Hechos Geométricos en el Triángulo (2016)

Triángulos perspectivos y cónicas por sus vértices

Seis cónicas con dos puntos comunes

p w (-r u + p w)y^2 -p v (-q u + p v)z^2 -r v (q u - p v)z x+ q w (r u - p w)x y=0,

-q r v w x^2 + u (q r u - p r v - p q w)y z + p q v w z x + p r v w x y=0.

  La recta PQ vuelve a cortar al cónica que pasa por los puntos Q, B, C, P_b, P_c en el punto Q_a = (-q r u + p r v + p q w : q^2 w : r^2 v). Análogamente, se obtienen los puntos Q_b = (-p^2 w : p r v-q r u+p q w :-r^2 u) y Q_c = (p^2 v : q^2 u : q r u+p r v-p q w).

Transformación respecto a la cónica circunscrita de Steiner

Q = (u^2-v w : v^2-w u : w^2-u v).

b^2 x^3 y-c^2 x^2 y^2+a^2 x y^3+c^2 x^3 z-a^2 x^2 y z-b^2 x y^2 z+c^2 y^3 z-b^2 x^2 z^2-c^2 x y z^2-a^2 y^2 z^2+a^2 x z^3+b^2 y z^3 = 0.

W = ((a^2+b^2-2 c^2) (a^2-2 b^2+c^2) (a^6+5 a^2 b^2 c^2-2 a^4 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^2+c^2)):...:...),

U = (a^2/((b^2-c^2)(-a^6-5 a^2 b^2 c^2+2 a^4 (b^2+c^2)+b^2 c^2 (b^2+c^2)) ):...:...),

Circuncentros sobre una recta perpendicular a la recta de Euler

a Bea, por su "cumple"

O_a = (-2 a^2 (a^2-b^2-c^2) : -a^4-3 b^4+4 b^2 c^2-c^4+2 a^2 (2 b^2+c^2) : -a^4-b^4+4 b^2 c^2-3 c^4+2 a^2 (b^2+2 c^2))

N_a = (-2 a^4-3 (b^2-c^2)^2+5 a^2 (b^2+c^2) : -a^4+c^2 (b^2-c^2)+a^2 (b^2+2 c^2) : -a^4-b^4+b^2 c^2+a^2 (2 b^2+c^2))

O₁ = (4 a^8-(b^2-c^2)^4-8 a^6 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+3 a^4 (b^4+c^4):
2 a^8-(b^2-c^2)^3 (2 b^2-c^2)-a^6 (7 b^2+5 c^2)+a^4 (6 b^4+4 b^2 c^2+3 c^4)+a^2 (b^6-2 b^2 c^4+c^6) :
2 a^8-(b^2-2 c^2) (b^2-c^2)^3-a^6 (5 b^2+7 c^2)+a^4 (3 b^4+4 b^2 c^2+6 c^4)+a^2 (b^6-2 b^4 c^2+c^6)).

(2 a^6-6 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (6 b^4+b^2 c^2+6 c^4)-2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2))x+ ⋯ =0,

W = (4 a^10-10 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (2 b^4+7 b^2 c^2+2 c^4)-a^2 (b^2-c^2)^2 (8 b^4+3 b^2 c^2+8 c^4)-a^4 (-8 b^6+11 b^4 c^2+11 b^2 c^4-8 c^6)+2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2):...:...),

Una nueva cuártica

Punto de Parry

A' = (2 (-a^4+b^4-b^2 c^2+c^4) : -a^2 (a^2-2 b^2+c^2) : -a^2 (a^2+b^2-2 c^2)).

Hipérbola y parábola bitangentes

W = ((a^2-b^2-c^2) (-2a^8+2 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^4):...:...),

(1/((b^2-c^2)^2 ): 1/((c^2-a^2)^2 S_B^3):1/((a^2-b^2)^2 S_C^3)),

Correspondencia entre puntos de la recta de Euler

N_a = (-(b^2-c^2)^2 p^2+a^2 p (c^2 (p+q-r)+b^2 (p-q+r))+a^4 (2 q r+p (q+r)):
-(b^2-c^2) p (b^2 (q+r)-c^2 (p+q+r))-a^4 (p^2+q r+p (2 q+r))+a^2 (b^2 (p^2+3 p q-q r)+c^2 (2 p^2+3 p q+2 p r+q r)):
-(b^2-c^2) p (-c^2 (q+r)+b^2 (p+q+r))-a^4 (p^2+q r+p (q+2 r))+a^2 (c^2 (p^2+3 p r-q r)+b^2 (2 p^2+2 p q+3 p r+q r))).

M_a = ((b^2-c^2)^2 p (5 p+2 (q+r))+a^4 (2 p^2-6 q r-p (q+r))-a^2 p (c^2 (7 p+7 q+r)+b^2 (7 p+q+7 r))+3 ((b^2-c^2)^2 p^2+a^4 (2 p^2-2 q r+p (q+r))-a^2 p (c^2 (3 p+3 q+r)+b^2 (3 p+q+3 r))) t :
a^4 (5 p^2+8 p q+5 p r+3 q r)-a^2 (b^2 (7 p^2+13 p q+4 p r-3 q r)+c^2 (10 p^2+13 p q+10 p r+3 q r))+(b^2-c^2) p (-5 c^2 (p+q+r)+b^2 (2 p+5 (q+r)))+3 (a^4 (p^2+q r+p (2 q+r))-a^2 (b^2 (3 p^2+5 p q+2 p r-q r)+c^2 (2 p^2+3 p q+2 p r+q r))+(b^2-c^2) p (-c^2 (p+q+r)+b^2 (2 p+3 (q+r)))) t:
a^4 (5 p^2+5 p q+8 p r+3 q r)-a^2 (c^2 (7 p^2+4 p q+13 p r-3 q r)+b^2 (10 p^2+10 p q+13 p r+3 q r))+(b^2-c^2) p (5 b^2 (p+q+r)-c^2 (2 p+5 (q+r)))+3 (a^4 (p^2+q r+p (q+2 r))-a^2 (c^2 (3 p^2+2 p q+5 p r-q r)+b^2 (2 p^2+2 p q+3 p r+q r))+(b^2-c^2) p (b^2 (p+q+r)-c^2 (2 p+3 (q+r)))) t)

(a^4 q^2 r^2 (2 p+q+r)+a^2 p (b^2 r (p^2 (q-r)+q^2 (q+r)+p (2 q^2+2 q r-r^2))+c^2 q (p^2 (-q+r)+r^2 (q+r)+p (-q^2+2 q r+2 r^2)))-p (b^4 r (p^2 q+q (q+r)^2+p (2 q^2+3 q r+r^2))+c^4 q (p^2 r+r (q+r)^2+p (q^2+3 q r+2 r^2))-b^2 c^2 (2 q r (q+r)^2+p^2 (q^2+4 q r+r^2)+p (q^3+5 q^2 r+5 q r^2+r^3))):...:...)

Perspectividad y centros de circunferencias de Euler

N_a = (-2 a^8+(b^2-c^2)^4+4 a^6 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4) :
(a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+2 c^2)) (a^4+b^4-3 b^2 c^2+2 c^4-a^2 (2 b^2+3 c^2)) :
(a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (2 b^2+c^2)) (a^4+2 b^4-3 b^2 c^2+c^4-a^2 (3 b^2+2 c^2))).

A_t = (-2a^4-a^2(b^2+c^2)(-4+t)+(b^2-c^2)^2(-2+t) : (a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2c^2))t : (a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2))t),
B_t = (-(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2))t : a^2(-b^2(-4+t)-2c^2(-2+t))-(b^2-c^2)(2b^2+c^2(-2+t))+a^4(-2+t) : (a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2))t),
C_t = (-(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2))t : (a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2c^2))t : a^2(-c^2(-4+t)-2b^2(-2+t))+(b^2-c^2)(2c^2+b^2(-2+t))+a^4(-2+t)).

2 a^16 (-1+t)+a^14 (b^2+c^2) (16-13 t+t^2)
-a^12 (2 b^2 c^2 (38-25 t+3 t^2)+b^4 (56-37 t+5 t^2)+c^4 (56-37 t+5 t^2))
+a^10 (b^2+c^2) (-4 b^2 c^2 (-3+t)+b^4 (114-65 t+11 t^2)+c^4 (114-65 t+11 t^2))
-a^8 (6 b^4 c^4 (-3+t)^2+5 b^8 (30-17 t+3 t^2)+5 c^8 (30-17 t+3 t^2)+2 b^6 c^2 (24-13 t+3 t^2)+2 b^2 c^6 (24-13 t+3 t^2))
+3 a^6 (b^2+c^2) (3 b^4 c^4 (28-19 t+3 t^2)-2 b^6 c^2 (43-25 t+4 t^2)-2 b^2 c^6 (43-25 t+4 t^2)+b^8 (44-29 t+5 t^2)+c^8 (44-29 t+5 t^2))
-a^4 (b^2-c^2)^2 (2 b^6 c^2 (-29+3 t)+2 b^2 c^6 (-29+3 t)+3 b^4 c^4 (-18-3 t+t^2)+b^8 (76-63 t+11 t^2)+c^8 (76-63 t+11 t^2))
+a^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) (-2 b^2 c^2 (29-13 t+2 t^2)+b^4 (26-27 t+5 t^2)+c^4 (26-27 t+5 t^2))
-(b^2-c^2)^6 (2 b^2 c^2 (-5+t)+b^4 (4-5 t+t^2)+c^4 (4-5 t+t^2))

(b^2-c^2)(2(^2-3S^2)(SB SC-3S^2)x^2+
(a^8-6 a^6 (b^2+c^2)+3 a^4 (4 b^4+3 b^2 c^2+4 c^4)+a^2 (-10 b^6+7 b^4 c^2+7 b^2 c^4-10 c^6)+(b^2-c^2)^2 (3 b^4-4 b^2 c^2+3 c^4))y z)+ ⋯ = 0.

