- Jueves, 30 de diciembre del 2021
El centro del triángulo X(41005)
Cree en aquellos que buscan la verdad, duda de los que la han encontrado. (André Gide)
Dados un triángulo ABC y un punto P, no situado sobre los de ABC ni sobre los lados del triángulo anticevianoEl triángulo anticeviano (o preceviano) del punto P respecto el triángulo ABC es el triángulo PaPbPc tal que ABC es el triángulo ceviano de P respecto PaPbPc. Pa es el conjugado armónico de P, respecto a A y Pa (pie de la ceviana AP).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, Pa(-u:v:w), Pb(u:-v:w), Pc(u:v:-w). del ortocentro,
sean DEF el triángulo anticeviano de P, Ab y Ac las proyecciones ortogonales de D sobre AB y AC, respectivamente.
La recta AbAc corta a BD en Db y a CD en Dc. Sea A'=BDc∩CDb y se definen cíclicamente los puntos B' y C'.
Las rectas
AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si
P sobre una
curva
(
𝔖abc xyz
y z (-4 b^2 c^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) (a^6+b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+c^6+a^4 (-b^2-c^2)+a^2 (-b^4+10 b^2 c^2-c^4)) x^5 y z+4 a^4 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) (a^6+b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+c^6+a^4 (-b^2-c^2)+a^2 (-b^4+10 b^2 c^2-c^4)) x y^3 z^3-8 b^2 c^2 (-a^2+b^2+c^2) x^6 (-c^2 (a^4 c^2-2 a^2 (b-c)^2 (b+c)^2+(b-c)^2 (b+c)^2 (2 b^2+c^2)) y+b^2 (a^4 b^2-2 a^2 (b-c)^2 (b+c)^2+(b-c)^2 (b+c)^2 (b^2+2 c^2)) z)+8 a^6 (-a^2+b^2+c^2) y^3 z^3 ((a^4 b^2+b^6-3 b^2 c^4+2 c^6+a^2 (-2 b^4+4 b^2 c^2-2 c^4)) y+(-2 b^6-a^4 c^2+3 b^4 c^2-c^6+a^2 (2 b^4-4 b^2 c^2+2 c^4)) z)-x^4 y z (c^2 (a^12+2 a^10 (b^2-c^2)-(b-c)^3 (b+c)^3 (b^2+c^2)^2 (3 b^2+c^2)+a^8 (-5 b^4+18 b^2 c^2-c^4)+2 a^2 (b^2-c^2) (b^2+c^2)^2 (b^4-10 b^2 c^2+c^4)-4 a^6 (b^2-c^2) (b^4-4 b^2 c^2+c^4)+a^4 (b^2-c^2) (7 b^6-13 b^4 c^2+21 b^2 c^4+c^6)) y-b^2 (a^12-2 a^10 (b^2-c^2)+(b-c)^3 (b+c)^3 (b^2+c^2)^2 (b^2+3 c^2)+a^8 (-b^4+18 b^2 c^2-5 c^4)-2 a^2 (b^2-c^2) (b^2+c^2)^2 (b^4-10 b^2 c^2+c^4)+4 a^6 (b^2-c^2) (b^4-4 b^2 c^2+c^4)-a^4 (b^2-c^2) (b^6+21 b^4 c^2-13 b^2 c^4+7 c^6)) z)-2 (a^2+b^2+c^2) x^5 (-c^4 (a^8-4 a^6 c^2-4 a^2 (b-c)^2 (b+c)^2 (2 b^2+c^2)+(b-c)^2 (b+c)^2 (5 b^4+2 b^2 c^2+c^4)+2 a^4 (b^4+3 c^4)) y^2+b^4 (a^8-4 a^6 b^2-4 a^2 (b-c)^2 (b+c)^2 (b^2+2 c^2)+2 a^4 (3 b^4+c^4)+(b-c)^2 (b+c)^2 (b^4+2 b^2 c^2+5 c^4)) z^2)+4 a^6 y^2 z^2 ((a^8+b^8+2 b^6 c^2-10 b^2 c^6+7 c^8+a^6 (-4 b^2+2 c^2)+a^4 (6 b^4-2 b^2 c^2)+a^2 (-4 b^6-2 b^4 c^2+16 b^2 c^4-10 c^6)) y^3+(-a^8-7 b^8+10 b^6 c^2-2 b^2 c^6-c^8+a^6 (-2 b^2+4 c^2)+a^4 (2 b^2 c^2-6 c^4)+a^2 (10 b^6-16 b^4 c^2+2 b^2 c^4+4 c^6)) z^3)) = 0.
)
algebraica de grado nueve, que pasa por los vértices (triples) de
ABC, los antipodales (dobles) en la circunferencias circunscrita de éstos, el incentro, el circuncentro y ortocentro.
NOTA: Se excluye el caso en que el punto P esté en los lados del triángulo anticeviano del ortocentro, ya que entonces un lado de ABC coincide con el correspondiente lado de A'B'C' y así las tres rectas AA', BB', CC' se reducen a dos.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el punto de concurrencia de las rectas AA', BB', CC' es:
Q = u (((b^2-c^2) u+a^2 (u-2 v)) ((a^2-c^2) v+b^2 (2 u+v))^2 ((-b^2+c^2) u+a^2 (u-2 w)) ((a^2-b^2) w+c^2 (2 u+w))^2 ((-b^2+c^2) (v-w)+a^2 (v+w))+((a^2-c^2) v+b^2 (-2 u+v)) ((a^2-c^2) v+b^2 (2 u+v))^2 ((b^2-c^2) u-a^2 (u-2 w)) ((b^2-c^2) (v-w)-a^2 (v+w)) ((-a^2+b^2) w+c^2 (2 v+w))^2+((-b^2+c^2) u-a^2 (u-2 v)) ((a^2-b^2) w+c^2 (-2 u+w)) ((a^2-b^2) w+c^2 (2 u+w))^2 ((b^2-c^2) (v-w)-a^2 (v+w)) (-a^2 v+c^2 v+b^2 (v+2 w))^2) : ... : ...
Pares {P, Q}: {incentro, punto de SpiekerEl punto de Spieker de un triángulo es el incentro de su triángulo medial, centro radical de las circunferencia exincritas. Es el punto X10 de ETC.}, {circuncentro, X41005} y {ortocentro, X6525}.
- Miércoles, 29 de diciembre del 2021
El centro del triángulo X(275)
El 29 de diciembre de 1874 el general Martínez Campos realiza el «Pronunciamiento de Sagunto» a favor de la monarquía de Alfonso XII, que supuso la Restauración borbónica en España y el fin del Sexenio Democrático (1868-1874) y de la Primera República Española (1873-1874).
X(275) = CEVAPOINTLet A''B''C'' be the anticevian triangle of U. Let A' =PA''∩BC, and define B' and C' cyclically. The cevian product or cevapoint or ceva-multiplication of P and U is the perspector (homology center, pole, or, in modern usage, the perspector) P★U of triangles ABC and A'B'C'.
It is equivalently the trilinear pole of the polar of P (resp. Q) in the circum-conic with perspector Q (resp. P).
Barycentric coordinates, if P(p:q:r) and U(u:v:w), P★U (1/(qw+rv):...:...) OF ORTHOCENTER AND SYMMEDIAN POINT
Barycentrics 1/((a^2 - b^2 - c^2) (a^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2)) : :
Let A'B'C' be the circumorthic triangle. Let A" be the trilinear pole of line B'C', and define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(275). (Randy Hutson, June 7, 2019).
Pole wrt bianticevian conic of X(4) and X(6) of line X(4)X(6).
Dado un triángulo ABC, sea DEF el triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0)..
La perpendicular a BC por el punto de intersección de la recta DF con la recta BE, corta a AB en Ab.
La perpendicular a BC por el punto de intersección de la recta DE con la recta CF, corta a AC en Ac.
Ab = (-(a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) : -a^4 + b^4 +
2 a^2 c^2 - c^4 : 0),
Ac = ((a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c):0:a^4-2 a^2 b^2+b^4-c^4).
Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb se definen ciclicamente.
Las rectas AbAc, BcBa, CaCb forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X(275).
Como consecuencia, los seis puntos están sobre una misma
cónica
( a^12 x^2-4 a^10 b^2 x^2+5 a^8 b^4 x^2-5 a^4 b^8 x^2+4 a^2 b^10 x^2-b^12 x^2-4 a^10 c^2 x^2+10 a^8 b^2 c^2 x^2-8 a^6 b^4 c^2 x^2+4 a^4 b^6 c^2 x^2-4 a^2 b^8 c^2 x^2+2 b^10 c^2 x^2+5 a^8 c^4 x^2-8 a^6 b^2 c^4 x^2+2 a^4 b^4 c^4 x^2+b^8 c^4 x^2+4 a^4 b^2 c^6 x^2-4 b^6 c^6 x^2-5 a^4 c^8 x^2-4 a^2 b^2 c^8 x^2+b^4 c^8 x^2+4 a^2 c^10 x^2+2 b^2 c^10 x^2-c^12 x^2+4 a^10 b^2 x y-16 a^8 b^4 x y+24 a^6 b^6 x y-16 a^4 b^8 x y+4 a^2 b^10 x y+2 a^10 c^2 x y-6 a^8 b^2 c^2 x y+4 a^6 b^4 c^2 x y+4 a^4 b^6 c^2 x y-6 a^2 b^8 c^2 x y+2 b^10 c^2 x y-6 a^8 c^4 x y+12 a^4 b^4 c^4 x y-6 b^8 c^4 x y+4 a^6 c^6 x y-4 a^4 b^2 c^6 x y-4 a^2 b^4 c^6 x y+4 b^6 c^6 x y+4 a^4 c^8 x y+12 a^2 b^2 c^8 x y+4 b^4 c^8 x y-6 a^2 c^10 x y-6 b^2 c^10 x y+2 c^12 x y-a^12 y^2+4 a^10 b^2 y^2-5 a^8 b^4 y^2+5 a^4 b^8 y^2-4 a^2 b^10 y^2+b^12 y^2+2 a^10 c^2 y^2-4 a^8 b^2 c^2 y^2+4 a^6 b^4 c^2 y^2-8 a^4 b^6 c^2 y^2+10 a^2 b^8 c^2 y^2-4 b^10 c^2 y^2+a^8 c^4 y^2+2 a^4 b^4 c^4 y^2-8 a^2 b^6 c^4 y^2+5 b^8 c^4 y^2-4 a^6 c^6 y^2+4 a^2 b^4 c^6 y^2+a^4 c^8 y^2-4 a^2 b^2 c^8 y^2-5 b^4 c^8 y^2+2 a^2 c^10 y^2+4 b^2 c^10 y^2-c^12 y^2+2 a^10 b^2 x z-6 a^8 b^4 x z+4 a^6 b^6 x z+4 a^4 b^8 x z-6 a^2 b^10 x z+2 b^12 x z+4 a^10 c^2 x z-6 a^8 b^2 c^2 x z-4 a^4 b^6 c^2 x z+12 a^2 b^8 c^2 x z-6 b^10 c^2 x z-16 a^8 c^4 x z+4 a^6 b^2 c^4 x z+12 a^4 b^4 c^4 x z-4 a^2 b^6 c^4 x z+4 b^8 c^4 x z+24 a^6 c^6 x z+4 a^4 b^2 c^6 x z+4 b^6 c^6 x z-16 a^4 c^8 x z-6 a^2 b^2 c^8 x z-6 b^4 c^8 x z+4 a^2 c^10 x z+2 b^2 c^10 x z+2 a^12 y z-6 a^10 b^2 y z+4 a^8 b^4 y z+4 a^6 b^6 y z-6 a^4 b^8 y z+2 a^2 b^10 y z-6 a^10 c^2 y z+12 a^8 b^2 c^2 y z-4 a^6 b^4 c^2 y z-6 a^2 b^8 c^2 y z+4 b^10 c^2 y z+4 a^8 c^4 y z-4 a^6 b^2 c^4 y z+12 a^4 b^4 c^4 y z+4 a^2 b^6 c^4 y z-16 b^8 c^4 y z+4 a^6 c^6 y z+4 a^2 b^4 c^6 y z+24 b^6 c^6 y z-6 a^4 c^8 y z-6 a^2 b^2 c^8 y z-16 b^4 c^8 y z+2 a^2 c^10 y z+4 b^2 c^10 y z-a^12 z^2+2 a^10 b^2 z^2+a^8 b^4 z^2-4 a^6 b^6 z^2+a^4 b^8 z^2+2 a^2 b^10 z^2-b^12 z^2+4 a^10 c^2 z^2-4 a^8 b^2 c^2 z^2-4 a^2 b^8 c^2 z^2+4 b^10 c^2 z^2-5 a^8 c^4 z^2+4 a^6 b^2 c^4 z^2+2 a^4 b^4 c^4 z^2+4 a^2 b^6 c^4 z^2-5 b^8 c^4 z^2-8 a^4 b^2 c^6 z^2-8 a^2 b^4 c^6 z^2+5 a^4 c^8 z^2+10 a^2 b^2 c^8 z^2+5 b^4 c^8 z^2-4 a^2 c^10 z^2-4 b^2 c^10 z^2+c^12 z^2 = 0)
('perspeconic'Let ABC and A'B'C' be two perspective triangles such that neither is inscribed in the other. Let Ab = BC∩A'B', Ac = BC∩A'C', and likewise for Bc, Ba, Ca, and Cb. As ABC and A'B'C' are perspective, the six points lie on a conic, named the perspeconic of ABC and A'B'C'.
de ABC y A'B'C'), cuyo centro es el punto de intersección de las rectas X(5)X(3462) y X(275)X(1971):
W = ( (a^4-(b^2-c^2)^2) (3 a^18 (b^2+c^2)-2 a^16 (10 b^4+13 b^2 c^2+10 c^4)-a^2 (b^2-c^2)^6 (8 b^6+13 b^4 c^2+13 b^2 c^4+8 c^6)+a^14 (55 b^6+78 b^4 c^2+78 b^2 c^4+55 c^6)+(b^2-c^2)^6 (b^8-b^6 c^2-2 b^4 c^4-b^2 c^6+c^8)+a^8 (b^2-c^2)^2 (7 b^8-9 b^6 c^2-18 b^4 c^4-9 b^2 c^6+7 c^8)-7 a^12 (11 b^8+15 b^6 c^2+14 b^4 c^4+15 b^2 c^6+11 c^8)+a^4 (b^2-c^2)^4 (25 b^8+37 b^6 c^2+42 b^4 c^4+37 b^2 c^6+25 c^8)-a^6 (b^2-c^2)^2 (35 b^10+24 b^8 c^2+21 b^6 c^4+21 b^4 c^6+24 b^2 c^8+35 c^10)+a^10 (49 b^10+62 b^8 c^2+33 b^6 c^4+33 b^4 c^6+62 b^2 c^8+49 c^10)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-45693] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-12.1295732106015, 11.2956361699589, 1.41887323067506).
- Jueves, 16 de diciembre del 2021
La circunferencia de Taylor respecto a tres triángulos
El 16 de diciembre de 1959 falleció, a los 83 años, el matemático alemán Erhard Schmidt.
Sus trabajos versan esencialmente sobre los aspectos geométricos del álgebra lineal (espacios vectoriales de dimensión finita) y el desarrollo de la teoría de espacios de Hilbert completando los resultados de este último en el estudio de ecuaciones integrales, ecuaciones funcionales donde la función buscada aparece bajo el símbolo de integración
En uno de sus artículos sobre ecuaciones integrales enuncia el algoritmo de ortonormalización de una base de un espacio vectorial igualmente atribuida al danés Gram y llamado precisamente método de Gram Schmidt
Enlaces relacionados:
ESTE: La circunferencia de Taylor respecto a tres triángulos
Euclid #3558 (Antreas P. Hatzipolakis)
Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' el triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0).. Se denota por
Ab y Ac la proyección ortogonal de A' sobre AB y AC, respectivamente. M1 es el punto medio de Ab y Ac.
Ma es el punto medio de AA'. Similarmente se definen los puntos
Mb, Mc y M2, M3.
Los triángulos
MaMbMc (
triángulo media-alturaEl triangulo media-altura de un triángulo es el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las alturas del triángulo dado.
Las coordenadas baricéntricas del A-vértice del triángulo media-altura del triángulo de referencia son
(2 a^2 : a^2 + b^2 - c^2 : a^2 - b^2 + c^2).) y
M1M2M3 son perspectivos con centro de perspectividad el centro de la
circunferencia de TaylorLa circunferencia de Taylor de un triángulo es la que pasa por las proyecciones ortogonales de los pies de las alturas sobre los lados. Su centro es el X(389) de ETC. Es la circunferencia de Tucker, con longitud de los segmentos de antiparalelas iguales a S/(2R), donde S es el doble del área de ABC y R es el radio de la circunferencia circunscrita..
Para determinar las coordenadas baricéntricas, respecto a ABC, de los centros de las circunferencias de Taylor de los triángulos MaMbMc y M1M2M3, utilizamos una de las propiedades de X389-:
X(389) = CENTER OF THE TAYLOR CIRCLE
Let (Oa) be the circle with center A tangent to line BC, and define (Ob) and (Oc) cyclically. X(389) is the radical center of the three circles. (Randy Hutson, 9/23/2011)
M1 = (2 a^2 (b^2 - c^2)^2 - a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) :
b^2 (-a + b - c) (a + b - c) (-a + b + c) (a + b +
c) : -(a + b - c) c^2 (a - b + c) (-a + b + c) (a + b + c)}).
Ecuación de la circunferencia Γa, de centro Ma y tangente a MbMc:
𝔖abc xyz
(a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 (a^8-2 a^4 (b^2-c^2)^2+(b^4-c^4)^2)x^2+
2 (a^16+4 a^12 (b^2-c^2)^2-4 a^14 (b^2+c^2)+4 a^10 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)^2-2 a^8 (b^2-c^2)^2 (5 b^4-28 b^2 c^2+5 c^4)+4 a^6 (b^2-c^2)^2 (b^6-13 b^4 c^2-13 b^2 c^4+c^6)-4 a^2 (b^2-c^2)^4 (b^6-5 b^4 c^2-5 b^2 c^4+c^6)+4 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^8-6 b^6 c^2+26 b^4 c^4-6 b^2 c^6+c^8))y z = 0.
El centro radical Y389, de las circunferencias Γa, Γb, Γc tiene
coordenadas
( Primera coordenada de Y389:
4 a^34-25 a^32 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^12 (b^2+c^2)^3 (2 b^4+5 b^2 c^2+2 c^4)+a^30 (50 b^4+204 b^2 c^2+50 c^4)-a^28 (b^6+508 b^4 c^2+508 b^2 c^4+c^6)+a^26 (-116 b^8+82 b^6 c^2+2092 b^4 c^4+82 b^2 c^6-116 c^8)+2 a^2 (b^2-c^2)^10 (b^2+c^2)^2 (6 b^8-19 b^6 c^2-70 b^4 c^4-19 b^2 c^6+6 c^8)-2 a^18 (b^2-c^2)^4 (44 b^8-2315 b^6 c^2-7550 b^4 c^4-2315 b^2 c^6+44 c^8)+a^24 (65 b^10+1410 b^8 c^2-2691 b^6 c^4-2691 b^4 c^6+1410 b^2 c^8+65 c^10)+2 a^22 (111 b^12-564 b^10 c^2-2075 b^8 c^4+5888 b^6 c^6-2075 b^4 c^8-564 b^2 c^10+111 c^12)-a^4 (b^2-c^2)^8 (27 b^14-168 b^12 c^2+42 b^10 c^4+1507 b^8 c^6+1507 b^6 c^8+42 b^4 c^10-168 b^2 c^12+27 c^14)-a^20 (297 b^14+2824 b^12 c^2-13546 b^10 c^4+10681 b^8 c^6+10681 b^6 c^8-13546 b^4 c^10+2824 b^2 c^12+297 c^14)+a^16 (b^2-c^2)^2 (407 b^14+226 b^12 c^2-21124 b^10 c^4+17291 b^8 c^6+17291 b^6 c^8-21124 b^4 c^10+226 b^2 c^12+407 c^14)+2 a^6 (b^2-c^2)^6 (17 b^16+30 b^14 c^2+1076 b^12 c^4-430 b^10 c^6-3434 b^8 c^8-430 b^6 c^10+1076 b^4 c^12+30 b^2 c^14+17 c^16)+2 a^10 (b^2-c^2)^4 (62 b^16+439 b^14 c^2-5030 b^12 c^4-1079 b^10 c^6+15312 b^8 c^8-1079 b^6 c^10-5030 b^4 c^12+439 b^2 c^14+62 c^16)-2 a^14 (b^2-c^2)^2 (121 b^16+2364 b^14 c^2-7492 b^12 c^4-9756 b^10 c^6+26454 b^8 c^8-9756 b^6 c^10-7492 b^4 c^12+2364 b^2 c^14+121 c^16)-a^12 (b^2-c^2)^2 (59 b^18-2894 b^16 c^2-5351 b^14 c^4+42427 b^12 c^6-33217 b^10 c^8-33217 b^8 c^10+42427 b^6 c^12-5351 b^4 c^14-2894 b^2 c^16+59 c^18)-a^8 (b^2-c^2)^4 (61 b^18+1118 b^16 c^2-1185 b^14 c^4-12083 b^12 c^6+13113 b^10 c^8+13113 b^8 c^10-12083 b^6 c^12-1185 b^4 c^14+1118 b^2 c^16+61 c^18))
complicadas.
El punto Y389 ha sido incorporado a ETC con el número X(46364).
Ecuación de la circunferencia Γa, de centro M1 y tangente a M2M3:
𝔖abc xyz
(a^16-4 a^14 (b^2+c^2)-4 a^2 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)+4 a^12 (b^2+c^2)^2+(b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)^2+4 a^10 (b^2+c^2)^3+4 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^8-10 b^6 c^2-14 b^4 c^4-10 b^2 c^6+c^8)-2 a^8 (5 b^8+26 b^6 c^2+34 b^4 c^4+26 b^2 c^6+5 c^8)+4 a^6 (b^10+17 b^8 c^2+14 b^6 c^4+14 b^4 c^6+17 b^2 c^8+c^10))x^2+
2 (a^16-4 a^14 (b^2+c^2)+4 a^10 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-4 a^2 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)+4 a^12 (b^2+c^2)^2+(b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)^2+4 a^4 (b^2-c^2)^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)+4 a^6 (b^2-c^2)^2 (b^6+7 b^4 c^2+7 b^2 c^4+c^6)-2 a^8 (5 b^8+2 b^6 c^2+18 b^4 c^4+2 b^2 c^6+5 c^8))y z = 0.
Centro radical Z389, de las circunferencias Γ1, Γ2, Γ3 es:
Z389 = ( a^2 (-a^12 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^2-c^2)^4 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)+a^10 (4 b^4+6 b^2 c^2+4 c^4)+(b^2-c^2)^4 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)+a^4 (b^2-c^2)^2 (5 b^6-17 b^4 c^2-17 b^2 c^4+5 c^6)-a^8 (5 b^6+17 b^4 c^2+17 b^2 c^4+5 c^6)+4 a^6 (7 b^6 c^2+2 b^4 c^4+7 b^2 c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(1.70213804045450, 2.02906356578353, 1.45032599461678).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6}, {51,3089}, {185,12250}, {373,43841}, {1596,10110}, {2393,11745}, {3567,6353}, {5462,6677}, {5562,6804}, {5907,11411}, {6000,12241}, {6403,17040}, {6467,7487}, {7392,12282}, {7401,14913}, {9306,12166}, {9825,34382}, {11431,14531}, {11695,23292}, {11793,13567}, {12007,41589}, {12161,41619}, {12242,22530}, {12294,18909}, {13474,34780}, {15585,32191}, {18925,40673}, {32366,34782}, {32411,37971}.
El punto Z389 ha sido incorporado a ETC con el número X(46363).
- Domingo, 12 de diciembre del 2021
Proyecciones sobre la circunferencia inscrita
a Pablo, por su cumpleaños
Dado un triángulo ABC, sean DEF el triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
y P un punto no situado sobre la circunferencia inscrita, Γ. Sean A', B', C' las proyecciones de D, E,F desde P sobre Γ.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes.
Si (u:v.w) son las coordenadas baricéntricas de P, el punto de concurrencia de las rectas AA', BB', CC' es:
Q = (1/((a-b-c) ((a-b-c) u+(a-b+c) v+(a+b-c) w)^2) : ... : ...).
Pares {P=Xi, Q=Xj}, para {i,j}: {1, 8}, {7, 7}, {2, 16078}, {56, 1118}, {57, 479}, {65, 56}, {145,
6049}, {174, 7002}, {177, 1}, {222, 7055}, {226, 6063}, {234,
1088}, {354, 55}, {481, 1336}, {482, 1123}, {497, 5423}, {513,
59}, {517, 1318}, {553, 552}, {942, 60}, {1071, 1259}, {1122,
7023}, {1401, 1397}, {1439, 1804}, {1565, 34387}, {1836,
1857}, {2089, 7022}, {2091, 269}, {3057, 33963}, {3309,
6065}, {3638, 14358}, {3639, 14359}, {3649, 12}, {3663,
3596}, {3664, 261}, {3665, 41283}, {3666, 18021}, {3667,
4076}, {3676, 4998}, {3782, 40363}, {4014, 3271}, {4854,
6057}, {4890, 7064}, {4897, 6064}, {4934, 4092}, {7178,
7340}, {7198, 41284}, {7217, 41289}, {7317, 8}, {10391,
6061}, {10499, 10489}, {11570, 4996}, {12723, 6059}, {14100,
480}, {16888, 41287}, {20053, 3635}, {21746, 2175}, {24471,
7341}, {30493, 7335}, {39787, 202}, {39788, 203}, {39791,
7066}, {39793, 181}, {39794, 1124}, {39795, 1335}, {39796,
6056}, {40617, 41292}, {40961, 7337}, {41003, 34388}, {41004,
1264}, {43909, 7336}.
Otros pares {P=Xi, Q=Qi}:
Q3 = ( (a-b-c) (a^6-4 a b (b-c)^2 c (b+c)-a^4 (b+c)^2+(b-c)^4 (b+c)^2-a^2 (b^4-6 b^2 c^2+c^4))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(0.0821307968585268, 5.19170297165521, 0.00850205682683410).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,15474}, {942,39267}, {4303,28082}, {7742,13397}.
Q4 = ( (a-b-c) (a^6-3 a^4 (b-c)^2-(b-c)^2 (b+c)^4+a^2 (b-c)^2 (3 b^2+2 b c+3 c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(3.77434787991551, 2.17393984513875, 0.393622490696548).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,280}, {4,189}, {7,309}, {9,271}, {282,40957}, {285,1172}, {1413,9372}, {1433,40396}, {1440,8809},{3577,39130}, {7157,17097},{7338,10538}, {36121,40836}.
Q8 = ( (a^2-(b-c)^2) (a^4-4 a^3 (b+c)-4 a (b+c)^3+(b+c)^4-2 a^2 (5 b^2-22 b c+5 c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.00422673295215, 1.92940226825527, 1.37989672713743).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,3524}, {4,5919}, {7,9957}, {8,3921}, {9,2137}, {10,31509}, {21,3623}, {55,15179}, {65,18490}, {79,1056}, {80,1058}, {84,7967}, {104,3303}, {145,32635}, {388,5561}, {497,5560}, {517,5558}, {944,3062}, {1000,41687}, {1125,3680}, {1320,3622}, {1476,3295}, {1698,4900}, {2346,38031}, {3057,3296}, {3085,24297}, {3486,36599}, {3488,38271}, {3577,10595}, {3633,4866}, {3746,15180}, {5082,43741}, {5556,12699}, {7091,31393}, {7317,18391}, {7320,12245}, {7982,10390}, {10308,10543}, {10404,43733}, {12260,12868}, {12433,20054}, {17360,30479}, {23838,28225}, {30337,31730}.
- Viernes, 10 de diciembre del 2021
Una cónica deducida de circunferencias centradas en el incentro
El 10 de diciembre de 1977, la dictadura de Videla secuestra en Buenos Aires (Argentina) a Azucena Villaflor (53 años), una de las fundadoras de las Madres de Plaza de Mayo. Esa tarde, Villaflor había publicado en los periódicos la lista de varios jóvenes desaparecidos. El 20 de diciembre, tras diez días de tortura, será dejada caer viva desde un avión al Río de la Plata (Vuelos de la Muerte).
Dado un triángulo ABC de longitud de sus lados a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|, sean Γa, Γb, Γc las circunferencias centradas en el incentro, X1, de radios a, b, c, respectivamente. A1 es el polo de BC respecto a Γa y A2 es el punto de intersección de la polar de B respecto a Γc con la polar de C respecto a Γb. Los puntos B1, B2 y C1, C2 se definen cíclicamente.
Los seis puntos A1, A2, B1, B2 y C1, C2 están sobre una misma cónica 𝒞, que pasa por los centros del triángulo X1, X3, X20, X10454 y cuya tangente en X1 es X1X256.
X10454 es el punto en el que la recta que pasa por el incentro y ortocentro, vuelve a cortar a 𝒞.
El centro de la
cónica
( -3 a^3 b^3 c x^2+a^2 b^4 c x^2+3 a b^5 c x^2-b^6 c x^2+a^2 b^3 c^2 x^2+2 a b^4 c^2 x^2+b^5 c^2 x^2+3 a^3 b c^3 x^2-a^2 b^2 c^3 x^2+2 b^4 c^3 x^2-a^2 b c^4 x^2-2 a b^2 c^4 x^2-2 b^3 c^4 x^2-3 a b c^5 x^2-b^2 c^5 x^2+b c^6 x^2-3 a^5 b c x y+2 a^4 b^2 c x y-2 a^2 b^4 c x y+3 a b^5 c x y-a^5 c^2 x y+a^3 b^2 c^2 x y-a^2 b^3 c^2 x y+b^5 c^2 x y-2 a^4 c^3 x y+3 a^3 b c^3 x y-3 a b^3 c^3 x y+2 b^4 c^3 x y+a^2 b c^4 x y-a b^2 c^4 x y+2 a^2 c^5 x y-2 b^2 c^5 x y+a c^6 x y-b c^6 x y+a^6 c y^2-3 a^5 b c y^2-a^4 b^2 c y^2+3 a^3 b^3 c y^2-a^5 c^2 y^2-2 a^4 b c^2 y^2-a^3 b^2 c^2 y^2-2 a^4 c^3 y^2+a^2 b^2 c^3 y^2-3 a b^3 c^3 y^2+2 a^3 c^4 y^2+2 a^2 b c^4 y^2+a b^2 c^4 y^2+a^2 c^5 y^2+3 a b c^5 y^2-a c^6 y^2+a^5 b^2 x z+2 a^4 b^3 x z-2 a^2 b^5 x z-a b^6 x z+3 a^5 b c x z-3 a^3 b^3 c x z-a^2 b^4 c x z+b^6 c x z-2 a^4 b c^2 x z-a^3 b^2 c^2 x z+a b^4 c^2 x z+2 b^5 c^2 x z+a^2 b^2 c^3 x z+3 a b^3 c^3 x z+2 a^2 b c^4 x z-2 b^3 c^4 x z-3 a b c^5 x z-b^2 c^5 x z+a^6 b y z+2 a^5 b^2 y z-2 a^3 b^4 y z-a^2 b^5 y z-a^6 c y z+a^4 b^2 c y z+3 a^3 b^3 c y z-3 a b^5 c y z-2 a^5 c^2 y z-a^4 b c^2 y z+a^2 b^3 c^2 y z+2 a b^4 c^2 y z-3 a^3 b c^3 y z-a^2 b^2 c^3 y z+2 a^3 c^4 y z-2 a b^2 c^4 y z+a^2 c^5 y z+3 a b c^5 y z-a^6 b z^2+a^5 b^2 z^2+2 a^4 b^3 z^2-2 a^3 b^4 z^2-a^2 b^5 z^2+a b^6 z^2+3 a^5 b c z^2+2 a^4 b^2 c z^2-2 a^2 b^4 c z^2-3 a b^5 c z^2+a^4 b c^2 z^2+a^3 b^2 c^2 z^2-a^2 b^3 c^2 z^2-a b^4 c^2 z^2-3 a^3 b c^3 z^2+3 a b^3 c^3 z^2 = 0)
𝒞 es:
W = ( a (a^5 (b+c)+5 a^3 b c (b+c)+5 b c (b^2-c^2)^2+2 a^4 (b^2-8 b c+c^2)+a^2 (-2 b^4+11 b^3 c-10 b^2 c^2+11 b c^3-2 c^4)-a (b^5+6 b^4 c-3 b^3 c^2-3 b^2 c^3+6 b c^4+c^5)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-2.77660310658974, -15.7702682448838, 15.8400516237146).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,4014}, {40,550}, {1385,32486}, {5258,31662}, {5400,7987}, {10609,21362}, {11372,40256}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(46362).
- Miércoles, 8 de diciembre del 2021
Los centros X(1000) y X(39959)
El ocho de diciembre ee 1982, en la aldea Las Dos Erres, en el departamento guatemalteco de La Libertad (Petén), el Gobierno del dictador Efraín Ríos Montt lleva a cabo el tercer y último día de la Masacre de Las Dos Erres, en que torturaron y asesinaron a toda la población de la aldea (más de 400 personas).
Dado un triángulo ABC, sea ℓa la recta que pasa por Ab, punto de intersección de la bisectriz en B con la perpendicular por A a AB, y por Ac, punto de intersección de la bisectriz en C con la perpendicular por A a AC. Las rectas ℓb y ℓc son definidas cíclicamente.
La rectas ℓ
a, ℓ
b, ℓ
c forman un triángulo
A'B'C', perspectivo con
ABC y centro de perspectividad
X1000.
(1/(a^2-b^2+4 b c-c^2): ... : ...).
Ab = (2 a c:a^2-b^2-c^2:,2 c^2),
Ac = (2 a b:2 b^2:a^2-b^2-c^2).
ℓa: ((b-c)^2-a^2) x+2 a c y+2 a b z = 0.
A' = (a^4-2 a^3 (b+c)+2 a (b-c)^2 (b+c)-(b^2-c^2)^2:-2 b c (a^2-4 a b+b^2-c^2):2 b c (-a^2+b^2+4 a c-c^2)).
Sean A'b el punto de intersección de la bisectriz interior en B con la paralela a BC por Ac, y A'c el punto de intersección de la bisectriz interior en C con la paralela a BC por Ab. Se denota por ℓ'a la recta que pasa por A'b y A'c. Las rectas ℓ'b, ℓ'c se definen cíclicamente.
La rectas ℓ'
a, ℓ'
b, ℓ'
c forman un triángulo
A"B"C", perspectivo con
ABC y centro de perspectividad
X39959.
(a/(3 a^2+b^2-2 b c+c^2):...:...).
ℓ'a: (a^2 + (b - c)^2) x - 2 a b y - 2 a c z = 0.
A" = (a^4-2 a^3 (b+c)+2 a^2 (b+c)^2+(b^2-c^2)^2-2 a (b^3+b^2 c+b c^2+c^3):
2 a b (a^2-2 a b+b^2+3 c^2) : 2 a c (a^2+3 b^2-2 a c+c^2)).
Los seis puntos A1, A2, B1, B2, C1, C2 están sobre una misma
cónica.
(
𝔖abc xyz
-2 a b (b-c) c (-a^13+7 a^12 (b+c)+(b-c)^8 (b+c)^3 (b^2+c^2)-2 a^11 (10 b^2+23 b c+10 c^2)+2 a^10 (14 b^3+53 b^2 c+53 b c^2+14 c^3)-a (b-c)^8 (7 b^4+26 b^3 c+30 b^2 c^2+26 b c^3+7 c^4)-a^9 (13 b^4+90 b^3 c+210 b^2 c^2+90 b c^3+13 c^4)-a^8 (21 b^5+3 b^4 c-112 b^3 c^2-112 b^2 c^3+3 b c^4+21 c^5)+4 a^7 (12 b^6+b^5 c+48 b^4 c^2-34 b^3 c^3+48 b^2 c^4+b c^5+12 c^6)-4 a^6 (12 b^7-19 b^6 c+85 b^5 c^2-6 b^4 c^3-6 b^3 c^4+85 b^2 c^5-19 b c^6+12 c^7)+3 a^5 (7 b^8-12 b^7 c+60 b^6 c^2+140 b^5 c^3-134 b^4 c^4+140 b^3 c^5+60 b^2 c^6-12 b c^7+7 c^8)-2 a^3 (b-c)^2 (14 b^8-41 b^7 c-34 b^6 c^2+9 b^5 c^3-280 b^4 c^4+9 b^3 c^5-34 b^2 c^6-41 b c^7+14 c^8)+2 a^2 (b-c)^2 (10 b^9-23 b^8 c-27 b^7 c^2+71 b^6 c^3-95 b^5 c^4-95 b^4 c^5+71 b^3 c^6-27 b^2 c^7-23 b c^8+10 c^9)+a^4 (13 b^9-95 b^8 c+56 b^7 c^2-368 b^6 c^3+266 b^5 c^4+266 b^4 c^5-368 b^3 c^6+56 b^2 c^7-95 b c^8+13 c^9)) x^2-a (b-c) (-a^15+9 a^14 (b+c)-5 a^13 (7 b^2+16 b c+7 c^2)+3 a^12 (25 b^3+97 b^2 c+97 b c^2+25 c^3)+(b-c)^8 (b+c)^3 (b^4+2 b^3 c+6 b^2 c^2+2 b c^3+c^4)-a (b-c)^6 (b+c)^4 (9 b^4-2 b^3 c+6 b^2 c^2-2 b c^3+9 c^4)-a^11 (89 b^4+548 b^3 c+930 b^2 c^2+548 b c^3+89 c^4)+a^10 (33 b^5+525 b^4 c+1454 b^3 c^2+1454 b^2 c^3+525 b c^4+33 c^5)+a^9 (77 b^6-124 b^5 c-937 b^4 c^2-2032 b^3 c^3-937 b^2 c^4-124 b c^5+77 c^6)+a^7 (b+c)^2 (165 b^6+14 b^5 c+1235 b^4 c^2-2060 b^3 c^3+1235 b^2 c^4+14 b c^5+165 c^6)-a^8 (165 b^7+265 b^6 c+499 b^5 c^2-1393 b^4 c^3-1393 b^3 c^4+499 b^2 c^5+265 b c^6+165 c^7)-a^6 (77 b^9+277 b^8 c+1052 b^7 c^2+1676 b^6 c^3-714 b^5 c^4-714 b^4 c^5+1676 b^3 c^6+1052 b^2 c^7+277 b c^8+77 c^9)+a^5 (-33 b^10+248 b^9 c+283 b^8 c^2+976 b^7 c^3+1606 b^6 c^4-2064 b^5 c^5+1606 b^4 c^6+976 b^3 c^7+283 b^2 c^8+248 b c^9-33 c^10)-a^3 (b+c)^2 (75 b^10-290 b^9 c+331 b^8 c^2+432 b^7 c^3-2262 b^6 c^4+3172 b^5 c^5-2262 b^4 c^6+432 b^3 c^7+331 b^2 c^8-290 b c^9+75 c^10)+a^2 (b-c)^2 (35 b^11+5 b^10 c-139 b^9 c^2+131 b^8 c^3+58 b^7 c^4-346 b^6 c^5-346 b^5 c^6+58 b^4 c^7+131 b^3 c^8-139 b^2 c^9+5 b c^10+35 c^11)+a^4 (89 b^11-215 b^10 c-83 b^9 c^2+397 b^8 c^3-2310 b^7 c^4+842 b^6 c^5+842 b^5 c^6-2310 b^4 c^7+397 b^3 c^8-83 b^2 c^9-215 b c^10+89 c^11)) y z = 0.
)
- Domingo, 5 de diciembre del 2021
Los centros X(2197) y X(2269) puntos fijos de afinidades
«Muchas veces las palabras que tendríamos que haber dicho no se presentan ante nuestra mente hasta que ya es demasiado tarde» (André Gide)
Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). del incentro y A" el punto de intersección de la mediatriz de AA' con la perpendicular por A' a BC. A" está sobre la recta que pasa A y el circuncentro. Los puntos B" y C" son obtenidos cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas:
A" = (2 a^2 b c : b^2 (a^2-b^2+c^2) : c^2 (a^2+b^2-c^2)).
El punto fijo de la transformación afín que aplica
ABC en
A"B"C" es
X2197.
El punto fijo de la transformación afín que aplica
A'B'C' en
A"B"C" es
X2269.
- Miércoles, 1 de diciembre del 2021
Involución sobre la recta de Euler y triángulos bilógicos
El 1 de diciembre de 1792 nació
el matemático ruso Niclaï Ivanovitch Lobatchevsky, fue uno de los primeros matemáticos que aplicó un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de la geometría euclidiana. Informó, por primera vez, de su nueva geometría no euclidiana el 23 de febrero de 1826, con una conferencia en la sesión del departamento de física y matemáticas de la Universidad de Kazán. Publicó un artículo "Geometría Imaginaria" en la cual desarrollaba una geometría no euclidea llamada geometría hiperbólica, con independencia del húngaro János Bolyai y del alemán Carl Friedrich Gauss. Antes de Lobachevski, los matemáticos intentaban deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros axiomas; sin embargo, Lobachevski se dedicó a desarrollar una geometría en la cual el quinto postulado puede no ser cierto o, mejor dicho, ser diferente.
Enlaces relacionados:
ESTE: Involución sobre la recta de Euler y triángulo bilógicos
Una involución sobre la recta de Euler
Involución sobre la recta de Euler y centros ortológicos
Euclid #3413 (Antreas P. Hatzipolakis)
Dados un triángulo ABC y un punto P en su plano, sea ℓP la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
. Se considera el punto A' de intersección de las reflexiones de ℓP en los lados AB y AC. Análogamente se definen cíclicamente los puntos B' y C'.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son
bilógicosDos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos.
El centro de perspectividad y los centros de ortología están alineados, sobre una recta perpendicular al eje de perspectividad. (Teorema de Sondat).
The word bilogic introduced by Neuberg will be used to designate triangles which are perspective and orthologic. V. Thebault.- Perspective and Orthologic Triangles and Tetrahedrons. The American Mathematical Monthly vol. 59, No. 1, Jan. 1952, pp. 24 - 28 .
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del punto del infinito de la recta de Euler.
El centro ortológicoDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. de ABC respecto a A'B'C' es X265, antipodal del circuncentro en la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
Si Po es la proyección ortogonal de P sobre la recta de Euler, el centro ortológico, W, de A'B'C' respecto a ABC es la imagen de Po mediante la homotecia de razón -2 y centro X14644.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
W = (a^10 (3 u+v+w)-a^4 (b^4 c^2 (4 u+v)+c^6 (v-2 w)+b^2 c^4 (4 u+w)+b^6 (-2 v+w))-a^8 (c^2 (7 u+2 v)+b^2 (7 u+2 w))-(b^2-c^2)^4 (b^2 (u+2 v+w)+c^2 (u+v+2 w))+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4 (u+3 v+2 w)+c^4 (u+2 v+3 w)-b^2 c^2 (u+2 (v+w)))+a^6 (c^4 (4 u+v-4 w)+b^4 (4 u-4 v+w)+b^2 c^2 (11 u+4 (v+w))): ... : ....).
Cuando P está sobre la recta de Euler, Pt=O + t H (O=X3 es el circuncentro y H=X4 es el ortocentro), entonces:
A' = (-2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)^2+a^12 (1+t)-2 a^10 (b^2+c^2) (2+t)+a^8 (-2 b^4 (-2+t)-2 c^4 (-2+t)+9 b^2 c^2 (1+t))+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (5 b^2 c^2 (-1+t)+2 b^4 (4+t)+2 c^4 (4+t))-a^4 (4 b^4 c^4 (1-4 t)+b^6 c^2 (-15+t)+b^2 c^6 (-15+t)+b^8 (11+7 t)+c^8 (11+7 t))+a^6 (b^2+c^2) (4 c^4 (1+2 t)+b^4 (4+8 t)-b^2 c^2 (15+17 t)) :
-b^2 (a^4+b^4+b^2 c^2-2 c^4+a^2 (-2 b^2+c^2)) ((b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (-1+t)+2 a^6 t-a^4 (b^2+c^2) (1+3 t)+2 a^2 (b^4+c^4+b^2 c^2 (-1+2 t))) :
-c^2 (a^4-2 b^4+b^2 c^2+c^4+a^2 (b^2-2 c^2)) ((b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (-1+t)+2 a^6 t-a^4 (b^2+c^2) (1+3 t)+2 a^2 (b^4+c^4+b^2 c^2 (-1+2 t)))),
W = (2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)-a^8 (b^2+c^2) (-5+t)+a^10 (-3+t)-a^2 (b^2-c^2)^2 (5 b^2 c^2 (-1+t)+2 b^4 (1+t)+2 c^4 (1+t))+a^4 (b^2+c^2) (2 b^2 c^2 (4-5 t)+b^4 (-3+5 t)+c^4 (-3+5 t))+a^6 (b^4 (1-3 t)+c^4 (1-3 t)+b^2 c^2 (-13+7 t)) :
2 a^10-a^2 (b^2-c^2) (-6 c^6+2 b^4 c^2 (4-3 t)+b^6 (-5+t)-b^2 c^4 (-3+t))+(b^2-c^2)^3 (-2 c^4+b^4 (-3+t)+2 b^2 c^2 (-2+t))-2 a^8 (3 c^2+b^2 (1+t))+a^4 (4 c^6+b^6 (1-3 t)-5 b^4 c^2 (-1+t)+2 b^2 c^4 (-7+3 t))+a^6 (4 c^4-b^2 c^2 (-9+t)+b^4 (-3+5 t)) :
2 a^10+(b^2-c^2)^3 (2 b^4-c^4 (-3+t)-2 b^2 c^2 (-2+t))-2 a^8 (3 b^2+c^2 (1+t))+a^4 (4 b^6+c^6 (1-3 t)-5 b^2 c^4 (-1+t)+2 b^4 c^2 (-7+3 t))-a^2 (b^2-c^2) (6 b^6-c^6 (-5+t)+b^4 c^2 (-3+t)+2 b^2 c^4 (-4+3 t))+a^6 (4 b^4-b^2 c^2 (-9+t)+c^4 (-3+5 t))).
El lugar geométrico del punto fijo, Ft, de la transformación afín, σt, que aplica ABC en A'B'C' es la hipérbola de Jerabek.
Si Ft* es el conjugado isogonal de Ft, la aplicación
Pt=O + t H ↦ Ft*= 8 SASBSC Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard). (1+t) O -(4 S^2OH² + a²b²c² + 8t SASBSC) H
es una involución sobre la recta de Euler
Pares de puntos conjugados {Xi, Xj}, para {i, j}: {2, 468}, {3, 403}, {4, 30}, {5, 186}, {20, 10151}, {21, 37982}, {22, 37981}, {23, 427}, {24, 2072}, {25, 858}, {27, 33329}, {28, 30447}, {29, 36195}, {140, 37943}, {235, 2071}, {297, 1316}, {376, 37984}, {378, 11799}, {381, 10295}, {405, 37989}, {407, 7424}, {419, 11007}, {421, 36190}, {428, 5189}, {429, 1325}, {430, 5196}, {441, 36191}, {442, 2074}, {458, 5112}, {460, 36163}, {462, 36185}, {463, 36186}, {470, 32461}, {471, 32460}, {472, 37975}, {473, 37974}, {546, 13619}, {631, 37942}, {857, 14119}, {860, 3109}, {867, 37964}, {868, 7473}, {1113, 1313}, {1114, 1312}, {1368, 37777}, {1559, 36162}, {1594, 2070}, {1595, 37925}, {1596, 7464}, {1650, 31510}, {1883, 37919}, {1884, 36154}, {1906, 37944}, {1907, 37945}, {2073, 3136}, {2075, 3142}, {2409, 37987}, {2450, 36176}, {3090, 37935}, {3091, 37931}, {3134, 7480}, {3139, 37966}, {3140, 7476}, {3143, 7482}, {3146, 13473}, {3150, 37937}, {3153, 3575}, {3154, 4240}, {3518, 37938}, {3520, 11563}, {3541, 37971}, {3542, 10257}, {3545, 37934}, {3850, 35489}, {4230, 36189}, {4235, 14120}, {4238, 37986}, {4241, 37167}, {5064, 37900}, {5094, 7426}, {5117, 37906}, {5133, 21284}, {5159, 6353}, {5169, 37969}, {5576, 37932}, {5899, 15559}, {6143, 10096}, {6240, 18403}, {6622, 16976}, {6656, 37912}, {6841, 37979}, {7378, 37899}, {7471, 35235}, {7574, 7576}, {7575, 7577}, {8889, 37897}, {10024, 37970}, {10297, 18533}, {10301, 10989}, {11251, 36164}, {11585, 37951}, {13160, 37954}, {14865, 43893}, {15646, 16868}, {15762, 36026}, {15763, 36001}, {16386, 37197}, {18323, 35480}, {18559, 18572}, {18560, 31726}, {23323, 35471}, {30444, 37961}, {30739, 37962}, {35487, 37955}, {36155, 37168}, {37362, 37959}, {37439, 37977}, {37911, 38282}, {37920, 37990}.
Los puntos dobles (reales, cuando el triángulo ABC es obtusángulo) de esta involución tienen coordenadas baricéntricas:
F+, F-
SBSC(SA(3SBSC-S²) ±
2 OH S √- SASBSC) : :
- Lunes, 29 de noviembre del 2021
El centro del triángulo X(2178)
a Lolilla, por su cumpleaños
X(2178) is
barycentric productDados dos puntos P y U de coordenadas baricéntricas (p:q:r) y (u:v:w), respectivamente, el punto P×U de coordenadas (pu:qv:rw) es el producto baricéntrico de P y U. Cuando U=P, tememos el cuadrado baricéntrico P².
(Para varias construcciones, ver Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane. §1.2.2. http://bernard-gibert.fr//files/Resources/SITP.pdf#page=6).
El producto baricéntrico de P y U es la imagen de U en la homografía que aplica {A, B, C, G} en {A, B, C, P}, donde G es el baricentro. of
symmedianEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²). and the
anticomplementSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. of X(63).
Let I
aI
bI
c be the
excentral triangleEl triángulo excentral del triángulo ABC es el triángulo IaIbIc que tiene por vértices sus excentros.
Baricéntricas: Ia(-a:b:c).. Let I'
a be the
isotomic conjugateSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv)., wrt triangle I
aBC, of the incenter. Define I
b and I
c cyclically. The lines I
aI'
a, I
bI'
b, I
cI'
c concur in
X(63). (Randy Hutson, July 31 2018).
Dado un triángulo ABC, sean A' la reflexión de A en el circuncentro, I=X1 el incentro y Ia el centro de la circunferencia A-exinscrita. La circunferencia (A'IIa) vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita en A". Sea ta la tangente a la circunferencia circunscrita en A". Las rectas ta y ta se definen procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC. Sean A1=tb∩tc, B1=tc∩ta, C1=ta∩tb.
Las rectas AA1, BB1, CC1 concurren en X2178.
En coordenadas baricéntricas:
A' = (-a^4 + (b^2 - c^2)^2 : -2 b^2 (-a^2 + b^2 - c^2) : -2 c^2 (-a^2 - b^2 +
c^2)),
A" = (a^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) : b (b-c) (-a+b+c) (a+b+c) (a^2+b^2-c^2) : (a-b-c) (b-c) c (a+b+c) (a^2-b^2+c^2),
ta: (b-c)^2 (-a+b+c)^2 (a+b+c)^2 x+a^2 (a^2-b^2+c^2)^2 y+a^2 (a^2+b^2-c^2)^2 z = 0.
A1 = (a (a^6+a^5 (b+c)-2 b c (b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)^2-2 a^4 (b^2-b c+c^2)-2 a^3 (b^3+c^3)+a (b^5-b^4 c-b c^4+c^5)) :
-b^2 (a^5+b^5+a^4 (b-c)+b^4 c-b c^4-c^5-2 a^3 (b^2+c^2)+a (b^2+c^2)^2-2 a^2 (b^3-c^3)) :
-c^2 (a^5-b^5-b^4 c+b c^4+c^5+a^4 (-b+c)-2 a^3 (b^2+c^2)+a (b^2+c^2)^2+2 a^2 (b^3-c^3))).
Las rectas AA1, BB1, CC1 concurren en:
X2178 = ( a^2(a^3+a^2 (b+c)-a (b^2+c^2)-(b-c)^2 (b+c)): ... : ...).
NOTA:
Si D es el puto medio del arco BAC en la circunferencia circunscrita, sean Db y Dc los puntos de intersección de AI con las rectas DB y DC, respectivamente.
La circunferencia (DDbDc) es tangente en A" a la circunferencia (A'IIa).
- Sábado, 18 de noviembre del 2021
Centros ortológicos de triángulos inversamente semejantes
El 18 de noviembre de 1922 falleció (a los 51 años) Marcel Proust, novelista, ensayista y crítico francés cuya obra maestra, la novela "En busca del tiempo perdido" está compuesta de siete partes publicadas entre 1913 y 1927.
Given a triangle ABC, let G
a be the antipode of X(2) in the
A-McCay circleLas tres circunferencias que pasan por el baricentro de un triángulo dado y por pares de vértices del segundo triángulo de Brocard se denominan circunferencias de McCay (Johnson, R. A..- Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin 1929. p. 306).
Los tres centros de estas circunferencias forman un triángulo M1M2M3, llamado triángulo de McCay.
M1 =(a^2(a^2+b^2+c^2) :
-2a^4-2b^4+3b^2c^2-c^4+a^2(2b^2+3c^2) :
-2a^4-b^4+3b^2c^2-2c^4+a^2(3b^2+2c^2)), Γ
a, and define G
b and G
c cyclically; then G
aG
bG
c is homothetic to the McCay triangle at X(2). Let L
a be the line tangent to the A-McCay circle at G
a, and define L
b and L
c cyclically. Let A" = L
b∩L
c, and define B" and C" cyclically. Then A"B"C" is the antipedal triangle of X(2) with respect to G
aG
bG
c, and
A"B"C" is inversely similar to ABC and homothetic to the 1st Brocard triangle. Also,
X(7620) = X(2)-of-A"B"C" = X(376)-of G
AG
BG
C. (Randy Hutson, May 27, 2015)
El punto fijo de la semejanza inversa, σ, que aplica ABC en A"B"C" es:
Fo = ( 21 a^8
-12 a^6 (b^2+c^2)+2 a^4 (b^4-14 b^2 c^2+c^4)
+28 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)
-(b^2-c^2)^2 (7 b^4-22 b^2 c^2+7 c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(0.855064707936612, 1.75820343733889, 2.02880146777902).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,7620}, {230,23334}, {381,7735}, {598,5304}, {3815,14039}, {7736,11165}, {7737,22682}, {7757,32815}, {9880,11179}, {11171,38730}.
σ induce en la recta del infinito una involución cuyos puntos dobles, X(3413) y X(3414), tiene la dirección de las asintotas de la hipérbola de KiepertLa hipérbola de Kiepert de un triángulo es la hipérbola equilátera (pasa por el ortocentro) circunscrita al triángulo y que pasa por su baricentro. Es la conjugada isogonal del eje de Brocard.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2-c^2)yz+(c^2-a^2)zx+(a^2-b^2)xy=0.
Su centro, sobre la circunferencia de Euler, es el centro X115 de ETC.
Su perspector (punto de Brianchon), X(523)=conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, es el punto del infinito del eje órtico
Sus puntos en el infinito son X3413 y X3414, conjugados isogonales de los puntos en los que el eje de Brocard corta a la circunferencia circunscrita, X1379 y X1380.. Son puntos conjugados los pares {σ(Xi), σ(X)}, para {i, j}: {30, 542}, {511, 2782}, {512, 804}, {513, 2787}, {514, 2786}, {515, 2792}, {516, 2784}, {517, 2783}, {518, 2795}, {519, 2796}, {520, 2797}, {521, 2798}, {522, 2785}, {523, 690}, {524, 543}, {525, 2799}, {530, 531}, {536, 35103}, {538, 5969}, {812, 40459}, {826, 9479}, {1499, 2793}, {1503, 2794}, {2788, 3309}, {2789, 3667}, {2790, 6000}, {2791, 6001}, {3413, 3413}, {3414, 3414}, {3564, 23698}, {3849, 9830}, {23870, 23871}, {27550, 27551}, {41022, 41023}.
Los triángulos ABC y A"B"C" son ortológicosDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. (Theorem 26 (Mihai Miculiţa)).
El centro ortológico de ABC respecto a A"B"C" (que queda sobre la circunferencia circunscrita a ABC) es el punto de TarryEl punto de Tarry de un triángulo ABC es el punto de intersección, distinto de A, B, C, de la circunferencia circunscrita con la hipérbola de Kiepert. Es el punto antipodal del punto de Steiner. Es un punto de concurrencia de las líneas a través de los vértices del triángulo perpendiculares a los lados correspondientes del primer triángulo Brocard de ABC. Es el punto X98 de ETC, su conjugado isogonal (en la recta del infinito) es X511..
El centro ortológico de A"B"C" respecto a ABC (que queda sobre la circunferencia circunscrita a A"B"C") es:
V = ( a^8+8 a^6 (b^2+c^2)-2 a^4 (b^2+c^2)^2-8 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4-10 b^2 c^2+c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-46.2674456459368, -55.3441871404062, 63.3100766464672).
Es el punto medio de X3424 y X3543.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {376, 9756}, {7710, 381}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,6}, {{20,1078}, {{30,7620}, {{147,32827}, {{193,38664}, {{316,5921}, {{376,9756}, {{381,7710}, {{458,35260}, {{542,23334}, {{543,22664}, {{671,2794}, {{3091,7790}, {{3146,14712}, {{3524,8719}, {{3545,15428}, {{3839,7694}, {{3926,39266}, {{4232,41254}, {{5024,40927}, {{5188,32834}, {{5309,9748}, {{5999,32815}, {{7739,22682}, {{8370,25406}, {{9752,14651}, {{10516,33190}, {{10991,43618}, {{11257,31400}, {{11623,37689}, {{12203,32971}, {{20079,32002}, {{22575,41023}, {{22576,41022}, {{29181,34505}, {{32064,39908}, {{34473,35927}.
El punto V ha sido incorporado a ETC con el número X(46034).
- Sábado, 13 de noviembre del 2021
Las cúbicas K117 y K127
El 13 de noviembre de 2014 falleció, a los 86 años, Alexander Grothendieck, matemático apátrida, nacionalizado francés en los años 1980. Recibió la medalla Fields en 1966 por sus contribuciones al Álgebra Homológica y la Geometría Algebraica.
Enlaces relacionados:
ESTE: Las cúbicas K117 y K127
Caracterización de las cúbicas K117 y K216
Dado un triángulo ABC, de circuncentro O=X3 y ortocentro H=X4, sean P un punto, C(P) la cónica circunscrita con perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. P y A' el poloDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de BC respecto a la cónica (PPPtP) tangente en A a C(P) y que pasa por B, C, P. Otra forma de construir el punto A' puede verse en HG040521.
Los puntos B' y C' se definen procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son
ortológicosDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. si y sólo si
P está sobre la cúbica
K117 = 𝒞(3) =
𝒞(X3146).
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos con centro de perspectividad P. Así, cuando P está sobre K117, estos triángulos son bilógicosDos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos.
El centro de perspectividad y los centros de ortología están alineados, sobre una recta perpendicular al eje de perspectividad. (Teorema de Sondat).
The word bilogic introduced by Neuberg will be used to designate triangles which are perspective and orthologic. V. Thebault.- Perspective and Orthologic Triangles and Tetrahedrons. The American Mathematical Monthly vol. 59, No. 1, Jan. 1952, pp. 24 - 28 . Los centros ortológicos Q y Q', alineados con P, quedan sobre la cúbica K127 = 𝒟(3) (§5.3.2).
La recta que contiene a P y a los dos centros ortológicos pasa por X3146 (reflexión del punto de De LongchampsEl punto de De Longchamps es la reflexión del ortocentro en el circuncentro de un triángulo. Es el ortocentro del triángulo anticomplementario (antimedial).
Se nombra así después que De Longchamps demostrara que es el centro radical de las circunferencias con los vértices de ABC como centros y longitudes de los lados opuestos como radios.
Es el punto X20 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es SBSC-a^2SA. en el ortocentro, OX3146=3OH).
El centro ortológico Q, de ABC respecto a A'B'C' es el punto descrito en §3.1 Theorem 1, como el segundo punto de intersección de la recta PX3146 con la hipérbola rectangular circunscrita a ABC que pasa por P.
Estudio analítico:
Si pyz+qzx+rxy=0 es la ecuación baricéntrica de la cónica, C(P), circunscrita de perspector P=(p:q:r), la ecuación de la cónica tangente en A a C(P) y que pasa por B, C, P es x (r y + q z)-2 p y z =0 y el polo de BC respecto a esta cónica es A'=(2 p : q : r).
La perpendicular por A' a BC es:
(a^2 (-q+r)+(b^2-c^2) (q+r)) x+2 ((-b^2+c^2) p+a^2 (p+r)) y-2 ((b^2-c^2) p+a^2 (p+q)) z = 0.
ABC y A'B'C' son ortológicos si y solo si las coordenadas de P satisfacen a la ecuación:
𝔖abc xyz
y z (a^2 (y-z)-3 (b^2-c^2) (y+z)) = 0,
que es la ecuación de K117.
Sean Q y Q' los centros ortológicos de ABC respecto a A'B'C' y de A'B'C' respecto a ABC, respectivamente. Se tienen la siguiente ternas {P=Xi, Q=Xj, Q'=Xk}:
{X2, X4, X5},
{X4, X5, X4},
{X3146, U, X41362},
{X11008, V, X3146},
{W, Z, X15619}.
Los puntos U, V, Z sobre K127 y W sobre K117:
U = ( 1/((3 a^4-2 a^2 b^2-b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) (3 a^4-6 a^2 b^2+3 b^4-6 a^2 c^2+2 b^2 c^2+3 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(0.519598388237994, 0.919646961594628, 2.76417117546287).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {20,5896}, {64,3146},{253,32816}, {459,3515}, {6622,33630}, {10151,31942}.
V = ( (4 a^2-b^2-c^2)/(27 a^4+3 b^4+26 b^2 c^2+3 c^4-30 a^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),
punto sobre la rectas X3146X11008, que tiene números de búsqueda en ETC
(47.6607923560715, 110.191003918725, -94.6427039338584).
W = ( (3 a^4-5 a^2 (b^2+c^2)+2 b^4-b^2 c^2+2 c^4)/(a^8-a^6 (b^2+c^2)-a^4 (3 b^4+b^2 c^2+3 c^4)+a^2 (5 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+5 c^6)-(b^2-c^2)^2 (2 b^4+3 b^2 c^2+2 c^4)) : ... : ...),
punto sobre la recta X3146X15619,
que tiene números de búsqueda en ETC
(-0.468912595906691, 5.62506509968115, -0.0371901582225602).
Z = ( (a^2+b^2-4 c^2) (a^2-4 b^2+c^2) (4 a^12-8 a^10 (b^2+c^2)+a^8 (3 b^4+14 b^2 c^2+3 c^4)
+(b^2-c^2)^4 (2 b^4-b^2 c^2+2 c^4)
+a^4 (b^2-c^2)^2 (11 b^4+9 b^2 c^2+11 c^4)-a^2 (b^2-c^2)^2 (9 b^6-7 b^4 c^2-7 b^2 c^4+9 c^6)-3 a^6 (b^2+c^2)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-61.5836245195268, -69.4524767401615, 80.1463596956470).
- Lunes, 8 de noviembre del 2021
Cuatro triángulos con centro de perspectividad X(14100)
El 8 de noviembre de 1868 nació, Felix Hausdorff, matemático alemán, considerado uno de los fundadores de la Topología moderna. Axiomatizó el concepto topológico de entorno e introdujo los espacios topológicos conocidos como espacios de Hausdorff.
Hyacinthos #26475, Antreas Hatzipolakis and César Lozada, Aug 1, 2017.
Let ABC be a triangle and A'B'C', IaIbIc the pedal, antipedal triangles of I, resp.
Denote:
A", B", C" = the isogonal conjugates of Ia, Ib, Ic wrt triangle A'B'C', resp.
1. ABC, A"B"C" are perspective
2. A'B'C', A"B"C" are perspective.
1) X(3059)
2) Z2 = X(9)X(55)∩ X(11)X(142) [=
X(14100)]
a*(-a+b+c)*((b+c)*a^2+(b-c)^2* (-2*a+b+c)): : (barycentrics)
Dado un triángulo ABC con triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
DEF y triángulo excentralEl triángulo excentral del triángulo ABC es el triángulo IaIbIc que tiene por vértices sus excentros.
Baricéntricas: Ia(-a:b:c). IaIbIc.
Sean A*, B*, C* los conjugados isogonalesEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de Ia, Ib, Ic, respecto a DEF, respectivamente.
Los triángulos DEF y A*B*C* son perspectivos, con centro de perspectividad X14100.
Sea MaMbMc es triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). de DEF. La recta MbMc corta a IaIb en Ab y a IaIc en Ac. La rectas EAb y FAc se cortan en un punto A', que está sobre la recta DA*. Los puntos B' y C', se definen cíclicamente.
Consideremos un cuarto triángulo D'E'F', siendo D' el punto de intersección de la recta MbMc con la meadiatriz de EF (la recta DD' pasa por A'), y E', F' se definen de forma similar.
Los cuatro triángulos DEF, D'E'F', A'B'C', A*B*C* son perspectivos con centro de perspectividad común, X14100.
En coordenadas baricéntricas,
A* = ( -a (a^4 (b+c)+6 a^2 (b-c)^2 (b+c)+(b-c)^4 (b+c)-4 a^3 (b^2+c^2)-4 a (b-c)^2 (b^2+c^2)) :
b (a-b+c)^2 (a^3-a^2 (2 b+3 c)+c (b^2-c^2)+a (b^2+2 b c+3 c^2)) :
(a+b-c)^2 c (a^3-b^3+b c^2-a^2 (3 b+2 c)+a (3 b^2+2 b c+c^2))),
Ab = (-a (a+b-c)^2 : b (a+b-c)^2 : a^3-b (b-c)^2-a^2 (3 b+2 c)+a (3 b^2-4 b c+c^2)),
Ac = (-a (a-b+c)^2 : a^3-(b-c)^2 c-a^2 (2 b+3 c)+a (b^2-4 b c+3 c^2) : c (a-b+c)^2),
A' = (-a (a^4 (b+c)+6 a^2 (b-c)^2 (b+c)+(b-c)^4 (b+c)-4 a^3 (b^2+c^2)-4 a (b-c)^2 (b^2+c^2)):
b (a^5-(b-c)^3 c (b+c)-a^4 (4 b+3 c)+a (b-c)^2 (b^2-3 c^2)+2 a^3 (3 b^2+b c+c^2)+a^2 (-4 b^3+4 b^2 c-2 b c^2+2 c^3)) :
c (a^5+b (b-c)^3 (b+c)-a^4 (3 b+4 c)-a (b-c)^2 (3 b^2-c^2)+2 a^3 (b^2+b c+3 c^2)+2 a^2 (b^3-b^2 c+2 b c^2-2 c^3))),
D' = (-2 a (b-c)^2+a^2 (b+c)+(b-c)^2 (b+c) : -b (a^2+(b-c)^2-2 a (b+c)) : -c (a^2+(b-c)^2-2 a (b+c))).
- Viernes, 5 de noviembre del 2021
Círculo osculatriz en el punto de Steiner a la elipse de Steiner
El 5 de noviembre de 2012 falleció, a los 74 años,
Leonardo Favio, director de cine, cantautor, productor cinematográfico, guionista y actor argentino. Es considerado un director de culto, y uno de los más brillantes cineastas de su país. Sus películas Crónica de un niño solo y El romance del Aniceto y la Francisca suelen ser evaluadas entre las mejores de la historia del cine argentino.
Osculating circle of Steiner circumellipse at X(99).
Euclid #2988. Randy Hutson. 2021, Oct 28
What is the center of the osculating circle of the Steiner circumellipse at X(99)?
[Peter Moses]:
(a^4 - a^2*b^2 + b^4 - a^2*c^2 - b^2*c^2 + c^4)*(-3*a^12 + 8*a^10*b^2 - 8*a^8*b^4 + 5*a^6*b^6 - 2*a^4*b^8 - a^2*b^10 + b^12 + 8*a^10*c^2 - 18*a^8*b^2*c^2 + 13*a^6*b^4*c^2 - 6*a^4*b^6*c^2 + 6*a^2*b^8*c^2 - 3*b^10*c^2 - 8*a^8*c^4 + 13*a^6*b^2*c^4 - 3*a^4*b^4*c^4 - 3*a^2*b^6*c^4 + 2*b^8*c^4 + 5*a^6*c^6 - 6*a^4*b^2*c^6 - 3*a^2*b^4*c^6 - 2*a^4*c^8 + 6*a^2*b^2*c^8 + 2*b^4*c^8 - a^2*c^10 - 3*b^2*c^10 + c^12)::
on lines {{20, 2793}, {30, 9182}, {69, 74}, {325, 36166}, {3268, 38940}, {6054, 7664}, {6055, 30786}, {11177, 14360}, {16093, 23698}}.
{X(616),X(617)}-harmonic conjugate of X(11006).
The squared radius of the circle is
(a^6 - a^4*b^2 - a^2*b^4 + b^6 - a^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c^2 - b^4*c^2 - a^2*c^4 - b^2*c^4 + c^6)^3/(4*(a^4 - a^2*b^2 + b^4 - a^2*c^2 - b^2*c^2 + c^4)^3*S^2)
= (-9*SA*SB*SC + S^2*SW)^3/(4*S^2*(-3*S^2 + SW^2)^3)
It passes through X(99) and X(892).
Sea ABC un triángulo, para encontrar el centro de curvatura de la elipse circunscrita de SteinerLa elipse circunscrita de Steiner es la elipse circunscrita al triángulo y con centro en el baricentro. Es la elipse circunscrita de área mínima. Ecuación baricéntrica: yz+zx+xy=0.
Centros del triángulo X(i) sobre ella, i∈{99, 190, 290, 648, 664, 666, 668, 670, 671, 886, 889, 892, 903, 1121, 1494, 2479, 2480, 2481, 2966, 3225, 3226, 3227, 3228, 4555, 4562, 4569, 4577, 4586, 4597, 5641, 6189, 6190, 6528, 6540, 6606, 6613, 6635, 6648, 9487, 11117, 11118, 14616, 14727, 14728, 14970, 15164, 15165, 16077, 18025, 18026, 18816, 18821, 18822, 18823, 18824, 18825, 18826, 18827, 18828, 18829, 18830, 18831, 18878, 23895, 23896, 32036, 32037, 32038, 32039, 32040, 32041, 32042, 33513, 33514, 33515, 33516, 34393, 35136, 35137, 35138, 35139, 35140, 35141, 35142, 35143, 35144, 35145, 35146, 35147, 35148, 35149, 35150, 35151, 35152, 35153, 35154, 35155, 35156, 35157, 35158, 35159, 35160, 35161, 35162, 35163, 35164, 35165, 35166, 35167, 35168, 35169, 35170, 35171, 35172, 35173, 35174, 35175, 35176, 35177, 35178, 35179, 35180, 35181, 38341, 39202, 39203, 39204, 39205, 39626, 40301, 41072, 41073, 41074, 41075, 41076, 42367, 42371, 43091, 43092, 43093, 43094, 43095, 43096, 43097, 43098, 43099, 43664, 45876, 46132, 46133, 46134, 46135, 46136, 46137, 46138, 46139, 46140, 46141, 46142, 46143, 46144, 46145, 47269} en el punto de SteinerEl punto de Steiner de un triángulo es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner (con centro en el baricentro).
Coordenadas baricéntricas 1/(b^2-c^2):1/(c^2-a^2):1/(a^2-b^2)
Es el X99 de ETC. Su conjugado isogonal es X512 y su conjugados isotómico es X523., utilizamos uno de los métodos descritos en "Una construcción del centro de curvatura en cónicas".
Consideremos el haz de cónicas generado por la elipse circunscrita de Steiner y por el producto de una recta que pasa por el punto de Steiner y la recta tangente en este punto, cónicas osculatrices:
μ(x y+x z+y z) +
λ ((b^2-c^2)^2 x+(a^2-c^2)^2 y+(a^2-b^2)^2 z) ((b^2-c^2) (-c^2-b^2 t+a^2 (1+t)) x+(a^2-b^2) (a^2-c^2) t y-(a^2-b^2) (a^2-c^2) z) = 0.
La matriz asociada es:
{{f, r, q}, {r, g, p}, {q, p, h} =
{{2 (b^2-c^2)^3 (c^2+b^2 t-a^2 (1+t)) λ,-(a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2)^2 t λ+(a^2-c^2)^2 (-b^2+c^2) (-c^2-b^2 t+a^2 (1+t)) λ+μ,(a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2)^2 λ-(a^2-b^2)^2 (b^2-c^2) (-c^2-b^2 t+a^2 (1+t)) λ+μ},
{-(a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2)^2 t λ+(a^2-c^2)^2 (-b^2+c^2) (-c^2-b^2 t+a^2 (1+t)) λ+μ,-2 (a^2-b^2) (a^2-c^2)^3 t λ,(a^2-b^2) (a^2-c^2)^3 λ-(a^2-b^2)^3 (a^2-c^2) t λ+μ},
{(a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2)^2 λ-(a^2-b^2)^2 (b^2-c^2) (-c^2-b^2 t+a^2 (1+t)) λ+μ,(a^2-b^2) (a^2-c^2)^3 λ-(a^2-b^2)^3 (a^2-c^2) t λ+μ,2 (a^2-b^2)^3 (a^2-c^2) λ}},
que corresponde a la de una circunferencia si y solo si (g+h-2p)/a^2 = (h+f-2q)/b^2 = (f+g-2r)/c^2 (Hyacinthos 19716. Nikolaos Dergiades. Jan 11, 2011).
