Hechos Geométricos en el Triángulo (2016)

Angel Montesdeoca

(Última actualización: )

Hechos Geométricos en el Triángulo
(2013) (2014) (2015)

Cómo es el enlace a un Hecho Geométrico correspondiente a un día concreto:
http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2016.htm#HGddmmaa
EJEMPLO: Viernes, 1 de enero del 2016
http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2016.htm#HG010116

  • martes, 21 de junio del 2016

    Triángulos perspectivos y cónicas por sus vértices


      Dados dos triángulos perspectivos ABC y A'B'C', con centro de perspectividad P, y un punto U, sean k=PA'/A'A, m=PB'/B'B y n=PC'/C'C.
    La tres cónicas (Ca), (Cb) y (Cc) que pasan por los puntos {B, C, B', C', U}, {C, A, C', A', U} y {A, B, A', B', U}, respectivamente, se cortan en otro punto V.
      En coordenadas baricéntricas, tomando el triángulo como referencia:

    A' (p+(p+q+r)k:q:r),   B' (p:q+(p+q+r)m:r),   C' (p:q:r+(p+q+r)n),

      La ecuación de la cónica (Ca) que pasa por U, B, C, B',C' es:

    (n q (-q u+p v) w+m (r v (-r u+p w)+n (p+q+r) (-r u v-q u w+p v w)))x^2 +
    (-p u (n (q u-p v)+m (r u+n (p+q+r) u-p w)))y z +
    (n q u (q u-p v)+m (n q (p+q+r) u^2+p v (r u-p w)))z x +
    (n p (q u-p v) w+m r u (r u+n (p+q+r) u-p w))x y =0.

      Las ecuaciones de las otras dos cónicas (Cb) y (Cc), resultan de la de (Ca), permutando ciclicamente todas las variables.


      El cuarto punto V de intersección de las cónicas (Cb) y (Cc), circunscritas al triángulo AA'U, es el de la recta que pasa por sus , respecto a este triángulo.
      Los perspector Ab y Ac de (Cb) y (Cc) son:

    Ab = (n (((1+3 k+2 k^2) p^2+k (3+4 k) p r+2 k^2 r^2) v^2+2 q^2 (u^2-k u v+k^2 v^2)+q v (2 k r (-u+2 k v)+p (-(3+2 k) u+k (3+4 k) v)))+k (-2 (p+k p+k r) v+q (u-2 k v)) (-r v+q w) : q v (n (((-1+k) p+k r) v+q (u+k v))+k (r v-q w)) : n q (q u-p v) w+k r v (r v+n (p+q+r) v-q w)),
    Ac= (k (r v-q w) (2 (p+k p+k q) w-r (u-2 k w))-m (((1+3 k+2 k^2) p^2+k (3+4 k) p q+2 k^2 q^2) w^2+2 r^2 (u^2-k u w+k^2 w^2)+r w (2 k q (-u+2 k w)+p (-(3+2 k) u+k (3+4 k) w))) : k q w (r v-q w)-m (r^2 u v+k q (p+q) w^2+r w (-p v+k q w)) : -r w (k (-r v+q w)+m (((-1+k) p+k q) w+r (u+k w)))).

      La tripolar de la recta AbAc, respecto al triángulo AA'U, es:

    V =(((1+m) n q u+m (1+n) r u-p (-m n u+n v+m w)) / ((1+m) n u w q ^2+m (1+n) u v r^2 +m n u(q (p+r)w+(p+q) r v )-p (m r+n q+m n(p+q+r))v w) : ... : ...).

      Este punto también está sobre la cónica (Ca).


      Consideremos ahora las tres cónicas (C'a), (C'b) y (C'c) que pasan por los puntos {A, P, U, B', C'}, {B, P, U, C', A'} y {C, P, U, A', B'}, respectivamente.
    Las tres cónicas (C'a), (C'b) y (C'c) pasan por V si y solo si ( p+(p+q+r)k=0 ∧ q+(p+q+r)m=0 ∧ r+(p+q+r)n=0 ) ∨ (Las cónicas (C'a), (C'b) y (C'c) son tangentes en U).
      En el primer caso A'B'C' es el de P. Entonces, V es el P/U.
      En el segundo caso, U y V coinciden y U está sobre la no pivotal , circunscrita a A'B'C', con raíz el tripolo (k:m:n) del eje de perspectividad de ABC y A'B'C':

    Σ kmnpqrxyz [k x (r (r + k (p + q + r))y^2+ q (q + k (p + q + r))z^2)]
    - 2((1+k) m n p^2+k (1+m) n q^2+k m (1+n)r^2+k (1+m+n+2 m n)q r+m (1+k+n+2 k n)r p+n(1+k+m+2 k m) p q)xyz=0.


      Esta cúbica es el lugar gemétrico de los puntos U tales que los puntos Ua=UA'∩BC, Ub=UB'∩CAC y Uc=UC'∩AB están alineados. Denominada cúbica de Grassman.
      Ver Teorema 7 para obtener una cúbica nK(W,R,k) por esta vía. O sea, determinar el triángulo A'B'C' el perspector P.
    Wilson Stother.- Grassmann cubics and Desmic Structures. Forum Geometricorum Volume 6 (2006) 117–13

    Theorem 7. If a cubic C is of type nK, but not of type cK, then there is a unique desmic structure which defines C as a Grassmann cubic.




    SITUACIONES PARTICULARES


     • Si P es el ortocentro y A'B'C' es el (triángulo ceviano del ortocentro)

    TriangulosCabri. Problema 780, (Ricardo Barroso. Quincena del 16 al 30 de Junio de 2016)

    Sea A', (respectivamente B', C') los pies de las alturas desde el vértice A (respectivamente B, C) en un triángulo ABC.Sea H su ortocentro y sea M un punto arbitrario del plano. Demostrar que las seis cónicas que continenen a los puntos MABA'B', MBCB'C', MCAC'A', MHCA'B', MHAB'C' y MHBC'A' tienen en común otro punto además de M.

    Dou, J. (1986): Problema E3172. American Mathematical Monthly (Vol 93, nº 9, Nov. pg 733)

    ( Mostrar/Ocultar figura )

      rb780H.png




     • Si A'B'C' es el del punto P:

    V = (p^2(c^2v+b^2w)+a^2 (-qru+prv+pqw) : q^2(a^2w+c^2u)+b^2(-rpv+qpw+qru) : r^2(b^2u+a^2v)+c^2(-pqw+rqu+rpv).

    Cuando P=I es el incentro, V es el punto medio del incentro y el cociente ceviano U*/I, del de U y el incentro.


     • Si A'B'C' es el , V=U*, - U* de U. (Ver también)


     • Si A'B'C' es el , perspectivo con ABC con centro de perspectividad el , U=V (es decir, las cónicas (Ca), (Cb) y (Cc) son tangentes en U) si U está en la cúbica "Brocard (sixth) cubic", K022


     • Si A'B'C' es el , perspectivo con ABC con centro de perspectividad X32 ( del ), U=V (es decir, las cónicas (Ca), (Cb) y (Cc) son tangentes en U) si U está en la cúbica "Brocard (sixth) cubic", K017

    x(c^2 (a^4 - b^2c^2)y^2+ b^2 (a^4 - b^2c^2)z^2)+ ... =0.




     • Si A'B'C' es el , perspectivo con ABC con centro de perspectividad el baricentro, U=V (es decir, las cónicas (Ca), (Cb) y (Cc) son tangentes en U) si U está en la cúbica no pivotal nK(X25,X468,X4), que pasa por X4, X6, X112, X523.   El lugar geométrico de V, cuando U recorre la circunferencia circunscrita, es una cuártica circunscrita a ABC y pasa por los vértices (dobles) de A'B'C', por X112 y por los puntos donde la recta X2492X8371 corta a la circunferencia circunscrita.

  • viernes, 17 de junio del 2016

    Seis cónicas con dos puntos comunes


      Dados ABC un triángulo y dos puntos P y Q, sea PaPbPc el de P.
    Las cónicas circunscritas a los pentágonos QBCPbPc, QCAPcPa, QABPaPb, APQPbPc, BPQPcPa y CPQPaPb pasan por el P/Q de P y Q.

      En coordenadas baricéntricas respecto al triángulo ABC: P(p:q:r), Q(u:v:w), Pa(0:q:r), Pb(p:0:r) y Pc(p:q:0).
      La ecuación de la cónica que pasa por los puntos A, P, Q, Pb, Pc es:

    p w (-r u + p w)y^2 -p v (-q u + p v)z^2 -r v (q u - p v)z x+ q w (r u - p w)x y=0,

    que pasa por P/Q (u (-q r u + p r v + p q w) : v (q r u - p r v + p q w) : w (q r u + p r v - p q w)).
      Por permutación cíclica, obtenemos la ecuaciones de las cónicas circunscritas a los pentágonos BPQPcPa y CPQPaPb que también pasan por P/Q.

      La ecuación de la cónica que pasa por los puntos Q, B, C, Pb, Pc es:

    -q r v w x^2 + u (q r u - p r v - p q w)y z + p q v w z x + p r v w x y=0.

    que también pasa por P/Q. Lo mismo ocurre con las dos cónicas restantes.


      La recta PQ vuelve a cortar al cónica que pasa por los puntos Q, B, C, Pb, Pc en el punto Qa = (-q r u + p r v + p q w : q^2 w : r^2 v). Análogamente, se obtienen los puntos Qb = (-p^2 w : p r v-q r u+p q w :-r^2 u) y Qc = (p^2 v : q^2 u : q r u+p r v-p q w).

    Las rectas AQa, BQb y CQc concurren en Q*, imagen de la con polo ( de P).

      Las rectas PaPb y PaPc vuelven a cortar al cónica que pasa por los puntos Q, B, C, Pb, Pc, respectivamente, en los puntos:

    Ab = (-p u (-q r u+p r v+p q w) : q (p v (r u-2 p w)+q u (-r u+p w)) : -2 p^2 r v w),
    Ac = (p u (-q r u+p r v+p q w) : 2 p^2 q v w : r (q u (r u-p w)+p v (-r u+2 p w))).

      Ciclicamente, se obtienen las coordenadas de los puntos Bc, Ba, Ca y Cb.
    Los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están en una misma cónica.
      Su ecuación es:

    q^2 r^2 v w (p^3 r^2 v^3 (r u-4 p w)+q^3 u (r u-p w)^2 (r u+p w)+p^2 q r v^2 (-r^2 u^2-p r u w+8 p^2 w^2)-p q^2 v (r^3 u^3+2 p r^2 u^2 w+p^2 r u w^2+4 p^3 w^3)) x^2+2 p^2 q r u (-2 q^4 u w^2 (r u-p w)^2+p^2 r^3 v^4 (-2 r u+p w)-p q r^2 v^3 (-4 r^2 u^2+p r u w+p^2 w^2)-q^2 r v^2 (2 r^3 u^3+9 p r^2 u^2 w-14 p^2 r u w^2+p^3 w^3)+q^3 v w (9 r^3 u^3-9 p r^2 u^2 w-p^2 r u w^2+p^3 w^3)) y z+... =0.



  • miércoles, 15 de junio del 2016

    Transformación respecto a la cónica circunscrita de Steiner


      Sea ABC un triángulo y DEF el de un punto P.
    La paralela por D a AB corta a AC en Db. La paralela por D a AC corta a AB en Dc.
    D'b es la reflexión de Db en D. D'c es la reflexion de Dc en D.
    La recta BD'b corta a AC en Ba. La recta CD'c corta a AB en Ca. Los puntos Cb, Ab, Ac y Ca se definen cíclicamente.
    Los puntos Ac, Ba y Cb están alineados y también lo están los puntos Ab, Bc y Ca; las rectas que los contienen se cortan en el punto Q de intersección de la polar de P, respecto a la ℰ, con la recta que une P con su centro.

      Si P(u:v:w), en coordenadas baricéntricas, entonces: D(0:v:w), E(u:0:w), F(u:v:0), Db(v:0:w), Dc(w:v:0), D'b(-v:2v:w), D'c(-w:v:2w), Ba(v:0:-w), Ca(-w:v:0), Cb(-u:w:0), Ab(0:-v:w), Ac(0:-v:u), Bc(u:0:-v).
      Las rectas BaCbAc y CaAbBc se cortan en:

    Q = (u^2-v w : v^2-w u : w^2-u v).

      Éste es el punto de intersección de la recta PX2: (v - w)x+(w-u)y+(u-v)z=0 y la polar de P respecto a ℰ: (v + w)x+(w+u)y+(u+v)z=0.

      • Cuando P está sobre ℰ, Q=P, pues la polar de P, respecto a ℰ, es la tangente.

      • Cuando P está sobre la recta de Euler, la transformación P ↦ Q es una proyectividad sobre esta recta. Su ecuacion respecto a las referencias proyectivas (baricéntricas) {X3,X4;X5} y {X401,X297;X441} es:

      Pares de puntos {P,Q}={Xi,Xj} homólogos en esta proyectividad son los corespondientes a los índicces {i,j}: {3,401}, {4,297}, {20,441}, {21,448}, {27,447}, {30,2}, {297,4}, {384,6660}, {401,3}, {441,20}, {447,27}, {448,21}, {449,452}, {452,449}, {2479,2479}, {2480,2480}, {3843,425}, {4235,7473}, {6660,384}, {7473,4235}.
      Los puntos fijos X2479 y X2480 están sobre ℰ.

      • El lugar geométrico de los puntos Q, cuando P recorre la circunferencia circunscrita, es la cuártica pasando por A, B, C, el (X99), X287 (que corresponde al , X98), y con punto singular aislado en el baricentro. Su ecuación baricéntrica es:

    b^2 x^3 y-c^2 x^2 y^2+a^2 x y^3+c^2 x^3 z-a^2 x^2 y z-b^2 x y^2 z+c^2 y^3 z-b^2 x^2 z^2-c^2 x y z^2-a^2 y^2 z^2+a^2 x z^3+b^2 y z^3 = 0.


      La recta X2X99 vuelve a cortar a esta cuártica en el punto correspondiente al , X111:

    W = ((a^2+b^2-2 c^2) (a^2-2 b^2+c^2) (a^6+5 a^2 b^2 c^2-2 a^4 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^2+c^2)):...:...),

    que tiene números de búsqueda en (2.16868078347488, 3.61405138663714, 0.137699314170263) y está sobre las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,99}, {385,691}, {538,892}, {690,895}, {8267,8877}.

      La tangente a la cuártica en X99 (que pasa por el centro de la , X351), vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita en el punto, sobre la recta X111X1084:

    U = (a^2/((b^2-c^2)(-a^6-5 a^2 b^2 c^2+2 a^4 (b^2+c^2)+b^2 c^2 (b^2+c^2)) ):...:...),

    que tiene números de búsqueda en (-0.142868687501235, 0.234812353161126, 3.54404147779648).

  • martes, 14 de junio del 2016

    Circuncentros sobre una recta perpendicular a la recta de Euler

    a Bea, por su "cumple"


      Dados ABC un triángulo, A'B'C' su triángulo medial, O el circuncentro y N el centro de la .
      Se denota por:
    Oa, Ob y Oc los puntos medios de OA', OB' y OC'.
    Na, Nb y Nc los puntos medios de NA, NB y NC.
    Los circuncentros O1, O2 y O3 de los triángulos OaNbNc, ObNcNa y OcNaNb están sobre una recta perpendicular a la .

      En coordenadas baricéntricas:

    Oa = (-2 a^2 (a^2-b^2-c^2) : -a^4-3 b^4+4 b^2 c^2-c^4+2 a^2 (2 b^2+c^2) : -a^4-b^4+4 b^2 c^2-3 c^4+2 a^2 (b^2+2 c^2))

    Na = (-2 a^4-3 (b^2-c^2)^2+5 a^2 (b^2+c^2) : -a^4+c^2 (b^2-c^2)+a^2 (b^2+2 c^2) : -a^4-b^4+b^2 c^2+a^2 (2 b^2+c^2))

    O1 = (4 a^8-(b^2-c^2)^4-8 a^6 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+3 a^4 (b^4+c^4):
    2 a^8-(b^2-c^2)^3 (2 b^2-c^2)-a^6 (7 b^2+5 c^2)+a^4 (6 b^4+4 b^2 c^2+3 c^4)+a^2 (b^6-2 b^2 c^4+c^6) :
    2 a^8-(b^2-2 c^2) (b^2-c^2)^3-a^6 (5 b^2+7 c^2)+a^4 (3 b^4+4 b^2 c^2+6 c^4)+a^2 (b^6-2 b^4 c^2+c^6)).

      Las coordenadas del resto de puntos se obtienen por permutación cíclica.
      Los puntos O1, O2 y O3 están en la recta de ecuación:

    (2 a^6-6 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (6 b^4+b^2 c^2+6 c^4)-2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2))x+ ⋯ =0,

    cuyo punto del infinito es X523, en la dirección de la perpendicular a la recta de Euler.
      El punto de intersección con la recta de Euler es el punto medio de X140X468:

    W = (4 a^10-10 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (2 b^4+7 b^2 c^2+2 c^4)-a^2 (b^2-c^2)^2 (8 b^4+3 b^2 c^2+8 c^4)-a^4 (-8 b^6+11 b^4 c^2+11 b^2 c^4-8 c^6)+2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2):...:...),

    que tiene números de búsqueda en (2.43812614140663, 1.56217438018609, 1.43387015343711).

  • jueves, 9 de junio del 2016

    Una nueva cuártica


      Sean ABC un triángulo, MaMbMc el triángulo medial y AθBθCθ un triángulo de Kiepert (Aθ, Bθ, Cθ son las cúspides de los triángulos isósceles sobre los lados de ABC, con ángulo en sus bases θ).
      Si N es el centro de la , se denota por A' la reflexión de Ma en la recta NAθ, por B' la reflexión de Mb en la recta NBθ, y por C' la reflexión de Mc en la recta NCθ.
    Las rectas AA' , BB' y CC' son concurrentes en un punto X, que describe una cuártica
    (-a^10 x^2 y^2+3 a^8 b^2 x^2 y^2-2 a^6 b^4 x^2 y^2-2 a^4 b^6 x^2 y^2+3 a^2 b^8 x^2 y^2-b^10 x^2 y^2+a^8 c^2 x^2 y^2-4 a^6 b^2 c^2 x^2 y^2+6 a^4 b^4 c^2 x^2 y^2-4 a^2 b^6 c^2 x^2 y^2+b^8 c^2 x^2 y^2+2 a^10 x^2 y z-4 a^8 b^2 x^2 y z+2 a^6 b^4 x^2 y z-4 a^8 c^2 x^2 y z+8 a^6 b^2 c^2 x^2 y z-4 a^4 b^4 c^2 x^2 y z+2 a^6 c^4 x^2 y z-4 a^4 b^2 c^4 x^2 y z+2 a^2 b^4 c^4 x^2 y z+2 a^4 b^6 x y^2 z-4 a^2 b^8 x y^2 z+2 b^10 x y^2 z-4 a^4 b^4 c^2 x y^2 z+8 a^2 b^6 c^2 x y^2 z-4 b^8 c^2 x y^2 z+2 a^4 b^2 c^4 x y^2 z-4 a^2 b^4 c^4 x y^2 z+2 b^6 c^4 x y^2 z-a^10 x^2 z^2+a^8 b^2 x^2 z^2+3 a^8 c^2 x^2 z^2-4 a^6 b^2 c^2 x^2 z^2-2 a^6 c^4 x^2 z^2+6 a^4 b^2 c^4 x^2 z^2-2 a^4 c^6 x^2 z^2-4 a^2 b^2 c^6 x^2 z^2+3 a^2 c^8 x^2 z^2+b^2 c^8 x^2 z^2-c^10 x^2 z^2+2 a^4 b^4 c^2 x y z^2-4 a^4 b^2 c^4 x y z^2-4 a^2 b^4 c^4 x y z^2+2 a^4 c^6 x y z^2+8 a^2 b^2 c^6 x y z^2+2 b^4 c^6 x y z^2-4 a^2 c^8 x y z^2-4 b^2 c^8 x y z^2+2 c^10 x y z^2+a^2 b^8 y^2 z^2-b^10 y^2 z^2-4 a^2 b^6 c^2 y^2 z^2+3 b^8 c^2 y^2 z^2+6 a^2 b^4 c^4 y^2 z^2-2 b^6 c^4 y^2 z^2-4 a^2 b^2 c^6 y^2 z^2-2 b^4 c^6 y^2 z^2+a^2 c^8 y^2 z^2+3 b^2 c^8 y^2 z^2-c^10 y^2 z^2=0)
    que pasa a través de los vértices de ABC (dobles), de los centros del triángulo X2, X4, X12, X68, X252, X1312, X1313, X5627, X6340, X6526.

      Esta cuártica es la de , C(X249,X250), de los conjugados isogonales de los centros de la hipérbolas de y . (Bernard Gibert)
      Esta cónica pasa por los centros X3, X6, X24 , X60, X143, X1511, X1986, X6593 (punto medio del simediano y el centro de la hipérbola de Stalammler).
      El de C(X249,X250) es el conjugado isogonal del polo, X7668, de la recta X115X125 respecto a la circunferencia de Euler.

  • martes, 7 de junio del 2016

    Punto de Parry


    Dado un triángulo ABC, sea ℘a es la parábola tangente en B y C a AC y AB, respectivamente, y Fa su foco.
    Se definen Fb y Fc, cíclicamente.
    Se denota por A' el polo de FbFc respecto a ℘a. Se definen B' y C' cíclicamente.
    Las recta AA', BB' y CC' son paralelas, y el conjugado isogonal de su punto del infinito es le , X111.
    Parry point

    The Parry point is one of the two intersections of the Parry circle and the circumcircle of a triangle (the other is the focus of the Kiepert parabola, which is Kimberling center X110. The Parry point is Kimberling center X111.

    The Parry circle is the circle passing through the and the triangle centroid of a triangle.


      La ecuación baricéntrica de la parábola ℘a es x^2-4yz=0, y su foco Fa(a^2-b^2-c^2:-b^2:-c^2).
      El polo de la recta FbFc, respecto a ℘a es:

    A' = (2 (-a^4+b^4-b^2 c^2+c^4) : -a^2 (a^2-2 b^2+c^2) : -a^2 (a^2+b^2-2 c^2)).

      La simétrica de la recta AA', respecto a la bisectirz en A, vuelve a cortar a la circunfeencia circunscrita en el punto de Parry, (a^2/(b^2+c^2-2a^2) : b^2/(c^2+a^2-2b^2) : c^2/(a^2+b^2-2c^2)).

  • lunes, 6 de junio del 2016

    Hipérbola y parábola bitangentes


    Sean ABC un triángulo, P un punto y Na, Nb y Nc los centros de las de los triángulos PBC, PCA y PAB, respectivamente.

    El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos NaNbNc y el pedal de P son perspectivos es la .

    El lugar geométrico de los centros de perspectividad es la hipérbola
    ((3 a^12 b^6 c^2-7 a^10 b^8 c^2+10 a^6 b^12 c^2-5 a^4 b^14 c^2-3 a^2 b^16 c^2+2 b^18 c^2-6 a^12 b^4 c^4+7 a^10 b^6 c^4+19 a^8 b^8 c^4-34 a^6 b^10 c^4+4 a^4 b^12 c^4+19 a^2 b^14 c^4-9 b^16 c^4+3 a^12 b^2 c^6+7 a^10 b^4 c^6-38 a^8 b^6 c^6+24 a^6 b^8 c^6+29 a^4 b^10 c^6-39 a^2 b^12 c^6+14 b^14 c^6-7 a^10 b^2 c^8+19 a^8 b^4 c^8+24 a^6 b^6 c^8-56 a^4 b^8 c^8+23 a^2 b^10 c^8-7 b^12 c^8-34 a^6 b^4 c^10+29 a^4 b^6 c^10+23 a^2 b^8 c^10+10 a^6 b^2 c^12+4 a^4 b^4 c^12-39 a^2 b^6 c^12-7 b^8 c^12-5 a^4 b^2 c^14+19 a^2 b^4 c^14+14 b^6 c^14-3 a^2 b^2 c^16-9 b^4 c^16+2 b^2 c^18) x^2+(a^16 b^2 c^2+5 a^14 b^4 c^2-21 a^12 b^6 c^2+15 a^10 b^8 c^2+15 a^8 b^10 c^2-21 a^6 b^12 c^2+5 a^4 b^14 c^2+a^2 b^16 c^2-a^16 c^4-9 a^14 b^2 c^4+14 a^12 b^4 c^4+33 a^10 b^6 c^4-74 a^8 b^8 c^4+33 a^6 b^10 c^4+14 a^4 b^12 c^4-9 a^2 b^14 c^4-b^16 c^4+4 a^14 c^6+10 a^12 b^2 c^6-62 a^10 b^4 c^6+48 a^8 b^6 c^6+48 a^6 b^8 c^6-62 a^4 b^10 c^6+10 a^2 b^12 c^6+4 b^14 c^6-3 a^12 c^8+24 a^10 b^2 c^8+39 a^8 b^4 c^8-112 a^6 b^6 c^8+39 a^4 b^8 c^8+24 a^2 b^10 c^8-3 b^12 c^8-10 a^10 c^10-53 a^8 b^2 c^10+45 a^6 b^4 c^10+45 a^4 b^6 c^10-53 a^2 b^8 c^10-10 b^10 c^10+25 a^8 c^12+31 a^6 b^2 c^12-48 a^4 b^4 c^12+31 a^2 b^6 c^12+25 b^8 c^12-24 a^6 c^14-4 a^4 b^2 c^14-4 a^2 b^4 c^14-24 b^6 c^14+11 a^4 c^16+2 a^2 b^2 c^16+11 b^4 c^16-2 a^2 c^18-2 b^2 c^18) x y+(2 a^18 c^2-3 a^16 b^2 c^2-5 a^14 b^4 c^2+10 a^12 b^6 c^2-7 a^8 b^10 c^2+3 a^6 b^12 c^2-9 a^16 c^4+19 a^14 b^2 c^4+4 a^12 b^4 c^4-34 a^10 b^6 c^4+19 a^8 b^8 c^4+7 a^6 b^10 c^4-6 a^4 b^12 c^4+14 a^14 c^6-39 a^12 b^2 c^6+29 a^10 b^4 c^6+24 a^8 b^6 c^6-38 a^6 b^8 c^6+7 a^4 b^10 c^6+3 a^2 b^12 c^6-7 a^12 c^8+23 a^10 b^2 c^8-56 a^8 b^4 c^8+24 a^6 b^6 c^8+19 a^4 b^8 c^8-7 a^2 b^10 c^8+23 a^8 b^2 c^10+29 a^6 b^4 c^10-34 a^4 b^6 c^10-7 a^8 c^12-39 a^6 b^2 c^12+4 a^4 b^4 c^12+10 a^2 b^6 c^12+14 a^6 c^14+19 a^4 b^2 c^14-5 a^2 b^4 c^14-9 a^4 c^16-3 a^2 b^2 c^16+2 a^2 c^18) y^2+(-a^16 b^4+4 a^14 b^6-3 a^12 b^8-10 a^10 b^10+25 a^8 b^12-24 a^6 b^14+11 a^4 b^16-2 a^2 b^18+a^16 b^2 c^2-9 a^14 b^4 c^2+10 a^12 b^6 c^2+24 a^10 b^8 c^2-53 a^8 b^10 c^2+31 a^6 b^12 c^2-4 a^4 b^14 c^2+2 a^2 b^16 c^2-2 b^18 c^2+5 a^14 b^2 c^4+14 a^12 b^4 c^4-62 a^10 b^6 c^4+39 a^8 b^8 c^4+45 a^6 b^10 c^4-48 a^4 b^12 c^4-4 a^2 b^14 c^4+11 b^16 c^4-21 a^12 b^2 c^6+33 a^10 b^4 c^6+48 a^8 b^6 c^6-112 a^6 b^8 c^6+45 a^4 b^10 c^6+31 a^2 b^12 c^6-24 b^14 c^6+15 a^10 b^2 c^8-74 a^8 b^4 c^8+48 a^6 b^6 c^8+39 a^4 b^8 c^8-53 a^2 b^10 c^8+25 b^12 c^8+15 a^8 b^2 c^10+33 a^6 b^4 c^10-62 a^4 b^6 c^10+24 a^2 b^8 c^10-10 b^10 c^10-21 a^6 b^2 c^12+14 a^4 b^4 c^12+10 a^2 b^6 c^12-3 b^8 c^12+5 a^4 b^2 c^14-9 a^2 b^4 c^14+4 b^6 c^14+a^2 b^2 c^16-b^4 c^16) x z+(-2 a^18 b^2+11 a^16 b^4-24 a^14 b^6+25 a^12 b^8-10 a^10 b^10-3 a^8 b^12+4 a^6 b^14-a^4 b^16-2 a^18 c^2+2 a^16 b^2 c^2-4 a^14 b^4 c^2+31 a^12 b^6 c^2-53 a^10 b^8 c^2+24 a^8 b^10 c^2+10 a^6 b^12 c^2-9 a^4 b^14 c^2+a^2 b^16 c^2+11 a^16 c^4-4 a^14 b^2 c^4-48 a^12 b^4 c^4+45 a^10 b^6 c^4+39 a^8 b^8 c^4-62 a^6 b^10 c^4+14 a^4 b^12 c^4+5 a^2 b^14 c^4-24 a^14 c^6+31 a^12 b^2 c^6+45 a^10 b^4 c^6-112 a^8 b^6 c^6+48 a^6 b^8 c^6+33 a^4 b^10 c^6-21 a^2 b^12 c^6+25 a^12 c^8-53 a^10 b^2 c^8+39 a^8 b^4 c^8+48 a^6 b^6 c^8-74 a^4 b^8 c^8+15 a^2 b^10 c^8-10 a^10 c^10+24 a^8 b^2 c^10-62 a^6 b^4 c^10+33 a^4 b^6 c^10+15 a^2 b^8 c^10-3 a^8 c^12+10 a^6 b^2 c^12+14 a^4 b^4 c^12-21 a^2 b^6 c^12+4 a^6 c^14-9 a^4 b^2 c^14+5 a^2 b^4 c^14-a^4 c^16+a^2 b^2 c^16) y z+(2 a^18 b^2-9 a^16 b^4+14 a^14 b^6-7 a^12 b^8-7 a^8 b^12+14 a^6 b^14-9 a^4 b^16+2 a^2 b^18-3 a^16 b^2 c^2+19 a^14 b^4 c^2-39 a^12 b^6 c^2+23 a^10 b^8 c^2+23 a^8 b^10 c^2-39 a^6 b^12 c^2+19 a^4 b^14 c^2-3 a^2 b^16 c^2-5 a^14 b^2 c^4+4 a^12 b^4 c^4+29 a^10 b^6 c^4-56 a^8 b^8 c^4+29 a^6 b^10 c^4+4 a^4 b^12 c^4-5 a^2 b^14 c^4+10 a^12 b^2 c^6-34 a^10 b^4 c^6+24 a^8 b^6 c^6+24 a^6 b^8 c^6-34 a^4 b^10 c^6+10 a^2 b^12 c^6+19 a^8 b^4 c^8-38 a^6 b^6 c^8+19 a^4 b^8 c^8-7 a^8 b^2 c^10+7 a^6 b^4 c^10+7 a^4 b^6 c^10-7 a^2 b^8 c^10+3 a^6 b^2 c^12-6 a^4 b^4 c^12+3 a^2 b^6 c^12) z^2=0)
    ℋ, que pasa a través del circuncentro, centro de la circunferencia de los nueve puntos y X5663 (punto del infinito de la recta de Euler del ).