((b^2-c^2)(5a^8-14a^6(b^2+c^2)+a^4(14b^4+b^2c^2+14c^4)+a^2(-6b^6+3b^4c^2+3b^2c^4-6c^6)+(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)):...:...),

Proyecciones ortogonales de circuncentros de triángulos asociados a puntos conjugados isogonales

{X₃, X₄₆₈= 3X₂ + X₂₃ },

{X₆₇, (a^2 (-b^6+2 a^2 b^2 c^2+2 b^4 c^2+2 b^2 c^4-c^6+a^4 (b^2+c^2)):...:...)},

{X₁₈₇, ((8 a^2-b^2-c^2) (3 a^4-4 b^4+10 b^2 c^2-4 c^4-a^2 (b^2+c^2)) :...:...)},

(4 a^8-5 a^6 (b^2+c^2)-2 (b^4-c^4)^2-2 a^4 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)+a^2 (5 b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+5 c^6) :...:...)},

Triángulos órtico y ortoceviano del ortocentro, polares respecto a una cónica

H_a = (0 : a^2+b^2-c^2 : a^2-b^2+c^2),
O_a = (-2a^2(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2)) : (a^2-b^2-c^2)(a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2) : (a^2-b^2-c^2)(a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2)).

P = (S_BS_C(S²+S_BS_C) (3S_A(S²+S_BS_C)+b²S²_B+c²S²_C) : ... : ...)

(a^6-3a^4(b^2+c^2)+a^2(3b^4+4b^2c^2+3c^4) -b^6-b^4c^2-b^2c^4-c^6)x^2 + 2a^2(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))y z + ... = 0.

D = ((a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2) (2a^8-5a^6(b^2+c^2)+a^4(5b^4+2b^2c^2+5c^4)-3a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4) : ... : ...)

Triángulos ceviano y ortoceviano perspectivos

(b^2 (p+q) (b^2 p+a^2 q) r^3-c^4 p q^3 (p+r)-c^2 q r (b^2 p (p-q-r) (q-r)+a^2 q^2 (p+r))) x+r (a^4 q (p+q) r (p+r)-(b^2-c^2) p^2 (b^2 (p+q) r-c^2 q (p+r))+a^2 p (c^2 q (p+q-r) (p+r)+b^2 (p+q) r (p-q+r))) y-q (a^4 q (p+q) r (p+r)-(b^2-c^2) p^2 (b^2 (p+q) r-c^2 q (p+r))+a^2 p (c^2 q (p+q-r) (p+r)+b^2 (p+q) r (p-q+r))) z = 0.

-c^4 x^4 y^3+c^4 x^3 y^4+a^2 c^2 x^4 y^2 z-c^4 x^4 y^2 z-2 a^2 c^2 x^3 y^3 z+2 b^2 c^2 x^3 y^3 z-b^2 c^2 x^2 y^4 z+c^4 x^2 y^4 z-a^2 b^2 x^4 y z^2+b^4 x^4 y z^2-a^2 b^2 x^3 y^2 z^2+b^4 x^3 y^2 z^2+a^2 c^2 x^3 y^2 z^2-c^4 x^3 y^2 z^2-a^4 x^2 y^3 z^2+a^2 b^2 x^2 y^3 z^2-b^2 c^2 x^2 y^3 z^2+c^4 x^2 y^3 z^2-a^4 x y^4 z^2+a^2 b^2 x y^4 z^2+b^4 x^4 z^3+2 a^2 b^2 x^3 y z^3-2 b^2 c^2 x^3 y z^3+a^4 x^2 y^2 z^3-b^4 x^2 y^2 z^3-a^2 c^2 x^2 y^2 z^3+b^2 c^2 x^2 y^2 z^3-2 a^2 b^2 x y^3 z^3+2 a^2 c^2 x y^3 z^3-a^4 y^4 z^3-b^4 x^3 z^4-b^4 x^2 y z^4+b^2 c^2 x^2 y z^4+a^4 x y^2 z^4-a^2 c^2 x y^2 z^4+a^4 y^3 z^4 = 0.

∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗ 

Triángulo ortoceviano de un punto sobre la circunferencia circunscrita

O_a = (a^4 q (p+q) r (p+r)-(b^2-c^2) p^2 (b^2 (p+q) r-c^2 q (p+r))+a^2 p (c^2 q (p+q-r) (p+r)+b^2 (p+q) r (p-q+r)):
-b^2 ((p+q) (b^2 p+a^2 q) r^2-c^2 p q (p q+r^2)):
-c^2 (c^2 p q^2 (p+r)+r (a^2 q^2 (p+r)-b^2 p (q^2+p r))))

Q = (a^2 (b^2 (-1+t)-c^2 t) (b^2 (-1+t)-(c^2+2 a^2 (-1+t)) t) : b^2 (c^2+a^2 (-1+t)) (2 b^2 (-1+t)-(c^2+a^2 (-1+t)) t) : c^2 (-b^2+a^2 t) (-b^2 (-1+t)+(2 c^2+a^2 (-1+t)) t)),

(-a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4) x^3+(3 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+6 b^4 c^2-15 a^2 c^4-12 b^2 c^4+18 c^6) x^2 y+(6 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2-12 a^2 c^4-15 b^2 c^4+18 c^6) x y^2+(3 a^4 c^2-a^2 b^2 c^2+3 a^2 c^4) y^3+(3 a^4 b^2-15 a^2 b^4+18 b^6-3 a^2 b^2 c^2-12 b^4 c^2+6 b^2 c^4) x^2 z+(-9 a^6+15 a^4 b^2+15 a^2 b^4-9 b^6+15 a^4 c^2-60 a^2 b^2 c^2+15 b^4 c^2+15 a^2 c^4+15 b^2 c^4-9 c^6) x y z+(18 a^6-15 a^4 b^2+3 a^2 b^4-12 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+6 a^2 c^4) y^2 z+(6 a^4 b^2-12 a^2 b^4+18 b^6-3 a^2 b^2 c^2-15 b^4 c^2+3 b^2 c^4) x z^2+(18 a^6-12 a^4 b^2+6 a^2 b^4-15 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+3 a^2 c^4) y z^2+(3 a^4 b^2+3 a^2 b^4-a^2 b^2 c^2) z^3 = 0,

(a^2(a^2-b^2-c^2)(3a^2-b^2-c^2) : b^2(-a^2+b^2-c^2)(-a^2+3b^2-c^2) : c^2(-a^2-b^2+c^2)(-a^2-b^2+3c^2)).

t_1,2 = ((a^2+b^2-c^2) (a^4+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)) ±Sqrt[((a^3-a^2 b-a b^2+b^3+a^2 c+b^2 c-a c^2-b c^2-c^3) (a^3+a^2 b-a b^2-b^3+a^2 c+b^2 c-a c^2+b c^2-c^3) (a^3-a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3) (a^3+a^2 b-a b^2-b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2+b c^2+c^3)]) /(2 (a^6-a^4 b^2+2 a^2 b^4-a^4 c^2-4 a^2 b^2 c^2+2 a^2 c^4)).

X₉₇₂₃ = (a^2(-a^6 + 3a^4(b^2+c^2)-a^2(3b^4+4b^2c^2+3c^4) +b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6) : ... : ...).

X₈₆₁₄: centro de la cónica respecto a la que son polares los triángulos tangencial y de Fuhrmann

(x':y:z')=(a^2(c^2y+b^2z) : b^2(c^2x+a^2z) : c^2(b^2x+a^2y)),

D' = ( (a^2(a^2-b^2-b c-c^2)(a^2+b^2+c^2)(-b^2c^2(-a^2+b^2-c^2)-b^2c^2(-a^2-b^2+c^2))+(-a^4-(b+c)^2(b^2-b c+c^2)+a^2(2b^2+b c+2c^2))(c^2(-a^2b^2(a^2-b^2-c^2)-a^2b^2(-a^2+b^2-c^2))+b^2(-a^2c^2(a^2-b^2-c^2)-a^2c^2(-a^2-b^2+c^2))+a^2(-b^2c^2(-a^2+b^2-c^2)-b^2c^2(-a^2-b^2+c^2))))/((a^2-b^2-b c-c^2)(a^2+b^2+c^2)):
b^2(-a^2c^2(a^2-b^2-c^2)-a^2c^2(-a^2-b^2+c^2)):
c^2(-a^2b^2(a^2-b^2-c^2)-a^2b^2(-a^2+b^2-c^2))).

b^2c^2((2a^5 -3a^3(b^2+c^2) -a^2(b-c)^2(b+c) +a(b^4+b^3c+b c^3+c^4) + (b-c)^2(b+c)^3 )x^2 - 2a^2(a^3+a^2(b+c)-a(b^2+b c+c^2)-(b-c)^2(b+c))y z) + ⋯ = 0.

