Hechos Geométricos en el Triángulo (2013)

Construcción del triángulo: h_a m_a A=B

Construir un triángulo sabiendo que es isósceles y conociendo la altura y la mediana desde uno de los vértices de ángulos iguales.

Cónica pasando por las reflexiones de un punto respecto a los lados de un cuadrivértice

Sean ABC un triángulo, Q un punto, y el cuadrivértice ℘ = P₁P₂P₃P₄=GP_aP_bP_c, formado por el baricentro y los vértices de triángulo antimedial.
Consideremos las reflexiones de Q respecto de los lados del cuadrivértice ℘:

El lugar geométrico de los puntos Q tales que sus reflexiones Q_ij, en los lados de ℘, estén en una misma cónica es una séptica que tiene a los vértices de ℘ como puntos singulares aislados, contiene a los vértices del triángulos diagonal y a los vértices⁽¹⁾ del triángulo de Miquel (QA-Tr2 ) de ℘, pasa por X₃₁₆, Droussent pivot (QA-P4 "Isogonal Center") y tiene como punto del infinito al conjugado isogonal del foco X₁₁₀ de la parábola de Kiepert: X₅₂₃ ("Involutory Conjugate" de QA-P2=X₉₉).

Una descripción geométrica del centro X₆₉₁

Sean ABC un triángulo y P un punto. Consideremos los dos triángulos equiláteros AA_bA_c y AA'_bA'_c tales que A_b y A'_b están en la ceviana BP, A_c y A'_c están en la ceviana CP (ver HG03113). Denotamos por A' el punto de intersección de A_bA_c y A'_bA'_c. Se definen cíclicamente los puntos B' y C'.
Las rectas AA', BB', CC' son paralelas.

Si P varía sobre la circunferencia circunscrita, el lugar geométrico del punto A' es una circunferencia Γ_a que pasa por A y su centro O_a tiene coordenadas baricéntricas:

Puntos conjugados isogonales y centros ortológicos

Sean ABC un triángulo, P un punto, P* su conjugado isogonal, A'B'C' y A"B"C" los triángulos pedales de P y P*, respectivamente.
Denotamos por:
A_b la intersección de la paralela a AP* por A' con AB.
A_c la intersección de la paralela a AP* por A' con AC.
A₂ la intersección de la paralela a AP por A" con AB.
A₃ la intersección de la paralela a AP por A" con AC.
Los puntos A_b, A_c, A₂ y A₃ están en una circunferencia, por construcción. Sea O_a su centro. Similarmente se definen O_b y O_c.

El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos ABC y O_aO_bO_b son ortológicos es una curva algebraica de grado seis, invariante por isoconjugación, que pasa por el circuncentro, ortocentro, por los puntos X₁₁₁₃ y X₁₁₁₄ (en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita) y por los conjugados de éstos, X₂₅₇₄, X₂₅₇₅, en la recta del infinito, de ecuación baricéntrica:

( a^10 - 2 a^8 (b^2 + c^2) + a^6 (b^4 + c^4) - a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^8 - b^6 c^2 - b^2 c^6 + c^8) - (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) : ... : ... ),

( a^2/(2 a^10 - 5 a^8 (b^2 + c^2) + 2 a^6 (2 b^4 + b^2 c^2 + 2 c^4)- 2 a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^8 - b^6 c^2 - b^2 c^6 + c^8)- (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) ) : ... : ... ),

Caracterización de la cuártica de Stammler

Sean ABC un triángulo y Q un punto. El lugar geométrico de los puntos P tales que la tripolar de P y la recta QP* (P* conjugado isogonal de P) son perpendiculares es una cuártica C(Q) con puntos nodales en los vértices de ABC, que pasa por el baricentro y por los puntos de intersección, X₁₁₁₃ y X₁₁₁₄, de la recta de Euler con la circunferencia circunscrita.

Q el incentro. El lugar geométrico es la cuártica C(X₁) que pasa por los centros X₁, X₂, X₂₉, X₂₈₀, X₁₁₁₃, X₁₁₁₄ y X₁₂₂₂, de ecuación:

Q el baricentro. El lugar geométrico es la cuártica C(X₂) que pasa por los centros X₂, X₄, X₆, X₂₅₃, X₅₂₃, X₁₁₁₃, X₁₁₁₄, X₁₂₂₂, X₂₃₄₆, de ecuación:

Q el circuncentro. El lugar geométrico es la cuártica de Stammler (Q066), que pasa por los centros X₁, X₂, X₄, X₂₅₄, X₁₁₁₃, X₁₁₁₄, X₁₁₃₈, X₂₁₈₄, X₃₂₂₃, X₃₃₄₆ y X₃₄₅₉, de ecuación:

Q el ortocentro. El lugar geométrico es la recta de Euler (junto con los lados de ABC).

"La quíntica de Euler-Morley (Q003, Bernard Gibert) es el lugar geométrico de los puntos Q tales la cuártica C(Q) pasa por Q".

Más sobre la cúartica de Stammler:
Triángulos semejantes y homólogos
Cuártica de Stammler como lugar geométrico
Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
Cuárticas tipo Stammler
Otra caracterización de la cuártica de Stammler

Ejes radicales de circunferencias centradas en los vértices y una centrada en el centro radical de las anteriores

a Lolilla, por su "cumple"

Sean ABC un triángulo, A(R_a), B(R_b), C(R_c) circunferencias centradas en los vértices A, B, C, de radios R_a, R_a, R_a, respectivamente. Si P es el centro radical de estas circunferencias, consideremos la circunferencia P(R_p) centrada en P y de radio R_p y los ejes radicales e_a, e_b, e_c de P(R_p) con las circunferencias A(R_a), B(R_b), C(R_c), respectivamente. Entonces:

El triángulo A₁B₁C₁, delimitado por e_a, e_b y e_c es perspectivo con ABC

P = ( a⁴ - a²(b²+c²-2R_a²+R_b²+R_c²) - (b²-c²)(R_b²-R_c²): ... : ... ).

y el centro de perspectividad D de A₁B₁C₁ y ABC es:

D = ( 1/(-a^2 b^4 c^2 + b^6 c^2 - a^2 b^2 c^4 - 2 b^4 c^4 + b^2 c^6 + a^6 R_a^2 - 3 a^4 b^2 R_a^2 + 3 a^2 b^4 R_a^2 - b^6 R_a^2 - 3 a^4 c^2 R_a^2 - 2 a^2 b^2 c^2 R_a^2 + b^4 c^2 R_a^2 + 3 a^2 c^4 R_a^2 + b^2 c^4 R_a^2 - c^6 R_a^2 - a^2 b^2 R_a^4 + b^4 R_a^4 - a^2 c^2 R_a^4 - 2 b^2 c^2 R_a^4 + c^4 R_a^4 + 2 a^2 b^2 c^2 R_b^2 + 2 b^4 c^2 R_b^2 - 2 b^2 c^4 R_b^2 + 2 a^2 b^2 R_a^2 R_b^2 - 2 b^4 R_a^2 R_b^2 + 2 b^2 c^2 R_a^2 R_b^2 - a^2 b^2 R_b^4 + b^4 R_b^4 + b^2 c^2 R_b^4 + 2 a^2 b^2 c^2 R_c^2 - 2 b^4 c^2 R_c^2 + 2 b^2 c^4 R_c^2 + 2 a^2 c^2 R_a^2 R_c^2 + 2 b^2 c^2 R_a^2 R_c^2 - 2 c^4 R_a^2 R_c^2 - 4 b^2 c^2 R_b^2 R_c^2 - a^2 c^2 R_c^4 + b^2 c^2 R_c^4 + c^4 R_c^4 - a^6 R_p^2 + 3 a^4 b^2 R_p^2 - 3 a^2 b^4 R_p^2 + b^6 R_p^2 + 3 a^4 c^2 R_p^2 - 2 a^2 b^2 c^2 R_p^2 - b^4 c^2 R_p^2 - 3 a^2 c^4 R_p^2 - b^2 c^4 R_p^2 + c^6 R_p^2) : ... : ... ).

(b^2 - c^2 + Rb^2 - Rc^2) (a^4 - a^2 b^2 - a^2 c^2 + 2 a^2 Ra^2 - a^2 Rb^2 - b^2 Rb^2 + c^2 Rb^2 - a^2 Rc^2 + b^2 Rc^2 - c^2 Rc^2) y z + ... = 0.

Hipérbola de Feuerbach   R_a² = bc(b+c-a)/(a+b+c), R_b² = ca(a -b+c)/(a+b+c), R_c² = ab(a+b-c)/(a+b+c).

Hipérbola de Jerabek   R_a=R_b=R_c = R (radio de la circunferencia circunscrita).

Hipérbola de Kiepert   R_a² = 1/9 (-a^2+2b^2+2c^2), R_b² = 1/9 (2a^2-b^2+2c^2), R_c² = 1/9 (2a^2+2b^2-c^2).

u((a^2-b^2+c^2)v - (a^2+b^2-c^2)w)yz + v((a^2+b^2-c^2)w - (-a^2+b^2+c^2)w)zx + w((-a^2+b^2+c^2)u - (a^2-b^2+c^2)v)xy = 0.

Circunferencias de radios las longitudes de los lados opuestos. Le corresponde la hipérbola que pasa por los centros X₄, P=X₂₀, X₂₅₃, X₁₂₄₉, X₁₂₉₄, X₃₃₄₆ y X₃₆₆₈, Su ecuación es:
(b^2-c^2) (3 a^4 - 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4)yz+ ... = 0.

Circunferencias tangentes a los lados opuestos del vértice en el que está centrada. La correspondiente hipérbola rectangular contiene a los centros X₄, X₃₈₉, X₅₇₇ y tiene por ecuación:
a^4 (b^2 - c^2)(a^2 - b^2 - c^2)^2 (a^6 b^2 - 3 a^4 b^4 + 3 a^2 b^6 - b^8 + a^6 c^2 - 3 a^2 b^4 c^2 + 2 b^6 c^2 - 3 a^4 c^4 - 3 a^2 b^2 c^4 - 2 b^4 c^4 + 3 a^2 c^6 + 2 b^2 c^6 - c^8)yz+ ... = 0.

Circunferencias de radios los ex-inradios El centro de perspectividad D está en la hipérbola que contiene a los centros X₄, X₂₈₂, X₁₀₃₄, X₁₄₉₀, X₃₁₇₆, X₃₃₄₁, X₃₃₄₇. Tiene en común con la cúbica de Thomson los seis puntos A, B, C, X₄, X₂₈₂ y X₃₃₄₁. Su ecuación es:
a (a - b - c) (b - c) (a^6 - 2 a^5 b - a^4 b^2 + 4 a^3 b^3 - a^2 b^4 - 2 a b^5 + b^6 - 2 a^5 c - 2 a^4 b c + 2 a b^4 c + 2 b^5 c - a^4 c^2 + 2 a^2 b^2 c^2 - b^4 c^2 + 4 a^3 c^3 - 4 b^3 c^3 - a^2 c^4 + 2 a b c^4 - b^2 c^4 - 2 a c^5 + 2 b c^5 + c^6)yz+ ... = 0.

Una caracterización de la cúbica de Thomson

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo circunceviano de P. Las rectas BC, CA, AB intersecan a las rectas B'C', C'A', A'B' en 9 puntos, de los cuales 6 no están en la tripolar p del producto ceviano⁽¹⁾ de P y K (simediano); estos seis puntos quedan en una cónica C(P) cuya ecuación baricéntrica, si (u:v:w) son las coordenadas de P, es:

Q = ( u(a^2v(a^2w-c^2(2v+w)) - b^2(2c^2u(v+w)+a^2w(v+2w))) : ... : ... ).

El lugar geométrico de los puntos P tales que P, Q, K son distintos y están alineados es la cúbica de Thomson.

{X₁, X₁₀₀₁}, {X₃, X₃}, {X₄, X₆}, {X₆, X₅₀₂₄}, {X₅₁₃, X₉₉₉}, {X₅₂₃, X₃₈₁}, {X₂₅₇₄, X₃}, {X₂₅₇₅, X₃}.

( a^4-3a^2(b^2+c^2)-4b^2c^2 : b^4-3b^2(c^2+a^2)-4c^2a^2 : c^4-3c^2(a^2+b^2)-4a^2b^2 ),

Incentro, exincentros y circunferencias concurrentes

Sean ABC un triángulo, I el incentro y I_a, I_b, I_c los exincentros. Denotemos por N₁, N₂, N₃, los centros de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos IBC, ICA, IAB y por N_a, N_b, N_c, los centros de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos I_aBC, I_bCA, I_cAB.

Las circunferencias circunscritas a los triángulos N₁BC, N₂CA, N₃AB, concurren en X₅₀₂.

Las circunferencias circunscritas a los triángulos N_aBC, N_bCA, N_cAB, concurren en X₅₆₂₀, de coordenadas baricéntricas:

( (b+c)(a^6 - a^4(b^2+c^2) - a^2(b^4-3b^2c^2+c^4)- 2abc(b-c)^2(b+c) + (b-c)^4(b+c)^2) : ... : ... ).

•  Información complementaria:
Las rectas I_aN_a, I_bN_b y I_cN_c concurren en X₁₉₁.
Las rectas I_aN₁, I_bN₂ y I_cN₃ concurren en X₅₅₀₆.

•  Randy Hutson da una construcción alternativa del punto X₅₆₂₀ en Anopolis #1132:

Sea DEF el triángulo incentral (triángulo ceviano del incentro), Se considera el triángulo BCA' semejante a DEF, construido hacia el interior de ABC. El punto A' es el segundo puntos de intersección de la recta I_aN_a con la circunferencia circunscrita al triángulo N_aBC.
Se definen B' y C' cíclicamente. Entonces la rectas AA', BB', CC' concurren en X₅₆₂₀.

Las coordenadas baricéntricas de A' son:
A' = (2a^2(a+b)(a+c) : -(a+c)(a^3+a^2(b-c)+(b-c)^2(b+c)+a(b^2-b c-c^2)) : -(a+b)(a^3+a^2(c-b)+(b-c)^2(b+c)-a(b^2+b c-c^2)) ).

•  Caso en que los triángulos semejantes al triángulo incentral son construidos externamente:
Sea DEF el triángulo incentral (triángulo ceviano del incentro), Se considera el triángulo BCA" semejante a DEF, construido hacia el exterior de ABC.
Se definen B" y C" cíclicamente. Entonces la rectas AA", BB", CC" concurren en X₅₀₂. (Randy Hutson, 9/23/2011)

Z = ( a(a^6+2a^5(b+c) + a^4(b^2+4b c+c^2) - a^2(b^4+2b^3c+b^2c^2+2b c^3+c^4) - 2a(b^5+b^4c-b^3c^2-b^2c^3+b c^4+c^5) - (b-c)^2(b+c)^4) : ... : ... )

"Central line" y cuártica asociada

Sean ABC un triángulo, δ una recta, D su tripolo, M un punto en δ, C(M) la cónica biceviana de D y M (que pasa por los vértices de los triángulos cevianos D_aD_bD_c y M_aM_bM_c de D y M) y, finalmente, M_δ el centro de C(M).
El lugar geométrico de M_δ, cuando M varía, es una cuártica que pasa por los puntos de intersección de δ con los lados de ABC.

Si px+qy+rz=0 es la ecuación baricéntrica de la recta δ, su cuarto punto de intersección con la cuártica tiene de coordenadas:

Q(δ) = ( (q - r) (2 q r + p (q + r)) : (r - p) (2 r p + q (r + p)) : (p - q) (2 p q + r (p + q)) )

p(p-q)(r-p)x^2 + q(q-r)(p-q)y^2 + r(r-p)(q-r)z^2 + p(q-r)^2yz + q(r-p)^2zx + r(p-q)^2xy = 0.

Punto en la circunferencia circunscrita

Sean un triángulo ABC, I el incentro; N_a, N_b , N_c los centros de las circunferencias de los nueve puntos de IBC, ICA, IAB. Las circunferencias {AN_bN_c}, {BN_cN_a}, {CN_aN_b} concurren en un punto de la circunferencia circunscrita.

El centro de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo IBC tiene por coordenadas baricéntricas:

N_a = (-a (b + c) : a^2 + a b - (b + c)^2 : a^2 + a c - (b + c)^2).

c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z + (x + y + z) (-(((a^4 c - a^3 b c - a^2 b^2 c + a b^3 c + 2 a^3 c^2 - b^3 c^2 + b^2 c^3 - 2 a c^4 + b c^4 - c^5) y)/( 2 (a^3 + a^2 b - a b^2 - b^3 + a^2 c - a b c + b^2 c - a c^2 + b c^2 - c^3))) - ((-a^4 b - 2 a^3 b^2 + 2 a b^4 + b^5 + a^3 b c - b^4 c + a^2 b c^2 - b^3 c^2 - a b c^3 + b^2 c^3) z)/( 2 (-a^3 - a^2 b + a b^2 + b^3 - a^2 c + a b c - b^2 c + a c^2 - b c^2 + c^3)))=0.

(a/((b - c) (a^3 - a^2 (b + c) - a (b^2 + b c + c^2) + (b + c)^3)) : ... : ... ),

Parábolas con focos los vértices del triángulo circunceviano del simediano y directrices las medianas

Sean ABC un triángulo. Se construyen triángulos semejantes variables ABB_a, rectángulo en B, y ACC_a, rectángulo en C, tales que θ = ∠BAB_a = - ∠CAC_a (ángulos orientados). La envolvente de las rectas B_aC_a es una parábola ℘_a.

4 b²c²x² + S_B²y² + S_C²z² + 2 S_B S_C yz + 4 b²S_B zx + 4 c² S_Cxy = 0,

T_a = (0 : a^2 + b^2 - c^2 : -a^2 + b^2 - c^2).

Las parábolas ℘_a, ℘_b y ℘_c son tangentes a los lados de ABC en puntos alineados, sobre la tripolar del ortocentro X₄.

Gracias a Viktor Kitaysky, por una corrección

Bisectrices de un triángulo y los centros X(171) y X(238)

Sean ABC un triángulo y W_a el pie de la bisectriz exterior en A. Denotamos por Ω_a la única cónica circunscrita que tiene las mismas tangentes desde W_a que la circunferencia circunscrita, su ecuación baricéntrica es:

b c x (y + z) + a^2 y z = 0.

Para la construcción de la cónica Ω_a ver: Cónica: dado tres puntos y dos tangentes (PPPtt) o bien (PPPt_P), (PPPt_P(1)).

Los triángulos ABC y Q_aQ_bQ_c son perspectivos con centro de perspectividad el punto X₂₃₈.

(a (a^2 - b c) : b (b^2 - c a) : c (c^2 - a b))

(a/(b^2+b c+c^2) : b/(c^2+c a+a^2) : c/(a^2+a b+b^2))

b c x (y + z) - a^2 y z = = 0.

Los triángulos ABC y P_aP_bP_c son perspectivos con centro de perspectividad el punto X₁₇₁.

(a (a^2 + b c) : b (b^2 + c a) : c (c^2 + a b))

(a/(b^2-b c+c^2) : b/(c^2-c a+a^2) : c/(a^2-a b+b^2))

Curva de Durán Loriga

en recuerdo de Ricardo Mariño Caruncho, mi profesor.
1912-2003, La Coruña
Escritor, periodista, Licenciado en ciencias exactas, estudioso y admirador de la obra de Juan Jacobo Durán Loríga.
Era hijo de Pedro Mariño Ortega el gran Arquitecto Municipal entre cuyas obras destaca el Ayuntamiento de La Coruña.
Otras facetas de su vida además de las matemáticas son sus conocimientos lingüísticos:inglés,francés en este idioma escribe un libro "Geometrie Euclidianne Abstraite" publicación muy valorada en el campo matemático europeo.
Obras suyas son además: Elementos de la geometría vectorial, Notas sobre Juan Jacobo Durán-Loríga y Estudio genealógico sobre Juan Jacobo Durán Loríga.

Sea ABC un triángulo, para todo punto P situado en una recta d que pasa por el baricentro, el lugar geométrico de los puntos del plano del triángulo igualmente iluminados por tres focos de igual intensidad, colocados en sus vértices, que por otro de intensidad suma, situado en P, tiene una asíntota perpendicular a la recta d.

3/QP² = 1/QA² + 1/QB² + 1/QC².

