Hechos Geométricos en el Triángulo (2016)

Ejes radicales concurrentes, triángulos pedales y circuncevianos

d₁ : (a^2 - b^2 + c^2) (c^2 u + a^2 w) y - (a^2 + b^2 - c^2) (b^2 u + a^2 v) z = 0.

Q_P = ( (a^4-(b^2-c^2)^2)/(c^2v + b^2w) : (b^4-(c^2-a^2)^2)/(a^2w + c^2u) : (c^4-(a^2-b^2)^2)/(b^2u + a^2v) ).

L = ( a^2(a^2p - b^2q - c^2r)/(b^2+c^2-a^2) : b^2(b^2q - c^2r - a^2p)/(c^2+a^2-b^2) : c^2(c^2r - a^2p - b^2q)/(a^2+b^2-c^2) )).

-c^4 (-(a^2 - b^2)^2 + c^4)^2 (b^2 c^2 p + a^2 (c^2 q - b^2 r)) x^2 y^2 + 2 b^4 c^4 (-a^2 + b^2 + c^2)^2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2) p x^2 y z + 2 a^4 c^4 (a^2 - b^2 + c^2)^2 (b^4 - (-a^2 + c^2)^2) q x y^2 z - b^4 (b^4 - (-a^2 + c^2)^2)^2 (c^2 (b^2 p - a^2 q) + a^2 b^2 r) x^2 z^2 + 2 a^4 b^4 (a^2 + b^2 - c^2)^2 (-(a^2 - b^2)^2 + c^4) r x y z^2 - a^4 (a^4 - (b^2 - c^2)^2)^2 (a^2 c^2 q + b^2 (-c^2 p + a^2 r)) y^2 z^2 = 0.

t_a1 : -c^2 (a^2 - b^2 + c^2)y + b^2 (a^2 + b^2 - c^2)z = 0,
t_a2 : c^2 (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 c^2 q + b^2 (-c^2 p + a^2 r))y + b^2 (a^2 + b^2 - c^2) (-a^2 c^2 q + b^2 (c^2 p + a^2 r)) z = 0.

( a^2(a^2c^2q + b^2(a^2r-c^2p))/(b^2+c^2-a^2) : ... : ... ).

Tangentes a las circunferencia exinscritas y rectas concurrentes

A_b = ((-(a + b - c) (-a + b + c)^2 (a + b + c) : 16 b^2 c^2 : (a + b - c)^3 (a - b + c)).

A_c = ((-(a - b + c) (-a + b + c)^2 (a + b + c) : (a + b - c) (a - b + c)^3 : 16 b^2 c^2).

(-a^4 - b^4 + 2 a^2 (b - c)^2 + 4 b^3 c - 22 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4) x -(-a + b + c)^2 (a^2 + 2 a b + b^2 - c^2)y -(-a + b + c)^2 (a^2 - b^2 + 2 a c + c^2)z = 0.

W = ( (a-b-c)/(a^4-2 a^2 (b^2-b c+c^2)+b^4-2 b^3 c+10 b^2 c^2-2 b c^3+c^4) : ... : ...),

W = 2(r^2+4rR-4R^2) X₉₃₈ - (2r^2-16R^2+s^2) X₁₀₅₈,

Lugares geométricos de centros de homotecias

OA"/A"A' = OB"/B"B' = OC"/C"C' = t.

U = (a^4(b^2+c^2-a^2) (4 b^2 c^2 + (b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c) t) : ... : ... ),

V = (4a^4b^2c^2(a^2-b^2-c^2) + (b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)(a^2 b^4+ a^2 c^4- 4 a^2 b^2 c^2 - b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 - c^6)t : ... : ... ),

D = (a^4 (-a^2 + b^2 + c^2) : -b^6 + b^4 c^2 + a^2 (b^4 - 2 b^2 c^2) : c^4 (b^2 - c^2) + a^2 (-2 b^2 c^2 + c^4)),
E = ( a^4 (-a^2 + c^2) + b^2 (a^4 - 2 a^2 c^2) : b^4 (a^2 - b^2 + c^2) : a^2 c^4 - c^6 + b^2 (-2 a^2 c^2 + c^4) ),
F = ( -a^6 + a^4 b^2 + (a^4 - 2 a^2 b^2) c^2 : b^4 (a^2 - b^2) + (-2 a^2 b^2 + b^4) c^2 : c^4 (a^2 + b^2 - c^2) ).

El punto (R+4r) X(1) - R X(3)

W = (a (-2 a^6 + 4 a^5 (b + c) + 2 a^4 (b^2 - 6 b c + c^2) + a^3 (-8 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 - 8 c^3)+ 2 a^2 (b^4 + 4 b^3 c - 9 b^2 c^2 + 4 b c^3 + c^4) + a (b - c)^2 (4 b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + 4 c^3) - 2 (b - c)^4 (b + c)^2) : ... : ...),

Punto de Weill

A' = ((a-b-c)(b-c)^2 : b^2(-a+b-c) : (-a-b+c)c^2),
A" = (-4a^2(a+b-c)(a-b+c) : (a-b-c)(a+b-c)^3 : (a-b-c)(a-b+c)^3).

X₃₅₄ = (a((b-c)^2-a(b+c)) : b((c-a)^2-b(c+a)) : c((a-b)^2-c(a+b))).

Haz de cónicas con puntos base el incentro y los vértices de su triángulo circunceviano

(x:y:z) ↦ Φ(x:y:z:) =
  ( 1/((cv-bw)(c(a+c)v+b(a+b)w-bcu)) : 1/((aw-cu)(a(b+a)w+c(b+c)u-cav)) : 1/((bu-av)(b(c+b)u+a(c+a)v-abw)) ).

Punto fijo de una transformación afín

Z = (a (b + c) (a^5 + a^4 (b + c) - a^3 (b^2 + c^2) + a b c (2 b^2 - 7 b c + 2 c^2) - a^2 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + b c (2 b^3 - b^2 c - b c^2 + 2 c^3)) : ... : ...),

Haz de cúbicas generado por K019 y K187

M = ( a^2 v w (2 u + v + w) + u^2 (c^2 v + b^2 w) : ... : ... ).

O_a = ( -a^6 v^2 w^2 (v+w)-a^4 v w (c^2 v (u^2+6 u v+2 v^2+2 u w-2 w^2)+b^2 w (u^2-2 v^2+2 w^2+2 u (v+3 w)))-u (c^2 v+b^2 w) (b^4 w (u (v-2 w)+2 v (v+w))+c^4 v (u (-2 v+w)+2 w (v+w))-2 b^2 c^2 (2 v w (v+w)+u (v^2+5 v w+w^2)))+a^2 (c^4 v^2 (-2 u^2 (v-w)+4 u w (2 v+w)+w (2 v^2+v w-w^2))+2 b^2 c^2 v w (v^3+6 v^2 w+6 v w^2+w^3+4 u (v^2+3 v w+w^2))+b^4 w^2 (2 u^2 (v-w)+4 u v (v+2 w)+v (-v^2+v w+2 w^2))):
  (a^4 v w+c^4 v (2 v+w)+b^4 w (v+2 w)-2 a^2 (v+w) (c^2 v+b^2 w)+2 b^2 c^2 (v^2+3 v w+w^2)) (c^2 u v^2+w (a^2 v^2+b^2 u (u+2 v+w))) :
  ((b^2 u+a^2 v) w^2+c^2 u v (u+v+2 w)) (a^4 v w+c^4 v (2 v+w)+b^4 w (v+2 w)-2 a^2 (v+w) (c^2 v+b^2 w)+2 b^2 c^2 (v^2+3 v w+w^2)) ).

W = ( v^2 w^2 (4 v w + u (v + w)) a^10 +
  (v w (-2 c^2 v^3 w - 6 b^2 v^2 w^2 - 6 c^2 v^2 w^2 - 2 b^2 v w^3) + v w (-2 c^2 v^3 - 2 b^2 v^2 w + 8 c^2 v^2 w + 8 b^2 v w^2 - 2 c^2 v w^2 - 2 b^2 w^3) u + v w (2 c^2 v^2 + 4 b^2 v w + 4 c^2 v w + 2 b^2 w^2) u^2 + v w (c^2 v + b^2 w) u^3)a^8 +
  (-2 (-2 b^2 c^2 v^4 w + 2 c^4 v^4 w + 6 b^2 c^2 v^3 w^2 + 10 c^4 v^3 w^2 + 10 b^4 v^2 w^3 + 6 b^2 c^2 v^2 w^3 + 2 b^4 v w^4 - 2 b^2 c^2 v w^4) u - 2 (2 c^4 v^4 + 2 b^2 c^2 v^3 w + 2 c^4 v^3 w + 6 b^4 v^2 w^2 - 8 b^2 c^2 v^2 w^2 + 6 c^4 v^2 w^2 + 2 b^4 v w^3 + 2 b^2 c^2 v w^3 + 2 b^4 w^4) u^2 - 2 (c^4 v^3 - 4 b^2 c^2 v^2 w + c^4 v^2 w + b^4 v w^2 - 4 b^2 c^2 v w^2 + b^4 w^3) u^3 + 4 b^2 c^2 v w u^4)a^6 +
  (2 (b^4 c^2 v^4 w^2 - 2 b^2 c^4 v^4 w^2 + c^6 v^4 w^2 + b^6 v^3 w^3 - b^4 c^2 v^3 w^3 - b^2 c^4 v^3 w^3 + c^6 v^3 w^3 + b^6 v^2 w^4 - 2 b^4 c^2 v^2 w^4 + b^2 c^4 v^2 w^4) + 2 (-b^4 c^2 v^4 w - 2 b^2 c^4 v^4 w + 3 c^6 v^4 w + b^6 v^3 w^2 - 7 b^2 c^4 v^3 w^2 + 6 c^6 v^3 w^2 + 6 b^6 v^2 w^3 - 7 b^4 c^2 v^2 w^3 + c^6 v^2 w^3 + 3 b^6 v w^4 - 2 b^4 c^2 v w^4 - b^2 c^4 v w^4) u + 2 (2 b^2 c^4 v^4 + 2 c^6 v^4 + b^4 c^2 v^3 w - 10 b^2 c^4 v^3 w + c^6 v^3 w + 6 b^6 v^2 w^2 - 18 b^4 c^2 v^2 w^2 - 18 b^2 c^4 v^2 w^2 + 6 c^6 v^2 w^2 + b^6 v w^3 - 10 b^4 c^2 v w^3 + b^2 c^4 v w^3 + 2 b^6 w^4 + 2 b^4 c^2 w^4) u^2 + 2 (-2 b^2 c^4 v^3 + 2 c^6 v^3 - 10 b^4 c^2 v^2 w - 6 b^2 c^4 v^2 w - 6 b^4 c^2 v w^2 - 10 b^2 c^4 v w^2 + 2 b^6 w^3 - 2 b^4 c^2 w^3) u^3 + 2 (-b^2 c^4 v^2 - 3 b^4 c^2 v w - 3 b^2 c^4 v w - b^4 c^2 w^2) u^4)a^4 +
  ((b^2 - c^2) (-b^6 v^3 w^2 + 3 b^4 c^2 v^3 w^2 - 3 b^2 c^4 v^3 w^2 + c^6 v^3 w^2 - b^6 v^2 w^3 + 3 b^4 c^2 v^2 w^3 - 3 b^2 c^4 v^2 w^3 + c^6 v^2 w^3) u + (b^2 - c^2) (-4 b^6 v^2 w^2 + 12 b^4 c^2 v^2 w^2 - 12 b^2 c^4 v^2 w^2 + 4 c^6 v^2 w^2) u^2 + (b^2 - c^2) (6 b^2 c^4 v^3 + 2 c^6 v^3 + 12 b^4 c^2 v^2 w - 2 b^2 c^4 v^2 w - 2 c^6 v^2 w + 2 b^6 v w^2 + 2 b^4 c^2 v w^2 - 12 b^2 c^4 v w^2 - 2 b^6 w^3 - 6 b^4 c^2 w^3) u^3)a^2
  -(b^2 - c^2)^2 u^3 (c^2 v + b^2 w) (b^4 v w + c^4 v w - 2 b^2 c^2 (v w + u (v + w))) ).

(b^2-c^2)(b^2 + c^2-a^2)x + (c^2-b^2)(c^2 + a^2-b^2)y + (a^2-b^2)(a^2 + b^2-c^2)z = 0,
b^2c^2(b^2-c^2)x + c^2a^2(c^2-a^2)y + a^2b^2(a^2-b^2)z = 0.

nK(X6, X69×Z_o*, Z_i) = g(p,q,r) K019 + f(p,q,r) K187.

La estrofoide de Jerabek y focos de parábolas

Cónica inscrita como envolvente de tripolares

a Pablo, por su "cumple"

(-p + q) (p - r) (p q + t) (p r + t)x + (p - q) (q - r) (p q + t) (q r + t)y + (p - r) (-q + r) (p r + t) (q r + t) = 0,

p^2 x^2 + q^2 y^2 + r^2 z^2- 2 q r y z- 2 p r x z - 2 p q x y= 0.

(S_A (1 + t) u + S_B (u - t v + w))y + (S_A (1 + t) u + S_C (t (u + v) - w))z = 0,

A₀ = (-u (S_A (1 + t)^2 u + S_C t (t (u + v) - w) + S_B (u - t v + w)) : -(S_A (1 + t) u + S_C (t (u + v) - w)) (t v - w) : (t v - w) (S_A (1 + t) u + S_B (u - t v + w))).

A' = (-S_A (1 + t)^2 u^2 + S_C (t^2 (-u^2 + v^2) - 2 t v w + w^2) + S_B (-u^2 + (-t v + w)^2) : -2 (S_A (1 + t) u + S_C (t (u + v) - w)) (t v - w) : 2 (t v - w) (S_A (1 + t) u + S_B (u - t v + w))).

Ω_a = (0 : S_A (1 + t) u^2 ((-1 + t) v - 2 w) + S_C (t^2 v (u + v)^2 - 2 t (u + v)^2 w + (2 u + v) w^2) + S_B v (-u^2 + (-t v + w)^2) : S_C w (t^2 (-u^2 + v^2) - 2 t v w + w^2) + S_B (-2 t v (u + w)^2 + w (u + w)^2 + t^2 v^2 (2 u + w)) - S_A (1 + t) u^2 (-w + t (2 v + w))).

D = (u (c^2 u (u + t^2 v + w) - b^2 u (t^2 (u + v) + w) + a^2 (-t^2 v (u + v) + w (u + w))) :
  b^2 u (t^2 v (u + v) - 2 t (u + v) w + w (-u + w)) - c^2 u (u (v + w) + (-t v + w)^2) + a^2 (t^2 v^2 (u + v) - 2 t v (u + v) w + w (u^2 + u w + v w)) :
  c^2 u (t^2 (u - v) v + 2 t v (u + w) - w (u + w)) - a^2 (-2 t v w (u + w) + w^2 (u + w) + t^2 v (u^2 + u v + v w)) + b^2 u (-2 t v w + w^2 + t^2 (v^2 + u (v + w)))).