(a^2(a^5+a^4(b+c)+a^3(-2b^2+b c-2c^2) -2a^2(b^3+c^3) +a(b-c)^2(b^2+b c+c^2) +b^5-b^4c-b c^4+c^5) : ... : ...).

Cuarto triángulo de Brocard y X₉₄₆₅ como centro de cónicas

(a^6-a^4 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-7 b^2 c^2+c^4)+b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6)x^2 +2 (a^6+a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4))y z+...=0.

(a^10-2 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)+a^4 (b^6-9 b^4 c^2-9 b^2 c^4+c^6)-a^2 (b^2+c^2)^2 (2 b^4-5 b^2 c^2+2 c^4)+(b^2+c^2)^3 (b^4-b^2 c^2+c^4))x^2 + 2 (a^10-3 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (-4 b^4+2 b^2 c^2-4 c^4)+4 a^4 (b^6+c^6)+3 a^2 (b^8-b^6 c^2+b^4 c^4-b^2 c^6+c^8)-(b^2-c^2)^2 (b^6+c^6))y z+...=0.

  El centro de estas cónicas es X₉₄₆₅ y tienen los mismos ejes.

X₃₃ como centro de homotecia de triángulos

  Las rectas B_cC_b, C_aA_c y A_bB_a forman un triángulo DEF homotético a ABC con centro de homotecia en X₃₃.

A_b = (-a(a+b-c) : b(a-b+ c): - c(a+b-c)),   A_c = (-a(a-b+c) : b(-a+b-c) : c(a+b-c)).

D = (a(a^3+a(b-c)^2-a^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)) : b(a^3+a^2(-b+c)-(b-c)^2(b+c)+a(b^2-c^2)) : c(a^3+a^2(b-c)-(b-c)^2(b+c)+a(-b^2+c^2))).

(a(b+c-a)/S_A : b(c+a-b)/S_B : c(a+b-c)/S_C).

GENERALIZACIÓN

  El triángulo DEF es no degenerado y perspectivo con ABC si y solo so P está sobre la cúbica de Thomson.

A_b = (u(c^2(2u-w)+(-a^2+b^2)w) : w((a^2-c^2)v+b^2(-2u+v)) : -w((a^2-b^2)w+c^2(-2u+w))),
A_c = (u(b^2(2u-v)+(-a^2+c^2)v) : -v((a^2-c^2)v+b^2(-2u+v)) : v((a^2-b^2)w+c^2(-2u+w))).

Q = (3a^4-(b^2-c^2)^2 - 2a^2(b^2+c^2))/((a^8 - 4a^6(b^2+c^2) + a^4(6b^4-4b^2c^2+6c^4) - 4a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^2(b^4+ 6b^2c^2+c^4)) S_A) : ... : ...)

que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-0.9850917925434449, -2.046976200144293, 5.512459601642787).
  Si P=X₆

Q = (a^2S_A/(b^4+c^4-a^4) : ... : ...)

que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (1.658309789942009, 2.092830820411105, 1.426407857034225).
  Si P=X₉

Q = (a(b+c-a)/(a^2-2a(b+c)+b^2+c^2) : ... : ...)

que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (13.73266187994108, -3.371858943735532, -0.3631232708638266).

  Las rectas B_cC_b, C_aA_c y A_bB_a son concurrentes si y solo si P está sobre la nK(X6,X20,?), de parámetro k=a^6+b^6+c^6 -a^4 b^2-a^2 b^4-a^4 c^2-b^4 c^2-a^2 c^4-b^2 c^4 +10 a^2 b^2 c^2.

  Esta cúbica isogonal interseca a los lados de ABC en puntos de la del punto de De Longschamps, X₂₀.

Centros de perspectividad en la circunferencia circunscrita a un triángulo

  Las rectas DO_a, EO_b y FO_c concurren en un punto T de la circunferencia circunscrita.

( a^2/(q r a^2 (q S_B-r S_C)+p a^2 (q^2 c^2-r^2 b^2)+p^2 (q c^2 S_C-r S_B b^2)):...:...).

Una construcción de los conjugados isogonales de los centros X₃₈₃₀ y X₃₈₄₃

  Las rectas AA', BB' y CC' concurren en un punto en la , que es el del centro del triángulo X₃₈₃₀.

A' = (2 a^2 (2 a^4-4 a^2 b^2+2 b^4-4 a^2 c^2+5 b^2 c^2+2 c^4),-b^2 (4 a^4-8 a^2 b^2+4 b^4+a^2 c^2+b^2 c^2-5 c^4),-c^2 (4 a^4+a^2 b^2-5 b^4-8 a^2 c^2+b^2 c^2+4 c^4)).

(a^2/(5a^4-a^2 (b^2+c^2)-4(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

  Las rectas AA'', BB'' y CC'' concurren en un punto en a hipérbola de Jerabek , que es el conjugado isogonal del centro del triángulo X₃₈₄₃.

(a^2/(3a^4+a^2(b^2+c^2)-4(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

"Maltitude quadrangle"

A₁ = (S_C^2(u+v)w+S_B^2v(u+w)+2S_BS_C(u+v)(u+w)+a^2S_Au(u+v+w) :
(S_Bv+S_C(u+v))(S_Au-S_Cw) : (S_Au-S_Bv)(S_Cw+S_B(u+w))).

P₁ = (a^2S_Au+S_BS_C(2u+v+w) : b^2S_Bv+S_CS_A(u+2v+w) : c^2S_Cw+S_AS_B(u+v+2w)).

  P₁ es el punto medio P y el ortocentro.

  El punto fijo F_P (propio) de la transformación afín Φ_P1 es el centro de la hipérbola ℋ(P), equilátera circunscrita a ABC que pasa por P.

F_P =(u(b^2w(u+v)-c^2v(u+w))(a^2(v-w)-(b^2-c^2)(v+w)) : ... : ... ).

(c^2uv+b^2uw+a^2vw)^2/ (vw(u+v)(u+w)a^4+wu(u+v)(v+w)b^4+uv(u+w)(v+w)c^4-2uvw((u+v)a^2b^2+(v+w)b^2c^2+(u+w)c^2a^2).

Triángulo inscrito en la circunferencia inscrita

  Los puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a y C_b están en una misma cónica C(P).

(b+c-a)^2(a(u+v-w)+c(v+w-u)-b(u+v+w))(a(u-v+w)+b(v+w-u)-c(u+v+w))x^2
- 2(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)u(a(u-v-w)-c(u+v-w)-b(u-v+w))yz + ⋯ = 0.

  El triángulo A'B'C' es perspectivo con los triángulos ABC y DEF.

Q = (u(a(v+w)-(b-c)(v-w)) : v(b(w+u)-(c-a)(w-u)) : w(c(u+v)-(a-b)(u-v))).

R = ((b+c-a)u^2 : (c+a-b)v^2 : (a+b-c)w^2).

vw(a(v-w)-(b-c)(v+w))x + wu(b(w-u)-(c-a)(w+u))y + uv(c(u-v)-(a-b)(u+v))z = 0.

(b+c-a)(a^3 - a^2(b+c) + a(b^2+c^2) - (b-c)^2(b+c))x + ⋯ = 0.

((2 a^2-(b-c)^2-a (b+c))/(b+c-a)^2 : ... : ...).

((a^2-(b-c)^2) (5 a^2-2 (b-c)^2-3 a (b+c)): ... : ...).

La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas

  Los puntos O_a, O_b y O_c están, respectivamente, sobre las tangentes en A, B y C a la circunferencia circunscrita y están alineados.

A_b = (2a^2v;0:(b^2-c^2)(v-w)+a^2(v+w)),  A_c = (2a^2w:(b^2-c^2)(v-w)-a^2(v+w):0),
O_a = (a^2(a^2(v-w)-(b^2-c^2)(v+w)):-b^2((b^2-c^2)(v-w)-a^2(v+w)):-c^2(-(b^2-c^2)(v-w)+a^2(v+w))).

M = (a^2/((b^2-c^2)(v-w)-a^2(v+w)) : ... : ... ).

N = (a^2(a^2-b^2-c^2)u(c^2v(u-w)+b^2(-u+v)w) : ... : ... ).

  El lugar geométrico del punto M, cuando L se mueve sobre una recta d, es una cónica circunscrita C(d) a ABC.

C(d):  a^2 (S_BS_C p - S_CS_A q - S_AS_B r) y z + ⋯ = 0.

Q = (a^2/(a^4(p-q-r)(q-r) + 2 a^2(q+r)(c^2q-b^2r) - (b^2-c^2)(b^2(p(q-r)-(q+r)^2)-c^2(p(q-r)+(q+r)^2)))) : ... : ... ).