( 3a^2(v-w) + (b^2-c^2)(2u-v-w) : 3b^2(w-u) + (c^2-a^2)(2v-w-u) : 3c^2(u-v) + (a^2-b^2)(2w-u-v) ).

a^2 b^2 c^2 x^4 - 2 b^4 c^2 x^4 - 2 b^2 c^4 x^4 + a^4 c^2 x^3 y - 4 a^2 b^2 c^2 x^3 y + b^4 c^2 x^3 y - 3 a^2 c^4 x^3 y + 9 b^2 c^4 x^3 y + 2 c^6 x^3 y - 2 a^4 c^2 x^2 y^2 + 2 a^2 b^2 c^2 x^2 y^2 - 2 b^4 c^2 x^2 y^2 + 11 a^2 c^4 x^2 y^2 + 11 b^2 c^4 x^2 y^2 - 11 c^6 x^2 y^2 + a^4 c^2 x y^3 - 4 a^2 b^2 c^2 x y^3 + b^4 c^2 x y^3 + 9 a^2 c^4 x y^3 - 3 b^2 c^4 x y^3 + 2 c^6 x y^3 - 2 a^4 c^2 y^4 + a^2 b^2 c^2 y^4 - 2 a^2 c^4 y^4 + a^4 b^2 x^3 z - 3 a^2 b^4 x^3 z + 2 b^6 x^3 z - 4 a^2 b^2 c^2 x^3 z + 9 b^4 c^2 x^3 z + b^2 c^4 x^3 z + a^6 x^2 y z - 6 a^4 b^2 x^2 y z + 8 a^2 b^4 x^2 y z - 3 b^6 x^2 y z - 6 a^4 c^2 x^2 y z + 8 a^2 b^2 c^2 x^2 y z + b^4 c^2 x^2 y z + 8 a^2 c^4 x^2 y z + b^2 c^4 x^2 y z - 3 c^6 x^2 y z - 3 a^6 x y^2 z + 8 a^4 b^2 x y^2 z - 6 a^2 b^4 x y^2 z + b^6 x y^2 z + a^4 c^2 x y^2 z + 8 a^2 b^2 c^2 x y^2 z - 6 b^4 c^2 x y^2 z + a^2 c^4 x y^2 z + 8 b^2 c^4 x y^2 z - 3 c^6 x y^2 z + 2 a^6 y^3 z - 3 a^4 b^2 y^3 z + a^2 b^4 y^3 z + 9 a^4 c^2 y^3 z - 4 a^2 b^2 c^2 y^3 z + a^2 c^4 y^3 z - 2 a^4 b^2 x^2 z^2 + 11 a^2 b^4 x^2 z^2 - 11 b^6 x^2 z^2 + 2 a^2 b^2 c^2 x^2 z^2 + 11 b^4 c^2 x^2 z^2 - 2 b^2 c^4 x^2 z^2 - 3 a^6 x y z^2 + a^4 b^2 x y z^2 + a^2 b^4 x y z^2 - 3 b^6 x y z^2 + 8 a^4 c^2 x y z^2 + 8 a^2 b^2 c^2 x y z^2 + 8 b^4 c^2 x y z^2 - 6 a^2 c^4 x y z^2 - 6 b^2 c^4 x y z^2 + c^6 x y z^2 - 11 a^6 y^2 z^2 + 11 a^4 b^2 y^2 z^2 - 2 a^2 b^4 y^2 z^2 + 11 a^4 c^2 y^2 z^2 + 2 a^2 b^2 c^2 y^2 z^2 - 2 a^2 c^4 y^2 z^2 + a^4 b^2 x z^3 + 9 a^2 b^4 x z^3 + 2 b^6 x z^3 - 4 a^2 b^2 c^2 x z^3 - 3 b^4 c^2 x z^3 + b^2 c^4 x z^3 + 2 a^6 y z^3 + 9 a^4 b^2 y z^3 + a^2 b^4 y z^3 - 3 a^4 c^2 y z^3 - 4 a^2 b^2 c^2 y z^3 + a^2 c^4 y z^3 - 2 a^4 b^2 z^4 - 2 a^2 b^4 z^4 + a^2 b^2 c^2 z^4=0.

SumaCiclica[x^4 - 2 x^3 (y + z) - 3 x^2 y z - 3 y^2 z^2]=0

S⁴ - 6ωS² + 9Sαβγ + 3 ω²=0,
S = α+β+γ      ω = αβ+βγ+γα.

Juan Jacobo Durán Loriga
(Fuente: http://www.culturagalega.org/albumdaciencia/detalle.php?id=246)

Circunferencias con diámetros sobre los lados de un triángulo y la cúbica de Lucas

Sean ABC un triángulo, P un punto no situado en sus lados y DEF el triángulo ceviano de P. Las circunferencias de diámetros AE y AF se vuelven a cortar en A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente. Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P está en cúbica de Lucas (K007). El centro de perspectividad queda en la cúbica de Darboux.

( u(S_Au(v-w)² + S_C(u+v)w² + S_Bv²(u+w)) : vw(S_C(u+v)w + S_Au(-v+w)) : vw(S_Au(v-w) + S_Bv(u+w)) ).

Triángulos equiláteros con vértices en tres cevianas

Sean ABC un triángulo y P un punto.
Consideremos los tres triángulos equiláteros AA_bA_c, BB_cB_a y CC_aC_b, tales que B_a y C_a están en la ceviana AP, C_b y A_b están en la ceviana BP, y A_c y B_c están en la ceviana CP.
El punto A_b es la intersección de la recta BP con la recta p_ac que resulta de girar PC alrededor de A un ángulo de 60° en el sentido antihorario. El punto A_c es la intersección de la recta CP con la recta p_ab que resulta de girar BP alrededor de A un ángulo de 60° en el sentido horario. Procediendo cíclicamente, se construyen los puntos B_c, B_a, C_a y C_b.

Los centros O_a, O_b y O_c de estos tres triángulos equiláteros están alineados con P

(a^2vw(v-w)-b^2w(v^2+uw+vw)+c^2v(w^2+uv+vw))x + (b^2wu(w-u)-c^2u(w^2+vu+wu)+a^2w(u^2+vw+wu))y + (c^2uv(u-v)-a^2v(u^2+wv+uv)+b^2u(v^2+wu+uv))z = 0

Ω = (1 / ((b²-c²)(3√‍3 b²c²S_A+S(S²+9S_A²))) : ... : ... ).

Invirtiendo los sentidos de los giros para construir el triángulo equilátero con un vértice en A y los otros dos vértices en las cevianas que no parten de A (así como para los que tienen uno de sus vértices en B o en C), obtenemos la descripción del punto X₅₆₁₉ = "2nd montesdeoca equilateral triangles point"

X₅₆₁₉ = (1 / ((b²-c²)(3√‍3 b²c²S_A-S(S²+9S_A²))) : ... : ... ).

In Memoriam (José María Pedret)

Sean ABC un triángulo y Q un punto. Encontrar los puntos P sobre la ceviana AQ tales que si P_b y P_c son los pies de las cevianas BP y CP, respectivamente, se cumpla que AP_b=AP_c.

(b^2 w^2)/(u + w)^2,      (c^2 v^2)/(u + v)^2.

cy(x+z) + bz(x+y) = 0,    cy(x+z) - bz(x+y) = 0.

Así, las solución del problema planteado son los dos puntos A₁ y A₂: segundos puntos de intersección de la ceviana AQ con cada una de las cónicas consideradas:

A₁ = (-(b+c)qr : q(cq+br) : r(cq+br)),    A₂ = ((b-c)qr : q(cq-br) : r(cq-br)).

A₁ = (-a^4+(b^2-c^2)^2 : (a+b-c)(a-b+c)(a^2+b^2-c^2) : (a+b-c)(a-b+c)(a^2-b^2+c^2))
A₂ = (a^4-(b^2-c^2)^2 : (b+c-a)(a+b+c)(a^2+b^2-c^2) : (b+c-a)(a+b+c)(a^2-b^2+c^2))

(Ver otra solución en el caso de Q el ortocentro de Ercole Suppa)

Una caracterización geométrica de la cúbica de Lucas

Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF el triángulo ceviano de P.
La transformación afín que lleva los puntos A, B y C en D, E y F, respectivamente, tiene sus rectas fijas (propias) perpendiculares si y solo si P está en la cúbica de Lucas (K007).

Si las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC, son (u:v:w) la matriz asociada a esta transformación afín es:

λ_2,3 = 1/2 ((u+v)(u+w)(v+ w) ± (v+w)^½ ((u+v)(u+ w)(u(v^2-w^2)+v(w^2-u^2)+w(u^2-v^2)))^½)

(b^2+c^2-a^2)u(v^2+w^2) + (c^2+a^2-b^2)v(w^2+u^2) + (a^2+b^2-c^2)w(u^2+v^2)=0.

Comparar esta propiedad de la cúbica de Lucas con la nº 7 en la web de Bernard Gibert:
"Let P be the perspector of an inscribed conic (C) with center Q. The circum-conic (C') passing through P and Q is a rectangular hyperbola if and only if P lies on the Lucas cubic".

La cúbica nodal de Tucker como lugar geométrico

Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF el triángulo ceviano de P.
Consideremos los puntos U, V y W tales que:

AU : UD = BV : VE = CW : WF = m : n

( u^2(v+w) + v^2(w+u) + w^2(u+v) + 2uvw ∓ √[(u+v)(v+w)(w+u)] √[u(v-w)^2+v(w-u)^2+w(u-v)^2], 4uvw )

Más sobre la cúbica nodal de Tucker:
Propiedades de la cúbica nodal de Tucker
"The tripolar centroid and the Tucker nodal cubic"
Otra descripción de las isocúbicas cónico-pivotales cK(#Q,X2)
Transformación afín y triángulos cevianos

Construcción del homólogo de un punto mediante una homografía

Se considera la aplicación definida en términos de coordenadas baricéntricas, respecto a un triángulo ABC, por las ecuaciones:

La isocúbica pivotal pK(X3926,X3926)

a Kake, por su "cumple"

Sean ABC un triángulo, A'B'C' su triángulo antipodal, P un punto y DEF el triángulo pedal de P.
Designamos por D' el conjugado armónico de D respecto a B y C. Definimos los conjugados armónicos E' y F' similarmente.
El punto A₁ es la intersección del lado BC con la perpendicular a AD' por A'. De forma similar se definen B₁ y C₁.

Los triángulos ABC y A₁B₁C₁ son perspectivos si y solo si P queda en al cúbica de Darboux.

"La cúbica de Darboux es el lugar geométrico de los puntos P, en el plano del triángulo ABC, tal que los conjugados armónicos (respecto a los vértices de ABC) de los vértices de su triángulo pedal están alineados."

Baricentros de los triángulos antimediales

Resultado r1896 (Quim Castellsaguer):
Los baricentros Ga, Gb, Gc de los triángulos antimediales de ABC y el baricentro G de ABC son concíclicos en una circunferencia de centro el mismo de la circunferencia de los nueve puntos.
Otros centros sobre esta circunferencia son los de su intersección con el eje de Fermat: X₃₈₁ (punto medio de X₂X₄) y X₅₄₆₅ (proyección ortogonal de X₂ sobre el eje de Fermat).

(6a^2b^2c^2 - λ) (a^8b^2c^2 - a^6b^4c^2 - a^4b^6c^2 + a^2b^8c^2 - a^6b^2c^4 + 3a^4b^4c^4 - a^2b^6c^4 - a^4b^2c^6 - a^2b^4c^6 + a^2b^2c^8 - λ^2)=0.

S= (a^2(a^4 - 3a^2(b^2 + c^2) + 2b^4 - 11b^2c^2 +2c^4): ... : ... )

Los puntos correspondientes a las otras dos raíces del polinomio característico son los puntos del infinito de la hipérbola equilátera de Jerabek. Por lo que las rectas fijas de la semejanza son las paralelas por S a las asíntotas de esta hipérbola.

Una propiedad de la cúbica K172

Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF el triángulo pedal de P, Denotamos por E' el punto sobre BC tal que las circunferencias de los nueve puntos de ABC y A'B'C' son tangentes. Los puntos E' y F' se definen de forma similar, procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC.
Los triángulos ABC y D'E'F son perspectivos si y solo si P está sobre la cúbica de Darboux ( K008). El lugar de los centros de perspectividad están sobre la cúbica K172.

Los puntos X(74), X(262) y X(3426) como centros de perspectividad de triángulos

a Silvia, por su "cumple"

Sean ABC un triángulo, A_b el punto de intersección de la altura por B con la perpendicular a AB por A, y A_c el punto de intersección de la altura por C con la perpendicular a AC por A. Similarmente y cíclicamente se define los puntos B_c, B_a, C_a y C_b , entonces las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b determinan un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en X₂₆₂, de coordenadas baricéntricas:

( 1/(a^4 - a^2(b^2+c^2) - 2b^2c^2) : 1/(b^4 - b^2(c^2+a^2) - 2c^2a^2) : 1/(c^4 - c^2(a^2+b^2) - 2a^2b^2) ).

(a^2/(5a^4 - 4a^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2) : b^2/(5b^4 - 4b^2(c^2+a^2) - (c^2-a^2)^2) : c^2/(5c^4 - 4c^2(a^2+b^2) - (a^2-b^2)^2) ).

Un centro del triángulo asociado a polares de cónicas

Con las notaciones dadas en "A question from Mathesis and Bicentric Pairs" :

En el plano del triángulo ABC el lugar geométrico de los puntos P tales que las perpendiculares trazadas desde los vértices A, B, C respectivamente a las rectas PC, PA, PB son concurrentes en un punto Q es la cónica Φ₁ circunscrita a ABC, que pasa por el punto de Tarry (X₉₈) y por el conjugado isogonal P(40) del primer punto de Beltrami, P(2) (inverso del primer punto de Brocard, Ω₁, respecto a la circunferencia circunscrita).
El lugar de los puntos Q, cuando P varía en la cónica Φ₁ es la cónica Φ₂ circunscrita a ABC, que pasa por el punto de Tarry (X₉₈) y por el conjugado isogonal U(40) del segundo punto de Beltrami, U(2) (inverso del segundo punto de Brocard Ω₂, respecto a la circunferencia circunscrita).

Cuando P=A, el punto Q (que denotamos por A_c) es la intersección de la perpendicular por A a AC con la altura por C.
Cuando Q=A, el punto P (que denotamos por A_b) es la intersección de la perpendicular por A a AB con la altura por B.

El lugar geométrico del punto D=PC ∩ QB, cuando P varía sobre la cónica Φ₁, es una cónica, Γ_a, tangente en B y C a las perpendiculares a AB y AC, respectivamente; además pasa por D_b=AC∩BA_c y por D_c=AB∩CA_b. Su ecuación baricéntrica respecto a ABC es:

S_A² x² + S_BS_C yz + b² S_B zx + c² S_C xy =0.

S_B² y² + a² S_A yz + S_CS_A zx + c² S_C xy=0,    S_C² z² + a² S_A yz + b² S_B zx + S_AS_B xy =0

( 1/(2a²S_A³ - b²c²S_BS_C) : 1/(2b²S_B³ - c²a²S_CS_A) : 1/(2c²S_C³ - a²b²S_AS_B) ).

El punto X(3426) como centro ortológico

Sean A'B'C' el triángulo antipodal de ABC; A"B"C" el triángulo ceviano del retrocentro R (X₆₉ conjugado isotómico del ortocentro); D, E, F los puntos medios de A'A", B'B", C'C". Los triángulos ABC y DEF son ortológicos, y un centro de ortología es el punto de De Longchamps, X₂₀.
El otro centro de ortología es el centro X₃₄₂₆ = X(3)-VERTEX CONJUGATE OF X(6).

Los triángulos circuncevianos del circuncentro y simediano son, respectivamente, A'B'C' y LMN; entonces las rectas A'L, B'M, C'N delimitan un triángulo A₁B₁C₁ perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en X₃₄₂₆.
(Otra propiedad de X₃₄₂₆ en "Los puntos X(74), X(262) y X(3426) como centros de perspectividad de triángulos" )

"A question from Mathesis and Bicentric Pairs"

En el plano del triángulo ABC el lugar geométrico de los puntos P tales que las perpendiculares trazadas desde los vértices A, B, C respectivamente a las rectas PC, PA, PB son concurrentes en un punto Q es la cónica Φ₁ circunscrita a ABC, que pasa por el punto de Tarry (X₉₈) y por el conjugado isogonal P(40) del primer punto de Beltrami, P(2) (inverso del primer punto de Brocard, Ω₁, respecto a la circunferencia circunscrita).
El lugar de los puntos Q, cuando P varía en la cónica Φ₁ es la cónica Φ₂ circunscrita a ABC, que pasa por el punto de Tarry (X₉₈) y por el conjugado isogonal U(40) del segundo punto de Beltrami, U(2) (inverso del segundo punto de Brocard Ω₂, respecto a la circunferencia circunscrita).

El lugar geométrico de los puntos P tales que las perpendiculares trazadas desde los vértices A, B, C respectivamente a las rectas PB, PC, PA son concurrentes en un punto Q es la cónica Φ₂ circunscrita a ABC, que pasa por el punto de Tarry (X₉₈) y por el conjugado isogonal del segundo punto de Beltrami (inverso del segundo punto de Brocard respecto a la circunferencia circunscrita). El lugar de los puntos Q, cuando P varía en la cónica Φ₂ es la cónica Φ₁ circunscrita a ABC, que pasa por el punto de Tarry (X₉₈) y por el conjugado isogonal del primer punto de Beltrami (inverso del primer punto de Brocard respecto a la circunferencia circunscrita).

Las ecuaciones baricéntricas de las cónicas Φ₁ y Φ₂ son respectivamente:
(a^2+b^2-c^2)y z+ (-a^2+b^2+c^2)z x + (a^2-b^2+c^2)x y =0,    (a^2-b^2+c^2)y z+ (a^2+b^2-c^2)z x + (-a^2+b^2+c^2)x y =0.

(a^4 + 2a^2(b^2-2c^2) + b^4-4b^2c^2+3c^4 : ... : ...) y
(a^4 + 2a^2(c^2-2b^2) + c^4-4b^2c^2+3b^4 : ... : ...)

((a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2) : (b^2-c^2)(c^2-a^2)(-a^2+b^2+c^2) : (c^2-a^2)(a^2-b^2)(a^2-b^2+c^2)),
((a^2-c^2)(c^2-b^2)(a^2-b^2+c^2) : (b^2-a^2)(a^2-c^2)(a^2+b^2-c^2) : (c^2-b^2)(b^2-a^2)(-a^2+b^2+c^2)),

(a^8 - a^6(b^2+c^2) + a^4b^2c^2 + a^2(b^2-c^2)^3 - (b^2-c^2)^2(b^4+b^2c^2-c^4) : ... : ...),
(a^8 - a^6(b^2+c^2) + a^4b^2c^2 - a^2(b^2-c^2)^3 - (b^2-c^2)^2(c^4+b^2c^2-b^4) : ... : ...),

Pares bicéntricos deducidos de los triángulos pedal y simétrico de un punto respecto a un triángulo

Sean ABC un triángulo, P un punto, A'B'C' el triángulo pedal de P y A", B", C" las reflexiones de P en los lados BC, CA, AB, respectivamente.

El centro radical R_p de las circunferencias de diámetros A'B", B'C", C'A" y el centro radical S_p de las circunferencias de diámetros A'C", B'A", C'B" forman un par bicéntrico

Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:

R_p = (a^2 (3 b^2 c^2 u^2 (c^2 v + b^2 w) + u (c^4 (a^2 + b^2 - c^2) v^2 + 2 b^4 (a^2 - b^2 + c^2) w^2 + b^2 c^2 (3 a^2 - 2 b^2 + 2 c^2) v w) + a^2 (a^2 - b^2 - c^2)v w (2 c^2 v + b^2 w)) : ... : ... ),

S_p = (a^2 (3 b^2 c^2 u^2 (c^2 v + b^2 w) + u (2 c^4 (a^2 + b^2 - c^2) v^2 + b^2 c^2 (3 a^2 + 2 b^2 - 2 c^2) v w + b^4 (a^2 - b^2 + c^2) w^2) + a^2 (a^2 - b^2 - c^2) v w (c^2 v + 2 b^2 w) ) : ... : ... ).

Circunferencias asociadas a los puntos isodinámicos

Sean ABC un triángulo, P un punto, A'B'C' el triángulo pedal de P y A", B", C" las reflexiones de P en los lados BC, CA, AB, respectivamente.

Los seis puntos medios de los segmentos A'B", B'C", C'A", A'C", B'A", C'B" están sobre una cónica, ya que los lados opuestos del hexágono que ellos forman son paralelos.