      Los tres puntos, sobre la hipérbola, X3, X5 y X5663 corresponden respectivamente a los puntos, sobre la recta de Euler, circuncentro, ortocentro y X186 (inverso del ortocentro en la circunferencia circunscrita).
      La dirección de la otra asíntota está dada por el punto W correspondiente al del infinito de la recta de Euler:

    W = ((a^2-b^2-c^2) (-2a^8+2 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^4):...:...),

    que tiene números de búsqueda en (1.22023184857025, 1.04347413196238, -1.28558909839099).

      Para un punto P sobre la recta de Euler, sea Q el centro de perspectividad de los triángulos NaNbNc y PaPbPc (pedal de P).
    Las rectas PQ, cuando P se mueve sobre la recta de Euler, envuelven una parábola
    (a^12 b^8 x^2-6 a^10 b^10 x^2+15 a^8 b^12 x^2-20 a^6 b^14 x^2+15 a^4 b^16 x^2-6 a^2 b^18 x^2+b^20 x^2+12 a^12 b^6 c^2 x^2-30 a^10 b^8 c^2 x^2+2 a^8 b^10 c^2 x^2+52 a^6 b^12 c^2 x^2-48 a^4 b^14 c^2 x^2+10 a^2 b^16 c^2 x^2+2 b^18 c^2 x^2-26 a^12 b^4 c^4 x^2+36 a^10 b^6 c^4 x^2+65 a^8 b^8 c^4 x^2-132 a^6 b^10 c^4 x^2+36 a^4 b^12 c^4 x^2+40 a^2 b^14 c^4 x^2-19 b^16 c^4 x^2+12 a^12 b^2 c^6 x^2+36 a^10 b^4 c^6 x^2-164 a^8 b^6 c^6 x^2+100 a^6 b^8 c^6 x^2+112 a^4 b^10 c^6 x^2-120 a^2 b^12 c^6 x^2+24 b^14 c^6 x^2+a^12 c^8 x^2-30 a^10 b^2 c^8 x^2+65 a^8 b^4 c^8 x^2+100 a^6 b^6 c^8 x^2-230 a^4 b^8 c^8 x^2+76 a^2 b^10 c^8 x^2+18 b^12 c^8 x^2-6 a^10 c^10 x^2+2 a^8 b^2 c^10 x^2-132 a^6 b^4 c^10 x^2+112 a^4 b^6 c^10 x^2+76 a^2 b^8 c^10 x^2-52 b^10 c^10 x^2+15 a^8 c^12 x^2+52 a^6 b^2 c^12 x^2+36 a^4 b^4 c^12 x^2-120 a^2 b^6 c^12 x^2+18 b^8 c^12 x^2-20 a^6 c^14 x^2-48 a^4 b^2 c^14 x^2+40 a^2 b^4 c^14 x^2+24 b^6 c^14 x^2+15 a^4 c^16 x^2+10 a^2 b^2 c^16 x^2-19 b^4 c^16 x^2-6 a^2 c^18 x^2+2 b^2 c^18 x^2+c^20 x^2+2 a^16 b^4 x y-12 a^14 b^6 x y+30 a^12 b^8 x y-40 a^10 b^10 x y+30 a^8 b^12 x y-12 a^6 b^14 x y+2 a^4 b^16 x y+4 a^16 b^2 c^2 x y+12 a^14 b^4 c^2 x y-60 a^12 b^6 c^2 x y+44 a^10 b^8 c^2 x y+44 a^8 b^10 c^2 x y-60 a^6 b^12 c^2 x y+12 a^4 b^14 c^2 x y+4 a^2 b^16 c^2 x y-6 a^16 c^4 x y-28 a^14 b^2 c^4 x y+58 a^12 b^4 c^4 x y+116 a^10 b^6 c^4 x y-280 a^8 b^8 c^4 x y+116 a^6 b^10 c^4 x y+58 a^4 b^12 c^4 x y-28 a^2 b^14 c^4 x y-6 b^16 c^4 x y+28 a^14 c^6 x y+16 a^12 b^2 c^6 x y-248 a^10 b^4 c^6 x y+204 a^8 b^6 c^6 x y+204 a^6 b^8 c^6 x y-248 a^4 b^10 c^6 x y+16 a^2 b^12 c^6 x y+28 b^14 c^6 x y-44 a^12 c^8 x y+116 a^10 b^2 c^8 x y+162 a^8 b^4 c^8 x y-468 a^6 b^6 c^8 x y+162 a^4 b^8 c^8 x y+116 a^2 b^10 c^8 x y-44 b^12 c^8 x y+12 a^10 c^10 x y-200 a^8 b^2 c^10 x y+188 a^6 b^4 c^10 x y+188 a^4 b^6 c^10 x y-200 a^2 b^8 c^10 x y+12 b^10 c^10 x y+40 a^8 c^12 x y+76 a^6 b^2 c^12 x y-234 a^4 b^4 c^12 x y+76 a^2 b^6 c^12 x y+40 b^8 c^12 x y-44 a^6 c^14 x y+48 a^4 b^2 c^14 x y+48 a^2 b^4 c^14 x y-44 b^6 c^14 x y+12 a^4 c^16 x y-36 a^2 b^2 c^16 x y+12 b^4 c^16 x y+4 a^2 c^18 x y+4 b^2 c^18 x y-2 c^20 x y+a^20 y^2-6 a^18 b^2 y^2+15 a^16 b^4 y^2-20 a^14 b^6 y^2+15 a^12 b^8 y^2-6 a^10 b^10 y^2+a^8 b^12 y^2+2 a^18 c^2 y^2+10 a^16 b^2 c^2 y^2-48 a^14 b^4 c^2 y^2+52 a^12 b^6 c^2 y^2+2 a^10 b^8 c^2 y^2-30 a^8 b^10 c^2 y^2+12 a^6 b^12 c^2 y^2-19 a^16 c^4 y^2+40 a^14 b^2 c^4 y^2+36 a^12 b^4 c^4 y^2-132 a^10 b^6 c^4 y^2+65 a^8 b^8 c^4 y^2+36 a^6 b^10 c^4 y^2-26 a^4 b^12 c^4 y^2+24 a^14 c^6 y^2-120 a^12 b^2 c^6 y^2+112 a^10 b^4 c^6 y^2+100 a^8 b^6 c^6 y^2-164 a^6 b^8 c^6 y^2+36 a^4 b^10 c^6 y^2+12 a^2 b^12 c^6 y^2+18 a^12 c^8 y^2+76 a^10 b^2 c^8 y^2-230 a^8 b^4 c^8 y^2+100 a^6 b^6 c^8 y^2+65 a^4 b^8 c^8 y^2-30 a^2 b^10 c^8 y^2+b^12 c^8 y^2-52 a^10 c^10 y^2+76 a^8 b^2 c^10 y^2+112 a^6 b^4 c^10 y^2-132 a^4 b^6 c^10 y^2+2 a^2 b^8 c^10 y^2-6 b^10 c^10 y^2+18 a^8 c^12 y^2-120 a^6 b^2 c^12 y^2+36 a^4 b^4 c^12 y^2+52 a^2 b^6 c^12 y^2+15 b^8 c^12 y^2+24 a^6 c^14 y^2+40 a^4 b^2 c^14 y^2-48 a^2 b^4 c^14 y^2-20 b^6 c^14 y^2-19 a^4 c^16 y^2+10 a^2 b^2 c^16 y^2+15 b^4 c^16 y^2+2 a^2 c^18 y^2-6 b^2 c^18 y^2+c^20 y^2-6 a^16 b^4 x z+28 a^14 b^6 x z-44 a^12 b^8 x z+12 a^10 b^10 x z+40 a^8 b^12 x z-44 a^6 b^14 x z+12 a^4 b^16 x z+4 a^2 b^18 x z-2 b^20 x z+4 a^16 b^2 c^2 x z-28 a^14 b^4 c^2 x z+16 a^12 b^6 c^2 x z+116 a^10 b^8 c^2 x z-200 a^8 b^10 c^2 x z+76 a^6 b^12 c^2 x z+48 a^4 b^14 c^2 x z-36 a^2 b^16 c^2 x z+4 b^18 c^2 x z+2 a^16 c^4 x z+12 a^14 b^2 c^4 x z+58 a^12 b^4 c^4 x z-248 a^10 b^6 c^4 x z+162 a^8 b^8 c^4 x z+188 a^6 b^10 c^4 x z-234 a^4 b^12 c^4 x z+48 a^2 b^14 c^4 x z+12 b^16 c^4 x z-12 a^14 c^6 x z-60 a^12 b^2 c^6 x z+116 a^10 b^4 c^6 x z+204 a^8 b^6 c^6 x z-468 a^6 b^8 c^6 x z+188 a^4 b^10 c^6 x z+76 a^2 b^12 c^6 x z-44 b^14 c^6 x z+30 a^12 c^8 x z+44 a^10 b^2 c^8 x z-280 a^8 b^4 c^8 x z+204 a^6 b^6 c^8 x z+162 a^4 b^8 c^8 x z-200 a^2 b^10 c^8 x z+40 b^12 c^8 x z-40 a^10 c^10 x z+44 a^8 b^2 c^10 x z+116 a^6 b^4 c^10 x z-248 a^4 b^6 c^10 x z+116 a^2 b^8 c^10 x z+12 b^10 c^10 x z+30 a^8 c^12 x z-60 a^6 b^2 c^12 x z+58 a^4 b^4 c^12 x z+16 a^2 b^6 c^12 x z-44 b^8 c^12 x z-12 a^6 c^14 x z+12 a^4 b^2 c^14 x z-28 a^2 b^4 c^14 x z+28 b^6 c^14 x z+2 a^4 c^16 x z+4 a^2 b^2 c^16 x z-6 b^4 c^16 x z-2 a^20 y z+4 a^18 b^2 y z+12 a^16 b^4 y z-44 a^14 b^6 y z+40 a^12 b^8 y z+12 a^10 b^10 y z-44 a^8 b^12 y z+28 a^6 b^14 y z-6 a^4 b^16 y z+4 a^18 c^2 y z-36 a^16 b^2 c^2 y z+48 a^14 b^4 c^2 y z+76 a^12 b^6 c^2 y z-200 a^10 b^8 c^2 y z+116 a^8 b^10 c^2 y z+16 a^6 b^12 c^2 y z-28 a^4 b^14 c^2 y z+4 a^2 b^16 c^2 y z+12 a^16 c^4 y z+48 a^14 b^2 c^4 y z-234 a^12 b^4 c^4 y z+188 a^10 b^6 c^4 y z+162 a^8 b^8 c^4 y z-248 a^6 b^10 c^4 y z+58 a^4 b^12 c^4 y z+12 a^2 b^14 c^4 y z+2 b^16 c^4 y z-44 a^14 c^6 y z+76 a^12 b^2 c^6 y z+188 a^10 b^4 c^6 y z-468 a^8 b^6 c^6 y z+204 a^6 b^8 c^6 y z+116 a^4 b^10 c^6 y z-60 a^2 b^12 c^6 y z-12 b^14 c^6 y z+40 a^12 c^8 y z-200 a^10 b^2 c^8 y z+162 a^8 b^4 c^8 y z+204 a^6 b^6 c^8 y z-280 a^4 b^8 c^8 y z+44 a^2 b^10 c^8 y z+30 b^12 c^8 y z+12 a^10 c^10 y z+116 a^8 b^2 c^10 y z-248 a^6 b^4 c^10 y z+116 a^4 b^6 c^10 y z+44 a^2 b^8 c^10 y z-40 b^10 c^10 y z-44 a^8 c^12 y z+16 a^6 b^2 c^12 y z+58 a^4 b^4 c^12 y z-60 a^2 b^6 c^12 y z+30 b^8 c^12 y z+28 a^6 c^14 y z-28 a^4 b^2 c^14 y z+12 a^2 b^4 c^14 y z-12 b^6 c^14 y z-6 a^4 c^16 y z+4 a^2 b^2 c^16 y z+2 b^4 c^16 y z+a^20 z^2+2 a^18 b^2 z^2-19 a^16 b^4 z^2+24 a^14 b^6 z^2+18 a^12 b^8 z^2-52 a^10 b^10 z^2+18 a^8 b^12 z^2+24 a^6 b^14 z^2-19 a^4 b^16 z^2+2 a^2 b^18 z^2+b^20 z^2-6 a^18 c^2 z^2+10 a^16 b^2 c^2 z^2+40 a^14 b^4 c^2 z^2-120 a^12 b^6 c^2 z^2+76 a^10 b^8 c^2 z^2+76 a^8 b^10 c^2 z^2-120 a^6 b^12 c^2 z^2+40 a^4 b^14 c^2 z^2+10 a^2 b^16 c^2 z^2-6 b^18 c^2 z^2+15 a^16 c^4 z^2-48 a^14 b^2 c^4 z^2+36 a^12 b^4 c^4 z^2+112 a^10 b^6 c^4 z^2-230 a^8 b^8 c^4 z^2+112 a^6 b^10 c^4 z^2+36 a^4 b^12 c^4 z^2-48 a^2 b^14 c^4 z^2+15 b^16 c^4 z^2-20 a^14 c^6 z^2+52 a^12 b^2 c^6 z^2-132 a^10 b^4 c^6 z^2+100 a^8 b^6 c^6 z^2+100 a^6 b^8 c^6 z^2-132 a^4 b^10 c^6 z^2+52 a^2 b^12 c^6 z^2-20 b^14 c^6 z^2+15 a^12 c^8 z^2+2 a^10 b^2 c^8 z^2+65 a^8 b^4 c^8 z^2-164 a^6 b^6 c^8 z^2+65 a^4 b^8 c^8 z^2+2 a^2 b^10 c^8 z^2+15 b^12 c^8 z^2-6 a^10 c^10 z^2-30 a^8 b^2 c^10 z^2+36 a^6 b^4 c^10 z^2+36 a^4 b^6 c^10 z^2-30 a^2 b^8 c^10 z^2-6 b^10 c^10 z^2+a^8 c^12 z^2+12 a^6 b^2 c^12 z^2-26 a^4 b^4 c^12 z^2+12 a^2 b^6 c^12 z^2+b^8 c^12 z^2)
    ℘, bitangente con la hipérbola ℋ. Los puntos de tangencia comunes (reales o no) están sobre la recta que une el baricentro con el .

    La parábola ℘ es tangente a la recta de Euler en el ortocentro, pasa por X6225 ( de X64), por X6759 (inverso de X6760 en la circunferencia circunscrita) y el punto del infinito es X2777 (conjugado isogonal de la reflexión de X1304 en el circuncentro).

    Let A', B', C' be the intersections of the Euler line and lines BC, CA, AB, resp. The circumcircles of AB'C', BC'A', CA'B' concur in X(1304). (Randy Hutson, February 10, 2016)

    Let A'B'C' be the reflection of the of the circumcenter in the of the circumcenter. The lines AA', BB', CC' concur in X(6760).

      El de la parábola ℘ es:

    (1/((b^2-c^2)^2 ): 1/((c^2-a^2)^2 SB^3):1/((a^2-b^2)^2 SC^3)),

    que tiene números de búsqueda en (-0.0299591539722006, -0.0449445061606283, 3.68560721108275) y está sobre las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {30,250}, {107,523}, {450,3260}, {648,8057}, {1503,1559}, {1971,1990}, {2404,2409}, {6524,9214}.

      Las tagentes comunes se cortan en X1495 (punto medio del foco de la y el inverso del baricentro en la circunferencia ctircunscrita), cuya polar respecto a ℋ y ℘, es la recta X2X98, que pasa por sus puntos de contacto.

  • sábado, 4 de junio del 2016

    Correspondencia entre puntos de la recta de Euler


    Sean ABC un triángulo, D un punto y Na, Nb y Nc los centros de las de los triángulos DBC, DCA y DAB, respectivamente.

    Sea P un punto sobre la de ABC y Ma, Mb, Mc los puntos medios de PNa, PNb, PNc, resp.

    El circuncentro Q del triángulo MaMbMc está sobre la recta de Euler de ABC si y solo si D está sobre una quíntica
    (a^6 c^2 x^3 y^2-3 a^4 b^2 c^2 x^3 y^2+3 a^2 b^4 c^2 x^3 y^2-b^6 c^2 x^3 y^2-a^4 c^4 x^3 y^2+a^2 b^2 c^4 x^3 y^2-a^2 c^6 x^3 y^2+c^8 x^3 y^2+a^6 c^2 x^2 y^3-3 a^4 b^2 c^2 x^2 y^3+3 a^2 b^4 c^2 x^2 y^3-b^6 c^2 x^2 y^3-a^2 b^2 c^4 x^2 y^3+b^4 c^4 x^2 y^3+b^2 c^6 x^2 y^3-c^8 x^2 y^3+3 a^2 b^4 c^2 x^3 y z-3 b^6 c^2 x^3 y z-3 a^2 b^2 c^4 x^3 y z+3 b^2 c^6 x^3 y z+2 a^6 c^2 x^2 y^2 z-2 b^6 c^2 x^2 y^2 z-4 a^4 c^4 x^2 y^2 z+4 b^4 c^4 x^2 y^2 z+2 a^2 c^6 x^2 y^2 z-2 b^2 c^6 x^2 y^2 z+3 a^6 c^2 x y^3 z-3 a^4 b^2 c^2 x y^3 z+3 a^2 b^2 c^4 x y^3 z-3 a^2 c^6 x y^3 z-a^6 b^2 x^3 z^2+a^4 b^4 x^3 z^2+a^2 b^6 x^3 z^2-b^8 x^3 z^2+3 a^4 b^2 c^2 x^3 z^2-a^2 b^4 c^2 x^3 z^2-3 a^2 b^2 c^4 x^3 z^2+b^2 c^6 x^3 z^2-2 a^6 b^2 x^2 y z^2+4 a^4 b^4 x^2 y z^2-2 a^2 b^6 x^2 y z^2+2 b^6 c^2 x^2 y z^2-4 b^4 c^4 x^2 y z^2+2 b^2 c^6 x^2 y z^2+2 a^6 b^2 x y^2 z^2-4 a^4 b^4 x y^2 z^2+2 a^2 b^6 x y^2 z^2-2 a^6 c^2 x y^2 z^2+4 a^4 c^4 x y^2 z^2-2 a^2 c^6 x y^2 z^2+a^8 y^3 z^2-a^6 b^2 y^3 z^2-a^4 b^4 y^3 z^2+a^2 b^6 y^3 z^2+a^4 b^2 c^2 y^3 z^2-3 a^2 b^4 c^2 y^3 z^2+3 a^2 b^2 c^4 y^3 z^2-a^2 c^6 y^3 z^2-a^6 b^2 x^2 z^3+b^8 x^2 z^3+3 a^4 b^2 c^2 x^2 z^3+a^2 b^4 c^2 x^2 z^3-b^6 c^2 x^2 z^3-3 a^2 b^2 c^4 x^2 z^3-b^4 c^4 x^2 z^3+b^2 c^6 x^2 z^3-3 a^6 b^2 x y z^3+3 a^2 b^6 x y z^3+3 a^4 b^2 c^2 x y z^3-3 a^2 b^4 c^2 x y z^3-a^8 y^2 z^3+a^2 b^6 y^2 z^3+a^6 c^2 y^2 z^3-a^4 b^2 c^2 y^2 z^3-3 a^2 b^4 c^2 y^2 z^3+a^4 c^4 y^2 z^3+3 a^2 b^2 c^4 y^2 z^3-a^2 c^6 y^2 z^3 = 0)
    que pasa a través de A, B, C (dobles), los vértices del triángulo ceviano de X265, X1, X4, X5, X30, X1113, X1114, X1138. Su asíntota real es la parelela a la recta de Euler por X1138.


    X(1), incenter, is the point of concurrence of the interior angle bisectors of ABC.

    X(4), orthocenter, is the point of concurrence of the altitudes of ABC.

    X(5), nine-point center, is the center of the nine-point circle.

    X(30) is the point of intersection of the Euler line and the line at infinity.

    Let P = X(74), H = X(4), H' =H-of-BCP, H'' = H-of-CAP, and H''' = H-of ABP. Then X(265) is the circumcenter of the cyclic quadrilateral HH'H''H'''. (Randy Hutson, 9/23/2011)

    X(1113) and X(1114) are the points of intersection of the Euler line and the circumcircle.

    There are only two points X such that the pedal triangle of X is similar to the cevian triangle of X. They are X(4) and X(1138). (Jean-Pierre Ehrmann, 1/4/03)



      Si D=(p:q:r), en coordenadas baricéntricas:

    Na = (-(b^2-c^2)^2 p^2+a^2 p (c^2 (p+q-r)+b^2 (p-q+r))+a^4 (2 q r+p (q+r)):
    -(b^2-c^2) p (b^2 (q+r)-c^2 (p+q+r))-a^4 (p^2+q r+p (2 q+r))+a^2 (b^2 (p^2+3 p q-q r)+c^2 (2 p^2+3 p q+2 p r+q r)):
    -(b^2-c^2) p (-c^2 (q+r)+b^2 (p+q+r))-a^4 (p^2+q r+p (q+2 r))+a^2 (c^2 (p^2+3 p r-q r)+b^2 (2 p^2+2 p q+3 p r+q r))).

    Ma = ((b^2-c^2)^2 p (5 p+2 (q+r))+a^4 (2 p^2-6 q r-p (q+r))-a^2 p (c^2 (7 p+7 q+r)+b^2 (7 p+q+7 r))+3 ((b^2-c^2)^2 p^2+a^4 (2 p^2-2 q r+p (q+r))-a^2 p (c^2 (3 p+3 q+r)+b^2 (3 p+q+3 r))) t :
    a^4 (5 p^2+8 p q+5 p r+3 q r)-a^2 (b^2 (7 p^2+13 p q+4 p r-3 q r)+c^2 (10 p^2+13 p q+10 p r+3 q r))+(b^2-c^2) p (-5 c^2 (p+q+r)+b^2 (2 p+5 (q+r)))+3 (a^4 (p^2+q r+p (2 q+r))-a^2 (b^2 (3 p^2+5 p q+2 p r-q r)+c^2 (2 p^2+3 p q+2 p r+q r))+(b^2-c^2) p (-c^2 (p+q+r)+b^2 (2 p+3 (q+r)))) t:
    a^4 (5 p^2+5 p q+8 p r+3 q r)-a^2 (c^2 (7 p^2+4 p q+13 p r-3 q r)+b^2 (10 p^2+10 p q+13 p r+3 q r))+(b^2-c^2) p (5 b^2 (p+q+r)-c^2 (2 p+5 (q+r)))+3 (a^4 (p^2+q r+p (q+2 r))-a^2 (c^2 (3 p^2+2 p q+5 p r-q r)+b^2 (2 p^2+2 p q+3 p r+q r))+(b^2-c^2) p (b^2 (p+q+r)-c^2 (2 p+3 (q+r)))) t)

      Los coordenadas de los puntos Mb, Mc, Nb y Nc se obtienen por permutación cíclica.

      Como, por construccción, las circunferencias circunscritas a los triángulos NaNbNc y MaMbMc son homotéticas, cuando P está sobre la recta de Euler, el centro de una de ellas está sobre la recta de Euler si y sólo si lo está el de la otra. Ocurrirá entonces que el circuncentro Q del triángulo NaNbNc es el punto medio del segmento determinado por P y el circuncentro del triángulo MaMbMc.

      Centro de la circunferencia circunscrita al triángulo NaNbNc:

    (a^4 q^2 r^2 (2 p+q+r)+a^2 p (b^2 r (p^2 (q-r)+q^2 (q+r)+p (2 q^2+2 q r-r^2))+c^2 q (p^2 (-q+r)+r^2 (q+r)+p (-q^2+2 q r+2 r^2)))-p (b^4 r (p^2 q+q (q+r)^2+p (2 q^2+3 q r+r^2))+c^4 q (p^2 r+r (q+r)^2+p (q^2+3 q r+2 r^2))-b^2 c^2 (2 q r (q+r)^2+p^2 (q^2+4 q r+r^2)+p (q^3+5 q^2 r+5 q r^2+r^3))):...:...)

      Por consiguiente, el centro Q de la circunferencia circunscrita al triángulo MaMbMc está sobre la recta de Euler si D(p:q:r) está sobre la quíntica:
    a^6 c^2 x^3 y^2-3 a^4 b^2 c^2 x^3 y^2+3 a^2 b^4 c^2 x^3 y^2-b^6 c^2 x^3 y^2-a^4 c^4 x^3 y^2+a^2 b^2 c^4 x^3 y^2-a^2 c^6 x^3 y^2+c^8 x^3 y^2+a^6 c^2 x^2 y^3-3 a^4 b^2 c^2 x^2 y^3+3 a^2 b^4 c^2 x^2 y^3-b^6 c^2 x^2 y^3-a^2 b^2 c^4 x^2 y^3+b^4 c^4 x^2 y^3+b^2 c^6 x^2 y^3-c^8 x^2 y^3+3 a^2 b^4 c^2 x^3 y z-3 b^6 c^2 x^3 y z-3 a^2 b^2 c^4 x^3 y z+3 b^2 c^6 x^3 y z+2 a^6 c^2 x^2 y^2 z-2 b^6 c^2 x^2 y^2 z-4 a^4 c^4 x^2 y^2 z+4 b^4 c^4 x^2 y^2 z+2 a^2 c^6 x^2 y^2 z-2 b^2 c^6 x^2 y^2 z+3 a^6 c^2 x y^3 z-3 a^4 b^2 c^2 x y^3 z+3 a^2 b^2 c^4 x y^3 z-3 a^2 c^6 x y^3 z-a^6 b^2 x^3 z^2+a^4 b^4 x^3 z^2+a^2 b^6 x^3 z^2-b^8 x^3 z^2+3 a^4 b^2 c^2 x^3 z^2-a^2 b^4 c^2 x^3 z^2-3 a^2 b^2 c^4 x^3 z^2+b^2 c^6 x^3 z^2-2 a^6 b^2 x^2 y z^2+4 a^4 b^4 x^2 y z^2-2 a^2 b^6 x^2 y z^2+2 b^6 c^2 x^2 y z^2-4 b^4 c^4 x^2 y z^2+2 b^2 c^6 x^2 y z^2+2 a^6 b^2 x y^2 z^2-4 a^4 b^4 x y^2 z^2+2 a^2 b^6 x y^2 z^2-2 a^6 c^2 x y^2 z^2+4 a^4 c^4 x y^2 z^2-2 a^2 c^6 x y^2 z^2+a^8 y^3 z^2-a^6 b^2 y^3 z^2-a^4 b^4 y^3 z^2+a^2 b^6 y^3 z^2+a^4 b^2 c^2 y^3 z^2-3 a^2 b^4 c^2 y^3 z^2+3 a^2 b^2 c^4 y^3 z^2-a^2 c^6 y^3 z^2-a^6 b^2 x^2 z^3+b^8 x^2 z^3+3 a^4 b^2 c^2 x^2 z^3+a^2 b^4 c^2 x^2 z^3-b^6 c^2 x^2 z^3-3 a^2 b^2 c^4 x^2 z^3-b^4 c^4 x^2 z^3+b^2 c^6 x^2 z^3-3 a^6 b^2 x y z^3+3 a^2 b^6 x y z^3+3 a^4 b^2 c^2 x y z^3-3 a^2 b^4 c^2 x y z^3-a^8 y^2 z^3+a^2 b^6 y^2 z^3+a^6 c^2 y^2 z^3-a^4 b^2 c^2 y^2 z^3-3 a^2 b^4 c^2 y^2 z^3+a^4 c^4 y^2 z^3+3 a^2 b^2 c^4 y^2 z^3-a^2 c^6 y^2 z^3 = 0.