  Lugar geométrico del perspector P de C(d), cuando d es la tripolar de un punto D que se mueve sobre la recta de Euler, es la cónica diagonal:
       b^4c^4(b^2-c^2)x^2+c^4a^4(c^2-a^2)y^2+a^4b^4(a^2-b^2)z^2=0

  Esta cónica es φ_X31(Q066), la transfomada de la cuártica de Stammler (Q066) mediante la de polo X₃₁(a^3:b^3:c^3). El centro de esta cónica diagonal es X₁₅₇₆ y pasa por los puntos X₆, X₃₁, X₄₈, X₁₅₄, X₁₆₁₃, X₂₅₇₈, X₂₅₇₉, X₅₆₃₈, X₅₆₃₉.

  El punto Q queda sobre la circunferencia circunscrita si y solo si la recta d es la tripolar de un punto D, sobre la recta de Euler.

  Si el punto D recorre la circunferencia circunscrita, el lugar geométrico del punto Q es la cuártica con puntos dobles en los vértices de ABC, que pasa por el baricentro, circuncentro, y los puntos donde la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita, de ecuación:
            (b^2-c^2)y z(b^2c^2S^2x^2+a^4S_A^2y z) + ⋯ = 0.

  El lugar geométrico de los centros de las cónicas C(d), cuando el tripolo de d recorre la circunferencia circunscrita, es la C(X₂,X₅₄).

  El lugar geométrico del punto N, cuando L se mueve sobre la circunferencia circunscrita, es la cúbica cK(#X6,X25)=nK(X32,X25,X6):
              a^2S_BS_Cx(c^2y-b^2z)^2 + ⋯ = 0.

b^2c^2(b^2c^2(b^2-c^2)^2SA^2x^2 + 2a^4SB SC(a^4-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2)y z + ⋯ = 0.

a^2y z(b^2c^2SA x^2-a^2 SB SC y z) + ⋯ = 0.

Los puntos X(3052) y X(3445) como centros de persepectividad

A' = (-a^2:b^2:c^2),  B' = (a^2:-b^2:c^2),  C' = (a^2:b^2:-c^2).

A₁ = (a(b-c):b^2:-c^2),  B₁ = (-a^2:b(c-a):c^2),  A₁ = (a^2,-b^2:c(a-b)).

D = (a^2(a+b+c):b^2(a+b-3c):c^2(a-3b+c)),
E = (a^2(a+b-3c):b^2(a+b+c):c^2(-3a+b+c)),
F = (a^2(a-3b+c):b^2(-3a+b+c):c^2(a+b+c)).

Triángulos isósceles sobre los lados de un triángulo

  Los puntos A_c, A_b, B_a, B_c, C_b y C_a están sobre una misma cónica y el lugar geometrico de su centro es la cuártica de ecuación baricéntrica:

A_b(b-k:0:k), A_c(c-k:k:0),   B_c(k:c-k:0), B_a(0:k:a-k),  C_a(0:a-k:k), C_b(k:0:b-k).

(b-k)(c-k)((a-k)kx^2 - (a^2-2ak+2k^2)yz) + ⋯ = 0.

D = (a^2(b-k)(c-k)(a^2(b-k)(c-k)+k(b c^2+b^2(c-k)-c^2k)+a(-b c^2+c^2k+b^2(-c+k))) : b^2(a-k)(-c+k)(a^2(b-k)(c-k)-a(b-c)(b(c-k)-c k)+(b-c)k(b(c-k)-c k)) : c^2(a-k)(-b+k)(a^2(b-k)(c-k)+a(b-c)(b(c-k)-c k)-(b-c)k(b(c-k)-c k))).

  Las rectas que contienen las bases de los triángulo isósceles AA_cA_b, BB_aB_c y CC_bC_a, forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad F sobre la .

F = (1/(a b+(-a-b+c) k) : 1/(b c+(a-b-c)k) : 1/(a c+(-a+b-c)k)).

(a^2b-ab^2+b^2c-bc^2)xy + (a^2b-ab^2-a^2c+ac^2)xz + (-a^2c+b^2c+ac^2-bc^2)yz = 0.

Una séxtica tricircular

  Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita, sobre la cúbica K018 (ortopivotal cúbica O(X6)), o sobre una séxtica tricircular.

(B_a): a^2yz+b^2zx+c^2xy+(x+y+z)(-c^2x-(-c^2u^2+b^2uw-c^2uw+a^2vw)z/(w(u+v+w)))=0,
(C_a): a^2yz+b^2zx+c^2xy+(x+y+z)(-b^2x-(-b^2u^2-b^2uv+c^2uv+a^2vw)y/(v(u+v+w)))=0.

A' = (-(b^2u+a^2v)^2w^2+c^4u^2v(u+w)+c^2u w(b^2u+a^2v)(u-v+w))(-b^2u(u+v)+v(c^2u+a^2w)) :
b^2v(u+v+w)((b^2u+a^2v)w-c^2u(u+w))^2 : c^2w(u+v+w)(b^2u(u+v)-v(c^2u+a^2w))^2).

a^2u(
  2v^3w^3(c^2(u^2+u(-3v+w)+2v(v+w))+b^2(u^2+u(v-3w)+2w(v+w)))a^6
  -v^2w^2(b^4(u^4+2u^3(v-2w)-8uw^2(v+w)+2w^2(v+w)^2+u^2(v^2-4vw+3w^2))+
    c^4(u^4-8u v^2(v+w)+2v^2(v+w)^2+u^3(-4v+2w)+u^2(3v^2-4v w+w^2))+
    2b^2c^2(-u^3(v+w)+u^2(v^2+10v w+w^2)+2u(v-w)^2(v+w)+2v w(v+w)^2))a^4
  2v w(-b^6u w(u^4+u^3(2v-w)+u^2v(v-w)-2u w^2(v+w)+2w^2(v+w)^2)-
    c^6u v(u^4-u^3(v-2w)+u^2w(-v+w)-2u v^2(v+w)+2v^2(v+w)^2)+
    b^4c^2(u^4v(v+3w)+u^3(2v^3+2v^2w-7vw^2-2w^3) + u^2(v^4-v^3w+3v^2w^2+4v w^3-w^4)-u w^2(2v-w)(v+w)^2+v w^2(v+w)^3) +
    b^2c^4(u^4w(3v+w)+u^3(2w^3+2v w^2-7v^2w-2v^3) + u^2(w^4-v w^3+3v^2w^2+4v^3w-v^4)+u v^2(v-2w)(v+w)^2+v^2w(v+w)^3))a^2
  -c^8u^2v^2(u^4+2u^3w+u^2w^2+2v^2(v+w)^2)
  -b^8u^2w^2(u^4+2u^3v+u^2v^2+2w^2(v+w)^2) +
  2b^2c^6u v(u v^3(v+w)^2+v^2w(v+w)^3+u^4w(2v+w)+u^3w^2(3v+2w)+u^2(v^4+4v^3w+3v^2w^2+v w^3+w^4)) +
  2b^6c^2u w(u w^3(v+w)^2+v w^2(v+w)^3+u^4v(v+2w)+u^3v^2(2v+3w)+u^2(v^4+v^3w+3v^2w^2+4v w^3+w^4)) -
  b^4c^4(v^2w^2(v+w)^4+u^2(v+w)^2(v^4+4v^2w^2+w^4)+ u^4(v^4+6v^3w+13v^2w^2+6v w^3+w^4)+ 2u^3(v^5+4v^4w+3v^3w^2+3v^2w^3+4v w^4+w^5)).

{74,1494}, {98,290}, {99,670}, {100,668}, {101,190}, {105,2481}, {106,903}, {107,6528}, {109,664}, {110,99}, {111,671}, {112,648}, {691,892}, {699,3225}, {727,3226}, {729,3228}, {739,3227}, {813,4562}, {825,4586}, {827,4577}, {842,5641}, {898,889}, {901,4555}, {919,666}, {934,4569}, {1379,6190}, {1380,6189}, {2291,1121}, {2715,2966}, {4588,4597}, {6551,6635}, {8687,6648}, {8701,6540}, {9136,9487}, {9150,886}

(b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)+··· = 0.

(a^2(a^16 - 4a^14(b^2+c^2) + a^12(-14b^4+29b^2c^2-14c^4) +
a^10(-7b^6+87b^4c^2+87b^2c^4-7c^6) +
a^8(b^8-59b^6c^2-489b^4c^4-59b^2c^6+c^8) -
2a^6(5b^10+40b^8c^2-301b^6c^4-301b^4c^6+40b^2c^8+5c^10) +
a^4(-8b^12+141b^10 c^2+285b^8c^4-1753b^6c^6+285b^4c^8+141b^2c^10-8c^12) +
a^2(5b^14+53b^12c^2-714b^10c^4+868b^8c^6+868b^6c^8-714b^4c^10+53b^2c^12+5c^14) +
(b^2+c^2)^2(4b^12-63b^10c^2+315b^8c^4-532b^6c^6+315b^4c^8-63b^2c^10+4c^12)) : ... : ...)

{X₂,X₂₄₈₂*}, {X₆, X₂₄₈₂}, {X₁₁₁, X₆₇₁= X₁₈₇*}, {X₅₂₄, X₁₈₇=X₆₇₁*}.