Rectas de Euler paralelas

El lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas de Euler de los triángulos ABC y IPP* son paralelas es una séxtica que pasa por A, B, C, (puntos dobles), por I, por los exincentros, por los conjugados isogonales de sus puntos.
Ecuación baricéntrica: (Mostrar)

-a^4 b c^4 x^4 y^2 + a^3 b^2 c^4 x^4 y^2 + a^2 b^3 c^4 x^4 y^2 - a b^4 c^4 x^4 y^2 + 2 a^3 b c^5 x^4 y^2 + b^4 c^5 x^4 y^2 - b^3 c^6 x^4 y^2 - 2 a b c^7 x^4 y^2 - b^2 c^7 x^4 y^2 + b c^8 x^4 y^2 + a^5 c^4 x^3 y^3 - a^4 b c^4 x^3 y^3 - a b^4 c^4 x^3 y^3 + b^5 c^4 x^3 y^3 + a^4 c^5 x^3 y^3 + 2 a^3 b c^5 x^3 y^3 + 2 a b^3 c^5 x^3 y^3 + b^4 c^5 x^3 y^3 - 3 a^3 c^6 x^3 y^3 + a^2 b c^6 x^3 y^3 + a b^2 c^6 x^3 y^3 - 3 b^3 c^6 x^3 y^3 - a^2 c^7 x^3 y^3 - 4 a b c^7 x^3 y^3 - b^2 c^7 x^3 y^3 + 2 a c^8 x^3 y^3 + 2 b c^8 x^3 y^3 - a^4 b c^4 x^2 y^4 + a^3 b^2 c^4 x^2 y^4 + a^2 b^3 c^4 x^2 y^4 - a b^4 c^4 x^2 y^4 + a^4 c^5 x^2 y^4 + 2 a b^3 c^5 x^2 y^4 - a^3 c^6 x^2 y^4 - a^2 c^7 x^2 y^4 - 2 a b c^7 x^2 y^4 + a c^8 x^2 y^4 - 2 a^4 b^3 c^2 x^4 y z + a^3 b^4 c^2 x^4 y z + 3 a^2 b^5 c^2 x^4 y z - a b^6 c^2 x^4 y z - b^7 c^2 x^4 y z - 2 a^4 b^2 c^3 x^4 y z + 4 a^3 b^3 c^3 x^4 y z - a^2 b^4 c^3 x^4 y z - 2 a b^5 c^3 x^4 y z + b^6 c^3 x^4 y z + a^3 b^2 c^4 x^4 y z - a^2 b^3 c^4 x^4 y z + 3 a^2 b^2 c^5 x^4 y z - 2 a b^3 c^5 x^4 y z - a b^2 c^6 x^4 y z + b^3 c^6 x^4 y z - b^2 c^7 x^4 y z + 3 a^5 b^2 c^2 x^3 y^2 z - 3 a^4 b^3 c^2 x^3 y^2 z - 3 a^3 b^4 c^2 x^3 y^2 z + 3 a^2 b^5 c^2 x^3 y^2 z + 2 a^5 b c^3 x^3 y^2 z - 5 a^4 b^2 c^3 x^3 y^2 z + 4 a^3 b^3 c^3 x^3 y^2 z - a^2 b^4 c^3 x^3 y^2 z - 4 a^4 b c^4 x^3 y^2 z - 6 a^3 b^2 c^4 x^3 y^2 z + a b^4 c^4 x^3 y^2 z - 3 b^5 c^4 x^3 y^2 z + 6 a^2 b^2 c^5 x^3 y^2 z - 4 a b^3 c^5 x^3 y^2 z + 3 b^4 c^5 x^3 y^2 z + 4 a^2 b c^6 x^3 y^2 z + 5 a b^2 c^6 x^3 y^2 z + 3 b^3 c^6 x^3 y^2 z - 2 a b c^7 x^3 y^2 z - 3 b^2 c^7 x^3 y^2 z + 3 a^5 b^2 c^2 x^2 y^3 z - 3 a^4 b^3 c^2 x^2 y^3 z - 3 a^3 b^4 c^2 x^2 y^3 z + 3 a^2 b^5 c^2 x^2 y^3 z - a^4 b^2 c^3 x^2 y^3 z + 4 a^3 b^3 c^3 x^2 y^3 z - 5 a^2 b^4 c^3 x^2 y^3 z + 2 a b^5 c^3 x^2 y^3 z - 3 a^5 c^4 x^2 y^3 z + a^4 b c^4 x^2 y^3 z - 6 a^2 b^3 c^4 x^2 y^3 z - 4 a b^4 c^4 x^2 y^3 z + 3 a^4 c^5 x^2 y^3 z - 4 a^3 b c^5 x^2 y^3 z + 6 a^2 b^2 c^5 x^2 y^3 z + 3 a^3 c^6 x^2 y^3 z + 5 a^2 b c^6 x^2 y^3 z + 4 a b^2 c^6 x^2 y^3 z - 3 a^2 c^7 x^2 y^3 z - 2 a b c^7 x^2 y^3 z - a^7 c^2 x y^4 z - a^6 b c^2 x y^4 z + 3 a^5 b^2 c^2 x y^4 z + a^4 b^3 c^2 x y^4 z - 2 a^3 b^4 c^2 x y^4 z + a^6 c^3 x y^4 z - 2 a^5 b c^3 x y^4 z - a^4 b^2 c^3 x y^4 z + 4 a^3 b^3 c^3 x y^4 z - 2 a^2 b^4 c^3 x y^4 z - a^3 b^2 c^4 x y^4 z + a^2 b^3 c^4 x y^4 z - 2 a^3 b c^5 x y^4 z + 3 a^2 b^2 c^5 x y^4 z + a^3 c^6 x y^4 z - a^2 b c^6 x y^4 z - a^2 c^7 x y^4 z - a^4 b^4 c x^4 z^2 + 2 a^3 b^5 c x^4 z^2 - 2 a b^7 c x^4 z^2 + b^8 c x^4 z^2 + a^3 b^4 c^2 x^4 z^2 - b^7 c^2 x^4 z^2 + a^2 b^4 c^3 x^4 z^2 - b^6 c^3 x^4 z^2 - a b^4 c^4 x^4 z^2 + b^5 c^4 x^4 z^2 + 2 a^5 b^3 c x^3 y z^2 - 4 a^4 b^4 c x^3 y z^2 + 4 a^2 b^6 c x^3 y z^2 - 2 a b^7 c x^3 y z^2 + 3 a^5 b^2 c^2 x^3 y z^2 - 5 a^4 b^3 c^2 x^3 y z^2 - 6 a^3 b^4 c^2 x^3 y z^2 + 6 a^2 b^5 c^2 x^3 y z^2 + 5 a b^6 c^2 x^3 y z^2 - 3 b^7 c^2 x^3 y z^2 - 3 a^4 b^2 c^3 x^3 y z^2 + 4 a^3 b^3 c^3 x^3 y z^2 - 4 a b^5 c^3 x^3 y z^2 + 3 b^6 c^3 x^3 y z^2 - 3 a^3 b^2 c^4 x^3 y z^2 - a^2 b^3 c^4 x^3 y z^2 + a b^4 c^4 x^3 y z^2 + 3 b^5 c^4 x^3 y z^2 + 3 a^2 b^2 c^5 x^3 y z^2 - 3 b^4 c^5 x^3 y z^2 - 2 a^7 b c x y^3 z^2 + 4 a^6 b^2 c x y^3 z^2 - 4 a^4 b^4 c x y^3 z^2 + 2 a^3 b^5 c x y^3 z^2 - 3 a^7 c^2 x y^3 z^2 + 5 a^6 b c^2 x y^3 z^2 + 6 a^5 b^2 c^2 x y^3 z^2 - 6 a^4 b^3 c^2 x y^3 z^2 - 5 a^3 b^4 c^2 x y^3 z^2 + 3 a^2 b^5 c^2 x y^3 z^2 + 3 a^6 c^3 x y^3 z^2 - 4 a^5 b c^3 x y^3 z^2 + 4 a^3 b^3 c^3 x y^3 z^2 - 3 a^2 b^4 c^3 x y^3 z^2 + 3 a^5 c^4 x y^3 z^2 + a^4 b c^4 x y^3 z^2 - a^3 b^2 c^4 x y^3 z^2 - 3 a^2 b^3 c^4 x y^3 z^2 - 3 a^4 c^5 x y^3 z^2 + 3 a^2 b^2 c^5 x y^3 z^2 + a^8 c y^4 z^2 - 2 a^7 b c y^4 z^2 + 2 a^5 b^3 c y^4 z^2 - a^4 b^4 c y^4 z^2 - a^7 c^2 y^4 z^2 + a^4 b^3 c^2 y^4 z^2 - a^6 c^3 y^4 z^2 + a^4 b^2 c^3 y^4 z^2 + a^5 c^4 y^4 z^2 - a^4 b c^4 y^4 z^2 + a^5 b^4 x^3 z^3 + a^4 b^5 x^3 z^3 - 3 a^3 b^6 x^3 z^3 - a^2 b^7 x^3 z^3 + 2 a b^8 x^3 z^3 - a^4 b^4 c x^3 z^3 + 2 a^3 b^5 c x^3 z^3 + a^2 b^6 c x^3 z^3 - 4 a b^7 c x^3 z^3 + 2 b^8 c x^3 z^3 + a b^6 c^2 x^3 z^3 - b^7 c^2 x^3 z^3 + 2 a b^5 c^3 x^3 z^3 - 3 b^6 c^3 x^3 z^3 - a b^4 c^4 x^3 z^3 + b^5 c^4 x^3 z^3 + b^4 c^5 x^3 z^3 - 3 a^5 b^4 x^2 y z^3 + 3 a^4 b^5 x^2 y z^3 + 3 a^3 b^6 x^2 y z^3 - 3 a^2 b^7 x^2 y z^3 + a^4 b^4 c x^2 y z^3 - 4 a^3 b^5 c x^2 y z^3 + 5 a^2 b^6 c x^2 y z^3 - 2 a b^7 c x^2 y z^3 + 3 a^5 b^2 c^2 x^2 y z^3 - a^4 b^3 c^2 x^2 y z^3 + 6 a^2 b^5 c^2 x^2 y z^3 + 4 a b^6 c^2 x^2 y z^3 - 3 a^4 b^2 c^3 x^2 y z^3 + 4 a^3 b^3 c^3 x^2 y z^3 - 6 a^2 b^4 c^3 x^2 y z^3 - 3 a^3 b^2 c^4 x^2 y z^3 - 5 a^2 b^3 c^4 x^2 y z^3 - 4 a b^4 c^4 x^2 y z^3 + 3 a^2 b^2 c^5 x^2 y z^3 + 2 a b^3 c^5 x^2 y z^3 - 3 a^7 b^2 x y^2 z^3 + 3 a^6 b^3 x y^2 z^3 + 3 a^5 b^4 x y^2 z^3 - 3 a^4 b^5 x y^2 z^3 - 2 a^7 b c x y^2 z^3 + 5 a^6 b^2 c x y^2 z^3 - 4 a^5 b^3 c x y^2 z^3 + a^4 b^4 c x y^2 z^3 + 4 a^6 b c^2 x y^2 z^3 + 6 a^5 b^2 c^2 x y^2 z^3 - a^3 b^4 c^2 x y^2 z^3 + 3 a^2 b^5 c^2 x y^2 z^3 - 6 a^4 b^2 c^3 x y^2 z^3 + 4 a^3 b^3 c^3 x y^2 z^3 - 3 a^2 b^4 c^3 x y^2 z^3 - 4 a^4 b c^4 x y^2 z^3 - 5 a^3 b^2 c^4 x y^2 z^3 - 3 a^2 b^3 c^4 x y^2 z^3 + 2 a^3 b c^5 x y^2 z^3 + 3 a^2 b^2 c^5 x y^2 z^3 + 2 a^8 b y^3 z^3 - a^7 b^2 y^3 z^3 - 3 a^6 b^3 y^3 z^3 + a^5 b^4 y^3 z^3 + a^4 b^5 y^3 z^3 + 2 a^8 c y^3 z^3 - 4 a^7 b c y^3 z^3 + a^6 b^2 c y^3 z^3 + 2 a^5 b^3 c y^3 z^3 - a^4 b^4 c y^3 z^3 - a^7 c^2 y^3 z^3 + a^6 b c^2 y^3 z^3 - 3 a^6 c^3 y^3 z^3 + 2 a^5 b c^3 y^3 z^3 + a^5 c^4 y^3 z^3 - a^4 b c^4 y^3 z^3 + a^4 c^5 y^3 z^3 + a^4 b^5 x^2 z^4 - a^3 b^6 x^2 z^4 - a^2 b^7 x^2 z^4 + a b^8 x^2 z^4 - a^4 b^4 c x^2 z^4 - 2 a b^7 c x^2 z^4 + a^3 b^4 c^2 x^2 z^4 + a^2 b^4 c^3 x^2 z^4 + 2 a b^5 c^3 x^2 z^4 - a b^4 c^4 x^2 z^4 - a^7 b^2 x y z^4 + a^6 b^3 x y z^4 + a^3 b^6 x y z^4 - a^2 b^7 x y z^4 - a^6 b^2 c x y z^4 - 2 a^5 b^3 c x y z^4 - 2 a^3 b^5 c x y z^4 - a^2 b^6 c x y z^4 + 3 a^5 b^2 c^2 x y z^4 - a^4 b^3 c^2 x y z^4 - a^3 b^4 c^2 x y z^4 + 3 a^2 b^5 c^2 x y z^4 + a^4 b^2 c^3 x y z^4 + 4 a^3 b^3 c^3 x y z^4 + a^2 b^4 c^3 x y z^4 - 2 a^3 b^2 c^4 x y z^4 - 2 a^2 b^3 c^4 x y z^4 + a^8 b y^2 z^4 - a^7 b^2 y^2 z^4 - a^6 b^3 y^2 z^4 + a^5 b^4 y^2 z^4 - 2 a^7 b c y^2 z^4 - a^4 b^4 c y^2 z^4 + a^4 b^3 c^2 y^2 z^4 + 2 a^5 b c^3 y^2 z^4 + a^4 b^2 c^3 y^2 z^4 - a^4 b c^4 y^2 z^4=0

Centros ortológicos sobre una cónica

Sean ABC un triángulo, P un punto, A'B'C' el triángulo tangencial, P un punto y L una recta por P.
Consideremos las proyecciones ortogonales A*, B*, C* de los vértices A, B, C sobre la recta L, respectivamente.
Los puntos medios M_a, M_b, M_c de AA*, BB*, CC*, respectivamente.
Los puntos medios M₁, M₂, M₃ de A'M_a, B'M_b, C'M_c, respectivamente.

Entonces, los triángulos ABC y M₁M₂M₃ son ortológicos.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las perpendiculares por los vértices M₁, M₂ y M₃ a los lados BC, AC y AB, respectivamente, concurren sobre una cónica. cuyo centro tiene coordenadas baricéntricas:

Q = ( a^4(2u+v+w) - 2a^2(b^2+c^2)(3u+2(v+w)) + (b^2-c^2)^2(4u+3(v+w)) : ... : ... ).

(2a^4 - a^3(b+c) - a^2(5b^2-2bc+5c^2) + a(b-c)^2(b+c) + 3(b^2-c^2)^2 :...:...)

a^2yz+b^2zx+c^2xy + (3/64)(x+y+z)((3a^2-5b^2-5c^2)x + (3b^2-5c^2-5a^2)y + (3c^2-5a^2-5b^2)z) = 0.

(2a^4 - 9a^2(b^2+c^2) + 7(b^2-c^2)^2:...:..)

(2a^6 - 5a^4(b^2+c^2) - 16a^2b^2c^2 + 3(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) : ..:...)

Par bicéntrico sobre la recta X(140)X(1499)

Sean ABC un triángulo, O el circuncentro, DEF el triángulo medial y A', B', C' los puntos medios de AO, BO, CO, respectivamente.

Los centros radicales:
P, de las circunferencias de diámetros A'E, B'F, C'D, y U, de las circunferencias de diámetros A'F, B'D, C'E, forman un par bicéntrico (que podría recibir el nombre de una flor: CRESTA DE GALLO).

Sus coordenadas baricéntricas son:

P = (3a^4-a^2(2b^2+7c^2)+b^4-3b^2c^2+2c^4 : ... : ... )

U = (3a^4-a^2(7b^2+2c^2)+2b^4-3b^2c^2+c^4 : ... : ... ).

Cúbica de Brocard (segunda), hipérbola de Jerabek y tripolar de X(2966)

Sean ABC un triángulo y P un punto. La circunferencia circunscrita al triángulo BCP interseca a las rectas AB y AC en los puntos C_a y B_a. Similarmente, tenemos los puntos A_b, C_b, B_c y A_c. El lugar geométrico de los puntos P tales que C_a, B_a, A_b, C_b, B_c y A_c estén en una cónica es la (segunda) cúbica de Brocard ( K018 del catálogo de Bernard Gibert):

Locus property:
6. Locus of point M such that the three circles MBC, MCA, MAB meet the sidelines of triangle ABC again at six points lying on a same conic.

Caracterización de la cúbica de Thomson

Sean ABC un triángulo, O su circuncentro, P un punto y O_a, O_b, O_c los circuncentros de los triángulos PBC, PCA, PAB, respectivamente.

La cúbica de Thomson es el lugar geométrico de los puntos P tales que el baricentro de O_aO_bO_c está sobre la recta OP.

Pares bicéntricos con punto medio en la recta de Euler

Sea ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo homotético a ABC por la homotecia de centro en el baricentro y razón t.
Se denota por:
A_b = B'C' ∩ AC, A_c = B'C' ∩ AB, B_c = C'A' ∩ BA, B_a = C'A' ∩ BC, C_a = A'B' ∩ CB, C_b = A'B' ∩ CA.

R_t el centro radical de las circunferencias A(AA_b), B(BB_c), C(CC_a):
( c^2 (b^2 - c^2) (2 + t)^2 + a^4 (-5 + 4 t + t^2) + a^2 (-3 b^2 (1 + 4 t + t^2) + c^2 (17 + 8 t + 2 t^2)) : -a^4 (2 + t)^2 + b^2 (b^2 (-5 + 4 t + t^2) - 3 c^2 (1 + 4 t + t^2)) + a^2 (c^2 (2 + t)^2 + b^2 (17 + 8 t + 2 t^2)) : -b^4 (2 + t)^2 + c^4 (-5 + 4 t + t^2) + b^2 c^2 (17 + 8 t + 2 t^2) + a^2 (b^2 (2 + t)^2 - 3 c^2 (1 + 4 t + t^2)) )
S_t el centro radical de las circunferencias A(AA_c), B(BB_a), C(CC_b):
( -b^2 (b^2 - c^2) (2 + t)^2 + a^4 (-5 + 4 t + t^2) + a^2 (-3 c^2 (1 + 4 t + t^2) + b^2 (17 + 8 t + 2 t^2)) : -c^4 (2 + t)^2 + b^4 (-5 + 4 t + t^2) + b^2 c^2 (17 + 8 t + 2 t^2) + a^2 (c^2 (2 + t)^2 - 3 b^2 (1 + 4 t + t^2)) : -a^4 (2 + t)^2 + c^2 (c^2 (-5 + 4 t + t^2) - 3 b^2 (1 + 4 t + t^2)) + a^2 (b^2 (2 + t)^2 + c^2 (17 + 8 t + 2 t^2)) )

R_t y S_t forman un par bicéntrico de punto medio sobre la recta de Euler, si t=m/n:
M_t = ( (b^2-c^2)^2(m+2 n)^2 + a^2(b^2+c^2)(m^2+4mn-14n^2) - 2a^4(m^2+ 4mn-5n^2) : ... : .... ).

Propiedades de los puntos X(960), X(2883), X(3743), como centros de cónicas

Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF el triángulo ceviano de P. Las rectas que pasan por E y F, paralelas a AD intersecan a BC en A₁ y A₂. Similarmente tenemos los puntos B₁, B₂, C₁, C₂. Entonces los seis puntos A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ están en una cónica.

Su ecuación baricéntrica, si P(u:v:w), es

Σ v^2w^2(u+v+w)x^2 - uvw(2u^2+(v+w)(2u+v+w))yz=0.

El centro del triángulo X₈₄ como centro ortológico

Sea ABC un triángulo. Se denota por: A_b y A_c las proyecciones ortogonales de A sobre las bisectrices por B y C, respectivamente. H_a es el ortocentro del triángulo AA_bA_c. Similarmente, se consideran los ortocentros H_b y H_c.

Entonces los triángulos ABC y H_aH_bH_b son ortológicos y sus centros ortológicos son el ortocentro de ABC y el centro del triángulo X₈₄.

El centro del triángulo X₃₅₂₁ como centro ortológico

Sean ABC un triángulo y O su circuncentro. Se denota por: N_a, N_b, N_c los centros de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos OBC, OCA, OAB, respectivamente, y por M_a, M_b, M_c los puntos medios de AN_a, BN_b, CN_c, respectivamente.
Entonces, los triángulos ABC y M_aM_bM_c son ortológicos. Los centro ortológicos son X₅ y X₃₅₂₁.

Un centro del cuadrivértice

Sean ABC un triángulo, P₄ un punto y P₁P₂P₃ su triángulo anticeviano; entonces, P₁P₂P₃P₄ es un cuadrivértice con puntos diagonales A, B y C (ABC es el triángulo diagonal del cuadrivértice).
Un sistema de QA-DT-coordenadas relativas al cuadrivértice P₁P₂P₃P₄, se define tomando como triángulo de referencia el triángulo diagonal y uno de los vértices del cuadrivértices, por ejemplo P₄, con coordenadas (p:q:r); los otros tres vértices forman el triángulo anticeviano de P4: P₁(-p:q:r), P₂(p:-q:r), P₃(p:q:-r).

Denotamos por C_i el centro de la cónica que pasa por los cinco puntos A, B, C, P_i y QA-P10 (i=1,2,3,4), donde QA-P10 es el baricentro del triángulo diagonal ABC. Se verifica que las rectas P_iC_i son concurrentes en el punto de DT-coordenadas:

( p^2(q^2+r^2) : q^2(r^2+p^2) : r^2(p^2+q^2 ).

p^2(q^2-r^2)y^2z^2 + q^2(r^2-p^2)z^2x^2 + r^2(p^2-q^2)x^2y^2 = 0.

p^2x^2(q^2-r^2)+q^2y^2(r^2-p^2)+r^2z^2(p^2-q^2)=0.