Obteniéndose,
μ = (a^2 - c^2) (a^10-2 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)+a^4 (b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6)+a^2 (-2 b^8+4 b^6 c^2-3 b^4 c^4+4 b^2 c^6-2 c^8)+(b^2-c^2)^2 (b^6+c^6)) /((a^2-b^2) (a^2+b^2-2 c^2)) λ,
t = - (a^2-c^2)^2 (a^2-2 b^2+c^2) /((a^2-b^2)^2 (a^2+b^2-2 c^2)).
Con lo que la circunferencia osculatriz buscada es:
Γ: 𝔖abc xyz
a^2 y z-((2 a^2-b^2-c^2) (b^2-c^2)^4 x (x+y+z))/(a^4+b^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+c^2))^2 = 0.
Contiene a los centros X99 y X892 (que es el otro punto de su intersección con la elipse circunscrita de Steiner).
El centro de Γ es:
D = (3 a^12-8 a^10 (b^2+c^2)+2 a^8 (4 b^4+9 b^2 c^2+4 c^4)-a^6 (5 b^6+13 b^4 c^2+13 b^2 c^4+5 c^6)
+a^4 (2 b^8+6 b^6 c^2+3 b^4 c^4+6 b^2 c^6+2 c^8)+a^2 (b^10-6 b^8 c^2+3 b^6 c^4+3 b^4 c^6-6 b^2 c^8+c^10)
-(b^2-c^2)^2 (b^8-b^6 c^2-b^4 c^4-b^2 c^6+c^8)
: ... : ...).
- Miércoles, 3 de noviembre del 2021
El centro del triángulo X(2165)
El 3 de noviembre de 1940
fallece, a los 60 años, en su exilio de Montauban, Manuel Azaña Díaz, escritor, político y uno de los oradores más importantes de la política española del siglo XX. Fue Jefe del Gobierno español de 1931 a 1933, y algunos meses en el año 1936. También fue Presidente de la Segunda República Española desde 1936 hasta 1939.
X2165
El centro de triángulo X
2165 es el
conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del
ortocorrespondienteSea P un punto en el plano del triángulo ABC. Las perpendiculares por P a AP, BP, CP intersecan a BC, CA, AB, respectivamente, en los puntos Pa, Pb, Pc, que están sobre una misma recta, llamada ortotransversal de P; su tripolo se dice que es el ortocorrespondiente de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, su ortocorrespondiente P⊥ es:
(u(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w))-a^2(u^2+2vw+u(v+w)) :
v(a^2(u+v-w)+c^2(-u+v+w))-b^2(v(v+w)+u(v+2w)) :
w(a^2(u-v+w)+b^2(-u+v+w))-c^2(w(v+w)+u(2v+w))). del circuncentro.
En un triángulo ABC, sean MaMbMc el triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). y HaHbHc el triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0)., Ab y Ac son las proyecciones ortogonales de Ha sobre AC y AB, respectivamente.
Los puntos diagonales del cuadrivérticeSe llama cuadrivértice completo al conjunto de cuatro puntos en el plano tales que no haya tres en una misma recta. Los cuatro puntos se llaman vértices . Ellos determinan seis rectas llamadas lados . Los tres puntos de intersección de pares de lados que no sean vértices, se llaman puntos diagonales. AbAcMbMc son A,
A' = AbMc∩AcMb y
A" = AbAc∩MbMc.
Los puntos B', B" y C',C" se definen de forma análoga, procediendo cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' concurren en X2165.
En coordenadas baricéntricas:
Ab = ((a^2+b^2-c^2)^2 : 0 : (-a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)),
Ac = ((a^2-b^2+c^2)^2 : (-a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) : 0),
A' = (2 (a^6 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-2 a^4 (b^4+c^4)) :
-a^8-(b^2-c^2)^4+2 a^6 (b^2+2 c^2)-2 a^4 (b^4+3 c^4)+2 a^2 (b^6-3 b^2 c^4+2 c^6) :
-a^8-(b^2-c^2)^4+2 a^6 (2 b^2+c^2)-2 a^4 (3 b^4+c^4)+2 a^2 (2 b^6-3 b^4 c^2+c^6),
A" = (2 a^2 (-b^2+c^2) : -a^4+2 a^2 c^2-(b^2-c^2)^2 : a^4-2 a^2 b^2+(b^2-c^2)^2).
Las rectas AA', BB', CC' concurren en:
X2165 = (1/(a^4+b^4+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)):...:...).
Las rectas
A'A", B'B", C'C" forma un triángulo
DEF, perspectivo con
ABC, cuyo centro de perspectividad,
W, es el
conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). de X
32832.
W = ( 1/(a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4-4 b^2 c^2+c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(1.52383127282490, 1.74722266792601, 1.72774204742411).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,1232}, {4,33631}, {6,140}, {25,160}, {32,36422}, {37,499}, {39,2165}, {42,21012}, {69,30535}, {111,43351}, {216,34288}, {230,39951}, {251,571}, {252,43842}, {308,7763}, {393,570}, {493,615}, {494,590}, {577,9698}, {588,3069}, {589,3068}, {631,13345}, {967,37662}, {1595,5013}, {1879,7738}, {1989,13351}, {2963,3767}, {2981,11489}, {2987,3618}, {2998,42406}, {3055,21448}, {3108,7735}, {3147,5063}, {3589,40802}, {5065,14910}, {6151,11488}, {7737,15109}, {7769,42407}, {7795,34816}, {8577,31463}, {8770,9722}, {10128,36616}, {31492,36751}, {32789,41437}, {32790,41438}, {37665,39955}.
El punto fijo de la transformación afín, σ, que aplica
ABC en
DEF es
X15805.
X15805 = (a^2 (a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4-6 b^2 c^2+c^4)+a^4 (6 b^4-4 b^2 c^2+6 c^4)-4 a^2 (b^6-4 b^4 c^2-4 b^2 c^4+c^6)) : ... : ... )
No se conocen centros en ETC[1-44066], salvo X15805, cuya imagen mediante σ estén en ETC.
σ(x:y:z)= ((-a^24 - (b^2 - c^2)^12 + 16 a^22 (b^2 + c^2) +
16 a^2 (b^2 - c^2)^10 (b^2 + c^2) -
2 a^20 (53 b^4 + 104 b^2 c^2 + 53 c^4) +
80 a^18 (5 b^6 + 13 b^4 c^2 + 13 b^2 c^4 + 5 c^6) -
2 a^4 (b^2 - c^2)^6 (53 b^8 + 6 b^6 c^2 - 126 b^4 c^4 + 6 b^2 c^6 +
53 c^8) -
a^16 (975 b^8 + 2756 b^6 c^2 + 3338 b^4 c^4 + 2756 b^2 c^6 +
975 c^8) +
16 a^6 (b^2 - c^2)^4 (25 b^10 + 21 b^8 c^2 - 50 b^6 c^4 -
50 b^4 c^6 + 21 b^2 c^8 + 25 c^10) +
32 a^14 (51 b^10 + 133 b^8 c^2 + 140 b^6 c^4 + 140 b^4 c^6 +
133 b^2 c^8 + 51 c^10) +
32 a^10 (b^2 - c^2)^2 (51 b^10 + 140 b^8 c^2 + 143 b^6 c^4 +
143 b^4 c^6 + 140 b^2 c^8 + 51 c^10) -
4 a^12 (483 b^12 + 928 b^10 c^2 + 345 b^8 c^4 + 376 b^6 c^6 +
345 b^4 c^8 + 928 b^2 c^10 + 483 c^12) -
a^8 (b^2 - c^2)^2 (975 b^12 + 1030 b^10 c^2 - 1487 b^8 c^4 -
1228 b^6 c^6 - 1487 b^4 c^8 + 1030 b^2 c^10 + 975 c^12))x+
2 a^2 c^2 (a^20 -
2 a^18 (8 b^2 + 5 c^2) + (b^2 - c^2)^8 (b^4 - 6 b^2 c^2 + c^4) +
a^16 (101 b^4 + 114 b^2 c^2 + 45 c^4) -
24 a^14 (14 b^6 + 17 b^4 c^2 + 14 b^2 c^4 + 5 c^6) -
2 a^2 (b^2 - c^2)^5 (8 b^8 - 51 b^6 c^2 + 33 b^4 c^4 +
23 b^2 c^6 - 5 c^8) +
a^12 (666 b^8 + 392 b^6 c^2 + 388 b^4 c^4 + 504 b^2 c^6 +
210 c^8) +
a^4 (b^2 - c^2)^3 (101 b^10 - 553 b^8 c^2 + 90 b^6 c^4 +
470 b^4 c^6 + 129 b^2 c^8 - 45 c^10) -
4 a^10 (208 b^10 - 169 b^8 c^2 - 264 b^6 c^4 - 138 b^4 c^6 +
84 b^2 c^8 + 63 c^10) +
2 a^8 (333 b^12 - 970 b^10 c^2 - 577 b^8 c^4 - 748 b^6 c^6 -
693 b^4 c^8 - 42 b^2 c^10 + 105 c^12) -
8 a^6 (42 b^14 - 233 b^12 c^2 + 174 b^10 c^4 + 105 b^8 c^6 +
50 b^6 c^8 - 111 b^4 c^10 - 42 b^2 c^12 + 15 c^14))y+
2 a^2 b^2 (a^20 -
2 a^18 (5 b^2 + 8 c^2) + (b^2 - c^2)^8 (b^4 - 6 b^2 c^2 + c^4) +
a^16 (45 b^4 + 114 b^2 c^2 + 101 c^4) -
24 a^14 (5 b^6 + 14 b^4 c^2 + 17 b^2 c^4 + 14 c^6) -
2 a^2 (b^2 - c^2)^5 (5 b^8 - 23 b^6 c^2 - 33 b^4 c^4 +
51 b^2 c^6 - 8 c^8) +
a^12 (210 b^8 + 504 b^6 c^2 + 388 b^4 c^4 + 392 b^2 c^6 +
666 c^8) +
a^4 (b^2 - c^2)^3 (45 b^10 - 129 b^8 c^2 - 470 b^6 c^4 -
90 b^4 c^6 + 553 b^2 c^8 - 101 c^10) -
4 a^10 (63 b^10 + 84 b^8 c^2 - 138 b^6 c^4 - 264 b^4 c^6 -
169 b^2 c^8 + 208 c^10) +
2 a^8 (105 b^12 - 42 b^10 c^2 - 693 b^8 c^4 - 748 b^6 c^6 -
577 b^4 c^8 - 970 b^2 c^10 + 333 c^12) -
8 a^6 (15 b^14 - 42 b^12 c^2 - 111 b^10 c^4 + 50 b^8 c^6 +
105 b^6 c^8 + 174 b^4 c^10 - 233 b^2 c^12 + 42 c^14))z : ... : ...).
Hyacinthos 27022
Re: Antipedal, locus (Jan 8, 2018)
[Antreas Hatzipolakis]:
Let ABC be a triangle, P a point and A'B'C', A"B"C" the pedal, antipedal triangles of P, resp.
Denote:
Ab, Ac = the orthogonal projections of A' on AB, AC, resp.
Bc, Ba = the orthogonal projections of B' on BC, BA, resp.
Ca, Cb = the orthogonal projections of C' on CA, CB, resp.
Ma, Mb, Mc = the midpoints of AbAc, BcBa, CaCb, resp.
Which is the locus of P such that A"B"C", MaMbMc are perspective?
[Peter Moses]:
CC + Inf + Deg 5.
For P = O: At
a^2 (a^8-4 a^6 b^2+6 a^4 b^4-4 a^2 b^6+b^8-4 a^6 c^2-4 a^4 b^2 c^2+16 a^2 b^4 c^2-8 b^6 c^2+6 a^4 c^4+16 a^2 b^2 c^4+14 b^4 c^4-4 a^2 c^6-8 b^2 c^6+c^8)::
[
X(15805) in ETC]
- Domingo, 31 de octubre del 2021
El perspector de Danneels
El 31 de octubre de 1992, Juan Pablo II, en la sesión plenaria de la Academia Pontificia de las Ciencias, reconoce claramente los errores de ciertos teólogos del siglo XVII en el caso de Galileo, sobre el que había propuesto una revisión honrada y sin prejuicios en 1979, pero la comisión que nombró al efecto en 1981 y que dio por concluidos sus trabajos en 1992, confirmó una vez más la tesis de que Galileo Galilei carecía de argumentos científicos para demostrar el heliocentrismo y sostuvo la inocencia de la Iglesia como institución y la obligación de Galileo de reconocer y prestar obediencia a su magisterio, justificando la condena y evitando una rehabilitación plena.
Danneels Perspectors
Suppose A
1B
1C
1 is the cevian triangle
of a point X.
Let L
AB be the line through B parallel to
A
1B
1, and let L
AC be the line through
C parallel to A
1C
1.
Let A
2 = L
AB∩L
AC, and define
B
2 and C
2 cyclically. Let
A
3 =
BB
2∩CC
2, B
3
=
CC
2∩AA
2, C
3
= AA
2∩BB
2.
A
3B
3C
3 is the tangential triangle of circum-hyperbola QU PASA POR P and centroid.
Eric Danneels proves in "A Simple Perspectivity,"
Forum
Geometricorum 6 (2006) 199-203, that the triangles
A
3B
3C
3 and ABC are
perspectiveDos triángulos ABC y DEF son perspectivos (o están en pespectiva) si las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto (centro de perspectividad o 'perspector'). Entonces (Teoerema de Desargues), los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan sobre una misma recta (eje de perspectividad o 'perspectriz').
Tres triángulos T1, T2, T3 forma una terna de triángulos perspectivos si Ti y Tj son perspectivos, para i,j =1,2,3; i≠j.. If X =
x : y : z (barycentrics), then the Danneels perspector D(X) is given by
D(X) = x(y - z)
2 : y(z - x)
2 : z(x - y)
2.
The Danneels perspector is the
cevian quotientSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). P/Q of P and the infinite point Q= ( u(v-w) : v(w-u) : w(u-v)) of the
trilinear polarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. of P=(u:v:w).
Also,
A
3B
3C
3 is the tangential triangleEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P. of circum-hyperbola through P and the centroid.
Dado un triángulo ABC con baricentro G=X2, sean P un punto con coordenadas baricéntricas (p:q:r) y U un punto sobre la hipérbola ℋ(P), circunscrita a ABC que pasa por G y P (p(r-q) y z + q(p-r) x z + r(q-p) x y = 0),
U = (1/(c^2 p q+b^2 p r+a^2 q r+(a^2+b^2+c^2) q r t) : ... : ...).
La cónica bicevianaLa cónica que pasa por los seis pies de las cevianas de dos puntos P y Q, se denomina cónica biceviana de los puntos P y Q. Se denota por C(P,Q).
Si P(u:v:w) y Q(u':v':w'), la ecuación baricéntrica de C(P,Q) es:
Σ x^2/(uu')-(1/(vw')+1/(v'w))yz = 0. C(P, U) de P y U tiene de ecuación:
𝔖abc pqr xyz
q r (a^2 q r (1+t)+b^2 r (p+q t)+c^2 q (p+r t)) x^2
-p (a^2 q r (q+r+2 p t)+b^2 p r (q+r+2 q t)+c^2 p q (q+r+2 r t)) y z = 0.
Para cualquier punto
U sobre ℋ(
P), la cónica C(
P,U) pasa por el perspector de Danneels:
Q = (p(q-r)^2 : q(p-r)^2 : r(p-q)^2).
La única hipérbola rectangular entre las C(P,U) se obtiene para:
t = -(2 (c^2 p q+b^2 p r+a^2 q r)^2/((a^2+b^2+c^2) (c^2 p q ((q-r) r+p (q+r))+r (a^2 q (-p^2+q r+p (q+r))+b^2 p (q (-q+r)+p (q+r)))).
Su ecuación es:
𝔖abc pqr xyz
q r (-c^2 p q (p-r) (q+r)+(p-q) r (a^2 q (p-r)-b^2 p (q+r))) x^2
+p (c^2 p q (q-r) (p (q-r)+r (q+r))+r (-b^2 p (q-r) (p (-q+r)+q (q+r))+a^2 q (p (q-r)^2-p^2 (q+r)+q r (q+r)))) y z = 0.
- Martes, 19 de octubre del 2021
Pares bicéntricos y una cúbica de Allardice
a Raquel, por su "cumple"
Enlaces relacionados:
ESTE: Pares bicéntricos y una cúbica de Allardice
Las cúbicas K219 y K656
Cúbica asociada a una recta. Cúbica de Allardice
CL0010 Allardice cubic (Bernard Gibert)
Robert Allardice :
On a cubic curve connected with the triangle, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Volume 19 pp 62 - 65 (1900).
We know that the (real or not) asymptotes of a circum-conic meet each sideline of ABC at two points symmetric with respect to the midpoint of the side.
Given a fixed finite point P = (u : v :w), the Allardice cubic A1(P) is the locus of the center of a circum-conic such that one of its asymptotes passes through P. The other asymptote envelopes the in-conic with center the complement of P and perspector the isotomic conjugate of P.
The tangents at P to A1(P) are those drawn from P to this in-conic. They are perpendicular if and only if P lies on the nine point circle.
Note that this in-conic is tritangent to A1(P), the points of tangency being all real when P is an acnode on the cubic.
A1(P) contains the following points :
- P which is singular
- the midpoints of ABC
- the points at infinity of the sidelines of ABC
- the vertices of the cevian triangle of P.
A remarkable example is
K219 = A1(G).
Dado un triángulo ABC, una recta ℓ, que pasa por su baricentro G=X2, corta a los lados BC, CA, AB en los puntos D, E, F, respectivamente. Se consideran los puntos D', A', A1, A2 definidos así: D'=BE ∩ CF, A' =BC ∩ AD',
BA1:A1C = CA2:A2B = AD':D'A'.
Procediendo cíclicamente se definen los puntos B1, B2 y C1, C2.
Las rectas AA1, BB1, CC1 concurren en P1 y las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en P2.
El lugar geométrico de la diferencia baricéntrica P1-P2, cuando ℓ gira alrededor de G, es K219.
P1-P2 es la intersección de ℓ y P1P2.
La ecuación de una recta variable, ℓ, que pasa por el baricentro se puede poner en la forma px+qy+rz=0 (p+q+r=0). Por lo que: D'=(-q r : p r : p q), A'=(0 : r : q), A1=(0 : q r : -p (q + r)) y A2=(0 : -p (q + r) : q r).
Las rectas AA1, BB1, CC1 concurren en P1 = (p q (p + r) : -(p + q) r (p + r) : -p^2 r) = (p q^2 : q r^2 : r p^2).
Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en P2 = (p (p + q) r : -p^2 q : -q (p + q) (p + r)) = (p r^2 : q p^2 : r q^2).
Así, los puntos P1 y P2 forman un par bicéntricoSea (f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) donde f es una función no nula satisfaciendo la condición
(1) f es homogénea en a,b,c; i.e., existe un número real no negativo h tal que
f(ta,tb,tc) = t^hf(a,b,c) para todo (a,b,c) en el dominio de f,
pero que |f(a,b,c)| ≠ |f(a,c,b)|. Entonces
(f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) y (f(a,c,b) : f(b,a,c) : f(c,b,a))
son puntos bicéntricos, juntos forman un par bicéntrico.
Ejemplo: los puntos de Brocard (c/b : a/c : b/a) y (b/c : c/a : a/b). y su diferencia baricéntrica es:
P1 - P2 = (p(q^2-r^2) : q (r^2-p^2) : r (p^2-q^2)).
NOTA: La diferencia baricéntrica de un par baricéntrico solo tiene sentido cuando sus coordenadas se toman en la forma:
(f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) y (f(a,c,b) : f(b,a,c) : f(c,b,a)).
Si (0:1:t) son las coordenadas del punto de intersección de ℓ con BC, se tiene que:
λ (1 - t : t : -1) = (p, q, r), p+q+r = 0 ⇒ p = λ- t λ, q = t λ, r = -λ.
Entonces, P1 - P2 = ((-1+t)^2 (1+t):(-2+t) t^2:1-2 t), que es una ecuación paramétrica de K219, cuya ecuación baricéntrica es:
3 x y z +
𝔖xyz
x^3 - y z (y + z) = 0.
- Martes, 12 de octubre del 2021
Afinidad asociada a puntos de la hipérbola de Feuerbach
El 12 de octubre de 1935 nació el tenor italiano Luciano Pavarotti, uno de los más destacados a nivel mundial.
Enlaces relacionados:
ESTE: Afinidad asociada a puntos de la hipérbola de Feuerbach
Crux Mathematicorum Problem 4660 (Thanh Tung Vu. June, 2021)
Dados un triángulo ABC y un punto P, no situado sobre sus lados, ni sobre su circunferencia circunscrita y ni en la recta del infinito, sean Γa la circunferencia (PBC) y ℓ una recta que pasa por P. Las rectas AP y ℓ vuelven a cortar a Γa en A1 y P1, respectivamente. Sea A' el punto de intersección de BC y A1P1. Los puntos B' y C' son definidos cíclicamente.
Las rectas
AA', BB', CC' concurren en un punto
Q, que está sobre la cónica circunscrita a
ABC de
perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. el
cociente cevianoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). del baricentro y la
Dao imagenLet P be an arbitrary point in the plane of a triangle ABC. Let Oa be the centere of the circumcircle of BPC. Let La be the line through Oa parallel to line AP, and define Lb and Lc cyclically. The lines La, Lb, Lc concur in a point Q = Q(P), is named the Dao image of P. (Dao Thanh Oai, November 20, 2017).
If P = p : q : r (barycentrics), then
Q = p (c^2 q^2 + (-a^2 + b^2 + c^2) q r + b^2 r^2) (2 a^2 q r + p (-(-a^2 + b^2 + c^2) p + (a^2 - b^2 + c^2) q + (a^2 + b^2 - c^2) r)) : : de
P.
u^2 (a^2 v w-(v+w) (c^2 v+b^2 w)) y z + ... = 0.
Si (tv-w)x - tuy + uz = 0 es la ecuación de la recta ℓ, el punto fijo de la transformación afín, σ, que aplica ABC en A'B'C' es:
Fo = (u^2 (-a^2 v w+c^2 v (v+w)+b^2 w (v+w)) (-b^2 u (v+t (u+v)) w+a^2 v w (u-t u-t v+w)+c^2 u v (u+w+t w)) :
v^2 (-b^2 u w+c^2 u (u+w)+a^2 w (u+w)) (c^2 u (u (v+w)+w (-t v+w))+w (b^2 u (u+t u+t v-w)-a^2 (u^2+u (-t v+w)+v (-t v+w)))) :
-(-c^2 u v+b^2 u (u+v)+a^2 v (u+v)) w^2 (c^2 u v (u+t u-t v+w)-a^2 v (-w (u+w)+t (u^2+u v+v w))+b^2 u (-v w+t (v^2+u (v+w)))).
El lugar geométrico de Fo, cuando la recta ℓ gira alrededor de P, es una recta p, cuyo tripoloEl polo trilineal (o tripolo ) de una recta p, respecto a un triángulo ABC, es el punto tal que su tripolar es p. Si A''=p∩BC, B''=p∩CA y C''=p∩AB, sea A' el conjugado armónico de A'' respecto a B y C; B' y C' se definen similarmente. Las rectas AA', BB' y CC' concurren el tripolo P de p.
Si ux+vy+wz=0 es la ecuación baricéntrica de p, las coordenadas de P son (vw:wu:uv).
The trilinear pole of a line PU is the perspector of ABC and the vertex-triangle of the anticevian triangles of P and U. (Randy Hutson, April 9, 2016) es:
T(P) = (u (-w (a^2 (u-v+w)+b^2 (-u+v+w))+c^2 (w (v+w)+u (2 v+w))) (a^2 v (u+v-w)+c^2 v (-u+v+w)-b^2 (v (v+w)+u (v+2 w))) : ... : ...).
Cuando el punto P recorre la hipérbola de FeuerbachLa hipérbola de Feuerbach de un triángulo es la hipérbola (equilátera) circunscrita al triángulo con centro en el punto de Feuerbach (Fe=X11 en ETC), punto de tangencia de las circunferencias inscrita y de los nueve puntos.
Es la conjugada isogonal de la recta que pasa por el incentro y circuncentro.
Su ecuación baricéntrica es:
a(a-b-c)(b-c)y z + b(b-c-a)(c-a)z x + c(c-a-b)(a-b)x y = 0.
Su centro es el punto de Feuerbach y sus puntos en el infinto son X3307 y X3308., la recta p gira alrededor de X650, que es el centro de perspectividad del triángulo ABC y el triángulo tangencialEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P. de esta hipérbola.
Si P' el punto diametralmente opuesto a P en la hipérbola de Feuerbach, la recta lugar geométrico de los puntos fijos de las transformaciones afines es la misma recta, p, que corresponde a P.
Cuando P recorre la hipérbola de Feuerbach, el punto de intersección de la recta PFe y p es la
cónica,
(
𝔖abc xyz
(a-b) (a-c) (b-c) (a^5-b^5+b^4 c+b c^4-c^5-a^4 (b+c)+a (b-c)^2 (b^2+c^2)-2 a^3 (b^2-b c+c^2)+2 a^2 (b^3+c^3))x^2 + 2 a (b-c) (a^6-2 a^5 (b+c)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^2-7 b c+c^2)-a^2 (b-c)^2 (b^2+5 b c+c^2)-a (b-c)^2 (2 b^3+b^2 c+b c^2+2 c^3)+a^3 (4 b^3-5 b^2 c-5 b c^2+4 c^3))y z = 0.
)
que pasa por X11, X650, X13609 (complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del tripolo de la recta que pasa por el incentro y el punto GergonneEn todo triángulo las rectas que unen sus vértices con los puntos de contacto de la circunferencia inscrita y los lados opuestos a dichos vértices son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina punto de Gergonne. Es el punto X7 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es 1/(b+c-a).), X23711 (intersección X4X11 con el eje órticoEl eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad del triángulo y su triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas. Es la tripolar del ortocentro.
El eje órtico es perpendicular a la recta de Euler.
El eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad de sus triángulos medial y tangencial) y cuya tangente en X11 pasa por X1111; datos suficientes para ser construida.
- Martes, 5 de octubre del 2021
Conjugado isotómico del complemento del complemento
Se estima que 330 mil niños fueron víctimas de abuso sexual dentro de la Iglesia Católica de Francia durante los últimos 70 años, según un informe publicado este martes (5 de octubre de 2021) que representa el primer informe importante del país sobre el fenómeno mundial.
La cifra incluye abusos cometidos por unos 3 mil sacerdotes y otras personas involucradas en la iglesia, delitos que las autoridades católicas encubrieron durante décadas de manera “sistémica”, según el presidente de la comisión que emitió el informe, Jean-Marc Sauvé.
El documento de 2 mil 500 páginas se publicó cuando la Iglesia católica en Francia, como en otros países, busca hacer frente a vergonzosos secretos que durante mucho tiempo estuvieron encubiertos.
Dados un triángulo ABC y un punto P, no situado sobre sus lados ni en la recta del infinito, sea PAbAc el triángulo con baricentro A y medianas AC y AB. Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb son definidos cíclicamente.
Las rectas BaCb y CaBc se cortan en A'. Se definen B' y C', cíclicamente.
Los seis puntos
Ab,
Ac,
Bc,
Ba y
Ca,
Cb están en una misma cónica, 𝒞(
P).
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes, en el punto Q, conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). del complemento del complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. de P.
NOTA: Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el valor común de las áreas de los triángulos AbBcCa y AbBcCa es:
(2 (u^2+v^2+w^2) + 5 (u v + u w + v w)))/(4 (u + v + w)^2) área (ABC).
El centro de
𝒞(P)
( 2 u v w x^2+v^2 w x^2+v w^2 x^2+2 u^2 w x y+6 u v w x y+2 v^2 w x y+3 u w^2 x y+3 v w^2 x y+w^3 x y+u^2 w y^2+2 u v w y^2+u w^2 y^2+2 u^2 v x z+3 u v^2 x z+v^3 x z+6 u v w x z+3 v^2 w x z+2 v w^2 x z+u^3 y z+3 u^2 v y z+2 u v^2 y z+3 u^2 w y z+6 u v w y z+2 u w^2 y z+u^2 v z^2+u v^2 z^2+2 u v w z^2 = 0)
es:
Po = (u (u^2+u (v+w)-2 (v^2+v w+w^2)) : ... : ...).
La matriz asociada a 𝒞(P) es:
{{f, r, q}, {r, g, p}, {q, p, h} =
{{2 v w (2 u + v + w),
w (2 u^2 + 2 v^2 + 3 v w + w^2 + 3 u (2 v + w)),
v (2 u^2 + v^2 + 3 v w + 2 w^2 + 3 u (v + 2 w))},
{w (2 u^2 +
2 v^2 + 3 v w + w^2 + 3 u (2 v + w)), 2 u w (u + 2 v + w),
u (u^2 + 3 u (v + w) + 2 (v^2 + 3 v w + w^2))},
{v (2 u^2 + v^2 +
3 v w + 2 w^2 + 3 u (v + 2 w)),
u (u^2 + 3 u (v + w) + 2 (v^2 + 3 v w + w^2)), 2 u v (u + v + 2 w)}},
que corresponde a la de una circunferencia si y solo si (g+h-2p)/a^2 = (h+f-2q)/b^2 = (f+g-2r)/c^2 (Hyacinthos 19716. Nikolaos Dergiades. Jan 11, 2011).
Obteniéndose, u=a^2, v=b^2 y w=c^2; con lo que la cónica 𝒞(P) es circunferencia si y solo si P es el simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²)..
El lugar geométrico del P tal que la cónica 𝒞(P) es una hipérbola rectangular es el eje órticoEl eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad del triángulo y su triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas. Es la tripolar del ortocentro.
El eje órtico es perpendicular a la recta de Euler.
El eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad de sus triángulos medial y tangencial.
Cuando P recorre el eje órtico el lugar del centro de la hipérbola es una
cúbica
( (45 a^8-84 a^6 b^2+30 a^4 b^4+12 a^2 b^6-3 b^8-84 a^6 c^2+140 a^4 b^2 c^2-60 a^2 b^4 c^2+4 b^6 c^2+30 a^4 c^4-60 a^2 b^2 c^4+14 b^4 c^4+12 a^2 c^6+4 b^2 c^6-3 c^8) x^3+(39 a^8-12 a^6 b^2-102 a^4 b^4+84 a^2 b^6-9 b^8-20 a^6 c^2+44 a^4 b^2 c^2-28 a^2 b^4 c^2+4 b^6 c^2-70 a^4 c^4+60 a^2 b^2 c^4-22 b^4 c^4+44 a^2 c^6-28 b^2 c^6+7 c^8) x^2 y+(-9 a^8+84 a^6 b^2-102 a^4 b^4-12 a^2 b^6+39 b^8+4 a^6 c^2-28 a^4 b^2 c^2+44 a^2 b^4 c^2-20 b^6 c^2-22 a^4 c^4+60 a^2 b^2 c^4-70 b^4 c^4-28 a^2 c^6+44 b^2 c^6+7 c^8) x y^2+(-3 a^8+12 a^6 b^2+30 a^4 b^4-84 a^2 b^6+45 b^8+4 a^6 c^2-60 a^4 b^2 c^2+140 a^2 b^4 c^2-84 b^6 c^2+14 a^4 c^4-60 a^2 b^2 c^4+30 b^4 c^4+4 a^2 c^6+12 b^2 c^6-3 c^8) y^3+(39 a^8-20 a^6 b^2-70 a^4 b^4+44 a^2 b^6+7 b^8-12 a^6 c^2+44 a^4 b^2 c^2+60 a^2 b^4 c^2-28 b^6 c^2-102 a^4 c^4-28 a^2 b^2 c^4-22 b^4 c^4+84 a^2 c^6+4 b^2 c^6-9 c^8) x^2 z+(62 a^8-24 a^6 b^2-76 a^4 b^4-24 a^2 b^6+62 b^8-24 a^6 c^2+56 a^4 b^2 c^2+56 a^2 b^4 c^2-24 b^6 c^2-76 a^4 c^4+56 a^2 b^2 c^4-76 b^4 c^4-24 a^2 c^6-24 b^2 c^6+62 c^8) x y z+(7 a^8+44 a^6 b^2-70 a^4 b^4-20 a^2 b^6+39 b^8-28 a^6 c^2+60 a^4 b^2 c^2+44 a^2 b^4 c^2-12 b^6 c^2-22 a^4 c^4-28 a^2 b^2 c^4-102 b^4 c^4+4 a^2 c^6+84 b^2 c^6-9 c^8) y^2 z+(-9 a^8+4 a^6 b^2-22 a^4 b^4-28 a^2 b^6+7 b^8+84 a^6 c^2-28 a^4 b^2 c^2+60 a^2 b^4 c^2+44 b^6 c^2-102 a^4 c^4+44 a^2 b^2 c^4-70 b^4 c^4-12 a^2 c^6-20 b^2 c^6+39 c^8) x z^2+(7 a^8-28 a^6 b^2-22 a^4 b^4+4 a^2 b^6-9 b^8+44 a^6 c^2+60 a^4 b^2 c^2-28 a^2 b^4 c^2+84 b^6 c^2-70 a^4 c^4+44 a^2 b^2 c^4-102 b^4 c^4-20 a^2 c^6-12 b^2 c^6+39 c^8) y z^2+(-3 a^8+4 a^6 b^2+14 a^4 b^4+4 a^2 b^6-3 b^8+12 a^6 c^2-60 a^4 b^2 c^2-60 a^2 b^4 c^2+12 b^6 c^2+30 a^4 c^4+140 a^2 b^2 c^4+30 b^4 c^4-84 a^2 c^6-84 b^2 c^6+45 c^8) z^3 = 0)
nodal, con
punto singular,
( (2 a^10-3 a^8 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (5 b^4-8 b^2 c^2+5 c^4)-a^6 (7 b^4-20 b^2 c^2+7 c^4)-a^4 (-6 b^6+7 b^4 c^2+7 b^2 c^4-6 c^6)-3 (b^2-c^2)^2 (b^6+c^6) : ... : ...))
la intersección de la paralela por el punto de Steiner a la con la paralela a
su asíntota
( (5 a^6+b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6-7 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (b^4+11 b^2 c^2+c^4)) x+(a^6+5 b^6-7 b^4 c^2+b^2 c^4+c^6+a^4 (b^2-3 c^2)-a^2 (7 b^4-11 b^2 c^2+3 c^4)) y+(a^6+b^6+b^4 c^2-7 b^2 c^4+5 c^6-a^4 (3 b^2-c^2)-a^2 (3 b^4-11 b^2 c^2+7 c^4)) z = 0)
(real) por X(14832).
X(14832) is the reflection of X(10418) in X(115)
X(115) is the center of
Kiepert hyperbolaLa hipérbola de Kiepert de un triángulo es la hipérbola equilátera (pasa por el ortocentro) circunscrita al triángulo y que pasa por su baricentro. Es la conjugada isogonal del eje de Brocard.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2-c^2)yz+(c^2-a^2)zx+(a^2-b^2)xy=0.
Su centro, sobre la circunferencia de Euler, es el centro X115 de ETC.
Su perspector (punto de Brianchon), X(523)=conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, es el punto del infinito del eje órtico
Sus puntos en el infinito son X3413 y X3414, conjugados isogonales de los puntos en los que el eje de Brocard corta a la circunferencia circunscrita, X1379 y X1380.
X(10418) is the centroid of the of ABC and the
circumcevian triangleEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). of X(25), which is degenerate (collinear), on the orthic axis.
X(25) is the homothetic center of
orthicLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). and
tangentialEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P. triangles
Cuando P está en la elipse circunscrita de SteinerLa elipse circunscrita de Steiner es la elipse circunscrita al triángulo y con centro en el baricentro. Es la elipse circunscrita de área mínima. Ecuación baricéntrica: yz+zx+xy=0.
Centros del triángulo X(i) sobre ella, i∈{99, 190, 290, 648, 664, 666, 668, 670, 671, 886, 889, 892, 903, 1121, 1494, 2479, 2480, 2481, 2966, 3225, 3226, 3227, 3228, 4555, 4562, 4569, 4577, 4586, 4597, 5641, 6189, 6190, 6528, 6540, 6606, 6613, 6635, 6648, 9487, 11117, 11118, 14616, 14727, 14728, 14970, 15164, 15165, 16077, 18025, 18026, 18816, 18821, 18822, 18823, 18824, 18825, 18826, 18827, 18828, 18829, 18830, 18831, 18878, 23895, 23896, 32036, 32037, 32038, 32039, 32040, 32041, 32042, 33513, 33514, 33515, 33516, 34393, 35136, 35137, 35138, 35139, 35140, 35141, 35142, 35143, 35144, 35145, 35146, 35147, 35148, 35149, 35150, 35151, 35152, 35153, 35154, 35155, 35156, 35157, 35158, 35159, 35160, 35161, 35162, 35163, 35164, 35165, 35166, 35167, 35168, 35169, 35170, 35171, 35172, 35173, 35174, 35175, 35176, 35177, 35178, 35179, 35180, 35181, 38341, 39202, 39203, 39204, 39205, 39626, 40301, 41072, 41073, 41074, 41075, 41076, 42367, 42371, 43091, 43092, 43093, 43094, 43095, 43096, 43097, 43098, 43099, 43664, 45876, 46132, 46133, 46134, 46135, 46136, 46137, 46138, 46139, 46140, 46141, 46142, 46143, 46144, 46145, 47269}, Po también está sobre esta elipse y a puntos diametralmente opuestos, P y P', correspende el mismo Po.
Cuando P varía sobre la elipse circunscrita de Steiner, el lugar geométrico del punto de intersección de la recta PP' con la tangente en Po es la cúbica K015
Pares {P=Xi, Po=Xj}, para los índices {i, j} (en negrita pares sobre la elipse circunscrita de Steiner): {1, 5220}, {2, 2}, {3, 576}, {4, 15258}, {6, 3098}, {8, 4779}, {9, 42871}, {37, 4732}, {99, 892}, {115, 523}, {190, 4555}, {216, 42862}, {648, 16077}, {664, 35157}, {668, 889}, {670, 886}, {671, 892}, {903, 4555}, {1015, 513}, {1084, 512}, {1086, 514}, {1121, 35157}, {1146, 522}, {1494, 16077}, {2479, 648}, {2480, 648}, {2482, 524}, {3163, 30}, {3227, 889}, {3228, 886}, {4370, 519}, {6184, 518}, {6189, 99}, {6190, 99}, {6631, 32028}, {8786, 33689}, {11672, 511}, {13466, 536}, {15166, 2574}, {15167, 2575}, {15449, 826}, {15525, 3566}, {15526, 525}, {15527, 7927}, {15810, 9731}, {17416, 3906}, {17429, 17430}, {20532, 726}, {23967, 542}, {23972, 516}, {23976, 1503}, {23980, 517}, {23986, 515}, {23992, 690}, {31998, 33799}, {35066, 17768}, {35067, 3564}, {35068, 740}, {35069, 758}, {35070, 35101}, {35071, 520}, {35072, 521}, {35073, 538}, {35074, 35102}, {35075, 8680}, {35076, 4977}, {35077, 5969}, {35078, 804}, {35079, 2787}, {35080, 2786}, {35081, 2792}, {35082, 2784}, {35083, 2783}, {35084, 2795}, {35085, 2796}, {35086, 2785}, {35087, 543}, {35088, 2799}, {35089, 35103}, {35090, 8674}, {35091, 6366}, {35092, 900}, {35093, 5845}, {35094, 918}, {35095, 35104}, {35110, 527}, {35111, 5853}, {35114, 17770}, {35116, 2801}, {35119, 812}, {35121, 545}, {35123, 537}, {35124, 4715}, {35125, 3887}, {35126, 9055}, {35128, 3738}, {35129, 2802}, {35133, 1499}, {35135, 4160}, {35508, 3900}, {39008, 9033}, {39010, 888}, {39011, 891}, {39013, 924}, {39014, 926}, {39015, 6371}, {39016, 834}, {39017, 928}, {39018, 1510}, {39019, 6368}, {39020, 8057}, {39022, 3414}, {39023, 3413}, {39202, 6189}, {39203, 6189}, {39204, 6190}, {39205, 6190}, {40610, 4083}, {40621, 3667}, {43962, 23871}.
El punto de concurrencia de las rectas AA',BB',CC' es:
Q = ((u+2 v+w) (u+v+2 w) : (2 u+v+w) (u+v+2 w) : (2 u+v+w) (u+2 v+w)),
conjugado isotómico del complemeto, (2 u + v + w : u + 2 v + w : u + v + 2 w), del complemento, (v + w : u + w : u + v), de P=(u:v:w).
- Lunes, 4 de octubre del 2021
Circunferencia inversa de la circunferencia de los nueve puntos respecto a la circunferencia ortobaricéntrica
El 4 de octubre de 1873 nació Gheorghe Titeica, matematico rumano especialista en geometría diferencial. En 1907 publica, en Comptes Rendues, un trabajo en el que aparece el siguiente resultado:
"Una transformación lineal que no cambia ni el plano en el infinito, ni el origen, deja invariante la relación entre la curvatura gaussiana de la superficie y la cuarta potencia de la distancia del origen al plano tangente en un punto de la superficie." Las superficies en las que esta relación es constante se les conoce como superficies de Titeica.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean DEF el triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). y A'B'C' el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de P.
Si Ab y Ac son las reflexiones de A' en AC y AB, respectivamente, sea A" el punto medio de AbAc.
Si (u:v:w) son las coordenadas bariéntricas de P, respecto a ABC, entonces:
A" = ((b^2-c^2) (-c^2 v+b^2 w)-a^2 (c^2 v+b^2 w) : -b^2 (-a^2+b^2+c^2) w : -c^2 (-a^2+b^2+c^2) v).
Las rectas AA", BB", CC" concurren en el conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de P (Euclid#2579, Tran Quang Hung, Elias M. Hagos)
Los triángulo
DEF y
A"B"C" son perspectivos y el centro de perspectividad es:
Q = (a^2 (a^2 (c^2 v + b^2 w)-(b^2 - c^2) (b^2 w-c^2 v)) : ... : ...).
Pares {P=Xi, Q=P*DEF=σ(P)=Xj}, ver
lista.
( {1,65}, {2,51}, {3,4}, {4,185}, {5,389}, {6,6}, {7,42447}, {8,42448}, {9,2262}, {10,42450}, {15,5318}, {16,5321}, {20,11381}, {22,11550}, {25,1899}, {26,18381}, {30,6000}, {31,3914}, {32,5254}, {39,7745}, {40,12688}, {42,41011}, {46,1898}, {48,1826}, {49,1594}, {51,11245}, {52,6146}, {54,3574}, {55,1836}, {56,1837}, {57,1864}, {58,1834}, {61,397}, {62,398}, {63,1824}, {64,5895}, {65,1858}, {67,40949}, {68,52}, {69,1843}, {71,1839}, {72,1829}, {73,40950}, {74,13202}, {76,40951}, {77,1827}, {78,1828}, {81,40952}, {84,40953}, {86,40954}, {100,38389}, {101,1146}, {109,38357}, {110,125}, {112,1562}, {113,974}, {125,1112}, {140,10110}, {141,9969}, {154,1853}, {155,3}, {156,20299}, {159,66}, {182,5480}, {184,427}, {185,1885}, {186,13851}, {193,6467}, {195,54}, {201,1831}, {206,23300}, {213,41015}, {216,6748}, {218,2082}, {219,19}, {221,1854}, {222,33}, {255,225}, {264,6752}, {265,1986}, {283,407}, {284,1901}, {317,6751}, {323,1495}, {351,9134}, {371,3070}, {372,3071}, {376,32062}, {381,5890}, {382,6241}, {389,12241}, {394,25}, {399,74}, {418,42400}, {441,34854}, {485,12239}, {486,12240}, {487,6406}, {488,6291}, {511,1503}, {512,3566}, {513,15313}, {514,8676}, {517,6001}, {518,3827}, {519,2390}, {520,523}, {521,513}, {523,924}, {524,2393}, {525,512}, {539,1154}, {542,2781}, {546,13382}, {550,13474}, {568,12022}, {576,8550}, {577,53}, {578,12233}, {599,9971}, {610,1903}, {647,2501}, {648,34980}, {651,3270}, {652,3064}, {684,16230}, {732,3852}, {895,5095}, {905,18344}, {906,8735}, {912,517}, {916,516}, {934,38388}, {952,2818}, {999,18391}, {1060,1905}, {1069,46}, {1071,1902}, {1073,6525}, {1092,235}, {1124,2362}, {1147,5}, {1151,23251}, {1152,23261}, {1154,18400}, {1160,5870}, {1161,5871}, {1173,34564}, {1181,1593}, {1209,973}, {1214,1859}, {1216,6756}, {1260,1851}, {1331,2969}, {1332,42067}, {1335,16232}, {1350,36990}, {1351,6776}, {1352,19161}, {1384,43448}, {1385,7686}, {1433,208}, {1437,429}, {1459,7649}, {1473,5101}, {1493,12242}, {1498,64}, {1499,20186}, {1503,34146}, {1510,20184}, {1511,7687}, {1565,5185}, {1598,18909}, {1613,3981}, {1619,34944}, {1625,3269}, {1634,338}, {1636,1637}, {1651,15353}, {1656,3567}, {1657,12290}, {1658,18383}, {1697,17634}, {1790,430}, {1795,1846}, {1797,42070}, {1807,1845}, {1813,42069}, {1814,42071}, {1815,42073}, {1843,26926}, {1992,40673}, {1993,184}, {1994,13366}, {2070,25739}, {2176,3959}, {2193,1865}, {2323,2182}, {2574,2574}, {2575,2575}, {2771,2778}, {2781,36201}, {2850,8674}, {2883,31978}, {2888,32352}, {2916,15321}, {2917,6145}, {2929,22466}, {2930,67}, {2931,265}, {2935,11744}, {2948,10693}, {3049,2489}, {3051,1194}, {3157,1}, {3164,35709}, {3167,2}, {3173,55}, {3187,43218}, {3211,9}, {3284,1990}, {3289,232}, {3292,468}, {3295,4295}, {3311,1587}, {3312,1588}, {3360,30496}, {3448,13417}, {3499,695}, {3511,290}, {3519,6152}, {3521,22948}, {3526,9781}, {3534,11455}, {3562,1425}, {3564,511}, {3629,32366}, {3682,1842}, {3781,1890}, {3796,5064}, {3916,1900}, {3917,428}, {3926,40325}, {3937,1862}, {3955,1848}, {3964,41762}, {3990,1841}, {4020,1840}, {4055,1860}, {4100,1881}, {4173,12143}, {4558,8754}, {4559,38345}, {4563,42068}, {5020,11433}, {5050,14853}, {5093,14912}, {5097,12007}, {5158,6749}, {5181,32246}, {5237,5349}, {5238,5350}, {5398,5721}, {5422,15004}, {5440,1878}, {5446,18914}, {5448,13630}, {5449,143}, {5504,113}, {5562,3575}, {5609,20417}, {5642,12099}, {5654,9730}, {5663,2777}, {5709,12664}, {5864,5868}, {5865,5869}, {5889,21659}, {5893,22967}, {5898,33565}, {5907,13568}, {5972,11746}, {6000,15311}, {6053,15151}, {6101,13419}, {6102,13403}, {6139,9719}, {6152,32377}, {6193,5562}, {6199,23267}, {6200,42284}, {6221,23249}, {6225,30443}, {6238,1770}, {6243,34224}, {6368,1510}, {6390,5140}, {6391,193}, {6395,23273}, {6396,42283}, {6398,23259}, {6415,19042}, {6416,19041}, {6417,7581}, {6418,7582}, {6449,23253}, {6450,23263}, {6461,14248}, {6503,14593}, {6593,15118}, {6617,6524}, {6638,2052}, {6642,39571}, {6644,18390}, {6759,6247}, {6776,12294}, {7004,1830}, {7011,1857}, {7053,1863}, {7066,1852}, {7070,10374}, {7078,34}, {7100,1844}, {7125,1856}, {7193,1861}, {7352,10572}, {7387,14216}, {7488,11572}, {7506,18912}, {7517,11457}, {7529,18916}, {7592,11424}, {7689,3627}, {7691,32340}, {7728,17854}, {8053,15320}, {8057,520}, {8548,576}, {8614,38336}, {8673,525}, {8677,900}, {8681,524}, {8779,16318}, {8780,23291}, {8909,485}, {8912,1131}, {8925,43702}, {9007,8675}, {9028,674}, {9031,9002}, {9033,526}, {9051,9001}, {9306,13567}, {9517,690}, {9703,7577}, {9730,16657}, {9732,13749}, {9733,13748}, {9738,14230}, {9739,14233}, {9820,5462}, {9908,14790}, {9909,32064}, {9920,32337}, {9925,34507}, {9927,6102}, {9928,5887}, {9932,9927}, {9936,10625}, {9937,68}, {10132,32588}, {10133,32587}, {10264,11807}, {10274,32351}, {10310,12679}, {10316,27376}, {10317,5523}, {10564,1514}, {10601,9777}, {10620,10721}, {10625,16655}, {10645,42102}, {10646,42101}, {10661,15}, {10662,16}, {10665,371}, {10666,372}, {10706,17853}, {10721,17856}, {10984,1907}, {11061,1205}, {11202,23324}, {11271,21660}, {11328,40814}, {11441,1204}, {11480,42094}, {11481,42093}, {11485,5335}, {11486,5334}, {11793,11745}, {11898,6403}, {11916,10783}, {11917,10784}, {11935,7699}, {12006,40240}, {12038,546}, {12084,22802}, {12085,5878}, {12118,12162}, {12121,12292}, {12160,19467}, {12161,578}, {12163,382}, {12164,20}, {12221,21656}, {12222,21655}, {12235,13292}, {12256,12299}, {12257,12298}, {12293,34783}, {12302,7728}, {12308,12244}, {12309,11411}, {12310,3448}, {12315,12250}, {12316,12254}, {12358,15473}, {12359,5446}, {12364,10564}, {12383,21650}, {12429,5889}, {12584,32274}, {12893,10113}, {12901,1539}, {12902,7722}, {13303,14417}, {13323,5799}, {13340,16658}, {13346,2883}, {13348,16656}, {13367,23047}, {13431,11577}, {13432,12291}, {13621,43808}, {13624,16616}, {13754,30}, {14094,10990}, {14157,13399}, {14376,27373}, {14627,1199}, {14852,568}, {14919,16240}, {14965,2211}, {14984,542}, {15047,1173}, {15062,34563}, {15066,34417}, {15068,11438}, {15069,37473}, {15077,16879}, {15083,550}, {15085,12902}, {15087,15033}, {15136,11799}, {15141,1177}, {15316,155}, {15317,2904}, {15345,20414}, {15644,16621}, {15748,15752}, {15801,10619}, {15805,3527}, {15851,40065}, {15905,393}, {15937,15938}, {15945,15946}, {15958,137}, {16003,16105}, {16163,12133}, {16266,6759}, {16534,16270}, {16936,22334}, {17102,1887}, {17434,12077}, {17496,21645}, {17702,5663}, {17714,14864}, {17796,7297}, {17811,17810}, {17814,9786}, {17824,32345}, {17836,37498}, {17838,2935}, {17839,17843}, {17842,17840}, {17847,10117}, {17932,2679}, {17973,41499}, {17974,132}, {17975,243}, {17976,242}, {18315,24862}, {18324,18376}, {18350,26879}, {18436,6240}, {18445,378}, {18451,10605}, {18569,41725}, {18831,130}, {19126,3867}, {19139,182}, {19153,23327}, {19210,6750}, {19347,3088}, {19357,7507}, {19456,15472}, {19458,36747}, {19461,19464}, {19462,19463}, {19504,13198}, {19588,69}, {19597,76}, {19908,18569}, {20739,1973}, {20740,8751}, {20741,2201}, {20744,2356}, {20752,5089}, {20760,92}, {20761,36124}, {20764,158}, {20766,423}, {20793,273}, {20794,264}, {20805,318}, {20806,1974}, {20818,281}, {21230,11808}, {21663,13473}, {22115,403}, {22117,278}, {22118,8736}, {22119,1096}, {22120,8743}, {22121,8744}, {22124,2331}, {22125,2212}, {22126,2333}, {22130,31}, {22131,607}, {22132,608}, {22133,1474}, {22134,1880}, {22135,13854}, {22136,28}, {22138,32085}, {22139,27}, {22141,36125}, {22143,648}, {22144,1783}, {22145,8750}, {22146,112}, {22148,1897}, {22152,3186}, {22153,7079}, {22156,162}, {22158,6335}, {22160,17924}, {22161,7009}, {22164,17442}, {22236,5340}, {22238,5339}, {22341,42385}, {22350,1877}, {22356,8756}, {22383,6591}, {22391,14715}, {22458,41013}, {22550,22533}, {22660,40647}, {22962,22833}, {22966,22968}, {23039,7576}, {23070,6198}, {23071,1870}, {23072,7952}, {23075,75}, {23076,1969}, {23078,331}, {23079,286}, {23081,6336}, {23083,811}, {23089,7046}, {23090,661}, {23112,2181}, {23115,2207}, {23119,14975}, {23122,3195}, {23128,32}, {23129,1395}, {23130,2203}, {23135,8752}, {23138,32676}, {23144,7071}, {23145,798}, {23150,7119}, {23154,12135}, {23158,324}, {23159,7017}, {23163,17907}, {23164,37765}, {23166,17923}, {23167,20883}, {23169,38462}, {23171,40149}, {23172,43678}, {23173,18022}, {23180,6331}, {23181,2970}, {23185,7101}, {23186,40717}, {23189,24006}, {23224,16228}, {23286,23290}, {23306,11557}, {23358,32369}, {23361,15232}, {23606,6747}, {23874,834}, {24206,32191}, {24467,1872}, {26341,6202}, {26348,6201}, {26921,1871}, {28521,11645}, {28786,14053}, {28787,14054}, {28788,14055}, {29211,515}, {30209,1499}, {30210,13152}, {30211,8057}, {30212,6003}, {30216,34584}, {30435,5286}, {30451,6753}, {30714,15738}, {30786,41911}, {31296,21646}, {31353,31364}, {31521,43726}, {32048,32140}, {32078,35884}, {32139,3357}, {32254,32247}, {32299,32317}, {32320,647}, {32348,11743}, {32391,32393}, {32423,10628}, {32455,22829}, {32475,3667}, {32609,14644}, {32661,115}, {33541,43599}, {33636,33630}, {34048,11436}, {34116,20303}, {34148,43831}, {34381,518}, {34382,3564}, {34470,41616}, {34483,11817}, {34545,34565}, {34609,41715}, {34783,18560}, {34801,40909}, {34897,20410}, {34900,10214}, {34960,5452}, {34966,9306}, {34975,905}, {34986,23292}, {35237,3426}, {35259,26869}, {35325,38356}, {35326,38358}, {35327,21045}, {35350,38362}, {35357,38361}, {35364,38359}, {35365,38360}, {35602,37197}, {35930,40254}, {36054,650}, {36058,5151}, {36059,11}, {36212,460}, {36214,39931}, {36433,27358}, {36742,5706}, {36747,1181}, {36749,7592}, {36752,10982}, {36949,14717}, {36952,27370}, {37477,32111}, {37484,16659}, {37489,18396}, {37491,36851}, {37492,5800}, {37496,12112}, {37498,1498}, {37543,11435}, {37581,5928}, {37672,154}, {37784,21639}, {37867,18130}, {37928,41738}, {38281,1075}, {38283,3168}, {38284,1148}, {38288,196}, {38290,3176}, {38292,1249}, {38402,22336}, {39201,16229}, {39469,804}, {39470,926}, {39471,8677}, {39472,6085}, {39473,2881}, {39474,20403}, {39568,12324}, {39643,1968}, {40341,9973}, {40498,8054}, {40647,13488}, {40909,10938}, {41344,19366}, {41362,32392}, {41590,32332}, {41597,140}, {41608,442}, {41614,8541}, {41615,858}, {41619,1368}, {42022,487}, {42065,114}, {42115,42133}, {42116,42134}, {42441,35717}, {42460,7}, {42461,8}, {42463,10}, {42469,2899}, {43141,14239}, {43144,14235}, {43616,22538}, {43652,1906}, {43704,2914}, {43839,10095})
La imagen de la circunferencia circunscrita a ABC es la
cónica
( (3 a^8-8 a^6 b^2+6 a^4 b^4-b^8-8 a^6 c^2+16 a^4 b^2 c^2-8 a^2 b^4 c^2+6 a^4 c^4-8 a^2 b^2 c^4+2 b^4 c^4-c^8) x^2+(2 a^8-8 a^6 b^2+12 a^4 b^4-8 a^2 b^6+2 b^8-4 a^4 c^4+8 a^2 b^2 c^4-4 b^4 c^4+2 c^8) x y+(-a^8+6 a^4 b^4-8 a^2 b^6+3 b^8-8 a^4 b^2 c^2+16 a^2 b^4 c^2-8 b^6 c^2+2 a^4 c^4-8 a^2 b^2 c^4+6 b^4 c^4-c^8) y^2+(2 a^8-4 a^4 b^4+2 b^8-8 a^6 c^2+8 a^2 b^4 c^2+12 a^4 c^4-4 b^4 c^4-8 a^2 c^6+2 c^8) x z+(2 a^8-4 a^4 b^4+2 b^8+8 a^4 b^2 c^2-8 b^6 c^2-4 a^4 c^4+12 b^4 c^4-8 b^2 c^6+2 c^8) y z+(-a^8+2 a^4 b^4-b^8-8 a^4 b^2 c^2-8 a^2 b^4 c^2+6 a^4 c^4+16 a^2 b^2 c^4+6 b^4 c^4-8 a^2 c^6-8 b^2 c^6+3 c^8) z^2 = 0)
circunscrita a DEF con centro en el ortocentro. Sobre esta cónica están los centros del triángulo X125, X1146, X1562, X13202, X38357, X38388, X38389, y en ella está el punto fijo (finito) de la transformación afín que aplica DEF en el triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . de un punto arbitrario del plano.
Cuando P recorre una recta ℓ que pasa por el circuncentro, Q está sobre una recta ℓ' que pasa por el ortocentro.
Si L es el punto de intersección de ℓ y ℓ', entonces la envolvente de la recta PQ es una parábola, 𝒫(ℓ), tangente a ℓ en σ-1(L) y a ℓ' en σ(l).
Cuando ℓ gira alrededor del circuncentro, el punto L describe la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
El lugar geométrico del foco,
Fo, de la parábola 𝒫(ℓ) es la
circunferencia
( (-3 a^4 b^2 c^2+3 a^2 b^4 c^2+3 a^2 b^2 c^4) x^2+(a^6 c^2-a^4 b^2 c^2-a^2 b^4 c^2+b^6 c^2-a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6-b^2 c^6+c^8) x y+(3 a^4 b^2 c^2-3 a^2 b^4 c^2+3 a^2 b^2 c^4) y^2+(a^6 b^2-a^4 b^4-a^2 b^6+b^8-a^4 b^2 c^2-b^6 c^2-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+b^2 c^6) x z+(a^8-a^6 b^2-a^4 b^4+a^2 b^6-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4+a^2 c^6) y z+(3 a^4 b^2 c^2+3 a^2 b^4 c^2-3 a^2 b^2 c^4) z^2 = 0)
Γ, inversa de la circunferencia de los
nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
respecto a la circunferencia
ortobaricéntricaLa circunferencia ortobaricéntrica de un triángulo es la que tiene al ortocentro H y al baricentro G como extremos de un diámetro..
- Domingo, 3 de octubre del 2021
Un centro del triángulo sobre GK
a Silvia, por su "cumple"
Dado un triángulo ABC, con baricentro G=X2, circuncentro O=X3 y simediano K=X6, sean A'B'C' y A"B"C" los triángulos cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). y anticevianoEl triángulo anticeviano (o preceviano) del punto P respecto el triángulo ABC es el triángulo PaPbPc tal que ABC es el triángulo ceviano de P respecto PaPbPc. Pa es el conjugado armónico de P, respecto a A y Pa (pie de la ceviana AP).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, Pa(-u:v:w), Pb(u:-v:w), Pc(u:v:-w). de X524 (en la recta del infinito), conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del punto de ParryEl punto de Parry de un triángulo es el otro punto intersección de la circunferencia circunscrita con la recta que une el baricentro y el punto de Steiner. Es el punto X111 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es
a^2/(2a^2-b^2-c^2). (A", B", C" son los puntos medios de los segmentos AA', BB', CC', respectivamente), y DEF el triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . de O respecto a A"B"C".
Sean AaAbAc, BbBcBa y CcCaCb los triángulos cevianos de D, E y F, respectivamente.
Las rectas
AbAc,
BcBa,
CaCb concurren en
W (sobre la recta
GK), reflexión del baricentro del triángulo
A'B'C', X
8030, en el
conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv)., X
599, del
perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro., X
598, de la
elipse inscrita de LemoineLa elipse inscrita de Lemoine es la elipse inscrita al triángulo, con focos el baricentro y el simediano. Ecuación baricéntrica: (a^2-2 b^2-2 c^2)^2x^2-2 (2 a^2+2 b^2-c^2) (2 a^2-b^2+2 c^2)yz+...=0.; es decir
W=X
8030-2X
599. También
W=2 X
6-3 X
1648.
D = (2 a^2 v w - b^2 (v - w) w - c^2 v (-v + w) : ... : ...),
Ab = (-2 a^2 v w + b^2 (v - w) w + c^2 v (-v + w) : 0 : w (c^2 v - b^2 w)),
Ac = ({-2 a^2 v w + b^2 (v - w) w + c^2 v (-v + w) : v (-c^2 v + b^2 w) : 0).
Las rectas AbAc, BcBa, CaCb son concurrentes si y solo si P está sobre la séxtica de ecuación:
-3 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) (b^2-c^2) x^2 y^2 z^2
+
𝔖abc xyz
y z (-3 b^2 c^2 (b^2-c^2) x^4-a^4 (b^2-c^2) y^2 z^2-a^4 (2 a^2-b^2-c^2) y (y-z) z (y+z)-x^3 (c^2 (a^4-b^4+6 b^2 c^2-2 c^4+a^2 (-4 b^2-c^2)) y-b^2 (a^4-2 b^4+6 b^2 c^2-c^4+a^2 (-b^2-4 c^2)) z)-a^4 (c y^2-b z^2) (c y^2+b z^2))= 0,
que pasa por X6 y X524.
Cuando P=X524, las rectas AbAc, BcBa, CaCb son concurren en:
W = ( 2 a^2-b^2-c^2)(2 a^6-2 a^4 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)+3 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(17.2982498688915, 4.11531659681015, -7.19220848614178).
Es la reflexión de X8030 en X599.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,6}, {67,42007}, {111,32244}, {187,14357}, {542,14444}, {1640,33915}, {5104,41721}, {5181,39689}, {8869,11416}, {11646,13169}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(44915).
- Martes, 28 de septiembre del 2021
Reflexión de X(7667) en X(16657) como centro ortológico
El 28 de septiembre de 1761 nació, François Budan de Boislaurent, matemático aficionado y médico francés conocido por haber formulado el teorema de Budan-Fourier; es un teorema para acotar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo y calcular la paridad de este número. Fue publicado en 1807 por François Budan de Boislaurent.
Un teorema similar fue publicado independientemente por Joseph Fourier en 1820. Cada uno de estos teoremas es un corolario del otro. La afirmación de Fourier aparece con más frecuencia en la literatura del siglo XIX y se la conoce como teorema de Fourier, Budan-Fourier, Fourier-Budan e incluso Budan.
La formulación original de Budan se utiliza en algoritmos modernos y rápidos para el aislamiento de raíces reales de polinomios.
Dado ABC un triángulo con DEF su triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0).. La circunferencia, Γa, que pasa por los puntos medios de EF, EC y FB, vuelve a cortar a los lados AC y AB en Ab y Ac, respectivamente. Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb se definen cíclicamente.
Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas AbAc, BcBa y CaCb; eso es:
A' = BcBa ∩ CaCb,
B' = CaCb ∩ AbAc,
C' = AbAc ∩ BcBa.
En coordenadas baricéntricas:
Ab = (-a^4 - b^4 - 3 c^4 +
2 a^2 (b^2 + 2 c^2) : 0 : (-a^2 + b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + 3 c^2)),
Ac = (-a^4 - 3 b^4 - c^4 +
2 a^2 (2 b^2 + c^2) : (-a^2 + b^2 + c^2) (-a^2 + 3 b^2 + c^2) : 0),
A' = (-18 a^6 (b^2-c^2)^2+2 a^2 (b^2-c^2)^4+9 a^8 (b^2+c^2)+8 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) :
-3 a^8 (b^2+2 c^2)-2 a^6 (b^4+12 b^2 c^2-10 c^4)+(b^2-c^2)^3 (3 b^4-7 b^2 c^2+2 c^4)+2 a^4 (8 b^6-11 b^4 c^2+27 b^2 c^4-12 c^6)+a^2 (-14 b^8+36 b^6 c^2+6 b^4 c^4-40 b^2 c^6+12 c^8) :
-3 a^8 (2 b^2+c^2)+a^6 (20 b^4-24 b^2 c^2-2 c^4)-(b^2-c^2)^3 (2 b^4-7 b^2 c^2+3 c^4)+a^4 (-24 b^6+54 b^4 c^2-22 b^2 c^4+16 c^6)+2 a^2 (6 b^8-20 b^6 c^2+3 b^4 c^4+18 b^2 c^6-7 c^8)).
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son
ortológicosDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad.. El centro ortológico de
ABC respecto a
A'B'C' es el baricentro y el centro ortológico de
A'B'C' respecto a
ABC es:
W = ( 2 a^10-7 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (5 b^4+18 b^2 c^2+5 c^4)-8 a^4 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)
+4 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-13.6012455235066, -13.2487802883968, 19.0903949231853).
Es la reflexión de X7667 en X16657.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,18853}, {30,568}, {524,32062}, {1906,37498}, {3146,13142}, {3543,3564}, {3575,13598}, {5073,13292}, {5076,31831}, {7553,30522}, {7667,16657}, {9777,35513}, {11202,37904}, {11402,34621}, {13570,35283}, {15305,34380}, {15311,21969}, {18914,33703}, {36987,43957}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(44935) .
- Domingo, 19 de septiembre del 2021
Un centro del triángulo sobre la recta de Euler
El 19 de septiembre de 1888 nació James Waddell Alexander, matemático y topólogo estadounidense, que formó parte de la escuela de topología Princeton. Colaboró en los inicios de la teoría de nudos por la invención de la invariante de Alexander de un nudo. A partir de esta invariante, definió el primero de los invariantes de nudos polinomio.
Hacia el final de su vida, Alejandro se convirtió en un recluso. Era conocido como socialista y su prominencia llamó la atención de los macartistas. La atmósfera de la era McCarthy lo empujó a un mayor aislamiento. No se le vio en público después de 1954, cuando apareció para firmar una carta apoyando a J. Robert Oppenheimer, físico teórico estadounidense de origen judío y profesor de física en la Universidad de California en Berkeley, que participó en el Proyecto Manhattan, el proyecto que consiguió desarrollar las primeras armas nucleares de la historia.
Dado un triángulo ABC, de circuncentro O=X3, H=X4, sean ℓa, ℓb, ℓc las mediatrices de los lados BC, CA, AB, respectivamente.
Ab = ℓa∩AC, Ac = ℓa∩AB,
Bc = ℓb∩BA, Ba = ℓb∩BC,
Ca = ℓc∩CB, Cb = ℓc∩CA,
Las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, 𝒯1 = AbBcCa y 𝒯2 = AcBaCb son coaxiales. El eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. común es la tripolar de X44828 (Euclid #2401, Dan Reznik, César Lozada, Antreas Hatzipolakis).
Pasa por los centros X577, X1971, X1988, X6638, X9306, X40800, X40805, y su ecuación baricéntrica es:
b^2 c^2 (b^2 - c^2) (a^4 (-2 b^4 + b^2 c^2 - 2 c^4) + a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)-b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2) x + ... = 0.
Sea Q un punto sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
de ABC y Q1, Q2 los mismos puntos respecto a 𝒯1, 𝒯1, respectivamente. Sea Mq el punto medio de Q1Q2.
El lugar geométrico de
Mq, cuando
Q varía, es una recta ℓ, que pasa por
X10192, punto medio de los baricentros de 𝒯
1 y 𝒯
2; es decir, el baricentro de {
Ab,
Ac,
Bc,
Ba,
Ca,
Cb}.
(b^2-c^2) (b^4 c^4 (b^2-c^2)^6 (b^6+c^6)-a^20 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)+a^18 (6 b^8-6 b^6 c^2-19 b^4 c^4-6 b^2 c^6+6 c^8)+a^12 b^2 c^2 (-88 b^10+14 b^8 c^2+103 b^6 c^4+103 b^4 c^6+14 b^2 c^8-88 c^10)-a^16 (14 b^10+4 b^8 c^2-51 b^6 c^4-51 b^4 c^6+4 b^2 c^8+14 c^10)-2 a^2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 (b^12+b^10 c^2-b^8 c^4+2 b^6 c^6-b^4 c^8+b^2 c^10+c^12)+a^14 (14 b^12+44 b^10 c^2-53 b^8 c^4-108 b^6 c^6-53 b^4 c^8+44 b^2 c^10+14 c^12)+a^4 (b^2-c^2)^4 (b^14+10 b^12 c^2+2 b^10 c^4-2 b^8 c^6-2 b^6 c^8+2 b^4 c^10+10 b^2 c^12+c^14)+a^8 (b^2-c^2)^2 (14 b^14-16 b^12 c^2-82 b^10 c^4-85 b^8 c^6-85 b^6 c^8-82 b^4 c^10-16 b^2 c^12+14 c^14)+a^10 (-14 b^16+88 b^14 c^2+17 b^12 c^4-64 b^10 c^6-62 b^8 c^8-64 b^6 c^10+17 b^4 c^12+88 b^2 c^14-14 c^16)+a^6 (-6 b^20+4 b^18 c^2+49 b^16 c^4-76 b^14 c^6+29 b^12 c^8+29 b^8 c^12-76 b^6 c^14+49 b^4 c^16+4 b^2 c^18-6 c^20))x + ... =0,
e interseca a la recta de Euler en:
W = ( 2 a^18 (b^2-c^2)^2
+a^16 (-9 b^6+13 b^4 c^2+13 b^2 c^4-9 c^6)
+a^14 (14 b^8-5 b^6 c^2-44 b^4 c^4-5 b^2 c^6+14 c^8)
-a^12 (5 b^10+30 b^8 c^2-47 b^6 c^4-47 b^4 c^6+30 b^2 c^8+5 c^10)
-a^10 (10 b^12-48 b^10 c^2+25 b^8 c^4+30 b^6 c^6+25 b^4 c^8-48 b^2 c^10+10 c^12)
+a^8 (b^2-c^2)^2 (13 b^10+3 b^8 c^2-19 b^6 c^4-19 b^4 c^6+3 b^2 c^8+13 c^10)
-a^6 (b^2-c^2)^2 (6 b^12+17 b^10 c^2-18 b^8 c^4+14 b^6 c^6-18 b^4 c^8+17 b^2 c^10+6 c^12)
+a^4 (b^2-c^2)^4 (b^10+12 b^8 c^2+9 b^6 c^4+9 b^4 c^6+12 b^2 c^8+c^10)
-a^2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 (2 b^8+3 b^6 c^2-6 b^4 c^4+3 b^2 c^6+2 c^8)
+b^4 c^4 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)
: ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-0.0456096623084539, -0.915009265765281, 4.29518304850271).
- Sábado, 4 de septiembre del 2021
El centro del triángulo X(15265)
El 4 de septiembre de 1967 es la fecha oficial en la que se creó el grupo Les Luthiers, fundado por Gerardo Masana, Marcos Mundstock, Jorge Maronna y Daniel Rabinovich. Los espectáculos de Les Luthiers combinan parodias de géneros musicales clásicos y populares con escenas teatrales humorísticas cuidadosamente elaboradas y dotadas de múltiples sentido. Incorporan instrumentos inventados y construidos por sus propios integrantes, de ahí su nombre: la palabra francesa "luthier" designa a los artesanos encargados de construir instrumentos
Enlaces relacionados:
ESTE: El centro del triángulo X(15265)
Una caracterización de la cúbica K024
Triángulo circunceviano, porismo de Poncelet y la cúbica K024
X(15265) is the center of the perspeconic of reference and Artzt triangles
The
A-Artzt parabola of a triangle ABC is the parabola tangent at B and C to the sidelines AB and AC, respectively.
Baricentric equation: x^2 - 4 y z =0. Focus (b^2+c^2-a^2:b^2:c^2) and directrix is the line (b^2+c^2-a^2) x - 2c^2y - 2b^2z = 0.
The triangle bounded by the directrices of the Artzt parabolas is here named the
Artzt triangle.
An alternate construction for the Artzt triangle, A'B'C' follows. Let Pa be the parabola with focus A and directrix BC. Let La be the polar of X(3) wrt Pa, and define Lb and Lc cyclically. Then A' = Lb∩Lc, B' = Lc∩La, C' = La∩Lb.
