Hechos Geométricos en el Triángulo de:
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(2024)
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Cómo es el enlace a un Hecho Geométrico correspondiente a un día concreto: http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2017.htm#HGddmmaa EJEMPLO: Domingo, 1 de enero del 2017 http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2017.htm#HG010117 |
T(U) = ( a^2(b^4/v^2+c^4/w^2-a^4/u^2) : b^2(c^4/w^2+a^4/u^2-b^4/v^2) : c^2(a^4/u^2+b^4/v^2-c^4/w^2) ).
A la aplicación U ↦ T(U) se denomina transformación de Steinbart.Las cónicas CP y T(CP) son bitangentes si y solo si P queda sobre el .
a^4(c^2q-b^2r)^2(c^2q+b^2r)^2x^2 - 2b^2c^2(a^4q^2(c^4p^2+a^4r^2)+ b^4p^2(a^4r^2-c^4p^2))y z + ⋯ = 0.
Un ejemplo, cuando CP es la hipérbola de Jerabek (P=X647), puede verse aquí.∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
TQ(U) = (f(f^2/u^2-g^2/v^2-h^2/w^2) : g(g^2/v^2-r^2/w^2-f^2/u^2) : r(r^2/w^2-f^2/u^2-r^2/v^2) ).
Las cónicas CP y TQ(CP) son bitangentes si y solo si P está sobre la tripolar de Q.
f^2(h^2q^2-g^2r^2)^2x^2 + 2gh(g^2h^2p^4-f^4q^2r^2-f^2p^2(h^2q^2+g^2r^2))y z + ⋯ = 0.
Las mediatrices de los segmentos BaCa, CbAb, AcBc concurren en W, sobre la recta 𝒯 que pasa por el circuncentro de ABC y por el baricentro del , X154.
Ac = ((-b^2+c^2)t+a^2(1+t) : -b^2+c^2 : 0), Ab = ((b^2-c^2)t+a^2(1+t) : 0 : (b-c)(b+c)).
Los circuncentros de los triángulos AAbAc, BBcBa y CCaCb son, respectivamente:
Oa = (-(b^2-c^2)^2t+a^4(1+t) : -b^4+b^2c^2 : (b-c)c^2(b+c)),
Ob = (a^2(a-c)(a+c) : (a^2-c^2)^2t-b^4(1+t) : -a^2c^2+c^4),
Oc = (-a^4+a^2b^2 : b^2(a^2-b^2) : -(a^2-b^2)^2t+c^4(1+t)).
-(a^2+b^2-c^2)(a^4t+(b^2-c^2)^2t+ a^2(-2b^2t+c^2(1+2t))) y + (a^2-b^2+ c^2)(a^4t+(b^2-c^2)^2t+a^2(-2c^2t+b^2(1+2t)))z = 0.
Las ecuaciones de las perpendiculares por B y C a OcOa y OaOb, se deducen por permutación cíclica.
U = ((a^2-b^2-c^2)(a^6(b^2+c^2)t
+a^4(-2b^4t(1+t)-2c^4t(1+t)
+a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)t+a^8t^2+(b^2-c^2)^4t^2
+b^2(c+2ct)^2)) : ... : ...).
ℋ: (-a^4c^2+b^4c^2+a^2c^4-b^2c^4) x y + (a^4b^2-a^2b^4+ b^4c^2-b^2c^4) x z + (a^4b^2-a^2b^4-a^4c^2+ a^2c^4) y z = 0.
((b^2 - c^2)^3 + a^2 (-b^4 + c^4))x + (-(b^2 - c^2)^3 t - a^6 (1 + t) + a^4 (b^2 - c^2) (1 + t) + a^2 (b^2 - c^2) (b^2 t - c^2 (2 + t))) y + (-(b^2 - c^2)^3 t + a^6 (1 + t) + a^4 (b^2 - c^2) (1 + t) - a^2 (b^2 - c^2) (-c^2 t + b^2 (2 + t))) z = 0.
Y el centro de ortología de respecto a ABC es:
V = (-a^10 (-1 + t)
+a^8 (b^2 + c^2) (-3 + t)
+ a^6 (-4 b^2 c^2 t + b^4 (3 + 2 t) + c^4 (3 + 2 t))
- a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) (1 + 2 t)
- a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^4 t + c^4 t - 2 b^2 c^2 (1 + t))
+ (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) t
: ... : ...).
𝒦: (b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)^2(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2)) x + ⋯ = 0,
que pasa por el ortocentro y el punto de Kosnita.
W = (a^2 (a^8 (1 + t)
- a^6 (b^2 + c^2) (3 + 2 t)
+ a^4 (3 b^4 + 3 c^4 + 4 b^2 c^2 t)
+ a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) (-1 + 2 t)
- (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 c^2 (-1 + t) + b^4 t + c^4 t)) : ... : ...),
b^2c^2(b^2-c^2)(-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2)x+ ⋯ = 0.
( a^2(2a^10 -3a^8(b^2+c^2) -2a^6(b^4-5b^2c^2+c^4) +a^4(4b^6-5b^4c^2-5b^2c^4+4c^6) -4a^2b^2c^2(b^2-c^2)^2 -(b^2-c^2)^2(b^6+c^6) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-2.70271773167803, -4.36772112118023, 7.91187959580671), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {3, 9934}, {20, 11744}, {67, 5596}, {68, 12419}, {74, 1498}, {110, 10117}, {159, 1177}, {265, 9833}, {895, 9924}, {5504, 7387}, {6293, 12219}, {6759, 13289}, {12112, 15138}; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {66, 6698}, {1511, 10282}, {6247, 6699}, {6593, 206}, {11598, 3}, {13202, 5893}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3, 9934}, {20, 11744}, {22, 110}, {23, 3047}, {24, 974}, {25, 11746}, {64, 15055}, {66, 6698}, {67, 5596}, {68, 12419}, {74, 1498}, 113, 12605}, ...
((b^2-c^2)^2(b^2+c^2)t-a^2(b^2-c^2)^2(1+t)-
a^4(b^2+c^2)(2+t)+a^6(3+t) :
a^2(b^2-c^2)(-c^2t+b^2(2+t))+(b^2-c^2)(b^2c^2-
c^4t+b^4(3+t)) :
a^6t-a^4(b^2t+c^2(1+t))-
a^2(b^2-c^2)(b^2t-c^2(2+t))+(b^2-c^2)(-b^2c^2+
b^4t-c^4(3+t))).
(b^2-c^2)(a^8t^2 -a^6(b^2+c^2)t(-1+2t) - a^4(3b^4t+3c^4t+b^2c^2(3+2t-4t^2)) + a^2(b^2+c^2)(b^4t(3+2t)+c^4t(3+2t) - 2b^2c^2(-1+t+2t^2))-(b^2-c^2)^2(b^4t(1+t)+ c^4t(1+t)+b^2c^2(-1+2t+2t^2)))x + ... = 0,
la cual envuelve la parábola de ecuación:
((b-c)^2)((b+c)^2)((a^2-b^2-c^2)^2)
(a^8(b^4+14b^2c^2+c^4)
-4a^6(b^2+c^2)^3
+2a^4(3b^8-8b^6c^2+18b^4c^4-8b^2c^6+3c^8)
-4a^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)
+(b^2-c^2)^4(b^4+6b^2c^2+c^4)) x^2 +
-2(a^2-b^2)(a^2-c^2)
(a^12
-a^10(b^2+c^2)
+a^8(-6b^4+13b^2c^2-6c^4)
+14a^6(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)
-a^4(b^2-c^2)^2(11b^4+28b^2c^2+11c^4)
+a^2(b^2-c^2)^2(3b^6+13b^4c^2+13b^2c^4+3c^6)
+b^2c^2(b^2-c^2)^4) y z + ... = 0.
PV: b^2c^2(b^2-c^2)(3a^4-2a^2b^2-b^4-2a^2c^2+
2b^2c^2-c^4)x +
a^2c^2(a^2-c^2)(a^4+2a^2b^2-3b^4-2a^2c^2+
2b^2c^2+c^4)y -a^2b^2(a^2-b^2)(a^4-2a^2b^2+
b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-3c^4)z +
(a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)^3x + b^2(a^2-c^2)(a^2-
b^2+c^2)^3y -c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)^3z)t = 0
X6000 = ( a^2(a^6(b^2+c^2)+a^4(-3b^4+4b^2c^2 +3a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-3c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+4b^2c^2+c^4)) : ... : ...).
VW:
-(b^2-c^2)(a^6b^2-3a^4b^4+3a^2b^6-b^8+a^6c^2+
a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-b^6c^2-3a^4c^4-a^2b^2c^4+
4b^4c^4+3a^2c^6-b^2c^6-c^8)x
-(a^2-c^2)(a^8-3a^6b^2+3a^4b^4-a^2b^6+a^6c^2+a^4b^2c^2-
a^2b^4c^2-b^6c^2-4a^4c^4+a^2b^2c^4+3b^4c^4+a^2c^6-3b^2c^6+c^8)y
+ (a^2-b^2)(a^8+a^6b^2-
4a^4b^4+a^2b^6+b^8-3a^6c^2+a^4b^2c^2+
a^2b^4c^2-3b^6c^2+3a^4c^4-a^2b^2c^4+3b^4c^4-
a^2c^6-b^2c^6)z +
(-(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)^2(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)x
-(a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)^2y
+ (a^2-b^2)(a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2)^2(a^2-b^2+c^2)z)t = 0.
X30 = (2a^4-(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2) : 2b^4-(c^2-a^2)^2-b^2(c^2+a^2) : 2c^4-(a^2-b^2)^2-c^2(a^2+b^2)),
punto del infinito de la recta de Euler.
Z = ( a^2(2a^10-3a^8(b^2+c^2)- 2a^6(b^4-5b^2c^2+c^4)+ a^4(4b^6-5b^4c^2-5b^2c^4+4c^6) -4a^2b^2c^2(b^2-c^2)^2-(b^2-c^2)^2(b^6+c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-2.70271773167803, -4.36772112118023, 7.91187959580671), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {3, 9934}, {20, 11744}, {67, 5596}, {68, 12419}, {74, 1498}, {110, 10117}, {159, 1177}, {265, 9833}, {895, 9924}, {5504, 7387}, {6293, 12219}, {6759, 13289}, {12112, 15138}; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {66, 6698}, {1511, 10282}, {6247, 6699}, {6593, 206}, {11598, 3}, {13202, 5893}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3, 9934}, {20, 11744}, {22, 110}, {23, 3047}, {24, 974}, {25, 11746}, {64, 15055}, {66, 6698}, {67, 5596}, {68, 12419}, {74, 1498}, {113, 12605}, {125, 468}, {159, 1177}, {184, 1112}, {206, 6593}, {265, 9833}, {399, 14530}, {542, 10154}, {550, 1511}, {895, 9924}, {1368, 5972}, {1539, 5944}, {1576, 14673}, {1614, 1986}, {1619, 13171}, {1658, 5663}, {1660, 14984}, {1853, 15059}, {2393, 11800}, {2935, 15035}, {2972, 5502}, {3448, 11206}, {5092, 15113}, {5504, 7387}, {5609, 10628}, {5642, 7667}, {5656, 12244}, {5893, 13202}, {5895, 11449}, {6000, 12041}, {6001, 11709}, {6247, 6699}, {6293, 12219}, {7488, 12825}, {7712, 13203}, {7723, 10540}, {8547, 13248}, {8717, 11202}, {9306, 13416}, {10113, 11563}, {10533, 13288}, {10534, 13287}, {10539, 12358}, {10721, 11464}, {12112, 15138}, {12292, 14157}, {12315, 15041}, {14216, 15061}.((b-c)(b+c)^2u+a^2(c(u+2v)-b(u+2w)))x -(b+c)((-b^2+c^2)u+a^2(u+2w))y + (b+c)((b^2-c^2)u+a^2(u+2v))z = 0.
Las ecuaciones de las perpendiculares por E y F a IcIa y IaIb, respectivamente, se deducen por permutación cíclica; las tres son concurrrentes si P está sobre la recta:bc(b-c)(b+c-a)x + ca(c-b)(c+a-b)y + ab(b-a)(a+b-c)z = 0,
que pasa por el incentro I(a:b:c) y por el circuncentro O(a^2:b^2SB:c^2SC).(a^3(b-c)+a(c^3-b^3)-b^3c+bc^3)x + (b^3(c-a)+b(a^3-c^3)-c^3c+ca^3)y + (c^3(a-b)+c(b^3-a^3)-a^3c+ab^3)z = 0,
que pasa por (b+c:c+a:a+b) y por X12((b+c)^2/(b+c-a):..:...), centro de homotecia interior de las circunferencias inscrita y .W = ( a(a+b-c)(a-b+c)(b+c)(a^3-a^2(b+c)-a(b^2+bc+c^2)+b^3+c^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.0558400957256039, 0.492161158198738, 3.32570987810476) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1, 201}, {4, 80}, {8, 6358}, {9, 1405}, {10, 12}, {35, 7098}, {36, 12005}, {40, 10393}, {46, 5884}, {56, 214}, {57, 78}, {109, 1046}, {140, 942}, {145, 4552}, {218, 4559}, {296, 10570}, {329, 5554}, {388, 5904}, {389, 517}, {405, 2099}, {484, 3651}, {498, 1788}, {515, 6146}, {516, 1858}, {518, 4032}, {519, 14054}, {912, 4292}, {946, 10395}, {960, 5173}, {1210, 6882}, {1254, 4551}, {1260, 12635}, {1319, 3881}, {1388, 3892}, {1393, 3216}, {1420, 3873}, {1445, 11520}, {1450, 3953}, {1490, 2093}, {1713, 1953}, {1736, 2654}, {1757, 2647}, {1771, 12016}, {1844, 1940}, {2003, 4296}, {2475, 12540}, {2599, 11009}, {2771, 10123}, {2801, 7354}, {3057, 5728}, {3336, 11570}, {3339, 3901}, {3361, 3894}, {3474, 15071}, {3485, 5692}, {3486, 5759}, {3488, 5697}, {3681, 9578}, {3876, 5219}, {3877, 5436}, {3884, 11011}, {4293, 12757}, {4295, 5693}, {4308, 4430}, {5298, 13751}, {5428, 10122}, {5444, 7288}, {5777, 14988}, {6583, 15325}, {6684, 13750}, {6690, 8261}, {6924, 9946}, {7957, 12711}, {7982, 10396}, {7991, 10382}, {9579, 12528}, {10176, 11375}, {10398, 11531}, {10895, 15064}, {11280, 12758}, {11499, 12738}, {12532, 14450}, {12607, 14740}, {12619, 12736}, {12625, 14923}.bc(-cv+bw)x+c(-acv+c^2v+b^2w)y-b(c^2v+b(-a+b)w)z = 0.
Las ecuaciones de las perpendiculares por Ib y Ic a FD y DE, respectivamente, se deducen por permutación cíclica; el punto de concurrencia de estas tres rectas está sobre al cónica (𝒥) (hipérbola de Jerabek del triángulo excentral):(-b^2 c + b c^2) x^2 + (a^2 c - a c^2) y^2 + (-a^2 b + a b^2) z^2 = 0,
a (a^5-a^4(b+c)
-2a^3(b+c)^2
+2a^2(b^3+2b^2c+2b c^2+c^3)
+a(b^2-c^2)^2
-b^5+b^4c+b c^4-c^5
± 8r s(b^2+c^2-a^2) √r(r+4R) )
a Pablo, por su "cumple"
(c v + b w)x + (b - c) w y + (c -b) v z = 0,
(a - c) w x + (a w + c u)y + (c - a) u z = 0,
(a - b) v x + (b - a) u y + (b u + a v)z = 0.
bcx((a-b+c)y^2+(a+b-c)z^2)+ cay((b-c+a)z^2+(b+c-a)x^2)+ abz((c-a+b)x^2+(c+a-b)y^2) + 2abcxyz = 0.
Que se puede escribir como:bcx/(b+c-a)(y^2/(a+b-c)+z^2/(a-b+c)) + cay/(c+a-b)(z^2/(b+c-a)+x^2/(b-c+a)) + abz/(a+b-c)(x^2/(c+a-b)+y^2/(c-a+b)) + Rxyz/r = 0,
donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC.∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
((b-c)^2(b+c)u- a^2(c(u+2v)+b(u+2w)))x + (b-c)((b^2-c^2)u- a^2(u+2w))y + (b-c)((b^2-c^2)u+a^2(u+2v))z = 0.
Las ecuaciones de las otras dos paralelas se deducen por permutación cíclica, y las tres son concurrrentes si P está sobre la recta:δ: b c (b + c)x + a c (a + c)y + a b (a + b)z = 0,
que es la del incentro respecto a la a ABC.𝔮: (a-b)(a-c)(b+c)(a^2-(b-c)^2)x + (b-c)(b-a)(c+a)(b^2-(c-a)^2)y + (c-a)(c-b)(a+b)(c^2-(a-b)^2)z = 0,
que pasa por los , X(124), X(1364), X(3271), X(3716), X(3738), X(14010).
Z = ( a(a^3(b-c)-b^3c+b c^3+a(-b^3+c^3))
(a^5(b+c) -
a^4(b+c)^2-(b^2-c^2)^2(b^2-b c+c^2)+
a^3(-2b^3+3b^2c+3b c^2-2c^3) +
a^2(b-c)^2(2b^2+5b c+2c^2) +
a(b-c)^2(b^3-2b^2c-2b c^2+c^3)) : ... : ...),
b (-a^2 + (b - c)^2) c (b + c) x^2 + a c (a + c) (a^2 - b^2 - 2 a c + c^2) y^2 + a b (a + b) (a^2 - 2 a b + b^2 - c^2) z^2 - 2 a^2 b c (a + b + c) y z - 2 a b^2 c (a + b + c) x z - 2 a b c^2 (a + b + c) x y = 0.