( 1/(p^2(q^2-r^2)) : 1/(q^2(r^2-p^2)) : 1/(r^2(p^2-q^2)) ).

q^2 r^2 (q^2 - r^2) x^3 + q^2 r^2 (2 p^2 (y - z) - (q^2 - r^2) (y + z)) x^2 + p^2 r^2 (r^2 - p^2) y^3 + p^2 r^2 (2 q^2 (z - x) - (r^2 - p^2) (x + z)) y^2 + p^2 q^2 (p^2 - q^2) z^3 + p^2 q^2 (2 r^2 (x - y) - (p^2 - q^2) (x + y)) z^2=0.

Otro par bicéntrico

Sean ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro.
Sea A_b la reflexión de A' en BB', y se definen B_c y C_a cíclicamente. Sea A_c la reflexión de A' en BC', y se definen B_a y C_b cíclicamente.
Se denota por:
(Oab), (Oac) las circunferencias circunscritas a los triángulos AA_bA', AA_cA', resp.
(Obc), (Oba) las circunferencias circunscritas a los triángulos BA_cB', BB_aB', resp.
(Oca), (Ocb) las circunferencias circunscritas a los triángulos CC_aC', CC_bC', resp.

Las coordenadas baricéntricas del centro radical R de las circunferencias (Obc), (Oca), (Oab) son:
R = (a (a^2(b-2c) - a(b^2+b c-c^2) - (b-c)c^2 ) : ... : ... ).

Las coordenadas baricéntricas del centro radical S de las circunferencias (Oba), (Ocb), (Oac) son:
S = (a (a^2(2b-c) - a(b^2-b c-c^2) - b^2(b-c)) : ... : ... ).

Los puntos R y S forman un par bicéntrico P(110) (que podría recibir el nombre de una flor: MORGALLANA o botón de oro), por tanto el punto del infinito de la recta RS es un centro: X₁₉₃₈, que coincide con el punto del infinito del par bicéntrico PU(15).

La suma de las coordenadas baricéntricas de este par baricéntrico es el centro X₉₄₂, inverso en la circunferencia inscrita del inverso en la circunferencia circunscrita del incentro.

La diferencia de las coordenadas baricéntricas de este par baricéntrico es el centro de coordenadas baricéntricas:

( a(b-c)(3a^2-2a b-b^2-2a c-c^2): ... : ...),

M = (a (3a^4(b-c)^2 + a^3(-5b^3+4 b^2c+4b c^2-5c^3) + a^2(b^4+5b^3c-14b^2c^2+5b c^3+c^4) + a(b-c)^2(b^3+c^3) - b c(b-c)^2(b^2+c^2)) : ... : ...),

Baricentro de un triángulo asociado al triángulo medial

Sean ABC un triángulo y A'B'C' su triángulo medial. Se denota por:
O_bc y O_cb los circuncentros de los triángulos BCB' y BCC', respectivamente, y por M_a el punto medio de O_bcO_cb. Similarmente se definen M_b y M_c.
El baricentro G' de M_aM_bM_c queda en la recta de Euler de ABC y sus coordenadas baricéntricas son:

G' = (2 S_B S_C + 11 a^2 S_A : 2 S_C S_A + 11 b^2 S_B : 2 S_A S_B + 11 c^2 S_C),

Un par bicéntrico

Sean ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro. Se denota por:
(Nab), (Nac) las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos AIB', AIC', resp.
(Nbc), (Nba) las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos BIC', BIA', resp.
(Nca), (Ncb) las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos CIA', CIB', resp.

Las coordenadas baricéntricas del centro radical R de las circunferencias (Nbc), (Nca), (Nab) son:
R = ( a(a + b - c) (a - b + c) (a^3 b - a b^3 + 2 a^3 c - 2 a b^2 c - b^3 c + a^2 c^2 - 3 a b c^2 - 3 b^2 c^2 - 2 a c^3 - 3 b c^3 - c^4) : ... : ... ).

Las coordenadas baricéntricas del centro radical S de las circunferencias (Nba), (Ncb), (Nac) son:
S = ( a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 b + a^2 b^2 - 2 a b^3 - b^4 + a^3 c - 3 a b^2 c - 3 b^3 c - 2 a b c^2 - 3 b^2 c^2 - a c^3 - b c^3) : ... : ... ).

Los puntos R y S forman un par bicéntrico P(111) (que podría recibir el nombre de una flor: CANARINA o bicácaro), por tanto el punto del infinito de la recta RS es un centro: X₅₁₃.
También el punto medio de RS es un centro, de coordenadas baricéntricas:

M = (a(3a^5(b+c)+ a^4(b^2+c^2) - 2a^3(3b^3+b^2c+b c^2+3c^3) - 2a^2(b^4+ b^3c+4b^2c^2+b c^3+c^4) + a(b-c)^2(3b^3+5b^2c+5b c^2+3c^3)+ (b-c)^2(b+c)^4) : ... : ...),

La cúbica pivotal pK(X1073,X253)

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo ceviano de P. Denotamos por A_b la reflexión, respecto a C, de la proyección ortogonal de A' sobre AC y por A_c la reflexión, respecto a B, de la proyección ortogonal de A' sobre AB . Sea O_a el circuncentro del triángulo AA_bA_c; similarmente, se consideran los circuncentros O_b y O_c.

• Los triángulos ABC y O_aO_bO_c son perspectivos si y solo si P está en la cúbica pivotal pK(X1073, X253). Esta cúbica pasa por los centros X(2), X(3), X(64), X(69), X(253), X(1073), ...

Ω = ( a^2S_A/(a^4 + 2a^2(b^2+c^2) - 3(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

X = ( 1/(a^4 + 2a^2(b^2+c^2) - 3(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

Propiedad de las isocúbicas pK(X2,X264) y pK(X216,X4)

a Clara, por su "cumple"

Σ[ x(c^2(a^2+b^2-c^2)(a^4-a^2 b^2-2a^2c^2-b^2c^2+ c^4) y^2 - b^2(a^2-b^2+ c^2)(a^4-2a^2b^2+b^4-a^2c^2-b^2c^2) z^2)] =0.

Un centro ortológico relativo al triángulo medial

X = ( (a^3+a^2(b+c) - a(b+c)^2 - (b-c)^2(b+c)) (a^3(b+c) - a^2(b-c)^2 - a(b-c)^2(b+c) + (b^2-c^2)^2) : ... : ... ).

Cónicas con centro y perspector coincidentes

fx^2 + gy^2 + hz^2 + 2pyz + 2qzx + 2rxy = 0,

su centro y perspector (centro de perspectividad de ABC y el triángulo formado por las polares de sus vértices respecto a la cónica) coinciden si y sólo si p=q=r≠0.
(Paul Yiu).

UN EJEMPLO:
(Anopolis #774 Antreas P. Hatzipolakis)

Sean ABC un triángulo, A'B'C' su triángulo antimedial y A"B"C" el triángulo pedal del incentro.
Se denota por A_b = A"B" ∩ B'C' y por A_c = A"C" ∩ B'C'.
Similarmente y de forma cíclica de definen B_c, B_a y C_a, C_b.

Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a y C_b están en una misma cónica de ecuación:

(b+c-a)^2(a+b-3c)(a-3b+c)x^2 + (c+a-b)^2(b+c-3a)(b-3c+a)y^2 + (a+b-c)^2(c+a-3b)(c-3a+b)z^2 + 8S^2(yz+zx+xy) =0.

Su centro y perspector coinciden en el centro de coordenadas:

( 1/((b+c-a)(a^3-a^2(b+c) - a(b^2-8b c+c^2) + (b+c)(b^2-4b c+c^2)) : ... : ...),

(1/(f-k) : 1/(g-k) : 1/(h-k)),

y la razón de homotecia es:

(k^2(f+g+h-2k)-fgh)/((f-k)(g-k)(h-k)).

El centro de perspectividad del triángulo antimedial A'B'C' y el triángulo DEF formado por las polares de sus vértices respecto a la cónica son homotéticos, con centro de homotecia:

(f g h - 2 g h k - f k^2 + g k^2 + h k^2, f g h - 2 f h k + f k^2 - g k^2 + h k^2, f g h - 2 f g k + f k^2 + g k^2 - h k^2).

Construir un triángulo dado a, A, (b-c)/(b+c)

Trazamos un segmento BC de longitud a dada.
Sea un punto V sobre el arco capaz de ángulo A sobre el segmento BC.
La circunferencia de centro V y radio VB corta a la recta CV en los punto S y D, tales que CS=VC+VB y SD=VC-CB.
El punto C_v que divide al segmento DS en la relación DC_v : C_vS = m:n, describe una circunferencia que pasa por B y C.
Deberemos localizar la ubicación del punto V tal que C_v coincida con C.
El punto V solución es la intersección de la tangente en C a tal circunferencia con el arco capaz considerado.

Propiedad del centro X₃₆₆₃

Sean ABC un triángulo, I el incentro y A'B'C' el triángulo medial y A"B"C" el triángulo ceviano del incentro.
Se toman los puntos

A_b=BB" ∩ B'C',   A_c=CC" ∩ B'C',   B_c=CC" ∩ C'A',   B_a=AA" ∩ C'A',   C_a=AA" ∩ A'B',   C_b=BB" ∩ A'B'.

(-a^3-a(b+c)^2+c(b+c)^2+ a^2(2b+c))x+ (a-c)(a-b+c)^2y + (-a^3+3a^2c-(b-c)^2c+ a(b^2-4b c-c^2))z=0,

(a^3+a(b+c)^2-b(b+c)^2-a^2(b+2c))x + (a^3-3a^2b+b(b-c)^2+ a(b^2+4b c-c^2))y -(a-b)(a+b-c)^2z=0,

( (b-c)^2+a(b+c) : (c-a)^2+b(c+a) : (a-b)^2+c(a+b) ).

La cúbica de McCay como lugar geométrico

Sean ABC un triángulo, P un punto, O₁, O₂ y O₃ los circuncentros de los triángulos BCP, CAP y ABP. Entonces el triángulo O₁O₂O₃ y el triángulo pedal del conjugado isogonal P* de P, con respecto a ABC, son homotéticos con centro de homotecia, si P(u:v:w), de coordenadas baricéntricas:

Q = ( a^2v w(a^2(u^2+2v w + u(v+w)) - u(b^2(u+v-w) + c^2(u-v+w)): ... : ... )

Lugares geométricos y circunferencias asociadas al incentro

Sean ABC un triángulo, I el incentro y O_a, O_b, O_b los circuncentros de los triángulos IBC, ICA, IAB, respectivamente.
Sean P un punto y A_a, A_b, A_c las proyecciones ortogonales de O_a sobre AP, BP, CP, respectivamente, y O₁ el circuncentro del triángulo A_aA_bA_c. Similarmente, se definen O₂ y O₃.

El circuncentro O_P del triángulo O₁O₂O₃ es el punto medio de P y el circuncentro O de ABC.

Q = ( a(2b c u^2 - a^2v w- b(b-2c)u w + c(2b-c)u v):
b(2c a v^2 - b^2w u- c(c-2a)v u + a(2c-a)v w):
c(2a b w^2 - c^2u v- a(a-2b)w v + b(2a-b)w u) ).

Las cúbicas K007 y K279 como lugares geométricos

Sean ABC un triángulo, A'B'C' el triángulo ceviano de un punto P y O_a, O_b, O_c los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos AB'C', BC'A', CA'B', respectivamente, los cuales se cortan en un punto M. Se denota por O* el circuncentro del triángulo O_aO_bO_c.

• El lugar geométrico de los puntos P tales que O* está en la recta de Euler es la cúbica (K279 = pK(X2,X3260) del catálogo de Bernard Gibert):
Σ b^2c^2 (2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)x(y^2-z^2)=0.

Cónica conteniendo ortocentros

Sean ABC un triángulo, D, E, F puntos sobre los lados BC, CA, AB, respectivamente. Se denota por H_a, H_b, H_c los ortocentros de los triángulos AEF, BFD, CDE, respectivamente, entonces los puntos D, E, F, H_a, H_b, H_c quedan sobre una cónica.

Centros de circunferencias de nueve puntos sobre rectas por el circuncentro

Sean ABC un triángulo, A'B'C' el triángulo ceviano de un punto P y A", B", C" los puntos simétricos de P respecto a A', B', C', respectivamente.

El centro N" de la circunferencia de los nueve puntos de A"B"C" está en la recta OP si P queda en una séptica

c^4 x^4 y^3 - c^4 x^3 y^4 + a^2 c^2 x^4 y^2 z + 2 b^2 c^2 x^4 y^2 z - c^4 x^4 y^2 z + 2 a^2 c^2 x^3 y^3 z - 2 b^2 c^2 x^3 y^3 z - 2 a^2 c^2 x^2 y^4 z - b^2 c^2 x^2 y^4 z + c^4 x^2 y^4 z - a^2 b^2 x^4 y z^2 + b^4 x^4 y z^2 - 2 b^2 c^2 x^4 y z^2 + a^2 b^2 x^3 y^2 z^2 - b^4 x^3 y^2 z^2 - a^2 c^2 x^3 y^2 z^2 + c^4 x^3 y^2 z^2 + a^4 x^2 y^3 z^2 - a^2 b^2 x^2 y^3 z^2 + b^2 c^2 x^2 y^3 z^2 - c^4 x^2 y^3 z^2 - a^4 x y^4 z^2 + a^2 b^2 x y^4 z^2 + 2 a^2 c^2 x y^4 z^2 - b^4 x^4 z^3 - 2 a^2 b^2 x^3 y z^3 + 2 b^2 c^2 x^3 y z^3 - a^4 x^2 y^2 z^3 + b^4 x^2 y^2 z^3 + a^2 c^2 x^2 y^2 z^3 - b^2 c^2 x^2 y^2 z^3 + 2 a^2 b^2 x y^3 z^3 - 2 a^2 c^2 x y^3 z^3 + a^4 y^4 z^3 + b^4 x^3 z^4 + 2 a^2 b^2 x^2 y z^4 - b^4 x^2 y z^4 + b^2 c^2 x^2 y z^4 + a^4 x y^2 z^4 - 2 a^2 b^2 x y^2 z^4 - a^2 c^2 x y^2 z^4 - a^4 y^3 z^4=0

Propiedad del centro del triángulo X₃₅₇₉

Sean ABC un triángulo, entonces el centro de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo medial DEF del triángulo excentral I_aI_bI_c es el centro X₃₅₇₉.

Cuárticas asociadas a triángulos circuncevianos

Sean ABC un triángulo, P un punto, DEF el triángulo circunceviano de P y D₁, E₁, F₁ los puntos de intersección de BC, CA, AB con EF, FD, DE, respectivamente. Los puntos D₁, E₁, F₁ están en una recta que denotamos por d_P y, si P=(u:v:w), el tripolo de d_P (respeto a ABC) es el punto:

U = ( 1/(c^2v+b^2w) : 1/(a^2w+c^2u) : 1/(b^2u+a^2v) ),

V = ( (c^2uv+b^2uw-a^2vw)/(c^2v+b^2w) : (a^2wu+c^2vu-b^2wu)/(a^2w+c^2u) : (b^2wu+a^2wv-c^2uv)/(b^2u+a^2v) ).

Los puntos P, U, V están alineados.

b^2*c^4*x^3*y + a^2*c^4*x^2*y^2 + b^2*c^4*x^2*y^2 - c^6*x^2*y^2 + a^2*c^4*x*y^3 + b^4*c^2*x^3*z + a^2*b^2*c^2*x^2*y*z + a^2*b^2*c^2*x*y^2* z + a^4*c^2*y^3*z + a^2*b^4*x^2*z^2 - b^6*x^2*z^2 + b^4*c^2*x^2*z^2 + a^2*b^2*c^2*x*y*z^2 - a^6*y^2*z^2 + a^4*b^2*y^2*z^2 + a^4*c^2*y^2*z^2 + a^2*b^4*x*z^3 + a^4*b^2*y*z^3=0

a^2*b^4*c^4*x^3*y - b^6*c^4*x^3*y + a^2*b^2*c^6*x^3*y + b^2*c^8*x^3*y + 2*a^4*b^2*c^4*x^2*y^2 - 2*a^2*b^4*c^4*x^2*y^2 + a^6*c^4*x*y^3 - a^4*b^2*c^4*x*y^3 - a^2*b^2*c^6*x*y^3 - a^2*c^8*x*y^3 - a^2*b^6*c^2*x^3*z - b^8*c^2*x^3*z - a^2*b^4*c^4*x^3*z + b^4*c^6*x^3*z - a^4*b^4*c^2*x^2*y*z - a^2*b^6*c^2*x^2*y*z + a^4*b^2*c^4*x^2*y* z + a^2*b^2*c^6*x^2*y*z + a^6*b^2*c^2*x*y^2*z + a^4*b^4*c^2*x*y^2* z - a^2*b^4*c^4*x*y^2*z - a^2*b^2*c^6*x*y^2*z + a^8*c^2*y^3*z + a^6*b^2*c^2*y^3*z + a^4*b^2*c^4*y^3*z - a^4*c^6*y^3*z - 2*a^4*b^4*c^2*x^2*z^2 + 2*a^2*b^4*c^4*x^2*z^2 - a^6*b^2*c^2*x*y*z^2 + a^2*b^6*c^2*x*y* z^2 - a^4*b^2*c^4*x*y*z^2 + a^2*b^4*c^4*x*y*z^2 + 2*a^4*b^4*c^2*y^2* z^2 - 2*a^4*b^2*c^4*y^2*z^2 - a^6*b^4*x*z^3 + a^2*b^8*x*z^3 + a^4*b^4*c^2*x*z^3 + a^2*b^6*c^2*x*z^3 - a^8*b^2*y*z^3 + a^4*b^6*y*z^3 - a^6*b^2*c^2*y*z^3 - a^4*b^4*c^2*y*z^3=0

-- X₃,
-- (a^2 (a^8 - 8a^4b^2c^2 - 2a^6(b^2+c^2) + 2a^2(b^2+c^2)^3- (b^2-c^2)^4):...:...), está en la recta de Euler.
-- X₂₅,
-- ( a^2 (a+b-c)(a-b+c)(a^6 - a^4(b-c)^2 + 4a^3b c(b+c) - a^2(b^4-4b^3c+22 b^2c^2-4b c^3+c^4) + 4a b c(b+c)^3 + (b-c)^2(b+c)^4 ) : ... : ...),
-- X₁₁₈₀.

Circunferencias concurrentes y conjugados isogonales de ortocentros

Sean ABC un triángulo, P un punto y H_a, H_b, H_c los ortocentros de los triángulos PBC, PCA, PAB, respectivamente.
Denotamos por D_a, D_b, D_c los conjugados isogonales de H_a, H_b, H_c, con respecto al triángulo ABC.

• Los puntos D_a, D_b, D_c están alineados con el circuncentro O en la recta d_P de ecuación baricéntrica, si P=(u:v:w),
d_P:   b^2c^2u(a^2(w-v)+(b^2-c^2)(v+w))x + a^2c^2v(b^2(u-w)-a^2(u+w)+c^2(u+w))y + a^2b^2w(c^2(v-u) + a^2(u+v)- b^2(u+v))z =0.