Let ABC and A'B'C' be two perspective triangles such that neither is inscribed in the other. Let A
b = BC∩A'B', A
c = BC∩A'C', and likewise for B
c, B
a, C
a, and C
b. As ABC and A'B'C' are perspective, the six points lie on a conic, here named the
perspeconic of ABC and A'B'C'.
Dados un triángulo ABC y un punto P, que no está situado sobre ninguno de sus lados ni sobre sus mediatrices ni sobre su circunferencia circunscrita ni en la recta del infinito, la inversión con centro P y radio PA transforma las circunferencias Γa, Γb y Γc (circunscritas a los triángulos BCP, CAP y ABP) en las rectas pa, pab y pac, respectivamente; que son los ejes radicales de la circunferencia P(PA), de centro P y radio PA, respecto a las Γa, Γb y Γc.
Sean Ab=pa∩pab, Ac=pa∩pac (pab∩pac=A) y A'= BAb∩CAc.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
Ab = (u ((a^2-c^2) v+b^2 (u-w)) : v ((a^2-c^2) v+b^2 (u-w)) : c^2 v^2+b^2 (u+v) w),
Ac = (u (c^2 (-u+v)+(-a^2+b^2) w) : -b^2 w^2-c^2 v (u+w) : w (c^2 (-u+v)+(-a^2+b^2) w)),
A' = (u (b^4 (u-w) w-(a^2-c^2) v (c^2 (u-v)+a^2 w)+b^2 (a^2 w (-u+v+w)+c^2 (-u^2-2 v w+u (v+w)))) :
b^4 w^2 (-u+w)+c^2 (-a^2+c^2) v^2 (u+w)-b^2 v (a^2 w^2+c^2 (u^2-2 w^2)):
c^4 v^2 (-u+v)-c^2 (a^2 v^2+b^2 (u^2-2 v^2)) w+b^2 (-a^2+b^2) (u+v) w^2).
Similaramente, tomando las circunferencias P(PB) y P(PC), se definen los puntos Bc, Ba, Ca y Cb, y los puntos B'= CBc∩ABa y C'= ACa∩BCb.
Las rectas AA', BB', CC' son paralelas si y solo si P está sobre la cúbica K024, del catálogo de Bernard Gibert.
Kjp = K024
Shuzo TAKAMATSU and Shusaku OGINO.-
On Some Cubics connected with Simson lines. Tohoku Math. J. 43, p 102 (1937)
El lugar geométrico del punto P para que el punto A2, de intersección de BC con BaBc, coincida con el pie, Ha, de la altura por A
es una cónica, 𝒞a2, que pasa por A, C y por los puntos en que la mediatriz de BC corta a la circunferencia circunscrita. Su ecuación es:
a^2 b^2 x y-b^4 x y-2 a^2 c^2 x y+b^2 c^2 x y+a^4 y^2-a^2 b^2 y^2+a^2 c^2 y^2-a^2 b^2 x z-b^4 x z+b^2 c^2 x z-2 a^4 y z=0.
La cónica 𝒞a2 vuelve a corta a BC en D2=(0 : 2a^2 : a>^2 - b^2 + c^2).
El lugar geométrico del punto P para que el punto A3, de intersección de BC con CaCb, coincida con el pie, Ha, de la altura por A
es una cónica, 𝒞a3, que pasa por A, B y por los puntos en que la mediatriz de BC corta a la circunferencia circunscrita. Su ecuación es:
a^2 c^2 x y-b^2 c^2 x y+c^4 x y+2 a^2 b^2 x z-a^2 c^2 x z-b^2 c^2 x z+c^4 x z+2 a^4 y z-a^4 z^2-a^2 b^2 z^2+a^2 c^2 z^2=0.
La cónica 𝒞a3 vuelve a corta a BC en D3=(0 : a^2 + b^2 - c^2 : 2a^2).
Ciclicamente, se obtienen los puntos E3, E1 y F1, F2.
Los puntos D2, D3, E3, E1, F1, F2 están en una cónica, 𝒞, cuyo centro es X15265.
La ecuación de 𝒞 es:
2 a^4 b^2 c^2 x^2 - 2 a^2 b^4 c^2 x^2 - 2 a^2 b^2 c^4 x^2 -
a^6 b^2 x y + 2 a^4 b^4 x y - a^2 b^6 x y + 5 a^2 b^2 c^4 x y -
2 a^4 b^2 c^2 y^2 + 2 a^2 b^4 c^2 y^2 - 2 a^2 b^2 c^4 y^2 -
a^6 c^2 x z + 5 a^2 b^4 c^2 x z + 2 a^4 c^4 x z - a^2 c^6 x z +
5 a^4 b^2 c^2 y z - b^6 c^2 y z + 2 b^4 c^4 y z - b^2 c^6 y z -
2 a^4 b^2 c^2 z^2 - 2 a^2 b^4 c^2 z^2 + 2 a^2 b^2 c^4 z^2=0.
- Lunes, 30 de agosto del 2021
El centro del triángulo X(1420)
El 30 de agosto de 1871 nació Ernest Rutherford, físico y químico neozelandés. Premio Nobel de Química en 1908 en reconocimiento a sus investigaciones relativas a la desintegración de los elementos.
Estudió las emisiones radioactivas descubiertas por H. Becquerel, y logró clasificarlas en rayos alfa, beta y gamma. En 1911, describió un nuevo modelo atómico (modelo atómico de Rutherford), que posteriormente sería perfeccionado por N. Bohr. Durante la Primera Guerra Mundial estudió la detección de submarinos mediante ondas sonoras, de modo que fue uno de los precursores del sonar.
Enlaces relacionados:
ESTE: El centro del triángulo X(1420)
Los centros del triángulo X(1319) y X(1420)
X(1420) = X(145)-Beth conjugate of X(145)
Let Ja, Jb, Jc be the excenters and I the incenter. Let A' be the centroid of JbJcI, and define B' and C' cyclically. The triangle A'B'C' is homothetic to the
Hutson intouch triangleLet A' be the antipode of the A-extouch point in the A-excircle, and define B' and C' cyclically, and let A'' be the antipode of the A-intouch point in the incircle, and define B'' and C'' cyclically. The triangle A'B'C' is named the Hutson-extouch triangle, and A''B''C'', the Hutson-intouch triangle. at X(1420). (Randy Hutson, July 31 2018).
Sean ABC un triángulo, DEF el triángulo circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). del incentro, X56 el centro de homotecia exterior de las circunferencias inscrita y circunscrita, D', E', F' los puntos donde las rectas DX56, EX56, FX56 vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita, y A'B'C' el triángulo cuyos lados son AD', BE', CF'.
Las rectas A'D', B'E', C'F' concurren en X1420.
- Jueves, 26 de agosto del 2021
Una cuártica bicircular
El 26 de agosto de 1964 muere, a los 86 años, Sixto Cámara Tecedor matemático español. En 1911 colabora en la fundación de la Sociedad Matemática Española, de la que llegó a ser secretario en 1914, bajo la presidencia del ingeniero matemático y autor de melodramas José Echegaray. Entre sus obras cabe destacar: Elementos de Geometría Analítica (1941).
Dado un triángulo ABC y un punto P (no situado en la recta del infinito) , sea U un punto sobre la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de P. Se denota por cv(P,U) la circunferencia de VuEn el plano de un triangulo ABC, se toman dos puntos P y U distintos. Sean A0=AU∩BC, A1 el punto de intersección, distinto de P, de la recta PA y la circunferencia (PBC), A2 el punto de intersección, distinto de A1, de la recta A0A1 y la circunferencia (PBC). Los puntos P, A2, B2, C2 están en una misma circunferencia, denominada circunferencia de Vu de P y U.
Ver preámbulo de X(37806) en ETC (Vu Thanh Tung, April 6, 2020). de P y U.
Para un punto P=(p:q:r) fijo, el lugar geométrico del centro Uo de cv(P,U), cuando U varía sobre la tripolar de P, es una cónica, c(P), de ecuación baricéntrica:
𝔖abc xyz
(-a^2 q r+c^2 q (q+r)+b^2 r (q+r)) (b^4 r (-p^3-2 p^2 (q+r)+2 p r (q+r)+q (q+r)^2)+q (a^4 r (q^2-q r+r^2+p (q+r))+c^4 (-p^3-2 p^2 (q+r)+2 p q (q+r)+r (q+r)^2)+a^2 c^2 (p^3+p^2 (3 q+2 r)+2 r (q^2-r^2)+p (2 q^2-q r-r^2)))+b^2 (a^2 r (p^3-2 q^3+2 q r^2+p^2 (2 q+3 r)-p (q^2+q r-2 r^2))+c^2 (p^4+p^3 (q+r)-2 p^2 (q+r)^2-2 q r (q+r)^2-2 p (q^3+q^2 r+q r^2+r^3))))x^2
+a^6 q r (3 p^4+7 p^3 (q+r)+5 p^2 (q^2+4 q r+r^2)+2 q r (q^2+5 q r+r^2)+p (q^3+15 q^2 r+15 q r^2+r^3))+p^2 (b^6 r (p^3-q^3+p^2 (q-3 r)+q^2 r+3 q r^2+r^3-p (q^2+2 q r-3 r^2))+c^6 q (p^3+q^3+3 q^2 r+q r^2-r^3+p^2 (-3 q+r)+p (3 q^2-2 q r-r^2))+b^4 c^2 (q^4+5 q^3 r-q^2 r^2-7 q r^3-2 r^4+p^3 (3 q+4 r)+p^2 (7 q^2+q r-2 r^2)+p (5 q^3+2 q^2 r+q r^2-8 r^3))+b^2 c^4 (-2 q^4-7 q^3 r-q^2 r^2+5 q r^3+r^4+p^3 (4 q+3 r)+p^2 (-2 q^2+q r+7 r^2)+p (-8 q^3+q^2 r+2 q r^2+5 r^3)))+a^2 p (b^4 r (-2 p^4+q^4+7 q^3 r+5 q^2 r^2-3 q r^3-2 r^4+p^3 (q+4 r)+p^2 (9 q^2+3 q r+4 r^2)+p (7 q^3+6 q^2 r+9 q r^2-4 r^3))+c^4 q (-2 p^4-2 q^4-3 q^3 r+5 q^2 r^2+7 q r^3+r^4+p^3 (4 q+r)+p^2 (4 q^2+3 q r+9 r^2)+p (-4 q^3+9 q^2 r+6 q r^2+7 r^3))-2 b^2 c^2 (-q^5-q^4 r+6 q^3 r^2+6 q^2 r^3-q r^4-r^5+2 p^4 (q+r)+3 p^3 (q^2+r^2)-p^2 (q^3-5 q^2 r-5 q r^2+r^3)+p (-3 q^4+6 q^3 r+4 q^2 r^2+6 q r^3-3 r^4)))+a^4 (-b^2 r (-p^5+p^4 (5 q+r)+p^3 (15 q^2+8 q r+7 r^2)+2 q r (q^3+5 q^2 r+6 q r^2+2 r^3)+p^2 (11 q^3+27 q^2 r+17 q r^2+7 r^3)+2 p (q^4+11 q^3 r+10 q^2 r^2+9 q r^3+r^4))-c^2 q (-p^5+p^4 (q+5 r)+p^3 (7 q^2+8 q r+15 r^2)+2 q r (2 q^3+6 q^2 r+5 q r^2+r^3)+p^2 (7 q^3+17 q^2 r+27 q r^2+11 r^3)+2 p (q^4+9 q^3 r+10 q^2 r^2+11 q r^3+r^4)))y z = 0.
Cuando P recorre la circunferencia circunscrita a ABC, la cónica c(P) degenera en el producto de dos rectas que se cortan en el circuncentro.
Si Po es el centro de la cónica c(P) se tienen los siguientes pares de centros del triángulo en ETC, {P=Xi, Po=Xj}, para {i, j}: {2, 8182}, {3, 15577}, {4, 1352}, {13, 18}, {14, 17}, {15, 30560}, {16, 30559}, {39162, 39162}, {39163, 39163}. Estos últimos son los focos reales de la elipse inscrita de Steiner Elipse inscrita de Steiner es la elipse inscrita al triángulo y con centro en el baricentro. Es la elipse inscunscrita de área máxima. Es la elipse circunscrita de Steiner del triángulo medial. Ecuación baricéntrica: x^2+y^2+z^2-2yz-2zx-2xy=0. Una reperesentación paramétrica P(t)=(1:t^2:(t-1)^2).
Su focos reales son X(39162), X(39163)..
Cuando P es el incentro, la cónica c(X1) pasa por X106, conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del punto del infinito de la recta X1X2, y su centro es:
W = ( a (5 a^2 - 2 a (b + c)+ b^2 - 6 b c + c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(14.1563337667027, 5.28221409205323, -6.54994547414600).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {1, 3973}, {3161, 39567}, {4402, 4779}, {15601, 35227}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {1, 35227}, {3973, 15601}, {4859, 16020}, {15601, 8692}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,6}, {3,11506}, {10,37024}, {31,10582}, {55,23511}, {56,5666}, {63,3315}, {105,165}, {145,25101}, {200,748}, {214,16191}, {269,7677}, {390,3008}, {516,4859}, {519,10005}, {614,4414}, {1125,4307}, {1420,6180}, {1471,12560}, {1621,2999}, {1707,10980}, {1721,24644}, {1742,7963}, {2550,31183}, {2975,25731}, {3039,34641}, {3052,5437}, {3158,37679}, {3161,39567}, {3214,15839}, {3241,4924}, {3361,28017}, {3616,3664}, {3646,5266}, {3677,3683}, {3685,17151}, {3744,7308}, {3749,8580}, {3811,8951}, {3828,32049}, {3883,17284}, {3886,16833}, {3913,17502}, {3929,17597}, {3961,30393}, {4328,8543}, {4334,13462}, {4344,29571}, {4383,10389}, {4402,4779}, {4421,8688}, {4422,4901}, {4423,5269}, {4640,5573}, {4666,17127}, {4678,38455}, {4862,5698}, {4888,38053}, {4902,17768}, {4929,27549}, {5049,8686}, {5263,16832}, {5284,9347}, {5853,37650}, {6557,28576}, {7292,35258}, {8236,37681}, {8245,30389}, {8299,16569}, {8583,25880}, {8666,10563}, {9350,27834}, {9580,24789}, {9623,40091}, {9778,24175}, {11194,31663}, {11512,16192}, {12526,28082}, {13329,43166}, {13576,31200}, {16602,21000}, {16610,35445}, {16688,20470}, {16823,25590}, {16948,17207}, {17265,28566}, {17337,38200}, {17716,39958}, {17724,31142}, {18229,32942}, {20053,24477}, {21627,34620}, {25072,39587}, {29349,40257}, {29582,32926}, {30350,32913}, {39251,40131}.
La correspondencia sobre la tripolar de X1, que a cada punto U le asigna la proyección U' de Uo (de c(X1)) desde X106, es una proyectividad cuyos puntos dobles son:
U1, U2 ( a (b-c) (a^2-b c±Sqrt[b^2 c^2-a b c (b+c)+a^2 (b^2-b c+c^2)]) : ... : ...),
que tienen números de búsqueda en ETC
(-2.08691289941282, -8.18006199222680, 10.2669748916396) y (-10.9526098878272, 7.33490773749828, 3.61770215032887), respectivamente.
El punto centralEl punto central de una involusión sobre una recta es el punto medio de sus puntos fijos. de esta proyectividad es X659.
La cónica c(
P) es una
hipérbola rectangularUna hipérbola se dice que es rectangular o equilátera si sus asíntotas son perpendiculares. El ortocentro de todo triángulo inscrito a una hipérbola rectangular está sobre ella.
La cónica de ecuación baricéntrica f x^2 + g y^2 + h z^2 + 2 p y z + 2 q z x + 2 r x y = 0 es una hipérbola rectangular si y solo si a^2 f + b^2 g + c^2 h - 2 (SA p + SB q + SC r)=0, donde SA=(b^2+c^2-a^2)/2, ...
(Bernad Gibert, Hyacinthos #19737).
Los puntos del infinito de una hipérbola rectangular {{A,B,C, X(4),P}}, donde P = p : q : r (baricéntricas) tienen primeras coordenadas u - v and u + v, where
u = p ((a^2-b^2+c^2) q+(-a^2-b^2+c^2) r) (c^2 (a^2-b^2-c^2) p q+b^2 (a^2-b^2-c^2) p r+(a^2 b^2-b^4+a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) q r
v = (a^2-b^2-c^2) Sqrt[(a^4+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) p q r^2+q^2 ((a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 b^2 c^2+c^4) p r+a^4 r^2)+p^2 (c^4 q^2+(a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2+c^4) q r+b^4 r^2)]).
Los puntos del infinito de las asíntotas de la hipérbola de Jerabek son X(2574) y X(2575), para la hipérbola de Feuerbach son X(3307) y X(3308), y para la hipérbola de Kiepert son X(3413) y X(3414). si y solo si
P está sobre la cuártica
bicircular Una curva se dice circular si pasa por los puntos cíclicos o circulares o isotrópicos: par de puntos (imaginarios conjugados) en el infinito por donde pasan todas las circunferencias.
Una cúbica se dice que es circular cuando contiene a los dos puntos circulares en el infinito y por consiguiente tiene otro punto real en el infinito.
Las tangentes en los puntos circulares se intersecan en un punto llamado foco singular de la cúbica. Cuando este foco está sobre la cúbica, la cúbica se denomina focal., 𝒬, de ecuación:
𝔖abc xyz
y z ((3 a^4+2 b^4+2 c^4+a^2 (-5 b^2-5 c^2)) x^2+2 a^2 (2 a^2-b^2-c^2) y z-a^2 ((a^2-b^2+3 c^2) y^2+(a^2+3 b^2-c^2) z^2)) = 0.
La cuártica 𝒬 pasa por el foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99. y las tangentes en los vértices de ABC son perpendiculares a las simedianasEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²)..
Cuando P=X110, c(X110) son las rectas perpendiculares que se cortan en el circuncentro y pasan, una por X41880 (cociente cevinanoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). de X110 y X1380) y la otra por X41881 (cociente ceviano de X110 y X1379); X1379 y X1380 son los puntos en los que eje de BrocardThe Brocard axis is the line KO passing through the symmedian point K and circumcenter O of a triangle, where the segment OK is the Brocard diameter (Kimberling 1998, p. 150). The Brocard axis is perpendicular to the Lemoine axis and is the isogonal conjugate of the Kiepert hyperbola.
http://mathworld.wolfram.com/BrocardAxis.html.
Barycentric equation: (-b^4 c^2 + b^2 c^4) x + a^2 c^2 (a^2 - c^2) y + (-a^4 b^2 + a^2 b^4) z = 0.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1379 y X1380 (conjugados isogonales de X3413 y X3414). corta a la circunferencia circunscrita.
- Martes, 24 de agosto del 2021
Los centros del triángulo X(10018) y X(37814)
El 24 de agosto de 1670 falleció, cuando solo tenía 32 años, el matemático inglés William Neile. Calculó en 1657 la longitud del arco de la parábola semicúbica (y2=a2 x3), hoy conocida como parábola de Neile. Aunque las longitudes de algunas otras curvas no algebraicas, incluidas la espiral logarítmica y la cicloide, ya se habían calculado (es decir, estas curvas se rectificaron), la parábola semicúbica fue la primera curva algebraica (excluyendo la línea y el círculo) en ser rectificada. Una propiedad adicional de la parábola semicúbica es que es una curva isócrona, lo que significa que una partícula que sigue su camino mientras es atraida hacia abajo por la gravedad viaja a intervalos verticales iguales en períodos de tiempo iguales.
Enlaces relacionados:
ESTE: Los centros del triángulo X(10018) y X(37814)
Euclid #2070 (Antreas P. Hatzipolakis)
Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X3 y ortocentro H=X4, sean
B'a, C'a puntos sobre AC, AB respectivamente, tales que
AB'a/AC = AC'a/AB = t.
Similarmente, se consideran los puntos
C'b, A'c sobre BA, BC, respectivamente, tales que BC'b/BA = BA'b/BC = t,
y los puntos A'c, B'c on CB, CA, resp such that CA'c/CB = CB'c/CA = t.
Sea Ba, Ca las proyecciones ortogonales de B'a, C'a sobre OA, respectivamente.
Sea ea el eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de las circunferencias (BaOC) y (CaOB). Similarmente, se toman los ejes radicales eb y ec.
Las paralelas ℓ
a, ℓ
b, ℓ
c a
ea,
eb,
ec a través de
A, B, C, respectivamente, son concurrentes.
El lugar gemétrico del punto de concurrencia, cuando t varía, es la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
(a^2 + b^2 - c^2) (a^4 t + (b^2 - c^2)^2 t +
2 a^2 (c^2 - b^2 t)) y
- (a^2 - b^2 +
c^2) (a^4 t + (b^2 - c^2)^2 t + 2 a^2 (b^2 - c^2 t)) z = 0.
El punto de concurrencia de ℓa, ℓb, ℓc es:
Pt = ((a^2-b^2-c^2) (-2 a^6 (b^2+c^2) (-1+t) t-2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (-1+t) t+a^8 t^2+(b^2-c^2)^4 t^2+2 a^4 (2 b^2 c^2+b^4 (-2+t) t+c^4 (-2+t) t)):
-(a^2-b^2+c^2) (a^8 t^2-2 a^6 t (b^2 (-1+t)+2 c^2 t)+(b^2-c^2)^2 t (2 b^2 c^2+b^4 t+c^4 t)+2 a^4 t (b^4 (-2+t)+b^2 c^2 (-1+t)+3 c^4 t)-2 a^2 (-2 b^4 c^2+b^6 (-1+t) t-b^2 c^4 (-1+t) t+2 c^6 t^2)) :
-(a^2+b^2-c^2) (a^8 t^2-2 a^6 t (c^2 (-1+t)+2 b^2 t)+2 a^4 t (c^4 (-2+t)+b^2 c^2 (-1+t)+3 b^4 t)+(b^2-c^2)^2 t (2 b^2 c^2+b^4 t+c^4 t)-2 a^2 (-2 b^2 c^4-b^4 c^2 (-1+t) t+c^6 (-1+t) t+2 b^6 t^2)),
que está sobre la hipérbola de Jerabek. Sea P*t su conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales., sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
.
La envolvente de la recta BaP*t es una
cónica,
( a^12 b^8 x^2-6 a^10 b^10 x^2+15 a^8 b^12 x^2-20 a^6 b^14 x^2+15 a^4 b^16 x^2-6 a^2 b^18 x^2+b^20 x^2-2 a^12 b^6 c^2 x^2+6 a^10 b^8 c^2 x^2-8 a^8 b^10 c^2 x^2+12 a^6 b^12 c^2 x^2-18 a^4 b^14 c^2 x^2+14 a^2 b^16 c^2 x^2-4 b^18 c^2 x^2+a^12 b^4 c^4 x^2+6 a^10 b^6 c^4 x^2-14 a^8 b^8 c^4 x^2+8 a^6 b^10 c^4 x^2+a^4 b^12 c^4 x^2-6 a^2 b^14 c^4 x^2+4 b^16 c^4 x^2-6 a^10 b^4 c^6 x^2-8 a^8 b^6 c^6 x^2+8 a^6 b^8 c^6 x^2+4 a^4 b^10 c^6 x^2-2 a^2 b^12 c^6 x^2+4 b^14 c^6 x^2+15 a^8 b^4 c^8 x^2+12 a^6 b^6 c^8 x^2+a^4 b^8 c^8 x^2-2 a^2 b^10 c^8 x^2-10 b^12 c^8 x^2-20 a^6 b^4 c^10 x^2-18 a^4 b^6 c^10 x^2-6 a^2 b^8 c^10 x^2+4 b^10 c^10 x^2+15 a^4 b^4 c^12 x^2+14 a^2 b^6 c^12 x^2+4 b^8 c^12 x^2-6 a^2 b^4 c^14 x^2-4 b^6 c^14 x^2+b^4 c^16 x^2+2 a^12 b^8 x y-12 a^10 b^10 x y+30 a^8 b^12 x y-40 a^6 b^14 x y+30 a^4 b^16 x y-12 a^2 b^18 x y+2 b^20 x y-2 a^14 b^4 c^2 x y+22 a^10 b^8 c^2 x y-56 a^8 b^10 c^2 x y+74 a^6 b^12 c^2 x y-64 a^4 b^14 c^2 x y+34 a^2 b^16 c^2 x y-8 b^18 c^2 x y+2 a^14 b^2 c^4 x y+8 a^12 b^4 c^4 x y-18 a^10 b^6 c^4 x y+10 a^8 b^8 c^4 x y-10 a^6 b^10 c^4 x y+20 a^4 b^12 c^4 x y-22 a^2 b^14 c^4 x y+10 b^16 c^4 x y-10 a^12 b^2 c^6 x y-10 a^10 b^4 c^6 x y+34 a^8 b^6 c^6 x y-20 a^6 b^8 c^6 x y+26 a^4 b^10 c^6 x y-18 a^2 b^12 c^6 x y-2 b^14 c^6 x y+18 a^10 b^2 c^8 x y-8 a^8 b^4 c^8 x y-36 a^6 b^6 c^8 x y-26 a^4 b^8 c^8 x y+22 a^2 b^10 c^8 x y-2 b^12 c^8 x y-10 a^8 b^2 c^10 x y+42 a^6 b^4 c^10 x y+52 a^4 b^6 c^10 x y+14 a^2 b^8 c^10 x y-2 b^10 c^10 x y-10 a^6 b^2 c^12 x y-56 a^4 b^4 c^12 x y-42 a^2 b^6 c^12 x y-2 b^8 c^12 x y+18 a^4 b^2 c^14 x y+34 a^2 b^4 c^14 x y+10 b^6 c^14 x y-10 a^2 b^2 c^16 x y-8 b^4 c^16 x y+2 b^2 c^18 x y+a^12 b^8 y^2-6 a^10 b^10 y^2+15 a^8 b^12 y^2-20 a^6 b^14 y^2+15 a^4 b^16 y^2-6 a^2 b^18 y^2+b^20 y^2-4 a^16 b^2 c^2 y^2+14 a^14 b^4 c^2 y^2-14 a^12 b^6 c^2 y^2-8 a^8 b^10 c^2 y^2+46 a^6 b^12 c^2 y^2-62 a^4 b^14 c^2 y^2+36 a^2 b^16 c^2 y^2-8 b^18 c^2 y^2+a^16 c^4 y^2+12 a^14 b^2 c^4 y^2-34 a^12 b^4 c^4 y^2+28 a^10 b^6 c^4 y^2+7 a^8 b^8 c^4 y^2-56 a^6 b^10 c^4 y^2+92 a^4 b^12 c^4 y^2-72 a^2 b^14 c^4 y^2+22 b^16 c^4 y^2-4 a^14 c^6 y^2-4 a^12 b^2 c^6 y^2+34 a^10 b^4 c^6 y^2-26 a^8 b^6 c^6 y^2+28 a^6 b^8 c^6 y^2-60 a^4 b^10 c^6 y^2+54 a^2 b^12 c^6 y^2-22 b^14 c^6 y^2+4 a^12 c^8 y^2-28 a^10 b^2 c^8 y^2-22 a^8 b^4 c^8 y^2+24 a^6 b^6 c^8 y^2+39 a^4 b^8 c^8 y^2+6 a^2 b^10 c^8 y^2-7 b^12 c^8 y^2+4 a^10 c^10 y^2+44 a^8 b^2 c^10 y^2-14 a^6 b^4 c^10 y^2-66 a^4 b^6 c^10 y^2-52 a^2 b^8 c^10 y^2+28 b^10 c^10 y^2-10 a^8 c^12 y^2-12 a^6 b^2 c^12 y^2+66 a^4 b^4 c^12 y^2+76 a^2 b^6 c^12 y^2-7 b^8 c^12 y^2+4 a^6 c^14 y^2-28 a^4 b^2 c^14 y^2-66 a^2 b^4 c^14 y^2-22 b^6 c^14 y^2+4 a^4 c^16 y^2+28 a^2 b^2 c^16 y^2+22 b^4 c^16 y^2-4 a^2 c^18 y^2-8 b^2 c^18 y^2+c^20 y^2+2 a^14 b^6 x z-10 a^12 b^8 x z+18 a^10 b^10 x z-10 a^8 b^12 x z-10 a^6 b^14 x z+18 a^4 b^16 x z-10 a^2 b^18 x z+2 b^20 x z-2 a^14 b^4 c^2 x z+6 a^12 b^6 c^2 x z-2 a^10 b^8 c^2 x z-18 a^8 b^10 c^2 x z+42 a^6 b^12 c^2 x z-46 a^4 b^14 c^2 x z+26 a^2 b^16 c^2 x z-6 b^18 c^2 x z+4 a^12 b^4 c^4 x z-22 a^10 b^6 c^4 x z+30 a^8 b^8 c^4 x z-28 a^6 b^10 c^4 x z+32 a^4 b^12 c^4 x z-14 a^2 b^14 c^4 x z-2 b^16 c^4 x z+6 a^10 b^4 c^6 x z+18 a^8 b^6 c^6 x z-20 a^6 b^8 c^6 x z-12 a^4 b^10 c^6 x z-18 a^2 b^12 c^6 x z+26 b^14 c^6 x z-20 a^8 b^4 c^8 x z+6 a^6 b^6 c^8 x z+34 a^4 b^8 c^8 x z+42 a^2 b^10 c^8 x z-30 b^12 c^8 x z+10 a^6 b^4 c^10 x z-38 a^4 b^6 c^10 x z-58 a^2 b^8 c^10 x z-2 b^10 c^10 x z+12 a^4 b^4 c^12 x z+46 a^2 b^6 c^12 x z+26 b^8 c^12 x z-14 a^2 b^4 c^14 x z-18 b^6 c^14 x z+4 b^4 c^16 x z+4 a^16 b^4 y z-22 a^14 b^6 y z+46 a^12 b^8 y z-38 a^10 b^10 y z-10 a^8 b^12 y z+46 a^6 b^14 y z-38 a^4 b^16 y z+14 a^2 b^18 y z-2 b^20 y z+2 a^16 b^2 c^2 y z-8 a^14 b^4 c^2 y z+12 a^12 b^6 c^2 y z-24 a^10 b^8 c^2 y z+72 a^8 b^10 c^2 y z-120 a^6 b^12 c^2 y z+100 a^4 b^14 c^2 y z-40 a^2 b^16 c^2 y z+6 b^18 c^2 y z-14 a^14 b^2 c^4 y z+2 a^12 b^4 c^4 y z+44 a^10 b^6 c^4 y z-60 a^8 b^8 c^4 y z+74 a^6 b^10 c^4 y z-70 a^4 b^12 c^4 y z+24 a^2 b^14 c^4 y z+34 a^12 b^2 c^6 y z-16 a^10 b^4 c^6 y z-66 a^8 b^6 c^6 y z+14 a^4 b^10 c^6 y z+48 a^2 b^12 c^6 y z-14 b^14 c^6 y z-30 a^10 b^2 c^8 y z+74 a^8 b^4 c^8 y z+66 a^6 b^6 c^8 y z-26 a^4 b^8 c^8 y z-116 a^2 b^10 c^8 y z-10 a^8 b^2 c^10 y z-104 a^6 b^4 c^10 y z-8 a^4 b^6 c^10 y z+120 a^2 b^8 c^10 y z+42 b^10 c^10 y z+38 a^6 b^2 c^12 y z+54 a^4 b^4 c^12 y z-56 a^2 b^6 c^12 y z-56 b^8 c^12 y z-26 a^4 b^2 c^14 y z+30 b^6 c^14 y z+6 a^2 b^2 c^16 y z-6 b^4 c^16 y z-3 a^16 b^4 z^2+12 a^14 b^6 z^2-12 a^12 b^8 z^2-12 a^10 b^10 z^2+30 a^8 b^12 z^2-12 a^6 b^14 z^2-12 a^4 b^16 z^2+12 a^2 b^18 z^2-3 b^20 z^2+10 a^14 b^4 c^2 z^2-30 a^12 b^6 c^2 z^2+34 a^10 b^8 c^2 z^2-22 a^8 b^10 c^2 z^2-2 a^6 b^12 c^2 z^2+38 a^4 b^14 c^2 z^2-42 a^2 b^16 c^2 z^2+14 b^18 c^2 z^2-5 a^12 b^4 c^4 z^2+26 a^10 b^6 c^4 z^2-27 a^8 b^8 c^4 z^2+12 a^6 b^10 c^4 z^2-43 a^4 b^12 c^4 z^2+58 a^2 b^14 c^4 z^2-21 b^16 c^4 z^2-16 a^10 b^4 c^6 z^2+32 a^6 b^8 c^6 z^2+32 a^4 b^10 c^6 z^2-48 a^2 b^12 c^6 z^2+19 a^8 b^4 c^8 z^2-32 a^6 b^6 c^8 z^2-38 a^4 b^8 c^8 z^2+32 a^2 b^10 c^8 z^2+35 b^12 c^8 z^2+2 a^6 b^4 c^10 z^2+34 a^4 b^6 c^10 z^2-10 a^2 b^8 c^10 z^2-42 b^10 c^10 z^2-11 a^4 b^4 c^12 z^2-6 a^2 b^6 c^12 z^2+21 b^8 c^12 z^2+4 a^2 b^4 c^14 z^2-4 b^6 c^14 z^2 = 0)
con centro:
Bao = (-(a^2 - b^2 + c^2) (2 a^8 - (b^2 - c^2)^3 (2 b^2 + c^2) -
a^6 (3 b^2 + 7 c^2) + a^4 (-2 b^4 + 3 b^2 c^2 + 9 c^4) +
a^2 (5 b^6 - b^4 c^2 + b^2 c^4 - 5 c^6)) :
-b^2 (-a^8 +
c^2 (b^2 - c^2)^3 + a^6 (3 b^2 + 2 c^2) -
a^4 (3 b^4 + 3 b^2 c^2 + 2 c^4) +
a^2 (b^6 - 3 b^2 c^4 + 2 c^6)) :
c^2 (a^8 -
a^2 (b^2 - 2 c^2) (b^2 - c^2)^2 + c^2 (b^2 - c^2)^3 -
a^6 (3 b^2 + 2 c^2) + a^4 (3 b^4 + 5 b^2 c^2))).
La envolvente de la recta CaP*t es una
cónica,
( a^12 b^4 c^4 x^2-6 a^10 b^6 c^4 x^2+15 a^8 b^8 c^4 x^2-20 a^6 b^10 c^4 x^2+15 a^4 b^12 c^4 x^2-6 a^2 b^14 c^4 x^2+b^16 c^4 x^2-2 a^12 b^2 c^6 x^2+6 a^10 b^4 c^6 x^2-8 a^8 b^6 c^6 x^2+12 a^6 b^8 c^6 x^2-18 a^4 b^10 c^6 x^2+14 a^2 b^12 c^6 x^2-4 b^14 c^6 x^2+a^12 c^8 x^2+6 a^10 b^2 c^8 x^2-14 a^8 b^4 c^8 x^2+8 a^6 b^6 c^8 x^2+a^4 b^8 c^8 x^2-6 a^2 b^10 c^8 x^2+4 b^12 c^8 x^2-6 a^10 c^10 x^2-8 a^8 b^2 c^10 x^2+8 a^6 b^4 c^10 x^2+4 a^4 b^6 c^10 x^2-2 a^2 b^8 c^10 x^2+4 b^10 c^10 x^2+15 a^8 c^12 x^2+12 a^6 b^2 c^12 x^2+a^4 b^4 c^12 x^2-2 a^2 b^6 c^12 x^2-10 b^8 c^12 x^2-20 a^6 c^14 x^2-18 a^4 b^2 c^14 x^2-6 a^2 b^4 c^14 x^2+4 b^6 c^14 x^2+15 a^4 c^16 x^2+14 a^2 b^2 c^16 x^2+4 b^4 c^16 x^2-6 a^2 c^18 x^2-4 b^2 c^18 x^2+c^20 x^2-2 a^14 b^2 c^4 x y+4 a^12 b^4 c^4 x y+6 a^10 b^6 c^4 x y-20 a^8 b^8 c^4 x y+10 a^6 b^10 c^4 x y+12 a^4 b^12 c^4 x y-14 a^2 b^14 c^4 x y+4 b^16 c^4 x y+2 a^14 c^6 x y+6 a^12 b^2 c^6 x y-22 a^10 b^4 c^6 x y+18 a^8 b^6 c^6 x y+6 a^6 b^8 c^6 x y-38 a^4 b^10 c^6 x y+46 a^2 b^12 c^6 x y-18 b^14 c^6 x y-10 a^12 c^8 x y-2 a^10 b^2 c^8 x y+30 a^8 b^4 c^8 x y-20 a^6 b^6 c^8 x y+34 a^4 b^8 c^8 x y-58 a^2 b^10 c^8 x y+26 b^12 c^8 x y+18 a^10 c^10 x y-18 a^8 b^2 c^10 x y-28 a^6 b^4 c^10 x y-12 a^4 b^6 c^10 x y+42 a^2 b^8 c^10 x y-2 b^10 c^10 x y-10 a^8 c^12 x y+42 a^6 b^2 c^12 x y+32 a^4 b^4 c^12 x y-18 a^2 b^6 c^12 x y-30 b^8 c^12 x y-10 a^6 c^14 x y-46 a^4 b^2 c^14 x y-14 a^2 b^4 c^14 x y+26 b^6 c^14 x y+18 a^4 c^16 x y+26 a^2 b^2 c^16 x y-2 b^4 c^16 x y-10 a^2 c^18 x y-6 b^2 c^18 x y+2 c^20 x y-3 a^16 c^4 y^2+10 a^14 b^2 c^4 y^2-5 a^12 b^4 c^4 y^2-16 a^10 b^6 c^4 y^2+19 a^8 b^8 c^4 y^2+2 a^6 b^10 c^4 y^2-11 a^4 b^12 c^4 y^2+4 a^2 b^14 c^4 y^2+12 a^14 c^6 y^2-30 a^12 b^2 c^6 y^2+26 a^10 b^4 c^6 y^2-32 a^6 b^8 c^6 y^2+34 a^4 b^10 c^6 y^2-6 a^2 b^12 c^6 y^2-4 b^14 c^6 y^2-12 a^12 c^8 y^2+34 a^10 b^2 c^8 y^2-27 a^8 b^4 c^8 y^2+32 a^6 b^6 c^8 y^2-38 a^4 b^8 c^8 y^2-10 a^2 b^10 c^8 y^2+21 b^12 c^8 y^2-12 a^10 c^10 y^2-22 a^8 b^2 c^10 y^2+12 a^6 b^4 c^10 y^2+32 a^4 b^6 c^10 y^2+32 a^2 b^8 c^10 y^2-42 b^10 c^10 y^2+30 a^8 c^12 y^2-2 a^6 b^2 c^12 y^2-43 a^4 b^4 c^12 y^2-48 a^2 b^6 c^12 y^2+35 b^8 c^12 y^2-12 a^6 c^14 y^2+38 a^4 b^2 c^14 y^2+58 a^2 b^4 c^14 y^2-12 a^4 c^16 y^2-42 a^2 b^2 c^16 y^2-21 b^4 c^16 y^2+12 a^2 c^18 y^2+14 b^2 c^18 y^2-3 c^20 y^2+2 a^14 b^4 c^2 x z-10 a^12 b^6 c^2 x z+18 a^10 b^8 c^2 x z-10 a^8 b^10 c^2 x z-10 a^6 b^12 c^2 x z+18 a^4 b^14 c^2 x z-10 a^2 b^16 c^2 x z+2 b^18 c^2 x z-2 a^14 b^2 c^4 x z+8 a^12 b^4 c^4 x z-10 a^10 b^6 c^4 x z-8 a^8 b^8 c^4 x z+42 a^6 b^10 c^4 x z-56 a^4 b^12 c^4 x z+34 a^2 b^14 c^4 x z-8 b^16 c^4 x z-18 a^10 b^4 c^6 x z+34 a^8 b^6 c^6 x z-36 a^6 b^8 c^6 x z+52 a^4 b^10 c^6 x z-42 a^2 b^12 c^6 x z+10 b^14 c^6 x z+2 a^12 c^8 x z+22 a^10 b^2 c^8 x z+10 a^8 b^4 c^8 x z-20 a^6 b^6 c^8 x z-26 a^4 b^8 c^8 x z+14 a^2 b^10 c^8 x z-2 b^12 c^8 x z-12 a^10 c^10 x z-56 a^8 b^2 c^10 x z-10 a^6 b^4 c^10 x z+26 a^4 b^6 c^10 x z+22 a^2 b^8 c^10 x z-2 b^10 c^10 x z+30 a^8 c^12 x z+74 a^6 b^2 c^12 x z+20 a^4 b^4 c^12 x z-18 a^2 b^6 c^12 x z-2 b^8 c^12 x z-40 a^6 c^14 x z-64 a^4 b^2 c^14 x z-22 a^2 b^4 c^14 x z-2 b^6 c^14 x z+30 a^4 c^16 x z+34 a^2 b^2 c^16 x z+10 b^4 c^16 x z-12 a^2 c^18 x z-8 b^2 c^18 x z+2 c^20 x z+2 a^16 b^2 c^2 y z-14 a^14 b^4 c^2 y z+34 a^12 b^6 c^2 y z-30 a^10 b^8 c^2 y z-10 a^8 b^10 c^2 y z+38 a^6 b^12 c^2 y z-26 a^4 b^14 c^2 y z+6 a^2 b^16 c^2 y z+4 a^16 c^4 y z-8 a^14 b^2 c^4 y z+2 a^12 b^4 c^4 y z-16 a^10 b^6 c^4 y z+74 a^8 b^8 c^4 y z-104 a^6 b^10 c^4 y z+54 a^4 b^12 c^4 y z-6 b^16 c^4 y z-22 a^14 c^6 y z+12 a^12 b^2 c^6 y z+44 a^10 b^4 c^6 y z-66 a^8 b^6 c^6 y z+66 a^6 b^8 c^6 y z-8 a^4 b^10 c^6 y z-56 a^2 b^12 c^6 y z+30 b^14 c^6 y z+46 a^12 c^8 y z-24 a^10 b^2 c^8 y z-60 a^8 b^4 c^8 y z-26 a^4 b^8 c^8 y z+120 a^2 b^10 c^8 y z-56 b^12 c^8 y z-38 a^10 c^10 y z+72 a^8 b^2 c^10 y z+74 a^6 b^4 c^10 y z+14 a^4 b^6 c^10 y z-116 a^2 b^8 c^10 y z+42 b^10 c^10 y z-10 a^8 c^12 y z-120 a^6 b^2 c^12 y z-70 a^4 b^4 c^12 y z+48 a^2 b^6 c^12 y z+46 a^6 c^14 y z+100 a^4 b^2 c^14 y z+24 a^2 b^4 c^14 y z-14 b^6 c^14 y z-38 a^4 c^16 y z-40 a^2 b^2 c^16 y z+14 a^2 c^18 y z+6 b^2 c^18 y z-2 c^20 y z+a^16 b^4 z^2-4 a^14 b^6 z^2+4 a^12 b^8 z^2+4 a^10 b^10 z^2-10 a^8 b^12 z^2+4 a^6 b^14 z^2+4 a^4 b^16 z^2-4 a^2 b^18 z^2+b^20 z^2-4 a^16 b^2 c^2 z^2+12 a^14 b^4 c^2 z^2-4 a^12 b^6 c^2 z^2-28 a^10 b^8 c^2 z^2+44 a^8 b^10 c^2 z^2-12 a^6 b^12 c^2 z^2-28 a^4 b^14 c^2 z^2+28 a^2 b^16 c^2 z^2-8 b^18 c^2 z^2+14 a^14 b^2 c^4 z^2-34 a^12 b^4 c^4 z^2+34 a^10 b^6 c^4 z^2-22 a^8 b^8 c^4 z^2-14 a^6 b^10 c^4 z^2+66 a^4 b^12 c^4 z^2-66 a^2 b^14 c^4 z^2+22 b^16 c^4 z^2-14 a^12 b^2 c^6 z^2+28 a^10 b^4 c^6 z^2-26 a^8 b^6 c^6 z^2+24 a^6 b^8 c^6 z^2-66 a^4 b^10 c^6 z^2+76 a^2 b^12 c^6 z^2-22 b^14 c^6 z^2+a^12 c^8 z^2+7 a^8 b^4 c^8 z^2+28 a^6 b^6 c^8 z^2+39 a^4 b^8 c^8 z^2-52 a^2 b^10 c^8 z^2-7 b^12 c^8 z^2-6 a^10 c^10 z^2-8 a^8 b^2 c^10 z^2-56 a^6 b^4 c^10 z^2-60 a^4 b^6 c^10 z^2+6 a^2 b^8 c^10 z^2+28 b^10 c^10 z^2+15 a^8 c^12 z^2+46 a^6 b^2 c^12 z^2+92 a^4 b^4 c^12 z^2+54 a^2 b^6 c^12 z^2-7 b^8 c^12 z^2-20 a^6 c^14 z^2-62 a^4 b^2 c^14 z^2-72 a^2 b^4 c^14 z^2-22 b^6 c^14 z^2+15 a^4 c^16 z^2+36 a^2 b^2 c^16 z^2+22 b^4 c^16 z^2-6 a^2 c^18 z^2-8 b^2 c^18 z^2+c^20 z^2 = 0)
con centro:
Cao = (-(a^2+b^2-c^2) (2 a^8+(b^2-c^2)^3 (b^2+2 c^2)-a^6 (7 b^2+3 c^2)+a^4 (9 b^4+3 b^2 c^2-2 c^4)+a^2 (-5 b^6+b^4 c^2-b^2 c^4+5 c^6)) :
b^2 (a^8-b^2 (b^2-c^2)^3+a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^2-c^2)-a^6 (2 b^2+3 c^2)+a^4 (5 b^2 c^2+3 c^4)) :
-c^2 (-a^8-b^2 (b^2-c^2)^3+a^6 (2 b^2+3 c^2)-a^4 (2 b^4+3 b^2 c^2+3 c^4)+a^2 (2 b^6-3 b^4 c^2+c^6))).
Sean Cbo, Abo y Aco, Bco los centros de las correspondientes cónicas, obtenidas procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
La envolvente de la recta B'aP*t es una
cónica,
( 4 a^10 b^4 c^4 x^2-4 a^8 b^6 c^4 x^2-4 a^6 b^8 c^4 x^2+4 a^4 b^10 c^4 x^2-12 a^8 b^4 c^6 x^2+8 a^6 b^6 c^6 x^2+4 a^4 b^8 c^6 x^2+12 a^6 b^4 c^8 x^2-4 a^4 b^6 c^8 x^2-4 a^4 b^4 c^10 x^2-8 a^12 b^4 c^2 x y+40 a^10 b^6 c^2 x y-80 a^8 b^8 c^2 x y+80 a^6 b^10 c^2 x y-40 a^4 b^12 c^2 x y+8 a^2 b^14 c^2 x y+4 a^12 b^2 c^4 x y-4 a^10 b^4 c^4 x y+16 a^8 b^6 c^4 x y-48 a^6 b^8 c^4 x y+44 a^4 b^10 c^4 x y-12 a^2 b^12 c^4 x y-12 a^10 b^2 c^6 x y+24 a^8 b^4 c^6 x y-24 a^6 b^6 c^6 x y+24 a^4 b^8 c^6 x y-12 a^2 b^10 c^6 x y+8 a^8 b^2 c^8 x y-16 a^6 b^4 c^8 x y-32 a^4 b^6 c^8 x y+24 a^2 b^8 c^8 x y+8 a^6 b^2 c^10 x y+16 a^4 b^4 c^10 x y-12 a^4 b^2 c^12 x y-12 a^2 b^4 c^12 x y+4 a^2 b^2 c^14 x y-8 a^14 b^2 c^2 y^2+40 a^12 b^4 c^2 y^2-80 a^10 b^6 c^2 y^2+80 a^8 b^8 c^2 y^2-40 a^6 b^10 c^2 y^2+8 a^4 b^12 c^2 y^2+a^14 c^4 y^2+11 a^12 b^2 c^4 y^2-35 a^10 b^4 c^4 y^2+39 a^8 b^6 c^4 y^2-25 a^6 b^8 c^4 y^2+13 a^4 b^10 c^4 y^2-5 a^2 b^12 c^4 y^2+b^14 c^4 y^2-3 a^12 c^6 y^2+18 a^10 b^2 c^6 y^2-25 a^8 b^4 c^6 y^2+36 a^6 b^6 c^6 y^2-41 a^4 b^8 c^6 y^2+18 a^2 b^10 c^6 y^2-3 b^12 c^6 y^2+a^10 c^8 y^2-35 a^8 b^2 c^8 y^2+30 a^6 b^4 c^8 y^2+30 a^4 b^6 c^8 y^2-19 a^2 b^8 c^8 y^2+b^10 c^8 y^2+5 a^8 c^10 y^2+4 a^6 b^2 c^10 y^2-30 a^4 b^4 c^10 y^2-4 a^2 b^6 c^10 y^2+5 b^8 c^10 y^2-5 a^6 c^12 y^2+21 a^4 b^2 c^12 y^2+21 a^2 b^4 c^12 y^2-5 b^6 c^12 y^2-a^4 c^14 y^2-14 a^2 b^2 c^14 y^2-b^4 c^14 y^2+3 a^2 c^16 y^2+3 b^2 c^16 y^2-c^18 y^2+4 a^12 b^4 c^2 x z-12 a^10 b^6 c^2 x z+8 a^8 b^8 c^2 x z+8 a^6 b^10 c^2 x z-12 a^4 b^12 c^2 x z+4 a^2 b^14 c^2 x z-4 a^10 b^4 c^4 x z+16 a^8 b^6 c^4 x z-24 a^6 b^8 c^4 x z+16 a^4 b^10 c^4 x z-4 a^2 b^12 c^4 x z-8 a^8 b^4 c^6 x z+8 a^6 b^6 c^6 x z+8 a^4 b^8 c^6 x z-8 a^2 b^10 c^6 x z+8 a^6 b^4 c^8 x z-16 a^4 b^6 c^8 x z+8 a^2 b^8 c^8 x z+4 a^4 b^4 c^10 x z+4 a^2 b^6 c^10 x z-4 a^2 b^4 c^12 x z+6 a^14 b^2 c^2 y z-22 a^12 b^4 c^2 y z+26 a^10 b^6 c^2 y z-2 a^8 b^8 c^2 y z-22 a^6 b^10 c^2 y z+22 a^4 b^12 c^2 y z-10 a^2 b^14 c^2 y z+2 b^16 c^2 y z-22 a^12 b^2 c^4 y z+48 a^10 b^4 c^4 y z-26 a^8 b^6 c^4 y z+16 a^6 b^8 c^4 y z-42 a^4 b^10 c^4 y z+32 a^2 b^12 c^4 y z-6 b^14 c^4 y z+22 a^10 b^2 c^6 y z-46 a^8 b^4 c^6 y z+4 a^6 b^6 c^6 y z+44 a^4 b^8 c^6 y z-26 a^2 b^10 c^6 y z+2 b^12 c^6 y z+10 a^8 b^2 c^8 y z+32 a^6 b^4 c^8 y z-36 a^4 b^6 c^8 y z-16 a^2 b^8 c^8 y z+10 b^10 c^8 y z-30 a^6 b^2 c^10 y z-2 a^4 b^4 c^10 y z+34 a^2 b^6 c^10 y z-10 b^8 c^10 y z+14 a^4 b^2 c^12 y z-16 a^2 b^4 c^12 y z-2 b^6 c^12 y z+2 a^2 b^2 c^14 y z+6 b^4 c^14 y z-2 b^2 c^16 y z+a^14 b^4 z^2-5 a^12 b^6 z^2+9 a^10 b^8 z^2-5 a^8 b^10 z^2-5 a^6 b^12 z^2+9 a^4 b^14 z^2-5 a^2 b^16 z^2+b^18 z^2+a^12 b^4 c^2 z^2-2 a^10 b^6 c^2 z^2-5 a^8 b^8 c^2 z^2+20 a^6 b^10 c^2 z^2-25 a^4 b^12 c^2 z^2+14 a^2 b^14 c^2 z^2-3 b^16 c^2 z^2-3 a^10 b^4 c^4 z^2+13 a^8 b^6 c^4 z^2-22 a^6 b^8 c^4 z^2+18 a^4 b^10 c^4 z^2-7 a^2 b^12 c^4 z^2+b^14 c^4 z^2-3 a^8 b^4 c^6 z^2+4 a^6 b^6 c^6 z^2+6 a^4 b^8 c^6 z^2-12 a^2 b^10 c^6 z^2+5 b^12 c^6 z^2+3 a^6 b^4 c^8 z^2-11 a^4 b^6 c^8 z^2+13 a^2 b^8 c^8 z^2-5 b^10 c^8 z^2+3 a^4 b^4 c^10 z^2-2 a^2 b^6 c^10 z^2-b^8 c^10 z^2-a^2 b^4 c^12 z^2+3 b^6 c^12 z^2-b^4 c^14 z^2 = 0)
con centro:
B'ao = ((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (2 a^6-5 a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+2 a^2 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)) :
b^2 (a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) (a^4-2 a^2 b^2+(b^2-c^2)^2) :
c^2 (-a^8-6 a^4 b^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)+2 a^6 (2 b^2+c^2)+a^2 (4 b^6-6 b^4 c^2+4 b^2 c^4-2 c^6))).
La envolvente de la recta C'aP*t es una
cónica,
( 4 a^10 b^4 c^4 x^2-12 a^8 b^6 c^4 x^2+12 a^6 b^8 c^4 x^2-4 a^4 b^10 c^4 x^2-4 a^8 b^4 c^6 x^2+8 a^6 b^6 c^6 x^2-4 a^4 b^8 c^6 x^2-4 a^6 b^4 c^8 x^2+4 a^4 b^6 c^8 x^2+4 a^4 b^4 c^10 x^2+4 a^12 b^2 c^4 x y-4 a^10 b^4 c^4 x y-8 a^8 b^6 c^4 x y+8 a^6 b^8 c^4 x y+4 a^4 b^10 c^4 x y-4 a^2 b^12 c^4 x y-12 a^10 b^2 c^6 x y+16 a^8 b^4 c^6 x y+8 a^6 b^6 c^6 x y-16 a^4 b^8 c^6 x y+4 a^2 b^10 c^6 x y+8 a^8 b^2 c^8 x y-24 a^6 b^4 c^8 x y+8 a^4 b^6 c^8 x y+8 a^2 b^8 c^8 x y+8 a^6 b^2 c^10 x y+16 a^4 b^4 c^10 x y-8 a^2 b^6 c^10 x y-12 a^4 b^2 c^12 x y-4 a^2 b^4 c^12 x y+4 a^2 b^2 c^14 x y+a^14 c^4 y^2+a^12 b^2 c^4 y^2-3 a^10 b^4 c^4 y^2-3 a^8 b^6 c^4 y^2+3 a^6 b^8 c^4 y^2+3 a^4 b^10 c^4 y^2-a^2 b^12 c^4 y^2-b^14 c^4 y^2-5 a^12 c^6 y^2-2 a^10 b^2 c^6 y^2+13 a^8 b^4 c^6 y^2+4 a^6 b^6 c^6 y^2-11 a^4 b^8 c^6 y^2-2 a^2 b^10 c^6 y^2+3 b^12 c^6 y^2+9 a^10 c^8 y^2-5 a^8 b^2 c^8 y^2-22 a^6 b^4 c^8 y^2+6 a^4 b^6 c^8 y^2+13 a^2 b^8 c^8 y^2-b^10 c^8 y^2-5 a^8 c^10 y^2+20 a^6 b^2 c^10 y^2+18 a^4 b^4 c^10 y^2-12 a^2 b^6 c^10 y^2-5 b^8 c^10 y^2-5 a^6 c^12 y^2-25 a^4 b^2 c^12 y^2-7 a^2 b^4 c^12 y^2+5 b^6 c^12 y^2+9 a^4 c^14 y^2+14 a^2 b^2 c^14 y^2+b^4 c^14 y^2-5 a^2 c^16 y^2-3 b^2 c^16 y^2+c^18 y^2+4 a^12 b^4 c^2 x z-12 a^10 b^6 c^2 x z+8 a^8 b^8 c^2 x z+8 a^6 b^10 c^2 x z-12 a^4 b^12 c^2 x z+4 a^2 b^14 c^2 x z-8 a^12 b^2 c^4 x z-4 a^10 b^4 c^4 x z+24 a^8 b^6 c^4 x z-16 a^6 b^8 c^4 x z+16 a^4 b^10 c^4 x z-12 a^2 b^12 c^4 x z+40 a^10 b^2 c^6 x z+16 a^8 b^4 c^6 x z-24 a^6 b^6 c^6 x z-32 a^4 b^8 c^6 x z-80 a^8 b^2 c^8 x z-48 a^6 b^4 c^8 x z+24 a^4 b^6 c^8 x z+24 a^2 b^8 c^8 x z+80 a^6 b^2 c^10 x z+44 a^4 b^4 c^10 x z-12 a^2 b^6 c^10 x z-40 a^4 b^2 c^12 x z-12 a^2 b^4 c^12 x z+8 a^2 b^2 c^14 x z+6 a^14 b^2 c^2 y z-22 a^12 b^4 c^2 y z+22 a^10 b^6 c^2 y z+10 a^8 b^8 c^2 y z-30 a^6 b^10 c^2 y z+14 a^4 b^12 c^2 y z+2 a^2 b^14 c^2 y z-2 b^16 c^2 y z-22 a^12 b^2 c^4 y z+48 a^10 b^4 c^4 y z-46 a^8 b^6 c^4 y z+32 a^6 b^8 c^4 y z-2 a^4 b^10 c^4 y z-16 a^2 b^12 c^4 y z+6 b^14 c^4 y z+26 a^10 b^2 c^6 y z-26 a^8 b^4 c^6 y z+4 a^6 b^6 c^6 y z-36 a^4 b^8 c^6 y z+34 a^2 b^10 c^6 y z-2 b^12 c^6 y z-2 a^8 b^2 c^8 y z+16 a^6 b^4 c^8 y z+44 a^4 b^6 c^8 y z-16 a^2 b^8 c^8 y z-10 b^10 c^8 y z-22 a^6 b^2 c^10 y z-42 a^4 b^4 c^10 y z-26 a^2 b^6 c^10 y z+10 b^8 c^10 y z+22 a^4 b^2 c^12 y z+32 a^2 b^4 c^12 y z+2 b^6 c^12 y z-10 a^2 b^2 c^14 y z-6 b^4 c^14 y z+2 b^2 c^16 y z+a^14 b^4 z^2-3 a^12 b^6 z^2+a^10 b^8 z^2+5 a^8 b^10 z^2-5 a^6 b^12 z^2-a^4 b^14 z^2+3 a^2 b^16 z^2-b^18 z^2-8 a^14 b^2 c^2 z^2+11 a^12 b^4 c^2 z^2+18 a^10 b^6 c^2 z^2-35 a^8 b^8 c^2 z^2+4 a^6 b^10 c^2 z^2+21 a^4 b^12 c^2 z^2-14 a^2 b^14 c^2 z^2+3 b^16 c^2 z^2+40 a^12 b^2 c^4 z^2-35 a^10 b^4 c^4 z^2-25 a^8 b^6 c^4 z^2+30 a^6 b^8 c^4 z^2-30 a^4 b^10 c^4 z^2+21 a^2 b^12 c^4 z^2-b^14 c^4 z^2-80 a^10 b^2 c^6 z^2+39 a^8 b^4 c^6 z^2+36 a^6 b^6 c^6 z^2+30 a^4 b^8 c^6 z^2-4 a^2 b^10 c^6 z^2-5 b^12 c^6 z^2+80 a^8 b^2 c^8 z^2-25 a^6 b^4 c^8 z^2-41 a^4 b^6 c^8 z^2-19 a^2 b^8 c^8 z^2+5 b^10 c^8 z^2-40 a^6 b^2 c^10 z^2+13 a^4 b^4 c^10 z^2+18 a^2 b^6 c^10 z^2+b^8 c^10 z^2+8 a^4 b^2 c^12 z^2-5 a^2 b^4 c^12 z^2-3 b^6 c^12 z^2+b^4 c^14 z^2 = 0)
con centro:
C'ao = ((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (2 a^6-5 a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+2 a^2 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)) :
b^2 (-a^8-6 a^4 c^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)+2 a^6 (b^2+2 c^2)-2 a^2 (b^6-2 b^4 c^2+3 b^2 c^4-2 c^6)) :
c^2 (a^2-b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2) (a^4-2 a^2 c^2+(b^2-c^2)^2)).
Sean C'bo, A'bo y A'co, B'co los centros de las correspondientes cónicas, obtenidas procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC.
Las rectas
B'coC'ao,
C'boA'bo,
A'coB'co forman un triángulo
A'B'C' homotético a
ABC, con centro de homotecia
X(10018), 20th Hatzipolakis-Montesdeoca Point.
A' = (a^8 (b^2+c^2)-4 a^4 b^2 c^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^4-c^4)^2-2 a^6 (b^4+c^4) :
a^10-a^8 (4 b^2+3 c^2)+(b^2-c^2)^3 (2 b^4+b^2 c^2-c^4)+2 a^6 (2 b^4+3 b^2 c^2+c^4)+2 a^4 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)+a^2 (-5 b^8+6 b^6 c^2-4 b^4 c^4+6 b^2 c^6-3 c^8) :
&esmp;
a^10-a^8 (3 b^2+4 c^2)+(b^2-c^2)^3 (b^4-b^2 c^2-2 c^4)+2 a^6 (b^4+3 b^2 c^2+2 c^4)+2 a^4 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6)+a^2 (-3 b^8+6 b^6 c^2-4 b^4 c^4+6 b^2 c^6-5 c^8)).
La razón de homotecia es k= (2 R²-OH²)/(R²+OH²).
23426
Re: O,H, circumcenters, orthognal projections
Antreas Hatzipolakis
May 31, 2016
[APH]:
Let ABC be a triangle.
Denote:
O1,O2, O3 = the circumcenters of OBC,PCA,OAB, resp
O12, O13 = the orthogonal projections of O1 on AC, AB, resp.
O23, O21 = the orthogonal projections of O2 on BA, BC, resp.
O31, O32 = the orthogonal projections of O3 on CB, CA, resp.
M1, M2, M3 = the midpoints of O12O13, O23O21, O31O32, resp.
Oa, Ob, Oc = the circumcenters of HBC, HCA, HAB, resp.
(= the reflections of H in BC,CA,AB, resp.)
Read: the reflections of O (instead of H)
Now, let H1, H2, H3 be the reflections of H in BC, CA, AB, resp.
(on the circumcircle of ABC)
M1M2M3, H1H2H3 are perspective (on the Euler line). Perspector?
The parallels to M1H1, M2H2, M3H3 through the respective vertices of
the orthic triangle are concurrent (onthe Euler line). Point?
[Angel Montesdeoca]:
*** M1M2M3, H1H2H3 are perspective (on the Euler line). Perspector:
((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (2 a^6-5 a^4 (b^2+c^2)+2 a^2 (2 b^4+b^2
c^2+2 c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)): ...: ...) =
X(10018)
with (6-9-13)-search number: 2.2518419821111011922653919104
*** The parallels to M1H1, M2H2, M3H3 through the respective vertices of
the orthic triangle are concurrent (on the Euler line). Point:
((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (2 a^6+a^4 (b^2+c^2)-8 a^2 (b^4-b^2
c^2+c^4)+5 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) : ...:...)
with (6-9-13)-search number: -1.7123887144077175766704389276
Los seis puntos B'ao, C'bo, C'bo, A'bo, A'co, B'co están sobre la cónica:
𝔖abc xyz
(-a^2 + b^2 +
c^2) ((2 b^18 - 13 b^16 c^2 + 35 b^14 c^4 - 47 b^12 c^6 +
23 b^10 c^8 + 23 b^8 c^10 - 47 b^6 c^12 + 35 b^4 c^14 -
13 b^2 c^16 + 2 c^18 + a^16 (b^2 + c^2) +
a^14 (-5 b^4 - 11 b^2 c^2 - 5 c^4) +
a^12 (7 b^6 + 32 b^4 c^2 + 32 b^2 c^4 + 7 c^6) +
a^10 (3 b^8 - 37 b^6 c^2 - 56 b^4 c^4 - 37 b^2 c^6 + 3 c^8) +
a^8 (-15 b^10 + 16 b^8 c^2 + 27 b^6 c^4 + 27 b^4 c^6 +
16 b^2 c^8 - 15 c^10) +
a^6 (9 b^12 + 11 b^10 c^2 - 25 b^8 c^4 + 10 b^6 c^6 -
25 b^4 c^8 + 11 b^2 c^10 + 9 c^12) +
a^4 (5 b^14 - 36 b^12 c^2 + 82 b^10 c^4 - 51 b^8 c^6 -
51 b^6 c^8 + 82 b^4 c^10 - 36 b^2 c^12 + 5 c^14) +
a^2 (-7 b^16 + 37 b^14 c^2 - 90 b^12 c^4 + 139 b^10 c^6 -
158 b^8 c^8 + 139 b^6 c^10 - 90 b^4 c^12 + 37 b^2 c^14 -
7 c^16)) x^2 -
2 (b^18 - 8 b^16 c^2 + 25 b^14 c^4 - 37 b^12 c^6 + 19 b^10 c^8 +
19 b^8 c^10 - 37 b^6 c^12 + 25 b^4 c^14 - 8 b^2 c^16 + c^18 +
a^16 (2 b^2 + 2 c^2) + a^14 (-7 b^4 - 13 b^2 c^2 - 7 c^4) +
a^12 (5 b^6 + 22 b^4 c^2 + 22 b^2 c^4 + 5 c^6) +
a^10 (9 b^8 - 17 b^6 c^2 - 28 b^4 c^4 - 17 b^2 c^6 + 9 c^8) +
a^8 (-15 b^10 + 14 b^8 c^2 + 21 b^6 c^4 + 21 b^4 c^6 +
14 b^2 c^8 - 15 c^10) +
a^6 (3 b^12 + b^10 c^2 - 11 b^8 c^4 + 14 b^6 c^6 - 11 b^4 c^8 +
b^2 c^10 + 3 c^12) +
a^4 (7 b^14 - 30 b^12 c^2 + 44 b^10 c^4 - 21 b^8 c^6 -
21 b^6 c^8 + 44 b^4 c^10 - 30 b^2 c^12 + 7 c^14) +
a^2 (-5 b^16 + 29 b^14 c^2 - 66 b^12 c^4 + 83 b^10 c^6 -
82 b^8 c^8 + 83 b^6 c^10 - 66 b^4 c^12 + 29 b^2 c^14 -
5 c^16)) y z = 0,
cuyo centro es el punto medio de X2 y X24:
W = ( 4 a^10-9 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (b^4+6 b^2 c^2+c^4)+4 a^4 (2 b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+2 c^6)-6 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4+c^4)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-44066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(2.11026735344037, 1.23518049198081, 1.81156997817903).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {2, 24}, {3534, 31725}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {2, 16238}, {8703, 43615}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {343,43586}, {539,33563}, {542,20771}, {800,3163}, {1353,9703}, {5642,14831}, {5892,13394}, {5943,10182}, {6148,39113}, {8780,18917}, {9730,10192}, {11179,23041}, {11449,43595}, {11597,19138}, {16194,23328}, {18475,37648}, {21850,38794}, {22115,41588}, {23324,23515}, {32062,38727}, {34782,43817}, {41628,43572}.
- Sábado, 21 de agosto del 2021
El centro del triángulo X(3057)
El 21 de Agosto del 2012, falleció, a los 65 años, William Paul Thurston, matemático estadounidense
Estas son unas palabras suyas: "No lo hago por el resultado final. La fuerza interior que impulsa a los matemáticos no es la búsqueda de aplicaciones, sino comprender la estructura y la belleza interior de las matemáticas mismas".
Thurston recibió la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos en Varsovia en 1983 por su trabajo en la topología de dos y tres dimensiones.
Las Notas de Thurston [http://www.msri.org/publications/books/gt3m/] son las notas que escribió Thurston para los seminarios que impartió en la Universidad de Princeton (1976-1981) sobre geometría y topología de variedades de dimensión tres.
X3057
Let γ
a be the circle centered at the A-excenter and passing trough the A-intouch point. Define γ
a and γ
a cyclically. The radical center of γ
a, γ
b, γ
c is X(3057). (Randy Hutson, February 10, 2016)
In a triangle ABC, the common internal tangents of the incircle and the A-excircle touch them in four concyclic points. Let Γa be the circle through these touchpoints. Build Γb and Γc cyclically. X(3057) is the radical center of circles Γa, Γb, Γc. (Randy Hutson, June 27, 2018)
Let IaIbIc be the excentral triangle. X(3057) is the radical center of the 2nd Droz-Farny circlesLas circunferencias centradas en los pies de las alturas de un triángulo ABC y que pasan por el circuncentro, cortan a los lados en seis puntos que están en una circunferencia, centrada en el ortocentro, denominada primera circunferencia de Droz-Farny.
Las circunferencias centradas en los puntos medios de los lados de un triángulo ABC y que pasan por el ortocentro, cortan a los lados en seis puntos que están en una circunferencia, centrada en el circuncentro, denominada segunda circunferencia de Droz-Farny.
Las circunferencias de Droz-Farny son congruentes. of triangles A'BC, B'CA, C'AB. (Randy Hutson, June 27, 2018)
Dado un triángulo ABC, con circunferencia circunscrita Γ e incentro I=X1, sean ℳa la A-circunferencia de MannheimLas circunferencias de Mannheim de un triángulo son las tres circunferencias tangentes cada una a dos lados y tangentes interiormente a la circunferencia circunscrita.
La A-circunferencia de Mannheim es la circunferencia inscrita al triangulo mixtilíneo formado por los segmentos AB y AC y el arco BC de la circunferencia circunscrita que no contiene al vértice A.
También reciben el nombre de circunferencias inscritas mixtilíneas ('Mixtilinear Incircles, inarc circles')., Ao su centro y ℓa el eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de Γ y la circunferencia de centro Ao y que pasa por I. Los ejes radicales ℓb y ℓc, se definen cíclicamente.
El tiangulo A'B'C' formado por la rectas ℓa, ℓb, ℓc es pespectivo con ABC, con centro de perspectividad X3057.
Sean Γa la circunferencia que pasa por los puntos de contacto de las tangentes internas comunes a las circunferencias inscrita y A-exinscrita a ABC y Oa su centro.
Sea ra el eje radical de Γa y la circunferencia de centro Ao que por X1.
Las circunferencias Γb, Γc y los ejes radicales rb y rc se definen cíclicamente.
El triángulo formado por las rectas ra, rb,rc es perspectivo con OaObOc, con centro de perspectividad
W = ( a (a^9-9 a^5 b (b-c)^2 c-a^6 b c (b+c)-b (b-c)^4 c (b+c)^3+a^7 (-2 b^2+9 b c-2 c^2)+3 a^4 b c (3 b^3-7 b^2 c-7 b c^2+3 c^3)-a (b^2-c^2)^2 (b^4-b^3 c+12 b^2 c^2-b c^3+c^4)-a^2 b c (7 b^5-5 b^4 c+30 b^3 c^2+30 b^2 c^3-5 b c^4+7 c^5)+a^3 (2 b^6-b^5 c-22 b^4 c^2+58 b^3 c^3-22 b^2 c^4-b c^5+2 c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-440066] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(3.14737297491916, 2.98666262486684, 0.120341291652340).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,3451}, {56,19649}, {1394,1697}.
- Martes, 17 de agosto del 2021
El centro del triángulo X(2052)
a Clara, por su "cumple"
Enlaces relacionados:
ESTE:El centro del triángulo X(2052)
Algo más relativo al X(2052)
Algunas propiedades geométricas que involucran al centro del triángulo X(2052)
Otra construcción del centro del triángulo X(2052)
Dado un triángulo ABC, con circunferencia circunscrita Γ, ortocentro H=X4 y triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). DEF,
la circunferencia tangente a AH en A y que pasa por E vuelve a cortar a Γ en Ab y la
circunferencia tangente a AH en A y que pasa por F vuelve a cortar a Γ en Ac.
A'=BC∩AbAc,
B'=CA∩BcBa,
C'=AB∩CaCb.
Los puntos A', B', C' están alineados en la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. del conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales., X2052, del cuadrado baricéntricoDados dos puntos P y U de coordenadas baricéntricas (p:q:r) y (u:v:w), respectivamente, el punto P×U de coordenadas (pu:qv:rw) es el producto baricéntrico de P y U. Cuando U=P, tememos el cuadrado baricéntrico P².
(Para varias construcciones, ver Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane. §1.2.2. http://bernard-gibert.fr//files/Resources/SITP.pdf#page=6).
El producto baricéntrico de P y U es la imagen de U en la homografía que aplica {A, B, C, G} en {A, B, C, P}, donde G es el baricentro., X577, del circuncentro.
Las rectas AA', BB', CC' forman un triángulo A"B"C" perspectivo con el triángulo órtico.
Las rectas DA", EB", FC" concurren en:
W = ( b^2 c^2 (a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (a^6 (b^2+c^2)+a^4 (-2 b^4+b^2 c^2-2 c^4)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-b^2 c^2 (b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-1.15533135169705, -0.591435591258595, 4.58334974586974).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,35061}, {4,35709}, {6,15352}, {53,2052}, {133,18388}, {235,6530}, {264,1972}, {393,40815}, {1093,6750}, {6528,9308}.