Esta cónica es la conjugada isogonal, respecto al triángulo excentral, de la recta que pasa por X484 (centro de perspectividad de los triángulos excentral y y tiene la dirección de X513, conjugado isogonal del , X100, delAA' : A'D = BB' : B'F = CC' : C'F = t (número real)
AA" : A"I = BB" : B"I = CC" : C"I = t (número real)
( (b + c) (2 a + b + c)/(b + c - a) : ... : ...).
Se trata del centro X3649.
a^2 y z + b^2 z x +c^2 x y + (x + y + z) (
1/2 (a^2 - b^2 -
c^2)x -((a^2 - b^2 +
c^2) (b^2 (-u^2 + v^2 + 2 u w - 4 v w - 5 w^2) +
a^2 (u^2 - v^2 - 2 u w + 4 v w - 3 w^2) +
c^2 (-u^2 + 4 u v - 3 v^2 + 2 u w + 3 w^2)))y/(4 (u + v +
w) (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v + w))) + ((a^2 + b^2 -
c^2) (b^2 (-u^2 + 2 u v + 3 v^2 + 4 u w - 3 w^2) +
a^2 (u^2 - 2 u v - 3 v^2 + 4 v w - w^2) +
c^2 (-u^2 + 2 u v - 5 v^2 - 4 v w + w^2)))z/(4 (u + v +
w) (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v + w)))
) = 0.
Q3 = ( (a^2-b^2-c^2) (3 a^4-2 a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)
(2 a^16
-a^14 (b^2+c^2)
-13 a^12 (b^2-c^2)^2-(b^2-c^2)^8
+11 a^10 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)
+a^8 (b^2-c^2)^2 (35 b^4-54 b^2 c^2+35 c^4)
-a^6 (b^2-c^2)^2 (67 b^6-51 b^4 c^2-51 b^2 c^4+67 c^6)
+a^4 (b^2-c^2)^4 (41 b^4+94 b^2 c^2+41 c^4)
-a^2 (b^2-c^2)^4 (7 b^6+41 b^4 c^2+41 b^2 c^4+7 c^6) ) : ... : ...),
.png)
P×P⊥ = (u(u(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w))-a^2(u^2+2vw+u(v+w))) : ... : ...).
El lugar geométrico de M×M⊥, cuando M recorre la es una cúbica con punto singular (de retroceso) en el ortocentro, con asíntotas paralelas a la recta de Euler y a las asíntotas de la .
a Lolilla, por su "cumple"
| X(2) = K(X(2),X(2)) | X(3) = K(X(20),X(2)) | X(4) = K(X(20),X(20)) |
| X(5) = K(X(4),X(2)) | X(10) = K(X(8),X(2)) | X(13) = K(X(13),X(1)) |
| X(17) = K(X(13),X(3)) | X(18) = K(X(14),X(3)) | X(54) = K(X(3),X(3)) |
| X(140) = K(X(3),X(2)) | X(141) = K(X(69),X(2)) | X(251) = K(X(6),X(6)) |
| X(251) = K(X(22),X(22)) | X(468) = K(X(23),X(2)) | X(481) = K(X(175),X(1)) |
| X(481) = K(X(175),X(7)) | X(481) = K(X(176),X(175)) | X(482) = K(X(176),X(1)) |
| X(482) = K(X(176),X(176)) | X(620) = K(X(99),X(2)) | X(943) = K(X(21),X(21)) |
| X(1125) = K(X(1),X(2)) | X(1487) = K(X(5),X(5)) | X(3035) = K(X(100),X(2)) |
| X(3589) = K(X(6),X(2)) | X(3628) = K(X(5),X(2)) | X(3539) = K(X(75),X(2)) |
| X(3812) = K(X(65),X(2)) | X(3934) = K(X(76),X(2)) | X(4698) = K(X(37),X(2)) |
| X(10422) = K(X(23),X(23)) | X(11753) = K(X(15),X(1)) | X(11771) = K(X(16),X(1)) |
(-a^2(b^2+c^2)-a^4(-1+t)+(b^2-c^2)^2t : -b^2c^2-b^4(-1+t)+a^4t+c^4t-a^2(b^2+2c^2t) : -b^2c^2-c^4(-1+t)+a^4t+ b^4t-a^2(c^2+2b^2t)),
la primera coordenada del centro de perspectividad Wt de los triángulos ABC y es:
4b^2c^2(a^12-2a^10(b^2+c^2)+a^8(b^2+c^2)^2-
a^4(b^4-c^4)^2+2a^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^6) t^4
-2(a^14(b^2+c^2)-a^12(5b^4+4b^2c^2+5c^4)+a^10(11b^6+7b^4c^2+7b^2c^4+11c^6)-
a^8(15b^8+2b^6c^2-2b^4c^4+2b^2c^6+15c^8)+a^6(b^2-c^2)^2(15b^6+13b^4c^2+13b^2c^4+15c^6)-
a^4(b^2-c^2)^4(11b^4+12b^2c^2+11c^4)+a^2(b^2-c^2)^4(5b^6-3b^4c^2-3b^2c^4+5c^6)-(b^2-
c^2)^6(b^4+c^4)) t^3
+(a^16-5a^14(b^2+c^2)+a^12(13b^4+19b^2c^2+13c^4)-
25a^10(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)+a^8(35b^8+b^6c^2+16b^4c^4+b^2c^6+35c^8)-
a^6(b^2-c^2)^2(31b^6+29b^4c^2+29b^2c^4+31c^6)+a^4(b^2-c^2)^2(15b^8-5b^6c^2-12b^4c^4-5b^2c^6+
15c^8)-a^2(b^2-c^2)^4(3b^6-b^4c^2-b^2c^4+3c^6)-b^2c^2(b^2-c^2)^6) t^2
+a^2(-a^12(b^2+c^2)+a^10(5b^4+6b^2c^2+5c^4)-a^8(10b^6+13b^4c^2+13b^2c^4+10c^6)+
2a^6(b^2+c^2)^2(5b^4-4b^2c^2+5c^4)-a^4(b^2-c^2)^2(5b^6+13b^4c^2+13b^2c^4+5c^6)+
a^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)^2+b^2c^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)) t
+a^4b^2c^2(a^8-3a^6(b^2+c^2)+3a^4(b^4+b^2c^2+c^4)-
a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-b^2c^2(b^2-c^2)^2)
2(a^8-2a^6(b^2+c^2)+a^4(2b^4+b^2c^2+2c^4)-a^2(2b^6-b^4c^2-b^2c^4+2c^6)+(b^2-c^2)^2(b^4+c^4))xyz
+
Σ abc xyz
(a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^4-b^2c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2))x(c^2y^2+b^2z^2) = 0.
4((3R^2-)Sω+S^2)xyz+ Σ abc SASBSC xyz (6R^2-SA- Sω)x(c^2y^2+b^2z^2) = 0,
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita a ABC.Σ abc SASBSC xyz (a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^4-b^2c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2))x(c^2y^2+b^2z^2+2SAyz) = 0,
T = ( a^2(b^2-c^2)/(2a^8-a^4(b^4-4b^2c^2+c^4)- 2a^6(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4) : ... : ...),
es el conjugado isogonal de X7471 tiene números de búsqueda en (-28.1118498982369, 28.7890261853214, -3.31549984720571), está en las tangentes en el foco, en el circuncentro y en el ortocentro.
D1, D2 = ( (a(b-c)(bc(a^4-a^3(b+c)+a^2bc+bc(b-c)^2) ±
a(ab-b^2+ac-c^2)
√abc(a^3-a^2(b+c)-a(b^2-3bc+c^2)+(b-c)^2(b+c))
) : ... : ...),
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
f g h^2 q^2 r^2 x^3 y + g^2 h^2 p^2 r^2 x^2 y^2 - f^2 h^2 q^2 r^2 x^2 y^2 - f g h^2 p^2 r^2 x y^3 - f g^2 h q^2 r^2 x^3 z + f^2 g h p^2 r^2 y^3 z - g^2 h^2 p^2 q^2 x^2 z^2 + f^2 g^2 q^2 r^2 x^2 z^2 + f^2 h^2 p^2 q^2 y^2 z^2 - f^2 g^2 p^2 r^2 y^2 z^2 + f g^2 h p^2 q^2 x z^3 - f^2 g h p^2 q^2 y z^3 = 0
o sobre la cónica circunscrita HQU que pasa por Q y U:fp(gr-hq)yz + gq(hp-fr)zx + hr(fq-gp)xy = 0.
gh(ghp-f(hq+gr))x + hf(hfq-g(fr+hp))y + fg(fgr-h(gp+fq))z = 0.
El centro de perspectividad P' queda esta misma recta.
t( v^2+SCw^2+SA(v+w)^2) x +
(SCtw^2-SA(v+w)((1+t)u+v+w)-SBv((1+t)(u+w)+v)) y +
(SBtv^2-SA(v+w)((1+t)u+v+w)-SCw((1+t)(u+v)+w)) z = 0.
(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(1+t)^2(u+v+w)^4(a^2vw+b^2wu+c^2uv)=0.
A'' ( -SB^2v(u+w)-SC(-SAtu^2+SC(u+v)w)+
SB(SAtu^2+SC((-1+t)u^2-2vw-u(v+w))) :
SAu(SC(tv+w)+SB(u+tv+w))+
SC(SC(u+v)w+SB(u^2+vw+u(v+tv+w))) :
SAu(SB(v+tw)+SC(u+v+tw))+
SB(SBv(u+w)+SC(u^2+vw+u(v+w+tw))))
t = (a^6vw(-v+w)+
a^4(b^2w(u^2+3uw+2v(v+w))-
c^2v(u^2+3uv+2w(v+w)))+
a^2(-2b^2c^2(u-v)(u-w)(v-w)+
c^4v(2u^2+2uv+w(3v+w))-
b^4w(2u^2+2uw+v(v+3w)))+(b^2-c^2)u(c^4(u-v)v+b^4(u-w)w+
b^2c^2(v^2+w^2+3u(v+w)))) /
(a^6v(v-w)w+
a^4(-b^2w(u^2+2v^2+uw)+
c^2v(u^2+uv+2w^2))-(b^2-c^2)u(c^4(u-v)v+
b^4(u-w)w+b^2c^2(v^2+w^2+u(v+w)))+
a^2(b^4w(2u^2+v(v+w))-c^4v(2u^2+w(v+w)))),
W = ( (b^2(-b^2+c^2)u+a^4v+
a^2(b^2(u-v)-c^2v))(a^2(v-w)-(b^2-c^2)(v+
w))(c^2(b^2-c^2)u+a^4w+
a^2(c^2(u-w)-b^2w)) :
(b^2(-b^2+c^2)u+a^4v+
a^2(b^2(u-v)-c^2v))(b^2(-u+w)+a^2(u+w)-
c^2(u+w))(a^2(-c^2v+b^2w)-(b^2-c^2)(c^2v+
b^2w)) :
(c^2(-u+v)+a^2(u+v)-
b^2(u+v))(c^2(b^2-c^2)u+a^4w+
a^2(c^2(u-w)-b^2w))(a^2(-c^2v+b^2w)-(b^2-
c^2)(c^2v+b^2w)) ).
Pab (v : 0 : w), Ba (-a^2 w : c^2 v + a^2 w : c^2 w),
Pac (w : v : 0), Ca (a^2 v : -b^2 v : -a^2 v - b^2 w).
a^2yz+b^2zx+c^2xy- (x+y+z)/(v+w)^2((v(b^2w+c^2w)x+((c^2vw- b^2w^2)y)+(-c^2v^2+b^2vw)z ) = 0.
Con centro:
Oa (-a^4(v+w)-(b^2-c^2)(-c^2v+b^2w)+a^2(b^2v+c^2w):
-c^4v+b^2c^2w+b^4(-v+w)+a^2(c^2v+b^2(v+w)):
b^2c^2v+c^4(v-w)-b^4w+a^2(b^2w+c^2(v+w))).
(a^4-b^2c^2)(c^2y^2-b^2z^2)x + (b^4-c^2a^2)(a^2z^2-c^2x^2)y + (c^4-a^2b^2)(b^2x^2-a^2y^2)z = 0.
Se trata de la K128=pK(X6,X385), de pivote X385 (centro de perspectividad de ABC y el triángulo tangencial de la cónica que pasa por A, B, C y los ) y polo X6 ().Q = ((b^2 (b^2 - c^2) u + a^4 (u - v) - a^2 (b^2 v + c^2 (u + v))) (c^2 (-b^2 + c^2) u + a^4 (u - w) - a^2 (c^2 w + b^2 (u + w))) + (b^2 (b^2 - c^2) u + a^4 (u - v) - a^2 (b^2 v + c^2 (u + v))) (c^4 v + b^4 (v - w) - b^2 c^2 w - a^2 (c^2 v + b^2 (v + w))) + (c^2 (-b^2 + c^2) u + a^4 (u - w) - a^2 (c^2 w + b^2 (u + w))) (-b^2 c^2 v + b^4 w + c^4 (-v + w) - a^2 (b^2 w + c^2 (v + w))) : ... : ....),
queda sobre la cúbica K422=pK(X6,X5999).
Ha = ((b^2-c^2)^2u^2-a^2u(b^2(3u+v-w)+c^2(3u-v+w))+
a^4(2u^2+2vw+u(v+w)) :
a^4(u^2-vw+u(2v+w))+(b^2-c^2)u(-c^2(u+3v+w)+
b^2(2u+3v+w))-
a^2(c^2(2u^2+5uv+2uw-vw)+
b^2(3u^2+5uv+4uw+vw)) :
a^4(u^2-vw+u(v+2w))+(b^2-c^2)u(b^2(u+v+3w)-
c^2(2u+v+3w))-
a^2(b^2(2u^2+2uv+5uw-vw)+
c^2(3u^2+4uv+5uw+vw))).
{X1, X21=}, {X4, X140}, {X1138, X30},
en este último par, ocurre que el triángulo degenera en puntos que están sobre la recta perpendicular a la recta de Euler en X140, punto medio del circuncentro y el centro de la circunferencia de los nueve puntos.a^2 y z+ b^2 x z +c^2 x y + (x + y + z) (-((2 q y)/(q - r)) + (2 SC r z)/(q - r)) = 0.
Por permutación cíclica, se deducen las ecuaciones de las circunferencias B"(B"B) y C"(C"C). El eje radical común es:p (q - r) SA x + q (r - p) SB y + (p - q) r SC z = 0.
Los puntos de intersección de las tres circunferencias son el ortocentro yWℓ = (q r ( a^2 (p^2 - q r)-(b^2 - c^2) p (q - r)) : ... : ... ).
( (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 + a^2 c^2 + b^2 c^2 - 2 c^4) (a^4 + a^2 b^2 - 2 b^4 - 2 a^2 c^2 + b^2 c^2 + c^4) (a^10 - a^8 b^2 + 2 a^6 b^4 - 4 a^4 b^6 + a^2 b^8 + b^10 - a^8 c^2 - 3 a^6 b^2 c^2 + 4 a^4 b^4 c^2 + 3 a^2 b^6 c^2 - 3 b^8 c^2 + 2 a^6 c^4 + 4 a^4 b^2 c^4 - 8 a^2 b^4 c^4 + 2 b^6 c^4 - 4 a^4 c^6 + 3 a^2 b^2 c^6 + 2 b^4 c^6 + a^2 c^8 - 3 b^2 c^8 + c^10) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.57190960626441, 4.21376697954333, -1.38667093759073).( (-a^6 + a^4 (b^2 + c^2) + a^2 (-3 b^4 + 5 b^2 c^2 - 3 c^4)+ (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2))/(b^2 - c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-1.62360350544473, -0.284645342472359, 4.58708210613204).Db (-a^2-b^2+c^2 : 0 :a^2-c^2-b^2(1+2t); Dc (-(a^2-b^2+c^2)t : (a^2-b^2)t-c^2(2+t) : 0).
El punto de intersección de las tangentes a Γa en Db y Dc es:Da (-(b^2-c^2)(-1+t)-a^2(1+t) : -a^2+c^2+b^2(1+2t) : (-a^2+b^2)t+c^2(2+t)).
Este punto describe la recta:La: (a^4-2a^2b^2+b^4-2a^2c^2-2b^2c^2+c^4)x + (-a^4+ 2a^2b^2-b^4-2a^2c^2-2b^2c^2+3c^4)y + (-a^4- 2a^2b^2+3b^4+2a^2c^2-2b^2c^2-c^4)z=0.
Por permutación cíclica, se obtienen las ecuaciones de las rectas Lb y Lc.X3346 (1/(a^8-4a^6(b^2+c^2)+a^4(6b^4-4b^2c^2+6c^4)- 4a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^4+6b^2c^2+c^4) ) : ... : ...).
2(s²-(r+2R)²) / R²
siendo, r y R los radios de las circunferencias inscritas y circunscrita y s el semiperímetro de ABC.(a^2-b^2)(-a^4+a^2c^2) : (a^2-b^2)(a^4-b^4+c^4+a^2(b^2-2c^2)) : (a^2-c^2)(a^4+b^4-c^4+ a^2(-2b^2+c^2)).
Los puntos B' y C' se definen de manera análoga.AAt : AtA' = t, BBt : BtB' = t y CCt : CtC' = t.