      En general, si P recorre la recta de Euler, entonces el centro Q de la circunferencia circunscrita al triángulo MaMbMc describe la recta paralela a la recta de Euler

  • jueves, 2 de junio del 2016

    Perspectividad y centros de circunferencias de Euler


      En un triángulo ABC, N=X5 es el centro de la , Na, Nb, Nc son los centros de las circunferencias de Euler de los triángulos NBC, NCA, NAB, respectivamente.
      Sean At, Bt, Ct los puntos sobre AN, BN, CN, resp. tales que AtA/AtN = BtB/BtN = CtC/CtN = t.
    Los triángulos y son perspectivos. El centro de perspectividad, cuando t varía, es la hipérbola
    (2 a^8 b^2 x^2-7 a^6 b^4 x^2+9 a^4 b^6 x^2-5 a^2 b^8 x^2+b^10 x^2-2 a^8 c^2 x^2-a^4 b^4 c^2 x^2+7 a^2 b^6 c^2 x^2-4 b^8 c^2 x^2+7 a^6 c^4 x^2+a^4 b^2 c^4 x^2+7 b^6 c^4 x^2-9 a^4 c^6 x^2-7 a^2 b^2 c^6 x^2-7 b^4 c^6 x^2+5 a^2 c^8 x^2+4 b^2 c^8 x^2-c^10 x^2+3 a^10 x y-13 a^8 b^2 x y+24 a^6 b^4 x y-24 a^4 b^6 x y+13 a^2 b^8 x y-3 b^10 x y-10 a^8 c^2 x y+17 a^6 b^2 c^2 x y-17 a^2 b^6 c^2 x y+10 b^8 c^2 x y+12 a^6 c^4 x y-3 a^4 b^2 c^4 x y+3 a^2 b^4 c^4 x y-12 b^6 c^4 x y-6 a^4 c^6 x y+6 b^4 c^6 x y+a^2 c^8 x y-b^2 c^8 x y-a^10 y^2+5 a^8 b^2 y^2-9 a^6 b^4 y^2+7 a^4 b^6 y^2-2 a^2 b^8 y^2+4 a^8 c^2 y^2-7 a^6 b^2 c^2 y^2+a^4 b^4 c^2 y^2+2 b^8 c^2 y^2-7 a^6 c^4 y^2-a^2 b^4 c^4 y^2-7 b^6 c^4 y^2+7 a^4 c^6 y^2+7 a^2 b^2 c^6 y^2+9 b^4 c^6 y^2-4 a^2 c^8 y^2-5 b^2 c^8 y^2+c^10 y^2-3 a^10 x z+10 a^8 b^2 x z-12 a^6 b^4 x z+6 a^4 b^6 x z-a^2 b^8 x z+13 a^8 c^2 x z-17 a^6 b^2 c^2 x z+3 a^4 b^4 c^2 x z+b^8 c^2 x z-24 a^6 c^4 x z-3 a^2 b^4 c^4 x z-6 b^6 c^4 x z+24 a^4 c^6 x z+17 a^2 b^2 c^6 x z+12 b^4 c^6 x z-13 a^2 c^8 x z-10 b^2 c^8 x z+3 c^10 x z+a^8 b^2 y z-6 a^6 b^4 y z+12 a^4 b^6 y z-10 a^2 b^8 y z+3 b^10 y z-a^8 c^2 y z-3 a^4 b^4 c^2 y z+17 a^2 b^6 c^2 y z-13 b^8 c^2 y z+6 a^6 c^4 y z+3 a^4 b^2 c^4 y z+24 b^6 c^4 y z-12 a^4 c^6 y z-17 a^2 b^2 c^6 y z-24 b^4 c^6 y z+10 a^2 c^8 y z+13 b^2 c^8 y z-3 c^10 y z+a^10 z^2-4 a^8 b^2 z^2+7 a^6 b^4 z^2-7 a^4 b^6 z^2+4 a^2 b^8 z^2-b^10 z^2-5 a^8 c^2 z^2+7 a^6 b^2 c^2 z^2-7 a^2 b^6 c^2 z^2+5 b^8 c^2 z^2+9 a^6 c^4 z^2-a^4 b^2 c^4 z^2+a^2 b^4 c^4 z^2-9 b^6 c^4 z^2-7 a^4 c^6 z^2+7 b^4 c^6 z^2+2 a^2 c^8 z^2-2 b^2 c^8 z^2 =0)
    rectangular circunscrita a , que pasa por X5, X140, X1487; su centro es X3628, punto medio de X5 y X140.
    X(140): Midpoint of X(3) and X(5), X(5)-of-medial triangle.

    Let N denote the nine-point center, X(5). Let NA = N-of-triangle NBC, and define NB and NC cyclically. Triangle NANBNC is perspective to ABC, and X(1487) is the perspector. X(1487) is the cevapoint of the Napoleon points, X(17) and X(18).

    X(3628) is the centroid of the set {A', B', C', X(5)}, where A'B'C' is the medial triangle; more generally, H-1(X; M, 2) is the centroid of the set {A', B', C', X}. (Angel Montesdeoca, 12/20/2011)

    Na = (-2 a^8+(b^2-c^2)^4+4 a^6 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4) :
    (a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+2 c^2)) (a^4+b^4-3 b^2 c^2+2 c^4-a^2 (2 b^2+3 c^2)) :
    (a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (2 b^2+c^2)) (a^4+2 b^4-3 b^2 c^2+c^4-a^2 (3 b^2+2 c^2))).

    Las ccordenadas baricéntricas de los puntos Nb y Nc, se obtienen por permutación cíclica.

    At = (-2a^4-a^2(b^2+c^2)(-4+t)+(b^2-c^2)^2(-2+t) : (a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2c^2))t : (a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2))t),
    Bt = (-(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2))t : a^2(-b^2(-4+t)-2c^2(-2+t))-(b^2-c^2)(2b^2+c^2(-2+t))+a^4(-2+t) : (a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2))t),
    Ct = (-(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2))t : (a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2c^2))t : a^2(-c^2(-4+t)-2b^2(-2+t))+(b^2-c^2)(2c^2+b^2(-2+t))+a^4(-2+t)).

      La primera coordenada baricéntrica del centro de perspectividad Nt de los triángulos y es:

    2 a^16 (-1+t)+a^14 (b^2+c^2) (16-13 t+t^2)
    -a^12 (2 b^2 c^2 (38-25 t+3 t^2)+b^4 (56-37 t+5 t^2)+c^4 (56-37 t+5 t^2))
    +a^10 (b^2+c^2) (-4 b^2 c^2 (-3+t)+b^4 (114-65 t+11 t^2)+c^4 (114-65 t+11 t^2))
    -a^8 (6 b^4 c^4 (-3+t)^2+5 b^8 (30-17 t+3 t^2)+5 c^8 (30-17 t+3 t^2)+2 b^6 c^2 (24-13 t+3 t^2)+2 b^2 c^6 (24-13 t+3 t^2))
    +3 a^6 (b^2+c^2) (3 b^4 c^4 (28-19 t+3 t^2)-2 b^6 c^2 (43-25 t+4 t^2)-2 b^2 c^6 (43-25 t+4 t^2)+b^8 (44-29 t+5 t^2)+c^8 (44-29 t+5 t^2))
    -a^4 (b^2-c^2)^2 (2 b^6 c^2 (-29+3 t)+2 b^2 c^6 (-29+3 t)+3 b^4 c^4 (-18-3 t+t^2)+b^8 (76-63 t+11 t^2)+c^8 (76-63 t+11 t^2))
    +a^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) (-2 b^2 c^2 (29-13 t+2 t^2)+b^4 (26-27 t+5 t^2)+c^4 (26-27 t+5 t^2))
    -(b^2-c^2)^6 (2 b^2 c^2 (-5+t)+b^4 (4-5 t+t^2)+c^4 (4-5 t+t^2))

      Cuando t varía en los números reales, el lugar geométrico de Nt es la hipérbola de ecuación:

    (b^2-c^2)(2(^2-3S^2)(SB SC-3S^2)x^2+
    (a^8-6 a^6 (b^2+c^2)+3 a^4 (4 b^4+3 b^2 c^2+4 c^4)+a^2 (-10 b^6+7 b^4 c^2+7 b^2 c^4-10 c^6)+(b^2-c^2)^2 (3 b^4-4 b^2 c^2+3 c^4))y z)+ ⋯ = 0.


      El de esta hipérbola, respecto al triángulo , es:

    ((b^2-c^2)(5a^8-14a^6(b^2+c^2)+a^4(14b^4+b^2c^2+14c^4)+a^2(-6b^6+3b^4c^2+3b^2c^4-6c^6)+(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)):...:...),

    que tiene números de búsqueda en (0.288632328111871, -1.20215426516882, 4.33971020635731).



  • lunes, 30 de mayo del 2016

    Proyecciones ortogonales de circuncentros de triángulos asociados a puntos conjugados isogonales


      En un triángulo ABC, sea P y P* dos puntos se denota por:

    O1, O2, O3 los circuncentros de PBC, PCA, PAB, resp

    O12, O13 las proyeciones ortogonales O1 sobre AC, AB, resp.
    O23, O21 las proyeciones ortogonales O2 sobre BA, BC, resp.
    O31, O32 las proyeciones ortogonales O3 sobre CB, CA, resp.

    M1, M2, M3 los puntos medios O12O13, O23O21, O31O32, resp.

    Oa, Ob, Oc los circuncentros de P*BC, P*CA, P*AB, resp.

    Oab, Oac las proyecciones ortogonales Oa sobre AC, AB, resp.
    Obc, Oba las proyecciones ortogonales Ob sobre BA, BC, resp.
    Oca, Ocb las proyecciones ortogonales Oc sobre CB, CA, resp.

    Ma, Mb,Mc los puntos medios OabOac, ObcOba, OcaOcb, resp.
    Las mediatrices de los segmentos OabOac, ObcOba, OcaOcb son concurrentes en un punto W si y solo si P está sobre una séptica
    (2 b^4 c^6 x^5 y^2-2 b^2 c^8 x^5 y^2+a^2 b^2 c^6 x^4 y^3+b^4 c^6 x^4 y^3-a^2 c^8 x^4 y^3-2 b^2 c^8 x^4 y^3+c^10 x^4 y^3-a^4 c^6 x^3 y^4-a^2 b^2 c^6 x^3 y^4+2 a^2 c^8 x^3 y^4+b^2 c^8 x^3 y^4-c^10 x^3 y^4-2 a^4 c^6 x^2 y^5+2 a^2 c^8 x^2 y^5-a^4 b^4 c^2 x^5 y z+a^2 b^6 c^2 x^5 y z+a^4 b^2 c^4 x^5 y z+4 b^6 c^4 x^5 y z-a^2 b^2 c^6 x^5 y z-4 b^4 c^6 x^5 y z-a^6 b^2 c^2 x^4 y^2 z-2 a^4 b^4 c^2 x^4 y^2 z+3 a^2 b^6 c^2 x^4 y^2 z+3 a^4 b^2 c^4 x^4 y^2 z+6 a^2 b^4 c^4 x^4 y^2 z+b^6 c^4 x^4 y^2 z-9 a^2 b^2 c^6 x^4 y^2 z-2 b^4 c^6 x^4 y^2 z+b^2 c^8 x^4 y^2 z-3 a^6 b^2 c^2 x^3 y^3 z+3 a^2 b^6 c^2 x^3 y^3 z+5 a^4 b^2 c^4 x^3 y^3 z-5 a^2 b^4 c^4 x^3 y^3 z-4 a^4 c^6 x^3 y^3 z+4 b^4 c^6 x^3 y^3 z+4 a^2 c^8 x^3 y^3 z-4 b^2 c^8 x^3 y^3 z-3 a^6 b^2 c^2 x^2 y^4 z+2 a^4 b^4 c^2 x^2 y^4 z+a^2 b^6 c^2 x^2 y^4 z-a^6 c^4 x^2 y^4 z-6 a^4 b^2 c^4 x^2 y^4 z-3 a^2 b^4 c^4 x^2 y^4 z+2 a^4 c^6 x^2 y^4 z+9 a^2 b^2 c^6 x^2 y^4 z-a^2 c^8 x^2 y^4 z-a^6 b^2 c^2 x y^5 z+a^4 b^4 c^2 x y^5 z-4 a^6 c^4 x y^5 z-a^2 b^4 c^4 x y^5 z+4 a^4 c^6 x y^5 z+a^2 b^2 c^6 x y^5 z+2 b^8 c^2 x^5 z^2-2 b^6 c^4 x^5 z^2+a^6 b^2 c^2 x^4 y z^2-3 a^4 b^4 c^2 x^4 y z^2+9 a^2 b^6 c^2 x^4 y z^2-b^8 c^2 x^4 y z^2+2 a^4 b^2 c^4 x^4 y z^2-6 a^2 b^4 c^4 x^4 y z^2+2 b^6 c^4 x^4 y z^2-3 a^2 b^2 c^6 x^4 y z^2-b^4 c^6 x^4 y z^2+6 a^4 b^4 c^2 x^3 y^2 z^2-2 a^2 b^6 c^2 x^3 y^2 z^2-6 a^4 b^2 c^4 x^3 y^2 z^2+6 b^6 c^4 x^3 y^2 z^2+2 a^2 b^2 c^6 x^3 y^2 z^2-6 b^4 c^6 x^3 y^2 z^2+2 a^6 b^2 c^2 x^2 y^3 z^2-6 a^4 b^4 c^2 x^2 y^3 z^2-6 a^6 c^4 x^2 y^3 z^2+6 a^2 b^4 c^4 x^2 y^3 z^2+6 a^4 c^6 x^2 y^3 z^2-2 a^2 b^2 c^6 x^2 y^3 z^2+a^8 c^2 x y^4 z^2-9 a^6 b^2 c^2 x y^4 z^2+3 a^4 b^4 c^2 x y^4 z^2-a^2 b^6 c^2 x y^4 z^2-2 a^6 c^4 x y^4 z^2+6 a^4 b^2 c^4 x y^4 z^2-2 a^2 b^4 c^4 x y^4 z^2+a^4 c^6 x y^4 z^2+3 a^2 b^2 c^6 x y^4 z^2-2 a^8 c^2 y^5 z^2+2 a^6 c^4 y^5 z^2+a^2 b^8 x^4 z^3-b^10 x^4 z^3-a^2 b^6 c^2 x^4 z^3+2 b^8 c^2 x^4 z^3-b^6 c^4 x^4 z^3+4 a^4 b^6 x^3 y z^3-4 a^2 b^8 x^3 y z^3+3 a^6 b^2 c^2 x^3 y z^3-5 a^4 b^4 c^2 x^3 y z^3+4 b^8 c^2 x^3 y z^3+5 a^2 b^4 c^4 x^3 y z^3-4 b^6 c^4 x^3 y z^3-3 a^2 b^2 c^6 x^3 y z^3+6 a^6 b^4 x^2 y^2 z^3-6 a^4 b^6 x^2 y^2 z^3-2 a^6 b^2 c^2 x^2 y^2 z^3+2 a^2 b^6 c^2 x^2 y^2 z^3+6 a^4 b^2 c^4 x^2 y^2 z^3-6 a^2 b^4 c^4 x^2 y^2 z^3+4 a^8 b^2 x y^3 z^3-4 a^6 b^4 x y^3 z^3-4 a^8 c^2 x y^3 z^3+5 a^4 b^4 c^2 x y^3 z^3-3 a^2 b^6 c^2 x y^3 z^3+4 a^6 c^4 x y^3 z^3-5 a^4 b^2 c^4 x y^3 z^3+3 a^2 b^2 c^6 x y^3 z^3+a^10 y^4 z^3-a^8 b^2 y^4 z^3-2 a^8 c^2 y^4 z^3+a^6 b^2 c^2 y^4 z^3+a^6 c^4 y^4 z^3+a^4 b^6 x^3 z^4-2 a^2 b^8 x^3 z^4+b^10 x^3 z^4+a^2 b^6 c^2 x^3 z^4-b^8 c^2 x^3 z^4+a^6 b^4 x^2 y z^4-2 a^4 b^6 x^2 y z^4+a^2 b^8 x^2 y z^4+3 a^6 b^2 c^2 x^2 y z^4+6 a^4 b^4 c^2 x^2 y z^4-9 a^2 b^6 c^2 x^2 y z^4-2 a^4 b^2 c^4 x^2 y z^4+3 a^2 b^4 c^4 x^2 y z^4-a^2 b^2 c^6 x^2 y z^4-a^8 b^2 x y^2 z^4+2 a^6 b^4 x y^2 z^4-a^4 b^6 x y^2 z^4+9 a^6 b^2 c^2 x y^2 z^4-6 a^4 b^4 c^2 x y^2 z^4-3 a^2 b^6 c^2 x y^2 z^4-3 a^4 b^2 c^4 x y^2 z^4+2 a^2 b^4 c^4 x y^2 z^4+a^2 b^2 c^6 x y^2 z^4-a^10 y^3 z^4+2 a^8 b^2 y^3 z^4-a^6 b^4 y^3 z^4+a^8 c^2 y^3 z^4-a^6 b^2 c^2 y^3 z^4+2 a^4 b^6 x^2 z^5-2 a^2 b^8 x^2 z^5+4 a^6 b^4 x y z^5-4 a^4 b^6 x y z^5+a^6 b^2 c^2 x y z^5-a^2 b^6 c^2 x y z^5-a^4 b^2 c^4 x y z^5+a^2 b^4 c^4 x y z^5+2 a^8 b^2 y^2 z^5-2 a^6 b^4 y^2 z^5 =0)
    que pasa a través de A, B, C (dobles), incentro, circuncentro, puntos donde la corta a la circunferencia circunscrita y a la recta del infinito.

      Pares {P,W}: {X1,X1}, {X3,X5}, {X30,X5}, {X1113,X*1113=X2574}, {X1114,X*1114=X2574}.
      Esta séptica es tangente a al recta de Euler en X3, X1113 y X1114. Su asíntota, paralela a la recta de Euler, pasa por X3448, conjugado isogonal de X3447.

    X(3447) = X(523)-vertex conjugate of X(523)

    Let E be the Euler line and TATBTC the tangential triangle of ABC. Let DA = E∩TBTC, and define DB and DC cyclically. Let A' = DBTB∩DCTC, and define B' and C' cyclically. Then A'B'C' is perspective to ABC, and the perspector is X(3447). For a sketch, click X(3447)andX(7669). (Angel Montesdeoca, April 22, 2016)



    El triángulo y el DEF son perspectivos en un punto T si y sólo si P queda en una quíntica
    ( 2 a^8 c^4 x^3 y^2+2 a^6 b^2 c^4 x^3 y^2-2 a^4 b^4 c^4 x^3 y^2-2 a^2 b^6 c^4 x^3 y^2-7 a^6 c^6 x^3 y^2-3 a^4 b^2 c^6 x^3 y^2+6 a^2 b^4 c^6 x^3 y^2+2 b^6 c^6 x^3 y^2+6 a^4 c^8 x^3 y^2-3 a^2 b^2 c^8 x^3 y^2-4 b^4 c^8 x^3 y^2+a^2 c^10 x^3 y^2+4 b^2 c^10 x^3 y^2-2 c^12 x^3 y^2+2 a^6 b^2 c^4 x^2 y^3+2 a^4 b^4 c^4 x^2 y^3-2 a^2 b^6 c^4 x^2 y^3-2 b^8 c^4 x^2 y^3-2 a^6 c^6 x^2 y^3-6 a^4 b^2 c^6 x^2 y^3+3 a^2 b^4 c^6 x^2 y^3+7 b^6 c^6 x^2 y^3+4 a^4 c^8 x^2 y^3+3 a^2 b^2 c^8 x^2 y^3-6 b^4 c^8 x^2 y^3-4 a^2 c^10 x^2 y^3-b^2 c^10 x^2 y^3+2 c^12 x^2 y^3+3 a^6 b^4 c^2 x^3 y z-2 a^4 b^6 c^2 x^3 y z-3 a^2 b^8 c^2 x^3 y z+2 b^10 c^2 x^3 y z-3 a^6 b^2 c^4 x^3 y z+3 a^2 b^6 c^4 x^3 y z-2 b^8 c^4 x^3 y z+2 a^4 b^2 c^6 x^3 y z-3 a^2 b^4 c^6 x^3 y z+3 a^2 b^2 c^8 x^3 y z+2 b^4 c^8 x^3 y z-2 b^2 c^10 x^3 y z+2 a^10 c^2 x^2 y^2 z-a^8 b^2 c^2 x^2 y^2 z-3 a^6 b^4 c^2 x^2 y^2 z+3 a^4 b^6 c^2 x^2 y^2 z+a^2 b^8 c^2 x^2 y^2 z-2 b^10 c^2 x^2 y^2 z-4 a^8 c^4 x^2 y^2 z+7 a^6 b^2 c^4 x^2 y^2 z-7 a^2 b^6 c^4 x^2 y^2 z+4 b^8 c^4 x^2 y^2 z-3 a^6 c^6 x^2 y^2 z-11 a^4 b^2 c^6 x^2 y^2 z+11 a^2 b^4 c^6 x^2 y^2 z+3 b^6 c^6 x^2 y^2 z+10 a^4 c^8 x^2 y^2 z-10 b^4 c^8 x^2 y^2 z-5 a^2 c^10 x^2 y^2 z+5 b^2 c^10 x^2 y^2 z-2 a^10 c^2 x y^3 z+3 a^8 b^2 c^2 x y^3 z+2 a^6 b^4 c^2 x y^3 z-3 a^4 b^6 c^2 x y^3 z+2 a^8 c^4 x y^3 z-3 a^6 b^2 c^4 x y^3 z+3 a^2 b^6 c^4 x y^3 z+3 a^4 b^2 c^6 x y^3 z-2 a^2 b^4 c^6 x y^3 z-2 a^4 c^8 x y^3 z-3 a^2 b^2 c^8 x y^3 z+2 a^2 c^10 x y^3 z-2 a^8 b^4 x^3 z^2+7 a^6 b^6 x^3 z^2-6 a^4 b^8 x^3 z^2-a^2 b^10 x^3 z^2+2 b^12 x^3 z^2-2 a^6 b^4 c^2 x^3 z^2+3 a^4 b^6 c^2 x^3 z^2+3 a^2 b^8 c^2 x^3 z^2-4 b^10 c^2 x^3 z^2+2 a^4 b^4 c^4 x^3 z^2-6 a^2 b^6 c^4 x^3 z^2+4 b^8 c^4 x^3 z^2+2 a^2 b^4 c^6 x^3 z^2-2 b^6 c^6 x^3 z^2-2 a^10 b^2 x^2 y z^2+4 a^8 b^4 x^2 y z^2+3 a^6 b^6 x^2 y z^2-10 a^4 b^8 x^2 y z^2+5 a^2 b^10 x^2 y z^2+a^8 b^2 c^2 x^2 y z^2-7 a^6 b^4 c^2 x^2 y z^2+11 a^4 b^6 c^2 x^2 y z^2-5 b^10 c^2 x^2 y z^2+3 a^6 b^2 c^4 x^2 y z^2-11 a^2 b^6 c^4 x^2 y z^2+10 b^8 c^4 x^2 y z^2-3 a^4 b^2 c^6 x^2 y z^2+7 a^2 b^4 c^6 x^2 y z^2-3 b^6 c^6 x^2 y z^2-a^2 b^2 c^8 x^2 y z^2-4 b^4 c^8 x^2 y z^2+2 b^2 c^10 x^2 y z^2-5 a^10 b^2 x y^2 z^2+10 a^8 b^4 x y^2 z^2-3 a^6 b^6 x y^2 z^2-4 a^4 b^8 x y^2 z^2+2 a^2 b^10 x y^2 z^2+5 a^10 c^2 x y^2 z^2-11 a^6 b^4 c^2 x y^2 z^2+7 a^4 b^6 c^2 x y^2 z^2-a^2 b^8 c^2 x y^2 z^2-10 a^8 c^4 x y^2 z^2+11 a^6 b^2 c^4 x y^2 z^2-3 a^2 b^6 c^4 x y^2 z^2+3 a^6 c^6 x y^2 z^2-7 a^4 b^2 c^6 x y^2 z^2+3 a^2 b^4 c^6 x y^2 z^2+4 a^4 c^8 x y^2 z^2+a^2 b^2 c^8 x y^2 z^2-2 a^2 c^10 x y^2 z^2-2 a^12 y^3 z^2+a^10 b^2 y^3 z^2+6 a^8 b^4 y^3 z^2-7 a^6 b^6 y^3 z^2+2 a^4 b^8 y^3 z^2+4 a^10 c^2 y^3 z^2-3 a^8 b^2 c^2 y^3 z^2-3 a^6 b^4 c^2 y^3 z^2+2 a^4 b^6 c^2 y^3 z^2-4 a^8 c^4 y^3 z^2+6 a^6 b^2 c^4 y^3 z^2-2 a^4 b^4 c^4 y^3 z^2+2 a^6 c^6 y^3 z^2-2 a^4 b^2 c^6 y^3 z^2+2 a^6 b^6 x^2 z^3-4 a^4 b^8 x^2 z^3+4 a^2 b^10 x^2 z^3-2 b^12 x^2 z^3-2 a^6 b^4 c^2 x^2 z^3+6 a^4 b^6 c^2 x^2 z^3-3 a^2 b^8 c^2 x^2 z^3+b^10 c^2 x^2 z^3-2 a^4 b^4 c^4 x^2 z^3-3 a^2 b^6 c^4 x^2 z^3+6 b^8 c^4 x^2 z^3+2 a^2 b^4 c^6 x^2 z^3-7 b^6 c^6 x^2 z^3+2 b^4 c^8 x^2 z^3+2 a^10 b^2 x y z^3-2 a^8 b^4 x y z^3+2 a^4 b^8 x y z^3-2 a^2 b^10 x y z^3-3 a^8 b^2 c^2 x y z^3+3 a^6 b^4 c^2 x y z^3-3 a^4 b^6 c^2 x y z^3+3 a^2 b^8 c^2 x y z^3-2 a^6 b^2 c^4 x y z^3+2 a^2 b^6 c^4 x y z^3+3 a^4 b^2 c^6 x y z^3-3 a^2 b^4 c^6 x y z^3+2 a^12 y^2 z^3-4 a^10 b^2 y^2 z^3+4 a^8 b^4 y^2 z^3-2 a^6 b^6 y^2 z^3-a^10 c^2 y^2 z^3+3 a^8 b^2 c^2 y^2 z^3-6 a^6 b^4 c^2 y^2 z^3+2 a^4 b^6 c^2 y^2 z^3-6 a^8 c^4 y^2 z^3+3 a^6 b^2 c^4 y^2 z^3+2 a^4 b^4 c^4 y^2 z^3+7 a^6 c^6 y^2 z^3-2 a^4 b^2 c^6 y^2 z^3-2 a^4 c^8 y^2 z^3 = 0.)
    que pasa a través de A, B, C (dobles), circuncentro, X67 = conjugado isogonal del inverso (X23) del baricentro respecto a la circunferencia circunscrita, X187 = inverso en la circunferencia circunscrita del simediano.

      Pares {P,T}:

    {X3, X468= 3X2 + X23 },

    {X67, (a^2 (-b^6+2 a^2 b^2 c^2+2 b^4 c^2+2 b^2 c^4-c^6+a^4 (b^2+c^2)):...:...)},

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (0.938855731419020, -0.0243852962146813, 3.22422858017038).

    {X187, ((8 a^2-b^2-c^2) (3 a^4-4 b^4+10 b^2 c^2-4 c^4-a^2 (b^2+c^2)) :...:...)},

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-0.0486401258368504, -2.40922095926275, 5.33103597332175).

      La asíntota real tiene punto del infinito :

    (4 a^8-5 a^6 (b^2+c^2)-2 (b^4-c^4)^2-2 a^4 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)+a^2 (5 b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+5 c^6) :...:...)},

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (1.61888280407429, 0.898880431224801, -1.36947851580530).

      El punto T correspondiente a este punto es X1843.


    Los triángulos y son perspectivos para todo punto P, con centro de perspectividad X3589 = 3X2 + X6.



  • sábado, 28 de mayo del 2016

    Triángulos órtico y ortoceviano del ortocentro, polares respecto a una cónica


      En un triángulo ABC, los triángulos y del ortocentro son perspectivos, con centro de perspectividad X25, que es el centro de homotecia de los triángulos órtico y .
      En coordenadas baricéntricas:

    Ha = (0 : a^2+b^2-c^2 : a^2-b^2+c^2),
    Oa = (-2a^2(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2)) : (a^2-b^2-c^2)(a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2) : (a^2-b^2-c^2)(a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2)).

    El de la cónica, respecto a la cual los triángulos y son polares, es persepctivo con , con centro de perspectividad P
    ((b^2-c^2)^6(b^2+c^2)+a^10(b^2+c^2)^2-a^2(b^2-c^2)^4(3b^4+4b^2c^2+3c^4)-3a^8(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)+2a^6(b^8-b^6c^2-b^2c^6+c^8)+2a^4(b^10-b^6c^4-b^4c^6+c^10) : a^14-a^12(3b^2+5c^2)+(b^2+c^2)(-b^2c+c^3)^4+a^10(2b^4+8b^2c^2+9c^4)+a^8(2b^6-5b^2c^4-5c^6)+a^2c^2(b^2-c^2)^2(2b^6+b^4c^2-2b^2c^4-5c^6)-a^6(3b^8+2b^6c^2+2b^4c^4+5c^8)+a^4(b^10-3b^8c^2-2b^4c^6-5b^2c^8+9c^10) : a^14-a^12(5b^2+3c^2)+(b^2+c^2)(b^3-b c^2)^4+a^10(9b^4+8b^2c^2+2c^4) + a^8(-5b^6-5b^4c^2+2c^6)-a^6(5b^8+2b^4c^4+2b^2c^6+3c^8)+a^4(9b^10-5b^8c^2-2b^6c^4-3b^2c^8+c^10) + a^2(-5b^12+8b^10c^2-2b^6c^6-3b^4c^8+2b^2c^10))
    el de X5 × X1594.
      X5 es el centro de la la , X1594 es el "Rigby-Lalescu orthopole" y ()

    P = (SBSC(S²+SBSC) (3SA(S²+SBSC)+b²S²B+c²S²C) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-2.7032638423341250, 1.8214747911479623, 3.6273037075746168).

      Para construir (Tsihong Lau) la cónica, respecto a la cual los triángulos y son polares, se utiliza el hecho de que son puntos de la cónica los puntos dobles de de la involución sobre la recta HaOa, con pares de puntos homólogos (Ha,O'a) y (Oa,H'a), donde H'aH'bH'c y O'aO'bO'c son los triángulos cevianos de X25 en y , respectivamente. Similarmente, se obtienen los otros cuatro puntos sobre las rectas HbOb y HcOc.

      Para obtener la ecuación de la cónica en cuestión, utilizamos el mismo procedimiento que para el caso de los triángulos triángulos tangencial y de . Su ecuación es:

    (a^6-3a^4(b^2+c^2)+a^2(3b^4+4b^2c^2+3c^4) -b^6-b^4c^2-b^2c^4-c^6)x^2 + 2a^2(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))y z + ... = 0.

      El centro de esta cónica es:

    D = ((a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2) (2a^8-5a^6(b^2+c^2)+a^4(5b^4+2b^2c^2+5c^4)-3a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-1.8862860827434219, 0.59575460944049869, 4.0988125597148440).
      Su es X5.