Circunferencias concurrentes asociadas al triángulo ceviano de un punto

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo ceviano de P. Se denota por P_a, P_b, P_c los conjugados isogonales de P con respecto a los triángulos AB'C', BC'A', CA'B', respectivamente.
Entonces:
1. Las circunferencias circunscritas a los triángulos P_aB'C', P_bC'A', P_cA'B' son concurrentes en un punto R₁.
2. Las circunferencias circunscritas a los triángulos A'P_bP_c, B'P_cP_a, C'P_aP_b son concurrentes en un punto R₂.

a^2*(-(a^2*c^2*u^4*v^2) + b^2*c^2*u^4*v^2 + c^4*u^4*v^2 - a^2*c^2*u^3*v^3 + b^2*c^2*u^3*v^3 + a^4*u^4*v*w - 2*a^2*b^2*u^4*v*w + b^4*u^4*v*w - 2*a^2*c^2*u^4*v*w + 2*b^2*c^2*u^4*v*w + c^4*u^4*v*w + 2*a^4*u^3*v^2*w - 4*a^2*b^2*u^3*v^2*w + 2*b^4*u^3*v^2*w - 4*a^2*c^2*u^3*v^2*w + b^2*c^2*u^3*v^2*w + 2*c^4*u^3*v^2*w + a^4*u^2*v^3*w - 2*a^2*b^2*u^2*v^3*w + b^4*u^2*v^3*w - 2*a^2*c^2*u^2*v^3*w - b^2*c^2*u^2*v^3*w - a^2*b^2*u^4*w^2 + b^4*u^4*w^2 + b^2*c^2*u^4*w^2 + 2*a^4*u^3*v*w^2 - 4*a^2*b^2*u^3*v*w^2 + 2*b^4*u^3*v*w^2 - 4*a^2*c^2*u^3*v*w^2 + b^2*c^2*u^3*v*w^2 + 2*c^4*u^3*v*w^2 + 4*a^4*u^2*v^2*w^2 - 5*a^2*b^2*u^2*v^2* w^2 + b^4*u^2*v^2*w^2 - 5*a^2*c^2*u^2*v^2*w^2 - 2*b^2*c^2*u^2* v^2*w^2 + c^4*u^2*v^2*w^2 + 2*a^4*u*v^3*w^2 - 2*a^2*b^2*u*v^3*w^2 - a^2*c^2*u*v^3*w^2 - a^2*b^2*u^3*w^3 + b^2*c^2*u^3*w^3 + a^4*u^2*v*w^3 - 2*a^2*b^2*u^2*v*w^3 - 2*a^2*c^2*u^2*v* w^3 - b^2*c^2*u^2*v*w^3 + c^4*u^2*v*w^3 + 2*a^4*u*v^2*w^3 - a^2*b^2*u*v^2*w^3 - 2*a^2*c^2*u*v^2* w^3 + a^4*v^3*w^3)* (-(a^2*c^2*u^4*v^2) + b^2*c^2*u^4*v^2 + c^4*u^4*v^2 - 2*a^2*c^2*u^3*v^3 + 2*b^2*c^2*u^3*v^3 - a^2*c^2*u^2*v^4 + b^2*c^2*u^2*v^4 - c^4*u^2*v^4 + a^4*u^4*v*w - 2*a^2*b^2*u^4*v*w + b^4*u^4*v*w - 2*a^2*c^2*u^4*v*w + 2*b^2*c^2*u^4*v*w + c^4*u^4*v*w + 2*a^4*u^3*v^2*w - 4*a^2*b^2*u^3*v^2*w + 2*b^4*u^3*v^2*w - 4*a^2*c^2*u^3*v^2*w + 4*b^2*c^2*u^3*v^2*w + 2*c^4*u^3*v^2*w + a^4*u^2*v^3*w - 2*a^2*b^2*u^2*v^3*w + b^4*u^2*v^3*w - 4*a^2*c^2*u^2*v^3*w + 4*b^2*c^2*u^2*v^3*w - 2*c^4*u^2*v^3*w - 2*a^2*c^2*u*v^4*w + 2*b^2*c^2*u*v^4*w - 2*c^4*u*v^4*w - a^2*b^2*u^4*w^2 + b^4*u^4*w^2 + b^2*c^2*u^4*w^2 + 2*a^4*u^3*v*w^2 - 4*a^2*b^2*u^3*v*w^2 + 2*b^4*u^3*v*w^2 - 4*a^2*c^2*u^3*v*w^2 + 4*b^2*c^2*u^3*v*w^2 + 2*c^4*u^3*v*w^2 + 4*a^4*u^2*v^2*w^2 - 4*a^2*b^2*u^2*v^2* w^2 - 4*a^2*c^2*u^2*v^2*w^2 + 6*b^2*c^2*u^2*v^2*w^2 + 2*a^4*u*v^3*w^2 - 2*b^4*u*v^3*w^2 - 2*a^2*c^2*u*v^3*w^2 + 6*b^2*c^2*u*v^3* w^2 - 4*c^4*u*v^3*w^2 + a^2*b^2*v^4*w^2 - b^4*v^4*w^2 - a^2*c^2*v^4*w^2 + 2*b^2*c^2*v^4*w^2 - c^4*v^4*w^2 - 2*a^2*b^2*u^3*w^3 + 2*b^2*c^2*u^3*w^3 + a^4*u^2*v*w^3 - 4*a^2*b^2*u^2*v*w^3 - 2*b^4*u^2*v*w^3 - 2*a^2*c^2*u^2*v*w^3 + 4*b^2*c^2*u^2*v* w^3 + c^4*u^2*v*w^3 + 2*a^4*u*v^2*w^3 - 2*a^2*b^2*u*v^2*w^3 - 4*b^4*u*v^2*w^3 + 6*b^2*c^2*u*v^2*w^3 - 2*c^4*u*v^2*w^3 + a^4*v^3*w^3 - 2*b^4*v^3*w^3 + 4*b^2*c^2*v^3*w^3 - 2*c^4*v^3*w^3 - a^2*b^2*u^2*w^4 - b^4*u^2*w^4 + b^2*c^2*u^2*w^4 - 2*a^2*b^2*u*v*w^4 - 2*b^4*u*v*w^4 + 2*b^2*c^2*u*v*w^4 - a^2*b^2*v^2*w^4 - b^4*v^2*w^4 + a^2*c^2*v^2*w^4 + 2*b^2*c^2*v^2*w^4 - c^4*v^2*w^4)

a^10*v^3*(u + v)^3*(v - w)^2*w^3*(u + w)^3* (u + v + w) - u^3*(-(c^2*v) + b^2*(u + v))*(v + w)^5* (-(b^2*w) + c^2*(u + w))* (b^2*(u + v)*w - c^2*v*(u + w))^2* (b^2*(u + v - w) + c^2*(u - v + w)) + a^8*v^2*(u + v)^2*(v - w)*w^2*(u + w)^2* (-(b^2*(u + v)*w*(u^3*w + 2*v*w*(v + w)^2 + u^2*(3*v^2 + 2*v*w + 2*w^2) + u*(3*v^3 + 4*v^2*w + 2*v*w^2 + w^3))) + c^2*v*(u + w)* (u^3*v + 2*v*w*(v + w)^2 + u^2*(2*v^2 + 2*v*w + 3*w^2) + u*(v^3 + 2*v^2*w + 4*v*w^2 + 3*w^3))) - a^2*u^2*(v + w)^3* (-(b^8*(u + v)^3*w^3*(u^3*w - v*w*(v + w)^2 - u^2*(3*v^2 + v*w + w^2) + u*(-3*v^3 - 2*v^2*w + v*w^2 - 2*w^3))) + c^8*v^3*(u + w)^3*(-(u^3*v) + v*w*(v + w)^2 + u^2*(v^2 + v*w + 3*w^2) + u*(2*v^3 - v^2*w + 2*v*w^2 + 3*w^3)) - 2*b^6*c^2*(u + v)^2*w^2* (2*v^2*w^2*(v + w)^2 + u^4*(v^2 + w^2) + u^3*(5*v^3 + 3*v^2*w + v*w^2 + 2*w^3) + u*v*w*(7*v^3 + 6*v^2*w + 2*v*w^2 + 5*w^3) + u^2*(4*v^4 + 8*v^3*w + 3*v^2*w^2 + 6*v*w^3 + w^4)) - 2*b^2*c^6*v^2* (u + w)^2*(2*v^2*w^2*(v + w)^2 + u^4*(v^2 + w^2) + u^3*(2*v^3 + v^2*w + 3*v*w^2 + 5*w^3) + u*v*w*(5*v^3 + 2*v^2*w + 6*v*w^2 + 7*w^3) + u^2*(v^4 + 6*v^3*w + 3*v^2*w^2 + 8*v*w^3 + 4*w^4)) + b^4*c^4*v*(u + v)*w*(u + w)* (6*v^2*w^2*(v + w)^2 + 2*u^4*(2*v^2 + v*w + 2*w^2) + 6*u*v*w*(3*v^3 + 2*v^2*w + 2*v*w^2 + 3*w^3) + u^3*(11*v^3 + 7*v^2*w + 7*v*w^2 + 11*w^3) + u^2*(7*v^4 + 20*v^3*w + 12*v^2*w^2 + 20*v*w^3 + 7*w^4))) + a^6*v*(u + v)*w*(u + w)* (b^4*(u + v)^2*w^2*(v^2*w^2*(v + w)^3 + u^4*v*w*(3*v + w) + 2*u*v*w*(v + w)^2* (2*v^2 - v*w + w^2) + u^3*(2*v^4 + 4*v^3*w + 5*v^2*w^2 - w^4) + u^2*(2*v^5 + 3*v^4*w + 5*v^3*w^2 + 7*v^2*w^3 + 2*v*w^4 - w^5)) + c^4*v^2*(u + w)^2* (v^2*w^2*(v + w)^3 + u^4*v*w* (v + 3*w) + 2*u*v*w*(v + w)^2* (v^2 - v*w + 2*w^2) + u^3*(-v^4 + 5*v^2*w^2 + 4*v*w^3 + 2*w^4) + u^2*(-v^5 + 2*v^4*w + 7*v^3*w^2 + 5*v^2*w^3 + 3*v*w^4 + 2*w^5)) - 2*b^2*c^2*v*w* (v^3*w^3*(v + w)^3 + 4*u*v^2*w^2* (v + w)^2*(v^2 + w^2) + 2*u^5*(v^2 + v*w + w^2)^2 + u^6*(v^3 + v^2*w + v*w^2 + w^3) + u^3*v*w*(6*v^4 + 15*v^3*w + 20*v^2*w^2 + 15*v*w^3 + 6*w^4) + u^4*(v^5 + 6*v^4*w + 14*v^3*w^2 + 14*v^2*w^3 + 6*v*w^4 + w^5) + u^2*v*w*(3*v^5 + 10*v^4*w + 16*v^3*w^2 + 16*v^2*w^3 + 10*v*w^4 + 3*w^5))) - a^4*u*(v + w)*(-(b^2*c^4*v^2*w*(u + w)^2* (-3*v^3*(v - w)*w^2*(v + w)^2 + 2*u^5*v*(v^2 + v*w + w^2) + u^4*(9*v^4 + 10*v^3*w + 5*v^2*w^2 - 6*v*w^3 - 6*w^4) + u*v^2*w* (4*v^4 + 6*v^3*w - 5*v^2*w^2 - 6*v*w^3 + w^4) + u^2*v*(5*v^5 + 11*v^4*w + 16*v^3*w^2 - v^2*w^3 - 19*v*w^4 - 8*w^5) + u^3*(12*v^5 + 15*v^4*w + 10*v^3*w^2 - 5*v^2*w^3 - 16*v*w^4 - 6*w^5))) + c^6*v^3*(u + w)^3* (-(v^2*(v - w)*w^2*(v + w)^2) + u^4*v*(v^2 + 2*v*w + 3*w^2) + u*v^2*w*(2*v^3 + 3*v^2*w - 2*v*w^2 - 3*w^3) + 2*u^3*(v^4 + v^3*w + 2*v^2*w^2 - w^4) + u^2*(v^5 + 2*v^4*w + 6*v^3*w^2 + 2*v^2*w^3 - 5*v*w^4 - 2*w^5)) + b^6*(u + v)^3*w^3*(v^2*(v - w)*w^2* (v + w)^2 + u^4*w*(3*v^2 + 2*v*w + w^2) + u*v*w^2*(-3*v^3 - 2*v^2*w + 3*v*w^2 + 2*w^3) + 2*u^3*(-v^4 + 2*v^2*w^2 + v*w^3 + w^4) + u^2*(-2*v^5 - 5*v^4*w + 2*v^3*w^2 + 6*v^2*w^3 + 2*v*w^4 + w^5)) - b^4*c^2*v*(u + v)^2*w^2* (3*v^2*(v - w)*w^3*(v + w)^2 + 2*u^5*w*(v^2 + v*w + w^2) + u*v*w^2*(v^4 - 6*v^3*w - 5*v^2*w^2 + 6*v*w^3 + 4*w^4) + u^4*(-6*v^4 - 6*v^3*w + 5*v^2*w^2 + 10*v*w^3 + 9*w^4) + u^2*w*(-8*v^5 - 19*v^4*w - v^3*w^2 + 16*v^2*w^3 + 11*v*w^4 + 5*w^5) + u^3*(-6*v^5 - 16*v^4*w - 5*v^3*w^2 + 10*v^2*w^3 + 15*v*w^4 + 12*w^5)))

R₁ = (a^2(a^2-b^2-b*c-c^2)(a^3+a^2b-a*b^2-b^3+a^2c+a*b*c+b^2c-a*c^2+b*c^2-c^3)
(a^6-2a^4b^2+a^2b^4+a^2b^3c-b^5c-2a^4c^2-a^2b^2c^2+a^2b*c^3+2b^3c^3+a^2c^4-b*c^5) :...:...),

R₂ = ( (a-b-c) (b-c)^2 (a^3+a^2b-a*b^2-b^3+a^2c+a*b*c+b^2c-a*c^2+b*c^2-c^3)
(a^6-a^4b^2-a^2b^4+b^6-2a^2b^3c+2b^5c-a^4c^2-a^2b^2c^2-b^4c^2-2a^2b*c^3 -4b^3c^3-a^2c^4-b^2c^4+2b*c^5+c^6):...:...),

R₁ = (a^2(4a^4-7a^2b^2-2b^4-7a^2c^2+14b^2c^2-2c^4) (4a^4-6a^2b^2+2b^4-6a^2c^2+b^2c^2+2c^4):...:...),

R₂ = ((b-c)^2(b+c)^2(-7a^2+2b^2+2c^2)(-2a^4+2b^4-5b^2c^2+2c^4):...:...),

Propiedad del centro X₃₆₄₉

( (b+c)(2a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) : (c+a)(2b+c+a)(b-c+a)(b+c-a) : (a+b)(2c+a+b)(c-a+b)(c+a-b) ).

Las paralelas citadas anteriormente son las rectas DO₁, EO₂, FO₃, siendo O₁, O₂, O₃ los circuncentros de los triángulos AEF, BFD, CDE, respectivamente.

Rectángulos de diagonal mínima inscritos en un triángulo

Sea ABC un triángulo, de los rectángulos inscritos en ABC, con uno de sus lados sobre los lados del triángulo, tomemos los tres que tienen diagonal de longitud mínima. Los lados de estos rectángulos paralelos a los de ABC, delimitan un triángulo A'B'C' homotético a ABC, con centro de homotecia en el punto de coordenadas baricéntricas:

U = ( a^4 / (3a^4+ 2a^2(b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 ) : b^4 / (3b^4+ 2b^2(c^2 + a^2) - (c^2 - a^2)^2 ) : c^4 / (3c^4+ 2c^2(a^2 + b^2) - (a^2 -b^2)^2 ) ) =
= ( a^4/(a^4+S^2) : b^4/(b^4+S^2) : c^4/(c^4+S^2) ),

z (S_B x + a^2 z) + t (S_B y + (-S_C + S) z) (-S_B y + (S_C + S) z)=0,

Cúbicas de Darboux y central de Spieker

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo antipedal de P. Si P está sobre la cúbica de Darboux, las paralelas a IA', IB' y I'C (I el incentro) por A,B y C, concurren en un punto R sobre la cúbica central de Spieker (K033 del catálogo de Bernard Gibert).

Cúbica de Darboux y circunferencias coaxiales

Sean ABC un triángulo, A₁B₁C₁ el triángulo órtico y P un punto. Las rectas AP,BP,CP vuelven a cortas a las circunferencias circunscritas a los triángulos PBC,PCA,PAB, resp. en A',B',C', resp.

Las circunferencias circunscritas a los triángulos AA₁A', BB₁B', CC₁C' son coaxiales si P está sobre la cúbica de Darboux (K004 del catálogo de Bernard Gibert).
El eje radical de las circunferencias coaxiales pasa por el ortocentro.

Triángulos a mitad de camino

Sean ABC un triángulo, P un punto y P* su conjugado isogonal. Denotamos por A',B',C' los puntos medios de AP, BP, CP, respectivamente, y por A",B",C" los puntos medios de AP*, BP*, CP*, respectivamente.
Sean D,E,F los puntos medios de A'A", B'B", C'C", respectivamente, entonces los triángulos ABC y DEF son ortológicos (las perpendiculares desde los vértices de uno de ellos a los correspondientes lados del otro son concurrentes) y los centros ortológicos son el circuncentro y el punto de coordenadas, P(u:v:w):

(a^2vw(4u+3v+3w)+ b^2uw(3u+2v+2w) + c^2uv(3u+2v+2w)) /
3b^2c^4u^4v^2 + a^2c^4u^3v^3 + 5b^2c^4u^3v^3 + 3c^6u^3v^3 + a^2c^4u^2v^4 + 2b^2c^4u^2v^4 + 2c^6u^2v^4 + a^2b^2c^2u^4vw + 3b^4c^2u^4vw + 3b^2c^4u^4vw + 7a^2b^2c^2u^3v^2*w + 5b^4c^2u^3v^2w + 19b^2c^4u^3v^2w + a^4c^2u^2v^3w + 9a^2b^2c^2u^2v^3w + 2b^4c^2u^2v^3w + 9a^2c^4u^2v^3w + 12b^2c^4u^2v^3w + 2c^6u^2v^3w + a^4c^2uv^4w + 3a^2b^2c^2uv^4w + 5a^2c^4uv^4w + 3b^4c^2u^4w^2 + 7a^2b^2c^2u^3vw^2 + 19b^4c^2u^3vw^2 + 5b^2c^4u^3vw^2 + 34a^2b^2c^2u^2v^2w^2 + 12b^4c^2u^2v^2w^2 + 12b^2c^4u^2v^2w^2 + 7a^4c^2uv^3w^2 + 19a^2b^2c^2uv^3w^2 + 5a^2c^4uv^3w^2 + 3a^4c^2v^4w^2 + a^2b^4u^3w^3 + 3b^6u^3w^3 + 5b^4c^2u^3w^3 + a^4b^2u^2vw^3 + 9a^2b^4u^2vw^3 + 2b^6u^2vw^3 + 9a^2b^2c^2u^2vw^3 + 12b^4c^2u^2vw^3 + 2b^2c^4u^2vw^3 + 7a^4b^2uv^2w^3 + 5a^2b^4uv^2w^3 + 19a^2b^2c^2uv^2w^3 + a^6v^3w^3 + 3a^4b^2v^3w^3 + 3a^4c^2v^3w^3 + a^2b^4u^2w^4 + 2b^6u^2w^4 + 2b^4c^2u^2w^4 + a^4b^2uvw^4 + 5a^2b^4uvw^4 + 3a^2b^2c^2uvw^4 + 3a^4b^2v^2w^4 : ... : ...).

( (10a^2 + 7(b^2+c^2))/ (a^6+15a^4(b^2+c^2) + 3a^2(7b^4+37b^2c^2+7c^4)+7(b^6+9b^4c^2+9b^2c^4+c^6)) : ... : ...)

( (2a^4 - 5a^2(b^2+c^2)+ 3(b^2-c^2)^2 )/ (a^6+a^4(b^2+c^2) - 5a^2(b^4+b^2c^2+c^4) + 3(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) : ... : ...)

Cúbica de Neuberg y circunferencias coaxiales

Sean ABC un triángulo, A'B'C' el triángulo órtico, P un punto y A", B", C" los puntos medios de AP, BP, CP, respectivamente.
Si P está sobre la cúbica de Neuberg (K001 del catálogo de Bernard Gibert) las circunferencias circunscritas a los triángulos AA'A", BB'B", CC'C", son coaxiales, con eje la recta de Euler.

Puntos de Kosnita y circunferencias concurrentes

Sean ABC un triángulo, I el incentro y N_a, N_b, N_c los centros de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos IBC, ICA, IAB, resp.
Se denota por K_a, K_b, K_c los conjugados isogonales de N_a, N_b, N_c con respecto a los triángulos IBC, ICA, IAB, resp. (es decir, K_a, K_b, K_c son los puntos de Kosnita de los triángulos IBC, ICA, IAB).
Las coordenadas baricéntricas del punto de Kosnita de IBC son:
K_a = (a^2(a-b)(a-c) : b(a-b)(a^2- b^2+c^2-a(b+2c)) : c(a-c)(a^2+b^2-c^2-a(2b+c)).

Las circunferencias circunscritas a ABC, AK_bK_c, BK_cK_a, CK_aK_b son concurrentes en el punto X de coordenadas baricéntricas:

X = ( a^2/((b-c)(2a^4-a^3(b+c)-a^2(3b^2+4b*c+3c^2)+a(b+c)(b^2+3b*c+c^2)+(b^2-c^2)^2)) : ... : ... ),

Triángulos medial y órtico. Conjugados isogonales

Sean ABC un triángulo, H_aH_bH_c el triángulo órtico y M_aM_bM_c triángulo medial.

A'=(2a^4+a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2: b^2(a^2+b^2-c^2):c^2(a^2-b^2+c^2)) es el conjugado isogonal de H_a respecto al triángulo GM_bM_c, B' el conjugado isogonal de H_b respecto al triángulo GM_cM_a y C' el conjugado isogonal de H_c respecto al triángulo GM_aM_b.

Entonces, los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad X₂₅, el centro de homotecia de los triángulo órtico y tangencial.