El baricentro Gt del triángulo es el baricentro X2 de ABC, para todo valor de t.D = ( 2 a^16 - 9 a^14 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^6 (b^2 + c^2)^2 + a^12 (17 b^4 + 26 b^2 c^2 + 17 c^4) - a^2 (b^2 - c^2)^4 (7 b^6 + 9 b^4 c^2 + 9 b^2 c^4 + 7 c^6) - a^10 (21 b^6 + 25 b^4 c^2 + 25 b^2 c^4 + 21 c^6) + a^4 (b^2 - c^2)^2 (19 b^8 + 6 b^6 c^2 + 5 b^4 c^4 + 6 b^2 c^6 + 19 c^8) + a^8 (25 b^8 + 2 b^6 c^2 + 12 b^4 c^4 + 2 b^2 c^6 + 25 c^8) - a^6 (27 b^10 - 23 b^8 c^2 + 5 b^6 c^4 + 5 b^4 c^6 - 23 b^2 c^8 + 27 c^10) : ... : ...),
tiene números de búsqueda en (16.6157006578214, -10.2577527524324, 3.07340069921233) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3, 2888}, {5, 476}, {140, 523}.d ≤ 2 R d √ 4R²-d² / (2R) ≤ u ≤ √ 4R²-d²
𝓁p: SA p(q-r)x + SB q(r-p)y + SC r(p-q)z = 0.
M = (-t u (SC u - SB t u + a^2 (v - t w)) :
t (v - t w) (-SA (1 + t) u - SC (u + v - t w)) :
-(v - t w) (SA (1 + t) u +
SB (-v + t (u + w)))).
Q = ( (a^2-b^2-c^2) (5 a^4-3 (b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) (3 a^4-(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en {8.74604547263312, 7.42474561351122, -5.53618039173867}. Es el punto de intersección de las rectas p=X20X154 y 𝓁p=X4X5972Q = ( (a^4 (a^4-b^4+4 b^2 c^2-c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en {0.223251879050052, 0.0374397561139839, 3.51170532195929}. Es el punto medio de X6 y X25, y el punto de intersección de las rectas p=X6X25 y 𝓁p=X4X1177.Q = ( (b^4 c^4 (2 a^6+a^4 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^2+c^2)+a^2 (b^4-b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en {17.4144608132988, -3.16907321366731, -2.20280520707614}. Es el punto de intersección de las rectas p=X6X25 y 𝓁p=X4X1177.a Kake, por su "cumple"
Las tres rectas de Steiner 𝓁a, 𝓁b y 𝓁c de los tres cuadriláterios determinados por los seis lados del cuadrivértice P1P2P3P4, son concurrrentes si y solo si P1 queda sobre la .
(c^2 (p^2 + q^2 - r^2) + b^2 (p^2 - q^2 + r^2) + a^2 (-p^2 + q^2 + r^2))x -2 c^2 p^2 + 2 a^2 r^2y -2 b^2 p^2 + 2 a^2 q^2z =0.
Esta recta es el eje radical de las circunferencias de diámetros BC, P1P2 y P3P4, de ecuaciones respectivas:
c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z + 1/2 (a^2 - b^2 - c^2) x (x + y + z)=0,
c^2 x y + b^2 x z +
a^2 y z + (x + y +
z) (-(((c^2 q^2 - a^2 q r + b^2 q r + c^2 q r + b^2 r^2) x)/((-p +
q + r) (p + q + r))) - ((c^2 p^2 - a^2 r^2) y)/((p - q -
r) (p + q + r)) - ((b^2 p^2 - a^2 q^2) z)/((p - q - r) (p + q +
r))) = 0,
c^2 x y + b^2 x z +
a^2 y z + (x + y +
z) (-(((c^2 q^2 - a^2 q r + b^2 q r + c^2 q r + b^2 r^2) x)/((-p +
q + r) (p + q + r))) - ((c^2 p^2 - a^2 r^2) y)/((p - q -
r) (p + q + r)) - ((b^2 p^2 - a^2 q^2) z)/((p - q - r) (p + q +
r))) = 0.
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2=0,
de la circunferencia polar. En esta condiciones las rectas 𝓁a, 𝓁b y 𝓁c concurren en un punto sobre la circunferencia circunscrita a ABC y pasan, respectivamente, por los vértices A, B y C.A1 = (0 : (a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2) : (a^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)).
Si P = O + ρ H es un punto sobre la recta de Euler y (1:-t:t-1) es un punto en la recta del infinito, la recta 𝓁 que pasa por ellos corta al lado BC en:A2 = (0 : a^4 (t + ρ - t ρ) - a^2 (b^2 (1 + t) + c^2 (t + 2 ρ)) + (b^2 - c^2) (-c^2 (1 + t) ρ + b^2 (1 + (-1 + t) ρ)) : a^2 (c^2 (-2 + t) + b^2 (-1 + t - 2 ρ)) + a^4 (1 + t (-1 + ρ)) - (b^2 - c^2) (b^2 (-2 + t) ρ + c^2 (1 - t ρ))).
La ecuación de la paralela por A a la recta de Euler del triángulo PA1A2 es:𝓁a : (a^4 + (b^2 - c^2)^2 + a^2 (-2 b^2 + c^2)) t y + (a^4 + a^2 (b^2 - 2 c^2) + (b^2 - c^2)^2) (t-1) z = 0,
que no depende de la posición del punto P sobre la recta de Euler de ABC.Q = (-(a^8 + a^4 b^2 c^2 + (b^2 - c^2)^4 - a^6 (b^2 + c^2) - a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) (-1 + t) t : (a^8 + b^8 - b^6 c^2 - b^2 c^6 + c^8 - a^6 (b^2 + 4 c^2) + a^4 c^2 (b^2 + 6 c^2) + a^2 (-b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 - 4 c^6)) (-1 + t) : -(a^8 + b^8 - b^6 c^2 - b^2 c^6 + c^8 - a^6 (4 b^2 + c^2) + a^4 b^2 (6 b^2 + c^2) + a^2 (-4 b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 - c^6)) t).
El lugar geométrico de Q, al variar t, tiene por ecuación:yz /((b^2 + c^2 - a^2)^2 - b^2 c^2) + zx /((c^2 + a^2 - b^2)^2 - c^2 a^2) + xy /((a^2 + b^2 - c^2)^2 - a^2 b^2) = 0.
Se trata de la hípérbola circunscrita a ABC de perspector X1989.D = ( (a^8 + a^4 b^2 c^2 + (b^2 - c^2)^4 - a^6 (b^2 + c^2) - a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) (a^8 - 4 a^6 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4) + a^4 (6 b^4 + b^2 c^2 + 6 c^4) + a^2 (-4 b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 - 4 c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.0483808549946476, 0.115121371684192, 3.53863544535933).(a^6 - a^4 b^2 - 2 a^2 b^4 + 2 b^6 - a^4 c^2 + 5 a^2 b^2 c^2 - 2 b^4 c^2 - 2 a^2 c^4 - 2 b^2 c^4 + 2 c^6) x + (-a^4 b^2 + a^2 b^4 + a^4 c^2 - a^2 b^2 c^2 - b^4 c^2 + 2 b^2 c^4 - c^6) y + (a^4 b^2 - b^6 - a^4 c^2 - a^2 b^2 c^2 + 2 b^4 c^2 + a^2 c^4 - b^2 c^4) z =0.
Similarmente, se obtienen las rectas fb y fc, lugar geométrico de los focos de las corresponfientes parábolas 𝒫Pb y 𝒫Pc.(2 a^16 - 4 a^14 b^2 - 18 a^12 b^4 + 49 a^10 b^6 - 14 a^8 b^8 - 55 a^6 b^10 + 57 a^4 b^12 - 18 a^2 b^14 + b^16 - 4 a^14 c^2 + 48 a^12 b^2 c^2 - 53 a^10 b^4 c^2 - 80 a^8 b^6 c^2 + 194 a^6 b^8 c^2 - 187 a^4 b^10 c^2 + 90 a^2 b^12 c^2 - 8 b^14 c^2 - 18 a^12 c^4 - 53 a^10 b^2 c^4 + 190 a^8 b^4 c^4 - 139 a^6 b^6 c^4 + 235 a^4 b^8 c^4 - 162 a^2 b^10 c^4 + 28 b^12 c^4 + 49 a^10 c^6 - 80 a^8 b^2 c^6 - 139 a^6 b^4 c^6 - 210 a^4 b^6 c^6 + 90 a^2 b^8 c^6 - 56 b^10 c^6 - 14 a^8 c^8 + 194 a^6 b^2 c^8 + 235 a^4 b^4 c^8 + 90 a^2 b^6 c^8 + 70 b^8 c^8 - 55 a^6 c^10 - 187 a^4 b^2 c^10 - 162 a^2 b^4 c^10 - 56 b^6 c^10 + 57 a^4 c^12 + 90 a^2 b^2 c^12 + 28 b^4 c^12 - 18 a^2 c^14 - 8 b^2 c^14 + c^16) x + (-7 a^14 b^2 + 14 a^12 b^4 + 5 a^10 b^6 - 29 a^8 b^8 + 22 a^6 b^10 - 5 a^4 b^12 + 7 a^14 c^2 - 7 a^12 b^2 c^2 - 50 a^10 b^4 c^2 + 84 a^8 b^6 c^2 - 47 a^6 b^8 c^2 + 8 a^4 b^10 c^2 + 5 a^2 b^12 c^2 - 7 a^12 c^4 + 64 a^10 b^2 c^4 - 50 a^8 b^4 c^4 - 5 a^6 b^6 c^4 + a^4 b^8 c^4 - 30 a^2 b^10 c^4 - 19 a^10 c^6 - 29 a^8 b^2 c^6 + 70 a^6 b^4 c^6 + 16 a^4 b^6 c^6 + 75 a^2 b^8 c^6 + 24 a^8 c^8 - 47 a^6 b^2 c^8 - 59 a^4 b^4 c^8 - 100 a^2 b^6 c^8 + 7 a^6 c^10 + 56 a^4 b^2 c^10 + 75 a^2 b^4 c^10 - 17 a^4 c^12 - 30 a^2 b^2 c^12 + 5 a^2 c^14) y + (7 a^14 b^2 - 7 a^12 b^4 - 19 a^10 b^6 + 24 a^8 b^8 + 7 a^6 b^10 - 17 a^4 b^12 + 5 a^2 b^14 - 7 a^14 c^2 - 7 a^12 b^2 c^2 + 64 a^10 b^4 c^2 - 29 a^8 b^6 c^2 - 47 a^6 b^8 c^2 + 56 a^4 b^10 c^2 - 30 a^2 b^12 c^2 + 14 a^12 c^4 - 50 a^10 b^2 c^4 - 50 a^8 b^4 c^4 + 70 a^6 b^6 c^4 - 59 a^4 b^8 c^4 + 75 a^2 b^10 c^4 + 5 a^10 c^6 + 84 a^8 b^2 c^6 - 5 a^6 b^4 c^6 + 16 a^4 b^6 c^6 - 100 a^2 b^8 c^6 - 29 a^8 c^8 - 47 a^6 b^2 c^8 + a^4 b^4 c^8 + 75 a^2 b^6 c^8 + 22 a^6 c^10 + 8 a^4 b^2 c^10 - 30 a^2 b^4 c^10 - 5 a^4 c^12 + 5 a^2 b^2 c^12) z =0.
Similarmente, se obtienen las rectas vb y vc, lugar geométrico de los vértices de las corresponfientes parábolas 𝒫Pb y 𝒫Pc.W = ( a^2 (b - c) (b + c) (7 a^8 - 7 a^6 b^2 - 12 a^4 b^4 + 17 a^2 b^6 - 5 b^8 - 7 a^6 c^2 + 31 a^4 b^2 c^2 - 17 a^2 b^4 c^2 + 20 b^6 c^2 - 12 a^4 c^4 - 17 a^2 b^2 c^4 - 30 b^4 c^4 + 17 a^2 c^6 + 20 b^2 c^6 - 5 c^8) (a^16 - 13 a^14 b^2 + 35 a^12 b^4 - 26 a^10 b^6 - 19 a^8 b^8 + 35 a^6 b^10 - 11 a^4 b^12 - 4 a^2 b^14 + 2 b^16 - 8 a^14 c^2 + 65 a^12 b^2 c^2 - 123 a^10 b^4 c^2 + 100 a^8 b^6 c^2 - 25 a^6 b^8 c^2 - 39 a^4 b^10 c^2 + 34 a^2 b^12 c^2 - 4 b^14 c^2 + 28 a^12 c^4 - 117 a^10 b^2 c^4 + 177 a^8 b^4 c^4 - 74 a^6 b^6 c^4 + 90 a^4 b^8 c^4 - 39 a^2 b^10 c^4 - 11 b^12 c^4 - 56 a^10 c^6 + 65 a^8 b^2 c^6 - 178 a^6 b^4 c^6 - 74 a^4 b^6 c^6 - 25 a^2 b^8 c^6 + 35 b^10 c^6 + 70 a^8 c^8 + 65 a^6 b^2 c^8 + 177 a^4 b^4 c^8 + 100 a^2 b^6 c^8 - 19 b^8 c^8 - 56 a^6 c^10 - 117 a^4 b^2 c^10 - 123 a^2 b^4 c^10 - 26 b^6 c^10 + 28 a^4 c^12 + 65 a^2 b^2 c^12 + 35 b^4 c^12 - 8 a^2 c^14 - 13 b^2 c^14 + c^16) (a^16 - 8 a^14 b^2 + 28 a^12 b^4 - 56 a^10 b^6 + 70 a^8 b^8 - 56 a^6 b^10 + 28 a^4 b^12 - 8 a^2 b^14 + b^16 - 13 a^14 c^2 + 65 a^12 b^2 c^2 - 117 a^10 b^4 c^2 + 65 a^8 b^6 c^2 + 65 a^6 b^8 c^2 - 117 a^4 b^10 c^2 + 65 a^2 b^12 c^2 - 13 b^14 c^2 + 35 a^12 c^4 - 123 a^10 b^2 c^4 + 177 a^8 b^4 c^4 - 178 a^6 b^6 c^4 + 177 a^4 b^8 c^4 - 123 a^2 b^10 c^4 + 35 b^12 c^4 - 26 a^10 c^6 + 100 a^8 b^2 c^6 - 74 a^6 b^4 c^6 - 74 a^4 b^6 c^6 + 100 a^2 b^8 c^6 - 26 b^10 c^6 - 19 a^8 c^8 - 25 a^6 b^2 c^8 + 90 a^4 b^4 c^8 - 25 a^2 b^6 c^8 - 19 b^8 c^8 + 35 a^6 c^10 - 39 a^4 b^2 c^10 - 39 a^2 b^4 c^10 + 35 b^6 c^10 - 11 a^4 c^12 + 34 a^2 b^2 c^12 - 11 b^4 c^12 - 4 a^2 c^14 - 4 b^2 c^14 + 2 c^16) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ().( a^2 (a^2 SA (SA^2 + SB SC ) + SB SC (3 SA^2 + SB SC)) : ... : ...).
w^2 y^2 + v^2 z^2 - 2 v w y z + v^2 x z + w^2 x y = 0.
Si centro es Oa =(2 v w : v^2 : w^2) y la ecuacion de la tangente en A es: w^2y + v^2z = 0.W = (u^3(u^2-2vw)(v^3-w^3) : v^3(v^2-2uw)(w^3-u^3) : w^3(u^3-v^3)(w^2-2uv)).
Barycentrics f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b), where f(a,b,c) =
a2(a2 - b2)[a2 - c2)(a6 - a4(b2 + c2) + a2(a2 -b2)(a2 - c2) + 3(b2 - c2)2(b2 + c2)] (Angel Montesdeoca, June 3, 2013)
Let L be the Euler line of a triangle ABC. Let LA be the reflection of L in line BC, and define LB and LC cyclically. Let A' = L∩BC, and define B' and C' cyclically. The circles whose diameters are the segments AA', BB', CC' are coaxial. Let D be their coaxial axis (the line X(4)X(74)); let DA be the reflection of D in line BC, and define DB and DC cyclically. Let HA = LB∩DC, and define HB and HC cyclically. Let MA = LC∩DB, and define MB and MC cyclically. The triangles HAHBHC and MAMBMC are perspective, and their perspector is X(5502). (Antreas Hatzipolakis, June 3, 2013)
See For a discussion, see Hechos Geométricos en el Triángulo.
X(5502) lies on these lines: {3, 64}, {110, 351}, {186, 14264}, {523, 4240}, {1304, 14380}, {1495, 9717}, {1503, 1650}, {2409, 5489}, {4226, 10190}, {12113, 12791}, {14157, 14385}.
A' = (0 : -(a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2) : -(a^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)),
Ab = (2 a^2 (a - c) (a + c) : -(b - c) (b + c) (a^2 + b^2 - c^2) : 0),
Ac = (2 a^2 (a - b) (a + b) : 0 : -(b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 - c^2)).
c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z + (x + y + z) (-((2 a^2 (a - c) c^2 (a + c) y)/( 2 a^2 (a - c) (a + c) - (b - c) (b + c) (a^2 + b^2 - c^2))) - ( 2 a^2 (a - b) b^2 (a + b) z)/( 2 a^4 - a^2 b^2 - b^4 - a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) = 0.
Su centro es:Oa = (a^2 (-2 a^2 + b^2 + c^2) : b^4 - b^2 c^2 : -b^2 c^2 + c^4).
A' = (0 : -v((b^2-c^2)u+a^2(u+2v)) : w((-b^2+c^2)u+a^2(u+2w))).
(a^2-(b-c)^2)x^2+(a^2+3b^2+2bc-c^2)z^2+4b(b+c)yz+2(a^2+b^2+2bc-c^2)zx+4bcxy = 0.
Su directriz es:dac: (a+b-c)(a-b+c)x+2bcy+((a+b)^2-c^2)z = 0.
El punto de intersección de las directrices dab y dac es:
A' (-a^2 - (b + c)^2 : a^2 + b^2 - c^2 : a^2 - b^2 + c^2).