  • viernes, 27 de mayo del 2016

    Triángulos ceviano y ortoceviano perspectivos


    Dado un triángulo ABC, el lugar geométrico de los puntos P tales que sus triángulos ceviano y son perspectivos consta de la circunferencia circunscrita y una séptica
    (-c^4 x^4 y^3+c^4 x^3 y^4+a^2 c^2 x^4 y^2 z-c^4 x^4 y^2 z-2 a^2 c^2 x^3 y^3 z+2 b^2 c^2 x^3 y^3 z-b^2 c^2 x^2 y^4 z+c^4 x^2 y^4 z-a^2 b^2 x^4 y z^2+b^4 x^4 y z^2-a^2 b^2 x^3 y^2 z^2+b^4 x^3 y^2 z^2+a^2 c^2 x^3 y^2 z^2-c^4 x^3 y^2 z^2-a^4 x^2 y^3 z^2+a^2 b^2 x^2 y^3 z^2-b^2 c^2 x^2 y^3 z^2+c^4 x^2 y^3 z^2-a^4 x y^4 z^2+a^2 b^2 x y^4 z^2+b^4 x^4 z^3+2 a^2 b^2 x^3 y z^3-2 b^2 c^2 x^3 y z^3+a^4 x^2 y^2 z^3-b^4 x^2 y^2 z^3-a^2 c^2 x^2 y^2 z^3+b^2 c^2 x^2 y^2 z^3-2 a^2 b^2 x y^3 z^3+2 a^2 c^2 x y^3 z^3-a^4 y^4 z^3-b^4 x^3 z^4-b^4 x^2 y z^4+b^2 c^2 x^2 y z^4+a^4 x y^2 z^4-a^2 c^2 x y^2 z^4+a^4 y^3 z^4 = 0)
    circunscrita a ABC y al triángulo medial y que pasa por el baricentro, circuncentro, ortocentro y por el punto X370, cuyo triángulo ceviano es equilátero.
      Si (p:q:r) son las coordenadas baricéntricas del punto P la ecuación recta A'Oa, que une vértices de los triángulos ceviano A'B'C' y ortoceviano de P, es:

    (b^2 (p+q) (b^2 p+a^2 q) r^3-c^4 p q^3 (p+r)-c^2 q r (b^2 p (p-q-r) (q-r)+a^2 q^2 (p+r))) x+r (a^4 q (p+q) r (p+r)-(b^2-c^2) p^2 (b^2 (p+q) r-c^2 q (p+r))+a^2 p (c^2 q (p+q-r) (p+r)+b^2 (p+q) r (p-q+r))) y-q (a^4 q (p+q) r (p+r)-(b^2-c^2) p^2 (b^2 (p+q) r-c^2 q (p+r))+a^2 p (c^2 q (p+q-r) (p+r)+b^2 (p+q) r (p-q+r))) z = 0.

      Las rectas A'Oa, B'Ob y C'Oc son concurrentes si el punto P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la séptica de ecuación:

    -c^4 x^4 y^3+c^4 x^3 y^4+a^2 c^2 x^4 y^2 z-c^4 x^4 y^2 z-2 a^2 c^2 x^3 y^3 z+2 b^2 c^2 x^3 y^3 z-b^2 c^2 x^2 y^4 z+c^4 x^2 y^4 z-a^2 b^2 x^4 y z^2+b^4 x^4 y z^2-a^2 b^2 x^3 y^2 z^2+b^4 x^3 y^2 z^2+a^2 c^2 x^3 y^2 z^2-c^4 x^3 y^2 z^2-a^4 x^2 y^3 z^2+a^2 b^2 x^2 y^3 z^2-b^2 c^2 x^2 y^3 z^2+c^4 x^2 y^3 z^2-a^4 x y^4 z^2+a^2 b^2 x y^4 z^2+b^4 x^4 z^3+2 a^2 b^2 x^3 y z^3-2 b^2 c^2 x^3 y z^3+a^4 x^2 y^2 z^3-b^4 x^2 y^2 z^3-a^2 c^2 x^2 y^2 z^3+b^2 c^2 x^2 y^2 z^3-2 a^2 b^2 x y^3 z^3+2 a^2 c^2 x y^3 z^3-a^4 y^4 z^3-b^4 x^3 z^4-b^4 x^2 y z^4+b^2 c^2 x^2 y z^4+a^4 x y^2 z^4-a^2 c^2 x y^2 z^4+a^4 y^3 z^4 = 0.


      Cuando P=X2 es el baricentro, el centro de perspectividad Q es X6676, centro de homotecia de los triángulos medial y ortoceviano de X2 (baricentro de {A,B,C,X22}).
      Cuando P=X4 es el ortocentro, el centro de perspectividad Q es X25, centro de homotecia de los triángulos y .

    ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗ 


      Cuando la circunferencia circunscrita al triángulo ceviano A'B'C' de un punto P es ortogonal a la circunferencia circunscrita a ABC, el triángulo ortoceviano no está definido (se reduce a un punto).
    Lugar geométrico de los puntos P tales que las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC y ceviano de P son ortogonales es una séxtica
    (-a^2 c^4 x^3 y^3-b^2 c^4 x^3 y^3+c^6 x^3 y^3+a^4 c^2 x^3 y^2 z-a^2 b^2 c^2 x^3 y^2 z-2 a^2 c^4 x^3 y^2 z-b^2 c^4 x^3 y^2 z+c^6 x^3 y^2 z-a^2 b^2 c^2 x^2 y^3 z+b^4 c^2 x^2 y^3 z-a^2 c^4 x^2 y^3 z-2 b^2 c^4 x^2 y^3 z+c^6 x^2 y^3 z+a^4 b^2 x^3 y z^2-2 a^2 b^4 x^3 y z^2+b^6 x^3 y z^2-a^2 b^2 c^2 x^3 y z^2-b^4 c^2 x^3 y z^2+a^6 x^2 y^2 z^2-a^4 b^2 x^2 y^2 z^2-a^2 b^4 x^2 y^2 z^2+b^6 x^2 y^2 z^2-a^4 c^2 x^2 y^2 z^2-2 a^2 b^2 c^2 x^2 y^2 z^2-b^4 c^2 x^2 y^2 z^2-a^2 c^4 x^2 y^2 z^2-b^2 c^4 x^2 y^2 z^2+c^6 x^2 y^2 z^2+a^6 x y^3 z^2-2 a^4 b^2 x y^3 z^2+a^2 b^4 x y^3 z^2-a^4 c^2 x y^3 z^2-a^2 b^2 c^2 x y^3 z^2-a^2 b^4 x^3 z^3+b^6 x^3 z^3-b^4 c^2 x^3 z^3-a^2 b^4 x^2 y z^3+b^6 x^2 y z^3-a^2 b^2 c^2 x^2 y z^3-2 b^4 c^2 x^2 y z^3+b^2 c^4 x^2 y z^3+a^6 x y^2 z^3-a^4 b^2 x y^2 z^3-2 a^4 c^2 x y^2 z^3-a^2 b^2 c^2 x y^2 z^3+a^2 c^4 x y^2 z^3+a^6 y^3 z^3-a^4 b^2 y^3 z^3-a^4 c^2 y^3 z^3 = 0)
    circunscrita ABC y al triángulo antimedial, y que pasa por los puntos donde los lados de éste vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC.


  • jueves, 26 de mayo del 2016

    Triángulo ortoceviano de un punto sobre la circunferencia circunscrita


    ETC, X(9723) Isotomic conjugate of X(847)

      Let La be the line tangent to the A-Lucas circle at the antipode of A. Define Lb and Lc cyclically. Let Ta = Lb∩Lc, and define Tb and Tc cyclically. Triangle TaTbTc is here introduced as the Lucas antipodal tangents triangle. Let La' be the line tangent to the at the antipode of A. Define Lb' and Lc' cyclically. Let Ta' = Lb'∩Lc', and define Tb' and Tc' cyclically. Triangle Ta'Tb'Tc' is here introduced as the Lucas(-1) antipodal tangents triangle. The triangles TaTbTc and Ta'Tb'Tc' are homothetic, and their center of homothety is X(9723). (Randy Hutson, March 14, 2016)
    Sea P un punto sobre la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC entonces, los triangulos ceviano y de P son perspectivos. El lugar geométrico del centro de perspectividad Q es una cúbica
    ((-a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4) x^3+(3 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+6 b^4 c^2-15 a^2 c^4-12 b^2 c^4+18 c^6) x^2 y+(6 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2-12 a^2 c^4-15 b^2 c^4+18 c^6) x y^2+(3 a^4 c^2-a^2 b^2 c^2+3 a^2 c^4) y^3+(3 a^4 b^2-15 a^2 b^4+18 b^6-3 a^2 b^2 c^2-12 b^4 c^2+6 b^2 c^4) x^2 z+(-9 a^6+15 a^4 b^2+15 a^2 b^4-9 b^6+15 a^4 c^2-60 a^2 b^2 c^2+15 b^4 c^2+15 a^2 c^4+15 b^2 c^4-9 c^6) x y z+(18 a^6-15 a^4 b^2+3 a^2 b^4-12 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+6 a^2 c^4) y^2 z+(6 a^4 b^2-12 a^2 b^4+18 b^6-3 a^2 b^2 c^2-15 b^4 c^2+3 b^2 c^4) x z^2+(18 a^6-12 a^4 b^2+6 a^2 b^4-15 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+3 a^2 c^4) y z^2+(3 a^4 b^2+3 a^2 b^4-a^2 b^2 c^2) z^3 = 0)
    unicursal con punto doble X3167 ( del simediano y circuncentro).

    Sean P1 y P2 los puntos, sobre la circunferencia circunscrita, que dan como centro de perspectividad X3167. El polo de la recta P1P2, respecto a la circunferencia circunscrita, es X9723.


      Si (p:q:r) son las coordenadas baricéntricas de P, el vértice Oa de su triángulo ortoceviano es:

    Oa = (a^4 q (p+q) r (p+r)-(b^2-c^2) p^2 (b^2 (p+q) r-c^2 q (p+r))+a^2 p (c^2 q (p+q-r) (p+r)+b^2 (p+q) r (p-q+r)):
    -b^2 ((p+q) (b^2 p+a^2 q) r^2-c^2 p q (p q+r^2)):
    -c^2 (c^2 p q^2 (p+r)+r (a^2 q^2 (p+r)-b^2 p (q^2+p r))))

      Si P es un punto sobre la circunferencia circunscrita ( de un punto (1:-t:t-1) en la ), el centro de perspectividad Q de los triángulos ceviano y ortoceviano de P es:

    Q = (a^2 (b^2 (-1+t)-c^2 t) (b^2 (-1+t)-(c^2+2 a^2 (-1+t)) t) : b^2 (c^2+a^2 (-1+t)) (2 b^2 (-1+t)-(c^2+a^2 (-1+t)) t) : c^2 (-b^2+a^2 t) (-b^2 (-1+t)+(2 c^2+a^2 (-1+t)) t)),

    que describe la cúbica:

    (-a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4) x^3+(3 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+6 b^4 c^2-15 a^2 c^4-12 b^2 c^4+18 c^6) x^2 y+(6 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+3 b^4 c^2-12 a^2 c^4-15 b^2 c^4+18 c^6) x y^2+(3 a^4 c^2-a^2 b^2 c^2+3 a^2 c^4) y^3+(3 a^4 b^2-15 a^2 b^4+18 b^6-3 a^2 b^2 c^2-12 b^4 c^2+6 b^2 c^4) x^2 z+(-9 a^6+15 a^4 b^2+15 a^2 b^4-9 b^6+15 a^4 c^2-60 a^2 b^2 c^2+15 b^4 c^2+15 a^2 c^4+15 b^2 c^4-9 c^6) x y z+(18 a^6-15 a^4 b^2+3 a^2 b^4-12 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+6 a^2 c^4) y^2 z+(6 a^4 b^2-12 a^2 b^4+18 b^6-3 a^2 b^2 c^2-15 b^4 c^2+3 b^2 c^4) x z^2+(18 a^6-12 a^4 b^2+6 a^2 b^4-15 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+3 a^2 c^4) y z^2+(3 a^4 b^2+3 a^2 b^4-a^2 b^2 c^2) z^3 = 0,

    con punto singular X3167, cociente ceviano del simediano y el circuncentro:

    (a^2(a^2-b^2-c^2)(3a^2-b^2-c^2) : b^2(-a^2+b^2-c^2)(-a^2+3b^2-c^2) : c^2(-a^2-b^2+c^2)(-a^2-b^2+3c^2)).

      Los puntos P1 y P2 (sobre la circunferencia circunscrita) para los cuales los centros de perspectividad Q coinciden en X3167, se obtienen para los valores:

    t1,2 = ((a^2+b^2-c^2) (a^4+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)) ±Sqrt[((a^3-a^2 b-a b^2+b^3+a^2 c+b^2 c-a c^2-b c^2-c^3) (a^3+a^2 b-a b^2-b^3+a^2 c+b^2 c-a c^2+b c^2-c^3) (a^3-a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3) (a^3+a^2 b-a b^2-b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2+b c^2+c^3)]) /(2 (a^6-a^4 b^2+2 a^2 b^4-a^4 c^2-4 a^2 b^2 c^2+2 a^2 c^4)).

      La recta P1P2 (que pasa por los centros X3566, X6562, X6563, X9131) es la polar de X9723, respecto a la circunferencia circunscrita.

    X9723 = (a^2(-a^6 + 3a^4(b^2+c^2)-a^2(3b^4+4b^2c^2+3c^4) +b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6) : ... : ...).



  • martes, 24 de mayo del 2016

    X8614: centro de la cónica respecto a la que son polares los triángulos tangencial y de Fuhrmann


    ETC, preamble before X(8601) (Clark Kimberling and Peter Moses)

      X(8614) = Perspector of orthocevian of incenter and tangential triangles.

      Let O(R) be the circumcircle, and let A’B’C’ be the cevian triangle of a point X. Let (Oa) be the circle through B’ and C’ and orthogonal to O(R). That is, (Oa) is the circle that passes through the points B' and C' and also their inverses in O(R). Define (Ob) and (Oc) cyclically. The triangle OaObOc is named the orthocevian triangle of X, and is perspective to ABC.

    ( Mostrar/Ocultar figura )

      orthocevian triangle.png


      Los triángulos y de D'E'F' son perspectivos con centro de perspectividad en el circuncentro, entonces existe una cónica, respecto a la cual las polares de los vértices de uno de ellos son los lados del otro. Diremos que estos dos triángulos son polares respecto a la cónica.
      Cuando tomamos el triángulo de referencia ABC y el triángulo de vértices (en coordenadas baricéntrias) A'(p:v:w), B'(u:q:w) y C'(u:v:r), que tienen centro de perspectividad en (u:v:w), la cónica respecto a la cual las polares de los vértices de uno de ellos son los lados del otro es:

    vw((qr-vw)x^2 - 2u(p-u)yz) + ⋯ = 0. (1)

      Para obtener la ecuación de la cónica tal que los triángulos tangencial y de Fuhrmann son polares respecto a ella, tomamos como triángulo de referencia baricéntrica uno de ellos; por ejemplo, el triángulo tangencial.
      El cambio de coordenadas viene dado por:

    (x':y:z')=(a^2(c^2y+b^2z) : b^2(c^2x+a^2z) : c^2(b^2x+a^2y)),

    que usamos para poner las coordenadas, en la nueva referencia, de los vértices del triángulo de Fuhrmann en la forma D'(p:v:w), E'(u:q:w), F'(u:v:r); donde (u:v:w) son las coordenadas del circuncentro.

    D' = ( (a^2(a^2-b^2-b c-c^2)(a^2+b^2+c^2)(-b^2c^2(-a^2+b^2-c^2)-b^2c^2(-a^2-b^2+c^2))+(-a^4-(b+c)^2(b^2-b c+c^2)+a^2(2b^2+b c+2c^2))(c^2(-a^2b^2(a^2-b^2-c^2)-a^2b^2(-a^2+b^2-c^2))+b^2(-a^2c^2(a^2-b^2-c^2)-a^2c^2(-a^2-b^2+c^2))+a^2(-b^2c^2(-a^2+b^2-c^2)-b^2c^2(-a^2-b^2+c^2))))/((a^2-b^2-b c-c^2)(a^2+b^2+c^2)):
    b^2(-a^2c^2(a^2-b^2-c^2)-a^2c^2(-a^2-b^2+c^2)):
    c^2(-a^2b^2(a^2-b^2-c^2)-a^2b^2(-a^2+b^2-c^2))).

      Esto permite obtener la ecuación de la cónica, mediante (1). Revirtiendo el cambio de coordenadas obtenemos la ecuación de la cónica buscada, referida a ABC:

    b^2c^2((2a^5 -3a^3(b^2+c^2) -a^2(b-c)^2(b+c) +a(b^4+b^3c+b c^3+c^4) + (b-c)^2(b+c)^3 )x^2 - 2a^2(a^3+a^2(b+c)-a(b^2+b c+c^2)-(b-c)^2(b+c))y z) + ⋯ = 0.

      Cuyo centro es X8614:

    (a^2(a^5+a^4(b+c)+a^3(-2b^2+b c-2c^2) -2a^2(b^3+c^3) +a(b-c)^2(b^2+b c+c^2) +b^5-b^4c-b c^4+c^5) : ... : ...).

    X8614 es el centro de la cónica respecto a la cual son polares los triángulos tangencial y de Fuhrmann.

      Para construir (Tsihong Lau) la cónica, respecto a la cual los triángulos y D'E'F' son polares, se utiliza el hecho de que son puntos de la cónica los puntos dobles de de la involución sobre la recta TaD', con pares de puntos homólogos (Ta,D") y (D',T'a), donde T'aT'bT'c y D"E"F" son los triángulos cevianos de X3 en y D'E'F', respectivamente. Similarmente, se obtienen los otros cuatro puntos sobre las rectas TbE' y TcF'.

  • lunes, 23 de mayo del 2016

    Cuarto triángulo de Brocard y X9465 como centro de cónicas


    ADGEOM #3242 (Tsihong Lau)

      Given two perspective triangles ABC and A'B'C', can we determine a conic (C) such that A'B'C' is the polar triangle of ABC with respect to (C).

      El cuarto triángulo de Brocard es perspectivo a los triángulo medial y DEF, y el centro de perspectividad común es el baricentro.

      La cónica respecto a la cual los triángulos y son polares uno del otro tiene ecuación baricéntrica:

    (a^6-a^4 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-7 b^2 c^2+c^4)+b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6)x^2 +2 (a^6+a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4))y z+...=0.


      La cónica respecto a la cual los triángulos y DEF son polares uno del otro es:

    (a^10-2 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)+a^4 (b^6-9 b^4 c^2-9 b^2 c^4+c^6)-a^2 (b^2+c^2)^2 (2 b^4-5 b^2 c^2+2 c^4)+(b^2+c^2)^3 (b^4-b^2 c^2+c^4))x^2 + 2 (a^10-3 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (-4 b^4+2 b^2 c^2-4 c^4)+4 a^4 (b^6+c^6)+3 a^2 (b^8-b^6 c^2+b^4 c^4-b^2 c^6+c^8)-(b^2-c^2)^2 (b^6+c^6))y z+...=0.

      El centro de estas cónicas es X9465 y tienen los mismos ejes.

      X9465 es la tripolar, con respecto al triángulo circunmedial, del .

  • viernes, 20 de mayo del 2016

    X33 como centro de homotecia de triángulos


    ETC X(33)

      Let LA be the reflection of line BC in the internal angle bisector of angle A, and define LB and LC cyclically. Let DEF be the triangle formed by LA, LB, LC. Then DEF (the ) is homothetic to the , and the homothetic center is X(33). (Randy Hutson, 9/23/2011)

      Vamos a considerar otra situación en la que X33 es centro de homotecia de dos triángulos:

      Sean ABC un triángulo, A'B'C' su triángulo antipodal en la circunferencia circunscrita, I el incentro, Ia, Ib, Ic los centros de las circunferencias exinscritas. La perpendicular por A a A'Ia corta a las bisectrices interiores en B y C en Ab y Ac, respectivamente. Definimos los puntos Bc, Ba, Ca, Cb, cíclicamente.

      Las rectas BcCb, CaAc y AbBa forman un triángulo DEF homotético a ABC con centro de homotecia en X33.

    Ab = (-a(a+b-c) : b(a-b+ c): - c(a+b-c)),   Ac = (-a(a-b+c) : b(-a+b-c) : c(a+b-c)).

    D = (a(a^3+a(b-c)^2-a^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)) : b(a^3+a^2(-b+c)-(b-c)^2(b+c)+a(b^2-c^2)) : c(a^3+a^2(b-c)-(b-c)^2(b+c)+a(-b^2+c^2))).

      El centro de homotecia de los triángulos ABC y DEF es X33:

    (a(b+c-a)/SA : b(c+a-b)/SB : c(a+b-c)/SC).

      La razón de homotecia es k=2rR/((r+2R)^2-s^2), donde r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y s el semiperímetro de ABC.

      Adicionalmente, se verifica el es el triángulo ceviano del incentro, respecto al triángulo DEF.

    GENERALIZACIÓN



      Sean A'B'C' el tirángulo antipodal de ABC, P un punto y el de P.
      Denotamos por Ab y Ac los puntos donde la perpendicular por A a A'Pa interseca a BP y CP, respectivamente. Cíclicamnete, se definen los puntos Bc, Ba, Ca, Cb. Sea DEF el triángulo formado por la rectas BcCb, CaAc y AbBa.

      El triángulo DEF es no degenerado y perspectivo con ABC si y solo so P está sobre la cúbica de Thomson.

    Ab = (u(c^2(2u-w)+(-a^2+b^2)w) : w((a^2-c^2)v+b^2(-2u+v)) : -w((a^2-b^2)w+c^2(-2u+w))),
    Ac = (u(b^2(2u-v)+(-a^2+c^2)v) : -v((a^2-c^2)v+b^2(-2u+v)) : v((a^2-b^2)w+c^2(-2u+w))).

      Si designamos por Q el centro de perspectividad de ABC y DEF, cuando P está sobre la cúbica de Thomson, se tinen los casos particulares, para pares {P,Q}: {X1,X33}, {X2,X2} y {X3,X2351}.
      Si P=X4

    Q = (3a^4-(b^2-c^2)^2 - 2a^2(b^2+c^2))/((a^8 - 4a^6(b^2+c^2) + a^4(6b^4-4b^2c^2+6c^4) - 4a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^2(b^4+ 6b^2c^2+c^4)) SA) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-0.9850917925434449, -2.046976200144293, 5.512459601642787).
      Si P=X6

    Q = (a^2SA/(b^4+c^4-a^4) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (1.658309789942009, 2.092830820411105, 1.426407857034225).
      Si P=X9

    Q = (a(b+c-a)/(a^2-2a(b+c)+b^2+c^2) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (13.73266187994108, -3.371858943735532, -0.3631232708638266).

      Las rectas BcCb, CaAc y AbBa son concurrentes si y solo si P está sobre la nK(X6,X20,?), de parámetro k=a^6+b^6+c^6 -a^4 b^2-a^2 b^4-a^4 c^2-b^4 c^2-a^2 c^4-b^2 c^4 +10 a^2 b^2 c^2.


      Esta cúbica isogonal interseca a los lados de ABC en puntos de la del punto de De Longschamps, X20.



  • jueves, 19 de mayo del 2016

    Centros de perspectividad en la circunferencia circunscrita a un triángulo


      Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el de P.
      Las mediatrices de AP, BP, CP forman un triángulo y las mediatrices de DP, EP, FP forman un triángulo .
      Por su construcción los triangulos y son homotéticos y el centro de homotecia Q es el punto medio de P y el circunscentro.
      Además, Oa es el circuncentro del triángulo BCP, Od es el circuncentro del triángulo PEF. Análogamente para Ob, Oc, Oe y Of.

      Las rectas DOa, EOb y FOc concurren en un punto T de la circunferencia circunscrita.

      Si se hace la misma construcción con el P* de P, se obtiene el mismo punto T sobre la circunferencia circunscrita.

      El triángulo A'B'C' formado por las reflexiones de la recta PP* en los lados de ABC es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad vuelve a ser el punto T.
      Si (p:q:r) son las coordenadas baricétricas del punto P, las coordenadas de T son:

    ( a^2/(q r a^2 (q SB-r SC)+p a^2 (q^2 c^2-r^2 b^2)+p^2 (q c^2 SC-r SB b^2)):...:...).



  • lunes, 16 de mayo del 2016

    Una construcción de los conjugados isogonales de los centros X3830 y X3843


      Sean ABC un triángulo y su triángulo medial. Los puntos medios de los segmentos AMb y AMc los designamos por Mab y Mac, respectivamente. Consideremos los puntos B'a, C'a, M'ab, M'ac simétricos de B, C, Mab, Mac respecto a la ceviana del circuncentro por A.
      La mediatriz de AC corta a la mediatriz de M'abC'a en Ab. La mediatriz de AB corta a la mediatriz de M'acB'a en Ac.
      Si procedemos cíclicamete sobre los lados de ABC, se obtienen los puntos Bc, Ba, Ca y Cb.
      Se verifica que Bc=Cb, Ca=Ac y Ab=Ba, que denotamos, respectivamente, por A', B' y C'.

      Las rectas AA', BB' y CC' concurren en un punto en la , que es el del centro del triángulo X3830.

      Las coordenadas baricéntricas de A' son:

    A' = (2 a^2 (2 a^4-4 a^2 b^2+2 b^4-4 a^2 c^2+5 b^2 c^2+2 c^4),-b^2 (4 a^4-8 a^2 b^2+4 b^4+a^2 c^2+b^2 c^2-5 c^4),-c^2 (4 a^4+a^2 b^2-5 b^4-8 a^2 c^2+b^2 c^2+4 c^4)).

      Y las del punto de intersección de las rectas AA', BB' y CC' son:

    (a^2/(5a^4-a^2 (b^2+c^2)-4(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-9.8296135126341636, -10.673202666890961, 15.566549487893889); es el conjugado isogonal de X3830.


      Si en vez de tomar los puntos medios Mab y Mab de los segmentos AMb y AMc, se eligen los puntos medios de los segmentos MbC y McB, y se procede de forma similar al estudio anterior, se obtiene el triángulo A''B''C'', que es la reflexión de A'B'C' en el circuncentro.

      Las rectas AA'', BB'' y CC'' concurren en un punto en a hipérbola de Jerabek , que es el conjugado isogonal del centro del triángulo X3843.

      Las coordenadas del punto de intersección de las rectas AA'', BB'' y CC'' son:

    (a^2/(3a^4+a^2(b^2+c^2)-4(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-3.1848229499019600, -4.0459412294420152, 7.9116190022451404); es el conjugado isogonal de X3843.

  • sábado, 14 de mayo del 2016

    "Maltitude quadrangle"


    Quadri-Figures-Group #1712 (Randy Hutson)

      Given a reference quadrangle P1P2P3P4, define the maltitude ('midpoint altitude') Mij as the perpendicular to line PkPl from the midpoint of Pi and Pj. The 6 maltitudes intersect in 4 triple points, which form the maltitude quadrangle Q1Q2Q3Q4 of P1P2P3P4.

    ( Mostrar/Ocultar figura )

      maltitude quadrangle.png


      Sean ABC un triángulo y un punto P. Denotamos por el triángulo medial y por Pa, Pb, Pc los puntos medios de los segmentos AP, BP, CP, respectivamente.
      La perpendicular por Mb a la recta BP interseca a la perpendicular por Mc a la recta CP en el punto A1.
      La perpendicular por Mc a la recta CP interseca a la perpendicular por Ma a la recta AP en el punto B1.
      La perpendicular por Ma a la recta AP interseca a la perpendicular por Mb a la recta BP en el punto C1.
      La perpendicular por Pb a la recta AC interseca a la perpendicular por Pc a la recta BA en el punto P1.

      Siguiendo la nomenclatura de R. Hutson, diremos que el cuadrivértice A1B1C1P1 es el "maltitude quadrangle" del cuadrivértice ABCP.

      Si P(u:v:w), en coordenadas baricéntricas,

    A1 = (SC^2(u+v)w+SB^2v(u+w)+2SBSC(u+v)(u+w)+a^2SAu(u+v+w) :
    (SBv+SC(u+v))(SAu-SCw) : (SAu-SBv)(SCw+SB(u+w))).

      Los puntos B1 y C1, se obtienen por permutación cíclica.

    P1 = (a^2SAu+SBSC(2u+v+w) : b^2SBv+SCSA(u+2v+w) : c^2SCw+SASB(u+v+2w)).

    P1 es el punto medio P y el ortocentro.

      Consideremos la transformación afín ΦP1 que transforma ABC en (la imagen del baricento de ABC es el baricentro
    (a^4vw(4vw+u(v+w)) + 2a^2u(b^2w(u(2v-w)+v(v+w))+c^2v(-u(v-2w)+w(v+w))) - (b^2-c^2)u(b^2w(3v(v+w)+2u(2v+w))-c^2v(3w(v+w)+2u(v+2w))) : ... : ...)
    de ).

      El punto fijo FP (propio) de la transformación afín ΦP1 es el centro de la hipérbola ℋ(P), equilátera circunscrita a ABC que pasa por P.

    FP =(u(b^2w(u+v)-c^2v(u+w))(a^2(v-w)-(b^2-c^2)(v+w)) : ... : ... ).

      Para todo punto Q, sobre la hipérbola ℋ(P), se tiene que FQ=FP.
      La transformación afín ΦP1 transforma P en P1 y sus puntos fijos en la recta del infinito son los de la hipérbola ℋ(P).


      ITERACIÓN:

      Partiendo de ABCP=A0B0C0P0 se obtiene su "maltitude quadrangle" A1B1C1P1. Denotamos por A2B2C2P2 el "maltitude quadrangle" de A1B1C1P1 y, en general, An+1Bn+1Cn+1Pn+1 el "maltitude quadrangle" de AnBnCnPn.

      Los cuadrivértices AkBkCkPk y "maltitude quadrangle" de Ak+2Bk+2Ck+2Pk+2 son homotéticos, para (k=0,1,2,...). El centro de homotecia es FP y la razón de homotecia es:

    (c^2uv+b^2uw+a^2vw)^2/ (vw(u+v)(u+w)a^4+wu(u+v)(v+w)b^4+uv(u+w)(v+w)c^4-2uvw((u+v)a^2b^2+(v+w)b^2c^2+(u+w)c^2a^2).