( a^2( 3a^16(b^2+c^2) -
a^14(9b^4+26b^2c^2+9c^4) +
3a^12(b^6+16b^4c^2+16b^2c^4+c^6) +
a^10(15b^8-24b^6c^2-62b^4c^4-24b^2c^6+15c^8) -
a^8(15b^10+12b^8c^2-11b^6c^4-11b^4c^6+12b^2c^8+15c^10) +
a^6(-3b^12+30b^10c^2+51b^8c^4+116b^6c^6+51b^4c^8+30b^2c^10-3c^12) +
a^4(9b^14-36b^12c^2-26b^10c^4+85b^8c^6+85b^6c^8-26b^4c^10-36b^2c^12+9c^14) -
a^2(b^2-c^2)^2(3b^12-14b^10c^2-3b^8c^4+76b^6c^6-3b^4c^8-14b^2c^10+3c^12)-
3b^2c^2(b^2-c^2)^6(b^2+c^2)) : ... : ... ),

( (a^2+2S_A)(a^4+S_BS_C+S^2) : (b^2+2S_B)(b^4+S_CS_A+S^2) : (c^2+2S_C)(c^4+S_AS_B+S^2) ),

Triángulos circuncevianos ortológicos con el triángulo de referencia

Sean ABC un triángulo y P un punto, denotamos por A'B'C' el triángulo circunceviano de P.
A_b y A_c son las proyecciones ortogonales de A' sobre BB' y CC', respectivamente y H_a el ortocentro de A'A_bA_c. Similarmente se consideran los correspondientes ortocentros H_b y H_c.
Los triángulos ABC y H_aH_bH_c son ortológicos (las perpendiculares desde los vértices de uno de ellos a los correspondientes lados del otro son concurrentes) en los siguientes casos:

1. Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita: el triángulo circunceviano degenera en el punto P.

2. Cuando P está sobre la cúbica de Darboux (K004 del catálogo de Bernard Gibert).

Triángulos homotéticos y la quíntica Stothers

Sean ABC un triángulo, P un punto y k un número real. A'B'C' el triángulo homotético a ABC, mediante la homotecia de centro P y razón k.
Sea A_b=BC∩C'A', A_c=BC∩A'B', y se definen B_c, B_a, C_a, C_b cíclicamente.
Esta seis intersecciones están en una cónica, c(P,k).
Cuando k varía los centros Z(P,k) de las cónicas c(P,k) quedan sobre una recta d(P) que pasa por P.

d(P) es un eje de las cónicas c(P,k), para todo k, si y solo si P está en la quíntica Stothers o en la recta del infinito".

Circunferencias concurrentes en la recta de Euler del triángulo excentral

Sean ABC un triángulo, A'B'C' el triángulo excentral, y A",B",C" los puntos medios de las alturas A'A, B'B, C'C del triángulo excentral
Las circunferencias circunscritas a los triángulos A"BC, B"CA, C"AB concurren en el punto (sobre la recta de Euler del triángulo excentral) X₁₃₁₉ = Bevan-Schröder point.

( a (2 a^3 - a^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b*c + c^2) + b^3 + b^2 c + c^2 b + c^3): ... : ... ),

Circunferencias concurrentes en la recta de Euler

Sean ABC un triángulo, A'B'C' el triángulo órtico, y A",B",C" los puntos medios de las alturas.
Las circunferencias circunscritas a los triángulos A"B'C', B"C'A', C"A'B' concurren en el punto (sobre la recta de Euler) de coordenadas baricéntricas:

( S_B S_C(S_A(c^2-b^2)^2 - S_B S_C(2S_A-a^2)): ... : ... ),

Hipérbola circunscrita a un triángulo dada una asíntota

Sean ABC un triángulo y una recta h. La hipérbola circunscrita a ABC y con asíntota h, puede ser construida como en el caso (PPPt_P), cuando se dan cuatro puntos y la tangente en uno de ellos.
También podemos hacer uso del hecho de que la otra asíntota es la conjugada isotómica de la asíntota dada , y acudir a cualquiera de los casos de construcción de una hipérbola dado un punto y dos asíntotas: (hhP) o (hhP(2)).

Rectángulos sobre los lados de un triángulo

Sean ABC un triángulo, DEF su triángulo medial y t un número real. Denotamos por D', E', F' las imágenes de D, E, F mediante las homotecias de centro en el circuncentro O y razón t. Consideremos los rectángulos BCC_aB_a, CAA_bC_b, ABB_cA_c tales que D', E', F' son, respectivamente, los puntos medios de los lados C_aB_a, A_bC_b, B_cA_c.
Entonces, las mediatrices de A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b concurren en el punto, sobre la recta de Euler, P(t)=3(1+t) X(2) - (1+3t) X(3)

Triángulos con la recta HI que biseca un lado del triángulo medial

Enunciado:
Si ABC es un triángulo con B', C' los puntos medios de AC, AB, respectivamente, H y I el ortocentro e incentro de ABC. Probar que si IH biseca a B'C' entonces ABC es isósceles.

Las coordenadas baricéntricas del punto de intersección de las rectas IH y B'C' son:
(2a^4 - a^2(b-c)^2 - a^3(b+c) + a(b-c)^2(b+c) - (b^2-c^2)^2 : (a-c)(a^3 + a^2(b-c) - a(b-c)^2 - (b-c)(b+c)^2) : (a-b)(a^3 - a(b-c)^2 - a^2(b-c) + (b-c)(b+c)^2) ).
Para que este punto coincida con el punto medio de B'C' de coordenadas (2:1:1), ha de ocurrir que b=c (solución trivial) o bien que:
c = a - b + (2*2^(2/3)a(a - b))/ (3^(1/3)(a(a - b)(-9b + Sqrt[-48a^2 + 48a*b + 81b^2]))^(1/3)) + (2^(1/3)(a(a - b)(-9b + Sqrt[-48a^2 + 48a*b + 81b^2]))^(1/3))/3^(2/3).

Así, existen triángulos NO isósceles para los cuales IH y B'C'.

Triángulos equiláteros de mismo baricentro y puntos en la hipérbola de Kiepert

Sean ABC un triángulo y los dos triángulos equiláteros A₁A₂A₃, A'₁A'₂A'₃, con el mismo baricentro G que ABC y tales que los segmentos A₂A₃, A'₂A'₃ son iguales y paralelos al segmento BC.

• Las rectas AA₁, BB₁ y CC₁ se cortan en X₁₃, primer punto isogonal (Fermat - Torricelli).

• Las rectas AA'₁, BB'₁ y CC'₁ se cortan en X₁₄, segundo punto isogonal.

• Denotamos por M₁, N₁ y P₁ los puntos medios de A₂A₃, B₂B₃ y C₂C₃, respectivamente. Las rectas AM₁, BN₁ y CP₁ se cortan en el centro de perspectividad de Kiepert K1 (sobre la hipérbola de Kiepert) de coordenadas baricéntricas:

K1 = ( 1 / (S_A-2S/√3) : 1 / (S_B-2S/√3) : 1 / (S_C-2S/√3) ),

• Denotamos por M'₁, N'₁ y P'₁ los puntos medios de A'₂A'₃, B'₂B'₃ y C'₂C'₃, respectivamente. Las rectas AM'₁, BN'₁ y CP'₁ se cortan en el punto K2 (sobre la hipérbola de Kiepert) de coordenadas baricéntricas:

K2 = ( 1 / (S_A+2S/√3) : 1 / (S_B+2S/√3) : 1 / (S_C+2S/√3) ),

• Denotamos por M el punto medio de M₁ y el punto medio M_a de BC, por N el punto medio de N₁ y el punto medio M_b de CA y por P el punto medio M_c de P₁ y el punto medio de AB. Las rectas AM, BN y CP se cortan en el punto K3 (sobre la hipérbola de Kiepert) de coordenadas baricéntricas:

K3 = ( 1 / (S_A-5S/√3) : 1 / (S_B-5S/√3) : 1 / (S_C -5S/√3) ),

• Denotamos por M' el punto medio de M'₁ y el punto medio M_a de BC, por N' el punto medio de N'₁ y el punto medio M_b de CA y por P' el punto medio M_c de P'₁ y el punto medio de AB. Las rectas AM', BN' y CP' se cortan en el punto K4 (sobre la hipérbola de Kiepert) de coordenadas baricéntricas:

K4 = ( 1 / (S_A+5S/√3) : 1 / (S_B+5S/√3) : 1 / (S_C+5S/√3) ),

• Denotamos por G_a, G_b y G_b los baricentros de BCA₁, CAB₁ y ABC₁, respectivamente. Las rectas AG_a, BG_b y CG_c se cortan en el punto K5 (sobre la hipérbola de Kiepert) de coordenadas baricéntricas:

K5 = ( 1 / (S_A+4S/√3) : 1 / (S_B+4S/√3) : 1 / (S_C+4S/√3) ),

• Denotamos por G'_a, G'_b y G'_b los baricentros de BCA'₁, CAB'₁ y ABC'₁, respectivamente. Las rectas AG'_a, BG'_b y CG'_c se cortan en el punto K6 (sobre la hipérbola de Kiepert) de coordenadas baricéntricas:

K6 = ( 1 / (S_A-4S/√3) : 1 / (S_B-4S/√3) : 1 / (S_C-4S/√3) ),

Otros centros del triángulo en esta configuración

• Las rectas M_aM₁, M_bN₁ y M_cP₁ concurren en X₆₁₈, primer punto isogónico del triángulo medial.

• Las rectas M_aM'₁, M_bN'₁ y M_cP'₁ concurren en X₆₁₉, segundo punto isogónico del triángulo medial.

• Las rectas MM', NN' y PP' concurren en X₅₄₉, punto medio del baricentro y el circuncentro de ABC.

• Las rectas G_aG'_a, G_bG'_b y G_cG'_c concurren en X₃₅₂₄, en la recta de Euler de ABC.

• Las rectas MG_a, NG_b y PG_c concurren en el punto de coordenadas baricéntricas:

( 53a^4 + 11(b^2-c^2)^2 - 64a^2(b^2+c^2) - 2√3(a^2+3b^2+3c^2)S : ... : ... ),

• Las rectas M'G'_a, N'G'_b y P'G'_c concurren en el punto de coordenadas baricéntricas:

( 53a^4 + 11(b^2-c^2)^2 - 64a^2(b^2+c^2) + 2√3(a^2+3b^2+3c^2)S : ... : ... ),

El centro del triángulo X(3162) como centro de una cónica

Sean ABC un triángulo, P un punto, D, E y F los pies de las cevianas de P en los lados BC, CA y AB. Denotamos por A', B' y C' los puntos donde las mediatrices de AD, BE y CF cortan a BC, CA y AB, respectivamente. El lugar geométrico de los puntos P tales que A', B' y C' estén alineados es una séxtica ( Mostrar/Ocultar fórmula )

a^4*c^2*x^4*y^2 - b^4*c^2*x^4*y^2 - a^2*c^4*x^4*y^2 + b^2*c^4*x^4*y^2 + 2*a^4*c^2*x^3*y^3 - 2*b^4*c^2*x^3*y^3 + a^4*c^2*x^2*y^4 - b^4*c^2*x^2*y^4 - a^2*c^4*x^2*y^4 + b^2*c^4*x^2*y^4 - 2*b^4*c^2*x^4*y*z + 2*b^2*c^4*x^4*y*z + 2*a^4*c^2*x^3*y^2*z - 4*b^4*c^2*x^3*y^2*z - 2*a^2*c^4*x^3*y^2*z + 2*b^2*c^4*x^3*y^2*z + 4*a^4*c^2*x^2*y^3*z - 2*b^4*c^2*x^2*y^3*z - 2*a^2*c^4*x^2*y^3*z + 2*b^2*c^4*x^2*y^3*z + 2*a^4*c^2*x*y^4*z - 2*a^2*c^4*x*y^4*z - a^4*b^2*x^4*z^2 + a^2*b^4*x^4*z^2 - b^4*c^2*x^4*z^2 + b^2*c^4*x^4*z^2 - 2*a^4*b^2*x^3*y*z^2 + 2*a^2*b^4*x^3*y*z^2 - 2*b^4*c^2*x^3*y*z^2 + 4*b^2*c^4*x^3*y*z^2 - 2*a^4*b^2*x^2*y^2*z^2 + 2*a^2*b^4*x^2*y^2*z^2 + 2*a^4*c^2*x^2*y^2*z^2 - 2*b^4*c^2*x^2*y^2*z^2 - 2*a^2*c^4*x^2*y^2*z^2 + 2*b^2*c^4*x^2*y^2*z^2 - 2*a^4*b^2*x*y^3*z^2 + 2*a^2*b^4*x*y^3*z^2 + 2*a^4*c^2*x*y^3*z^2 - 4*a^2*c^4*x*y^3*z^2 - a^4*b^2*y^4*z^2 + a^2*b^4*y^4*z^2 + a^4*c^2*y^4*z^2 - a^2*c^4*y^4*z^2 - 2*a^4*b^2*x^3*z^3 + 2*b^2*c^4*x^3*z^3 - 4*a^4*b^2*x^2*y*z^3 + 2*a^2*b^4*x^2*y*z^3 - 2*b^4*c^2*x^2*y*z^3 + 2*b^2*c^4*x^2*y*z^3 - 2*a^4*b^2*x*y^2*z^3 + 4*a^2*b^4*x*y^2*z^3 + 2*a^4*c^2*x*y^2*z^3 - 2*a^2*c^4*x*y^2*z^3 + 2*a^2*b^4*y^3*z^3 - 2*a^2*c^4*y^3*z^3 - a^4*b^2*x^2*z^4 + a^2*b^4*x^2*z^4 - b^4*c^2*x^2*z^4 + b^2*c^4*x^2*z^4 - 2*a^4*b^2*x*y*z^4 + 2*a^2*b^4*x*y*z^4 - a^4*b^2*y^2*z^4 + a^2*b^4*y^2*z^4 + a^4*c^2*y^2*z^4 - a^2*c^4*y^2*z^4=0.

Σ(a^6 - a^4 (b^2 + c^2) - a^2 (b^2 - c^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) x^2 - 2 (b^2 + c^2) (a^4 - (b^2 - c^2)^2) y*z=0.

( 1 / (a^6 + a^4(b^2+c^2) - a^2((b^2+c^2)^2-b^2 c^2) - (b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)) : ... : ... ),

Rectas de Euler concurrentes

Sean ABC un triángulo y A'B'C' su triángulo de reflexión (ie. A', B' y C' son los simétricos de A, B y C respecto a BC, CA y AB, resp.). Denotamos por:
A_b y A_c las proyecciones ortogonales de A' sobre BB' y CC', resp.
B_c y B_a las proyecciones ortogonales de B' sobre CC' y AA', resp.
C_a y C_b las proyecciones ortogonales de C' sobre AA' y BB', resp.
Entonces, las rectas de Euler L_a, L_b y L_c de los triángulos A'AbAc, B'BcBa y C'CaCb, respectivamente, son concurrentes en el punto X de coordenadas baricéntricas:

( a^2 (a^8(b^2+c^2) - 2a^6(b^4+c^4) + a^4b^2c^2(b^2+c^2) + a^2(b^2-c^2)^2(2b^4+b^2c^2+2c^4) - b^10+b^8c^2+b^2c^8-c^10) : ... : ... ),

Rectas de Euler de dos triángulos ortológicos

Sean ABC un triángulo, A'B'C' su triángulo de reflexión (ie. A', B' y C' son los simétricos de A, B y C respecto a BC, CA y AB, resp.) y A_tB_tC_t el triángulo antipedal del circuncentro O (triángulo tangencial).
Sean O_a, O_b y O_c los circuncentros de los triángulos A_tB'C', B_tC'A' y C_tA'B', resp. Ellos quedan en las alturas de ABC (sobre las rectas AA', BB' y CC').
Por tanto, ABC y O_aO_bO_c son ortológicos con un centro de ortología en el ortocentro H de ABC.
El otro centro de ortología es el punto de intersección de las perpendiculares por A, B y C a las rectas O_bO_c, O_cO_a y O_aO_b, resp., de ecuaciones baricéntricas:

( a^8(b^2+c^2) - 2a^6(b^4-b^2c^2+c^4) - a^4b^2c^2(b^2+c^2) + a^2(b^2-c^2)^2(2b^4-b^2c^2+2c^4) - (b^2-c^2)^4(b^2+c^2) : ... : ... ),

Punto sobre la recta de Euler

Dado un triángulo ABC, sea DEF el triángulo acotado por las rectas L_a, L_b y L_c, donde L_a es la polar del ortocentro H con respecto a la circunferencia centrada en A y pasando por N, centro de la circunferencia de los nueve puntos; L_b y L_c se definen cíclicamente.

El triángulo DEF es homotético a ABC con centro de homotecia X (en la recta de Euler), de coordenadas baricéntricas:

((a^6-3a^4(b^2+c^2)+a^2(3b^4+b^2c^2+3c^4)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) /(b^2+c^2-a^2) : ... : ... ),

Circunferencias inscritas de igual radio

Dado un triángulo ABC, construir:
1. Tres circunferencias de igual radio, tangentes a los lados AB y AC, BC y BA, CA y CB, respectivamente, y que tengan un punto común.
2. Tres circunferencias de igual radio, tangentes a los lados AB y AC, BC y BA, CA y CB, respectivamente, y tangentes exteriormente a otra circunferencia, también de mismo radio.

Reflexiones en la recta que pasa por dos puntos conjugados isogonales

◊  Sean ABC un triángulo, P y P* dos puntos conjugados isogonales y A'B'C' el triángulo antipedal de P.
Las perpendiculares por A', B' y C' a las reflexiones de AP, BP y CP, respectivamente, respecto a PP* son concurrentes, en un punto Q sobre las circunferencia circunscrita a A'B'C'.

En particular, si P=O (A'B'C' es el triángulo tangencial), el punto de concurrencia Q tiene coordenadas baricéntricas (Anopolis #419):

( a^2(a^16 - 2a^14(b^2+c^2)- 2a^12(b^4-5b^2c^2+c^4)+ 2a^10(b^2+c^2)(3b^4-7b^2c^2+3c^4) - a^8b^2c^2(3b^2-4c^2)(4b^2-3c^2)- 6a^6(b-c)^2(b+c)^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)+ a^4(b-c)^2(b+c)^2(2b^8+12b^6c^2-b^4c^4+12b^2c^6+2c^8)+ 2a^2(b-c)^2(b+c)^2(b^2+c^2)(b^8-4b^6c^2+3b^4c^4-4b^2c^6+c^8)- (b-c)^4(b+c)^4(b^8+2b^6c^2+2b^2c^6+c^8)) : ... : ...),

-a^2*b^2*c^6*x^6*y^3 + b^2*c^8*x^6*y^3 - 3*a^2*b^2*c^6*x^5*y^4 - 3*a^2*b^2*c^6*x^4*y^5 - a^2*b^2*c^6*x^3*y^6 + a^2*c^8*x^3*y^6 + 3*b^4*c^6*x^6*y^2*z - 6*a^2*b^2*c^6*x^4*y^4*z + 3*a^4*c^6*x^2*y^6*z + 3*b^6*c^4*x^6*y*z^2 + 6*a^2*b^4*c^4*x^5*y^2*z^2 + 3*a^4*b^2*c^4*x^4*y^3*z^2 - 3*a^2*b^2*c^6*x^4*y^3*z^2 + 3*a^2*b^4*c^4*x^3*y^4*z^2 - 3*a^2*b^2*c^6*x^3*y^4*z^2 + 6*a^4*b^2*c^4*x^2*y^5*z^2 + 3*a^6*c^4*x*y^6*z^2 - a^2*b^6*c^2*x^6*z^3 + b^8*c^2*x^6*z^3 + 3*a^4*b^4*c^2*x^4*y^2*z^3 - 3*a^2*b^6*c^2*x^4*y^2*z^3 - 3*a^6*b^2*c^2*x^2*y^4*z^3 + 3*a^4*b^4*c^2*x^2*y^4*z^3 + a^8*c^2*y^6*z^3 - a^6*b^2*c^2*y^6*z^3 - 3*a^2*b^6*c^2*x^5*z^4 - 6*a^2*b^6*c^2*x^4*y*z^4 - 3*a^2*b^6*c^2*x^3*y^2*z^4 + 3*a^2*b^4*c^4*x^3*y^2*z^4 - 3*a^6*b^2*c^2*x^2*y^3*z^4 + 3*a^4*b^2*c^4*x^2*y^3*z^4 - 6*a^6*b^2*c^2*x*y^4*z^4 - 3*a^6*b^2*c^2*y^5*z^4 - 3*a^2*b^6*c^2*x^4*z^5 + 6*a^4*b^4*c^2*x^2*y^2*z^5 - 3*a^6*b^2*c^2*y^4*z^5 + a^2*b^8*x^3*z^6 - a^2*b^6*c^2*x^3*z^6 + 3*a^4*b^6*x^2*y*z^6 + 3*a^6*b^4*x*y^2*z^6 + a^8*b^2*y^3*z^6 - a^6*b^2*c^2*y^3*z^6=0.