  La cúbica K018 es el lugar geométrico de los puntos tales que los puntos B_a, C_a, C_b, A_b, A_c, B_c están en una misma cónica.

u(3v^2w^2a^4
  -v w((b^2+c^2)u^2+2(b^2+c^2)v w+u(b^2v-3c^2v-3b^2w+c^2w)+2(c^2v^2+b^2w^2))a^2
  +b^2c^2v w(v+w)^2-u^3(c^4v+b^4w)-u^2(-b^2c^2v^2+b^4v w-5b^2c^2v w+c^4v w-b^2c^2w^2)-u(v+w)(-b^2c^2v^2+2c^4v^2+2b^4w^2-b^2c^2w^2))

{X₂,X₆₇₁}, {X₆, X₅₂₄}, {X₁₁₁, X₆₇₁}, {X₅₂₄, X₅₃₄}.

  Los seis puntos D_b, D_c, E_c, E_a, F_a y F_b están en una misma cónica si y solo si el punto P está sobre la séxtica tricircular (1) o sobre la cuártica bicircular, que pasa por A, B, C (dobles) y por el ortocentro, de ecuación:

Una caracterización geométrica de X(3447)

  La del triángulo ABC corta a los lados T_bT_c, T_cT_a y T_aT_b del en los puntos D, E y F, respectivamente. Las rectas DT_a, ET_b, FT_c forman un con ABC, con centro de perspectividad en X₃₄₄₇.

u(-u+v+w)yz+v(u-v+w)zx+w(u+v-w)xy=0.

T_a = (u(u-v-w):v(u-v+w):w(u+v-w)),
T_b = (u(-u+v+w):v(-u+v-w):w(u+v-w)),
T_a = (u(-u+v+w):v(u-v+w):w(-u-v+w)).

D = ((-2a^2v^2+b^2u(u+v-w))w^2+c^2uv^2(u-v+w) : v(u-v+w)(c^2v^2-b^2w^2) : -(u+v-w)w(c^2v^2-b^2w^2)),
E = (-u(u-v-w)(c^2u^2-a^2w^2) : (-2b^2u^2+a^2v(u+v-w)) w^2+c^2u^2v(-u+v+w) : -(u+v-w)w(c^2u^2-a^2w^2)),
F = (-u(b^2u^2-a^2v^2)(u-v-w) : -v(b^2u^2-a^2v^2)(u-v+w) : -2c^2u^2v^2+w(a^2v^2(u-v+w)+b^2u^2(-u+v+w))).

Q = ((u-v-w)/(b^2 c^2 v w u^4+2 (c^2 v^2-b^2 w^2) (c^2 v-b^2 w)u^3+-(2 c^4 v^4+2 b^4 w^4+v w (c^2 (a^2-b^2+c^2) v^2-4 b^2 c^2 v w+b^2 (a^2+b^2-c^2) w^2))u^2+2 a^2 u v w(v-w) (c^2 v^2-b^2 w^2)-a^2 v w (c^2 v^4-(a^2+b^2+c^2) v^2 w^2+b^2 w^4)) : ... : ...).

R = (u^2 (u-v-w) (2 c^4 u^3 v^3-2 c^4 u^2 v^4+b^2 c^2 u^4 v w-2 b^2 c^2 u^3 v^2 w-a^2 c^2 u^2 v^3 w+b^2 c^2 u^2 v^3 w-c^4 u^2 v^3 w+2 a^2 c^2 u v^4 w-a^2 c^2 v^5 w-2 b^2 c^2 u^3 v w^2+4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^2-2 a^2 c^2 u v^3 w^2+2 b^4 u^3 w^3-a^2 b^2 u^2 v w^3-b^4 u^2 v w^3+b^2 c^2 u^2 v w^3-2 a^2 b^2 u v^2 w^3+a^4 v^3 w^3+a^2 b^2 v^3 w^3+a^2 c^2 v^3 w^3-2 b^4 u^2 w^4+2 a^2 b^2 u v w^4-a^2 b^2 v w^5) : ... : ...)

(a^2/(a^6 - a^4(b^2+c^2) + a^2(b^4-b^2c^2+c^4) - (b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : .. : ..)

(1/(a^4-a^2(b^2+c^2)-b^4+3b^2c^2-c^4) : ... : ...)

(a^2(b^2+c^2-a^2)/(a^6-a^4(b^2+c^2)+a^2(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...)

Cónica circunscrita con centro en el punto de Spieker

  El triángulo A'B'C' es circunceviano de un punto Q si y sólo si P está sobre la circunscrita con centro en X₁₀ (). El punto Q queda sobre la recta conjugada isogonal de esta elipse.

A'(a(av+b(v+w))(aw+c(v+w)) : b(cv-bw)(av+b(v+w)) : -c(cv-b w)(aw+c(v+w))).

a(b+c)y z +b(c+a)z x + c(a+b)x y = 0,

  El punto Q es el conjugado isogonal del antipodal de P en esta elipse.

(a(2a-b-c)/(b+c) : b(2b-c-a)/(c+a) : c(2c-a-b)/(a+b))

(a(a^4-a^2(b^2+c^2)-a(b-c)^2(b+c)+b^2c^2) : ... : ...)

(a^2(b-c)(a^4-a^3(b+c)-a^2(b^2-b c+c^2)+a(b-c)^2 (b+c)-b c(b^2+c^2)) : ... : ...)

(a(a(b-c)^2+a^2(b+c)-b c(b+c)) : ... : ...)

Puntos sobre una cónica circunscrita a un triángulo

  En la cónica circunscrita a un triángulo ABC que pasa por un punto D, de coordenadas baricéntricas (u:v:w), y por el P=G/D están los puntos F_d y F_p de primeras cordenadas, u(u-v-w)/(v+w-3u) y u/(3u^2-2u(v+w)-(v-w)^2), respectivamente.

  Las polares a_t, b_t y c_t de A_t, B_t y C_t respecto a la cónica c_s(D) forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC y con .
  Cuando t varía, el lugar geométrico del centro de perspectividad Q_d de ABC y A'B'C' es la cónica c(Q) circunscrita a ABC y que pasa por P y D; y el lugar geométrico del centro de perspectividad R_d de y A'B'C' es la cónica c(R) circunscrita a y que pasa por P y D.
  La recta Q_dR_d por un punto fijo F_d, sobre la cónica circunscrita c(Q).

c(P): u(-u+v+w)yz + v(u-v+w)zx + w(u+v-w)xy = 0.

c_s(D): 2vw(u-v-w)x² + u(u²-v²+6vw-w²)yz + ···· = 0.

A_t = ((1+t)u^2-(v-w)^2-tu(v+w) : tv(u-v+w) : tw(u+v-w)),
B_t = (tu(-u+v+w) : -u^2+(v-w)(v+tv+w)+u(-tv+2 w) : tw(u+v-w)),
C_t = (tu(-u+v+w) : tv(u-v+w) : -u^2+u(2v-tw)-(v-w)(v+w+tw)).

Q_d = (u/((3+2t)u^5-(7+4t)u^4(v+w) + 2u^3(v^2+2(3+6t+2t^2)vw+w^2) + 2u^2(v+w)((3+2t)v^2+(3+2t)w^2-6v(w+2tw)) - u(v-w)^2((5+2t)v^2+2(3+2t+4t^2)vw+(5+2t)w^2) + (v-w)^4(v+w)): ... : ...).

R_d = (u(u^4 - 4u^3(v+w) + u^2(6v^2-4(-1+t+t^2)vw+6w^2) - 4u(v+w)(v^2-(1+t^2)vw+w^2) +(v-w)^2(v^2+w^2+2v(w+2tw))) : ... : ...).

F_d = (u(u-v-w)/(v+w-3u) : v(v-w-u)/(w+u-3v) : w(w-u-v)/(u+v-3w)).

F_p = (u/(3u^2-2u(v+w)-(v-w)^2) : v/(3v^2-2v(w+u)-(w-u)^2) : w/(3w^2-2w(u+v)-(u-v)^2) ).

Q_dR_d∩Q_pR_p, Q_dR_p∩Q_pR_d, F_dQ_p∩F_pQ_d, F_dR_p∩F_pR_d,

Q₀R₀ : (v-w)(v^2+w^2-u(v+w))x + (w-u)(w^2+u^2-v(w+u))y + (u-v)(u^2+v^2-w(u+v))z = 0.

Caso del punto D sobre la elipse inscrita de Steiner

Σx(x²(y-z)² - y²z²)=0

(2a^4-(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2))/(5a^8-5a^6(b^2+c^2) + a^4(-6b^4+17b^2c^2-6c^4)+ 7a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2(b^4+7b^2c^2+c^4))

El centro del triángulo X(1407) y las circunferencias de Mannheim

  NOTA. El sombreado del triángulo mixtilineal de esta figura está realizado con GeoGebra:
camino={Segmento[A,B], ArcoCircunferencia[X_3,B,C],Segmento[C,A]}
M=Punto[camino]
N un punto en plano
N=M
LugarGeométrico[N,M]
Este lugar geométrico se puede sombrear cambiando sus propiedades.

  Los triángulos ABC y son perspectivos y el centro de pespectividad es X₁₄₀₇.

A_a=(-a(a+b-c)(a-b+c):2b^2(a+b-c):2c^2(a-b+c)),   A_b=(a+b-c:0:2c),   A_b=(-a+b-c:-2b:0).

F_a =(-(a+b-c)(a-b+c)(a^2-2(b-c)^2-a(b+c)) : 2b^2(a+b-c)^2 : 2c^2(a-b+c)^2).