  • jueves, 12 de mayo del 2016

    Triángulo inscrito en la circunferencia inscrita


      Sean DEF el de un triángulo ABC, P un punto y PaPbPc su . Las rectas DE y DF cortan a PbPc en Ab y Ac, respectivamente. Las rectas AbF y AcE se cortan en un punto A', sobre la circunferencia inscrita. Esto es consecuencia de aplicar el al exágono inscrito en la circunferencia inscrita, formado por los lados DE, tangente en E, EAc, FAb, tangente en F y FD.
      Definimos los puntos Bc, Ba, Ca, Cb, B' y C' cíclicamente.

      Los puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están en una misma cónica C(P).

      Si las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son (u:v:w), la ecuación de la cóncica C(P) es:

    (b+c-a)^2(a(u+v-w)+c(v+w-u)-b(u+v+w))(a(u-v+w)+b(v+w-u)-c(u+v+w))x^2
    - 2(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)u(a(u-v-w)-c(u+v-w)-b(u-v+w))yz + ⋯ = 0.

      El triángulo A'B'C' es perspectivo con los triángulos ABC y DEF.

      El centro de perspectividad Q de A'B'C' y DEF es:

    Q = (u(a(v+w)-(b-c)(v-w)) : v(b(w+u)-(c-a)(w-u)) : w(c(u+v)-(a-b)(u-v))).

      El centro de perspectividad R de A'B'C' y ABC es:

    R = ((b+c-a)u^2 : (c+a-b)v^2 : (a+b-c)w^2).

      Los puntos P, Q y R están alinedados en la recta de ecuación:

    vw(a(v-w)-(b-c)(v+w))x + wu(b(w-u)-(c-a)(w+u))y + uv(c(u-v)-(a-b)(u+v))z = 0.

      Cuando el punto P recorre la circunfercencia circunscrita, el punto Q está sobre la recta que pasa por los centros del triángulo X3309 y X4897, de ecuación:

    (b+c-a)(a^3 - a^2(b+c) + a(b^2+c^2) - (b-c)^2(b+c))x + ⋯ = 0.

    El lugar geométrico de los puntos P tales que la recta PR pasa por el centro W de la cónica C(P) es una séptica que pasa por A, B, C, punto de Gergonne (X7), punto de Fletcher (X1323), vértices de los triángulos cevianos de X7 y X1088 (cuadrado trilineal de X7), y por los puntos (dobles) de intersección de la de X7 con los lados de ABC

      Cuando P = X1323, el triángulo A'B'C' se reduce al punto X3321, sobre la circunferencia circunscrita y el centro de la conica C(P) es:

    ((2 a^2-(b-c)^2-a (b+c))/(b+c-a)^2 : ... : ...).

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-0.071782871224331350, -0.093494041398146657, 3.7385216819020182).

      Cuando P = X7, el centro de la conica C(P) es:

    ((a^2-(b-c)^2) (5 a^2-2 (b-c)^2-3 a (b+c)): ... : ...).

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-1.4401136495962944, -1.2759716637283297, 5.1886973181484356).

  • jueves, 5 de mayo del 2016

    La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas


    Russia-Sharygin-geometry olympiad 2016.

    13. (9-10) Given are a triangle ABC and a line L meeting BC, AC, AB at points La, Lb, Lc respectively. The perpendicular from La to BC meets AB and AC at points Ab and Ac respectively. Point Oa is the circumcenter of triangle AAbAc. Points Ob and Oc are defined similarly. Prove that Oa, Ob and Oc are collinear.

      Sean ABC un triángulo, un punto L, su l y La, Lb, Lc sus puntos de intersección con BC, CA, AB, respectivamente.
      La perpendicular por La a BC corta a AC y a AB en Ab y Ac, respectivamente. Sea Oa el centro de la circunferencia circunscrita a AAbAc. Los puntos Ob y Oc se definen cíclicamnete.

      Los puntos Oa, Ob y Oc están, respectivamente, sobre las tangentes en A, B y C a la circunferencia circunscrita y están alineados.

      Si L=(u:v:w), en coordenadas baricéntricas respecto a ABC,

    Ab = (2a^2v;0:(b^2-c^2)(v-w)+a^2(v+w)),  Ac = (2a^2w:(b^2-c^2)(v-w)-a^2(v+w):0),
    Oa = (a^2(a^2(v-w)-(b^2-c^2)(v+w)):-b^2((b^2-c^2)(v-w)-a^2(v+w)):-c^2(-(b^2-c^2)(v-w)+a^2(v+w))).

      El tripolo de la recta m, que contiene a los puntos Oa, Ob y Oc, es:

    M = (a^2/((b^2-c^2)(v-w)-a^2(v+w)) : ... : ... ).

      El punto N, de intersección de las rectas l y m, es:

    N = (a^2(a^2-b^2-c^2)u(c^2v(u-w)+b^2(-u+v)w) : ... : ... ).


    1.   CUANDO L SE MUEVE SOBRE UNA RECTA.

      El lugar geométrico del punto M, cuando L se mueve sobre una recta d, es una cónica circunscrita C(d) a ABC.


      Si la recta d tiene ecuación px+qy+rz=0, la cónica circunscrita C(d) es:

    C(d):  a^2 (SBSC p - SCSA q - SASB r) y z + ⋯ = 0.


      El P de la cónica C(d) queda sobre la recta m, que contiene a los puntos Oa, Ob y Oc.

      Denotemos por Q el cuarto punto de intersección de las cónicas circunscritas C(d) y la de d. Las coordenadas de Q son:

    Q = (a^2/(a^4(p-q-r)(q-r) + 2 a^2(q+r)(c^2q-b^2r) - (b^2-c^2)(b^2(p(q-r)-(q+r)^2)-c^2(p(q-r)+(q+r)^2)))) : ... : ... ).


      EN PARTICULAR:


    •     Si d es la recta de Euler, C(d) es la cónica circunscrita a^2(b^2-c^2)yz+b^2(c^2-a^2)zx+ c^2(a^2-b^2)xy=0, con centro en X1084 ( del baricentro y X512=conjugado isogonal del ), y pasa por los centros de índices: 2, 6, 25, 37, 42, 111, 251, 263, 308, 393, 493, 494, 588, 589, 694, 941, 967, 1169, 1171, 1218, 1239, 1241, 1383, 1400, 1427, 1880, 1976, 1989, 2054, 2165, 2248, 2350, 2395, 2433, 2963, 2981, 2987, 2998, 3108, 3228, 3444, 3457, 3458, 3572, 5638, 5639, 6094, 6096, 6151, 6339, 8105, 8106, 8576, 8577, 8749, 8770, 8791, 8794, 8882, 9178, 9281, 9403, 9462.
      En este caso, las rectas m (que contiene a los puntos Oa, Ob y Oc) son paralelas a la dirección dada por X512, que es el perpector de C(d).
    •     Si d es la recta del infinito, C(d) es la cónica circunscrita a^2(-3a^4+(b^2-c^2)^2+2a^2(b^2+c^2))yz+...=0. Pasa por X112, X1461.

    1.1.   EL TRIPOLO DE d SE MUEVE SOBRE LA RECTA DE EULER

      Lugar geométrico del perspector P de C(d), cuando d es la tripolar de un punto D que se mueve sobre la recta de Euler, es la cónica diagonal:
           b^4c^4(b^2-c^2)x^2+c^4a^4(c^2-a^2)y^2+a^4b^4(a^2-b^2)z^2=0


      Esta cónica es φX31(Q066), la transfomada de la cuártica de Stammler (Q066) mediante la de polo X31(a^3:b^3:c^3). El centro de esta cónica diagonal es X1576 y pasa por los puntos X6, X31, X48, X154, X1613, X2578, X2579, X5638, X5639.

      El punto Q queda sobre la circunferencia circunscrita si y solo si la recta d es la tripolar de un punto D, sobre la recta de Euler.



    1.2.   EL TRIPOLO DE LA RECTA d SE MUEVE SOBRE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

      Si el punto D recorre la circunferencia circunscrita, el lugar geométrico del punto Q es la cuártica con puntos dobles en los vértices de ABC, que pasa por el baricentro, circuncentro, y los puntos donde la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita, de ecuación:
                (b^2-c^2)y z(b^2c^2S^2x^2+a^4SA^2y z) + ⋯ = 0.


      Cuando D recorre la circunferencia circunscrita, las cónicas C(d) pertenecen al haz de cónicas con puntos base A, B, C y X54.

      El lugar geométrico de los centros de las cónicas C(d), cuando el tripolo de d recorre la circunferencia circunscrita, es la C(X2,X54).

      El centro de C(X2,X54) es X6689, baricentro de {A, B, C, X54}.

    NOTA: Esto es una propiedad de las cónicas bicevianas C(X2,U): Si U(u:v:w), "su centro es (2u+v+w:u+2v+w:u+v+2w), que coincide con el baricentro del cuadrivértice ABCU".


    2.   CUANDO L SE MUEVE SOBRE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.

      El lugar geométrico del punto N, cuando L se mueve sobre la circunferencia circunscrita, es la cúbica cK(#X6,X25)=nK(X32,X25,X6):
                  a^2SBSCx(c^2y-b^2z)^2 + ⋯ = 0.


      La de la cúbica cK(#X6,X25) es la envolvente de las recta m (que contiene a los puntos Oa, Ob y Oc), su centro es X206 ( del baricentro y X32), pasa por X8750 y su ecuación es:

    b^2c^2(b^2c^2(b^2-c^2)^2SA^2x^2 + 2a^4SB SC(a^4-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2)y z + ⋯ = 0.


      El lugar geométrico del tripolo de la recta m (que contiene a los puntos Oa, Ob y Oc), cuando L se mueve sobre la circunferencia ciecunscrita, es la cuártica, con puntos dobles en A, B, C, que pasa por X250, X7115, de ecuación:

    a^2y z(b^2c^2SA x^2-a^2 SB SC y z) + ⋯ = 0.



  • viernes, 29 de abril del 2016

    Los puntos X(3052) y X(3445) como centros de persepectividad


      Sea A'B'C' el de un triángulo ABC. Las paralelas a los lados BC, CA, AB por el incentro cortan a B'C', C'A', A'B' en los puntos A1, B1, C1, respectivamente. Denotamos por DEF el triángulo formado por las rectas AA1, BB1, CC1.
    Los triángulos ABC, A'B'C' y DEF son triplemente perspectivos.

    El centro de perspectividad de ABC, A'B'C' es el simediano, X6.

    El centro de perspectividad de ABC, DEF es X3445.

    El centro de perspectividad de A'B'C', DEF es X3052


      Los vértices del triángulo tangencial son (baricéntricas):

    A' = (-a^2:b^2:c^2),  B' = (a^2:-b^2:c^2),  C' = (a^2:b^2:-c^2).

    A1 = (a(b-c):b^2:-c^2),  B1 = (-a^2:b(c-a):c^2),  A1 = (a^2,-b^2:c(a-b)).

    Estos puntos están alineados, por tanto, la recta que los contiene es el eje de perspectividad de los triángulos A'B'C' y DEF, formado por las rectas A'A1, B'B1, C'C1.

    D = (a^2(a+b+c):b^2(a+b-3c):c^2(a-3b+c)),
    E = (a^2(a+b-3c):b^2(a+b+c):c^2(-3a+b+c)),
    F = (a^2(a-3b+c):b^2(-3a+b+c):c^2(a+b+c)).

      El centro de perspectividad es X3052 = (a^2(3a-b-c):b^2(-a+3b-c):c^2(-a-b+3c)).

      El centro de perspectividad de ABC y es X3445 = (a^2/(b+c-3a) : b^2/(c+a-3b) : c^3/(a+b-3c)).


      Los ejes de perspectividad de los pares de triángulos (ABC, DEF) y (A'B'C', DEF) se cortan en el punto de coordenadas baricéntricas:

    (a^2(b-c)((b-c)^2-a^2) : b^2(c-a)((c-a)^2-b^2) : c^2(a-b)((a-b)^2-c^2))

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (0.34496092029735371, -1.4488358652488856, 4.4844919638655982).

  • jueves, 28 de abril del 2016

    Triángulos isósceles sobre los lados de un triángulo


      Sea ABC un triángulo y consideramos los triángulos isósceles AAcAb, BBaBc y CCbCa, tales que sus lados iguales tienen la misma longitud, k, y están sobre los lados de ABC.

      Los puntos Ac, Ab, Ba, Bc, Cb y Ca están sobre una misma cónica y el lugar geometrico de su centro es la cuártica de ecuación baricéntrica:

    (a c^2-b c^2)x^3 y+(-2a c^2+2b c^2)x^2y^2+(a c^2-b c^2)x y^3+(-a b^2+b^2c)x^3z+(-a^2b+a^2c)x^2y z+(a b^2-b^2 c)x y^2 z+(a^2b-a^2c)y^3z+(2a b^2-2b^2c)x^2z^2+(-a c^2+b c^2)x y z^2+(-2a^2b+2a^2c)y^2z^2+(-a b^2+b^2c) x z^3+(a^2 b-a^2 c)y z^3=0. (1)


    Coordenadas baricéntricas:

    Ab(b-k:0:k), Ac(c-k:k:0),   Bc(k:c-k:0), Ba(0:k:a-k),  Ca(0:a-k:k), Cb(k:0:b-k).

      Ecuación de la cónica que pasa por estos seis puntos:

    (b-k)(c-k)((a-k)kx^2 - (a^2-2ak+2k^2)yz) + ⋯ = 0.

      Su centro D:

    D = (a^2(b-k)(c-k)(a^2(b-k)(c-k)+k(b c^2+b^2(c-k)-c^2k)+a(-b c^2+c^2k+b^2(-c+k))) : b^2(a-k)(-c+k)(a^2(b-k)(c-k)-a(b-c)(b(c-k)-c k)+(b-c)k(b(c-k)-c k)) : c^2(a-k)(-b+k)(a^2(b-k)(c-k)+a(b-c)(b(c-k)-c k)-(b-c)k(b(c-k)-c k))).

      Al variar k, este punto describe la cuártica de ecuación (1), que pasa por los vertices de ABC, por los puntos medios (dobles) de los lados y por los centros del triángulo X3 (circuncentro), X9 ("Mittenpunkt"), X478, X6626, X9470.

      Las rectas que contienen las bases de los triángulo isósceles AAcAb, BBaBc y CCbCa, forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad F sobre la .

      Las coordenadas de F son:

    F = (1/(a b+(-a-b+c) k) : 1/(b c+(a-b-c)k) : 1/(a c+(-a+b-c)k)).

      Eliminando k y λ en λ(x:y:z)=F, resulta al ecuación de la hipérbola:

    (a^2b-ab^2+b^2c-bc^2)xy + (a^2b-ab^2-a^2c+ac^2)xz + (-a^2c+b^2c+ac^2-bc^2)yz = 0.



  • lunes, 25 de abril del 2016

    Una séxtica tricircular


      Sean ABC un triángulo y P un punto, construimos las circunferencias (Ba) y (Ca) que pasan por P y son tangentes a AB y a AC en B y C, respectivamente. Estas circunferencias se vuelven a cortar en A'. Los puntos B' y C' son obtenidos de forma similar que A'.

      Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita, sobre la cúbica K018 (ortopivotal cúbica O(X6)), o sobre una séxtica tricircular.

      Si P(u:v:w), en coordenadas baricénticas, tenemos las ecuaciones de las circunferencias:

    (Ba): a^2yz+b^2zx+c^2xy+(x+y+z)(-c^2x-(-c^2u^2+b^2uw-c^2uw+a^2vw)z/(w(u+v+w)))=0,
    (Ca): a^2yz+b^2zx+c^2xy+(x+y+z)(-b^2x-(-b^2u^2-b^2uv+c^2uv+a^2vw)y/(v(u+v+w)))=0.

    que se vuelven a cortar en el punto:

    A' = (-(b^2u+a^2v)^2w^2+c^4u^2v(u+w)+c^2u w(b^2u+a^2v)(u-v+w))(-b^2u(u+v)+v(c^2u+a^2w)) :
    b^2v(u+v+w)((b^2u+a^2v)w-c^2u(u+w))^2 : c^2w(u+v+w)(b^2u(u+v)-v(c^2u+a^2w))^2).

      Las coordenadas de los puntos B' y C' se deducen por permutación cíclica.

      El centro de perspectividad Q de los triángulos ABC y A'B'C', cuando son perspectivos, tiene primera coordenada baricéntrica:

    a^2u(
      2v^3w^3(c^2(u^2+u(-3v+w)+2v(v+w))+b^2(u^2+u(v-3w)+2w(v+w)))a^6
      -v^2w^2(b^4(u^4+2u^3(v-2w)-8uw^2(v+w)+2w^2(v+w)^2+u^2(v^2-4vw+3w^2))+
        c^4(u^4-8u v^2(v+w)+2v^2(v+w)^2+u^3(-4v+2w)+u^2(3v^2-4v w+w^2))+
        2b^2c^2(-u^3(v+w)+u^2(v^2+10v w+w^2)+2u(v-w)^2(v+w)+2v w(v+w)^2))a^4
      2v w(-b^6u w(u^4+u^3(2v-w)+u^2v(v-w)-2u w^2(v+w)+2w^2(v+w)^2)-
        c^6u v(u^4-u^3(v-2w)+u^2w(-v+w)-2u v^2(v+w)+2v^2(v+w)^2)+
        b^4c^2(u^4v(v+3w)+u^3(2v^3+2v^2w-7vw^2-2w^3) + u^2(v^4-v^3w+3v^2w^2+4v w^3-w^4)-u w^2(2v-w)(v+w)^2+v w^2(v+w)^3) +
        b^2c^4(u^4w(3v+w)+u^3(2w^3+2v w^2-7v^2w-2v^3) + u^2(w^4-v w^3+3v^2w^2+4v^3w-v^4)+u v^2(v-2w)(v+w)^2+v^2w(v+w)^3))a^2
      -c^8u^2v^2(u^4+2u^3w+u^2w^2+2v^2(v+w)^2)
      -b^8u^2w^2(u^4+2u^3v+u^2v^2+2w^2(v+w)^2) +
      2b^2c^6u v(u v^3(v+w)^2+v^2w(v+w)^3+u^4w(2v+w)+u^3w^2(3v+2w)+u^2(v^4+4v^3w+3v^2w^2+v w^3+w^4)) +
      2b^6c^2u w(u w^3(v+w)^2+v w^2(v+w)^3+u^4v(v+2w)+u^3v^2(2v+3w)+u^2(v^4+v^3w+3v^2w^2+4v w^3+w^4)) -
      b^4c^4(v^2w^2(v+w)^4+u^2(v+w)^2(v^4+4v^2w^2+w^4)+ u^4(v^4+6v^3w+13v^2w^2+6v w^3+w^4)+ 2u^3(v^5+4v^4w+3v^3w^2+3v^2w^3+4v w^4+w^5)).

     • CASO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

      Si P recorre la circunferencia circunscrita, A'B'C' es el triángulo ceviano de Q, que está sobre la y la recta PQ pasa por el .
      De los 401 centros del triángulo que figuran actualmente en , cuyos indices son:
    {74, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 476, 477, 675, 681, 689, 691, 697, 699, 701, 703, 705, 707, 709, 711, 713, 715, 717, 719, 721, 723, 725, 727, 729, 731, 733, 735, 737, 739, 741, 743, 745, 747, 753, 755, 759, 761, 767, 769, 773, 777, 779, 781, 783, 785, 787, 789, 791, 793, 795, 797, 803, 805, 807, 809, 813, 815, 817, 819, 825, 827, 831, 833, 835, 839, 840, 841, 842, 843, 898, 901, 907, 915, 917, 919, 925, 927, 929, 930, 931, 932, 933, 934, 935, 953, 972, 1113, 1114, 1141, 1286, 1287, 1288, 1289, 1290, 1291, 1292, 1293, 1294, 1295, 1296, 1297, 1298, 1299, 1300, 1301, 1302, 1303, 1304, 1305, 1306, 1307, 1308, 1309, 1310, 1311, 1379, 1380, 1381, 1382, 1477, 2222, 2249, 2291, 2365, 2366, 2367, 2368, 2369, 2370, 2371, 2372, 2373, 2374, 2375, 2376, 2377, 2378, 2379, 2380, 2381, 2382, 2383, 2384, 2687, 2688, 2689, 2690, 2691, 2692, 2693, 2694, 2695, 2696, 2697, 2698, 2699, 2700, 2701, 2702, 2703, 2704, 2705, 2706, 2707, 2708, 2709, 2710, 2711, 2712, 2713, 2714, 2715, 2716, 2717, 2718, 2719, 2720, 2721, 2722, 2723, 2724, 2725, 2726, 2727, 2728, 2729, 2730, 2731, 2732, 2733, 2734, 2735, 2736, 2737, 2738, 2739, 2740, 2741, 2742, 2743, 2744, 2745, 2746, 2747, 2748, 2749, 2750, 2751, 2752, 2753, 2754, 2755, 2756, 2757, 2758, 2759, 2760, 2761, 2762, 2763, 2764, 2765, 2766, 2767, 2768, 2769, 2770, 2855, 2856, 2857, 2858, 2859, 2860, 2861, 2862, 2863, 2864, 2865, 2866, 2867, 2868, 3067, 3222, 3563, 3565, 3659, 4588, 5545, 5606, 5619, 5896, 5897, 5951, 5966, 5970, 5994, 5995, 6010, 6011, 6012, 6013, 6014, 6015, 6016, 6017, 6037, 6078, 6079, 6080, 6081, 6082, 6083, 6093, 6099, 6135, 6136, 6183, 6233, 6236, 6323, 6325, 6345, 6380, 6551, 6570, 6571, 6572, 6573, 6574, 6575, 6576, 6577, 6578, 6579, 6584, 6799, 7597, 7953, 7954, 8059, 8064, 8600, 8652, 8684, 8685, 8686, 8687, 8690, 8691, 8693, 8694, 8695, 8696, 8697, 8698, 8699, 8700, 8701, 8706, 8707, 8708, 8709, 9056, 9057, 9058, 9059, 9060, 9061, 9062, 9063, 9064, 9065, 9066, 9067, 9068, 9069, 9070, 9071, 9072, 9073, 9074, 9075, 9076, 9077, 9078, 9079, 9080, 9081, 9082, 9083, 9084, 9085, 9086, 9087, 9088, 9089, 9090, 9091, 9092, 9093, 9094, 9095, 9096, 9097, 9098, 9099, 9100, 9101, 9102, 9103, 9104, 9105, 9106, 9107, 9108, 9109, 9110, 9111, 9136, 9150, 9160, 9161, 9184, 9202, 9203, 9831}
    se obtienen las siguientes parejas {P,Q}={X(i),X(j)}, con índices {i,j}:

    {74,1494}, {98,290}, {99,670}, {100,668}, {101,190}, {105,2481}, {106,903}, {107,6528}, {109,664}, {110,99}, {111,671}, {112,648}, {691,892}, {699,3225}, {727,3226}, {729,3228}, {739,3227}, {813,4562}, {825,4586}, {827,4577}, {842,5641}, {898,889}, {901,4555}, {919,666}, {934,4569}, {1379,6190}, {1380,6189}, {2291,1121}, {2715,2966}, {4588,4597}, {6551,6635}, {8687,6648}, {8701,6540}, {9136,9487}, {9150,886}



     • CASO DE LA CUBICA K018

      K018 es la no pivotal circular de raíz X523 ( del ) y parámetro 0, de ecuación

    (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)+··· = 0.

      Esta cúbica pasa por los centros del triángulo X2, X6, X13, X14, X15, X16, X111, X368, X524. Su asíntota pasa por X9146 y tiene la dirección del punto X524 ( del , X111), es la imagen de la rectas que pasa por el baricentro y simediano mediante la homotecia de centro X111 y razón 2.
      El punto de intersección X de la cúbica con su asíntota (que está en la tangente en X111, de la cúbica) es:

    (a^2(a^16 - 4a^14(b^2+c^2) + a^12(-14b^4+29b^2c^2-14c^4) +
    a^10(-7b^6+87b^4c^2+87b^2c^4-7c^6) +
    a^8(b^8-59b^6c^2-489b^4c^4-59b^2c^6+c^8) -
    2a^6(5b^10+40b^8c^2-301b^6c^4-301b^4c^6+40b^2c^8+5c^10) +
    a^4(-8b^12+141b^10 c^2+285b^8c^4-1753b^6c^6+285b^4c^8+141b^2c^10-8c^12) +
    a^2(5b^14+53b^12c^2-714b^10c^4+868b^8c^6+868b^6c^8-714b^4c^10+53b^2c^12+5c^14) +
    (b^2+c^2)^2(4b^12-63b^10c^2+315b^8c^4-532b^6c^6+315b^4c^8-63b^2c^10+4c^12)) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-13.526357131404353, -6.8224045438571968, 14.606801688302909).

      Pares de puntos {P,Q}, con P sobre K018 y Q el centro de perspectividad de los triángulos ABC y A'B'C':

    {X2,X2482*}, {X6, X2482}, {X111, X671= X187*}, {X524, X187=X671*}.



      Si designamos por Cb, Ab, Ac, Bc los centros de las circunferencias definidos de forma análoga a Ba y Ca, para P sobre K018 estos seis puntos están una misma cónica. Esto nos da una caracterización de esta cúbica:

      La cúbica K018 es el lugar geométrico de los puntos tales que los puntos Ba, Ca, Cb, Ab, Ac, Bc están en una misma cónica.


      Además, si Da=PA'∩BC, Eb=PB'∩CAC y Fc=PC'∩AB, el triángulo es perspectivo con ABC, cuyo centro de perspectividad W tiene primera coordenada baricéntrica:

    u(3v^2w^2a^4
      -v w((b^2+c^2)u^2+2(b^2+c^2)v w+u(b^2v-3c^2v-3b^2w+c^2w)+2(c^2v^2+b^2w^2))a^2
      +b^2c^2v w(v+w)^2-u^3(c^4v+b^4w)-u^2(-b^2c^2v^2+b^4v w-5b^2c^2v w+c^4v w-b^2c^2w^2)-u(v+w)(-b^2c^2v^2+2c^4v^2+2b^4w^2-b^2c^2w^2))

      Pares de puntos {P,W}, con P sobre K018 y W el centro de perspectividad de los triángulos ABC y :

    {X2,X671}, {X6, X524}, {X111, X671}, {X524, X534}.


     • CASO DE LA SÉXTICA TRICIRCULAR

      Si el punto P está en la séxtica de ecuación:

    a^2 c^4 x^4 y^2-c^6 x^4 y^2+a^2 c^4 x^3 y^3+b^2 c^4 x^3 y^3+b^2 c^4 x^2 y^4-c^6 x^2 y^4-b^4 c^2 x^4 y z-b^2 c^4 x^4 y z+a^4 c^2 x^3 y^2 z-4 a^2 b^2 c^2 x^3 y^2 z+4 b^2 c^4 x^3 y^2 z-c^6 x^3 y^2 z-4 a^2 b^2 c^2 x^2 y^3 z+b^4 c^2 x^2 y^3 z+4 a^2 c^4 x^2 y^3 z-c^6 x^2 y^3 z-a^4 c^2 x y^4 z-a^2 c^4 x y^4 z+a^2 b^4 x^4 z^2-b^6 x^4 z^2+a^4 b^2 x^3 y z^2-b^6 x^3 y z^2-4 a^2 b^2 c^2 x^3 y z^2+4 b^4 c^2 x^3 y z^2-a^6 x y^3 z^2+a^2 b^4 x y^3 z^2+4 a^4 c^2 x y^3 z^2-4 a^2 b^2 c^2 x y^3 z^2-a^6 y^4 z^2+a^4 b^2 y^4 z^2+a^2 b^4 x^3 z^3+b^4 c^2 x^3 z^3+4 a^2 b^4 x^2 y z^3-b^6 x^2 y z^3-4 a^2 b^2 c^2 x^2 y z^3+b^2 c^4 x^2 y z^3-a^6 x y^2 z^3+4 a^4 b^2 x y^2 z^3-4 a^2 b^2 c^2 x y^2 z^3+a^2 c^4 x y^2 z^3+a^4 b^2 y^3 z^3+a^4 c^2 y^3 z^3-b^6 x^2 z^4+b^4 c^2 x^2 z^4-a^4 b^2 x y z^4-a^2 b^4 x y z^4-a^6 y^2 z^4+a^4 c^2 y^2 z^4=0, (1)

    los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos.

      Esta curva pasa por los vértices de ABC (puntos dobles), por el incentro, circuncentro y ortocentro. También pasa por los (triples).

      Si P=X1, el incentro, las circunferencia (Ba) y (Ca) son tangentes y el triángulo A'B'C' degenera en el punto X1.
      Si P=X3, el circuncentro, el centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' es X125, centro de la .
      Si P=X4, el ortocentro, el centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' es X250, conjugado isogonal de X125. En este caso, los puntos A', B' y C' están alineados, sobre la .

      El eje radical PA' de las circunferencias (Ba) y (Ca) corta a los lados AC y AB en Db y Dc, respectivamnete. Los puntos Ec, Ea, Fa y Fb se definen cíclicamente.

      Los seis puntos Db, Dc, Ec, Ea, Fa y Fb están en una misma cónica si y solo si el punto P está sobre la séxtica tricircular (1) o sobre la cuártica bicircular, que pasa por A, B, C (dobles) y por el ortocentro, de ecuación:

    c^4 x^3 y - a^2 b^2 x^3 z + b^4 x^3 z - 2 a^2 b^2 x^2 y z + 2 b^4 x^2 y z + 2 a^2 c^2 x^2 y z - 3 b^2 c^2 x^2 y z + c^4 x^2 y z - a^2 b^2 x y^2 z + b^4 x y^2 z - b^2 c^2 x y^2 z - a^2 b^2 x^2 z^2 + b^4 x^2 z^2 - b^2 c^2 x^2 z^2 + a^4 x y z^2 - 3 a^2 b^2 x y z^2 + 2 b^4 x y z^2 + 2 a^2 c^2 x y z^2 - 2 b^2 c^2 x y z^2 + b^4 x z^3 - b^2 c^2 x z^3 + a^4 y z^3=0.