Reflexiones de la recta que pasa por dos puntos conjugados isogonales

Sean ABC un triángulo, P y P* dos puntos conjugados isogonales y A'B'C' el triángulo pedal de P.
Las perpendiculares por A', B' y C' a las reflexiones de PP*, respecto a AP, BP y CP son concurrentes en un punto Q, si P está sobre la nónica que pasa por los vértices de ABC (puntos triples), por el incentro I, por el ortocentro H y por los exincentros I_a, I_b, I_c. ( Mostrar/Ocultar fórmula )

-a^4*b^2*c^4*x^6*y^3 + 2*a^2*b^4*c^4*x^6*y^3 - b^6*c^4*x^6*y^3 + a^2*b^2*c^6*x^6*y^3 - b^4*c^6*x^6*y^3 - a^6*c^4*x^5*y^4 + 3*a^2*b^4*c^4*x^5*y^4 - 2*b^6*c^4*x^5*y^4 + 2*a^4*c^6*x^5*y^4 - 3*a^2*b^2*c^6*x^5*y^4 + b^4*c^6*x^5*y^4 - a^2*c^8*x^5*y^4 + b^2*c^8*x^5*y^4 - 2*a^6*c^4*x^4*y^5 + 3*a^4*b^2*c^4*x^4*y^5 - b^6*c^4*x^4*y^5 + a^4*c^6*x^4*y^5 - 3*a^2*b^2*c^6*x^4*y^5 + 2*b^4*c^6*x^4*y^5 + a^2*c^8*x^4*y^5 - b^2*c^8*x^4*y^5 - a^6*c^4*x^3*y^6 + 2*a^4*b^2*c^4*x^3*y^6 - a^2*b^4*c^4*x^3*y^6 - a^4*c^6*x^3*y^6 + a^2*b^2*c^6*x^3*y^6 + 3*a^2*b^4*c^4*x^6*y^2*z - 3*b^6*c^4*x^6*y^2*z - 3*b^4*c^6*x^6*y^2*z + 2*a^4*b^2*c^4*x^5*y^3*z + 2*a^2*b^4*c^4*x^5*y^3*z - 4*b^6*c^4*x^5*y^3*z - 4*a^2*b^2*c^6*x^5*y^3*z + 2*b^4*c^6*x^5*y^3*z + 2*b^2*c^8*x^5*y^3*z - a^6*c^4*x^4*y^4*z + a^4*b^2*c^4*x^4*y^4*z + a^2*b^4*c^4*x^4*y^4*z - b^6*c^4*x^4*y^4*z + 2*a^4*c^6*x^4*y^4*z - 2*a^2*b^2*c^6*x^4*y^4*z + 2*b^4*c^6*x^4*y^4*z - a^2*c^8*x^4*y^4*z - b^2*c^8*x^4*y^4*z - 4*a^6*c^4*x^3*y^5*z + 2*a^4*b^2*c^4*x^3*y^5*z + 2*a^2*b^4*c^4*x^3*y^5*z + 2*a^4*c^6*x^3*y^5*z - 4*a^2*b^2*c^6*x^3*y^5*z + 2*a^2*c^8*x^3*y^5*z - 3*a^6*c^4*x^2*y^6*z + 3*a^4*b^2*c^4*x^2*y^6*z - 3*a^4*c^6*x^2*y^6*z + 3*a^2*b^4*c^4*x^6*y*z^2 - 3*b^6*c^4*x^6*y*z^2 - 3*b^4*c^6*x^6*y*z^2 + a^4*b^4*c^2*x^5*y^2*z^2 - 2*a^2*b^6*c^2*x^5*y^2*z^2 + b^8*c^2*x^5*y^2*z^2 + a^4*b^2*c^4*x^5*y^2*z^2 + 2*a^2*b^4*c^4*x^5*y^2*z^2 - b^6*c^4*x^5*y^2*z^2 - 2*a^2*b^2*c^6*x^5*y^2*z^2 - b^4*c^6*x^5*y^2*z^2 + b^2*c^8*x^5*y^2*z^2 + 2*a^6*b^2*c^2*x^4*y^3*z^2 - 3*a^4*b^4*c^2*x^4*y^3*z^2 + b^8*c^2*x^4*y^3*z^2 + 7*a^2*b^4*c^4*x^4*y^3*z^2 - b^6*c^4*x^4*y^3*z^2 - 3*a^2*b^2*c^6*x^4*y^3*z^2 - b^4*c^6*x^4*y^3*z^2 + b^2*c^8*x^4*y^3*z^2 + a^8*c^2*x^3*y^4*z^2 - 3*a^4*b^4*c^2*x^3*y^4*z^2 + 2*a^2*b^6*c^2*x^3*y^4*z^2 - a^6*c^4*x^3*y^4*z^2 + 7*a^4*b^2*c^4*x^3*y^4*z^2 - a^4*c^6*x^3*y^4*z^2 - 3*a^2*b^2*c^6*x^3*y^4*z^2 + a^2*c^8*x^3*y^4*z^2 + a^8*c^2*x^2*y^5*z^2 - 2*a^6*b^2*c^2*x^2*y^5*z^2 + a^4*b^4*c^2*x^2*y^5*z^2 - a^6*c^4*x^2*y^5*z^2 + 2*a^4*b^2*c^4*x^2*y^5*z^2 + a^2*b^4*c^4*x^2*y^5*z^2 - a^4*c^6*x^2*y^5*z^2 - 2*a^2*b^2*c^6*x^2*y^5*z^2 + a^2*c^8*x^2*y^5*z^2 - 3*a^6*c^4*x*y^6*z^2 + 3*a^4*b^2*c^4*x*y^6*z^2 - 3*a^4*c^6*x*y^6*z^2 - a^4*b^4*c^2*x^6*z^3 + a^2*b^6*c^2*x^6*z^3 + 2*a^2*b^4*c^4*x^6*z^3 - b^6*c^4*x^6*z^3 - b^4*c^6*x^6*z^3 + 2*a^4*b^4*c^2*x^5*y*z^3 - 4*a^2*b^6*c^2*x^5*y*z^3 + 2*b^8*c^2*x^5*y*z^3 + 2*a^2*b^4*c^4*x^5*y*z^3 + 2*b^6*c^4*x^5*y*z^3 - 4*b^4*c^6*x^5*y*z^3 + 2*a^6*b^2*c^2*x^4*y^2*z^3 - 3*a^2*b^6*c^2*x^4*y^2*z^3 + b^8*c^2*x^4*y^2*z^3 - 3*a^4*b^2*c^4*x^4*y^2*z^3 + 7*a^2*b^4*c^4*x^4*y^2*z^3 - b^6*c^4*x^4*y^2*z^3 - b^4*c^6*x^4*y^2*z^3 + b^2*c^8*x^4*y^2*z^3 + a^8*c^2*x^2*y^4*z^3 - 3*a^6*b^2*c^2*x^2*y^4*z^3 + 2*a^2*b^6*c^2*x^2*y^4*z^3 - a^6*c^4*x^2*y^4*z^3 + 7*a^4*b^2*c^4*x^2*y^4*z^3 - 3*a^2*b^4*c^4*x^2*y^4*z^3 - a^4*c^6*x^2*y^4*z^3 + a^2*c^8*x^2*y^4*z^3 + 2*a^8*c^2*x*y^5*z^3 - 4*a^6*b^2*c^2*x*y^5*z^3 + 2*a^4*b^4*c^2*x*y^5*z^3 + 2*a^6*c^4*x*y^5*z^3 + 2*a^4*b^2*c^4*x*y^5*z^3 - 4*a^4*c^6*x*y^5*z^3 + a^6*b^2*c^2*y^6*z^3 - a^4*b^4*c^2*y^6*z^3 - a^6*c^4*y^6*z^3 + 2*a^4*b^2*c^4*y^6*z^3 - a^4*c^6*y^6*z^3 - a^6*b^4*x^5*z^4 + 2*a^4*b^6*x^5*z^4 - a^2*b^8*x^5*z^4 - 3*a^2*b^6*c^2*x^5*z^4 + b^8*c^2*x^5*z^4 + 3*a^2*b^4*c^4*x^5*z^4 + b^6*c^4*x^5*z^4 - 2*b^4*c^6*x^5*z^4 - a^6*b^4*x^4*y*z^4 + 2*a^4*b^6*x^4*y*z^4 - a^2*b^8*x^4*y*z^4 + a^4*b^4*c^2*x^4*y*z^4 - 2*a^2*b^6*c^2*x^4*y*z^4 - b^8*c^2*x^4*y*z^4 + a^2*b^4*c^4*x^4*y*z^4 + 2*b^6*c^4*x^4*y*z^4 - b^4*c^6*x^4*y*z^4 + a^8*b^2*x^3*y^2*z^4 - a^6*b^4*x^3*y^2*z^4 - a^4*b^6*x^3*y^2*z^4 + a^2*b^8*x^3*y^2*z^4 + 7*a^4*b^4*c^2*x^3*y^2*z^4 - 3*a^2*b^6*c^2*x^3*y^2*z^4 - 3*a^4*b^2*c^4*x^3*y^2*z^4 + 2*a^2*b^2*c^6*x^3*y^2*z^4 + a^8*b^2*x^2*y^3*z^4 - a^6*b^4*x^2*y^3*z^4 - a^4*b^6*x^2*y^3*z^4 + a^2*b^8*x^2*y^3*z^4 - 3*a^6*b^2*c^2*x^2*y^3*z^4 + 7*a^4*b^4*c^2*x^2*y^3*z^4 - 3*a^2*b^4*c^4*x^2*y^3*z^4 + 2*a^2*b^2*c^6*x^2*y^3*z^4 - a^8*b^2*x*y^4*z^4 + 2*a^6*b^4*x*y^4*z^4 - a^4*b^6*x*y^4*z^4 - a^8*c^2*x*y^4*z^4 - 2*a^6*b^2*c^2*x*y^4*z^4 + a^4*b^4*c^2*x*y^4*z^4 + 2*a^6*c^4*x*y^4*z^4 + a^4*b^2*c^4*x*y^4*z^4 - a^4*c^6*x*y^4*z^4 - a^8*b^2*y^5*z^4 + 2*a^6*b^4*y^5*z^4 - a^4*b^6*y^5*z^4 + a^8*c^2*y^5*z^4 - 3*a^6*b^2*c^2*y^5*z^4 + a^6*c^4*y^5*z^4 + 3*a^4*b^2*c^4*y^5*z^4 - 2*a^4*c^6*y^5*z^4 - 2*a^6*b^4*x^4*z^5 + a^4*b^6*x^4*z^5 + a^2*b^8*x^4*z^5 + 3*a^4*b^4*c^2*x^4*z^5 - 3*a^2*b^6*c^2*x^4*z^5 - b^8*c^2*x^4*z^5 + 2*b^6*c^4*x^4*z^5 - b^4*c^6*x^4*z^5 - 4*a^6*b^4*x^3*y*z^5 + 2*a^4*b^6*x^3*y*z^5 + 2*a^2*b^8*x^3*y*z^5 + 2*a^4*b^4*c^2*x^3*y*z^5 - 4*a^2*b^6*c^2*x^3*y*z^5 + 2*a^2*b^4*c^4*x^3*y*z^5 + a^8*b^2*x^2*y^2*z^5 - a^6*b^4*x^2*y^2*z^5 - a^4*b^6*x^2*y^2*z^5 + a^2*b^8*x^2*y^2*z^5 - 2*a^6*b^2*c^2*x^2*y^2*z^5 + 2*a^4*b^4*c^2*x^2*y^2*z^5 - 2*a^2*b^6*c^2*x^2*y^2*z^5 + a^4*b^2*c^4*x^2*y^2*z^5 + a^2*b^4*c^4*x^2*y^2*z^5 + 2*a^8*b^2*x*y^3*z^5 + 2*a^6*b^4*x*y^3*z^5 - 4*a^4*b^6*x*y^3*z^5 - 4*a^6*b^2*c^2*x*y^3*z^5 + 2*a^4*b^4*c^2*x*y^3*z^5 + 2*a^4*b^2*c^4*x*y^3*z^5 + a^8*b^2*y^4*z^5 + a^6*b^4*y^4*z^5 - 2*a^4*b^6*y^4*z^5 - a^8*c^2*y^4*z^5 - 3*a^6*b^2*c^2*y^4*z^5 + 3*a^4*b^4*c^2*y^4*z^5 + 2*a^6*c^4*y^4*z^5 - a^4*c^6*y^4*z^5 - a^6*b^4*x^3*z^6 - a^4*b^6*x^3*z^6 + 2*a^4*b^4*c^2*x^3*z^6 + a^2*b^6*c^2*x^3*z^6 - a^2*b^4*c^4*x^3*z^6 - 3*a^6*b^4*x^2*y*z^6 - 3*a^4*b^6*x^2*y*z^6 + 3*a^4*b^4*c^2*x^2*y*z^6 - 3*a^6*b^4*x*y^2*z^6 - 3*a^4*b^6*x*y^2*z^6 + 3*a^4*b^4*c^2*x*y^2*z^6 - a^6*b^4*y^3*z^6 - a^4*b^6*y^3*z^6 + a^6*b^2*c^2*y^3*z^6 + 2*a^4*b^4*c^2*y^3*z^6 - a^4*b^2*c^4*y^3*z^6=0.

Reflexiones de las bisectrices en la recta IO

Sean ABC un triángulo, I su incentro, O su circuncentro, I_aI_bI_c el triángulo excentral y L_a, L_b, L_c las reflexiones de la recta IO en las bisectrices AI, BI y CI, respectivamente.
Las perpendiculares a L_a, L_b y L_c por I_a, I_b y I_c, respectivamente, concurren en el punto de coordenadas baricéntricas:

( a^9 - 2a^8(b+c) + 6a^7b*c + 2a^6(b-2c)(2b-c)(b+c) - a^5(4b^4+4b^3c-17b^2c^2+4c^3b+4c^4)- 2a^4(b-c)^2(b+c)(b^2-6b*c+c^2)+ a^3(b-c)^2(4b^4+2b^3c-11b^2c^2+2c^3b+4c^4)- 2a^2b*c(b-c)^2(b+c)(3b^2-5b*c+3c^2)- a(b-c)^6(b+c)^2 : ... : ... ),

Propiedad de una cúbica de Musselman

Sean ABC un triángulo, p una recta que pasa por el ortocentro H y P un punto (distinto de H) sobre p. Se denotan por D, E y F los puntos simétricos de H respecto a las perpendiculares por P a los lados BC, CA y AB, respectivamente, y consideramos los puntos:

A'=BE∩CF     B'=CF∩AD     C'=AD∩BE,

Centro radical de circunferencias exinscritas

Sean ABC un triángulo y O su circuncentro. Consideramos las circunferencias exinscritas relativas al ángulo en O de los triángulos OBC, OCA y OAB; su centro radical es el punto de coordenadas baricéntricas:

( a(a^2-b^2-c^2)(2a^5(b+c)^2 - 4a^3(b^2+b*c+c^2)^2 + 2a(b-c)^2(b+c)^4 + 2S(b+c)(a^4-a^2(2b^2+5b*c+2c^2) + b^4-b^3c-c^3b+c^4)) : ... : ... ),

( a(a^2-b^2-c^2)(a^4-2a^2(b+c)^2 - 4a(b+c)S + (b^2-c^2)^2) : ... : ... ).

Centros de circunferencias de los nueve puntos y paralelas por los vértices del triángulo de referencia

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' su triángulo ceviano. Adoptemos las siguientes notaciones:

A_b y A_c son las proyecciones ortogonales de A sobre BB' y CC',
B_c y B_a son las proyecciones ortogonales de B sobre CC' y AA',
C_a y C_b son las proyecciones ortogonales de C sobre AA' y BB',
A₂ y A₃ son las proyecciones ortogonales de A' sobre BB' y CC',
B₃ y B₁ son las proyecciones ortogonales de B' sobre CC' y AA',
C₁ y C₂ son las proyecciones ortogonales de C' sobre AA' y BB'.

N_a, N_b y N_c los centros de las circunferencia de los nueve puntos de los triángulos AA_bA_c, BB_cB_a, CC_aC_b,
N₁, N₂ y N₃ los centros de las circunferencia de los nueve puntos de los triángulos A'A₂A₃, B'B₃B₁, C'C₁C₂.

Se verifica:
Las rectas N₁N_a, N₂N_b y N₃N_c concurren en el punto P. De hecho, N₁N₂N₃ es el triángulo ceviano de P respecto a N_aN_bN_c.

( a^4 - 3a^3(b+c)+ 9a^2b*c + 3a(b-c)^2(b+c) - (b^2-c^2)^2 : ... : ... ).

( a^2/(4a^4 - (b^2-c^2)^2 - 3a^2(b^2+c^2)) : b^2/(4b^4 - (c^2-a^2)^2 - 3b^2(c^2+a^2)) : c^2/(4c^4 - (a^2-b^2)^2 - 3c^2(a^2+b^2)) ).

( a^2(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) (a^4 - 2a^2(b^2+c^2) + b^4+3b^2c^2+c^4 ) (a^4(b^2+c^2) - 2a^2(b^4-3b^2c^2+c^4) + (b^2-c^2)^2(b^2+c^2)): ... : ... ).

Un centro de una circunferencia de los nueve puntos sobre la recta de Euler

Sean ABC un triángulo, A'B'C' el antipedal de N (centro de la circunferencia de los nueve puntos de ABC) y N₁, N₂, N₃ los centros de la circunferencias de los nueve puntos de los triángulos NB'C', NC'A', NA'B', respectivamente.

El centro de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo N₁N₂N₃ es el punto X₅₅₀₀ (8th Hatzipolakis-Montesdeoca Point) que está en la recta de Euler de ABC y sus coordenadas baricéntricas son:

( 2a^22
- 15a^20(b^2+c^2)
+ 6a^18(8b^4+13b^2c^2+8c^4)-(b^2-c^2)^8(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)
- a^16(81b^6+152b^4c^2+152b^2c^4+81c^6)
+ a^14(64b^8+111b^6c^2+128b^4c^4+111b^2c^6+64c^8)
+ a^12(14b^10+29b^8c^2+36b^6c^4+36b^4c^6+29b^2c^8+14c^10)
- a^10(84b^12+67b^10c^2+56b^8c^4+48b^6c^6+56b^4c^8+67b^2c^10+84c^12)
+ a^8(82b^14-23b^12c^2-31b^10c^4-19b^8c^6-19b^6c^8-31b^4c^10-23b^2c^12+82c^14)
- a^6(b^2-c^2)^2(34b^12+11b^10c^2-30b^8c^4-35b^6c^6-30b^4c^8+11b^2c^10+34c^12)
+ a^4(b^2-c^2)^4(b^10-2b^8c^2-22b^6c^4-22b^4c^6-2b^2c^8+c^10)
+ a^2(b^2-c^2)^6(4b^8+5b^6c^2+8b^4c^4+5b^2c^6+4c^8) : ... : ... ).

Circunferencias coaxiales y reflexiones de la recta de Euler

Sean ABC un triángulo y l la recta de Euler, que corta a los lados BC, CA y AB en los puntos A', B' y C', respectivamente. Las circunferencias de diámetros AA', BB' y CC' son coaxiales y el eje d pasa por el ortocentro. Las tres circunferencias concurren en el punto X₁₀₇ sobre la circunferencia circunscrita y en X₁₂₅ (centro de la hipérbola de Jerabek: hipérbola equilátera circunscrita a ABC y que pasa por el circuncentro).

Circunferencias de los nueve puntos concurrentes

Sean ABC un triángulo, para todo punto P las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos PBC, PCA y PAB son concurrentes, en un punto sobre la circunferencia de los nueve puntos de ABC.

La isocúbica pK(X6,X550)

Sean ABC un triángulo, X un punto; N₁, N₂, N₃ los centros de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos XBC, XCA, XAB, resp. and A'B'C' el triángulo antipedal de X. Los triángulos N1N2N3 y A'B'C' son perspectivos si y solo si X queda sobre la cúbica isogonal pK(X6,X550) (junto con la recta del infinito y la circunferencia circunscrita a ABC).

( a^2(a^8 + a^6(b^2+c^2)+ a^4(-9b^4+19b^2c^2-9c^4) + 11a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2(4b^4+17b^2c^2+4c^4)): ... : ... ),

Curvas algebraicas de grado cinco asociadas a centros de circunferencias de los nueve puntos

Sean ABC un triángulo, P un punto, N₁, N₂ y N₃ los centros de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos PBC, PCA y PAB, respectivamente, O' el circuncentro de N₁N₂N₃ y N' el centro de la circunferencia de los nueve puntos de N₁N₂N₃.