- Sábado, 14 de agosto del 2021
Los puntos X(661) y X(759) de ETC
El 14 de agosto de 1084 el Cid, al mando del ejército de la Taifa de Zaragoza, gobernado por Al-Mu’tamin, vence a la coalición del rey Al-Mundir de Lérida y Sancho Ramírez de Aragón en la Batalla de Morella.
Tras ser desterrado por Alfonso VI, el Cid había pasado al servicio de al-Muqtadir, padre de Al-Mu’tamin.
A al-Mu’tamín se debe la primera formulación conocida del teorema de Ceva, que no sería conocido en Europa hasta 1678 en la obra De lineis rectis del geómetra italiano Giovanni Ceva.
X(661) is the
perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. of the
Stammler hyperbolaLa hipérbola de Stammler de un triángulo es la hipérbola equilátera que pasa por el circuncentro, el incentro y los tres excentros. Su centro es el punto X(110), foco de la parábola de Kiepert. Sus asíntotas cortan a la recta de Euler sobre la circunferencia circunscrita (puntos X1113 y X1114).
Es la hipérbola de Feuerbach del triángulo tangencial.
La ecuación baricéntrica de la hipérbola de Stammler es:
b^4 c^2 x^2 - b^2 c^4 x^2 - a^4 c^2 y^2 + a^2 c^4 y^2 + a^4 b^2 z^2 - a^2 b^4 z^2 = 0 wrt the
excentral triangleEl triángulo excentral del triángulo ABC es el triángulo IaIbIc que tiene por vértices sus excentros.
Baricéntricas: Ia(-a:b:c)..
X(759) is Ψ(X(6), X(661)), i.e. X(759) is the point where the line that passes through X(2) (isogonal conjugateEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. of X(6)) and through the isogonal conjugate of the point of infinity of line X(6)X(661) intersects again at the circumcircle.
Dado un triángulo ABC, se consideran los triángulos isósceles BCBb, BCBc, BCB'c de cúspide B y los triángulos isósceles CBCc, CBCb, CBC'b de cúspide C.
Se consideran los puntos A1=BbBc∩CcCb y A2=BcCb∩B'cC'b
Los puntos Bb, Bc y B'c están sobre la circunferencia de centro B que pasa por C.
Los puntos Cc, Cb y C'b están sobre la circunferencia de centro C que pasa por B.
Los puntos B1, C1 y B2, C2 son definidos cíclicamente.
Las rectas
AA1,
BB1 y
CC1 concurren en X
759.
Las rectas AA2, BB2 y CC2 concurren en X661.
Bb=(-a^2 - b^2 + c^2 : 0 : (a - c) (a + c)),
Bc=(-a : a - c : 0),
B'c=(-a : a + c : 0),
Cc=(-a^2 + b^2 - c^2 : (a - b) (a + b) : 0),
Cb=(-a : 0 : a - b),
C'b=(-a : 0 : a + b).
A1=(a^2 b c+a^3 (b+c)+(b^2-c^2)^2 :-b (a^3+b^3-a c^2-b c^2):-c (a^3-a b^2-b^2 c+c^3)),
A2=({a^2 (b - c) : b (-a^2 + c^2) : c(a^2 - b^2)).
- Viernes, 6 de agosto del 2021
El punto Montesdeoca-Houston del cuadrángulo ABCG
El 6 de agosto 1925 falleció (a los 72 años)
Gregorio Ricci-Curbastro matemático italiano.
En el trabajo "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs aplicaciones", publicado conjuntamente con Tullio Levi-Civita en 1900, Ricci introdujo una exposición sistemática sobre lo que llamó "cálculo diferencial absoluto". Las ideas de Ricci fueron una inspiración importante para Albert Einstein en su trabajo en relatividad general. El tensor de Ricci aparece en las Ecuaciones de Einstein.
QA-P38: Montesdeoca-Hutson Point
QA-P38 is the Perspector of the Reference Quadrangle with the Cyclocevian Quadrangle.
The Cyclocevian Quadrangle CC1.CC2.CC3.CC4 is defined by:
CCi = Cyclocevian Conjugate of Pi wrt Pj.Pk.Pl for all combinations of (i,j,k,l) ∈ (1,2,3,4).
The definition of Cyclocevian Conjugate can be found at
MathWorld.
This point was separately found by Angel Montesdeoca (Hyacinthos message
21075) and Randy Hutson (private mail to author EQF) in the same week (June, 2012).
Construction GeoGebra:
http://amontes.webs.ull.es/geogebra/EQF_QA_Pn.html
Dado un triángulo ABC con baricentro G=X2 y X264 el conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). del circuncentro, sean A1B1C1 el triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0)., A2B2C2 el triángulo de EulerLos vértices del triángulo de Euler son los puntos medios entre los vértices de ABC y el ortocentro de ABC.
El A-vértice es: (2 (b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2):a^4-b^4-2 a^2 c^2+c^4:a^4-2 a^2 b^2+b^4-c^4).
El triángulo antipodal del triángulo órtico, en la circunferencia de Euler, se conoce como segundo triángulo de Euler.
La perpendicular a BC a través del centro de la circunferencia de los nueve puntos corta a ésta en dos puntos A1, A2, con A1 más lejos de A que de A2. Los puntos B1, B2, C1, C2 se construyen de manera similar. A1B1C1 es el tercer triángulo de Euler. A2B2C2 es el cuarto triángulo de Euler (el tercer triángulo de Euler es el complemento del primer triángulo circumperpendicular y el cuarto triángulo de Euler es el complemento del segundo triángulo circumperpendicular).
Los vértices del quinto triángulo de Euler son los otros puntos en los que las medianas cortan a la cirucunferencia de los nueve puntos, a parte de los vértices del triángulo medial.
Los vértices de los cinco triángulos de Euler están sobre la circunferencia de los nueve puntos. Ver C. Kimberling.-Twenty-one points on the nine-point circle, Mathematical Gazette 92 (2008) 29-38.) y A3B3C3 el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de X264.
Se consideran los puntos Ab=AB∩A1B2, Ac=AC∩A1C2 y A' poloDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de la recta AbAc respecto a la circunferencia (X4A1A3). Los polos B' y C' se definen de forma similar, procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC.
Las coordenadas baricéntricas de A' son:
((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (b^2+c^2) : b^6+4 a^2 c^4+b^2 c^4-2 c^6-a^4 (b^2+2 c^2) : 4 a^2 b^4-2 b^6+b^4 c^2+c^6-a^4 (2 b^2+c^2)).
Las rectas
A'A1,
B'B1 y
C'C1 concurren en
X427, complemento del
punto de Exeter El punto de Exeter de un triángulo ABC es el centro de perspectividad entre el triángulo tangencial y el triángulo circunmedial (circunceviano del baricentro). Es el punto X22 de ETC y está en la recta de Euler..
- Miércoles, 4 de agosto del 2021
Reflexiones en los lados de un triángulo
El 4 de agoato de 1874 falleció, a los 63 años de edad, Ludwig Otto Hesse, matemático alemán.
Trabajó en la teoría de invariantes y estudio curvas de tercer y cuarto grado.
La matriz hessiana (matriz cuadrada formada por las segundas derivadas parciales de una función escalar) y la forma normal de Hesse (de una recta, plano o hiperplano) son nombrados en su honor.
Enlaces relacionados:
ESTE: Reflexiones en los lados de un triángulo
Euclid #1935 (Tran Viet Hung, Antreas P. Hatzipolakis)
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean Ab y Ac las proyecciones ortogonales de B y C sobre AC y AB, respectivamente. La recta ℓ'a es la reflexión en BC de la perpendicular, ℓa, por P a la recta AbAc. Las rectas ℓ'b y ℓ'c son definidas cíclicamente.
Las rectas ℓ'
a, ℓ'
b, ℓ'
c concurren si
P está en la
recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
. El punto de concurrencia,
Q, está sobre la recta que pasa por el circunscentro y por el
conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales., X
74, del punto del infinito de la recta de Euler (antipodal del foco de la
parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99.).
Ab = (u((b^2-c^2)u+a^2(u+2v)) : v((b^2-c^2)u+a^2(u+2v)) : -u(c^2(-u+v)+a^2(u+v)-b^2(u+v))),
Ac = (u((-b^2+c^2)u+a^2(u+2 w)) : -u(b^2(-u+w)+a^2 (u+w)-c^2(u+w)) : w((-b^2+c^2)u+a^2(u+2w)).
Y la ecuación de ℓ'a es:
(a^6 (u+v) (v-w) (u+w)+(b^2-c^2)^3 u^2 (u+v+w)-a^4 (c^2 (u^3+u^2 (2 v-w)-2 u w^2-v w (v+w))+b^2 (-u^3+2 u v^2+u^2 (v-2 w)+v w (v+w)))-a^2 (b^2-c^2) u (c^2 (2 u^2+v^2-w^2+u (2 v+w))+b^2 (2 u^2-v^2+w^2+u (v+2 w)))) x -
-a^2 ((b^2-c^2) u+a^2 (u+2 v)) (-b^2 u w+c^2 u (u+w)+a^2 w (u+w)) y +
a^2 (-c^2 u v+b^2 u (u+v)+a^2 v (u+v)) ((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w)) z = 0.
Pares {P:{Xi, Xj}, Q:Xk}, para los índices {{i, j}, k}: {{3, 4}, 3}, {{1113, 1114}, 110}, {{5, 3520}, 5944}, {{25, 376}, 6090}, {{2, 378}, 6800}, {{20, 24}, 11441}, {{21,
7414}, 23059}, {{140, 14865}, 23060}.
Cuando P recorre la recta de Euler, la recta PQ es tangente a la parábola:
𝔖abc xyz
(-b^4+c^4+a^2 (b^2-c^2))^2 (-4 a^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)-4 a^6 (b^2+c^2)^3+(b^2-c^2)^4 (b^4+6 b^2 c^2+c^4)+a^8 (b^4+14 b^2 c^2+c^4)+2 a^4 (3 b^8-8 b^6 c^2+18 b^4 c^4-8 b^2 c^6+3 c^8))x^2-2 (a^2-b^2) (a^2-c^2) (a^16-b^2 c^2 (b^2-c^2)^6-a^14 (b^2+c^2)+15 a^10 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^12 (-7 b^4+15 b^2 c^2-7 c^4)-a^8 (b^2-c^2)^2 (5 b^4+41 b^2 c^2+5 c^4)+a^4 (b^2-c^2)^4 (11 b^4+29 b^2 c^2+11 c^4)-a^2 (b^2-c^2)^4 (3 b^6+13 b^4 c^2+13 b^2 c^4+3 c^6)-a^6 (b^2-c^2)^2 (11 b^6-27 b^4 c^2-27 b^2 c^4+11 c^6))y z = 0,
de foco X1304 (punto de intersección de las circunferencias (AB'C'), (BC'A'), (CA'B'), siendo A', B', C' los puntos de intersección de la recta de Euler con los lados BC, CA, AB, respectivamente. Randy Hutson, Feb. 10, 2016) y directriz la recta que pasa por la reflexión, X107, de su foco en la recta de Euler, y por el foco de la parábola de Kiepert. X110.
Esta parábola pasa por X4, X2777 (punto del infinito del su eje, que es el conjugado isogonal del único punto, X2693=SR(X74,X107) Suppose that P and U are distinct points on the circumcircle of a triangle ABC. Their Simson lines meet in a point X which is called the Rigby-Simson point of P and U, denoted by RS(P,U). That is, RS(P,U) is the orthopole of line PU with respect to triangle ABC.
On the circumcircle, there is a unique point K whose Simson line is perpendicular to line PU, and whose Simson line also passes through RS(P,U). The point K is called the Simson-Rigby point of P and U, denoted by SR(P,U)., sobre la circunferencia circunscrita cuya recta de SimsonLas proyecciones de un punto P de la circunferencia circunscrita a un triángulo sobre los lados de éste están alineadas en una recta que se llama la recta de Simson-Wallace de P respecto al triángulo. es perpendicular a X74X107), X6225, X6759, X35260. Es tangente en el ortocentro a la recta de Euler, cuya recta conjugada (paralela al eje) es la recta X4X74.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Otro caso:
Sean Ab la proyección ortogonal de B sobre CN (N=X5, centro de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
), y Ac la proyección ortogonal de C sobre BN.
Sean A'b la imagen de Ab, mediante la homotecia de centro B y razón k, y A'c la imagen de Ac, mediante la homotecia de centro C y razón k.
Sea ℓ'a la reflexión de la perpendicular por N a A'bA'c; y se definen cíclicamente las rectas ℓ'b y ℓ'c.
Cuando k varía en ℝ, las rectas ℓ'a, ℓ'b y ℓ'c concurren en un punto W.
El lugar geométrico de W es la cónica de ecuación:
𝔖abc xyz
(b^2-c^2) (a^20-7 a^18 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)^2 (2 b^4-b^2 c^2+2 c^4)+a^16 (18 b^4+31 b^2 c^2+18 c^4)-4 a^14 (3 b^6+7 b^4 c^2+7 b^2 c^4+3 c^6)-a^12 (42 b^8+82 b^6 c^2+97 b^4 c^4+82 b^2 c^6+42 c^8)+a^2 (b^2-c^2)^4 (17 b^10+25 b^8 c^2+16 b^6 c^4+16 b^4 c^6+25 b^2 c^8+17 c^10)+a^10 (126 b^10+226 b^8 c^2+269 b^6 c^4+269 b^4 c^6+226 b^2 c^8+126 c^10)-a^4 (b^2-c^2)^2 (63 b^12+68 b^10 c^2+33 b^8 c^4+23 b^6 c^6+33 b^4 c^8+68 b^2 c^10+63 c^12)-a^8 (168 b^12+208 b^10 c^2+191 b^8 c^4+189 b^6 c^6+191 b^4 c^8+208 b^2 c^10+168 c^12)+a^6 (132 b^14+44 b^12 c^2-15 b^10 c^4+b^8 c^6+b^6 c^8-15 b^4 c^10+44 b^2 c^12+132 c^14))x^2 + 2 (b^2-c^2) (a^20-6 a^18 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^8 (b^4+b^2 c^2+c^4)+5 a^16 (3 b^4+5 b^2 c^2+3 c^4)-8 a^2 (b^2-c^2)^6 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)-2 a^14 (11 b^6+23 b^4 c^2+23 b^2 c^4+11 c^6)+a^12 (28 b^8+60 b^6 c^2+71 b^4 c^4+60 b^2 c^6+28 c^8)-2 a^10 (21 b^10+29 b^8 c^2+29 b^6 c^4+29 b^4 c^6+29 b^2 c^8+21 c^10)-2 a^6 (b^2-c^2)^2 (25 b^10+15 b^8 c^2+9 b^6 c^4+9 b^4 c^6+15 b^2 c^8+25 c^10)+a^4 (b^2-c^2)^2 (27 b^12-30 b^10 c^2-2 b^8 c^4+9 b^6 c^6-2 b^4 c^8-30 b^2 c^10+27 c^12)+a^8 (56 b^12+6 b^10 c^2+5 b^6 c^6+6 b^2 c^10+56 c^12))y z = 0,
que pasa por X5, X143, X5944, X6343, X10285, X27683, X27684.
- Martes, 3 de agosto del 2021
La cúbica de Darboux y triángulos circuncevianos
El 3 de agosto de 1917 falleció (a los 67 años) Ferdinand Georg Frobenius, matemático alemán reconocido por sus aportes a la teoría de las ecuaciones diferenciales y a la teoría de grupos. Fue profesor en la Universidad de Berlín. Exigía un nivel muy alto, sospechaba a cada oportunidad que el gobierno trataba de bajar el nivel académico. Se consideraba un profesor cuya obligación era contribuir al conocimiento de las matemáticas puras. La matemática aplicada, en su opinión pertenecía a las escuelas técnicas. El punto de vista de la universidad de Göttingen era muy diferente. El 'Método de Frobenius', que se debe a él, es una forma de hallar una solución expresada como serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de cierto tipo.
Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X3, sean P un punto, no situado sobre sus lados ni sobre su circunferencia circunscrita, y DEF el triángulo circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). de P.
Las rectas AO, BO, CO cortan a los lados EF, FD, DE en los puntos D', E', F', respectivamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
D' = (u (c^2 (a^2-c^2) v-b^4 w+b^2 (a^2 w+c^2 (2 u+v+w))) : -b^2 (-a^2+b^2-c^2) v w : -c^2 (-a^2-b^2+c^2) v w).
Las rectas
DD', EE', FF' son concurrentes (en
Q) si y solo si
P está sobre la
cúbica de Darboux.
Q = a^2 u (-a^6 v w (c^2 v (u + 3 v + w) + b^2 w (u + v + 3 w)) +
a^4 (-c^4 v^2 (u - 2 w) (u + 3 v + w) -
b^4 (u - 2 v) w^2 (u + v + 3 w) +
b^2 c^2 v w (-u^2 - 5 u (v + w) + 2 (v + w)^2)) +
a^2 (c^6 v^2 (2 u - w) (u + 3 v + w) +
b^6 (2 u - v) w^2 (u + v + 3 w) +
b^4 c^2 w (-2 u^2 (v + w) + v (v^2 + v w + 2 w^2) +
u (5 v^2 + 14 v w + 2 w^2)) +
b^2 c^4 v (-2 u^2 (v + w) + w (2 v^2 + v w + w^2) +
u (2 v^2 + 14 v w + 5 w^2))) +
u (-c^8 v^2 (u + 3 v + w) - b^8 w^2 (u + v + 3 w) +
b^2 c^6 v (2 v^2 - v w + w^2 + 3 u (2 v + w)) +
b^6 c^2 w (v^2 - v w + 2 w^2 + 3 u (v + 2 w)) +
b^4 c^4 (v^3 + v^2 w + v w^2 + w^3 +
u (3 v^2 + 10 v w + 3 w^2)))) : ... : ...
Pares {P=Xi, Q=Xj}, para {i, j}: {1, 991}, {3, 3}, {4, 5890}, {64, 34815}.
X991: intersección de las rectas X1X7 y X3X6.
X5890: baricentro del triángulo circunórticoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). .
X34815: centro de la `perspeconic'Let ABC and A'B'C' be two perspective triangles such that neither is inscribed in the other. Let Ab = BC∩A'B', Ac = BC∩A'C', and likewise for Bc, Ba, Ca, and Cb. As ABC and A'B'C' are perspective, the six points lie on a conic, named the perspeconic of ABC and A'B'C'.
de X64 (conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del punto de De LongchampsEl punto de De Longchamps es la reflexión del ortocentro en el circuncentro de un triángulo. Es el ortocentro del triángulo anticomplementario (antimedial).
Se nombra así después que De Longchamps demostrara que es el centro radical de las circunferencias con los vértices de ABC como centros y longitudes de los lados opuestos como radios.
Es el punto X20 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es SBSC-a^2SA.).
- Lunes, 2 de agosto del 2021
El centro del triángulo X(39530)
Un aniversario de importante significado personal
Dado un triángulo ABC, con centro de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
N=X5, sean DEF el triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). y A'B'C' el triángulo de EulerLos vértices del triángulo de Euler son los puntos medios entre los vértices de ABC y el ortocentro de ABC.
El A-vértice es: (2 (b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2):a^4-b^4-2 a^2 c^2+c^4:a^4-2 a^2 b^2+b^4-c^4).
El triángulo antipodal del triángulo órtico, en la circunferencia de Euler, se conoce como segundo triángulo de Euler.
La perpendicular a BC a través del centro de la circunferencia de los nueve puntos corta a ésta en dos puntos A1, A2, con A1 más lejos de A que de A2. Los puntos B1, B2, C1, C2 se construyen de manera similar. A1B1C1 es el tercer triángulo de Euler. A2B2C2 es el cuarto triángulo de Euler (el tercer triángulo de Euler es el complemento del primer triángulo circumperpendicular y el cuarto triángulo de Euler es el complemento del segundo triángulo circumperpendicular).
Los vértices del quinto triángulo de Euler son los otros puntos en los que las medianas cortan a la cirucunferencia de los nueve puntos, a parte de los vértices del triángulo medial.
Los vértices de los cinco triángulos de Euler están sobre la circunferencia de los nueve puntos. Ver C. Kimberling.-Twenty-one points on the nine-point circle, Mathematical Gazette 92 (2008) 29-38.) . Se definen los puntos A"=DN∩B'C', B"=EN∩C'A', C"=FN∩A'B'.
Las coordenadas baricéntricas de A" son:
(a^4 (b^2 - c^2)^2 - (b^2 - c^2)^4 - a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) :
a^6 (b^2 + 2 c^2) + (b^2 - c^2)^3 (b^2 + 2 c^2) -
a^4 (b^4 + b^2 c^2 + 6 c^4) - a^2 (b^6 + 5 b^2 c^4 - 6 c^6) :
a^6 (2 b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^3 (2 b^2 + c^2) -
a^4 (6 b^4 + b^2 c^2 + c^4) - a^2 (-6 b^6 + 5 b^4 c^2 + c^6)).
La ecuación de la recta A'A" es:
(b^2 - c^2) (a^6 - a^2 (b^2 - c^2)^2 -
a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2))x +
(-a^6 (b^2 +
c^2) + (b^2 - c^2)^3 (3 b^2 + c^2) +
a^4 (5 b^4 + 2 b^2 c^2 + c^4) +
a^2 (-7 b^6 + 7 b^4 c^2 - b^2 c^4 + c^6))y
+ (a^6 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^3 (b^2 + 3 c^2) -
a^4 (b^4 + 2 b^2 c^2 + 5 c^4) +
a^2 (-b^6 + b^4 c^2 - 7 b^2 c^4 + 7 c^6))z = 0.
Las rectas
A'A", B'B", C'C" concurren en
X39530.
- Domingo, 1 de agosto del 2021
Las cúbicas K005 y K060
El 1 de agosto de 1744 nació el naturalista francés Jean Baptiste de Monet, quien estudiará la evolución zoológica fundamentándola en el principio de adaptación al medio ambiente y la herencia de caracteres adquiridos. Influirá a Charles Darwin en su teoría de selección natural.
Dados ABC un triángulo y P un punto, sean DEF su triángulo anticevianoEl triángulo anticeviano (o preceviano) del punto P respecto el triángulo ABC es el triángulo PaPbPc tal que ABC es el triángulo ceviano de P respecto PaPbPc. Pa es el conjugado armónico de P, respecto a A y Pa (pie de la ceviana AP).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, Pa(-u:v:w), Pb(u:-v:w), Pc(u:v:-w)., D', E' y F' las reflexiones de D, E y F en los lados BC, CA y AB, respectivamente.
Si P=(u:v:w), en coordenadas baricéntricas:
D' = (a^2 u : (-b^2 + c^2) u + a^2 (-u + v) : (b^2 - c^2) u + a^2 (-u + w)).
Las rectaa
AD', BE', CF' son concurrentes si y solo si
P está sobre la cúbica de Napoleon-Feuerbach (
K005). El punto de concurrencia,
Q, queda sobre
K060.
Cuando P varía sobre K005, la recta PQ pasa por el centro de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
, X5.
Las rectas AX79, BX79, CX79 vuelven a cortar a K060 en los puntos Q correspondientes a los exincentros Ia, Ib, Ic, respectivamente.
Pares {P=Xi, Q=Xj}, para {i, j}: {1, 80}, {4, 4}, {5, 265}, {17, 11600}, {18, 11601}, {54, 1141}, {61, 14}, {62, 13}, {195, 5}, {627, 622}, {628, 621}, {2120, 34304}, {3336, 79}, {3459, 11584}, {3460, 34300}, {3462, 6761}, {3463, 33664}, {3467, 19658}, {3468, 34301}, {3469, 34303}, {3470, 5627}, {3471, 1117}, {3489, 39134}, {3490, 39135}, {7344, 17405}, {7345, 17406}, {8837, 38943}, {8839, 38944}, {8929, 11581}, {8930, 11582}, {38931, 14372}, {38932, 14373}, {38933, 34298}, {38934, 34299}, {38935, 34302}, {39261, 39133}, {39262, 39132}.
- Viernes, 30 de julio del 2021
El complemento del conjugado isogonal del punto de De Longchamps
El 30 de julio de 2007 falleció (a los 89 años) Ingmar Bergman, guionista y director de teatro y cine sueco.
Con la comedia "Sonrisas de una noche de verano", el nombre de Bergman empezó a ser internacionalmente conocido. El cine de Bergman destaca por su gran sentido plástico, casi pictórico, y el aprovechamiento de las posibilidades del blanco y negro. Sus filmes giran en torno de una serie de constantes temáticas, en especial la muerte y el amor, abordados con un tono metafísico y una densidad de diálogos motivada por sus inicios en el teatro. Entre sus películas estan:
‘Un verano con Mónica’ (1953), ‘Sonrisas de una noche de verano’ (1955), ‘El séptimo sello’ (1957), ‘Fresas salvajes’ (1957). ‘El manantial de la doncella’ (1960), ‘La hora del lobo’ (1968) ‘Gritos y susurros’ (1972), ‘Secretos de un matrimonio’ (1974), 'Sonata de otoño' (1978), ‘Fanny y Alexander’ (1982),
Sean ABC un triángulo con ortocentro H=X4 y punto de De LongchampsEl punto de De Longchamps es la reflexión del ortocentro en el circuncentro de un triángulo. Es el ortocentro del triángulo anticomplementario (antimedial).
Se nombra así después que De Longchamps demostrara que es el centro radical de las circunferencias con los vértices de ABC como centros y longitudes de los lados opuestos como radios.
Es el punto X20 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es SBSC-a^2SA. L=X20. La recta AL corta a BH y CH en Ab y Ac, respectivamente. Las paralelas por Ab y Ac a AC y AB se cortan en A1 y cortan a BC en A2 y A3 respectivamente. Sea A' el poloDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de BC respecto a la circunferencia (A1A2A3) (ésta es tangente a (BCH)). Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son simétricos respecto a X
2883,
complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del
conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del punto de De Longchamps.
a^14 (x+y) (x+z)
-a^12 (c^2 (3 x+2 y-2 z) (x+z)+b^2 (x+y) (3 x-2 y+2 z))
-a^10 (b^4 (x+y) (x+5 (2 y+z))+c^4 (x+z) (x+5 (y+2 z))-2 b^2 c^2 (9 x^2+10 x (y+z)+3 (y^2+3 y z+z^2)))
+a^8 (-b^2 c^4 (23 x^2+29 x y+12 y^2+26 x z+20 y z+8 z^2)-b^4 c^2 (23 x^2+26 x y+8 y^2+29 x z+20 y z+12 z^2)+5 b^6 (x+y) (3 x+4 (y+z))+5 c^6 (x+z) (3 x+4 (y+z)))
-a^6 (b^2-c^2) (-5 c^6 (x+z) (5 x+5 y+4 z)+5 b^6 (x+y) (5 x+4 y+5 z)+b^4 c^2 (37 x^2+69 x y+32 y^2+57 x z+53 y z+20 z^2)-b^2 c^4 (37 x^2+57 x y+20 y^2+69 x z+53 y z+32 z^2))
+a^4 (b^2-c^2)^2 (c^6 (x+z) (19 x+14 y+10 z)+b^6 (x+y) (19 x+10 y+14 z)+b^4 c^2 (77 x^2+116 x y+44 y^2+113 x z+82 y z+42 z^2)+b^2 c^4 (77 x^2+113 x y+42 y^2+116 x z+82 y z+44 z^2))
-a^2 (b^2-c^2)^2 (c^8 (x+z) (7 x+3 y+2 z)+b^8 (x+y) (7 x+2 y+3 z)+2 b^2 c^6 (18 x^2+29 x y+9 y^2+23 x z+14 y z+7 z^2)+2 b^6 c^2 (18 x^2+23 x y+7 y^2+29 x z+14 y z+9 z^2)+2 b^4 c^4 (21 x^2+38 x (y+z)+3 (5 y^2+11 y z+5 z^2)))
+(b^2-c^2)^4 x (b^6 (x+y)+c^6 (x+z)+b^2 c^4 (7 x+9 y+6 z)+b^4 c^2 (7 x+6 y+9 z)) = 0.
Su polo de la recta BC es:
A' = (a^10-6 a^6 (b^2-c^2)^2+8 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^4+10 b^2 c^2+3 c^4):
-(a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) (a^6-a^4 (2 b^2+c^2)+(-b^2 c+c^3)^2+a^2 (b^4+4 b^2 c^2-c^4)):
-(a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (a^6-a^4 (b^2+2 c^2)+(b^3-b c^2)^2+a^2 (-b^4+4 b^2 c^2+c^4)).
Las rectas AA', BB', CC' concurren en:
X2883 = ((S^2-2SB SC)(a^2 SB SC +SA (SB^2+SC^2)) Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard). : ... : ...).
- Martes, 27 de julio del 2021
Varias construcciones de la cónica descrita en Hyacinthos #28625
El 27 de julio de 1844 falleció en Manchester (a los 77 años) John Dalton, químico y matemático inglés, estudioso de la enfermedad de la visión que padecía, defecto genético consistente en la imposibilidad de distinguir los colores, conocida también como acromatopsia y más tarde llamada daltonismo en su honor.
Hyacinthos 28625 (Alexandr Skutin and Ercole Suppa, Nov 12, 2018)
[Alexandr Skutin]:
Let ABC be a triangle and
P a point on the Euler line,
ℰ.
Denote:
Ka, Kb, Kc = the symmedian points of PBC, PCA, PAB, resp.
The reflections of PKa,, PKb, PKc in BC, CA, AB, resp. are concurrent.
The point of concurrence, as P moves on the Euler line ℰ, is a conic, 𝒞.
[Ercole Suppa]:
The locus of the point of conurrence, Q=σ(P), is the conic 𝒞:
𝔖abc xyz
b^4 (b-c)^4 c^4 (b+c)^4 (a^2-b^2-c^2) x^2+2 a^6 (a-b)^2 b^2 (a+b)^2 (a-c)^2 c^2 (a+c)^2 y z = 0.
*** center of 𝒞:
Z = X(2)X(98) ∩ X(3)X(7731)
*** the perspector of 𝒞:
W = X(110)X(9514) ∩ X(5012)X(5661)
Another construction of this conic (Randy Hutson, August 19, 2019)
Let P be a point on the Euler line ℰ. Let A'B'C' be the cevian triangle of P. Let A", B", C" be the circumcircle-inverses of A', B', C', resp. Triangle A"B"C" is perspective to ABC, and the locus of the perspector Q=σ(P), as P moves on the Euler line ℰ, is the conic 𝒞, with center X(27866) and perspector X(27867). This conic passes through X(i) for i ∈ {3, 6, 24, 60, 143, 1511, 1986}∪{6593, 15460, 15461, 19118, 20806, 35602, 35603, 36153}.
Sean ABC un triángulo con ortocentro H=X4 y U un punto en su plano, no situado sobre los lados de ABC. La recta AU corta a BH y a CH en Ab y Ac, respectivamente. Las paralelas por Ab y Ac a AC y AB se cortan en A1. La recta HA1 vuelve a cortar a al circunferencia (HBC) en Ta.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de U, entonces:
Ta = (a^2 v w : -a^2 v w + c^2 v (v + w) : -a^2 v w + b^2 w (v + w)).
Los puntos Tb y Tc se determinan cíclicamente.
Las rectas ATa, BTb y CTc son concurrentes, en un punto V, si y solo si U está sobre la recta del infinito o sobre la hipérbola de Jerabek.
Si U está sobre la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}, ℱ, el punto de concurrencias, V:=δ(U), está sobre la
cuártica,
( (-a^10+3 a^8 b^2-2 a^6 b^4-2 a^4 b^6+3 a^2 b^8-b^10+a^8 c^2-4 a^6 b^2 c^2+6 a^4 b^4 c^2-4 a^2 b^6 c^2+b^8 c^2) x^2 y^2+(2 a^10-4 a^8 b^2+2 a^6 b^4-4 a^8 c^2+8 a^6 b^2 c^2-4 a^4 b^4 c^2+2 a^6 c^4-4 a^4 b^2 c^4+2 a^2 b^4 c^4) x^2 y z+(2 a^4 b^6-4 a^2 b^8+2 b^10-4 a^4 b^4 c^2+8 a^2 b^6 c^2-4 b^8 c^2+2 a^4 b^2 c^4-4 a^2 b^4 c^4+2 b^6 c^4) x y^2 z+(-a^10+a^8 b^2+3 a^8 c^2-4 a^6 b^2 c^2-2 a^6 c^4+6 a^4 b^2 c^4-2 a^4 c^6-4 a^2 b^2 c^6+3 a^2 c^8+b^2 c^8-c^10) x^2 z^2+(2 a^4 b^4 c^2-4 a^4 b^2 c^4-4 a^2 b^4 c^4+2 a^4 c^6+8 a^2 b^2 c^6+2 b^4 c^6-4 a^2 c^8-4 b^2 c^8+2 c^10) x y z^2+(a^2 b^8-b^10-4 a^2 b^6 c^2+3 b^8 c^2+6 a^2 b^4 c^4-2 b^6 c^4-4 a^2 b^2 c^6-2 b^4 c^6+a^2 c^8+3 b^2 c^8-c^10) y^2 z^2 = 0)
𝒬, conjugada isogonal de la
cónica
( b^2 c^2 ( b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 (-a^2+b^2+c^2)x^2-2 a^6 (a^2-b^2)^2 (a^2-c^2)^2 y z) = 0)
𝒞 (descrita en Hyacinthos 28625).
Si U=P*, conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de un punto P sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
, ℰ, entonces V es el conjugado isogonal de Q:=σ(P) (donde σ es la correspondencia entre la recta de Euler, ℰ, y la cónica 𝒞 descrita en Hyacinthos 28625). Es decir, se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
Los puntos A, B, C son puntos dobles de la cuártica 𝒬, que pasa por Xk, para k∈ {2, 4, 12, 68, 252, 1312, 1313, 5627, 6340, 6526, 10415, 12028, 13853, 13854, 32132, 32133, 34110}.
Cuando U varía sobre la recta del infinito, el lugar geométrico del punto de intersección, V, de las rectas ATa, BTb y CTc es la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
. La envolvente de la recta UV es la deltoide de Steiner (envolvente de las rectas de SimsonLas proyecciones de un punto P de la circunferencia circunscrita a un triángulo sobre los lados de éste están alineadas en una recta que se llama la recta de Simson-Wallace de P respecto al triángulo.).
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Sea ta la tangente a (HBC) en Ta. Se toman, cíclicamente, las tangentes tb y tc.
Las rectas ta, tb y tc son paralelas si sólo si U está en la recta del infinito.
Las rectas ta, tb y tc son concurrentes si sólo si U está sobre la quíntica de ecuación:
𝔖abc xyz
y z (2 b^2 c^2 (-a^2+b^2+c^2) x^3-a^2 (-b^4+2 b^2 c^2-c^4+a^2 (b^2+c^2)) x y z-a^2 (b^2-c^2) y z ((a^2-b^2+c^2) y+(-a^2-b^2+c^2) z)) = 0,
que tiene cuatro puntos dobles: A, B, C (nodales) y H (acnodal). Pasa por los pies de las alturas.
Sea A'B'C' el triángulo formado por estas tres tangentes, es decir A'=tb∩tc, B'=tc∩ta y C'=ta∩tb.
A' = (a^2 (-c^2 v^2+b^2 (u+v)^2) (b^2 w^2-c^2 (u+w)^2)+b^2 c^2 u^2 (u+v+w) (b^2 (u+v-w)+c^2 (u-v+w)):
-b^2 (c^4 u^2 v^2+a^2 b^2 (u+v)^2 w^2-c^2 (b^2 u^2+a^2 v^2) w^2):
-c^2 (b^2 u^2 (-c^2 v^2+b^2 w^2)+a^2 v^2 (-b^2 w^2+c^2 (u+w)^2))).
Los triangulos ABC y A'B'C' son perspectivos.
Las coordenadas del centro de perspectividad, W := τ(U), son:
W = (a^2/(a^4 v^2 w^2 - a^2 u^2 (c^2 v^2 + b^2 w^2) + b^2 c^2 u^2 (v + w)^2) : ... : ...).
Si U está en la circunferencia circunscrita, también W=τ(U) está sobre esta circunferencia. Se denota por U' y W' los puntos diametralmente opuestos a U y a W, respectivamente. Sean U*, U'*, W*, W'* sus conjugados isogonales (en la recta del infinito). Se tiene que:
W = τ(U) = τ(U'), W'* = τ(U*) = τ(U'*).
En este caso, W es el punto Simson-Rigby Suppose that P and U are distinct points on the circumcircle of a triangle ABC. Their Simson lines meet in a point X which is called the Rigby-Simson point of P and U, denoted by RS(P,U). That is, RS(P,U) is the orthopole of line PU with respect to triangle ABC.
On the circumcircle, there is a unique point K whose Simson line is perpendicular to line PU, and whose Simson line also passes through RS(P,U). The point K is called the Simson-Rigby point of P and U, denoted by SR(P,U). SR(U,U') (único punto sobre la circunferencia circunscrita tal que su recta de SimsonLas proyecciones de un punto P de la circunferencia circunscrita a un triángulo sobre los lados de éste están alineadas en una recta que se llama la recta de Simson-Wallace de P respecto al triángulo. sW es perpendicular a UU'), es la reflexión de H en el punto punto Rigby-Simson Suppose that P and U are distinct points on the circumcircle of a triangle ABC. Their Simson lines meet in a point X which is called the Rigby-Simson point of P and U, denoted by RS(P,U). That is, RS(P,U) is the orthopole of line PU with respect to triangle ABC.
On the circumcircle, there is a unique point K whose Simson line is perpendicular to line PU, and whose Simson line also passes through RS(P,U). The point K is called the Simson-Rigby point of P and U, denoted by SR(P,U). RS(U,U') (intersección de las rectas de Simson de U y U', que por ser diametralmente opuestos, está en la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
).
Algunos pares de puntos {Xi, Xj} con el mismo centro de perspectividad Xk, de ABC y A'B'C'.
{{i,j},k}: {{1676, 1677}, 32}, {{1, 84}, 56}, {{1113, 1114},
74}, {{1379, 1380}, 98}, {{1381, 1382}, 104}, {{74, 110},
477}, {{3413, 3414}, 512}, {{3307, 3308}, 513}, {{2574, 2575},
523}, {{30, 523}, 526}, {{511, 512}, 804}, {{513, 517},
900}, {{514, 516}, 926}, {{100, 104}, 953}, {{98, 99},
2698}, {{101, 103}, 2724}, {{102, 109}, 2734}, {{525, 1503},
2881}, {{518, 3309}, 6084}, {{519, 3667}, 6085}, {{520, 6000},
6086}, {{521, 6001}, 6087}, {{524, 1499}, 6088}, {{758, 6003},
6089}, {{111, 1296}, 6093}, {{515, 522}, 8677}, {{54, 16835},
11815}, {{930, 1141}, 15907}, {{476, 477}, 16169}, {{526, 5663},
16171}, {{80}, 17101}, {{542, 690}, 20403}, {{1154, 1510},
25149}, {{105, 1292}, 28914}, {{2800, 3738}, 35013}.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son
ortológicosDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. si solo si
U está sobre la la quíntica
Q038, del catálogo de Bernard Gibert.
El lugar geométrico del centro ortológico, Z, de ABC respecto a A'B'C' es la curva bicircular de grado 10, Q106.
Q038 (Bernard Gibert)
Is an quintic with three real asymptotes parallel to those of the
McCay cubic.
It has four double points namely A, B, C (with perpendicular nodal tangents) and H (with nodal tangents parallel to the asymptotes of the
Jerabek hyperbola Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}).
The tangents at Ha, Hb, Hc (feet of altitudes) concur at X(5), the nine-point center.
Q106 (Bernard Gibert)
Q106 is related to
Q023, see locus property 3.
Q106 is a bicircular curve of degree 10. It has 6 real asymptotes namely the parallels at X(5562) to the cevian lines of O and the parallels at X(5) to the asymptotes of the McCay cubic.
Q106 meets the circumcircle (O) at 20 points namely the vertices of ABC (each counting for 4), the circular points at infinity (each counting for 2), X(953) and its extraversions labelled X953a, X953b, X953c.
The orthocenter H = X(4) is a quadruple point on the curve. Q106 has 8 other double points namely :
- the circumcenter O = X(3) with nodal tangents parallel to the asymptotes of the Jerabek hyperbola,
- X(265)
- the reflections A', B', C' of O in the sidelines of ABC or equivalently the reflections of A, B, C about X(5),
- A1, B1, C1 on the cevian lines of X(143).
- Viernes, 23 de julio del 2021
Imagen del circuncentro mediante ψ-Kimberling colineaciones
El 23 de julio de 1912 nació Rafael Artzy, quién participó activamente en el movimiento zionista con anterioridad a 1933. No pudo finalizar su tesis con Kurt Reidemeister en Königsberg debido al cese de este en 1933. Emigró a Palestina, y residió temporalmente en EE.UU, y finalmente estableció su residencia en Haifa (Israel).
A finales de la década de 1970 fundó una conferencia de geometría en Haifa, que se celebró cada cuatro años hasta finales de la década de 1990. Editó junto a Izu Vaisman las actas Geometría y geometría diferencial celebradas en 1979.
El réferi en Mathematical Reviews, MR0188842 (32 #6274), de su "Geometría lineal" (1965) está escrito por H. S. M. Coxeter.
The psi-Kimberling collineation
Definition 14.7.1. The psi-Kimberling collineation of pole P is the collineation ψ
p such that ABC → cevian(P) and X
1 → P.
ψp(U)= P× c(X÷X1) = a(v/b+w/c): :
Sean ABC un triángulo con incentro I=X1, circuncentro O=X3 y P un punto sobre una recta ℓ que pasa por O. La imagen de P'=ψp(O), mediante la ψ-Kimberlings colineaciónLa ψ-Kimberling colineación de polo P es la homografía ψp que aplica ABC ↦ triángulo ceviano de P y X1↦P. ψp(X)= P× c(X÷X1), producto baricéntrico de P y el complemento del cociente baricéntrico de X y el incentro.
ψp(x:y:z)=(a u (c y + b z) : b v (c x + a z) : c w (b x + a y)), donde (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
ψp-1(X)= X1× a(X÷P) = (a (-q r u + p r v + p q w) : b (q r u - p r v + p q w) : c (q r u + p r v - p q w)). está sobre una rectas ℓ' que pasa por X37, polo de IO respecto a la cónica circunscrita que pasa por I y O.
Si la recta ℓ corta a BC en (0:1:τ), la recta ℓ' corta a este lado en (0:1:τ')=(0 : -(a + b - c) (a + c) : -(a + b) (a - b + c)τ), por lo que τ↦τ' es una proyectividad. Entonces, el lugar geométrico del punto, L, de intersección de las rectas ℓ y ℓ', cuando la primera gira alrededor de O, es un cónica que pasa por X3 y X37 (puntos bases de los haces de rectas): se trata de la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
La correspondencia P∈ℓ↦P'∈ℓ' es una proyectividad, y la envolvente de las recta PP' es una cónica inscrita en ABC, tangente a ℓ y a ℓ'. Si la recta ℓ corta a BC en (0:1:τ), la ecuación de esta cónica es:
𝒞ℓ: 𝔖abc xyz
(a-b-c)^2 (b-c)^2 (-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4+a^2 b^2 τ-b^4 τ+b^2 c^2 τ)^2x^2-2 a^4 (a-b) (a-c) (a+b-c) (a-b+c) (a^2-b^2-c^2)^2 τy z = 0.
El lugar geométrico de los puntos de tangencia de ℓ con 𝒞ℓ, cuando ℓ gira alrededor de O, es la cónica circunscrita que pasa por I, O. Su centro es X38983.
El lugar geométrico del centro Q de la cónica 𝒞ℓ es la recta,
𝓅:
(a^8 - a^7 (b + c) +
a^6 (-2 b^2 + 3 b c - 2 c^2) + a^5 (3 b^3 - b^2 c - b c^2 + 3 c^3)+ a^4 b c (-5 b^2 + 8 b c - 5 c^2) -
a^3 (b - c)^2 (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3) +
a^2 (b - c)^2 (2 b^4 + 5 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 5 b c^3 + 2 c^4) +
a (b - c)^2 (b^5 - b^4 c - 4 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 - b c^4 + c^5)- (b - c)^4 (b + c)^2 (b^2 + b c +
c^2) - (b - c)^4 (b + c)^2 (b^2 + b c +
c^2) )x + ... =0.
Contiene a los centros del triángulo X6718, cuando ℓ pasa por el punto de SpiekerEl punto de Spieker de un triángulo es el incentro de su triángulo medial, centro radical de las circunferencia exincritas. Es el punto X10 de ETC. y X24025, cuando ℓ es IO; en este caso la cónica 𝒞IO es cuadrado trilineal de IO.
El lugar geométrico del perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. R de 𝒞ℓ es el conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). del anticomplementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. de 𝓅, la cónica circunscrita de perspector X1813, tripolo de la recta X3X37.
- Martes, 20 de julio del 2021
El inverso en la circunferencia inscrita del inverso del incentro en la circunferencia circunscrita
El 20 de julio de 1822 nació Gregor Mendel en la actual República Checa. Fue un fraile y naturalista. Formuló, por medio de los trabajos que llevó a cabo con diferentes variedades del guisante, las hoy llamadas leyes de Mendel que dieron origen a la herencia genética.
Radical center on OI line (excenters)
(Antreas Hatzipolakis)
Let ABC be a triangle.
Let A*, B*, C* be points on IIa, IIb, IIc, resp. such that
IA*/IIa = IB*/IIb = IC*/IIc = t
(Ka), (Kb), (Kc) = the circles (I, IA*), (I, IB*), (I, IC*), resp.
(K1), (K2), (K3) = the reflections of (Ka), (Kb), (Kc) in BC, CA, AB, resp.
The radical center of (K1), (K2), (K3) lies on the OI line.
Sea ABC un triángulo con circuncentro O=X3, incentro I=X1 y exincentrosLos exincentros son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo. Las circunferencias con centros en los exincentros y tangentes a los lados del triángulo, se denominan circunferencias exinscritas. Ia, Ib, Ic.
Se toman los puntos P, D, E, F sobre IO, IIa, IIb, IIc, respectivamente, tales que:
IP/PO = ID/DIa = IE/EIb = IF/FIc = t.
Γa es la circunferencia simétrica, respecto a BC, de la circunferencia de centro I y radio ID,
Γb es la circunferencia simétrica, respecto a CA, de la circunferencia de centro I y radio IE,
Γc es la circunferencia simétrica, respecto a AB, de la circunferencia de centro I y radio IF.
Estas circunferencias degeneran cuando P es el incentro o el punto del infinito de la recta IO (t=0, t=-1).
El centro radicalEl centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ., Q=f(P), de las circunferencias Γa, Γb, Γc está sobre la recta IO y satisface a:
IQ/QO = 4abct^2/(a^3(1+t)^2-a^2(b+c)(1+t)^2-a(b^2(1+t)^2+c^2(1+t)^2+2bc(-1-2t+t^2))+(b-c)^2(b+c)(1+t)^2).
Si P' es la reflexión de P en I, entonces f(P)=f(P').
Algunos pares {(P=Xi, P'=Xj), f(P)=Xk}, para {(i, j), k}:
{(3, 1482), 37531}, {(65, 3057), 5903}, {(942, 9957), 942}, {(2446, 2447), 36}, {(34561, *), 5049}.
X942 es el único punto P sobre IO para el que P=f(P).
Corresponde al valor de t= (b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)/(a^3-a^2 (b+c)-a(b+c)^2+(b-c)^2 (b+c)).
X942 es el inverso en la circunferencia inscrita del inverso del incentro en la circunferencia circunscrita de ABC.
- Miércoles, 14 de julio del 2021
El centro del triángulo X(34) como tripolo de un eje de perspectividad
El 14 de julio de 1800 falleció, a los 50 años de edad, Lorenzo Mascheroni, matemático italiano. En su libro "Geometria del Compás" (1797, publicado en verso y dedicado a Napoleón Bonaparte) probó que cualquier construcción geométrica que pueda ser hecha con regla y compás, puede ser hecha únicamente con compás; aunque el primero en probar este resultado fue el danés Georg Mohr, quien publicó sus investigaciones en 1672.
X34
= X(4)-
beth conjugateSean ABC un triángulo, P un punto, DEF el triángulo ceviano de P respecto a ABC, ψp la homografía (colineación) que transforma ABC en DEF y lleva el incentro (I=X1) en P, y sO la simetría respecto al circuncentro, entonces (ψp∘sO∘ψp-1)(X) es el P-bet conjugado de X (P-ב conjugado de X).
Es la homología armónica de centro ψp(O) y eje ψp(ℒ∞).
Ver Collineations, Conjugacies, and Cubics, Clark Kimberling y
Translation of the Kimberling's Glossary into barycentrics, Pierre L. Douillet.
En coordenadas baricéntricas, si P=(p:q:r), (x:y:z) ↦ ((a^2-(b-c)^2) p (a^2 q r x-(b^2-c^2) p (r y-q z)-a (b+c) (q r x-p r y-p q z)) : : ) of X(4)
X(34) is the center of perspective of the
orthic triangleLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). and the reflection in the incenter of the
intangents triangleEl triángulo intangencial de ABC es el triángulo formado por las tangentes interiores comunes a la circunferencia inscrita y las circunferencias exinscritas que no son los lados.
Sea da la reflexión de BC en la bisectriz interior en A, y se definen db y dc cíclicamente. El triángulo intangencial es el formado por las rectas da, db y dc..
X(34) is the {X(1),X(4)}-harmonic conjugate of X(33) (X(33) = perspector of the orthic and intangents triangles).
Sea ABC un triángulo con incentro I=X1, circuncentro O=X3, ortocentro H=X4 y triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). MaMbMc.
Oab es el punto de intersección de la mediatriz a AB con la perpendicular a la bisectriz en B.
Oac es el punto de intersección de la mediatriz a AC con a la perpendicular a la bisectriz en C.
Ab es el simétrico de B respecto a la recta MaOab, Ac es el simétrico de C respecto a la recta MaOac y A' = BAc∩CAb (que está sobre la bisectriz en A).
Los puntos B' y C' se define cíclicamente.
El
tripoloEl polo trilineal (o tripolo ) de una recta p, respecto a un triángulo ABC, es el punto tal que su tripolar es p. Si A''=p∩BC, B''=p∩CA y C''=p∩AB, sea A' el conjugado armónico de A'' respecto a B y C; B' y C' se definen similarmente. Las rectas AA', BB' y CC' concurren el tripolo P de p.
Si ux+vy+wz=0 es la ecuación baricéntrica de p, las coordenadas de P son (vw:wu:uv).
The trilinear pole of a line PU is the perspector of ABC and the vertex-triangle of the anticevian triangles of P and U. (Randy Hutson, April 9, 2016) del
eje de perspectividadDos triángulos ABC y DEF son perspectivos (o están en pespectiva) si las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto (centro de perspectividad o 'perspector'). Entonces (Teoerema de Desargues), los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan sobre una misma recta (eje de perspectividad o 'perspectriz').
Tres triángulos T1, T2, T3 forma una terna de triángulos perspectivos si Ti y Tj son perspectivos, para i,j =1,2,3; i≠j. de
ABC y
A'B'C' es X
34.
A' = (2 a b c : b (-a^2 + b^2 + c^2) : c (-a^2 + b^2 + c^2)),
y el eje de perspectividad de ABC y A'B'C' es:
b c (-a + b + c) (-a^2 + b^2 + c^2)x + a c (a - b + c) (a^2 - b^2 +
c^2)y + a b (a + b - c) (a^2 + b^2 - c^2)z = 0.
Como X4-bet conjugadoSean ABC un triángulo, P un punto, DEF el triángulo ceviano de P respecto a ABC, ψp la homografía (colineación) que transforma ABC en DEF y lleva el incentro (I=X1) en P, y sO la simetría respecto al circuncentro, entonces (ψp∘sO∘ψp-1)(X) es el P-bet conjugado de X (P-ב conjugado de X).
Es la homología armónica de centro ψp(O) y eje ψp(ℒ∞).
Ver Collineations, Conjugacies, and Cubics, Clark Kimberling y
Translation of the Kimberling's Glossary into barycentrics, Pierre L. Douillet.
En coordenadas baricéntricas, si P=(p:q:r), (x:y:z) ↦ ((a^2-(b-c)^2) p (a^2 q r x-(b^2-c^2) p (r y-q z)-a (b+c) (q r x-p r y-p q z)) : : ) de X4, X34 es la imagen de X4 mediante la homología armónica de centro X225 (cociente cevianoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). de X4 y el ortocentro del triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
y que es la imagen de X3 mediante la psi-Kimberling colineaciónLa ψ-Kimberling colineación de polo P es la homografía ψp que aplica ABC ↦ triángulo ceviano de P y X1↦P. ψp(X)= P× c(X÷X1), producto baricéntrico de P y el complemento del cociente baricéntrico de X y el incentro.
ψp(x:y:z)=(a u (c y + b z) : b v (c x + a z) : c w (b x + a y)), donde (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
ψp-1(X)= X1× a(X÷P) = (a (-q r u + p r v + p q w) : b (q r u - p r v + p q w) : c (q r u + p r v - p q w)). de polo X4) y eje la polarDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. del punto de NagelEn todo triángulo las rectas que unen sus vértices con los puntos de contacto de las circunferencias exinscritas y los lados opuestos a dichos vértices son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina punto de Nagel . Es el X8 en ETC. con respecto a la circunferencia polarLa circunferencia polar de un triángulo ABC es la que respecto ella cada vértice es el polo de lado opuesto. Es real cuando ABC es obtusángulo. Su centro es el ortocentro y pasa por los puntos de intersección de las circunferencias circunscrita y la de los nueve puntos.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2=0.
.
- Martes, 6 de julio del 2021
Rectas perpendiculares cortando a los lados de un triángulo
El 6 de julio de 1907, nació Frida Kahlo, pintora mexicana. Su obra gira temáticamente en torno a su biografía y a su propio sufrimiento. La obra de Frida y la de su marido, el pintor Diego Rivera, se influyeron mutuamente. Ambos compartieron el gusto por el arte popular mexicano de raíces indígenas, inspirando a otros pintores mexicanos del periodo pos-revolucionario.
Problema 1005 (TriangulosCabri. Ricardo Barroso)
Sea ABC un triángulo, P un punto del plano y c una circunferencia con centro en P. Se consideran r1 , r2 diámetros perpendiculares de c, los puntos A1, A2 intersecciones respectivas de tales diámetros con los lados (o sus prolongaciones) que parten del vértice A y los puntos B1,B2 intersecciones respectivas de tales diámetros con los lados (o sus prolongaciones) que parten del vértice B.
Hallar el lugar geométrico de los puntos X intersección de las rectas A1A2 y B1,B2
Propuesto por Antonio Casas Pérez, profesor jubilado del Departamento de Matemática Aplicada al Urbanismo, a la Edificación y al Medio Ambiente, Universidad Politécnica de Madrid
El lugar geométrico pedido es la cónica 𝒞c, Ver más abajo.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea A'B'C' su triángulo anticevianoEl triángulo anticeviano (o preceviano) del punto P respecto el triángulo ABC es el triángulo PaPbPc tal que ABC es el triángulo ceviano de P respecto PaPbPc. Pa es el conjugado armónico de P, respecto a A y Pa (pie de la ceviana AP).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, Pa(-u:v:w), Pb(u:-v:w), Pc(u:v:-w).. Se toman dos rectas perpendiculares ℓ1 y ℓ2 por P. Estas rectas cortan a los lados BC, CA, AB en los puntos A1 y A2, B1 y B2, C1 y C2, respectivamente. Las rectas determinadas por estos seis puntos se cortan en los siguientes puntos:
Ab=A1C2∩A2C1, Ac=A1B2∩A2B1, Abc=A1C2∩A2B1, Acb=A1B2∩A2C1,
Bc=B2A1∩B1A2, Ba=B2C1∩B1C2, Bca=B2A1∩B1C2, Bac=B2C1∩B1A2,
Ca=C2B1∩C1B2, Cb=C2A1∩C1A2, Cab=C1B2∩C2A1, Cba=C1A2∩C2B1.
Ba = Ca, Cb = Ab y Ac = Bc quedan sobre los lados B'C', C'A' y A'B' del triángulo anticeviano de P, respectivamente.
Cuando las rectas ℓ1 y ℓ2 giran alrededor de P, los puntos Abc
y Acb están en una cónica, 𝒞a, que pasa por B y C. Las tangentes en estos puntos se cortan en Ta (poloDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de BC). Su centro se denota por Ao.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
𝒞a: v w (u (b^2 (u+v-w)+c^2 (u-v+w))-a^2 (u^2+2 v w+u (v+w)))x^2 +
u^2 (u (b^2 (u+v-w)+c^2 (u-v+w))-a^2 (u^2+2 v w+u (v+w)))y z-2 u w(-c^2 u v+b^2 u (u+v)+a^2 v (u+v))z x-2 u v (-b^2 u w+c^2 u (u+w)+a^2 w (u+w))x y = 0.
Ta = (u (-u (b^2 (u+v-w)+c^2 (u-v+w))+a^2 (u^2+2 v w+u (v+w))) :
-2 (-c^2 u v+b^2 u (u+v)+a^2 v (u+v)) w : -2 v (-b^2 u w+c^2 u (u+w)+a^2 w (u+w))).
Ao = (u ((-b^2-c^2) u^2+a^2 (u^2-2 v w)) (-u (b^2 (u+v-w)+c^2 (u-v+w))+a^2 (u^2+2 v w+u (v+w))) :
2 w (a^4 v (u^2+2 u v+2 v^2) w-a^2 u (c^2 v (u v+2 u w+2 v w)+b^2 (u^3+2 u^2 v+u v^2-2 v^2 w))+u^2 (c^4 v (v+w)+b^2 c^2 (u^2-2 u v-2 v (v+w))+b^4 (u^2+2 u v+v (v+w)))), :
2 v (a^4 v w (u^2+2 u w+2 w^2)-a^2 u (b^2 w (2 u v+u w+2 v w)+c^2 (u^3+2 u^2 w+u w^2-2 v w^2))+u^2 (b^4 w (v+w)+b^2 c^2 (u^2-2 u w-2 w (v+w))+c^4 (u^2+2 u w+w (v+w))))).
Las cónicas 𝒞b, 𝒞c, los polos Tb, Tc y sus centros Bo, Co se obtienen cíclicamente.
★ Las rectas AAo, BBo, CCo concurren si y solo si P está sobre la curva algebraica de grado 11:
𝔖abc xyz
y z (2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) (a^4+b^4-5 b^2 c^2+c^4+a^2 (-2 b^2-2 c^2)) x^5 y^2 z^2-(b^2-c^2) (-4 a^6+b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+c^6+a^4 (9 b^2+9 c^2)+a^2 (-6 b^4-4 b^2 c^2-6 c^4)) x^3 y^3 z^3-2 a^4 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) x y^4 z^4-2 b^2 c^2 (-a^2+b^2+c^2) x^7 (-c y+b z) (c y+b z)-2 a^6 y^4 z^4 ((a^2-b^2+c^2) y+(-a^2-b^2+c^2) z)+x^6 y z (c^2 (a^6+a^4 (-4 b^2-3 c^2)-(b^2-c^2) (2 b^4+3 b^2 c^2-c^4)+a^2 (5 b^4+3 c^4)) y-b^2 (a^6+a^4 (-3 b^2-4 c^2)-(b^2-c^2) (b^4-3 b^2 c^2-2 c^4)+a^2 (3 b^4+5 c^4)) z)+x^5 y z (c^2 (2 a^6+a^4 (-7 b^2-5 c^2)-(b^2-c^2) (3 b^4-c^4)+2 a^2 (4 b^4-b^2 c^2+2 c^4)) y^2-b^2 (2 a^6+a^4 (-5 b^2-7 c^2)-(b^2-c^2) (b^4-3 c^4)+2 a^2 (2 b^4-b^2 c^2+4 c^4)) z^2)-2 x^6 (c^4 (a^4-b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2+c^4) y^3-b^4 (a^4-2 a^2 b^2+b^4+2 b^2 c^2-c^4) z^3)) = 0,
con puntos cuádruples en los vértices de ABC y que pasa por los centros X2 (baricentro), X13, X14 (puntos de FermatLas tres rectas que unen cada vértice de un triángulo con la cúspide del triángulo equilátero levantado hacia el exterior sobre el lado opuesto concurren en el primer punto de Fermat. Es el punto X13 de ETC.
Las tres rectas que unen cada vértice de un triángulo con la cúspide del triángulo equilátero levantado hacia el interior sobre el lado opuesto concurren en el segundo punto de Fermat. Es el punto X14 de ETC
Se les conoce tambié como puntos isogónicos.), X110 (foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99.), X39162, X39163 (focos de la elipse inscrita de Steiner Elipse inscrita de Steiner es la elipse inscrita al triángulo y con centro en el baricentro. Es la elipse inscunscrita de área máxima. Es la elipse circunscrita de Steiner del triángulo medial. Ecuación baricéntrica: x^2+y^2+z^2-2yz-2zx-2xy=0. Una reperesentación paramétrica P(t)=(1:t^2:(t-1)^2).
Su focos reales son X(39162), X(39163).).
• Cuando P es el baricentro, el punto de concurrencia de las rectas AAo, BBo, CCo es:
P2 = ( 25 a^8-35 a^6 (b^2+c^2)+3 a^4 (15 b^4-7 b^2 c^2+15 c^4)+a^2 (-29 b^6+15 b^4 c^2+15 b^2 c^4-29 c^6)+10 b^8-35 b^6 c^2+54 b^4 c^4-35 b^2 c^6+10 c^8 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-0.774039984833567, -0.812449860198048, 4.56037899350621).
Es la reflexión de X99 (punto de SteinerEl punto de Steiner de un triángulo es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner (con centro en el baricentro).
Coordenadas baricéntricas 1/(b^2-c^2):1/(c^2-a^2):1/(a^2-b^2)
Es el X99 de ETC. Su conjugado isogonal es X512 y su conjugados isotómico es X523.) en X11147=((SA-2a^2)(5SA-a^2) Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard).:...:...) (centro de perspectividad de los triángulos medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). y anti-ArtztThe A-Artzt parabola of a triangle ABC is the parabola tangent at B and C to the sidelines AB and AC, respectively. See William Gallatly, The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. (London: Hodgson, 1913), p. 42.
The triangle bounded by the directrices of the Artzt parabolas is named the Artzt triangle
A-vértice (-3a^4-(b^2-c^2)^2 : 2(c^2(b^2-c^2)+a^2(2b^2+c^2)) : 2(-b^4+b^2c^2+a^2(b^2+2c^2))).).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,5477}, {4,6055}, {76,7610}, {99,5485}, {230,671}, {262,14848}, {485,13681}, {486,13801}, {524,8781}, {542,7612}, {543,2996}, {598,14061}, {1916,8859}, {3566,9180}, {5182,15597}, {5395,14971}, {5466,9123}, {5503,22329}, {6036,14494}, {6054,7607}, {8593,37637}, {8860,11167}, {10302,11168}, {11170,12150}, {13908,33342}, {13968,33343}, {18800,23053}, {19661,38224}, {38259,41135}.
• Si P es el foco de la parábola de Kiepert, el punto de concurrencia de las rectas AAo, BBo, CCo es X14221.
★ Las rectas ATa, ATb y ATc concurren en:
T = (1/(u (c^2 v^2 - a^2 v w + b^2 v w + c^2 v w + b^2 w^2)) : ... : ...).
Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, T es el perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. (punto de BrianchonLas tangentes en los vértices de un triángulo a una cónica circunscrita, delimitan un triángulo perspectivo con dicho triángulo; el centro de perspectividad es el punto de Brianchon o perspector de la cónica circunscrita (es una caso límite del Teorema de Brianchon sobre hexágonos circunscritos a una cónica: las rectas de unión de vértices opuestos concurren en un punto).
En cónicas inscritas a un triangulo, el punto de Brianchon es el punto de intersección de las rectas trazadas desde cada vértice al punto de contacto con el lado opuesto.) de la parábola inscrita en ABC de foco P y queda sobre la elipse circunscrita de SteinerLa elipse circunscrita de Steiner es la elipse circunscrita al triángulo y con centro en el baricentro. Es la elipse circunscrita de área mínima. Ecuación baricéntrica: yz+zx+xy=0.
Centros del triángulo X(i) sobre ella, i∈{99, 190, 290, 648, 664, 666, 668, 670, 671, 886, 889, 892, 903, 1121, 1494, 2479, 2480, 2481, 2966, 3225, 3226, 3227, 3228, 4555, 4562, 4569, 4577, 4586, 4597, 5641, 6189, 6190, 6528, 6540, 6606, 6613, 6635, 6648, 9487, 11117, 11118, 14616, 14727, 14728, 14970, 15164, 15165, 16077, 18025, 18026, 18816, 18821, 18822, 18823, 18824, 18825, 18826, 18827, 18828, 18829, 18830, 18831, 18878, 23895, 23896, 32036, 32037, 32038, 32039, 32040, 32041, 32042, 33513, 33514, 33515, 33516, 34393, 35136, 35137, 35138, 35139, 35140, 35141, 35142, 35143, 35144, 35145, 35146, 35147, 35148, 35149, 35150, 35151, 35152, 35153, 35154, 35155, 35156, 35157, 35158, 35159, 35160, 35161, 35162, 35163, 35164, 35165, 35166, 35167, 35168, 35169, 35170, 35171, 35172, 35173, 35174, 35175, 35176, 35177, 35178, 35179, 35180, 35181, 38341, 39202, 39203, 39204, 39205, 39626, 40301, 41072, 41073, 41074, 41075, 41076, 42367, 42371, 43091, 43092, 43093, 43094, 43095, 43096, 43097, 43098, 43099, 43664, 45876, 46132, 46133, 46134, 46135, 46136, 46137, 46138, 46139, 46140, 46141, 46142, 46143, 46144, 46145, 47269}, ℰ.
Algunos pares {P=Xi, T=Xj}, con P no situado sobre la circunferencia circunscrita, para los pares {i, j}: {1, 7}, {2, 598}, {3, 264}, {4, 264}, {6, 598}, {7, 18810}, {8,
18811}, {10, 18812}, {13, 13}, {14, 14}, {15, 13}, {16, 14}, {17,
18813}, {18, 18814}, {20, 34410}, {23, 10512}, {25, 10604}, {30,
1494}, {36, 18815}, {40, 34413}, {55, 18810}, {56, 18811}, {58,
18812}, {61, 18813}, {62, 18814}, {64, 34410}, {67, 10512}, {69,
10604}, {80, 18815}, {84, 34413}, {186, 18817}, {187, 18818}, {265,
18817}, {371, 18819}, {372, 18820}, {485, 18819}, {486,
18820}, {511, 290}, {512, 670}, {513, 668}, {514, 190}, {515,
34393}, {516, 18025}, {517, 18816}, {518, 2481}, {519, 903}, {520,
6528}, {521, 18026}, {522, 664}, {523, 99}, {524, 671}, {525,
648}, {526, 35139}, {527, 1121}, {528, 18821}, {532, 11117}, {533,
11118}, {536, 3227}, {537, 18822}, {538, 3228}, {542, 5641}, {543,
18823}, {545, 35168}, {671, 18818}, {690, 892}, {696, 18824}, {698,
3225}, {712, 18825}, {714, 18826}, {726, 3226}, {732, 14970}, {740,
18827}, {758, 14616}, {782, 18828}, {804, 18829}, {812, 4562}, {824,
4586}, {826, 4577}, {888, 886}, {891, 889}, {900, 4555}, {918,
666}, {1499, 35179}, {1503, 35140}, {2574, 15164}, {2575,
15165}, {2783, 35151}, {2784, 35150}, {2785, 35154}, {2786,
35148}, {2787, 35147}, {2792, 35149}, {2795, 35152}, {2796,
35153}, {2799, 2966}, {2801, 35164}, {2802, 35175}, {3413,
6190}, {3414, 6189}, {3564, 35142}, {3566, 35136}, {3738,
35174}, {3887, 35171}, {3900, 4569}, {3906, 35138}, {3910,
6648}, {4083, 18830}, {4160, 35181}, {4715, 35170}, {4762,
32041}, {4777, 4597}, {4802, 32042}, {4977, 6540}, {5845,
35158}, {5853, 35160}, {5969, 35146}, {6362, 6606}, {6366,
35157}, {6368, 18831}, {6550, 6635}, {7927, 35137}, {8674,
35156}, {8680, 35145}, {9033, 16077}, {9055, 35172}, {17768,
35141}, {17770, 35162}, {23870, 23895}, {23871, 23896}, {23872,
32036}, {23873, 32037}, {23880, 32038}, {23886, 32039}, {30665,
41072}, {33906, 14728}, {35101, 35143}, {35102, 35144}, {35103,
35155}, {35104, 35159}, {39150, 80}, {39151, 80}, {39162,
2}, {39163, 2}, {39624, 39626}, {40327, 40301}.
Y cuando P está sobre la circunferencia circunscrita (T sobre la elipse circunscrita de Steiner), {i, j}: {74, 1494}, {98, 290}, {99, 670}, {100, 668}, {101, 190}, {102,
34393}, {103, 18025}, {104, 18816}, {105, 2481}, {106, 903}, {107,
6528}, {108, 18026}, {109, 664}, {110, 99}, {111, 671}, {112,
648}, {476, 35139}, {691, 892}, {697, 18824}, {699, 3225}, {713,
18825}, {715, 18826}, {727, 3226}, {729, 3228}, {733, 14970}, {739,
3227}, {741, 18827}, {759, 14616}, {783, 18828}, {805, 18829}, {813,
4562}, {825, 4586}, {827, 4577}, {840, 18821}, {842, 5641}, {843,
18823}, {898, 889}, {901, 4555}, {919, 666}, {932, 18830}, {933,
18831}, {934, 4569}, {1113, 15164}, {1114, 15165}, {1290,
35156}, {1296, 35179}, {1297, 35140}, {1304, 16077}, {1308,
35171}, {1379, 6190}, {1380, 6189}, {1477, 35160}, {2222,
35174}, {2249, 35145}, {2291, 1121}, {2380, 11117}, {2381,
11118}, {2382, 18822}, {2384, 35168}, {2699, 35151}, {2700,
35150}, {2701, 35154}, {2702, 35148}, {2703, 35147}, {2708,
35149}, {2711, 35152}, {2712, 35153}, {2715, 2966}, {2717,
35164}, {2718, 35175}, {3563, 35142}, {3565, 35136}, {4588,
4597}, {5970, 35146}, {5994, 23896}, {5995, 23895}, {6551,
6635}, {7953, 35137}, {8652, 32042}, {8687, 6648}, {8691,
35181}, {8693, 32041}, {8701, 6540}, {9111, 35172}, {9136,
9487}, {9150, 886}, {10420, 18878}, {11636, 35138}, {14733,
35157}, {16806, 32036}, {16807, 32037}, {26716, 32040}, {28317,
35170}, {28471, 35141}, {28482, 35162}, {30664, 41072}, {32693,
32038}, {35105, 35143}, {35106, 35144}, {35107, 35155}, {35108,
35159}, {39625, 39626}, {40302, 40301}.
★ Los tres haces de cónicas generados por {𝒞b, 𝒞c}, {𝒞c, 𝒞a}, {𝒞a, 𝒞b} tienen una cónica degenerada de la que forma parte la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de P y la recta da, correspondiente al haz determinado por 𝒞b y 𝒞c, que pasa por A y su ecuación es:
da:
w^2 (-a^2 v (u+v-w)-c^2 v (-u+v+w)+b^2 (v (v+w)+u (v+2 w))) y
-v^2 (-w (a^2 (u-v+w)+b^2 (-u+v+w))+c^2 (w (v+w)+u (2 v+w))) z = 0.
Sean db y dc las correspondientes rectas en los haces restantes.
Las rectas da, db y dc concurren en:
D = (u^2/((a^2-b^2-c^2) u^2+(a^2-b^2+c^2) u v+(a^2+b^2-c^2) u w+2 a^2 v w) : ... : ...).
Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, D es el producto baricéntricoDados dos puntos P y U de coordenadas baricéntricas (p:q:r) y (u:v:w), respectivamente, el punto P×U de coordenadas (pu:qv:rw) es el producto baricéntrico de P y U. Cuando U=P, tememos el cuadrado baricéntrico P².
(Para varias construcciones, ver Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane. §1.2.2. http://bernard-gibert.fr//files/Resources/SITP.pdf#page=6).
El producto baricéntrico de P y U es la imagen de U en la homografía que aplica {A, B, C, G} en {A, B, C, P}, donde G es el baricentro., X4×P, del ortocentro y P. Está sobre la cónica circunscrita, 𝒞25, de perspector X25, polo del eje órticoEl eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad del triángulo y su triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas. Es la tripolar del ortocentro.
El eje órtico es perpendicular a la recta de Euler.
El eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad de sus triángulos medial y tangencial respecto a la circunferencia circunscrita.