      Si P=X1, el incentro, el eje radical PA' es la tangente común a las circunferencias (Ba) y (Ca) en X1, que es paralela a BC. La cónica que pasa por los puntos Db, Dc, Ec, Ea, Fa y Fb es una elipse de centro X1001, punto medio del segmento de extremos el incentro y punto intermedio (X9).
      Si P=X4, el ortocentro, los ejes radicales PA', PB', PC' coinciden con la recta de Euler y la cónica que pasa por los puntos Db, Dc, Ec, Ea, Fa y Fb degenera en esta recta (doble).

  • jueves, 21 de abril del 2016

    Una caracterización geométrica de X(3447)


    X(3447) = X(523)-vertex conjugate of X(523) (X(523) isogonal conjugate of X(110) = focus of ).

    Vertex Conjugates, defined just before X(3415) in ETC.

    Suppose that U = u:v:w and X = x:y:z (trilinears) are points not on a sideline of ABC. Let

    f(a,b,c) = a/[a2vwyz - ux(bw + cv)(bz + cy)].

    The U-vertex conjugate of X is the point

    f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b).

    For a geometric interpretation, let T be the vertex triangle of the circumcevian triangles, AUBUCU and AXBXCX, of U and X; viz., the sidelines of T are AUAX, BUBX, CUCX. Then T is perspective to ABC, and the perspector is the U-vertex conjugate of X.

    ( Mostrar/Ocultar figura )

      vertex_conjugate.png

      La del triángulo ABC corta a los lados TbTc, TcTa y TaTb del en los puntos D, E y F, respectivamente. Las rectas DTa, ETb, FTc forman un con ABC, con centro de perspectividad en X3447.

      Consideremos una situación más general: Sea la cónica circunscrita al triángulo ABC con centro en un punto P, de coordenadas baricéntricas (u:v:w),

    u(-u+v+w)yz+v(u-v+w)zx+w(u+v-w)xy=0.

      Las tangentes en los vértices de ABC forman un triángulo de vértices:

    Ta = (u(u-v-w):v(u-v+w):w(u+v-w)),
    Tb = (u(-u+v+w):v(-u+v-w):w(u+v-w)),
    Ta = (u(-u+v+w):v(u-v+w):w(-u-v+w)).

      Si P* es el conjugado isogonal de P, la recta PP* corta a TbTc, TcTa y TaTb, respectivamente, en los puntos

    D = ((-2a^2v^2+b^2u(u+v-w))w^2+c^2uv^2(u-v+w) : v(u-v+w)(c^2v^2-b^2w^2) : -(u+v-w)w(c^2v^2-b^2w^2)),
    E = (-u(u-v-w)(c^2u^2-a^2w^2) : (-2b^2u^2+a^2v(u+v-w)) w^2+c^2u^2v(-u+v+w) : -(u+v-w)w(c^2u^2-a^2w^2)),
    F = (-u(b^2u^2-a^2v^2)(u-v-w) : -v(b^2u^2-a^2v^2)(u-v+w) : -2c^2u^2v^2+w(a^2v^2(u-v+w)+b^2u^2(-u+v+w))).

      El triángulo A'B'C' formado por las rectas DTa, ETb, FTc es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad es:

    Q = ((u-v-w)/(b^2 c^2 v w u^4+2 (c^2 v^2-b^2 w^2) (c^2 v-b^2 w)u^3+-(2 c^4 v^4+2 b^4 w^4+v w (c^2 (a^2-b^2+c^2) v^2-4 b^2 c^2 v w+b^2 (a^2+b^2-c^2) w^2))u^2+2 a^2 u v w(v-w) (c^2 v^2-b^2 w^2)-a^2 v w (c^2 v^4-(a^2+b^2+c^2) v^2 w^2+b^2 w^4)) : ... : ...).

      El centro de perspectividad de A'B'C' y (tripolo de la rectas PP* respecto a ) es:

    R = (u^2 (u-v-w) (2 c^4 u^3 v^3-2 c^4 u^2 v^4+b^2 c^2 u^4 v w-2 b^2 c^2 u^3 v^2 w-a^2 c^2 u^2 v^3 w+b^2 c^2 u^2 v^3 w-c^4 u^2 v^3 w+2 a^2 c^2 u v^4 w-a^2 c^2 v^5 w-2 b^2 c^2 u^3 v w^2+4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^2-2 a^2 c^2 u v^3 w^2+2 b^4 u^3 w^3-a^2 b^2 u^2 v w^3-b^4 u^2 v w^3+b^2 c^2 u^2 v w^3-2 a^2 b^2 u v^2 w^3+a^4 v^3 w^3+a^2 b^2 v^3 w^3+a^2 c^2 v^3 w^3-2 b^4 u^2 w^4+2 a^2 b^2 u v w^4-a^2 b^2 v w^5) : ... : ...)


    Casos particulares de centros de perspectividad de ABC y A'B'C':

     • Si P es el circuncentro (la cónica es la circunferencia circunscrita), PP* es la recta de Euler y el centro de perspectividad es X3447:

    (a^2/(a^6 - a^4(b^2+c^2) + a^2(b^4-b^2c^2+c^4) - (b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : .. : ..)

    R = X(7669) = trilinear pole, with respect to the tangential triangle, of the Euler line.

     • Si P es el baricentro (la cónica es la elipse circunscrita de Steiner), PP* es la recta que pasa por el baricentro y simediano, y el centro de perspectividad es el conjugado isotómico de X148 ( del ):

    (1/(a^4-a^2(b^2+c^2)-b^4+3b^2c^2-c^4) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (8.7692667109160826, 0.47500701016217498, -0.73554039170454939).

     • Si P es el simediano, PP* es la recta que pasa por el incentro y simediano, y el centro de perspectividad es el producto baricéntrico del y X3447:

    (a^2(b^2+c^2-a^2)/(a^6-a^4(b^2+c^2)+a^2(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (3.1091488118738361, 1.5496489138331613, 1.1328388591581123).

  • sábado, 16 de abril del 2016

    Cónica circunscrita con centro en el punto de Spieker


      Dado un triángulo ABC, un punto P y su . Denotamos por M1, M2 y M1 los puntos medios de los segmentos IPa, IPb y IPc, respectivamnete, siendo I el incentro de ABC. es el de I, es decir, A0 es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita que no contiene al vértice A, etc.
      Sea A'B'C' el triángulo inscrito en la circunferencia circunscrita, con A' es el punto donde la recta A0M1 la vuelve a cortar (B' y C' se definen similarmente).

    NOTA.   El punto A' es la intersección de las rectas A0M1 y IP'a, siendo P'a el punto donde la AP* vuelve a corta a al circunferencia circunscrita (P* es el conjugado isogonal de P).

      El triángulo A'B'C' es circunceviano de un punto Q si y sólo si P está sobre la circunscrita con centro en X10 (). El punto Q queda sobre la recta conjugada isogonal de esta elipse.


      En coordenadas baricéntricas, P(u:v:w), Pa(0:v:w), M1(a(v+w):(a+b+c)v+b(v+w):(a+b+c)w+c(v+w)), A0(a^2:-b(b+c):-c(b+c)) y

    A'(a(av+b(v+w))(aw+c(v+w)) : b(cv-bw)(av+b(v+w)) : -c(cv-b w)(aw+c(v+w))).

      Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si sólo si las coordenadas de P satisfacen a la ecuación:

    a(b+c)y z +b(c+a)z x + c(a+b)x y = 0,

    elipse circunscrita de centro en X10(b+c:c+a:a+b).

      El punto Q es el conjugado isogonal del antipodal de P en esta elipse.


      En la siguiente lista la terna {i,j,k} expresa el número de índice en de los centros del triángulo {P, Q, P*}, con P en la elipse:
    {80, 513, 36}, {100, 36, 513}, {291, 667, 238}, {668, 238, 667}, {1018, 3286, 1019}, {1783, 3220, 905}, {3952, ?, 3733}, {4551, 859, 3737} ,{4589, ?, 4455}, {4674, 3733, 4983}, {7095, ?, 1756}, {8050, ?, 4057}.

      El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' para P=X3952 es:

    (a(2a-b-c)/(b+c) : b(2b-c-a)/(c+a) : c(2c-a-b)/(a+b))

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (-3.3973055373431202, -0.39337222011341392, 5.4809862669135673).

      El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' para P=X4589 es:

    (a(a^4-a^2(b^2+c^2)-a(b-c)^2(b+c)+b^2c^2) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (4.4144065118861021, -14.063868306264553, 11.339770303835484).

      El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' para P=X7095 es:

    (a^2(b-c)(a^4-a^3(b+c)-a^2(b^2-b c+c^2)+a(b-c)^2 (b+c)-b c(b^2+c^2)) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (53.398656858579238, -99.786306412977542, 48.077958063855336).

      El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' para P=X8050 es:

    (a(a(b-c)^2+a^2(b+c)-b c(b+c)) : ... : ...)

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (-4.3575843225451956, 1.2871156539902179, 4.7607771780120108).

  • martes, 12 de abril del 2016

    Puntos sobre una cónica circunscrita a un triángulo


      En la cónica circunscrita a un triángulo ABC que pasa por un punto D, de coordenadas baricéntricas (u:v:w), y por el P=G/D están los puntos Fd y Fp de primeras cordenadas, u(u-v-w)/(v+w-3u) y u/(3u^2-2u(v+w)-(v-w)^2), respectivamente.


      Dado un triángulo ABC y un punto D, consideremos los puntos Ba y Ca donde la reflexión de la recta BC en D corta a AC y AB, respectivamente. Los puntos Cb y Ab, Ac y Bc, se definen análogamente. Estos seis puntos quedan en una misma cónica, que denotamos por cs(D).
      Sean c(P) la cónica circunscrita de P y centro D, y el triángulo tangencial de c(P) (formado por las tangentes a c(P) en los vértices de ABC). Para un número real t, se consideran los puntos At, Bt y Ct, que dividen a los segmentos ATa, BTb y CTc en la razón t (AAt:AtTa=t, BBt:BtTb=t, CCt:CtTc=t).

      Las polares at, bt y ct de At, Bt y Ct respecto a la cónica cs(D) forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC y con .
      Cuando t varía, el lugar geométrico del centro de perspectividad Qd de ABC y A'B'C' es la cónica c(Q) circunscrita a ABC y que pasa por P y D; y el lugar geométrico del centro de perspectividad Rd de y A'B'C' es la cónica c(R) circunscrita a y que pasa por P y D.
      La recta QdRd por un punto fijo Fd, sobre la cónica circunscrita c(Q).

      Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de D, la ecuación de la cónica circunscrita de centro D es:

    c(P): u(-u+v+w)yz + v(u-v+w)zx + w(u+v-w)xy = 0.

      La cónica que pasa por los seis puntos Ba, Ca, Cb, Ab, Ac, Bc es:

    cs(D): 2vw(u-v-w)x² + u(u²-v²+6vw-w²)yz + ···· = 0.

    At = ((1+t)u^2-(v-w)^2-tu(v+w) : tv(u-v+w) : tw(u+v-w)),
    Bt = (tu(-u+v+w) : -u^2+(v-w)(v+tv+w)+u(-tv+2 w) : tw(u+v-w)),
    Ct = (tu(-u+v+w) : tv(u-v+w) : -u^2+u(2v-tw)-(v-w)(v+w+tw)).

      El centro de perspectividad de ABC y el triángulo A'B'C', formado por las polares at, bt y ct de At, Bt y Ct respecto a la cónica cs(D), es:

    Qd = (u/((3+2t)u^5-(7+4t)u^4(v+w) + 2u^3(v^2+2(3+6t+2t^2)vw+w^2) + 2u^2(v+w)((3+2t)v^2+(3+2t)w^2-6v(w+2tw)) - u(v-w)^2((5+2t)v^2+2(3+2t+4t^2)vw+(5+2t)w^2) + (v-w)^4(v+w)): ... : ...).

      El centro de perspectiviad de y el triángulo A'B'C' es:

    Rd = (u(u^4 - 4u^3(v+w) + u^2(6v^2-4(-1+t+t^2)vw+6w^2) - 4u(v+w)(v^2-(1+t^2)vw+w^2) +(v-w)^2(v^2+w^2+2v(w+2tw))) : ... : ...).

      La recta QdRd, para cualquier t, pasa por:

    Fd = (u(u-v-w)/(v+w-3u) : v(v-w-u)/(w+u-3v) : w(w-u-v)/(u+v-3w)).




      Si partimos de la cónica c(D) circunscrita a ABC, de centro P y perspector D, se obtienen puntos Qp y Rp, sobre las cónicas c(Q) y c(R), respectivamente. Se tiene que las rectas QpRp, cuando t varía, pasan por un punto fijo Fp, sobre c(Q):

    Fp = (u/(3u^2-2u(v+w)-(v-w)^2) : v/(3v^2-2v(w+u)-(w-u)^2) : w/(3w^2-2w(u+v)-(u-v)^2) ).

      • Las rectas QdQp, RdRp y FdFp son paralelas a la recta DP.

      • Los cuatro puntos de intersección de los pares de rectas siguientes:

    QdRdQpRp, QdRpQpRd, FdQpFpQd, FdRpFpRd,

    están en la recta (pasa por el baricentro de ABC) que une los centros Q0 y R0 de las cónicas c(Q) y c(R).

    Q0R0 : (v-w)(v^2+w^2-u(v+w))x + (w-u)(w^2+u^2-v(w+u))y + (u-v)(u^2+v^2-w(u+v))z = 0.


      A continuación se da una lista conteniendo cuaternas {D, P, Fd, Fp}={X(i),X(j),X(k),X(l)} de centros del triángulo que figuran actualmente en ETC, expresados por su número de orden {i,j,k,l}. Además se describe la cónica circunscrita c(Q) que los contiene.

    {1,9,3680,3062} en la hipérbola de Feuerbach,
    {3,6,64,6391} en la hipérbola de Jerabek,
    {5,216,5562,?}, en a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)^2(a^2b^2-b^4+a^2c^2+2b^2c^2-c^4)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{3, 5, 216, 264, 3463, 5562, 6662, 8439, 8798}
    {6,3,6391,64}
    {9,1,3062,3680}
    {10,37,65,?}, en a(b^2-c^2)yz+b(c^2-a^2)zx+c^2(a^2-b^2)xy=0, que pasa por X(n), n∈{1, 10, 19, 37, 65, 75, 82, 91, 158, 225, 267, 596, 759, 775, 876, 897, 921, 969, 994, 1247, 1581, 1910, 2153, 2154, 2166, 2168, 2186, 2190, 2214, 2216, 2217, 2218, 2219, 2363, 2588, 2589, 2652, 2962, 3668, 4674, 5620, 8769, 8773}
    {37,10,?,65}
    {115,523,?,523}, en (b^2-c^2)^2(2a^2-b^2-c^2)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{99, 115, 523, 690}
    {141,39,1843,?}, en a^2(b^2-c^2)(b^2+c^2)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{6, 39, 76, 141, 755, 882, 1843, 2353, 3954, 6464, 6664}
    {142,1212,3059,?}, en a(a-b-c)^2(b-c)(a b-b^2+a c+2b c-c^2)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{9, 85, 142, 1212, 1855, 3059}
    {216,5,?,5562}
    {1015,513,?,513} en a^2(b-c)^2(a b+a c-2b c)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{513, 668, 891, 1015, 3768}
    {1084,512,?,512} en a^4(b^2-c^2)^2(a^2b^2+a^2c^2-2b^2c^2)yz+...=0;, que pasa por X(n), n∈{512, 670, 887, 888, 1084}
    {1086,?,?,514} en (2a-b-c)(b-c)^2yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{190, 514, 900, 1086, 3762}
    {1125,1213,4647,?} en (b^2-c^2)(2a+b+c)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{10, 79, 86, 1125, 1213, 1269, 1839, 3649, 4647}
    {1146,?,?,522} en (a-b-c)^2(b-c)^2(2a^2-a b-b^2-a c+2b c-c^2)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{522, 664, 1146, 6366}
    {1212,142,?,3059} en a(a-b-c)^2(b-c)(a b-b^2+a c+2b c-c^2)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{9, 85, 142, 1212, 1855, 3059}
    {1213,1125,?,4647}
    {2482,?,?,524} en (b^2-c^2)(2a^2-b^2-c^2)^2yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{67, 524, 671, 690, 2482, 5095}
    {3163,30,?,30} en (b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)(2a^4-a^2b^2-b^4-a^2c^2+2b^2c^2-c^4)^2yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{30, 265, 1294, 1494, 3163, 9033} y su centro es X1650.
    {3739,?,2667,?} en a^2(b^2-c^2)(a b+a c+2b c)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{37, 274, 2667, 3739}
    {4370,?,?,519} en (2a-b-c)^2(b-c)yz+...=0, que pasa por X(n), n∈{80, 519, 900, 903, 1120, 1317, 4370, 4738}
    {6184,?,?,518} en a^2(b-c)(a^2-a b-a c-2b c)(a b-b^2+a c-c^2)^2yz+..=0, que pasa por X(n), n∈{518, 2481, 6184}

    Caso del punto D sobre la elipse inscrita de Steiner


      Las cónicas circunscritas al triángulo ABC con centro D en la tiene su perspector P=G/D en la . En este caso el punto Fp describe, al variar D, la quíntica de ecuación

    Σx(x²(y-z)² - y²z²)=0

      Esta curva tiene puntos dobles tangenciales en los vértices de ABC, con tangentes las medianas. Las asíntotas son las imágenes de los lados BC, CA, AB en las homotecias de razón 3/2 y centros en A, B, C, respectivamnete. Las asíntotas vuelven a cortar a la curva en puntos sobre la elipse imagen de la mediante la homotecia de centro el baricentro y razón √‍23/5.
      Cuando D=X3163, el cociente ceviano P=G/D=X30 (perspector de la cónica de centro X3163), el punto FP tiene primera coordenada baricéntrica:

    (2a^4-(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2))/(5a^8-5a^6(b^2+c^2) + a^4(-6b^4+17b^2c^2-6c^4)+ 7a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2(b^4+7b^2c^2+c^4))

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC (0.44454930701495823, 4.7005898780480680, 0.18123334771342822).

  • martes, 5 de abril del 2016

    El centro del triángulo X(1407) y las circunferencias de Mannheim


      Dado un triángulo ABC, se considera el triángulo mixtilineal delimitado por los segmentos AB y AC y el arco BC de la circunferencia circunscrita Γ, que no contiene al vértice A; sea Γa la circunferencia inscrita en este triángulo mixtilineal ().
      Los puntos de contacto Ab y Ac con los lados AB y AC, son las intersecciones con estos lados con la perpendicular en el incentro a la bisectriz interior en A.
      En la recta AbAc está el punto A0 de intersección de BC y la tripolar de X57 (centro de perspectividad de los triangulos y de ), y el punto de contacto Aa de Γ y Γa es el segundo punto de intersección de Γ con la recta A0A1, siendo A1 el punto medio del arco BC de Γ, que no contiene a A.

      NOTA. El sombreado del triángulo mixtilineal de esta figura está realizado con GeoGebra:
    camino={Segmento[A,B], ArcoCircunferencia[X_3,B,C],Segmento[C,A]}
    M=Punto[camino]
    N un punto en plano
    N=M
    LugarGeométrico[N,M]
    Este lugar geométrico se puede sombrear cambiando sus propiedades.


      Designamos por Fa el punto fijo propio de la transformación afín que envía los vértices de ABC en los de . Los puntos Fb y Fc, se definen cíclicamente.

      Los triángulos ABC y son perspectivos y el centro de pespectividad es X1407.

      En coordenadas baricéntricas:

    Aa=(-a(a+b-c)(a-b+c):2b^2(a+b-c):2c^2(a-b+c)),   Ab=(a+b-c:0:2c),   Ab=(-a+b-c:-2b:0).

      La matriz M asociada a la homografía que transforma AAa, BAb, CAc, y el baricentro de ABC en el baricentro, Ga=(a(3a^2-5(b-c)^2-2a(b+c)) : 2b(a^2-3b^2+5b c-2c^2-a(2b+c)) : 2c(a^2-2b^2+5b c-3c^2-a(b+2c))), de AaAbAc, es:
    a (a+b-c) (a-b+c)(a-b+c) (a^2-2 (b-c)^2-a (b+c)) (a+b-c) (a^2-2 (b-c)^2-a (b+c))
    -2 b^2 (a+b-c)-2 b (-a^2+2 (b-c)^2+a (b+c))0
    -2 c^2 (a-b+c)0-2 c (-a^2+2 (b-c)^2+a (b+c))

      Al valor propio λ=a^3-3a b^2-2b^3+2a b c+2b^2c-3a c^2+2b c^2-2c^3, del polinomio característico |M-λI|=0, le corrresponde el punto fijo (no en la recta del infinito):

    Fa =(-(a+b-c)(a-b+c)(a^2-2(b-c)^2-a(b+c)) : 2b^2(a+b-c)^2 : 2c^2(a-b+c)^2).

      Procediendo cíclicamente se obtienen los puntos fijos Fb y Fc, relativos a las otras dos circunferencia de Mannhein de ABC.
      Las rectas AFa, BFb y CFc concurren en el centro X1407 (X57-beth conjugate of X57), de coordenadas:

    (a^2/(-a+b+c)^2 : b^2/(a-b+c)^2 : c^2/(a+b-c)^2).



      Designamos por Bb y Cc los puntos de contacto de B-circunferencia de Mannhein y C-circunferencia de Mannhein, respectivamente, con la circunferencia circunscrita a ABC.

      El punto fijo (no situado en la recta del infinito) de la transformación afín que transforma los vértices de ABC en los de es:

    F = (a^2(a^2-a(b+c)-2(b-c)^2) : b^2(b^2-b(c+a)-2(c-a)^2) : c^2(c^2-c(a+b)-2(a-b)^2))

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (1.3328099951365518, 2.9363470205352157, 0.99266577762774432).

  • sábado, 2 de abril del 2016

    Triángulos inversamente semejantes


    AoPS blaupunkter & babu2001

      In ABC , let Ha, Hb, Hc be the feet of altitudes, and Ma, Mb, Mc be the midpoints of the sides. In triangles HaMbMc, HbMaMc, HcMaMb, let Pa, Pb, Pc be the same points (for example Pa the orthocenter of HaMbMc, Pb the orthocenter of HbMaMc and Pc the orthocenter of HcMaMb). Prove that PaPbPc∼ ABC.

      Dado un triángulo ABC, sean y los triángulos medial y , respectivamente. Designamos por P, Pa, Pb y Pc los mismos puntos respecto a los triángulos ABC, , , , respectivamente.

    Los triángulos ABC y son inversamente semejantes.


      Sea cP el de un punto P (no situado en la recta del infinito), es decir, P y cP son los mismos puntos respecto a los triángulos ABC y . Los triángulos y son simétrico respecto a la mediatriz da de MbMc. Sea Pa el simétrico de cP respecto a da, esto es, Pa y P son los mismos puntos respecto a los triángulos y ABC.

      Si (u:v:w) son las coordenadas baricénticas de P en el triángulo de referencia ABC, entonces cP(v+w:u+w:u+v) y Pa=(a^2 (v+w):(b^2-c^2) u+a^2 (u+v):(-b^2+c^2) u+a^2 (u+w)). Por permutación cíclica, se obtienen las coordenadas de Pb y Pc.
      El cociente entre los cuadrados de las longitudes de los segmentos PbPc y BC es:

    (a^2 b^2 c^2u^2+a^2 (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4+c^4)+...)/(4 a^2 b^2 c^2 (u+v+w)^2),

    donde ... indica suma cíclica. Esta expresión es simétrica, por lo que coincide con los cuadrados de las razones entre las longitudes de los otros dos pares de lados; así, expresa el cuadrado de la razón de semejanza entre los triángulos y ABC.

      Denotamos por G y GP=(a^2 (c^2 (a^2-c^2) v-b^4 w+b^2 (a^2 w+2 c^2 (u+v+w))):...:..) los baricentros de los triángulos ABC y .
      La ecuación de la semejanza (APa, BPb, CPc, GGP) es:

    σP((x:y:z))=(a^2 b^2 c^2 (v+w) x+a^2 (b^2 c^2 u+c^2(a^2+b^2-c^2)v y+a^2 (b^2 c^2 u+b^2(a^2-b^2+c^2) w) z: ... : ...)

      El punto fijo, corresponde a la raíz λ=-2 a^2 b^2 c^2 (u+v+w) del polinomio característico p(λ)=|M-λI| (M matriz asociada a la semejanza), es:

    F=(b^2 c^2 u^2+c^2(a^2+b^2-c^2)v^2+b^2(a^2-b^2+c^2)w^2+(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)v w+3b^2c^2w u+3b^2c^2u v:...:...)

      A continuación se da una lista conteniendo pares {P,F}={X(i),X(j)} de centros del triángulo que figuran actualmente es , expresados por su número de orden {i,j}:
    {1,1}, {2,5643}, {3,5}, {4,54}, {6,39}, {13,61}, {14,62}, {15,17}, {16,18}, {40,7701}, {74,4}, {98,6785}, {99,6787}, {106,6788}, {110,2}, {111,6792}, {112,6794}, {115,6}, {246,1316}, {381,575}, {484,3467}, {1138,3470}, {1157,3459}, {1263,195}, {1276,6192}, {1277,6191}, {1337,627}, {1338,628}, {1511,1656}, {1614,6143}, {1625,5661}, {2070,5449}, {3065,3336}, {3098,6287}, {3465,3468}, {3466,3469}, {3479,3489}, {3480,3490}, {3481,2121}, {3482,2120}, {3483,3460}, {3484,3462}, {3818,3398}, {5475,5038}, {5477,5013}, {5609,3526}, {5668,8918}, {5669,8919}, {5938,626}, {6033,182}, {6034,7772}, {6236,6235}, {6241,3520}, {6325,6324}, {6777,16}, {6778,15}, {7059,7345}, {7060,7344}, {7165,3461}, {7723,6644}, {7753,6444}, {8053,2140}, {8174,8837}, {8175,8839}, {8439,3463}, {8446,8929}, {8456,8930}

    •   El puntos fijo de la semejanza σP está en el infinito si y solo si P está sobre la circunferencia de Stammler, con centro el circuncentro y que pasa por los puntos X399, X8008, X8009.

    •   Cuando P recorre la circunferencia circunscrita el punto fijo F de σP está sobre la , con centro en X381 y que pasa por X2, X4, X6235, X6324, X6785, X6787, X6788, X6792, X6794, X8426, X8427.

    •   El lugar geométrico del punto fijo de la semejanza σP, cuando P recorre la es la hipérbola rectangular cuyas asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales de los puntos en que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita. Su centro es X140 y pasa por X3, X5, X54, X575, X2574, X2575, X5449, X5643, X5885, X8548.
      Su ecuación baricéntrica es:

    (b^2-c^2)(b^2 c^2 (a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)x^2+a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4-3 b^2 c^2+c^4)y z) + ... =0.

      La conjugada isogonal de esta hipérbola es una cuártica con puntos dobles en los vértices de ABC, pasando por X4, X5, X54, X1113, X1114, X7608.
      Su ecuación baricéntrica es:

    a^6 c^2 x^2 y^2-3 a^4 b^2 c^2 x^2 y^2+3 a^2 b^4 c^2 x^2 y^2-b^6 c^2 x^2 y^2-a^4 c^4 x^2 y^2+b^4 c^4 x^2 y^2-a^6 b^2 x^2 y z+3 a^4 b^4 x^2 y z-3 a^2 b^6 x^2 y z+b^8 x^2 y z+a^6 c^2 x^2 y z+2 a^2 b^4 c^2 x^2 y z-3 b^6 c^2 x^2 y z-3 a^4 c^4 x^2 y z-2 a^2 b^2 c^4 x^2 y z+3 a^2 c^6 x^2 y z+3 b^2 c^6 x^2 y z-c^8 x^2 y z-a^8 x y^2 z+3 a^6 b^2 x y^2 z-3 a^4 b^4 x y^2 z+a^2 b^6 x y^2 z+3 a^6 c^2 x y^2 z-2 a^4 b^2 c^2 x y^2 z-b^6 c^2 x y^2 z+2 a^2 b^2 c^4 x y^2 z+3 b^4 c^4 x y^2 z-3 a^2 c^6 x y^2 z-3 b^2 c^6 x y^2 z+c^8 x y^2 z-a^6 b^2 x^2 z^2+a^4 b^4 x^2 z^2+3 a^4 b^2 c^2 x^2 z^2-3 a^2 b^2 c^4 x^2 z^2-b^4 c^4 x^2 z^2+b^2 c^6 x^2 z^2+a^8 x y z^2-3 a^6 b^2 x y z^2+3 a^2 b^6 x y z^2-b^8 x y z^2-3 a^6 c^2 x y z^2+2 a^4 b^2 c^2 x y z^2-2 a^2 b^4 c^2 x y z^2+3 b^6 c^2 x y z^2+3 a^4 c^4 x y z^2-3 b^4 c^4 x y z^2-a^2 c^6 x y z^2+b^2 c^6 x y z^2-a^4 b^4 y^2 z^2+a^2 b^6 y^2 z^2-3 a^2 b^4 c^2 y^2 z^2+a^4 c^4 y^2 z^2+3 a^2 b^2 c^4 y^2 z^2-a^2 c^6 y^2 z^2 = 0.



  • viernes, 1 de abril del 2016

    La recta de Sherman


    Paul Yiu.- Sherman's Fourth Side of a Triangle, Forum Geometricorum Volume 12 (2012) 219-22.

      Consider the sides of a triangle as chords of its circumcircle. Each of these is tangent to the incircle and has its midpoint on the nine-point circle. Apart from these three chords, B. F. Sherman [B. F. Sherman.- The fourth side of a triangle, Math. Mag., 66 (1993) 333–337] has established the existence of a fourth one, which is also tangent to the incircle and bisected by the nine-point circle. While Sherman called this the fourth side of the triangle, we refer to the line containing this fourth side as the Sherman line of the triangle.

      Sean ABC un triángulo, DEF el triángulo medial, I=X1 el incentro y O=X3 el circuncentro.
      Denotamos por O(IO) la circunferencia de centro en O y radio IO = R(R-2r) (donde R y r son, respectivamente, los radios de las circunferencias circunscrita en inscrita a ABC).

      Sean M=X2446 y N=X2447 las intersecciones de la recta IO con la circunferencia inscrita I(r), D', E', F', M', N' los inversos de D, E, F, M, N en I(IO).

