivamente.
Para resolver el problema planteado de construcción de triángulos, se deben encontrar las intersecciones de las rectas VaW'a y WaV'a con la concoide de Nicomedes en cuestión.
La ecuación de la concoide de Nicomedes es: (x^2 + y^2)(y + ha)^2 - k^2y^2=0.
Si d es la longitud del segmento VaHa, la ecuación de la recta WaV'a es:
2 ha d x + (2 ha^2 - va^2) y -ha va^2=0.
-2 ha² + k² +2√ha4 + d² k² siempre es positivo.
-2 ha² + k² -2√ha4 + d² k² >0 si k>2va.
Las coordenadas de los cuatro puntos de intersección (construibles con regla y compás) de la recta WaV'a y la concoide son:
( (3 d^2 ha^2+ha^4+(ha^2-d^2)Φ)/(2 d (d^2+ha^2)), -ha Φ/(d^2+ha^2) ).
(1)
Si
Φ =
√ha4 + d² k²
±
d√-2 ha² + k² +2√ha4 + d² k²,
las rectas que unen los puntos (1) con A cortan a δ en puntos B4 y C4. El triángulo AB4C4 (de color magenta en la figura) es una solución al caso: hawab-c.
Si
Φ =
√ha4 + d² k²
±
d√-2 ha² + k²-2√ha4 + d² k²
y si k>2va,
las rectas que unen los puntos (1) con A cortan a δ en puntos B1 y C1. El triángulo AB1C1 (de color rojo en la figura) es una solución al caso: havab+c. (Problema 816 TriángulosCabri (Ricardo Barroso)).
La ecuación de la recta VaW'a es: 2 d ha x + (ha^2-d^2)y + ha(d^2 + ha^2) = 0.
Ponemos: Ψ+ =
d√d^2 + k^2
± √
d (-2 d ha^2 + d k^2 + 2 ha^2
√d^2 + k^2),
Ponemos: Ψ- =
- d√d^2 + k^2
± √
d (-2 d ha^2 + d k^2 - 2 ha^2
√d^2 + k^2).
-2 d ha^2 + d k^2 + 2 ha^2
√d^2 + k^2 siempre es positivo.
-2 d ha^2 + d k^2 - 2 ha^2
√d^2 + k^2 > 0 si 2 ha va /d^2 >0.
Las coordenadas de los cuatro puntos de intersección (construibles con regla y compás) de la recta VaW'a y la concoide son:
Las rectas que unen los puntos (2) con A cortan a δ en puntos B3 y C3. El triángulo AB3C3 (de color verde en la figura) es una solución al caso: havab-c. (Problema 817 TriángulosCabri (Ricardo Barroso)).
Si k > 2 ha va /d^2, las rectas que unen los puntos (3) con A cortan a δ en puntos B2 y C2. El triángulo AB2C2 (de color púrpura en la figura) es una solución al caso: hawab-c.