(a^2/(-a+b+c)^2 : b^2/(a-b+c)^2 : c^2/(a+b-c)^2).

  El punto fijo (no situado en la recta del infinito) de la transformación afín que transforma los vértices de ABC en los de es:

F = (a^2(a^2-a(b+c)-2(b-c)^2) : b^2(b^2-b(c+a)-2(c-a)^2) : c^2(c^2-c(a+b)-2(a-b)^2))

Triángulos inversamente semejantes

Los triángulos ABC y son inversamente semejantes.

(a^2 b^2 c^2u^2+a^2 (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4+c^4)+...)/(4 a^2 b^2 c^2 (u+v+w)^2),

σ_P((x:y:z))=(a^2 b^2 c^2 (v+w) x+a^2 (b^2 c^2 u+c^2(a^2+b^2-c^2)v y+a^2 (b^2 c^2 u+b^2(a^2-b^2+c^2) w) z: ... : ...)

F=(b^2 c^2 u^2+c^2(a^2+b^2-c^2)v^2+b^2(a^2-b^2+c^2)w^2+(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)v w+3b^2c^2w u+3b^2c^2u v:...:...)

(b^2-c^2)(b^2 c^2 (a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)x^2+a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4-3 b^2 c^2+c^4)y z) + ... =0.

a^6 c^2 x^2 y^2-3 a^4 b^2 c^2 x^2 y^2+3 a^2 b^4 c^2 x^2 y^2-b^6 c^2 x^2 y^2-a^4 c^4 x^2 y^2+b^4 c^4 x^2 y^2-a^6 b^2 x^2 y z+3 a^4 b^4 x^2 y z-3 a^2 b^6 x^2 y z+b^8 x^2 y z+a^6 c^2 x^2 y z+2 a^2 b^4 c^2 x^2 y z-3 b^6 c^2 x^2 y z-3 a^4 c^4 x^2 y z-2 a^2 b^2 c^4 x^2 y z+3 a^2 c^6 x^2 y z+3 b^2 c^6 x^2 y z-c^8 x^2 y z-a^8 x y^2 z+3 a^6 b^2 x y^2 z-3 a^4 b^4 x y^2 z+a^2 b^6 x y^2 z+3 a^6 c^2 x y^2 z-2 a^4 b^2 c^2 x y^2 z-b^6 c^2 x y^2 z+2 a^2 b^2 c^4 x y^2 z+3 b^4 c^4 x y^2 z-3 a^2 c^6 x y^2 z-3 b^2 c^6 x y^2 z+c^8 x y^2 z-a^6 b^2 x^2 z^2+a^4 b^4 x^2 z^2+3 a^4 b^2 c^2 x^2 z^2-3 a^2 b^2 c^4 x^2 z^2-b^4 c^4 x^2 z^2+b^2 c^6 x^2 z^2+a^8 x y z^2-3 a^6 b^2 x y z^2+3 a^2 b^6 x y z^2-b^8 x y z^2-3 a^6 c^2 x y z^2+2 a^4 b^2 c^2 x y z^2-2 a^2 b^4 c^2 x y z^2+3 b^6 c^2 x y z^2+3 a^4 c^4 x y z^2-3 b^4 c^4 x y z^2-a^2 c^6 x y z^2+b^2 c^6 x y z^2-a^4 b^4 y^2 z^2+a^2 b^6 y^2 z^2-3 a^2 b^4 c^2 y^2 z^2+a^4 c^4 y^2 z^2+3 a^2 b^2 c^4 y^2 z^2-a^2 c^6 y^2 z^2 = 0.

La recta de Sherman

b^2(a-b-c)(3a-b-c)c^2x^2 - a^2(a^4-2a^2(b^2+b c+c^2)+(b-c)^2(b^2+6b c+c^2)+2a b c(b+c))yz+ ... = 0.

  Sea P el cuarto punto de intersección de Γ y (C), entonces la polar de P respecto a O(IO) es la recta de Sherman, tangente a la circunferencia inscrita en X₃₃₂₆.

D' = (a^2 (a^2-4 b c+a (b+c)) : -b (a^2 (b-2 c)-2 b^2 c+2 c^3+a b (b+c)) : -c (a^2 (-2 b+c)+a c (b+c)+2 b (b^2-c^2)))
E' = (-a (a^2 (b-2 c)-2 b^2 c+2 c^3+a b (b+c)) : b^2 (a (b-4 c)+b (b+c)) : c (-2 a^3-b c (b+c)+a (2 b^2-b c+2 c^2)))
F' = (-a (a^2 (-2 b+c)+a c (b+c)+2 b (b^2-c^2)) : b (-2 a^3-b c (b+c)+a (2 b^2-b c+2 c^2)) : c^2 (a (-4 b+c)+c (b+c)))

P = (a(a+b-c)(a-b+c)(a^7-a^5(b^2+5b c+c^2)+5a^4b c(b+c)-a^3(b^4-b^3c+4b^2c^2-b c^3+c^4) -3a^2bc(b-c)^2(b+c) + a(b^2-c^2)^2(b^2+4b c+c^2)-2bc(b-c)^2(b+c)^3) : ... : ... ).

(a-b)(a-c)(a^6+a^2(b-c)^4-a^5(b+c)+2a^3(b-c)^2(b+c)-a(b-c)^4(b+c)+a^4(-2b^2+5b c-2c^2)-b c(b^2-c^2)^2) x + ... =0.

Una construcción de la isocúbica cónico-pivotal cK(#F,crossdiv(F²,F))

In memoriam de Marta (serían 40)

Special Isocubics in the Triangle Plane §8 Conico-pivotal (unicursal) isocubics or cK, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas

  Las rectas AA', BB', CC' concurren en un punto D sobre la cónica circunscrita a ABC de centro F.

d: (g(t-1)+ht)x + (f+h-ft)y - (g+ft)z = 0.

A' (2f : g-f t : h+f(t-1),   B' (g-f t : -2g t : g(t-1)-h t),   C' (h+f(t-1) : g(t-1)-h t : 2h(t-1)).

D ((g-f t)(-f+h+f t) : (g-f t)(-g+g t-h t) : (f-h-f t)(g-g t+h t)).

C(F/G): f(-f+g+h)yz + g(f-g+h)zx + h(f+g-h)xy= 0.

t_D: f(f-g-h)(g(t-1)-h t)²x - g(f-g+h)(h+f(t-1))²y - h(f+g-h)(g-f t)²z = 0.

M (f(f-g-h)(-h+f(t-1))(g+f t)(g(t-1)-h t) : g(f-g+h)(h+f(t-1))(g+f t)(g(t-1)+h t) : -h(f+g-h)(-h+f(t-1))(-g+f t)(g(t-1)+h t)).

  El lugar geométrico del punto M, cuando la rectas d gira alrededor de F, es la cK(#F,P)=nK(F²,P,F), de polo Ω=F² ( de F) y raíz P el F²- de F:

(C): g²h²(f-g-h)²(g-h)²x² + 2f²gh(f+g-h)(f-g+h)(f²-fg-fh-gh)yz + ··· = 0.

  En este tipo de isocúbicas cónico pivotales, cK(#F,crossdiv(F²,F)), la polar de F respecto a la cónica pivotal coincide con la tripolar del F★F² de F y F², es decir, la polar de F respecto a la cónica circunscrita de F².

  El F²-isoconjugado M* de M puede ser construido como el segundo punto común de las tres cónicas que pasan, respectivamente, por los puntos {B,F_b,C,F_c,M}, {C,F_c,A,F_a,M}, {A,F_a,B,F_b,M}.
(ADGEOM #3180)

Una construcción del centro del triángulo X₉₃₁₁

  Las rectas B_aC_a, C_bA_b, y A_cB_c forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₉₃₁₁.

D(0 : a+b-c : a-b+c), E(a+b-c : 0 : -a+b+c), F(a-b+c : -a+b+c : 0).
B_a (a+b-c : 0 : a-b+c),    C_a (a-b+c : a+b-c : 0).

A' (-a^3(b+c)+a(b-c)^2(b+c)+a^2(b^2+c^2)-(b-c)^2(b^2+c^2) : (-a+b+c)^2(2ab-ac-bc+c^2) : -(-a+b+c)^2(a(b-2c)+b(-b+c))).

(1/(a^2-a(b+c)+2bc) : 1/(b^2-b(c+a)+2ca) : 1/(c^2-c(a+b)+2ab)).

Triángulo circunceviano del punto de Nagel del triángulo antimedial en la circunferencia inscrita

Los triángulos ABC y XYZ son perspectivos y el centro de perspectividad es X₆₀₄₉.