      Denotamos por Γ la circunferencia inversa, respecto a I(IO), de la (es la circunferencia circunscrita al triángulo D'E'F') y por (C) la cónica inversa, respecto a I(IO), del lugar geométrico de los puntos medios de los lados de los triángulo inscritos en la circunferencia circunscrita O(R) y circunscritos a la circunferencia inscrita I(r).
      La cónica (C) está determinada por los puntos D', E', F', M', N'; pasa por X221, X3445 y uno de sus focos es el circuncentro. Su ecuación baricéntrica es:

    b^2(a-b-c)(3a-b-c)c^2x^2 - a^2(a^4-2a^2(b^2+b c+c^2)+(b-c)^2(b^2+6b c+c^2)+2a b c(b+c))yz+ ... = 0.

      Sea P el cuarto punto de intersección de Γ y (C), entonces la polar de P respecto a O(IO) es la recta de Sherman, tangente a la circunferencia inscrita en X3326.


      Coordenadas en baricéntricas:

    D' = (a^2 (a^2-4 b c+a (b+c)) : -b (a^2 (b-2 c)-2 b^2 c+2 c^3+a b (b+c)) : -c (a^2 (-2 b+c)+a c (b+c)+2 b (b^2-c^2)))
    E' = (-a (a^2 (b-2 c)-2 b^2 c+2 c^3+a b (b+c)) : b^2 (a (b-4 c)+b (b+c)) : c (-2 a^3-b c (b+c)+a (2 b^2-b c+2 c^2)))
    F' = (-a (a^2 (-2 b+c)+a c (b+c)+2 b (b^2-c^2)) : b (-2 a^3-b c (b+c)+a (2 b^2-b c+2 c^2)) : c^2 (a (-4 b+c)+c (b+c)))

      Cuarto punto de intersección de Γ y (C):

    P = (a(a+b-c)(a-b+c)(a^7-a^5(b^2+5b c+c^2)+5a^4b c(b+c)-a^3(b^4-b^3c+4b^2c^2-b c^3+c^4) -3a^2bc(b-c)^2(b+c) + a(b^2-c^2)^2(b^2+4b c+c^2)-2bc(b-c)^2(b+c)^3) : ... : ... ).

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de (-0.87107795515190942, 0.27156053351460059, 3.8546970149289984).
      La polar de P respecto a O(IO) es la recta de Sherman:

    (a-b)(a-c)(a^6+a^2(b-c)^4-a^5(b+c)+2a^3(b-c)^2(b+c)-a(b-c)^4(b+c)+a^4(-2b^2+5b c-2c^2)-b c(b^2-c^2)^2) x + ... =0.



  • miércoles, 23 de marzo del 2016

    Una construcción de la isocúbica cónico-pivotal cK(#F,crossdiv(F²,F))

    In memoriam de Marta (serían 40)

    Special Isocubics in the Triangle Plane §8 Conico-pivotal (unicursal) isocubics or cK, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
    Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas

      Sean ABC un triángulo, F un punto y d una recta a través de F, que corta en A1, B1 y C1 a los lados BC, CA y AB, respectivamente.
      Si A', B' y C' son las reflexiones de A1, B1 y B1 en F, entonces:

      Las rectas AA', BB', CC' concurren en un punto D sobre la cónica circunscrita a ABC de centro F.


      Si F=(f:g:h), en , podemos poner la ecuación de una recta variable por F en la forma:

    d: (g(t-1)+ht)x + (f+h-ft)y - (g+ft)z = 0.

      Se tiene que:

    A' (2f : g-f t : h+f(t-1),   B' (g-f t : -2g t : g(t-1)-h t),   C' (h+f(t-1) : g(t-1)-h t : 2h(t-1)).

      Las rectas AA', BB', CC' concurren en

    D ((g-f t)(-f+h+f t) : (g-f t)(-g+g t-h t) : (f-h-f t)(g-g t+h t)).

      El lugar geométrico del punto D, cuando la rectas d gira alrededor de F, es la cónica C(F/G), circunscrita a ABC con centro en F, de ecuación:

    C(F/G): f(-f+g+h)yz + g(f-g+h)zx + h(f+g-h)xy= 0.

      La ecuación de la tangente a esta cónica en D es:

    tD: f(f-g-h)(g(t-1)-h t)²x - g(f-g+h)(h+f(t-1))²y - h(f+g-h)(g-f t)²z = 0.

      Si determinamos el punto M1=d∩tD y luego su reflexión en F, obtenemos:

    M (f(f-g-h)(-h+f(t-1))(g+f t)(g(t-1)-h t) : g(f-g+h)(h+f(t-1))(g+f t)(g(t-1)+h t) : -h(f+g-h)(-h+f(t-1))(-g+f t)(g(t-1)+h t)).

      El lugar geométrico del punto M, cuando la rectas d gira alrededor de F, es la cK(#F,P)=nK(F²,P,F), de polo Ω= ( de F) y raíz P el - de F:

    f(f+g-h)(f-g+h)x(h²y²+g²z²) + g(f+g-h)(-f+g+h)y(h²x²+f² z²) + h(f-g+h)(-f+g+h)z(g²x²+f²y²) + 2fgh(f²+g²+h²-2f g-2f h-2g h)x y z = 0. (1)

      NOTA. P=crossdiv(F²,F), en notación de P. L. Douillet.-"Translation of the Kimberling’s Glossary into barycentrics" (3.7.2). Así, la cúbica (1) se puede denotar por cK(#F,crossdiv(F²,F)).

      Para un punto variable M sobre la cúbica, la recta MM* (siendo M* el -isoconjugado de M, que está sobre tD) envuelve a la cónica pivotal

    (C): g²h²(f-g-h)²(g-h)²x² + 2f²gh(f+g-h)(f-g+h)(f²-fg-fh-gh)yz + ··· = 0.

      Esta cónica se puede construir a partir de cinco tangentes tomadas entre los lados del FaFbFb de F y las rectas AU, BV, CW, donde U, V, W son las intersecciones de la de P con las rectas BC, CA, AB.
      Las segundas tangentes desde M y M* a la cónica pivotal (C) se cortan en un punto Q, sobre la polar de F respecto a (C).
      La polar de Q respecto a (C) interseca a MM* en el tercer punto T de la recta MM* con la cúbica.

      En este tipo de isocúbicas cónico pivotales, cK(#F,crossdiv(F²,F)), la polar de F respecto a la cónica pivotal coincide con la tripolar del F de F y , es decir, la polar de F respecto a la cónica circunscrita de .

      El -isoconjugado M* de M puede ser construido como el segundo punto común de las tres cónicas que pasan, respectivamente, por los puntos {B,Fb,C,Fc,M}, {C,Fc,A,Fa,M}, {A,Fa,B,Fb,M}.
    (ADGEOM #3180)



    •  La cúbica nodal de Tucker, cK(#X2, X2)=nK(X2, X2, X2) es una ejemplo de este tipo de cúbicas.

    •  Otro ejemplo es cK(#X3, X394)=nK(X577, X394, X3), que pasa por X878 y cuya cónica pivotal tiene centro en X1147.
    X878 = conjugado isogonal de X877
      Sea el triángulo tangencial de la hipérbola que pasa por A, B, C, tercer punto de Brocard (X76) y punto de Steiner (X99), y el triángulo tangencial de la hipérbola que pasa por A, B, C, ortocentro y X112 (punto de concurrencias de las reflexiones, en los lados de ABC, de la recta que pasa por el ortocentro y simediano). Entoces, las rectas A1A2, B1B2 y C1C2 forman un triángulo perspectivo con ABC, cuyo centro de perspectividad es X877. (Randy Hutson, 29/12/2015).
      X877 es el cuarto punto de intersección de estas hipérbolas.

    ( Mostrar/Ocultar figura )

      X(877).png

    X1147
      Sean A'B'C' el del ortocentro y ea el eje radical de las circunferencias B'(|B'C|) y C'(|C'B|); eb y ec se definen cíclicamente. Entonces, las rectas ea, eb y ec concurren en X1147. (Antreas Hatzipolakis and Peter Moses, 10/04/2013).

    ( Mostrar/Ocultar figura )

      X(1147).png



  • lunes, 21 de marzo del 2016

    Una construcción del centro del triángulo X9311


    X9311 = CEVAPOINT OF PU(47)

      X(9311) is the trilinear pole of line X (2254) X (3667), which is the radical axis of incircle and excircles radical circle, and also the polar of X (1) wrt {circumcircle, nine-point circle}-inverter. (Randy Hutson, February 10, 2016)

      Dado un triángulo ABC, sea DEF el . Se construye la paralela a través de D al lado AC, que interseca a AB en Ca, y la paralela por D al lado AB, que interseca a AC en Ba. Similarmente, se construyen los puntos Ab, Cb on BC, BA, and Bc, Ac on CA, CB, respectivamente.

      Las rectas BaCa, CbAb, y AcBc forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X9311.


      En los vértices del triángulo de contacto interior son:

    D(0 : a+b-c : a-b+c), E(a+b-c : 0 : -a+b+c), F(a-b+c : -a+b+c : 0).
    Ba (a+b-c : 0 : a-b+c),    Ca (a-b+c : a+b-c : 0).

      La ecuación de la recta BaCa es (a^2-(b-c)^2)x-(a-b+c)^2y-(a+b-c)^2z=0.

      Procediendo cíclicamente, se obtienen los restantes elementos de la configuración.
      Las coordenadas de A' = CbAbAcBc son:

    A' (-a^3(b+c)+a(b-c)^2(b+c)+a^2(b^2+c^2)-(b-c)^2(b^2+c^2) : (-a+b+c)^2(2ab-ac-bc+c^2) : -(-a+b+c)^2(a(b-2c)+b(-b+c))).

      Finalmente, las rectas AA', BB' y CC' concurren en X9311:

    (1/(a^2-a(b+c)+2bc) : 1/(b^2-b(c+a)+2ca) : 1/(c^2-c(a+b)+2ab)).



  • domingo, 20 de marzo del 2016

    Triángulo circunceviano del punto de Nagel del triángulo antimedial en la circunferencia inscrita


      Dado un triángulo ABC, sea XYZ el del punto del (es decir, el del punto de Nagel de ABC, X145 de ) en la circunferencia inscrita a ABC.

    Los triángulos ABC y XYZ son perspectivos y el centro de perspectividad es X6049.

      El centro X6049 (de coordenadas baricéntricas ((3a-b-c)²/(b+c-a):...:...) ) ha sido descrito (Agosto, 2014) por Nikolaos Dergiades (Forum Geometricorum Volume 14 (2014) 163–171, Proposition 6.Antirhombi) y en Hechos Geométricos en el Triángulo (2013).

    Resultados adicionales:

      Denotamos por A'B'C' el triángulo formado por las tangentes en X, Y, Z a la circunferencia inscrita γ en ABC.

      El de A'B'C' respecto a γ ( de γ respecto a A'B'C') es:

    W = ((3a-b-c)^2(3a^2-6a(b+ c)+7b^2-2b c+7c^2)/(b+c-a) : ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el : (0.36807387978126350, 0.93622894549490614, 2.8226257289734763).

      El triángulo de contacto interior DEF es persepctivo con A'B'C', el centro de perspectividad es:

    Q = ((5a-3(b+c))(3a-b-c)/(a-b-c) : (5b-3(c+a))(3b-c-a)/(b-c-a) : (5c-3(a+b))(3c-a-b)/(c-a-b)),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (0.29654535253632161, -0.21087669513693981, 3.6497889542931890).
      Los puntos X145, X6049 y Q están alineados y se verifica:

    X6049 = 2rX145+(4R-9r)Q,

    donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC, respectivamente.

  • miércoles, 16 de marzo del 2016

    Transformación relacionada con K015

    Special Isocubics in the Triangle Plane §8 Conico-pivotal (unicursal) isocubics or cK, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
    Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas
    Propiedades de la cúbica nodal de Tucker
    "The tripolar centroid and the Tucker nodal cubic"
    La cúbica nodal de Tucker como lugar geométrico

    (K015 Tucker nodal cubic, Bernard Gibert)
    A related (2,1) transformation
      Let M = u : v : w be a point and M' its isotomic conjugate. The polar lines of M and M' in the Steiner circum-ellipse intersect at f(M) = f(M') which is not defined when M is the centroid G or one of the vertices of the reference and antimedial triangles.
      This transformation is given by :

    f(M) = ((v - w) / (v + w) : (w - u) / (w + u) : (u - v) / (u + v)).

      f transforms the line at infinity and the Steiner circum-ellipse into K015 which gives a lot of points on K015 with rather simple coordinates. Very few of these points are listed in ETC.
      For example : f(X99) = f(X523) = X5468, f(X648) = f(X525) = X4240, f(X671) = f(X524) = X5466, f(X903) = f(X519) = X6548.

      Vamos a estudiar una transformación ψ en el plano que aplica la y la en la cúbica nodal de Tucker. Esta transformación ψ restringuida a la elipse circunscrita de Steiner coincide con la transformación f descrita por Bernard Gibert.
      Dados un triángulo ABC y un punto P, el lugar geométrico los puntos de intersección de una recta d variable por P y su , respecto al , es la cónico-pivotal nK(P²,X2,P).
      La envolvente de las rectas d' es la cónica-pivotal de nK(P²,X2,P); cónica y cúbica son tangentes en tres puntos (uno siempre real).

      Para un punto Pa sobre el lado BC la cúbica nK(P²a,X2,Pa) degenera en el producto de la recta BC y la hipérbola (Ha) que pasa por A, de asíntotas paralelas a AB y AC y tangente en Pa a BC. Esta hipérbola también pasa por el punto B'C'∩PaA', donde A'B'C' es el triángulo antimedial, por lo que puede ser construida, ya que se conocen tres puntos y las direcciones de las asíntotas (IIPPP).
      La cónica-pivotal (Ca) de nK(P²a,X2,Pa), inscrita al triángulo antimedial, es tangente en Pa a BC, (ttttP).
      Estas dos cónicas (Ca) y (Ha) son, en consecuencia, bitangentes y el otro punto de tangencia lo denotamos por A1.

      Supongamos ahora que Pa es el vértice del triángulo ceviano de un punto P, y definimos los puntos B1 y C1, cíclicamente.

      Los triángulos ABC y son perspectivos si y solo si P esta sobre la cónica circunscrita de Steiner o sobre la recta del infinito. El centro de perspectividad queda sobre la cúbica nodal de Tucker.

      Sean (u:v:w) las coordenadas baricéntricas de un punto P en el plano de un triángulo ABC, la ecuación de una recta d que pasa por P la podemos poner de la forma:

    d: (v - t v - t w) x + (t-1) u y + t u z=0.

      Esta recta corta al lado B'C' del triángulo antimedial A'B'C' en el punto de coordenadas (u:v-t(v+w):-v+t(v+w)). La reflexión de este punto en A, nos da el punto (u:-v+t(v+w):(1-t)v-tw), donde la transversal isotómica d' corta a B'C'. Procediendo análogamente, se obtienen las coordenadas de los puntos de intersección de d' con los los restantes lados del triángulo antimedial y con ello, deducir la ecuación de d':

    d': ((-1 + t) v + t w) ((-1 + 2 t) u + (-1 + t) v + t w) x + (-1 + t) u (-u + (-1 + t) v + t w) y + t u (u + (-1 + t) v + t w) z=0,

      El punto Q=d∩d' es:

    ((t-1) t u^2 : t ((t-1) v + t w) (-v + t (u + v + w)) : (1 - t) ((-1 + t) v + t w) ((t-1) u + (t-1) v + t w))

      El lugar geométrico de este punto, cuando la recta d gira alrededor de P, es la cúbica nK(P²,X2,P):

    x (w^2 y^2+v^2 z^2)+y (w^2 x^2+u^2 z^2)+z(v^2 x^2+u^2 y^2) -2 (uv+uw+vw) x y z=0.

      La envolvente de las rectas d' es la cónica-pivotal (CP) inscrita en el triángulo antimedial (descrita en Special Isocubics in the Triangle Plane §8.1, J.P.Ehrmann and B.Gibert.):

    (v-w)^2x^2 - 2(u^2+3u(v+w)+vw)yz+... =0,


      En el caso particular de tomar un punto sobre el lado BC, sea Pa, el pie de al ceviana AP, se tiene que nK(P²a,X2,Pa) degenera:

    x (w^2 x y+w^2 y^2+v^2 x z-2 v w y z+v^2 z^2)=0,

    en la recta BC y una hipérbola (Ha).

      La cónica-pivotal es ahora:

    (Ca): (v^2 -2 v w +w^2) x^2+w^2 y^2+v^2 z^2-6 v w x y-2 w^2 x y-2 v^2 x z-6 v w x z-2 v w y z=0.

      El haz de cónicas generado por (Ha) y (Ca) tiene las cónicas degeneradas:

    x (v^2 x - 2 v w x + w^2 x - 6 v w y - 3 w^2 y - 3 v^2 z - 6 v w z)=0,   (v x-w x-3 w y+3 v z)^2=0.

      Es, por tanto, una haz bitangente con puntos de tangencia Pa(0:v:w) y

    A1 = (9vw(v+w) : v(2v^2-vw-w^2) : w(-v^2-vw+2w^2)).

      Procedienco cíclicamente, se definen los puntos:

    B1 = (u(-w^2-wu+2u^2) : 9wu(w+u) : w(2w^2-wu-u^2)),   C1 = (u(2u^2-uv-v^2) : v(-u^2-uv+2v^2) : 9uv(u+v)).

      Para que los triángulos ABC y sean perspectivos es necesario y suficiente que que P esté en la recta el infinito o sobre la elipse circunscrita de Steiner. El centro de perspectividad es:

    ψ(P)=Q = (u(4u^2 - 4u(v+w) - 2v^2-vw-2w^2) : v(4v^2 - 4v(w+u) - 2w^2-wu-2u^2) : w(4w^2 - 4w(u+v) - 2u^2-uv-2v^2)).

    Con la condición u+v+w=0 o uv+vw+wu=0.

      Si tomamos un punto P=((τ-1)τ:1-τ:τ) sobre la elipse circunscrita de Steiner, del punto en el infinto P = (1:-τ:τ-1), el punto Q se expresa por (que coincide con f(P) = f(P) = ψ(P) ):

    ψ(P) = ((-1 + τ) τ (-1 + 2 τ) : (-2 + τ) (-1 + τ) : -τ (1 + τ)).
    ψ(P) = (-(-2 + τ) (1 + τ) : -τ (1 + τ) (-1 + 2 τ) : (-2 + τ) (-1 + τ) (-1 + 2 τ)).

    Ambos describen la cúbica nodal de Tucker (K015):

    x(y^2+ z^2) + y(x^2+z^2)+ z(x^2+y^2)- 6xyz = 0.

      En cada una de las siguientes ternas de centros en , el primer elemento está sobre la elipse circunscrita de Steiner, el segundo está en la recta de infinto y el tercero es la imagen de los dos primeros, mediante ψ:

    {99, 524, 5468}, {648, 30, 4240}, {671, 523, 5466}, {903, 514, 6548}.

      Usando la notación, gX = conjugdo isogonal de X, tX = conjugado isotomico de X, kX = segundo punto de intersección de la recta XK con la circunferencia circunscrita (donde K es el simediano y X está sobre la circunferencia circunscrita), se tiene que:

    Si P está sobre la elipse circunscrita de Steiner, entonces f(P)=f(tP)=ψ(P)=ψ(gkgtP),
    Si P está sobre la recta del infinito, entonces ψ(P)=ψ(tgkgP)=f(tgkgP)=f(gkgP).



  • martes, 15 de marzo del 2016

    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas

    Special Isocubics in the Triangle Plane §8 Conico-pivotal (unicursal) isocubics or cK, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
    Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)

    ( Triangle Centers and Central Triangles 1998, §5.9 p. 150, Clark Kimberling)
      Suppose a line L' meets sidelines BC, CA, and AB in points A', B', and C', respectively. Let A" be the reflection of A' about the midpoint of segment BC, and construct B" and C" similarly. Then A", B", and C" are collinear in a line known as the isotomic transversal of L'.

      Dados un triángulo ABC, un punto P y una recta d a través de P, sea d' su respecto al .

      El lugar geométrico de los puntos de intersección de las rectas d y d' es la cónico-pivotal nK(P2,X2,P)=cK(#P,X2).


      Si (u:v:w) son las de P, la ecuación de una recta variable que gira alrededor de P es:
          d: (v-w)(t+vw)x + (-u+w)(t+uw)y + (u-v)(t+uv)z = 0.
      Su transversal isotómica es:
    d': (v-w)^2(2t^2+vw(-u^2+vw+u(v+w))+t(-u^2+3vw+u(v+w)))x + (u-w)^2(2t^2+uw(v(-v+w)+u(v+w))+t(v(-v+w)+u(v+3w)))y + (u-v)^2(2t^2+uv((v-w)w+u(v+w))+t((v-w)w+u(3v+w)))z=0.

      La expresión paramétrica del lugar geométrico viene dada por las coordenadas de el punto Q=d∩d':
    ((u-v)(u-w)(t^3(2u-v-w)+t^2u(3u(v+w)-2(v^2+vw+w^2))+tu^2(-v^3-2v^2w-2vw^2-w^3+u(v^2+4vw+w^2))+u^3vw(-v^2-w^2+u(v+w))) : ... : ... ).

      Y la ecuación implicita es:
          x(w^2y^2+v^2z^2) + y(u^2z^2+w^2x^2) + z(v^2x^2+u^2y^2) - 2(uv+uw+vw)xyz = 0.

      Se trata de cK(#Q,X2) la isocúbica no pivotal nK(Q²,X2,Q), de polo , raíz el baricentro, que pasa por Q y por los vértices de triángulo ceviano de Q respecto al triángulo antimedial. Es unicursal con Q como punto doble.

      La envolvente de las rectas d' es la cónica pivotal de la cúbica cK(#Q,X2) (envolvente de las rectas QQ*, donde Q* es el P-isoconjugado de Q), inscrita al triángulo antimedial de ecuación:


          (v-w)^2x^2-2 (u^2+3 u v+3 u w+v w)yz+... =0.


  • lunes, 14 de marzo del 2016

    Cuártica de Stammler como lugar geométrico


      Sean un triángulo ABC, un punto P y A'B'C' el del DEF de P.
      Los triángulos ABC y A'B'C' son , y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de perspectividad es:

    (a^2/(u(c^2v+b^2w) - a^2vw) : b^2/(v(a^2w+c^2u) - b^2uv) : c^2/(w(b^2u+a^2v) - c^2uv)),

    y el eje de perspectividad es:

    a^2v^2w^2x + b^2w^2u^2y + c^2u^2v^2z = 0.

      Por lo que, el lugar geométrico de los puntos P tales que los ejes de perspectividad de ABC y A'B'C' pasan por un punto fijo Q(p:q:r) es la cuártica

    a^2py^2z^2 + b^2qz^2x^2 + c^2rx^2y^2 = 0.


      En particular:

      El lugar geométrico del punto P, tal que el eje de perspectividad del triángulo tangencial de su triángulo circunceviano y del triángulo de referencia, tiene la dirección del del foco de la , es la cuártica de Stammler (Q066).

      El conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert es el punto (en la recta del infinito) de coordenadas baricéntricas (b^2-c^2:c^2-a^2:a^2-b^2). Por lo que se tratra de la cuártica de Stammler:

    a^2(b^2-c^2)y^2z^2 + b^2(c^2-a^2)z^2x^2 + c^2(a^2-b^2)x^2y^2 = 0.

    Más sobre la cúartica de Stammler:
    La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
    Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
    Cuárticas tipo Stammler
    Otra caracterización de la cuártica de Stammler
    Caracterización de la cuártica de Stammler



  • martes, 8 de marzo del 2016

    Elipse definida por una proyectividad sobre la circunferencia circunscrita


      Dados un triángulo ABC y un punto P, sean D, E, F los puntos de intersección de la tripolar p de P con los lados BC, CA, AB, respectivamete. Las perpendiculares por D, E, F a los lados BC, CA, AB forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC. El centro de perspectividad Q está sobre la circunferencia circunscrita Γ a ABC.

      Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces ():

    Q = (a^2/(a^2vw-u(SBv+SCw)) : b^2/(b^2wu-v(SCw+SAu)) : c^2/(c^2uv-w(SAu+SBv)) )


      En particular, si P está sobre la circunferencia circunscrita Γ, tenemos las siguientes parejas {P,Q}={X(i),X(j)}, determinadas por sus números de orden en (Encyclopedia of Triangle Centers) {i,j}:

    {98,74}; {99,1296}; {100,1292}; {105,104}; {107,112}; {110,99}; {111,98}; {476,691}; {477,841}; {675,103}; {691,2696}; {842,477}; {901,2737}; {925,3565}; {1113,1113}; {1114,1114}; {1290,2691}; {1297,1294}; {1301,1289}; {1302,110}; {1304,935}; {1311,102}; {2373,1297}; {2374,3563}; {2697,2693}; {2726,953}; {2752,2687}; {2755,2371}; {2770,842}; {2857,2710}; {3563,1300}; {5966,1141}; {9056,109}; {9057,101}; {9058,100}; {9059,1293}; {9060,476}; {9061,105}; {9064,107}; {9070,6011}; {9080,2709}; {9083,106}; {9084,111}; {9085,917}; {9100,6233}; {9107,108}.

      Cuando P se mueve sobre la cicunferencia circunscrita, la envolvente de las rectas PQ es una elipse, bitangente a Γ en puntos de la recta de Euler.

      La ecuación de la cónica envolvente es:
    2(b^2-c^2)^2 2SA^2 x^2+ (a^8+b^2 c^2 (b^2-c^2)^2-a^6 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^4+15 b^2 c^2+c^4))y z + ... = 0,
    donde ... indica suma cíclica. de la cónica:

    (1/(a^2SA+4b^2c^2) : 1/(b^2SB+4c^2a^2) : 1/(c^2SC+4a^2b^2),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el : (0.71334292374542307, 0.94937443683429287, 2.6541700608319811).

    OBSERVACIÓN:
      Si expresamos los puntos considerados previamente, P y Q, sobre la circunferencia circunscrita, como conjugados isogonales, respectivamente, de los puntos (1:t-1,-t) y (1:t'-1:-t') en la recta del infinito, se verifica que:

    t' = (2c^2 ((a^2-b^2) 2SC-a^2 (a^2-3 b^2-c^2) t))/(a^2 (c^2 (a^2+3 b^2-c^2)+2(b^2-c^2)2SC t)),

    por lo que P ↦ Q es una proyectividad sobre la circunferencia circunscrita a ABC.

  • sábado, 5 de marzo del 2016

    Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek


      Sean ABC un triángulo, P un punto, DEF su . El de DEF y ABC son ; su eje de perspectividad corta a BC, CA y AB en los puntos D', E' y F', respectivamente.
      El ortocentro H de ABC es el circuncentro del , A'B'C'.
      Denotamos por d la polar de D' respecto a la circunferencia de diámetro HA', por e la polar de E' respecto a la circunferencia de diámetro HB', y por f la polar de F' respecto a la circunferencia de diámetro HC'.

      En coordenadas baricéntricas respecto a ABC, el lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas d, e, f son concurrentes consta de:
         Φ: (b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2=0,
       Q066: a^2(b^2-c^2)y^2z^2 + b^2(c^2-a^2)z^2x^2 + c^2(a^2-b^2)x^2y^2 = 0.

      Φ es una cónica con centro en el ortocentro, respecto a la cual el triángulo ABC es . Esta cónica es real solo si el triángulo ABC es obtusángulo. Si P se mueve sobre Φ las rectas d, e, f son paralelas.
    Q066 es la cúartica de Stammler. Cuando P se mueve sobre Q066 las rectas d, e, f concurren en un punto Q sobre la .

    Más sobre la cúartica de Stammler:
    La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
    Cuártica de Stammler como lugar geométrico
    Cuárticas tipo Stammler
    Otra caracterización de la cuártica de Stammler
    Caracterización de la cuártica de Stammler



  • domingo, 28 de febrero del 2016

    Propiedades de la cúbica nodal de Tucker


    Ejercicio 2458

      Sean ABC un triángulo y P un punto. La tripolar de P respecto a un triángulo ABC, corta a sus lados BC, CA y AB en los puntos D, E y F; las rectas paralelas a las cevianas AP, BP y CP por D, E y F, forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC en un punto P'.

      Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de perspectividad es:

    P' (u(v+w)/(v+w-2u):v(u+w)/(u+w-2v):w(u+v)/(u+v-2w)).


      El punto P' está sobre una recta px+qy+rz=0 (tripolar de un punto Q), si el punto P describe la cuártica C(Q) circunscrita a ABC de ecuación:

    C(Q): x(y+z)p/(y+z-2x) + y(z+x)q/(z+x-2y) + z(x+y)r/(x+y-2z) = 0.

      En particular, el punto P' está en la recta del infinito si P describe la cúbica nodal de Tucker (K015)

    x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+ y^2) - 6xyz=0,

    o bien P está en al recta del infinito, entonces P=P'.

      Una propiedad más:

      Las tipolares de dos puntos, L y L, conjugados isotómicos sobre K015 se cortan en un punto T, sobre la .

      Tomando rectas por el baricentro (punto aislado de K015) podemos expresar un punto L sobre esta cúbica por:

    L ((t-1)t : t(1-5t+6t^2) : 2-9t+13t^2-6t^3).

      Y su conjugado isotómico:

    L ( (2t-1)(3t-2)(3t-1) : (t-1)(3t-2) : t(1-3t) ).

      las tripolates de L y L se cortan en:

    T ( (1-2 t)^2 : (1-3 t)^2 (-1+t)^2 : (2-3 t)^2 t^2 ),

    que es un punto genérico de la elipse inscrita de Steiner, x^2+y^2+z^2-2 x y-2 x z-2 y z=0.

    Más sobre la cúbica nodal de Tucker:
    "The tripolar centroid and the Tucker nodal cubic"
    La cúbica nodal de Tucker como lugar geométrico
    Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)



  • jueves, 11 de febrero del 2016

    Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)

    Special Isocubics in the Triangle Plane §8.1, J.P.Ehrmann and B.Gibert.
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
    Isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2) y transversales isotómicas



    ( Advanced Plane Geometry, #3044, Dao Thanh Oai)
      Let ABC be a triangle, let a line L meets BC, CA, AB at A_0, B_0, C_0 respectively. Let P be a point on the line L. Three lines through A_0, B_0, C_0 are parallel to AP, BP, CP formed a triangle P_a, P_b, P_c respectively. Then show that three lines through P_a, P_b, P_c and parallel to BC, CA, AB respectively are concurrent. The point of concurrence lie on L.