Ab (a + b + c : -a - b + c : a + b - c),
Ac (a + b + c : a - b + c : -a + b - c).
a (a^2 - (b - c)^2)x^2 + ( a^3 + a^2 (b + c) + a (b^2 + 6 b c + c^2) + (b - c)^2 (b + c)) y z + ⋯ = 0.
Actualmente no hay en sobre esta cónica, su centro es X2550(a^3-a^2(b+c)+a(b+c)^2-(b-c)^2(b+c):...:...), punto medio de los puntos de y . Su es:W = ( 1/(a^4-4abc(b+c)-(b^2+c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.14353209936990, 1.05560242584302, 2.38207875661464) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {497, 2303}, {966, 5227}, {1038, 2263}.X(355) = midpoint of orthocenter and Nagel point.
a Silvia, por su "cumple"
W = ( a^6 (b + c) - a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 b c (b + c)+ 2 a^3 b c (3 b^2 + b c + 3 c^2) - a^2 (b^5 + 3 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 3 b c^4 + c^5)+ a (b - c)^2 (b^4 + b^3 c + 6 b^2 c^2 + b c^3 + c^4) - b c (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (24.5109887411289, 5.80196903477034, -11.6888473457623), es la intersección de recta que pasa por X279 y X346 con la recta que pasa por el del y por X194.
Este punto es el punto medio de PbPc, donde es el triángulo pedal del punto P. En consecuencia, la caracterización anterior de la cúbica de Darboux es equivalente a la propiedad 15 de dicha curva en el catálogo de Bernard Gibert:
Q1 = ( 2a^4-a^3(b+c)-3a^2(b-c)^2+ a(b-c)^2(b+c)+(b^2-c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.10032299132194, 1.65097614158136, 1.98983961866408), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {1, 1737}, {11, 1319}, {104, 1519}, {5126, 7743}, {11545, 12735}; reflexión de X5123 en X6667; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1, 2}, {3, 10624}, {4, 1420}, {5, 10106}, {11, 515}, {20, 9614}, {30, 5126}, {35, 12575}, {36, 516}, {40, 7288}, {46, 4301}, {55, 10165}, {56, 946}, {57, 5603}, {65, 13464}, {84, 10305}, {104, 1519}, {105, 2728}, {106, 1309}, {140, 9957}, {149, 4881}, {226, 999}, {244, 1735}, {376, 9580}, {388, 6939}, {392, 5745}, {495, 11230}, {496, 950}, {497, 3576}, {517, 1387}, {522, 905}, {529, 5087}, {595, 3075}, {631, 1697}, {758, 5570}, {912, 5083}, {942, 5901}, {944, 6969}, {956, 3452}, {962, 5265}, {1056, 5219}, {1058, 3601}, {1106, 1777}, {1111, 1323}, {1124, 8983}, {1155, 5298}, {1329, 11260}, {1335, 13971}, {1388, 1837}, {1421, 1870}, {1467, 6847}, {1478, 3817}, {1479, 4297}, {1482, 4848}, {1699, 4293}, {1727, 3338}, {1736, 4694}, {1771, 3915}, {1776, 3333}, {1788, 7982}, {1858, 12005}, {1878, 2840}, {2078, 6905}, {2093, 5435}, {2098, 11362}, {2170, 8074}, {2802, 6681}, {2975, 12572}, {3035, 3880}, {3057, 5433}, {3090, 9578}, {3091, 4308}, {3304, 11375}, {3340, 10595}, {3361, 4295}, {3476, 5587}, {3487, 10396}, {3488, 13384}, {3523, 9785}, {3585, 12571}, {3586, 5274}, {3600, 9612}, {3612, 4314}, {3660, 6001}, {3753, 6692}, {3825, 10523}, {4187, 5795}, {4294, 7987}, {4298, 5563}, {4342, 5119}, {5045, 12242}, {5049, 5719}, {5082, 5438}, {5123, 6667}, {5204, 12701}, {5248, 8071}, {5252, 10175}, {5253, 12436}, {5316, 9708}, {5432, 5919}, {5440, 5853}, {5443, 12577}, {5542, 8545}, {5657, 7962}, {5691, 10591}, {5722, 10246}, {5727, 7967}, {5836, 6691}, {6245, 10785}, {6690, 10179}, {6705, 12672}, {6796, 11510}, {6848, 12650}, {6932, 10572}, {6945, 7741}, {7280, 12512}, {7373, 11374}, {7951, 10171}, {7988, 10590}, {8666, 12527}, {9661, 13883}, {10089, 11599}, {10091, 13605}, {10122, 11281}, {10265, 12740}, {10398, 11038}, {10914, 13747}, {10950, 13607}, {11028, 11726}, {11047, 12686}, {11545, 12735}, {11734, 12016}.(0 : 2 b^2 : 2 a^2 - b^2 - c^2 ± √(2 a^2 - b^2 - c^2)^2-4b^2c^2 ),
pudiendo ser reales o imaginarios. Son los puntos de intersección de la recta BC con la circunferencia de diámetro AO.W = ( a^2(2a^6-a^4(b^2+c^2)- 2a^2(b^4-b^2c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.0583337482592470, -0.273670965213684, 3.80320572785882), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {6, 206}, {5097, 10282}; reflexión de X6697 en X3589; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6, 25}, {66, 3618}, {141, 5972}, {143, 5097}, {157, 5158}, {160, 3284}, {182, 3357}, {193, 9716}, {216, 1576}, {511, 1658}, {546, 575}, {1176, 1177}, {2781, 5092}, {3589, 6697}, {3629, 10192}, {5050, 12315}, {5480, 13403}, {6153, 10274}, {9822, 12039}, {11557, 12228}.El punto de concurrrencia es X2217.
2(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)k^2 +abc(a^3-a^2(b+c)-a(b^2+c^2)+(b-c)^2(b+c)) = 0.
Así, el radio de Γ es:
radio.png)
a b c x^2 + 2 a (a + b) (a + c) y z + ⋯ = 0,
El de la circunferencia Γ (respecto a ABC) es X65, ortocentro del .
W = 2(r+R)(r^2+6rR+8R^2-2s^2) X610 - (3r+4R)(3r^2+6rR+4R^2-s^2) X2217.
W = ( a (3 a^6
- 6 a^5 (b + c)
- a^4 (7 b^2 + 4 b c + 7 c^2)
+ 10 a^3 (b^3 + c^3)
+ a^2 (3 b^4 + 8 b^3 c + 18 b^2 c^2 + 8 b c^3 + 3 c^4)
+ a (-4 b^5 + 6 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 + 6 b c^4 - 4 c^5)
+ (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 4 b c + c^2) ) : ... : ...),
Z = (2r-R)(21r^2+8rR+s^2) X1320 - 2(2r+R)(9r(r-2R)+ s^2) X11011
= 4R(9r(r-2R)+s^2) X3626 + (6r+13R)(3r(r+4R)-s^2) X4792.
Z = ( a/((b+c-2a)(2a^2+a(b+c)-(b-c)^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.771612000968473, 5.10785409091806, -0.251670812252035) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1320, 11011}, {3626, 4013}.Let Pa be the parabola with focus A and directrix BC. Let La be the polar of circumcenter with respect to Pa. Define Lb and Lc cyclically. D = Lb∩Lc, E = Lc∩La, F = La∩Lb, and MaMbMc is the medial triangle, then the lines MaD, MbE, McF concur in X(7710). (Randy Hutson, June 15, 2015)
W = ( 3a^8 - 6a^6(b^2+c^2) - 20a^4(b^4+4b^2c^2+c^4) - 2a^2(-7b^6+31b^4c^2+31b^2c^4-7c^6) + (b^2-c^2)^2(9b^4+22b^2c^2+9c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.12920685283380, 0.369216971359238, 2.86388033888931) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4, 6704}, {5, 7710}, {262, 3090}, {2023, 9772}, {3424, 3589}, {3545, 9774}, {3618, 5984}, {5055, 9770}, {5056, 7736}, {5071, 5461}, {6118, 9757}, {6119, 9758}, {6669, 9749}, {6670, 9750}.The triangles ABaCa, AbBCb, AcBcC are similar to each other and inversely similar to ABC. Let Sa be the similitude center of triangles AbBCb and AcBcC. Define Sb and Sc cyclically.
The lines ASa, BSb, CSc concur in X(81), cevapoint of incenter and symmedian. (Randy Hutson, February 10, 2016)
| (b^2u+a^2v)(a^2w-c^2(v+w)) | (b^2u+a^2v)(c^2u+a^2w) | (-b^2u-a^2v)(-c^2u+a^2(u+v)) |
| 0 | 0 | b^2(b^2u+a^2v)(u+v+w) |
| a^2v(-a^2w+c^2(v+w))+ b^2(a^2w(v+w)+c^2u(u+2(v+w))) | (-c^2u-a^2w)(a^2v-b^2(v+w)) | a^4v(u+v)-b^2u(-c^2(v+w)+b^2(u+v+w))+ a^2(-c^2uv+b^2(u^2-v^2+uw+w^2)) |
Sa = ((-a^2+b^2+c^2)u(b^2u+a^2v)(c^2u+a^2w) :
(b^2u+a^2v)(a^2v(-a^2w+c^2(v+w))+b^2(a^2w(v+w)+c^2u(u+2(v+w)))):
(c^2u+a^2w)(a^2v(-a^2w+c^2(v+w))+b^2(a^2w(v+w)+c^2u(u+2(v+w)))) ).
P★K = (1/(c^2v+b^2w) ; 1/(a^2w+c^2u) : 1/(b^2u+a^2v)).
Al variar θ, las cónicas 𝒞θ y 𝒞'θ pasan por dos puntos fijos, W y W', respectivamente.
W' = (
(b+c)(-a^14 (b + c)
-a^13 (b^2 + c^2)
+
a^12 (5 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 5 c^3)
+
2 a^11 (2 b^4 + 3 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 2 c^4)
-
a^10 (11 b^5 + 15 b^4 c + 16 b^3 c^2 + 16 b^2 c^3 + 15 b c^4 +
11 c^5)
-
a^9 (5 b^6 + 19 b^5 c + 35 b^4 c^2 + 30 b^3 c^3 + 35 b^2 c^4 +
19 b c^5 + 5 c^6)
+
a^8 (15 b^7 + 18 b^6 c + 2 b^5 c^2 - 3 b^4 c^3 - 3 b^3 c^4 +
2 b^2 c^5 + 18 b c^6 + 15 c^7)
+
a^7 b c (24 b^6 + 43 b^5 c + 26 b^4 c^2 + 22 b^3 c^3 + 26 b^2 c^4 +
43 b c^5 + 24 c^6)
+
a^6 (-15 b^9 - 19 b^8 c + 14 b^7 c^2 + 26 b^6 c^3 + 13 b^5 c^4 +
13 b^4 c^5 + 26 b^3 c^6 + 14 b^2 c^7 - 19 b c^8 - 15 c^9)
+
a^5 (5 b^10 - 18 b^9 c - 40 b^8 c^2 - 5 b^7 c^3 + 12 b^6 c^4 +
2 b^5 c^5 + 12 b^4 c^6 - 5 b^3 c^7 - 40 b^2 c^8 - 18 b c^9 +
5 c^10)
+
a^4 (11 b^11 + 15 b^10 c - 19 b^9 c^2 - 38 b^8 c^3 - 10 b^7 c^4 +
21 b^6 c^5 + 21 b^5 c^6 - 10 b^4 c^7 - 38 b^3 c^8 - 19 b^2 c^9 +
15 b c^10 + 11 c^11)
-
a^3 (b^2 - c^2)^2 (4 b^8 - 10 b^7 c - 21 b^6 c^2 - 7 b^5 c^3 +
5 b^4 c^4 - 7 b^3 c^5 - 21 b^2 c^6 - 10 b c^7 + 4 c^8)
-
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 (5 b^8 - 8 b^6 c^2 - 7 b^5 c^3 +
16 b^4 c^4 - 7 b^3 c^5 - 8 b^2 c^6 + 5 c^8)
+
a (b^2 - c^2)^4 (b^6 - 3 b^5 c - 4 b^4 c^2 + 4 b^3 c^3 -
4 b^2 c^4 - 3 b c^5 + c^6)
+ (b - c)^6 (b + c)^7 (b^2 - b c + c^2) ) : ... : ...),
a Clara, por su "cumple"
W = ( (a (a-b) (a-c) (a^10 -a^9 (b+c) +a^8 (-3 b^2+5 b c-3 c^2) +a^7 (4 b^3-2 b^2 c-2 b c^2+4 c^3) +a^6 (2 b^4-5 b^3 c+5 b^2 c^2-5 b c^3+2 c^4) -a^5 (6 b^5-6 b^4 c+b^3 c^2+b^2 c^3-6 b c^4+6 c^5) +a^4 (2 b^6-3 b^5 c-4 b^4 c^2+11 b^3 c^3-4 b^2 c^4-3 b c^5+2 c^6) +a^3 (b-c)^2 (4 b^5+6 b^4 c+7 b^3 c^2+7 b^2 c^3+6 b c^4+4 c^5) -a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^4-b^3 c+b^2 c^2-b c^3+3 c^4) -a (b-c)^4 (b+c)^5 +(b-c)^4 (b+c)^6) : ... : ...), : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (19.1358883812807, -29.4610758527141, 15.2048454347338) y está en la recta X37x11075.Z = ( a (a + b) (a + c) (a^2 + a b + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + a c + c^2) (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + b c + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.00980661461614026, -0.0145626594472695, 3.65527245288609) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {79, 81}, {4653, 7100}.El centro de ortología de respecto a ABC es el circuncentro, para todo punto P del plano.
El lugar geométrico del centro de ortología de ABC respecto a , cuando P se mueve sobre le circunferencia inscrita es la de Gergonne (K086 del catálogo de Bernard Gibert).
(-a^3 + a^2 b + a^2 c) y z + (a b^2 - b^3 + b^2 c) z x + (a c^2 + b c^2 - c^3) x y = 0.
Su centro es X5452 (centro de la cónica de Privalov) y su es X55 (centro de homotecia interior de las circunferencia inscrita y circunscrita). Pasa por los centros del triángulo de índices: 101, 294, 644, 645, 651, 666, 1783, 2311, 2316, 2338, 2341, 3939, 4627, 4845, 5546, 5547, 5548, 5549.(b^2-c^2) (7 a^6-3 a^4 (b^2+c^2)+(b^2+c^2)^3-9 a^2 (b^4-b^2 c^2+c^4))x-(a^2-c^2) (a^6+7 b^6-3 b^4 c^2-9 b^2 c^4+c^6+a^4 (-9 b^2+3 c^2)+a^2 (-3 b^4+9 b^2 c^2+3 c^4))y+(a^2-b^2) (a^6+b^6-9 b^4 c^2-3 b^2 c^4+7 c^6+3 a^4 (b^2-3 c^2)+3 a^2 (b^4+3 b^2 c^2-c^4))z=0.
Si P es el simediano, los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están sobre la circunferencia de centro X3098 = 3X3 - X6 y radio 3/2 R sec ω, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita a ABC y ω es el .Q = (u(v+w)(u+v-2w)(u-2v+w) : v(w+u)(v+w-2u)(v-2w+u) : w(u+v)(u+w-2v)(w-3u+v)).
Una propiedad de la aplicación f es: El punto medio M de P y f(P) coincide con el punto medio de P• y f(P•), donde P• denota el de P.M = (u(v-w)^2 : v(w-u)^2 : w(u-v)^2).
Esta propiedad conduce a la siguiente interpretación geométrica de Q=f(P):Es decir, Q=f(P) es la reflexión de P en el de P y el de la hipérbola circunscrita que pasa por P y por el baricentro.
W = ( (b-c) (-2 a+b+c)^2 (a^6 (b+c) -8 a^5 b c -3 a^4 (b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3) +a^3 b c (5 b^2-18 b c+5 c^2) +a^2 (3 b^5-14 b^4 c+12 b^3 c^2+12 b^2 c^3-14 b c^4+3 c^5) +3 a b (b-c)^2 c (b^2+5 b c+c^2) -(b-c)^2 (b^5-2 b^4 c+7 b^3 c^2+7 b^2 c^3-2 b c^4+c^5) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (7.87772826250199, 0.0597982968407787, -0.0366089216755400) y está sobre la recta X80X514.El lugar geométrico del punto M de intersección de las rectas X4P y X3Q, cuando P recorre la circunferencia circunscrita al triángulo antimedial, es la Tercera Cúbica de Musselman (K028).
W = 3((r+2R)²-s²)(r(r+2R)-s²) X2 - ((r+3R)²-s²)(r(r+4R)-R²-s²) X19.
W = ((a^4(b^2 - c^2)^2) (a^4 (b + c) + 2 a^3 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + 2 a (b + c)^2 (b^2 + c^2) + (b + c) (b^2 + c^2)^2) : ... : ....).
que tiene números de búsqueda en (-23.5467023673109, -25.6849275016686, 32.2902461525908).More in general:
Locus property of Darboux cubic:
15. The lines joining the vertices of ABC with the midpoints of the sides of the pedal triangle of P concur at Q if and only if P is on the Darboux cubic. Q lies on the Thomson cubic. (Francisco Javier García Capitán, 04/01/2009)
The points P, Q and X(4) are collinear.
Barycentrics (1/(b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 - a^4): ... : ...).
Let A' be the point of intersection of the tangents to the nine-point circle at the points where the circle meets line BC, and define B' and C' cyclically. Then the lines AA', BB', CC' concur in X(3613). Also, A'B'C' is the of the tangential triangle of the medial triangle and the tangential triangle of the orthic triangle. (Randy Hutson, August 30, 2011.)