  El de A'B'C' respecto a γ ( de γ respecto a A'B'C') es:

W = ((3a-b-c)^2(3a^2-6a(b+ c)+7b^2-2b c+7c^2)/(b+c-a) : ... : ...),

  El triángulo de contacto interior DEF es persepctivo con A'B'C', el centro de perspectividad es:

Q = ((5a-3(b+c))(3a-b-c)/(a-b-c) : (5b-3(c+a))(3b-c-a)/(b-c-a) : (5c-3(a+b))(3c-a-b)/(c-a-b)),

X₆₀₄₉ = 2rX₁₄₅+(4R-9r)Q,

Transformación relacionada con K015

Special Isocubics in the Triangle Plane §8 Conico-pivotal (unicursal) isocubics or cK, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas
Propiedades de la cúbica nodal de Tucker
"The tripolar centroid and the Tucker nodal cubic"
La cúbica nodal de Tucker como lugar geométrico

  Los triángulos ABC y son perspectivos si y solo si P esta sobre la cónica circunscrita de Steiner o sobre la recta del infinito. El centro de perspectividad queda sobre la cúbica nodal de Tucker.

d: (v - t v - t w) x + (t-1) u y + t u z=0.

d': ((-1 + t) v + t w) ((-1 + 2 t) u + (-1 + t) v + t w) x + (-1 + t) u (-u + (-1 + t) v + t w) y + t u (u + (-1 + t) v + t w) z=0,

((t-1) t u^2 : t ((t-1) v + t w) (-v + t (u + v + w)) : (1 - t) ((-1 + t) v + t w) ((t-1) u + (t-1) v + t w))

x (w^2 y^2+v^2 z^2)+y (w^2 x^2+u^2 z^2)+z(v^2 x^2+u^2 y^2) -2 (uv+uw+vw) x y z=0.

(v-w)^2x^2 - 2(u^2+3u(v+w)+vw)yz+... =0,

x (w^2 x y+w^2 y^2+v^2 x z-2 v w y z+v^2 z^2)=0,

(C_a): (v^2 -2 v w +w^2) x^2+w^2 y^2+v^2 z^2-6 v w x y-2 w^2 x y-2 v^2 x z-6 v w x z-2 v w y z=0.

x (v^2 x - 2 v w x + w^2 x - 6 v w y - 3 w^2 y - 3 v^2 z - 6 v w z)=0,   (v x-w x-3 w y+3 v z)^2=0.

A₁ = (9vw(v+w) : v(2v^2-vw-w^2) : w(-v^2-vw+2w^2)).

B₁ = (u(-w^2-wu+2u^2) : 9wu(w+u) : w(2w^2-wu-u^2)),   C₁ = (u(2u^2-uv-v^2) : v(-u^2-uv+2v^2) : 9uv(u+v)).

ψ(P)=Q = (u(4u^2 - 4u(v+w) - 2v^2-vw-2w^2) : v(4v^2 - 4v(w+u) - 2w^2-wu-2u^2) : w(4w^2 - 4w(u+v) - 2u^2-uv-2v^2)).

ψ(P) = ((-1 + τ) τ (-1 + 2 τ) : (-2 + τ) (-1 + τ) : -τ (1 + τ)).
ψ(P^•) = (-(-2 + τ) (1 + τ) : -τ (1 + τ) (-1 + 2 τ) : (-2 + τ) (-1 + τ) (-1 + 2 τ)).

x(y^2+ z^2) + y(x^2+z^2)+ z(x^2+y^2)- 6xyz = 0.

{99, 524, 5468}, {648, 30, 4240}, {671, 523, 5466}, {903, 514, 6548}.

Si P está sobre la elipse circunscrita de Steiner, entonces f(P)=f(tP)=ψ(P)=ψ(gkgtP),
Si P está sobre la recta del infinito, entonces ψ(P)=ψ(tgkgP)=f(tgkgP)=f(gkgP).

Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas

Special Isocubics in the Triangle Plane §8 Conico-pivotal (unicursal) isocubics or cK, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)

  El lugar geométrico de los puntos de intersección de las rectas d y d' es la cónico-pivotal nK(P²,X₂,P)=cK(#P,X₂).

  La envolvente de las rectas d' es la cónica pivotal de la cúbica cK(#Q,X2) (envolvente de las rectas QQ*, donde Q* es el P-isoconjugado de Q), inscrita al triángulo antimedial de ecuación:

Cuártica de Stammler como lugar geométrico

(a^2/(u(c^2v+b^2w) - a^2vw) : b^2/(v(a^2w+c^2u) - b^2uv) : c^2/(w(b^2u+a^2v) - c^2uv)),

a^2v^2w^2x + b^2w^2u^2y + c^2u^2v^2z = 0.

a^2py^2z^2 + b^2qz^2x^2 + c^2rx^2y^2 = 0.

  El lugar geométrico del punto P, tal que el eje de perspectividad del triángulo tangencial de su triángulo circunceviano y del triángulo de referencia, tiene la dirección del del foco de la , es la cuártica de Stammler (Q066).

a^2(b^2-c^2)y^2z^2 + b^2(c^2-a^2)z^2x^2 + c^2(a^2-b^2)x^2y^2 = 0.

Más sobre la cúartica de Stammler:
La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
Cuárticas tipo Stammler
Otra caracterización de la cuártica de Stammler
Caracterización de la cuártica de Stammler

Elipse definida por una proyectividad sobre la circunferencia circunscrita

Q = (a^2/(a^2vw-u(S_Bv+S_Cw)) : b^2/(b^2wu-v(S_Cw+S_Au)) : c^2/(c^2uv-w(S_Au+S_Bv)) )

  Cuando P se mueve sobre la cicunferencia circunscrita, la envolvente de las rectas PQ es una elipse, bitangente a Γ en puntos de la recta de Euler.

(1/(a^2S_A+4b^2c^2) : 1/(b^2S_B+4c^2a^2) : 1/(c^2S_C+4a^2b^2),

t' = (2c^2 ((a^2-b^2) 2S_C-a^2 (a^2-3 b^2-c^2) t))/(a^2 (c^2 (a^2+3 b^2-c^2)+2(b^2-c^2)2S_C t)),

Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek

  En coordenadas baricéntricas respecto a ABC, el lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas d, e, f son concurrentes consta de:
     Φ: (b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2=0,
   Q066: a^2(b^2-c^2)y^2z^2 + b^2(c^2-a^2)z^2x^2 + c^2(a^2-b^2)x^2y^2 = 0.

Más sobre la cúartica de Stammler:
La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
Cuártica de Stammler como lugar geométrico
Cuárticas tipo Stammler
Otra caracterización de la cuártica de Stammler
Caracterización de la cuártica de Stammler

Propiedades de la cúbica nodal de Tucker

P' (u(v+w)/(v+w-2u):v(u+w)/(u+w-2v):w(u+v)/(u+v-2w)).

C(Q): x(y+z)p/(y+z-2x) + y(z+x)q/(z+x-2y) + z(x+y)r/(x+y-2z) = 0.

x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+ y^2) - 6xyz=0,

  Las tipolares de dos puntos, L y L^•, conjugados isotómicos sobre K015 se cortan en un punto T, sobre la .

L ((t-1)t : t(1-5t+6t^2) : 2-9t+13t^2-6t^3).

L^• ( (2t-1)(3t-2)(3t-1) : (t-1)(3t-2) : t(1-3t) ).

T ( (1-2 t)^2 : (1-3 t)^2 (-1+t)^2 : (2-3 t)^2 t^2 ),

Más sobre la cúbica nodal de Tucker:
"The tripolar centroid and the Tucker nodal cubic"
La cúbica nodal de Tucker como lugar geométrico
Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)

Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)

Special Isocubics in the Triangle Plane §8.1, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas

  El lugar geométrico del punto Q, cuando L gira alrededor de U, es la isocúbica cónico-pivotal nK(U²,G,U), con polo el cuadrado baricéntrico de U, raíz el baricentro y parámetro k=-2(uv+uw+vw).

P=((q-r)(qr+t) : (r-p)(pr+t) : (p-q)(pq+t))

P_a = (-qr(q-r)(qr+t) : pr(p-r)(pq-q^2+qr+t) : -pq(p-q)(pr+qr-r^2+t)).

Q = (qr(r-q) : rp(p-r) : pq(q-p))

x(w^2y^2+v^2z^2)+y(u^2z^2+w^2x^2)+z(v^2x^2+u^2y^2) - 2(uv+uw+vw)xyz=0.

Triángulos homotéticos con centro de homotecia 3X₁-2X₅

En recuerdo a Marta (hace 17)

u((a^4-(b^2-c^2)^2)u+2b^2(-a^2+b^2-c^2)v+2c^2(-a^2-b^2+c^2)w) + λ((-a^2-b^2+c^2)u+2b^2v-2c^2w)((-a^2+b^2-c^2)u-2b^2v+2c^2w)=0.

S_BS_C(a^2+(b-c)^2)u^2 + b^4(a+b-c)(a-b+c)v^2 + (a+b-c)c^4(a-b+c)w^2 - 2b^2c^2(a+b-c)(a-b+c)v w - c^2(a^4+b^4-c^4+2bc(c^2-b^2))w u - b^2(a^4-b^4+c^4+2bc(b^2-c^2))u v=0.

c²(b-c)²y² + b²(b-c)²z² - (a⁴ -(b²+c²)²+2bc(b²+c²))yz - 2b²(a+b-c)(a-b+c)zx - 2c²(a+b-c)(a-b+c)xy=0.