Algunos pares {P=Xi, D=Xj}, con P no situado sobre la circunferencia circunscrita, para los pares {i, j}: {1, 9}, {2, 5485}, {4, 393}, {13, 13}, {14, 14}, {30, 3163}, {80, 36910}, {511, 11672}, {512, 1084}, {513, 1015}, {514, 1086}, {515, 23986}, {516, 23972}, {517, 23980}, {518, 6184}, {519, 4370}, {520, 35071}, {521, 35072}, {522, 1146}, {523, 115}, {524, 2482}, {525, 15526}, {526, 18334}, {527, 35110}, {528, 35113}, {536, 13466}, {537, 35123}, {538, 35073}, {542, 23967}, {543, 35087}, {545, 35121}, {690, 23992}, {726, 20532}, {740, 35068}, {758, 35069}, {804, 35078}, {812, 35119}, {826, 15449}, {834, 39016}, {888, 39010}, {891, 39011}, {900, 35092}, {918, 35094}, {924, 39013}, {926, 39014}, {928, 39017}, {1499, 35133}, {1503, 23976}, {1510, 39018}, {2574, 15166}, {2575, 15167}, {2783, 35083}, {2784, 35082}, {2785, 35086}, {2786, 35080}, {2787, 35079}, {2792, 35081}, {2795, 35084}, {2796, 35085}, {2799, 35088}, {2801, 35116}, {2802, 35129}, {3413, 39023}, {3414, 39022}, {3564, 35067}, {3566, 15525}, {3667, 40621}, {3738, 35128}, {3887, 35125}, {3900, 35508}, {3906, 17416}, {4083, 40610}, {4160, 35135}, {4715, 35124}, {4977, 35076}, {5845, 35093}, {5853, 35111}, {5969, 35077}, {6366, 35091}, {6368, 39019}, {6371, 39015}, {7927, 15527}, {8057, 39020}, {8674, 35090}, {8680, 35075}, {9033, 39008}, {9055, 35126}, {17430, 17429}, {17768, 35066}, {17770, 35114}, {35101, 35070}, {35102, 35074}, {35103, 35089}, {35104, 35095}.
Y cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, D=H×P está la cónica circunscrita de perspector X25, {i, j}: {74, 8749}, {98, 6531}, {99, 648}, {100, 1783}, {101, 8750}, {105, 8751}, {106, 8752}, {107, 6529}, {109, 32674}, {110, 112}, {111,
8753}, {112, 32713}, {934, 32714}, {1304, 32695}, {1310, 36099}, {2715, 32696}, {2720, 32702}, {6099, 32698}, {10420, 32708}, {10425, 32697}, {35182, 32699}, {35183, 32700}, {35184, 32701}, {35185, 32703}, {35186, 32705}, {35187, 32707}, {35188, 32709}, {35189, 32711}.
• Cuando P recorre la circunferencia circunscrita, las rectas DT pasan por un punto fijo, cuarto puntoEl cuarto punto de intersección de dos cónicas circunscritas a un triángulo es el punto común, aparte de los vértices del triángulo. Es el tripolo de la recta que pasa por sus perspectores. de intersección de la elipse circunscrita de Steiner ℰ y la cónica circunscrita 𝒞25 de perspector X25,
X648 (tripoloEl polo trilineal (o tripolo ) de una recta p, respecto a un triángulo ABC, es el punto tal que su tripolar es p. Si A''=p∩BC, B''=p∩CA y C''=p∩AB, sea A' el conjugado armónico de A'' respecto a B y C; B' y C' se definen similarmente. Las rectas AA', BB' y CC' concurren el tripolo P de p.
Si ux+vy+wz=0 es la ecuación baricéntrica de p, las coordenadas de P son (vw:wu:uv).
The trilinear pole of a line PU is the perspector of ABC and the vertex-triangle of the anticevian triangles of P and U. (Randy Hutson, April 9, 2016) de la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
). X648 también es el perspector de la parábola inscrita de foco X112 (punto de intersección de las reflexiones en los lados de ABC de la recta que pasa por el ortocentro y el simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²).). El punto D coincide con X648 cuando P es el punto de SteinerEl punto de Steiner de un triángulo es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner (con centro en el baricentro).
Coordenadas baricéntricas 1/(b^2-c^2):1/(c^2-a^2):1/(a^2-b^2)
Es el X99 de ETC. Su conjugado isogonal es X512 y su conjugados isotómico es X523..
★ La envolvente de la recta AbBcCa, cuando las rectas ℓ1 y ℓ2 giran alrededor de P, es una cónica inscrita en el triángulo anticeviano A'B'C' de P. Su ecuación es:
𝔖abc xyz
(c^2 v (u v+w (v+w))+w (a^2 v (v-w)-b^2 (v^2+(u+v) w)))^2x^2+2 (a^4 v w (u^3 (u+v)+u (u^2+u v-v^2) w-v (u+v) w^2)+u^2 (b^4 w (u v (u+v)+(u^2+u v+v^2) w-u w^2)+c^4 v (u (u-v) v+u (u+v) w+(u+v) w^2)+b^2 c^2 (-2 v^2 w^2+u (v+w) (v^2-3 v w+w^2)+u^2 (v^2+v w+w^2)))-a^2 u (b^2 w (v^2 w (-v+w)+u^3 (2 v+w)+u v w (2 v+3 w)+u^2 (2 v^2+2 v w+w^2))+c^2 v (v (v-w) w^2+u^3 (v+2 w)+u v w (3 v+2 w)+u^2 (v^2+2 v w+2 w^2))))y z = 0.
En particular, cuando P es el foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99., la cónica es la polar recíprocaDadas dos cónicas 𝒞1 y 𝒞2, la polar recíproca, 𝒞, de 𝒞1 respecto a 𝒞2 es la cónica envolvente de las polares de 𝒞1 respecto a 𝒞2.
El caso de dos circunferencias se estudia en http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejco1849.pdf de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
con respecto a la hipérbola de StammlerLa hipérbola de Stammler de un triángulo es la hipérbola equilátera que pasa por el circuncentro, el incentro y los tres excentros. Su centro es el punto X(110), foco de la parábola de Kiepert. Sus asíntotas cortan a la recta de Euler sobre la circunferencia circunscrita (puntos X1113 y X1114).
Es la hipérbola de Feuerbach del triángulo tangencial.
La ecuación baricéntrica de la hipérbola de Stammler es:
b^4 c^2 x^2 - b^2 c^4 x^2 - a^4 c^2 y^2 + a^2 c^4 y^2 + a^4 b^2 z^2 - a^2 b^4 z^2 = 0. Cuyo centro es X34968.
- Domingo, 4 de julio del 2021
Cuártica conjugada isogonal de la circunferencia inscrita
El 4 de Julio de 1986 falleció (a los 87 años de edad) el matemático ruso Oscar Zariski. Sus trabajos versan sobre geometría algebraica, en la que desarrolla una teoría abstracta de invariantes donde los conceptos algebraicos de álgebra conmutativa priman sobre la intuición geométrica.
Dados un triángulo ABC y un punto T sobre su circunferencia inscrita, I(r), su tangente en T corta a los lados AB y AC en Ac y Ab, respectivamente. La circunferencia circunscrita a AAbAc es tangente a la A-circunferencia de MannheimLas circunferencias de Mannheim de un triángulo son las tres circunferencias tangentes cada una a dos lados y tangentes interiormente a la circunferencia circunscrita.
La A-circunferencia de Mannheim es la circunferencia inscrita al triangulo mixtilíneo formado por los segmentos AB y AC y el arco BC de la circunferencia circunscrita que no contiene al vértice A.
También reciben el nombre de circunferencias mixtilíneas inscritas ('Mixtilinear Incircles, inarc circles').
La ecuación baricentrica de la A-circunferencia de Mannheim es:
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-((4 b^2 c^2 x)/(a+b+c)^2)+(-c^2+(4 b c^2 (a+c))/(a+b+c)^2) y+(-b^2+(4 b^2 (a+b) c)/(a+b+c)^2) z)=0.
El punto de tangencia con la circunferencia circunscrita es:
Ta = (a (a^2 - (b - c)^2) : -2 b^2 (a + b - c) : -2 c^2 (a - b + c)). en el punto Ta. Similarmente, se construyen los puntos de tangencia Tb y Tc, cíclicamente.
Las rectas
ATa,
BTb,
CTc concurren en un punto
T', sobre la cuártica 𝒬,
conjugada isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de I(r).
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-((c^2 (a-b+c-a t-b t+c t) y)/(2 c-a t-b t+c t))-(b^2 (-a+b-c+a t+b t-c t) z)/(-a+b-c+2 b t))=0,
y su punto de tangencia con la A-circunferencia de Mannheim es:
Ta = (a^5 t+a^4 (c (-3+t)+b (1-3 t) t)+(b-c)^2 (b+c) (1+t) (c^2+b^2 t-3 b c (1+t))-2 a^3 (-8 b c t+c^2 (2+t)+b^2 t (1+2 t))+a (b-c) (-c^3 (4+t)+b^3 t (1+4 t)-3 b^2 c t (5+4 t)+3 b c^2 (4+5 t))+2 a^2 (-c^3 (-1+t)+b^3 (-1+t) t+3 b^2 c (1+t-2 t^2)+3 b c^2 (-2+t+t^2)) :
2 b^2 (-a+b-c) ((a+b) t-c (2+t))^2 :
-2 (a+b-c) c^2 (a+c-b (1+2 t))^2).
Las rectas ATa, BTb, CTc concurren en:
T' = (-a^2 (a-b+c-2 b t)^2 (-2 c+a t+b t-c t)^2 :
b^2 (-a+b-c) (-a+b+c) (1+t)^2 (-2 c+a t+b t-c t)^2 :
c^2 (-a-b+c) (-a+b+c) (1+t)^2 (a-b+c-2 b t)^2).
El lugar geométrico que describe T', cuando T varía sone la circunferencia inscrita, es su conjugada isogonal:
𝒬:
𝔖abc xyz
y z (2 b^2 (-a+b-c) (a+b-c) c^2 x^2+a^4 (a^2+b^2+a (-2 b-2 c)+2 b c+c^2) y z) = 0.
Contiene a los centros del triángulo X(59), X(1318), X(4076), X(6065). Las tangentes en los vértices de ABC (puntos de retroceso) concurren es X(55), centro de homotecia interior de las circunferencias inscrita y circunscrita.
Se considera el cuadrivértice completoSe llama cuadrivértice completo al conjunto de cuatro puntos en el plano tales que no haya tres en una misma recta. Los cuatro puntos se llaman vértices . Ellos determinan seis rectas llamadas lados . Los tres puntos de intersección de pares de lados que no sean vértices, se llaman puntos diagonales. TT'T*T'*, donde T* es el conjugado isogonal de T (sobre 𝒬) y T'* es el conjungado isogonal de T' (antipodal de T en I(r)).
Su punto diagonal D1=TT'*∩T'T* recorre la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. del conjugado isogonal, X(57), del punto intermedioEl punto intermedio (también conocido por su nombre original en alemán, mittenpunkt) fue identificado en 1836 por Christian Heinrich von Nagel como el simediano del triángulo excentral del triángulo dado. Es también el centro de perpectividad de los triángulos medial excentral de un triángulo dado.
Es el punto X9 de ETC, de coordenadas baricéntricas
(a(b + c - a) : b(c + a - b) : c(a + b - c) )..
El punto diagonal D2=TT'∩T*T'* recorre la cónica circunscritaDado un triángulo ABC, una cónica circunscrita es la que pasa por sus vértices.
Su ecuación baricéntrica es pyz+qxz+rxy=0 y las coordenadas de su centro son
(p (-p + q + r) : q (p - q + r) : (p + q - r) r).
Las polares de los vértices forman un triángulo perspectivo con ABC; el centro de perspectividad, (p:q:r), se conoce como perspector de la cónica. de perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. el punto intermedio.
Y, finalmente, el punto diagonal D3=TT*∩T'T'* recorre la cónica de ecuación:
𝔖abc xyz
4 a b c (-a+b+c)^4 ((b-c)^2+a (b+c))^2x^2-a (a^2-(b-c)^2)^2 (a^6-2 a^5 (b+c)-a^4 (b^2-14 b c+c^2)+4 a^3 (b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3)+(b+c)^2 (b^4-4 b^3 c-2 b^2 c^2-4 b c^3+c^4)-a^2 (b^4+12 b^3 c-50 b^2 c^2+12 b c^3+c^4)-2 a (b^5-7 b^4 c-2 b^3 c^2-2 b^2 c^3-7 b c^4+c^5))y z = 0,
cuyo centro es el punto de PohoataLet I be the incenter, X(1), and let Ka be the symmedian point of triangle IBC; define Kb, Kc cyclically. Let X be the midpoint of segment AI,and define Y, Z cyclically. Then the triangles KaKbKc and XYZ are perspective, and their perspector is the Pohoata point, X(3333) in ETC. (Cosmin Pohoata, April 4, 2008)., X(3333).
Los puntos A1, B1, C1, sobre I(r), a los que corresponde los puntos singulares de 𝒬 (A, B, C) son:
A1 = (4 a^2 : (b+c-a)(a-b+c) : (b+c-a)(a+b-c)) , ...
que están sobre las cevianas del punto de NagelEn todo triángulo las rectas que unen sus vértices con los puntos de contacto de las circunferencias exinscritas y los lados opuestos a dichos vértices son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina punto de Nagel . Es el X8 en ETC..
Los otros puntos en los que estas cevianas vuelven a cortar a la circunferencia inscrita son:
A2 = (4 (b - c)^2 : -a^2 + 2 a b - b^2 + c^2 : -a^2 + b^2 + 2 a c - c^2) , ...
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en A1B1C1 es el incentro.
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en A2B2C2 es X(4862).
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica A1B1C1 en A2B2C2 es X(12053).
σ(X(3885))=X(8), σ(X(12640))=X(21627).
Hyacinthos 25502 (Antreas Hatzipolakis and Angel Montedeoca, Feb 22, 2017)
[Antreas Hatzipolakis]:
Let ABC be a triangle and A'B'C' the pedal triangle of I.
Denote:
A", B", C" = the reflections of I in BC, CA, AB, resp.
A'''B'''C''' = the orthic triangle of A"B"C"
Ma, Mb, Mc = the midpoints of the altitudes A"A''', B"B''', C"C''', resp.
R1 = the radical axis of the circles (Mb, MbB'), (Mc, McC')
R2 = the radical axis of the circles (Mc, McC'), (Ma, MaA')
R3 = the radical axis of the circles (Ma, MaA'), (Mb, MaB')
[the radical center of the circles is the point they concur at = the NPC center of A"B"C"]
Ra, Rb, Rc = the reflections of R1, R2, R3 in IA, IB, IC, resp.
A*B*C* = the triangle bounded by Ra,Rb,Rc
ABC, A*B*C* are parallelogic.
The parallelogic center (ABC, A*B*C*) lies on the OI line of ABC [ = Euler line of A"B"C"]
[Angel Montesdeoca]:
The parallelogic center (ABC, A*B*C*) is X(56)
The parallelogic center (A*B*C*, ABC) is (r-2R) X(1) + r X(4)
X(12053):= ( a^3 (b+c)+a^2 (b^2-6 b c+c^2)-a (b-c)^2 (b+c)-(b^2-c^2)^2: ... : ... ).
- Miércoles, 30 de junio del 2021
El centro X(933) y una hipérbola rectangular
La mañana del 30 de junio de 1908, ocurrió una devastadora explosión conocida como el evento de Tunguska. Una enorme bola de fuego atravesó el cielo de la meseta de Siberia central. En cuestión de segundos, un calor abrasador hizo arder el cielo y una explosión ensordecedora derribó más de 80 millones de árboles en un área de 2100 kilómetros cuadrados de bosque.
Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X4 y triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). DEF, sean P un punto sobre la circunferencia circunscrita, (Oab) y (Oac) las dos circunferencias que pasan por el vértice A y son tangentes al lado BC en los vértices B y C, respectivamente. La recta PB corta de nuevo a (Oab) en el punto Ba, y la rectas PC vuelve a corta a (Oac) en Ca. Sean Hab y Hac los ortocentros de los triángulos APBa y APCa, respectivamente.
Si (a^2 (t-1) t : -b^2 (t-1) : c^2 t) son las coordenadas baricéntricas de P, como conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de un punto (1:-t:t-1) en la recta del infinitoEcuación baricéntrica: x+y+z=0., los ortocentros de APBa y APCa son:
Hab = (a^6 (-1+t)^2-(b^2-c^2)^2 (b^2 (-1+t)-c^2 t)+a^2 (b^2-c^2) (-1+t) (-c^2 (-1+t)+b^2 (1+t))-a^4 (b^2 (1-3 t+2 t^2)+c^2 (2-3 t+2 t^2)) :
-(a^2-b^2-c^2) (-b^2 c^2+c^4+a^2 (c^2 (-2+t)+b^2 (-1+t))-a^4 (-1+t)):
-c^2 (-a^2+b^2+c^2) (-b^2+c^2+a^2 (-1+2 t))),
Hac = (a^6 t^2+a^2 (b^2-c^2) t (-c^2 (-2+t)+b^2 t)-(b^2-c^2)^2 (b^2 (-1+t)-c^2 t)-a^4 (c^2 t (-1+2 t)+b^2 (1-t+2 t^2)):
-b^2 (-a^2+b^2+c^2) (b^2-c^2+a^2 (1-2 t)):
-(a^2-b^2-c^2) (b^4-b^2 c^2+a^4 t-a^2 (c^2 t+b^2 (1+t)))).
Como H = (a^4-(b^2-c^2)^2 : -a^4+b^4+2 a^2 c^2-c^4 : -a^4+2 a^2 b^2-b^4+c^4), se comprueba que el valor del determiante de la matriz formada por las coordenadas de los tres puntos es cero; es decir, H, Hab, Hac están alineados
Los ortocentros
Hbc, Hba, Hca y Hcb se definen cíclicamente.
Los seis puntos
Hab,
Hac,
Hbc,
Hba,
Hca y
Hcb están sobre una hipérbola ℋ
P, con centro (sobre la
circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
) el punto medio
M de
P y
H.
𝔖abc xyz
(-a^2+b^2+c^2)^2 (b^2 c^2 (b^2-c^2)^2+a^8 (-1+t) t+a^2 (b^4-c^4) (b^2 (-1+t)^2-c^2 t^2)+a^6 (-c^2 (-2+t) t-b^2 (-1+t^2))-a^4 (c^4 t (1+t)+b^2 c^2 (1+2 t-2 t^2)+b^4 (2-3 t+t^2)))x^2 +(a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (b^4 (-1+t)-c^4 t+a^4 (-1+t) t+b^2 c^2 (-1-2 t+2 t^2)+a^2 (-c^2 (-2+t) t-b^2 (-1+t^2)))y z = 0,
degenera (en el producto de dos rectas) cuando P coincide con los vértices de ABC. Estas rectas son las alturas y los respectivos lados del "vertex triangle"Suppose that T = DEF and T' = D'E'F' are triangles. The vertex triangle of T and T' is the triangle V(T,T') having sidelines DD', EE', FF'. Thus, V(T,T') generalizes 'perspector', since V(T,T') is a single point if and only if T is perspective to T'., A'B'C', de los triángulos circun-incentralEl triángulo circun-incentral, respecto a un triángulo ABC, es el triángulo circunceviano del incentro; es decir, si I es el incentro, es el triángulo formado por las otras intersecciones de las bisectrices interiores AI, BI y CI con la circunferencia circunscrita.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(-a^2:b(b+c):c(b+c)), ..., EaEbEc, (triángulo de EulerLos vértices del triángulo de Euler son los puntos medios entre los vértices de ABC y el ortocentro de ABC.
El A-vértice es: (2 (b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2):a^4-b^4-2 a^2 c^2+c^4:a^4-2 a^2 b^2+b^4-c^4).
El triángulo antipodal del triángulo órtico, en la circunferencia de Euler, se conoce como segundo triángulo de Euler.
La perpendicular a BC a través del centro de la circunferencia de los nueve puntos corta a ésta en dos puntos A1, A2, con A1 más lejos de A que de A2. Los puntos B1, B2, C1, C2 se construyen de manera similar. A1B1C1 es el tercer triángulo de Euler. A2B2C2 es el cuarto triángulo de Euler (el tercer triángulo de Euler es el complemento del primer triángulo circumperpendicular y el cuarto triángulo de Euler es el complemento del segundo triángulo circumperpendicular).
Los vértices del quinto triángulo de Euler son los otros puntos en los que las medianas cortan a la cirucunferencia de los nueve puntos, a parte de los vértices del triángulo medial.
Los vértices de los cinco triángulos de Euler están sobre la circunferencia de los nueve puntos. Ver C. Kimberling.-Twenty-one points on the nine-point circle, Mathematical Gazette 92 (2008) 29-38.) ) y circun-simedialEl triángulo circunsimedial, respecto a un triángulo ABC, es el triángulo circunceviano del simediano; es decir, si K es el simediano, es el triángulo formado por las otras intersecciones de las cevianas AK, BK y CK con la circunferencia circunscrita.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(-a^2 : 2b^2 : 2c^2), (2a^2 : -b^2 : 2c^2), (2a^2 : 2b^2 : -c^2)., S1S2S3, del triángulo órtico.
ℋA :
((a^2-b^2+c^2) y+(-a^2-b^2+c^2) z)
( (a^6-a^2 (b^2-c^2)^2-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) x+((b^2-c^2)^3+a^4 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^4-b^2 c^2)) y+(2 a^2 c^2 (b^2-c^2)-(b^2-c^2)^3+a^4 (b^2+c^2)) z)=0.
En consecuencia (ver C. Kimberling, Mappings Associated with Vertex Triangles, Forum Geometricorum, 2 (2002) 21-32. Theorem 1), DEF y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad Z, el "Y1-vertex conjugateSuppose that T = DEF and T' = D'E'F' are triangles. The vertex triangle of T and T' is the triangle V(T,T') having sidelines DD', EE', FF'. Thus, V(T,T') generalizes 'perspector', since V(T,T') is a single point if and only if T is perspective to T'. If U and X are distinct points, then [vertex triangle of the circumcevian triangles of U and X] is perspective to ABC, and the perspector is the U-vertex conjugate of X, which equals the X-vertex conjugate of U.
The definition of vertex conjugate allows X = U. To extend the geometric interpretation to the case that X = U, as X apaches U, the vertex triangle apaches a limiting triangle which we call the tangential triangle of U, a triangle perspective to ABC with perspector U-vertex conjugate of U. of Y6", siendo Y1=X4 y Y6=X53, el incentro y simediano del triángulo órtico.
Z = ( (S^2 + SB SC)/(SA (S^2 + 3 SB SC)) Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard). : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(1.09789418806845, -0.463499047670596, 3.45482804349397).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,1495}, {5,14918}, {275,1141}, {311,1568}, {317,3545}, {403,3613}, {2165,3087}, {3574,13450}, {7507,34449}, {7547,22261}, {7576,38305}, {10152,13596}, {10412,14618}, {15559,17703}, {16837,16868}.
También ABC y A'B'C' son perspectivos con centro de perspectividad:
W = ((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4-2 (b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) (-b^8+b^6 c^2+b^2 c^6-c^8+a^6 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (-3 b^4+b^2 c^2-3 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-1.44655374773501, -2.74246092746355, 6.20693146910607).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,1495}, {53,403}, {133,6747}, {381,4993}, {11459,14918}, {14618,18808}, {14644,33971}.
La tripleta de triángulos perspectivos ABC, DEF, A'B'C' tienen el mismo eje de perspectividad (eje órticoEl eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad del triángulo y su triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas. Es la tripolar del ortocentro.
El eje órtico es perpendicular a la recta de Euler.
El eje órtico de un triángulo es el eje de perspectividad de sus triángulos medial y tangencial), entonces (Theorem 18, Florentin Smarandache and Ion Pătraşcu) sus centros de perspectividad, H, W, Z, están alineados, sobre la recta X4X1495; X1495 es el punto medio del punto lejanoEl punto lejano (Far-out point) de un triángulo ABC es el inverso del baricentro en la circunferencia circunscrita. Es el punto X(23) de ETC. y el foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99..
El centro
P=X(933) es el único punto, sobre la circunferencia circunscrita, para el cual la hipérbola ℋ
P es
rectangularUna hipérbola se dice que es rectangular o equilátera si sus asíntotas son perpendiculares. El ortocentro de todo triángulo inscrito a una hipérbola rectangular está sobre ella.
La cónica de ecuación baricéntrica f x^2 + g y^2 + h z^2 + 2 p y z + 2 q z x + 2 r x y = 0 es una hipérbola rectangular si y solo si a^2 f + b^2 g + c^2 h - 2 (SA p + SB q + SC r)=0, donde SA=(b^2+c^2-a^2)/2, ...
(Bernad Gibert, Hyacinthos #19737).
Los puntos del infinito de una hipérbola rectangular {{A,B,C, X(4),P}}, donde P = p : q : r (baricéntricas) tienen primeras coordenadas u - v and u + v, where
u = p ((a^2-b^2+c^2) q+(-a^2-b^2+c^2) r) (c^2 (a^2-b^2-c^2) p q+b^2 (a^2-b^2-c^2) p r+(a^2 b^2-b^4+a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) q r
v = (a^2-b^2-c^2) Sqrt[(a^4+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) p q r^2+q^2 ((a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 b^2 c^2+c^4) p r+a^4 r^2)+p^2 (c^4 q^2+(a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2+c^4) q r+b^4 r^2)]).
Los puntos del infinito de las asíntotas de la hipérbola de Jerabek son X(2574) y X(2575), para la hipérbola de Feuerbach son X(3307) y X(3308), y para la hipérbola de Kiepert son X(3413) y X(3414). .
Es el punto X54 de ETC.
Sea O el circuncentro del triángulo ABC, Oa el circuncentro del triángulo BOC. Se definen Ob and Oc cíclicamente. Entonces las rectas AOa, BOb y COc concurren en X54.
Primera coordenada baricéntrica, a^2/(S + SB SC)..
El centro de la hipérbola ℋX(933) es X(18402), el punto medio de X(4) y X(933) y también es el complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del cuarto puntoEl cuarto punto de intersección de dos cónicas circunscritas a un triángulo es el punto común, aparte de los vértices del triángulo. Es el tripolo de la recta que pasa por sus perspectores., X(18401), de intersección de la circunferencia circunscrita con la cónica circunscrita que pasa por el circuncentro y por el centro de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
.
- Lunes, 31 de mayo del 2021
El centro de la hipérbola de Jerabek
La teoría de Galois es una serie de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos que pueden reducirse a problemas más sencillos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe su nombre al matemático francés Évariste Galois, matemático francés (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832).
Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X4 y triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). DEF.
Ab y Ac son los puntos donde la circunferencia (HBC) vuelve a cortar a los lados AC y AB, respectivamente.
La recta que pasa por los puntos medios Mab y Mac de los segmentos BAb y CAc, corta a EF en A'.
Los puntos B' y C' se definen, cíclicamente.
Las rectas
DA', EB', FC' se cortan en el centro de la
hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
En coordenadas baricéntricas,
Ab = ((a - c) (a + c) : 0 : -a^2 + b^2 + c^2),
Ac = ((a - b) (a + b) : -a^2 + b^2 + c^2 : 0),
A' = (-b^2 + c^2 : -a^2 + c^2 : a^2 - b^2).
La transformación afín, σ, que aplica ABC en A'B'C' es una homología con centro en el infinito, X523 (conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99.) y eje la recta que pasa por el centro de la hipérbola de KiepertLa hipérbola de Kiepert de un triángulo es la hipérbola equilátera (pasa por el ortocentro) circunscrita al triángulo y que pasa por su baricentro. Es la conjugada isogonal del eje de Brocard.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2-c^2)yz+(c^2-a^2)zx+(a^2-b^2)xy=0.
Su centro, sobre la circunferencia de Euler, es el centro X115 de ETC.
Su perspector (punto de Brianchon), X(523)=conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, es el punto del infinito del eje órtico
Sus puntos en el infinito son X3413 y X3414, conjugados isogonales de los puntos en los que el eje de Brocard corta a la circunferencia circunscrita, X1379 y X1380. y por el centro de la hipérbola de Jerabek. Su razón es -3.
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] = (a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2),
ℳ[1,2] = (a^2-b^2) (b^2-c^2)^2,
ℳ[1,3] = -(a^2-c^2) (b^2-c^2)^2.
Su punto fijo, correspondiente al valor propio,
λ = -(b^2-c^2) (a^4-a^2 b^2-a^2 c^2+b^2 c^2),
es
X523 = (b^2-c^2 : c^2-a^2 : a^2-b^2).
Y la recta de puntos fijos, correspondiente al valor propio, λ= 2 (b^2-c^2) (a^4-a^2 b^2-a^2 c^2+b^2 c^2) es
(a^2-b^2) (a^2-c^2) x+(-a^2+b^2) (b^2-c^2) y-(b^2-c^2) (-a^2+c^2) z = 0.
Si X, X' son dos puntos homólogos y Xo es el punto de intersección de XX' con el eje de homología, se tiene que XoX' = -(1/2)XoX. Es decir, (-1/2) es la razón de la homología.
Puntos homólogos mediante σ, {Xi, Xj=σ(Xi)}, para los índices {i, j}: {2, 10278}, {99, 13187}, {115, 115}, {125, 125}, {148, 9293}, {245, 245}, {246, 246}, {247, 247}, {338, 7668}, {351, 9979}, {512, 525}, {523, 523}, {525, 3566}, {526, 45147}, {647, 2501}, {661, 3700}, {669, 33294}, {686, 686}, {690, 690} (punto del infinito del eje de homogía), {764, 4647}, {804, 9479}, {826, 512}, {850, 23301}, {868, 868}, {1109, 11}, {1116, 1116}, {1365, 8286}, {1562, 1562}, {1577, 21051}, {1637, 1637}, {1640, 1640}, {1648, 1648}, {1649, 5466}, {2081, 2081}, {2088, 2088}, {2501, 6587}, {2514, 23285}, {2610, 2610}, {2611, 1109}, {2632, 38357}, {2643, 1086}, {2799, 804}, {3005, 850}, {3120, 3120}, {3124, 3124}, {3125, 3125}, {3258, 12079}, {3269, 3269}, {3569, 3569}, {3700, 14321}, {3708, 1146}, {3906, 1499}, {4010, 18004}, {4024, 661}, {4036, 31946}, {4041, 7178}, {4088, 4010}, {4092, 8287}, {4120, 4120}, {4122, 4806}, {4155, 918}, {4466, 21045}, {4516, 16732}, {4705, 1577}, {4730, 4707}, {4838, 4841}, {4934, 4092}, {4983, 7265}, {4988, 4024}, {5027, 14316}, {5489, 4}, {5664, 15543}, {5972, 12064}, {6070, 3154}, {6089, 6370}, {6328, 33967}, {6367, 514}, {6368, 924}, {6370, 900}, {6388, 6388}, {6545, 21020}, {6627, 6627}, {6791, 6791}, {7927, 826}, {7950, 3800}, {8029, 2}, {8034, 321}, {8288, 8288}, {8371, 8371}, {8663, 25259}, {8901, 8902}, {9148, 9148}, {9178, 18310}, {9200, 9200}, {9201, 9201}, {9979, 32193}, {10278, 10189}, {10413, 10413}, {11123, 8029}, {11182, 11182}, {12071, 14838}, {12072, 17069}, {12073, 3906}, {12075, 30476}, {12076, 620}, {12077, 647}, {13291, 13291}, {13636, 13636}, {13722, 13722}, {14270, 24978}, {14277, 14279}, {14417, 9134}, {14420, 14420}, {14431, 14431}, {14443, 671}, {14444, 14444}, {14446, 14446}, {14447, 14447}, {15357, 15357}, {15359, 15359}, {15451, 14618}, {15475, 14566}, {16230, 6130}, {16278, 16278}, {16280, 16280}, {16282, 16282}, {16732, 2486}, {17436, 8599}, {18007, 9183}, {18314, 34964}, {20975, 338}, {21044, 21044}, {21053, 21053}, {21124, 2533}, {21131, 1213}, {21132, 2292}, {21134, 1834}, {21141, 4854}, {21731, 41079}, {21950, 21950}, {22260, 141}, {23099, 76}, {23105, 5}, {23616, 1853}, {23775, 21677}, {23991, 31644}, {24290, 24290}, {30465, 30465}, {30468, 30468}, {30574, 30574}, {31945, 12065}, {31953, 31953}, {33919, 524}, {35443, 20578}, {35444, 20579}, {36197, 36197}, {36255, 36255}, {36642, 2487}, {36955, 12076}, {38356, 38356}, {39691, 39691}.
Los pares de color azul están en la recta del infinito y los pares en “negrita” están sobre el eje de homología.
El homólogo del incentro es W=σ(X1) = (2r+R) X12-2(r+R) X9276,
W = ( (b^2-c^2) (a^5-a^2 ((a+b-c) c^2+b^2 (a-b+c))-b^5-c^5+b^2 c^2 (a+b+c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-49126] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-1.89699591310576, 5.30478948067561, 0.843654493642388).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,523}, {11,7137}, {12,2614}, {229,4367}, {245,1109}, {514,12071}, {522,12579}, {1365,12064}, {2292,4041}, {2613,14985}, {4086,4647}, {4467,6626}, {9293,23938}, {23879,27929}, {35347,41501}, {37140,39138}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(50574).
- Martes, 18 de mayo del 2021
Otra propiedad de la cúbica de Neuberg
El 18 de mayo de 1911, falleció a los 51 años de edad, Gustav Mahler, compositor y director de orquesta austríaco, valorado en su tiempo más como director de orquesta que como compositor, hoy es considerado uno de los más grandes y originales sinfonistas. Son diez las sinfonías de su catálogo, si bien la última quedó inacabada a su muerte. De ellas, las números 2, 3, 4 y 8 incluyen la voz humana.
Dados un triángulo ABC y punto P, no situado sobre la circunferencia circunscrita, sea ea el eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de la circunferencia circunscrita y la circunferencia A(AP), de centro A y radio AP. Se consideran, cíclicamente, los ejes radicales eb y ec. Sean D=eb∩ec, E=ec∩ea y F=ea∩eb.
Las rectas
AD, BE, CF son concurrentes en un punto
Q=Q(
P) si y solo si
P está sobre la
cúbica de Neuberg,La cúbica de Neuberg, pK(X6,X30), es el lugar geométrico del punto P tal que la línea PP * es paralela a la línea de Euler (P* conjugado isogonal de P). Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{1, 3, 4, 13, 14, 15, 16, 30, 74, 370, 399, 484, 616, 617, 1138, 1157, 1263, 1276, 1277, 1337, 1338, 2132, 2133, 3065, 3440, 3441, 3464, 3465, 3466, 3479, 3480, 3481, 3482, 3483, 3484, 5623, 5624, 5667, 5668, 5669, 5670, 5671, 5672, 5673, 5674, 5675, 5676, 5677, 5678, 5679, 5680, 5681, 5682, 5683, 5684, 5685, 7059, 7060, 7164, 7165, 7325, 7326, 7327, 7328, 7329, 8172, 8173, 8174, 8175, 8431, 8432, 8433, 8434, 8435, 8436, 8437, 8438, 8439, 8440, 8441, 8442, 8443, 8444, 8445, 8446, 8447, 8448, 8449, 8450, 8451, 8452, 8453, 8454, 8455, 8456, 8457, 8458, 8459, 8460, 8461, 8462, 8463, 8464, 8465, 8466, 8467, 8468, 8469, 8470, 8471, 8472, 8473, 8474, 8475, 8476, 8477, 8478, 8479, 8480, 8481, 8482, 8483, 8484, 8485, 8486, 8487, 8488, 8489, 8490, 8491, 8492, 8493, 8494, 8495, 8496, 8497, 8498, 8499, 8500, 8501, 8502, 8503, 8504, 8505, 8506, 8507, 8508, 8509, 8510, 8511, 8512, 8513, 8514, 8515, 8516, 8517, 8518, 8519, 8520, 8521, 8522, 8523, 8524, 8525, 8526, 8527, 8528, 8529, 8530, 8531, 8532, 8533, 8534, 8535, 8536, 16882, 16883} K001 del catálogo de Bernard Gibert.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación del eje radical de las circunferencias circunscrita y A(AP) es:
a^2 v w - c^2 v (v + w) - b^2 w (v + w) x +
a^2 v w - b^2 w (v + w) + c^2 (u^2 + 2 u (v + w) + w (v + w)) y +
a^2 v w - c^2 v (v + w) + b^2 (u^2 + 2 u (v + w) + v (v + w)) z = 0.
D = (a^2 u (b^2 (u + v - w) + c^2 (u - v + w)) -
a^4 (u^2 + 2 v w + u (v + w)) :
-a^4 v (u + v) + (b^2 -
c^2) u (c^2 v + b^2 w) +
a^2 (c^2 v (2 u + v) + b^2 (u (v + w) + v (v + 2 w))) :
-a^4 w (u +
w) - (b^2 - c^2) u (c^2 v + b^2 w) +
a^2 (b^2 w (2 u + w) + c^2 (u (v + w) + w (2 v + w))).
Si P recorre K001, Q=Q(P) recorre la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
Una recta ℓ, que pasa por el circuncentro, vuelve a cortar a K001 en dos puntos P1 y P2, entonces Q(P1) = Q(P2), que es el punto donde la recta ℓ vuelve a cortar a la hipérbola de Jerabek.
Pares {P=Xi, Q=Xj}, P sobre K001 y Q sobre la hipérbola de Jerabek, para {i, j}: {1, 65}, {3, 54}, {4, 4}, {13, 11139}, {14, 11138}, {15, 6}, {16, 6}, {30, 4}, {74, 74}, {399, 74}, {484, 65}, {616, 2992}, {617, 2993}, {1157, 54}, {3479, 2993}, {3480, 2992}, {8172, 11139}, {8173, 11138}.
- Domingo, 16 de mayo del 2021
Vu 1st PCC perspector
El 16 de mayo de 1830, falleció a los 62 años de edad, el matemático e ingeniero francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, conocido por las Series de Fourier y Transformada de Fourier.
Vu 1st PCC perspector (Vu Thanh Tung, June 14, 2020)
Let P = p : q : r (barycentrics) be a point in the plane of a triangle ABC, not on any of the lines AO, BO, CO, where O = X(3) = circumcenter. Let
A
1B
1C
1 = pedal triangle of P
A
2 = the point, other than A, where the circles (ABC) and (AB
1C
1) meet, and define B
2 and C
2 cyclically
A
4B
4C
4 = circumcevian triangle of P.
Then A4B4C4 is perspective to A2B2C2, and the perspector is the point V(P), here named the Vu 1st PCC perspector, given by
V(P) = a^2 (2 b^2 c^2 p^2 + a^2 c^2 p q + b^2 c^2 p q - c^4 p q + a^2 b^2 p r - b^4 p r + b^2 c^2 p r + a^4 q r - a^2 b^2 q r - a^2 c^2 q r) : :
Given a point P, let A'B'C' be the pedal triangle of P. Let O' be the circumcenter of A'B'C', and let A"B"C" be the reflection of A'B'C' in O'. A"B"C" is perspective to ABC at a point denominate the 'pedal antipodal perspector of P' , or PA(P) (Randy Hudson,
Hyacinthos#20403, Nov 21, 2011).
V(P) is the isogonal conjugate of the pedal antipodal perspector of P. (Randy Hutson, June 17, 2020)
Dados un triángulo ABC y punto P, sea A' la proyección ortogonal de P sobre el eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de la circunferencia circunscrita y la circunferencia A(AP), de centro A y radio AP. Los puntos B', C' se definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y A'B'C' son homotéticos y el centro de homotecia es el "Vu 1st PCC perspector", V(P).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación del eje radical de las circunferencias circunscrita y A(AP) es:
a^2 v w - c^2 v (v + w) - b^2 w (v + w) x +
a^2 v w - b^2 w (v + w) + c^2 (u^2 + 2 u (v + w) + w (v + w)) y +
a^2 v w - c^2 v (v + w) + b^2 (u^2 + 2 u (v + w) + v (v + w)) z = 0.
La proyección ortogonal de P sobre esta recta es:
A' = (a^4 (b^2 + c^2) v w - (b^2 - c^2)^2 u (c^2 v + b^2 w) +
a^2 (c^4 v (u - w) + b^4 (u - v) w +
b^2 c^2 (2 u^2 + 2 v w + 3 u (v + w))) :
b^2 (-a^4 v w + (b^2 -
c^2) u (c^2 v + b^2 w) +
a^2 (b^2 (-u + v) w + c^2 v (u + 2 v + w))) :
c^2 (-a^4 v w - (b^2 -
c^2) u (c^2 v + b^2 w) +
a^2 (c^2 v (-u + w) + b^2 w (u + v + 2 w))).
Las rectas AA', BB', CC' concurren en:
V(P) = (a^2(v w a^4 + (c^2 v (u - w) + b^2 w(u - v))a^2 - u (c^4 v + b^4 w - b^2 c^2 (2 u + v + w))) : ... : ...).
Pares {P=Xi, V(P)=Xj}, para {i, j}: {1, 56}, {2, 1995}, {4, 24}, {5, 13621}, {6, 1384}, {7, 38900}, {8, 38901}, {9, 38902}, {10, 38903}, {13, 11142}, {14, 11141}, {15, 6}, {16, 6}, {20, 11413}, {21, 11101}, {22, 26283}, {23, 1995}, {31, 38904}, {32, 38905}, {35, 14882}, {36, 56}, {40, 10310}, {54, 25044}, {55, 37541}, {75, 38906}, {76, 38907}, {83, 38908}, {140, 22462}, {141, 38909}, {182, 11842}, {186, 24}, {187, 1384}, {371, 6423}, {372, 6424}, {484, 14882}, {501, 17104}, {560, 38910}, {561, 38911}, {858, 26283}, {1155, 37541}, {1157, 25044}, {1324, 38903}, {1325, 11101}, {1501, 38912}, {1502, 38913}, {1687, 32}, {1688, 32}, {1691, 38905}, {1928, 38914}, {2070, 13621}, {2071, 11413}, {2077, 10310}, {2080, 11842}, {2321, 38915}, {2459, 6423}, {2460, 6424}, {2887, 38916}, {3513, 1617}, {3514, 1617}, {3676, 38917}, {5004, 2}, {5005, 2}, {5127, 17104}, {5152, 38907}, {5161, 38904}, {5205, 26264}, {5899, 22462}, {5938, 38909}, {5980, 183}, {5981, 183}, {6104, 11142}, {6105, 11141}, {7598, 3124}, {7599, 3124}, {10419, 39379}, {14094, 15034}, {14538, 1350}, {14539, 1350}, {15035, 15034}, {15054, 15021}, {15055, 15021}, {17100, 38901}, {32622, 55}, {32623, 55}, {32624, 38900}, {32625, 38902}, {32751, 1078}, {32752, 1078}, {32753, 1486}, {32754, 1486}, {38001, 11284}, {38002, 11284}, {38011, 21309}, {38012, 21309}, {38013, 999}, {38014, 999}, {39377, 39380}, {39378, 39381}, {39556, 38906}, {39557, 38908}.
Cuando P recorre una recta ℓ, tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de L, el lugar geométrico de V(P) es un cónica 𝒞ℓ. El poloDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de ℓ respecto a 𝒞ℓ es el cociente cevianoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...)., L/K, de L y K (simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²).).
𝒞ℓ es la cónica del haz bitangente formado por la circunferencia circunscrita y ℓ (tomada dos veces), que pasa por O (circuncentro).
Si L=(l:m:n) la ecuación de 𝒞ℓ es:
a^2 b^2 c^2 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) m^2 n^2x^2+a^2 (a^8 m^2 n^2+(b^2-c^2)^2 l^2 (c^4 m^2+b^4 n^2)-2 a^6 m n (b^2 (l+m) n+c^2 m (l+n))+a^4 (b^4 (l^2+4 l m+m^2) n^2+2 b^2 c^2 m n (2 l^2+m n)+c^4 m^2 (l^2+4 l n+n^2))-2 a^2 l (b^6 (l+m) n^2+c^6 m^2 (l+n)-b^2 c^4 m (l (m-2 n)+n^2)-b^4 c^2 n (m^2+l (-2 m+n))))y z + .... =0.
- Lunes, 10 de mayo del 2021
Recta de Euler y triángulos pedales
El 10 de mayo de 1822 falleció Paolo Ruffini médico y matemático italiano. Ganó la cátedra de análisis de la escuela militar de la Universidad de Módena, que hubo de abandonar en 1798 al ser expulsado por negarse a pronunciar el juramento de fidelidad a la República Cisalpina creada por Napoleón Bonaparte. Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a. Sin embargo, la gran aportación de Ruffini fue la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de grado cinco. aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Abel.
Sean O=X3 y H=X4 el circuncentro y ortocentro de un triángulo ABC. DEF es el triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . de un punto P=O+tH sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
. σp es la transformación afín que aplica ABC en DEF. El lugar geométrico del punto fijo finito Q de σp, cuando P se mueve sobre la recta de Euler, es la hipérbola de Thomson-Gibert-MosesThe Thomson-Gibert-Moses hyperbola is the rectangular hyperbola which passes through the triangle centers X(i) for i = 2, 3, 6, 110, 154, 354, 392, 1201, 2574, 2575, 3167, 5544, 5638, 5639, 5643, 5644, 5645, 5646, 5648, 5652, 5653, 5654, 5655, 5656, 5888, 6030, 7712, 9716, 14924, 15131, 32605, 33876, 33883, 34099, 34291, 35270. The axes of this hyperbola are parallel to the Simson-Wallace lines of X(1113) and X(1114), these being the points of intersection of the Euler line and the circumcircle. Its asymptotes are parallel to the asymptotes of the Jerabek rectangular hyperbola.
Barycentric equation: (b^2-c^2)(2b^2c^2x^2-a^2(a^2-b^2-c^2)y z)+...=0.
The Thomson-Gibert-Moses hyperbola is the Thomson isogonal conjugate (i.e., isogonal-conjugate-with-respect-to-the-Thomson-triangle) of the Euler line.
The Thomson-Gibert-Moses hyperbola is the locus of the centroid of the antipedal triangle of a point P that traverses the Jerebek hyperbola. Indeed, the Thomson-Gibert-Moses hyperbola is the Jerabek hyperbola of the Thomson triangle.
The Thomson-Gibert-Moses hyperbola is the locus of the only finite fixed point of the affine transformation that maps a triangle ABC onto the pedal triangle of P, when P traverses the Euler line.
The Thomson-Gibert-Moses hyperbola is the reflection of the Kiepert hyperbola about the centroid..
Para un punto P fijo y un punto X variable, ambos sobre la recta de Euler, la recta XσP(X) envuelve una parábola 𝒫, cuya directriz pasa por Q y X34291 (sobre la hipérbola de Thomson-Gibert-Moses) y tangente en O a la recta de Euler. Además, si O'=σp(O) (que estará en la recta de Euler), 𝒫 es tangente en O"=σ2p(O) a la recta O'O".
El lugar geométrico del foco
FP de la parábola 𝒫, cuando
P recorre la recta de Euler, es la circunferencia que pasa por el baricentro, circuncentro y
punto de TarryEl punto de Tarry de un triángulo ABC es el punto de intersección, distinto de A, B, C, de la circunferencia circunscrita con la hipérbola de Kiepert. Es el punto antipodal del punto de Steiner. Es un punto de concurrencia de las líneas a través de los vértices del triángulo perpendiculares a los lados correspondientes del primer triángulo Brocard de ABC. Es el punto X98 de ETC, su conjugado isogonal (en la recta del infinito) es X511..
Si (u:v:w) son las coordenadas de un punto P el punto fijo de σ es:
Q = (a^2(-b^4w(v+2w)-(a^2-c^2)v(a^2w-c^2(2v+w))+2b^2(a^2w(v+w)+c^2(2u^2+v^2+v w+w^2+4u(v+w)))) : ... : ...).
Pares {P=Xi, Q=σp(Q)=Xj}, correspondientes a los índices {i, j}
( {2, 5544}, {3, 2}, {4, 6}, {5, 5643}, {6, 14482}, {20, 3}, {30, 110}, {40, 9}, {54, 33992}, {55, 33993}, {56, 33994}, {57, 33995}, {58, 33996}, {64, 4}, {84, 57}, {104, 33646}, {110, 31945}, {164, 363}, {165, 36835}, {194, 32524}, {371, 38425}, {372, 38426}, {376, 5646}, {381, 5645}, {382, 9716}, {511, 99}, {512, 98}, {513, 104}, {514, 103}, {515, 109}, {516, 101}, {517, 100}, {518, 1292}, {519, 1293}, {520, 1294}, {521, 1295}, {522, 102}, {523, 74}, {524, 1296}, {525, 1297}, {526, 477}, {527, 28291}, {528, 2742}, {529, 39635}, {530, 9202}, {531, 9203}, {532, 39636}, {533, 39637}, {535, 39638}, {536, 28474}, {537, 28520}, {538, 39639}, {539, 20185}, {541, 9060}, {542, 691}, {543, 2709}, {544, 39640}, {545, 28293}, {550, 5888}, {576, 7757}, {631, 14924}, {690, 842}, {698, 30254}, {726, 28469}, {736, 39629}, {740, 6010}, {752, 28467}, {758, 6011}, {804, 2698}, {812, 12032}, {814, 29009}, {824, 28844}, {826, 29011}, {891, 29348}, {900, 953}, {912, 13397}, {916, 1305}, {918, 28838}, {924, 1300}, {926, 2724}, {928, 2723}, {944, 55}, {952, 901}, {971, 934}, {1154, 930}, {1490, 223}, {1498, 1249}, {1499, 111}, {1503, 112}, {1510, 1141}, {1657, 7712}, {2130, 3350}, {2131, 3349}, {2390, 32704}, {2393, 30247}, {2574, 1114}, {2575, 1113}, {2771, 1290}, {2772, 2690}, {2773, 2695}, {2774, 2688}, {2775, 2752}, {2776, 2758}, {2777, 1304}, {2778, 2766}, {2779, 2689}, {2780, 2770}, {2781, 935}, {2782, 805}, {2783, 2703}, {2784, 2702}, {2785, 2708}, {2786, 2700}, {2787, 2699}, {2788, 2711}, {2789, 2712}, {2790, 2713}, {2791, 2714}, {2792, 2701}, {2793, 843}, {2794, 2715}, {2795, 2704}, {2796, 2705}, {2797, 2706}, {2798, 2707}, {2799, 2710}, {2800, 2222}, {2801, 1308}, {2802, 2743}, {2803, 2744}, {2804, 2745}, {2805, 2746}, {2806, 2747}, {2807, 929}, {2808, 927}, {2809, 2736}, {2810, 2737}, {2811, 2738}, {2812, 2739}, {2813, 2740}, {2814, 2751}, {2815, 2757}, {2816, 2762}, {2817, 2765}, {2818, 1309}, {2819, 2768}, {2820, 2725}, {2821, 2726}, {2822, 2727}, {2823, 2728}, {2824, 2729}, {2826, 840}, {2827, 2718}, {2828, 2719}, {2829, 2720}, {2830, 2721}, {2831, 2722}, {2835, 2730}, {2836, 2691}, {2841, 2731}, {2842, 2692}, {2846, 2732}, {2849, 2733}, {2850, 2694}, {2852, 2735}, {2854, 2696}, {3091, 5644}, {3146, 3167}, {3182, 3341}, {3183, 3343}, {3307, 1382}, {3308, 1381}, {3309, 105}, {3345, 282}, {3346, 1073}, {3347, 3342}, {3348, 3344}, {3353, 3351}, {3354, 3352}, {3355, 14481}, {3413, 1380}, {3414, 1379}, {3529, 154}, {3564, 3565}, {3566, 3563}, {3637, 3356}, {3667, 106}, {3738, 2716}, {3800, 29180}, {3827, 26706}, {3849, 6233}, {3880, 30236}, {3887, 2717}, {3900, 972}, {3906, 14388}, {3907, 29056}, {3910, 29206}, {4083, 15323}, {4715, 28318}, {4725, 28327}, {4777, 28159}, {4778, 28193}, {4802, 28145}, {4912, 28320}, {4926, 28203}, {4962, 28235}, {4971, 28305}, {4977, 28173}, {5493, 37508}, {5537, 5660}, {5663, 476}, {5840, 6099}, {5842, 15439}, {5844, 28218}, {5846, 28480}, {5847, 28477}, {6000, 107}, {6001, 108}, {6002, 741}, {6003, 759}, {6005, 29310}, {6006, 28233}, {6084, 28914}, {6088, 6093}, {6361, 198}, {6368, 18401}, {6372, 29308}, {6762, 40}, {7464, 15131}, {7691, 38429}, {7927, 29316}, {7950, 29322}, {7957, 3651}, {7982, 3158}, {7991, 165}, {8057, 5897}, {8673, 34168}, {8674, 2687}, {8676, 917}, {8677, 2734}, {8680, 36516}, {8681, 20187}, {8702, 5951}, {8704, 6323}, {8705, 6236}, {8915, 3731}, {9003, 841}, {9025, 39631}, {9027, 30256}, {9033, 2693}, {9517, 2697}, {9518, 2741}, {9519, 2748}, {9520, 2749}, {9521, 2750}, {9522, 2753}, {9523, 2754}, {9524, 2755}, {9525, 2756}, {9526, 2759}, {9527, 2760}, {9528, 2761}, {9529, 2763}, {9530, 2764}, {9531, 2767}, {9532, 2769}, {9830, 13241}, {9837, 259}, {11257, 574}, {11469, 5020}, {11477, 9741}, {11645, 11636}, {12246, 56}, {12250, 25}, {13152, 33643}, {13391, 20189}, {13754, 925}, {14077, 15731}, {14538, 38412}, {14915, 1302}, {14988, 33637}, {15062, 5}, {15310, 932}, {15311, 1301}, {15313, 915}, {15704, 6030}, {15726, 14074}, {15733, 30237}, {16168, 16170}, {16171, 16169}, {16936, 631}, {17132, 28295}, {17133, 28307}, {17702, 10420}, {17764, 28489}, {17765, 28575}, {17766, 28486}, {17769, 28506}, {17770, 28483}, {17771, 28578}, {17772, 28492}, {18400, 933}, {19924, 12074}, {20184, 2383}, {20186, 2374}, {20188, 13597}, {21669, 354}, {22528, 1368}, {23698, 10425}, {23699, 35188}, {23875, 29042}, {23876, 29045}, {25149, 15907}, {27550, 2379}, {27551, 2378}, {28146, 8652}, {28147, 28149}, {28150, 28148}, {28151, 28153}, {28154, 28152}, {28155, 28157}, {28158, 28156}, {28160, 4588}, {28161, 28163}, {28164, 28162}, {28165, 28167}, {28168, 28166}, {28169, 28171}, {28172, 28170}, {28174, 8701}, {28175, 28177}, {28178, 28176}, {28179, 28181}, {28182, 28180}, {28183, 28185}, {28186, 28184}, {28187, 28189}, {28190, 28188}, {28194, 8694}, {28195, 28197}, {28198, 28196}, {28199, 28201}, {28202, 28200}, {28204, 8697}, {28205, 28207}, {28208, 28206}, {28209, 28211}, {28212, 28210}, {28213, 28215}, {28216, 28214}, {28217, 28219}, {28221, 28223}, {28224, 28222}, {28225, 28227}, {28228, 28226}, {28229, 28231}, {28232, 28230}, {28234, 6014}, {28236, 8699}, {28292, 2291}, {28294, 2384}, {28296, 17222}, {28297, 28299}, {28300, 28298}, {28301, 28303}, {28304, 28302}, {28306, 8700}, {28308, 17223}, {28309, 28311}, {28312, 28310}, {28313, 28315}, {28316, 28314}, {28319, 28317}, {28321, 8696}, {28322, 28324}, {28325, 28323}, {28328, 28326}, {28329, 28331}, {28332, 28330}, {28333, 28335}, {28336, 28334}, {28337, 28339}, {28340, 28338}, {28468, 753}, {28470, 727}, {28473, 28471}, {28475, 739}, {28478, 28476}, {28481, 28479}, {28487, 28485}, {28490, 28488}, {28493, 28491}, {28494, 28496}, {28497, 28495}, {28498, 28500}, {28501, 28499}, {28504, 28502}, {28507, 28505}, {28508, 28510}, {28511, 28509}, {28512, 28514}, {28515, 28513}, {28516, 28518}, {28519, 28517}, {28521, 2382}, {28522, 28524}, {28525, 28523}, {28526, 28528}, {28529, 28527}, {28530, 28532}, {28533, 28531}, {28534, 28536}, {28537, 28535}, {28538, 28540}, {28541, 28539}, {28542, 28544}, {28545, 28543}, {28546, 28548}, {28549, 28547}, {28550, 28552}, {28553, 28551}, {28558, 28560}, {28561, 28559}, {28562, 28564}, {28565, 28563}, {28566, 28568}, {28569, 28567}, {28570, 28572}, {28573, 28571}, {28576, 28574}, {28579, 28577}, {28582, 28584}, {28585, 28583}, {28840, 28842}, {28845, 825}, {28846, 28848}, {28849, 28847}, {28850, 813}, {28851, 28853}, {28854, 28852}, {28855, 28857}, {28858, 28856}, {28859, 28861}, {28863, 28865}, {28866, 28864}, {28867, 28869}, {28870, 28868}, {28871, 28873}, {28874, 28872}, {28877, 28875}, {28878, 28880}, {28881, 28879}, {28882, 28884}, {28885, 28883}, {28886, 28888}, {28889, 28887}, {28890, 28892}, {28893, 28891}, {28894, 28896}, {28897, 28895}, {28898, 28900}, {28901, 28899}, {28902, 28904}, {28905, 28903}, {28906, 28908}, {28909, 28907}, {28910, 28912}, {28913, 28911}, {28915, 6078}, {29010, 815}, {29012, 827}, {29013, 29015}, {29016, 29014}, {29017, 29019}, {29020, 29018}, {29021, 29023}, {29024, 29022}, {29025, 29027}, {29028, 29026}, {29029, 29031}, {29032, 29030}, {29033, 29035}, {29036, 29034}, {29037, 29039}, {29040, 29038}, {29043, 29041}, {29046, 29044}, {29047, 29049}, {29050, 29048}, {29051, 29053}, {29054, 29052}, {29057, 29055}, {29058, 29060}, {29061, 29059}, {29062, 29064}, {29065, 29063}, {29066, 29068}, {29069, 29067}, {29070, 29072}, {29073, 29071}, {29074, 29076}, {29077, 29075}, {29078, 29080}, {29081, 29079}, {29082, 29084}, {29085, 29083}, {29086, 29088}, {29089, 29087}, {29090, 29092}, {29093, 29091}, {29094, 29096}, {29097, 29095}, {29098, 29100}, {29101, 29099}, {29102, 29104}, {29105, 29103}, {29106, 29108}, {29109, 29107}, {29110, 29112}, {29113, 29111}, {29181, 907}, {29207, 8687}, {29208, 29210}, {29211, 29209}, {29212, 29214}, {29215, 29213}, {29216, 29218}, {29219, 29217}, {29220, 29222}, {29223, 29221}, {29226, 29228}, {29229, 29227}, {29232, 29234}, {29235, 29233}, {29240, 29242}, {29243, 29241}, {29252, 29254}, {29255, 29253}, {29256, 29258}, {29259, 29257}, {29260, 29262}, {29263, 29261}, {29280, 29282}, {29283, 29281}, {29284, 29286}, {29287, 29285}, {29288, 29290}, {29291, 29289}, {29294, 29296}, {29297, 29295}, {29298, 29300}, {29301, 29299}, {29304, 29306}, {29307, 29305}, {29309, 8708}, {29311, 6013}, {29312, 29314}, {29315, 29313}, {29317, 7953}, {29318, 29320}, {29321, 29319}, {29323, 7954}, {29324, 29326}, {29327, 29325}, {29328, 29330}, {29331, 29329}, {29332, 29334}, {29335, 29333}, {29336, 29338}, {29339, 29337}, {29340, 29342}, {29343, 29341}, {29344, 29346}, {29347, 29345}, {29349, 898}, {29350, 29352}, {29353, 29351}, {29354, 29356}, {29358, 29360}, {29362, 29364}, {29366, 29368}, {29369, 29367}, {29370, 29372}, {29373, 29371}, {30198, 8686}, {30199, 15728}, {30209, 2373}, {30210, 39431}, {30211, 39434}, {30212, 39435}, {30213, 39436}, {30217, 699}, {30230, 9084}, {30522, 12092}, {32423, 1291}, {32428, 1303}, {32467, 39}, {32472, 729}, {32473, 755}, {32475, 2370}, {32478, 5966}, {32479, 8600}, {32515, 25424}, {33962, 6082}, {34146, 1289}, {34781, 1033}, {35253, 3523}, {36201, 10423}, {36965, 28785}, {37946, 5648}, {38454, 20219}, {38455, 39628}, {40851, 40989}, {40852, 40990}, {40993, 40991}, {40994, 40992}, {41020, 15}, {41021, 16}, {41022, 5995}, {41023, 5994})
Para un punto P = O+t H, sobre la recta de Euler, el punto fijo de σp es:
Qt = (a^2(b^4t(1+t)+(a^2-c^2)t(a^2t-c^2(1+t))-
b^2(a^2t(1+2t)+c^2(3+6t+2t^2))) : ... : ... ),
que queda sobre la hipérbola de Thomson-Gibert-Moses:
(b^2-c^2)(2b^2c^2x^2+a^2 (b^2+c^2-a^2)y z) + ... = 0.
Si P = O+t H, sobre la recta de Euler, la imagen de esta recta mediante σp es la recta de ecuación:
(b^2 - c^2) (b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 t - a^8 t (1 + 2 t) +
3 a^6 (b^2 + c^2) t (1 + 2 t) +
a^2 (b^2 + c^2) (b^4 t (1 + 2 t) + c^4 t (1 + 2 t) +
2 b^2 c^2 (1 + 3 t + 2 t^2)) -
a^4 (3 b^4 t (1 + 2 t) + 3 c^4 t (1 + 2 t) +
b^2 c^2 (2 + 11 t + 12 t^2)))x + ... = 0.
La transformación afín σp induce sobre la rectas de Euler y su imagen una proyectividad, por lo que la recta que une puntos homólogos en esta restricción envuelve una cónica 𝒫, que se trata de una parábola, ya que sus puntos del infinito de corresponden. El foco de esta parábola es:
Fp = (2 a^10 (b^2+c^2) t+a^12 t^2+b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 t (1+2 t)+a^6 (b^2+c^2) (b^4 t (6+5 t)+c^4 t (6+5 t)-3 b^2 c^2 (1+4 t+3 t^2))+a^8 (-b^4 t (6+5 t)-c^4 t (6+5 t)+b^2 c^2 (3+6 t+7 t^2))-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (b^4 t^2+c^4 t^2-b^2 c^2 (3+9 t+7 t^2))-a^4 (2 b^8 t+2 c^8 t+b^6 c^2 (3+12 t+13 t^2)+b^2 c^6 (3+12 t+13 t^2)-b^4 c^4 (9+30 t+26 t^2) : ... : ...).
El lugar geométrico de Fp es la circunferencia Γ:
(-a^8 b^4+3 a^6 b^6-3 a^4 b^8+a^2 b^10+a^6 b^4 c^2-a^4 b^6 c^2+a^8 c^4-a^6 b^2 c^4+a^2 b^6 c^4-3 a^6 c^6+a^4 b^2 c^6-a^2 b^4 c^6+3 a^4 c^8-a^2 c^10) x^2+(-a^10 b^2+2 a^8 b^4-2 a^4 b^8+a^2 b^10+3 a^8 b^2 c^2-7 a^6 b^4 c^2+7 a^4 b^6 c^2-3 a^2 b^8 c^2-2 a^8 c^4-2 a^6 b^2 c^4+2 a^2 b^6 c^4+2 b^8 c^4+6 a^6 c^6+2 a^4 b^2 c^6-2 a^2 b^4 c^6-6 b^6 c^6-6 a^4 c^8+6 b^4 c^8+2 a^2 c^10-2 b^2 c^10) x y+(-a^10 b^2+3 a^8 b^4-3 a^6 b^6+a^4 b^8+a^6 b^4 c^2-a^4 b^6 c^2-a^6 b^2 c^4+a^2 b^6 c^4-b^8 c^4+a^4 b^2 c^6-a^2 b^4 c^6+3 b^6 c^6-3 b^4 c^8+b^2 c^10) y^2+(2 a^8 b^4-6 a^6 b^6+6 a^4 b^8-2 a^2 b^10+a^10 c^2-3 a^8 b^2 c^2+2 a^6 b^4 c^2-2 a^4 b^6 c^2+2 b^10 c^2-2 a^8 c^4+7 a^6 b^2 c^4+2 a^2 b^6 c^4-6 b^8 c^4-7 a^4 b^2 c^6-2 a^2 b^4 c^6+6 b^6 c^6+2 a^4 c^8+3 a^2 b^2 c^8-2 b^4 c^8-a^2 c^10) x z+(2 a^10 b^2-6 a^8 b^4+6 a^6 b^6-2 a^4 b^8-2 a^10 c^2+2 a^6 b^4 c^2-2 a^4 b^6 c^2+3 a^2 b^8 c^2-b^10 c^2+6 a^8 c^4-2 a^6 b^2 c^4-7 a^2 b^6 c^4+2 b^8 c^4-6 a^6 c^6+2 a^4 b^2 c^6+7 a^2 b^4 c^6+2 a^4 c^8-3 a^2 b^2 c^8-2 b^4 c^8+b^2 c^10) y z+(a^10 c^2+a^6 b^4 c^2-a^4 b^6 c^2-b^10 c^2-3 a^8 c^4-a^6 b^2 c^4+a^2 b^6 c^4+3 b^8 c^4+3 a^6 c^6+a^4 b^2 c^6-a^2 b^4 c^6-3 b^6 c^6-a^4 c^8+b^4 c^8) z^2 = 0.
Esta circunferencia corta a la circunferencia circunscrita a ABC en el punto de TarryEl punto de Tarry de un triángulo ABC es el punto de intersección, distinto de A, B, C, de la circunferencia circunscrita con la hipérbola de Kiepert. Es el punto antipodal del punto de Steiner. Es un punto de concurrencia de las líneas a través de los vértices del triángulo perpendiculares a los lados correspondientes del primer triángulo Brocard de ABC. Es el punto X98 de ETC, su conjugado isogonal (en la recta del infinito) es X511. y en el punto de TixierEl punto de Tixier de un triángulo es la reflexión del foco de la parábola de Kiepert, X110, en la recta de Euler; queda sobre la circunferencia circunscrita. Es el punto X476 de ETC.. Γ corta a la circunferencia de LesterThe Lester circle is the circle on which the circumcenter, nine-point center, and the first and second Fermat points lie.
This theorem was discovered by professor June A, Lester in 1996. Reference: June A. Lester, Triangles III: Complex triangle functions, Aequationes Mathematicae, volume 53, pages 4-35, 1997. en el circuncentro y en X34365. Otros centros del triángulo sobre Γ son el baricentro, X20126 (reflexión del foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99. en el punto medio del baricentro y circuncentro) y X34310.
El centro de Γ es la reflexión del ortocentro en el centro, X39482, de la circunferencia inversa del eje de BrocardThe Brocard axis is the line KO passing through the symmedian point K and circumcenter O of a triangle, where the segment OK is the Brocard diameter (Kimberling 1998, p. 150). The Brocard axis is perpendicular to the Lemoine axis and is the isogonal conjugate of the Kiepert hyperbola.
http://mathworld.wolfram.com/BrocardAxis.html.
Barycentric equation: (-b^4 c^2 + b^2 c^4) x + a^2 c^2 (a^2 - c^2) y + (-a^4 b^2 + a^2 b^4) z = 0.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1379 y X1380 (conjugados isogonales de X3413 y X3414). en la circunferencia ortobaricéntricaLa circunferencia ortobaricéntrica de un triángulo es la que tiene al ortocentro H y al baricentro G como extremos de un diámetro.:
W = ( (b^2-c^2) (2 a^8-4 a^6 (b^2+c^2)-2 a^2 b^2 c^2 (b^2+c^2)+2 a^4 (b^4+3 b^2 c^2+c^4)+b^2 c^2 (b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-0.676186949215500, 9.24675764730299, -2.44885068197207).
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {4, 39482}, {15475, 10278}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,512}, {3,23105}, {4,39482}, {523,549}, {525,13468}, {526,16233}, {690,6055}, {804,12042}, {826,5664}, {850,7771}, {924,23329}, {1116,18556}, {2395,21843}, {3566,14566}, {3906,22712}, {5054,34291}, {5569,23878}, {7761,30476}, {9218,39295}, {10097,37637}, {10254,39503}, {10278,15475}, {14592,39228}, {14618,35473}, {14809,16171}, {16229,35481}, {18309,25423}.
- Miércoles, 5 de mayo del 2021
Una propiedad del centro del triángulo X(269)
El campo de concentración de Mauthausen (desde el verano de 1938 Mauthausen-Gusen) fue un grupo de campos de concentración nazis situados en torno a la pequeña empresa y cantera, de la población de Mauthausen en Austria.
Cuando el Ejército norteamericano entró en Mauthausen, el 5 de mayo de 1945, banderas republicanas habían sustituido a las banderas nazis y la puerta del campo estaba cubierta por una gran pancarta en la que se podía leer: «Los españoles antifascistas saludan a las fuerzas libertadoras».
Sean I=X1 el incentro de un triángulo ABC y DEF el triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
. Los puntos Ab y Ac se toman sobre la recta EF tal que BF=BAb y CE=CAc; sea U=BAc∩CAb y A'=IU∩BC.
Los puntos Bc, Ba, Ca y Cb; B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' concurren en X269.
X269 es el conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del cociente cevianoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). del punto de NagelEn todo triángulo las rectas que unen sus vértices con los puntos de contacto de las circunferencias exinscritas y los lados opuestos a dichos vértices son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina punto de Nagel . Es el X8 en ETC. y el punto intermedioEl punto intermedio (también conocido por su nombre original en alemán, mittenpunkt) fue identificado en 1836 por Christian Heinrich von Nagel como el simediano del triángulo excentral del triángulo dado. Es también el centro de perpectividad de los triángulos medial excentral de un triángulo dado.
Es el punto X9 de ETC, de coordenadas baricéntricas
(a(b + c - a) : b(c + a - b) : c(a + b - c) )..
Los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están sobre una misma
cónica,
( (a+b-3 c) (a-b-c)^2 (a-3 b+c) x^2+(3 a-b-c) (a-b+c)^2 (-a-b+3 c) y^2+(a+b-c)^2 (a-3 b+c) (-3 a+b+c) z^2-2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)(y z + z x+ x y) = 0)
cuyo triángulo polarEl triángulo polar de un triángulo PQR respecto una cónica es el triángulo formado por las rectas polares de sus vértices se PQR, respecto la cónica. respecto a ABC y éste son homotéticos. Por lo que, su centro y perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. coinciden con el centro de homotecia:
W = ( 1/((a-b-c) (a^3+b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3-a^2 (b+c)-a (b^2-8 b c+c^2))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-1.41160206428087, 2.03789907211123, 2.88131992319085).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {7,13601}, {1014,7419}, {3663,14261}, {8051,18228}, {15728,30236}.
- Martes, 4 de mayo del 2021
El centro del triángulo X(5007) como punto fijo de una afinidad
El 4 de mayo de 1938, a los 49 años de edad, falleció Carl von Ossietzky, periodista y pacifista alemán. Se opuso a cualquier forma de militarismo y abanderó el movimiento pacifista alemán en las primeras décadas del siglo XX. En 1935 fue galardonado con el Premio Nobel de la Paz. Cuando el comité Nobel le comunicó el premio, el gobierno nazi impidió que abandonara Alemania para recoger el galardón, prohibió a la prensa nacional comentar la concesión del premio y dictaminó que, en el futuro, Alemania no aceptaría ningún Premio Nobel.
Dado un triángulo ABC, sea TaTbTc el triángulo tangencialEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P.. Las rectas AC y BTb se cortan en Ab; las rectas AB y CTc se cortan en Ac. La recta AbAc corta a la circunferencia circunscrita en A1 y A2. Las paralelas por A1 y A2 a TbTc cortan a los lados AB, AC en los puntos A1c, A1b y A2c, A2c, respectivamente. Finalmente, A' es el punto de intersección de A1bA2c y A1cA2c. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en A'B'C' es X5007.
X5007
es el inverso en la circunferencia de MosesThe circle having center X(39), Brocard Midpoint, and radius 2R sin 2ω, where R denotes the circumradius of triangle ABC and ω is the Brocard angle, is the Moses circle. It is tangent to the nine-point circle at X(115), and its internal and external centers of similitude with the incircle are X(1500) and X(1015), respectively. (based on notes from Peter J. C. Moses, 5/29/03) del inverso en la circunferencia circunscrita de X32, cuadrado baricéntricoDados dos puntos P y U de coordenadas baricéntricas (p:q:r) y (u:v:w), respectivamente, el punto P×U de coordenadas (pu:qv:rw) es el producto baricéntrico de P y U. Cuando U=P, tememos el cuadrado baricéntrico P².
(Para varias construcciones, ver Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane. §1.2.2. http://bernard-gibert.fr//files/Resources/SITP.pdf#page=6).
El producto baricéntrico de P y U es la imagen de U en la homografía que aplica {A, B, C, G} en {A, B, C, P}, donde G es el baricentro. del simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²)..
En coordenadas baricéntricas respecto a ABC:
Ab(a^2:0:c^2), Ac(a^2:b^2:0),
A1(2 a^2:(1 - Sqrt[5]) b^2:(1 + Sqrt[5]) c^2),
A2(2 a^2:(1 + Sqrt[5]) b^2:(1 - Sqrt[5]) c^2),
A1b(2 a^2 + (1 - Sqrt[5]) (b^2 - c^2): 0: 2 c^2),
A1c(-2 a^2 + (1 + Sqrt[5]) (b^2 - c^2) : -2 b^2 : 0),
A2b(2 a^2 + (1 + Sqrt[5]) (b^2 - c^2) : 0 : 2 c^2),
A2c(-2 a^2 + (1 - Sqrt[5]) (b^2 - c^2) : -2 b^2 : 0),
A'(2 a^2 : b^2 : c^2), B'(a^2 : 2b^2 : c^2), C'(a^2 : b^2 : 2c^2).