X(3613) is the pole of the Lemoine axis with respect to the nine-point circle. (Luis González, Hyacinthos #20253, October 5, 2011)
X(3613) is the perspector of the nine-point circle and lies on the hyperbola that passes through the points A, B, C, X(4), X(5). (Randy Hutson, December 30, 2012.)
Z = ( a^4(b^2+c^2-a^2)^2/(a^8+b^2c^2(b^2-c^2)^2-3a^6(b^2+c^2)- a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+a^4(3b^4+b^2c^2+3c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (5.69788802060912, 6.44011572762645, -3.44767164673044).
Ab = (-a^4+(b^2-c^2)^2 : -2b^2(a^2+b^2-c^2) : a^4-
2a^2b^2+b^4-c^4),
Ac = (-a^4+(b^2-c^2)^2 : a^4-b^4-
2a^2c^2+c^4 : -2c^2(a^2-b^2+c^2)).
La:
(b^2-c^2)(3a^6-7a^4(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+
a^2(5b^4+6b^2c^2+5c^4))x
-((b^2-c^2)^3(b^2+c^2)+
a^6(3b^2+c^2)-a^4(7b^4-4b^2c^2+c^4)+
a^2(5b^6-7b^4c^2+3b^2c^4-c^6))y
-((b^2-c^2)^3(b^2+
c^2)-a^6(b^2+3c^2)+a^4(b^4-4b^2c^2+7c^4)+
a^2(b^6-3b^4c^2+7b^2c^4-5c^6))z =0.
X1112 = (a^2(b^6+c^6+a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^4+c^4))/(b^2+c^2-a^2) : ... : ...).
ρa = a^2(a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+b^2c^2+c^4) / (a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^4-b^2c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)).
La ecuación de la recta que pasa por los puntos que dividen a los segmentos ObHb y OcHc en la razón ρa es:
da:
a^12-3a^10(b^2+c^2)+3b^2c^2(b^4-c^4)^2+
(a^8(2b^4+b^2c^2+2c^4)+
2a^6(b^6+4b^4c^2+4b^2c^4+c^6)-
a^4(3b^8+4b^6c^2+22b^4c^4+4b^2c^6+3c^8)+
a^2(b^10-5b^8c^2+12b^6c^4+12b^4c^6-5b^2c^8+
c^10))x
+ (a^2-c^2)(a^10+b^10+2b^6c^4-8b^4c^6+
5b^2c^8+2a^6b^2(b^2+c^2)-a^8(3b^2+2c^2)-
a^2(b^2+c^2)^2(3b^4-4b^2c^2+c^4)+
2a^4(b^6+b^4c^2-3b^2c^4+c^6))y
+ (a^12-
3a^10(b^2+c^2)+a^8(2b^4+5b^2c^2+2c^4)+
2a^6(b^6-4b^4c^2+c^6)-
b^2c^2(5b^8-8b^6c^2+2b^4c^4+c^8)-
a^4(3b^8-8b^6c^2-2b^4c^4+4b^2c^6+3c^8)+
a^2(b^10+3b^8c^2-12b^6c^4+4b^4c^6+3b^2c^8+c^10))z = 0.
W = (r(r+4R)-s^2) X4 - ((r+2R)^2-s^2) X110,
donde r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, s es el semiperímetro, X4 el ortocentro y X110 es el foco de la .
W = (2 a^12 -2 a^10 (b^2+c^2) +a^8 (-3 b^4+8 b^2 c^2-3 c^4) +2 a^6 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) +2 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4) -(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)^2 : ... : ....).
que tiene números de búsqueda en ETC (-3.37212083847337, -4.56048578609969, 8.35428733619495).∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
OaPa/PaHa = ObPb/PbHb = OcPc/PcHc = t.
| a^2(a^2-b^2+c^2)(a^4+b^4-a^2c^2-b^2c^2) | a^2(a^2-b^2+c^2)(a^4+b^4-a^2c^2-b^2c^2) | a^2(a^2+b^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) |
| b^2(-a^2+b^2+c^2)(a^4+a^2b^2-b^2c^2+c^4) | b^2(-a^6+a^4c^2+(-b^2c+c^3)^2+a^2(b^4-c^4)) | b^2(a^2+b^2-c^2)(-a^4+a^2b^2+b^2c^2-c^4) |
| -(a^2-b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^4-b^2c^2) | (-a^2+b^2-c^2)(a^6-a^2b^2c^2-b^4c^2+b^2c^4-a^4(b^2+c^2)) | -(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^4-b^2c^2) |
P = (a^4b^2-a^2c^4 : b^4c^2-b^2a^4 : a^2c^4-c^2b^4),
y las de su imagen común, U = σa(P) = σb(P) = σc(P) (P = σa-1(U) = σb-1(U) = σc-1(U)), sonU = (a^4c^2-a^2b^4 : b^4a^2-b^2c^4 : c^4b^2-c^2a^4).
Los puntos P y U forman un no incluido en la lista confeccionada por Clark Kimberling (que podría recibir el nombre de una flor: VIOLETA DEL TEIDE),| Operación sobre P y U | Imagen |
|---|---|
| Producto trilineal | X1967, de la recta determinada por el par bicéntrico P(36) |
| Producto baricéntrico | X9468, " of PU(133)" |
| Suma baricéntrica | X511, del |
| Diferencia baricéntrica | X512, conjugado isogonal del |
| "" | X5989, " of PU(133)" |
| "" | X6, |
| Polo de la recta PU | X2, baricentro |
| conjugado isogonal de X9468 | |
| "" | X9467, " of PU(133)" |
| "" | X1691, "" de la circunferencia circunscrita y la |
Q = (a^2(-a^8b^2 +a^6(3b^4+b^2c^2-c^4) +a^4(-3b^6-2b^4c^2+3c^6) +a^2(b^8+b^6c^2+b^2c^6-3c^8) +c^4(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...).
V = (a^2(-a^8c^2 +a^6(-b^4+b^2c^2+3c^4) +a^4(3b^6-2b^2c^4-3c^6)+ a^2(-3b^8+b^6c^2+b^2c^6+c^8) +b^4(-b^2+c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...).
Los puntos Q y V forman un par bicéntrico no incluido en la lista confeccionada por Clark Kimberling.
| b^2(b^2-c^2)(-a+b-c)(a+b-c))(-a+b+c)(a+b+c) | -2a^6c^2+ a^4(b^4-b^2c^2+2c^4)-2a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^4-b^2c^2+2c^4) | b^2( a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) |
| b^2( a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) | 2a^6c^2+(b^2+c^2)(b^3-bc^2)^2+ a^4(b^4+b^2c^2-4c^4)-2a^2(b^6-b^4c^2+b^2c^4-c^6) | b^2(b^2-c^2)(-a+b-c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c) |
| 0 | -2c^4(-a^4+(b^2-c^2)^2) | 0 |
O1 = ((a^2 - b^2 + c^2) (a^4 + b^4 - a^2 c^2 - b^2 c^2) : (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 + c^4) : (-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 - a^2 b^2 - b^2 c^2 + c^4)),
y las de su imagen común, U1 = σa(O1) = σb(O1) = σc(O1) (O1 = σa-1(U1) = σb-1(U1) = σc-1(U1)), sonU1 = ((a^2 + b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - b^2 c^2 + c^4) : (-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 + b^4 - a^2 c^2 - b^2 c^2) : (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 + c^4)).
Los puntos O1 y U1 forman un no incluido en la lista confeccionada por Clark Kimberling.| Operación con O1 y U1 | Imagen |
|---|---|
| Producto trilineal | (1/(a(-a^2+b^2+c^2)(b^4+c^4-a^2(b^2+c^2))) : ... : ...) |
| Producto baricéntrico | X(6531) = trilinear pole of line X(25)X(669) (the line through the polar conjugates of PU(37)) |
| Suma baricéntrica | X(1503) = "Point Arkab" |
| Diferencia baricéntrica | X523, isogonal conjugado del foco de la |
| "" | (a^2((-a^2+b^2+c^2)^2(a^4+b^4-a^2c^2-b^2c^2)(a^4- a^2b^2-b^2c^2+c^4)+(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+ c^2)(b^4+c^4-a^2(b^2+c^2))^2) : ... : ...) |
| "" | X6, |
| Polo de la recta PU | X2, baricentro |
O2 = (-a^2 (a^12 c^2 (b^2 - c^2) - b^2 c^6 (b^2 - c^2)^4 + a^2 b^2 (b^2 - c^2)^4 (b^4 + 2 b^2 c^2 + 2 c^4) + a^10 (b^6 - 2 b^4 c^2 - 2 b^2 c^4 + 4 c^6) + a^8 (-4 b^8 + 2 b^6 c^2 + 6 b^4 c^4 + b^2 c^6 - 6 c^8) + a^6 (6 b^10 - 4 b^8 c^2 - 2 b^6 c^4 - 4 b^4 c^6 + 4 c^10) - a^4 (4 b^12 - 5 b^10 c^2 + b^8 c^4 - 2 b^4 c^8 + b^2 c^10 + c^12)) : ... : ...).
U2 = (-a^2 (a^12 b^2 (-b^2 + c^2) - b^6 c^2 (-b^2 + c^2)^4 + a^2 c^2 (-b^2 + c^2)^4 (2 b^4 + 2 b^2 c^2 + c^4) + a^10 (4 b^6 - 2 b^4 c^2 - 2 b^2 c^4 + c^6) + a^8 (-6 b^8 + b^6 c^2 + 6 b^4 c^4 + 2 b^2 c^6 - 4 c^8) + a^6 (4 b^10 - 4 b^6 c^4 - 2 b^4 c^6 - 4 b^2 c^8 + 6 c^10) - a^4 (b^12 + b^10 c^2 - 2 b^8 c^4 + b^4 c^8 - 5 b^2 c^10 + 4 c^12)): ... :.... ).
Los puntos O2 y U2 forman un par bicéntrico no incluido en la lista confeccionada por Clark Kimberling.
Q: u(3v^2w^2a^4
-v w(c^2(u^2+u(w-3v)+2v(v+w))+b^2(u^2+u(v-3w)+2w(v+w)))a^2
-c^4u v(u^2+u w+2v(v+w))-
b^4u w(u^2+u v+2w(v+w))+
b^2c^2(v w(v+w)^2+u^2(v^2+5v w+w^2)+
u(v^3+v w(v+w)+w^3))).
Si P se mueve sobre la cúbica K018, la recta PQ pasa por el baricentro y Q queda sobre la cúbica K185.
Consider a pencil of rectangular hyperbolas generated by two distinct members, say (H1), (H2). The intersection Q of the polar lines of P in (H1), (H2) defines a quadratic involution f : P ↦ Q with fixed points the four common points of (H1), (H2) and singular points the vertices of the diagonal triangle of these four fixed points.
If (H1) and (H2) are the Kiepert and Wallace hyperbolas the quadratic involution f denote by KW: M ↦ KW(M) is:
KW((u:v:w)) = (a^4 u (v - w) +
+ a^2 (c^2 (-2 u v + v^2 + w^2) - b^2 (v^2 - 2 u w + w^2))
+ c^4 (u - v) v + b^4 w (-u + w) + b^2 c^2 (v^2 - w^2) : ... : ...).
A1 = (a^2 v w : -((a^2 - c^2) v + b^2 (u + v)) w : -v ((a^2 - b^2) w +
c^2 (u + w))),
B1 = (-((b^2 - c^2) u + a^2 (u + v)) w :
b^2 u w : -u ((-a^2 + b^2) w + c^2 (v + w))),
C1 = (v ((-b^2 + c^2) u +
a^2 (u + w)) : u (-a^2 v + c^2 v + b^2 (v + w)) : -c^2 u v).
Oa = (-a^2 (-u (b^2 (u + v - w) + c^2 (u - v + w)) +
a^2 (u^2 + 2 v w + u (v + w))) :
-(b^2 - c^2) u (-c^2 v +
b^2 (u + v)) + a^4 v w +
a^2 (c^2 v (u - w) + b^2 (u^2 + u v + 2 u w + v w)) ;
a^4 v w - (b^2 - c^2) u (b^2 w - c^2 (u + w)) +
a^2 (b^2 (u - v) w + c^2 (u^2 + 2 u v + u w + v w))).
Q = (a^2 v w (a^2 (u + v) (u + w) - u (b^2 (u + v) + c^2 (u + w))) : ... : ...).
| 2u(tv-w) | tu(v+w-u) | u(u-v-w) |
| 2v(tv-w) | tv(-u+v+w)-w(u+v+w) | -u^2+u(v+tv-2w)+(tv-w)(v+w) |
| 2(tv-w)w | -w(u+v+w)+t(u^2+u(2v-w)+v(v+w)) | (u-v-w)w+tv(u+v+w) |
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
(q^2 w (-u - 3 v + w) + r v (r (-u + v - 3 w) - 2 p w) +
q (-2 p v w + r (-u^2 + v^2 - 6 v w + w^2))) x
+ (q^2 (u - v -
w) w + r v (2 p w + r (-u + v + w)) +
q (2 p (u - w) w - r (u^2 - v^2 - 2 u w + w^2))) y
+ (q^2 w (-u +
v + w) - r v (-2 p (u - v) + r (-u + v + w)) +
q (2 p v w - r (u^2 - 2 u v + v^2 - w^2))) z = 0.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
CASO DEL CIRCUNCENTRO
c(D): u(u-v-w)yz + v(v-w-u)zx + w(w-u-v)xy = 0.
A' = (u-v-w : 2v : 2w),
A1 = (u(u-v-w) : (u-v+w)(v+w) : (u+v-w)(v+w)).
Z = ( (u-v-w)/(2a^2v w+(u-v-w)(c^2v+b^2w)) : ... : ...).
Cuando D está sobre la la cónica co(D) es rectangular y el punto Z es el ortocentro.{1, 1320}, {2, 671}, {4, 10152}, {5, 265}, {6, 895}, {9, 1156}, {10, 80}, {15, 1338}, {16, 1337}, {32, 11610}, {36, 1325}, {39, 1916}, {100, 11607}, {140, 1263}, {141, 67}, {142, 3254}, {187, 23}, {206, 1177}, {214, 1}, {427, 11605}, {442, 11604}, {468, 5523}, {618, 14}, {619, 13}, {620, 6328}, {623, 11600}, {624, 11601}, {629, 11602}, {630, 11603}, {858, 316}, {960, 10693}, {1125, 11599}, {1145, 8}, 1147, 5504}, {1155, 5011}, {1511, 3}, {1649, 9180}, {2028, 3558}, {2029, 3557}, {2072, 5962}, {2092, 11609}, {2482, 2}, {2887, 5508}, {3184, 20}, {3628, 11703}, {3647, 3065}, {3666, 11611}, {5074, 5057}, {5159, 5203}, {5181, 69}, {5745, 11608}, {5976, 76}, {6150, 2070}, {6292, 11606}, {6337, 8781}, {6592, 5}, {6593, 6}, {6594, 9}, {6760, 3484}, {8290, 83}, {8542, 5505}, {10264, 1117}, {10291, 3407}, {10335, 10290}, {10427, 7}, {11165, 5503}, {11597, 54}, {11598, 64}, {11672, 9513}, {12095, 186}, {12096, 2071}, {12631, 12868}, {12639, 6599}, {12640, 12641}.
| 3uvw(-u+v+w) | u(u-v-w)w(u-2v+w) | uv(u^2-v^2-3uw+vw+2w^2) |
| vw(2u^2+v^2-w^2+u(-3v+w)) | 3uvw(u-v+w) | -uw(u^2-uv-2v^2+3vw-w^2) |
| vw(2u^2-v^2+u(v-3w)+w^2) | -uw(u^2-uv-2v^2+3vw-w^2) | 3uvw(u+v-w) |
F = (u(u-v-w)/(v+w-2u) : v(v-w-u)/(w+u-2v) : w(w-u-v)/(u+v-2w) ).
{1, 1320}, {3, 74}, {4, 10152}, {6, 895}, {9, 1156}, {10, 4674}, {115, 9180}, {1645, 888}, {1646, 891}, {1647, 900}, {1648, 690}, {1649, 690}, {1650, 9033}, {6544, 900}, {8029, 12076}.
El lugar geométrico del centro Do de ℋd es la cúbica nodal de Tucker (K015) del triángulo antimedial.
2x^3 + 2y^3+ 2z^3- x^2 (y+z) - y^2 (z+x) - z^2(x+y) = 0.
O1 = (2a^4(a^2-b^2-c^2)(u+v+w) : (b^2-c^2)^3u- a^4(b^2(u+4v)+c^2(u+2v-2w))-a^6(-v+w)+ a^2(b^2-c^2)(c^2(-2u-v+w)+ b^2(3v+w)) : -(b^2-c^2)^3u-a^6(v-w)+ a^2(b^2-c^2)(b^2(2u-v+w)-c^2(v+3w))- a^4(b^2(u-2v+2w)+c^2(u+4w))),
O2 = (a^6v-a^2(-3c^4v+2b^2c^2(2u+v)+b^4(4u+v))+(b^2- c^2)^2(-c^2v+b^2(u-w))+ a^4(-3c^2v+b^2(3u+w)):2b^4(-a^2+b^2-c^2)(u+v+ w) : -a^6v-a^4(-3c^2v+b^2(u-2v-w))- a^2(3c^4v+2b^2c^2(v+2w)+b^4(-2u+v+2w))-(b^2- c^2)(c^4v+b^4(u-w)+b^2c^2(u+v+3w))),
O3= (a^6w+a^4(c^2(3u+v)-3b^2w)-(b^2-c^2)^2(c^2(-u+v)+ b^2w)- a^2(-3b^4w+2b^2c^2(2u+w)+c^4(4u+w)):-a^6w- a^4(c^2(u-v-2w)-3b^2w)- a^2(3b^4w+2b^2c^2(2v+w)+c^4(-2u+2v+w))+(b^2- c^2)(c^4(u-v)+b^4w+b^2c^2(u+3v+w)):-2c^4(a^2+ b^2-c^2)(u+v+w)).