(-c^2 u v^2 + a^2 u v w - b^2 u v w - c^2 u v w - b^2 u w^2) x + (-c^2 u^2 v - a^2 u v w + b^2 u v w - c^2 u v w - a^2 v w^2) y + (-b^2 u^2 w - a^2 u v w - b^2 u v w + c^2 u v w - a^2 v^2 w) z = 0.

Σ _{abc uvw xyz} u^2 (c^2 v (v + w) + w (-a^2 v + b^2 (v + w)))^2x^2
  -2 v (b^2 u (u + v) + v w(-c^2 u + a^2 (u + v))) (c^2 u (u + w) + w (-b^2 u + a^2 (u + w))) y z= 0.

(u (c^2 u v (u + w + t w) + w (-b^2 u (v + t (u + v)) + a^2 v (u - t u - t v + w))) : v (c^2 u (u (v + w) + w (-t v + w)) + w (b^2 u (u + t u + t v - w) - a^2 (u^2 + u (-t v + w) + v (-t v + w)))) : -w (c^2 u v (u + t u - t v + w) - a^2 v (-w (u + w) + t (u^2 + u v + v w)) + b^2 u (-v w + t (v^2 + u (v + w))))).

(c^2 u^2 v+w (b^2 u^2+a^2 v (2 u+v+w)) : c^2 u v^2+w (a^2 v^2+b^2 u (u+2 v+w)) : (b^2 u+a^2 v) w^2+c^2 u v (u+v+2 w)).

b^4 c^4 x^2 + a^4 c^4 y^2 + a^4 b^4 z^2 - 2 a^4 b^2 c^2 y z - 2 a^2 b^4 c^2 z x - 2 a^2 b^2 c^4 x y = 0.

Σ _{abc xyz} (a^2 - 2 b^2 - 2 c^2)^2x^2 -2 (2 a^2 + 2 b^2 - c^2) (2 a^2 - b^2 + 2 c^2)yz = 0.

Σ _{abc xyz} a^4 (a^2 - b^2 - c^2)^2x^2 -2 b^2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)yz = 0.

Cúbica de Darboux y cónicas inscritas

(C):  q^2 r^2 x^2 + p^2 r^2 y^2+ p^2 q^2 z^2- 2 p^2 q r y z - 2 p q^2 r z x - 2 p q r^2 x y = 0.

(q r ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w))) x +
  (p ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w)) (-(b^2 - c^2) (q + r) u + a^2 (-r (u + 2 v) + q (u + 2 w)))) y +
  (-p ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) (-(b^2 - c^2) (q + r) u + a^2 (-r (u + 2 v) + q (u + 2 w)))) z = 0.

A' = (q r ((a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)) ((a^2 - b^2) w + c^2 (2 u + w)) :
  q ((-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)) ((a^2 - c^2) (p + r) v + b^2 (r (2 u + v) - p (v + 2 w))) :
  -r (a^2 v - c^2 v - b^2 (v + 2 w)) ((a^2 - b^2) (p + q) w + c^2 (q (2 u + w) - p (2 v + w)))).

(3 a^4 - 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) x (c^2 y^2 - b^2 z^2) + (-a^4 - 2 a^2 b^2 + 3 b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 - c^4) y (-c^2 x^2 + a^2 z^2) + (-a^4 + 2 a^2 b^2 - b^4 - 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + 3 c^4)z (b^2 x^2 - a^2 y^2) = 0,

Tríada de triángulos homológicos

a Lolilla, por su "cumple"

A' = (a^2(u-v-w) : -(b^2-c^2) (u-v-w)-a^2(u+v-w) : (b^2-c^2)(u-v-w)-a^2(u-v+w)),
D = (a^2(u+v+w)-2(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w)) : b^2(u+v-3w) : c^2(u-3v+w)).

Q = (a^2/(v+w-3u) : b^2/(w+u-3v) : c^2/(u+v-3w)),

(2 a^4- 5 a^2 (b^2 + c^2) - 7 b^4 + 22 b^2 c^2 - 7 c^4) x + ... = 0.

Recta de Pascal pasando por un punto fijo

A_b = (0 : b^2 : c^2 k - b^2 (1 + k)),   A'_b = (0 : c^2 k - b^2 (1 + k) : c^2).

B_c = (a^2 k - c^2 (1 + k) : 0 : c^2),   B'_c = (a^2 : 0 : a^2 k - c^2 (1 + k)),
C_a = (a^2 : b^2 k - a^2 (1 + k) : 0),   C'_a = (b^2 k - a^2 (1 + k) : b^2 : 0).

Σ _{abc xyz} b^2 c^2 (a^4 k (1 + k) (-c^2 k + b^2 (1 + k)) - a^2 (b^4 k^2 (1 + k) - c^4 k (1 + k)^2 + b^2 c^2 (1 + 3 k + 3 k^2)) + b^2 c^2 k (1 + k) (-c^2 k + b^2 (1 + k)) ) x^2 +
a^2 (-b^2 k + a^2 (1 + k)) (a^2 k - c^2 (1 + k)) (c^4 k^2 + b^4 (1 + k)^2 + b^2 c^2 (1 - 2 k - 2 k^2))y z = 0.

W = (a^2 (a^4 - b^2 c^2) (b^4 - c^4) : ... : ...),

A_c = (0 : -b^2 k + c^2 (1 + k) : -c^2),   A'_c = (0 : -b^2 : -b^2 k + c^2 (1 + k)).
B_a = (-a^2 : 0 : -c^2 k + a^2 (1 + k)),   B'_a = (-c^2 k + a^2 (1 + k) : 0 : -c^2)),
C_b = (-a^2 k + b^2 (1 + k) : -b^2 : 0),   C'_b = (-a^2 : -a^2 k + b^2 (1 + k) : 0).

Dos triángulos homológicos

N_a = (2 a^8-(b^2-c^2)^4-4 a^6 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4) :
  -(a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+2 c^2)) (a^4+b^4-3 b^2 c^2+2 c^4-a^2 (2 b^2+3 c^2)) :
  -(a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (2 b^2+c^2)) (a^4+2 b^4-3 b^2 c^2+c^4-a^2 (3 b^2+2 c^2)) ),

O_a = (a^2 (a^2-b^2-c^2) : -a^4+c^2 (b^2-c^2)+a^2 (b^2+2 c^2) : -a^4-b^4+b^2 c^2+a^2 (2 b^2+c^2).

Triángulos homotéticos asociados a la circunferencia inscrita

Z = 3(12r^2+64R^2+3s^2) X(3241) + 2(12r^2-32rR+64R^2+3s^2) X(5836),

a(3 (b - c)^4 (b + c)^2 (3 b^2 - 10 b c + 3 c^2) -
  (b - c)^2 (39 b^5 - 97 b^4 c + 90 b^3 c^2 + 90 b^2 c^3 - 97 b c^4 + 39 c^5) a +
  (b - c)^2 (21 b^4 + 16 b^3 c + 758 b^2 c^2 + 16 b c^3 + 21 c^4) a^2 +
  (69 b^5 - 231 b^4 c - 318 b^3 c^2 - 318 b^2 c^3 - 231 b c^4 + 69 c^5) a^3 +
  (-69 b^4 + 68 b^3 c - 270 b^2 c^2 + 68 b c^3 - 69 c^4) a^4 +
  (-21 b^3 + 65 b^2 c + 65 b c^2 - 21 c^3) a^5 +
  3 (13 b^2 + 2 b c + 13 c^2) a^6 -
  9 (b + c) a^7),

Conjugados isotómicos de brocardianos

ℰ_l   p U^2 + q V^2+ r W^2- p V W - q W U - r U W = 0,

ℰ_l   (p^2-4q r) x^2 + (q^2-4 p r)y^2 + (r^2-4p q)z^2 - 2(2p^2+q r)y z- 2(2q^2+p r)z x - 2(2r^2+p q)x y = 0.

F_l = (a^2(p^2-q^2+q r-r^2) - p(b^2(p+q-2 r) + c^2(p+r-2q)) : ... : ... ),

d_l   (a^2p + c^2(2q-p) + b^2(2r-p))x + ... = 0.

Γ_l   ((b^2+c^2-a^2)u+b^2 v+c^2 w) x^2 - (a^2 u+(2 a^2-c^2)v+(2a^2-b^2)w) y z+ ... = 0.

Q' = (3a^4u - 2a^2(b^2(2v+w)+c^2(v+2w))+(b^2-c^2)(b^2(u+2w)-c^2(u+2v)) : ... : ...).

Un triangulo inversamente semejante y perspectivo con el triángulo órtico

A' = (-a^2(a^4+b^4+c^4-2a^2(b^2+c^2)) :
  b^2(a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2)) :
  c^2(a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2c^2))).

k=R $\sqrt{\mathrm{2\; r^2\; +\; 8\; r\; R\; +\; 9\; R^2\; -\; 2\; s^2}}$/((r+2R)^2-s^2),

F = ((a^2 - b^2 - c^2) (-a^4 b^2 c^2 + 2 (b^2 - c^2)^4 + a^6 (b^2 + c^2) - 3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),

Recta de Euler del triángulo órtico

Recta de Euler y puntos de Brocard

Be(P) = ( u (v w (u^2+v w)a^2-u^2 (v+w)(w b^2+v c^2)) : ... : ...).

{1, 35}, {2, 69}, {3, 2055}, {4, 24}, {6, 2056}, {7, 57}, {8, 2057}, {15, 2058}, {16, 2059}, {20, 2060}, {40, 2061}, {63, 2062}, {69, 2063}, {75, 2064}, {98, 2065}, {99, 249}, {100, 59}, {110, 250}, {190, 4998}, {651, 7339}.

Be(Ω₁) = (a^2 b^2 c^6+a^4 (-b^4 c^2+b^2 c^4+c^6) : a^4 b^4 c^2-a^2 b^4 c^4+a^6 b^2 (b^2+c^2) : -a^4 b^2 c^4+b^6 c^4+a^2 b^4 c^2 (b^2+c^2)),

Be(Ω₂) = (a^2 b^6 c^2+a^4 (b^6+b^4 c^2-b^2 c^4) : -a^4 b^4 c^2+b^4 c^6+a^2 b^2 c^4 (b^2+c^2) : a^4 b^2 c^4-a^2 b^4 c^4+a^6 c^2 (b^2+c^2)).

W = (b^4 c^4 (b^2-c^2)^2+2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) a^2+b^2 c^2 (b^4+b^2 c^2+c^4) a^4-(b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)a^6-b^2 c^2 a^8+(b^2+c^2) a^10 : ... : ... ),

La elipse de Steiner circunscrita al triangulo antimedial

Q = ( 1/(v w (a^2 v (u + v) (v - w) w (u + w) - u (v + w)^2 (b^2 (u + v) w - c^2 v (u + w)))) : ... : ..),
Q' = ( 1 /(v^2 (v - w) w^2 (-7 u^2 - 3 u (v + w)+ v w )a^2+ u v w^2 (8 u^2 w + v (3 v^2 + 14 v w + 3 w^2) + u (7 v^2 + 30 v w + 7 w^2))b^2 -u v^2 w (8 u^2 v + w (3 v^2 + 14 v w + 3 w^2) + u (7 v^2 + 30 v w + 7 w^2)))c^2 : ... : ...).

La hipérbola de Kiepert y cuártica relacionada

K(θ) = (1/(S_A + ) : 1/(S_B + S_θ) : 1/(S_C + S_θ)),

1/((b^2+c^2-a^2)^2(a^4-(b^2-c^2)^2) + 2(-4a^8+11a^6(b^2+c^2-3a^4(3b^4+4b^2c^2+3c^4)+a^2(b^2+c^2)^3+(b^2-c^2)^2(b^4+c^4))Cos θ + 8a^2(a^6-3a^4(b^2+c^2)+3a^2(b^4+b^2c^2+c^4)-b^6-c^6)Cos^2 θ).

K'(t) = ((S_C-S_B)(S_Au+t(u-v)-S_Bv)(S_Au+t(u-w)-S_Cw) :
    (S_A-S_C)(S_Au+t(u-v)-S_Bv)(-S_Bv+S_Cw+t(w-v)) :
    (S_B-S_A)(S_Au+t(u-w)-S_Cw)(S_Bv+t(v-w)-S_Cw)).

El centro del triángulo X(7619)

(b^2-c^2)(7a^6 - 18a^4(b^2+c^2) + a^2(17b^4+11b^2c^2+17c^4)- 6b^6+7b^2c^2(b^2+c^2)-6c^6)x + ... = 0.

Centros de la circunferencia de Feuerbach y un punto sobre IO

N' = (a (7a^5(b+c)
   +a^4(b^2+4b c+c^2)
   -a^3(14b^3+9b^2c+9b c^2+14c^3)
   -2a^2(b^4+5b^3c+7b^2c^2+5b c^3+c^4)
   +a(b-c)^2(7b^3+16b^2c+16b c^2+7c^3)
   +(b^2-c^2)^2(b^2+6b c+c^2)) : ... : ...),

El centro de la circunferencia de Feuerbach como un centro de otro triángulo

(x:y:z) ↦ (u ((b^4 + c^4) v w (u + v + w) - 2 b^2 c^2 (v w (v + w) + u (v^2 + 3 v w + w^2)) + a^2 (c^2 v (u (2 v - w) + (v - w) w) + b^2 w (-u (v - 2 w) + v (-v + w)))) x
    - v (2 a^4 (u + v) w^2 + a^2 u (b^2 w (u + v + w) - c^2 (u (2 v - 3 w) + w (v + w))) - (b^2 - c^2) u (b^2 w (u + v + w) - c^2 (w (v + w) + u (2 v + 3 w)))) y
    - w (2 a^4 v^2 (u + w) + a^2 u (c^2 v (u + v + w) + b^2 (u (3 v - 2 w) - v (v + w))) - (b^2 - c^2) u (-c^2 v (u + v + w) + b^2 (v (v + w) + u (3 v + 2 w)))) z : ..: ...).