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] = -2 a^2 (a^2 + 2 b^2 + c^2) (a^2 + b^2 + 2 c^2), ,
ℳ[1,2] = -a^2 (2 a^2 + b^2 +
c^2) (a^2 + b^2 + 2 c^2),
ℳ[1,3] = -a^2 (2 a^2 + b^2 + c^2) (a^2 + 2 b^2 +
c^2) .
Su punto fijo, correspondiente al valor propio,
λ = -(2 a^2 + b^2 + c^2) (a^2 + 2 b^2 + c^2) (a^2 + b^2 + 2 c^2),
es
X5007 = (a^2 (2 a^2 + b^2 + c^2) : ... : ...).
Algunos pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, con los índices {i, j}: {428, 51}, {3589, 6}, {4030, 42}, {5007, 5007}, {6292, 5041}, {7198, 1475}, {7767, 39}, {8664, 669}, {10330, 20976}, {17469, 2308}, {22352, 13366}, {39998, 20965}.
NOTA: Los puntos A1c y A2c dividen, respectivamente, a los segmentos A1A1b y A2A2b en la razón áurea. (Ðào Thanh Oai).
Otra propiedad de X5007 (Euclid #1625, Abdilkadir Altintaş, 07/05/2021).
Sean MaMbMc el triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0)., Ka el simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²). de AMbMc y da la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de Ka respecto a ABC. Se definen db y dc, cíclicamente. Sea A"B"C" el triángulo formado por las rectas da, db, dc.
Los triángulos ABC y A"B"C" son perspectivos y el centro de perspectividad es X5007.
El punto fijo finito de la transformación afín σ, que aplica ABC en A"B"C" es la intersección de la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
con la recta X5007X11205 (X11205 es el baricentro del triángulo ceviano del simediano):
W = ( 2 a^8+3 a^6 (b^2+c^2)-a^4 (3 b^4+2 b^2 c^2+3 c^4)-2 a^2 (b^6+2 b^4 c^2+2 b^2 c^4+c^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(19.9325777903025, 19.0104752239030, -18.7200850378573).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {2916,22062}, {5007,11205}, {7767,10330}, {9821,15080}, {12054,15107}.
- Domingo, 2 de mayo del 2021
El centro del triángulo (r-2R) X(3) + R X(10)
El 2 de mayo de 1928, el papa Pío XI desaprueba la celebración de competiciones deportivas femeninas en Roma. Ya en el Congreso Gimnástico Femenino de Roma de 1928, pedía “que se evite cuanto se armonice mal con el recato y la compostura, que son tan grande ornato y sostén de la virtud”.
Sean I=X1 el incentro de un triángulo ABC; A', B', C' las reflexiones de A, B, C en I; UVW el triángulo circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). de I; y t un número real, consideremos los puntos D, E, F sobre las rectas IA, IB, IC, respectivamente, tales que ID : DA = IE : EB = IF : FC = t.
El lugar geométrico del punto X, de intersección de las mediatrices de BF y CE, es una
hipérbola,
( Ecuación baricéntrica:
(-a^2 b^4-2 a b^5-b^6-2 a^2 b^3 c+2 a b^4 c+4 b^5 c+4 a b^3 c^2-5 b^4 c^2+2 a^2 b c^3-4 a b^2 c^3+a^2 c^4-2 a b c^4+5 b^2 c^4+2 a c^5-4 b c^5+c^6) x^2+(-a^4 b^2-2 a^3 b^3-2 a^2 b^4-2 a b^5-b^6-a^4 b c+4 a^3 b^2 c+2 a^2 b^3 c+3 b^5 c+2 a^3 b c^2-6 a^2 b^2 c^2+8 a b^3 c^2-2 b^4 c^2+6 a^2 b c^3-8 a b^2 c^3-2 b^3 c^3+2 a b c^4+3 b^2 c^4-b c^5) x y+(-a^4 b^2-2 a^3 b^3-a^2 b^4+a^5 c+2 a^3 b^2 c+2 a^2 b^3 c-a b^4 c-a^4 c^2+4 a^3 b c^2-2 a^2 b^2 c^2+2 a b^3 c^2-4 a^3 c^3+2 a^2 b c^3-a^2 c^4-2 a b c^4+a c^5) y^2+(a^4 b c-2 a^3 b^2 c-6 a^2 b^3 c-2 a b^4 c+b^5 c+a^4 c^2-4 a^3 b c^2+6 a^2 b^2 c^2+8 a b^3 c^2-3 b^4 c^2+2 a^3 c^3-2 a^2 b c^3-8 a b^2 c^3+2 b^3 c^3+2 a^2 c^4+2 b^2 c^4+2 a c^5-3 b c^5+c^6) x z+(-a^5 b-2 a^4 b^2+2 a^2 b^4+a b^5+a^5 c-4 a^3 b^2 c-4 a^2 b^3 c-a b^4 c+2 a^4 c^2+4 a^3 b c^2-2 a b^3 c^2+4 a^2 b c^3+2 a b^2 c^3-2 a^2 c^4+a b c^4-a c^5) y z+(-a^5 b+a^4 b^2+4 a^3 b^3+a^2 b^4-a b^5-4 a^3 b^2 c-2 a^2 b^3 c+2 a b^4 c+a^4 c^2-2 a^3 b c^2+2 a^2 b^2 c^2+2 a^3 c^3-2 a^2 b c^3-2 a b^2 c^3+a^2 c^4+a b c^4) z^2 = 0)
ℋa, que pasa por U, una asíntota tiene la dirección del conjugado isogonal de U y la otra pasa por I y tiene la dirección de las mediatrices de CB' y BC'.
La ecuación baricéntrica de la tangente, ℓa, en U a ℋa es:
(b^2-c^2) ((b-c)^2+a (b+c))x + a (a^2 b+a (b-c)^2+(b-c)^2 c)y -a (a (b-c)^2+b (b-c)^2+a^2 c)z = 0.
Procediendo cíclicamente, se deducen las ecuaciones de las tangentes ℓb y ℓc en V y W a las hipérbolas ℋb y ℋc.
Las rectas ℓa, ℓb, ℓc, concurren en L = (r-2R) X(3) + R X(10).
X(3) es el circuncentro, X(10) es el punto de SpiekerEl punto de Spieker de un triángulo es el incentro de su triángulo medial, centro radical de las circunferencia exincritas. Es el punto X10 de ETC., r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.
L = ( a (a^6-a^5 (b+c)-2 a^4 (b^2-3 b c+c^2)+a^3 (2 b^3-b^2 c-b c^2+2 c^3)+a^2 (b^4-5 b^3 c+4 b^2 c^2-5 b c^3+c^4)-a (b-c)^2 (b^3+c^3)-b c (b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(11.5531962891311, 11.2191888327421, -9.45871068958987).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {20, 1479}, {56, 37022}, {78, 10085}, {4299, 6836}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {4, 3825}, {25440, 3}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1106}, {3,10}, {4,3825}, {20,36}, {21,3062}, {30,7681}, {35,5731}, {40,104}, {56,516}, {78,2801}, {84,997}, {103,932}, {145,5537}, {165,2975}, {214,6261}, {226,22768}, {341,8706}, {376,11012}, {392,17650}, {404,5691}, {411,7280}, {474,19925}, {498,6966}, {499,6925}, {519,10310}, {535,37002}, {550,1484}, {551,11496}, {936,15064}, {944,2077}, {946,10269}, {950,1470}, {960,34862}, {962,5563}, {971,24265}, {999,4301}, {1001,22754}, {1012,1125}, {1014,10442}, {1062,11700}, {1071,22836}, {1158,3878}, {1210,40293}, {1319,17622}, {1385,8717}, {1420,10860}, {1466,6738}, {1478,6890}, {1621,30389}, {1699,5253}, {1709,19861}, {1768,3869}, {2646,10167}, {2716,2731}, {2829,6922}, {2951,7677}, {3057,17613}, {3149,28164}, {3158,9845}, {3244,10306}, {3428,12512}, {3523,5251}, {3528,7688}, {3560,10165}, {3576,5248}, {3579,32153}, {3585,6943}, {3612,10884}, {3624,6912}, {3632,38669}, {3655,11849}, {3813,31777}, {3814,6256}, {3817,25524}, {3822,6833}, {3841,6897}, {3868,5538}, {3874,37531}, {3881,37569}, {3911,22760}, {3913,30283}, {4189,15931}, {4257,37570}, {4278,7415}, {4292,22766}, {4299,6836}, {4304,8071}, {4311,8069}, {4511,15071}, {4757,7982}, {4973,5709}, {4999,37424}, {5087,22792}, {5120,10443}, {5204,7580}, {5231,5303}, {5438,10864}, {5440,12680}, {5493,22770}, {5587,6940}, {5687,28236}, {5734,37602}, {5882,11248}, {5883,37534}, {5918,37605}, {6001,14925}, {6244,12513}, {6259,21635}, {6284,34880}, {6554,32625}, {6681,6834}, {6701,8227}, {6713,37406}, {6840,10483}, {6850,25639}, {6911,31673}, {6913,19862}, {6914,13624}, {6916,26363}, {6924,28160}, {6935,10198}, {6946,18492}, {6950,10902}, {6972,7951}, {7319,15446}, {7330,10176}, {7354,37374}, {7491,38761}, {7741,37437}, {7742,17010}, {7989,17531}, {8273,16370}, {9589,37587}, {9940,30143}, {10058,37618}, {10074,30323}, {10175,18761}, {10270,12650}, {10624,22767}, {10679,13607}, {10680,28194}, {10785,24387}, {11249,12522}, {11260,31798}, {11281,31657}, {11362,35238}, {12005,37533}, {12119,18861}, {12332,33337}, {12667,26364}, {12688,17614}, {12699,37535}, {12700,21630}, {13370,14986}, {13464,16203}, {13587,34628}, {15852,37599}, {15908,37429}, {16417,34648}, {17556,37001}, {18443,35016}, {18444,37571}, {21147,24025}, {24467,31806}, {26285,34773}, {26470,28458}, {26877,37625}, {28234,35448}, {30264,37428}, {31732,37482}, {31870,37612}, {35000,37727}, {35202,37106}.
- Miércoles, 28 de abril del 2021
Un problema de construcción de triángulos y el centro X(186)
El 28 de abril de 1945 fueron fusilados en la aldea de Dongo, a orillas del lago de Como, el dictador fascista Benito Mussolini y su amante, Clara Petacci, que intentaban huir a Suiza en un convoy con soldados alemanes. Fueron capturados por partisanos italianos y fusilados por orden del Comité de Liberación Nacional. Sus cadáveres, colgados de los pies, serán expuestos públicamente en las calles de Milán. Las imágenes de sus cadáveres dieron la vuelta al mundo y se convirtieron en unas de las más emblemáticas de la derrota del fascismo.
XVI GEOMETRICAL OLYMPIAD IN HONOUR OFI.F.SHARYGIN
9.(G.Filippovsky, 8-9)
The vertex A, the circumcenter O, and the Euler line ℓ of triangle ABC are given. It is known that ℓ meets AB and AC at two points equidistant from A. Restore the triangle.
Solution.
We have that the Euler line is parallel to the exterior angle bisector at A.
Since AO and AH are isogonal rays with resect to ∠A, it follows that AO=AH.
Thus we can recover H as the second point where the circle with center A and radius AO meets the Euler line. Furthermore let line AH meet the circumcircle (which we can recover because we know its center O and one point on it, namely A) again at D. Then B and C are the points where the perpendicular bisector of segment HD meets the circumcircle.
Remark.
Since AH is twice the distance from O to BC in each triangle and AH equals the circumradius in our triangle, we have that ∠A= 60
∘ or ∠A= 120
∘ . It is not too difficult to show that if ∠A= 60
∘ then the Euler line is parallel to the exterior angle bisector at A, and if ∠A= 120
∘ then it is parallel to the interior angle bisector at A.Thus in the problem we must necessarily have that
∠A= 60∘ .
Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X3 y recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
ℓ, se considera el triángulo AB1C1 con circuncentro O, recta de Euler ℓ y tal que ℓ intersecta a AB1 y AC1 en dos puntos equidistantes de A.
Así mismo, se consideran el triángulo BC2A2 con ortocentro O y recta de Euler ℓ, y tal que ℓ intersecta a BC2 y BA2 en dos puntos equidistantes de B. Y finalmente, se consideran el triángulo CA3B3 con ortocentro O y recta de Euler ℓ, y tal que ℓ intersecta a CA3 y CB3 en dos puntos equidistantes de C.
Las rectas
B1C1,
C2A2,
A3B3 forman un triángulos
A'B'C' perspectivo con
ABC, con centro de perspectividad
X186, inverso del ortocentro en la circunferencia circunscrita.
Se toman dos puntos, X y X', sobre ℓ, simétricos respecto a la proyección ortogonal de A. Las rectas AX y AX' vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita en Xa y X'a. Así, el circuncentro de AXaX'a es X3. Tendremos que encontrar la posición de X para su baricentro, Xo, esté sobre ℓ.
Usando coordenadas baricéntricas, podemos hallar la ecuación de la recta lugar geométrico de Xo, cuando X=X3 + t X4 varía sobre ℓ.
Xo = (-(b^2-c^2)^8 (b^2+c^2)^3 t+3 a^22 t^2-a^20 (b^2+c^2) t (3+14 t)+a^2 (b^2-c^2)^6 (b^2+c^2)^2 (b^4 (-1+8 t)+c^4 (-1+8 t)-b^2 c^2 (2-2 t+t^2))+a^6 (b^2-c^2)^2 (b^6 c^6 (-37+88 t-134 t^2)+b^8 c^4 (5-34 t-51 t^2)+b^4 c^8 (5-34 t-51 t^2)+2 b^10 c^2 (1-57 t+11 t^2)+2 b^2 c^10 (1-57 t+11 t^2)+b^12 (-21+10 t+14 t^2)+c^12 (-21+10 t+14 t^2))-a^4 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) (b^8 (-7+21 t+3 t^2)+c^8 (-7+21 t+3 t^2)+b^6 c^2 (-5-22 t+11 t^2)+b^2 c^6 (-5-22 t+11 t^2)+b^4 c^4 (4-23 t+24 t^2))+a^12 (b^2+c^2) (b^4 c^4 (-14+169 t-404 t^2)+7 b^8 (3+16 t+11 t^2)+7 c^8 (3+16 t+11 t^2)+b^6 c^2 (-23-242 t+69 t^2)+b^2 c^6 (-23-242 t+69 t^2))+a^18 (b^4 t (14+17 t)+c^4 t (14+17 t)+b^2 c^2 (3+16 t+76 t^2))+a^16 (b^2+c^2) (b^4 (1-15 t+21 t^2)+c^4 (1-15 t+21 t^2)-2 b^2 c^2 (5+18 t+80 t^2))-a^8 (b^2+c^2) (b^8 c^4 (-139+342 t-45 t^2)+b^4 c^8 (-139+342 t-45 t^2)+b^12 (-35-56 t+17 t^2)+c^12 (-35-56 t+17 t^2)-2 b^10 c^2 (-44+19 t+53 t^2)-2 b^2 c^10 (-44+19 t+53 t^2)+2 b^6 c^6 (87-244 t+138 t^2))-a^10 (b^6 c^6 (-77+168 t-474 t^2)+b^8 c^4 (19-214 t-31 t^2)+b^4 c^8 (19-214 t-31 t^2)+7 b^12 (5+18 t+3 t^2)+7 c^12 (5+18 t+3 t^2)+b^10 c^2 (-25-38 t+201 t^2)+b^2 c^10 (-25-38 t+201 t^2))-a^14 (-2 b^6 c^2 (3+55 t+26 t^2)-2 b^2 c^6 (3+55 t+26 t^2)+b^8 (7+34 t+77 t^2)+c^8 (7+34 t+77 t^2)-b^4 c^4 (36+56 t+349 t^2)):
-(a^6-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4))^2 (-b^2 c^2-b^4 (-1+t)+a^4 t+c^4 t-a^2 (b^2+2 c^2 t)) (a^4 (b^2+c^2) t+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) t-2 a^2 (b^2 c^2+b^4 t+c^4 t))-((b^2-c^2)^3 (b^2+c^2) (-c^2+b^2 (-1+t))-a^10 t+a^8 c^2 (1+4 t)+a^6 (b^2 c^2 (1-4 t)-2 c^4 (2+3 t)+b^4 (1+5 t))+a^2 (b^2-c^2) (3 b^6+c^6 (4+t)+b^2 c^4 (1+3 t)+b^4 c^2 (-1+6 t))+a^4 (b^4 c^2 (1-4 t)+2 c^6 (3+2 t)-b^6 (3+5 t)+b^2 c^4 (-3+7 t))) ((b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)^2-a^10 (b^2+c^2) t+a^8 (b^4+c^4) (1+4 t)+2 a^4 (b^4 c^4 (1-4 t)+b^6 c^2 (-3+t)+b^2 c^6 (-3+t)+b^8 (3+2 t)+c^8 (3+2 t))-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (b^4 (4+t)+c^4 (4+t)+b^2 c^2 (-2+3 t))-a^6 (b^2+c^2) (2 c^4 (2+3 t)+b^4 (4+6 t)-b^2 c^2 (6+7 t))):
-(a^6-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4))^2 (-b^2 c^2-c^4 (-1+t)+a^4 t+b^4 t-a^2 (c^2+2 b^2 t)) (a^4 (b^2+c^2) t+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) t-2 a^2 (b^2 c^2+b^4 t+c^4 t))-((b^2-c^2)^3 (b^2+c^2) (b^2-c^2 (-1+t))-a^10 t+a^8 b^2 (1+4 t)+a^6 (b^2 c^2 (1-4 t)-2 b^4 (2+3 t)+c^4 (1+5 t))-a^2 (b^2-c^2) (3 c^6+b^6 (4+t)+b^4 c^2 (1+3 t)+b^2 c^4 (-1+6 t))+a^4 (b^2 c^4 (1-4 t)+b^6 (6+4 t)-c^6 (3+5 t)+b^4 c^2 (-3+7 t))) ((b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)^2-a^10 (b^2+c^2) t+a^8 (b^4+c^4) (1+4 t)+2 a^4 (b^4 c^4 (1-4 t)+b^6 c^2 (-3+t)+b^2 c^6 (-3+t)+b^8 (3+2 t)+c^8 (3+2 t))-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) (b^4 (4+t)+c^4 (4+t)+b^2 c^2 (-2+3 t))-a^6 (b^2+c^2) (2 c^4 (2+3 t)+b^4 (4+6 t)-b^2 c^2 (6+7 t)))).
Eliminado t, resulta:
(2 a^6 b^4-6 a^4 b^6+6 a^2 b^8-2 b^10+6 a^4 b^4 c^2-8 a^2 b^6 c^2+2 b^8 c^2-2 a^6 c^4-6 a^4 b^2 c^4+4 b^6 c^4+6 a^4 c^6+8 a^2 b^2 c^6-4 b^4 c^6-6 a^2 c^8-2 b^2 c^8+2 c^10) x+
(3 a^8 b^2-10 a^6 b^4+12 a^4 b^6-6 a^2 b^8+b^10+3 a^6 b^2 c^2-3 a^4 b^4 c^2+a^2 b^6 c^2-b^8 c^2+a^6 c^4-3 a^4 b^2 c^4+6 a^2 b^4 c^4-2 b^6 c^4-3 a^4 c^6-4 a^2 b^2 c^6+2 b^4 c^6+3 a^2 c^8+b^2 c^8-c^10) y+
(-a^6 b^4+3 a^4 b^6-3 a^2 b^8+b^10-3 a^8 c^2-3 a^6 b^2 c^2+3 a^4 b^4 c^2+4 a^2 b^6 c^2-b^8 c^2+10 a^6 c^4+3 a^4 b^2 c^4-6 a^2 b^4 c^4-2 b^6 c^4-12 a^4 c^6-a^2 b^2 c^6+2 b^4 c^6+6 a^2 c^8+b^2 c^8-c^10) z = 0.
Y su punto de intersección con ℓ, baricentro de AB1C1, es:
Ga =(3 a^10-8 a^8 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)-2 a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)+a^6 (5 b^4+13 b^2 c^2+5 c^4)+a^4 (3 b^6-8 b^4 c^2-8 b^2 c^4+3 c^6):
a^8 (-2 b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+a^6 (5 b^4+b^2 c^2-4 c^4)+a^4 (-3 b^6-5 b^4 c^2+b^2 c^4+6 c^6)-a^2 (b^8-6 b^6 c^2+4 b^4 c^4-3 b^2 c^6+4 c^8):
a^8 (b^2-2 c^2)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+a^6 (-4 b^4+b^2 c^2+5 c^4)+a^4 (6 b^6+b^4 c^2-5 b^2 c^4-3 c^6)-a^2 (4 b^8-3 b^6 c^2+4 b^4 c^4-6 b^2 c^6+c^8)).
El triángulo AB1C1 del que se conoce sel vértice A, su circuncentro, O, y su baricentro, Ga, es fácilmente construible. La recta B1C1 es:
((b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)^2+a^8 (b^4-b^2 c^2+c^4)-a^6 (4 b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+4 c^6)-a^2 (b^2-c^2)^2 (4 b^6+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4+4 c^6)-a^4 (-6 b^8+5 b^6 c^2+b^4 c^4+5 b^2 c^6-6 c^8)) x+
a^2 b^2 (a^2-b^2-b c-c^2) (a^2-b^2+b c-c^2) (a^2-b^2-a c+c^2) (a^2-b^2+a c+c^2) y+
a^2 c^2 (a^2-a b+b^2-c^2) (a^2+a b+b^2-c^2) (a^2-b^2-b c-c^2) (a^2-b^2+b c-c^2) z = 0.
Las ecuaciones de las rectas C2A2 y A3B3, se deducen por permutación cíclica. El triángulo A'B'C' formado por estas tres rectas es perspectivo con ABC, y su centro de perspectividad es:
X186 = (a^2((a^2-b^2-c^2)^2-b^2 c^2)/ (-a^2+b^2+c^2) : ... : ...).
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Utilizando la nota de la referencia citada, se puede obtener al ecuación de la recta B1C1, girando la perpendicular por A a la recta de Euler, alrededor de A los ángulo 30∘ y -30∘. En el haz de cónica determinado por esta dos rectas (AB1, AC1) y la circunferencia circunscrita, Γ, una de las cónica degeneradas contiene a la recta B1C1.
Las ecuaciones de las rectas AB1 y AC1 son:
(-a^4+a^2 (2 b^2-c^2-b^4-b^2 c^2+2 c^4) ±2(a^2-b^2)S Sqrt[3])y +
(a^4+a^2 (b^2-2 c^2)-2 b^4+b^2 c^2+c^4 ±2(a^2-c^2)S Sqrt[3])z=0.
El determinante de la matriz asociada al haz de cónicas AB1 · AC1 + λ Γ = 0, se anula cuando se verifica:
λ^2 (-4 a^8 b^4+16 a^6 b^6-24 a^4 b^8+16 a^2 b^10-4 b^12+4 a^8 b^2 c^2-12 a^6 b^4 c^2+20 a^4 b^6 c^2-20 a^2 b^8 c^2+8 b^10 c^2-4 a^8 c^4-12 a^6 b^2 c^4+4 a^4 b^4 c^4+4 a^2 b^6 c^4+4 b^8 c^4+16 a^6 c^6+20 a^4 b^2 c^6+4 a^2 b^4 c^6-16 b^6 c^6-24 a^4 c^8-20 a^2 b^2 c^8+4 b^4 c^8+16 a^2 c^10+8 b^2 c^10-4 c^12+a^2 b^2 c^2 λ)=0,
que tiene una raíz doble (λ=0), por lo que se trata de un haz simplemente tangente, la cónica degenerada del haz, correspondiente a la otra raíz, consta de la recta tangente a Γ en A y la recta B1C1, con ecuación:
((b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)^2+a^8 (b^4-b^2 c^2+c^4)+a^6 (-4 b^6+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4-4 c^6)-a^2 (b^2-c^2)^2 (4 b^6+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4+4 c^6)+a^4 (6 b^8-5 b^6 c^2-b^4 c^4-5 b^2 c^6+6 c^8)) x+
a^2 b^2 (a^8+b^8-b^6 c^2-b^2 c^6+c^8-a^6 (4 b^2+c^2)+a^4 b^2 (6 b^2+c^2)+a^2 (-4 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4-c^6)) y+
a^2 c^2 (a^8+b^8-b^6 c^2-b^2 c^6+c^8-a^6 (b^2+4 c^2)+a^4 c^2 (b^2+6 c^2)+a^2 (-b^6+b^4 c^2+b^2 c^4-4 c^6)) z = 0.
- Lunes, 26 de abril del 2021
X(221) como centro radical
El 26 de abril de 1832 nació Robert Tucker matemático inglés, hizo contribuciones a la investigación en geometría. Escribió más de 40 artículos de investigación que se publicaron en las principales revistas. Estos artículos contienen una serie de ideas interesantes. Destaca especialmente su trabajo en el círculo de proporción triplicada, Círculos de Tucker
Dado un triángulo ABC, sea I=X1 el incentro y DEF el triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0).. Ab y Ac son los puntos de intersección de la recta ID con AC y AB, respectivamente; se definen Bc, Ba y Ca, Cb.
El
eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de las tres circunferencias (
AAbAc), (
BBcBa), (
CCaCb) es
X221,
cociente cevianoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). del incentro y el centro de homotecia exterior de las circunferencias circunscrita e inscrita.
La ecuación baricéntrica de la circunferencia (AAbAc) es:
c^2 x y + b^2 x z +
a^2 y z + (x + y + z) (-((a c^2 y)/(a + b - c)) - (a b^2 z)/(
a - b + c)) = 0.
Sean Oa(a (a^4-2 a^2 (b-c)^2-a^3 (b+c)+a (b-c)^2 (b+c)+(b-c)^2 (b^2+c^2)):-b^2 (b-c) (-a^2+(b-c)^2+2 a c):(-a^2+2 a b+(b-c)^2) (b-c) c^2), Ob, Oc los circuncentros de los triángulos AAbAc, BBcBa, CCaCb.
El punto fijo de la transformación afín, σ, que aplica
ABC en
OaObOc es
X109.
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en OaObOc, tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] =a (a^5-2 a^4 (b+c)+3 a^2 (b-c)^2 (b+c)-a^3 (b^2-6 b c+c^2)-b^5+b^4 c-2 a b (b-c)^2 c+b c^4-c^5),
ℳ[1,2] = a^2 (a-c) (a^3+b^3-3 b^2 c+b c^2+c^3-a^2 (b+c)-a (b^2-4 b c+c^2)),
ℳ[1,3] = a^2 (a-b) (a^3+b^3+b^2 c-3 b c^2+c^3-a^2 (b+c)-a (b^2-4 b c+c^2)).
Su punto fijo, correspondiente al valor propio,
λ = -(b+c-a)^2 (a+b-c)^2 (a-b c)^2,
es
X109 = (a^2/((a - b - c) (b - c)) : ... : ...).
Pares {X=Xi, X'=σ(X)=Xj}, con {i, j}: {1, 11248}, {8, 1158}, {109, 109}, {145, 3811}, {651, 692}, {3886, 39877}, {4551, 23845}, {5930, 3579}, {21147, 3}.
- Jueves, 22 de abril del 2021
Una involución sobre la recta de Euler
El 22 de abril de 1929 nació Michael Atiyah.
Por el impacto de su trabajo, ganó los premios de matemáticas más importantes a nivel mundial: la Medalla Fields en 1966 (considerada el Premio Nobel de matemáticas, y otorgada solo una vez cada 4 años), y el Premio Abel en 2004.
Su primera contribución importante fue el desarrollo, en 1959 y en colaboración con Hirzebruch, de la llamada “teoría K topológica” (o “K-teoría topológica”).
Otro de los resultados notables de Atiyah fue la demostración en 1963, junto con Singer, del llamado “teorema del índice”, o “teorema de Atiyah-Singer”.
Entre sus numerosos publicaciones figura "Introducción al Álgebra Conmutativa",
este libro tuvo su origen en un curso de lecciones dadas a los alumnos de la Universidad de Oxford y está destinado a estudiantes que aparte de los estudios básicos de Algebra lineal y Calculo, hayan seguido un curso introductorio de Algebra, y que además tenga una cierta disposición para el razonamiento abstracto.
Dado un triángulo ABC y un punto P, sean Ab y Ac puntos sobre AB y AC, respectivamente, tales que AP=PAb=PAc. Sea Oa el circuncentro de PAbPc y se definen Ob y Oc cíclicamente.
Los triángulos
ABC y
OaObOc son
ortológicosDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. si y solo si
P está sobre la recta de Euler o sobre la circunferencia circunscrita.
Si el punto P está sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
, Oa está sobre la mediatriz de BC. El centro de ortología, Q, de ABC respecto a OaObOc está sobre la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}; sea P' en conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de Q (que está sobre la recta de Euler).
La aplicación σ: P ↦ P' es una involución sobre la recta de Euler.
Si P=O+tH (O=X3 el circuncentro y H=X4) entonces:
P'= 8SASBSC Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard).t O + a²b²c² H.
Son pares de puntos conjugados {X3, X4} y {X1113, X1114}, puntos de intersección de la circunferncia circunscrita con la recta de Euler.
Los puntos fijos de σ son:
F+, F- = ( a (b c SBSC ± Sqrt[2] a SA Sqrt[SASBSC]) : ... : ...),
que tienen números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
±(1.002451878044815, 1.123499353117659, -1.538169300646643).
Los puntos F+ y F- han sido incorporados a ETC (27/04/2021) con los números X(42789) y X(42790) (1st Montesdeoca-Euler point y 2nd Montesdeoca-Euler point, respectivamente).
F+ y F- son inversos respecto a la circunferencia circunscrita y son reales solo si el triángulo ABC es acutángulo
F+ y F- son los puntos de intersección (a parte del circuncentro) de la recta de Euler con la cúbica K114 y con la cuártica Q023.
El punto medio de F+ y F- es X186, inverso del ortocentro en la circunferencia circunscrita.
Son pares conjugados en la involución σ (conjugados armónicos de lso puntos fijos) los siguientes pares {P=Xi, P'=Xj}, con {i, j}: {2, 378}, {3, 4}, {5, 3520}, {20, 24}, {21, 7414}, {22, 18533}, {23, 10295}, {25, 376}, {26, 35471}, {27, 7430}, {28, 3651}, {29, 7421}, {30, 186}, {140, 14865}, {237, 35474}, {381, 35473}, {382, 21844}, {384, 35476}, {403, 2071}, {411, 37117}, {412, 37115}, {427, 35921}, {468, 7464}, {470, 35469}, {471, 35470}, {548, 34484}, {549, 13596}, {550, 3518}, {631, 1593}, {1006, 4219}, {1012, 37441}, {1113, 1114}, {1325, 37979}, {1594, 14118}, {1597, 3524}, {1598, 3528}, {1656, 35475}, {1658, 34797}, {1995, 35485}, {2070, 13619}, {2073, 36026}, {2074, 36001}, {3088, 7509}, {3090, 3516}, {3091, 35477}, {3146, 32534}, {3147, 12085}, {3153, 37970}, {3515, 3529}, {3517, 17538}, {3522, 10594}, {3523, 35502}, {3541, 7503}, {3542, 11413}, {3543, 35472}, {3545, 11410}, {3575, 7512}, {3627, 17506}, {3628, 35478}, {3843, 23040}, {4185, 6876}, {4220, 4227}, {4221, 4231}, {4222, 37403}, {4230, 7422}, {4235, 7418}, {4238, 7425}, {4241, 7440}, {4242, 14127}, {4246, 7429}, {4249, 7433}, {4250, 7442}, {5000, 40894}, {5001, 40895}, {5059, 35479}, {5198, 21735}, {5899, 35489}, {6143, 14130}, {6240, 7488}, {6353, 21312}, {6636, 7576}, {6644, 35481}, {6875, 37194}, {6905, 37305}, {6906, 7412}, {6998, 7431}, {7411, 36009}, {7413, 7436}, {7441, 7463}, {7452, 7454}, {7456, 7461}, {7470, 27369}, {7480, 36164}, {7482, 36166}, {7487, 10323}, {7496, 35484}, {7501, 7580}, {7502, 18559}, {7505, 12084}, {7513, 37120}, {7517, 35503}, {7526, 37119}, {7527, 37118}, {7531, 37195}, {7556, 37196}, {7577, 18570}, {10018, 12086}, {10151, 37948}, {10298, 35480}, {10299, 11403}, {11250, 16868}, {11284, 35483}, {12082, 37460}, {14709, 14710}, {15559, 37126}, {15702, 35501}, {15750, 33703}, {16042, 35492}, {16049, 31384}, {16386, 37951}, {17562, 37426}, {18535, 19708}, {18560, 22467}, {18859, 37943}, {21669, 37289}, {26863, 33923}, {30267, 30733}, {34864, 35482}, {37114, 37200}, {37925, 37931}, {37934, 37946}, {37959, 37961}.
- Martes, 20 de abril del 2021
Punto de Prasolov
El 20 de abril de 1923, en Italia, Benito Mussolini suprime el recuerdo del Primero de Mayo (la masacre contra los obreros de Chicago, 1886). En España, la celebración del primero de mayo, sepultada con la guerra civil, reaparece en los años cincuenta transformada en Fiesta de San José Artesano, patrón de los trabajadores católicos.
En 1955 Pío XII introduce en el calendario oficial la festividad de San José Obrero, como patrón de los trabajadores, el día 1 de mayo.
X(68), Prasolov point
The reflections of the vertices of the
orthic triangleLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). in X(5) are the vertices of the 2nd Euler triangle, A'B'C'. The lines AA', BB', CC' concur in X(68), as proved in V. V. Prasolov, Zadachi po planimetrii, Moscow, 4th edition, 2001.
The Prasolov point of a triangle is the isogonal conjugate of its point X(24), perspector of ABC and reflection of X(4) in orthic triangle.
The parallel from C to the reflection of the B-altitude on the A-altitude, and the parallel from B to the reflection of the C-altitude on the A-altitude intersect at A*. Define analogously B*, C*. The lines AA*, BB*, CC*
concur at the Prasolov point.
Let Oa be the circle centered at the A-vertex of the orthic triangle and passing through A; define Ob and Oc cyclically. Then X(68) is the radical center of Oa, Ob, Oc. (Randy Hutson, November 2, 2017)
Let A'B'C' be the
circlecevian triangleEl triángulo circuloceviano de un punto P respecto el triángulo ABC es el triángulo A'B'C' formado por las segundas intersecciones de las cevianas de P con las circunferencias (PBC), (PCA), (PAB). Si P(u:v:w), en baricénticas,
A' = (a^2 v w (u + v + w) : -v (c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w) : -w (c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w) and H its orthocenter. The circle with diameter AA’ and the circle {PBC} intersect at A". Define analogously B", C". The lines AA", BB", CC" concur at Prasolov point.
Let Ha, Hb, Hc be the feet of the altitudes of ABC. The circle centered at Ha through A and its analogs have as radical center the Prasolov point Pr.
Let Ad, Bd, Cd the
orthopolesLos tres vértices A, B y C de un triángulo se proyectan ortogonalmente sobre una recta ℓ en A', B' y C', entonces, las perpendiculares por A' a BC, por B' a AC y por C' a AB concurren en un punto que se llama el ortopolo de la recta ℓ respecto del triángulo ABC. of the diameters of the circumcircle orthogonal to OA, OB, OC, O being the circumcenter. Then AAd, BBd, CCd concur at the Prasolov point.
Dado un triángulo ABC con triangulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). DEF, sean las circunferencias Γab, de centro E y radio CF, y Γac, de centro F y radio BE. Se denota por ℓa el eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de las circunferencia Γab y Γac, y se definen ℓb y ℓc, cíclicamente.
Las rectas ℓa, ℓb, ℓc concurren en el punto de Prasolov.
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• Un caso más general consiste en tomar como DEF el triangulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de un punto P, en vez del triángulo ceviano del ortocentro, como acabamos de exponer.
La ecuación baricéntrica de ℓa, si P(u:v:w), es ahora:
(c^2 (u^2+v^2) (u+w)^2-b^2 (u+v)^2 (u^2+w^2)) x+(-b^2 u (u+v)^2 (u-w)+(u+w) (-a^2 (u+v)^2 w+c^2 u (u^2-2 u v-v^2+2 u w))) y+(-(-c^2 u (u-v)-a^2 v (u+v)) (u+w)^2-b^2 u (u^3+u^2 (3 v-2 w)-v w^2+u (2 v^2-2 v w-w^2))) z =0
Las rectas ℓ
a,, ℓ
a,, ℓ
a concurren en
Q si solo si
P está sobre la cúbica de Lucas (
K007).
Si P=X7 es el punto de GergonneEn todo triángulo las rectas que unen sus vértices con los puntos de contacto de la circunferencia inscrita y los lados opuestos a dichos vértices son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina punto de Gergonne. Es el punto X7 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es 1/(b+c-a)., el punto de concurrencia es Q7 = (r-3R) X1 + 3R X2:
Q7 = ( a (a^3 - a^2 (b + c) -
a (b^2 - 6 b c + c^2)+ b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(14.0506894848616, 2.51433390781734, -4.58496183190220).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {1, 12629}, {40, 3680}, {6762, 7982}, {6765, 11519}, {9943, 12448}, {10912, 12513}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {1, 22837}, {3, 11260}, {8, 10916}, {40, 8666}, {355, 3813}, {1482, 33895}, {2136, 8715}, {3811, 1}, {3913, 1385}, {5534, 40257}, {6765, 22836}, {12437, 13607}, {12635, 10222}, {12640, 6684}, {12699, 13463}, {25438, 11715}, {32049, 5}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,2}, {3,3880}, {5,32049}, {9,3884}, {34,38462}, {35,3895}, {36,38901}, {40,104}, {46,14923}, {56,10914}, {63,5288}, {72,2098}, {77,17151}, {79,34690}, {90,1320}, {100,37618}, {106,11512}, {169,4051}, {322,24179}, {355,3813}, {405,5919}, {474,20323}, {515,21627}, {516,12650}, {517,1158}, {518,1351}, {528,18481}, {529,12699}, {596,4320}, {728,24036}, {758,6762}, {944,12520}, {952,6261}, {956,3057}, {958,9957}, {990,17766}, {993,1697}, {998,1222}, {999,5836}, {1001,31792}, {1056,12609}, {1145,20586}, {1319,3893}, {1329,11373}, {1376,24928}, {1385,3913}, {1387,25681}, {1388,5440}, {1420,25440}, {1490,28236}, {1706,11525}, {1770,20076}, {2099,3555}, {2136,3576}, {2170,17742}, {2321,3554}, {2801,7971}, {2829,12700}, {2975,3885}, {3174,16576}, {3189,7967}, {3304,3753}, {3333,3754}, {3338,13375}, {3340,3874}, {3419,10944}, {3421,21616}, {3434,36977}, {3436,30384}, {3476,5082}, {3579,11194}, {3601,25439}, {3612,3871}, {3649,34749}, {3678,15829}, {3681,5330}, {3812,7373}, {3825,37704}, {3868,25415}, {3878,7962}, {3881,11529}, {3892,11518}, {3898,31435}, {3899,3951}, {3901,11280}, {3918,5437}, {3968,11530}, {3991,34522}, {4004,4860}, {4333,20067}, {4342,12572}, {4345,5815}, {4347,34039}, {4421,13624}, {4652,11010}, {4695,32577}, {4731,16862}, {4855,21842}, {4863,37738}, {4917,24926}, {4919,21384}, {4973,5128}, {5010,34758}, {5048,5730}, {5086,37708}, {5176,10826}, {5248,31393}, {5250,5258}, {5252,24390}, {5289,34790}, {5441,34719}, {5534,40257}, {5541,7280}, {5587,24387}, {5603,21077}, {5696,30318}, {5708,10107}, {5731,12541}, {5770,6705}, {5790,32537}, {5853,5882}, {5854,12737}, {5855,37533}, {5881,24392}, {5886,12607}, {5904,11682}, {6361,34610}, {6553,31425}, {6684,12640}, {6763,12653}, {6906,12703}, {7993,16143}, {8058,37628}, {8168,25405}, {8688,35227}, {9312,38468}, {9578,25639}, {9614,21630}, {9619,20691}, {9620,17448}, {9819,31424}, {9943,12448}, {9955,11236}, {10074,39776}, {10085,38669}, {10179,11108}, {10222,12635}, {10284,22936}, {10310,17648}, {10389,35016}, {10393,37740}, {10543,34699}, {10563,31663}, {10595,25568}, {10698,12665}, {10827,11680}, {10980,33815}, {11014,12625}, {11235,18480}, {11362,37611}, {11376,17757}, {11496,13600}, {11523,16200}, {11681,23708}, {11715,25438}, {12245,24477}, {12437,13607}, {12454,26352}, {12455,26351}, {12536,18444}, {12577,12654}, {12630,30284}, {12642,30285}, {12643,18448}, {12644,18456}, {12645,33956}, {12646,18454}, {12652,28526}, {14407,15346}, {15325,37828}, {16284,24203}, {16486,38496}, {19604,37571}, {22560,26286}, {22758,23340}, {22791,34640}, {25718,38459}, {26446,32426}, {30852,37735}, {32920,34036}, {33697,34706}, {33858,37401}, {35258,37563}, {35634,37620}, {37588,37817}, {37615,38122}.
• Caso en el que DEF es el triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . de un punto P(u:v:w).
La ecuación del eje radical de las circunferencias Γab y Γac es:
ℓa: (c^2 (a^2-c^2)^2 v^2-b^6 w^2-b^2 (a^4 w^2+2 a^2 c^2 u (-v+w)+c^4 (2 u^2+2 v^2+w^2+2 u (v+w)))+b^4 (2 a^2 w^2+c^2 (2 u^2+v^2+2 w^2+2 u (v+w)))) x+(-b^6 w^2-(-a^2 c+c^3)^2 v (u+w)-b^2 (a^4 w^2-2 a^2 c^2 (2 u v+v^2-u w+v w)+c^4 (2 u^2+2 u w-2 v w+w^2))+b^4 (2 a^2 w^2+c^2 (2 u^2+u v+2 u w-v w+2 w^2))) y+(c^2 (a^2-c^2)^2 v^2+b^6 (u+v) w+b^4 (-2 a^2 (u+v) w+c^2 (2 u^2+2 u v+v^2-2 v w))+b^2 (a^4 (u+v) w+2 a^2 c^2 (u (v-2 w)-w (v+w))-c^4 (2 u^2+v (2 v-w)+u (2 v+w)))) z = 0.
Las rectas ℓa, ℓa, ℓa son concurrentes, para todo puntos P en el plano de ABC.
El punto de concurrencia es:
Q = (a^6 u v w+(b^2-c^2)^2 u^2 (c^2 v+b^2 w)+a^4 (c^2 v (u^2+2 u (v-w)+2 v (v+w))+b^2 w (u^2-2 u (v-w)+2 w (v+w)))-a^2 (c^4 v (2 u^2+u (2 v-w)+2 v (v+w))+b^4 w (2 u^2-u (v-2 w)+2 w (v+w))+2 b^2 c^2 (2 v w (v+w)-u (v^2-v w+w^2))): ...: ...).
Algunos pares {P=Xi, Q=Xj}, con {i,j}: {3, 3}, {4, 68}, {20, 20427}, {21, 16139}, {23, 32599}, {40, 1158}, {3098, 11178}, {3579, 22936}, {6194, 31958}, {7691, 6288}, {15062, 18442}.
2
- Lunes, 19 de abril del 2021
Proyectividad sobre la recta de Euler y los centros X(5000) y X(5001)
El 19 de abril de 1832, nació José Echegaray , ingeniero, dramaturgo, político y matemático español. Obtuvo el Premio Nobel de Literatura en 1904. Realizó importantes aportaciones a las matemáticas y a la física. Introdujo en España la geometría de Chasles, la teoría de Galois, las funciones elípticas. Fue autor de obras de carácter científico, especialmente de matemáticas, y literariamente de obras teatrales, sesenta y siete en total, de las que treinta y cuatro, fueron en verso.
Dado un triángulo ABC, con triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). DEF, sea P un punto y P' su conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales.. Las reflexiones ℓa, ℓb, ℓc de AP', BP', CP' en EF, FD, DE, respectivamente, son concurrentes, en P", si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
.
En el primer caso, P" en la imagen de P mediante la homotecia de centro el baricentro y razón -1/2, es decir, P" queda sobre la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
.
Cuando P está sobre la recta de Euler, P" queda en esta misma recta.
La aplicación P ↦ P"=σ(P) es una proyectividad sobre la recta de Euler y sus puntos fijos son el punto de Walsmith y su inverso respecto la circunferencia circunscrita.
Si P=X(3)+tX(4), entonces P" = 4SASBSC Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard). t X(3) + (a^2 b^2 c^2+4 SASBSC t) X(4).
Los puntos fijos, X5000 y X5001, de σ se obtienen para:
t=(2SASBSC ± S Sqrt[2 (a^2+b^2+c^2)SASBSC])/(4 SA SBSC).
Pares {P=Xi, P"=Xj}, ambos sobre la recta de Euler, para {i, j}: {2, 427}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 1594}, {20, 235}, {21, 429}, {22,
25}, {23, 468}, {24, 3}, {25, 2}, {26, 24}, {27, 3136}, {28,
442}, {29, 3142}, {30, 403}, {140, 15559}, {199, 27}, {237,
297}, {297, 2450}, {376, 1596}, {378, 381}, {381, 7577}, {382,
16868}, {403, 2072}, {404, 1883}, {405, 5142}, {411, 37368}, {419,
21531}, {420, 21536}, {427, 5133}, {428, 37990}, {429, 37983}, {458,
37988}, {468, 858}, {631, 1595}, {851, 37371}, {858, 37981}, {859,
860}, {862, 26019}, {1011, 469}, {1013, 1985}, {1113, 1313}, {1114,
1312}, {1325, 37982}, {1344, 1347}, {1345, 1346}, {1583,
3127}, {1584, 3128}, {1593, 3091}, {1594, 5576}, {1597,
3545}, {1598, 3090}, {1599, 32588}, {1600, 32587}, {1628,
454}, {1658, 6240}, {1995, 5094}, {2070, 186}, {2071, 10151}, {2073,
33329}, {2074, 30447}, {2075, 36195}, {2409, 3150}, {2915,
28}, {2937, 3518}, {3129, 470}, {3130, 471}, {3131, 473}, {3132,
472}, {3135, 467}, {3145, 29}, {3147, 23335}, {3148, 458}, {3155,
1585}, {3156, 1586}, {3515, 20}, {3516, 3832}, {3517, 631}, {3518,
140}, {3520, 546}, {3522, 1906}, {3523, 1907}, {3541, 7403}, {3542,
11585}, {3575, 13160}, {3627, 35487}, {3651, 15763}, {4184,
430}, {4185, 2476}, {4186, 4193}, {4189, 1904}, {4213,
34119}, {4214, 5141}, {4216, 1894}, {4219, 8226}, {4220,
37362}, {4222, 4187}, {4224, 25985}, {4225, 407}, {4227,
30444}, {4230, 868}, {4231, 37360}, {4232, 30739}, {4235,
3143}, {4238, 3140}, {4240, 3134}, {4241, 3138}, {4242, 867}, {4246,
3139}, {4247, 16052}, {5000, 5000}, {5001, 5001}, {5020, 8889}, {5064, 37353}, {5094,
5169}, {5198, 5056}, {5200, 1591}, {5899, 37943}, {6143,
33332}, {6240, 10024}, {6353, 1368}, {6617, 6619}, {6636,
428}, {6642, 3541}, {6644, 378}, {6660, 419}, {6756, 14788}, {6995,
37439}, {7387, 3542}, {7412, 6831}, {7414, 6841}, {7420,
37381}, {7428, 11105}, {7430, 15762}, {7452, 3137}, {7461,
14010}, {7464, 37984}, {7466, 37315}, {7473, 36189}, {7476,
37986}, {7480, 3154}, {7482, 14120}, {7484, 7378}, {7485,
5064}, {7487, 7399}, {7488, 3575}, {7492, 10301}, {7494,
15809}, {7497, 6829}, {7501, 6907}, {7502, 7576}, {7503,
7507}, {7505, 13371}, {7506, 37119}, {7512, 6756}, {7517,
7505}, {7520, 37376}, {7526, 7547}, {7556, 37458}, {7575,
10295}, {7576, 37347}, {7577, 39504}, {7580, 37372}, {9714,
3147}, {9715, 7487}, {9909, 6353}, {10295, 11799}, {10323,
1598}, {10594, 1656}, {11107, 27555}, {11325, 5025}, {11328,
5117}, {11334, 5136}, {11337, 4185}, {11340, 1889}, {11350,
4196}, {11403, 5068}, {11410, 3839}, {11413, 37197}, {11414,
3089}, {12084, 35488}, {12086, 10019}, {12088, 21841}, {12106,
37118}, {13564, 34484}, {13596, 5066}, {13619, 11563}, {13621,
6143}, {13730, 406}, {13738, 5125}, {13739, 27687}, {14015,
37346}, {14017, 405}, {14070, 18533}, {14118, 23047}, {14865,
3850}, {15247, 16246}, {15329, 35235}, {15750, 3146}, {16049,
431}, {16064, 14004}, {16372, 31909}, {16868, 10224}, {16876,
862}, {17506, 3853}, {17516, 5154}, {17523, 4197}, {17562,
8728}, {17928, 1593}, {18324, 35480}, {18378, 14940}, {18533,
15760}, {18535, 5071}, {19219, 15235}, {20831, 451}, {20832,
21}, {20833, 4222}, {20834, 4213}, {20835, 4207}, {20836,
3144}, {20837, 411}, {20838, 412}, {20850, 38282}, {20851,
4248}, {20854, 420}, {20857, 15149}, {20877, 423}, {20897,
11331}, {20918, 37168}, {21213, 22}, {21284, 23}, {21312,
6623}, {21525, 4230}, {21844, 3627}, {22467, 1885}, {26863,
35018}, {26874, 6755}, {27369, 6656}, {28348, 17555}, {30733,
21530}, {31384, 37361}, {31510, 37985}, {32534, 382}, {33849,
26020}, {34008, 463}, {34009, 462}, {34484, 3628}, {34797,
13406}, {35471, 15761}, {35472, 3830}, {35473, 3845}, {35475,
3858}, {35477, 3843}, {35478, 3856}, {35479, 1657}, {35480,
10254}, {35488, 10255}, {35501, 41106}, {35502, 3851}, {35988,
37432}, {36009, 6881}, {36176, 1316}, {37034, 475}, {37117,
6842}, {37122, 7405}, {37183, 460}, {37194, 6828}, {37245,
5177}, {37250, 37384}, {37257, 4200}, {37259, 11109}, {37289,
37447}, {37295, 37354}, {37305, 1532}, {37311, 1884}, {37387,
6991}, {37391, 6945}, {37440, 10018}, {37441, 8727}, {37453,
31074}, {37777, 5159}, {37814, 18560}, {37898, 37912}, {37908,
857}, {37917, 2071}, {37920, 5189}, {37921, 36191}, {37922,
13619}, {37925, 37942}, {37928, 37777}, {37932, 2070}, {37933,
7464}, {37937, 37987}, {37939, 37935}, {37940, 37931}, {37941,
13473}, {37943, 37938}, {37951, 10257}, {37953, 37934}, {37954,
3153}, {37969, 7426}, {37970, 18403}, {38444, 12173}, {39568, 6622}.
Tomando tres de estos pares correspondientes en la proyectividad, tenemos una construcción de los centros X5000 y X5001, cuando el triángulo ABC es acutángulo. Por ejemplo, podemos tomar los pares {O, H}, {H, N}, {gtH, G} y usar la construcción de puntos fijos, como se expone en:
"construir los puntos dobles de una proyectividad".
Herramientas de GeoGebra para determinar el los puntos dobles de una proyectividad definida sobre una recta:
ProyectividadMismaRecta.ggt y
PuntosDoblesProyectividad.ggt
- Viernes, 16 de abril del 2021
Los centros X(3513) y X(3514) como puntos dobles de una proyectividad
El 16 de abril de 1889 nació en Londres, Charles Chaplin, actor cómico del cine mudo conocido por su interpretación de Charlot, y también productor y guionista cinematográfico.
Chaplin y su alter ego, el Vagabundo, simbolizan la capacidad del cine para hacernos llorar y reír al mismo tiempo.
Enlaces relacionados:
ESTE: Los centros X(3513) y X(3514) como puntos dobles de una proyectividad
Los centros del triángulo X(3513) y X(3514)
X(3513) and X(3514)
X(3513) is a point of intersection of three similar ellipses, each having two of the points A, B, C as foci. (Contributed by David Eppstein, 7/10/08)
X(3513) is the point P such that the incenter of the circumcevian triangle of P is also the incenter of triangle ABC. (Randy Hutson, 9/23/2011)
X(3513) and X(3514) are the
limiting pointsThe members of a coaxal system of circles which are of zero radius are called the limiting points of the sytem (point-circles, polos del haz) of the coaxal system.
(point-circles) of the coaxal system that includes the circumcircle and incircle. Their midpoint, X(3660), is the radical trace of the incircle and circumcircle. (Peter Moses, November 15, 2011)
X(3513) and X(3514) are inverses with respect to the incircle and the circumcirle.
Dado un triángulo ABC, con incentro I=X1, circuncentro O=X3 y triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
DEF, sea P un punto. Las reflexiones ℓa, ℓb, ℓc, de AP, BP, CP en los lados EF, FD, DE, respectivamente, son concurrentes si y sólo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la recta IO.
En el primer caso, las rectas ℓa, ℓb, ℓc son paralelas, con punto en el infinito el conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de P.
Si P está sobre IO,
P=({a (a^2 (b+c)-(b-c)^2 (b+c)-a^3 (1+t)+a (-2 b c+b^2 (1+t)+c^2 (1+t))) : b (-a^3+a (b-c)^2-(b^2-c^2) (b-c+b t)+a^2 (b+c+b t)) : c (-a^3+a (b-c)^2+a^2 (b+c+c t)-(b^2-c^2) (b-c (1+t)))}),
el punto de concurrencia Q de ℓa, ℓb, ℓc,
Q = (-(b-c)^4 (b+c)^3 t+2 a^7 (1+t)-a^6 (b+c) (4+3 t+t^2)+a^5 (-2 b c (-6-2 t+t^2)+b^2 (-2-2 t+t^2)+c^2 (-2-2 t+t^2))-a^2 (b-c)^2 (b+c) (-2 b c (4+t)+b^2 (4+t+t^2)+c^2 (4+t+t^2))+a (b^2-c^2)^2 (-4 b c (1+t)+b^2 (2+2 t+t^2)+c^2 (2+2 t+t^2))-2 a^3 (b-c)^2 (b^2 (1+t+t^2)+c^2 (1+t+t^2)+b c (6+2 t+t^2))+a^4 (b+c) (-2 b c (8+3 t+t^2)+b^2 (8+5 t+2 t^2)+c^2 (8+5 t+2 t^2)) :
-a^7 t+(b-c)^3 (b+c)^2 (c^2 t+2 b^2 (1+t)-b c (2+t+t^2))-a^5 (-3 c^2 t+4 b c (1+t)+b^2 (4+t+t^2))+a^6 (c t+b (2+2 t+t^2))+a^2 (3 c^5 t-2 b^2 c^3 (4+t)+4 b^3 c^2 (5+t)-b^4 c (8+t)+b^5 (-2-2 t+t^2)-b c^4 (2+2 t+t^2))-a^4 (3 c^3 t+2 b^3 (1+t+t^2)+b c^2 (2+2 t+t^2)-b^2 c (12+3 t+t^2))-a (b^2-c^2) (c^4 t-4 b c^3 (1+t)+2 b^3 c (-6-2 t+t^2)+b^4 (4+3 t+t^2)+b^2 c^2 (12+4 t+t^2))+a^3 (-3 c^4 t+8 b c^3 (1+t)-2 b^2 c^2 (4+t)+2 b^3 c (-4+t^2)+b^4 (8+5 t+2 t^2)):
-a^7 t-(b-c)^3 (b+c)^2 (b^2 t+2 c^2 (1+t)-b c (2+t+t^2))+a^5 (3 b^2 t-4 b c (1+t)-c^2 (4+t+t^2))+a^6 (b t+c (2+2 t+t^2))+a^2 (3 b^5 t-2 b^3 c^2 (4+t)+4 b^2 c^3 (5+t)-b c^4 (8+t)+c^5 (-2-2 t+t^2)-b^4 c (2+2 t+t^2))-a^4 (3 b^3 t+2 c^3 (1+t+t^2)+b^2 c (2+2 t+t^2)-b c^2 (12+3 t+t^2))+a (b^2-c^2) (b^4 t-4 b^3 c (1+t)+2 b c^3 (-6-2 t+t^2)+c^4 (4+3 t+t^2)+b^2 c^2 (12+4 t+t^2))+a^3 (-3 b^4 t+8 b^3 c (1+t)-2 b^2 c^2 (4+t)+2 b c^3 (-4+t^2)+c^4 (8+5 t+2 t^2))),
queda sobre la
hipérbola rectangular
( Ecuación baricéntrica:
(a^2 b-2 a b^2+b^3-a^2 c+b^2 c+2 a c^2-b c^2-c^3) x^2+(-a^3+3 a^2 b-3 a b^2+b^3+a c^2-b c^2) x y+(-a^3+2 a^2 b-a b^2-a^2 c+b^2 c+a c^2-2 b c^2+c^3) y^2+(a^3-a b^2-3 a^2 c+b^2 c+3 a c^2-c^3) x z+(a^2 b-b^3-a^2 c+3 b^2 c-3 b c^2+c^3) y z+(a^3+a^2 b-a b^2-b^3-2 a^2 c+2 b^2 c+a c^2-b c^2) z^2 = 0.
Pasa por los centros Xi, para i∈ {1, 7, 65 (ortocentro de DEF), 145, 224, 1071, 1317, 1537, 3174, 3307, 3308, 3649, 5586, 10044, 10052, 10427, 10940, 10941, 11570, 12854, 12913, 13375, 14100, 15185, 16006, 16236, 20581, 33667, 33859, 34502, 38371, 39771, 39772, 39773, 39774, 39775, 39776, 39777, 39778, 39779, 39780, 39781, 39782, 39783})
circunscrita a DEF y que pasa por I. El conjugado isogonal P' de Q, respecto a DEF,
P' = (-a (a+b-c) (a-b+c) (a^3 (b+c)-a (b-c)^2 (b+c)+(b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+c^2+2 b c (1+t))) : -b (a+b-c) (-a+b+c) (a^4-a^3 b+(b-c)^2 c (b+c)-a^2 (b^2-b c+2 c^2)+a b (b^2+c^2-2 b c (1+t))) : (a-b-c) c (a-b+c) (a^4-a^3 c+b (b-c)^2 (b+c)-a^2 (2 b^2-b c+c^2)+a c (b^2+c^2-2 b c (1+t)))),
queda sobre la recta IO.
La correspondencia
P ↦ P'=σ(
P) es una proyectividad sobre
IO, cuyos puntos dobles son X(3513) y X(3514).
Si P=I+t O ↦ σ(P)=P'=I+t' O,
t' = ((a^2-(b-c)^2)(b+c-a)((b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)+2abct))/
((b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)(a^3-a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)-a(b^2+c^2))-4a^2b^2c^2t).
Pares {P=Xi, P'=σ(P)=Xj}, para los índices {i, j}: {1, 65}, {3, 56}, {35, 32636}, {36, 1319}, {40, 37566}, {55, 57},
{56, 1}, {57, 354}, {65, 942}, {354, 5173}, {517, 18838}, {940,
10473}, {999, 2099}, {1155, 3660}, {1214, 40959}, {1381, 2446},
{1382, 2447}, {1388, 5903}, {1402, 3666}, {1403, 982}, {1420, 3057},
{1429, 20358}, {1460, 940}, {1466, 3333}, {1470, 999}, {1617, 55},
{2078, 1155}, {2099, 5902}, {2223, 241}, {2283, 3675}, {2352, 1214},
{3295, 5221}, {3303, 3339}, {3304, 3340}, {3336, 13751}, {3361,
17609}, {3513, 3513}, {3514, 3514}, {3660, 18839}, {5078, 5061},
{5172, 36}, {5193, 5048}, {5204, 1420}, {5217, 3361}, {5221, 18398},
{5563, 11011}, {5584, 1467}, {7742, 37579}, {8069, 1470}, {8071,
26437}, {10267, 1454}, {11011, 31794}, {11492, 5597}, {11493, 5598},
{11509, 3338}, {11510, 46}, {13462, 5919}, {14882, 3337}, {16678,
1402}, {16878, 37593}, {17798, 1429}, {18838, 5570}, {20323, 13601},
{21010, 7146}, {23853, 1403}.