Los triángulos ABC y son perspectivos si y solo si las coordenadas de P satisfacen a la ecuación de la cúbica K405:-2 a^2 b^2 c^2 x^2 y + 2 b^4 c^2 x^2 y + a^2 c^4 x^2 y - b^2 c^4 x^2 y - c^6 x^2 y - 2 a^4 c^2 x y^2 + 2 a^2 b^2 c^2 x y^2 + a^2 c^4 x y^2 - b^2 c^4 x y^2 + c^6 x y^2 - a^2 b^4 x^2 z + b^6 x^2 z + 2 a^2 b^2 c^2 x^2 z + b^4 c^2 x^2 z - 2 b^2 c^4 x^2 z - 2 a^4 b^2 x y z + 2 a^2 b^4 x y z + 2 a^4 c^2 x y z - 2 b^4 c^2 x y z - 2 a^2 c^4 x y z + 2 b^2 c^4 x y z - a^6 y^2 z + a^4 b^2 y^2 z - a^4 c^2 y^2 z - 2 a^2 b^2 c^2 y^2 z + 2 a^2 c^4 y^2 z + 2 a^4 b^2 x z^2 - a^2 b^4 x z^2 - b^6 x z^2 - 2 a^2 b^2 c^2 x z^2 + b^4 c^2 x z^2 + a^6 y z^2 + a^4 b^2 y z^2 - 2 a^2 b^4 y z^2 - a^4 c^2 y z^2 + 2 a^2 b^2 c^2 y z^2=0,
Cuando P recorre la cúbica K405, el centro de perspectividad Q de los triángulos ABC y está sobre la cúbica K080, que es la trasformada isogonal de K405.
| -2a^4b^2c^2(a^2-b^2-c^2)(u+v+w) | -a^2c^2(a^6v- a^2(-3c^4v+2b^2c^2(2u+v)+b^4(4u+v))+(b^2- c^2)^2(-c^2v+b^2(u-w))+a^4(-3c^2v+b^2(3u+w))) | a^2b^2(-a^6w- a^4(c^2(3u+v)-3b^2w)+(b^2-c^2)^2(c^2(-u+v)+ b^2w)+a^2(-3b^4w+2b^2c^2(2u+w)+c^4(4u+w))) |
| -b^2c^2((b^2-c^2)^3u- a^4(b^2(u+4v)+c^2(u+2v-2w))+a^6(v-w)+ a^2(b^2-c^2)(c^2(-2u-v+w)+b^2(3v+w))) | 2a^2b^4c^2(a^2-b^2+c^2)(u+v+w) | a^2b^2(a^6w+a^4(c^2(u-v-2w)-3b^2w)+ a^2(3b^4w+2b^2c^2(2v+w)+c^4(-2u+2v+w))-(b^2- c^2)(c^4(u-v)+b^4w+b^2c^2(u+3v+w))) |
| b^2c^2((b^2-c^2)^3u+a^6(v-w)- a^2(b^2-c^2)(b^2(2u-v+w)-c^2(v+3w))+ a^4(b^2(u-2v+2w)+c^2(u+4w))) | a^2c^2(a^6v+a^4(-3c^2v+b^2(u-2v-w))+ a^2(3c^4v+2b^2c^2(v+2w)+b^4(-2u+v+2w))+(b^2- c^2)(c^4v+b^4(u-w)+b^2c^2(u+v+3w))) | 2a^2b^2c^4(a^2+b^2-c^2)(u+v+w) |
F = (a^2(a^8v w +
a^6(c^2v(u-v-3w)+b^2(u-3v-w)w)-
3a^4(b^4(u-v-w)w-c^4v(-u+v+w) +
a^2(b^6(3u-v-3w)w-c^6v(-3u+3v+w) +
b^2c^4(4u^2+10u v+2v^2+11u w+v w+w^2) +
b^4c^2(4u^2+11u v+v^2+10u w+v w+2w^2)) +
b^2c^2u(u+3(v+w))) -
(b^2-c^2)^2(c^4(u-v)v+
b^4(u-w)w+b^2c^2(u^2-2v w+3u(v+w)))) : ... : ...).
Ft = (a^2(a^8t^2-3a^6(b^2+c^2)t^2 - b^2c^2(b^2-c^2)^2t(2+t) - a^2(b^2+c^2)(b^4t^2+c^4t^2-2b^2c^2(2+3t+t^2))+ a^4(3b^4t^2+3c^4t^2+b^2c^2(-4-4t+3t^2))) : ... : ...).
Esta es la ecuación paramétrica de la hipérbola (cónica polar del circuncentro en la cúbica K363) de ecuación implícita:(H): (-a^2 b^6 c^2 + b^8 c^2 - 3 b^6 c^4 + a^2 b^2 c^6 + 3 b^4 c^6 - b^2 c^8) x^2 + (-a^6 b^2 c^2 + a^2 b^6 c^2 + a^4 b^2 c^4 - a^2 b^4 c^4) x y + (-a^8 c^2 + a^6 b^2 c^2 + 3 a^6 c^4 - 3 a^4 c^6 - a^2 b^2 c^6 + a^2 c^8) y^2 + (a^6 b^2 c^2 - a^4 b^4 c^2 + a^2 b^4 c^4 - a^2 b^2 c^6) x z + (a^4 b^4 c^2 - a^2 b^6 c^2 - a^4 b^2 c^4 + a^2 b^2 c^6) y z + (a^8 b^2 - 3 a^6 b^4 + 3 a^4 b^6 - a^2 b^8 - a^6 b^2 c^2 + a^2 b^6 c^2) z^2=0.
Let A'B'C' be the reflection of the anticevian triangle of X(3) in the trilinear polar of X(3). The lines AA', BB', CC' concur in X6760).
R = (a/(u(c^2v+b^2w) - a(b-c)v w) : b/(v(a^2w+c^2u) - b(c-a)w u) : c/(w(b^2u+a^2v) - c(a-b)u w).
Este es el de intersección de la circunferencia circunscrita y la hipérbola circunscrita que pasa por el incentro y por P: a u (c v - b w) y z + b v (a w - c u) z x + c w(b u - a v)x y=0.R' = (a (a^4 v^2 w^2 - a^3 u v w (c v + b w) + a^2 u v w (c^2 v + b^2 w + b c (-u + v + w)) + a u^2 (-c^3 v^2 + b^2 c v w + b c^2 v w - b^3 w^2)+ b c u^2 (c v + b w)^2 ) : ... : ...).
Pares de , sobre la tripolar del incentro, a los que corresponde el mismo R', para los índices {{i,j},k}: {{2590, 2591}, 101}, {{649, 672}, 813}, {{513, 1155}, 1308}.
Ra = (-a (a c u v - b c u v + b^2 u w + a^2 v w) (c^2 u v + a b u w -
b c u w + a^2 v w) : b (a c u v - b c u v + b^2 u w +
a^2 v w) (c^2 u v + b^2 u w + a b v w + a c v w) : c (c^2 u v +
a b u w - b c u w + a^2 v w) (c^2 u v + b^2 u w + a b v w +
a c v w)),
Rb = (-a (-a c u v + b c u v + b^2 u w + a^2 v w) (c^2 u v + a b u w +
b c u w + a^2 v w) : b (-a c u v + b c u v + b^2 u w +
a^2 v w) (c^2 u v + b^2 u w + a b v w - a c v w) : -c (c^2 u v +
a b u w + b c u w + a^2 v w) (c^2 u v + b^2 u w + a b v w -
a c v w)),
Rc = (a (a c u v + b c u v + b^2 u w + a^2 v w) (c^2 u v - a b u w +
b c u w + a^2 v w) : b (a c u v + b c u v + b^2 u w +
a^2 v w) (c^2 u v + b^2 u w - a b v w + a c v w) : -c (c^2 u v -
a b u w + b c u w + a^2 v w) (c^2 u v + b^2 u w - a b v w +
a c v w)
R'a = (a (a^4 v^2 w^2 + a^3 u v w (c v + b w) + b c u^2 (c v + b w)^2 +
a u^2 (c^3 v^2 - b^2 c v w - b c^2 v w + b^3 w^2) +
a^2 u v w (c^2 v + b^2 w + b c (-u + v + w))) : b (a^3 (-b +
c) v^2 w^2 - a^2 u v w (b c v + 2 c^2 v + b^2 w) +
b u^2 (c^3 v^2 + b^2 c v w - b c^2 v w - b^3 w^2) +
a u v (c^3 u v + b c^2 v w - b^3 w^2 +
b^2 c w (u - v + w))) : c (-c^4 u^2 v^2 + c^3 u v (b u - a v) w -
c^2 u v (b^2 u + a^2 v - a b (u + v - w)) w +
a b (b u - a v)^2 w^2 +
c (b^3 u^2 - a^2 b u v + a b^2 u v - a^3 v^2) w^2)),
R'a = (a (a^4 v^2 w^2 - b c u^2 (c v - b w)^2 + a^3 u v w (-c v + b w) +
a^2 u v w (c^2 v + b c (u - v - w) + b^2 w) +
a u^2 (-c^3 v^2 + b^2 c v w - b c^2 v w + b^3 w^2)) : -b (a^3 (b +
c) v^2 w^2 + a^2 u v w (-b c v + 2 c^2 v + b^2 w) +
b u^2 (c^3 v^2 + b^2 c v w + b c^2 v w + b^3 w^2) +
a u v (c^3 u v - b c^2 v w + b^3 w^2 +
b^2 c w (u - v + w))) : c (c^4 u^2 v^2 + c^3 u v (b u - a v) w +
c^2 u v (b^2 u + a^2 v - a b (u + v - w)) w -
a b (b u - a v)^2 w^2 +
c (b^3 u^2 - a^2 b u v + a b^2 u v - a^3 v^2) w^2)),
R'a = (a (-a^4 v^2 w^2 + b c u^2 (c v - b w)^2 + a^3 u v w (-c v + b w) -
a^2 u v w (c^2 v + b c (u - v - w) + b^2 w) +
a u^2 (-c^3 v^2 + b^2 c v w - b c^2 v w + b^3 w^2)) : b (a^3 (b +
c) v^2 w^2 + a^2 u v w (b c v - 2 c^2 v - b^2 w) -
b u^2 (c^3 v^2 + b^2 c v w + b c^2 v w + b^3 w^2) +
a u v (c^3 u v - b c^2 v w + b^3 w^2 +
b^2 c w (u - v + w))) : c (c^4 u^2 v^2 + c^3 u v (b u + a v) w +
c^2 u v (b^2 u + a^2 v + a b (u + v - w)) w +
a b (b u + a v)^2 w^2 +
c (b^3 u^2 - a^2 b u v - a b^2 u v + a^3 v^2) w^2)).
| abc(a+b) | ac(-a^2+ab+b(b+c)) | ab^2(b+c) |
| bc^2(a+c) | abc(b+c) | ab(-b^2+bc+c(a+c)) |
| bc(a^2-c^2+a(b+c)) | a^2c(a+b) | abc(a+c) |
F1 = (a (a^2 c - a b (b + c) - b c (2 b + c)) : ... : ...).
La matriz asociada a la semejanza σ2, que transforma en , es:| abc(a+c) | ac^2(b+c) | ab(-a^2+ac+c(b+c)) |
| bc(a^2-b^2+a(b+c)) | abc(a+b) | a^2b(a+c) |
| b^2c(a+b) | ac(ab+b^2+bc-c^2) | abc(b+c) |
F2 = (a (a^2 b - a c (b + c) - b c (b + 2 c)) : ... : ...)
Los puntos fijos F1 y F2 forman un (que podría recibir el nombre de una flor: MALVA DE RISCO), que ha sido incluido en la lista confeccionada por Clark Kimberling, como P(160)El único punto X del plano que verifica σ1(X)= σ2(X) es X5540.
σ1(X5540)= σ2(X5540) = X1083, centro de semejanza de los triángulos y .∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Dear Paris, [Paris Pamfilos]: On the sides of an oriented triangle define A' on BC, B' on CA, C' on AB s.t. BA' = CB' = AC' = k const. The 3 circles (A'B'C), (B'C'A), (C'A'B) pass through a point P, which, as k varies, describes a circle passing through one Brocard point V. Doing the same with the other orientation of the triangle, you get another point Q, describing another circle through the other Brocard point V'. What are these circles? Are they known? Are their centers and radii easily expressible through the triangle's data? *** In homogeneous barycentric coordinates, the intersection of the three circles (A'B'C), (B'C'A), (C'A'B) is the point ( a(c^2a - (c^2+ca+a^2)k + (a+b+c)k^2) : b(a^2b - (a^2+ab+b^2)k + (a+b+c)k^2) : c(b^2c - (b^2+bc+c^2)k + (a+b+c)k^2)). As k varies, this traverses the circle (a+b+c)(a^2yz+b^2zx+c^2xy) - (a+b+c)(bc^2x+ca^2y+ab^2z) = 0. This circle clearly passes through the Brocard point V = (1/b^2 : 1/c^2 : 1/a^2) as you mentioned. It also passes through the incenter I = (a : b : c) [for k = infinity]. The center of the circle is the point (a(a^3-2ab^2+b^3-a^2c+abc-b^2c) :b(b^3-2bc^2+c^3-b^2a+abc-c^2a) :c(c^3-2ca^2+a^3-c^2b+abc-a^2b)). The circle in the other orientation can be similarly written down. It is clear that this second circle also passes through the incenter, and has equation (a+b+c)(a^2yz+b^2zx+c^2xy) - (a+b+c)(b^2cx+c^2ay+a^2bz) = 0. Apart from the incenter, the two circles should have another intersection which is also a triangle center. In fact, the radical axis of the two circles is the line bc(b-c)x + ca(c-a)y + ab(a-b)z = 0 which contains the centroid G and the symmedian point K = (a^2 : b^2 : c^2). The second common point of the circles has coordinates (a(a^4-a^3(b+c)-a^2bc+2abc(b+c)-bc(b^2+c^2): ... : ...). This triangle center does not appear in ETC. The value of k that gives this point as a point on the FIRST circle is k = (a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c))/((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)). Best regards Sincerely Paul YiuAs k varies, the 3 circles (A'B'C), (B'C'A), (C'A'B) pass through the points Cb, Ac, Ba, resp.
| -a^3 b^2 + a^4 c - a^2 c^3 - b^2 c^3 + c^5 + a b c (b^2 + b c - c^2) | -a (a^4 - a^3 c - 2 a^2 b c - b c^3 + a c (b^2 + b c + c^2)) | a (a^3 c - a^2 b c + b c^3 + a b (b^2 - b c - c^2)) |
| b (a^3 c - a^2 b c + b c^3 + a b (b^2 - b c - c^2)) | a^5 + a^2 b c^2 - b^3 c^2 - a^3 (b^2 + b c + c^2) + a b (b^3 + c^3) | -b (b^4 + a^3 (b - c) + a^2 b c - a b (b^2 + 2 b c - c^2)) |
| -c (a^2 b c - a b (b^2 - b c + 2 c^2) + c (b^3 - b c^2 + c^3)) | c (a^3 c - a^2 b c + b c^3 + a b (b^2 - b c - c^2)) | a^3 b c - a b^3 c - a^2 (b^3 - b^2 c + c^3) + b (b^4 - b^2 c^2 + c^4) |
CONJETURAS
• Si un punto X recorre una recta que pasa por S, las rectas X'X" son paralelas.
• Si un punto X recorre una circunferencia Γ que pasa que pasa por S, las rectas X'X" concurren en el segundo punto de intersección de las circunferencias f(Γ) y f-1(Γ).
• Si un punto X recorre una recta que pasa por P, las rectas X'X" envuelven una parábola de foco S (¿directriz?).
W = ( a(b-c)(a^3(b+c)-a^2(2b^2+bc+2c^2)+ a(b^3+b^2c+bc^2+c^3)-b^2c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.26904494971386, -3.95213917483822, 2.15038329809698) y es paralela las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {11, 3835}, {44, 4794}, {72, 5592}, {100, 649}, {104, 12032}, {210, 10196}, {238, 663}, {320, 4406}, {1027, 3751}, {2488, 10006}, {3676, 5083}, {3681, 6546}, {3873, 6545}.U = (a^2(b^4w(w-u)+(a^2-c^2)v(c^2(u-v)+a^2w)+b^2(a^2(u-v-w)w+c^2(u^2+2v w-u(v+w)))) : ... : ...).
El centro paralelógico de y ABC es:V = (a^2(c^2(a^2-c^2)v-b^4w+b^2(4c^2u+a^2w)) : ... : ...).
Cuando P recorre una recta d que pasa por el circuncentro el punto U es fijo.