Cuadriláteros circulares

c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z +
(x+y+z) /(2 (b^2 - b^2 t + c^2 t) (a^2 b^2 + b^2 c^2 - a^4 t - a^2 b^2 t + a^2 c^2 t + a^4 t^2))
( (-b^4 c^4+a^4 b^2 c^2 t-2 a^2 b^4 c^2 t-2 a^2 b^2 c^4 t-a^4 b^2 c^2 t^2+2 a^2 b^4 c^2 t^2+2 a^2 b^2 c^4 t^2) x
- a^2 (b^4 c^2-a^2 b^2 c^2 t-3 b^4 c^2 t+2 b^2 c^4 t-a^4 c^2 t^2+5 a^2 b^2 c^2 t^2+2 b^4 c^2 t^2+a^2 c^4 t^2-2 b^2 c^4 t^2+a^4 c^2 t^3-4 a^2 b^2 c^2 t^3) y
-(a^2/2)+(a^2 (b^4 c^2-a^2 b^2 c^2 t-3 b^4 c^2 t+2 b^2 c^4 t-a^4 c^2 t^2+5 a^2 b^2 c^2 t^2+2 b^4 c^2 t^2+a^2 c^4 t^2-2 b^2 c^4 t^2+a^4 c^2 t^3-4 a^2 b^2 c^2 t^3))/(2 (b^2-b^2 t+c^2 t) (a^2 b^2+b^2 c^2-a^4 t-a^2 b^2 t+a^2 c^2 t+a^4 t^2)) z ) = 0.

(a^4+2 (b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+c^2)) x-a^2 (a^2+b^2+c^2) y-a^2 (a^2+b^2+c^2) z=0.

(a^2/(a^4+(b^2-c^2)^2) : b^2/(b^4+(c^2-a^2)^2) : c^2/(c^4+(a^2-b^2)^2)),

S_a = (a^2 (a^4+b^4-6 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) :
   b^2 (a^4+b^4-2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) :
   c^2 (a^4-3 b^4-2 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2))).

S = (a^2/(3a^4 + 2a^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2) : ... : ...),

(a^2 c^2 + b^2 c^2 + c^4) x y + (-3 a^2 c^2 - 3 b^2 c^2 + c^4) y^2 + (a^2 b^2 + b^4 + b^2 c^2) x z + (2 a^4 + a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + 6 b^2 c^2 - c^4) y z + (-3 a^2 b^2 + b^4 - 3 b^2 c^2) z^2 = 0.

W = ((a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 + b^2 c^2) (2 a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + c^4) : ... : ...),

X₃₆₂₀ = (3 b^2 + 3 c^2-a^2 : 3 a^2 + 3 c^2- b^2 : 3 a^2 + 3 b^2 - c^2).

Una cuártica circular

a Kake, por su "cumple"

W = (-4 a^8+a^6 (b^2+c^2)+2 a^4 b^2 c^2-3 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+2 (b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4) : ... : ...),

W_t = (-4 a^8+5 a^6 (b^2+c^2)-2 a^4 (b^4-b^2 c^2+c^4)+2 (b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4)+a^2 (-3 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4-3 c^6)+(4 a^8-2 a^4 b^2 c^2-a^6 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-2 (b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4)) t : ... : ...).

W₀ = (4 a^8-5 a^6 (b^2+c^2)+2 a^4 (b^4-b^2 c^2+c^4)-a^2 (-3 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4-3 c^6)-2 (b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4) : ... : ...),

Un lugar geométrico asociado a la recta de Euler

T = X₃₈₂ + X₅₈₉₉ = ( a^10-a^8 (b^2+c^2)-a^6 (2 b^4-9 b^2 c^2+2 c^4)+2 a^4 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4-5 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) : ... : ...),

T' = ( a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^10 (b^2+c^2)
  +a^8 (-3 b^4+4 b^2 c^2-3 c^4)
  +2 a^6 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)
  +2 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^4-6 b^2 c^2+c^4)
  -a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^6-11 b^4 c^2-11 b^2 c^4+3 c^6))
  +(b^2-c^2)^4 (b^4+c^4) ) : ... : ...),

F = 3 (s^2-(r+2R)^2) X₂ + 2(r^2+4rR+6R^2-s^2) X₉₈
  = (-a^12
   +a^10 (b^2+c^2)
   +a^8 (3 b^4-7 b^2 c^2+3 c^4)
   -6 a^6 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)
   +a^4 (b^2-c^2)^2 (5 b^4+4 b^2 c^2+5 c^4)
   -3 a^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)
   +(b^2-c^2)^4 (b^4+b^2 c^2+c^4) : ... : ...),

Reflexiones de las circunferencia exinscritas y triángulos paralelógicos

(a b^2 c-a b c^2) x+(a^3 c-a^2 b c+b^3 c+a^2 c^2-a b c^2+b^2 c^2-a c^3-b c^3-c^4) y+(-a^3 b-a^2 b^2+a b^3+b^4+a^2 b c+a b^2 c+b^3 c-b^2 c^2-b c^3) z =0.

V = (a (a^3+a^2 (b+c)-b^3-a (b-c)^2-c^3) : ... : ...),

La recta de Euler como lugar geométrico

A' = (-a^2u : (b^2-c^2)u+a^2(u+v) : (-b^2+c^2)u+a^2(u+w)),

O_a = (a^2(-u(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w))+a^2(u^2+2v w+u(v+w))) :
  -a^4(u+v)(u+w)-(b^2-c^2)u(b^2w-c^2(u+w))+a^2(c^2(2u+v)(u+w)+b^2(u^2+u v-v w)) :
  -(b^2-c^2)u(-c^2v+b^2(u+v))-a^4(u+v)(u+w)+a^2(b^2(u+v)(2u+w)+c^2(u^2+u w-v w)))

T(X₂₀)=T(X₂₄) = (a^2 (a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)+2 a^4 (3 b^4+b^2 c^2+3 c^4)-4 a^2 (b^6+c^6)) : ... : ...),

T(X₂₁)=T(X₇₄₁₄) = (a^2 (a+b) (a+c) (a^6-a^5 (b+c)+b c (b^2-c^2)^2-a^4 (2 b^2+b c+2 c^2)+2 a^3 (b^3+c^3)+a^2 (b^4+c^4)+a (-b^5+b^4 c+2 b^3 c^2+2 b^2 c^3+b c^4-c^5)) : ... : ...),

T(X₂₂)=T(X'₂₂) = (a^2 (a^10-3 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (b^4+b^2 c^2+c^4)-a^2 (b^2+c^2)^2 (3 b^4-4 b^2 c^2+3 c^4)+2 a^4 (b^6+c^6)+(b^2-c^2)^2 (b^6+5 b^4 c^2+5 b^2 c^4+c^6)) : ... : ...),

X'₂₂ = ((3 a^6-5 a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^2 (b^2+c^2)^2)/S_A : ... : . ..),

T(X₂₃)=T(X'₂₃) = (a^2 (2 a^10-5 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2 (b^6+6 b^4 c^2+6 b^2 c^4+c^6)+a^4 (4 b^6-5 b^4 c^2-5 b^2 c^4+4 c^6)-2 a^2 (2 b^8+b^6 c^2-5 b^4 c^4+b^2 c^6+2 c^8)) : ... : ...),

X'₂₃ = ((4 a^6-7 a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^4+3 b^2 c^2+c^4))/S_A : ... : . ..),

Una caracterización de la cuártica Q023

G' = (a^2(c^2(a^2-c^2)v-b^4w+b^2(a^2w+c^2(4u+v+w))): ... : ...),

G_a = (c^2(a^2-c^2)v-b^4w+b^2(a^2w+c^2(6u+v+w)) : b^2((-a^2+b^2)w+c^2(4v+w)) : c^2(-a^2v+c^2v+b^2(v+4w))),

L_a : c^2(-a^4c^2v^2+(b^2-c^2)(c^2v+b^2w)^2+ a^2(2c^4v^2-b^4w^2+ b^2c^2v(v+2 w)))y +
  b^2(a^4b^2w^2+(b^2-c^2)(c^2v+ b^2w)^2+a^2(c^4v^2-2b^4w^2-b^2c^2w(2v+ w)))z = 0.

Las isocúbicas K033 y K317

A_b = (a^2(c v-b w) : b(-a^2v+b(b+c)(v+w)) : c(-a^2v+b(b+c)(v+w))),
A_c = (a^2(b w-c v) : b(-a^2w+b c(v+w)+c^2(v+w)) : c(-a^2w+b c(v+w)+c^2(v+w))),
A_ab = (a(a w+c(v+w)) : a^2v+a c v - b^2(v+w) : c(a w+c(v+w))),
A_ac = (a(a v+b(v+w)) : b(a v+b(v+w)) : a(a+b)w-c^2(v+w)),

D' = (0 : a v+b(v+w) : a w+c(v+w)),
E' = (b u + a(w+u) : 0 : b w + c(w+u)),
F' = ( a u + b(u+v) : c v+b(u+v) : 0).

K033 : Σ _{abc xyz} (b+c-a) x (c(a+b)y^2 - b(a+c)z^2) = 0.

Q = ((b u+a(u+w))(c u+a(u+v)) : (a v+b(v+w))(c v+b(u+v)) : (a w+c(v+w))(b w+c(u+v))).

K317 : Σ _{abc xyz} (b+c)x^2(c y - b z) = 0.

Una transformación descrita por R. Deaux

F_a = (a^2(b^4w(v+2w)+(a^2-c^2)v(a^2w-c^2(2v+w))-2b^2(a^2w(v+w)+c^2(2u^2+v^2+v w+w^2+4u(v+w)))) :
  2b^2(a^4w(u+2w)+(b^2-c^2)u(b^2w-c^2(2u+w))-2a^2(b^2w(u+w)+c^2(u^2+4u v+2v^2+u w+4v w+w^2))) :
  2c^2(a^4v(u+2v)+(b^2-c^2)u(-c^2v+b^2(2u+v))-2a^2(c^2v(u+v)+b^2(u^2+u v+v^2+4u w+4v w+2w^2))) ).

T(P) = (a^2(4 b^2 c^2 u^2+8 b^2 c^2 u(v+w)
  -a^4 v w+2 a^2 (v+w) (c^2 v+b^2 w)+(b^2-c^2) (c^2 v (2 v+w)-b^2 w (v+2 w))) : ... : ... ).

T(X(6)) = ( 3 a^4+12 a^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 : ... : ... ),

Rectas de Euler concurrentes asociadas a los centros X(1113) y X(1114)

(b^2+c^2-a^2) (R F₁ ± a^2 G₁ |OH|),

F₁ = a^30 (b^2+c^2)
  -6 a^28 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)
  +9 a^26 (6 b^6+5 b^4 c^2+5 b^2 c^4+6 c^6)
  -a^24 (111 b^8+245 b^6 c^2+42 b^4 c^4+245 b^2 c^6+111 c^8)
  +3 a^22 (21 b^10+242 b^8 c^2+41 b^6 c^4+41 b^4 c^6+242 b^2 c^8+21 c^10)
  +a^20 (174 b^12-1145 b^10 c^2-856 b^8 c^4+750 b^6 c^6-856 b^4 c^8-1145 b^2 c^10+174 c^12)
  -8 a^18 (47 b^14-81 b^12 c^2-306 b^10 c^4+150 b^8 c^6+150 b^6 c^8-306 b^4 c^10-81 b^2 c^12+47 c^14)
  +a^16 (207 b^16+982 b^14 c^2-4004 b^12 c^4+410 b^10 c^6+2794 b^8 c^8+410 b^6 c^10-4004 b^4 c^12+982 b^2 c^14+207 c^16)
  +a^14 (207 b^18-2387 b^16 c^2+4142 b^14 c^4+498 b^12 c^6-2076 b^10 c^8-2076 b^8 c^10+498 b^6 c^12+4142 b^4 c^14-2387 b^2 c^16+207 c^18)
  -4 a^12 (94 b^20-498 b^18 c^2+441 b^16 c^4+582 b^14 c^6-615 b^12 c^8+24 b^10 c^10-615 b^8 c^12+582 b^6 c^14+441 b^4 c^16-498 b^2 c^18+94 c^20)
  +a^10 (b^2-c^2)^4 (174 b^14+493 b^12 c^2-1435 b^10 c^4-1232 b^8 c^6-1232 b^6 c^8-1435 b^4 c^10+493 b^2 c^12+174 c^14)
  +a^8 (b^2-c^2)^4 (63 b^16-845 b^14 c^2+1176 b^12 c^4-123 b^10 c^6+322 b^8 c^8-123 b^6 c^10+1176 b^4 c^12-845 b^2 c^14+63 c^16)
  -a^6 (b^2-c^2)^6 (111 b^14-402 b^12 c^2-36 b^10 c^4+7 b^8 c^6+7 b^6 c^8-36 b^4 c^10-402 b^2 c^12+111 c^14)
  +a^4 (b^2-c^2)^8 (b^2+c^2)^2 (54 b^8-149 b^6 c^2+124 b^4 c^4-149 b^2 c^6+54 c^8)
  -6 a^2 (b^2-c^2)^10 (b^2+c^2)^3 (2 b^4-3 b^2 c^2+2 c^4)
  +(b^2-c^2)^12 (b^2+c^2)^4.

G₁ = a^26 (b^4+c^4)
  -7 a^24 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)
  +a^22 (18 b^8+59 b^6 c^2+16 b^4 c^4+59 b^2 c^6+18 c^8)
  -a^20 (14 b^10+205 b^8 c^2+73 b^6 c^4+73 b^4 c^6+205 b^2 c^8+14 c^10)
  +a^18 (-25 b^12+349 b^10 c^2+363 b^8 c^4-134 b^6 c^6+363 b^4 c^8+349 b^2 c^10-25 c^12)
  +a^16 (63 b^14-194 b^12 c^2-992 b^10 c^4+291 b^8 c^6+291 b^6 c^8-992 b^4 c^10-194 b^2 c^12+63 c^14)
  -2 a^14 (18 b^16+169 b^14 c^2-808 b^12 c^4+31 b^10 c^6+492 b^8 c^8+31 b^6 c^10-808 b^4 c^12+169 b^2 c^14+18 c^16)
  -2 a^12 (18 b^18-371 b^16 c^2+765 b^14 c^4+191 b^12 c^6-443 b^10 c^8-443 b^8 c^10+191 b^6 c^12+765 b^4 c^14-371 b^2 c^16+18 c^18)
  +a^10 (63 b^20-518 b^18 c^2+319 b^16 c^4+1488 b^14 c^6-1406 b^12 c^8+236 b^10 c^10-1406 b^8 c^12+1488 b^6 c^14+319 b^4 c^16-518 b^2 c^18+63 c^20)
  -a^8 (b^2-c^2)^2 (25 b^18+109 b^16 c^2-1104 b^14 c^4+1160 b^12 c^6-126 b^10 c^8-126 b^8 c^10+1160 b^6 c^12-1104 b^4 c^14+109 b^2 c^16+25 c^18)
  -a^6 (b^2-c^2)^4 (14 b^16-303 b^14 c^2+608 b^12 c^4-57 b^10 c^6+148 b^8 c^8-57 b^6 c^10+608 b^4 c^12-303 b^2 c^14+14 c^16)
  +a^4 (b^2-c^2)^6 (18 b^14-157 b^12 c^2+39 b^10 c^4+52 b^8 c^6+52 b^6 c^8+39 b^4 c^10-157 b^2 c^12+18 c^14)
  -a^2 (b^2-c^2)^8 (b^2+c^2)^2 (7 b^8-47 b^6 c^2+38 b^4 c^4-47 b^2 c^6+7 c^8)
  +(b^2-c^2)^10 (b^2+c^2)^3 (b^4-5 b^2 c^2+c^4)

U = (p + k*q : ... : ...),     V = (p - k*q : ... : ...),

p= (12*cos(2*A)+cos(4*A)+12)*cos(B-C)-(11*cos(A)+3*cos(3*A))*cos(2*(B-C))+(cos(2*A)+1)*cos(3*(B-C))-2*cos(3*A)-11*cos(A),
q = (4*cos(2*A)+5)*cos(B-C)-(4*cos(A)+cos(3*A))*cos(2*(B-C))-4*cos(A),
k = |OH|/R = $\sqrt{\mathrm{9*R^2-2*S_\omega}}$/R.

Transformación afín y triángulos cevianos

a Silvia, por su "cumple"

λ₁ = (q+r) (p^2+p q+p r+q r),
λ_2,3 = (-(p+q)(p+r)(q+r) ± $\sqrt{(p+q)(p+r)(p(q-r)^2+q(r-p)^2+r(p-q)^2)}$)/2.

F₁ = (p(q+r) : q(r+p) : r(p+q)),

P = ((2-t)(1+t) : t(1+t)(1-2t) : (t-2)(t-1)(2t-1)).

Una cónica con la circunferencia circunscrita como circunferencia principal

F = ( 1/((a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4-b^2 c^2+c^4) (a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2) (a^6-3 a^4 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2))) : ... : ...),

F* = ( a^2 (a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)(a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4-b^2 c^2+c^4)(a^6-3 a^4 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),

Centro del triángulo sobre IO

A₂ = (4a^2: (b+c-a) (a-b+c):(b+c-a)(a+b-c)).

A₃ = (a(3a-b-c) : (b+c-a)(a-b+c) : (b+c-a)(a+b-c)).

W = ( a (a^5 (b+c) -a^4 (b^2+6 b c+c^2) -a^3 (2 (b^3+c^3)-7 b c(b+c)) +2 a^2 (b^4+2 b^3 c-7 b^2 c^2+2 b c^3+c^4) +a (b-c)^2 (b^3-6 b c(b+c)+c^3) -(b-c)^4 (b+c)^2) : ... : ...),

Los centros del triángulo X₇₄ y X₈₄₃₁

A_b = ( b^2 u (u+v)-v (c^2 u+a^2 w) : 0 : c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w).
A_c = ( -(b^2 u+a^2 v) w+c^2 u (u+w) : c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w : 0).

l_a : (-c^2 u v-(b^2 u+a^2 v) w) x+(-(b^2 u+a^2 v) w+c^2 u (u+w)) y+(b^2 u (u+v)-v (c^2 u+a^2 w)) z = 0.

D = l_b∩l_c = (a^2 u (c^2 v (v+w)+w (-a^2 v+b^2 (v+w))) : -a^4 v^2 w+u (c^4 v^2-b^4 w^2)+a^2 v^2 (b^2 w+c^2 (-u+w)) : -c^4 u v^2+a^2 c^2 v w^2-(a^2-b^2) (b^2 u+a^2 v) w^2).

(a^8 u v^2 w^2
-a^6 v w (b^2 w (-u^2+v^2+u (2 v+w))+c^2 v (-u^2+w^2+u (v+2 w)))
+a^4 (-b^2 c^2 v w (-u^3-4 u v w+u^2 (v+w)+v w (v+w))+b^4 w^2 (u v w-u^2 (2 v+w)+v^2 (2 v+w))+c^4 v^2 (u v w-u^2 (v+2 w)+w^2 (v+2 w)))
+a^2 (b^6 w^2 (u^2 (v+w)-v^2 (v+w)+u v (2 v+w))+c^6 v^2 (u^2 (v+w)-w^2 (v+w)+u w (v+2 w))+b^4 c^2 v w (-u^3+u^2 (-v+w)+v w (v+w)+u (2 v^2-2 v w-3 w^2))+b^2 c^4 v w (-u^3+u^2 (v-w)+v w (v+w)+u (-3 v^2-2 v w+2 w^2)))
-(b^2-c^2) u (v+w) (c^2 v+b^2 w) (b^4 v w-c^4 v w+b^2 c^2 u (-v+w)) ) x + ... = 0.

T = ( a^2 (a^10 u v^2 w^2-(b^2-c^2) u^2 (c^4 v+b^4 w-b^2 c^2 (2 u+v+w)) (b^4 v w-c^4 v w+b^2 c^2 (v^2-w^2))-a^8 v w (b^2 (-2 u^2+2 u v+v^2) w+c^2 v (-2 u^2+2 u w+w^2))+a^6 (b^4 (u^3-4 u^2 v-u v^2+2 v^3) w^2+c^4 v^2 (u^3-4 u^2 w-u w^2+2 w^3)+b^2 c^2 u v w (3 u^2-v^2+4 v w-w^2-2 u (v+w)))+a^2 u (b^8 (u^2+2 u v-2 v^2) w^2+c^8 v^2 (u^2+2 u w-2 w^2)+b^6 c^2 w (-v^3-u^2 (v-2 w)+2 u v (v-2 w)+v w^2)+b^2 c^6 v (u^2 (2 v-w)+2 u w (-2 v+w)+w (v^2-w^2))-b^4 c^4 (-4 v^2 w^2+u^2 (v^2-6 v w+w^2)))-a^4 (b^6 (2 u^3-u^2 v-4 u v^2+v^3) w^2+c^6 v^2 (2 u^3-u^2 w-4 u w^2+w^3)+b^4 c^2 w (-2 u v^2 (v-w)-v^2 w^2+2 u^3 (2 v+w)+u^2 (2 v^2-4 v w+w^2))+b^2 c^4 v (-v^2 w^2+2 u (v-w) w^2+2 u^3 (v+2 w)+u^2 (v^2-4 v w+2 w^2)))) : ... : ... ).

W = (a^2 (a^20
  -4 a^18 (b^2+c^2)
  +3 a^16 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)
  +a^14 (9 b^6-13 b^4 c^2-13 b^2 c^4+9 c^6)
  -a^12 (21 b^8+17 b^6 c^2-24 b^4 c^4+17 b^2 c^6+21 c^8)
  +3 a^10 (7 b^10+10 b^8 c^2-4 b^6 c^4-4 b^4 c^6+10 b^2 c^8+7 c^10)
  +a^8 (-21 b^12+14 b^10 c^2-34 b^8 c^4+50 b^6 c^6-34 b^4 c^8+14 b^2 c^10-21 c^12)
  +a^6 (b^2-c^2)^2 (27 b^10-11 b^8 c^2+14 b^6 c^4+14 b^4 c^6-11 b^2 c^8+27 c^10)
  -3 a^4 (b^2-c^2)^4 (8 b^8+11 b^6 c^2+8 b^4 c^4+11 b^2 c^6+8 c^8)
  +a^2 (b^2-c^2)^4 (11 b^10+16 b^8 c^2+16 b^2 c^8+11 c^10)
  -(b^2-c^2)^6 (2 b^8+7 b^6 c^2+9 b^4 c^4+7 b^2 c^6+2 c^8)) : ... : ...),

Mismos puntos sobre rectas de Euler y rectas concurrentes

Q = (a^2b^2c^2(c^2u^2v+ w(b^2u^2+a^2v(2u+v+w)))+(-a^2(c^2v+ b^2w)(b^4u w-(a^2-c^2)v(c^2u+a^2w)- b^2(a^2(u-v)w+c^2u(2u+v+w))))t : ... : ...).

Q_a = ( c^2(a^2-c^2)t v - b^4t w + b^2(a^2t w + c^2(2(1+t)u - (t-1)(v+w))) : b^2((-a^2+b^2)t w + c^2(v+2t v+t w)) : c^2(-a^2t v + c^2t v + b^2(t v + w + 2t w)) ).

(a^4t v w - (b^2-c^2)t u(c^2v+b^2w) + a^2(b^2t(u-v)w + c^2v(u-t u+v-2t v+w-t w)))y + (-a^4t v w - (b^2- c^2)t u(c^2v+b^2w) + a^2(c^2t v(-u+w) + b^2w((t-1)u+(t-1)v+(2t-1)w)) )z = 0.

D = ( 1/(b^2c^2u(u+v+w) - (2b^2c^2u^2 - 2a^2v w +2b^2S_Bw u+ 2 c^2S_C u v)t) : ... : ...).

a^2(c^2S_Cv-b^2S_Bw)yz + b^2(a^2S_Aw-c^2S_Cu)zx + c^2(b^2S_Bu-a^2S_Av)xy = 0.

(2 a^4 t v w (-v+w)+(b^2-c^2) u (c^2 v+b^2 w) ((-1+2 t) u+(-1+4 t) (v+w))+a^2 (b^2 w ((1-2 t) u^2+2 (v+w) (t (v-2 w)+w)+u (v-4 t v+(3-4 t) w))+c^2 v ((-1+2 t) u^2+2 (v+w) ((-1+2 t) v-t w)+u ((-3+4 t) v+(-1+4 t) w)))) x+((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w)) (c^2 v (u-(-1+2 t) (v+w))+w (2 a^2 t v+b^2 (u+v-2 t v+w-2 t w))) y+(-(b^2-c^2) u-a^2 (u+2 v)) (c^2 v (u-(-1+2 t) (v+w))+w (2 a^2 t v+b^2 (u+v-2 t v+w-2 t w))) z = 0.

D' = ( a^2 (u+v+w)^2 (c^2 v+b^2 w) (-b^4 u w+(a^2-c^2) v (c^2 u+a^2 w)+b^2 (a^2 (u-v) w+c^2 u (2 u+v+w)))
  + (2 a^8 v^2 w^2 (u+v+w)-(b^2-c^2)^2 u^2 (u+v+w) (c^2 v+b^2 w)^2-a^6 v w (u+v+w) (b^2 w (u+6 v+4 w)+c^2 v (u+4 v+6 w))+a^4 (2 b^2 c^2 v w (-u^3-2 u^2 (v+w)+u (v+w)^2+2 (v+w)^3)+b^4 w^2 (-3 u^3+4 v (v+w)^2-u^2 (5 v+7 w)+2 u (v^2-v w-2 w^2))+c^4 v^2 (-3 u^3+4 w (v+w)^2-u^2 (7 v+5 w)-2 u (2 v^2+v w-w^2)))+a^2 u (c^2 v+b^2 w) (c^4 v (4 u^2+8 u v+4 v^2+7 u w+7 v w+3 w^2)+b^4 w (4 u^2+7 u v+3 v^2+8 u w+7 v w+4 w^2)-2 b^2 c^2 (2 u^3+2 v^3+5 v^2 w+5 v w^2+2 w^3+6 u^2 (v+w)+u (6 v^2+11 v w+6 w^2))))t
  +2 (c^2 v (v+w)+w (-a^2 v+b^2 (v+w))) ((b^2-c^2)^2 u^2 (c^2 v+b^2 w)+a^6 v w (3 u+2 (v+w))-a^2 u (c^4 v (4 u+2 v+w)+b^4 w (4 u+v+2 w)-2 b^2 c^2 (2 u^2+v^2+v w+w^2+2 u (v+w)))+a^4 (b^2 w (3 u^2-2 u (v-w)-2 v (v+w))+c^2 v (3 u^2+2 u (v-w)-2 w (v+w))))t^2 : ... : ...).

(b^2 u-c^2 u+a^2 (v-w)) (a^4 v w+c^4 v (2 v+w)+b^4 w (v+2 w)-2 a^2 (v+w) (c^2 v+b^2 w)+2 b^2 c^2 (v^2+3 v w+w^2))x^2 + (b^6 u w (-3 u-v+w)+(a^2-c^2) v (c^4 u (-3 u+v-w)+2 a^4 (v-w) w+a^2 c^2 (u^2+5 u v-3 u w+4 v w))+b^4 (2 a^2 w (2 u^2-u v+2 u w+2 v w)+c^2 u (4 u^2-u v-v^2+2 u w+3 v w-2 w^2))-b^2 (-4 a^2 c^2 (v-w) (2 u^2+v w)+c^4 u (4 u^2+2 u v-2 v^2-u w+3 v w-w^2)+a^4 w (u^2+2 v (v+w)+u (-3 v+5 w))))yz + ... = 0.

W = (1/(b^4 (u+v) w+c^4 v (u+w)-a^2 (b^2 (u+v) w+c^2 v (u+w))+b^2 c^2 (-2 v w+u (v+w))) :...:...),

Centro del triángulo sobre su circunferencia circunscrita

A' = (2a^2(a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2)) (a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2c^2)) :
  -(a^4-b^2c^2+c^4-a^2(b^2+2 c^2)) (a^6-a^4(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-a^2(b^4+b^2c^2+c^4)):
  -(a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2 b^2+c^2)) (a^6-a^4(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-a^2(b^4+b^2c^2+c^4)) ).

L_a : (a^12-4a^10(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^4(b^2+c^2)^2 + a^8(7b^4+10b^2c^2+7c^4) - 2a^2(b^2-c^2)^2(2b^6+3b^4c^2+3b^2c^4+2c^6) - 2a^6(4b^6+5b^4c^2+5b^2c^4+4c^6) + a^4(7b^8+4b^6c^2+5b^4c^4+4b^2c^6+7c^8)) x + 2a^2b^2(a^4+b^4-b^2c^2-a^2(2b^2+c^2))(a^4+(b^2-c^2)^2-a^2(2b^2+c^2)) y + 2a^2c^2(a^8 + c^2(-b^2+c^2)^3-2a^6(b^2+2c^2) + a^4(2b^4+b^2c^2+6c^4) + a^2(-b^6+b^4c^2+4b^2c^4-4c^6)) z = 0.

R = ( a^2 / (2a^10 -7a^8(b^2+c^2) +10a^6(b^4+b^2c^2+c^4) -a^4(8b^6+b^4c^2+b^2c^4+8c^6) +a^2(b^2-c^2)^2(4b^4+3b^2c^2+4c^4) - (b^2-c^2)^4(b^2+c^2)) : ... : ...),

Una propiedad de la cúbica K187

A" = ( (b-c)(b+c)((b^2-c^2)^3u+a^4(-b^2(u-2v)+c^2(u-2w))-2a^6(v-w)-2a^2(b^2-c^2)(c^2v+b^2w)) :
-(a-b)(a+b)(-(b^2-c^2)^3u-a^2(b^2-c^2)(2b^2(u+v)-c^2(u-2w))+a^6(u+2w)-a^4(-2b^2w+c^2(u+4w))):
-(a-c)(a+c)((b^2-c^2)^3u+a^6(u+2v)-a^4(-2c^2v+b^2(u+4v))-a^2(b^2-c^2)(b^2(u-2v)-2c^2(u+w))) ).

Σ _{abc SASBSC xyz} [(b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)] - 2(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)xyz = 0,

W = (2 a^14 (b^2+c^2) -3 a^12 (3 b^4+2 b^2 c^2+3 c^4)
  +5 a^10 (3 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+3 c^6)
  -a^8 (10 b^8+3 b^6 c^2-2 b^4 c^4+3 b^2 c^6+10 c^8)
  +2 a^6 (5 b^8 c^2-4 b^6 c^4-4 b^4 c^6+5 b^2 c^8)
  +a^4 (b^2-c^2)^2 (3 b^8-8 b^6 c^2-8 b^2 c^6+3 c^8)
  -a^2 (b^2-c^2)^4 (b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6)
  -b^2 c^2 (b^2-c^2)^6 : ... : ...),

El centro del triángulo X(2222)

P_a = (a u : (a - c) v - b (u + v) : (a - b) w - c (u + w)).

A* = (a^2(a-b)(a-c) : -(a-b)b(a^2-b^2+a(b-2c)+ c^2) : -(a-c)c(a^2+b^2-c^2+a(-2b+c))),
B* = (-a(-a+b)(-a^2+b^2+b(a-2c)+c^2) : b^2(-a+b)(b- c) : -(b-c)c(a^2+b^2-c^2+b(-2a+c))),
C* = (-a(-a+c)(-a^2+b^2+(a-2b)c+c^2) : -b(-b+c)(a^2- b^2+(-2a+b)c+c^2) : c^2(-a+c)(-b+c)).

X₂₂₂₂ = ( a/((b-c)(b+c-a)(a^2-b^2+b c-c^2)) : ... : ... ).

Centro del triángulo pedal del mismo centro

P = ( a^2 (b^2+c^2)+a^4(t-1)-(b^2-c^2)^2 t :
   b^2c^2+b^4(t-1)-a^4t-c^4t+a^2(b^2+2c^2t) :
   b^2c^2+c^4(t-1)-a^4t-b^4t+a^2(c^2+2b^2t) ).

P' = ( a^2(a^2b^4c^4(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2))+
   a^2b^2c^2(-a^6(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)+a^4(3b^4-4b^2c^2+3c^4)+a^2(-3b^6+7b^4c^2+7b^2c^4-3c^6))t+
   2a^2b^2c^2(a^8+5a^4b^2c^2-2a^6(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2(b^4+5b^2c^2+c^4)+2a^2(b^6+c^6))t^2+
   b^2c^2(-2a^10+a^8(b^2+c^2)-4a^4(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+3(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)-4a^2(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)+a^6(6b^4-4b^2c^2+6c^4))t^3+
   (a^12(b^2+c^2)-4a^6b^2c^2(b^4+c^4)-4a^10(b^4+b^2c^2+c^4)+5a^8(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)-(b^2-c^2)^4(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)-a^4(b^2-c^2)^2(5b^6+3b^4c^2+3b^2c^4+5c^6)+4a^2(b^2-c^2)^2(b^8+c^8))t^4) : ... : ... ).

P₅ = (a^2 (-(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)) (a^10 - 3 a^8 (b^2 + c^2) + 2 a^6 (b^4 + b^2 c^2 + c^4) + (b^2 - c^2)^2 (b^6 - 2 b^4 c^2 - 2 b^2 c^4 + c^6) + a^4 (2 b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 + 2 c^6) + a^2 (-3 b^8 + 4 b^6 c^2 + 7 b^4 c^4 + 4 b^2 c^6 - 3 c^8)) : .... : ....),

P₂₀ = (a^2 (-4 a^10 (b^2-c^2)^2-40 a^6 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2+a^12 (b^2+c^2)+5 a^8 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-5 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^6-9 b^4 c^2-9 b^2 c^4+c^6)-(b^2-c^2)^4 (b^6+7 b^4 c^2+7 b^2 c^4+c^6)+4 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^8-2 b^6 c^2-14 b^4 c^4-2 b^2 c^6+c^8)) : ... : ... ),

W = 2(-)^⅓ X₃ + (abc)^⅔ X₄

W = ((abc)^⅔S_BS_C+a^2S_A (-S_AS_BS_C)^⅓ : ... : ... ),

Baricentro del triángulo pedal

G_p = (a^2 (c^2 (a^2 - c^2) q - b^4 r + b^2 (a^2 r + c^2 (4 p + q + r))) :
   b^2 (c^2 (b^2 - c^2) p - a^4 r + a^2 (b^2 r + c^2 (p + 4 q + r))) :
   c^2 (b^2 (-b^2 + c^2) p - a^4 q + a^2 (c^2 q + b^2 (p + q + 4 r))).

Q_p = (a^2((3+4S^2)u+(3S_AS_B-2S^2)v+(3S_AS_C-2S^2)w) :
   b^2((3S_AS_B-2S^2)u+(3S_B^2+4S^2)v+(3S_BS_C-2S^2)w) :
   c^2((3S_AS_C-2S^2)u+(3S_BS_C-2S^2)v+(3S_C^2+4S^2)w)).

  Sea el triángulo trasladado de ABC por la traslación de vector . Para construir el punto Q, tal que el baricentro de su triángulo pedal sea el punto P dado, se consideran los puntos A_b y A_c de intersección de la recta B₁C₁ con los lados AC y AB. Las perpendiculares por A a AB y por A_b a AC se intersecan en Q_ab. Las perpendiculares por A a AC y por A_c a AB se intersecan en Q_ac. Entonces la recta L_a=Q_abQ_ac pasa por Q. Similarmente, se construyen las rectas L_b y L_c, que pasan por Q.

La recta de Euler y la estrofoide de Ehrmann relacionadas con centros ortológicos

N_a, N_b, N_c son los centros de las de los triángulos PBC, PCA, PAB, resp.

N_aa, N_ab, N_ac las proyecciones ortogonales de N_a sobre las rectas PA, PB, PC, resp.
N_ba, N_bb, N_bc las proyecciones ortogonales de N_b sobre las rectas PA, PB, PC, resp.
N_ca, N_cb, N_cc las proyecciones ortogonales de N_c sobre las rectas PA, PB, PC, resp.

O_a, O_b y O_c son los circuncentros de los triángulos N_aaN_abN_ac, N_baN_bbN_bc y N_caN_cbN_cc, resp.

U(P) = (u (-a^4 v (u+v) w (u+w)+a^2 (v+w) (c^2 v (u+v-w) (u+w)+b^2 (u+v) w (u-v+w))+(-c^2 v+b^2 (u+v)) (v+w)^2 (b^2 w-c^2 (u+w))) : ... : ...).

V(P) = h_O,4/5(P) = ((4a^4-7a^2(b^2+c^2)+3(b^2-c^2)^2)u+a^2(a^2-b^2-c^2)(v+w): ... : ...).

Pares {P,V(P)}={X(i),X(j)}, con P en la recta de Euler, V(P) = h_O,4/5(P), para los índices {i,j}: {2, 140}, {3, 3}, {4, 546}, {5, 3628}, {22, 7555}, {30,30}, {376, 548}, {381, 5}, {382, 3627}, {549, 3530}, {1656, 632}, {2070, 7575}, {2072, 5159}, {3534, 550}, {3543, 3853}, {3545, 547}, {3830, 4}, {3839, 5066}, {3843, 3091}, {3845, 3850}, {3851, 3090}, {3854, 4235}, {5054, 549}, {5055, 2}, {5070, 3525}, {5073, 3146}, {5899, 23}, {7540, 6756}, {9909, 26}.

Pares {P,U(P)}={X(i),X(j)}, con P en la estrofoide de Ehrmann, U(P) en la recta de Euler, para los índices {i,j}: {265, 3}, {316, 23}, {671, 2}, {1263, 5}, {1300, 4}, {5080, 1325}, {5134, 5196}, {5203, 468}, {5523, 858}, {5962, 186}.

Pares {P,V(P)}={X(i),X(j)}, con P en la estrofoide de Ehrmann, V(P) = h_O,4/5(P), para los índices {i,j}: {4, 546}, {30,30}.

Una cúbica circunscrita a un triángulo

X =((b^2-c^2)^2+a^4 (1+t)-a^2 (b^2+c^2) (2+t) : b^2 (-a^2+b^2-c^2) t : c^2 (-a^2-b^2+c^2) t)

X_b = ((b^2 - c^2)^4 + a^8 (1 + 2 t) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 c^2 (1 + t) + b^2 (2 + t)) - 2 a^6 (2 c^2 (1 + t)^2 + b^2 (2 + 3 t)) + 2 a^4 (3 b^4 (1 + t) + 2 b^2 c^2 (1 + t)^2 + c^4 (3 + 5 t + 2 t^2)) : -2 b^2 (a^2 - b^2 + c^2) t (a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2 (1 + t))) : 2 c^2 t (-(b^2 - c^2)^3 + 2 a^2 (b^2 - c^2) (b^2 + c^2 (1 + t)) + a^4 (-b^2 + c^2 (1 + 2 t))) ).

X_c = ((b^2 - c^2)^4 + a^8 (1 + 2 t) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 (1 + t) + c^2 (2 + t)) - 2 a^6 (2 b^2 (1 + t)^2 + c^2 (2 + 3 t)) + 2 a^4 (3 c^4 (1 + t) + 2 b^2 c^2 (1 + t)^2 + b^4 (3 + 5 t + 2 t^2)) : 2 b^2 t ((b^2 - c^2)^3 - 2 a^2 (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 (1 + t)) + a^4 (-c^2 + b^2 (1 + 2 t))) : -2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2) t (a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (c^2 + b^2 (1 + t))) ).

2 a^2 b^2 c^2 t (a^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2) (1 + t) + (b^2 - c^2)^2 (1 + 2 t)) x + c^2 ((b^2 - c^2)^4 + a^8 (1 + 2 t) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 (1 + t) + c^2 (2 + t)) - 2 a^6 (2 b^2 (1 + t)^2 + c^2 (2 + 3 t)) + 2 a^4 (3 c^4 (1 + t) + 2 b^2 c^2 (1 + t)^2 + b^4 (3 + 5 t + 2 t^2))) y + b^2 ((b^2 - c^2)^4 + a^8 (1 + 2 t) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 c^2 (1 + t) + b^2 (2 + t)) - 2 a^6 (2 c^2 (1 + t)^2 + b^2 (2 + 3 t)) + 2 a^4 (3 b^4 (1 + t) + 2 b^2 c^2 (1 + t)^2 + c^4 (3 + 5 t + 2 t^2))) z=0.

Φ_a :   a^2 b^4 c^4x^2 + a^2c^4 (a-c)^2(a+c)^2y^2 + a^2 b^4(a - b)^2 (a + b)^2z^2 +
    2 a^2b^2c^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)y z +
    2 b^4 c^2 (a^4 + a^2 b^2 - 2 b^4 + 4 b^2 c^2 - 2 c^4)z x +
    2 b^2 c^4 (a^4 + a^2 c^2 - 2 b^4 + 4 b^2 c^2 - 2 c^4)x y = 0.

W_a = (a^2 (-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2)) :
    b^2 (a^4 + 2 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + c^2)) :
    -c^2 (a^4 + 2 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + 3 c^2)).

b^2 c^2 (3 a^4 + 2 (b^2 - c^2)^2 - 3 a^2 (b^2 + c^2)) x + a^2 c^2 (2 a^4 + 3 b^4 - 3 b^2 c^2 + 2 c^4 - a^2 (3 b^2 + 4 c^2)) y + a^2 b^2 (2 a^4 + 2 b^4 - 3 b^2 c^2 + 3 c^4 - a^2 (4 b^2 + 3 c^2)) z = 0,

Σ _{abc xyz} (3a^4-3a^2(b^2+c^2)+2(b^2-c^2)^2)yz = 0.

W = X₇₆₁₂ + X₉₇₄₂
  = X₉₇₅₇ + X₉₇₅₈
  = 2 (1-7 sin²ω) X₁₀₀₇ + cos²ω X₁₃₅₁
  = cos² ω X₁₀₀₀₈ + 2 (1 - 4 sin² ω) X₁₀₀₁₁,

W = ((a^4-4a^2(b^2+c^2)+3b^4-2b^2 c^2+3c^4) (3a^4-3a^2 (b^2+c^2)+2(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

UNA GENERALIZACIÓN

Φ_a :   a^2 (c^2 v+b^2 w)^2 x^2+a^2 (b^2-c^2)^2 S_A (w^2 y^2+ v^2 z^2-2 v w y z)+
    (c^2 v+b^2 w) (((a^4 (b^2+c^2)+a^2 (b^4-c^4)-2 b^2 (b^2- c^2)^2)v+8 b^2 S_B S_C w)z x+
    (8 c^2 S_B S_C v+(a^4 (b^2+c^2)+a^2 (c^4-b^4)-2c^2 (c^2-b^2 )^2)w)x y)) = 0.

W_a = (a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (b^2 - c^2) (v + w) :
   a^4 (-2 c^2 v + b^2 (v - w)) + 2 (b^3 - b c^2)^2 (v + w) - a^2 (b^2 + c^2) (-2 c^2 v + b^2 (3 v + w)) :
   -2 (-b^2 c + c^3)^2 (v + w) + a^4 (c^2 (v - w) + 2 b^2 w) - a^2 (b^2 + c^2) (2 b^2 w - c^2 (v + 3 w)).

Una caracterización de la cúbica de Burek-Hutson

( u (v - w) + S_B v (u + w))y + (S_A u (v - w) - S_C (u + v) w)z = 0.

S_Ax(y^2-z^2) + S_By(z^2-x^2) + S_Cz(x^2-y^2) = 0

U = ((v + w) (SB SC (u + v) (u + w) + SA u (SC (u + v) + SB (u + w))) :
  SB SC v (u + v) (u + w) + SA^2 u (-v^2 + w^2) + SA (u + v) (SB v (u + w) + SC (u v + w (2 v + w))) :
  SB SC (u + v) w (u + w) + SA^2 u (v^2 - w^2) + SA (u + w) (SC (u + v) w + SB (v^2 + u w + 2 v w))),

a (a^11 (b+c)
  +a^10 (-3 b^2+4 b c-3 c^2)
  -a^9 (b^3+5 b^2 c+5 b c^2+c^3)
  +a^8 (b-c)^2 (11 b^2+18 b c+11 c^2)
  +a^7 (-6 b^5+10 b^4 c+4 b^3 c^2+4 b^2 c^3+10 b c^4-6 c^5)
  -2 a^6 (b^2-c^2)^2 (7 b^2+4 b c+7 c^2)
  +2 a^5 (b-c)^2 (7 b^5+9 b^4 c+12 b^3 c^2+12 b^2 c^3+9 b c^4+7 c^5)
  +2 a^4 (b^2-c^2)^2 (3 b^4+4 b^3 c+18 b^2 c^2+4 b c^3+3 c^4)
  -a^3 (b-c)^2 (11 b^7+17 b^6 c+19 b^5 c^2+17 b^4 c^3+17 b^3 c^4+19 b^2 c^5+17 b c^6+11 c^7)
  +a^2 (b^2-c^2)^2 (b^6+4 b^5 c-17 b^4 c^2-8 b^3 c^3-17 b^2 c^4+4 b c^5+c^6)
  +a (b-c)^4 (b+c)^3 (3 b^4+2 b^3 c+6 b^2 c^2+2 b c^3+3 c^4)
  -(b-c)^4 (b+c)^8),

Centro radical sobre una recta de Euler

J_b = (2 a b c+a^2 (b+c)-(b-c)^2 (b+c) : b (-a^2+b^2+c^2) : c (-a^2+b^2+c^2)).

A_b = (a^3+a^2(b-c)+(b-c)^2(b+c)+a(b^2-c^2) : 0 : -a^3+a^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)+a(b+c)^2),
A_c = (-a^3+a^2(b-c)-(b-c)^2(b+c)+a(b^2-c^2) : a^3- a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)-a(b+c)^2 : 0).

(a-b-c)(a^6-a^5b-2a^4b^2 + 2a^3b^3 + a^2b^4 - a b^5 - a^5c - 2a^4bc + 2a^3b^2 c + 4a^2b^3c - a b^4c - 2b^5c - 2a^4c^2 + 2a^3b c^2 + 10a^2b^2c^2 + 6a b^3c^2 + 2a^3c^3 + 4a^2b c^3 + 6a b^2c^3 + 4b^3c^3 + a^2c^4 - a b c^4 - a c^5 - 2 b c^5) x^2 + a(a-b+c)(a^2-b^2+c^2)(a^3 - a^2b - a b^2 + b^3 - a^2c - 2a b c - b^2c - a c^2 - b c^2 + c^3) y^2 + a (a+b-c)(a^2+b^2-c^2)(a^3 - a^2b - a b^2 + b^3 - a^2c - 2a b c - b^2c - a c^2 - b c^2 + c^3) z^2+ 2 a(a^6 - a^5b - a^4b^2 + 2 a^3b^3 - a^2b^4 - a b^5 + b^6 - a^5c + 2a^3b^2 c + 2a^2b^3 c - a b^4c - 2 b^5c - a^4c^2 + 2a^3b c^2 + 6a^2 b^2c^2 + 2 a b^3c^2 - b^4c^2 + 2 a^3c^3 + 2a^2b c^3 + 2 a b^2c^3 + 4 b^3c^3 - a^2c^4 - a b c^4 - b^2c^4 - a c^5 - 2 b c^5 + c^6) y z + 2(a-b-c)(a^6 - a^4b^2 + a^3b^3 - a b^5 - a^5 c - 2a^4b c - 2a^3b^2c - a^2b^3c - a b^4c - b^5c - 2a^4c^2 - a^3b c^2 + a^2b^2c^2 + 2a^3c^3 + 3a^2b c^3 + 2a b^2c^3 + 2b^3c^3 + a^2c^4 + a b c^4 - a c^5 - b c^5) z x + 2(a-b-c)(a^6 - a^5b - 2a^4b^2 + 2a^3b^3 + a^2b^4 - a b^5 - 2a^4b c - a^3b^2c + 3a^2b^3c + a b^4c - b^5c - a^4c^2 - 2a^3b c^2 + a^2b^2c^2 + 2 a b^3c^2 + a^3c^3 - a^2b c^3 + 2b^3c^3 - a b c^4 - a c^5 - b c^5) x y = 0.

W = ( a (a^8 (b + c) -
    2 a^7 (b^2 + b c + c^2) -
    a^6 (2 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 2 c^3)+
    a^5 (6 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 6 b c^3 + 6 c^4) +
    a^4 b c (13 b^3 + 19 b^2 c + 19 b c^2 + 13 c^3)-
    2 a^3 (b + c)^2 (3 b^4 - 3 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 3 c^4) +
    a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 (2 b^2 - 11 b c + 2 c^2) +
    2 a (b^2 - c^2)^2 (b^4 + b^3 c - 3 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)
    - (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 - b c + c^2)) : ... : ...),

Z = ( a (2 a^7 (b^2+b c+c^2)
    +7 a^6 b c (b+c)
    -2 a^5 (3 b^4+3 b^3 c-b^2 c^2+3 b c^3+3 c^4)
    -a^4 b c (15 b^3+17 b^2 c+17 b c^2+15 c^3)
    +2 a^3 (b+c)^2 (3 b^4-3 b^3 c-4 b^2 c^2-3 b c^3+3 c^4)
    +9 a^2 b (b-c)^2 c (b+c)^3
    -2 a (b^2-c^2)^2 (b^4+b^3 c-3 b^2 c^2+b c^3+c^4)
    -b (b-c)^4 c (b+c)^3) : ... : ... ),

Cúbica asociada a la hipérbola de Jerabek del triángulo de Thomson

P = (a^2 (b^2 + c^2) + a^4 (t-1) - (b^2 - c^2)^2 t :
  b^2 c^2 + b^4 (t-1) - a^4 t - c^4 t + a^2 (b^2 + 2 c^2 t) :
  b^2 c^2 + c^4 (t-1) - a^4 t - b^4 t + a^2 (c^2 + 2 b^2 t) ).

D = (0 : (b^2 - c^2) t + a^2 (1 + t) : (-b^2 + c^2) t + a^2 (1 + t))
E = ((a^2 - c^2) t + b^2 (1 + t) : 0 : (-a^2 + c^2) t + b^2 (1 + t))
F = ( {(a^2 - b^2) t + c^2 (1 + t) ; (-a^2 + b^2) t + c^2 (1 + t) : 0).

F_t = (a^2 (b^4 t (1+t)+(a^2-c^2) t (a^2 t-c^2 (1+t))-b^2 (a^2 t (1+2 t)+c^2 (3+6 t+2 t^2))) : ... : ...).

Σ _{abc xyz} (b^2-c^2)(2 b^2 c^2 x^2 -a^2 (a^2-b^2-c^2)y z)= 0.

H_t = (a^2 (b^4 t (2 + t) + (a^2 - c^2) t (a^2 t - c^2 (2 + t)) - 2 b^2 (a^2 t (1 + t) + c^2 (6 + 6 t + t^2))) : ... : ...).

Z = (14 a^8
 -18 a^6 (b^2+c^2)
 -a^4 (13 b^4-56 b^2 c^2+13 c^4)
 +2 a^2 (9 b^6-11 b^4 c^2-11 b^2 c^4+9 c^6)
 -(b^4-c^4)^2 : ... : ...),

W = (12 a^6-13 a^4 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^4-6 b^2 c^2+c^4) +3 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) : ... : ...),

H(2) sobre la hipérbola de Thomson-Gibert-Moses como punto fijo de una afinidad

D = (0:2 a^2+b^2-c^2:2 a^2-b^2+c^2),
E = (a^2+2 b^2-c^2 : 0 : -a^2+2 b^2+c^2),
F = (a^2-b^2+2 c^2:-a^2+b^2+2 c^2:0).

(a^2(a^4-3a^2(b^2+c^2)+2b^4-11b^2c^2+2c^4) : ... : ...),

Triángulo órtico y triángulos ortológicos

a Clara, por su "cumple"

A_b = (a^4-(b^2-c^2)^2 : 2 b^2 (a^2+b^2-c^2) : -a^4+2 a^2 b^2-b^4+c^4),
A_c = (a^4-(b^2-c^2)^2 : -a^4+b^4+2 a^2 c^2-c^4 : 2 c^2 (a^2-b^2+c^2)).

N_a = (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4)) :
  b^2 (a^2+b^2-c^2) (-a^6+(b^2-c^2)^2 (b^2+4 c^2)+a^4 (3 b^2+4 c^2)-a^2 (3 b^4+6 b^2 c^2+7 c^4)) :
  c^2 (a^2-b^2+c^2) (-a^6+(b^2-c^2)^2 (4 b^2+c^2)+a^4 (4 b^2+3 c^2)-a^2 (7 b^4+6 b^2 c^2+3 c^4))

N_ab = ((a^2+b^2-c^2) (a^8+3 c^2 (-b^2+c^2)^3-3 a^6 (b^2+2 c^2)+a^4 (3 b^4+7 b^2 c^2+12 c^4)-a^2 (b^6-2 b^4 c^2-9 b^2 c^4+10 c^6)) :
  b^2 (a^2+b^2-c^2) (-a^6+(b^2-c^2)^2 (b^2+4 c^2)+a^4 (3 b^2+4 c^2)-a^2 (3 b^4+6 b^2 c^2+7 c^4)) :
  -a^10+a^8 (3 b^2+7 c^2)-(b^2-c^2)^3 (b^4+b^2 c^2+3 c^4)-a^6 (2 b^4+17 b^2 c^2+18 c^4)+a^4 (-2 b^6+15 b^4 c^2+13 b^2 c^4+22 c^6)+a^2 (3 b^8-7 b^6 c^2+8 b^4 c^4+9 b^2 c^6-13 c^8)),

N_ac = ((a^2-b^2+c^2) (a^8+3 b^2 (b^2-c^2)^3-3 a^6 (2 b^2+c^2)+a^4 (12 b^4+7 b^2 c^2+3 c^4)-a^2 (10 b^6-9 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)) :
  -a^10+a^8 (7 b^2+3 c^2)+(b^2-c^2)^3 (3 b^4+b^2 c^2+c^4)-a^6 (18 b^4+17 b^2 c^2+2 c^4)+a^4 (22 b^6+13 b^4 c^2+15 b^2 c^4-2 c^6)+a^2 (-13 b^8+9 b^6 c^2+8 b^4 c^4-7 b^2 c^6+3 c^8) :
  c^2 (a^2-b^2+c^2) (-a^6+(b^2-c^2)^2 (4 b^2+c^2)+a^4 (4 b^2+3 c^2)-a^2 (7 b^4+6 b^2 c^2+3 c^4))).

M_a = (2 a^10-9 a^8 (b^2+c^2)-20 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-3 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+4 a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^4-b^2 c^2+3 c^4)+2 a^6 (9 b^4+4 b^2 c^2+9 c^4):
  -(a^2-b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^6-(b^2-c^2)^2 (4 b^2+c^2)-a^4 (4 b^2+3 c^2)+a^2 (7 b^4+6 b^2 c^2+3 c^4)):
  -(a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^6-(b^2-c^2)^2 (b^2+4 c^2)-a^4 (3 b^2+4 c^2)+a^2 (3 b^4+6 b^2 c^2+7 c^4))).

U = ( (a^2-b^2-c^2) (6 a^8+7 a^4 (b^2-c^2)^2+3 (b^2-c^2)^4-11 a^6 (b^2+c^2)-5 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)):
  -(a^2-b^2+c^2) (3 a^8-a^6 (5 b^2+12 c^2)+(b^2-c^2)^2 (6 b^4+b^2 c^2+3 c^4)+a^4 (7 b^4+5 b^2 c^2+18 c^4)-a^2 (11 b^6+14 b^4 c^2-5 b^2 c^4+12 c^6)):
  -(a^2+b^2-c^2) (3 a^8-a^6 (12 b^2+5 c^2)+(b^2-c^2)^2 (3 b^4+b^2 c^2+6 c^4)+a^4 (18 b^4+5 b^2 c^2+7 c^4)-a^2 (12 b^6-5 b^4 c^2+14 b^2 c^4+11 c^6)) ),

Triángulo excentral y rectas de Euler

Ejes radicales concurrentes

U = (a (a^7 (b-c)^2 -2 a^6 b c (b+c)
   -3 a^5 (b^4-b^3 c+4 b^2 c^2-b c^3+c^4)
   +5 a^4 b c (b^3+b^2 c+b c^2+c^3)
   +a^3 (3 b^6+9 b^4 c^2+4 b^3 c^3+9 b^2 c^4+3 c^6)
   -2 a^2 b (b-c)^2 c (2 b^3+5 b^2 c+5 b c^2+2 c^3)
    -a (b-c)^2 (b+c)^4 (b^2-b c+c^2)
   +b (b-c)^4 c (b+c)^3 ) : ... : ...),

V = (a (a^4 (b-c)^2
   +a^3 (b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3)
   -a^2 (b^4+3 b^3 c+8 b^2 c^2+3 b c^3+c^4)
   -a (b^5+b^4 c+4 b^3 c^2+4 b^2 c^3+b c^4+c^5)
   +b c (b^2-c^2)^2) : ... : ...),

Paralelas a rectas de Euler y triángulo de contacto interior

W = (2 a^4-a^3 (b+c)-a^2 (b^2-6 b c+c^2)+a (b-c)^2 (b+c)-(b^2-c^2)^2 : ... : ...),

Z = (a(3a^2(b+c)-2a b c-3b^3+5b c(b+c)-3c^3) : ... : ...),

Inverso en el incírculo del inverso del incentro en circuncírculo

O_p = (a^2 (2 b^2 c^2u+c^2 (a^2+b^2-c^2)v+b^2 (a^2-b^2+c^2)w) : ... : ... ).

(a (a^5 (b + c) - a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + a (b - c)^2 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) - 2 a^3 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + 2 a^2 (b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),

∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗ 

( a (a^7 (b-c)^2-6 a^6 b c (b+c)
  +a^5 (-3 b^4+3 b^3 c
 -16 b^2 c^2+3 b c^3-3 c^4)
  +a^4 b c (13 b^3+9 b^2 c+9 b c^2+13 c^3)
  +3 a^3 (b^6+5 b^4 c^2+4 b^3 c^3+5 b^2 c^4+c^6)
  -2 a^2 b (b-c)^2 c (4 b^3+9 b^2 c+9 b c^2+4 c^3)
  -a (b^2-c^2)^2 (b^4+b^3 c+2 b^2 c^2+b c^3+c^4)
  + b (b-c)^4 c (b+c)^3): ... : ....),

Mismo punto en triángulos inversamente semejantes

N_a = (2 a^2 b^2 c^2u+a^2 c^2 (a^2-c^2)v+a^2 b^2 (a^2-b^2)w :
   b^2 c^2 (2 a^2-b^2+c^2)v-b^2 (a^2-c^2) (a^2-b^2+c^2)w :
   -(a^2-b^2) c^2 (a^2+b^2-c^2)v+b^2 c^2 (2 a^2+b^2-c^2)w).

N_bN_c / BC = √‍ a^6-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)/(2abc)= OH/(2R),

Σ _{abc xyz} (a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2) (a^6-a^2 (b^2-c^2)^2-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2))x^2
-2 (b^2-c^2) (a^10-3 a^6 b^2 c^2-2 a^8 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (2 b^6+5 b^4 c^2+5 b^2 c^4+2 c^6)-a^2 (b^8-b^6 c^2-b^2 c^6+c^8))yz=0.

Recta de Euler, hipérbola de Jerabek y triángulos ortológicos

Especial aniversario

M_a = ( (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (u-v-w)+a^4 (c^2 (u+3 v-w)+b^2 (u-v+3 w))-2 a^2 (c^4 (u+v-w)+b^4 (u-v+w)-2 b^2 c^2 (3 u+2 (v+w))):
   -b^2 ((b^2-c^2)^2 (u-v-w)+a^4 (u-v+3 w)-2 a^2 (b^2 (u-v+w)+c^2 (u+3 v+w))):
   -c^2 ((b^2-c^2)^2 (u-v-w)+a^4 (u+3 v-w)-2 a^2 (c^2 (u+v-w)+b^2 (u+v+3 w))) ).

U = ( ((-6 a^6+3 a^4 (b^2+c^2)+4 a^2 (b^4-8 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) u+
   (-a^4 (5 b^2+7 c^2)+2 a^2 (b^4-4 b^2 c^2+3 c^4)(b^2-c^2)^2 (3 b^2+c^2)) v+
   (-a^4 (7 b^2+5 c^2)+2 a^2 (3 b^4-4 b^2 c^2+c^4)(b^2-c^2)^2 (b^2+3 c^2)) w : ... : ...).

(b^2-c^2) (a^14-4 a^12 (b^2+c^2)+a^10 (5 b^4+19 b^2 c^2+5 c^4)-19 a^8 b^2 c^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^8+19 b^6 c^2+24 b^4 c^4+19 b^2 c^6+c^8)-a^6 (5 b^8+18 b^6 c^2-62 b^4 c^4+18 b^2 c^6+5 c^8)+a^4 (4 b^10+38 b^8 c^2-58 b^6 c^4-58 b^4 c^6+38 b^2 c^8+4 c^10)+b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2))x + ... = 0

(b^2-c^2)^2 (-a^8+b^8+4 b^6 c^2+7 b^4 c^4+4 b^2 c^6+c^8+2 a^6 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^2+c^2)^3)x^2-2 a^2 (a^2-b^2) (a^2-c^2) (a^6+a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4))yz + ... = 0.

(2 a^6 - a^2 (b^4 + c^4)- (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) : ... : ...),

V = ( a^8(3u^2+(v-w)^2)+2a^6(b^2(u+2v)(3u-v+w)+c^2(3u+v-w)(u+2w))
   -2a^4(b^4(6u^2-5v^2+u(v-w)-2v w+w^2)+c^4(6u^2+v^2-2v w-5w^2+u(-v+w))-2b^2c^2(9u^2+v^2+4v w+w^2+6u(v+w)))
   +2a^2(b^2-c^2)(2b^2c^2(4u-v-w)(v-w)+b^4(u^2-2v(v+w)-u(5v+w))+c^4(-u^2+2w(v+w)+u(v+5w)))
   +(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)(u-v-w)(b^2(u+3v-w)+c^2(u-v+3w)) : ... : ... ).

(-a^4 b^2+a^2 b^4+a^4 c^2-a^2 c^4) y z +(-a^4 b^2+a^2 b^4-b^4 c^2+b^2 c^4) z x +(a^4 c^2-b^4 c^2-a^2 c^4+b^2 c^4) x y= 0.

Σ _{abc xyz} (b^2-c^2)^2 (a^8 (b^2+c^2)+14 a^4 b^2 c^2 (b^2+c^2)-2 a^6 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^6+5 b^4 c^2+5 b^2 c^4+c^6)+2 a^2 (b^8-b^6 c^2-8 b^4 c^4-b^2 c^6+c^8))^2x^2
-2 (a^2-b^2) (a^2-c^2) (a^20+a^18 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)^2+a^16 (-6 b^4+9 b^2 c^2-6 c^4)+a^14 (-6 b^6+4 b^4 c^2+4 b^2 c^4-6 c^6)+2 a^10 (b^2-c^2)^2 (2 b^6-23 b^4 c^2-23 b^2 c^4+2 c^6)+2 a^6 (b^2-c^2)^4 (3 b^6+26 b^4 c^2+26 b^2 c^4+3 c^6)-a^2 (b^2-c^2)^6 (5 b^6+9 b^4 c^2+9 b^2 c^4+5 c^6)+a^4 (b^2-c^2)^4 (11 b^8-22 b^6 c^2-30 b^4 c^4-22 b^2 c^6+11 c^8)-2 a^8 (b^2-c^2)^2 (13 b^8-14 b^6 c^2-24 b^4 c^4-14 b^2 c^6+13 c^8)+a^12 (20 b^8-22 b^6 c^2+8 b^4 c^4-22 b^2 c^6+20 c^8))y z =0.

W = (a^2 (-b^10+b^8 c^2+b^2 c^8-c^10+a^8 (b^2+c^2)-2 a^4 b^2 c^2 (b^2+c^2)-2 a^6 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),

Circunferencias concurrentes para puntos de pK(X6,X523)

A' = (-a^2 u :(b^2-c^2) u+a^2 (u+v) :(-b^2+c^2) u+a^2 (u+w))

a^2 y z + b^2 x z + c^2 x y-(x+y+z) ((b^2-c^2)^2 u+a^4 (u+w)+a^2 (c^2 w-b^2 (2 u+w)) y/(2a^2(u+v+w))) + (b^2-c^2)^2 u+a^4 (u+v)+a^2 (b^2 v-c^2 (2 u+v)) z/(2a^2(u+v+w))) = 0.

R = (a^6 v w-a^4 (b^2+c^2) v w-(b^2-c^2)^2 u (c^2 v+b^2 w)-a^2 u (b^2 c^2 u-c^4 v-b^4 w):
   -a^6 v w-a^4 v (c^2 (u-2 w)-b^2 w)+(b^2-c^2) u (c^4 v+b^4 w)-a^2 (b^2 c^2 v^2+b^4 u w+c^4 v (-2 u+w)):
   -a^6 v w-a^4 (b^2 (u-2 v)-c^2 v) w-(b^2-c^2) u (c^4 v+b^4 w)-a^2 (c^4 u v+b^4 (-2 u+v) w+b^2 c^2 w^2)).

Σ _{abc xyz} a^2 b^2 c^2x^2+a^2 (a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2+c^4)y z = 0.

Σ _{abc xyz} (b^2-c^2)x(c^2y-b^2z) = 0.

Exincentros y rectas de Euler concurrentes

W = (7a^3-a^2(b+c)-a(4b^2+b c+4c^2)-2(b-c)^2(b+c) : ... : ...),

Circuncentros y triángulos perspectivos

Caracterización de las isocúbicas pK(P,X2)

x' = (u + k (v + w)) x + (1 - k) u y + (1 - k) u z
y' = (1 - k) v x + (v + k (u + w)) y + (1 - k) v z
z' = (1 - k) w x + (1 - k) w y + (k (u + v) + w) z

C_k(M):  Σ _{uvw xyz} (k-1) v w (k u+v+w)x^2+u (u^2+(1+k) u (v+w)+k (v-w)^2+2 (1+ k^2 )v w)y z = 0.

M₀ = (u (u^2 + (k-1) u (v + w)- 2 v w - k (v^2 + w^2)) : ... : ...),

L(M):  vw(v-w)x + uw(w-u)y + uv(u-v)z = 0.

pK(P,G):  x(ry^2-qz^2)+y(pz^2-rx^2)+z(qx^2-py^2)=0.

Envolvente de rectas de Sondat

D = (2 a^2 (a^4-(b^2-c^2)^2) (-1+k) : -(a^2+b^2-c^2) (2 a^2 (b^2+c^2)+a^4 (-2+k)-(b^2-c^2)^2 k) : -(a^2-b^2+c^2) (2 a^2 (b^2+c^2)+a^4 (-2+k)-(b^2-c^2)^2 k)

Q_a = (2 a^2 (a^4 (2-2 k+k^2-2 t)+2 a^2 (b^2+c^2) (-1+2 t)-(b^2-c^2)^2 (-2 k+k^2+2 t)):
(b^2-c^2)^3 k (-2+k+2 t)-a^6 (4+k^2-2 k (2+t))+a^2 (b^2-c^2) (b^2 k (k-2 t)-c^2 (-4+k^2+6 k t))-a^4 (-c^2 (8+k^2-6 k (1+t))+b^2 (-4+k^2+2 k (1+t))):
-(b^2-c^2)^3 k (-2+k+2 t)-a^6 (4+k^2-2 k (2+t))+a^2 (b^2-c^2) (-c^2 k (k-2 t)+b^2 (-4+k^2+6 k t))+a^4 (b^2 (8+k^2-6 k (1+t))-c^2 (-4+k^2+2 k (1+t))) ).

(b^2-c^2) x+((-b^2+c^2) t+a^2 (1+t)) y+((-b^2+c^2) t-a^2 (1+t)) z = 0.

c^2 (-2 b^2 c^2-b^4 (-2+k)+a^4 k+c^4 k-2 a^2 (b^2+c^2 k)) y-b^2 (-2 b^2 c^2-c^4 (-2+k)+a^4 k+b^4 k-2 a^2 (c^2+b^2 k)) z = 0.

W = (a^2/(a^2 SA+k SB SC) : b^2/(b^2 SB+k SA SC) : c^2/(c^2 SC+k SA SB)),

Σ _{abc xyz} (b^2-c^2)^2(a^2b^2-b^4+a^2c^2-c^4)^2x^2
-2(a^2-b^2)(a^2-c^2) (a^8-a^6(b^2+c^2)+a^4(-3b^4+7b^2c^2-3c^4)+3a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-b^2c^2(b^2-c^2)^2)y z = 0.

Un caso particular. Anopolis #3126 (Seiichi Skirikami and Antreas Hatzipolakis)

T = (9 a^10 - 19 a^8 (b^2 + c^2) + a^6 (4 b^4 + 38 b^2 c^2 + 4 c^4)+
   4 a^4 (3 b^6 - 4 b^4 c^2 - 4 b^2 c^4 + 3 c^6) -
   a^2 (b^2 - c^2)^2 (5 b^4 + 16 b^2 c^2 + 5 c^4) - (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) : ... : ...),

Triángulos homotéticos y centros de circunferencias de Euler

N_a = ((b^2-c^2)^2 u^2-a^2 u (c^2 (u+v-w)+b^2 (u-v+w))-a^4 (2 v w+u (v+w)):
-(-b^2+c^2) u (b^2 (v+w)-c^2 (u+v+w))+a^4 (u^2+v w+u (2 v+w))-a^2 (b^2 (u^2+3 u v-v w)+c^2 (2 u^2+3 u v+2 u w+v w)):
-(-b^2+c^2) u (-c^2 (v+w)+b^2 (u+v+w))+a^4 (u^2+v w+u (v+2 w))-a^2 (c^2 (u^2+3 u w-v w)+b^2 (2 u^2+2 u v+3 u w+v w)) ).

A' = (0:(b^2-c^2)u+a^2(2u+3v+w):(-b^2+c^2)u+a^2(2u+v+3w)).

((b^2-c^2)^2 u (3 u+4 (v+w))+a^4 (4 u^2+2 v w+5 u (v+w))-a^2 u (b^2 (7 u+9 v+7 w)+c^2 (7 u+7 v+9 w)))x +
(-(b^2-c^2)^2 u^2+a^2 u (c^2 (u+v-w)+b^2 (u-v+w))+a^4 (2 v w+u (v+w)))y+
(-(b^2-c^2)^2 u^2+a^2 u (c^2 (u+v-w)+b^2 (u-v+w))+a^4 (2 v w+u (v+w)))z=0.

A₁ = (c^4 v (4 w (v+w)+u (2 v+5 w))-c^2 v w (a^2 (9 u+5 v+7 w)+2 b^2 (3 u+4 (v+w)))+w (-a^2 b^2 v (9 u+7 v+5 w)+a^4 v (4 u+3 (v+w))+b^4 (4 v (v+w)+u (5 v+2 w))):
-w (-a^4 v^2-c^4 v^2+b^2 c^2 v (u+v-w)+b^4 (u v+2 u w+v w)+a^2 v (2 c^2 v+b^2 (-u+v+w))):
-v (-(a^2-b^2)^2 w^2+c^2 w (b^2 (u-v+w)+a^2 (-u+v+w))+c^4 (v w+u (2 v+w)))).

Q = (vw(a^4 (2 v w+u (v+w))+a^2 u (c^2 (u+v-w)+b^2 (u-v+w))-(b^2-c^2)^2 u^2): ... : ...).

Q₂ = (4a^4+a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 : 4b^4+b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2 : 4c^4+c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2),

Q₅ = ((2 a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^4) / (a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2) : ... : ...),

Q₂₅₄ = (4 a^16-19 a^14 (b^2+c^2)+a^12 (37 b^4+54 b^2 c^2+37 c^4)-
3 a^10 (13 b^6+19 b^4 c^2+19 b^2 c^4+13 c^6)+
a^8 (25 b^8+28 b^6 c^2+22 b^4 c^4+28 b^2 c^6+25 c^8)-
a^6 (9 b^10+5 b^8 c^2+2 b^6 c^4+2 b^4 c^6+5 b^2 c^8+9 c^10)-
a^4 (b^4-c^4)^2 (b^4-6 b^2 c^2+c^4)+
3 a^2 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^8 : ... : ...),

Q₃₄₂₅ = (a^8 - 3 a^6 (b^2 + c^2) + a^4 (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (b^6 - 3 b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 + c^6)+ 2 b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 : ... : ...),

Q₅₈₇₉ = (-3 a^16+3 a^14 (b^2+c^2)+21 a^12 (b^2-c^2)^2+
a^10 (-47 b^6+45 b^4 c^2+45 b^2 c^4-47 c^6)+
a^8 (b^2-c^2)^2 (25 b^4+128 b^2 c^2+25 c^4)+
a^6 (b^2-c^2)^2 (13 b^6-97 b^4 c^2-97 b^2 c^4+13 c^6)-
a^4 (b^2-c^2)^2 (13 b^8+8 b^6 c^2-106 b^4 c^4+8 b^2 c^6+13 c^8)-
a^2 (b^2-c^2)^4 (b^6-23 b^4 c^2-23 b^2 c^4+c^6)+2 (b^2-c^2)^6 (b^4+3 b^2 c^2+c^4) : ... : ...),

Q₇₆₁₂ = (8 a^8 - 21 a^6 (b^2 + c^2)+ a^4 (11 b^4 + 2 b^2 c^2 + 11 c^4) +
a^2 (5 b^6 - 9 b^4 c^2 - 9 b^2 c^4 + 5 c^6) - (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 - 10 b^2 c^2 + 3 c^4) : ... : ...),

Triángulos ortológicos relacionados con centros de circunferencias de Euler

N_a = ( -(b^2-c^2)^2 u^2+a^2 u (c^2 (u+v-w)+b^2 (u-v+w))+a^4 (2 v w+u (v+w)):
-(b^2-c^2) u (b^2 (v+w)-c^2 (u+v+w))-a^4 (u^2+v w+u (2 v+w))+a^2 (b^2 (u^2+3 u v-v w)+c^2 (2 u^2+3 u v+2 u w+v w)):
-(b^2-c^2) u (-c^2 (v+w)+b^2 (u+v+w))-a^4 (u^2+v w+u (v+2 w))+a^2 (c^2 (u^2+3 u w-v w)+b^2 (2 u^2+2 u v+3 u w+v w))).

O_n = ( a^4 v^2 w^2 (2 u+v+w)
+a^2 u (b^2 w (u^2 (v-w)+v^2 (v+w)+u (2 v^2+2 v w-w^2))+c^2 v (u^2 (-v+w)+w^2 (v+w)+u (-v^2+2 v w+2 w^2)))
-u (b^4 w (u^2 v+v (v+w)^2+u (2 v^2+3 v w+w^2))+c^4 v (u^2 w+w (v+w)^2+u (v^2+3 v w+2 w^2))-b^2 c^2 (2 v w (v+w)^2+u^2 (v^2+4 v w+w^2)+u (v^3+5 v^2 w+5 v w^2+w^3))) : ... : ...).

O_a = (a^2 (a^4 v^2 w^2 (2 u+v+w)
+a^2 u (b^2 w (u^2 (v-w)+v^2 (v+w)+u (2 v^2+2 v w-w^2))+c^2 v (u^2 (-v+w)+w^2 (v+w)+u (-v^2+2 v w+2 w^2)))
-u (b^4 w (u^2 v+v (v+w)^2+u (2 v^2+3 v w+w^2))+c^4 v (u^2 w+w (v+w)^2+u (v^2+3 v w+2 w^2))-b^2 c^2 (2 v w (v+w)^2+u^2 (v^2+4 v w+w^2)+u (v^3+5 v^2 w+5 v w^2+w^3)))) : ... : ...).

Z = (a^4 v w (4 u^3+2 u v w+4 u^2 (v+w)+v w (v+w))
-a^2 u (b^2 w (-v^2 (v+w)+u^2 (7 v+w)+u (6 v^2+6 v w+w^2))+c^2 v (-w^2 (v+w)+u^2 (v+7 w)+u (v^2+6 v w+6 w^2)))
+u (-c^4 v (-3 u^2 w+w (v+w)^2+u (v^2-v w-2 w^2))-b^4 w (-3 u^2 v+v (v+w)^2+u (-2 v^2-v w+w^2))+b^2 c^2 (2 v w (v+w)^2+u^2 (v^2-4 v w+w^2)+u (v^3-3 v^2 w-3 v w^2+w^3))) : ... : ...).

(16a^4-19a^2(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 : ... : ...),

(4 a^10-8 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+14 b^2 c^2+c^4)+a^4 (5 b^6-6 b^4 c^2-6 b^2 c^4+5 c^6)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) : ... : ...),

(2 a^16-9 a^14 (b^2+c^2)+a^12 (21 b^4+34 b^2 c^2+21 c^4)
-a^10 (39 b^6+55 b^4 c^2+55 b^2 c^4+39 c^6)
+5 a^8 (11 b^8+6 b^6 c^2+8 b^4 c^4+6 b^2 c^6+11 c^8)
+a^6 (-47 b^10+33 b^8 c^2+5 b^6 c^4+5 b^4 c^6+33 b^2 c^8-47 c^10)
+a^4 (b^2-c^2)^2 (19 b^8-12 b^6 c^2-23 b^4 c^4-12 b^2 c^6+19 c^8)
-a^2 (b^2-c^2)^4 (b^6-11 b^4 c^2-11 b^2 c^4+c^6)-(b^2-c^2)^6 (b^4+4 b^2 c^2+c^4): ... : ...),

(-4 a^8+4 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (3 b^4+14 b^2 c^2+3 c^4)+a^2 (-4 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4-4 c^6)+(b^4-c^4)^2 : ... : ...),

W = (a^2((a^8 v^2 w^2 (u^6+6 u^4 v w+v^3 w^3+2 u^5 (v+w)+u^3 (-2 v^3+5 v^2 w+5 v w^2-2 w^3)-u v w (v^3-2 v^2 w-2 v w^2+w^3)-u^2 (v^4-7 v^2 w^2+w^4))

-a^6 v w(c^2 v (u^6 (v+3 w)+v^2 w^3 (v^2-w^2)+u^5 (3 v^2+6 v w+4 w^2)+u^4 (3 v^3+4 v^2 w+11 v w^2-6 w^3)+u v w^2 (2 v^3+3 v^2 w-2 v w^2-5 w^3)+u^3 (v^4+2 v^3 w+11 v^2 w^2+3 v w^3-12 w^4)+u^2 w (v^4+6 v^3 w+9 v^2 w^2-8 v w^3-5 w^4))+b^2 w (-v^5 w^2+v^3 w^4+u^6 (3 v+w)+u^5 (4 v^2+6 v w+3 w^2)+u v^2 w (-5 v^3-2 v^2 w+3 v w^2+2 w^3)+u^4 (-6 v^3+11 v^2 w+4 v w^2+3 w^3)+u^3 (-12 v^4+3 v^3 w+11 v^2 w^2+2 v w^3+w^4)+u^2 v (-5 v^4-8 v^3 w+9 v^2 w^2+6 v w^3+w^4)))

+a^4 v w (b^4 w (3 u^5 w^2-v^3 w^2 (v+w)^2+u^6 (3 v+w)-u^4 (18 v^3+7 v^2 w+3 v w^2-3 w^3)-u v^2 w (7 v^3+9 v^2 w+3 v w^2+w^3)+u^3 (-24 v^4-17 v^3 w-4 v^2 w^2-2 v w^3+w^4)-u^2 (9 v^5+18 v^4 w+6 v^3 w^2+2 v w^4))+b^2 c^2 (3 u^6 (v+w)^2+2 v^3 w^3 (v+w)^2+4 u v^2 w^2 (2 v^3+3 v^2 w+3 v w^2+2 w^3)+3 u^5 (3 v^3+4 v^2 w+4 v w^2+3 w^3)+3 u^4 (3 v^4+4 v^3 w+7 v^2 w^2+4 v w^3+3 w^4)+u^2 v w (6 v^4+19 v^3 w+24 v^2 w^2+19 v w^3+6 w^4)+u^3 (3 v^5+12 v^4 w+23 v^3 w^2+23 v^2 w^3+12 v w^4+3 w^5))+c^4 v (3 u^5 v^2-v^2 w^3 (v+w)^2+u^6 (v+3 w)+u^4 (3 v^3-3 v^2 w-7 v w^2-18 w^3)-u v w^2 (v^3+3 v^2 w+9 v w^2+7 w^3)+u^3 (v^4-2 v^3 w-4 v^2 w^2-17 v w^3-24 w^4)-u^2 (2 v^4 w+6 v^2 w^3+18 v w^4+9 w^5)))

+a^2 u (b^6 w^2 (v^3 (3 v-w) w (v+w)^2+u^5 (-v^2+v w+w^2)+2 u^4 (2 v^3+5 v^2 w+2 v w^2+w^3)+u^2 v^2 (20 v^3+23 v^2 w+11 v w^2+6 w^3)+u v^2 (7 v^4+12 v^3 w+6 v^2 w^2+2 v w^3+w^4)+u^3 (18 v^4+23 v^3 w+13 v^2 w^2+3 v w^3+w^4))+c^6 v^2 (-v (v-3 w) w^3 (v+w)^2+u^5 (v^2+v w-w^2)+2 u^4 (v^3+2 v^2 w+5 v w^2+2 w^3)+u^2 w^2 (6 v^3+11 v^2 w+23 v w^2+20 w^3)+u w^2 (v^4+2 v^3 w+6 v^2 w^2+12 v w^3+7 w^4)+u^3 (v^4+3 v^3 w+13 v^2 w^2+23 v w^3+18 w^4))-b^4 c^2 v w (v^2 (7 v-5 w) w^2 (v+w)^2+u^5 (3 v^2+4 v w+2 w^2)+u^4 (9 v^3+10 v^2 w+5 v w^2+6 w^3)+2 u v w (5 v^4+8 v^3 w+3 v^2 w^2-v w^3-w^4)+3 u^3 (3 v^4+6 v^3 w+3 v^2 w^2+4 v w^3+2 w^4)+u^2 (3 v^5+22 v^4 w+15 v^3 w^2+9 v^2 w^3+9 v w^4+2 w^5))-b^2 c^4 v w (-v^2 (5 v-7 w) w^2 (v+w)^2+u^5 (2 v^2+4 v w+3 w^2)+u^4 (6 v^3+5 v^2 w+10 v w^2+9 w^3)-2 u v w (v^4+v^3 w-3 v^2 w^2-8 v w^3-5 w^4)+3 u^3 (2 v^4+4 v^3 w+3 v^2 w^2+6 v w^3+3 w^4)+u^2 (2 v^5+9 v^4 w+9 v^3 w^2+15 v^2 w^3+22 v w^4+3 w^5)))

+(u^2) (c^8 v^2 (-u^4 v (v+w)+2 (v-w) w^3 (v+w)^2-u^2 w^2 (6 v^2+11 v w+6 w^2)-u^3 (v^3+4 v^2 w+6 v w^2+2 w^3)+u w (v^4+2 v^3 w-v^2 w^2-8 v w^3-6 w^4))-b^8 w^2 (u^4 w (v+w)+2 v^3 (v-w) (v+w)^2+u^2 v^2 (6 v^2+11 v w+6 w^2)+u^3 (2 v^3+6 v^2 w+4 v w^2+w^3)+u v (6 v^4+8 v^3 w+v^2 w^2-2 v w^3-w^4))+b^6 c^2 w (v^2 w (v+w)^2 (5 v^2-10 v w+w^2)+u^4 (v^3+v^2 w-w^3)+u^3 (3 v^4+4 v^3 w-5 v w^3-2 w^4)+u v (v^5+12 v^4 w+v^3 w^2-17 v^2 w^3-10 v w^4-3 w^5)+u^2 (3 v^5+10 v^4 w+v^3 w^2-9 v^2 w^3-8 v w^4-w^5))+b^4 c^4 v w (-4 v w (v+w)^2 (v^2-4 v w+w^2)+u^4 (v^2+4 v w+w^2)+u^3 (3 v^3+10 v^2 w+10 v w^2+3 w^3)+3 u^2 (v^4+4 v^3 w+8 v^2 w^2+4 v w^3+w^4)+u (v^5+2 v^4 w+25 v^3 w^2+25 v^2 w^3+2 v w^4+w^5))+b^2 c^6 v (v w^2 (v+w)^2 (v^2-10 v w+5 w^2)+u^4 (-v^3+v w^2+w^3)+u^3 (-2 v^4-5 v^3 w+4 v w^3+3 w^4)+u w (-3 v^5-10 v^4 w-17 v^3 w^2+v^2 w^3+12 v w^4+w^5)+u^2 (-v^5-8 v^4 w-9 v^3 w^2+v^2 w^3+10 v w^4+3 w^5)))) : ... : ...).

(-9 a^4+9 a^2 b^2+9 a^2 c^2) x^2+(-6 a^2 b^2+6 b^4-12 a^2 c^2-12 b^2 c^2+6 c^4) x y+(a^4+a^2 b^2-2 b^4-a^2 c^2+4 b^2 c^2-2 c^4) y^2+(-12 a^2 b^2+6 b^4-6 a^2 c^2-12 b^2 c^2+6 c^4) x z+(-2 a^4-4 b^4+8 b^2 c^2-4 c^4) y z+(a^4-a^2 b^2-2 b^4+a^2 c^2+4 b^2 c^2-2 c^4) z^2=0.

E_a = (a^2 (-(b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) : -a^6+(b^2-c^2)^3+a^4 (2 b^2+c^2)+a^2 (-2 b^4+b^2 c^2+c^4) : -a^6-(b^2-c^2)^3+a^4 (b^2+2 c^2)+a^2 (b^4+b^2 c^2-2 c^4)).

Una caracterización de la cúbica de Simson

( (u+v)^2 (u-w)^2-SC (u-v)^2 (u+w)^2+4 SA u (v-w) (u^2-v w))x-
(SB (u^2-2 u v-3 v^2) (u-w)^2-SC (u-v)^2 (u+w)^2+4 SA u (v-w) (-2 v w+u (v+w)))y +
(SB (u+v)^2 (u-w)^2+SC (u-v)^2 (u^2-2 u w-3 w^2)+4 SA u (v-w) (-2 v w+u (v+w)))z = 0.

K010: Σ _{uvw SASBSC xyz} SA x(y^2+z^2) + SB y(z^2+x^2) + SC z(x^2+y^2) - 2(SA+SB+SC) x y z =0.

Lugar geométrico de centros de cónicas

C(P): Σ _{uvw xyz} (u + v) (u + w) (2 u (v + w) x^2 + (v^2 + 6 v w + w^2) y z)=0.

Q = ((u+v)(u+w)(v-w)(u(v+w)-2vw) : (v+w)(v+u)(w-u)(v(w+u)-2wu) : (w+u)(w+v)(u-v)(w(u+v)-2uv)).

S = ((b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2 - a^2)^2 : ... : ...),

( (2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2) / (5a^8-5a^6(b^2+c^2)+a^4(-3b^4+11b^2c^2-3c^4)+a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(2b^4-b^2c^2+2c^4)) : ... : ...),

W = ((a^2-b^2-c^2)^2/(2 a^2-b^2-c^2) : ... : ...),

Centros ortológicos sobre la recta de Euler

V = (a^2/((b^2-c^2)^2u+2a^2(b^2+c^2)(v+w)-a^4(u+2(v+w))) : ... : ...),

V' = (a^2(b^2+c^2-a^2)(a^4(c^2v+b^2w)+a^2(2b^2c^2(2u+v+w)-2c^4v-2b^4w)+(b^2-c^2)^2(c^2v+b^2w)) : ... : ...).

Σ _{abc SASBSC xyz} (b^ 2 - c^2) ( x^2 + SA^2 y z) = 0.

(a^2 (a^2 - b^2 - c^2)(a^6 (b^2+c^2)-a^4 (b^2+c^2)^2-a^2 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)+b^8-b^6 c^2-b^2 c^6+c^8) : ... : ...),

  Cuando P varía sobre la hipérbola ℋ, la recta PV' pasa por el punto De Longchamps, X₂₀, y es paralela a VP*.
  Y la envolvente de las rectas VV' es la cónica inscrita a ABC (con centro en X₅₉₇₂, de X₁₂₅, y que pasa por X₄, X₆₉, X₁₀₉₂, X₁₉₇₄, X₃₀₄₃, X₅₀₉₅) tangente a la recta de Euler en el ortocentro y a la recta de de en el centro de la hipérbola ℋ.

Q = (1/((b^2-c^2)^2S_A) : 1/((c^2-a^2)^2S_B) : 1/((a^2-b^2)^2S_C)),