Mostrar
Xn
en IO |
Primera coordenada baricéntrica de σ(Xn) |
σ(Xn)
en IO |
|
1 | a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) | X(65) |
|
3 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) | X(56) |
|
35 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a + b + c) | X(32636) |
|
36 | a (2 a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) | X(1319) |
|
40 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) + a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2) | X(37566) |
|
46 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) + a^3 (b + c) +
(b^2 - c^2)^2 - a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
55 | a (a + b - c) (a - b + c) | X(57) |
| 56 | a | X(1) |
|
57 | -(a ((b - c)^2 - a (b + c))) | X(354) |
|
65 | a (2 a b c + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c)) | X(942) |
|
165 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a (b - c)^2 + a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c)) | *** |
|
171 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c) + a (b^2 + c^2)) |
*** |
| 241 | a (a^2 + (b - c)^2) (-b^2 - c^2 + a (b + c)) |
*** |
| 354 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 + b c + c^2)) |
X(5173) |
| 484 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-(a^2 (b - c)^2) + a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a (b^3 + c^3)) | *** |
| 517 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2)) | X(18838) |
|
559 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^3 + b^3 - a^2 (b - 2 c) +
2 b^2 c - b c^2 - 2 c^3 + 2 a (b^2 + b c + c^2) +
b Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)])
(-2 a^3 - 2 b^3 + a^2 (2 b - c) - b^2 c + 2 b c^2 + c^3 +
2 a (b^2 + b c + c^2) + c Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) (2 a^4 b c + 2 a^5 (b + c) -
5 a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) - (b^2 - c^2)^2
(b^2 - 2 b c + c^2 - Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) + a (b - c)^2 (b + c)
(3 b^2 + 4 b c + 3 c^2 + Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c + c^4 -
2 c^2 Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)] +
b^2 (2 c^2 - 2 Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) -
2 b (c^3 + c Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)])))) |
*** |
|
940 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c) +
a (b^2 + b c + c^2)) | X(10473) |
|
942 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) - a (b + c)^3 +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
980 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^2 b c (b + c) +
a^3 (b + c)^2 + b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
a (b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
982 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + c^3 + a^2 (b + c) -
a (b^2 + c^2)) | *** |
| 986 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b^4 + 2 a^2 b c + b^3 c + b c^3 + c^4 + a^3 (b + c) +
a b c (b + c)) | *** |
| 988 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) + (b + c)^2 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 + 6 b c + c^2) + a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) |
*** |
| 999 | a (a + b - c) (a - b + c) (a - 2 (b + c)) |
X(2099) |
| 1038 | a (2 a^2 b (b - c)^2 c + a^5 (b + c) +
2 a^3 b c (b + c) + a^4 (b + c)^2 - (b^2 - c^2)^2
(b^2 + c^2) - a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
1040 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^2 b (b - c)^2 c +
a^5 (b + c) + 2 a^3 b c (b + c) - a^4 (b + c)^2 +
(b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) |
*** |
| 1060 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-4 a^3 b^2 c^2 + a^6 (b + c) - a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 +
(b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
1062 | a (a + b - c) (a - b + c) (4 a^3 b^2 c^2 + a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
1082 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 - b^3 + a^2 (b - 2 c) -
2 b^2 c + b c^2 + 2 c^3 - 2 a (b^2 + b c + c^2) +
b Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)])
(2 a^3 + 2 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 - c^3 + a^2 (-2 b + c) -
2 a (b^2 + b c + c^2) + c Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) (2 a^4 b c + 2 a^5 (b + c) -
5 a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a (b - c)^2 (b + c)
(3 b^2 + 4 b c + 3 c^2 - Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 2 b c + c^2 +
Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)]) +
a^2 (b^4 - 2 b^3 c + c^4 +
2 c^2 Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)] +
2 b^2 (c^2 + Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)]) +
2 b (-c^3 + c Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
6 a^2 (b^2 + c^2)])))) |
*** |
|
1155 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2)) | X(3660) |
|
1159 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 (b + c) +
2 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (2 b^2 + b c + 2 c^2) -
2 a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
1214 | a (-b^5 + 2 a^3 b c + b^4 c + b c^4 - c^5 + a^4 (b + c)) |
X(40959) |
|
1319 | -(a (2 a b c - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c))) |
X(517) |
| 1385 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
1388 | -(a (a b c - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c))) |
X(5903) |
| 1402 | a (b^2 + c^2 + a (b + c)) | X(3666) |
|
1403 | a (b^2 - b c + c^2) | X(982) |
|
1420 | a (a - b - c) ((b - c)^2 + a (b + c)) | X(3057) |
|
1429 | -(a (b (b - c)^2 c - a^2 (b^2 + c^2) + a (b^3 + c^3))) |
X(20358) |
| 1454 | -(a (a^4 (b - c)^2 - a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 - a (b - c)^2 (b + c)^3 +
2 a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
2 a^2 (b^4 - 2 b^3 c - 2 b c^3 + c^4))) | *** |
|
1460 | a (a^2 + 2 b c + a (b + c)) | X(940) |
|
1466 | a (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 6 b c + c^2)) | X(3333) |
|
1467 | -(a (-(a^5 (b + c)) + 2 a^3 (b - c)^2 (b + c) -
a (b - c)^4 (b + c) + a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 -
2 a^2 (b^4 + 6 b^2 c^2 + c^4))) | *** |
|
1470 | a^2 (a^2 - b^2 + 4 b c - c^2) | X(999) |
|
1482 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + b c + c^2)) |
*** |
| 1617 | a^2 (a - b - c) | X(55) |
|
1622 | a^2 (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) - a (b + c)^2)^2 | *** |
|
1697 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) +
a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 +
c^3)) | *** |
| 1715 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-(a^7 (b - c)^2 (b + c)) + a^8 (b + c)^2 + b c (b^2 - c^2)^4 +
a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 + c^2) - a^2 (b - c)^2 (b + c)^4
(b^2 - b c + c^2) + a^4 (b + c)^2 (3 b^4 - 5 b^3 c +
8 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 3 c^4) -
a^6 (3 b^4 + 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 3 c^4) +
3 a^5 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5) - a^3 (b - c)^2
(3 b^5 + 3 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 3 b c^4 + 3 c^5)) |
*** |
| 1735 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) - a^5 (b^2 + c^2) + (b - c)^2 (b + c)^3
(b^2 - b c + c^2) - a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - b c + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
a^3 (2 b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5)) | *** |
|
1754 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^3 (b - c)^2 (b + c)) +
b c (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) -
a^2 (b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4) +
a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
1758 | -(a (a^3 (b - c)^2 - a^4 (b + c) + a^2 b c (b + c) -
a (b - c)^2 (b^2 + c^2) + (b - c)^2 (b^3 + c^3))) | *** |
|
1764 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^3 (b - c)^2 (b + c)) +
a^4 (b + c)^2 + b c (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b - c)^2
(b^2 + b c + c^2) + a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
1771 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 b (b - c)^2 c (b + c)) +
b (b - c)^2 c (b + c)^3 + a^5 (b^2 + c^2) +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - b c + c^2) +
a^3 (-2 b^4 + b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4)) | *** |
|
1936 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b^2 - c^2)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) - a^2 (b - c)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^3 (b^3 + c^3) + a (b - c)^2 (b^3 + c^3)) | *** |
|
2061 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^16 + a^15 (b + c) -
3 a^13 (b - c)^2 (b + c) - 3 a^11 (b - c)^4 (b + c) +
a^14 (-5 b^2 + 2 b c - 5 c^2) + a (b - c)^6 (b + c)^7
(3 b^2 - 10 b c + 3 c^2) - (b - c)^6 (b + c)^8
(5 b^2 - 6 b c + 5 c^2) - a^12 (b - c)^2
(17 b^2 + 18 b c + 17 c^2) - a^3 (b - c)^4 (b + c)^5
(17 b^4 - 76 b^3 c + 38 b^2 c^2 - 76 b c^3 + 17 c^4) +
a^2 (b - c)^4 (b + c)^6 (37 b^4 - 48 b^3 c + 54 b^2 c^2 -
48 b c^3 + 37 c^4) + a^10 (b - c)^2 (95 b^4 + 116 b^3 c +
154 b^2 c^2 + 116 b c^3 + 95 c^4) +
a^9 (b - c)^2 (25 b^5 - 43 b^4 c - 142 b^3 c^2 - 142 b^2 c^3 -
43 b c^4 + 25 c^5) - a^4 (b - c)^4 (b + c)^2
(115 b^6 + 270 b^5 c + 381 b^4 c^2 + 388 b^3 c^3 +
381 b^2 c^4 + 270 b c^5 + 115 c^6) -
a^8 (b - c)^2 (185 b^6 + 278 b^5 c + 327 b^4 c^2 +
212 b^3 c^3 + 327 b^2 c^4 + 278 b c^5 + 185 c^6) -
a^7 (b - c)^2 (45 b^7 - 97 b^6 c - 363 b^5 c^2 - 353 b^4 c^3 -
353 b^3 c^4 - 363 b^2 c^5 - 97 b c^6 + 45 c^7) +
a^6 (b - c)^2 (193 b^8 + 368 b^7 c + 332 b^6 c^2 +
80 b^5 c^3 + 102 b^4 c^4 + 80 b^3 c^5 + 332 b^2 c^6 +
368 b c^7 + 193 c^8) + a^5 (b - c)^2 (39 b^9 - 81 b^8 c -
372 b^7 c^2 - 324 b^6 c^3 - 286 b^5 c^4 - 286 b^4 c^5 -
324 b^3 c^6 - 372 b^2 c^7 - 81 b c^8 + 39 c^9)) | *** |
|
2077 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - 3 a^2 (b - c)^2 -
a^3 (b + c) + a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
2078 | -(a (-2 a^2 + (b - c)^2 + a (b + c))) | X(1155) |
|
2093 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
a^2 (-3 b^2 + 2 b c - 3 c^2) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
2095 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
a^5 (2 b^2 + b c + 2 c^2) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + c^3) -
a^4 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
2098 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + b c + c^2) - a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) |
*** |
| 2099 | a (a b c + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c)) |
X(5902) |
| 2223 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-b^2 - c^2 + a (b + c)) | X(241) |
|
2283 | a (b - c)^2 (-b^2 - c^2 + a (b + c)) | X(3675) |
|
2352 | a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) (a^2 - b^2 - c^2) |
X(1214) |
| 2446 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b^4 - b^3 c - b^2 c^2 + b c^3 + a^3 (b + c) -
a^2 (b^2 + 5 b c - 2 c^2) +
4 b Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] -
2 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] - a (b^3 - 7 b^2 c + 5 b c^2 -
c^3 + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))])) (b^3 c - b^2 c^2 - b c^3 +
c^4 + a^3 (b + c) + a^2 (2 b^2 - 5 b c - c^2) -
2 b Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
4 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] - a (-b^3 + 5 b^2 c - 7 b c^2 +
c^3 + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))])) (a^7 (b + c) -
2 a^6 (b^2 + b c + c^2) - a^5 (b^3 - 16 b^2 c - 16 b c^2 +
c^3) + a^4 (4 b^4 - 23 b^3 c - 36 b^2 c^2 - 23 b c^3 +
4 c^4 + 6 b Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
6 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))]) -
a^3 (b^5 + 7 b^4 c - 44 b^3 c^2 - 44 b^2 c^3 + 7 b c^4 + c^5 +
8 b^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
8 b c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
8 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))]) + a (b + c)^2
(b^5 - 12 b^4 c + 11 b^3 c^2 + c^5 +
8 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
b^2 (11 c^3 + 8 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))]) -
12 b (c^4 + 2 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))])) +
(b + c)^3 (b^4 c - b^3 c^2 -
2 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] -
b^2 (c^3 + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))]) +
b (c^4 + 6 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))])) -
2 a^2 (b + c) (b^5 - 13 b^4 c + 15 b^3 c^2 + c^5 +
2 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
b^2 (15 c^3 + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))]) -
b (13 c^4 + 11 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))]))) |
*** |
|
2447 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 c - b^2 c^2 - b c^3 + c^4 +
a^3 (b + c) + a^2 (2 b^2 - 5 b c - c^2) +
2 b Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] -
4 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] + a (b^3 - 5 b^2 c + 7 b c^2 -
c^3 + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))])) (b^4 - b^3 c - b^2 c^2 +
b c^3 + a^3 (b + c) - a^2 (b^2 + 5 b c - 2 c^2) -
4 b Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
2 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] + a (-b^3 + 7 b^2 c - 5 b c^2 +
c^3 + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))])) (a^7 (b + c) -
2 a^6 (b^2 + b c + c^2) - a^5 (b^3 - 16 b^2 c - 16 b c^2 +
c^3) - a^4 (-4 b^4 + 23 b^3 c + 36 b^2 c^2 + 23 b c^3 -
4 c^4 + 6 b Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
6 c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))]) + a (b + c)^2
(b^5 - 12 b^4 c + 11 b^3 c^2 + 11 b^2 c^3 - 12 b c^4 + c^5 -
8 b^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
24 b c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] -
8 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))]) - 2 a^2 (b + c)
(b^5 - 13 b^4 c + 15 b^3 c^2 + 15 b^2 c^3 - 13 b c^4 + c^5 -
2 b^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
11 b c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] -
2 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))]) +
(b + c)^3 (b^4 c - b^3 c^2 - b^2 c^3 + b c^4 +
2 b^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] -
6 b c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
2 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))]) +
a^3 (-b^5 - 7 b^4 c + 44 b^3 c^2 + 44 b^2 c^3 - 7 b c^4 -
c^5 + 8 b^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
8 b c Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))] +
8 c^2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))])) | ***
|
|
2564 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(b^2 c^2 (b + c)^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 -
a^2 (b^2 + c^2)] + a^4 (3 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 3 c^3)
Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] +
a^2 (b^5 - b^4 c - 5 b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 - b c^4 + c^5)
Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] +
a^5 (3 b^2 + 8 b c + 3 c^2) Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] -
a^3 (b^4 + 6 b^3 c + 9 b^2 c^2 + 6 b c^3 + c^4)
Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] +
a (b + c)^2 (2 b^4 - b^2 c^2 + 2 c^4)
Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) (a^4 (b^2 + c^2) +
a^3 (-2 b^2 c + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 5 b^2 c^2 + c^4) +
2 a b (2 b^3 c - b c^3 + Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 +
c^4) - a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)]) +
b c (b^3 c + b c^3 + 2 Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 +
c^4) - a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)]))
(a^4 (b^2 + c^2) + 2 a^3 (b^3 - b c^2) +
a^2 (b^4 - 5 b^2 c^2 + c^4) + 2 a c (-(b^3 c) + 2 b c^3 +
Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) + a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) -
a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)]) +
b c (b^3 c + b c^3 + 2 Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 +
c^4) - a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)]))) |
*** |
|
2565 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-(b^2 c^2 (b + c)^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 -
a^2 (b^2 + c^2)]) - a^4 (3 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 +
3 c^3) Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] +
a^2 (-b^5 + b^4 c + 5 b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 + b c^4 - c^5)
Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] +
a^5 (3 b^2 + 8 b c + 3 c^2) Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] -
a^3 (b^4 + 6 b^3 c + 9 b^2 c^2 + 6 b c^3 + c^4)
Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] +
a (b + c)^2 (2 b^4 - b^2 c^2 + 2 c^4)
Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) (a^4 (b^2 + c^2) +
2 a^3 (b^3 - b c^2) + a^2 (b^4 - 5 b^2 c^2 + c^4) +
b c (b^3 c + b c^3 - 2 Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 +
c^4) - a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)]) -
2 a c (b^3 c - 2 b c^3 + Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) -
a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)])) (a^4 (b^2 + c^2) +
a^3 (-2 b^2 c + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 5 b^2 c^2 + c^4) +
b c (b^3 c + b c^3 - 2 Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 +
c^4) - a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)]) -
2 a b (-2 b^3 c + b c^3 + Sqrt[a^6 (b^2 + c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
b^2 c^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) -
a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)])) |
*** |
|
2646 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2) - a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) |
*** |
| 2662 | -(a (b^2 c^2 (b^2 - c^2)^4 +
a b (b - c)^4 c (b + c)^3 (b^2 + b c + c^2) -
a^9 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + a^3 (b - c)^2 (b + c)^3
(b^4 - 4 b^3 c + 3 b^2 c^2 - 4 b c^3 + c^4) -
a^8 (b^4 + 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4) -
a^4 (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 + 2 b^3 c + 7 b^2 c^2 + 2 b c^3 +
3 c^4) + a^7 (3 b^5 + 3 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 +
3 b c^4 + 3 c^5) - a^5 (b - c)^2 (3 b^5 + 5 b^4 c +
3 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 + 5 b c^4 + 3 c^5) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^6 + 2 b^4 c^2 - 2 b^3 c^3 + 2 b^2 c^4 +
c^6) + a^6 (3 b^6 + 4 b^5 c - 2 b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 -
2 b^2 c^4 + 4 b c^5 + 3 c^6))) | *** |
|
3057 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3))) | *** |
|
3072 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 b c (b + c) +
b (b - c)^2 c (b + c)^3 + a^5 (b^2 + c^2) +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 2 a^2 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 +
c^3) - 2 a^3 (b^4 + c^4)) | *** |
|
3075 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 b c (b + c) -
2 a^2 b (b - c)^2 c (b + c) + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a^5 (b^2 + c^2) + a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^3 (b^2 + c^2)^2) | *** |
|
3245 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 (b + c) +
2 (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 - b c + c^2) +
a (-2 b^3 + b^2 c + b c^2 - 2 c^3)) | *** |
|
3256 | a (2 a^2 - 3 (b - c)^2 + a (b + c)) | *** |
|
3295 | a (a + b - c) (a - b + c) (a + 2 (b + c)) | X(5221) |
|
3303 | a (a + b - c) (a - b + c) (a + 3 (b + c)) | X(3339) |
|
3304 | a (a + b - c) (a - b + c) (a - 3 (b + c)) | X(3340) |
|
3333 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) +
a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 +
c^3)) | *** |
| 3336 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-(a^2 (b - c)^2) + a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)) | X(13751) |
|
3337 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) +
a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 +
c^3)) | *** |
| 3338 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-(a^2 (b - c)^2) + a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3)) | *** |
|
3339 | -(a (8 a b c + 3 a^2 (b + c) - 3 (b - c)^2 (b + c))) |
*** |
| 3340 | -(a (4 a b c + 3 a^2 (b + c) -
3 (b - c)^2 (b + c))) | *** |
|
3359 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^4 (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b - c)^4 (b + c)^2 -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + c^2) + 4 a^3 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 +
c^4)) | *** |
| 3361 | a (8 a b c + a^2 (b + c) -
(b - c)^2 (b + c)) | X(17609) |
|
3428 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 2 a^3 (b + c) +
2 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
3503 | -(a (b^2 (b - c)^2 c^2 + a^2 (b - c)^2 (b^2 + c^2) -
a^3 (b^3 + c^3) - a b c (b^3 + c^3))) | ***
|
|
3513 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] -
b Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] -
c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] -
Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) | X(3513)
|
|
3514 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] -
b Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] -
c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] +
Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) | X(3514)
|
|
3550 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a (b - c)^2 + b c (b + c))) |
*** |
| 3576 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 6 b c + c^2)) | *** |
|
3579 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 - 4 b c + c^2)) | *** |
|
3587 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^4 (b + c) - a^4 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + c^2) - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
4 a^3 (b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4)) | *** |
|
3601 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) - a (b + c)^3 +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + 6 b c + c^2))) | *** |
|
3612 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 6 b c + c^2) - a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3))) |
*** |
| 3660 | -(a (a - b - c) ((b - c)^4 + a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) - a^2 (b^2 + c^2))) | X(18839) |
|
3666 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + 2 a b c + b^2 c + b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c)) | *** |
|
3670 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^4 + 2 a^2 b c + b^3 c +
b c^3 + c^4 + a^3 (b + c)) | *** |
|
3675 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (-b^2 - c^2 + a (b + c))
(a^3 - a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) +
a (b^2 - b c + c^2))) | *** |
|
3677 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3 +
3 a^2 (b + c) - 2 a (b^2 + c^2)) | *** |
|
3744 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 - 2 a b c + b^2 c + b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c)) | *** |
|
3745 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c) + (b + c)^3 +
2 a (b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
3746 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a + 3 (b + c)) | *** |
|
3748 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 + 3 b c + c^2)) | *** |
|
3749 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 - 4 a b c + b^2 c + b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c)) | *** |
|
3750 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c) +
a (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
3931 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) +
(b + c)^2 (b^2 + c^2) + a^2 (b^2 + 4 b c + c^2) +
a (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3)) | *** |
|
3953 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^4 + 2 a^2 b c + b^3 c +
b c^3 + c^4 + a^3 (b + c) - 2 a b c (b + c)) | *** |
|
3976 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^4 + 2 a^2 b c + b^3 c +
b c^3 + c^4 + a^3 (b + c) - 3 a b c (b + c)) | *** |
|
3999 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 b^3 - b^2 c - b c^2 +
3 c^3 + 3 a^2 (b + c) - 2 a (2 b^2 + b c + 2 c^2))) | *** |
|
4003 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3 +
3 a^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2)) | *** |
|
4038 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 b c (b + c) +
a (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2)) | *** |
|
4424 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^4 + 2 a^2 b c + b^3 c +
b c^3 + c^4 + a^3 (b + c) + 2 a b c (b + c)) | *** |
|
4689 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + 6 a b c + b^2 c +
b c^2 + c^3 + a^2 (b + c))) | *** |
|
4694 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^4 + 2 a^2 b c + b^3 c +
b c^3 + c^4 + a^3 (b + c) - 4 a b c (b + c)) | *** |
|
4860 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (2 b^2 + b c + 2 c^2))) | *** |
|
4883 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c) - 2 a (2 b^2 + 3 b c + 2 c^2))) | *** |
|
5010 | a (a + b - c) (a - b + c) (4 a + b + c) | *** |
|
5045 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3))) | *** |
|
5048 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
3 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) +
a (-3 b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 - 3 c^3)) | *** |
|
5049 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 + 11 b^2 c + 11 b c^2 + c^3)) | *** |
|
5061 | -(a (b (b - c)^2 c (b + c) - a^3 (b^2 + c^2) +
a (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4))) | *** |
|
5078 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + a b c - b c (b + c)) |
X(5061) |
| 5091 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b (b - c)^2 c (b + c) + a^3 (b^2 + c^2) - 2 a^2 (b^3 + c^3) +
a (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4)) | *** |
|
5119 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) +
a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 +
c^3))) | *** |
|
5122 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) - a (b + c)^3 +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - 8 b c + c^2))) | *** |
|
5126 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 8 b c + c^2) - a (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3)) |
*** |
| 5128 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(-3 a^2 (b - c)^2 + 3 a^3 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3))) | *** |
|
5131 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 - 6 b c + c^2) - a (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3))) | *** |
| 5137 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b c (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) - a^3 (b^3 + c^3) -
a^2 (b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4) +
a (b^5 + b^3 c^2 + b^2 c^3 + c^5)) | *** |
|
5143 | a (a + b - c) (a - b + c) (-b^3 + a (b - c)^2 - c^3 +
a^2 (b + c)) | *** |
| 5172 | a^2 (a^2 - b^2 + b c - c^2) |
X(36) |
| 5173 | -(a (-(a^4 (b + c)) + (b - c)^4 (b + c) +
2 a^2 b c (b + c) - 2 a (b^2 - c^2)^2 +
2 a^3 (b^2 + b c + c^2))) | *** |
|
5183 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
a^2 (-3 b^2 + 4 b c - 3 c^2) + 3 (b^2 - c^2)^2 +
a (-3 b^3 + b^2 c + b c^2 - 3 c^3))) | *** |
|
5193 | a (a - b - c) (2 a^2 - 3 (b - c)^2 - a (b + c)) |
X(5048) |
| 5204 | -(a (3 a - b - c) (a + b - c) (a - b + c)) |
X(1420) |
| 5217 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 a + b + c)) |
X(3361) |
|
5221 | -(a (3 a b c + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c))) |
X(18398) |
|
5228 | -(a (-(b (b - c)^2 c) - a (b - c)^2 (b + c) +
a^2 (b^2 + b c + c^2))) | *** |
|
5255 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c)^2 +
a^2 (b^2 + c^2) + a (b^3 + c^3)) | *** |
|
5264 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c)^2 +
a^2 (b^2 + c^2) + a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
5266 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + a^2 (b^2 + c^2) +
(b + c)^2 (b^2 + c^2) + a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
5269 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c) + (b + c)^3 +
2 a (b^2 + c^2)) | *** |
|
5285 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 + a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c))) | *** |
|
5329 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 - b c (b + c))) | *** |
|
5337 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^2 + c^2)
(a^3 + b c (b + c) + a (b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
5347 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 - a b c - b c (b + c))) |
*** |
| 5348 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(b c (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) - a^3 (b^3 + c^3) +
a (b - c)^2 (b^3 + c^3) - a^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 -
b c^3 + c^4))) | *** |
|
5363 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 - 3 b c (b + c) -
a (b^2 + c^2))) | *** |
| 5425 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^3 (b + c) + 2 (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + b c + c^2) -
a (2 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + 2 c^3)) | *** |
|
5482 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b c (b + c) +
a^5 (b + c)^2 + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^2 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
a^3 (2 b^4 + b^3 c + 6 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4)) | *** |
|
5535 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - b c + 2 c^2) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + c^3) - a^4 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3) + a^3 (4 b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + 4 c^4)) |
*** |
| 5536 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 + 2 a^2 (b - c)^2
(b^2 + b c + c^2) - a^4 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) +
a^3 (2 b^3 + b^2 c + b c^2 + 2 c^3) -
a (b - c)^2 (3 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
5537 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 - 4 a (b - c)^2 -
a^2 (b + c) + 3 (b - c)^2 (b + c)) | *** |
|
5538 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) - 2 a^5 (b + c)^2 +
(b - c)^4 (b + c)^3 - a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - b c + 2 c^2) -
a^4 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + 3 b^3 c - 10 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
5563 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (2 a - 3 (b + c))) |
X(11011) |
| 5570 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2
(b^2 + c^2) - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - b^4 c + 4 b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 - b c^4 + c^5)) |
*** |
| 5584 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(a^4 - 4 a^2 b c - 2 a^3 (b + c) + 2 a (b - c)^2 (b + c) -
(b^2 - c^2)^2)) | X(1467) |
|
5597 | -((a + b - c) (a - b + c) (a^4 b - a^3 b (b - 3 c) +
Sqrt[2] b (-b + c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] -
a^2 (b^3 + 6 b^2 c + 5 b c^2 + Sqrt[2]
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a (b^4 + 3 b^3 c - 5 b^2 c^2 + b c^3 +
2 Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(a^4 c + a^3 (3 b - c) c + Sqrt[2] (b - c) c
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] -
a^2 (5 b^2 c + 6 b c^2 + c^3 + Sqrt[2]
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a (b^3 c - 5 b^2 c^2 + 3 b c^3 + c^4 +
Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(-4 a^4 (b + c)^3 + 2 a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) -
Sqrt[2] (b^2 - c^2)^2
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - a (b - c)^2 (b + c)
(2 b^3 - 4 b^2 c - 4 b c^2 + 2 c^3 +
5 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a^3 (-20 b^3 c - 64 b^2 c^2 - 20 b c^3 +
Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a^2 (4 b^5 + 20 b^4 c - 24 b^3 c^2 + 4 c^5 +
5 Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
b^2 (-24 c^3 + 5 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
2 b (10 c^4 + 9 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])))) |
*** |
|
5598 | (a + b - c) (a - b + c) (a^4 b - a^3 b (b - 3 c) +
Sqrt[2] b (b - c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
a^2 (-b^3 - 6 b^2 c - 5 b c^2 +
Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
a (-b^4 - 3 b^3 c + 5 b^2 c^2 - b c^3 +
2 Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(a^4 c + a^3 (3 b - c) c + Sqrt[2] c (-b + c)
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
a^2 (-5 b^2 c - 6 b c^2 - c^3 +
Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
a (-(b^3 c) + 5 b^2 c^2 - 3 b c^3 - c^4 +
Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(-4 a^4 (b + c)^3 + 2 a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) +
Sqrt[2] (b^2 - c^2)^2
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + a (b - c)^2 (b + c)
(-2 b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 - 2 c^3 +
5 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
a^3 (20 b^3 c + 64 b^2 c^2 + 20 b c^3 +
Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a^2 (4 b^5 + 20 b^4 c - 24 b^3 c^2 - 24 b^2 c^3 + 20 b c^4 +
4 c^5 - 5 Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] -
18 Sqrt[2] b c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] -
5 Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])) |
*** |
|
5662 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^3 b (b - c)^2 c (b + c) +
a^6 (b + c)^2 + a^4 b c (b + c)^2 - a^5 (b + c)^3 +
b c (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + a (b - c)^2
(b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 - b c^4 + c^5) -
a^2 (b^6 - 4 b^5 c + 3 b^4 c^2 + 3 b^2 c^4 - 4 b c^5 + c^6)) |
*** |
| 5697 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2) -
a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3))) | *** |
|
5706 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 b c (b + c) +
b (b - c)^2 c (b + c)^3 + a^5 (b^2 + b c + c^2) +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
2 a^2 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
2 a^3 (b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4)) | *** |
|
5707 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 b c (b + c) +
b (b - c)^2 c (b + c)^3 + a^5 (b^2 + b c + c^2) +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
2 a^2 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
2 a^3 (b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
5708 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) - a (b + c)^3 +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - b c + c^2)) | *** |
|
5709 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^4 (b + c) - a^4 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + c^2) - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
4 a^3 (b^4 + c^4)) | *** |
|
5710 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c)^2 +
a^2 (b^2 + b c + c^2) + a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
5711 | a (a + b - c) (a - b + c) (b c (b + c)^2 +
a^2 (b^2 + b c + c^2) + a (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)) |
*** |
| 5885 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - b c + 2 c^2) - a^4 (b^3 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 + 4 c^4) -
a^2 (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5)) | *** |
|
5902 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)) | *** |
|
5903 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 + c^3)) | *** |
|
5908 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) +
a (b - c)^6 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^6 +
a^8 (b^2 + 4 b c + c^2) - 4 a^3 (b + c)
(b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3)^2 -
4 a^7 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2
(2 b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + 2 c^4) -
2 a^6 (2 b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4) +
2 a^4 (b - c)^2 (3 b^4 + 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 3 b c^3 +
3 c^4) + 2 a^5 (3 b^5 + b^4 c + 4 b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 +
b c^4 + 3 c^5)) | *** |
|
5919 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 - 7 b^2 c - 7 b c^2 + c^3))) | *** |
|
6244 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 - 3 a (b - c)^2 +
2 (b - c)^2 (b + c)) | *** |
|
6282 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^4 (b - c)^2 (b + c) - 2 a^5 (b + c)^2 -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 4 a^3 (b - c)^2
(b^2 + 3 b c + c^2)) | *** |
|
6583 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 + b c + 2 c^2) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + c^3) - a^4 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3) + a^3 (4 b^4 + 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 3 b c^3 +
4 c^4))) | *** |
|
6766 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + 6 b c + c^2) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 - 13 b^2 c - 13 b c^2 + c^3) -
a^4 (b^3 + 15 b^2 c + 15 b c^2 + c^3) +
4 a^3 (b^4 + 3 b^3 c + 3 b c^3 + c^4))) | *** |
|
6767 | a (a + b - c) (a - b + c) (a + 4 (b + c)) | *** |
|
6769 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^4 (b + c) - 2 a^5 (b + c)^2 - a^4 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b - c)^2 (b + c)^4 +
4 a^3 (b^4 + 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4))) | *** |
|
7011 | -(a (a^5 - 2 a^2 (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - c^2)^2 +
2 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5))) | *** |
|
7070 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 (b - c)^2 + a^5 (b + c) -
2 a^3 (b - c)^2 (b + c) + a (b - c)^4 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c)^4 - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
7146 | -(a (2 a^2 b c + a^3 (b + c) + a b c (b + c) -
(b - c)^2 (b^2 + b c + c^2))) | *** |
|
7280 | -(a (4 a - b - c) (a + b - c) (a - b + c)) | *** |
|
7373 | a (a + b - c) (a - b + c) (a - 4 (b + c)) | *** |
|
7688 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - 3 a^3 (b + c) +
3 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 6 b c + c^2))) | *** |
|
7742 | -(a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + b^3 + b^2 c + b c^2 +
c^3 - a^2 (b + c) - a (b + c)^2)) | X(37579) |
|
7957 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^4 (b + c) - a^4 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - 2 a (b^2 - c^2)^2
(b^2 + b c + c^2) + 4 a^3 (b^4 + b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 +
c^4)) | *** |
| 7962 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(3 a^3 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) + a (-3 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 -
3 c^3))) | *** |
| 7964 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - 3 a^4 (b^2 + c^2) +
2 a^2 (b - c)^2 (b^2 + 3 b c + c^2) +
2 a^3 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) -
3 a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
7982 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) -
3 a (b - c)^2 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2))) | *** |
|
7987 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 10 b c + c^2))) | *** |
|
7991 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) -
3 a (b - c)^2 (b + c) + a^2 (-3 b^2 + 2 b c - 3 c^2) +
3 (b^2 - c^2)^2)) | *** |
|
7994 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) - 3 a^4 (b + c)^2 +
(b - c)^4 (b + c)^2 - 3 a (b - c)^2 (b + c)^3 +
2 a^2 (b - c)^2 (b^2 + 6 b c + c^2) +
2 a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
8069 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + b^3 - a (b - c)^2 +
b^2 c + b c^2 + c^3 - a^2 (b + c)) | X(1470) |
|
8071 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + b^3 - a (b - c)^2 -
3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3 - a^2 (b + c)) | X(26437) |
|
8148 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 (b + c) -
2 a (b - c)^2 (b + c) + 2 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (2 b^2 + b c + 2 c^2)) | *** |
|
8158 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 5 a^3 (b + c) +
5 a (b - c)^2 (b + c) - 4 (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2)) | *** |
|
8162 | a (a + b - c) (a - b + c) (a + 7 (b + c)) | *** |
|
8163 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 8 a^3 (b + c) -
7 (b^2 - c^2)^2 + a^2 (6 b^2 + 8 b c + 6 c^2) +
8 a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) | *** |
|
8171 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (3 a^2 + 3 b^2 + 10 b c +
3 c^2 - 6 a (b + c)) | *** |
|
8186 | -((a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b + a^3 b (-2 b + 3 c) +
Sqrt[2] b (-b + c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] -
a^2 (2 b^3 + 6 b^2 c + 4 b c^2 +
Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a (2 b^4 + 3 b^3 c - 4 b^2 c^2 - b c^3 +
2 Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(2 a^4 c + a^3 (3 b - 2 c) c + Sqrt[2] (b - c) c
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] -
a^2 (4 b^2 c + 6 b c^2 + 2 c^3 +
Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a (-(b^3 c) - 4 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 2 c^4 +
Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(2 a^5 (b^2 + c^2) - 4 a^4 (b^3 + 6 b^2 c + 6 b c^2 + c^3) -
2 Sqrt[2] (b^2 - c^2)^2
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - a (b - c)^2 (b + c)
(2 b^3 - 10 b^2 c - 10 b c^2 + 2 c^3 +
7 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
4 a^2 (b^5 + 8 b^4 c - 9 b^3 c^2 - 9 b^2 c^3 + 8 b c^4 +
c^5 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
6 Sqrt[2] b c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) +
a^3 (-20 b^3 c - 88 b^2 c^2 + 5 Sqrt[2] c
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
5 b (-4 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])))) |
*** |
|
8187 | (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b + a^3 b (-2 b + 3 c) +
Sqrt[2] b (b - c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
a^2 (-2 b^3 - 6 b^2 c - 4 b c^2 +
Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
a (-2 b^4 - 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 +
2 Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(2 a^4 c + a^3 (3 b - 2 c) c + Sqrt[2] c (-b + c)
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
a^2 (-4 b^2 c - 6 b c^2 - 2 c^3 +
Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
a (b^3 c + 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 - 2 c^4 +
Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))
(2 a^5 (b^2 + c^2) - 4 a^4 (b^3 + 6 b^2 c + 6 b c^2 + c^3) +
2 Sqrt[2] (b^2 - c^2)^2
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + a (b - c)^2 (b + c)
(-2 b^3 + 10 b^2 c + 10 b c^2 - 2 c^3 +
7 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
4 a^2 (-b^5 - 8 b^4 c + 9 b^3 c^2 + 9 b^2 c^3 - 8 b c^4 -
c^5 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
6 Sqrt[2] b c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) -
a^3 (20 b^3 c + 88 b^2 c^2 + 5 Sqrt[2] c
Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2)))] +
5 b (4 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))) |
*** |
|
8193 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) + a (b^2 + c^2)) | *** |
|
8251 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^8 (b - c)^2) +
a^9 (b + c) - 2 a^4 b c (b + c)^2 (b^2 + c^2) -
a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^4
(b^2 + c^2) - 2 a^2 (b - c)^4 (b + c)^2 (b^2 + b c + c^2) -
2 a^7 (b^3 + c^3) - 2 a^5 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^6 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) +
2 a^3 (b^7 - b^4 c^3 - b^3 c^4 + c^7)) | *** |
|
8270 | a (-b^5 + b^4 c + 2 a b (b - c)^2 c + b c^4 - c^5 +
a^4 (b + c)) | *** |
| 8273 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
8726 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^4 (b - c)^2 (b + c) - 2 a^5 (b + c)^2 -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
4 a^3 (b^4 + b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
8758 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 - b^2 - c^2)
(a^3 (b + c) + a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
8924 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 -
a^4 (b - c)^2 (b^2 + c^2) + a^5 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3) + a b c (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5) -
a^3 (b^5 + b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 + b c^4 + c^5) +
a^2 (b^6 - 2 b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 - 2 b^2 c^4 + c^6))) | *** |
|
9120 | a (a + b - c) (a - b + c) (8 a^9 b (b - c)^2 c +
a^12 (b + c) + (b - c)^6 (b + c)^7 +
16 a^5 b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 - 8 a b c (b^2 - c^2)^4
(b^2 + c^2) - 16 a^7 b (b - c)^2 c (b^2 + b c + c^2) +
16 a^3 b (b - c)^4 c (b + c)^2 (b^2 + b c + c^2) +
a^8 (b + c)^3 (15 b^2 - 14 b c + 15 c^2) -
2 a^10 (3 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 3 c^3) -
2 a^2 (b - c)^4 (b + c)^3 (3 b^4 + 2 b^3 c + 6 b^2 c^2 +
2 b c^3 + 3 c^4) - 4 a^6 (b + c)^3 (5 b^4 - 10 b^3 c +
14 b^2 c^2 - 10 b c^3 + 5 c^4) + a^4 (b - c)^2 (b + c)^3
(15 b^4 - 16 b^3 c + 34 b^2 c^2 - 16 b c^3 + 15 c^4)) | *** |
|
9364 | -(a (a (b - c)^4 + a^2 b c (b + c) +
b (b - c)^2 c (b + c) - a^3 (b^2 + c^2))) | *** |
|
9371 | a (a + b - c) (a - b + c) (-4 a^2 b (b - c)^2 c +
a^5 (b + c) - a (b - c)^4 (b + c) - a^4 (b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
9441 | a (a + b - c) (a - b + c) (b (b - c)^2 c (b + c) +
a^3 (b^2 + c^2) + a (b - c)^2 (b^2 + c^2) +
a^2 (-2 b^3 + b^2 c + b c^2 - 2 c^3)) | *** |
|
9627 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 b^2 c^2 + a^6 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
a^2 (b^5 + b^4 c - 4 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + b c^4 + c^5)) |
*** |
| 9630 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^3 b^2 c^2 + a^6 (b + c) + (b - c)^2 (b + c)^3
(b^2 + c^2) - a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
a^2 (b^5 + b^4 c + b c^4 + c^5)) | *** |
|
9659 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^6 - 2 a b^2 c^2 (b + c) -
a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
a^2 (b^4 + c^4)) | *** |
| 9672 | a^2 (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 + 2 a b^2 c^2 (b + c) - a^4 (b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^2 (b^4 + c^4)) | *** |
|
9819 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
a^2 (-3 b^2 + 2 b c - 3 c^2) + 3 (b^2 - c^2)^2 +
a (-3 b^3 + 11 b^2 c + 11 b c^2 - 3 c^3)) | *** |
|
9940 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + b^3 c + 6 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5))) | *** |
|
9957 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3)) | *** |
|
10202 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
10222 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) -
3 a (b - c)^2 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2)) | *** |
|
10225 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 - b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - 3 b c + 2 c^2) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + c^3) - a^4 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3) + a^3 (4 b^4 - 5 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 4 c^4)) |
*** |
| 10246 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 3 b c + c^2)) | *** |
|
10247 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 (b + c) -
2 a (b - c)^2 (b + c) + 2 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (2 b^2 + 3 b c + 2 c^2)) | *** |
|
10267 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + (b^2 - c^2)^2 -
2 a^2 (b^2 + b c + c^2)) | X(1454) |
|
10268 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^5 (b - c)^2 +
a^6 (b + c) - a^2 (b - c)^4 (b + c) -
2 a (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 + 4 a^3 (b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 -
2 b c^3 + c^4)) | *** |
|
10269 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 6 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) + 2 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
10270 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^5 (b - c)^2 +
a^6 (b + c) - a^2 (b - c)^4 (b + c) -
2 a (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 + 4 a^3 (b^4 - 2 b^3 c + 6 b^2 c^2 -
2 b c^3 + c^4)) | *** |
|
10273 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^6 (b + c) +
3 (b - c)^4 (b + c)^3 - 6 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (3 b^2 - 4 b c + 3 c^2) +
a^4 (-3 b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 - 3 c^3) -
a^2 (b - c)^2 (3 b^3 + 11 b^2 c + 11 b c^2 + 3 c^3) +
2 a^3 (6 b^4 - b^3 c - b c^3 + 6 c^4)) | *** |
|
10284 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - 7 b c + 2 c^2) -
a^4 (b^3 - 6 b^2 c - 6 b c^2 + c^3) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 8 b^2 c + 8 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - 5 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
10306 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + a^2 (-3 b^2 + 2 b c - 3 c^2) +
2 (b^2 - c^2)^2) | *** |
| 10310 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^4 - 2 a^2 (b - c)^2 + (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
10319 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^4 (b - c)^2) +
a^5 (b + c) + 2 a^3 b c (b + c) + 2 a^2 b c (b + c)^2 +
(b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) |
*** |
| 10383 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^5 (b + c) - 3 a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 +
2 a^3 (b + c)^3 - a (b - c)^2 (3 b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 +
3 c^3) + 2 a^2 (b^4 + 6 b^2 c^2 + c^4)) | *** |
|
10388 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) -
3 a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 + 2 a^3 (b + c)^3 -
a (b - c)^2 (3 b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + 3 c^3) +
2 a^2 (b^4 - 10 b^2 c^2 + c^4)) | *** |
|
10389 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
10434 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^2 (b + c) -
(b - c)^2 (b + c) + 2 a (b^2 + c^2)) | *** |
|
10439 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 (b + c)^2 +
2 b c (b^2 - c^2)^2 - a^3 (2 b^3 + b^2 c + b c^2 + 2 c^3) +
a (b - c)^2 (2 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + 2 c^3) -
2 a^2 (b^4 + c^4)) | *** |
|
10441 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b c (b + c) +
a^5 (b + c)^2 + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^2 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
a^3 (2 b^4 + b^3 c + b c^3 + 2 c^4)) | *** |
|
10470 | a (a + b - c) (a - b + c) (-4 a^4 b c (b + c) +
a^5 (b + c)^2 + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^2 b c (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3) -
a^3 (2 b^4 + 7 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 7 b c^3 + 2 c^4)) | *** |
|
10473 | a (2 a^2 b c (b + c) - b (b - c)^2 c (b + c) +
a^3 (b + c)^2 + a (-b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 - c^4)) |
*** |
| 10474 | -(a (-2 a^4 (b + c)^2 + 2 b c (b^2 - c^2)^2 -
a^3 (2 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 2 c^3) +
2 a^2 (b^4 - 2 b^3 c - 5 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) +
a (2 b^5 + b^4 c - 5 b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5))) |
*** |
| 10475 | a (-b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 - c^3 +
3 a^2 (b + c) + 2 a (b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
10476 | a (a + b - c) (a - b + c) (5 a^4 b c (b + c) -
2 a^2 b (b - c)^2 c (b + c) + a^5 (b + c)^2 +
b (b - c)^2 c (b + c)^3 + a (b - c)^2 (b + c)^4 -
2 a^3 (b^4 + c^4)) | *** |
|
10480 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b c (b + c) +
a^5 (b + c)^2 + a^2 b c (b + c)^3 + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a^3 (-2 b^4 + b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4) +
a (b + c)^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4)) | *** |
|
10618 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + 6 b c + c^2) +
3 a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 + 3 b c + 2 c^2) +
2 a^5 (3 b^2 + 7 b c + 3 c^2) - a^4 (b^3 + c^3) -
a^3 (12 b^4 + 23 b^3 c + 20 b^2 c^2 + 23 b c^3 + 12 c^4) -
a^2 (b^5 + 8 b^4 c + 23 b^3 c^2 + 23 b^2 c^3 + 8 b c^4 +
c^5)) | *** |
| 10679 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^4 + a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + 2 (b^2 - c^2)^2 -
3 a^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
10680 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 3 a^3 (b + c) +
3 a (b - c)^2 (b + c) - 2 (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
10831 | a^2 (a^5 - b^5 + 2 a^3 b c + b^4 c + b c^4 - c^5 +
a^4 (b + c) + 2 a^2 b c (b + c) -
a (b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4)) | *** |
|
10832 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^5 + b^5 + 2 a^3 b c -
b^4 c - b c^4 + c^5 - a^4 (b + c) - 2 a^2 b c (b + c) -
a (b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4)) | *** |
|
10856 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) -
3 a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 +
2 a^3 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) -
a (b - c)^2 (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3) +
2 a^2 (b^4 - 4 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 4 b c^3 + c^4)) | *** |
|
10857 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^2 (b - c)^4 +
a^5 (b + c) - 3 a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 +
2 a^3 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) -
a (b - c)^2 (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
10882 | a (a + b - c) (a - b + c) (5 a^3 (b + c) +
(b^2 - c^2)^2 + a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) -
a (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3)) | *** |
|
10902 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - a^3 (b + c) +
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2)) | *** |
|
10965 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 2 a^3 (b + c) +
3 (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (2 b^2 + b c + 2 c^2) -
2 a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) | *** |
|
10966 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 2 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 +
2 a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) | *** |
|
10980 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^2 (b + c) +
3 (b - c)^2 (b + c) - 2 a (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2)) | *** |
|
11009 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 (b + c) +
2 (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + b c + c^2) +
a (-2 b^3 + b^2 c + b c^2 - 2 c^3)) | *** |
|
11010 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^2 (b - c)^2) +
a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 +
c^3)) | *** |
| 11011 | a (2 a b c + 3 a^2 (b + c) -
3 (b - c)^2 (b + c)) | X(31794) |
|
11012 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - a^2 (b - c)^2 -
3 a^3 (b + c) + 3 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
11014 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
2 a^5 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - 5 b c + 2 c^2) +
a^3 (b - c)^2 (4 b^2 + 7 b c + 4 c^2) -
a^4 (b^3 - 6 b^2 c - 6 b c^2 + c^3) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 8 b^2 c + 8 b c^2 + c^3)) | *** |
|
11018 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) +
2 a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
a (b - c)^2 (3 b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + 3 c^3) +
2 a^2 (b^4 + b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
11021 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 (b + c)^2 +
2 b c (b^2 - c^2)^2 - a^3 (2 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 +
2 c^3) - 2 a^2 (b^4 + 2 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4) +
a (2 b^5 - 3 b^4 c - 7 b^3 c^2 - 7 b^2 c^3 - 3 b c^4 +
2 c^5)) | *** |
| 11224 | a (a + b - c) (a - b + c)
(7 a^3 (b + c) - 7 a (b - c)^2 (b + c) + 7 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (7 b^2 + 6 b c + 7 c^2)) | *** |
|
11227 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 + 2 a^3 (b + c)^3 +
2 a^2 (b - c)^2 (b^2 - b c + c^2) -
a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) - a (b - c)^2
(3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
11248 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + (b^2 - c^2)^2 -
2 a^2 (b^2 - b c + c^2)) | *** |
|
11249 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 2 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) + 2 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
11278 | a (a + b - c) (a - b + c) (5 a^3 (b + c) -
5 a (b - c)^2 (b + c) + 5 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (5 b^2 + 4 b c + 5 c^2)) | *** |
|
11280 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
3 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) +
a (-3 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 - 3 c^3)) | *** |
|
11407 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^5 (b + c) +
3 (b - c)^4 (b + c)^2 + 2 a^2 (b - c)^2
(3 b^2 - 2 b c + 3 c^2) - a^4 (9 b^2 + 10 b c + 9 c^2) -
3 a (b - c)^2 (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3) +
2 a^3 (3 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
11507 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 2 a b c (b + c) +
(b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2))) | *** |
|
11508 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 2 a b c (b + c) +
(b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
11509 | -(a (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 4 b c + c^2))) | X(3338) |
|
11510 | a (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + c^2)) | X(46) |
|
11518 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) -
3 a (b + c)^3 + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2)) | *** |
|
11521 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b c (b + c) +
3 a^5 (b + c)^2 + 3 b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a (b^2 - c^2)^2 (3 b^2 + b c + 3 c^2) -
a^2 b c (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3) -
a^3 (6 b^4 + 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 6 c^4)) | *** |
|
11529 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
3 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) -
a (3 b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + 3 c^3))) | *** |
|
11531 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (5 a^3 (b + c) -
5 a (b - c)^2 (b + c) + 5 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (5 b^2 + 2 b c + 5 c^2))) | *** |
|
11567 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^6 (b + c) -
4 a^5 (b + c)^2 + 2 (b - c)^4 (b + c)^3 -
a (b^2 - c^2)^2 (4 b^2 - 7 b c + 4 c^2) +
a^4 (-2 b^3 + 9 b^2 c + 9 b c^2 - 2 c^3) -
a^2 (b - c)^2 (2 b^3 + 13 b^2 c + 13 b c^2 + 2 c^3) +
a^3 (8 b^4 + b^3 c - 16 b^2 c^2 + b c^3 + 8 c^4)) | *** |
|
11575 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) -
3 a (b - c)^4 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 -
a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) + 2 a^3 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 +
c^3) + 2 a^2 (b^4 - 7 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 7 b c^3 + c^4)) |
*** |
| 11849 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^4 + a^2 (-2 b^2 + b c - 2 c^2) + (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
12000 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 3 a^3 (b + c) -
3 a (b - c)^2 (b + c) + 4 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (5 b^2 + 4 b c + 5 c^2)) | *** |
|
12001 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 5 a^3 (b + c) +
5 a (b - c)^2 (b + c) - 4 (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (3 b^2 + 8 b c + 3 c^2)) | *** |
|
12009 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^6 (b + c) +
3 (b - c)^4 (b + c)^3 - 6 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (6 b^2 + b c + 6 c^2) -
a^2 (b - c)^2 (3 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + 3 c^3) -
a^4 (3 b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + 3 c^3) +
a^3 (12 b^4 + 7 b^3 c + 20 b^2 c^2 + 7 b c^3 + 12 c^4)) |
*** |
| 12410 | a^2 (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 + b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3 + a^2 (b + c) +
a (b^2 + c^2)) | *** |
|
12435 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^4 b c (b + c) +
2 a^5 (b + c)^2 - a^2 b c (b + c)^3 + 2 b (b - c)^2 c
(b + c)^3 + a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 + b c + 2 c^2) -
a^3 (4 b^4 + b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 + 4 c^4))) | *** |
|
12555 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
5 a^4 (b + c)^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + 6 b c + c^2) +
a^3 (-6 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 - 6 c^3) +
a (b - c)^2 (5 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + 5 c^3) -
2 a^2 (3 b^4 + 2 b^2 c^2 + 3 c^4)) | *** |
|
12702 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 - b c + c^2))) | *** |
|
12703 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 5 b c + c^2) -
a^4 (b^3 - 7 b^2 c - 7 b c^2 + c^3) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 9 b^2 c + 9 b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 - 5 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 2 c^4))) |
*** |
| 12704 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) -
a^4 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4))) | *** |
|
12915 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 + 2 a^3 (b + c)^3 -
a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) - a (b - c)^2
(3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3) +
2 a^2 (b^4 - 3 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 + c^4)) | *** |
|
13145 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - 3 b c + 2 c^2) -
a^4 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - b^3 c + 4 b^2 c^2 - b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
13151 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) - a^4 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + 6 b^3 c + 8 b^2 c^2 + 6 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
13370 | -(a (-2 a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) +
2 a (b^2 - 6 b c + c^2))) | *** |
|
13373 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^4 (b + c) - a^4 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - 2 a (b^2 - c^2)^2
(b^2 + b c + c^2) + 4 a^3 (b^4 + b^3 c + 3 b^2 c^2 + b c^3 +
c^4)) | *** |
| 13384 | a (a + b - c) (a - b + c)
(3 a^3 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 10 b c + 3 c^2) -
a (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
13388 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 - a^2 c - b^2 c + c^3 -
a (b^2 + c^2) + b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]) (a^3 - a^2 b + b^3 - b c^2 -
a (b^2 + c^2) + c Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]) (a^5 (b + c) + a^4 (b + c)^2 +
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)] - a (b - c)^2 (b + c)
(-3 b^2 - 2 b c - 3 c^2 + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 2 b c + c^2 +
Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) -
a^3 (b + c) (4 b^2 + 4 c^2 + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)])) |
*** |
|
13389 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (-a^3 + a^2 c + b^2 c - c^3 +
a (b^2 + c^2) + b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]) (-a^3 + a^2 b - b^3 + b c^2 +
a (b^2 + c^2) + c Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]) (a^5 (b + c) + a^4 (b + c)^2 -
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)] - (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 2 b c + c^2 -
Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) +
a^3 (b + c) (-4 b^2 - 4 c^2 + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]) + a (b - c)^2 (b + c)
(3 b^2 + 2 b c + 3 c^2 + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)]))) |
*** |
|
13462 | -(a (8 a b c - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c))) |
X(5919) |
| 13528 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) - a^4 (b - c)^2 (b + c) -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 +
4 a^3 (b - c)^2 (b^2 + c^2) - 2 a (b^2 - c^2)^2
(b^2 - 3 b c + c^2) - 2 a^5 (b^2 - b c + c^2)) | *** |
|
13600 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 6 b c + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 - 11 b^2 c - 11 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 13 b^2 c + 13 b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 - 5 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 2 c^4)) | *** |
|
13601 | -(a (-(a^5 (b + c)) + (b - c)^4 (b + c)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 +
c^3) + 2 a^3 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) -
2 a^2 (b^4 - b^3 c + 4 b^2 c^2 - b c^3 + c^4))) | *** |
|
13624 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 8 b c + c^2)) | *** |
|
13750 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4) +
a^2 (-b^5 + b^4 c + 4 b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 + b c^4 - c^5)) |
*** |
| 13751 | -(a (-(a^5 (b + c)) + (b - c)^4 (b + c)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 +
c^3) + a^3 (2 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + 2 c^3) -
2 a^2 (b^4 - b^3 c + b^2 c^2 - b c^3 + c^4))) | *** |
|
14000 | a (a + b - c) (a - b + c) (5 a^6 (b + c) +
a^5 (-8 b^2 + 2 b c - 8 c^2) + (b - c)^2 (b + c)^3
(5 b^2 - 8 b c + 5 c^2) - a (b^2 - c^2)^2
(8 b^2 - 11 b c + 8 c^2) - a^4 (5 b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 +
5 c^3) + a^3 (16 b^4 - 13 b^3 c + 32 b^2 c^2 - 13 b c^3 +
16 c^4) - a^2 (5 b^5 - 2 b^4 c + 5 b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 -
2 b c^4 + 5 c^5)) | *** |
|
14110 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^4 (b - c)^2 (b + c) - a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 + 4 a^3 (b^2 - c^2)^2 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - b c + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
14115 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^7 (b + c)^2 -
2 a^6 (b + c)^3 + b (b - c)^4 c (b + c)^3 +
a (b - c)^4 (b + c)^2 (b^2 - 3 b c + c^2) -
a^5 (b^4 - 9 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 9 b c^3 + c^4) -
2 a^2 (b - c)^2 (b^5 - 3 b^4 c - 3 b c^4 + c^5) +
a^4 (4 b^5 - 5 b^4 c - 7 b^3 c^2 - 7 b^2 c^3 - 5 b c^4 +
4 c^5) - a^3 (b^6 + 6 b^5 c - 13 b^4 c^2 + 8 b^3 c^3 -
13 b^2 c^4 + 6 b c^5 + c^6)) | *** |
|
14122 | a (a^4 (b + c) + 3 a^2 b c (b + c) - 3 a^3 (b^2 + c^2) -
(b - c)^2 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) +
a (3 b^4 - 12 b^3 c + 16 b^2 c^2 - 12 b c^3 + 3 c^4)) | *** |
|
14131 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 b c (b + c) +
a^5 (b + c)^2 + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^2 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) -
a^3 (2 b^4 + b^3 c + 14 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4)) | *** |
|
14132 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^6 + a^8 (b^2 + 4 b c + c^2) -
2 a^2 (b - c)^2 (b + c)^4 (2 b^2 - b c + 2 c^2) -
a^7 (4 b^3 + b^2 c + b c^2 + 4 c^3) + a (b - c)^2 (b + c)^3
(b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
2 a^6 (2 b^4 + 5 b^3 c + 3 b^2 c^2 + 5 b c^3 + 2 c^4) +
a^5 (6 b^5 - b^4 c - b^3 c^2 - b^2 c^3 - b c^4 + 6 c^5) +
2 a^4 (3 b^6 + 5 b^5 c + 2 b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 + 2 b^2 c^4 +
5 b c^5 + 3 c^6) + a^3 (-4 b^7 + b^6 c + 7 b^5 c^2 +
4 b^4 c^3 + 4 b^3 c^4 + 7 b^2 c^5 + b c^6 - 4 c^7)) | *** |
|
14792 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 + 2 b^3 -
2 a (b - c)^2 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3 - 2 a^2 (b + c)) |
*** |
| 14793 | a^2 (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 + b^3 - a (b - c)^2 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3 -
a^2 (b + c)) | *** |
| 14794 | a^2 (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^3 + 2 b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3 - 2 a^2 (b + c) -
2 a (b^2 + c^2)) | *** |
| 14795 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^4 - a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 - 3 a^2 (b^2 + c^2) +
a (b^3 + c^3)) | *** |
|
14796 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + (1 + Sqrt[2]) a^3 b -
a^2 c (b + Sqrt[2] b + 2 c) - (b^2 - c^2)
(b^2 + (1 + Sqrt[2]) b c + c^2) -
a b ((1 + Sqrt[2]) b^2 + (3 + 2 Sqrt[2]) b c +
(1 + Sqrt[2]) c^2)) (a^4 + (1 + Sqrt[2]) a^3 c -
a^2 b (2 b + c + Sqrt[2] c) + (b^2 - c^2)
(b^2 + (1 + Sqrt[2]) b c + c^2) -
a c ((1 + Sqrt[2]) b^2 + (3 + 2 Sqrt[2]) b c +
(1 + Sqrt[2]) c^2)) (2 a^5 + 3 (1 + Sqrt[2]) a^4 (b + c) -
(1 + Sqrt[2]) (b - c)^2 (b + c)^3 - (5 + 2 Sqrt[2]) a
(b^2 - c^2)^2 + (3 + 2 Sqrt[2]) a^3 (b^2 + 4 b c + c^2) -
a^2 (b + c) (2 (1 + Sqrt[2]) b^2 - (11 + 9 Sqrt[2]) b c +
2 (1 + Sqrt[2]) c^2))) |
*** |
|
14797 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^5 - 3 (-1 + Sqrt[2]) a^4 (b + c) +
(-1 + Sqrt[2]) (b - c)^2 (b + c)^3 + (-5 + 2 Sqrt[2]) a
(b^2 - c^2)^2 - (-3 + 2 Sqrt[2]) a^3 (b^2 + 4 b c + c^2) +
a^2 (b + c) (2 (-1 + Sqrt[2]) b^2 + (11 - 9 Sqrt[2]) b c +
2 (-1 + Sqrt[2]) c^2)) (a^4 + a^3 (b - Sqrt[2] b) +
a^2 ((-1 + Sqrt[2]) b - 2 c) c +
a b ((-1 + Sqrt[2]) b^2 + (-3 + 2 Sqrt[2]) b c +
(-1 + Sqrt[2]) c^2) - (b^2 - c^2) (b^2 + c^2 +
b (c - Sqrt[2] c))) (a^4 + a^3 (c - Sqrt[2] c) -
a^2 b (2 b + c - Sqrt[2] c) +
a c ((-1 + Sqrt[2]) b^2 + (-3 + 2 Sqrt[2]) b c +
(-1 + Sqrt[2]) c^2) + (b^2 - c^2) (b^2 + c^2 +
b (c - Sqrt[2] c))) |
*** |
|
14798 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - a^3 (b + c) +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) +
a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
14799 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - a^3 (b + c) +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) +
a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) | *** |
|
14800 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - 3 a^3 (b + c) -
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - 8 b c + c^2) +
a (3 b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
14801 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^10 - a^9 ((3 + Sqrt[2]) b + 2 c) +
a^8 ((1 + 2 Sqrt[2]) b^2 + (11 + Sqrt[2]) b c - 3 c^2) -
(b - c)^5 (b + c)^3 (b^2 - (1 + Sqrt[2]) b c + c^2) +
a^7 (2 (3 + Sqrt[2]) b^3 - (15 + 8 Sqrt[2]) b^2 c +
2 (-1 + Sqrt[2]) b c^2 + 8 c^3) +
a^5 c (3 (7 + 4 Sqrt[2]) b^4 - (41 + 27 Sqrt[2]) b^3 c +
(15 + 8 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 24 b c^3 - 12 c^4) +
a (b - c)^3 (b + c)^2 ((3 + Sqrt[2]) b^4 -
3 (4 + Sqrt[2]) b^3 c + (10 + 7 Sqrt[2]) b^2 c^2 -
(9 + Sqrt[2]) b c^3 + 2 c^4) +
a^6 (-2 (4 + 3 Sqrt[2]) b^4 + 8 Sqrt[2] b^3 c +
(29 + 6 Sqrt[2]) b^2 c^2 - 2 (15 + Sqrt[2]) b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^2 - c^2) ((1 + 2 Sqrt[2]) b^6 - 8 (2 + Sqrt[2]) b^5 c +
2 (22 + 9 Sqrt[2]) b^4 c^2 - (43 + 25 Sqrt[2]) b^3 c^3 +
2 (13 + 3 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 2 (-1 + Sqrt[2]) b c^5 -
3 c^6) + a^4 ((8 + 6 Sqrt[2]) b^6 - 6 (5 + 3 Sqrt[2]) b^5
c + 6 (3 + 2 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (35 + 17 Sqrt[2]) b^3 c^3 -
4 (15 + 4 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 24 b c^5 + 2 c^6) +
a^3 (-2 (3 + Sqrt[2]) b^7 + 11 b^6 c + (27 + 17 Sqrt[2]) b^5
c^2 - 9 (7 + 4 Sqrt[2]) b^4 c^3 + (35 + 17 Sqrt[2]) b^3
c^4 + (15 + 8 Sqrt[2]) b^2 c^5 - 2 (15 + Sqrt[2]) b c^6 +
8 c^7)) (a^10 - a^9 (2 b + (3 + Sqrt[2]) c) +
(b - c)^5 (b + c)^3 (b^2 - (1 + Sqrt[2]) b c + c^2) +
a^8 (-3 b^2 + (11 + Sqrt[2]) b c + (1 + 2 Sqrt[2]) c^2) +
a^7 (8 b^3 + 2 (-1 + Sqrt[2]) b^2 c - (15 + 8 Sqrt[2]) b c^2 +
2 (3 + Sqrt[2]) c^3) - a (b - c)^3 (b + c)^2
(2 b^4 - (9 + Sqrt[2]) b^3 c + (10 + 7 Sqrt[2]) b^2 c^2 -
3 (4 + Sqrt[2]) b c^3 + (3 + Sqrt[2]) c^4) +
a^6 (2 b^4 - 2 (15 + Sqrt[2]) b^3 c + (29 + 6 Sqrt[2]) b^2
c^2 + 8 Sqrt[2] b c^3 - 2 (4 + 3 Sqrt[2]) c^4) +
a^5 b (-12 b^4 + 24 b^3 c + (15 + 8 Sqrt[2]) b^2 c^2 -
(41 + 27 Sqrt[2]) b c^3 + 3 (7 + 4 Sqrt[2]) c^4) -
a^2 (b^2 - c^2) (3 b^6 - 2 (-1 + Sqrt[2]) b^5 c -
2 (13 + 3 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (43 + 25 Sqrt[2]) b^3 c^3 -
2 (22 + 9 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 8 (2 + Sqrt[2]) b c^5 -
(1 + 2 Sqrt[2]) c^6) + a^4 (2 b^6 + 24 b^5 c -
4 (15 + 4 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (35 + 17 Sqrt[2]) b^3 c^3 +
6 (3 + 2 Sqrt[2]) b^2 c^4 - 6 (5 + 3 Sqrt[2]) b c^5 +
2 (4 + 3 Sqrt[2]) c^6) +
a^3 (8 b^7 - 2 (15 + Sqrt[2]) b^6 c + (15 + 8 Sqrt[2]) b^5
c^2 + (35 + 17 Sqrt[2]) b^4 c^3 - 9 (7 + 4 Sqrt[2]) b^3
c^4 + (27 + 17 Sqrt[2]) b^2 c^5 + 11 b c^6 -
2 (3 + Sqrt[2]) c^7)) (2 a^14 - 3 (3 + Sqrt[2]) a^13
(b + c) + (1 + Sqrt[2]) (b - c)^8 (b + c)^6 -
a^11 (b + c) ((-9 + 4 Sqrt[2]) b^2 + 3 (42 + 19 Sqrt[2]) b c +
(-9 + 4 Sqrt[2]) c^2) - a (b - c)^6 (b + c)^5
((8 + 5 Sqrt[2]) b^2 - (13 + 10 Sqrt[2]) b c +
(8 + 5 Sqrt[2]) c^2) + a^12 ((12 + 11 Sqrt[2]) b^2 +
20 (3 + Sqrt[2]) b c + (12 + 11 Sqrt[2]) c^2) +
a^2 (b^2 - c^2)^4 ((17 + 8 Sqrt[2]) b^4 -
4 (21 + 10 Sqrt[2]) b^3 c + (131 + 67 Sqrt[2]) b^2 c^2 -
4 (21 + 10 Sqrt[2]) b c^3 + (17 + 8 Sqrt[2]) c^4) +
a^9 (b + c) ((46 + 41 Sqrt[2]) b^4 + 3 (61 + 22 Sqrt[2]) b^3
c - (542 + 277 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 3 (61 + 22 Sqrt[2]) b
c^3 + (46 + 41 Sqrt[2]) c^4) + a^3 (b - c)^2 (b + c)^3
((5 + 4 Sqrt[2]) b^6 + 9 (12 + 5 Sqrt[2]) b^5 c -
3 (154 + 67 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (695 + 306 Sqrt[2]) b^3 c^3 -
3 (154 + 67 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 9 (12 + 5 Sqrt[2]) b c^5 +
(5 + 4 Sqrt[2]) c^6) + a^8 ((29 + 19 Sqrt[2]) b^6 -
4 (81 + 59 Sqrt[2]) b^5 c - (177 + 20 Sqrt[2]) b^4 c^2 +
4 (227 + 115 Sqrt[2]) b^3 c^3 - (177 + 20 Sqrt[2]) b^2 c^4 -
4 (81 + 59 Sqrt[2]) b c^5 + (29 + 19 Sqrt[2]) c^6) -
a^4 (b^2 - c^2)^2 ((58 + 31 Sqrt[2]) b^6 -
6 (11 + 3 Sqrt[2]) b^5 c - 12 (29 + 17 Sqrt[2]) b^4 c^2 +
2 (359 + 193 Sqrt[2]) b^3 c^3 - 12 (29 + 17 Sqrt[2]) b^2
c^4 - 6 (11 + 3 Sqrt[2]) b c^5 + (58 + 31 Sqrt[2]) c^6) -
a^7 (b + c) ((94 + 64 Sqrt[2]) b^6 - 2 (89 + 62 Sqrt[2]) b^5
c - (565 + 337 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (1274 + 779 Sqrt[2]) b^3
c^3 - (565 + 337 Sqrt[2]) b^2 c^4 - 2 (89 + 62 Sqrt[2]) b
c^5 + 2 (47 + 32 Sqrt[2]) c^6) +
a^6 (4 (11 + 6 Sqrt[2]) b^8 + 2 (133 + 93 Sqrt[2]) b^7 c -
(715 + 441 Sqrt[2]) b^6 c^2 - 4 (85 + 56 Sqrt[2]) b^5 c^3 +
4 (377 + 229 Sqrt[2]) b^4 c^4 - 4 (85 + 56 Sqrt[2]) b^3
c^5 - (715 + 441 Sqrt[2]) b^2 c^6 + 2 (133 + 93 Sqrt[2]) b
c^7 + 4 (11 + 6 Sqrt[2]) c^8) +
a^5 (b + c) ((51 + 31 Sqrt[2]) b^8 - 6 (62 + 33 Sqrt[2]) b^7
c + (450 + 163 Sqrt[2]) b^6 c^2 + (699 + 557 Sqrt[2]) b^5
c^3 - (1655 + 1106 Sqrt[2]) b^4 c^4 + (699 + 557 Sqrt[2])
b^3 c^5 + (450 + 163 Sqrt[2]) b^2 c^6 -
6 (62 + 33 Sqrt[2]) b c^7 + (51 + 31 Sqrt[2]) c^8) +
a^10 (-((47 + 32 Sqrt[2]) b^4) + 2 (179 + 77 Sqrt[2]) b^2
c^2 + 18 (1 + 3 Sqrt[2]) b c^3 - (47 + 32 Sqrt[2]) c^4 +
18 b^3 (c + 3 Sqrt[2] c))) |
*** |
|
14802 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^10 + a^9 ((-3 + Sqrt[2]) b - 2 c) +
a^8 ((1 - 2 Sqrt[2]) b^2 - (-11 + Sqrt[2]) b c - 3 c^2) -
(b - c)^5 (b + c)^3 (b^2 + (-1 + Sqrt[2]) b c + c^2) +
a^7 (-2 (-3 + Sqrt[2]) b^3 + (-15 + 8 Sqrt[2]) b^2 c -
2 (1 + Sqrt[2]) b c^2 + 8 c^3) +
a^5 c (-3 (-7 + 4 Sqrt[2]) b^4 + (-41 + 27 Sqrt[2]) b^3 c +
(15 - 8 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 24 b c^3 - 12 c^4) -
a (b - c)^3 (b + c)^2 ((-3 + Sqrt[2]) b^4 -
3 (-4 + Sqrt[2]) b^3 c + (-10 + 7 Sqrt[2]) b^2 c^2 -
(-9 + Sqrt[2]) b c^3 - 2 c^4) +
a^6 ((-8 + 6 Sqrt[2]) b^4 - 8 Sqrt[2] b^3 c +
(29 - 6 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 2 (-15 + Sqrt[2]) b c^3 +
2 c^4) + a^4 ((8 - 6 Sqrt[2]) b^6 + 6 (-5 + 3 Sqrt[2]) b^5
c - 6 (-3 + 2 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (35 - 17 Sqrt[2]) b^3
c^3 + 4 (-15 + 4 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 24 b c^5 + 2 c^6) +
a^2 (b^2 - c^2) ((-1 + 2 Sqrt[2]) b^6 - 8 (-2 + Sqrt[2]) b^5
c + 2 (-22 + 9 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (43 - 25 Sqrt[2]) b^3
c^3 + 2 (-13 + 3 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 2 (1 + Sqrt[2]) b c^5 +
3 c^6) + a^3 (2 (-3 + Sqrt[2]) b^7 + 11 b^6 c +
(27 - 17 Sqrt[2]) b^5 c^2 + 9 (-7 + 4 Sqrt[2]) b^4 c^3 +
(35 - 17 Sqrt[2]) b^3 c^4 + (15 - 8 Sqrt[2]) b^2 c^5 +
2 (-15 + Sqrt[2]) b c^6 + 8 c^7))
(a^10 + a^9 (-2 b + (-3 + Sqrt[2]) c) + (b - c)^5 (b + c)^3
(b^2 + (-1 + Sqrt[2]) b c + c^2) +
a^8 (-3 b^2 - (-11 + Sqrt[2]) b c + (1 - 2 Sqrt[2]) c^2) +
a^7 (8 b^3 - 2 (1 + Sqrt[2]) b^2 c + (-15 + 8 Sqrt[2]) b c^2 -
2 (-3 + Sqrt[2]) c^3) + a^5 b (-12 b^4 + 24 b^3 c +
(15 - 8 Sqrt[2]) b^2 c^2 + (-41 + 27 Sqrt[2]) b c^3 +
3 (7 - 4 Sqrt[2]) c^4) - a (b - c)^3 (b + c)^2
(2 b^4 + (-9 + Sqrt[2]) b^3 c + (10 - 7 Sqrt[2]) b^2 c^2 +
3 (-4 + Sqrt[2]) b c^3 - (-3 + Sqrt[2]) c^4) +
a^6 (2 b^4 + 2 (-15 + Sqrt[2]) b^3 c + (29 - 6 Sqrt[2]) b^2
c^2 - 8 Sqrt[2] b c^3 + 2 (-4 + 3 Sqrt[2]) c^4) +
a^4 (2 b^6 + 24 b^5 c + 4 (-15 + 4 Sqrt[2]) b^4 c^2 +
(35 - 17 Sqrt[2]) b^3 c^3 - 6 (-3 + 2 Sqrt[2]) b^2 c^4 +
6 (-5 + 3 Sqrt[2]) b c^5 + 2 (4 - 3 Sqrt[2]) c^6) -
a^2 (b^2 - c^2) (3 b^6 + 2 (1 + Sqrt[2]) b^5 c +
2 (-13 + 3 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (43 - 25 Sqrt[2]) b^3 c^3 +
2 (-22 + 9 Sqrt[2]) b^2 c^4 - 8 (-2 + Sqrt[2]) b c^5 +
(-1 + 2 Sqrt[2]) c^6) +
a^3 (8 b^7 + 2 (-15 + Sqrt[2]) b^6 c + (15 - 8 Sqrt[2]) b^5
c^2 + (35 - 17 Sqrt[2]) b^4 c^3 + 9 (-7 + 4 Sqrt[2]) b^3
c^4 + (27 - 17 Sqrt[2]) b^2 c^5 + 11 b c^6 +
2 (-3 + Sqrt[2]) c^7)) (2 a^14 + 3 (-3 + Sqrt[2]) a^13
(b + c) - (-1 + Sqrt[2]) (b - c)^8 (b + c)^6 +
a^12 ((12 - 11 Sqrt[2]) b^2 - 20 (-3 + Sqrt[2]) b c +
(12 - 11 Sqrt[2]) c^2) + a^11 (b + c) ((9 + 4 Sqrt[2]) b^2 +
3 (-42 + 19 Sqrt[2]) b c + (9 + 4 Sqrt[2]) c^2) +
a (b - c)^6 (b + c)^5 ((-8 + 5 Sqrt[2]) b^2 +
(13 - 10 Sqrt[2]) b c + (-8 + 5 Sqrt[2]) c^2) -
a^2 (b^2 - c^2)^4 ((-17 + 8 Sqrt[2]) b^4 +
(84 - 40 Sqrt[2]) b^3 c + (-131 + 67 Sqrt[2]) b^2 c^2 +
4 (21 - 10 Sqrt[2]) b c^3 + (-17 + 8 Sqrt[2]) c^4) +
a^10 ((-47 + 32 Sqrt[2]) b^4 + 18 (1 - 3 Sqrt[2]) b^3 c +
2 (179 - 77 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 18 (1 - 3 Sqrt[2]) b c^3 +
(-47 + 32 Sqrt[2]) c^4) - a^9 (b + c)
((-46 + 41 Sqrt[2]) b^4 + 3 (-61 + 22 Sqrt[2]) b^3 c +
(542 - 277 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 3 (-61 + 22 Sqrt[2]) b c^3 +
(-46 + 41 Sqrt[2]) c^4) + a^8 ((29 - 19 Sqrt[2]) b^6 +
4 (-81 + 59 Sqrt[2]) b^5 c + (-177 + 20 Sqrt[2]) b^4 c^2 +
4 (227 - 115 Sqrt[2]) b^3 c^3 + (-177 + 20 Sqrt[2]) b^2
c^4 + 4 (-81 + 59 Sqrt[2]) b c^5 + (29 - 19 Sqrt[2]) c^6) -
a^3 (b - c)^2 (b + c)^3 ((-5 + 4 Sqrt[2]) b^6 +
9 (-12 + 5 Sqrt[2]) b^5 c + 3 (154 - 67 Sqrt[2]) b^4 c^2 +
(-695 + 306 Sqrt[2]) b^3 c^3 + 3 (154 - 67 Sqrt[2]) b^2
c^4 + 9 (-12 + 5 Sqrt[2]) b c^5 + (-5 + 4 Sqrt[2]) c^6) +
a^4 (b^2 - c^2)^2 ((-58 + 31 Sqrt[2]) b^6 +
6 (11 - 3 Sqrt[2]) b^5 c + 12 (29 - 17 Sqrt[2]) b^4 c^2 +
2 (-359 + 193 Sqrt[2]) b^3 c^3 + 12 (29 - 17 Sqrt[2]) b^2
c^4 + 6 (11 - 3 Sqrt[2]) b c^5 + (-58 + 31 Sqrt[2]) c^6) +