      Sean un triángulo ABC un punto U y una recta L que pasa por U, la cual interseca a BC, CA, AB en A0, B0, C0, respectivamente.
      Sea P un punto sobre L; las rectas que pasan por A0, B0, C0 y son paralelas, respectivamente, a AP, BP, CP forman un triángulo .
      Entonces, las rectas que pasan por Pa, Pb, Pc y son paralelas, respectivamente, a AP, BP, CP son comcurrentes y el punto de concurrencia Q queda dobre L.

      Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de U:

      El lugar geométrico del punto Q, cuando L gira alrededor de U, es la isocúbica cónico-pivotal nK(U²,G,U), con polo el cuadrado baricéntrico de U, raíz el baricentro y parámetro k=-2(uv+uw+vw).

      Si tomamos, sobre la recta L: px+qy+rz=0, un punto:

    P=((q-r)(qr+t) : (r-p)(pr+t) : (p-q)(pq+t))

    el punto Pa es:

    Pa = (-qr(q-r)(qr+t) : pr(p-r)(pq-q^2+qr+t) : -pq(p-q)(pr+qr-r^2+t)).

    Y el punto Q de concurrencia de las rectas que pasan por Pa, Pb, Pc y son paralelas, respectivamente, a AP, BP, CP (que queda sobre L) es:

    Q = (qr(r-q) : rp(p-r) : pq(q-p))

      Cuando la recta L gira alrededor de un punto U(u:v:w) el lugar geométrico de Q es la cúbica:

    x(w^2y^2+v^2z^2)+y(u^2z^2+w^2x^2)+z(v^2x^2+u^2y^2) - 2(uv+uw+vw)xyz=0.



  • miércoles, 2 de febrero del 2016

    Triángulos homotéticos con centro de homotecia 3X1-2X5

    En recuerdo a Marta (hace 17)


    (MathWorld, Eric Weisstein)
      If I=X1 and N=X5 are the incenter and nine-point center of a triangle ABC and F=X11 is its , then ABC and its are perspective, and the perspector, X12, is the harmonic conjugate of F with respect to the segment IN. Equivalently, the perspector is the internal similitude center of the incircle and the nine-point circle (F is the external similitude center).

      En este artículo vamos a obtener los centros X11 y X12 como centros de homotecia de triángulos homotéticos al triángulo de referencia. Ambos triángulos son homotéticos y su centro de homotecia es 3X1-2X5= (2r-R)(3r+R)X11 - (3r-R)(2r+R)X12.

      Sean ABC un triángulo y Γ su circunferencia circunscrita. Dado un punto M sobre Γ, los centros de las dos circunferencias γu y γ‍′u, tangentes a Γ en M y a la recta BC, son las intersecciones del diámetro de Γ que pasa por M con las bisectrices (interior y exterior) del ángulo formado por la recta BC y la tangente en M a Γ.   Si U y U' son los puntos en los que las bisectrices interior y exterior, en el vértice A, cortan a Γ, las rectas MU y MU' cortan a BC en los puntos de tangencia Mu y M'u de las circunferencias γu y γ‍′u con BC.

      La polar pa de A respecto a γu, cuando M varía, envuelve una cónica (Ua), tangente en A a Γ, y las tangentes en B y C son las perpendiculares, tb y tc, a AB y a AC, respectivamente (posiciones límites de la polar pa cuando M tiende a B o a C).
      Para construir la cónica (Ua), ya disponemos de tres tangentes y el punto de tangencia de una de ellas; tomando la polar de A respecto a la circunferencia de diámetro U'D (D es punto medio de BC), ya tenemos elementos suficientes para construirla. (ver ttttP o (1P4T)1, §13.1 p.344).
      La cónica (U'a) envolvente de las polares p'a de A respecto a la cónica γ‍′u, se construye de manera similar.

      Para obtener la ecuación baricéntrica de la cónica (U'a) seguiremos dos vías:
    •  La ecuación de la tangente a Γ en A es c^2y+b^2z=0, de tb es 2c^2x-(b^2-c^2-a^2)z=0, y de tc es 2b^2x+(a^2+b^2-c^2) y=0.
      Sean L=tbtc= (a^4-(b^2-c^2)^2:2b^2(-a^2+b^2-c^2):2c^2(-a^2-b^2+c^2)), y los puntos de intersección de la tangente a Γ en A con tb y tc, J=(a^2-b^2+c^2:2b^2:-2c^2) y K=(a^2+b^2-c^2:-2b^2:2c^2).
      Consideremos el haz tangencial de cónicas A·L+λJ·K=0, al que pertenece (U'a):

    u((a^4-(b^2-c^2)^2)u+2b^2(-a^2+b^2-c^2)v+2c^2(-a^2-b^2+c^2)w) + λ((-a^2-b^2+c^2)u+2b^2v-2c^2w)((-a^2+b^2-c^2)u-2b^2v+2c^2w)=0.

      Esta ecuación es satisfecha por la polar (2(b+c)^2:a^2+b^2+2bc-3c^2:a^2-3b^2+2bc+c^2) de A respecto a la circunferencia 4(a^2yz+b^2xz+c^2xy)-(x+y+z)((b+c)^2x+a^2y+a^2z)=0, de diámetro DU. Esto permite determinar λ=(-a^2+b^2+c^2-2bc)/(2a^2), por lo que la ecuación tangencial de (U'a) es:

    SBSC(a^2+(b-c)^2)u^2 + b^4(a+b-c)(a-b+c)v^2 + (a+b-c)c^4(a-b+c)w^2 - 2b^2c^2(a+b-c)(a-b+c)v w - c^2(a^4+b^4-c^4+2bc(c^2-b^2))w u - b^2(a^4-b^4+c^4+2bc(b^2-c^2))u v=0.

      La ecuación puntual de (U'a) es la que tiene como matriz asociada la adjunta de la matriz asociada a su ecuación tangencial:

    c²(b-c)²y² + b²(b-c)²z² - (a4 -(b²+c²)²+2bc(b²+c²))yz - 2b²(a+b-c)(a-b+c)zx - 2c²(a+b-c)(a-b+c)xy=0.


    •  Una segunda vía para llegar a la ecuación que se acaba de obtener, consiste en determinar la ecuación de la polar de A respecto a la ecuación la circunferencia γ‍′u, que pasa por M, M'u y es tangente en este punto a BC.
      Sea M=(a^2(t-1)t : b^2t : -c^2(t-1)) sobre la circunferencia circunscrita Γ a ABC (conjugado isogonal del punto (1:t-1:-t) en la recta del infinito). U'=(-a^2 : b(b-c) : c(c-b)) el punto donde la bisectriz exterior en A vuelve a cortar a Γ y M'u=(0 : bt : c(1-t)) el punto de intersección de MU' con BC.
      Con estos datos se obtiene, a partir de la ecuación general de una circunferencia a^2yz+b^2zx+c^2xy+(x+y+z)(px+qy+rz)=0, la ecuación de la circunferencia γ‍′u, determinando los coeficientes p, q y r:

    γ‍′u:  (c+bt-ct)^2(a^2yz+b^2xz+c^2xy) - (x+y+z)(b^2c^2x + (a^2c^2-2a^2c^2t+a^2c^2t^2)y+ (a^2b^2t^2z))=0

      La polar de A respecto a γ‍′u es:

    pa:  -2b^2c^2x + c^2(t-1)(-a^2(t-1)+(b-c)(b+c+(b-c)t))y + b^2t(c^2(t-2)-2bc(t-1)-a^2t+b^2t)z=0.

      Eliminado "t" entre esta ecuación y la que resulta de derivarla respecto a "t", se llega a la misma ecuación obtenida anteriormente para (U'a).

      Procediendo de forma similar se llega a la ecuación de la cónica (Ua):

    c²(b+c)²y² + b²(b+c)²z² - (a4-(b²+c²)²-2bc(b²+c²))yz - 2b²(a-b-c)(a+b+c)zx - 2(a-b-c)c²(a+b+c)xy=0.




      Denotamos por da (a^2x-(b+c)^2(2x+y+z)=0) la recta que pasa por los otros dos puntos comunes de Γ y (Ua). Procediendo cíclicamente, se definen las rectas db y dc.
      Como es usual, se denotan por r y R los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.

      El triangulo , delimitado por las rectas da, dc y dc, es homotético a ABC con centro de homotecia X12, centro de homotecia interior de la circunferencia inscrita y la . La razón de homotecia de los triángulos ABC y es (3r-R)/r.

      Una de las dos cónicas degeneradas del haz (Ua)+λΓ=0 se obtiene para λ=a^2, y es (c^2y+b^2z)(a^2x-(b+c)^2(2x+y+z))=0.

      Denotamos por d'a (a^2x-(b-c)^2(2x+y+z)=0) la recta que pasa por los otros dos puntos comunes de Γ y (U'a). Procediendo cíclicamente, se definen las rectas d'b y d'c.

      El triangulo , delimitado por las rectas d'a, d'c y d'c, es homotético a ABC con centro de homotecia X11, . La razón de homotecia de los triángulos ABC y es (3r+R)/r.

      Una de las dos cónicas degeneradas del haz (U'a)+λΓ=0 se obtiene para λ=a^2, y es (c^2y+b^2z)(a^2x-(b-c)^2(2x+y+z))=0.

      La homotecia entre los triángulos y es el producto de una de las homotecias anteriores por la inversa de la otra. Por tanto, su centro está en la recta X11X12 y razón es (3r+R)/(3r-R).
      El centro de homotecia de los triángulos y es: 3X1-2X5=(2r-R)(3r+R)X11 - (3r-R)(2r+R)X12:

    (3a^4-3a^3(b+c) - 2a^2(b^2-3bc+c^2) + 3a(b-c)^2(b+c) - (b^2-c^2)^2 : ··· : ···. ).

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (3.9651820451012903, 5.7071388701250661, -2.1405156797643391).

  • lunes, 25 de enero del 2016

    Cuárticas tipo Stammler


    (Quadrilateral Geometry, #1446, Bernard Keizer)
      What is the locus of the points such as their cevian circles pass through a given point?
      For example, if QL-P1 is the Kiepert point Ki115 of DT, the locus pass also through the incenter I1 and the orthocenter H4 of DT.
      Many thanks in advance for any suggestion, reference or solution to my question.

      Sean un triángulo ABC y un punto F sobre la .
      El lugar geométrico de los puntos P tales que la circunferencia circunscrita a su pasa por F consta de la hipérbola equilátera H(F), circunscrita a ABC con centro en F, y de una cuártica Q(F).


      La cuártica Q(F) tiene puntos dobles en los vértices de ABC, pasa por el baricentro, por los vértices del y, más generalmente, por los vértices del de cualquiera de sus puntos.
      La recta une los puntos de intersección de la cuártica Q(F) con la circunferencia circunscrita a ABC (distintos de los vértices) pasa por el .

      Si en coordenadas baricéntricas P=(u:v:w), la ecuación de la circunferencias circunscrita c(P) a su triángulo ceviano es:
     c(P):
    (a^2vw(u+v)(u+w)-u(v+w)(b^2w(u+v)+c^2v(u+w)))x^2/(2u(u+v)(u+w)(v+w)) +
       ((c^2v^2+b^2w^2+(a^2-b^2-c^2)vw)u^2 +
        uvw(a^2(v+w)-(b^2-c^2)(v-w)) + a^2v^2w^2)yz/(2vw(u+v)(u+w)) + ... =0.
        
      Un punto genérico F de la circunferencia de Euler se puede expresar, en términos de un parámetro t, como:

    F = ( (b^4+c^4-a^2(b^2+c^2)-2(b^2-c^2)t) (2a^4+(b-c)^2(b+c)^2-a^2(b^2+c^2)+2(b^2-c^2)t) : ... : ... ).

      La condición analítica para que la circunferencia c(P) pase por F es que las coordenadas de P satisfagan a una de las ecuaciones:

    H(F) : (2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2)+2(b^2-c^2)t)yz + ... =0,

    Q(F) : a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4+2(b^2-c^2)t)y^2z^2 + ... = 0.

      La cónica H(F) forma parte del haz de cónicas circunscritas a ABC y que pasan por el ortocentro (hipérbolas equiláteras circunscritas).
      La cuártica Q(F) pertenece de un haz del que forma parte la cuártica de Stammler (Q(X115)=Q066).
      La cuártica Q(F) es conjugada isogonal de la cónica:

    b^2c^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4+2(b^2-c^2)t)x^2+ ... =0,

    que pertenece al haz de cónicas que pasan por el simediano y por los vértices de su triángulo anticeviano. Entre las que se encuentra la , conjugada isogonal de la cuártica de Stammler.

    ALGUNOS EJEMPLOS:

     • Q(X11) : a(c-b)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X7, X174, X189, X366, X1029, X5451, X8046, X8051.

     • Q(X113) : (2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

     • Q(X114) : a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2>.

     • Q(X115) : Q066=cuártica de Stammler, a^2(b^2-c^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X1, X2, X4, X254, X1113, X1114, X1138, X2184, X3223, X3346, X3459, X8049.

     • Q(X116) : (b-c)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X330, X508, X6625.

     • Q(X117) : (2a^4- a^2(b-c)^2-a^3(b+c)+a(b-c)^2(b+c)-(b^2-c^2)^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

     • Q(X118) : (2a^3-a^2(b+c)-(b-c)^2(b+c))y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

     • Q(X119) : a(2abc-a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c))y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

     • Q(X120) : a(a(b+c)-b^2-c^2)y^2z^2+... =0. Pasa por X2, X8047.

     • Q(X121) : -(b+c-2a)y^2z^2+... =0. Pasa por X2, X6630.

     • Q(X122) : a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)^2y^2z^2+... =0. Pasa por X2, X63, X69, X1032, X6339, X6504, X8115, X8116.

     • Q(X123) : a(a-b-c)(b-c)(a^2-b^2-c^2)y^2z^2+... =0. Pasa por X2, X2994.

     • Q(X124) : (b+c-a)(b-c)y^2z^2+... =0. Pasa por X2, X556, X3625, X4146, X4373, X7361.

     • Q(X125) : (b^2-c^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X75, X92, X253, X1031, X2580, X2581, X2998, X6189, X6190.

     • Q(X126) : (2a^2-b^2-c^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

     • Q(X127) : (a^2(b^2-c^2)-b^4+c^4)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X2479, X2480, X2996.

     • Q(X128) : a^2(a^6(b^2+c^2)- a^4(3b^4+2b^2c^2+3c^4)+3a^2(b^6+c^6)-b^8+b^6c^2+b^2c^6-c^8)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

     • Q(X1566) : a^2(b^4-c^4+a^2(b^2-c^2)-2a(b^3-c^3))y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X100, X1280.

     • Q(X2679) : (b^2-c^2)(a^4-b^2c^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X799, X1821, X3112.

     • Q(X3258) : a^2(b^6-c^6+a^4(b^2-c^2)-2a^2(b^4-c^4))y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X662, X2167, X2349, X2992, X2993.

     • Q(X3259) : (2a-b-c)(b-c)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X190, X903.

     • Q(X5099) : (b^2-c^2)(b^2+c^2-2a^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2, X99, X671, X2373.

     • Q(X5139) : (b^2-c^2)(b^2+c^2-3a^2)y^2z^2 + ... = 0. Pasa por X2.

    Más sobre la cúartica de Stammler:
    La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
    Cuártica de Stammler como lugar geométrico
    Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
    Otra caracterización de la cuártica de Stammler
    Caracterización de la cuártica de Stammler



  • sábado, 17 de enero del 2016

    Un triángulo de lados perpendiculares a las medianas y su parábola de Kiepert

    a Aye, por su "cumple"


      Sean un triángulo ABC, DEF su triángulo medial y un punto P; la paralela por D a la ceviana AP, corta a la circunferencia Γa de diámetro BC en D1 y D2; las rectas AD1 y AD2 vuelven a cortar a Γa en D'1 y D'2.
      Cualquiera que sea el punto P, la recta D'1D'2 pasa por el punto D0 de intersección de la mediana AD con lado HbHc del triángulo órtico HaHbHc (HbHc es D'1D'2, cuando D1D2 es BC). Así, el polo Pa de D'1D'2, respecto a Γa, está en la polar La de D0. La recta La es la perpendicular a la mediana AD, por el punto de intersección de las perpendiculares a AB y a AC desde E y F, respectivamente.
      Si P(u:u:w), en coordenadas baricéntricas respecto a ABC,

    Pa (-2(a^2(b^2w-c^2v)-(b^2-c^2)(c^2v+b^2w)) : -(a^2-b^2-c^2)((a^2-c^2)v-b^2(v+2w)) : (a^2-b^2-c^2)((a^2-b^2)w-c^2(2v+w)) ).

      Procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC se definen similarmente los puntos Pb y Pc y las correspondientes rectas Lb y Lc donde están.

    La:  SAx -c^2y-b^2z=0,   Lb:  -c^2x+SBy -a^2z=0,   Lc:  -b^2x-a^2y+SCz=0.

      Denotemos por A'B'C' el triángulo delimitado por las rectas La, Lb y Lc. Este triángulo está descrito por Randy Hutson en X7610 de ETC, por una vía distinta.
    ( Encyclopedia of Triangle Centers, X(7610), Randy Hutson)
      Let (PA) be the parabola with focus A and directrix BC. Let La be the polar of X(3) with respect to (PA), and define Lb and Lc cyclically. Let A' = Lb∩Lc, B' = Lc∩La, C' = La∩Lb. The lines AA', BB', CC' concur in X(262), and X(7610) = X(3)-of-A'B'C'= X(98)-of-. (Randy Hutson, May 27, 2015)

    A' (3a^4+(b^2-c^2)^2 : -2(c^2(b^2-c^2)+a^2(2b^2+c^2)) : -2(-b^4+b^2c^2+a^2(b^2+2c^2))), ...

      Los triángulos ABC y A'B'C' tienen el mismo baricentro y la de A'B'C' pasa por el simediano.

      El triángulo A'B'C' es perspectivo con:

    •  El triángulo de referencia ABC y el centro de perspectividad es X262:
    (sinA sec(A-ω) : sinB sec(B-ω) : sinC sec(C-ω) ) ≡ (1/(a^4-a^2(b^2+c^2)-2b^2c^2) : ... : ...).
    •  El triángulo medial y el centro de perspectividad es X7710:
    ((a^4+2a^2(b^2+c^2)-3b^4-2b^2c^2-3c^4) (3a^4+b^4-2b^2c^2+c^4) : ... : ...).
    •  El triángulo antimedial y el centro de perspectividad es:

    (3a^8+12a^6(b^2+c^2)-2a^4(13b^4+16b^2c^2+13c^4)+4a^2(5b^6+b^4c^2+b^2c^4+5c^6) - (b^2-c^2)^2(9b^4+2b^2c^2+9c^4) : ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (0.54080603485835454, -6.8259465626679512, 8.1167170092044894).


    •  El triángulo tangencial y el centro de perspectividad es:

    (3a^8 - 3a^6(b^2+c^2) + a^4(5b^4+2b^2c^2+5c^4) - 5a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - 4b^2c^2(b^2-c^2)^2: ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (-17.666044325016434, -22.653598907634627, 27.477484183354398).


    •  El triángulo órtico y el centro de perspectividad es:

    ((3a^4 + (b^2-c^2)^2)(a^4 - 4a^2(b^2+c^2)+3b^4-2b^2c^2+3c^4 ): ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (-2.3130635454920857, -2.0081191696445738, 6.0984686203500467).


    •  El triángulo de reflexión y el centro de perspectividad es:

    (3a^8- 12a^6(b^2+c^2) + 2a^4(7b^4+b^2c^2+7c^4) - 8a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^2(3b^4-4b^2c^2+3c^4) : ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (-5.9040620654651642, -4.7407532933726518, 9.6476761767647522).


    •  El primer triángulo de Brocard y el centro de perspectividad es:

    ( a^8(16b^4+31b^2c^2+16c^4)- 4a^6(5b^6+4b^4c^2+4b^2c^4+5c^6) + a^4(8b^8-26b^6c^2-36b^4c^4-26b^2c^6+8c^8) - 4a^2(b^2-c^2)^2(b^6-2b^4c^2-2b^2c^4+c^6) -b^2c^2(b^2-c^2)^2(5b^4-2b^2c^2+5c^4): ... : ...),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (17.319173814766243, 18.906284810428768, -17.441766762896880).

      Una propiedad más del triángulo A'B'C':

      El triángulo pedal en A'B'C' del baricentro de ABC es persepctivo con el triángulo órtico, con centro de perspectividad X427 ( del ).



      Los puntos Pa, Pb y Pc están alineados si y solo si P está sobre la o sobre la .
      Cuando P recorre la recta de Euler, la recta PaPbPc envuelve la de A'B'C'.
      Cuando P está en la elipse circunscrita de Steiner, la recta PaPbPc pasa por el ortocentro.


      El foco de la parábola de Kiepert de A'B'C' es X111 (X110 de A'B'C'), la directriz (recta de Euler de A'B'C') es la recta que pasa por el baricentro y simediano y el es X98 ( de A'B'C').
      Los puntos de intersección de las circunferencia circunscritas a los triángulos ABC y A'B'C' son los puntos X98 (punto de Tarry, antipodal de punto de Steiner en la circunferencia circunscrita) y X111 (punto de Parry, uno de los dos puntos de intersección de la y la circunferencia circunscrita, el otro es el foco X110 de la parábola de Kiepert).
      La parábola de Kiepert de A'B'C',

    (a^4(b^4+14b^2c^2+c^4) - 2a^2(b^6+7b^4c^2+7b^2c^4+c^6) + b^8+14b^4c^4+c^8)x^2+
    2(a^8-a^6(b^2+c^2) + a^4(-5b^4+11b^2c^2-5c^4)+ 5a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - b^2c^2(b^2-c^2)^2)y z+... =0,

    pasa por los centros del triángulo:
     • X1499. Punto de Biham. Punto del infinito de la asíntota a la cúbica lugar geométrico del circuncentro de los triángulos inscritos en ABC y con el mismo baricentro que éste.
     • X1640. de X98. Ortocentro del triángulo de vértices en el baricentro, ortocentro y simediano.
     • X3288. Punto cuyas coordenadas trilineales (a(b^2-c^2)(a^4-a^2(b^2+c^2)-2b^2c^2):...:...), son los coeficientes de la ecuación trilineal de la recta que pasa por el baricentro y es paralela al eje de Brocard (recta por el circuncentro y simediano).
     • X5915. Centro QA-P23 del cuadrivértice X13X14X15X16, e .

  • Sábado, 2 de enero del 2016

    "A little problem at the begining of 2016"



    (Advanced Plane Geometry Nikolaos Dergiades)
      Let B,C be two given points and L be a line on which a point P is moving. If S is the intersection of the line PB with the perpendicular at C to PC, then
      1. Prove that the locus of S is a conic.
      2. What is the geometric condition so that the above locus is a parabola?

    Revista Iberoamericana de Matemática Problema 272, Francisco Javier García Capitán)

    Sean dos puntos A y B y una recta r. Para cada punto M de r sea P la intersección de la recta AM y la recta perpendicular a BM por B.
    1) Demostrar que el lugar geométrico de P al variar M sobre r es, en general, una cónica.
    2) Dados los puntos A y B, hallar las rectas r para las que la cónica es una parábola.


      Dados un triángulo ABC, una recta δ que pasa por A y un punto P sobre δ, la recta pb=PB y la perpendicular pc a PC por C se cortan en un punto Q,

      El lugar geométrico del punto Q. cuando P se mueve sobre δ es una cónica C(δ).
      Existen dos rectas δ1 y δ2 (si el ángulo en A es agudo) pasando por A, para las cuales las cónicas C(δ1) y C(δ2) son parábolas.

      La correspondencia entre la recta pb=BP y pc es una proyectividad entre los haces de rectas con puntos base B y C. Por tanto, el punto Q=pb∩pc describe (Charles-Steiner) una cónica C(δ), que pasa por B y C. La tangente tc en C (imagen de la recta BC mediante la proyectividad) es la perpendicular a BC por C; La recta que une B con el punto de intersección de esta perpendicular con δ, es la tangente tb a C(δ) en B (recta cuya imagen, mediante la proyectividad, es CB).
      Existe una párabola P(δ) entre las cónicas del haz bitangente en B y C a las rectas tb y tc. Deberemos encontrar las rectas δ para las cuales C(δ) sea la parábola P(δ).

      Usando coordenadas baricéntricas, respecto al triángulo ABC, tomamos un punto D(0:t:1-t) sobre el lado BC y consideramos la recta δ=AD. La ecuación del haz de cónicas bitangentes en B y C a las rectas tb y tc es:

    ((a^2+b^2-c^2)x + 2a^2y) ((a^2+b^2-c^2)(t-1)x-2a^2tz) - 2λx^2 = 0.

      La ecuación de la cónica C(δ) de este haz que pasa por el punto Qa que corresponde a P=A es:

    C(δ):   2b^2(t-1)x^2 - 2a^2tyz - (a^2+b^2-c^2)tzx + (a^2+b^2-c^2)(t-1)xy = 0.

      Estas cónicas son parábolas para:

    t = ((b^2-c^2)^2+a^2(2a^2-b^2-3 c^2) ± 2√‍2 aS√‍-a^2+b^2+c^2)/ (2((b^2-c^2)^2+2a^2(a^2-b^2-c^2))).

    Estos valores son reales sólo cuando el ángulo en A es agudo.

      Los puntos, sobre BC, tales que a las rectas δ1=AD1 y δ1=AD2, les corresponden sendas parábolas P(δ1) y P(δ2), son:

    D1 = (0 : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+3c^2) - 4aS√‍SA : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(3b^2+c^2)+ 4aS√‍SA),
    D2 = (0 : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+3c^2) + 4aS√‍SA : 2a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(3b^2+c^2) - 4aS√‍SA)

    NOTA: Si en el enunciado intercambiamos los puntos B y C, se obtiene el mismo par de puntos D1 y D2 (intercambiados).

      Si procedemos cíclicamente sobre los vértices de ABC, se obtienen pares de puntos E1, E2 y F1, F2, sobre los lados CA y AC, corespondientes a rectas que pasan por B y C, que dan lugar a parábolas.

      Si el triángulo ABC es acutángulo, los puntos D1, D2, E1, E2, F1 y F2, están definidos y quedan en una misma cónica, de ecuación:
        (a^2-b^2-c^2)^2x^2 - 2((b^2-c^2)^2+a^2(3a^2-4b^2-4c^2))yz + ... = 0.

      Su centro es el centro del triángulo:

    ( a^6(b^2+c^2) - a^4(3b^4-2b^2c^2+3c^4) + 3a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^4 : ... : ... ),

    que tiene coordenadas trilineales exactas en el triángulo de ETC: (1.168138920150068, 2.209129060254948, 1.572126400123230).

    NOTAS:

    •  Fco. Javier García Capitán, hace notar (en comunicación personal) que:
    Los puntos D1, D2 son los de intersección con BC de las tangentes trazadas desde A a la circunferencia de diámetro BC

    •  Solución concisa:
    (Advanced Plane Geometry Jean-Pierre Ehrmann)
    P->S is an involutive quadratic transformation swapping the line at infinity and the circle with diameter [BC].
    So, the image of a line is a parabola when the line touches the circle with diameter [BC].


      Si P(u:v:w), en coordenadas baricéntricas respecto a un triángulo ABC (siendo B y C los puntos del enunciado de problema), entonces:

    S=(u (SB v + SC (u + v)) : -u (SA u + SC (u + v)) : (SB v + SC (u + v)) w))

      Eliminando u,v,w entre las ecuaciones

    (x, y, z) = (u (SB v + SC (u + v)), -u (SA u + SC (u + v)), (SB v + SC (u + v)) w),
    u + v + w = 0

    resulta al ecuación de la circunferencia de diámetro BC:

    SA x^2 - SB x y - SC x z - SB y z - SC y z=0.

      En general, a la recta x+qy+rz=0 le corresponde la cónica:

    (q SA - p SC + q SC) x^2 + (-p SB - p SC + q SC) x y - r SC x z + (-r SB - r SC) y z=0.



  • viernes, 1 de enero del 2016

    Una isocúbica no pivotal nK(X32,X2,?)



      Sea DEF el triángulo pedal de un punto P con respecto a un triángulo ABC. Se consideran las circunferencias D(a), E(b) y F(c) con centros en D, E y F y radios a=BC, b=CA y c=AB, respectivamente. Se denota por S el doble del área de ABC y por ω el ángulo de Brocard.

     Las polares de P respecto a D(a), E(b), F(c), resp, son concurrentes en un punto Q si y solo si P está sobre la isocúbica no pivotal Φ de polo X32, raíz el baricentro y parámetro k=S²(-5+2csc²ω).

      Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P en el triángulo de referencia ABC, la polar de P respecto a la circunferencia D(a) es:

    pa: (((b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))u + a^4(5u+4(v+w)))x + 4a^4(u+v+ w)y + 4a^4(u+v+w)z=0.

      Por permutación cíclica se deducen las ecuaciones de las polares pb y pc de P, respecto a las circunferencia E(b) y F(e), respectivamente.
      Las rectas pa, pb y pc forman un triángulo homotético a ABC, mediante la homotecia de centro en el punto de coordenadas (a^4/u:b^2/v:c^2/w) y razón:

    -(4u(c^4v^2+b^4w^2)+4v(a^4v^2+c^4u^2)+4w(b^4w^2+a^4v^2)+5(a^4+b^4+c^4)-2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2))/(4S^2uvw)

      Por lo que las polares pa, pb y pc son concurrentes si P queda en la isocúbica no pivotal nK(X32,X2,?) de parámetro k=S²(-5+2csc²ω), de la que no se conocen centros del triángulo sobre ella, de ecuación:

    x(c^4y^2+b^4z^2)+ y(a^4z^2+c^4x^2)+z(b^4z^2+a^4y^2)+S²(-5+2csc²ω)xyz=0.


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