Cuando la recta d gira alrededor del circuncentro, el lugar geométrico del punto de intersección d∩d' es la
hipérbola
( (-2 a^4 b^4 c^2 + 5 a^2 b^6 c^2 - 3 b^8 c^2 + 2 a^4 b^2 c^4 +
9 b^6 c^4 - 5 a^2 b^2 c^6 - 9 b^4 c^6 +
3 b^2 c^8) x^2 + (-a^8 c^2 + 3 a^6 b^2 c^2 - 3 a^2 b^6 c^2 +
b^8 c^2 + 3 a^6 c^4 - 2 a^4 b^2 c^4 + 2 a^2 b^4 c^4 - 3 b^6 c^4 -
3 a^4 c^6 + 3 b^4 c^6 + a^2 c^8 - b^2 c^8) x y + (3 a^8 c^2 -
5 a^6 b^2 c^2 + 2 a^4 b^4 c^2 - 9 a^6 c^4 - 2 a^2 b^4 c^4 +
9 a^4 c^6 + 5 a^2 b^2 c^6 - 3 a^2 c^8) y^2 + (a^8 b^2 -
3 a^6 b^4 + 3 a^4 b^6 - a^2 b^8 - 3 a^6 b^2 c^2 + 2 a^4 b^4 c^2 +
b^8 c^2 - 2 a^2 b^4 c^4 - 3 b^6 c^4 + 3 a^2 b^2 c^6 + 3 b^4 c^6 -
b^2 c^8) x z + (a^8 b^2 - 3 a^6 b^4 + 3 a^4 b^6 - a^2 b^8 -
a^8 c^2 - 2 a^4 b^4 c^2 + 3 a^2 b^6 c^2 + 3 a^6 c^4 +
2 a^4 b^2 c^4 - 3 a^4 c^6 - 3 a^2 b^2 c^6 +
a^2 c^8) y z + (-3 a^8 b^2 + 9 a^6 b^4 - 9 a^4 b^6 + 3 a^2 b^8 +
5 a^6 b^2 c^2 - 5 a^2 b^6 c^2 - 2 a^4 b^2 c^4 + 2 a^2 b^4 c^4) z^2 = 0)
ℋd de asíntotas paralelas a la y que pasa por X3, X110 (foco de la ), X140 X1493, X8254.
( a^2(a^6(b^2+c^2)- 3a^4(b^2+c^2)^2 + a^2(3b^6+2b^4c^2+2b^2c^4+3c^6)- (b^2-c^2)^2(b^4-b^2c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.21084709578787, 1.05104257667074, -1.28649736652030).W = ( (2a^4-(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2))(3a^6- 7a^4(b^2+c^2)+a^2(5b^4+b^2c^2+5c^4)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.28759014600866, 0.943841467792841, 1.93142493681611).∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
| a^2(c^2(-a^2+c^2)v+b^4w-b^2(4c^2u+a^2w)) | -a^2b^2((a^2-b^2)w+c^2(3u+w)) | -a^2c^2((a^2-c^2)v+b^2(3u+v)) |
| a^2b^2((a^2-b^2)w-c^2(3v+w)) | -b^2(-c^4u+4a^2c^2v-a^4w+b^2(c^2u+a^2w)) | -b^2c^2((b^2-c^2)u+a^2(u+3v)) |
| -a^2c^2(-a^2v+c^2v+b^2(v+3w)) | -b^2c^2((-b^2+c^2)u+a^2(u+3w)) | c^2(b^4u+a^2(a^2-c^2)v-b^2(c^2u+4a^2w)) |
F = (a^6v w-(b^2-c^2)^2u(c^2v+b^2w)+ a^4(b^2(4u+3v)w+c^2v(4u+3w))+ a^2(-b^4(3u+4v)w-c^4v(3u+4w)+ b^2c^2(15u^2+8v w+12u(v+w))) : ... : ...).
( 2a^10-11a^8(b^2+c^2)+ 2a^6(13b^4-7b^2c^2+13c^4)+ a^4(-32b^6+23b^4c^2+23b^2c^4-32c^6)+ a^2(b^2-c^2)^2(20b^4+27b^2c^2+20c^4)-5(b^2-c^2)^4(b^2+c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (7.80769883363653, 8.32216410833032, -5.72438705476885).
D1 (0 : (a+b-c)(a(u-v+w)+b(-u+v+w)-
c(u+v+w)) : (a-b+c)(a(u+v-w)+c(-u+v+w)-b(u+v+w))),
D2 (-2(a+b-c)u : 0 :
a(u+v-w)+c(-u+v+w)-b(u+v+w)),
D3 (-2(a-b+c)u :
a(u-v+w)+b(-u+v+w)-c(u+v+w) : 0).
A' (4(a^3-a(b-c)^2- a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c))u^2 : -(a+b-c)(a(u-v+w)+ b(-u+v+w)-c(u+v+w))^2 : -(a-b+c)(a(u+v-w)+c(-u+v+w)-b(u+v+w))^2).
Permutando cíclicamente estas coordenadas, obtenemos las de B' y C'.Q (1/((a-b-c)(b(u+v-w)+c(u-v+w)-a(u+v+w))^2 ) : ... : ...).
Cuando P está sobre la circunferencia inscrita, los puntos A', B', C' coinciden con él.A'' = (4((b^2-c^2)u+a^2(v-w)-a(b-c)(u+v+w))^2 : (b+c-a)(a-b+c)(a(u-v+w)- c(u+v+w)+b(3u+v+w))^2 : (b+c-a)(a+b-c)(a(u+v-w)-b(u+v+w)+c(3u+v+w))^2).
A''1 = (-4(a-b-c)(a^2u+(b-c)^2(v+w)-a(b(u+v-w)+c(u-v+w)))^2 : (a-b+c)(a^2(u-v+w)+c^2(u+v+w)-2a(b(u+v-2w)+c(u+w))+2bc(u-2(v+w))+b^2(u+3(v+w)))^2 : (a+b-c)(a^2(u+v-w)+b^2(u+v+w)-2a(b(u+v)+c(u-2v+w))+2bc(u-2(v+w))+c^2(u+3(v+ w)))^2).
The six points, Abc, Bca, Cab, AcB, Bac, Cba, lie on a circle, of which the center is X(10110). (Antreas Hatzipolakis and Peter Moses Lozada, August 13, 2016; see Hyacinthos 24022)
U = ( (b^8 - 6 b^6 c^2 + 10 b^4 c^4 - 6 b^2 c^6 + c^8) a^2 + (-3 b^6 - 5 b^4 c^2 - 5 b^2 c^4 - 3 c^6) a^4 + (3 b^4 + 12 b^2 c^2 + 3 c^4) a^6 + (-b^2 - c^2) a^8 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.16335895710102, 1.09649434048472, -1.29604636976682) y la asíntotaST = ( (b^26 - 11 b^24 c^2 + 38 b^22 c^4 - 42 b^20 c^6 - 45 b^18 c^8 + 151 b^16 c^10 - 92 b^14 c^12 - 92 b^12 c^14 + 151 b^10 c^16 - 45 b^8 c^18 - 42 b^6 c^20 + 38 b^4 c^22 - 11 b^2 c^24 + c^26) a^2 + (-6 b^24 + 24 b^22 c^2 + 48 b^20 c^4 - 312 b^18 c^6 + 342 b^16 c^8 + 288 b^14 c^10 - 768 b^12 c^12 + 288 b^10 c^14 + 342 b^8 c^16 - 312 b^6 c^18 + 48 b^4 c^20 + 24 b^2 c^22 - 6 c^24) a^4 + (12 b^22 + 34 b^20 c^2 + 362 b^18 c^4 - 1428 b^16 c^6 + 1592 b^14 c^8 - 572 b^12 c^10 - 572 b^10 c^12 + 1592 b^8 c^14 - 1428 b^6 c^16 + 362 b^4 c^18 + 34 b^2 c^20 + 12 c^22) a^6 + (-2 b^20 - 82 b^18 c^2 - 1634 b^16 c^4 - 3800 b^14 c^6 + 5668 b^12 c^8 - 300 b^10 c^10 + 5668 b^8 c^12 - 3800 b^6 c^14 - 1634 b^4 c^16 - 82 b^2 c^18 - 2 c^20) a^8 + (-27 b^18 - 115 b^16 c^2 - 228 b^14 c^4 + 9772 b^12 c^6 - 19642 b^10 c^8 - 19642 b^8 c^10 + 9772 b^6 c^12 - 228 b^4 c^14 - 115 b^2 c^16 - 27 c^18) a^10 + (36 b^16 + 288 b^14 c^2 + 4944 b^12 c^4 + 9584 b^10 c^6 + 34808 b^8 c^8 + 9584 b^6 c^10 + 4944 b^4 c^12 + 288 b^2 c^14 + 36 c^16) a^12 + (28 b^12 c^2 - 3484 b^10 c^4 - 20320 b^8 c^6 - 20320 b^6 c^8 - 3484 b^4 c^10 + 28 b^2 c^12) a^14 + (-36 b^12 - 388 b^10 c^2 - 2612 b^8 c^4 + 2984 b^6 c^6 - 2612 b^4 c^8 - 388 b^2 c^10 - 36 c^12) a^16 + (27 b^10 + 207 b^8 c^2 + 3454 b^6 c^4 + 3454 b^4 c^6 + 207 b^2 c^8 + 27 c^10) a^18 + (2 b^8 + 120 b^6 c^2 - 752 b^4 c^4 + 120 b^2 c^6 + 2 c^8) a^20 + (-12 b^6 - 142 b^4 c^2 - 142 b^2 c^4 - 12 c^6) a^22 + (6 b^4 + 38 b^2 c^2 + 6 c^4) a^24 + (-b^2 - c^2) a^26 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.28818418812008, 3.15757352309072, -0.524509890133849).DT = ( (b^2 - c^2)^6 (b^2 + c^2)^2 (b^4 - 7 b^2 c^2 + c^4) - (b^2 - c^2)^4 (5 b^10 - 16 b^8 c^2 - 53 b^6 c^4 - 53 b^4 c^6 - 16 b^2 c^8 + 5 c^10) a^2 + (b^2 - c^2)^2 (8 b^12 - 41 b^10 c^2 + 112 b^8 c^4 - 190 b^6 c^6 + 112 b^4 c^8 - 41 b^2 c^10 + 8 c^12) a^4 + b^2 c^2 (97 b^10 + 157 b^8 c^2 + 1154 b^6 c^4 + 1154 b^4 c^6 + 157 b^2 c^8 + 97 c^10) a^6 + (-14 b^12 - 119 b^10 c^2 - 1650 b^8 c^4 - 2674 b^6 c^6 - 1650 b^4 c^8 - 119 b^2 c^10 - 14 c^12) a^8 + (14 b^10 + b^8 c^2 + 1905 b^6 c^4 + 1905 b^4 c^6 + b^2 c^8 + 14 c^10) a^10 + (149 b^6 c^2 - 478 b^4 c^4 + 149 b^2 c^6) a^12 + (-8 b^6 - 133 b^4 c^2 - 133 b^2 c^4 - 8 c^6) a^14 + (5 b^4 + 38 b^2 c^2 + 5 c^4) a^16 + (-b^2 - c^2) a^18 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.65833079547627, 1.11348354049346, 1.64286935596140).∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
El centro ortológico de A'B'C' respecto a es:DZ = ( -(b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^2 - 2 (b^2 - c^2)^2 (b^6 + 5 b^4 c^2 + 5 b^2 c^4 + c^6) a^2 + 4 (b^2 - c^2)^2 (2 b^4 + 3 b^2 c^2 + 2 c^4) a^4 - 2 (b^6 - 3 b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 + c^6) a^6 + (-7 b^4 - 2 b^2 c^2 - 7 c^4) a^8 + 4 (b^2 + c^2) a^10 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (17.9313945248011, 16.9476661040143, -16.3683633707799) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {20, 110}, {51, 125}, {113, 6823}, {541, 12302}, {2935, 3516}, {5642, 10117}, {5895, 6090}, {5972, 7494}, {7221, 10118}.SZ = ( (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^6 + 7 b^4 c^2 + 7 b^2 c^4 + c^6) a^2 - 2 (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 + 5 b^2 c^2 + 3 c^4) a^4 + 2 (b^6 - 3 b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 + c^6) a^6 + (5 b^4 + 4 b^2 c^2 + 5 c^4) a^8 - 3 (b^2 + c^2) a^10 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (12.6913978592303, 11.5208481777649, -10.1928755761900), es el punto medio del segmento X(323)X(13203), el simétrico de X(10117) en X(11064), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {20, 154}, {30, 15132}, {323, 1503}, {468, 15131}, {858, 2781}, {1568, 15125}, {2777, 10564}, {3635, 15519}, {7464, 15311}, {10117, 11064}.Σ abc xyz (2 b c - S) S x^2 - 2 (2 a^2 b c - a (b + c) S + S^2) y z = 0,
y su centro es:Wi = ( a(a(b+c)-b^2-c^2+4R(b+c-a)) : ... : ...),
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita, que tiene números de búsqueda en (2.68394388667284, 1.97661022831583, 1.03349868383980) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1, 6}, {4662, 7090}, {6212, 9943}.Σ abc xyz (2 b c + S) S x^2 + 2 (2 a^2 b c + a (b + c) S + S^2) y z = 0,
y su centro es:We = ( a(a(b+c)-b^2-c^2-4R(b+c-a)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.46000151178707, 2.48835564572162, -0.140505509032314) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}:{1, 6}, {3812, 7090}, {6213, 9943}.
| ( (3 d^2 ha^2+ha^4+(ha^2-d^2)Φ)/(2 d (d^2+ha^2)), -ha Φ/(d^2+ha^2) ). | (1) |
| ( -(d^2 (d^2 + 3 ha^2) + (d^2 - ha^2) Ψ+)/(2dva^2), -ha (ha^2+Ψ+)/va^2 ), | (2) |
| ( -(d^2 (d^2 + 3 ha^2) + (d^2 - ha^2) Ψ-)/(2dva^2), -ha (ha^2+Ψ-)/va^2 ). | (3) |
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
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en memoria de Marta (serían 41)
Let A'B'C' be the cevian triangle of a point P, and let A", B", C" be the respective intersections of lines PA, PB, PC with the circumcircle of triangle ABC.
U = B'C"∩B"C', V = C'A"∩C"A' and W = A'B"∩A"B'.
Lines AU, BV, CW concur in the 1st Saragossa point of P.
b.png)
El lugar geométrico del punto diagonal B1C2∩C1B2 es la hipérbola tangente en A a pab y que pasa por los pies de las bisectrices en A y por la reflexión C'a de C en A.
El lugar geométrico del punto diagonal B1B2∩C1C2 es la cónica circunscrita a ABC, tangente en A a pab y que pasa por Uac=pac∩BC'a.
Las rectas VabVac, VbcVba, VcaVcb determinan un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X64, conjugado isogonal del .
Los puntos A1 y A2 son las intersecciones de las bisectrices en A con la hipérbola rectangular con centro en el ortocentro, asíntotas paralelas a las bisectrices en A y que pasa por el antipodal A' de A en la circunferencia circunscrita.
Definiendo cíclicamente los puntos B1, B2, C1 y C2, las rectas A1A2, B1B2 y C1C2, concurren en el del ortocentro y circuncentro, X155.
Las rectas A1bA1c y A2bA2c son paralelas a las bisectrices en A y se cortan en Ta, vértice del .
A1 = (a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+b c+c^2) : 2b^2c(b+c) : 2b c^2(b+c)).
Para un punto (a(a+b-c+(a-b+c)t) : b(a(-1+t)-(b-c)(1+t)) : c(a-at+(b-c)(1+t))) sobre la bisectriz exterior en A, las proyecciones ortogonales sobre los lados AB y AC son, respectivamente, (a(-1+t)+(b+c)(1+t):0:a-at+(b-c)(1+t)) y (a-at+(b+c)(1+t):a(-1+t)-(b-c)(1+t):0). Las distancias de estos puntos a los vértices C y B son iguales si t = (a^3+a^2b-ab^2-b^3-a^2c-b^2c-ac^2+bc^2+c^3)/(a^3-a^2b-ab^2+b^3+a^2c+b^2c-ac^2-bc^2-c^3). Por tanto,A2 = (a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2-bc+c^2) : -2b^2(b-c)c : 2b(b-c)c^2).
Σ abc xyz b^2c^2(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))x^2-2a^2bc(a^4+4a^2bc-(b^2-c^2)^2)yz = 0.
W = ( a(a+b-c)(a-b+c)(b+c)(a^6+2a^5(b+c)-a^4(b^2+c^2)-2a^3(b^3+c^3)+a^2(b^2-c^2)^2-2a b(b-c)^2c(b+c)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.313937427963258, -0.723523902904563, 4.28645984297827) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {65, 603}, {73, 2292}, {1071, 3931}, {1254, 1400}.
A1 = ( (2 a^4 - (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)) ((b^2 - c^2)^4 +
a^6 (b^2 + c^2) - a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
a^4 (b^4 + c^4)):
-(a^2 - a b + b^2 - c^2) (a^2 + a b + b^2 -
c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^6 - a^4 (b^2 + 2 c^2) + (b^3 - b c^2)^2 +
a^2 (-b^4 + 2 b^2 c^2 + c^4)):
-(a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 -
a c + c^2) (a^2 - b^2 + a c + c^2) (a^6 -
a^4 (2 b^2 + c^2) + (-b^2 c + c^3)^2 + a^2 (b^4 + 2 b^2 c^2 - c^4)) ).
A2 = ( (2 a^4 - (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2)) (a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4)):
-(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - a b + b^2 -
c^2) (a^2 + a b + b^2 - c^2) (a^4 + b^4 + b^2 c^2 - 2 c^4 +
a^2 (-2 b^2 + c^2)):
-(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 - a c +
c^2) (a^2 - b^2 + a c + c^2) (a^4 - 2 b^4 + b^2 c^2 + c^4 +
a^2 (b^2 - 2 c^2)) ).
W = ( /(((b^2+c^2) a^4-2 (b^4-b^2 c^2+c^4)a^2+ b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+c^6) (4 SA^2-b^2 c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.489839199429536, 0.418452266923778, 3.12488712814659) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2, 5627}, {30, 50}, {94, 2071}, {186, 476}, {265, 2072}, {1141, 3153}.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas pa, pb y pc es perspectivo con el , y el centro de perspectividad es la reflexión del incentro en
X108.