γ‍′_u:  (c+bt-ct)^2(a^2yz+b^2xz+c^2xy) - (x+y+z)(b^2c^2x + (a^2c^2-2a^2c^2t+a^2c^2t^2)y+ (a^2b^2t^2z))=0

p_a:  -2b^2c^2x + c^2(t-1)(-a^2(t-1)+(b-c)(b+c+(b-c)t))y + b^2t(c^2(t-2)-2bc(t-1)-a^2t+b^2t)z=0.

c²(b+c)²y² + b²(b+c)²z² - (a⁴-(b²+c²)²-2bc(b²+c²))yz - 2b²(a-b-c)(a+b+c)zx - 2(a-b-c)c²(a+b+c)xy=0.

  El triangulo , delimitado por las rectas d_a, d_c y d_c, es homotético a ABC con centro de homotecia X₁₂, centro de homotecia interior de la circunferencia inscrita y la . La razón de homotecia de los triángulos ABC y es (3r-R)/r.

  El triangulo , delimitado por las rectas d'_a, d'_c y d'_c, es homotético a ABC con centro de homotecia X₁₁, . La razón de homotecia de los triángulos ABC y es (3r+R)/r.

(3a^4-3a^3(b+c) - 2a^2(b^2-3bc+c^2) + 3a(b-c)^2(b+c) - (b^2-c^2)^2 : ··· : ···. ).

Cuárticas tipo Stammler

  Sean un triángulo ABC y un punto F sobre la .
  El lugar geométrico de los puntos P tales que la circunferencia circunscrita a su pasa por F consta de la hipérbola equilátera H(F), circunscrita a ABC con centro en F, y de una cuártica Q(F).

 c(P):
(a^2vw(u+v)(u+w)-u(v+w)(b^2w(u+v)+c^2v(u+w)))x^2/(2u(u+v)(u+w)(v+w)) +
   ((c^2v^2+b^2w^2+(a^2-b^2-c^2)vw)u^2 +
    uvw(a^2(v+w)-(b^2-c^2)(v-w)) + a^2v^2w^2)yz/(2vw(u+v)(u+w)) + ... =0.
    

F = ( (b^4+c^4-a^2(b^2+c^2)-2(b^2-c^2)t) (2a^4+(b-c)^2(b+c)^2-a^2(b^2+c^2)+2(b^2-c^2)t) : ... : ... ).

H(F) : (2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2)+2(b^2-c^2)t)yz + ... =0,

Q(F) : a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4+2(b^2-c^2)t)y^2z^2 + ... = 0.

b^2c^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4+2(b^2-c^2)t)x^2+ ... =0,

Más sobre la cúartica de Stammler:
La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
Cuártica de Stammler como lugar geométrico
Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
Otra caracterización de la cuártica de Stammler
Caracterización de la cuártica de Stammler

Un triángulo de lados perpendiculares a las medianas y su parábola de Kiepert

a Aye, por su "cumple"

P_a (-2(a^2(b^2w-c^2v)-(b^2-c^2)(c^2v+b^2w)) : -(a^2-b^2-c^2)((a^2-c^2)v-b^2(v+2w)) : (a^2-b^2-c^2)((a^2-b^2)w-c^2(2v+w)) ).

L_a:  S_Ax -c^2y-b^2z=0,   L_b:  -c^2x+S_By -a^2z=0,   L_c:  -b^2x-a^2y+S_Cz=0.

A' (3a^4+(b^2-c^2)^2 : -2(c^2(b^2-c^2)+a^2(2b^2+c^2)) : -2(-b^4+b^2c^2+a^2(b^2+2c^2))), ...

  El triángulo A'B'C' es perspectivo con:

•  El triángulo de referencia ABC y el centro de perspectividad es X₂₆₂:
(sinA sec(A-ω) : sinB sec(B-ω) : sinC sec(C-ω) ) ≡ (1/(a^4-a^2(b^2+c^2)-2b^2c^2) : ... : ...).
•  El triángulo medial y el centro de perspectividad es X₇₇₁₀:
((a^4+2a^2(b^2+c^2)-3b^4-2b^2c^2-3c^4) (3a^4+b^4-2b^2c^2+c^4) : ... : ...).
•  El triángulo antimedial y el centro de perspectividad es:

(3a^8+12a^6(b^2+c^2)-2a^4(13b^4+16b^2c^2+13c^4)+4a^2(5b^6+b^4c^2+b^2c^4+5c^6) - (b^2-c^2)^2(9b^4+2b^2c^2+9c^4) : ... : ...),

•  El triángulo tangencial y el centro de perspectividad es:

(3a^8 - 3a^6(b^2+c^2) + a^4(5b^4+2b^2c^2+5c^4) - 5a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - 4b^2c^2(b^2-c^2)^2: ... : ...),

•  El triángulo órtico y el centro de perspectividad es:

((3a^4 + (b^2-c^2)^2)(a^4 - 4a^2(b^2+c^2)+3b^4-2b^2c^2+3c^4 ): ... : ...),

•  El triángulo de reflexión y el centro de perspectividad es:

(3a^8- 12a^6(b^2+c^2) + 2a^4(7b^4+b^2c^2+7c^4) - 8a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^2(3b^4-4b^2c^2+3c^4) : ... : ...),

•  El primer triángulo de Brocard y el centro de perspectividad es:

( a^8(16b^4+31b^2c^2+16c^4)- 4a^6(5b^6+4b^4c^2+4b^2c^4+5c^6) + a^4(8b^8-26b^6c^2-36b^4c^4-26b^2c^6+8c^8) - 4a^2(b^2-c^2)^2(b^6-2b^4c^2-2b^2c^4+c^6) -b^2c^2(b^2-c^2)^2(5b^4-2b^2c^2+5c^4): ... : ...),

  El triángulo pedal en A'B'C' del baricentro de ABC es persepctivo con el triángulo órtico, con centro de perspectividad X₄₂₇ ( del ).

  Los puntos P_a, P_b y P_c están alineados si y solo si P está sobre la o sobre la .
  Cuando P recorre la recta de Euler, la recta P_aP_bP_c envuelve la de A'B'C'.
  Cuando P está en la elipse circunscrita de Steiner, la recta P_aP_bP_c pasa por el ortocentro.

(a^4(b^4+14b^2c^2+c^4) - 2a^2(b^6+7b^4c^2+7b^2c^4+c^6) + b^8+14b^4c^4+c^8)x^2+
2(a^8-a^6(b^2+c^2) + a^4(-5b^4+11b^2c^2-5c^4)+ 5a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - b^2c^2(b^2-c^2)^2)y z+... =0,

"A little problem at the begining of 2016"

  El lugar geométrico del punto Q. cuando P se mueve sobre δ es una cónica C(δ).
  Existen dos rectas δ₁ y δ₂ (si el ángulo en A es agudo) pasando por A, para las cuales las cónicas C(δ₁) y C(δ₂) son parábolas.

((a^2+b^2-c^2)x + 2a^2y) ((a^2+b^2-c^2)(t-1)x-2a^2tz) - 2λx^2 = 0.

C(δ):   2b^2(t-1)x^2 - 2a^2tyz - (a^2+b^2-c^2)tzx + (a^2+b^2-c^2)(t-1)xy = 0.

t = ((b^2-c^2)^2+a^2(2a^2-b^2-3 c^2) ± 2√‍2 aS√‍-a^2+b^2+c^2)/ (2((b^2-c^2)^2+2a^2(a^2-b^2-c^2))).

D₁ = (0 : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+3c^2) - 4aS√‍S_A : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(3b^2+c^2)+ 4aS√‍S_A),
D₂ = (0 : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+3c^2) + 4aS√‍S_A : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(3b^2+c^2) - 4aS√‍S_A)

  Si el triángulo ABC es acutángulo, los puntos D₁, D₂, E₁, E₂, F₁ y F₂, están definidos y quedan en una misma cónica, de ecuación:
    (a^2-b^2-c^2)^2x^2 - 2((b^2-c^2)^2+a^2(3a^2-4b^2-4c^2))yz + ... = 0.

( a^6(b^2+c^2) - a^4(3b^4-2b^2c^2+3c^4) + 3a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^4 : ... : ... ),

S=(u (S_B v + S_C (u + v)) : -u (S_A u + S_C (u + v)) : (S_B v + S_C (u + v)) w))

(x, y, z) = (u (S_B v + S_C (u + v)), -u (S_A u + S_C (u + v)), (S_B v + S_C (u + v)) w),
u + v + w = 0

S_A x^2 - S_B x y - S_C x z - S_B y z - S_C y z=0.

(q SA - p S_C + q S_C) x^2 + (-p S_B - p S_C + q S_C) x y - r S_C x z + (-r S_B - r S_C) y z=0.

Una isocúbica no pivotal nK(X₃₂,X₂,?)

 Las polares de P respecto a D(a), E(b), F(c), resp, son concurrentes en un punto Q si y solo si P está sobre la isocúbica no pivotal Φ de polo X₃₂, raíz el baricentro y parámetro k=S²(-5+2csc²ω).

p_a: (((b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))u + a^4(5u+4(v+w)))x + 4a^4(u+v+ w)y + 4a^4(u+v+w)z=0.

-(4u(c^4v^2+b^4w^2)+4v(a^4v^2+c^4u^2)+4w(b^4w^2+a^4v^2)+5(a^4+b^4+c^4)-2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2))/(4S^2uvw)

x(c^4y^2+b^4z^2)+ y(a^4z^2+c^4x^2)+z(b^4z^2+a^4y^2)+S²(-5+2csc²ω)xyz=0.