Si P=N (centro de la circunferencia de los nueve puntos de ABC), el punto O', que está en la recta de Euler de ABC, tiene coordenadas baricéntricas:

( -2a^16+ 9a^14(b^2+c^2)-
a^10(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)+
a^8(25b^8+10b^6c^2+8b^4c^4+10b^2c^6+25c^8) +
a^6(-33b^10+31b^8c^2+11b^6c^4+11b^4c^6+31b^2c^8-33c^10)+
a^4(b^2-c^2)^2(21b^8-20b^6c^2-25b^4c^4-20b^2c^6+21c^8)-
a^2(b^2-c^2)^4(7b^6-13b^4c^2-13b^2c^4+7c^6)+
(b^2-c^2)^6(b^4-4b^2c^2+c^4)-a^12(13b^4+18b^2c^2+13c^4): ... : ... )

( 2a^10 - 5a^8(b^2+c^2) + 2a^6(b^4+5b^2c^2+c^4) + a^4(4b^6-5b^4c^2-5b^2c^4+4c^6) - a^2(b^2-c^2)^2(4b^4+5b^2c^2+4c^4) + (b^2-c^2)^4(b^2+c^2) : ... : ...)

a^6c^2x^3y^2 - 3a^4b^2c^2x^3y^2 + 3a^2b^4c^2x^3y^2 - b^6c^2x^3y^2 - 3a^4c^4x^3y^2 + 3a^2b^2c^4x^3y^2 + 3a^2c^6x^3y^2 + 2b^2c^6x^3y^2 - c^8x^3y^2 + a^6c^2x^2y^3 - 3a^4b^2c^2x^2y^3 + 3a^2b^4c^2x^2y^3 - b^6c^2x^2y^3 - 3a^2b^2c^4x^2y^3 + 3b^4c^4x^2y^3 - 2a^2c^6x^2y^3 - 3b^2c^6x^2y^3 + c^8x^2y^3 + a^2b^4c^2x^3yz - b^6c^2x^3yz - a^2b^2c^4x^3yz + b^2c^6x^3yz + 2a^4b^2c^2x^2y^2z - 2a^2b^4c^2x^2y^2z + a^6c^2xy^3z - a^4b^2c^2xy^3z + a^2b^2c^4xy^3z - a^2c^6xy^3z - a^6b^2x^3z^2 + 3a^4b^4x^3z^2 - 3a^2b^6x^3z^2 + b^8x^3z^2 + 3a^4b^2c^2x^3z^2 - 3a^2b^4c^2x^3z^2 - 2b^6c^2x^3z^2 - 3a^2b^2c^4x^3z^2 + b^2c^6x^3z^2 - 2a^4b^2c^2x^2yz^2 + 2a^2b^2c^4x^2yz^2 + 2a^2b^4c^2xy^2z^2 - 2a^2b^2c^4xy^2z^2 - a^8y^3z^2 + 3a^6b^2y^3z^2 - 3a^4b^4y^3z^2 + a^2b^6y^3z^2 + 2a^6c^2y^3z^2 + 3a^4b^2c^2y^3z^2 - 3a^2b^4c^2y^3z^2 + 3a^2b^2c^4y^3z^2 - a^2c^6y^3z^2 - a^6b^2x^2z^3 + 2a^2b^6x^2z^3 - b^8x^2z^3 + 3a^4b^2c^2x^2z^3 + 3a^2b^4c^2x^2z^3 + 3b^6c^2x^2z^3 - 3a^2b^2c^4x^2z^3 - 3b^4c^4x^2z^3 + b^2c^6x^2z^3 - a^6b^2xyz^3 + a^2b^6xyz^3 + a^4b^2c^2xyz^3 - a^2b^4c^2xyz^3 + a^8y^2z^3 - 2a^6b^2y^2z^3 + a^2b^6y^2z^3 - 3a^6c^2y^2z^3 - 3a^4b^2c^2y^2z^3 - 3a^2b^4c^2y^2z^3 + 3a^4c^4y^2z^3 + 3a^2b^2c^4y^2z^3 - a^2c^6y^2z^3=0

a^4c^4x^3y^2 - a^2b^2c^4x^3y^2 - 2a^2c^6x^3y^2 - b^2c^6x^3y^2 + c^8x^3y^2 + a^2b^2c^4x^2y^3 - b^4c^4x^2y^3 + a^2c^6x^2y^3 + 2b^2c^6x^2y^3 - c^8x^2y^3 + a^6b^2x^3yz - 3a^4b^4x^3yz + 3a^2b^6x^3yz - b^8x^3yz - a^6c^2x^3yz + b^6c^2x^3yz + 3a^4c^4x^3yz - 3a^2c^6x^3yz - b^2c^6x^3yz + c^8x^3yz + a^8x^2y^2z - 2a^6b^2x^2y^2z + 2a^2b^6x^2y^2z - b^8x^2y^2z - 2a^6c^2x^2y^2z + 2b^6c^2x^2y^2z + a^4c^4x^2y^2z - b^4c^4x^2y^2z + a^8xy^3z - 3a^6b^2xy^3z + 3a^4b^4xy^3z - a^2b^6xy^3z - a^6c^2xy^3z + b^6c^2xy^3z - 3b^4c^4xy^3z + a^2c^6xy^3z + 3b^2c^6xy^3z - c^8xy^3z - a^4b^4x^3z^2 + 2a^2b^6x^3z^2 - b^8x^3z^2 + a^2b^4c^2x^3z^2 + b^6c^2x^3z^2 - a^8x^2yz^2 + 2a^6b^2x^2yz^2 - a^4b^4x^2yz^2 + 2a^6c^2x^2yz^2 + b^4c^4x^2yz^2 - 2a^2c^6x^2yz^2 - 2b^2c^6x^2yz^2 + c^8x^2yz^2 + a^4b^4xy^2z^2 - 2a^2b^6xy^2z^2 + b^8xy^2z^2 - 2b^6c^2xy^2z^2 - a^4c^4xy^2z^2 + 2a^2c^6xy^2z^2 + 2b^2c^6xy^2z^2 - c^8xy^2z^2 + a^8y^3z^2 - 2a^6b^2y^3z^2 + a^4b^4y^3z^2 - a^6c^2y^3z^2 - a^4b^2c^2y^3z^2 - a^2b^6x^2z^3 + b^8x^2z^3 - a^2b^4c^2x^2z^3 - 2b^6c^2x^2z^3 + b^4c^4x^2z^3 - a^8xyz^3 + a^6b^2xyz^3 - a^2b^6xyz^3 + b^8xyz^3 + 3a^6c^2xyz^3 - 3b^6c^2xyz^3 - 3a^4c^4xyz^3 + 3b^4c^4xyz^3 + a^2c^6xyz^3 - b^2c^6*xyz^3 - a^8y^2z^3 + a^6b^2y^2z^3 + 2a^6c^2y^2z^3 + a^4b^2c^2*y^2z^3 - a^4c^4y^2z^3=0

a^2b^2c^4x^3y^2 - b^4c^4x^3y^2 + b^2c^6x^3y^2 + a^4c^4x^2y^3 - a^2b^2c^4x^2y^3 - a^2c^6x^2y^3 - a^6b^2x^3yz + 3a^4b^4x^3yz - 3a^2b^6x^3yz + b^8x^3yz + a^6c^2x^3yz + 2a^2b^4c^2x^3yz - 3b^6c^2x^3yz - 3a^4c^4x^3yz - 2a^2b^2c^4x^3yz + 3a^2c^6x^3yz + 3b^2c^6x^3yz - c^8x^3yz - a^8x^2y^2z + 2a^6b^2x^2y^2z - 2a^2b^6x^2y^2z + b^8x^2y^2z + 3a^6c^2x^2y^2z + a^4b^2c^2x^2y^2z - a^2b^4c^2x^2y^2z - 3b^6c^2x^2y^2z - 3a^4c^4x^2y^2z + 3b^4c^4x^2y^2z + a^2c^6x^2y^2z - b^2c^6x^2y^2z - a^8xy^3z + 3a^6b^2xy^3z - 3a^4b^4xy^3z + a^2b^6xy^3z + 3a^6c^2xy^3z - 2a^4b^2c^2xy^3z - b^6c^2xy^3z + 2a^2b^2c^4xy^3z + 3b^4c^4xy^3z - 3a^2c^6xy^3z - 3b^2c^6xy^3z + c^8xy^3z - a^2b^4c^2x^3z^2 - b^6c^2x^3z^2 + b^4c^4x^3z^2 + a^8x^2yz^2 - 3a^6b^2x^2yz^2 + 3a^4b^4x^2yz^2 - a^2b^6x^2yz^2 - 2a^6c^2x^2yz^2 - a^4b^2c^2x^2yz^2 + b^6c^2x^2yz^2 + a^2b^2c^4x^2yz^2 - 3b^4c^4x^2yz^2 + 2a^2c^6x^2yz^2 + 3b^2c^6x^2yz^2 - c^8x^2yz^2 + a^6b^2xy^2z^2 - 3a^4b^4xy^2z^2 + 3a^2b^6xy^2z^2 - b^8xy^2z^2 - a^6c^2xy^2z^2 + a^2b^4c^2xy^2z^2 + 2b^6c^2xy^2z^2 + 3a^4c^4xy^2z^2 - a^2b^2c^4xy^2z^2 - 3a^2c^6xy^2z^2 - 2b^2c^6xy^2z^2 + c^8xy^2z^2 + a^6c^2y^3z^2 + a^4b^2c^2y^3z^2 - a^4c^4y^3z^2 - a^4b^4x^2z^3 + a^2b^6x^2z^3 + a^2b^4c^2x^2z^3 + a^8xyz^3 - 3a^6b^2xyz^3 + 3a^2b^6xyz^3 - b^8xyz^3 - 3a^6c^2xyz^3 + 2a^4b^2c^2xyz^3 - 2a^2b^4c^2xyz^3 + 3b^6c^2xyz^3 + 3a^4c^4xyz^3 - 3b^4c^4xyz^3 - a^2c^6xyz^3 + b^2c^6xyz^3 - a^6b^2y^2z^3 + a^4b^4y^2z^3 - a^4b^2c^2y^2z^3=0

Perpendiculares a cevianas conjugadas isogonales

Sean ABC un triángulo y P un punto, P* su conjugado isogonal, A'B'C' y A"b"C" los triángulos cevianos de P y P*, respectivamente.

A* es el punto de intersección de la perpendicular a AA' por A' y de la perpendicular a AA" por A",
B* es el punto de intersección de la perpendicular a BB' por B' y de la perpendicular a BB" por B" y
C* es el punto de intersección de la perpendicular a CC' por C' y de la perpendicular a CC" por C".

Entonces, los triángulos ABC y A*B*C* son perspectivos, para cualquier punto P, y el centro de perspectividad es el circuncentro de ABC.

Caracterización geométrica de la cúbica de Napoleon-Feuerbach

Sean ABC un triángulo, P un punto, N, N₁, N₂, N₃ los centro de las circunferencias de los nueve puntos de los triángulos ABC, PBC, PCA y PAB, respectivamente y N* el centro de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo N₁N₂N₃.

Los puntos P, N y N* están alineados si y solo si P está en la circunferencia circunscrita a ABC o en la cúbica de Napoleon-Feuerbach (K005 del catálogo de Bernard Gibert)

Reflexiones en cevianas y una curva algebraica de grado nueve

Sea ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano de un punto P. Se denota por
L₁₁ la perpendicular a AA' por A',
L₂₂ la perpendicular a BB' por B',
L₃₃ la perpendicular a CC' por C'.

L₁₂ la simétrica de L₁₁ respecto a BB',
L₁₃ la simétrica de L₁₁ respecto a CC'.

A"=L₁₂∩L₁₃ y similarmente se definen B" y C".

El lugar geométrico de los puntos P tal que los triángulos ABC y A"B"C" son perspectivos es una curva algebraica de grado nueve ( Mostrar/Ocultar ecuacíón )

Circunferencias concurrentes con centros cocíclicos

Sea ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro I. Se denota por
L₁₁ la perpendicular a AA' por A',
L₂₂ la perpendicular a BB' por B',
L₃₃ la perpendicular a CC' por C'.

L₁₂ la simétrica de L₁₁ respecto a BB',
L₁₃ la simétrica de L₁₁ respecto a CC'.

M₁₂ la paralela a L₁₂ por B',
M₁₃ la paralela a L₁₃ por C'.

A"=M₁₂∩M₁₃ y similarmente se definen B" y C".

O₁ el circuncentro del triángulo A"B'C',
O₂ el circuncentro del triángulo B"C'A',
O₃ el circuncentro del triángulo C"A'B'.

Circuncentros cocíclicos

Sea ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro I. Se denota por
L₁ la perpendicular a AA' por A',
L₂ la perpendicular a BB' por B',
L₃ la perpendicular a CC' por C',
(i.e. las rectas determinan el triángulo antipedal de I con respecto a A'B'C'),

L₁₁ la simétrica de L₁ respecto a AA' (coincide con L₁),
L₁₂ la simétrica de L₁ respecto a BB',
L₁₃ la simétrica de L₁ respecto a CC'.

L₂₁ la simétrica de L₂ respecto a AA',
L₂₂ la simétrica de L₂ respecto a BB' (coincide con L₂),
L₂₃ la simétrica de L₂ respecto a CC'.

L₃₁ la simétrica de L₃ respecto a AA',
L₃₂ la simétrica de L₃ respecto a BB',
L₃₃ la simétrica de L₃ respecto a CC' (coincide con L₃).

O₁ el circuncentro del triángulo A_aA_bA_c acotado por las rectas L₁₁, L₁₂ y L₁₃,
O₂ el circuncentro del triángulo B_aB_bB_c acotado por las rectas L₂₁, L₂₂ y L₂₃,
O₃ el circuncentro del triángulo C_aC_bC_c acotado por las rectas L₃₁, L₃₂ y L₃₃.

NOTA: Este punto ha sido incluido (28/05/2013) en la "Encyclopedia of Triangle Centers- ETC" con el número X₅₄₉₅="3rd Hatzipolakis-Montesdeoca point".

El centro radical de las circunferencias circunscritas a los triángulos A_aA_bA_c, B_aB_bB_c y C_aC_bC_c es X₅₀₀, ortocentro del triángulo A'B'C'. (Randy Hutson)

Concurrencia de rectas paralelas a rectas de Euler

Sea ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro. Se denota por
A_b, A_c las reflexiones de A' en BB' y CC', resp.
B_c, B_a las reflexiones de B' en CC', AA', resp.
C_a, C_b las reflexiones de C' en AA', BB', resp.
L_a, L_b y L_c las rectas de Euler de los triángulos A'A_bA_c, B'B_cB_a, C'C_aC_b, resp.
L'_a, L'_b, L'_c las rectas paralelas a L_a, L_b, L_c por A, B y C, resp.

Entonces, las rectas L'_a, L'_b, L'_c concurren en X₈₀ (simétrico del incentro respecto al punto de Feuerbach).

Concurrencia de rectas simétricas de rectas de Euler

Sea ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro. Se denota por
A_b, A_c las reflexiones de A' en BB' y CC', resp.
B_c, B_a las reflexiones de B' en CC', AA', resp.
C_a, C_b las reflexiones de C' en AA', BB', resp.
L, L_a, L_b y L_c las rectas de Euler de los triángulos ABC, AA_bA_c, BB_cB_a, CC_aC_b, resp.
L'_a, L'_b, L'_c las rectas simétricas de L_a, L_b, L_c respecto a AA', BB', CC', resp.

Entonces, las rectas L,L_a, L_b, L_c son paralelas y las rectas L'_a, L'_b, L'_c concurren en el punto de coordenadas baricéntricas:

Este punto ha sido incluido (28/05/2013) en la "Encyclopedia of Triangle Centers- ETC" con el número X₅₄₉₄="2nd Hatzipolakis-Montesdeoca point".

Circunferencias de Euler y triángulos ortológicos

Un triángulo ABC es ortológico respecto otro DEF si las perpendiculares por A, B y C a los lados de DEF se cortan en un punto. En tal caso, se verifica que, recíprocamente, DEF es ortológico respecto ABC: las perpendiculares por D, E y F a los lados de ABC también se cortan en un punto. A estos puntos de concurrencia se les llama centros de ortología.

Sea ABC un triángulo y A'B'C', A"B"C" los triángulo órtico y medial, respectivamente.
Se denota por:
(A_b), (A_c) las circunferencias de los nueve puntos de A'BC", A'B"C, resp.
(B_c), (B_a) las circunferencias de los nueve puntos de B'CA", B'C"A, resp.
(C_a), (C_b) las circunferencias de los nueve puntos de C'AB", C'A"B, resp.
Entonces, los triángulos ABC y DEF, el acotado por las recta (que pasan por los centros de las circunferencias) B_cC_b, C_aA_c, A_bB_a, son ortológicos.

El centro de ortología Y de DEF y ABC tiene coordenadas baricéntricas:

Circunferencias de Euler y ejes radicales concurrentes

Sea ABC un triángulo y A'B'C', A"B"C" los triángulo órtico y medial, respectivamente.
Se denota por:
(A_b), (A_c) las circunferencias de los nueve puntos de A'BC", A'B"C, resp.
(B_c), (B_a) las circunferencias de los nueve puntos de B'CA", B'C"A, resp.
(C_a), (C_b) las circunferencias de los nueve puntos de C'AB", C'A"B, resp.
r₁ el eje radical de (B_c), (C_b);   r₂ el eje radical de (C_a), (A_c);   r₃ el eje radical de (A_b), (B_a)

Entonces, r₁, r₂, r₃ son concurrentes en el punto de X de coordenadas baricéntricas:

Y = ( a^4(b^2+c^2) - 2a^2(b^4 + b^2c^2 + c^4)+ (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) : ... : ...),

Centro radical sobre la recta de Euler

Sea ABC un triángulo y A'B'C', A"B"C" los triángulo órtico y medial, respectivamente.
Se denota por:
(I₁₁) la circunferencia exinscrita a A'B"C" respecto al ángulo B"A'C"
(I₂₂) la circunferencia exinscrita a A"B'C" respecto al ángulo C"B'A"
(I₃₃) la circunferencia exinscrita a A"B"C' respecto al ángulo A"C'B".

Triángulos simétricos del triángulo preceviano de un punto, perspectivos con el triángulo de referencia

Dados un triángulo ABC y un punto P. sea A'B'C' el triángulo preceviano (anticeviano) de P, entonces el lugar geométrico de los puntos Q tales que ABC es perspectivo con el triángulo A"B"C", simétrico de A'B'C' respecto a Q, es la cónica biceviana C(G,P') del baricentro G y el tripolo P' de la recta pasando por P y por el cociente ceviano G/P, de G y P.

Si P(p:q:r) y Q(x:y:z), en coordenadas baricéntricas, los vértices del triángulo anticeviano de P y los de su triángulo simétrico respecto a Q son:

Las rectas AA", BB" y CC" son concurrentes si Q está en la cónica:

El lugar geométrico de los centros de perspectividad Q' de ABC y A"B"C", cuando Q varía en la cónica biceviana C(G,P'), es la cónica circunscrita que pasa por P y G/P.

Triángulos inscritos en la circunferencia circunscrita a un triángulo, con circunferencias inscritas de mismo radio

Dado un triángulo ABC, se consideran los puntos A', B' y C', donde las paralelas por A, B y C a sus correspondientes lados opuestos, vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC. Entonces, cada par de triángulos (AA'B, AA'C), (BB'C, BB'A) y (CC'A, CC'B) tienen circunferencias inscritas de mismo radio.

Se tienen las siguientes coordenadas baricéntricas: A'(a^2: c^2-b^2 : b^2-c^2), B'(c^2-a^2 : b^2 : a^2-c^2) y C'(b^2-c^2 : a^2-b^2 : c^2).
Los incentros de los triángulos AA'B y AA'C son, respectivamente: (a^2 : c(c-b)+a|b-c| : c(b-c)), y (a^2 : b(c-b) : b(b-c)+a|b-c|); éstos determinan las recta de ecuación |b-c|x-ay-az=0.
El valor común del radio de las circunferencias inscritas a AA'B y AA'C es: bc(b^2-c^2)^2 / (2R(ab(b^2-c^2) + (b^2+c(a-c))|b^2-c^2|), con R el radio de la circunferencia circunscrita a ABC.

Similarmente, los triángulos de las rectas que unen los incentros de los pares de triángulos restantes son: bx-|c-a|y+bz=0, cx+cy-|a-b|z=0.

Estas tres rectas determinan un triángulo A₁B₁C₁ homotético a ABC, con centro de homotecia:

Circunferencia lugar del incentro de un triángulo variable

Sean ABC un triángulo acutángulo y δ una recta que pasa por el ortocentro H. Denotemos por δ_a, δ_b y δ_c las reflexiones de δ en AH, BH, CH, resp.; δ'_a, δ'_b y δ'_c las paralelas a δ_a, δ_b y δ_c a través de A, B, C, resp., y I' el incentro del triángulo A'B'C' acotado por las rectas δ'_a, δ'_b y δ'_c.

El lugar geométrico de I' cuando δ gira alrededor de H es la circunferencia de centro H y que pasa por X₂₆₅, su radio es el de la circunferencia circunscrita a ABC.

Ocurre además que los vértices de A'B'C' describen las circunferencias (B,C, X₂₆₅), (C, A, X₂₆₅) y (A, B, X₂₆₅).

Recta de Euler e hipérbola de Jerabek

Sean ABC un triángulo, H su ortocentro y (u:v:w) las coordenadas baricéntricas de un punto P. Se denota por H_a, H_b, H_c los ortocentros de los triángulos PBC, PCA, PAB, resp.
Las reflexiones de las rectas HH_a en los lados de ABC concurren en P₁:

Las reflexiones de las rectas HH_a en los lados de PBC en P'₁: