- Sábado, 21 de mayo del 2022
Triángulos ciclológicos
El 21 de mayo de 1848 faceció, a los 33 años de edad, el matemático francés Pierre Laurent Wantzel. Es conocido sobre todo por haber publicado un artículo titulado "Investigación sobre la forma de reconocer si un Problema de Geometría puede resolverse con regla y compás" donde, apoyándose en los resultados de Abel, da un criterio llamado regla de Wantzel:
Todo número construible x es raíz de un polinomio con coeficientes enteros de manera que el grado del polinomio minimal que admite x como cero es una potencia de 2.
Dado un triángulo ABC (con incentro I=X1), sean DEF el y Ab, Ac los puntos de intersección de BC con la circunferencia I(IA), de centro I y radio IA, tal que Ab está en la semirrecta DB y Ac está en la semirrecta DC.
En coordenadas baricéntricas:
Ab = (0 : b : a - b), Ac = (0 : a - c : c).
Las circunferencias Γbc=(ABAc) y Γcb=(ACAb) se vuelven a cortar en:
A' = (a (a-b) (a-c) : -(a-c) (a^2-b^2+b c-c^2) : -(a-b) (a^2-b^2+b c-c^2)).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son . El centro ciclológico de
A'B'C' respecto a
ABC es
X80, simétrico del incentro respecto al . El centro ciclológico de
ABC respecto a
A'B'C' es:
Z = ( a (a-b) (a-c) (a^13-3 a^12 (b+c)+a^11 (b^2+13 b c+c^2)+a^10 (7 b^3-17 b^2 c-17 b c^2+7 c^3)
-a^9 (11 b^4+5 b^3 c-47 b^2 c^2+5 b c^3+11 c^4)
+a^8 (b^5+39 b^4 c-43 b^3 c^2-43 b^2 c^3+39 b c^4+c^5)
+a^7 (14 b^6-44 b^5 c-16 b^4 c^2+93 b^3 c^3-16 b^2 c^4-44 b c^5+14 c^6)
-a^6 (b-c)^2 (14 b^5+23 b^4 c-45 b^3 c^2-45 b^2 c^3+23 b c^4+14 c^5)
-a^5 (b-c)^2 (b^6-36 b^5 c+3 b^4 c^2+56 b^3 c^3+3 b^2 c^4-36 b c^5+c^6)
+a^4 (b-c)^2 (11 b^7-18 b^6 c-27 b^5 c^2+32 b^4 c^3+32 b^3 c^4-27 b^2 c^5-18 b c^6+11 c^7)
-a^3 (b-c)^4 (7 b^6+17 b^5 c+b^4 c^2-13 b^3 c^3+b^2 c^4+17 b c^5+7 c^6)
-a^2 (b-c)^4 (b^7-8 b^6 c-6 b^5 c^2+3 b^4 c^3+3 b^3 c^4-6 b^2 c^5-8 b c^6+c^7)
+a (b-c)^6 (b+c)^2 (3 b^4-b^3 c+3 b^2 c^2-b c^3+3 c^4)
-(b-c)^6 (b+c)^3 (b^4-b^3 c+2 b^2 c^2-b c^3+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.706574244539451, -0.343199025010625, 3.55215261712737n).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {109,42552}, {1411,10703}, {4551,14887}.
- Miércoles, 18 de mayo del 2022
Suma de ángulos igual a dos rectos
El 18 de mayo de 1048, nació Omar Khayyam, matemático, astrónomo, poeta persa.
Entre lo más conocido de su obra, además de su "Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra", su "Disertación sobre una posible demostración del postulado paralelo de la geometría de Euclides" y una clasificación completa de las ecuaciones cúbicas con sus soluciones geométricas halladas mediante la intersección de cónicas, se encuentran sus Cuartetos (Rubaiyat), 172 poemas de cuatro versos que constituyen una alabanza al brindis, una enorme plegaria fragmentada en estrofas que remiten a la celebración del vino y del goce del instante.
Nada me interesa ya. Levántate para escanciarme vino!
Esta noche tus labios son la más bella rosa del universo...
Vino! Que sea rojo como tus mejillas,
y que mis remordimientos sean tan ligeros como tus rizos!
Dado un triángulo ABC (con incentro I=X1), sean DEF el de I y Mt un punto sobre AI, tal que AMt:MtI= t (número real). Se denota por Mc la proyección ortogonal de Mt sobre AB.
Se toman los ángulos Φ y ψ como se indica en la figura:
Tratamos de encontrar la posición de Mt, sobre AI, tal que Φ + ψ =π.
La ecuación baricéntrica de la recta ℓ que pasa por Mc y forma con AB el mismo ángulo (cot θ = (b+c-a) (a+b+c+(a+b-c)t)/) que la recta CMt con AI es:
ℓ: (a-b-c) c t x+c ((a-b) t+c (2+t)) y+(-b c (-2+t)-c^2 (-2+t)+3 a c t-2 a^2 (1+t)+2 b^2 (1+t)) z = 0
Esta recta pasa por D si t = -2(a+b+c)/(2a+b-c), o sea cuando Mt=(c-b : 2 b : 2 c). Se trata del punto Ac, tal que AAc:AcD = 2(b+c) : c-b.
La recta ℓ pasa por un punto fijo Pac(-a^2+b^2+b c-2 c^2:a^2-b^2-b c-c^2:c^2), cuando Mt recorre AI.
Para construir Pac y Ac, sean Hc y Iac las proyecciones ortogonales de C sobre AB y AI, respectivamente. Las perpendiculares por Hc y Iac a AI y AB, respectivamente, se cortan en Pac.
Intercambiendo B y C en la construcción anterior, se obtiene el punto Ab, sobre AI.
Por permutación cíclica, se definen otros dos pares de puntos {Ba, Bc} y {Cb, Ca}, situados sobre las bisectrices en B y C, respectivamente.
Tomando rectas que pasan por pares de estos seis puntos, se obtienen los puntos Pa = AbCb ∩ AcBc,
Qa =
AbBa ∩ AcCa y, similarmente,
Pb, Pc y Qb, Qc.
Los seis puntos Pa, Pb, Pc, Qa, Qb y Qc están sobre una cónica 𝒞.
La
ecuación
(
𝔖abc xyz
4 b c (-90 b^3 (b-c)^4 c^3 (b+c)+a^9 (9 b^2+46 b c+9 c^2)-12 a^8 (3 b^3+13 b^2 c+13 b c^2+3 c^3)+4 a^7 (27 b^4-35 b^3 c+64 b^2 c^2-35 b c^3+27 c^4)-3 a b^2 (b-c)^2 c^2 (50 b^4-30 b^3 c-211 b^2 c^2-30 b c^3+50 c^4)-10 a^2 b (b-c)^2 c (7 b^5-23 b^4 c-74 b^3 c^2-74 b^2 c^3-23 b c^4+7 c^5)-28 a^6 (9 b^5-32 b^4 c-9 b^3 c^2-9 b^2 c^3-32 b c^4+9 c^5)+a^5 (333 b^6-908 b^5 c-679 b^4 c^2+1932 b^3 c^3-679 b^2 c^4-908 b c^5+333 c^6)-2 a^4 (108 b^7-61 b^6 c-187 b^5 c^2+1004 b^4 c^3+1004 b^3 c^4-187 b^2 c^5-61 b c^6+108 c^7)+6 a^3 (9 b^8+35 b^7 c-46 b^6 c^2-85 b^5 c^3-114 b^4 c^4-85 b^3 c^5-46 b^2 c^6+35 b c^7+9 c^8))x^2+a (585 b^4 (b-c)^4 c^4-372 a b^3 (b-c)^4 c^3 (b+c)+a^8 (-135 b^4+636 b^3 c+1046 b^2 c^2+636 b c^3-135 c^4)+2 a^2 b^2 (b-c)^2 c^2 (451 b^4+186 b^3 c-3722 b^2 c^2+186 b c^3+451 c^4)+4 a^7 (135 b^5-477 b^4 c-682 b^3 c^2-682 b^2 c^3-477 b c^4+135 c^5)+4 a^3 b (b-c)^2 c (267 b^5-184 b^4 c-731 b^3 c^2-731 b^2 c^3-184 b c^4+267 c^5)-2 a^6 (405 b^6-420 b^5 c+835 b^4 c^2+408 b^3 c^3+835 b^2 c^4-420 b c^5+405 c^6)+4 a^5 (135 b^7+642 b^6 c+1568 b^5 c^2+727 b^4 c^3+727 b^3 c^4+1568 b^2 c^5+642 b c^6+135 c^7)-a^4 (135 b^8+3204 b^7 c+950 b^6 c^2-2188 b^5 c^3-22634 b^4 c^4-2188 b^3 c^5+950 b^2 c^6+3204 b c^7+135 c^8)) )y z = 0.
)
de 𝒞 y las
coordenadas
( a (9 a^13 (15 b^3+19 b^2 c-19 b c^2-15 c^3)^2-135 b^5 (b-c)^6 c^5 (8 b^3-17 b^2 c-17 b c^2+8 c^3)+3 a b^4 (b-c)^6 c^4 (544 b^4+2754 b^3 c-1817 b^2 c^2+2754 b c^3+544 c^4)+a^2 b^3 (b-c)^4 c^3 (12848 b^7-53639 b^6 c-74667 b^5 c^2+178530 b^4 c^3+178530 b^3 c^4-74667 b^2 c^5-53639 b c^6+12848 c^7)-a^12 (14175 b^7+34245 b^6 c+33399 b^5 c^2+49253 b^4 c^3+49253 b^3 c^4+33399 b^2 c^5+34245 b c^6+14175 c^7)+a^3 b^2 (b-c)^4 c^2 (14688 b^8-85676 b^7 c-102691 b^6 c^2+169346 b^5 c^3+547802 b^4 c^4+169346 b^3 c^5-102691 b^2 c^6-85676 b c^7+14688 c^8)+a^11 (42525 b^8+105570 b^7 c+138096 b^6 c^2+356606 b^5 c^3+287270 b^4 c^4+356606 b^3 c^5+138096 b^2 c^6+105570 b c^7+42525 c^8)-3 a^10 (23625 b^9+61305 b^8 c-15684 b^7 c^2+98332 b^6 c^3-36506 b^5 c^4-36506 b^4 c^5+98332 b^3 c^6-15684 b^2 c^7+61305 b c^8+23625 c^9)-a^5 b (b-c)^2 c (33210 b^10-199791 b^9 c-565894 b^8 c^2+839493 b^7 c^3+1850856 b^6 c^4+1945628 b^5 c^5+1850856 b^4 c^6+839493 b^3 c^7-565894 b^2 c^8-199791 b c^9+33210 c^10)+a^9 (70875 b^10+170820 b^9 c-885330 b^8 c^2-992554 b^7 c^3-734233 b^6 c^4-2599188 b^5 c^5-734233 b^4 c^6-992554 b^3 c^7-885330 b^2 c^8+170820 b c^9+70875 c^10)+a^8 (-42525 b^11-39555 b^10 c+1526166 b^9 c^2+1763446 b^8 c^3-2584085 b^7 c^4+556201 b^6 c^5+556201 b^5 c^6-2584085 b^4 c^7+1763446 b^3 c^8+1526166 b^2 c^9-39555 b c^10-42525 c^11)+3 a^4 b (b-c)^2 c (1560 b^11-35469 b^10 c+36771 b^9 c^2+307397 b^8 c^3+174745 b^7 c^4-853644 b^6 c^5-853644 b^5 c^6+174745 b^4 c^7+307397 b^3 c^8+36771 b^2 c^9-35469 b c^10+1560 c^11)+3 a^7 (4725 b^12-26610 b^11 c-327576 b^10 c^2-125366 b^9 c^3+1932139 b^8 c^4+1380712 b^7 c^5-957456 b^6 c^6+1380712 b^5 c^7+1932139 b^4 c^8-125366 b^3 c^9-327576 b^2 c^10-26610 b c^11+4725 c^12)-a^6 (2025 b^13-84555 b^12 c-26892 b^11 c^2+725932 b^10 c^3+1872163 b^9 c^4+1942863 b^8 c^5-7970480 b^7 c^6-7970480 b^6 c^7+1942863 b^5 c^8+1872163 b^4 c^9+725932 b^3 c^10-26892 b^2 c^11-84555 b c^12+2025 c^13)):...:... )
de su centro son bastante extensas.
- Lunes, 16 de mayo del 2022
Circunferencias con cuerdas los lados de un triángulo
El 16 de mayo de 1986, la OTAN aprueba la producción de armas químicas de estructura binaria, por parte
de Estados Unidos . Se trata de dos sustancias, separadas entre sí, que al ser lanzadas por un proyectil sólo al explosionar este en su blanco se unen, generándose entonces el agente químico.
Dados un triángulo ABC (con circuncentro O=X3 y ortocentro H=X4) y un punto P (no situado sobre la circunferencia circunscrita ni en la recta del infinito), la circunferencia (PBC) corta a AB, AC de nuevo en Ac, Ab, respectivamente. Sea ma la mediatriz de AbAc. Las rectas mb y mc se definen cíclicamente.
Las rectas ma, mb y mc son concurrentes si y sólo si P está sobre la .
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
ma: (b-c) (b+c) (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) x+((b^2-c^2) u (b^2 w-c^2 (u+w))-a^2 (-b^2 v w+c^2 (u+v) (u+w))) y+(-(b^2-c^2) u (-c^2 v+b^2 (u+v))+a^2 (-c^2 v w+b^2 (u+v) (u+w))) z=0.
Cuando P recorre la hipérbola de Jerabek, los puntos O, P, Q están alineados y el lugar geométrico del punto Q, de concurrencia de las rectas ma, mb y mc, es la
hipérbola
( (a^4 b^4 c^2-a^2 b^6 c^2-a^4 b^2 c^4+a^2 b^2 c^6) x^2+(a^8 c^2-a^6 b^2 c^2+a^2 b^6 c^2-b^8 c^2-3 a^6 c^4+3 b^6 c^4+3 a^4 c^6-3 b^4 c^6-a^2 c^8+b^2 c^8) x y+(a^6 b^2 c^2-a^4 b^4 c^2+a^2 b^4 c^4-a^2 b^2 c^6) y^2+(-a^8 b^2+3 a^6 b^4-3 a^4 b^6+a^2 b^8+a^6 b^2 c^2-b^8 c^2+3 b^6 c^4-a^2 b^2 c^6-3 b^4 c^6+b^2 c^8) x z+(-a^8 b^2+3 a^6 b^4-3 a^4 b^6+a^2 b^8+a^8 c^2-a^2 b^6 c^2-3 a^6 c^4+3 a^4 c^6+a^2 b^2 c^6-a^2 c^8) y z+(-a^6 b^2 c^2+a^2 b^6 c^2+a^4 b^2 c^4-a^2 b^4 c^4) z^2 = 0)
ℋ, con asíntotas paralelas a las de la hipérbola de Jerabek y en la que el segmento X3X4 es un diámetro.
Puntos Xi sobre ℋ, para i∈{3, 4, 195, 576, 1147, 2574, 2575, 2888, 2904, 3357, 5694, 7666, 9716, 9927, 10274, 18432, 22802, 33541, 34117, 34118, 34507, 38942, 44067, 44068, 45010}.
Sean U el segundo punto de intersección de la recta HQ con la hipérbola de Jerabek y V el segundo punto de intersección de la recta HP con la hipérbola ℋ. La recta UV envuelve una
cónica
(
𝔖abc xyz
a^2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 (a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)+2 a^4 (3 b^4+b^2 c^2+3 c^4)-4 a^2 (b^6+c^6))^2 x^2+2 a^2 (a^20 (4 b^4-9 b^2 c^2+4 c^4)-b^2 c^2 (b^2-c^2)^8 (4 b^4+9 b^2 c^2+4 c^4)+a^18 (-28 b^6+31 b^4 c^2+31 b^2 c^4-28 c^6)+a^16 (80 b^8-6 b^6 c^2-161 b^4 c^4-6 b^2 c^6+80 c^8)+a^2 (b^2-c^2)^6 (4 b^10+29 b^8 c^2+33 b^6 c^4+33 b^4 c^6+29 b^2 c^8+4 c^10)+2 a^10 (b^2-c^2)^2 (28 b^10-130 b^8 c^2-279 b^6 c^4-279 b^4 c^6-130 b^2 c^8+28 c^10)-2 a^14 (56 b^10+65 b^8 c^2-124 b^6 c^4-124 b^4 c^6+65 b^2 c^8+56 c^10)+4 a^12 (14 b^12+75 b^10 c^2-36 b^8 c^4-107 b^6 c^6-36 b^4 c^8+75 b^2 c^10+14 c^12)-2 a^8 (b^2-c^2)^2 (56 b^12-45 b^10 c^2-143 b^8 c^4-180 b^6 c^6-143 b^4 c^8-45 b^2 c^10+56 c^12)+2 a^6 (b^2-c^2)^2 (40 b^14-7 b^12 c^2-66 b^10 c^4-47 b^8 c^6-47 b^6 c^8-66 b^4 c^10-7 b^2 c^12+40 c^14)-a^4 (b^2-c^2)^2 (28 b^16+11 b^14 c^2-98 b^12 c^4+57 b^10 c^6-60 b^8 c^8+57 b^6 c^10-98 b^4 c^12+11 b^2 c^14+28 c^16)) y z= 0.
)
𝒞, cuando P recorre la hipérbola de Jerabek.
El centro de la cónica 𝒞 es:
W = ( 5 a^8 (b^2 + c^2) ) -
2 a^6 (3 b^4 + 4 b^2 c^2 + 3 c^4 -
4 a^4 (3 b^6 - 4 b^4 c^2 - 4 b^2 c^4 + 3 c^6)) +
2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (11 b^4 + 2 b^2 c^2 + 11 c^4) - 9 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.89770500836748, 1.23753271545771, 1.90804721349790).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {5,113}, {235,45622}, {381,43903}, {546,10606}, {11585,11704}, {11793,12235}, {13754,43592}, {15059,44240}, {18952,35018}, {23332,46849}, {32140,44912}.
𝒞
pasa por X10606 (simétrico de X154 — baricentro del — respecto a X3) y la tangente en este punto es t1 = X3X154, que es la recta UV, cuando P=.
Otras tres tangentes UV a esta cónica están determinadas por los puntos {P=Xi, U=Xj, V=Xk}, para {i, j, k}: {4, 265, 22802}, {3, 5504, 3}, {6, 895, 34117}.
X(265) = reflection of X(3) in .
X(895) = reflection of in X(125) .
X(5504) = reflection of in X(125).
X(22802) = midpoint of X(3) and X(5895), pole of X(4) with respect to the hyperbola {A,B,C,X(4),X(20)}.
X(34117) = intersection of X(4) and X(154).
Con estas cuatro tangentes y el punto de tangencia de una de ellas, la cónica 𝒞 puede ser construida (tttt_P o §13.1 (1P4T)1, p.345)
Las cónicas ℋ y 𝒞 son bitangentes y la recta que une los puntos de tangencia es la paralela a la recta de Euler por X(64), del .
Las tangentes en sus puntos de tangencia se cortan en:
Z = ( a^2 (a^12 (b^2+c^2)-4 a^10 (b^4+c^4)
+a^8 (5 b^6+4 b^4 c^2+4 b^2 c^4+5 c^6)
-2 a^6 (9 b^6 c^2-8 b^4 c^4+9 b^2 c^6)-a^4 (5 b^10-15 b^8 c^2+6 b^6 c^4+6 b^4 c^6-15 b^2 c^8+5 c^10)
+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^8+5 b^6 c^2-6 b^4 c^4+5 b^2 c^6+2 c^8)
-(b^2-c^2)^4 (b^6+8 b^4 c^2+8 b^2 c^4+c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-1.50333922543843, -2.69663406614605, 6.20141386251861).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {3, 12133}, {4, 12358}, {113, 15738}, {974, 12162}, {1112, 7723}, {5876, 12236}, {5907, 7687}, {12099, 18435}, {12140, 12605}, {12292, 44573}, {12295, 41673}, {13148, 22584}, {13474, 37853}, {20304, 45959}, {21650, 25711}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {9826, 5}, {12236, 15465}, {15151, 20397}, {16270, 20304}..
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,12292}, {3,12133}, {4,12358}, {5,113}, {30,13416}, {74,6642}, {110,9818}, {146,7401}, {381,1112}, {399,11479}, {526,44921}, {541,10127}, {1154,23323}, {1352,10113}, {1511,7526}, {1986,3091}, {2777,31833}, {2781,46686}, {3024,37697}, {3028,37696}, {3047,15052}, {3448,18537}, {3545,7722}, {3818,19506}, {3832,12219}, {3845,12294}, {3851,13148}, {4550,12893}, {5020,10620}, {5504,17814}, {5609,12228}, {5651,16165}, {5876,12236}, {5891,12295}, {5907,7687}, {6000,6723}, {6644,10117}, {6696,6699}, {7727,19372}, {7728,18420}, {9817,19470}, {9827,10628}, {10170,38726}, {10721,16261}, {10733,15056}, {10961,35826}, {10963,35827}, {11381,38727}, {11439,15055}, {11746,13754}, {11801,44920}, {12099,18435}, {12111,46430}, {12140,12605}, {12273,15044}, {12281,12824}, {12284,12825}, {13198,18451}, {13474,37853}, {14915,15448}, {15059,15305}, {15151,20397}, {15647,46261}, {16111,16194}, {17855,45311}, {19137,32305}, {19376,40917}, {20771,32607}, {32137,37814}, {41674,44201}.
- Sábado, 14 de mayo del 2022
Una proyectivifadad sobre la recta IO
Yvonne Choquet-Bruhat (Lille, Francia, 29 de diciembre de 1923) es una matemática y física francesa. Ha hecho contribuciones fundamentales al estudio de la teoría general de la relatividad de Einstein.
En 1978 fue elegida miembro correspondiente de la Academia de Ciencias y el 14 de mayo de 1979 se convirtió en la primera mujer en ser elegida miembro pleno.
Dado un triángulo ABC (con circuncentro O=X3, incentro I=X1 y Fe=X11) sea el .
Se denota por F'a el inverso de Fe en la circunferencia (AB1C1) y se definen F'b y F'c cíclcicamente.
Los puntos
F'a,
F'a,
F'a están sobre
IO (
Euclid #5028, Abdilkadir Altintaş)
Sea Oa el centro de la circunferencia (AB1C1) y O'a su proyección ortogonal sobtr IO. Los puntos Ob, Oc y O'b, O'c se definen cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC,
Oa = (2 a + b + c : b : c),
O'a = (a (4 a^4-2 a^3 (b+c)+a^2 (-5 b^2+6 b c-5 c^2)+(b^2-c^2)^2+2 a (b^3+c^3)) :
b (2 a^4-(b-c) c (b+c)^2-a^3 (3 b+c)+a^2 (-2 b^2+7 b c-3 c^2)+a (3 b^3-b^2 c-3 b c^2+c^3)):
c (2 a^4+b (b-c) (b+c)^2-a^3 (b+3 c)+a^2 (-3 b^2+7 b c-2 c^2)+a (b^3-3 b^2 c-b c^2+3 c^3))),
F'a = (a (2 a^2-(b-c)^2-a (b+c)) : b (a-c) (a-b+c) : (a-b) (a+b-c) c).
La proyectividad σ, sobre IO, en la que són homólogos los puntos {F'a, O'a}, {F'b, O'b},
{F'c, O'c}, aplica:
P = I + t O en P'=σ(P) = I + t' O,
donde
t' = ((a^2-(b-c)^2) (a-b-c) (a^3 (1+3 t)-a^2 (b+c) (1+3 t)+(b-c)^2 (b+c) (1+3 t)-a (b^2 (1+3 t)+c^2 (1+3 t)-2 b (c+4 c t))))/(a^6 (3+t)-2 a^5 (b+c) (3+t)+(b-c)^4 (b+c)^2 (3+t)-2 a (b-c)^2 (b+c) (b^2 (3+t)+c^2 (3+t)-b c (8+7 t))-a^2 (-38 b^2 c^2 (1+t)+b^4 (3+t)+c^4 (3+t)+2 b^3 c (8+7 t)+2 b c^3 (8+7 t))-a^4 (b^2 (3+t)+c^2 (3+t)-2 b c (11+8 t))+2 a^3 (b+c) (2 b^2 (3+t)+2 c^2 (3+t)-b c (14+9 t))).
Se trata de una proyectividad elíptica, cuyo punto medio de los fijos es X31792, que es la reflexión de X5045, en X1.
Let A' be the inverse-in-incircle of the A-excenter, and define B', C' cyclically. The triangle A'B'C' is homothetic to ABC, and its circumcenter is
X5045. (Randy Hutson, February 16, 2015)
- Jueves, 5 de mayo del 2022
Una construcción del cociente ceviano de un punto y su complemento
El 5 de mayo de 1922
nació el matemático italiano, Francesco Giacomo Tricomi quién descubrió en 1923 la ecuación llamada «de Tricomi», que rige los fenómenos que se generan cuando un aeroplano supera la barrera del sonido. Por eso, Tricomi se llamaba también «padre de la barrera del sonido».
Dados un triángulo ABC (con circuncentro O=X3 e incentro I=X1) y un punto P, sea A'B'C' el de P. Sea A* el punto medio de AP. Los puntos B* y C* se definen cíclicamente.
Sea A" el punto de intersección de la paralela a CA por B* y la paralela a AB por C*. Los puntos B" y C" de obtienen cíclicamente.
Las rectas A'A", B'B", C'C" concurren en el de P y su .
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A*=(2 u + v + w:v:w) y A"=(v + w: -u - 2 v - w:-u - v - 2 w).
Las rectas A'A", B'B", C'C" concurren en Q= ((v + w) (u^2 (v + w) - v w (v + w) + u (v^2 + w^2)):...:...), que es el cociente ceviano P/cP de P y su complemento.
El centro de homotecia de ABC and A"B"C" es el baricentro de cuadrilátero ABCP, (2 u + v + w : u + 2 v + w : u + v + 2 w).
El caso particular (Jean-Louis Ayme, AoPS) en que P=I.
Q is X(3159) de ETC, y el eje de perspectividad de ABC y A"B"C" es la recta que pasa por
X(667) (centro radical la circunferencia circunscrita, la y la de diámetro IO) y X(4694)=(3r^2+14rR-s^2) I- 4r^2 O (donde s es el semiperímero y R, r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita).
- Sábado, 2 de mayo del 2022
La cúbica y la sextica de Darboux
El 2 de mayo de 1994, el activista antiapartheid Nelson Mandela, cuatro años después de recuperar su libertad, tras 27 años en prisión, gana las primeras elecciones democráticas en Sudáfrica tras el apartheid. Estados Unidos lo quitará de su «lista de terroristas» en julio de 2008.
Dados un triángulo ABC (con circuncentro O=X3 y triángulo medial ) y un punto P sea DEF su triángulo .
La perpendicular a AP por un punto variable M de ésta, corta en Ab y Ac a AC y AB, respectivamente. La circunferencia (AAbAc) vuelve a cortar a AP en M'; sea M'' el punto de intersección de OM' y AbAc.
El lugar geométrico que describe M'', cuando M' varía en AP, es la hiperbola rectangular, ℋa, con una asíntota paralela a AP, que pasa por A, O y por el punto de intersección, D1, de BC y OD.
Si (u-:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de ℋa, que está sobre MbMc, es:
A' = (c^4 v^2+b^4 w^2+b^2 c^2 (v^2+4 v w+w^2)-a^2 (c^2 v^2+b^2 w^2) :
c^2 v (-a^2 v+c^2 v+b^2 (v+2 w)) : b^2 w ((-a^2+b^2) w+c^2 (2 v+w))).
Las hipérbolas ℋb, ℋb y sus centros B', C' se obtienen cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si P esta sobre la cúbica de Darboux.
Cuando P está sobre la cúbica de Darboux, los puntos A, A', D1 están alineados. Por tando, el punto de intersección, Q=Q(P), de las rectas AA', BB', CC' queda sobre la séxtica de Darboux.
Darboux sextic
Q172 answers a question raised by Sriram Panchapakesan and Antreas Hatzipolakis rephrased as follows:
Let ABC be a triangle, P a point and PaPbPc the circumcevian triangle of P. Let X = BC∩OPa, Y = CA∩OPb, Z = AB∩OPc.
ABC and XYZ are perspective (at Q) if and only if P lies on the Darboux cubic
K004.
The locus of the perspector Q, as P moves on the Darboux cubic, is the Darboux sextic Q172.
Pares {P=Xj, Q=Q(P)=Xk}, para los índices {j, k}: {1, 2}, {3, 3}, {4, 264}, {20, 15466}, {40, 347}, {64, 1073}, {84, 280}, {1490, 46350}, {1498, 46351}, {3345, 46352}, {3346, 46353}.
Ocurre también que:
Las rectas A'Ma, B'Mb, C'Mc son concurrentes si y solo si P está sobre la cúbica de Darboux.
El punto de concurrencia es W=W(P)=cQ(iP), donde i denota y c el . Por tanto, W está sobre la sextica de Darboux del triángulo medial.
Pares {P=Xj, W=W(P)=Q(iP)=Xk}, para los índices {j,k}:
{1, 2 ← cQ(i1)=cQ(1)=c2},
{3, 216 ← cQ(i3)=cQ(4)=c264},
{4, 5 ← cQ(i4)=cQ(3)=c3},
{20, 20207 ← cQ(i20)=cQ(64)=c1073},
{40, 7952 ← cQ(i40)=cQ(84)=c280},
{64, 46831 ← cQ(i64)=cQ(20)=c15466},
{84, 281 ← cQ(i84)=cQ(40)=c347},
{1490, k ← cQ(i1490)=cQ(3345)=c46352},
{1498, k ← cQ(i1498)=cQ(3346)=c46353},
{3345, k ← cQ(i3345)=cQ(1490)=c46350},
{3346, k ← cQ(i3346)=cQ(1498)=c46351}.
- Sábado, 30 de abril del 2022
Otra propiedad de la cúbica de Darboux
El 30 de abril de 1777, nació Carl Friedrich Gaus, matemático, astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos ámbitos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean DEF y sus triángulos y , respectivamente. Las circunferencias de diámetros DP y DPa vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita, Γ, a ABC en D' y D", respectivamente. Las tangentes a Γ en D' y D" se cortan en A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas
AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si
P está sobre la cúbica de Darboux (
K004, en el Catálogo de Bernard Gibert).
A' = (a^8 v^2 w^2-2 a^6 v w (v+w) (c^2 v+b^2 w)+a^4 (2 b^2 c^2 v w (-u^2+v^2+3 v w+w^2)+c^4 v^2 (u^2+w (2 v+w))+b^4 w^2 (u^2+v (v+2 w))+(b^2-c^2)^2 u^2 (c^2 v+b^2 w)^2-2 a^2 (b^2-c^2) u^2 (-c^4 v^2+b^4 w^2)):
-2 a^2 b^2 v (-2 c^2 v+a^2 w-b^2 w-c^2 w) (-c^2 v^2+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w-b^2 w^2):
-2 a^2 c^2 w (a^2 v-b^2 v-c^2 v-2 b^2 w) (-c^2 v^2+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w-b^2 w^2)).
Algunos pares {P=Xi, Q=Xj} para pares de índices {i, j}: {1, 6}, {3, 3}, {4, 25}, {20, 15905}, {40, 7074}, {64, 41489}, {84, 1413}.
- Lunes, 25 de abril del 2022
La cúbica de Thomson del triángulo órtico
El 25 de abril de 1744 falleció, a los 42 años de edad a causa de tuberculosis, Anders Celsius (n. 27 de noviembre de 1701) físico y astrónomo sueco.
En 1733 publicó una colección de 316 observaciones de auroras boreales. En 1736 participó en una expedición a Laponia para medir un arco de meridiano terrestre, lo cual confirmó la teoría de Isaac Newton de que la Tierra se achataba en los polos. En una memoria que presentó a la Academia de Ciencias Sueca propuso la escala centígrada de temperaturas, conocida posteriormente como escala Celsius.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF su . La circunferencia (ABD) vuelve a cortar a AC en Ab, y la circunferencia (ACD) vuelve a cortar a AB en Ac. Sea Oa el centro de la circunferencia (AAbAc). Los puntos Ob y Oc se definen cíclicamente.
Las rectas
AOa,
BOb,
COc son concurrentes si y solo si
P está sobre la cúbica de Thomson del (
K350 del Catálogo de Bernard Gibert).
Oa = (2 a^2 (c^2 v+b^2 w):-a^4 v-b^2 (b^2-c^2) (v+w)-a^2 (-c^2 v+b^2 (-2 v+w)):-a^4 w-c^2 (-b^2+c^2) (v+w)-a^2 (c^2 (v-2 w)-b^2 w)).
Las rectas AOa, BOb, COc son concurrentes si y solo si las coordenadas de P satisfacen a:
𝔖abc xyz
a^2 (a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)(a^2 (y-z)-(b^2-c^2) (y+z)) y z = 0,
que es la ecuación de K350.
Cuando P está sobre K250, el punto Q de concurrencia de las rectas AOa, BOb, COc está sobre la cúbica
K919,
𝔖abc xyz
a^2 (-a^2+b^2+c^2) (a^8 (-y+z)+3 a^6 (b^2 y-c^2 z)-a^4 (b^2-c^2) (b^2 (3 y+2 z)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2 y-c^2 z)+c^2 (2 y+3 z))+(b^2-c^2)^3 (c^2 y+b^2 z)) y z = 0,
conjugada isogonal de la cúbica central de Euler, K044.
Pares {P=Xi, Q=Xj} para los índices {i, j}: {4, 4}, {5, 96}, {6, 3}, {25, 24}, {51, 54}, {52, 8883}, {53, 8884}, {14593, 254}.
- Viernes, 22 de abril del 2022
La cúbica K024 y triángulos ortológicos
El 22 de abril de 1592 nació Wilhelm Schickard matemático y astrónomo alemán que ideó un aparato que, mediante un sistema de engranajes, permitía realizar cálculos aritméticos de forma mecánica. (Réplica de la calculadora de Schickard)
Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre su circunferencia circunscrita), sea P* el conjugado isogonal de P.
Se denota por A' el centro de la circunferencia que pasa por P*, Ab=AP∩BP*, Ac=AP∩CP*. Se definen B', C' cíclicamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces Ab=(a^2 w^2:c^2 u v:c^2 u w), Ac=(a^2 v^2:b^2 u v:b^2 u w).
A' = (a^2 (a^8 v^3 w^3+a^6 (b^2 v w^3 (-2 v^2+u (v+w))+c^2 v^3 w (-2 w^2+u (v+w)))+b^2 c^2 (b^2-c^2) u^2 (v+w) (b^2 w (v^2+u w+v w)-c^2 v (u v+w (v+w)))-a^2 u (b^6 w^3 (-v^2+u w)+c^6 v^3 (u v-w^2)+b^4 c^2 w (u^2 (v-w) w+u (2 v^3+2 v^2 w+2 v w^2+w^3)+v (-v^3-2 v^2 w+3 v w^2+w^3))+b^2 c^4 v (u^2 v (-v+w)+w (v^3+3 v^2 w-2 v w^2-w^3)+u (v^3+2 v^2 w+2 v w^2+2 w^3)))+a^4 (b^4 w^3 (v^3+u^2 w-u v (2 v+w))+c^4 v^3 (u^2 v+w^3-u w (v+2 w))+b^2 c^2 v w (-2 v^2 w^2+u^2 (v^2+w^2)-u (2 v^3+3 v^2 w+3 v w^2+2 w^3)))):
b^2 u (-a^2 v w+c^2 v (v+w)+b^2 w (v+w)) (c^2 (b^2-c^2)^2 u^2 v-a^6 v w^2-a^4 (b^2 (u-v) w^2+c^2 v (u v+2 u w+2 v w-w^2))-a^2 u (c^4 v (u+v-2 w)-b^4 w^2+b^2 c^2 (u v-v^2+2 u w+2 v w+w^2))):
c^2 u (-a^2 v w+c^2 v (v+w)+b^2 w (v+w)) (b^2 (b^2-c^2)^2 u^2 w-a^6 v^2 w-a^4 (c^2 v^2 (u-w)+b^2 w (2 u v-v^2+u w+2 v w))-a^2 u (-c^4 v^2+b^4 w (u-2 v+w)+b^2 c^2 (2 u v+v^2+u w+2 v w-w^2))).
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son si solo si
P está sobre
K024 o sobre una
curva
( 𝔖abc xyz
y z (a^2 b^4 c^4 (b^2-c^2) x^5 y^2 z^2-2 a^4 b^2 c^2 (b^4-c^4) x^3 y^3 z^3-3 a^6 b^2 c^2 (b^2-c^2) x y^4 z^4+a^2 b^4 c^4 x^7 (-c y+b z) (c y+b z)-a^8 (b^2-c^2) y^4 z^4 (c^2 y+b^2 z)-b^4 c^4 x^6 y z ((a^4-b^2 c^2-c^4+a^2 (-b^2+2 c^2)) y+(-a^4+b^4+b^2 c^2+a^2 (-2 b^2+c^2)) z)+a^2 b^2 c^2 x^5 y z (-c^2 (a^4-b^2 (2 b^2+c^2)+a^2 (b^2+2 c^2)) y^2+b^2 (a^4+a^2 (2 b^2+c^2)-c^2 (b^2+2 c^2)) z^2)-b^2 c^2 x^6 (c^4 (a^4+2 a^2 b^2-b^2 (b^2+2 c^2)) y^3-b^4 (a^4+2 a^2 c^2-c^2 (2 b^2+c^2)) z^3) = 0)
𝒬 de grado once.
Si P está sobre K024, el centro ortológico de A'B'C' con respecto a ABC es P*.
𝒬 es ; tangente en los vértices a los lados y a las bisectrices interiores y exteriores; pasa por el incentro, los exincentros, los puntos de intersección del con los lados (las tangentes en estos puntos son los lados del , los puntos de intersección de la circunferencia circunscrita con las bisectrices interiores y exteriores, las cuales son tangentes a 𝒬 en estos puntos, y los focos (X(46357), X(46358)) de la elipse inscrita de el retrocentro (X(69)); las bisectrices interiores y exteriores son asíntotas.
Denotamos P1 =X46357 y P2 =X46358,
que son conjugados isogonales al ser los focos de una cónica inscrita.
Sean A1 el centro de la circunferencia que pasa por P2, AP1∩BP2, AP1∩CP2 y
A2 es el centro de la circunferencia que pasa por P1, AP2∩BP1, AP2∩CP1.
Los puntos B1, C1 y B2, C2 se definen cíclicamente.
Los triángulos y son ortológicos con ABC. Para i=1,2, el centro ortológico de respecto a ABC es X1113 (uno de los puntos de intersección de la con la circunferencia circunscrita), y el centro ortológico Vi de ABC respecto a es el X1113 de éste.
- Miércoles, 20 de abril del 2022
Ortocentro del triángulo de Kosnita
El 20 de abril de 1993 muere, en la ciudad de México, Fortino Mario Alfonso Moreno Reyes, alias "Cantinflas", comediante de teatro y actor cómico de cine.
Dados un triángulo ABC, con circuncentro O=X3, y un punto P sobre su circunferencia circunscrita, sea P' su antipodal. Cuando P varía, el centro, Pa, de la circunferencia que pasa por las proyecciones de A, P, P' sobre OP, AB, AC, respectivamente, está sobre una circunferencia fija, Γa, que pasa por los puntos medios de AB, AC y cuyo centro Ao está sobre la A-altura del . Así, el respecto al triángulo de Kosnita, , es el ortocentro de éste.
Las coordenadas baricéntricas del centro Ao de Γa son: (b^2 + c^2-2 a^2: b^2: c^2).
Procediendo cíclicamente, se definen las circunferencias Γb, Γc y sus centros Bo, Co.
El de las circunferencias Γa, Γb, Γc es X1147.
Sea ℓa la recta por Oa paralela a la y se definen ℓb y ℓc, cíclicamente. Sea ℓ'a la reflexión de ℓ en BC, y se definen ℓ'b y ℓ'c, cíclicamente. Entonces, ℓ'a, ℓ'b, ℓ'c concurren en X1147.
- Lunes, 18 de abril del 2022
Triángulos inscritos en la elipse circunscrita de Steiner
Lars Valerian Ahlfors, (Helsinki, 18 de abril de 1907 – Pittsfield, Massachusetts; 11 de octubre de 1996), fue un matemático finlandés. En 1936 fue uno de los dos primeros galardonados con la medalla Fields (junto a Jesse Douglas). Su libro Complex analysis [Análisis complejo] (1953) es el texto clásico de la materia. También escribió otras obras de relevancia, como Riemann surfaces [Superficies de Riemann] (1960) y Conformal invariants [Invariantes conformes] (1973). Contribuyó decisivamente al estudio de las curvas meromorfas, la teoría de distribución de valor, las superficies de Riemann, la geometría conforme y las aplicaciones cuasiconformes, entre otras áreas.
Dado un triángulo ABC, se denota, como es habitual, por a, b, c las longitudes de los lados BC, CA, AB. La circunferencia de de centro C y radio b, corta a AC en Ab y A'b, estando Ab en el mismo semiplano que A respecto a BC. La circunferencia de de centro B y radio c, corta a AB en Ac y A'c, estando Ac en el mismo semiplano que A respecto a BC.
Se definen cíclicamente los puntos Bc, B'c, Ba, B'a y Ca, C'a, Cb, C'b
Las rectas BAb, CAc se cortan en A1 y las rectas BA'b, CA'c se cortan en A'1. Los puntos B1, B'1 y C1, C'1, se definen cíclicamente.
Los seis puntos A1, B1, C1, A'1, B'1, C'1 están sobre la .
Ab = (c : 0 : b - c), A'b = (b : -b + c : 0).
Ac = (c : 0 : b - c), A'c = (b : -b + c : 0).
A1 = (b c : c (-b + c) : b (b - c)), A'1 = (b c : c (-b + c) : b (b - c)).
Las rectas
A1A'1,
B1B'1,
C1C'1 concurren en el .
Los triángulos ABC y A'1B'1C1 son perspectivos, con centro de perspectividad el del incentro.
Los de la elpse circunscrita de Steiner respecto a los triángulos
A'1B'1C'1 y
UVW son, respectivamente,
X4441 y
X17135.
Puntos fijos de las transformaciones afines que aplican cada par de triángulos siguientes:
ABC en A'1B'1C'1: X30966
ABC en UVW: X6376
A1B1C1 en UVW: X17786
A1B1C1 en A'1B'1C'1: X4485
ABC en A1B1C1:
W = ( (b^2-b c+c^2) (a (b+c)-b c)/(b-c) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.21961767437012, -5.00602064246054, 6.08193215390162).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,24670], {11,25746], {100,24533], {668,27805], {1016,4621], {1332,3570], {1978,3807], {3699,23354], {3756,17234], {3835,36863], {4417,4437], {4554,4562], {5233,16594], {7239,33946], {17228,21238], {20528,41318], {20979,46148}.
UVW en A'1B'1C'1:
Z = ( b c (a^4 (b+c)+b (b-c)^2 c (b+c)+a^3 (b^2-b c+c^2)-a^2 (b^3+c^3)-a (b^4+b^3 c+b c^3+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(6.21386396667984, 2.23537085198185, -0.774837169470673).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,41831], {69,350], {75,325], {76,946], {86,24551], {92,264], {183,1001], {290,27424], {304,18835], {327,2186], {341,21579], {960,6376], {1909,3485], {3262,33931], {3760,9614], {4389,26015], {4415,20173], {4441,37668], {4479,7788], {5224,24997], {12635,24524], {16284,20943], {18140,31435], {18589,20923], {27129,27390], {28628,31997}.
- Domingo, 17 de abril del 2022
Tres parábolas con foco común
El 17 de abril de 1961, tras cuatro o cinco días de navegación, durante la madrugada del lunes 17 de abril se produce el desembarco en Playa Girón y Playa Larga (invasión de Bahía de Cochinos, Cuba) de 1200 miembros de la Brigada, enviada por el presidente estadounidense John F. Kennedy, formada por mercenarios anticastristas cubanos armados y entrenados por la CIA.
Dados un triángulo ABC y un punto D sobre BC, se concideran los puntos Ba y Ca sobre AB y AC, respectivamente, tales que DBBa y DCCa son triángulos isósceles con cúspide D.
Cuando D varía sobre BC el lugar geométrico de D', inverso de D en la circunferencia (ABaCa), es una
parábola
(Ecuación baricéntrica:
(-a^4 b^2 c^2+a^2 b^4 c^2+a^2 b^2 c^4) x^2+(-a^4 b^2 c^2+a^2 b^4 c^2-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+2 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8) x y+(-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^4 b^2 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+a^2 b^2 c^4-b^4 c^4) x z+(-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-2 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^4 c^2+4 b^6 c^2-a^4 c^4-2 a^2 b^2 c^4-6 b^4 c^4+2 a^2 c^6+4 b^2 c^6-c^8) y z = 0)
𝒫a que pasa por B y C, con foco X143 (centro de la del ).
Tomando un punto variable sobre CA y procediendo de forma similar, se obiene una parábola, 𝒫b, también con foco X143. Lo mismo ocurre con la parábola 𝒫c, que se obtiene cuando el punto variable se toma sobre el AB.
Se denota por A' el otro punto real de intersección (está sobre la altura por A) de las parábolas 𝒫b y 𝒫c. Similaramente, se definen los puntos B' y C'.
A' = (a^2 (a^2+b^2-c^2) (-b^6+(-a^2+c^2)^2 (a^2+c^2)+b^4 (3 a^2+c^2)-b^2 (3 a^4+c^4)) :
(a^2+b^2-c^2) (a^2 (-a^2+c^2)^3+b^6 (a^2+c^2)-b^4 (3 a^4+a^2 c^2+2 c^4)+b^2 (3 a^6-3 a^4 c^2-a^2 c^4+c^6))
:
(a^2-b^2+c^2) (a^2 (-a^2+c^2)^3+b^6 (a^2+c^2)-b^4 (3 a^4+a^2 c^2+2 c^4)+b^2 (3 a^6-3 a^4 c^2-a^2 c^4+c^6))).
Los triángulos ABC y A'B'C' son y el centro ortológico de ABC respecto A'B'C' es X184, inverso del centro de la respecto a la .
El punto fijo de la transformación afín, σ, que aplica ABC en A'B'C' es X51, el baricentro del .
σ((x:y:z)) = (a^2 (a^4 (2 b^2 c^6 y-3 c^8 y-3 b^8 z+2 b^6 c^2 z+b^4 c^4 (-2 x+y+z))+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (c^4 y+b^4 z-2 b^2 c^2 (x+y+z))-a^8 (c^4 y+b^4 z+b^2 c^2 (x+y+z))+b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 (-2 b^2 c^2 (y+z)+b^4 (x+y+z)+c^4 (x+y+z))+a^6 (3 c^6 y+3 b^6 z+b^4 c^2 (2 x+2 y+z)+b^2 c^4 (2 x+y+2 z))):...:...).
Algunos pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, para los índices {i, j}: {25,18390}, {51,51}, {154,18376}, {161,18381}, {184,4}, {647,16229}, {1495,13851}, {15451,23290}, {17434,18314}.
- Jueves, 14 de abril del 2022
Las cúbicas K033, K317, K365
El 14 de abril de 1897 nació Edgardo Donato, director de orquesta, compositor y violinista argentino considerado una importante figura vinculado al Tango. Como compositor se le recuerda especialmente como autor de la música del tango "A media luz" que es una de las tres obras del género más grabadas y difundidas en el mundo.
Dados un triángulo ABC, con incentro I=X(1), y un punto P, sea DEF el de P. La perpendicular por D a BI corta a CI en Ab y la perpendicular por D a CI corta a BI en Ab. Se definen cíclicamente los puntos Bc, Ba y Ca, Cb.
Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas AbAc, BcBa, CaCb.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC:
Ab = (a v : b v : (a + b) w - c (v + w)),
Ac = (a w : a v + c v - b (v + w) : c w).
AbAc: (a^2 v w - (b - c) (v + w) (-c v + b w) - a (c v^2 + b w^2)) x +
a w (-(a + b) w + c (2 v + w)) y + a v (-a v - c v + b (v + 2 w)) z=0.
Las rectas AbAc, BcBa, CaCb son concurrentes si y solo si P está sobre la séxtica de ecuación:
(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) x^2 y^2 z^2 -
𝔖abc xyz
y z (a^2 (a+b+c) y^2 z^2-x^3 (c (a^2-a b+(2 b-c) (b+c)) y+b (a^2-a c-(b-2 c) (b+c)) z)) = 0.
A' = (a^4 v (u+v) w (u+w)-(b-c) (b+c)^2 u^2 (b (u+v) w-c v (u+w))-a (b^2-c^2) u (u+v+w) (-b (u+v) w+c v (u+w))-a^3 u (u+v+w) (b (u+v) w+c v (u+w))+a^2 (b^2 (u+v) w (u^2-u v-v w)+c^2 v (u+w) (u^2-u w-v w)+b c (2 v^2 w^2+u^3 (v+w)+2 u v w (v+w)+2 u^2 (v^2+w^2))) :
b (-a^3 v (u+v) w^2+a^2 u (b (u+v) w^2+c v (-u v+2 u w+w^2))+a (b^2 v (u+v) w^2+c^2 v (u+v) w^2-2 b c (u+w) (v^2 w+u^2 (-v+w)+u v (-v+w)))-(b+c) u (b^2 (u+v) w^2+c^2 v (-u v+2 u w+w^2)+b c (2 u^2 (v-w)-2 v w^2+u (v^2-2 v w-w^2)))):
c (-a^3 v^2 w (u+w)+a^2 u (c v^2 (u+w)+b w (2 u v+v^2-u w))+a (b^2 v^2 w (u+w)+c^2 v^2 w (u+w)-2 b c (u^3 (v-w)+u v^2 w+v^2 w^2+u^2 (v^2-w^2)))-(b+c) u (c^2 v^2 (u+w)+b^2 w (2 u v+v^2-u w)-b c (2 u^2 (v-w)+2 v^2 w+u (v^2+2 v w-w^2)))).
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son perspectivo, con centro de perspectividad
Q, si y solo si
P está sobre cúbica
K365 (catálogo de Bernard Gibert).
Pares {P=Xi, Q=Xj}, para los índices: {1, 256}, {2, 1}, {7, 2}, {174, 1128}.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son si y solo si
P está sobre la cúbica
K317.
El centro de ortología U, de ABC respecto a A'B'C', queda sobre la cúbica K033.
Si V es el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC, se tienen las siguientes ternas:
{P=Xi, U=Xj, V=Xk}, para los índices {i, j, k}: {1, 1, 9840}, {2, 8, 10}, {7, 4, 3}, {21, 72, *}, {29, 39130, *}, {77, 40, *}, {81, 65, *}, {86, 10, *}, {41081, 44692, *}, {41083, 5930, *}, {41084, 3176, *}.
Cuando P es el incentro, baricentro o , los triángulos ABC y A'B'C' son y la recta de Sondat es, respectivamente, la recta X1X256
( de X37137),
la y la .
- Martes, 12 de abril del 2022
X(18381) como centro ortológico
Interpretando la publicación del "Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo" como un acto de desacato a la prohibición de divulgar el copernicanismo, Galileo Galilei fue reclamado a Roma, para que respondiera de sus ideas ante el Santo Oficio en un proceso que se inició el 12 de abril de 1633, que concluirá con la condena a prisión perpetua. La pena fue suavizada al permitírsele que la cumpliera en su quinta de Arcetri.
Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X4, sean el y A'B'C' el . La recta HMa corta a la paralela por A a BC en D. La circunferencia (A'DMa) vuelve a corta a AA' en A''. Sea Ao el centro de la circunferencia (AA"D). Los puntos Bo y Co se definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y son . Su centro de perspectividad es X64, el centro ortológico de ABC respecto a es X264 y el centro ortológico de respecto a ABC es X18381.
- Jueves, 7 de abril del 2022
Una propiedad de la cúbica de Darboux
El 7 de abril de 1889 nació Gabriela Mistral, poeta, diplomática, profesora y pedagoga chilena. Por su trabajo poético, recibió el premio Nobel de Literatura en 1945. Fue la primera mujer iberoamericana y la segunda persona latinoamericana en recibir un premio Nobel. Previo a Gabriela Mistral, solo un latinoamericano había recibido el premio Nobel: Carlos Saavedra Lamas, quien obtuvo el premio Nobel de la Paz en 1936.
Dados un triángulo ABC y un punto P, la perpendicular por P a AB corta a la perpendicular por B a BC en Ab, y la perpendicular por P a AC corta a la perpendicular por C a BC en Ac. La recta AbAc corta a BC en A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricentricas de P, respecto a ABC, entonces:
A' = (0 : (a^2-c^2) v+b^2 (2 u+v) : (-a^2+b^2) w-c^2 (2 u+w)).
Los puntos
A', B', C' están alineados si y solo si
P está sobre la
cúbica de Darboux.
- Lunes, 28 de marzo del 2022
Una propiedad de la cúbica K327
El 28 de marzo de1941
se suicidó (a los 59 años) arrojándose al río Ouse con los bolsillos cargados de piedras Adeline Virginia Stephen, de casada Virginia Woolf, ensayista y escritora británica, a causa de una enfermedad mental hoy conocida como Trastorno Bipolar de la Personalidad.
Con ocho novelas escritas y más de una treintena de libros de otros géneros, Virginia Woolf es una de las escritoras más influyentes de la literatura en el siglo XX y quien más defendió los derechos de las mujeres a través de sus textos.
Dados un triángulo ABC y un punto P, no situado sobre sus lados, sean DEF el de P y A' el punto fijo finito de la transformación afín σa, que aplica ABC en PEF.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P entonces:
σa(x:y:z) = (u (u+v) (u+w) x+u (u+v) (u+v+w) y+u (u+w) (u+v+w) z : v (u+v) (u+w) x+v (u+w) (u+v+w) z : (u+v) w (u+w) x+(u+v) w (u+v+w) y).
A'=(u(u+v+w) : -v (u+w) : w(u+ v)).
Los puntos fijos finitos B', C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes en Q, del baricentro y P.
Los puntos
A', B', C' están alineados si y solo si
P está sobre la cúbica de Tucker-Poncelet,
K327.
Los triángulos ABC y A'B'C' son si y solo si P está sobre la séxtica de ecuación baricéntrica:
𝔖abc xyz
y z (4 (b^2-c^2) x^4-2 (b^2-c^2) y^2 z^2-x^3 ((3 a^2-7 b^2+5 c^2) y+(-3 a^2-5 b^2+7 c^2) z)-2 y z ((a^2+b^2-c^2) y^2+(-a^2+b^2-c^2) z^2)) = 0.
El baricentro y X253 ( del ) son puntos sobre esta curva.
• Cuando P es el baricentro el centro ortólogico de ABC respecto a A'B'C' es el ortocentro y el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC es X3090, del punto medio del circuncentro y el centro de la , respecto al baricéntro y el punto de De Longchamps.
• Si P=X253 el centro ortólogico de A'B'C' respecto a ABC es el ortocentro y el centro ortólogico de ABC respecto a A'B'C' es:
Z = ( (a^4-(b^2-c^2)^2) (3 a^4-(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) (7 a^8-16 a^6 (b^2+c^2)+8 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (5 b^4+6 b^2 c^2+5 c^4)+a^4 (6 b^4+20 b^2 c^2+6 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.69699070182494, 1.82035604935778, 1.13565304689441).
Es la reflexión de X4 en X6621.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {154,15005}, {459,17845}, {1249,34286}, {1498,36965}, {3183,34782}, {33702,33893}.
- Sábado, 26 de marzo del 2022
Una propiedad de la cúbica K184
El 24 de marzo de 1827
falleció el compositor alemán y genio de la música clásica, Ludwing van Beethoven, considerado como el principal precursor de la transición del clasicismo al romanticismo. Dejó una prolífica obra entre las que cabe citar sus 9 sinfonías, 7 conciertos, 32 sonatas para piano y su ópera "Fidelio".
Dado un triángulo ABC y un punto P, no situado sobre sus lados; sean DEF el de P y D', E', F' los puntos en los que la de P cortan a los lados BC, CA, AB, respectivamente.
Si (u:v:w) son las coordenada baricéntricas de P, la imagen de un punto mediante la transformación afín σa,
que aplica ABC en DE'F' es:
σa(x:y:z) = (u (v+w) (-v y-w z+u (y+z)) : v (u-w) (u x-w z-v (x+z)) : (u-v) w (u x-v y-w (x+y))).
Su punto fijo finito es A'=(u (v+w) : v (u-w) : (u-v) w).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son ortológicos si y solo si
P está sobre la cúbica
K184.
Si U es el centro ortológico de ABC respecto a A'B'C' y si V es el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC, cuando P está sobre K148, se tienen la siguientes ternas:
{P=Xi, U=Xj, V=Xk} para los índices {i, j, k}: {2, 4, 4}, {69, 3, 20}, {75, 946, 1}, {76, 5, 3}, {85, 6245, 84}, {264, 6247, 64}, {312, 10, 40}, {15466, 2883, 1498}, {34403, 33546, 3346}, {34404, W, 3345}, {40702, 6260, 1490}.
W es el punto medio de ortocentro y X(3345), siendo
X(3345) la reflexión en el circuncentro del de la reflexión del conjugado isogonal de .
W es, también, la reflexión del del en el centro de la del incentro y el .
W = (a^9 (b+c) + 3 a^8 (b-c)^2
-4 a^6 (b-c)^2 (2 b^2+3 b c+2 c^2)
-6 a^5 (b-c)^2 (b+c)^3
+2 a^4 (b^2-c^2)^2 (3 b^2+4 b c+3 c^2)
+8 a^3 (b-c)^2 (b+c)^3 (b^2+c^2)
-4 a^2 b (b-c)^2 c (b+c)^4
-a (b-c)^2 (b+c)^3 (3 b^4+10 b^2 c^2+3 c^4)
-(b-c)^4 (b+c)^6
: ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(4.93830161669823, 3.72122840146169, -1.21478669604213).
Es el punto medio de X4 y X3345.
Es la reflexión de X37818 en X1125 (una construcción de X(1125) ha sido dada por Antreas Hatipolakis y Angel Montesdeoca en Hyacinthos #24185).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3182}, {3,3452}, {4,282}, {5,20205}, {10,2883}, {142,40657}, {226,7498}, {908,27402}, {937,34546}, {946,6523}, {1034,3347}, {1125,37818}, {2184,40836}, {5908,7682}, {7070,21075}, {9612,37276}.
- Jueves, 24 de marzo del 2022
El centro X(18221) como punto fijo de una transformación afín
El 24 de marzo de 1905 falleció Julio Verne, escritor francés considerado el padre de la ciencia ficción, que describió en sus obras multitud de inventos y logros científicos posteriores a su época, como cohetes espaciales, submarinos, helicópteros o misiles dirigidos.
Dado un triángulo ABC con incentro I=X1, sean A'B'C' el , con ortocentro X65, y Ta el punto de tangencia de la circunferencia circunscrita con la .
Sea D el punto de intersección de la recta ITa con la perpendicular por A' a B'C'. Los puntos E y F se definen cíclicamente. DEF es el de A'B'C'.
En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC:
D = (a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) : b (a + b - c) (-a^2 + a (b + c) +
2 c (b + c)) : c (a - b + c) (-a^2 + a (b + c) + 2 b (b + c))).
Los triángulos ABC y DEF son . El centro de ortología de ABC respecto a DEF es el incentro y el centro de ortología de DEF respecto a ABC es X942, punto medio de X1 y X65.
El punto fijo finito de la transformación afín σ, que aplica
ABC en
DEF es
X18221, punto medio de X
65 y X
13867. Los puntos fijos en la recta del infinito son los de interseccion con la
X(13867) = POINT BEID 149
Let ABC be a triangle and A'B'C',IaIbIc the pedal, antipedal triangles of I, resp.
Denote:
A",B",C" = the antipodes of A', B', C', in the incircle, resp.
If Ra is the the radical center of incircle and circumcircle of IA"Ia, and define Rb, Rc cyclically.
Ra, Rb , Rc concur in a point in X(13867).
See Antreas Hatzipolakis and Angel Montesdeoca,
Hyacinthos 26354 (Jul 14, 2017).
X=(x:y:z) ↦ σ(X) =
(a ((-a^2+(b-c)^2) (b+c) x- (-b^3+2 a b c+2 b^2 c+b c^2-2 c^3+a^2 (b+2 c)) y- (-2 b^3+2 a b c+b^2 c+2 b c^2-c^3+a^2 (2 b+c)) z) : ... : ...).
Pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, para los índices {i, j}:
{1, 942}, {2, 5902}, {3, 31870}, {4, 5884}, {7, 5728}, {8, 65}, {10,
31794}, {20, 4}, {40, 7686}, {65, 6738}, {69, 32118}, {100, 12736},
{144, 4312}, {145, 1}, {149, 11570}, {188, 31768}, {193, 24248},
{390, 7}, {511, 29057}, {512, 6002}, {513, 3667}, {514, 3309}, {515,
6001}, {516, 971}, {517, 515}, {518, 516}, {519, 517}, {521, 522},
{522, 513}, {523, 6003}, {527, 15726}, {528, 2801}, {536, 29353},
{537, 29349}, {664, 11028}, {674, 29069}, {726, 15310}, {734, 28913},
{740, 511}, {758, 30}, {760, 28845}, {776, 3414}, {830, 28481}, {891,
28521}, {900, 2827}, {918, 2820}, {926, 812}, {942, 17706}, {944,
946}, {952, 2800}, {962, 1071}, {1043, 35650}, {1317, 18240}, {1320,
5083}, {1482, 12005}, {1897, 12016}, {2136, 5836}, {2550, 30329},
{2800, 2829}, {2802, 952}, {2804, 3738}, {3057, 4298}, {3100, 1876},
{3146, 15071}, {3152, 1844}, {3189, 10}, {3241, 354}, {3243, 5572},
{3244, 5045}, {3307, 3307}, {3308, 3308}, {3332, 5751}, {3434,
18389}, {3476, 11019}, {3486, 3671}, {3600, 938}, {3621, 5903},
{3623, 18398}, {3633, 9957}, {3667, 30198}, {3680, 34791}, {3738,
900}, {3810, 6004}, {3811, 34339}, {3868, 950}, {3869, 4292}, {3872,
5173}, {3874, 12433}, {3877, 553}, {3878, 24470}, {3880, 519}, {3885,
10106}, {3886, 24471}, {3887, 2826}, {3900, 514}, {3903, 24472},
{3907, 512}, {3910, 830}, {3913, 3754}, {4083, 28470}, {4160, 1499},
{4293, 5722}, {4297, 5806}, {4511, 18838}, {4560, 7178}, {4843,
15309}, {5274, 18419}, {5441, 11544}, {5541, 6797}, {5697, 18990},
{5698, 30424}, {5853, 518}, {5854, 2802}, {5855, 28521}, {5882,
13374}, {5903, 37730}, {6004, 28576}, {6182, 28846}, {6223, 17649},
{6224, 11}, {6361, 31673}, {6362, 42325}, {6366, 3887}, {6737,
37544}, {6765, 31788}, {7674, 2550}, {7971, 18238}, {7972, 1387},
{7982, 12675}, {8000, 18241}, {8058, 521}, {8676, 29013}, {8678,
28478}, {8710, 8712}, {9021, 29050}, {9041, 9519}, {9052, 29054},
{9802, 17660}, {9965, 3586}, {10538, 1875}, {10698, 15528}, {10912,
3881}, {11041, 14563}, {11523, 9943}, {12437, 3812}, {12536, 72},
{12541, 3555}, {12632, 8}, {12640, 10107}, {12646, 5571}, {13100,
18244}, {13199, 6246}, {14077, 28292}, {14450, 17637}, {14839,
28850}, {15680, 79}, {15733, 527}, {16496, 12722}, {17496, 21185},
{17784, 18391}, {18221, 18221}, {18481, 18483}, {19994, 24464},
{20007, 3339}, {20011, 4424}, {20013, 46}, {20014, 5697}, {20015,
2093}, {20018, 986}, {20035, 5264}, {20037, 982}, {20039, 4694},
{20040, 3670}, {20041, 3953}, {20050, 3057}, {20066, 3585}, {20067,
3583}, {20070, 5691}, {20075, 1478}, {20076, 1479}, {20077, 24851},
{20082, 15430}, {20085, 11571}, {20095, 80}, {20184, 29365}, {20222,
40950}, {20294, 43923}, {22836, 5885}, {22837, 6583}, {23880, 6005},
{24349, 21746}, {24394, 524}, {25416, 46681}, {26726, 12735}, {28292,
30199}, {28503, 6089}, {28581, 29311}, {28850, 2808}, {29016, 916},
{29270, 28216}, {29350, 28475}, {30201, 8058}, {30202, 2832}, {30333,
39794}, {30334, 39795}, {31730, 16616}, {31888, 16118}, {34195,
10122}, {34377, 33957}, {34378, 29291}, {34772, 13750}, {34791,
6744}, {34860, 20014}, {35057, 523}, {35104, 740}, {36977, 12053},
{37256, 37702}, {37435, 10399}, {37727, 13464}, {38460, 5570},
{39471, 2849}, {41863, 12710}, {42871, 20116}, {43161, 5805}, {44661,
1503}, {44663, 28164}, {44669, 758}.
- Miércoles, 23 de marzo del 2022
Una cónica tangente a la recta de Euler y al eje órtico
En el 46 aniversario del nacimiento de mi hija Marta
Dados un triángulo ABC y un punto P. Sea DEF el de P.
La circunferencia (ABD) vuelve a cortar a AC en Db y la circunferencia (ACD) vuelve a cortar a AB en Dc.
Sea dB la tangente en B a la circunferencia que pasa por B, el punto medio de AD y el punto medio de CDc. Así mismo, sea dC la tangente en C a la circunferencia que pasa por C, el punto medio de AD y el punto medio de BDb.
Consideremos los puntos A1=dB ∩ dC, Ab=AC ∩ dB y Ac= AB ∩ dC. Se definen cíclicamente, B1, C1;
Bc, Ba y Ca, Cb.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC,
Db = (-a^2 v : 0 : a^2 v-b^2 (v+w)),
Dc = (-a^2 w : a^2 w-c^2 (v+w) : 0).
dB: (a^2 w - c^2 (v + w)) x - a^2 v z =0,
dC: (a^2 v - b^2 (v + w)) x - a^2 w y =0.
A1 = (-a^2 v w : v (-a^2 v+b^2 (v+w)) : w (-a^2 w+c^2 (v+w))).
Ab = (a^2 v : 0 : a^2 w - c^2 (v + w)),
Ac = (-a^2 w : -a^2 v+b^2 (v+w) : 0).
Las rectas
AA' BB', CC' son concurrentes en
Q, sobre la
cúbica de Lemoine, y los seis puntos
Ab,
Ac,
Bc,
Ba,
Ca,
Cb están sobre una misma cónica, con centro
Po en el , si y solo si
P está sobre la o sobre la .
Si P se mueve sobre la hipérbola de Jerabek y P* es su conjugado isogonal (sobre la ), entonces la recta P*Po envuelve una
cónica
(
𝔖abc xyz
b^2 c^2 (-b^4+c^4+a^2 (b^2-c^2))^2 (4 a^12+24 a^8 b^2 c^2-8 a^10 (b^2+c^2)+8 a^2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^4-c^4)^2+8 a^6 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)-4 a^4 (b^8+2 b^6 c^2-7 b^4 c^4+2 b^2 c^6+c^8)) x^2-2 a^2 b^2 (a^2-b^2) c^2 (a^2-c^2) (a^14+6 a^10 b^2 c^2-2 a^12 (b^2+c^2)-2 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)+2 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^6+c^6)+2 a^8 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)+a^6 (-3 b^8+6 b^6 c^2-5 b^4 c^4+6 b^2 c^6-3 c^8)+a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^8-8 b^6 c^2+11 b^4 c^4-8 b^2 c^6+2 c^8)) y z = 0.
)
𝒞, tangente a la recta de Euler en X7482 y al eje órtico en X2489.
Su centro es:
W = ( a^2 (b^2-c^2) (3 a^8-b^8-2 b^6 c^2+4 b^4 c^4-2 b^2 c^6-c^8-4 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (-2 b^4+9 b^2 c^2-2 c^4)+a^2 (4 b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+4 c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-4.06521147664874, 1.37700216833009, 4.56360673920912).
Es el punto medio de de X23 y X647; es decir, el punto medio del inverso del baricentro en la circunferencia circunscrita y al centro de perspectividad de ABC y el de la hipérbola de Jerabeck.
Es la reflexión de X30476 en X468, es decir el simétrico de del centro de la de la hipérbola de Jerabeck respecto al punto de intersección de la recta de Euler y el eje órtico.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {23,647], {25,33752}, {30,44560}, {351,11616}, {468,30476}, {511,42654}, {512,32237}, {523,8651}, {525,15448}, {850,37760}, {2485,40350}, {7426,23878}, {7493,18312}, {7575,30209}, {8675,32217}, {9030,32218}, {11176,39509}, {22264,29012}, {31174,37907}, {36900,37909}, {44564,44820}, {44810,46425}.
El de la cónica 𝒞 es:
Z = ( a^2/((b^2 - c^2)^3 (-a^2 + b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-0.0545497457641787, 0.0409043194689805, 3.63752291262778).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,18020}, {25,250}, {112,45773}, {184,9513}, {249,394}, {275,39295}, {2396,4235}, {2421,14590}, {4590,34254}, {6331,40866}, {11547,18879}, {14366,36176}.
Las rectas AbAc, BcBa, CaCb son paralelas, para todo punto P sobre la hipérbola de Jerabek. Sea P' el punto de infinito determinado por su dirección.
La envolvente de la recta P*P' y es la parábola 𝒫, de foco el y directriz la recta que pasa por el circuncentro y por el conjugado isogonal del punto del infinito de la recta de Euler.
Están sobre esta parábola los centros X46608 (polo de la recta X74X476 respecto a la circunferencia circunscrita a ABC, (X476, X74)) y X16329 (polo de la recta X110X476 respecto a la circunferencia circunscrita a ABC, crosspoint (X476, X110)) . La parábola 𝒫 es bitangente a la cónica lugar geométrico de crosspoint (X476, M), cuando M recorre la su directriz,
X74X110.
Nota:
Todas las parábolas con foco F, en la circunferencia circunscrita, y directriz d pasando por el circuncentro cuya dirección es perpendicular a la del conjugado isogonal de F, son bitangentes a la cónica crosspoint (F,d). Las tangentes comunes se cortan en el circuncentro. Los puntos de tangencia son crosspoint(F,P1) y crosspoint(F,P2), siendo P1 y P2 los puntos de intersección de d con la circunferencia circunscrita.
El lugar geométrico del punto de intersección de la directriz d con la tangente en F a la circunferencia circunscrita es la cúbica K723.
La parábola 𝒫F coincide con la cónica crosspoint(F,d) cuando F es X100 ( del ) o con sus ,
V1 = (a (a + b) (a + c) : -b (a + b) (b - c) : (b - c) c (a + c)),
V2 = (a (a + b) (a - c) : -b (a + b) (b + c) : -(a - c) c (b + c)),
V3 = (a (a - b) (a + c) : -(a - b) b (b + c) : -c (a + c) (b + c)).
- Domingo, 14 de marzo del 2022
Otra caracterización de las cúbicas de Deléham
El 14 de marzo de 1883 murió en Londres el político revolucionario y filósofo alemán Karl Marx, autor del "Manifiesto Comunista" y "El Capital" junto a su amigo y colaborador Friedrich Engels, que publicará los tomos II y III de "El Capital" en 1885 y 1894 respectivamente.
Dados un triángulo ABC y un punto P, c(P) es la cónica circunscrita con centro P. Sea U punto (no situado en la ), la paralela por U a BC corta a la tangente en A a c(P) en Ua. Los puntos Ub y Uc se definen cíclicamente.
El lugar geométrico del punto U, tal que los puntos Ua, Ub, Uc están alineados en una recta ℓU, es la cónica circunscrita, ct(P), al de c(P), que pasa por P y por G/P ( de c(P)).
Si (p:q:r) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC, la ecuación de c(P) es:
p (-p + q + r) y z+ q (p - q + r) z x + r(p + q - r) x y = 0.
La paralela por U=(u:v:w) al lado BC corta TbTc en:
Ua = (u(q - r) (-p + q + r) : -q (p - q + r) (v + w) : r(p + q - r) (v + w)).
Cíclicamente, se obtienen las coordenadas de Ub y Uc. Estos tres puntos están alineados cuando está sobre la cónica
ct(P) : (q^2 r-q r^2) x^2+(-p^2 r+p r^2) y^2+(p^2 q-p q^2) z^2=0,
que pasa por Ta=(p (p - q - r) : q (p - q + r) : r(p + q - r)), Tb=(p (p - q - r) : q (p - q + r) : r (-p - q + r)), Tc=(p (-p + q + r) : q (p - q + r) : r (-p - q + r)), P=(p:q:r) y G/P=(p (-p + q + r) : q (p - q + r) : r(p + q - r)).
Para obtener un punto genérico de la cónica ct(P), se puede utilizar el hecho de que una cónica es el lugar geométrico de los puntos de intersección de rayos homólogos de la proyectividad entre haces de rectas (cónica en el sentido de Steiner). En este caso, tomando como puntos bases P y G/P y tres pares de rectas homólogas que se cortan en Ta, Tb y Tc, se obtiene una parametrización de ct(P):
(p (-p r+r^2+p q t^2-q^2 t^2) : q (-(r-q t)^2+p (r-2 r t+q t^2)) : r ((r-q t)^2-p (r+q (-2+t) t))).
El polo de la recta ℓU, respecto a c(P) es:
Up = (p^2 (p - q - r) (t-1) t : -(p - q + r) (-r + q t) (p - r +
q t) : -(p + q - r) t (r + (p - q) t) (-r + q t)).
El lugar geométrico del polo
Up de la recta ℓ
U respecto a c(
P), cuando
U recorre ct(
P), es la cúbica (
cúbica de Deléham de P)
Del(P): 2 (p-q) (-p+r) (q-r)x y z +
𝔖pqr xyz
p^2 (q+r-p)y z(y-z) = 0.
con punto doble
P.
Deléham cubics
Consider a fixed point P = p : q : r and a variable point M. Denote by A', B', C' the midpoints of ABC. The lines AM and PA' meet at Ma. Mb and Mc are defined similarly. These points Ma, Mb, Mc are collinear on a line L if and only if M lies on the Deléham cubic Del(P). Del(P) is therefore a special case of Grassmann cubic. Here, the line L envelopes the inscribed parabola (P) whose perspector S = 1 / [(q-r)(q+r-p)] : : is the isotomic conjugate of W, the infinite point of the trilinear polar of Q = anticomplement of P. Thus, S lies on the Steiner ellipse. The focus of (P) is naturally F, the isogonal conjugate of W. The trilinear polar Ls of S passes through G and the isotomic conjugate of the anticomplement of P.
An easy (with ruler only) construction of Del(P) is the following : for any point N on Ls, the trilinear polar of N meets PA', PB', PC' at Na, Nb, Nc. The lines ANa, BNb, CNc concur on Del(P).
Cuando el punto M, descrito en esta referencia, es Up, las rectas L=ℓUp y ℓU son paralelas. El triángulo de vértices
A'=UbMb∩UcMc,
B'=UcMc∩UaMa,
C'=UaMa∩UbMb,
es perspectivo a , pues
Ua, Ub, Uc están alineados. Sea W el centro de perspectividad.
En términos del parámetro "t", usado arriba, se tiene cuando U se mueve sobre ct(P) y Up se mueve sobre Del(P):
Ua = (p (-p+q+r) (-p r+r^2+p q t^2-q^2 t^2) : -q (-p+q-r) ((r-q t)^2-p (r+q t^2)) : (p+q-r) r (-(r-q t)^2+p (r+q t^2))),
Ma = (p (-1+t) (p^2 (1+t)-(q-r) (-r+q t)-p (q+r t)) : (q-r) (-p+q-r) (p-r+q t) : (q-r) (p+q-r) t (-r+(-p+q) t)),
A' = (-p (p-q-r) ((q-r)^2 (r-q t)^4-2 p^3 q r (-1+t) (-r+q t^3)+p^4 (r^2+q^2 t^4+2 q r t (1-3 t+t^2))+2 p q r (-r^3 (-1+t)+q^3 (-1+t) t^3+q r^2 (-1+t^3)+q^2 r (t-t^4))+p^2 (-2 r^4-2 q^4 t^4+2 q r^3 (1+t+3 t^2-t^3)+2 q^3 r t (-1+3 t+t^2+t^3)+q^2 r^2 (1-4 t-6 t^2-4 t^3+t^4))) :
-q (p-q+r) (2 p r (-1+t) (r-q t)^2 (q^2+r^2-q r (1+t))-2 p^3 r (-1+t) (r^2+q^2 t^2-q r (1+t))+p^4 (2 q r (1-2 t) t+q^2 t^4+r^2 (-1+2 t))+(q-r) (-r+q t)^3 (r^2+q^2 t+q (r-3 r t))-p^2 (2 r^4 t-8 q r^3 t^2+2 q^4 t^4-2 q^3 r t (-1+2 t+t^2+2 t^3)+q^2 r^2 (-3+6 t+8 t^3+t^4))):
(p+q-r) r (-(q-r) (-r+q t)^3 (r^2+q r (-3+t)+q^2 t)-p^4 (r^2+2 q r (-2+t) t^2-q^2 (-2+t) t^3)+2 p q (-1+t) (r-q t)^2 (q^2 t+r^2 t-q r (1+t))-2 p^3 q (-1+t) t (r^2+q^2 t^2-q r t (1+t))+p^2 (2 r^4-8 q^3 r t^2+2 q^4 t^3+2 q r^3 (-2-t-2 t^2+t^3)+q^2 r^2 (1+8 t+6 t^3-3 t^4)))),
W = (p (p-q-r) ((q^2-r^2) (r-q t)^4-2 p^3 q r (-1+t^2) (r+q t^2)+2 p q r (-1+t^2) (r^3-q^2 r t-q r^2 t+q^3 t^2)+p^4 (-r^2+q^2 t^4+2 q r t (-1+t^2))+p^2 (2 r^4-2 q^4 t^4+q^2 r^2 (-1+t) (1+t)^3+2 q^3 r t (1+t^2)-2 q r^3 t (1+t^2))):
q (p-q+r) (2 p^3 (q-r) r^2 (1+t)-2 p (q-r) r^2 (1+t) (r-q t)^2+(q-r) (-r+q t)^3 (-r^2+q^2 t-q r (3+t))+p^4 (q^2 t^4-2 q r t (1+t)+r^2 (1+2 t))+p^2 (-2 r^4 t-2 q^4 t^4+2 q r^3 (1+2 t+3 t^2)+2 q^3 r t (1+t+3 t^2+t^3)-q^2 r^2 (3+4 t+6 t^2+6 t^3+t^4))):
-(p+q-r) r (-2 p^3 q^2 (q-r) t^3 (1+t)+2 p q^2 (q-r) t (1+t) (r-q t)^2+p^4 (r^2-2 q r t^2 (1+t)+q^2 t^3 (2+t))-(q-r) (-r+q t)^3 (-r^2+q^2 t+q (r+3 r t))+p^2 (-2 r^4-2 q^4 t^3+2 q^3 r t^2 (3+2 t+t^2)+2 q r^3 (1+3 t+t^2+t^3)-q^2 r^2 (1+6 t+6 t^2+4 t^3+3 t^4))).
El lugar geométrico de W es una cuártica, 𝒬 con punto doble P.
En particular, cuando P=X3 es el circuncentro, Del(O)=K009 cúbica de Lemoine. Si además, U=X3 (con lo que M=UUp=X4 es el ortocentro),
la cuártica 𝒬 contine a X43919.
- Domingo, 13 de marzo del 2022
Triángulos formados por directrices de parábolas
Anatoly Fomenko, nacido el 13 de Marzo de 1945, es un matemático soviético y ruso, Es el autor de la teoría de los invariantes topológicos de sistemas hamiltonianos integrables. Es experto en geometría y topología, cálculo variacional, topología simpléctica, geometría hamiltoniana y mecánica. Fomenko es un pintor e ilustrador cuyo trabajo a menudo representa objetos de las matemáticas, muchos relacionados con la topología .
Dado un triángulo ABC, con semiperímetro s, radios de las circunferencias inscrita y circunscrita r y R, incentro I=X1, y A'B'C', A"B"C" sus triángulos de y .
I.
Se considera la
parábola,
( Ecuación baricéntrica:
a^2 b^2 x^2-2 a b^3 x^2+b^4 x^2-2 a^2 b c x^2+2 a b^2 c x^2+a^2 c^2 x^2+2 a b c^2 x^2-2 b^2 c^2 x^2-2 a c^3 x^2+c^4 x^2+2 a^3 b x y-6 a b^3 x y+4 b^4 x y-2 a^3 c x y+4 a^2 b c x y+14 a b^2 c x y-16 b^3 c x y-4 a^2 c^2 x y-10 a b c^2 x y+24 b^2 c^2 x y+2 a c^3 x y-16 b c^3 x y+4 c^4 x y+a^4 y^2+2 a^3 b y^2-3 a^2 b^2 y^2-4 a b^3 y^2+4 b^4 y^2-2 a^3 c y^2+6 a^2 b c y^2+12 a b^2 c y^2-16 b^3 c y^2-3 a^2 c^2 y^2-12 a b c^2 y^2+24 b^2 c^2 y^2+4 a c^3 y^2-16 b c^3 y^2+4 c^4 y^2-2 a^3 b x z-4 a^2 b^2 x z+2 a b^3 x z+4 b^4 x z+2 a^3 c x z+4 a^2 b c x z-10 a b^2 c x z-16 b^3 c x z+14 a b c^2 x z+24 b^2 c^2 x z-6 a c^3 x z-16 b c^3 x z+4 c^4 x z-2 a^4 y z-6 a^2 b^2 y z+8 b^4 y z+12 a^2 b c y z-32 b^3 c y z-6 a^2 c^2 y z+48 b^2 c^2 y z-32 b c^3 y z+8 c^4 y z+a^4 z^2-2 a^3 b z^2-3 a^2 b^2 z^2+4 a b^3 z^2+4 b^4 z^2+2 a^3 c z^2+6 a^2 b c z^2-12 a b^2 c z^2-16 b^3 c z^2-3 a^2 c^2 z^2+12 a b c^2 z^2+24 b^2 c^2 z^2-4 a c^3 z^2-16 b c^3 z^2+4 c^4 z^2 = 0)
𝒫ae7, tangente a las bisectrices exteriores en B y C, y tangente a AA' en A'.
Para la construcción de esta parábola podemos ver, por ejemplo, (1P4T1)1 (Paris Pamfilos.- A Gallery of Conics by Five Elements, p.346,
§13.2.); o bien, teniendo en cuenta que su eje es perpendicular a BC, ItttCp (Angel Monteseoca.- Construcción de cónicas).
Se puede obtener su ecuación considerando el haz de cónicas bitangentes:
AA' · [recta del infinito] + λ (A'[punto del infinito de la perpendicular a BC])^2.
Es decir, ((-a+b-c) y+(a+b-c) z)(x+y+z)+λ((b-c) (-a+b+c) x+a (a-b+c) y-a (a+b-c) z)^2=0.
La cónica de este haz, que es tangente a la recta BIa, se obtiene para λ=1/(4 (b-c) (-a^2+b^2-2 b c+c^2)).
La parábola 𝒫ae7 es la envolvente de la recta d, construida como sigue:
Sea D un punto variable sobre la bisectriz interior en A. Sean Db y Dc las proyecciones ortogonales de D sobre AC y AB, respectivamente. Sean D'b y D'c las reflexiones de Db y Dc en las bisectrices en C y B, respectivamente. Sea D' el punto de intersección de las rectas DbD'cc y DcD'b. La recta ID' interseca a la perpendicular por D a BC en D1. Finalmente, tomamos el punto D'1, reflexión de D1 en D.
La envolvente de recta d=D'D'1, cuando D varía, es la parábola 𝒫ae7.
La directriz de la parábola 𝒫ae7 es:
da: (b^2 - 6 b c + c^2 - a (b + c)) x + (-a^2 + 2 (b - c)^2 -
a (b + c)) y + (-a^2 + 2 (b - c)^2 - a (b + c)) z =0.
Procediendo cíclicamente, resultan las parábolas 𝒫be7 y 𝒫ce7, así como sus directrices db y dc. Sea el triángulo formado por estas tres directrices.
Los triángulos
ABC y son homotéticos, con centro de homotecia
X21314 y razón de homotecia: 2 ((r + 4 R)^2 - s^2) /s^2.
Las tres parábolas 𝒫ae7, 𝒫be7 y 𝒫ce7 se cortan en dos puntos, sobre la .
W1, W2 = ((s-c)(s-b)(3a^4+2(b-c)^4-11a^3(b+c)-
9a(b-c)^2(b+c)+5a^2(3b^2+2b c+3c^2)
±
32r^2(r+4R) Sqrt[r^2+8r R+16R^2+s^2]):...:...),
que tienen números de búsqueda en
(0.787130828283412, 0.834488459505998, 2.69965055073404) y (21.5772605694612, 20.5344990382250, -20.5342628073843).
Las coordenadas de estos puntos se pueden expresar así:
W1, W2 = ((a+b-c) (a-b+c) (3 a^4-11 a^3 (b+c)+5 a^2 (3 b^2+2 b c+3 c^2)-9 a (b-c)^2 (b+c)+2 (b-c)^4
± 4 (-a^2+2 a (b+c)-(b-c)^2) Sqrt[-b (b-c)^2 c-a^3 (b+c)-a (b-c)^2 (b+c)+a^2 (2 b^2+b c+2 c^2)]) : ... : ...).
II.
Se considera la
parábola,
( Ecuación baricéntrica:
a^6 b^2 x^2-2 a^5 b^3 x^2-9 a^4 b^4 x^2+4 a^3 b^5 x^2+31 a^2 b^6 x^2+30 a b^7 x^2+9 b^8 x^2-2 a^6 b c x^2+2 a^5 b^2 c x^2+32 a^4 b^3 c x^2+4 a^3 b^4 c x^2-130 a^2 b^5 c x^2-166 a b^6 c x^2-60 b^7 c x^2+a^6 c^2 x^2+2 a^5 b c^2 x^2-46 a^4 b^2 c^2 x^2-8 a^3 b^3 c^2 x^2+225 a^2 b^4 c^2 x^2+286 a b^5 c^2 x^2+100 b^6 c^2 x^2-2 a^5 c^3 x^2+32 a^4 b c^3 x^2-8 a^3 b^2 c^3 x^2-252 a^2 b^3 c^3 x^2-150 a b^4 c^3 x^2+60 b^5 c^3 x^2-9 a^4 c^4 x^2+4 a^3 b c^4 x^2+225 a^2 b^2 c^4 x^2-150 a b^3 c^4 x^2-218 b^4 c^4 x^2+4 a^3 c^5 x^2-130 a^2 b c^5 x^2+286 a b^2 c^5 x^2+60 b^3 c^5 x^2+31 a^2 c^6 x^2-166 a b c^6 x^2+100 b^2 c^6 x^2+30 a c^7 x^2-60 b c^7 x^2+9 c^8 x^2+2 a^7 b x y-18 a^5 b^3 x y-20 a^4 b^4 x y+30 a^3 b^5 x y+72 a^2 b^6 x y+50 a b^7 x y+12 b^8 x y-2 a^7 c x y-4 a^6 b c x y+34 a^5 b^2 c x y+72 a^4 b^3 c x y-62 a^3 b^4 c x y-260 a^2 b^5 c x y-226 a b^6 c x y-64 b^7 c x y+4 a^6 c^2 x y-30 a^5 b c^2 x y-64 a^4 b^2 c^2 x y+108 a^3 b^3 c^2 x y+348 a^2 b^4 c^2 x y+290 a b^5 c^2 x y+80 b^6 c^2 x y+14 a^5 c^3 x y+24 a^4 b c^3 x y-156 a^3 b^2 c^3 x y-264 a^2 b^3 c^3 x y-34 a b^4 c^3 x y+64 b^5 c^3 x y-12 a^4 c^4 x y+118 a^3 b c^4 x y+96 a^2 b^2 c^4 x y-218 a b^3 c^4 x y-184 b^4 c^4 x y-38 a^3 c^5 x y+12 a^2 b c^5 x y+234 a b^2 c^5 x y+64 b^3 c^5 x y-4 a^2 c^6 x y-122 a b c^6 x y+80 b^2 c^6 x y+26 a c^7 x y-64 b c^7 x y+12 c^8 x y+a^8 y^2+2 a^7 b y^2-5 a^6 b^2 y^2-16 a^5 b^3 y^2-5 a^4 b^4 y^2+26 a^3 b^5 y^2+37 a^2 b^6 y^2+20 a b^7 y^2+4 b^8 y^2-10 a^7 c y^2+2 a^6 b c y^2+64 a^5 b^2 c y^2+36 a^4 b^3 c y^2-106 a^3 b^4 c y^2-134 a^2 b^5 c y^2-44 a b^6 c y^2+27 a^6 c^2 y^2-80 a^5 b c^2 y^2-94 a^4 b^2 c^2 y^2+196 a^3 b^3 c^2 y^2+203 a^2 b^4 c^2 y^2+4 a b^5 c^2 y^2-16 b^6 c^2 y^2+132 a^4 b c^3 y^2-180 a^3 b^2 c^3 y^2-244 a^2 b^3 c^3 y^2+68 a b^4 c^3 y^2-53 a^4 c^4 y^2+34 a^3 b c^4 y^2+251 a^2 b^2 c^4 y^2-68 a b^3 c^4 y^2+24 b^4 c^4 y^2+30 a^3 c^5 y^2-134 a^2 b c^5 y^2-4 a b^2 c^5 y^2+21 a^2 c^6 y^2+44 a b c^6 y^2-16 b^2 c^6 y^2-20 a c^7 y^2+4 c^8 y^2-2 a^7 b x z+4 a^6 b^2 x z+14 a^5 b^3 x z-12 a^4 b^4 x z-38 a^3 b^5 x z-4 a^2 b^6 x z+26 a b^7 x z+12 b^8 x z+2 a^7 c x z-4 a^6 b c x z-30 a^5 b^2 c x z+24 a^4 b^3 c x z+118 a^3 b^4 c x z+12 a^2 b^5 c x z-122 a b^6 c x z-64 b^7 c x z+34 a^5 b c^2 x z-64 a^4 b^2 c^2 x z-156 a^3 b^3 c^2 x z+96 a^2 b^4 c^2 x z+234 a b^5 c^2 x z+80 b^6 c^2 x z-18 a^5 c^3 x z+72 a^4 b c^3 x z+108 a^3 b^2 c^3 x z-264 a^2 b^3 c^3 x z-218 a b^4 c^3 x z+64 b^5 c^3 x z-20 a^4 c^4 x z-62 a^3 b c^4 x z+348 a^2 b^2 c^4 x z-34 a b^3 c^4 x z-184 b^4 c^4 x z+30 a^3 c^5 x z-260 a^2 b c^5 x z+290 a b^2 c^5 x z+64 b^3 c^5 x z+72 a^2 c^6 x z-226 a b c^6 x z+80 b^2 c^6 x z+50 a c^7 x z-64 b c^7 x z+12 c^8 x z-2 a^8 y z+8 a^7 b y z-2 a^6 b^2 y z-32 a^5 b^3 y z+2 a^4 b^4 y z+24 a^3 b^5 y z-6 a^2 b^6 y z+8 b^8 y z+8 a^7 c y z-44 a^6 b c y z+64 a^5 b^2 c y z+152 a^4 b^3 c y z-104 a^3 b^4 c y z-140 a^2 b^5 c y z-2 a^6 c^2 y z+64 a^5 b c^2 y z-340 a^4 b^2 c^2 y z+80 a^3 b^3 c^2 y z+518 a^2 b^4 c^2 y z-32 b^6 c^2 y z-32 a^5 c^3 y z+152 a^4 b c^3 y z+80 a^3 b^2 c^3 y z-744 a^2 b^3 c^3 y z+2 a^4 c^4 y z-104 a^3 b c^4 y z+518 a^2 b^2 c^4 y z+48 b^4 c^4 y z+24 a^3 c^5 y z-140 a^2 b c^5 y z-6 a^2 c^6 y z-32 b^2 c^6 y z+8 c^8 y z+a^8 z^2-10 a^7 b z^2+27 a^6 b^2 z^2-53 a^4 b^4 z^2+30 a^3 b^5 z^2+21 a^2 b^6 z^2-20 a b^7 z^2+4 b^8 z^2+2 a^7 c z^2+2 a^6 b c z^2-80 a^5 b^2 c z^2+132 a^4 b^3 c z^2+34 a^3 b^4 c z^2-134 a^2 b^5 c z^2+44 a b^6 c z^2-5 a^6 c^2 z^2+64 a^5 b c^2 z^2-94 a^4 b^2 c^2 z^2-180 a^3 b^3 c^2 z^2+251 a^2 b^4 c^2 z^2-4 a b^5 c^2 z^2-16 b^6 c^2 z^2-16 a^5 c^3 z^2+36 a^4 b c^3 z^2+196 a^3 b^2 c^3 z^2-244 a^2 b^3 c^3 z^2-68 a b^4 c^3 z^2-5 a^4 c^4 z^2-106 a^3 b c^4 z^2+203 a^2 b^2 c^4 z^2+68 a b^3 c^4 z^2+24 b^4 c^4 z^2+26 a^3 c^5 z^2-134 a^2 b c^5 z^2+4 a b^2 c^5 z^2+37 a^2 c^6 z^2-44 a b c^6 z^2-16 b^2 c^6 z^2+20 a c^7 z^2+4 c^8 z^2 = 0)
𝒫ae8, tangente a las bisectrices exteriores en B y C, y tangente a AA" en A".
Esta cónica es el miembro del haz bitangente
(x + y + z) ((-a - b + c) y + (a - b + c) z) +
λ ((b - c) (-a^3 +
3 b^3 - 7 b^2 c - 7 b c^2 + 3 c^3 + a^2 (b + c) +
a (5 b^2 - 6 b c + 5 c^2)) x + (a^4 + 4 (b - c)^3 (b + c) -
a^3 (b + 3 c) + a^2 (-b^2 + 2 b c + 3 c^2) +
a (5 b^3 - 3 b^2 c - 5 b c^2 + 3 c^3)) y + (-a^4 +
4 (b - c)^3 (b + c) + a^3 (3 b + c) +
a^2 (-3 b^2 - 2 b c + c^2) +
a (-3 b^3 + 5 b^2 c + 3 b c^2 - 5 c^3)) z)^2=0,
para λ = 1/(4 (b-c) (-a^6
+2 a^5 (b+c)+5 a^4 (b-c)^2-4 a^3 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3)
+a^2 (-7 b^4+20 b^3 c-10 b^2 c^2+20 b c^3-7 c^4)+2 a (b-c)^2 (b+c)^3
+(b^2-c^2)^2 (3 b^2-10 b c+3 c^2)
)).
La directriz de la parábola 𝒫ae8 es:
da: (-a^3 (b+c)+5 a (b-c)^2 (b+c)+a^2 (b+c)^2+(b-c)^2 (3 b^2-2 b c+3 c^2)) x-(a+b-c)^2 (a^2-2 (b-c)^2-a (b+c)) y-(a-b+c)^2 (a^2-2 (b-c)^2-a (b+c)) z =0.
Procediendo cíclicamente, resultan las parábolas 𝒫be8 y 𝒫ce8, así como sus directrices db y dc. Sea el triángulo formado por estas tres directrices.
Los triángulos ABC y son perspectivos, con centro de perspectividad:
Z2 = ( (a^2-2 (b-c)^2-a (b+c))/(a^6-2 a^5 (b+c)-a^4 (b^2-14 b c+c^2)
+4 a^3 (b^3-4 b^2 c-4 b c^2+c^3)
-a^2 (b^4+24 b^3 c-66 b^2 c^2+24 b c^3+c^4)
-2 a (b-c)^2 (b^3-7 b^2 c-7 b c^2+c^3)
+(b-c)^2 (b^4+12 b^3 c-10 b^2 c^2+12 b c^3+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-97.6156991455362, -98.3400742607269, 116.775653960350).
No existen rectas determinadas por centros que figuran actualmente en ETC que pasen por este punto.
III.
Se considera la
parábola,
( Ecuación baricéntrica:
a^2 b^2 x^2+2 a b^3 x^2+b^4 x^2-2 a^2 b c x^2-2 a b^2 c x^2+a^2 c^2 x^2-2 a b c^2 x^2-2 b^2 c^2 x^2+2 a c^3 x^2+c^4 x^2-2 a^3 b x y+6 a b^3 x y+4 b^4 x y+2 a^3 c x y+4 a^2 b c x y-14 a b^2 c x y-16 b^3 c x y-4 a^2 c^2 x y+10 a b c^2 x y+24 b^2 c^2 x y-2 a c^3 x y-16 b c^3 x y+4 c^4 x y+a^4 y^2-2 a^3 b y^2-3 a^2 b^2 y^2+4 a b^3 y^2+4 b^4 y^2+2 a^3 c y^2+6 a^2 b c y^2-12 a b^2 c y^2-16 b^3 c y^2-3 a^2 c^2 y^2+12 a b c^2 y^2+24 b^2 c^2 y^2-4 a c^3 y^2-16 b c^3 y^2+4 c^4 y^2+2 a^3 b x z-4 a^2 b^2 x z-2 a b^3 x z+4 b^4 x z-2 a^3 c x z+4 a^2 b c x z+10 a b^2 c x z-16 b^3 c x z-14 a b c^2 x z+24 b^2 c^2 x z+6 a c^3 x z-16 b c^3 x z+4 c^4 x z-2 a^4 y z-6 a^2 b^2 y z+8 b^4 y z+12 a^2 b c y z-32 b^3 c y z-6 a^2 c^2 y z+48 b^2 c^2 y z-32 b c^3 y z+8 c^4 y z+a^4 z^2+2 a^3 b z^2-3 a^2 b^2 z^2-4 a b^3 z^2+4 b^4 z^2-2 a^3 c z^2+6 a^2 b c z^2+12 a b^2 c z^2-16 b^3 c z^2-3 a^2 c^2 z^2-12 a b c^2 z^2+24 b^2 c^2 z^2+4 a c^3 z^2-16 b c^3 z^2+4 c^4 z^2 = 0)
𝒫ai8, tangente a las bisectrices interiores en B y C, y tangente a AA" en A".
Se puede obtener su ecuación considerando el haz de cónicas bitangentes:
AA" · [recta del infinito] + λ (A"[punto del infinito de la perpendicular a BC])^2.
Es decir, ((-a-b+c) y+(a-b+c) z) (x+y+z)+λ((b-c) (a+b+c) x+a (a+b-c) y-a (a-b+c) z)^2 =0.
La cónica de este haz, que es tangente a la recta BI, se obtiene para λ= 1/(4 (b-c) (a^2-b^2+2 b c-c^2)).
La directriz de la parábola 𝒫ai8 es:
da: (b^2-6 b c+c^2+a (b+c)) x+(-a^2+2 (b-c)^2+a (b+c)) y+(-a^2+2 (b-c)^2+a (b+c)) z =0.
Procediendo cíclicamente, resultan las parábolas 𝒫bi8 y 𝒫ci8, así como sus directrices db y dc. Sea el triángulo formado por estas tres directrices.
Los triángulos ABC y son homotéticos, con razón de homotecia: (2 (r (r+4 R)^2-(r+R) s^2))/(r s^2) y
con centro de homotecia:
Z3 = ((a + b - c) (a - b + c)(a^2 - a (b + c - 2 (b - c)^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(1.29313219302724, 2.02590710240934, 1.64128316807303).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1358}, {2,16078}, {7,3623}, {9,25729}, {57,279}, {65,21314}, {85,4554}, {226,29621}, {269,34039}, {348,31231}, {519,24797}, {594,29629}, {614,14078}, {966,4058}, {1323,1420}, {1565,9581}, {2098,4862}, {2551,20050}, {3175,29579}, {3240,3554}, {3247,21956}, {3340,10481}, {3622,4986}, {3633,3721}, {3663,14261}, {3665,9578}, {3674,4654}, {3676,23764}, {3679,24798}, {3772,16834}, {3913,4373}, {3950,5272}, {4085,19883}, {4089,5727}, {4360,5433}, {4405,17258}, {4452,5564}, {4473,26727}, {4643,17282}, {4668,6690}, {4859,6558}, {4902,16189}, {4947,41839}, {5025,16969}, {5793,17201}, {7185,9312}, {7321,27815}, {7736,26228}, {10389,40154}, {14087,28322}, {16712,36915}, {17095,17334}, {17255,33116}, {18135,42029}, {20073,39143}, {20196,26563}, {20691,29582}, {21139,23058}, {24800,42042}, {24801,42043}, {24805,25055}, {30617,43038}.
IV.
Se considera la
parábola,
( Ecuación baricéntrica:
a^6 b^2 x^2+2 a^5 b^3 x^2-9 a^4 b^4 x^2-4 a^3 b^5 x^2+31 a^2 b^6 x^2-30 a b^7 x^2+9 b^8 x^2-2 a^6 b c x^2-2 a^5 b^2 c x^2+32 a^4 b^3 c x^2-4 a^3 b^4 c x^2-130 a^2 b^5 c x^2+166 a b^6 c x^2-60 b^7 c x^2+a^6 c^2 x^2-2 a^5 b c^2 x^2-46 a^4 b^2 c^2 x^2+8 a^3 b^3 c^2 x^2+225 a^2 b^4 c^2 x^2-286 a b^5 c^2 x^2+100 b^6 c^2 x^2+2 a^5 c^3 x^2+32 a^4 b c^3 x^2+8 a^3 b^2 c^3 x^2-252 a^2 b^3 c^3 x^2+150 a b^4 c^3 x^2+60 b^5 c^3 x^2-9 a^4 c^4 x^2-4 a^3 b c^4 x^2+225 a^2 b^2 c^4 x^2+150 a b^3 c^4 x^2-218 b^4 c^4 x^2-4 a^3 c^5 x^2-130 a^2 b c^5 x^2-286 a b^2 c^5 x^2+60 b^3 c^5 x^2+31 a^2 c^6 x^2+166 a b c^6 x^2+100 b^2 c^6 x^2-30 a c^7 x^2-60 b c^7 x^2+9 c^8 x^2-2 a^7 b x y+18 a^5 b^3 x y-20 a^4 b^4 x y-30 a^3 b^5 x y+72 a^2 b^6 x y-50 a b^7 x y+12 b^8 x y+2 a^7 c x y-4 a^6 b c x y-34 a^5 b^2 c x y+72 a^4 b^3 c x y+62 a^3 b^4 c x y-260 a^2 b^5 c x y+226 a b^6 c x y-64 b^7 c x y+4 a^6 c^2 x y+30 a^5 b c^2 x y-64 a^4 b^2 c^2 x y-108 a^3 b^3 c^2 x y+348 a^2 b^4 c^2 x y-290 a b^5 c^2 x y+80 b^6 c^2 x y-14 a^5 c^3 x y+24 a^4 b c^3 x y+156 a^3 b^2 c^3 x y-264 a^2 b^3 c^3 x y+34 a b^4 c^3 x y+64 b^5 c^3 x y-12 a^4 c^4 x y-118 a^3 b c^4 x y+96 a^2 b^2 c^4 x y+218 a b^3 c^4 x y-184 b^4 c^4 x y+38 a^3 c^5 x y+12 a^2 b c^5 x y-234 a b^2 c^5 x y+64 b^3 c^5 x y-4 a^2 c^6 x y+122 a b c^6 x y+80 b^2 c^6 x y-26 a c^7 x y-64 b c^7 x y+12 c^8 x y+a^8 y^2-2 a^7 b y^2-5 a^6 b^2 y^2+16 a^5 b^3 y^2-5 a^4 b^4 y^2-26 a^3 b^5 y^2+37 a^2 b^6 y^2-20 a b^7 y^2+4 b^8 y^2+10 a^7 c y^2+2 a^6 b c y^2-64 a^5 b^2 c y^2+36 a^4 b^3 c y^2+106 a^3 b^4 c y^2-134 a^2 b^5 c y^2+44 a b^6 c y^2+27 a^6 c^2 y^2+80 a^5 b c^2 y^2-94 a^4 b^2 c^2 y^2-196 a^3 b^3 c^2 y^2+203 a^2 b^4 c^2 y^2-4 a b^5 c^2 y^2-16 b^6 c^2 y^2+132 a^4 b c^3 y^2+180 a^3 b^2 c^3 y^2-244 a^2 b^3 c^3 y^2-68 a b^4 c^3 y^2-53 a^4 c^4 y^2-34 a^3 b c^4 y^2+251 a^2 b^2 c^4 y^2+68 a b^3 c^4 y^2+24 b^4 c^4 y^2-30 a^3 c^5 y^2-134 a^2 b c^5 y^2+4 a b^2 c^5 y^2+21 a^2 c^6 y^2-44 a b c^6 y^2-16 b^2 c^6 y^2+20 a c^7 y^2+4 c^8 y^2+2 a^7 b x z+4 a^6 b^2 x z-14 a^5 b^3 x z-12 a^4 b^4 x z+38 a^3 b^5 x z-4 a^2 b^6 x z-26 a b^7 x z+12 b^8 x z-2 a^7 c x z-4 a^6 b c x z+30 a^5 b^2 c x z+24 a^4 b^3 c x z-118 a^3 b^4 c x z+12 a^2 b^5 c x z+122 a b^6 c x z-64 b^7 c x z-34 a^5 b c^2 x z-64 a^4 b^2 c^2 x z+156 a^3 b^3 c^2 x z+96 a^2 b^4 c^2 x z-234 a b^5 c^2 x z+80 b^6 c^2 x z+18 a^5 c^3 x z+72 a^4 b c^3 x z-108 a^3 b^2 c^3 x z-264 a^2 b^3 c^3 x z+218 a b^4 c^3 x z+64 b^5 c^3 x z-20 a^4 c^4 x z+62 a^3 b c^4 x z+348 a^2 b^2 c^4 x z+34 a b^3 c^4 x z-184 b^4 c^4 x z-30 a^3 c^5 x z-260 a^2 b c^5 x z-290 a b^2 c^5 x z+64 b^3 c^5 x z+72 a^2 c^6 x z+226 a b c^6 x z+80 b^2 c^6 x z-50 a c^7 x z-64 b c^7 x z+12 c^8 x z-2 a^8 y z-8 a^7 b y z-2 a^6 b^2 y z+32 a^5 b^3 y z+2 a^4 b^4 y z-24 a^3 b^5 y z-6 a^2 b^6 y z+8 b^8 y z-8 a^7 c y z-44 a^6 b c y z-64 a^5 b^2 c y z+152 a^4 b^3 c y z+104 a^3 b^4 c y z-140 a^2 b^5 c y z-2 a^6 c^2 y z-64 a^5 b c^2 y z-340 a^4 b^2 c^2 y z-80 a^3 b^3 c^2 y z+518 a^2 b^4 c^2 y z-32 b^6 c^2 y z+32 a^5 c^3 y z+152 a^4 b c^3 y z-80 a^3 b^2 c^3 y z-744 a^2 b^3 c^3 y z+2 a^4 c^4 y z+104 a^3 b c^4 y z+518 a^2 b^2 c^4 y z+48 b^4 c^4 y z-24 a^3 c^5 y z-140 a^2 b c^5 y z-6 a^2 c^6 y z-32 b^2 c^6 y z+8 c^8 y z+a^8 z^2+10 a^7 b z^2+27 a^6 b^2 z^2-53 a^4 b^4 z^2-30 a^3 b^5 z^2+21 a^2 b^6 z^2+20 a b^7 z^2+4 b^8 z^2-2 a^7 c z^2+2 a^6 b c z^2+80 a^5 b^2 c z^2+132 a^4 b^3 c z^2-34 a^3 b^4 c z^2-134 a^2 b^5 c z^2-44 a b^6 c z^2-5 a^6 c^2 z^2-64 a^5 b c^2 z^2-94 a^4 b^2 c^2 z^2+180 a^3 b^3 c^2 z^2+251 a^2 b^4 c^2 z^2+4 a b^5 c^2 z^2-16 b^6 c^2 z^2+16 a^5 c^3 z^2+36 a^4 b c^3 z^2-196 a^3 b^2 c^3 z^2-244 a^2 b^3 c^3 z^2+68 a b^4 c^3 z^2-5 a^4 c^4 z^2+106 a^3 b c^4 z^2+203 a^2 b^2 c^4 z^2-68 a b^3 c^4 z^2+24 b^4 c^4 z^2-26 a^3 c^5 z^2-134 a^2 b c^5 z^2-4 a b^2 c^5 z^2+37 a^2 c^6 z^2+44 a b c^6 z^2-16 b^2 c^6 z^2-20 a c^7 z^2+4 c^8 z^2= 0)
𝒫ai7, tangente a las bisectrices interiores en B y C, y tangente a AA' en A'.
Esta cónica es el miembro del haz bitangente
((-a + b - c) y + (a + b - c) z)(x + y + z) +
λ ((b - c) (-a^3 +
((b-c) (a^3+3 b^3-7 b^2 c-7 b c^2+3 c^3+a^2 (b+c)+a (-5 b^2+6 b c-5 c^2)) x+(a^4+4 (b-c)^3 (b+c)+a^3 (b+3 c)+a^2 (-b^2+2 b c+3 c^2)+a (-5 b^3+3 b^2 c+5 b c^2-3 c^3)) y+(-a^4+4 (b-c)^3 (b+c)-a^3 (3 b+c)+a^2 (-3 b^2-2 b c+c^2)+a (3 b^3-5 b^2 c-3 b c^2+5 c^3)) z)^2=0,
para λ =- 1/(4 (b-c) (-a^6-2 a^5 (b+c)
+5 a^4 (b-c)^2+4 a^3 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3)
+a^2 (-7 b^4+20 b^3 c-10 b^2 c^2+20 b c^3-7 c^4)
-2 a (b-c)^2 (b+c)^3
+(b^2-c^2)^2 (3 b^2-10 b c+3 c^2))).
La directriz de la parábola 𝒫ai7 es:
da: (a^3 (b+c)-5 a (b-c)^2 (b+c)+a^2 (b+c)^2+(b-c)^2 (3 b^2-2 b c+3 c^2)) x-(a-b+c)^2 (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c)) y-(a+b-c)^2 (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c)) z =0.
Procediendo cíclicamente, resultan las parábolas 𝒫bi7 y 𝒫ci7, así como sus directrices db y dc. Sea el triángulo formado por estas tres directrices.
Los triángulos ABC y son perspectivos, con centro de perspectividad:
Z4 = ( (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c))/(a^4
-2 a^2 (b-c)^2
+4 a b c (b+c)
+(b-c)^2 (b^2-6 b c+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(1.67849023687724, 1.77279273908957, 1.63865863013287) y está sobre la recta X(8236)X(28234).
- Miércoles, 9 de marzo del 2022
Puntos concíclicos relacionados con el baricentro y circuncentro
El 9 de marzo de 1934
nació Yuri Gagarin, que el 12 de abril de 1961 se convertirá en el primer ser humano que surque el espacio a bordo de la nave soviética Vostok 1. Fallecerá el 27 de marzo de 1968 cuando el avión MiG-15 que pilotará durante un vuelo rutinario se estrelle cerca de Moscú.
Dado un triángulo ABC, sea G= X2 su baricentro y Oa, Ob, Oc los circuncentros de los triángulos GBC, DCA, GAB, respectivamente.
Sean Γa, Γb, Γc las circunferencias circunscritas a los triángulos GObOc, GOcOa, GOaOb, respectivamente.
La tangente a Γa en G vuelve a cortar a Γb y a Γc en
Ab y Ac, respectivamente. Se definen Bc, Ba y Ca, Cb, cíclicamente.
Los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb están en uma misma circunferencia Γ. (Euclid #4523, Abdilkadir Altintaş).
La ecuación baricéntrica de la circunferencia Γ es:
𝔖abc xyz
(a^2-2 (b^2+c^2)) (a^4-2 b^4+7 b^2 c^2-2 c^4+a^2 (b^2+c^2)) x^2+(17 a^6-32 a^4 (b^2+c^2)+5 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^4+6 b^2 c^2+c^4)) y z y z = 0.
Su centro es el punto es:
W = ( 5 a^4-3 a^2 (b^2+c^2) -b^4-c^4 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(16.3284975838903, 9.16894547600958, -10.2432966555870).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {3534,8667}, {9862,9890}, {15681,34505}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {381,34506}, {5569,8182}, {7775,549}, {8176,5569}, {18546,13468}, {34504,376}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,187}, {3,754}, {20,7780}, {30,5171}, {32,8356}, {39,33008}, {69,32456}, {76,33265}, {183,6781}, {315,15513}, {325,8588}, {376,538}, {381,32152}, {524,3098}, {543,3534}, {546,38619}, {548,7781}, {549,7775}, {550,7751}, {574,41624}, {591,6396}, {597,8358}, {620,5210}, {626,5023}, {631,7843}, {1003,7810}, {1078,11361}, {1350,14645}, {1384,4045}, {1991,6200}, {2482,7788}, {3053,7830}, {3522,14023}, {3528,7758}, {3552,7854}, {3767,33272}, {3785,7816}, {3788,5206}, {3793,7798}, {3830,7610}, {3845,7617}, {3917,32442}, {3934,14033}, {5007,32965}, {5066,15597}, {5306,8354}, {5309,7833}, {5319,33226}, {5346,7847}, {5858,36329}, {5859,35751}, {6179,33260}, {6337,7882}, {7615,15682}, {7618,19708}, {7619,15701}, {7622,12100}, {7746,7802}, {7747,44543}, {7748,7793}, {7755,33234}, {7757,46283}, {7760,33275}, {7762,15515}, {7768,33014}, {7774,8589}, {7778,15655}, {7782,7855}, {7791,35007}, {7794,33235}, {7796,33276}, {7799,9939}, {7800,14039}, {7801,7811}, {7809,33274}, {7812,33273}, {7817,32986}, {7821,32964}, {7822,7904}, {7823,31455}, {7829,22331}, {7838,15815}, {7842,16041}, {7849,32973}, {7857,14046}, {7858,31457}, {7860,33259}, {7861,33210}, {7865,8369}, {7873,16925}, {7880,32985}, {7883,33246}, {7886,33285}, {7908,14929}, {7936,33225}, {8352,18362}, {8353,11648}, {8556,11159}, {8598,37671}, {8716,15688}, {9466,33007}, {9738,32421}, {9739,32419}, {9740,15697}, {9770,15698}, {9771,11812}, {9862,9890}, {10159,14038}, {10304,34511}, {11001,32479}, {11055,44367}, {11184,15693}, {12040,15711}, {12101,20112}, {12974,41491}, {12975,41490}, {14148,40341}, {14614,35955}, {15482,18907}, {15533,36521}, {15681,34505}, {15685,40727}, {16509,33699}, {17004,18424}, {17130,33250}, {18324,34217}, {20065,37512}, {22253,44541}, {32457,37667}, {32833,33208}, {33005,39590}, {33192,39563}, {33215,44562}, {34229,43618}, {34733,37334}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(47101).
Consideremos los triángulos y , cuyos vértices son:
A2 = CaAc ∩
AbBa,
B2 = AbBa ∩
BcCb,
C2 = BcCb ∩
CaAc.
A3 = CbAb ∩
AcBc,
B3 = AcBc ∩
BaCa,
C3 = BaCa ∩
CbAb.
Los triángulos y son , cuya es la recta que pasa por el baricentro y el .
El centro de perspectividad de los triángulos y es el baricentro.
El centro ortológico de y es el centro, W, de Γ.
El centro ortológico de y es la reflexión del baricentro en W :
U = ( 9 a^4-4 a^2 (b^2+c^2)-3 b^4+2 b^2 c^2-3 c^4 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en , ETC
(30.0276263752919, 16.5849784236933, -21.7001481384765).
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {3830,13468}, {7758,8716}, {8716,550}, {9766,8703}, {9888,38749}, {15682,18546}, {23334,5569}, {34511,376}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,8354}, {20,538}, {30,8667}, {32,32986}, {69,6781}, {76,33193}, {183,43618}, {315,7891}, {376,754}, {385,43619}, {439,7821}, {524,3534}, {543,9862}, {550,7758}, {626,33191}, {1003,7750}, {1007,8588}, {1078,33016}, {1285,4045}, {2549,8353}, {3053,33184}, {3146,7780}, {3522,7759}, {3523,7843}, {3524,7775}, {3528,7764}, {3529,7751}, {3545,34506}, {3767,7802}, {3785,9466}, {3793,44526}, {3830,7615}, {3845,7610}, {5007,33023}, {5077,5306}, {5206,32006}, {5309,33272}, {5319,33234}, {5862,33611}, {5863,33610}, {5969,38741}, {6179,32997}, {6680,33196}, {7617,41099}, {7618,8703}, {7620,15640}, {7622,15698}, {7739,7833}, {7747,32983}, {7753,33215}, {7755,33238}, {7756,41748}, {7757,20065}, {7760,33253}, {7765,33247}, {7768,33244}, {7772,33226}, {7781,17538}, {7784,8368}, {7788,8598}, {7791,12150}, {7794,33239}, {7796,33254}, {7799,33208}, {7800,11286}, {7801,35927}, {7810,14033}, {7811,33007}, {7812,33008}, {7817,33210}, {7818,32985}, {7823,31401}, {7827,33263}, {7844,46453}, {7849,33201}, {7854,32981}, {7860,32964}, {7865,14039}, {7870,33266}, {7873,32973}, {7883,33255}, {7936,14037}, {8177,43621}, {8357,22331}, {8358,18907}, {9699,34883}, {9740,32479}, {9764,22676}, {9770,19708}, {9771,15701}, {9821,18768}, {9888,38749}, {9939,32833}, {11165,15695}, {11184,12100}, {12040,15759}, {12101,16509}, {13086,34510}, {14568,33192}, {14711,32815}, {15513,32816}, {15597,19709}, {15655,44377}, {15682,18546}, {18362,23055}, {31417,33001}, {32456,37668}, {32974,35007}, {35955,41624}, {36345,36995}, {36347,36993}, {36775,42632}.
El punto U ha sido incorporado a ETC con el número X(47102).
El centro de la cónica que pasa por los puntos A2, Ab, Cb,
Ac, Bc es:
Ao = (-5 a^10+b^10-b^8 c^2-b^2 c^8+c^10+10 a^8 (b^2+c^2)+3 a^6 (b^2+c^2)^2+2 a^2 (b^2+c^2)^2 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)-11 a^4 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6) :
a^10+a^8 (2 b^2-3 c^2)+a^6 (-11 b^4-3 b^2 c^2+2 c^4)-(b^2-c^2)^2 (5 b^6+2 b^4 c^2-4 b^2 c^4-c^6)+a^4 (3 b^6-3 b^4 c^2-4 b^2 c^4+2 c^6)+a^2 (10 b^8+9 b^6 c^2-3 b^4 c^4-5 b^2 c^6-3 c^8) :
a^10+a^8 (-3 b^2+2 c^2)+a^6 (2 b^4-3 b^2 c^2-11 c^4)+(b^2-c^2)^2 (b^6+4 b^4 c^2-2 b^2 c^4-5 c^6)+a^4 (2 b^6-4 b^4 c^2-3 b^2 c^4+3 c^6)+a^2 (-3 b^8-5 b^6 c^2-3 b^4 c^4+9 b^2 c^6+10 c^8))
Los puntos Bo y Co se definen ciclícamente.
Los triángulos y son homotéticos, con centro de homotecia:
Wo = ( -5 a^10+10 a^8 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2+c^2)^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)+a^6 (3 b^4+b^2 c^2+3 c^4)-a^4 (11 b^6+2 b^4 c^2+2 b^2 c^4+11 c^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(260.776668938156, 205.067929387712, -258.687903065658).
No existen rectas determinadas por centros que figuran actualmente en ETC que pasen por este punto.
Los triángulos y están inscritos en una misma
cónica
( 4 a^14 x^2-2 a^12 b^2 x^2-46 a^10 b^4 x^2+62 a^8 b^6 x^2+50 a^6 b^8 x^2-76 a^4 b^10 x^2-8 a^2 b^12 x^2+16 b^14 x^2-2 a^12 c^2 x^2+a^10 b^2 c^2 x^2-77 a^8 b^4 c^2 x^2+77 a^6 b^6 c^2 x^2+253 a^4 b^8 c^2 x^2-128 a^2 b^10 c^2 x^2-44 b^12 c^2 x^2-46 a^10 c^4 x^2-77 a^8 b^2 c^4 x^2+293 a^6 b^4 c^4 x^2+278 a^4 b^6 c^4 x^2+136 a^2 b^8 c^4 x^2-64 b^10 c^4 x^2+62 a^8 c^6 x^2+77 a^6 b^2 c^6 x^2+278 a^4 b^4 c^6 x^2+512 a^2 b^6 c^6 x^2+140 b^8 c^6 x^2+50 a^6 c^8 x^2+253 a^4 b^2 c^8 x^2+136 a^2 b^4 c^8 x^2+140 b^6 c^8 x^2-76 a^4 c^10 x^2-128 a^2 b^2 c^10 x^2-64 b^4 c^10 x^2-8 a^2 c^12 x^2-44 b^2 c^12 x^2+16 c^14 x^2+20 a^14 x y-46 a^12 b^2 x y-14 a^10 b^4 x y+40 a^8 b^6 x y+40 a^6 b^8 x y-14 a^4 b^10 x y-46 a^2 b^12 x y+20 b^14 x y-10 a^12 c^2 x y-109 a^10 b^2 c^2 x y-40 a^8 b^4 c^2 x y+478 a^6 b^6 c^2 x y-40 a^4 b^8 c^2 x y-109 a^2 b^10 c^2 x y-10 b^12 c^2 x y-200 a^10 c^4 x y+167 a^8 b^2 c^4 x y+553 a^6 b^4 c^4 x y+553 a^4 b^6 c^4 x y+167 a^2 b^8 c^4 x y-200 b^10 c^4 x y+130 a^8 c^6 x y+436 a^6 b^2 c^6 x y+1150 a^4 b^4 c^6 x y+436 a^2 b^6 c^6 x y+130 b^8 c^6 x y+406 a^6 c^8 x y+425 a^4 b^2 c^8 x y+425 a^2 b^4 c^8 x y+406 b^6 c^8 x y-140 a^4 c^10 x y+41 a^2 b^2 c^10 x y-140 b^4 c^10 x y-178 a^2 c^12 x y-178 b^2 c^12 x y+68 c^14 x y+16 a^14 y^2-8 a^12 b^2 y^2-76 a^10 b^4 y^2+50 a^8 b^6 y^2+62 a^6 b^8 y^2-46 a^4 b^10 y^2-2 a^2 b^12 y^2+4 b^14 y^2-44 a^12 c^2 y^2-128 a^10 b^2 c^2 y^2+253 a^8 b^4 c^2 y^2+77 a^6 b^6 c^2 y^2-77 a^4 b^8 c^2 y^2+a^2 b^10 c^2 y^2-2 b^12 c^2 y^2-64 a^10 c^4 y^2+136 a^8 b^2 c^4 y^2+278 a^6 b^4 c^4 y^2+293 a^4 b^6 c^4 y^2-77 a^2 b^8 c^4 y^2-46 b^10 c^4 y^2+140 a^8 c^6 y^2+512 a^6 b^2 c^6 y^2+278 a^4 b^4 c^6 y^2+77 a^2 b^6 c^6 y^2+62 b^8 c^6 y^2+140 a^6 c^8 y^2+136 a^4 b^2 c^8 y^2+253 a^2 b^4 c^8 y^2+50 b^6 c^8 y^2-64 a^4 c^10 y^2-128 a^2 b^2 c^10 y^2-76 b^4 c^10 y^2-44 a^2 c^12 y^2-8 b^2 c^12 y^2+16 c^14 y^2+20 a^14 x z-10 a^12 b^2 x z-200 a^10 b^4 x z+130 a^8 b^6 x z+406 a^6 b^8 x z-140 a^4 b^10 x z-178 a^2 b^12 x z+68 b^14 x z-46 a^12 c^2 x z-109 a^10 b^2 c^2 x z+167 a^8 b^4 c^2 x z+436 a^6 b^6 c^2 x z+425 a^4 b^8 c^2 x z+41 a^2 b^10 c^2 x z-178 b^12 c^2 x z-14 a^10 c^4 x z-40 a^8 b^2 c^4 x z+553 a^6 b^4 c^4 x z+1150 a^4 b^6 c^4 x z+425 a^2 b^8 c^4 x z-140 b^10 c^4 x z+40 a^8 c^6 x z+478 a^6 b^2 c^6 x z+553 a^4 b^4 c^6 x z+436 a^2 b^6 c^6 x z+406 b^8 c^6 x z+40 a^6 c^8 x z-40 a^4 b^2 c^8 x z+167 a^2 b^4 c^8 x z+130 b^6 c^8 x z-14 a^4 c^10 x z-109 a^2 b^2 c^10 x z-200 b^4 c^10 x z-46 a^2 c^12 x z-10 b^2 c^12 x z+20 c^14 x z+68 a^14 y z-178 a^12 b^2 y z-140 a^10 b^4 y z+406 a^8 b^6 y z+130 a^6 b^8 y z-200 a^4 b^10 y z-10 a^2 b^12 y z+20 b^14 y z-178 a^12 c^2 y z+41 a^10 b^2 c^2 y z+425 a^8 b^4 c^2 y z+436 a^6 b^6 c^2 y z+167 a^4 b^8 c^2 y z-109 a^2 b^10 c^2 y z-46 b^12 c^2 y z-140 a^10 c^4 y z+425 a^8 b^2 c^4 y z+1150 a^6 b^4 c^4 y z+553 a^4 b^6 c^4 y z-40 a^2 b^8 c^4 y z-14 b^10 c^4 y z+406 a^8 c^6 y z+436 a^6 b^2 c^6 y z+553 a^4 b^4 c^6 y z+478 a^2 b^6 c^6 y z+40 b^8 c^6 y z+130 a^6 c^8 y z+167 a^4 b^2 c^8 y z-40 a^2 b^4 c^8 y z+40 b^6 c^8 y z-200 a^4 c^10 y z-109 a^2 b^2 c^10 y z-14 b^4 c^10 y z-10 a^2 c^12 y z-46 b^2 c^12 y z+20 c^14 y z+16 a^14 z^2-44 a^12 b^2 z^2-64 a^10 b^4 z^2+140 a^8 b^6 z^2+140 a^6 b^8 z^2-64 a^4 b^10 z^2-44 a^2 b^12 z^2+16 b^14 z^2-8 a^12 c^2 z^2-128 a^10 b^2 c^2 z^2+136 a^8 b^4 c^2 z^2+512 a^6 b^6 c^2 z^2+136 a^4 b^8 c^2 z^2-128 a^2 b^10 c^2 z^2-8 b^12 c^2 z^2-76 a^10 c^4 z^2+253 a^8 b^2 c^4 z^2+278 a^6 b^4 c^4 z^2+278 a^4 b^6 c^4 z^2+253 a^2 b^8 c^4 z^2-76 b^10 c^4 z^2+50 a^8 c^6 z^2+77 a^6 b^2 c^6 z^2+293 a^4 b^4 c^6 z^2+77 a^2 b^6 c^6 z^2+50 b^8 c^6 z^2+62 a^6 c^8 z^2-77 a^4 b^2 c^8 z^2-77 a^2 b^4 c^8 z^2+62 b^6 c^8 z^2-46 a^4 c^10 z^2+a^2 b^2 c^10 z^2-46 b^4 c^10 z^2-2 a^2 c^12 z^2-2 b^2 c^12 z^2+4 c^14 z^2 = 0)
. Su centro es:
Z = ( -5 a^10+12 a^8 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)+a^6 (3 b^4-20 b^2 c^2+3 c^4)+a^4 (-13 b^6+9 b^4 c^2+9 b^2 c^4-13 c^6)+(b^2-c^2)^2 (b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-8.79982930488124, -13.5132093527119, 17.0574229437301).
Está sobre la recta que pasa pr X9909 paralela a la recta que pasa por el ortocentro y el .
- Lunes, 7 de marzo del 2022
Puntos concíclicos relacionados con el baricentro
El 7 de marzo de 1875
nació el compositor francés Maurice Ravel, autor del famoso "Bolero" que llevará su nombre , que se estrenó como un ballet, en la Ópera de París el 20 de noviembre de 1928. Su impresionismo musical se aprecia sobre todo en las suites para piano Miroirs (Espejos, 1905) y Gaspar de la noche (1908) y en la Rapsodia española para orquesta (1908).
Dado un triángulo ABC, sea G= X2 su baricentro y el triángulo Γa, Γb, Γc, son las circunferencias de diámetros GA1, GB1, GC1, respectivamente.
La tangente a Γa en G vuelve a cortar a Γb y a Γc en
Ab y Ac, respectivamente. Se definen Bc, Ba y Ca, Cb, cíclicamente.
Los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb están en uma misma circunferencia Γ. (Euclid #4510, Abdilkadir Altintaş).
La ecuación baricéntrica de la circunferencia Γ es:
𝔖abc xyz
(-a^8+26 a^6 (b^2+c^2)-6 a^4 (7 b^4+20 b^2 c^2+7 c^4)+(b^2+c^2)^2 (11 b^4-14 b^2 c^2+11 c^4)+a^2 (-58 b^6+78 b^4 c^2+78 b^2 c^4-58 c^6)) x^2+2 (-61 a^8+83 a^6 (b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 (5 b^4-26 b^2 c^2+5 c^4)+12 a^4 (7 b^4+11 b^2 c^2+7 c^4)+a^2 (-55 b^6+87 b^4 c^2+87 b^2 c^4-55 c^6)) y z = 0.
Su centro es el punto medio de X2 y su respecto al triángulo circunmedial:
W = ( 20 a^6-3 a^4 (b^2+c^2)-3 a^2 (7 b^4+2 b^2 c^2+7 c^4)+2 (b^6-6 b^4 c^2-6 b^2 c^4+c^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(7.93614795746307, 4.62574113902062, -3.22460921008978).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {376,12505}, {6031,9829}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {381,31606}, {10162,10163}, {10163,9829}, {12506,549}, {31743,16836}, {31840,140}, {31961,31762}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,187}, {30,14866}, {140,31840}, {376,12505}, {381,31606}, {519,31746}, {542,32311}, {543,44574}, {549,12506}, {3524,31762}, {3917,38239}, {5055,31749}, {5181,22165}, {6322,8667}, {6325,12074}, {6636,14682}, {8703,32424}, {8704,11123}, {10304,34792}, {11056,40246}, {11539,32156}, {11594,37904}, {14153,15534}, {16226,31763}, {16836,31743}, {19883,31755}, {26233,39785}, {27088,30749}, {28194,31747}, {31758,38068}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(47074).
Consideremos los triángulos y , cuyos vértices son:
A2 = CaAc ∩
AbBa,
B2 = AbBa ∩
BcCb,
C2 = BcCb ∩
CaAc.
A3 = CbAb ∩
AcBc,
B3 = AcBc ∩
BaCa,
C3 = BaCa ∩
CbAb.
Los triángulos y son , cuya es la recta que pasa por el baricentro y el .
El centro de perspectividad de los triángulos y es el baricentro.
El centro ortológico de y es el centro, W, de Γ.
El centro ortológico de y es X2 - 2 W :
U = ( 16 a^6+3 a^4 (b^2+c^2)-3 a^2 (5 b^4+b^2 c^2+5 c^4)-2 (b^2+c^2)^3 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en , ETC
(13.2429271224374, 7.49856974971544, -7.66277324748204).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {}, {], {}, {}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {376,31729}, {381,31744}, {3543,14866}, {3679,31746}, {6032,9829}, {9140,32311}, {9829,6031}, {10717,44574}, {15684,31824}, {31162,31747}, {31961,3}, {34792,376}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,187}, {3,31961}, {22,2930}, {30,12505}, {376,31729}, {381,31744}, {1180,8584}, {1296,3534}, {2979,8030}, {3524,12506}, {3543,14866}, {3545,31606}, {3679,31746}, {5054,31840}, {5071,31749}, {6082,9831}, {6322,14614}, {7492,39785}, {8704,33706}, {9140,32311}, {9855,26233}, {9909,34992}, {10717,44574}, {15684,31824}, {15692,31762}, {15694,32156}, {20791,31743}, {31162,31747}, {34554,35734}.
El punto U ha sido incorporado a ETC con el número X(47075).
- Martes, 1 de marzo del 2022
X(12079) centro de homotecia
Gaston Albert Gohierre De Longchamps fue una matemático francés, que nació el primero de marzo de 1842. Sus trabajos versan sobre teoría de números (números primos del tipo 2n±1, nombres de Bernoulli), sobre curvas algebraicas (trisectriz de De Longchamps ) o sobre geometría del triángulo ( (1886)).
Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' el del ortocentro H=X4.
A'', B'', C'' son los puntos medios de los segmentos HA', HB', HC', respectivamente. Sea P un punto sobre la de ABC y
el de P. Finalmente, A''' es la reflexión de A'' en A1. Los puntos B''', C''' se definen cíclicamente.
El circuncentro, O''', de A'''B'''C''' está en la recta de Euler de ABC.
(Abdilkadir Altintaş.- Euclid #4437 y 1799. Euler to Euler )
Usando coordenadas baricéntricas:
A' = (-a^2 : a^2 + b^2 - c^2 : a^2 - b^2 + c^2),
A'' = (2 a^4 (a^2-b^2-c^2) : -2 a^6-(b^2-c^2)^3+a^4 (b^2+5 c^2)+2 a^2 (b^4+b^2 c^2-2 c^4) : -2 a^6+(b^2-c^2)^3+a^4 (5 b^2+c^2)+2 a^2 (-2 b^4+b^2 c^2+c^4)),
P = X3 + t X4 = (a^2 (b^2 + c^2) + a^4 (-1 + t) - (b^2 - c^2)^2 t :
b^2 c^2 + b^4 (-1 + t) - a^4 t - c^4 t + a^2 (b^2 + 2 c^2 t) :
b^2 c^2 + c^4 (-1 + t) - a^4 t - b^4 t + a^2 (c^2 + 2 b^2 t)),
A1 = (0 : (b^2 - c^2) t + a^2 (1 + t) : (-b^2 + c^2) t + a^2 (1 + t)),
A''' = (2 a^4 (a^2-b^2-c^2) (1+t) : 2 a^2 (b^2-c^2) (2 b^2-c^2 (-1+t))+(b^2-c^2)^3 (-1+t)-a^4 (c^2 (-1+t)+b^2 (3+t)) : 2 a^2 (b^2-c^2) (-2 c^2+b^2 (-1+t))-(b^2-c^2)^3 (-1+t)-a^4 (b^2 (-1+t)+c^2 (3+t))).
O''' = (4 a^4+(b^2-c^2)^2 (-1+t)-a^2 (b^2+c^2) (3+t) : (b^2-c^2) (4 b^2-c^2 (-1+t))+a^4 (-1+t)-a^2 (2 c^2 (-1+t)+b^2 (3+t)) : (b^2-c^2) (-4 c^2+b^2 (-1+t))+a^4 (-1+t)-a^2 (2 b^2 (-1+t)+c^2 (3+t))).
La correspondencia P ↦ O''' es una proyectividad parabólica sobre la recta de Euler, con punto doble su punto del infinito.
Si P = X3 + t X4 entonces O''' = (t+3) X3 + (t-1) X4.
Algunos pares {P=Xi, O'''=Xj}, para los índices {i, j}: {2, 8703}, {3, 550}, {4, 5}, {5, 3}, {20, 15704}, {30,30}, {140, 548}, {235, 37814}, {376, 15686}, {381, 549}, {382, 3627}, {403, 15646}, {427, 18570}, {546, 140}, {547, 34200}, {548, 12103}, {549, 376}, {550, 20}, {632, 3522}, {858, 37950}, {1312, 35231}, {1313, 35232}, {1595, 7526}, {1596, 6644}, {1656, 46853}, {1658, 44242}, {2072, 34152}, {3091, 15712}, {3530, 44245}, {3534, 19710}, {3543, 15687}, {3545, 17504}, {3627, 4}, {3628, 33923}, {3651, 31651}, {3830, 3845}, {3832, 14869}, {3839, 11539}, {3843, 632}, {3845, 2}, {3850, 3530}, {3851, 44682}, {3853, 546}, {3856, 12108}, {3857, 3523}, {3858, 631}, {3860, 11812}, {3861, 3628}, {5055, 45759}, {5066, 12100}, {5071, 15714}, {5076, 3858}, {5428, 44238}, {5499, 3651}, {6644, 44241}, {6756, 31833}, {6841, 5428}, {6917, 37424}, {6929, 37364}, {7502, 44239}, {7530, 37458}, {7540, 38322}, {7553, 11819}, {7575, 10295}, {8703, 3534}, {8727, 6914}, {10109, 15759}, {10151, 44452}, {10224, 10226}, {10285, 14142}, {10297, 15122}, {11251, 32162}, {11539, 15688}, {11558, 10096}, {11563, 186}, {11737, 14891}, {11799, 7575}, {11819, 3575}, {12100, 15690}, {12101, 5066}, {12102, 3850}, {12108, 41981}, {13371, 11250}, {13406, 15331}, {13473, 23323}, {14269, 15699}, {14893, 547}, {15331, 15332}, {15334, 15336}, {15335, 15334}, {15646, 44246}, {15681, 44903}, {15682, 33699}, {15684, 35404}, {15686, 15681}, {15687, 381}, {15699, 10304}, {15704, 1657}, {15711, 15697}, {15712, 15696}, {15713, 15695}, {15760, 7502}, {15761, 1658}, {15763, 44220}, {15765, 34552}, {16160, 21}, {16238, 44247}, {16340, 36164}, {17504, 15689}, {18323, 18572}, {18377, 13371}, {18403, 37938}, {18567, 10224}, {18569, 23335}, {18570, 44249}, {18572, 858}, {18585, 34551}, {19709, 15711}, {19710, 11001}, {20030, 36837}, {20120, 10285}, {20408, 30525}, {20409, 30524}, {23046, 5054}, {23323, 10257}, {23335, 12084}, {25402, 10212}, {25404, 15327}, {27868, 10205}, {31726, 11563}, {31833, 31829}, {32162, 12113}, {33332, 14118}, {33699, 3830}, {34152, 16386}, {34200, 15691}, {35404, 3543}, {36184, 16340}, {37230, 5499}, {37290, 31789}, {37447, 31649}, {37814, 44240}, {37938, 2071}, {38071, 3524}, {38322, 38323}, {38335, 38071}, {41017, 44223}, {41099, 15713}, {41106, 19711}, {41991, 15720}, {43893, 2070}, {44222, 37426}, {44223, 44250}, {44224, 44251}, {44226, 16238}, {44227, 44221}, {44229, 44222}, {44230, 44224}, {44235, 43615}, {44257, 44255}, {44258, 6841}, {44262, 44261}, {44263, 15760}, {44266, 44265}, {44267, 11799}, {44270, 44268}, {44271, 235}, {44275, 44273}, {44276, 1596}, {44279, 15761}, {44282, 44280}, {44283, 403}, {44286, 44229}, {44287, 44285}, {44288, 427}, {44289, 35303}, {44903, 15683}, {44961, 18571}, {46031, 37968}, {46853, 17538}.
Sea Oa=(0 : (b^2-c^2) (-1+t)+2 a^2 (1+t) : -(b^2-c^2) (-1+t)+2 a^2 (1+t)) la proyección ortogonal de O''' sobre BC, entonces la recta POa envuelve una
parábola
( Ecuación baricentrica:
32 a^8 b^4 x^2-48 a^6 b^6 x^2+a^4 b^8 x^2+14 a^2 b^10 x^2+b^12 x^2-64 a^8 b^2 c^2 x^2+48 a^6 b^4 c^2 x^2+64 a^4 b^6 c^2 x^2-42 a^2 b^8 c^2 x^2-6 b^10 c^2 x^2+32 a^8 c^4 x^2+48 a^6 b^2 c^4 x^2-130 a^4 b^4 c^4 x^2+28 a^2 b^6 c^4 x^2+15 b^8 c^4 x^2-48 a^6 c^6 x^2+64 a^4 b^2 c^6 x^2+28 a^2 b^4 c^6 x^2-20 b^6 c^6 x^2+a^4 c^8 x^2-42 a^2 b^2 c^8 x^2+15 b^4 c^8 x^2+14 a^2 c^10 x^2-6 b^2 c^10 x^2+c^12 x^2+32 a^10 b^2 x y-8 a^8 b^4 x y-68 a^6 b^6 x y+30 a^4 b^8 x y+16 a^2 b^10 x y-2 b^12 x y-32 a^10 c^2 x y-32 a^8 b^2 c^2 x y+156 a^6 b^4 c^2 x y-32 a^4 b^6 c^2 x y-72 a^2 b^8 c^2 x y+12 b^10 c^2 x y+40 a^8 c^4 x y-92 a^6 b^2 c^4 x y-28 a^4 b^4 c^4 x y+128 a^2 b^6 c^4 x y-30 b^8 c^4 x y+4 a^6 c^6 x y+32 a^4 b^2 c^6 x y-112 a^2 b^4 c^6 x y+40 b^6 c^6 x y-2 a^4 c^8 x y+48 a^2 b^2 c^8 x y-30 b^4 c^8 x y-8 a^2 c^10 x y+12 b^2 c^10 x y-2 c^12 x y+16 a^12 y^2-16 a^10 b^2 y^2-4 a^8 b^4 y^2-4 a^6 b^6 y^2+5 a^4 b^8 y^2+2 a^2 b^10 y^2+b^12 y^2-16 a^10 c^2 y^2+40 a^8 b^2 c^2 y^2+12 a^6 b^4 c^2 y^2-16 a^4 b^6 c^2 y^2-14 a^2 b^8 c^2 y^2-6 b^10 c^2 y^2-20 a^8 c^4 y^2-28 a^6 b^2 c^4 y^2+22 a^4 b^4 c^4 y^2+36 a^2 b^6 c^4 y^2+15 b^8 c^4 y^2+20 a^6 c^6 y^2-16 a^4 b^2 c^6 y^2-44 a^2 b^4 c^6 y^2-20 b^6 c^6 y^2+5 a^4 c^8 y^2+26 a^2 b^2 c^8 y^2+15 b^4 c^8 y^2-6 a^2 c^10 y^2-6 b^2 c^10 y^2+c^12 y^2-32 a^10 b^2 x z+40 a^8 b^4 x z+4 a^6 b^6 x z-2 a^4 b^8 x z-8 a^2 b^10 x z-2 b^12 x z+32 a^10 c^2 x z-32 a^8 b^2 c^2 x z-92 a^6 b^4 c^2 x z+32 a^4 b^6 c^2 x z+48 a^2 b^8 c^2 x z+12 b^10 c^2 x z-8 a^8 c^4 x z+156 a^6 b^2 c^4 x z-28 a^4 b^4 c^4 x z-112 a^2 b^6 c^4 x z-30 b^8 c^4 x z-68 a^6 c^6 x z-32 a^4 b^2 c^6 x z+128 a^2 b^4 c^6 x z+40 b^6 c^6 x z+30 a^4 c^8 x z-72 a^2 b^2 c^8 x z-30 b^4 c^8 x z+16 a^2 c^10 x z+12 b^2 c^10 x z-2 c^12 x z-32 a^12 y z+32 a^10 b^2 y z+24 a^8 b^4 y z-16 a^6 b^6 y z-6 a^4 b^8 y z-4 a^2 b^10 y z+2 b^12 y z+32 a^10 c^2 y z-80 a^8 b^2 c^2 y z+16 a^6 b^4 c^2 y z+32 a^4 b^6 c^2 y z+12 a^2 b^8 c^2 y z-12 b^10 c^2 y z+24 a^8 c^4 y z+16 a^6 b^2 c^4 y z-52 a^4 b^4 c^4 y z-8 a^2 b^6 c^4 y z+30 b^8 c^4 y z-16 a^6 c^6 y z+32 a^4 b^2 c^6 y z-8 a^2 b^4 c^6 y z-40 b^6 c^6 y z-6 a^4 c^8 y z+12 a^2 b^2 c^8 y z+30 b^4 c^8 y z-4 a^2 c^10 y z-12 b^2 c^10 y z+2 c^12 y z+16 a^12 z^2-16 a^10 b^2 z^2-20 a^8 b^4 z^2+20 a^6 b^6 z^2+5 a^4 b^8 z^2-6 a^2 b^10 z^2+b^12 z^2-16 a^10 c^2 z^2+40 a^8 b^2 c^2 z^2-28 a^6 b^4 c^2 z^2-16 a^4 b^6 c^2 z^2+26 a^2 b^8 c^2 z^2-6 b^10 c^2 z^2-4 a^8 c^4 z^2+12 a^6 b^2 c^4 z^2+22 a^4 b^4 c^4 z^2-44 a^2 b^6 c^4 z^2+15 b^8 c^4 z^2-4 a^6 c^6 z^2-16 a^4 b^2 c^6 z^2+36 a^2 b^4 c^6 z^2-20 b^6 c^6 z^2+5 a^4 c^8 z^2-14 a^2 b^2 c^8 z^2+15 b^4 c^8 z^2+2 a^2 c^10 z^2-6 b^2 c^10 z^2+c^12 z^2 = 0)
, 𝒫a, de eje perpendicular a BC, foco
Fa = ((b^2-c^2)^2 : 2 a^4-2 b^4+3 b^2 c^2-c^4-a^2 (b^2+c^2) : 2 a^4-b^4+3 b^2 c^2-2 c^4-a^2 (b^2+c^2)),
y directriz
da: 4 a^4 - (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2)x+ (b^2 - c^2)^2y +(b^2 - c^2)^2z=0.
Por permutación cíclica se deducen las directrices de las parábolas 𝒫b y 𝒫c, que se obtienen al considerar las proyecciones de O''' sobre CA y AB.
El centro de homotecia de ABC y el triángulo formado por lor las directrices da, db, dc es X12079:
((b^2-c^2)^2/(2 a^4-(b^2+c^2) a^2-(b^2-c^2)^2) : ... : ....).
Construcción de la parábola 𝒫a
La parábola 𝒫a es tangente a la recta de Euler, tangente a BC en su vértice (i.e. su eje tiene la dirección de la perpendicular a BC) y tangente a NMa (N= y Ma es el punto medio de BC). Por consiguiente, estamos en los casos de construcción de cónicas:
Parábola: dado la dirección del eje y tres tangentes (ItttCp)
§13.3. Parabola by axis-direction, 3 tangents (1P14T1). Construct a conic tangent
to the line at infinity, i.e. a parabola, tangent to three lines a, b, c and passing
through [D], i.e. with given axis-direction.
- Jueves, 25 de febrero del 2022
3R O + 2r H centro de ortología
El 25 de febrero de 1670 nació Maria Winkelmann en Leipzig. Se casó con el astrónomo Gottfried Kirch. En 1700 nombran a Gottfried astrónomo oficial de la Academia de las Ciencias y se trasladan a vivir a Berlín, donde ella accede a trabajar como ayudante. La noche del 21 de abril de 1702 María descubre un cometa, al parecer no descrito antes, a pesar de ello, Gottfried se adjudicó el mérito. Maria Winkelmann tiene el honor de ser la primera mujer que descubrió un cometa hasta entonces desconocido: C/1702 H1. Bianchini y Maraldi descubrieron este cometa en la madrugada del 20 de abril de 1702
Dado un triángulo ABC, con circuncentro O=X3, ortocentro H=X4 y R, r los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, sean los puntos Ba y Ca sobre AB y AC, respectivamente, (más alejados de A) tales que
BC =
BBa =
CCa.
(Los puntos cumpliendo estas condiciones, más cerca de A los denotamos por B'a y C'a).
Las rectas BCa y CBa vuelven a corta a la circunferencia (ABaCa) en los puntos Cab y Bac, respectivamente.
Los puntos Abc, Cba y Bca, Acb, son definidos cíclicamente.
Las rectas CabBac, AbcCba y BcaAcb, forman un triángulo DEF, con ABC.
El centro ortológico de ABC respecto a DEF es X79.
El centro ortológico de DEF respecto a ABC es W = 3R X3 + 2r X4.
W = ( a^7-a^6 (b+c)-a^5 (b^2-5 b c+c^2)
+a^4 (b-c)^2 (b+c)-a^3 (b^2-b c+c^2) (b^2+4 b c+c^2)
+a^2 (b-c)^2 (b+c)^3+a (b-c)^4 (b+c)^2
-(b-c)^4 (b+c)^3 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(5.13896869071765, 4.25589203865664, -1.67755401749375).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {8, 16116}, {40, 16118}, {12702, 16150}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {3, 37401}, {21, 5499}, {1482, 3649}, {3065, 12619}, {3652, 10}, {5441, 1385}, {11684, 5690}, {12699, 16125}, {13465, 21677}, {13743, 442}, {15678, 549}, {15680, 5428}, {16113, 3579}, {17637, 34339}, {21669, 5}, {26202, 9956}, {34195, 33668}, {37230, 2475}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {8,16116}, {10,3652}, {12,35000}, {35,13273}, {40,16118}, {46,18977}, {65,16152}, {79,517}, {80,13145}, {388,8148}, {498,35249}, {758,25413}, {1385,4857}, {1478,12702}, {1482,3649}, {1737,16141}, {2771,12751}, {2886,26321}, {3057,16153}, {3065,12619}, {3295,18961}, {3359,7701}, {3434,18526}, {3436,3650}, {3579,3585}, {3583,13624}, {3647,26446}, {3648,5657}, {3698,18480}, {3884,12699}, {4413,45631}, {4999,38761}, {5119,16142}, {5260,10728}, {5434,27197}, {5557,6583}, {5587,22798}, {5690,11684}, {5790,6256}, {5794,40266}, {5800,44456}, {5840,37621}, {5882,12737}, {5886,6701}, {6244,11929}, {9579,37584}, {9654,35448}, {9709,18542}, {9956,26202}, {10039,16140}, {10246,10525}, {10247,16137}, {10270,30315}, {10308,18357}, {10441,13340}, {10895,35238}, {11010,17662}, {11263,13464}, {11522,33592}, {11573,18330}, {11604,37518}, {11826,11849}, {12047,35459}, {12115,12645}, {12513,34698}, {12761,38752}, {12773,24390}, {12943,35239}, {13391,41723}, {13465,21677}, {13528,45065}, {15174,37624}, {15908,22765}, {16005,34918}, {16128,20117}, {16139,43174}, {16154,17637}, {18253,37821}, {18406,33697}, {18513,35242}, {18515,26363}, {18525,40587}, {24466,31659}, {28174,34352}, {31479,35251}, {33110,37705}, {33668,34195}, {35610,35855}, {35611,35854}, {37561,46816}.
El centro de perspectividad de ABC y DEF es X5559.
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en DEF es el .
Coordenadas baricéntricas de los puntos que aparecen en este artículo:
Ba = (a : -a - c : 0), Ca = (a : 0 : -a - b).
B''a = (a b : -b (a+c) : a^2-b^2+2 a c+b c+c^2),
C''a = (a c : a^2+2 a b+b^2+b c-c^2 : -(a+b) c).
D = (a^5-a^4 (b+c)-(b-c)^2 (b+c)^3+a (b^2-c^2)^2-a^3 (2 b^2+3 b c+2 c^2)+2 a^2 (b^3+2 b^2 c+2 b c^2+c^3) :
-b c (b+c) (a^2-3 a b+b^2-c^2) : b c (b+c) (-a^2+b^2+3 a c-c^2)).
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ahora tomamos los puntos B'a y C'a sobre AB y AC, respectivamente, más cercanos a A y tales que
BC =
BB'a =
CC'a.
Siguiendo el mismo procedimiento de construcción que el expuesto anteriormente, de obtiene un triángulo D'E'F' ortológico con ABC.
D' = (a^5-a^4 (b+c)+2 a^2 (b-c)^2 (b+c)-(b-c)^4 (b+c)+a^3 (-2 b^2+5 b c-2 c^2)+a (b-c)^2 (b^2-4 b c+c^2) :
b (-a^2+a b+(b-c)^2) (b-c) c : -b (b-c) c (-a^2+(b-c)^2+a c).
El centro ortológico de ABC respecto a D'E'F' es X80.
El centro ortológico de D'E'F' respecto a ABC es X10742.
Los triángulos DEF y D'E'F' son ortológicos.
El centro de ortología de DEF respecto a D'E'F' es el simétrico del respecto al :
U = ( a^4-a^3 (b+c)-(b^2-c^2)^2+a^2 b c+a (b^3+b^2 c+b c^2+c^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(3.02063100769417, 1.26916358450300, 1.36787538139268).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {8, 2475}, {3632, 16126}, {5881, 16132}, {9897, 13146}, {16117, 18525}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {1, 442}, {21, 10}, {79, 2475}, {191, 21677}, {1482, 33592}, {3746, 24987}, {5441, 21}, {7972, 39778}, {10543, 6675}, {15680, 3647}, {16113, 16139}, {16126, 3649}, {16132, 37401}, {16139, 5690}, {16160, 18357}, {33858, 5499}, {34195, 11263}, {34773, 11277}, {41691, 13465}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,442}, {2,15079}, {4,5692}, {8,79}, {10,21}, {30,40}, {36,6734}, {46,10042}, {63,10483}, {72,3585}, {78,7951}, {101,21029}, {140,15015}, {145,6701}, {149,3884}, {165,44238}, {200,10827}, {201,38945}, {210,18480}, {226,41696}, {284,21675}, {377,5902}, {388,12777}, {392,4857}, {404,14804}, {452,41872}, {484,33961}, {498,17057}, {515,3651}, {517,37230}, {518,5270}, {519,5178}, {528,37563}, {594,16548}, {936,10826}, {946,31159}, {950,5259}, {952,5499}, {958,37286}, {960,3583}, {997,7741}, {1089,16086}, {1125,31254}, {1145,13089}, {1224,41506}, {1376,17665}, {1479,5175}, {1482,31140}, {1698,1837}, {1733,2550}, {1749,8256}, {1768,31775}, {1788,41547}, {1869,31902}, {2093,10045}, {2476,22836}, {2771,12751}, {2795,13178}, {2802,5559}, {2893,18698}, {2975,36975}, {3035,38411}, {3036,3065}, {3189,10056}, {3216,37717}, {3245,3626}, {3255,43731}, {3336,11112}, {3338,41574}, {3340,3632}, {3434,5697}, {3486,19854}, {3582,17614}, {3612,5705}, {3617,3647}, {3624,5722}, {3625,32634}, {3633,4863}, {3648,4678}, {3678,5080}, {3746,24987}, {3753,8261}, {3754,20612}, {3811,37719}, {3822,34772}, {3824,44840}, {3828,15671}, {3872,37707}, {3894,10404}, {3899,12699}, {3916,4316}, {3925,37730}, {3927,12943}, {3940,10895}, {4018,11552}, {4084,20292}, {4127,17484}, {4187,37718}, {4188,5442}, {4190,37524}, {4197,30143}, {4208,41862}, {4292,4880}, {4317,24477}, {4324,4640}, {4511,5443}, {4653,21674}, {4668,5223}, {4669,15679}, {4677,32049}, {4720,21081}, {4745,15678}, {4816,11544}, {4847,5288}, {4853,37708}, {4861,7972}, {4867,6737}, {4999,10609}, {5010,26066}, {5046,10176}, {5082,10629}, {5231,37618}, {5234,18253}, {5312,5725}, {5425,12609}, {5427,24914}, {5428,26446}, {5445,25440}, {5537,21669}, {5538,6831}, {5563,10916}, {5587,6841}, {5693,6923}, {5730,18393}, {5771,30264}, {5777,41698}, {5779,37001}, {5790,11248}, {5836,16152}, {5842,15910}, {5881,16132}, {5884,6951}, {5887,34789}, {6174,31650}, {6326,6842}, {6596,8068}, {6684,21161}, {6700,31263}, {6762,34690}, {6763,7354}, {6850,15071}, {6901,31870}, {6917,37625}, {6940,10265}, {7110,21018}, {7270,35616}, {8715,31660}, {9623,37711}, {9708,37292}, {9780,15674}, {9803,37163}, {9897,13146}, {9956,33596}, {10021,38042}, {10057,10914}, {10122,11024}, {10527,21842}, {10590,20007}, {10950,31419}, {11045,12649}, {11219,37561}, {11277,34773}, {11321,30119}, {11680,30144}, {12245,16125}, {12635,17532}, {12762,18908}, {13465,41691}, {15670,19875}, {15792,37152}, {15955,33136}, {16117,18525}, {16143,37712}, {16160,18357}, {16173,24387}, {17052,24435}, {17688,30165}, {18514,24703}, {18743,44784}, {19861,37720}, {19925,31160}, {20172,30124}, {20653,37369}, {21014,37508}, {21033,32431}, {21692,44253}, {21935,30115}, {22793,31165}, {22798,35448}, {22936,37829}, {25006,35989}, {26363,37525}, {26726,33593}, {28186,31651}, {28465,31423}, {30135,33045}, {30147,33108}, {30150,33825}, {31262,38410}, {31493,34471}, {31803,37437}, {33557,35099}, {37447,37714}, {37721,44256}, {40663,41697}.
El centro de ortología de D'E'F' respecto a DEF es el simétrico del del , respecto al antipodo del en la circunferencia de los nueve puntos:
V = ( a^10-a^9 (b+c)+2 a^7 (b-c)^2 (b+c)-(b-c)^6 (b+c)^4+a^8 (-3 b^2+4 b c-3 c^2)+a (b-c)^4 (b+c)^3 (b^2-3 b c+c^2)+a^5 b c (3 b^3-2 b^2 c-2 b c^2+3 c^3)+a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^4-b^3 c-b c^3+3 c^4)+a^6 (4 b^4-5 b^3 c+7 b^2 c^2-5 b c^3+4 c^4)-a^3 (b-c)^2 (2 b^5-5 b^3 c^2-5 b^2 c^3+2 c^5)-a^4 (4 b^6+b^4 c^2-6 b^3 c^3+b^2 c^4+4 c^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-7.73880848712366, -10.9261502467636, 14.7766801083393).
Es el punto medio de X153 y X14450.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {80, 37230}, {104, 11263}, {191, 119}, {3065, 6841}, {11604, 16125}, {12119, 34600}, {12515, 5499}, {13743, 12611}, {16113, 35204}, {46816, 33594}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,6599}, {5,1768}, {21,10165}, {30,6265}, {65,79}, {104,11263}, {119,191}, {153,14450}, {546,12600}, {758,12751}, {952,16126}, {2475,2800}, {2829,16132}, {3065,6841}, {4301,10698}, {5426,11729}, {5443,12611}, {5499,12515}, {5531,37826}, {5840,13146}, {6326,37468}, {6831,12615}, {6839,9809}, {6842,13089}, {6905,21635}, {7491,16143}, {7548,10265}, {9964,11604}, {10021,38410}, {10058,14526}, {10074,33593}, {10266,13729}, {12761,17653}, {12764,17637}, {12913,31870}, {13465,38755}, {16113,35204}, {16118,45764}, {16152,33594}, {16173,33592}, {22937,38752}.
- Martes, 22 de febrero del 2022
Un problema de construcción de cónicas
En el día de hoy se cumplen 25 años del anuncio, el 22 de febrero de 1997, del nacimiento de la oveja Dolly (5 de julio de 1996-14 de febrero de 2003), que fue el primer mamífero clonado a partir de una célula adulta. Sus creadores fueron los científicos del Instituto Roslin de Edimburgo (Escocia), Ian Wilmut y Keith Campbell.
Dados una recta e1, un punto F sobre ella y dos puntos, P1 y P2, alineados con F, existe una cónica (e1FP1P2) con foco F, eje e1 y que pasa por P1 y P2.
En un triángulo ABC, se designan por 𝒶, 𝒷, 𝒸 las rectas BC, CA, AB, respectivamente, existen dos parábolas (𝒸ACV1) y (𝒸ACV2), cuyas directrices se denotan por d1 y d2, respectivamente.
Si (1:0:t) son las coordenada baricéntricas de un punto V sobre la recta AC, la ecuación de la cónica (𝒸ACV) se obtiene considerando el haz de cónicas CC'·VV' + λ AC·AC' (donde C' y V' son los simétricos de C y V, respecto a AB),
(a^2 x-b^2 x-c^2 x+a^2 y-b^2 y+c^2 y) (a^2 t x-b^2 t x-c^2 t x+2 c^2 y+a^2 t y-b^2 t y+c^2 t y-a^2 z+b^2 z+c^2 z)+4 λy(c^2 y-a^2 z+b^2 z+c^2 z) = 0,
e imponiendo que un foco sea A: 16 b^2 t λ - 4 = 0. Por lo que la ecuación de la cónica (𝒸ACX) es:
4 b^2 t^2 (a^2 x-b^2 x-c^2 x+a^2 y-b^2 y+c^2 y)^2-4 b^2 t (a^2 x-b^2 x-c^2 x+a^2 y-b^2 y+c^2 y) (-2 c^2 y+a^2 z-b^2 z-c^2 z)+(a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) y (-c^2 y+a^2 z-b^2 z-c^2 z) = 0.
Esta cónica es parábola si (a^2-(b-c)^2+4 b c t) (-a^2+(b+c)^2+4 b c t) = 0. Obteniéndose las dos parábolas:
𝒫ac1 : (a-b-c) (a+b+c) x^2+2 (a^2-b^2-2 b c+c^2) x y+(a^2-b^2-2 b c+3 c^2) y^2-4 b c x z-4 (b-c) c y z = 0,
𝒫ac2 : (a+b-c) (a-b+c) x^2+2 (a^2-b^2+2 b c+c^2) x y+(a^2-b^2+2 b c+3 c^2) y^2+4 b c x z+4 c (b+c) y z = 0.
Sus respectivas directrices son:
dac1: (a^2-(b+c)^2) x+(a^2-b^2-2 b c+c^2) y-2 b c z = 0,
dac2: (a^2-(b-c)^2) x+(a^2-b^2+2 b c+c^2) y+2 b c z = 0.
Si ahora partimos de las cónicas (𝒷ABW), siendo W un punto sobre AB, obtendremos las directrices de las dos párabolas de esta familia de cónicas:
dab1: (a^2-(b+c)^2) x-2 b c y+(a^2-c^2-2 b c+b^2) z = 0,
dab2: (a^2-(b-c)^2) x+2 b c y+(a^2-c^2+2 b c+b^2) z = 0.
Estas cuatro directrices forman un paralelogramo, con centro en el ortocentro, del que una de sus diagonales es la altura relativa al vértice A, y la otra (que es la polar de A respecto a la circunferencia de diámetro BC),
2 (-a^2 + b^2 + c^2) x +(-a^2 + b^2 - c^2)y +(-a^2 - b^2 + c^2)z=0,
corta, respectivamente, a las rectas AC y AB en los puntos:
Ab=(-a^2-b^2+c^2:0:2 (a^2-b^2-c^2)) y
Ac=(a^2-b^2+c^2:,2 (-a^2+b^2+c^2):0).
Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb, se definen cíclicamente.
Los seis puntos
Ab,
Ac,
Bc,
Ba,
Ca,
Cb están sobre una cónica (denominada en "Montesdeoca conic") cuyo centro es
X5702 y ecuación
𝔖abc xyz
2 (a^4+b^4+2 b^2 c^2+c^4+a^2 (-2 b^2-2 c^2)) x^2-5 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) y z = 0.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Las parábolas 𝒫ac1 y 𝒫ac2 vuelven a cortar a la recta AC en los puntos:
Ac1=(4 b c:0:a^2-(b+c)^2) y
Ac2= (4 b c:0:-a^2+(b-c)^2 ).
Las parábolas 𝒫ab1 y 𝒫ab2 vuelven a cortar a la recta AB en los puntos:
Ab1=(4 b c:a^2-(b+c)^2:0) y
Ab2= (4 b c:-a^2+(b-c)^2:0).
Las diagonales del trapecio Ab1Ab2Ac2Ac1
se cortan en el punto (sobre la mediana por A):
A' = (16 b^2 c^2:a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2):a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)).
Cíclicamente se determinan los puntos B' y C'.
Las paralelas por A', B', C' a BC, CA, AB, respectivamente, forman un triángulo A"B"C".
Los triángulos
ABC y
A"B"C" son perspectivos con centro de perspectividad
X37874.
- Sábado, 12 de febrero del 2022
Puntos moviéndose sobre dos circunferencias a la misma velocidad
El 12 de febrero de 1888
nació en Madrid Clara Campoamor, abogada y política pionera del feminismo, por tanto firme defensora de los derechos de la mujer por la igualdad y principal impulsora del derecho al voto femenino en España, aprobado en diciembre de 1931, y ejercido por primera vez por las mujeres en las elecciones de 1933. Al estallar la Guerra Civil se exilió a Lausana dode murió en 1974 a los 84 años.
Dado un triángulo ABC, sean Γ su circunferencia circunscrita, con de radio R, Γa la circunferencia de diámetro BC y A'B'C' el .
Dos puntos M y Mac, con posición inicial en C, recorren las circunferencias Γ y Γa, respectivamente, en el mismo sentido y con la misma velocidad angular, entonces ellos equidistan de un punto fijo Ac. Ver
1979 IMO Problem 3 (USS) y
Art of Problem Solving
Si un punto M'ac recorre la circunferencia Γa con la misma velocidad angular que M pero en sentido contrario y ambos tienen posición inicial en C, entonces ellos equidistan de otro punto fijo Ab.
Cuando dos puntos M y Mac, con posición inicial en B, recorren las circunferencias Γ y Γa, respectivamente, en el mismo sentido y con la misma velocidad angular, entonces ellos equidistan del punto Ab.
Si un punto M'ab recorre la circunferencia Γa con la misma velocidad angular que M pero en sentido contrario y ambos tienen posición inicial en B, entonces ellos equidistan del punto Ac.
El punto Ab es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos MMab y MM'ac y el punto Ac es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos MMac y MM'ab.
Se tienen otras construcciones de los puntos Ab y Ac, a saber:
1) Ab y Ac son los puntos de intersección de la paralela por el circuncentro a BC, con la circunferencia A'(R), de centro A' y radio R.
2)
Ab y Ac son los puntos Hac y Hab (descritos en Euclid #3601, Antreas Hatzipolakis) de reflexión de Ha, ortocentro de AB'C', en las rectas A'C' y A'B', respectivamente.
El lugar geométrico, cuando M se mueve sobre Γ, que describe el punto Ma, de intersección de las mediatrices de MMab y MMac, es la circunferencia A'(R).
El lugar geométrico, cuando M se mueve sobre Γ, que describe el punto M'a, de intersección de las mediatrices de MM'ab y MM'ac, es una
hipérbola
( a^12 x^2-6 a^10 b^2 x^2+14 a^8 b^4 x^2-16 a^6 b^6 x^2+9 a^4 b^8 x^2-2 a^2 b^10 x^2-6 a^10 c^2 x^2+20 a^8 b^2 c^2 x^2-8 a^6 b^4 c^2 x^2-36 a^4 b^6 c^2 x^2+46 a^2 b^8 c^2 x^2-16 b^10 c^2 x^2+14 a^8 c^4 x^2-8 a^6 b^2 c^4 x^2-26 a^4 b^4 c^4 x^2-44 a^2 b^6 c^4 x^2+64 b^8 c^4 x^2-16 a^6 c^6 x^2-36 a^4 b^2 c^6 x^2-44 a^2 b^4 c^6 x^2-96 b^6 c^6 x^2+9 a^4 c^8 x^2+46 a^2 b^2 c^8 x^2+64 b^4 c^8 x^2-2 a^2 c^10 x^2-16 b^2 c^10 x^2-2 a^10 b^2 x y+8 a^8 b^4 x y-12 a^6 b^6 x y+8 a^4 b^8 x y-2 a^2 b^10 x y+2 a^10 c^2 x y+8 a^8 b^2 c^2 x y-36 a^6 b^4 c^2 x y+40 a^4 b^6 c^2 x y-14 a^2 b^8 c^2 x y-8 a^8 c^4 x y-28 a^6 b^2 c^4 x y+16 a^4 b^4 c^4 x y+20 a^2 b^6 c^4 x y+12 a^6 c^6 x y+40 a^4 b^2 c^6 x y+12 a^2 b^4 c^6 x y-8 a^4 c^8 x y-18 a^2 b^2 c^8 x y+2 a^2 c^10 x y-a^12 y^2+4 a^10 b^2 y^2-6 a^8 b^4 y^2+4 a^6 b^6 y^2-a^4 b^8 y^2+4 a^10 c^2 y^2-12 a^8 b^2 c^2 y^2+12 a^6 b^4 c^2 y^2-4 a^4 b^6 c^2 y^2-6 a^8 c^4 y^2+12 a^6 b^2 c^4 y^2-6 a^4 b^4 c^4 y^2+4 a^6 c^6 y^2-4 a^4 b^2 c^6 y^2-a^4 c^8 y^2+2 a^10 b^2 x z-8 a^8 b^4 x z+12 a^6 b^6 x z-8 a^4 b^8 x z+2 a^2 b^10 x z-2 a^10 c^2 x z+8 a^8 b^2 c^2 x z-28 a^6 b^4 c^2 x z+40 a^4 b^6 c^2 x z-18 a^2 b^8 c^2 x z+8 a^8 c^4 x z-36 a^6 b^2 c^4 x z+16 a^4 b^4 c^4 x z+12 a^2 b^6 c^4 x z-12 a^6 c^6 x z+40 a^4 b^2 c^6 x z+20 a^2 b^4 c^6 x z+8 a^4 c^8 x z-14 a^2 b^2 c^8 x z-2 a^2 c^10 x z+2 a^12 y z-8 a^10 b^2 y z+12 a^8 b^4 y z-8 a^6 b^6 y z+2 a^4 b^8 y z-8 a^10 c^2 y z+8 a^8 b^2 c^2 y z+8 a^6 b^4 c^2 y z-8 a^4 b^6 c^2 y z+12 a^8 c^4 y z+8 a^6 b^2 c^4 y z-20 a^4 b^4 c^4 y z-8 a^6 c^6 y z-8 a^4 b^2 c^6 y z+2 a^4 c^8 y z-a^12 z^2+4 a^10 b^2 z^2-6 a^8 b^4 z^2+4 a^6 b^6 z^2-a^4 b^8 z^2+4 a^10 c^2 z^2-12 a^8 b^2 c^2 z^2+12 a^6 b^4 c^2 z^2-4 a^4 b^6 c^2 z^2-6 a^8 c^4 z^2+12 a^6 b^2 c^4 z^2-6 a^4 b^4 c^4 z^2+4 a^6 c^6 z^2-4 a^4 b^2 c^6 z^2-a^4 c^8 z^2 = 0)
ℋa, con un foco A', que pasa por Ab y Ac.
La hipérbola ℋa pasa además por los extremos del diámetro BC en la circunferencia A'(R), por A'b=A'Ab∩BAc y A'c=A'Ac∩CAb.
El centro Oa de ℋa tiene coordenadas baricéntricas:
(16 a^2 b^2 c^2 (a^2-b^2-c^2):
-a^8-b^8+24 b^6 c^2-30 b^4 c^4+8 b^2 c^6-c^8+4 a^6 (b^2+c^2)-6 a^4 (b^4+c^4)+4 a^2 (b^6-7 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6):
-a^8-b^8+8 b^6 c^2-30 b^4 c^4+24 b^2 c^6-c^8+4 a^6 (b^2+c^2)-6 a^4 (b^4+c^4)+4 a^2 (b^6-3 b^4 c^2-7 b^2 c^4+c^6)).
Se definen cíclicamente los puntos Ob y Oc.
Los triángulos ABC y son , el centro ortológico de respecto a ABC es el circuncentro y el centro ortológico de ABC respecto a es:
W = ( : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-11.8945294909908, -12.3916969706386, 17.7093144574222).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,3917}, {53,39662}, {1595,8796}.
- Miércoles, 9 de febrero del 2022
===========================
El 9 de febrero de 1881 fallece, a los 59 años, Fiodor Mijailovich Dostoievsky, escritor ruso. Su adicción al juego y al alcohol unida a una recurrente epilepsia marcarían el devenir de su obra, que se caracterizó por poner el acento en los valores espirituales de sus personajes y por una fiel representación de la realidad de su época. Entre sus obras más conocidas destacan "Crimen y castigo", "El jugador", "El idiota" y "Los hermanos Karamázov".
Dado un triángulo ABC, sea DEF el triángulo incentral ( del incentro, X1) y Ab, Ac las proyecciones ortogonales de D sobre AC, AB, respectivamente. Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb se definen cíclicamente.
Los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb están sobre una cónica, denominada "1st Lozada conic" cuyo centro es X(9724).
Por consiguiente, el triángulo de vértices A' = BaBc∩CaCb,
B' = CbCa∩AbAc,
C' = AcAb∩BcBa es perspectivo con ABC. El centro de perspectividad X79.
A"B"C" is the reflection triangle of X
1. The lines
AA", BB", CC" concur in
X79. (Randy Hutson, July 20, 2016)
En coordenadas baricéntricas:
A' =(-a (2 a b c+a^2 (b+c)-(b-c)^2 (b+c)) : a^4+a^3 b-b^4-2 a^2 c^2+c^4-a b (b^2+c^2) :
a^4-2 a^2 b^2+b^4+a^3 c-c^4-a c (b^2+c^2)),
A" = (-a^2 : a^2+a b+b^2-c^2 : a^2-b^2+a c+c^2).
Los triángulos A'B'C' y A"B"C" son . El centro de perspectividad es X79, el centro de ortología de A"B"C" respecto a A'B'C' es X5903 y el centro de ortología de A'B'C' respecto a A"B"C" es
W = ( a (b+c) (a^5+a^4 (b+c)+a^2 b c (b+c)+a^3 b c+a (-b^4+b^3 c+2 b^2 c^2+b c^3-c^4)
-b^5
+b^3 c^2+b^2 c^3-c^5) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.650862133011201, 0.298602199089267, 3.13354197499433).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,19}, {8,79}, {10,4463}, {23,3743}, {35,3101}, {65,23604}, {72,594}, {226,1825}, {387,5902}, {612,26253}, {910,25090}, {950,1831}, {960,7359}, {976,4137}, {1010,18719}, {1334,4456}, {1698,11221}, {1717,1773}, {1724,32118}, {1762,1780}, {1770,8680}, {2831,13442}, {3187,3874}, {3724,14798}, {4278,16585}, {4294,20061}, {5259,25081}, {5300,20896}, {5425,17016}, {5767,5884}, {5797,31870}, {5802,10399}, {9895,40959}, {11102,16568}, {11508,42440}, {12047,37371}, {29667,31100}, {41340,43214}.
X(5903) = REFLECTION OF X(1) IN X(65)
Let P
a be the reflection of X(1) in line BC, and define P
b and P
c cyclically; then X(5903) is the isogonal conjugate of X(1) with respect to P
aP
bP
c. (Quang Tuan Bui,
Hyacinthos #20331, November 10, 2011)
- Lunes, 7 de febrero del 2022
X(36829) sobre la "mid-cevian cubic" del centro de la parábola de Kiepert
El 7 de febrero de 1812 nació Charles Dickens. Fue un famoso novelista inglés, quien supo manejar con maestría el género narrativo, el humor, el sentimiento trágico de la vida, la ironía, con una aguda crítica social así como las descripciones de gentes y lugares, tanto reales como imaginarios. Entre sus obras están "Oliver Twist", "Cuento de Navidad", "David Copperfield", "Tiempos difíciles", "Historia de dos ciudades" y "Grandes esperanzas".
En un triángulo ABC, sea el . La tangente en A a la circunferencia circunscrita corta a MaMb en A2 y a
MaMb en A3, respectivamente. Las rectas
CA2 y BA3 vuelven a corta a la circunferencia circunscrita en A'2 y A'3, respectivamente. Finalmente,
MaMb corta a BA'2 en Ab y
MaMc corta a CA'3 en Ac.
Los puntos Bc, Ba y Ca,
Cb se definen cíclicamente.
Sean los puntos (que están sobre la ) A0=BBa∩CCa,
B0=CCb∩AAb,
C0=AAc∩BBc.
Sea DEF el triángulo formado por las perpendiculares por A0, B0, C0 a BC, CA, AB, respectivamente.
El de la recta de Euler de
ABC, respecto a
DEF, es
X36829.
A2 = (b^2+c^2 : -b^2 : c^2),
A3 = (b^2+c^2 : b^2 : -c^2).
A'2 = ((b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2) : -b^2 (-a^2+b^2+c^2) : c^2 (b^2+c^2)),
A'3 = ((b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2) : b^2 (b^2+c^2) : -c^2 (-a^2+b^2+c^2)).
Ab = (-a^2 + b^2 + c^2 : a^2 - b^2 : c^2),
Ac = (-a^2+b^2+c^2 : b^2 : a^2-c^2).
A0 = ((a^2-b^2) (a^2-c^2) : -a^2 b^2+b^4 : -a^2 c^2+c^4).
D = (-a^4 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) : (a-b) (a+b) (b-c) (b+c) (a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+2 c^2)) :
(a-c) (a+c) (-b+c) (b+c) (a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (2 b^2+c^2))).
Ocurre también que si U=BBc∩CCb,
V=CCa∩AAc,
W=AAb∩BBa, entonces UVW es el , respecto al triángulo antipodal de ABC, del .
Mid-Cevian Cubics (Bernard Gibert)
These cubics are introduced by Clark Kimberling and Peter Moses in the
preamble just before X(36810) in ETC as follows.
Let P = p : q : r and U = u : v : w be points not on the sidelines BC, CA, AB of a triangle ABC.
Let A'B'C' and A"B"C" be the cevian triangles of P, U respectively and A* be the midpoint of A' and A''. Define B* and C* cyclically.
The triangle A*B*C* is named the mid-trace triangle of P and U, denoted by M(P,U)
For given P, the locus of a point X = x : y : z such that M(P,X) is the cevian triangle of some point Q is given by the cubic
p (q r + r^2 + q p) y^2 z - p (q r + q^2 + r p) y z^2 + (cyclic) + (p - q) (p - r) (q - r) x y z = 0,
named the mid-cevian cubic of P, denoted by MC(P).
When X varies on MC(P), the locus of Q is a very similar cubic MC'(P) with equation
p (p q+3 p r+q r+r^2) y^2 z - p (3 p q+q^2+p r+q r) y z^2+ (cyclic) +(p - q) (p - r) (q - r) x y z = 0.
En en el caso particular de que P=X110, centro de la la cúbica MC(X110) es:
(a - b) (a + b) (a - c) (b - c) (a + c) (b + c) (a^4 + b^4 - a^2 c^2 -
b^2 c^2) (a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 - c^4) (a^4 - a^2 b^2 -
b^2 c^2 + c^4) x y z +
𝔖abc xyz
a^2 (a - b) (a + b) (a - c)^3 (b - c) (a + c)^3 (b + c) (a^4 b^2 -
2 a^2 b^4 + b^6 + a^2 b^2 c^2 - b^4 c^2 - b^2 c^4 + c^6) y^2 z +
a^2 (a - b)^3 (a + b)^3 (a - c) (b - c) (a + c) (b + c) (b^6 +
a^4 c^2 + a^2 b^2 c^2 - b^4 c^2 - 2 a^2 c^4 - b^2 c^4 + c^6) y z^2 = 0.
Centros del triángulo sobre esta cúbica, Xi, para i ∈ {110 (doble), 476, 850, 9140, 9146, 17708, 27867, 36827, 36828, 36829 , 36830, 36831, 36885, 36886}.
X36829 es el punto de intersección de la cúbica MC(X110) con la recta que pasa por su punto doble, X110, y es perpenedicular a X3X110.
M(X110, X36829) es el triángulo ceviano de:
W = ( a^2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) (2 a^4-4 a^2 b^2+2 b^4-a^2 c^2-b^2 c^2-c^4) (a^2 b^2-b^4+a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) (2 a^4-a^2 b^2-b^4-4 a^2 c^2-b^2 c^2+2 c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-0.577342525327085, -0.210253565198884, 4.05269042334995).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,265}, {110,14590}, {418,44715}, {4240,6528}, {14314,36829}, {35098,43530}.
- Sábado, 5 de febrero del 2022
X(12) punto fijo de una afinidad
Tal día como hoy, el 5 de febrero de 1939 el President Lluís Companys y el Lehendakari José Antonio Aguirre marcharon al exilio- por el Coll de Lli , situado en el término municipal de La Vajol (Alt Empordà).
X(12) = {X(1),X(5)}-HARMONIC CONJUGATE OF X(11)
Let A'B'C' be the touch points of the nine-point circle with the A-, B-, C- excircles, respectively. The lines AA', BB', CC' concur in X(12).
Dado un triángulo ABC, sean DEF el de su incentro y A' el punto de intersección de la mediana por A con la perpendicular por D a BC. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica ABC en A'B'C' es X12.
En coordenadas baricéntricas:
A' = (2 a^2 : (-a+b+c) (a + b + c) : (-a+b+c) (a + b + c)).
σ (x:y:z)=
(2 a^2 (a+b)^2 (a+c)^2 x+(a+b)^2 (a-b+c) (b+c)^2 (a+b+c) y+(a+b-c) (a+c)^2 (b+c)^2 (a+b+c) z : ... : ...).
Pares {Xi, Xj=σ(Xi)} para {i, j}: {12, 12}, {594, 1100}, {3695, 23537}, {8736, 1950}, {26942, 2003}.
- Miércoles, 2 de febrero del 2022
Pares de rectas conjugadas isotómicas a través de los vértices de un triángulo
El 2 de febrero del 1882
nació en Dublín (Irlanda) el escritor James Joyce.
El éxito le llegó en 1922 cuando publicó "Ulises", uno de los libros clave en la revolución de la novela en el siglo XX. Inspirada en la Ilíada de Homero, propone una combinación de las tradiciones literarias del realismo, el naturalismo y el simbolismo plasmándolos en un estilo y una técnica novedosas.
Dado un punto P en el plano de un triángulo ABC (no en la recta del infinito), sean el de P, A' y A" puntos sobre BC tales que BA':A'C=CA":A"B=AP:PPa (A' y A" son simétricos respecto al punto medio de BC). Los puntos B', B" y C', C", se definen de forma análoga. Entonces, los seis puntos A', A", B', B", C', C" están sobre una misma cónica, co(P).
Si (u:v:w) son las coordenadas de P, respecto a ABC, la ecuación de co(P) es:
𝔖uvw xyz
v w(u+v)(u+w) (u (v+w) x^2-(u^2+(v+w)^2) y z) = 0.
co(
P) es una si y solo si
P está sobre la cúbica Tucker-Poncelet,
K327 del catálogo de Bernard Gibert.
K327: x y z+x (y^2+z^2)+y (x^2+z^2)+z(x^2+y^2) = 0.
Cuando P está sobre K327, su , respecto a co(P), es la recta P'P", donde P', P" son los centros de perspectividad de ABC y los triángulos A'B'C', A"B"C", respectivamente.
El centro de la cónica co(P) es:
Q = (v w(u+v)(u+w) (u^2 (v^2+v w+w^2)+u v w (v+w)-v^2 w^2) : .... : ....).
Pares {P=Xi, Q=Xj}, para los índices {i, j}: {1,34021}, {2,2}, {4,6374}, {7,6376}, {8,40593}, {75,6626}, {76,41884}, {92,40605}, {99,31998}, {190,6631}, {253,6337}, {290,39058}, {330,9}, {648,39062}, {664,10001}, {668,9296}, {670,9428}, {671,39061}, {903,9460}, {1029,40603}, {1031,39}, {1494,9410}, {1916,36899}, {2113,18277}, {2481,33675}, {2996,1249}, {2998,3}, {3226,33678}, {3346,6338}, {4373,3160}, {4552,39054}, {6339,6523}, {6553,17113}, {6625,37}, {6630,1086}, {7361,6505}, {8047,40619}, {9295,1015}, {9473,5976}, {10405,3161}, {11121,40578}, {11122,40579}, {11794,36830}, {13485,36901}, {15351,15526}, {18026,39060}, {19776,30471}, {19777,30472}, {34287,6503}, {35058,40592}, {35061,3343}, {35511,115}, {39694,223}, {39696,40837}, {39698,40594}, {39703,24151}, {39719,35068}, {39925,36906}, {39939,39092}, {39953,141}, {40042,6292}, {42483,6552}, {42486,206}, {43670,40839}, {44765,39053}.
La cónica co(P) degenera (en el producto de dos rectas) cuando P está en la .
Los números en negrita, en la lista anterior, corresponden a puntos sobre la elipse circunscrita de Steiner. El segundo elemento del par corresponde al punto de intersección de las rectas A'B'C' y A"B"C".
El lugar geométrico del punto de intersección, Q, de las rectas A'B'C' y A"B"C", cuando P recorre la elipse circunscrita de Steiner, es el del baricentro y P, que está sobre la cuártica tangente en los vértices de ABC a la elipse circunscrita de Steiner y que pasa por los puntos medios de su lados (dobles), de ecuación:
𝔖abc xyz
(x^2 - (y - z)^2) y z = 0.
Esta curva contiene a los centros Xi, para i∈ {6631, 9296, 9410, 9428, 9460, 10001, 31998, 33675, 33678, 39058, 39060, 39061, 39062}.
La cónica co(
P) es hipérbola rectangular si y solo si
P está en la cuártica 𝒬 de ecuación:
𝔖abc xyz
y z ((a^2+b^2+c^2) x^2+(-a^2+b^2+c^2) y z) = 0.
Si P recorre la circunferencia circunscrita a ABC y Q es el centro de co(P), entonces el aQ de Q recorre la cuártica 𝒬. Por lo que co(aQ) es una hipérbola rectangular, cuyo centro es el complemento de P (sobre la ). En particular, si P es el , el anticomplemento del centro de la cónica co(X99) es X35511. Éste es el único centro de que está sobre 𝒬, al cual le corresponde la hipérbola rectangular, con el mismo centro que la , y ecuación:
𝔖abc xyz
(b^2-c^2)(2 (a^2-b^2) (a^2-c^2) (a^4-3 a^2 b^2+b^4+a^2 c^2+b^2 c^2-c^4) (a^4-a^2 b^2-b^4-a^2 c^2+3 b^2 c^2-c^4) (a^4+a^2 b^2-b^4-3 a^2 c^2+b^2 c^2+c^4)x^2+
(5 a^16
-20 a^14 (b^2+c^2)
+14 a^12 (b^4+8 b^2 c^2+c^4)
+28 a^10 (b^6-6 b^4 c^2-6 b^2 c^4+c^6)
-5 a^8 (5 b^8+8 b^6 c^2-96 b^4 c^4+8 b^2 c^6+5 c^8)
-20 a^6 (b^10-10 b^8 c^2+16 b^6 c^4+16 b^4 c^6-10 b^2 c^8+c^10)
+a^4 (26 b^12-96 b^10 c^2-60 b^8 c^4+400 b^6 c^6-60 b^4 c^8-96 b^2 c^10+26 c^12)
-4 a^2 (2 b^14-b^12 c^2-21 b^10 c^4+25 b^8 c^6+25 b^6 c^8-21 b^4 c^10-b^2 c^12+2 c^14)
+b^16-2 b^12 c^4-24 b^10 c^6+55 b^8 c^8-24 b^6 c^10-2 b^4 c^12+c^16
)y z) = 0.
El único centro del triángulo P, para el cual la cónica co(P) es circunferencia, es X2998.
El centro de co(X2998) es el circuncentro y su ecuación es:
a^2 y z+b^2 x z+c^2 x y+
(x+y+z) ((2 (a^8 b^8 c^2-a^8 b^6 c^4-a^6 b^8 c^4-a^8 b^4 c^6+2 a^6 b^6 c^6-a^4 b^8 c^6+a^8 b^2 c^8-a^6 b^4 c^8-
a^4 b^6 c^8+a^2 b^8 c^8) x)/(a^4 b^4-2 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^4 c^2+a^4 c^4-2 a^2 b^2 c^4+b^4 c^4)^2+
(2 (a^8 b^8 c^2-a^8 b^6 c^4-a^6 b^8 c^4-a^8 b^4 c^6+2 a^6 b^6 c^6-a^4 b^8 c^6+a^8 b^2 c^8-a^6 b^4 c^8-
a^4 b^6 c^8+a^2 b^8 c^8) y)/(a^4 b^4-2 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^4 c^2+a^4 c^4-2 a^2 b^2 c^4+b^4 c^4)^2+
(2 (a^8 b^8 c^2-a^8 b^6 c^4-a^6 b^8 c^4-a^8 b^4 c^6+2 a^6 b^6 c^6-a^4 b^8 c^6+a^8 b^2 c^8-a^6 b^4 c^8-
a^4 b^6 c^8+a^2 b^8 c^8) z)/(a^4 b^4-2 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^4 c^2+a^4 c^4-2 a^2 b^2 c^4+b^4 c^4)^2) = 0.
- Martes, 1 de febrero del 2022
X(15345) punto fijo de una transformación afín
En memoria de mi hija Marta
X(15345) = Dao image of X(5)
Let P be an arbitrary point in the plane of a triangle ABC. Let O
A be the centere of the circumcircle of BPC. Let L
A be the line through O
A parallel to line AP, and define L
B and L
C cyclically. The lines L
A, L
B, L
C concur in a point Q = Q(P), here named the
Dao image of P. (Dao Thanh Oai, November 20, 2017).
Dado un triángulo ABC con incentro I=X1, circuncentro O=X3 y centro de la N=X5, sean Na, Nb, Nc los puntos medios de los segmentos AN, BN, CN, respectivamente, y las circunferencias Γa=(NNbNc), Γb=(NNcNa), Γa=(NNaNb). Entonces, las reflexiones de estas circunferencias en BC, CA, AB, respectivamente, son concurrentes en el X(5) del , X143 (Euclid #4120, Antreas Hatzipolakis y Francisco Javier García Capitán).
Si Γ'a, Γ'b, Γ'b son las circunferencias reflexiones de Γa, Γb, Γc en BC, CA, AB, respectivamente, existe una
circunferencia
(Ecuación baricéntrica:
a^6 x^2-3 a^4 b^2 x^2+3 a^2 b^4 x^2-b^6 x^2-3 a^4 c^2 x^2+3 a^2 b^2 c^2 x^2+b^4 c^2 x^2+3 a^2 c^4 x^2+b^2 c^4 x^2-c^6 x^2+6 a^4 c^2 x y-10 a^2 b^2 c^2 x y+6 b^4 c^2 x y-12 a^2 c^4 x y-12 b^2 c^4 x y+6 c^6 x y-a^6 y^2+3 a^4 b^2 y^2-3 a^2 b^4 y^2+b^6 y^2+a^4 c^2 y^2+3 a^2 b^2 c^2 y^2-3 b^4 c^2 y^2+a^2 c^4 y^2+3 b^2 c^4 y^2-c^6 y^2+6 a^4 b^2 x z-12 a^2 b^4 x z+6 b^6 x z-10 a^2 b^2 c^2 x z-12 b^4 c^2 x z+6 b^2 c^4 x z+6 a^6 y z-12 a^4 b^2 y z+6 a^2 b^4 y z-12 a^4 c^2 y z-10 a^2 b^2 c^2 y z+6 a^2 c^4 y z-a^6 z^2+a^4 b^2 z^2+a^2 b^4 z^2-b^6 z^2+3 a^4 c^2 z^2+3 a^2 b^2 c^2 z^2+3 b^4 c^2 z^2-3 a^2 c^4 z^2-3 b^2 c^4 z^2+c^6 z^2 = 0)
coaxial con Γ'b y Γ'c, con Γ'c y Γ'a, y con
Γ'a y Γ'b, cuyo centro es el punto medio de ON, X140 y :
W = ( 1/(3 a^8-9 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (9 b^4+b^2 c^2+9 c^4)+a^2 (-3 b^6+17 b^4 c^2+17 b^2 c^4-3 c^6)-9 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.686601952326363, 0.788473487953147, 2.7779050122508).
Sean los puntos A', B', C', distintos de X143, de intersección de las circunferencias Γ'b y Γ'c, Γ'c y Γ'a,
Γ'a y Γ'b, respectivamente.
El punto fijo finito de las aplicación afín σ, que transforma ABC en A'B'C', es X15345.
σ(x:y:z)=
(-(a^6+(b^2-c^2)^3-a^4 (b^2+3 c^2)-a^2 (b^4+3 b^2 c^2-3 c^4)) (a^6-(b^2-c^2)^3-a^4 (3 b^2+c^2)+a^2 (3 b^4-3 b^2 c^2-c^4)) (2 a^10-9 a^8 (b^2+c^2)-2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (9 b^4+11 b^2 c^2+9 c^4)+a^6 (17 b^4+20 b^2 c^2+17 c^4)-a^4 (17 b^6+10 b^4 c^2+10 b^2 c^4+17 c^6)) x+
a^2 (a^4+b^4-b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) (-(b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) (a^6+(b^2-c^2)^3-a^4 (b^2+3 c^2)-a^2 (b^4+3 b^2 c^2-3 c^4)) (a^6-3 a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4)) y+
a^2 (a^4+b^4-b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) (-(b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) (a^6-(b^2-c^2)^3-a^4 (3 b^2+c^2)+a^2 (3 b^4-3 b^2 c^2-c^4)) (a^6-3 a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4)) z):...:...).
σ aplica X21230 en el complemento del .
- Domingo, 30 de enero del 2022
Bisectrices y triángulos homotéticos
El “concierto de la terraza” de Los Beatles ocurrió el 30 de enero de 1969 en la azotea de Apple Records. Hacía tres años que nadie los veía actuar sobre un escenario. Lo hicieron para el documental de Let it be y grabaron cinco temas. Nunca más se volverían a reunir en un escenario.
Art Of Problem Solving Jan 29, 2022
Source: II Kolmogorov Memory Cup / Tournament 1999
Median
AK is drawn in
ABC. In
AKB and
AKC, the angle bisectors
KL and
KM were drawn. Prove that
LM ||
BC.
(S.L. Berlov)
Dado un triángulo ABC, sea DEF el , la bisectriz interior en el vértice D del triángulo ADB corta a AB en Ab y la bisectriz interior en el vértice D del triángulo ADC corta a AC en Ac. Entonces, AbAc y BC son paralelas.
En coordenadas baricéntricas:
Ab = (a : Sqrt[-a^2+2 (b^2+c^2)] : 0),
Ac = ( a : 0 : Sqrt[-a^2+2 (b^2+c^2)]).
Los puntos Ba, Bc y
Ca, Cb se definen cíclicamente.
El centro de homotecia de ABC y el triángulo formado por las rectas AbAc, BcBa, CaCb es:
W = ( (a Sqrt[-a^2+2 b^2+2 c^2])/(-a^2+2 b^2+2 c^2+a Sqrt[-a^2+2 b^2+2 c^2]) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.47294397781313, 1.49477906623535, 1.92599713860000).
- Jueves, 27 de enero del 2022
Reflexión de la circunferencia circunscrita en el incentro
János Bolyai (15 de diciembre de 1802 - 27 de enero de 1860) fue un matemático húngaro. Famoso por sus trabajos acerca de la geometría no euclideana, compartiendo la autoría de su descubrimiento de forma independiente con el alemán Carl Friedrich Gauss y con el ruso Nikolái Lobachevski.
Reflections of circumcircle-points in the incenter
Clark Kimberling and Peter Moses, November 10, 2016.
Suppose that P is a point on the circumcircle of a triangle ABC, and let
P' = reflection of P in the incenter, I, of ABC.
P
c = complement of P
P
a = anticomplement of P
P'' = reflection of X(8) in P
c.
Then
P' = PI∩P
cX(8)
P' = reflection of X(8) in P
c
P' = midpoint of X(145) and P
a, where X(145) = anticomplement of anticomplement of I.
Dado un triángulo ABC, sea M un punto arbitrario sobre su circunferencia circunscrita. Las tangentes por M a su circunferencia inscrita cortan al lado BC en A1 y A2, al lado CA en B1 y B2, y al lado AB en
C1 y C2.
La circunferencia (MA1A2) vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita en el punto de tangencia de la (Art of Problem Solving. Mixtilinear incircles and somehow Poncelet's porism. Jan 31, 2008)
Sea A' el segundo punto de intersección de las circunferencias (MB1B2) y (MC1C2). Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' concurren en el de la reflexión de M en el incentro.
Si M = (a^2 (t-1) t : -b^2 (t-1),c^2 t), baricéntricas, entonces:
A' = (2 a^2 (-c^2 (-2+t) t+2 a^2 (-1+t) t-b^2 (-1+t^2)-b c (1-2 t+2 t^2)-a (b (-1+t)^2+c t^2)):
b (-a+b+c) (2 b^2 (-1+t)+b c t+(a c-c^2-2 a^2 (-1+t)) t) :
(a-b-c) c (a b (-1+t)-b^2 (-1+t)+b c (-1+t)+2 c^2 t+2 a^2 (-1+t) t)),
B' = (-a (a-b+c) (-2 b^2 (-1+t)-b c t+(-a c+c^2+2 a^2 (-1+t)) t):
-2 b^2 (-a^2 (-1+t^2)+(b-c) (2 b (-1+t)+c (-1+2 t))+a (b (-1+t)^2+c (2-2 t+t^2))):
-c (a-b+c) (-2 b^2 (-1+t)-a b (-1+t) t+t (2 c^2+a^2 (-1+t)+a (c-c t)))),
C' = (a (a+b-c) (a b (-1+t)-b^2 (-1+t)+b c (-1+t)+2 c^2 t+2 a^2 (-1+t) t):
b (a+b-c) (-2 b^2 (-1+t)-a b (-1+t) t+t (2 c^2+a^2 (-1+t)+a (c-c t))):
-2 c^2 (a^2 (-2+t) t-a (b+b t^2+c t^2)-(b-c) (2 c t+b (-1+2 t)))).
El punto de intersección de las rectas AA', BB', CC' es:
W = (a (-2 b^4 (-1+t)^2+6 b^2 c^2 (-1+t) t-2 c^4 t^2-4 a^4 (-1+t)^2 t^2+b c^3 t (1+t)-2 a^3 (-1+t) t (b (-1+t)-c t)+3 a^2 (-1+t) t (b c+2 b^2 (-1+t)-2 c^2 t)+b^3 c (2-3 t+t^2)+2 a (b^3 (-1+t)^2+c^3 t^2)):
b (-4 b^4 (-1+t)^2-2 b^3 (c+a (-1+t)) (-1+t) t+2 b (c^3+a^3 (-1+t)^2) t^2+3 b^2 (-1+t) t (2 c^2+2 a^2 (-1+t)-a c t)+t^2 (-2 c^4-6 a^2 c^2 (-1+t)-2 a^4 (-1+t)^2+a c^3 (1+t)+a^3 c (1-3 t+2 t^2))):
c (-2 a^4 (-1+t)^2 t^2+6 a^2 (-1+t) t (b^2 (-1+t)-c^2 t)-2 (b^4 (-1+t)^2-b^3 c (-1+t)^2-3 b^2 c^2 (-1+t) t+b c^3 (-1+t) t+2 c^4 t^2)+a^3 (-1+t)^2 t (2 c t+b (-1+2 t))-a (-1+t) (-3 b c^2 (-1+t) t-2 c^3 t^2+b^3 (2-3 t+t^2)))).
El lugar geométrico que describe W, cuando M varía sobre la circunferencia circunscrita, es la cuártica , que pasa por los vétices de ABC (dobles), de ecuación:
(-2 a c^3 - 2 b c^3 + 4 c^4) x^2 y^2 + (a^2 b c - a b^2 c - 2 b^3 c -
a b c^2 + 8 b^2 c^2 - 2 b c^3) x^2 y z + (-2 a^3 c - a^2 b c +
a b^2 c + 8 a^2 c^2 - a b c^2 - 2 a c^3) x y^2 z + (-2 a b^3 +
4 b^4 - 2 b^3 c) x^2 z^2 + (-2 a^3 b + 8 a^2 b^2 - 2 a b^3 -
a^2 b c - a b^2 c + a b c^2) x y z^2 + (4 a^4 - 2 a^3 b -
2 a^3 c) y^2 z^2=0,
conjugada isogonal de la circunferencia imagen de la circunferencia circunscrita, mediante la simetría central de centro el incentro.
Esta cuártica pasa por X1319, conjugado isogonal de la reflexion de X100 ( del ) en el incentro y su es X23961 (punto medio del circuncentro y X36, inverso del incentro en la circunferencia circunscrita).
X(23961) = midpoint of X(3) and X(36)
Hyacinthos #28366
Antreas Hatzipolakis and Ercole Suppa, Sep 28, 2018)
Let ABC be a triangle. P=I the incenter and A'B'C' the pedal triangle of P.
Denote: (Na), (Nb), (Nc) = the NPCs of PBC, PCA, PAB, resp.
(Oa), (Ob), (Oc) = the concentric circles (P, PNa), (P, PNb), (P, PNc), resp.
Ra, Rb, Rc = the radical axes of ((Na), (Oa)), ((Nb), (Ob)), ((Nc), (Oc)), resp.
A*B*C* = the triangle bounded by Ra, Rb, Rc, resp.
A", B", C" = the intersections Ra ∩ BC, Rb ∩ CA, Rc ∩ AB, resp.
Parallelogic center (A'B'C', A*B*C*) = Feuerbach point X(11)
Parallelogic center (A*B*C*, A'B'C') = midpoint of X(3) and X(36)
- Martes, 25 de enero del 2022
Sobre el centro X(2501)
Niels Fabian Helge von Koch (25 de enero de 1870 - 11 de marzo de 1924) fue un matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva fractal llamada curva Copo de nieve de Koch.
Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. Tres de estas curvas unidas forman el copo de nieve de Koch.
X(2501): Radical center of {circumcircle, nine-point circle, }
The of ABC, the , and the cevian triangle of X(4) wrt the orthic triangle concur in X(2501). (Randy Hutson, August 19, 2019)
Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X4 y DEF, sean, respectivamente, Ab y Ac las intersecciones con DF y DE de la perpendicular por H a EF.
Se consideran los puntos A'=BAb∩CAc y A''=BAc∩CAb. La recta AA'" pasa por H.
Se definen, cíclicamente, los puntos B', B" y C', C".
Los puntos
A', B', C' están sobre una recta ℓ' y los puntos
A", B", C" están sobre una recta ℓ". Las rectas ℓ' y ℓ" concurren en X
2501.
Las rectas ℓ' y ℓ" son respecto a los ejes órticos de los triángulos ABC y órtico.
La del hexágono A'C''B'A''C'B'' pasa por X2501.
Ab = (-(b^2-c^2) (-a^4+(b^2-c^2)^2) : (b^2-2 c^2) (b^4-(a^2-c^2)^2) : c^2 ((a^2-b^2)^2-c^4)),
Ac = (-(b^2-c^2) (-a^4+(b^2-c^2)^2) : b^2 (b^4-(a^2-c^2)^2) : -(2 b^2-c^2) ((a^2-b^2)^2-c^4)).
A' = (-(b^2-c^2) (-a^4+(b^2-c^2)^2) : b^2 (b^4-(a^2-c^2)^2) : c^2 ((a^2-b^2)^2-c^4)),
A" = ((b^2-c^2) (-a^4+(b^2-c^2)^2) : (b^2-2 c^2) ((a^2-c^2)^2-b^4) : (2 b^2-c^2) ((a^2-b^2)^2-c^4)).
ℓ': (-a^2+b^2+c^2)^2 x+(a^2-b^2+c^2)^2 y+(a^2+b^2-c^2)^2 z = 0,
ℓ": (3 a^4-4 a^2 (b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2) x+(a^4+3 b^4-4 b^2 c^2+c^4+a^2 (-4 b^2+2 c^2)) y+(a^4+b^4-4 b^2 c^2+3 c^4+2 a^2 (b^2-2 c^2)) z = 0.
Recta de Pappus del hexágono A'C''B'A''C'B'':
a^2 (a^2-b^2-c^2) x+b^2 (-a^2+b^2-c^2) y+c^2 (-a^2-b^2+c^2) z = 0.
- Domingo, 23 de enero del 2022
Una propiedad de la cúbica de Thomson
Matthew Stewart fue un matemático escocés , nacido el 15 de enero de 1717, murió el 23 de enero de 1785. Fue alumno, en la Universidad de Glasgow , de Robert Simson y luego, en la Universidad de Edimburgo en 1742-43, de Colin Maclaurin , a quien sucedió en 1747 como profesor de matemáticas. Matthew Stewart es conocido por el teorema que lleva su nombre: el Teorema de Stewart. Es una generalización del teorema de la mediana.
Si en un triángulo ABC se traza una ceviana (segmento desde el vértice A al lado opuesto BC), el punto de intersección D determina dos segmentos de longitudes m y n. Si d es la longitud de la ceviana y a, b, c las longitudes de los lados del triángulo, se cumple el teorema de Stewart:
d² a=b²n+c²m-a m n.
Si d es una mediana, entonces se verifica el teorema de Apolonio o teorema de la mediana:
2d²=b²+c²-a²/2.
Dado P un punto en el plano de un triángulo ABC, sean el triángulo de P y el triángulo de Q=P*, conjugado isogonal de P.
Las circunferencias (
AA1A2), (
BB1B2), (
CC1C2) son coaxiales si y solo si
P está sobre la
cúbica de Thomson o sobre la circunferencia circunscrita.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo AA1A2 es:
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) ((a^2 b^2 c^2 v w^2 y)/((c^2 v+b^2 w) (c^2 v^2-b^2 w^2))+(a^2 b^2 c^2 v^2 w z)/((c^2 v+b^2 w) (-c^2 v^2+b^2 w^2))) = 0.
Su centro es:
Oa = (a^2 (c^6 v^3-b^6 w^3-b^4 c^2 w^2 (2 v+w)+b^2 c^4 v^2 (v+2 w)+a^2 (-c^4 v^3+b^4 w^3)) :
b^2 (-a^4 c^2 v^2 w+(b^2-c^2) (-c^4 v^3+b^4 w^3+b^2 c^2 v w (-v+w))+a^2 (-b^4 w^3+c^4 v^2 (v+w)+b^2 c^2 v w (2 v+w)))
-c^2 (-a^4 b^2 v w^2+(b^2-c^2) (-c^4 v^3+b^4 w^3+b^2 c^2 v w (-v+w))+a^2 (-c^4 v^3+b^4 w^2 (v+w)+b^2 c^2 v w (v+2 w))).
La condición para que los puntos Oa, Ob, Oc estén alineados es que:
(u+v+w) (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) (c^2 u^2 v-c^2 u v^2-b^2 u^2 w+a^2 v^2 w+b^2 u w^2-a^2 v w^2) = 0,
que nos dice que P debe estar en la recta del infinito o en la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Thomson.
Imponiendo la condición que los puntos de intersección de los ejes radicales con las rectas que unen los centros deben coincidir, de estos tres casos se descarta el que P esté en la recta del infinito.
Cuando P=(a^2 (t-1) t : -b^2 (t-1) : c^2 t) recorre la circunferencia circunscrita, su triángulo circunceviano degenera en el punto P y las circunferenicas (APA2), (BPB2), (CPC2) se vuelven a corta en el punto
P'=(-a^2 (t-1) t (-b^2 (t-1)^2+(-c^2+a^2 (-1+t)^2) t^2) : b^2 (t-1) (b^2 (t-1)^2-(c^2+a^2 (t-1)^2) t^2) : c^2 t (b^2 (t-1)^2+(-c^2+a^2 (-1+t)^2) t^2)),
que queda sobre una circunséxtica que pasa por los exincentros (dobles), X2132, X2142, X39238, que corresponden respectivamente, a X74 (conjugado isogonal del punto el infinito de la ), X99 (), X110 (foco de la ), y es tangente a la circunferencia circunscrita en los vértices de ABC.
- Viernes, 21 de enero del 2022
Una propiedad de la séxtica Q169
El matemático André Lichnerowicz (1915–1998) nació un 21 de enero.
Trabajó en las aplicaciones de la geometría diferencial a la física matemática, especialmente en relatividad general.
Tuvo como profesor de geometría diferencial a Élie Cartan, y entre sus estudiantes a los matemáticos Thierry Aubin, Marcel Berger, Yvonne Choquet-Bruhat y Claude Berge o al físico Thibault Damour.
De 1963 a 1966 fue presidente de la Comisión Internacional de Instrucción Matemática de El Unión Matemática Internacional. En 1967, el gobierno francés creó el Comisión Lichnerowicz compuesto por 18 profesores de matemáticas. La comisión recomendó un plan de estudios basado en teoría de conjuntos y lógica con una introducción temprana a estructuras matemáticas.
Q169 an isogonal circum-sextic related to K024
Let P be a point in the plane of a triangle ABC, such that P is not situated on any of its sidelines, nor on its bisectors, nor on the circumcircle, nor on the line of infinity.
Let La, Lab, Lac be the radical axes of the circle with center P passing through A, relatively to the circles (PBC), (PCA), (PAB).
Let Ab = La ∩ Lab, Ac = La ∩ Lac and A' = BAb ∩ CAc. Define B' and C' cyclically.
The lines AA', BB', CC' are concurrent (actually parallel) if and only if P is on the cubic
K024 (Angel Montesdeoca, 2021-09-08,
HG040921).
More generally, these lines AA', BB', CC' bound a triangle perspective (at Q) to ABC if and only if P lies on K024 (as above with Q at infinity) or P lies on Q169.
Se denota por el de un punto P, respecto a un triángulo ABC. La perpendicular por P a PbPc corta a BC en A'. Similarmente, se definen los puntos B' y C' sobre CA y AB, respectivamente.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si P está sobre la séxtica Q169.
En coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w), A'=(0 : -c^2 v^2 - b^2 (u + v) w : -b^2 w^2 - c^2 v (u + w)) y la ecuación de la recta AA' es:
(b^2 w^2 + c^2 v (u + w)) y + (-c^2 v^2 - b^2 (u + v) w) z = 0.
Para que las rectas AA', BB', CC' sean concurrentes las coordenadas de P deben satisfacer a la ecuación:
𝔖abc xyz
y z (b^2 c^2 (b^2 - c^2) x^4 - a^4 y (y - z) z (c^2 y + b^2 z) +
b^2 c^2 x^3 (b^2 y - c^2 z))= 0,
de la séxtica Q169, del catálogo de Bernard Gibert.
- Miércoles, 12 de enero del 2022
Centro del triángulo sobre IK
Pierre de Fermat fue un jurista y matemático francés que nació el 17 de agosto de 1601 y murió el 12 de enero de 1665. Junto con René Descartes, fue uno de los matemáticos más importantes de la primera mitad del siglo XVII.
Pierre de Fermat fue quien descubrió el cálculo diferencial mucho antes que Newton y Leibniz. También fue cofundador, junto con Blaise Pascal, de la teoría de las probabilidades y, asimismo, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.
Pierre de Fermat fue más conocido por las aportaciones que hizo a la teoría de los números, gracias al famoso "Último Teorema de Fermat". Este teorema fue uno de los principales problemas de los matemáticos durante más de 350 años, hasta que Andrew Wiles, con la ayuda de Richard Taylor, lo demostró en el año 1995 basándose en el Teorema de Shimura - Taniyama.
Dado un triángulo ABC, sean Co la reflexión de C en la bisectriz exterior por B, Γ una circunferencia arbitraria que pasa por A y Co, y P el de BC respecto a Γ.
La recta PB y la mediatriz de ACo cortan a Γ en cuatro puntos que son los vértices de un , cuyos puntos diagonales son P y otros dos sobre AB, que permanecen fijos cuando varía la circunferencia Γ. Sea Ac el punto medio de estos puntos diagonales.
Intercambiando los vértices B y C, se define de forma análoga el punto medio Ab, sobre AC.
Procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC, se definen los puntos Ba, Bc y Ca, Cb.
Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas AcAb, BcBa, CaCb.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad X4674
X(4674)
Let A'B'C' be the cevian triangle, and let A"B"C" be the circumcevian triangle of X(1). The four points of intersection of the circumcircles of BA'I, CA'I with the side lines A"C", A"B", respectively, lie on a circle
Oa; define
Ob and
Oc cyclically. Then the triangles ABC and are orthologic, with orthology centers the X(3) and X(4674). (Angel Montesdeoca, April 14, 2019.
HG130519)
En coordenadas baricéntricas, los puntos diagonales sobre AB son:
(a (-a+c) Sqrt[(a-b+c) (a+b+c)] (a^2-b^2+a c) : (a+c) Sqrt[(a-b+c) (a+b+c)] (a^2-b^2+a c) (a+Sqrt[a c]) : 0),
(a (a-c) Sqrt[(a-b+c) (a+b+c)] (a^2-b^2+a c) : (a+c) Sqrt[(a-b+c) (a+b+c)] (a^2-b^2+a c) (-a+Sqrt[a c]) : 0),
su punto medio es:
Ac = (2 a^2 (a - c) c : -a^3 c + a c^3 : 0),
A' = ((b + c) (a^2 - 3 b c + a (b + c)) : -2 b (a + b - 2 c) (a + c) : -2 (a + b) c (a - 2 b + c)).
La ecuación de la de ABC y A'B'C', que pasa por los puntos Ac, Ab, Bc, Ba, Ca, Cb, es:
𝔖abc xyz
2 b (a + b) c (a + c) x^2 + a (b + c) (a^2 + 5 b c + a (b + c)) y z = 0.
Su centro es:
W = ( a (b+c) (a^3-a (b^2-3 b c+c^2)-b c (b+c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-26.3831284461173, -6.39864790147116, 20.2473261580570).
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {1, 15571}, {35338, 4447}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,6}, {19,17915}, {40,2901}, {57,321}, {63,3995}, {71,3950}, {75,29437}, {145,4266}, {190,18206}, {192,16574}, {193,29497}, {228,3158}, {346,579}, {519,2183}, {522,649}, {524,21362}, {527,22031}, {536,20367}, {573,12245}, {583,17340}, {672,2325}, {728,2198}, {758,2250}, {894,17178}, {999,5782}, {1018,2245}, {1026,24516}, {1334,4029}, {1400,2321}, {1423,17296}, {1574,28249}, {1654,29429}, {1706,5295}, {1731,20045}, {1756,32846}, {1765,37536}, {1999,18163}, {2260,17355}, {2267,8666}, {2298,10457}, {2397,39765}, {3169,3588}, {3175,3928}, {3218,30579}, {3306,31025}, {3501,4873}, {3663,29812}, {3729,4043}, {3875,21371}, {3882,6542}, {4033,29511}, {4035,28387}, {4039,21100}, {4069,20683}, {4271,17388}, {4416,29740}, {4447,6007}, {4516,20715}, {4557,44671}, {5257,26115}, {5279,40979}, {5437,31993}, {5905,22010}, {7297,21372}, {9020,17463}, {10436,27145}, {15273,24067}, {16549,17281}, {16557,21380}, {16561,24821}, {16704,39698}, {17185,34064}, {17268,27678}, {17300,29382}, {17302,29492}, {17349,29380}, {17364,29698}, {17754,30942}, {17790,29456}, {18785,41683}, {19297,35342}, {20964,22167}, {21044,21066}, {21074,24005}, {22000,28609}, {22006,41010}, {22016,44421}, {22020,30827}, {22214,40934}, {24448,32913}, {26227,40131}, {29388,29559}, {29396,41681}, {29423,29453}, {29529,37683}, {29531,37652}, {36911,40586}.
IMO ShortList 2003, geometry problem 2
Three distinct points A, B, and C are fixed on a line in this order. Let Γ be a circle passing through A and C whose center does not lie on the line AC. Denote by P the intersection of the tangents to Γ at A and C. Suppose Γ meets the segment PB at Q. Prove that the intersection of the bisector of AQC and the line AC does not depend on the choice of Γ.
AoPS Darij Grinberg, May 18, 2004
[Joined]:
It's indeed simple: In triangle AQC QB is the symmedian, so BA/BC=QA^2/QC^2 and it's fixed, so QA/QC must also be fixed, and we're done.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
OTRO CASO
En vez de tomar Co como la reflexión de C en la bisectriz exterior en B, tomamos el punto Co=(-a: b + c: 0), sobre AC, que está sobre la paralela a BC por el excentro relativo a A, en este caso:
Ac = (2 a (a-b-c) (2 a-b-c) (a^2 (b+c)+(b-c) (b+c)^2-a (2 b^2+2 b c+c^2)) : -(b+c) (2 a^4 (b+c)+(b-c) (b+c)^4-a (b+c)^2 (5 b^2+2 b c-2 c^2)-a^3 (7 b^2+10 b c+5 c^2)+a^2 (9 b^3+17 b^2 c+10 b c^2+2 c^3)) : 0),
A' = (a^2 - 3 b c + a (b + c) : -2 b (a + b - 2 c) : -2 c (a - 2 b + c)).
Los triángulos ABC y A'B'C' son homotéticos, con centro de homotecia X88.
La ecuación de la 'perspeconic' de ABC y A'B'C' es:
2 b^2 c x^2 + 2 b c^2 x^2 + 5 a b c x y + a c^2 x y + b c^2 x y +
c^3 x y + 2 a^2 c y^2 + 2 a c^2 y^2 + a b^2 x z + b^3 x z +
5 a b c x z + b^2 c x z + a^3 y z + a^2 b y z + a^2 c y z +
5 a b c y z + 2 a^2 b z^2 + 2 a b^2 z^2=0,
con centro Z=(3 r^2+12 r R-s^2)^2 X44-(3 r^2-15 r R+s^2)^2 X88:
Z = ( a (a^5+2 a^4 (b+c)
-14 a^3 b c
-2 a^2 (b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3)
-a (b^4-17 b^3 c+27 b^2 c^2-17 b c^3+c^4)-b c (5 b^3-3 b^2 c-3 b c^2+5 c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-8.13231866185072, -2.20237382548886, 8.91876266656161).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {36,100}, {44,88}, {1016,24593}, {4413,33170}, {8046,16704}, {17484,24183}.
- Jueves, 6 de enero del 2022
El conjugado isotómico del incentro como punto fijo de una transformación afín
El 6 de enero de 1852 muere en París (a los 43 años) el educador francés e inventor del sistema de lectura para ciegos que lleva su nombre, Louis Braille, basado en un método de representación que utiliza celdas con seis puntos en relieve. El método Braille es en la actualidad el sistema de lectura y escritura punteada universalmente adoptado en los programas de educación de invidentes. Braille aplicó su novedoso método al alfabeto, a los números y a la notación musical.
Dado un triángulo ABC, sea Tab el punto de tangencia con el lado BC de la circunferencia con centro en la bisectriz interior en B y tangente a AB en A. La circunferencia con centro en C y que pasa por Tab vuelve a cortar a ATab en Ab.
Sea Tac el punto de tangencia con el lado BC de la circunferencia con centro en la bisectriz interior en C y tangente a AC en A. La circunferencia con centro en B y que pasa por Tac vuelve a cortar a ATac en AC.
El punto medio Ma de Ab y Ac queda sobre la bisectriz interior en A. Los puntos Mb y Mc se definen cíclicamente.
El punto fijo finito de la aplicación afín que transforma ABC en es el conjugado isotómico del incentro, X75.
En coordenadas baricéntricas:
Ma = (2 b c - a (b + c) : a b : a c),
Mb = (a b : 2 a c - b (a + c) : b c),
Mc = (a c : b c : 2 a b - (a + b) c).
La aplicación afín σ que transforma ABC en es:
(x:y:z) ↦
(a (2 b c x - a (b + c) x + b^2 y + c^2 z) : b (a^2 x - a (b - 2 c) y +
c (-b y + c z)) : c (a^2 x + a (2 b - c) z + b (b y - c z))).
Algunos pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, para los índices {i, j}: {1, 3878}, {2, 210}, {8, 10914}, {10, 3626}, {75, 75}, {244, 24003}, {312, 32937}, {693, 4106}, {982, 3840}, {1266, 4887}, {3756, 3038}, {4025, 3676}, {4453, 4927}, {4467, 4897}, {6553, 4711}, {10563, 5044}, {17155, 42055}, {18149, 36863}, {19582, 72}, {23785, 23798}, {24174, 10}, {34860, 1}, {41683, 42083}, {44720, 8}.
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