( X108 está sobre la circunferencia circunscrita y es inverso del en la )
Σ abc xyz (a^2 - (b - c)^2)x^2 -2 (a^2 + (b + c)^2)y z = 0.
(a^2 - (b - c)^2)x^2 + 2 y + 2 SCz = 0.
El centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es la reflexión del incentro en el :X80 = ( 1 /(2SA-bc) : 1 /(2SB-ca) : 1 /(2SC-ab)).
El centro de perspectividad del triángulo excentral y A'B'C' es la reflexión del incentro en X108:W = ( a (a^9+a^8 (b+c)-a^7 (2 b^2+3 b c+2 c^2) -2 a^6 (b^3-2 b^2 c-2 b c^2+c^3) +3 a^5 b (b-c)^2 c -8 a^4 b (b-c)^2 c (b+c) +a^3 (b-c)^2 (2 b^4+7 b^3 c+14 b^2 c^2+7 b c^3+2 c^4) +2 a^2 (b-c)^4 (b^3+4 b^2 c+4 b c^2+c^3) -a (b^2-c^2)^2 (b^4+3 b^3 c-4 b^2 c^2+3 b c^3+c^4) -(b-c)^6 (b+c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-1.85382997522675, -1.43229122890610, 5.48786455202403) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1, 102}, {36, 1455}, {40, 1720}, {46, 80}, {57, 1359}, {123, 1698}, {165, 1295}, {281, 1478}, {610, 1783}, {1054, 1722}, {1282, 2812}, {1697, 3318}, {1717, 1854}, {1721, 2093}, {1723, 2270}, {1773, 9613}, {2791, 9860}, {2804, 5541}, {2850, 2948}, {2955, 10572}, {2961, 3586}, {3624, 6717}, {5587, 10746}, {6087, 10015}, {8938, 9583}.(r v - q w)^2x^2 -2 (p v (3 r u + p w) + q u (r u + 3 p w))y z + ... = 0.
(b^2 - c^2)^2 x^2 -2 (a^4 + b^2 c^2 + 3 a^2 (b^2 + c^2)) y z + ... = 0,
cuyo centro es X141.Z = ( 10a^6-7a^4(b^2+c^2)- 2a^2(3b^4-8b^2c^2+3c^4)+3(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.13336696719864, 0.0267601762483433, 3.09904575964384) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {30, 5972}, {110, 468}, {182, 1660}, {549, 5646}, {1350, 10154}, {1351, 6353}, {1495, 5159}, {1503, 6723}, {5651, 6676}, {5921, 8780}.Let P and Q be the intersections of line BC and circle {X(1),2r}. Let X = X(1). Let Oa be the circumcenter of triangle PQX, and define Ob, Oc cyclically. The lines AOa, BOb, COc concur in X(79). (Randy Hutson, July 20, 2016).
El triángulo A'B'C' formado por las rectas pa, pb y pc es perspectivo con ABC, y el centro de perspectividad es X79.
Σ abc xyz (a^2 - (b + c)^2)x^2 -2 (a^2 + (b - c)^2)y z = 0.
(a^2 - (b + c)^2)x^2 + 2 y + 2 SCz = 0.
El centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es:X79 = ( 1 /(2SA+bc) : 1 /(2SB+ca) : 1 /(2SC+ab)).
En recuerdo a Marta (hace 18)
Sean ABC un triángulo y P un punto sobre su circunferencia circunscrita Γ.V = 3((r+2R)^2-s^2) X69 - 2(r^2+4rR-s^2) X3426,
siendo r y R los radios de las circunferencia inscrita y circunscrita a ABC.
V = ( 2 a^2 - SA (a^4 - 3SBSC) : ... : ...)
=
( 5 a^6- a^4 (b^2 + c^2) - a^2 (b^2 - c^2)^2 -
3 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2): ... : ...),
a Aye, por su "cumple"
X = ( 1/(b^4-b^2c^2+c^4 - a^2(b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.15982456851315, 4.81018404578906, -1.60938196602950) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {24, 157}, {32, 3613}, {98, 160}, {140, 141}, {183, 1232}, {230, 427}, {237, 2980}, {577, 7668}, {615, 8911}, {1078, 1502}, {1485, 2351}, {5961, 7502}.
Los centros de perspectividad
P"
[ Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
P" = (u((b^2-c^2) u (c^6 v^2 (v w (v+w)-u^2 (2 v+w)-u w (3 v+2 w))+b^6 w^2 (-v w (v+w)+u^2 (v+2 w)+u v (2 v+3 w))-b^2 c^4 v (u^2 (2 v^2+4 v w+w^2)+u w (2 v^2+10 v w+5 w^2)+w (2 v^3+2 v^2 w+v w^2+w^3))+b^4 c^2 w (u^2 (v^2+4 v w+2 w^2)+u v (5 v^2+10 v w+2 w^2)+v (v^3+v^2 w+2 v w^2+2 w^3)))+(c^6 v^2 w (u^3+u^2 (5 v+w)-w (3 v^2+4 v w+w^2)+u (-3 v^2+4 v w+3 w^2))+b^6 v w^2 (u^3+u^2 (v+5 w)+u (3 v^2+4 v w-3 w^2)-v (v^2+4 v w+3 w^2))-b^2 c^4 v (8 u^4 (v+w)+v w^2 (-5 v^2-4 v w+w^2)+u^3 (12 v^2+26 v w+11 w^2)+u w (2 v^3+13 v^2 w-6 v w^2-5 w^3)+u^2 (8 v^3+14 v^2 w+9 v w^2+7 w^3))-b^4 c^2 w (8 u^4 (v+w)+v^2 w (v^2-4 v w-5 w^2)+u^3 (11 v^2+26 v w+12 w^2)+u v (-5 v^3-6 v^2 w+13 v w^2+2 w^3)+u^2 (7 v^3+9 v^2 w+14 v w^2+8 w^3))) a^2
+(-b^4 w^2 (u^3 (5 v+2 w)+u^2 v (7 v+11 w)+v^2 (-3 v^2-6 v w+w^2)+u (5 v^3-v w^2))-b^2 c^2 v w (-8 u^4-7 u^3 (v+w)+2 v w (v^2+6 v w+w^2)+u^2 (v^2+10 v w+w^2)+3 u (3 v^3+v^2 w+v w^2+3 w^3))-c^4 v^2 (u^3 (2 v+5 w)+u^2 w (11 v+7 w)+w^2 (v^2-6 v w-3 w^2)+u (-v^2 w+5 w^3))) a^4+
v w (c^2 v (3 u^3+3 u^2 (v+w)+3 w (v^2-w^2)+u (3 v^2-4 v w+w^2))+b^2 w (3 u^3-3 v^3+3 v w^2+3 u^2 (v+w)+u (v^2-4 v w+3 w^2))) a^6
+v^2 w^2 (u^2+(v-w)^2+u (v+w)) a^8): ... : ...) ]
y
Q"
[ Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
Q" = ( (v w(-3 b^6 c^4 u^3 v^2+5 b^4 c^6 u^3 v^2-b^2 c^8 u^3 v^2-c^10 u^3 v^2-b^6 c^4 u^2 v^3+3 b^4 c^6 u^2 v^3-3 b^2 c^8 u^2 v^3+c^10 u^2 v^3-4 b^8 c^2 u^3 v w+4 b^6 c^4 u^3 v w+4 b^4 c^6 u^3 v w-4 b^2 c^8 u^3 v w-b^8 c^2 u^2 v^2 w+3 b^6 c^4 u^2 v^2 w-3 b^4 c^6 u^2 v^2 w+b^2 c^8 u^2 v^2 w-b^10 u^3 w^2-b^8 c^2 u^3 w^2+5 b^6 c^4 u^3 w^2-3 b^4 c^6 u^3 w^2+b^8 c^2 u^2 v w^2-3 b^6 c^4 u^2 v w^2+3 b^4 c^6 u^2 v w^2-b^2 c^8 u^2 v w^2+b^10 u^2 w^3-3 b^8 c^2 u^2 w^3+3 b^6 c^4 u^2 w^3-b^4 c^6 u^2 w^3+(2 b^6 c^2 u^3 v^2-3 b^4 c^4 u^3 v^2-4 b^2 c^6 u^3 v^2+5 c^8 u^3 v^2+b^6 c^2 u^2 v^3-8 b^4 c^4 u^2 v^3+5 b^2 c^6 u^2 v^3+2 c^8 u^2 v^3+2 b^8 u^3 v w+6 b^6 c^2 u^3 v w-16 b^4 c^4 u^3 v w+6 b^2 c^6 u^3 v w+2 c^8 u^3 v w+b^8 u^2 v^2 w-3 b^6 c^2 u^2 v^2 w-4 b^4 c^4 u^2 v^2 w+5 b^2 c^6 u^2 v^2 w+c^8 u^2 v^2 w+3 b^6 c^2 u v^3 w-b^4 c^4 u v^3 w-7 b^2 c^6 u v^3 w+5 c^8 u v^3 w+5 b^8 u^3 w^2-4 b^6 c^2 u^3 w^2-3 b^4 c^4 u^3 w^2+2 b^2 c^6 u^3 w^2+b^8 u^2 v w^2+5 b^6 c^2 u^2 v w^2-4 b^4 c^4 u^2 v w^2-3 b^2 c^6 u^2 v w^2+c^8 u^2 v w^2+2 b^8 u v^2 w^2+8 b^6 c^2 u v^2 w^2-20 b^4 c^4 u v^2 w^2+8 b^2 c^6 u v^2 w^2+2 c^8 u v^2 w^2+2 b^8 u^2 w^3+5 b^6 c^2 u^2 w^3-8 b^4 c^4 u^2 w^3+b^2 c^6 u^2 w^3+5 b^8 u v w^3-7 b^6 c^2 u v w^3-b^4 c^4 u v w^3+3 b^2 c^6 u v w^3) a^2+(3 b^2 c^4 u^3 v^2-3 c^6 u^3 v^2+5 b^4 c^2 u^2 v^3-b^2 c^4 u^2 v^3-12 c^6 u^2 v^3+2 b^4 c^2 u v^4-8 b^2 c^4 u v^4-2 c^6 u v^4-2 b^6 u^3 v w+2 b^4 c^2 u^3 v w+2 b^2 c^4 u^3 v w-2 c^6 u^3 v w+4 b^6 u^2 v^2 w+5 b^4 c^2 u^2 v^2 w-17 b^2 c^4 u^2 v^2 w+2 b^6 u v^3 w-11 b^4 c^2 u v^3 w+4 b^2 c^4 u v^3 w-11 c^6 u v^3 w+2 b^4 c^2 v^4 w-2 c^6 v^4 w-3 b^6 u^3 w^2+3 b^4 c^2 u^3 w^2-17 b^4 c^2 u^2 v w^2+5 b^2 c^4 u^2 v w^2+4 c^6 u^2 v w^2-7 b^6 u v^2 w^2-b^4 c^2 u v^2 w^2-b^2 c^4 u v^2 w^2-7 c^6 u v^2 w^2+b^6 v^3 w^2+3 b^4 c^2 v^3 w^2-5 b^2 c^4 v^3 w^2+c^6 v^3 w^2-12 b^6 u^2 w^3-b^4 c^2 u^2 w^3+5 b^2 c^4 u^2 w^3-11 b^6 u v w^3+4 b^4 c^2 u v w^3-11 b^2 c^4 u v w^3+2 c^6 u v w^3+b^6 v^2 w^3-5 b^4 c^2 v^2 w^3+3 b^2 c^4 v^2 w^3+c^6 v^2 w^3-2 b^6 u w^4-8 b^4 c^2 u w^4+2 b^2 c^4 u w^4-2 b^6 v w^4+2 b^2 c^4 v w^4) a^4+(-2 b^2 c^2 u^3 v^2-c^4 u^3 v^2-5 b^2 c^2 u^2 v^3+2 c^4 u^2 v^3+4 c^4 u v^4-2 b^4 u^3 v w-6 b^2 c^2 u^3 v w-2 c^4 u^3 v w-10 b^4 u^2 v^2 w-9 b^2 c^2 u^2 v^2 w-2 c^4 u^2 v^2 w-2 b^4 u v^3 w-3 b^2 c^2 u v^3 w-7 c^4 u v^3 w-8 b^2 c^2 v^4 w+4 c^4 v^4 w-b^4 u^3 w^2-2 b^2 c^2 u^3 w^2-2 b^4 u^2 v w^2-9 b^2 c^2 u^2 v w^2-10 c^4 u^2 v w^2-b^4 u v^2 w^2-30 b^2 c^2 u v^2 w^2-c^4 u v^2 w^2-7 b^4 v^3 w^2-2 b^2 c^2 v^3 w^2-3 c^4 v^3 w^2+2 b^4 u^2 w^3-5 b^2 c^2 u^2 w^3-7 b^4 u v w^3-3 b^2 c^2 u v w^3-2 c^4 u v w^3-3 b^4 v^2 w^3-2 b^2 c^2 v^2 w^3-7 c^4 v^2 w^3+4 b^4 u w^4+4 b^4 v w^4-8 b^2 c^2 v w^4) a^6+(-c^2 u^2 v^3-2 c^2 u v^4+2 b^2 u^3 v w+2 c^2 u^3 v w+4 b^2 u^2 v^2 w-2 b^2 u v^3 w-5 c^2 u v^3 w-2 c^2 v^4 w+4 c^2 u^2 v w^2+3 b^2 u v^2 w^2+3 c^2 u v^2 w^2+3 b^2 v^3 w^2-9 c^2 v^3 w^2-b^2 u^2 w^3-5 b^2 u v w^3-2 c^2 u v w^3-9 b^2 v^2 w^3+3 c^2 v^2 w^3-2 b^2 u w^4-2 b^2 v w^4) a^8+(u^2 v^2 w+2 u v^3 w+u^2 v w^2+3 u v^2 w^2+3 v^3 w^2+2 u v w^3+3 v^2 w^3) a^10) : ... : ...) ]
describen una séxtica que pasa por X1 (incentro), X25 (centro de homotecia de los triángulos y ), X577
(complemento del conjugado isotómico del ), por los pies de las cevianas del circuncentro y es tangente a los lados de ABC en los pies de las cevianas del .
L1 : (b^2-c^29) x + a(a+c) y -a(a+b)z = 0,
L11 : (b-c) (-a^2+a (b+c)+(b+c)^2) x+a^2 (a+c) y-a^2 (a+b) z = 0,
L12 : (-b^4 + b^2 c^2) x + (-a^4 - a^3 b - (b^2 - c^2)^2 +
a b (b^2 + b c + c^2) + a^2 (b^2 + 2 c^2)) y + a b^2 (a + b) z = 0.
L13 : (-b^2 c^2 + c^4) x -
a c^2 (a + c) y + (a^4 + a^3 c + (b^2 - c^2)^2 - a^2 (2 b^2 + c^2) -
a c (b^2 + b c + c^2)) z = 0.
O1 = ( a (a^2 + a b - (b - c)^2) (a^2 - (b - c)^2 + a c) : b^2 (b - c) (-a^2 + (b - c)^2 - a c) : -(-a^2 - a b + (b - c)^2) (b - c) c^2 ).
Sea Γ1
W = ( a^2(-(b-c)^4 (b+c)^3 (b^4+3 b^2 c^2+c^4)+(b-c)^2 (b+c)^4 (b^4+3 b^2 c^2+c^4) a
+2 (2 b^9-b^8 c-2 b^7 c^2-b^6 c^3-8 b^5 c^4-8 b^4 c^5-b^3 c^6-2 b^2 c^7-b c^8+2 c^9) a^2
-2 (2 b^8+3 b^7 c+5 b^6 c^2+6 b^5 c^3+6 b^4 c^4+6 b^3 c^5+5 b^2 c^6+3 b c^7+2 c^8) a^3
+(-6 b^7+3 b^5 c^2+b^4 c^3+b^3 c^4+3 b^2 c^5-6 c^7) a^4
+(6 b^6+6 b^5 c+11 b^4 c^2+12 b^3 c^3+11 b^2 c^4+6 b c^5+6 c^6) a^5
+2 (2 b^5+b^4 c+b^3 c^2+b^2 c^3+b c^4+2 c^5)a^6
-2 (2 b^4+b^3 c+2 b^2 c^2+b c^3+2 c^4) a^7
+(-b^3-b^2 c-b c^2-c^3) a^8
+(b^2+c^2) a^9) : ... : ...),
x' = 4a^2b^2c^2x + a^2c^2(a^2+b^2-c^2)y + a^2b^2(a^2-b^2+c^2)z
y' = b^2c^2(a^2+b^2-c^2)x + 4a^2b^2c^2y + a^2b^2(-a^2+b^2+c^2)z
z' = b^2c^2(a^2-b^2+c^2)x + a^2c^2(-a^2+b^2+c^2)y + 4a^2b^2c^2z
ℋa : (2S^2-3) (c^2y^2-b^2z^2) + S^2(b^2-c^2)y z - b^2(2S^2-3SASB)z x + c^2(2S^2-3SASC)x y = 0.
El centro de esta hipérbola es:
Ao = ( a^2(-10a^6+13a^4(b^2+c^2)-7(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+
4a^2(b^4-6b^2c^2+c^4)) :
-a^8-(b^2-c^2)^3(b^2+c^2)+a^6(-3b^2+2c^2)+a^4(8b^4-6b^2c^2)-
a^2(3b^6+6b^4c^2-11b^2c^4+2c^6) :
-a^8+a^6(2b^2-3c^2)+(b^2-c^2)^3(b^2+c^2)+
a^4(-6b^2c^2+8c^4)-a^2(2b^6-11b^4c^2+6b^2c^4+3c^6)).
ta : c^2(2S^2-3SASC) y - b^2(2S^2-3SASB) z = 0.
Similarmente, se tienen las tangentes tb y tc.
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