a^7 (b + c) ((-94 + 64 Sqrt[2]) b^6 - 2 (-89 + 62 Sqrt[2]) b^5
c + (565 - 337 Sqrt[2]) b^4 c^2 + (-1274 + 779 Sqrt[2]) b^3
c^3 + (565 - 337 Sqrt[2]) b^2 c^4 - 2 (-89 + 62 Sqrt[2]) b
c^5 + 2 (-47 + 32 Sqrt[2]) c^6) +
a^6 ((44 - 24 Sqrt[2]) b^8 + 2 (133 - 93 Sqrt[2]) b^7 c +
(-715 + 441 Sqrt[2]) b^6 c^2 + 4 (-85 + 56 Sqrt[2]) b^5
c^3 + 4 (377 - 229 Sqrt[2]) b^4 c^4 + 4 (-85 + 56 Sqrt[2])
b^3 c^5 + (-715 + 441 Sqrt[2]) b^2 c^6 +
2 (133 - 93 Sqrt[2]) b c^7 + 4 (11 - 6 Sqrt[2]) c^8) -
a^5 (b + c) ((-51 + 31 Sqrt[2]) b^8 - 6 (-62 + 33 Sqrt[2]) b^7
c + (-450 + 163 Sqrt[2]) b^6 c^2 + (-699 + 557 Sqrt[2]) b^5
c^3 + (1655 - 1106 Sqrt[2]) b^4 c^4 + (-699 + 557 Sqrt[2])
b^3 c^5 + (-450 + 163 Sqrt[2]) b^2 c^6 -
6 (-62 + 33 Sqrt[2]) b c^7 + (-51 + 31 Sqrt[2]) c^8)) |
*** |
|
14803 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - 3 a^3 (b + c) -
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - 10 b c + c^2) +
a (3 b^3 - b^2 c - b c^2 + 3 c^3)) | *** |
|
14804 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - 3 a^3 (b + c) -
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - 4 b c + c^2) + 3 a (b^3 + c^3)) |
*** |
| 14882 | a (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2)) | X(3337) |
|
15016 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - b c + 2 c^2) - a^4 (b^3 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + b^3 c + 6 b^2 c^2 + b c^3 + 4 c^4) -
a^2 (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5)) | *** |
|
15177 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^6 - a^3 b c (b + c) +
a b (b - c)^2 c (b + c) - a^4 (b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)^2 (b^2 - b c + c^2) - a^2 (b - c)^2
(b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
15178 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) -
3 a (b - c)^2 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 8 b c + 3 c^2)) | *** |
|
15803 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) - a (b + c)^3 +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - 6 b c + c^2)) | *** |
|
15804 | a^2 (a^4 - 2 a^3 (b + c) -
(b - c)^2 (b^2 - 6 b c + c^2) +
2 a (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3)) | *** |
|
15931 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 - 3 a^2 (b + c) +
(b - c)^2 (b + c)) | *** |
|
15932 | -(a (a^4 (b - c)^2 - a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 -
a (b - c)^2 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) +
a^3 (2 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + 2 c^3) -
2 a^2 (b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4))) | *** |
|
15934 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) - a (b + c)^3 +
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
15941 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^8 (b - c)^2) +
a^9 (b + c) - a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) - 2 a^4 b c (b + c)^2
(b^2 - 4 b c + c^2) - 2 a^2 (b - c)^4 (b + c)^2
(b^2 + b c + c^2) - 2 a^7 (b^3 + c^3) -
2 a^5 b c (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) +
2 a^6 (b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) +
2 a^3 (b^7 - 4 b^5 c^2 + 3 b^4 c^3 + 3 b^3 c^4 - 4 b^2 c^5 +
c^7)) | *** |
| 16189 | a (a + b - c) (a - b + c)
(9 a^3 (b + c) - 9 a (b - c)^2 (b + c) + 9 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (9 b^2 + 10 b c + 9 c^2)) | *** |
|
16191 | a (a + b - c) (a - b + c) (17 a^3 (b + c) -
17 a (b - c)^2 (b + c) + 17 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (17 b^2 + 18 b c + 17 c^2)) | *** |
|
16192 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 - 14 b c + c^2)) | *** |
|
16193 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b - c)^2 (b + c)^4 -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 +
c^3) + 2 a^3 (2 b^4 + 3 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 3 b c^3 +
2 c^4) - a^2 (b^5 - 5 b^4 c - 4 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 -
5 b c^4 + c^5)) | *** |
|
16200 | a (a + b - c) (a - b + c) (5 a^3 (b + c) -
5 a (b - c)^2 (b + c) + 5 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (5 b^2 + 6 b c + 5 c^2)) | *** |
|
16201 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b - c)^2 (b + c)^4 -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 +
c^3) + 2 a^3 (2 b^4 + 3 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 3 b c^3 +
2 c^4) - a^2 (b^5 - 5 b^4 c - 28 b^3 c^2 - 28 b^2 c^3 -
5 b c^4 + c^5)) | *** |
|
16202 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + a^3 (b + c) -
a (b - c)^2 (b + c) + 2 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2)) | *** |
|
16203 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 3 a^3 (b + c) +
3 a (b - c)^2 (b + c) - 2 (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (b^2 + 8 b c + c^2)) | *** |
|
16204 | a (a + b - c) (a - b + c) (9 a^6 (b + c) +
9 (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2
(9 b^2 - 10 b c + 9 c^2) - 2 a^5 (9 b^2 + 14 b c + 9 c^2) -
3 a^4 (3 b^3 - 7 b^2 c - 7 b c^2 + 3 c^3) -
3 a^2 (b - c)^2 (3 b^3 + 13 b^2 c + 13 b c^2 + 3 c^3) +
4 a^3 (9 b^4 + 2 b^3 c - 10 b^2 c^2 + 2 b c^3 + 9 c^4)) |
*** |
| 16205 | a (a + b - c) (a - b + c)
(9 a^6 (b + c) + 9 (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (9 b^2 - 26 b c + 9 c^2) -
2 a^5 (9 b^2 + 14 b c + 9 c^2) +
a^4 (-9 b^3 + 53 b^2 c + 53 b c^2 - 9 c^3) -
a^2 (b - c)^2 (9 b^3 + 71 b^2 c + 71 b c^2 + 9 c^3) +
12 a^3 (3 b^4 - 2 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 3 c^4)) |
*** |
| 16206 | a (a + b - c) (a - b + c)
(9 a^6 (b + c) + 9 (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (9 b^2 - 11 b c + 9 c^2) -
2 a^5 (9 b^2 + 14 b c + 9 c^2) +
a^4 (-9 b^3 + 23 b^2 c + 23 b c^2 - 9 c^3) -
a^2 (b - c)^2 (9 b^3 + 41 b^2 c + 41 b c^2 + 9 c^3) +
a^3 (36 b^4 + 6 b^3 c - 44 b^2 c^2 + 6 b c^3 + 36 c^4)) |
*** |
| 16207 | a (a + b - c) (a - b + c)
(9 a^6 (b + c) + 9 (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (9 b^2 - 25 b c + 9 c^2) -
2 a^5 (9 b^2 + 14 b c + 9 c^2) +
a^4 (-9 b^3 + 51 b^2 c + 51 b c^2 - 9 c^3) -
3 a^2 (b - c)^2 (3 b^3 + 23 b^2 c + 23 b c^2 + 3 c^3) +
a^3 (36 b^4 - 22 b^3 c - 68 b^2 c^2 - 22 b c^3 + 36 c^4)) |
*** |
| 16208 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-2 a^5 (b - c)^2 + a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 3 b c + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 - 5 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
16209 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^5 (b - c)^2 +
a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2
(b^2 - b c + c^2) - a^2 (b - c)^2 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 +
c^3) - a^4 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - 6 b^3 c + 28 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
16215 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b - c)^2 (b + c)^4 -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 +
c^3) + 2 a^3 (2 b^4 + 3 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 3 b c^3 +
2 c^4) - a^2 (b^5 - 5 b^4 c + 20 b^3 c^2 + 20 b^2 c^3 -
5 b c^4 + c^5)) | *** |
|
16216 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - a^2 (b + c)^3 (b^2 - 10 b c + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) + 4 a^3 (b^2 + b c + c^2)^2 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + 3 b c + c^2) -
a^4 (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3)) | *** |
|
16217 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) -
2 a^7 b c (b + c) + (b - c)^6 (b + c)^4 -
a^8 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) - a (b - c)^4 (b + c)^3
(3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) + 2 a^2 b c (b^2 - c^2)^2
(5 b^2 + 6 b c + 5 c^2) + 2 a^6 (4 b^4 + 7 b^3 c +
12 b^2 c^2 + 7 b c^3 + 4 c^4) +
a^5 (-6 b^5 + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - 6 c^5) -
2 a^4 (3 b^6 + 9 b^5 c + 15 b^4 c^2 + 10 b^3 c^3 +
15 b^2 c^4 + 9 b c^5 + 3 c^6) +
2 a^3 (4 b^7 + b^6 c - 5 b^5 c^2 + 16 b^4 c^3 + 16 b^3 c^4 -
5 b^2 c^5 + b c^6 + 4 c^7)) | *** |
|
16218 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) +
2 a^7 b c (b + c) + 2 a^2 b (b - c)^4 c (b + c)^2 +
(b - c)^6 (b + c)^4 - 3 a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^8 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) - 2 a^4 (b - c)^2
(3 b^4 + 7 b^3 c + 14 b^2 c^2 + 7 b c^3 + 3 c^4) +
2 a^6 (4 b^4 + 3 b^3 c + 8 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 4 c^4) -
2 a^5 (3 b^5 + 2 b^4 c + 9 b^3 c^2 + 9 b^2 c^3 + 2 b c^4 +
3 c^5) + 2 a^3 (4 b^7 - b^6 c + 5 b^5 c^2 - 24 b^4 c^3 -
24 b^3 c^4 + 5 b^2 c^5 - b c^6 + 4 c^7)) | *** |
|
16541 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^5 + b^5 + 2 a^3 b c -
b^4 c - b c^4 + c^5 - a^4 (b + c) - 2 a^2 b c (b + c) -
a (b + c)^2 (b^2 - 4 b c + c^2)) | *** |
|
16678 | a^3 (a + b - c) (a - b + c) (b + c) | X(1402) |
|
16687 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) (b^2 + c^2)) | *** |
|
16763 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) - a^4 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 4 a^3 (b^2 + c^2)^2 +
a^2 (-b^5 + 3 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 + 3 b c^4 - c^5)) |
*** |
| 16778 | a (a + b - c) (a - b + c) (b + c)
(3 a^2 - b^2 - c^2) | *** |
|
16877 | a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) (a^2 - b c)
(a^2 + b c) | *** |
| 16878 | a (b + c) (3 a + b + c) |
X(37593) |
| 17102 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^5 b c - 2 a^3 b (b - c)^2 c + a^6 (b + c) -
a^4 (b + c)^3 + (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^2 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
17437 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) - a^4 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 4 a^3 (b^2 + c^2)^2 -
a^2 (b^5 - 3 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5)) |
*** |
| 17502 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) - a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 12 b c + c^2)) | *** |
|
17591 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 b^3 - a (b - c)^2 + b^2 c +
b c^2 + 2 c^3 + 2 a^2 (b + c)) | *** |
|
17592 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c) + a (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
17593 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 b^3 + b^2 c + b c^2 +
2 c^3 + 2 a^2 (b + c) - a (b^2 - 4 b c + c^2)) | *** |
|
17594 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + 4 a b c + b^2 c +
b c^2 + c^3 + a^2 (b + c)) | *** |
|
17595 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + c^3 + a^2 (b + c) -
a (b^2 - b c + c^2)) | *** |
|
17596 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 - a (b - c)^2 + c^3 +
a^2 (b + c)) | *** |
| 17597 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b^3 + c^3 + a^2 (b + c) - a (b^2 + b c + c^2)) | *** |
|
17598 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 b^3 + b^2 c + b c^2 +
2 c^3 + 2 a^2 (b + c) - a (b^2 + c^2)) | *** |
|
17599 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + a b c + b^2 c + b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c)) | *** |
|
17600 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 +
2 c^3 + 2 a^2 (b + c) + a (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
17601 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + c^3 + a^2 (b + c) -
a (b^2 - 4 b c + c^2)) | *** |
|
17603 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) +
2 a^3 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) +
2 a^2 (b^4 - b^3 c + 4 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
3 a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
17609 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 + 9 b^2 c + 9 b c^2 + c^3)) | *** |
|
17642 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 + 2 a^2 (b + c)^2 (b^2 - 3 b c + c^2) -
a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) + 2 a^3 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3) - 3 a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
17699 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) - a^4 (b + c)^3 +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 4 a^3 (b^2 + c^2)^2 -
a^2 (b^5 - 3 b^4 c - 10 b^3 c^2 - 10 b^2 c^3 - 3 b c^4 +
c^5)) | *** |
| 17700 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) - a^4 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + c^2) - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
4 a^3 (b^2 + c^2)^2 - a^2 (b^5 - 3 b^4 c - 2 b^3 c^2 -
2 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5)) | *** |
|
17715 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + c^3 + a^2 (b + c) -
a (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
17716 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c) + a (b^2 + c^2)) | *** |
|
17798 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 - b c) | X(1429) |
|
18115 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) -
a^8 (b^2 + c^2) - 3 a^4 b^2 c^2 (b^2 + c^2) -
a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^4
(b^2 + c^2) + 2 a^6 (b^2 + c^2)^2 -
2 a^7 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
a^5 b c (2 b^3 + b^2 c + b c^2 + 2 c^3) -
a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 b^4 + b^2 c^2 + 2 c^4) +
a^3 (b - c)^2 (2 b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 + 2 b c^4 +
2 c^5)) | *** |
| 18193 | a (a + b - c) (a - b + c)
(3 b^3 - b^2 c - b c^2 + 3 c^3 + 3 a^2 (b + c) -
4 a (b^2 + c^2)) | *** |
| 18201 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 b^3 - b^2 c - b c^2 + 2 c^3 + 2 a^2 (b + c) -
3 a (b^2 + c^2)) | *** |
| 18208 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b^5 + c^5 + a^4 (b + c) - a^3 (b^2 + c^2) - a (b^2 + c^2)^2 +
a^2 (b^3 + c^3)) | *** |
| 18280 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^10 + a^9 (b + c) + a (b - c)^4 (b + c)^5 -
(b - c)^4 (b + c)^6 - a^8 (9 b^2 + 2 b c + 9 c^2) -
4 a^7 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (b^2 - c^2)^2
(6 b^4 + 8 b^3 c + b^2 c^2 + 8 b c^3 + 6 c^4) +
2 a^6 (8 b^4 + 4 b^3 c + 7 b^2 c^2 + 4 b c^3 + 8 c^4) -
a^4 (b + c)^2 (14 b^4 - 16 b^3 c + 15 b^2 c^2 - 16 b c^3 +
14 c^4) + 3 a^5 (2 b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 +
2 b c^4 + 2 c^5) - a^3 (b - c)^2 (4 b^5 + 12 b^4 c +
15 b^3 c^2 + 15 b^2 c^3 + 12 b c^4 + 4 c^5)) | *** |
|
18330 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^8 (b + c)^2 +
b c (b^2 - c^2)^4 + a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 - b c + c^2) -
a^7 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) - a^2 (b^2 - c^2)^2
(b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
a^6 (3 b^4 + b^3 c + b c^3 + 3 c^4) +
a^5 (3 b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 + 2 b c^4 + 3 c^5) -
a^3 (b - c)^2 (3 b^5 + 4 b^4 c + 3 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 +
4 b c^4 + 3 c^5) + a^4 (3 b^6 - 3 b^5 c - b^4 c^2 -
b^2 c^4 - 3 b c^5 + 3 c^6)) | *** |
|
18398 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2) - a (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3)) | *** |
|
18421 | a (8 a b c + 5 a^2 (b + c) - 5 (b - c)^2 (b + c)) | *** |
|
18443 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^4 (b - c)^2 (b + c) - 2 a^5 (b + c)^2 -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
4 a^3 (b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
18447 | a (a + b - c) (a - b + c) (-2 a^3 b^2 c^2 + a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
18453 | a (a + b - c) (a - b + c) (-(a^8 (b - c)^2) +
a^9 (b + c) - a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) - 2 a^2 (b - c)^4 (b + c)^2
(b^2 + b c + c^2) - 2 a^7 (b^3 + c^3) -
2 a^5 b c (b^3 + c^3) + 2 a^6 (b^4 - b^3 c + b^2 c^2 - b c^3 +
c^4) - 2 a^4 b c (b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4) +
2 a^3 (b^7 - b^5 c^2 - b^2 c^5 + c^7)) | *** |
|
18455 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 b^2 c^2 + a^6 (b + c) -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 + (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
18758 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b - c)^2 -
b c (b^2 + c^2) - a (b^3 + c^3)) | *** |
|
18788 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^5 - a^3 (b - c)^2 -
b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5 + a^4 (b + c) - a^2 b c (b + c) -
a (b - c)^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
18838 | -(a (-(a^5 (b + c)) + (b - c)^4 (b + c)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) + 2 a^3 (b^3 + c^3) -
2 a^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5))) | X(5570) |
|
18839 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^5 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) +
2 a^3 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) +
2 a^2 (b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
3 a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
18856 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) +
6 a^7 b c (b + c) + (b - c)^6 (b + c)^4 -
a (b - c)^4 (b + c)^3 (3 b^2 - 4 b c + 3 c^2) -
2 a^2 b c (b^2 - c^2)^2 (3 b^2 - 4 b c + 3 c^2) -
a^8 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2) +
a^6 (8 b^4 - 2 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 8 c^4) -
2 a^5 (3 b^5 + 4 b^4 c + 5 b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 + 4 b c^4 +
3 c^5) + 2 a^3 (b - c)^2 (4 b^5 + 5 b^4 c + 7 b^3 c^2 +
7 b^2 c^3 + 5 b c^4 + 4 c^5) -
2 a^4 (3 b^6 - 7 b^5 c + 5 b^4 c^2 - 14 b^3 c^3 + 5 b^2 c^4 -
7 b c^5 + 3 c^6)) | *** |
|
18857 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 3 b c + c^2) -
2 a^5 (b^2 + 5 b c + c^2) - a^4 (b^3 - 13 b^2 c - 13 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 15 b^2 c + 15 b c^2 + c^3) +
4 a^3 (b^4 + b^3 c - 7 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
18967 | a (a^3 - 3 a^2 (b + c) + 3 (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + c^2)) | *** |
| 19758 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^2 (b + c)^4 + b c (b + c)^2 (b^2 + c^2) +
a (b + c)^3 (b^2 + c^2) + a^4 (b^2 + 3 b c + c^2) +
a^3 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3)) | *** |
|
19761 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b + c)^2 (b^2 + c^2) +
b c (b + c)^2 (b^2 + c^2) + a (b + c)^3 (b^2 + c^2) +
a^4 (b^2 + b c + c^2) + a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) |
*** |
| 19765 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b c (b + c)^2 + a (b + c)^3 + a^2 (b^2 + 3 b c + c^2)) | *** |
|
19782 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 b c (b + c) -
2 a^2 b^2 c^2 (b + c) + b (b - c)^2 c (b + c)^3 +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) + a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) -
2 a^3 (b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + b c^3 + c^4)) | *** |
|
20182 | a (a + b - c) (a - b + c) (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 +
c^3 + a^2 (b + c) + a (b^2 + 3 b c + c^2)) | *** |
|
20254 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^2 b^2 c^2 + a^5 (b + c) -
a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
20323 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2) - a (b^3 - 7 b^2 c - 7 b c^2 + c^3)) |
X(13601) |
| 20358 | a (a + b - c) (a - b + c)
(b (b - c)^2 c (b + c) + a^3 (b + c)^2 -
a^2 (2 b^3 + b^2 c + b c^2 + 2 c^3) + a (b^4 + c^4)) | *** |
|
20359 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 (b + c)^2 +
b c (b^2 - c^2)^2 - a^3 (b^3 + c^3) -
a^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) +
a (b^5 + b^3 c^2 + b^2 c^3 + c^5)) | *** |
|
20367 | a (a + b - c) (a - b + c) (b (b - c)^2 c (b + c) +
a^3 (b + c)^2 + a (b - c)^2 (b^2 + b c + c^2) -
2 a^2 (b^3 + c^3)) | *** |
|
20368 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 (b + c)^2 +
b c (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b - c)^2 (b^2 - b c + c^2) -
a^3 (b^3 + c^3) + a (b - c)^2 (b^3 + c^3)) | *** |
|
20764 | -(a (a + b - c) (a - b + c)
(a^5 b c + a^4 (b - c)^2 (b + c) - a b c (b^2 - c^2)^2 +
(b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) -
2 a^2 (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5))) | *** |
|
20788 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^5 b c (b + c)^2 +
a^6 (b + c)^3 + b^2 (b - c)^2 c^2 (b + c)^3 +
2 a b c (b^2 - c^2)^2 (b^2 + b c + c^2) -
2 a^3 b c (b^4 + 2 b^3 c + b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4) -
2 a^4 (b^5 + b^4 c + b c^4 + c^5) +
a^2 (b^7 + b^6 c - 4 b^4 c^3 - 4 b^3 c^4 + b c^6 + c^7)) |
*** |
| 20789 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2
(b^2 - 6 b c + c^2) - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a^4 (b^3 - 11 b^2 c - 11 b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 - 5 b^3 c - 10 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 + 11 b^4 c - 28 b^3 c^2 - 28 b^2 c^3 + 11 b c^4 +
c^5)) | *** |
| 20790 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + 6 b c + c^2) -
a^4 (b^3 + 13 b^2 c + 13 b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + 7 b^3 c + 14 b^2 c^2 + 7 b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - 13 b^4 c - 52 b^3 c^2 - 52 b^2 c^3 - 13 b c^4 +
c^5)) | *** |
| 20878 | a^3 (a + b - c) (a - b + c)
(-(b c (b + c)) + a (b^2 + c^2)) | *** |
|
21010 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (b^2 + b c + c^2)) |
X(7146) |
| 21164 | a (a + b - c) (a - b + c)
(-2 a^5 (b - c)^2 + a^6 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^2 (b - c)^2
(b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) -
a^4 (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3) +
4 a^3 (b^4 - b^3 c + 8 b^2 c^2 - b c^3 + c^4)) | *** |
|
21334 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 (b + c)^2 +
b c (b^2 - c^2)^2 - a^3 (b^3 + c^3) +
a^2 (-b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 - c^4) +
a (b^5 + b^3 c^2 + b^2 c^3 + c^5)) | *** |
|
21842 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2) - a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) |
*** |
| 22341 | a (a^5 (b + c) - 2 a^3 (b - c)^2 (b + c) +
a (b - c)^4 (b + c) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) | *** |
|
22765 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 3 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) + 2 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2) | *** |
|
22766 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 4 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 + 2 a (b^3 + c^3)) | *** |
|
22767 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 4 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 +
2 a (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) | *** |
|
22768 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + 6 a^2 b c -
2 a^3 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 + 2 a (b^3 + c^3)) | *** |
|
22770 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 - 3 a^3 (b + c) +
3 a (b - c)^2 (b + c) + a^2 (b + c)^2 - 2 (b^2 - c^2)^2) |
*** |
| 23171 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (b + c)
(b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5 - a^2 (b - c)^2 (b + c) +
a^3 (b^2 - b c + c^2) - a (b - c)^2 (b^2 + b c + c^2))) |
*** |
| 23207 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^5 (b + c) + a (b - c)^2 (b + c)^3 + 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 -
a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)) | *** |
|
23340 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 4 b c + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 - 7 b^2 c - 7 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 9 b^2 c + 9 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - 6 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
23703 | -(a (b - c)^2 (a^3 - b c (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2))) | *** |
|
23832 | a (2 a - b - c) (b - c)^2 (a + b - c) (a - b + c) | *** |
|
23853 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (-(b c) + a (b + c)) |
X(1403) |
| 23890 | -(a (b - c)^2 (a^4 - b (b - c)^2 c -
3 a^3 (b + c) - a (b + c)^3 + a^2 (3 b^2 + 7 b c + 3 c^2))) |
*** |
| 23960 | a (a + b - c) (a - b + c)
(4 a^6 (b + c) + 4 (b - c)^4 (b + c)^3 -
4 a^5 (2 b^2 + 3 b c + 2 c^2) - a (b^2 - c^2)^2
(8 b^2 - 19 b c + 8 c^2) + a^4 (-4 b^3 + 19 b^2 c +
19 b c^2 - 4 c^3) - a^2 (b - c)^2 (4 b^3 + 27 b^2 c +
27 b c^2 + 4 c^3) + a^3 (16 b^4 - 7 b^3 c - 28 b^2 c^2 -
7 b c^3 + 16 c^4)) | *** |
|
23961 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (4 a^4 - 5 a^3 (b + c) +
5 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 -
3 a^2 (b^2 - 4 b c + c^2))) | *** |
|
23981 | a (a - b - c) (b - c)^2 (a^2 - b^2 + b c - c^2) | *** |
|
24299 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) - a^4 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + 6 b^3 c + 6 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
24301 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^9 (b + c) -
2 a^5 b (b - c)^2 c (b + c) - a (b - c)^4 (b + c)^3
(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) +
2 a^3 (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 - b c + c^2) -
a^8 (b^2 + 4 b c + c^2) - 2 a^7 (b^3 + c^3) +
4 a^4 b c (b^4 + c^4) + 2 a^6 (b^4 + 2 b^3 c + 2 b c^3 +
c^4) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^4 + 2 b^3 c + 2 b c^3 +
c^4))) | *** |
| 24310 | a (a + b - c) (a - b + c) (b + c)
(a^4 (b + c) + b (b - c)^2 c (b + c) -
a^3 (b^2 - 3 b c + c^2) + a (b - c)^2 (b^2 + b c + c^2) -
a^2 (b^3 + c^3)) | *** |
| 24464 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^2 b^2 c^2 + 2 a^3 b c (b + c) + a^4 (b + c)^2 +
b c (b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4) +
a (b^5 + b^4 c + b c^4 + c^5)) | *** |
|
24468 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 + b c + 2 c^2) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) -
a^4 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
24474 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) +
2 a^3 (2 b^4 + b^3 c + b c^3 + 2 c^4) -
a^2 (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) | *** |
|
24806 | -(a (-(a^4 (b + c)^2) + b c (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (b - c)^2 (b^2 + b c + c^2) - a^3 (b^3 + c^3) +
a (b - c)^2 (b^3 + c^3))) | *** |
|
24926 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^3 (b + c) +
2 (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + 3 b c + c^2) +
a (-2 b^3 + b^2 c + b c^2 - 2 c^3)) | *** |
|
24927 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 4 b c + c^2) -
2 a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) - a^4 (b^3 - 11 b^2 c - 11 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 13 b^2 c + 13 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - 2 b^3 c - 24 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
24928 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2) - a (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3)) |
*** |
| 24929 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^3 (b + c) - a (b + c)^3 + (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + 4 b c + c^2)) | *** |
|
25405 | a (a + b - c) (a - b + c) (3 a^3 (b + c) +
3 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (3 b^2 + 8 b c + 3 c^2) +
a (-3 b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 - 3 c^3)) | *** |
|
25413 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
2 a (b - c)^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^3 -
2 a^5 (b^2 + b c + c^2) - a^4 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 +
c^3) - a^2 (b - c)^2 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
25414 | -(a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - 5 b c + 2 c^2) -
a^4 (b^3 - 4 b^2 c - 4 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 - 3 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 4 c^4) -
a^2 (b^5 + 4 b^4 c - 7 b^3 c^2 - 7 b^2 c^3 + 4 b c^4 +
c^5))) | *** |
| 25415 | a (a + b - c) (a - b + c)
(3 a^3 (b + c) + 3 (b^2 - c^2)^2 -
a^2 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) +
a (-3 b^3 + b^2 c + b c^2 - 3 c^3)) | *** |
|
26086 | a (a + b - c) (a - b + c) (4 a^4 - 3 a^3 (b + c) +
3 a (b - c)^2 (b + c) + a^2 (-5 b^2 + 8 b c - 5 c^2) +
(b^2 - c^2)^2) | *** |
| 26087 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^6 (b + c) - 4 a^5 (b + c)^2 + 2 (b - c)^4 (b + c)^3 -
a (b^2 - c^2)^2 (4 b^2 - 9 b c + 4 c^2) +
a^4 (-2 b^3 + 11 b^2 c + 11 b c^2 - 2 c^3) -
a^2 (b - c)^2 (2 b^3 + 15 b^2 c + 15 b c^2 + 2 c^3) +
a^3 (8 b^4 - b^3 c - 16 b^2 c^2 - b c^3 + 8 c^4)) | *** |
|
26285 | a (a + b - c) (a - b + c) (2 a^4 - a^3 (b + c) +
a (b - c)^2 (b + c) + a^2 (-3 b^2 + 4 b c - 3 c^2) +
(b^2 - c^2)^2) | *** |
| 26286 | a (a + b - c) (a - b + c)
(2 a^4 - 3 a^3 (b + c) + 3 a (b - c)^2 (b + c) -
(b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - 4 b c + c^2)) | *** |
|
26287 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + 3 b c + c^2) -
a (b^2 - c^2)^2 (2 b^2 - 3 b c + 2 c^2) -
a^4 (b^3 - 6 b^2 c - 6 b c^2 + c^3) -
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 8 b^2 c + 8 b c^2 + c^3) +
a^3 (4 b^4 + 3 b^3 c - 12 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 4 c^4)) | *** |
|
26357 | a^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + b^3 - 3 b^2 c -
3 b c^2 + c^3 - a^2 (b + c) - a (b^2 + c^2)) | *** |
|
26358 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^4 + a^3 (b + c) +
2 (b^2 - c^2)^2 - 3 a^2 (b^2 + c^2) -
a (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3)) | *** |
|
26437 | a (a^3 - 2 a^2 (b + c) + 2 (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 + c^2)) | *** |
|
26903 | a (a^11 (b + c) - a (b - c)^6 (b + c)^5 +
a^2 (b - c)^4 (b + c)^6 + a^10 (-3 b^2 + 2 b c - 3 c^2) -
(b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^2 + a^3 (b - c)^4 (b + c)^3
(5 b^2 + 2 b c + 5 c^2) - a^9 (5 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 +
5 c^3) + 2 a^4 (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 - 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 -
4 b c^3 + 3 c^4) - 2 a^6 (b - c)^2 (7 b^4 + 8 b^3 c +
10 b^2 c^2 + 8 b c^3 + 7 c^4) +
a^8 (11 b^4 - 8 b^3 c + 6 b^2 c^2 - 8 b c^3 + 11 c^4) +
2 a^7 (5 b^5 + b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 +
5 c^5) - 2 a^5 (b - c)^2 (5 b^5 + 9 b^4 c + 10 b^3 c^2 +
10 b^2 c^3 + 9 b c^4 + 5 c^5)) | *** |
|
26904 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^11 (b + c) -
a (b - c)^6 (b + c)^5 - a^2 (b - c)^4 (b + c)^6 +
(b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^2 + a^10 (3 b^2 - 2 b c + 3 c^2) +
a^3 (b - c)^4 (b + c)^3 (5 b^2 + 2 b c + 5 c^2) -
a^9 (5 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 + 5 c^3) +
a^8 (-11 b^4 + 8 b^3 c - 6 b^2 c^2 + 8 b c^3 - 11 c^4) -
2 a^4 (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 - 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 - 4 b c^3 +
3 c^4) + 2 a^6 (b - c)^2 (7 b^4 + 8 b^3 c + 10 b^2 c^2 +
8 b c^3 + 7 c^4) + 2 a^7 (5 b^5 + b^4 c + 2 b^3 c^2 +
2 b^2 c^3 + b c^4 + 5 c^5) - 2 a^5 (b - c)^2
(5 b^5 + 9 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 9 b c^4 +
5 c^5)) | *** |
| 26908 | a (a + b - c) (a - b + c)
(a^11 (b + c) - a^2 (b - c)^6 (b + c)^4 -
a (b - c)^6 (b + c)^5 + (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^2 +
a^10 (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) + a^3 (b - c)^4 (b + c)^3
(5 b^2 + 2 b c + 5 c^2) - a^9 (5 b^3 + 3 b^2 c + 3 b c^2 +
5 c^3) - 2 a^4 (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 + 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 +
4 b c^3 + 3 c^4) + 2 a^6 (b + c)^2 (7 b^4 - 8 b^3 c +
10 b^2 c^2 - 8 b c^3 + 7 c^4) -
a^8 (11 b^4 + 8 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 8 b c^3 + 11 c^4) +
2 a^7 (5 b^5 + b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 +
5 c^5) - 2 a^5 (b - c)^2 (5 b^5 + 9 b^4 c + 10 b^3 c^2 +
10 b^2 c^3 + 9 b c^4 + 5 c^5)) | *** |
|
27247 | a (a + b - c) (a - b + c) (a^6 (b + c) -
a^4 (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b - c)^4 (b + c)^2 +
(b - c)^4 (b + c)^3 - 2 a^5 (b^2 + c^2) +
4 a^3 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
a^2 (b^5 + b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 + b c^4 + c^5)) | *** |
una lista más exahustiva de centros correspondientes mediante σ:IO → IO, P ↦ P'.
- Domingo, 11 de abril del 2021
El centro X(19210) como punto fijo de una transformación afín
El 11 de abril de 2020 falleció de forma repentina, a los 82 años, victima de la covic-19, John Horton Conway (la fiebre comenzó tan solo tres días antes).
Fue un prolífico matemático activo en la teoría de conjuntos (teoría de conjuntos finitos), teoría de nudos, teoría de números, teoría de juegos y teoría de códigos.
Entre los matemáticos aficionados, quizás es más conocido por su teoría de juegos combinatorios, en particular por ser el creador en 1970 del juego de la vida. También es uno de los inventores del juego del drago, así como del Phutball y ha realizado análisis detallados de muchos otros juegos y problemas, como el cubo Soma.
Inventó un nuevo sistema numérico, los números surreales, los cuales se encuentran estrechamente relacionados a ciertos juegos y han sido objeto de una novela matemática por Donald Knuth.
Sea ABC un triángulo con circuncentro O=X3 y ortocentro H=X4. La recta a través de O paralela a BC interseca a AB en Ab y a AC en Ac. D es el punto medios de AH. Las circunferencias circunscritas a los triángulos BDAb y CDAc se cortan de nuevo en A' (sobre AO, ver AoPS c6t48f6h1412598).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica
ABC en
A'B'C' es
X19210.
A' = ((a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 + 2 (b^2 - c^2)^2 -
3 a^2 (b^2 + c^2)) : 2 b^2 (-a^2 + b^2 - c^2) ((b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2)) : 2 c^2 (-a^2 - b^2 + c^2) ((b^2 - c^2)^2 -
a^2 (b^2 + c^2))).
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] = b^2 c^2 (-a^2+b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (-a^8-a^4 (b^2-c^2)^2+2 (b^2-c^2)^4+3 a^6 (b^2+c^2)-3 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)),
ℳ[1,2] = 2 a^4 c^2 (-a^2-b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2)^2 (a^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+2 c^2)),
ℳ[1,3] = 2 a^4 b^2 (-a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)^2 (a^4+b^4-b^2 c^2-a^2 (2 b^2+c^2)).
Su punto fijo, correspondiente al valor propio,
λ = -a^2 b^2 (a-b-c) (a+b-c) c^2 (a-b+c) (a+b+c) (a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2),
es
X19210 = (a^4 (-a^2+b^2+c^2)^2 (-a^4-b^4+b^2 c^2+a^2 (2 b^2+c^2)) (a^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+2 c^2)) : ... : ...).
X19210 es el conjugado armónicoUn punto D se dice que es el conjugado armónico del punto C respecto de los puntos A y B, todos colineales, si su razón doble es igual a -1: (A, B, C, D) = (BD/BC)/(AD/AC) = -1 de O respecto al punto de KosnitaEl punto de Kosnita de un triángulo es el conjugado isogonal del centro de la circunferencia de los nueve puntos.
Es el punto X54 de ETC.
Sea O el circuncentro del triángulo ABC, Oa el circuncentro del triángulo BOC. Se definen Ob and Oc cíclicamente. Entonces las rectas AOa, BOb y COc concurren en X54.
Primera coordenada baricéntrica, a^2/(S + SB SC). y al punto X79 = Kosnita(H,K)Suppose that P and Q are points (as functions of a,b,c). Let A' = Q-of-BCP, B' = Q-of-CAP, C' = Q-of-ABP. If the lines AA', BB', CC' concur, the point of concurrency is called the Kosnita(P,Q) point. The Kosnita point (X54) is Kosnita(O,O) point., donde K es el simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²)..
Algunos pares {X=Xi, X'=σ(X)=Xj)} para los índices {i, j}: {3, 1657}, {394, 18396}, {1092, 1204}, {19210, 19210}, {22115, 3581}.
- Viernes, 9 de abril del 2021
Pares bicéntricos asociados a la recta IO
El 9 de abril de 1977 (sábado santo) en España y en plena transición a la democracia tras la dictadura de Franco, por decisión personal del presidente del Gobierno Adolfo Suárez, el Partido Comunista de España vuelve a ser legal. “La legalización del Partido Comunista es un verdadero golpe de Estado", dijo Manuel Fraga Iribarne al legalizarse el PCE después de la Matanza de Atocha y poco antes de las primeras elecciones democráticas. Y fundó un partido de derecha pura y dura llamado Alianza Popular (AP), aglutinando una federación de siete organizaciones políticas, que fue inscrito en el Registro de Partidos Políticos del Ministerio del Interior el 4 de mayo de 1977.
Se dan un triángulo ABC, con incentro I=X1 y circuncentro O=X3, y un punto X, de triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . DEF.
La bisectriz interior en A corta a las rectas de XE y XF en Ab y Ac, respectivamente.
La bisectriz interior en B corta a las recta XF y XD en Bc y Ba, respectivamente.
Y la bisectriz interior en C corta a las rectas XD y XE en Ca y Cb, respectivamente.
Las circunferencias 𝒫=(AcBaCb) y 𝒰=(AbBcCa) pasan por I si y sólo si X está sobre las perpendiculares por I a los lados de ABC o sobre la recta IO.
Tomemos el punto X=I+tO sobre la recta
IO,
( Ecuación baricéntrica de IO:
b c (b - c)(-a + b + c) x - a c(a - c)(a - b + c) y +
a b(a - b)(a + b - c) z = 0.
Centros Xi del triángulo sobre IO:
i ∈ {1, 3, 35, 36, 40, 46, 55, 56, 57, 65, 165, 171, 241, 260, 354, 484,
517, 559, 940, 942, 980, 982, 986, 988, 999, 1038, 1040, 1060, 1062,
1082, 1155, 1159, 1214, 1319, 1381, 1382, 1385, 1388, 1402, 1403,
1420, 1429, 1454, 1460, 1466, 1467, 1470, 1482, 1617, 1622, 1697,
1715, 1735, 1754, 1758, 1764, 1771, 1936, 2061, 2077, 2078, 2093,
2095, 2098, 2099, 2223, 2283, 2352, 2446, 2447, 2448, 2449, 2556,
2557, 2564, 2565, 2572, 2573, 2646, 2662, 3057, 3072, 3075, 3245,
3256, 3295, 3303, 3304, 3333, 3336, 3337, 3338, 3339, 3340, 3359,
3361, 3428, 3503, 3513, 3514, 3550, 3576, 3579, 3587, 3601, 3612,
3660, 3666, 3670, 3675, 3677, 3744, 3745, 3746, 3748, 3749, 3750,
3931, 3953, 3976, 3999, 4003, 4038, 4424, 4689, 4694, 4860, 4883,
5010, 5045, 5048, 5049, 5061, 5078, 5091, 5119, 5122, 5126, 5128,
5131, 5137, 5143, 5172, 5173, 5183, 5193, 5204, 5217, 5221, 5228,
5255, 5264, 5266, 5269, 5285, 5329, 5337, 5347, 5348, 5363, 5425,
5482, 5535, 5536, 5537, 5538, 5563, 5570, 5584, 5597, 5598, 5662,
5697, 5706, 5707, 5708, 5709, 5710, 5711, 5885, 5902, 5903, 5908,
5919, 6244, 6282, 6583, 6766, 6767, 6769, 7011, 7070, 7146, 7280,
7373, 7688, 7742, 7957, 7962, 7964, 7982, 7987, 7991, 7994, 8069,
8071, 8148, 8158, 8162, 8163, 8171, 8186, 8187, 8193, 8251, 8270,
8273, 8726, 8758, 8924, 9120, 9364, 9371, 9441, 9627, 9630, 9659,
9672, 9819, 9940, 9957, 10202, 10222, 10225, 10246, 10247, 10252,
10253, 10267, 10268, 10269, 10270, 10273, 10284, 10306, 10310, 10319,
10383, 10388, 10389, 10434, 10439, 10441, 10470, 10473, 10474, 10475,
10476, 10480, 10500, 10508, 10618, 10679, 10680, 10831, 10832, 10856,
10857, 10882, 10902, 10965, 10966, 10980, 11009, 11010, 11011, 11012,
11014, 11018, 11021, 11224, 11227, 11248, 11249, 11252, 11253, 11278,
11280, 11366, 11367, 11407, 11492, 11493, 11507, 11508, 11509, 11510,
11518, 11521, 11529, 11531, 11567, 11575, 11822, 11823, 11849, 11873,
11874, 11875, 11876, 11877, 11878, 11879, 11880, 11881, 11882, 11883,
11884, 12000, 12001, 12009, 12410, 12435, 12458, 12459, 12555, 12702,
12703, 12704, 12915, 13145, 13151, 13370, 13373, 13384, 13388, 13389,
13462, 13528, 13600, 13601, 13624, 13750, 13751, 14000, 14110, 14115,
14122, 14131, 14132, 14792, 14793, 14794, 14795, 14796, 14797, 14798,
14799, 14800, 14801, 14802, 14803, 14804, 14882, 15016, 15177, 15178,
15803, 15804, 15931, 15932, 15934, 15941, 16189, 16191, 16192, 16193,
16200, 16201, 16202, 16203, 16204, 16205, 16206, 16207, 16208, 16209,
16215, 16216, 16217, 16218, 16541, 16678, 16687, 16763, 16778, 16877,
16878, 17102, 17437, 17502, 17591, 17592, 17593, 17594, 17595, 17596,
17597, 17598, 17599, 17600, 17601, 17603, 17609, 17642, 17699, 17700,
17715, 17716, 17798, 18115, 18193, 18201, 18208, 18280, 18330, 18398,
18421, 18443, 18447, 18453, 18455, 18758, 18788, 18838, 18839, 18856,
18857, 18955, 18956, 18967, 19758, 19761, 19765, 19782, 20182, 20254,
20323, 20358, 20359, 20367, 20368, 20764, 20788, 20789, 20790, 20878,
21010, 21164, 21334, 21842, 22341, 22765, 22766, 22767, 22768, 22770,
23171, 23207, 23340, 23703, 23832, 23853, 23890, 23960, 23961, 23981,
24299, 24301, 24310, 24464, 24468, 24474, 24806, 24926, 24927, 24928,
24929, 25405, 25413, 25414, 25415, 26086, 26087, 26285, 26286, 26287,
26290, 26291, 26296, 26297, 26319, 26320, 26351, 26352, 26357, 26358,
26365, 26366, 26380, 26393, 26395, 26398, 26399, 26400, 26401, 26402,
26404, 26417, 26419, 26422, 26423, 26424, 26425, 26426, 26437, 26903,
26904, 26908, 27247, 30274, 30282, 30323, 30337, 30343, 30350, 30389,
30392, 30502, 30503, 31393, 31498, 31508, 31511, 31515, 31662, 31663,
31666, 31778, 31779, 31780, 31781, 31785, 31786, 31787, 31788, 31792,
31793, 31794, 31797, 31798, 31849, 32167, 32612, 32613, 32622, 32623,
32636, 32760, 33176, 33177, 33178, 33179, 33281, 33574, 33596, 33649,
33657, 33658, 33795, 33862, 33925, 34339, 34345, 34346, 34471, 34486,
34489, 34556, 34557, 34560, 34561, 34583, 34592, 34593, 34871, 34879,
34880, 34881, 34890, 34891, 34923, 35000, 35004, 35010, 35014, 35046,
35059, 35202, 35238, 35239, 35242, 35244, 35245, 35251, 35252, 35390,
35445, 35448, 35457, 35459, 35460, 35461, 35597, 35612, 35620, 35621,
35631, 35645, 36152, 36274, 36279, 36946, 37080, 37520, 37521, 37522,
37523, 37524, 37525, 37526, 37527, 37528, 37529, 37530, 37531, 37532,
37533, 37534, 37535, 37536, 37537, 37538, 37539, 37540, 37541, 37542,
37543, 37544, 37545, 37546, 37547, 37548, 37549, 37550, 37551, 37552,
37553, 37554, 37555, 37556, 37557, 37558, 37559, 37560, 37561, 37562,
37563, 37564, 37565, 37566, 37567, 37568, 37569, 37570, 37571, 37572,
37573, 37574, 37575, 37576, 37577, 37578, 37579, 37580, 37581, 37582,
37583, 37584, 37585, 37586, 37587, 37588, 37589, 37590, 37591, 37592,
37593, 37594, 37595, 37596, 37597, 37598, 37599, 37600, 37601, 37602,
37603, 37604, 37605, 37606, 37607, 37608, 37609, 37610, 37611, 37612,
37613, 37614, 37615, 37616, 37617, 37618, 37619, 37620, 37621, 37622,
37623, 37624, 37625, 37772, 37773, 38013, 38014, 38284, 38285, 38286,
38287, 38288, 38289, 38290, 38291, 38474, 38483, 39271, 39550, 39578,
39598, 40245, 40255, 40292, 40293, 40294, 40295, 40296, 40910, 40946,
40959}
)
entonces los centros
P = (a (-a^3 (1+t)+a^2 (b+c+c t)-(b-c) (-c^2+b^2 (1+t))+a (c^2-b c (2+t)+b^2 (1+2 t))) : b (-a^3+a^2 (b+c)-(b-c) (b c t+b^2 (1+t)-c^2 (1+t))+a (b^2 (1+t)+c^2 (1+t)-b c (2+t))) : c (-a^3 (1+t)+a^2 (b+c+b t+2 c t)-(b-c) (b^2-c^2 (1+t))+a (b^2+c^2-b c (2+t)))
y
U = (a (-a^3 (1+t)+a^2 (b+c+b t)-(b-c) (b^2-c^2 (1+t))+a (b^2-b c (2+t)+c^2 (1+2 t))) : b (-a^3 (1+t)+a^2 (b+c+2 b t+c t)-(b-c) (-c^2+b^2 (1+t))+a (b^2+c^2-b c (2+t))) : c (-a^3+a^2 (b+c)-(b-c) (-b c t+b^2 (1+t)-c^2 (1+t))+a (b^2 (1+t)+c^2 (1+t)-b c (2+t))))
de las circunferencias 𝒫 y 𝒰 son un par bicéntricoSea (f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) donde f es una función no nula satisfaciendo la condición
(1) f es homogénea en a,b,c; i.e., existe un número real no negativo h tal que
f(ta,tb,tc) = t^hf(a,b,c) para todo (a,b,c) en el dominio de f,
pero que |f(a,b,c)| ≠ |f(a,c,b)|. Entonces
(f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) y (f(a,c,b) : f(b,a,c) : f(c,b,a))
son puntos bicéntricos, juntos forman un par bicéntrico.
Ejemplo: los puntos de Brocard (c/b : a/c : b/a) y (b/c : c/a : a/b).. La recta PU es perpendicular a IK, por lo que su punto en el infinito es X3309, (X(3309) = ideal point of PU(44),
X(3309) = bicentric difference of PU(44)). El punto medio de PU coincide con el punto medio de IX.
En particular, cuando X= X40 (punto de BevanEl punto de Bevan es el circuncentro del triángulo excentral. Es el punto X40 de ETC.
Lleva el nombre en honor de Benjamin Bevan que propuso el problema de probar que el circuncentro O era el punto medio del incentro I y el circuncentro del triángulo excentral.
Primera coordenada baricéntrica: a(a^3+a^2(b+c)-a (b+c)^2-(b-c)^2(b+c))
) se obtiene el par bicéntrico P(44) = 1st Laemmel Point (Brocard points and Laemmel points - new bicentric points. Darij Grinberg. May 4, 2003. Hyacinthos #7088)
Para ver las coordenadas (obtenidas gracias a la inestimable ayuda de Ercole Suppa) de pares bicéntricos correspondientes a puntos sobre IO, pinchar
aquí.
Xn
en IO |
Par bicéntrico (baricéntricas) |
| 3 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c + a b (-2 b + c)): : |
| 35 | a (a^3 - 2 a b^2 + b^2 (b - c) - a^2 c): : |
| 36 | a (a - b) (a^2 + a (b - c) + b (-b + c)): : |
| 40 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + c^2)) : : P(44) = 1st Laemmel Point |
| 46 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + 2 b c + c^2)): : |
| 55 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - a b (2 b + c)): : |
| 56 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c + a b (-2 b + 3 c)): : |
| 57 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + 4 b c + c^2)): : |
| 65 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + b c + c^2)): : |
| 165 | a (3 a^3 + 3 b^3 + a^2 (b - 3 c) - 3 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-7 b^2 + 2 b c + c^2)): : |
| 171 | a (a^3 + a^2 b + b (b^2 + c^2) + a (-b^2 + 2 b c + c^2)): : |
| 241 | a (a^4 (b + 2 c) + a^3 (b^2 - b c - 3 c^2) + (b - c)^2 c (2 b^2 + b c + c^2) + a^2 (-5 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + a (3 b^4 - 5 b^3 c + 4 b^2 c^2 - b c^3 - c^4)): : |
| 354 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 5 b c + c^2)): : |
| 484 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + b c + c^2)): : |
| 517 | a (a^2 b + (b - c) c^2 - a (b^2 + b c - c^2)): : |
| 559 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + b Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)] + c Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)] + a (-3 b^2 + 4 b c + c^2 + Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)])): : |
| 940 | a (a^3 + a^2 (2 b + c) + a c (5 b + 2 c) + b (b^2 + b c + 2 c^2)): : |
| 942 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 3 b c + c^2)): : |
| 980 | a (b c^2 (2 b^2 + b c + c^2) + a^3 (b^2 + 2 b c + 2 c^2) + a c (4 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^3 + 3 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)): : |
| 982 | a (2 a b (b - c) + a^2 c + c (b^2 + c^2)): : |
| 986 | a (2 a b^2 + a^2 c + b^2 c + c^3): : |
| 988 | a (a^3 + b^3 - 3 b^2 c - b c^2 - c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 - 2 b c + c^2)): : |
| 999 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c + a b (-2 b + 5 c)): : |
| 1038 | a (a^6 + 4 a b^3 (b - c) c - 4 a^3 b c^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 - 4 b c + c^2) - a^2 (b^4 + 8 b^3 c - 6 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 1040 | a (a^6 + 4 a^3 b c^2 + 4 a b^3 c (-b + c) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 + 4 b c + c^2) - a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 2 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 1060 | a (a^6 - a^4 (b - c)^2 + 2 a b^3 (b - c) c - 2 a^3 b c^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^2 (b^4 + 4 b^3 c - 4 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 1062 | a (a^6 + 2 a^3 b c^2 + 2 a b^3 c (-b + c) - a^4 (b + c)^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^2 (b^4 - 4 b^3 c + c^4)): : |
| 1082 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 - b Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)] - c Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)] + a (-3 b^2 + 4 b c + c^2 - Sqrt[-3 a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 + 6 a^2 (b^2 + c^2)]))): : |
| 1155 | a (2 a^3 + 2 b^3 + a^2 (b - 2 c) - 2 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-5 b^2 + 3 b c + c^2)): : |
| 1159 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 4 b c^2 + 4 c^3 - a^2 (4 b + c) + a (2 b^2 - 3 b c - 4 c^2)): : |
| 1214 | a (-2 a^2 b^3 (b + c) + a^5 (b + 2 c) + a^4 (2 b^2 - c^2) - 2 a^3 (2 b^3 + c^3) + a b (3 b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) + c (2 b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 + c^5)): : |
| 1319 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 - 5 b c + c^2)): : |
| 1385 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 - 3 b c + c^2)): : |
| 1388 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + 3 c) + a (-4 b^2 + 7 b c - 2 c^2)): : |
| 1402 | a (a^5 (b + c) + a^4 b (b + c) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^3 (2 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + a^2 b (-b^3 + b c^2 + c^3) + a b (b^4 - b^3 c + b c^3 + c^4)): : |
| 1403 | a (a^4 b^2 + a^5 (b + c) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^2 b^2 (b^2 - 3 b c + 3 c^2) - a^3 (2 b^3 + b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a (b^5 - 2 b^4 c + b^3 c^2 + 2 b c^4)): : |
| 1420 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 - 8 b c + c^2)): : |
| 1429 | a (a^5 + a^4 b - 2 a^3 b (b - c) - 2 a^2 c (b^2 + c^2) + b (b^4 - 2 b c^3 + c^4) + a (-b^4 + 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4)): : |
| 1454 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^4 (-5 b^2 + 4 b c + c^2) + a^3 (4 b^3 - 6 b c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 8 b^3 c + 4 b^2 c^2 - c^4) - 2 a (2 b^5 - 4 b^4 c + b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - c^5)): : |
| 1460 | a (a^6 + a^5 b + b^6 - a^4 b (b - 4 c) - b^2 c^4 + 2 a^3 b c (b + c) - a^2 (b^4 + 4 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 4 b c^3 + c^4) + a b (-b^4 + 2 b^3 c + 2 b c^3 + c^4)): : |
| 1466 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 12 b^3 c + 14 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 8 b^3 c + 4 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 1467 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) - a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 + 4 a^3 (b^3 - b^2 c + b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 - 12 b^3 c + 14 b^2 c^2 + 4 b c^3 + c^4) - 2 a (b^5 + b^4 c - 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5)): : |
| 1470 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 10 b^3 c + 12 b^2 c^2 - c^4) + a b (-3 b^4 + 8 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4)): : |
| 1482 | a (a^3 + b^3 - b^2 c + a (3 b - 2 c) c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c)): : |
| 1617 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + c^3) + a^2 (b^4 + 2 b^3 c - 6 b^2 c^2 - c^4) + a b (-3 b^4 + 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4)): : |
| 1622 | a (a^9 + b^2 (b - c)^3 (b + c)^4 + a^8 (2 b + c) - 3 a^7 (b^2 + b c + c^2) - a^6 (7 b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + 3 c^3) - a b (b - c)^2 c (7 b^4 + 8 b^3 c + 2 b^2 c^2 - c^4) + a^5 (3 b^4 + 7 b^3 c + 8 b^2 c^2 - b c^3 + 3 c^4) - a^2 (b - c)^2 (5 b^5 + 4 b^4 c - 3 b^3 c^2 - b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5) + a^4 (9 b^5 - 6 b^4 c - 7 b^3 c^2 - b^2 c^3 - 6 b c^4 + 3 c^5) - a^3 (b^6 - 3 b^5 c + 11 b^4 c^2 - 10 b^3 c^3 + 3 b^2 c^4 - 3 b c^5 + c^6)): : |
| 1697 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 - 4 b c + c^2)): : |
| 1715 | a (a^8 (b + c) + a^7 (b^2 - 2 b c - c^2) + b (b - c)^3 c (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^6 (5 b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a^5 (-b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) - a^2 (b - c)^3 (3 b^4 + 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 3 b c^3 + c^4) + a^4 (7 b^5 - 6 b^4 c - b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 - 4 b c^4 - c^5) + a (b - c)^2 (b^6 - 4 b^5 c - 5 b^4 c^2 + b^2 c^4 - c^6) + a^3 (-b^6 + 2 b^5 c - b^4 c^2 - 4 b^3 c^3 + b^2 c^4 + 2 b c^5 + c^6)): : |
| 1735 | a (a^5 c - a^3 b (2 b^2 + b c - 3 c^2) + a^4 (2 b^2 - 2 b c - c^2) + a (b - c)^3 (2 b^2 + 2 b c + c^2) - a^2 b (2 b^3 - 5 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + c (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)): : |
| 1754 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 - a^5 c + a^3 b (2 b^2 - b c - c^2) + a^2 (b^4 + b^3 c - b c^3 - c^4) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5) + a (-2 b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 - 3 b^2 c^3 + b c^4 + c^5)): : |
| 1758 | a (a^6 - a^5 (b + 3 c) + a^4 (-5 b^2 + 3 b c + c^2) + 2 a^3 (3 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 - c^4) + (b - c)^2 (b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a (-5 b^5 + 7 b^4 c - 4 b^2 c^3 + b c^4 + c^5)): : |
| 1764 | a (2 a^4 b^2 + a^5 (b + c) - a^3 b (2 b^2 + b c - 3 c^2) - a^2 b (2 b^3 + b^2 c + 4 b c^2 - c^3) + b c (b^4 - c^4) + a (b^5 - 4 b^4 c - b^3 c^2 + b^2 c^3 - c^5)): : |
| 1771 | a (a^6 - a^5 c + a^4 b (-3 b + 2 c) + a^3 b (2 b^2 + b c - 3 c^2) - a (b - c)^3 (2 b^2 + 2 b c + c^2) + a^2 (b^4 - 5 b^3 c + 4 b^2 c^2 + b c^3 - c^4) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)): : |
| 1936 | a (a^6 - a^5 c + a^4 b (-3 b + c) + 2 a^3 (b^3 - b c^2) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c + 4 b^2 c^2 - c^4) + a (-2 b^5 + 3 b^4 c - 2 b^2 c^3 + c^5) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)): : |
| 2077 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 5 c) - a b^2 (3 b^3 - 7 b^2 c + 3 b c^2 + c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c - 5 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 9 b^3 c + 6 b^2 c^2 + b c^3 - c^4)): : |
| 2078 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a b^2 (-3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 - c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c - b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 - c^4)): : |
| 2093 | a (a^3 + b^3 + a^2 (3 b - c) - b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3 + a (-5 b^2 + 2 b c + 3 c^2)): : |
| 2095 | a (a^6 + a^5 (b - 2 c) + a^4 (-7 b^2 + 4 b c + 2 c^2) + a^3 (4 b^3 - 8 b c^2 - 2 c^3) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + 2 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (5 b^4 - 10 b^3 c + 10 b^2 c^2 - c^4) - a (5 b^5 - 10 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 + b c^4 - 4 c^5)): : |
| 2098 | a (a^3 + b^3 - b^2 c + a (5 b - 2 c) c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c)): : |
| 2099 | a (a^3 + b^3 - b^2 c + a (b - 2 c) c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c)): : |
| 2223 | a (a^3 (b - c) c + b^3 (b - c) c + a^4 (b + c) - a^2 b^2 (2 b + c) + a b (b^3 - b^2 c + c^3)): : |
| 2283 | -(a (a^7 (b + c) + b^3 (b - c)^3 c (b + c) - a^6 (b^2 + b c + 2 c^2) - 3 a^5 (b^3 - b c^2) + a^4 (4 b^4 + 2 b^3 c + b^2 c^2 - 5 b c^3 + 2 c^4) + a b (b - c)^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 + 2 c^4) + a^3 (b^5 - 6 b^4 c + 2 b^2 c^3 + 2 b c^4 - c^5) + a^2 (-3 b^6 + 6 b^5 c - 5 b^4 c^2 + 4 b^3 c^3 - 2 b c^5))): : |
| 2352 | a (a^5 (b + c) + a^4 b (b + 2 c) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^3 (2 b^3 - b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 + 2 b^3 c - b c^3) + a b (b^4 - b^2 c^2 + b c^3 + c^4)): : |
| 2446 | -(a (a^2 b + b c^2 - c^3 - a (b^2 + b c - c^2) - 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))])): : |
| 2447 | a (a^2 b + b c^2 - c^3 - a (b^2 + b c - c^2) + 2 Sqrt[a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 - 3 b c + c^2))]): : |
| 2564 | a (a^3 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + b^2 (b - c) Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] - a^2 c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + a b (-2 c Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 2 b Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])): : |
| 2565 | a (a^3 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + b^2 (b - c) Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] - a^2 c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + a b (2 c Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 2 b Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])): : |
| 2572 | a (a^7 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + a^5 (5 c^2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + b^2 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 12 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a^4 (b c^2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 5 c^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b^3 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - b^2 c (5 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a^2 (5 b^5 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b c^4 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b^3 c^2 (2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 3 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - c^5 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - b^4 c (5 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + 2 b^2 c^3 (-4 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 3 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + (b - c) (5 b^4 c^2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b^2 c^4 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + c^6 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^6 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a^6 (b (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - c (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a^3 (4 b^3 c Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 b c^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b^2 c^2 (-2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + c^4 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^4 (-7 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 10 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a (4 b^3 c^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b^5 c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b c^5 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + c^6 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - 3 b^2 c^4 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^4 c^2 (-7 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 8 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - b^6 (3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 10 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]))): : |
| 2573 | -(a (a^7 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + a^6 (-(b Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)]) + c Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] - 4 c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - a^2 (5 b^5 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b c^4 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b^4 c (-5 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + c^5 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + 2 b^3 c^2 (2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 3 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) - 2 b^2 c^3 (4 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 3 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + (b - c) (-5 b^4 c^2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b^2 c^4 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + c^6 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^6 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a (-4 b^3 c^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b^5 c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b c^5 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + b^6 (3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 10 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + 3 b^2 c^4 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 4 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + c^6 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^4 c^2 (7 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 8 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a^3 (-4 b^3 c Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 4 b c^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 b^2 c^2 (2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + c^4 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^4 (7 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 10 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) - a^5 (5 c^2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 2 b c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)] + b^2 (Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 12 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])) + a^4 (-(b c^2 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)]) + 5 c^3 Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + b^3 (-Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] + 2 Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)]) + b^2 (5 c Sqrt[a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2)] - 2 c Sqrt[b^2 c^2 + a^2 (b^2 + c^2)])))): : |
| 2646 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 - b c + c^2)): : |
| 2662 | a (-(a^9 b c (b + 3 c)) + b^2 c^2 (b^2 - c^2)^4 - 4 a^3 b (b - c)^2 c (b + c)^3 (b^2 - b c + c^2) + a^10 (b^2 + 3 b c + c^2) + 4 a^7 b c (b^3 + c^3) + a b (b - c)^3 c (b + c)^2 (3 b^4 + 2 b^2 c^2 - c^4) - 4 a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^4 - 2 b^3 c + 3 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) - a^8 (4 b^4 + 8 b^3 c - 3 b^2 c^2 + 4 b c^3 + 4 c^4) + a^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^5 - 4 b^4 c + b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 - c^5) + 2 a^5 b c (-b^5 + 3 b^4 c - 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + b c^4 + c^5) + 2 a^6 (3 b^6 + b^5 c - 2 b^4 c^2 + 6 b^3 c^3 - 2 b^2 c^4 - b c^5 + 3 c^6)): : |
| 3057 | -(a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 - 3 b c + c^2))): : |
| 3072 | a (a^6 - a^5 c + a^4 b (-3 b + c) + 2 a^3 (b^3 - b c^2) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c - c^4) + a (-2 b^5 + 3 b^4 c - 2 b^2 c^3 + c^5) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)): : |
| 3075 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - c) - a^5 c + 2 a^3 (b^3 - 2 b c^2) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 6 b^2 c^2 - c^4) + a (-2 b^5 + 5 b^4 c - 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + c^5) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)): : |
| 3245 | a (a^3 + b^3 + a^2 (2 b - c) - b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + a (-4 b^2 + 2 c^2)): : |
| 3256 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 + 3 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3) + a b (-3 b^4 + 5 b^3 c - b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4) + a^2 (b^4 - 7 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 3 b c^3 - c^4)): : |
| 3295 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - a b (2 b + 3 c)): : |
| 3303 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - a b (2 b + 5 c)): : |
| 3304 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c + a b (-2 b + 7 c)): : |
| 3333 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + 8 b c + c^2)): : |
| 3336 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + 3 b c + c^2)): : |
| 3337 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + 5 b c + c^2)): : |
| 3338 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 + 6 b c + c^2)): : |
| 3339 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (3 b - c) - b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3 + a (-5 b^2 + 6 b c + 3 c^2))): : |
| 3340 | -(a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 - 3 c^2))): : |
| 3359 | a (a^6 - 2 a^5 c + 4 a^3 b (b^2 + b c - 2 c^2) + a^4 (-5 b^2 + 6 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 16 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4) - 2 a (2 b^5 - 5 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b c^4 - c^5)): : |
| 3361 | a (3 a^3 + 3 b^3 + a^2 (b - 3 c) - 3 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-7 b^2 + 10 b c + c^2)): : |
| 3428 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 4 b^3 c - 4 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 3503 | a (a^5 (b^2 + b c + c^2) + a^4 (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3) + b^2 c^2 (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3) + a b c (b^4 - 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 + c^4) + a^3 (-3 b^4 + 2 b^3 c - b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4) + a^2 (b^5 - b^4 c + 3 b^3 c^2 - 3 b^2 c^3 + b c^4 - c^5)): : |
| 3513 | a (a^4 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] - a^3 Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + a (3 b^2 - 4 b c - c^2) Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] - a^2 (2 b^2 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + c (2 c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] - Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)])) - (b - c) (-(b^3 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)]) + b c^2 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + b^2 (-(c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)]) + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) + c^2 (c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]))): : |
| 3514 | -(a (a^4 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + a^3 Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + a (-3 b^2 + 4 b c + c^2) Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + (b - c) (b^3 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] - b c^2 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + c^2 (-(c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)]) + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) + b^2 (c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)])) + a^2 (-2 b^2 Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] - c (2 c Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2 a (b + c)] + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)])))): : |
| 3550 | a (2 a^3 + a^2 (b - c) + b (2 b^2 - b c + c^2) + a (-3 b^2 + b c + c^2)): : |
| 3576 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 - 4 b c + c^2)): : |
| 3579 | a (2 a^3 + 2 b^3 + a^2 (b - 2 c) - 2 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-5 b^2 + b c + c^2)): : |
| 3587 | a (a^6 - 2 a^5 c + 4 a^3 b (b^2 + c^2) + a^4 (-5 b^2 - 6 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 + 12 b^3 c - 2 b^2 c^2 - c^4) - 2 a (2 b^5 + b^4 c - 4 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - c^5)): : |
| 3601 | -(a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 + c^2))): : |
| 3612 | -(a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 - 2 b c + c^2))): : |
| 3660 | -(a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (4 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - 7 b c + 8 c^2) - a (b^5 - 8 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5))): : |
| 3666 | a (a^2 (b + 2 c) + c (2 b^2 + b c + c^2) + a (3 b^2 + b c + c^2)): : |
| 3670 | a (a b (2 b - c) + a^2 c + c (b^2 + c^2)): : |
| 3675 | a (a^4 c + a^3 (b^2 - 2 b c - 2 c^2) + a^2 (-3 b^3 + 3 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + a (2 b^4 - 4 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + c (b^4 - 2 b^3 c + b^2 c^2 - b c^3 + c^4)): : |
| 3677 | a (a^3 + b^3 + 3 b^2 c + b c^2 + 3 c^3 + a^2 (b + 3 c) + a (5 b^2 - 4 b c + c^2)): : |
| 3744 | a (2 a^3 + a^2 b + 2 b^3 + b c^2 + c^3 - a (b^2 + b c - c^2)): : |
| 3745 | a (2 a^3 + 2 b^3 + 2 b^2 c + 3 b c^2 + c^3 + a^2 (3 b + 2 c) + a (b^2 + 5 b c + 3 c^2)): : |
| 3746 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - 2 a b (b + c)): : |
| 3748 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 + 7 b c + c^2)): : |
| 3749 | a (3 a^3 + 3 b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 + c^3 + a (-3 b^2 - 2 b c + c^2)): : |
| 3750 | a (a^3 - a^2 (b + 2 c) + b (b^2 - 2 b c - c^2) - a (3 b^2 + 4 b c + c^2)): : |
| 3931 | a (a^2 (b + 2 c) + c (2 b^2 + b c + c^2) + a (3 b^2 + 3 b c + c^2)): : |
| 3953 | a (a b (2 b - 3 c) + a^2 c + c (b^2 + c^2)): : |
| 3976 | a (2 a b (b - 2 c) + a^2 c + c (b^2 + c^2)): : |
| 3999 | -(a (a^2 (b - 2 c) + c (-2 b^2 + b c - 3 c^2) + a (-5 b^2 + 9 b c + c^2))): : |
| 4003 | a (a^2 (b + 4 c) + a (7 b^2 - 3 b c + c^2) + c (4 b^2 + b c + 3 c^2)): : |
| 4038 | a (a^3 + a^2 (3 b + 2 c) + b (b^2 + 2 b c + 3 c^2) + a (b^2 + 8 b c + 3 c^2)): : |
| 4424 | a (a^2 c + a b (2 b + c) + c (b^2 + c^2)): : |
| 4689 | a (-2 a^3 - 2 b^3 + 4 b^2 c + b c^2 + c^3 + a^2 (b + 4 c) + a (7 b^2 + 3 b c + c^2)): : |
| 4694 | a (a b (2 b - 5 c) + a^2 c + c (b^2 + c^2)): : |
| 4860 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (2 b - c) - b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + a (-4 b^2 + 9 b c + 2 c^2))): : |
| 4883 | -(a (a^2 (3 b + 2 c) + c (2 b^2 + 3 b c - c^2) + a (b^2 + 11 b c + 3 c^2))): : |
| 5010 | a (2 a^3 + 2 b^2 (b - c) - 2 a^2 c + a b (-4 b + c)): : |
| 5045 | -(a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 7 b c + c^2))): : |
| 5048 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + 2 c) - a (b^2 - 7 b c + 3 c^2)): : |
| 5049 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 11 b c + c^2)): : |
| 5061 | a (a^6 + a^5 b - 2 a^4 b (b - 2 c) - a^3 c^2 (2 b + c) + a^2 c (-6 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 - c^3) + b (b^5 - b^2 c^3 - b c^4 + c^5) + a (-b^5 + 4 b^4 c - 2 b^3 c^2 - b^2 c^3 + b c^4 + c^5)): : |
| 5078 | a (a^6 + a^5 b + b^6 - a^4 b (b - 3 c) + a^3 b c^2 - b^2 c^4 - a^2 (b^4 + 4 b^3 c + b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) + a (-b^5 + b^4 c - b^3 c^2 + b c^4)): : |
| 5091 | a (a^5 - a^4 c + a^3 (-2 b^2 + b c + c^2) + a^2 (2 b^3 - b^2 c - 2 c^3) + b (b^4 - b^3 c + b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) + a (-2 b^4 + 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 + c^4)): : |
| 5119 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 - 2 b c + c^2))): : |
| 5122 | -(a (4 a^3 + 4 b^3 + a^2 (b - 4 c) - 4 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-9 b^2 + 7 b c + c^2))): : |
| 5126 | a (4 a^3 + 4 b^3 - 4 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 4 c) - a (7 b^2 - 9 b c + c^2)): : |
| 5128 | -(a (3 a^3 + 3 a^2 (b - c) + a (-9 b^2 + 4 b c + 3 c^2) + 3 (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3))): : |
| 5131 | -(a (3 a^3 + 3 b^3 + a^2 (b - 3 c) - 3 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-7 b^2 + 5 b c + c^2))): : |
| 5137 | a (a^6 + a^5 b - 2 a^4 b (b - c) - a^3 c (b^2 + c^2) - a^2 c (b^3 + c^3) + b (b^5 - b^2 c^3 - b c^4 + c^5) + a (-b^5 + 2 b^4 c - 2 b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5)): : |
| 5143 | a (a^4 b^2 + a^5 (b + c) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^2 b^2 (b^2 - b c + c^2) - a^3 (2 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a b (b^4 - 2 b^3 c + c^4)): : |
| 5172 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 - 3 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 3 b^2 c^2 - c^4) + a b (-3 b^4 + 5 b^3 c - b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4)): : |
| 5173 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) - 2 a^3 c (2 b^2 + 2 b c + c^2) + 2 a^2 (b^4 - b^3 c - 2 b c^3) - a (b^5 - 4 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 - 3 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 5183 | -(a (2 a^3 + 2 b^3 + a^2 (3 b - 2 c) - 2 b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3 + a (-7 b^2 + b c + 3 c^2))): : |
| 5193 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 3 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 - 3 b^2 c - 9 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 13 b^3 c + 18 b^2 c^2 - 3 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 11 b^3 c - 7 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 4 c^4)): : |
| 5204 | -(a (3 a^3 + 3 b^2 (b - c) - 3 a^2 c + a b (-6 b + 5 c))): : |
| 5217 | -(a (3 a^3 + 3 b^2 (b - c) - 3 a^2 c + a b (-6 b + c))): : |
| 5221 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (2 b - c) - b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + a (-4 b^2 + 5 b c + 2 c^2))): : |
| 5228 | -(a (a^5 - a^4 c + a^3 (-3 b^2 + b c + c^2) + b (b - c)^2 (b^2 + b c + 2 c^2) + a^2 (3 b^3 - 4 b^2 c - 4 b c^2 - 3 c^3) + a (-2 b^4 + 5 b^3 c - 6 b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4))): : |
| 5255 | a (a^3 + a^2 b - a b^2 + b^3 + a c^2 + b c^2): : |
| 5264 | a (a^3 + a^2 b + b (b^2 + c^2) + a (-b^2 + b c + c^2)): : |
| 5266 | a (2 a^3 + a^2 b + 2 b^3 + b c^2 + c^3 + a (-b^2 + b c + c^2)): : |
| 5269 | a (3 a^3 + 3 b^3 + b^2 c + 3 b c^2 + c^3 + a^2 (3 b + c) + a (-b^2 + 4 b c + 3 c^2)): : |
| 5285 | -(a (a^6 + a^5 b + b^6 - b^2 c^4 + a^4 b (-b + c) + a^3 b c (-b + c) - a b^2 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 + 3 b^3 c - b c^3 + c^4))): : |
| 5329 | -(a (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 + a^3 b + a^2 (2 b - c) c + a b (b^2 + c^2) - b^2 (b^2 + c^2))): : |
| 5337 | a (a^5 - a^2 b (b - 2 c) c + a^4 (2 b + c) + a^3 c (3 b + c) + a c (b^3 + 3 b c^2 + c^3) + b (b^4 + b^3 c + b^2 c^2 + c^4)): : |
| 5347 | -(a (a^6 + a^5 b + b^6 + 3 a^3 b c^2 - b^2 c^4 + a^4 b (-b + c) - a^2 (b^4 - b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) + a (-b^5 - b^4 c + b^3 c^2 + b c^4))): : |
| 5348 | -(a (a^6 - a^5 c + a^4 b (-3 b + 2 c) + a^3 (2 b^3 - 3 b c^2) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 3 b^2 c^2 - c^4) + a (-2 b^5 + 4 b^4 c - b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + c^5) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5))): : |
| 5363 | -(a (a^6 + a^5 b + b^6 - a^4 b (b - 3 c) - b^2 c^4 + a^3 b c (b + 2 c) - a^2 (b^4 + 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 3 b c^3 + c^4) + a b (-b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4))): : |
| 5425 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 - 2 a c (b + c) - a^2 (2 b + c)): : |
| 5482 | a (a^4 b (b - 3 c) + a^3 c^2 (5 b + c) + b c^3 (b^2 - c^2) + a^2 b (-b^3 + 6 b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a c (-5 b^4 + 3 b^3 c + b^2 c^2 - c^4)): : |
| 5535 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^3 b (4 b^2 + b c - 5 c^2) + a^4 (-5 b^2 + 3 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 7 b^3 c + 6 b^2 c^2 + b c^3 - c^4) - a (4 b^5 - 7 b^4 c + b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5)): : |
| 5536 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^3 b (4 b^2 - b c - 5 c^2) + a^4 (-5 b^2 + 3 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 5 b^3 c + 8 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a (-4 b^5 + 7 b^4 c - b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 5537 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 5 c) + a^3 (4 b^3 + 3 b^2 c - 5 b c^2 + 2 c^3) + a b (-3 b^4 + 7 b^3 c - 3 b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4) + a^2 (b^4 - 11 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 3 b c^3 - c^4)): : |
| 5538 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 - 7 b c + c^2) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 5 b c^2 + 4 c^3) - a^2 (b^4 + 9 b^3 c - 8 b^2 c^2 + b c^3 + c^4) - a (2 b^5 - 7 b^4 c + 5 b^3 c^2 + b^2 c^3 - 3 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 5563 | -(a (a^3 - 2 a b (b - 2 c) + b^2 (b - c) - a^2 c)): : |
| 5570 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (2 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - 3 b c + 4 c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 5584 | -(a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - a^4 b (3 b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 8 b^3 c + 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 4 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4))): : |
| 5597 | a (a^3 - 2 a b^2 + b^3 - a^2 c - a b c - b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a + b + c) (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)))]): : |
| 5598 | a (a^3 - 2 a b^2 + b^3 - a^2 c - a b c - b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a + b + c) (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)))]): : |
| 5662 | a (a^6 (b^2 + b c + 2 c^2) + a^5 (2 b^3 - 2 b^2 c - 5 b c^2 - c^3) + a^4 (-4 b^4 - b^3 c + b^2 c^2 + 6 b c^3 - 2 c^4) + a (b - c)^2 c (3 b^4 - b^3 c - b^2 c^2 + c^4) - a^3 b (2 b^4 - 7 b^3 c + 2 b c^3 + c^4) + a^2 b^2 (3 b^4 - 8 b^3 c + 7 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 2 c^4) + b c^2 (2 b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 + c^5)): : |
| 5697 | -(a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 - 2 b c + c^2))): : |
| 5706 | a (a^6 + a^5 b - 3 a^4 b^2 - 2 a^3 c (b^2 + b c + c^2) + a^2 (b^4 - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + b (b^5 - 2 b^2 c^3 - b c^4 + 2 c^5) + a (-b^5 + 2 b^4 c - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 5707 | a (a^6 + a^5 b - 2 a^3 c (b + c)^2 + a^4 b (-3 b + 2 c) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c - 2 b c^3 - c^4) + b (b^5 - 2 b^2 c^3 - b c^4 + 2 c^5) + a (-b^5 + 4 b^4 c - 2 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 5708 | a (a^3 + b^3 + a^2 (2 b - c) - b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + a (-4 b^2 + 7 b c + 2 c^2)): : |
| 5709 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^4 (-5 b^2 + 2 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - b c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 - c^4) + a (-4 b^5 + 6 b^4 c - 4 b^2 c^3 + 2 c^5)): : |
| 5710 | a (a^3 + a^2 (2 b + c) + a c (b + 2 c) + b (b^2 + b c + 2 c^2)): : |
| 5711 | a (a^3 + a^2 (2 b + c) + a c (3 b + 2 c) + b (b^2 + b c + 2 c^2)): : |
| 5885 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^3 c (b^2 - 4 b c - 2 c^2) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) + a^2 b (2 b^3 - 7 b^2 c + 3 b c^2 + c^3) - a (b^5 - 4 b^4 c + 2 b^3 c^2 + b^2 c^3 + 2 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 5902 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 2 b c + c^2)): : |
| 5903 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + c^2)): : |
| 5908 | a (a^8 b + (b - c)^3 c^2 (b + c)^4 + a^7 (b^2 - 3 b c + c^2) + a^6 (-3 b^3 - 2 b^2 c + 8 b c^2 + c^3) - a^5 (3 b^4 - 15 b^3 c + 12 b^2 c^2 + 5 b c^3 + 3 c^4) + a^3 (b - c)^2 (3 b^4 + b^3 c + 16 b^2 c^2 + 9 b c^3 + 3 c^4) + a^4 (3 b^5 - 12 b^4 c - 3 b^3 c^2 + 19 b^2 c^3 - 4 b c^4 - 3 c^5) - a^2 (b - c)^2 (b^5 - 12 b^4 c - 3 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - 2 b c^4 - 3 c^5) - a (b - c)^2 (b^6 + 9 b^5 c + 7 b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 - b^2 c^4 - 3 b c^5 + c^6)): : |
| 5919 | -(a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 - 7 b c + c^2))): : |
| 6244 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 8 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a b (-3 b^4 + 10 b^3 c - 6 b^2 c^2 + 2 b c^3 - 3 c^4) + a^2 (b^4 - 18 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4)): : |
| 6282 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 - 10 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - 2 b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 + 16 b^3 c - 10 b^2 c^2 + c^4) - 2 a (b^5 - 5 b^4 c + 4 b^3 c^2 - b c^4 + c^5)): : |
| 6583 | -(a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) - a^3 c (b^2 + 4 b c + 2 c^2) + a^2 b (2 b^3 - 5 b^2 c + 5 b c^2 - c^3) - a (b^5 - 4 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - 2 c^5))): : |
| 6766 | -(a (a^6 - 2 a^5 c + 4 a^3 b (b^2 - 3 b c - c^2) + a^4 (-5 b^2 + 2 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 + 8 b^3 c + 18 b^2 c^2 - 12 b c^3 - c^4) + 2 a (-2 b^5 + 3 b^4 c - 8 b^2 c^3 + 6 b c^4 + c^5))): : |
| 6767 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - a b (2 b + 7 c)): : |
| 6769 | a (-a^6 + 2 a^5 (b + c) - (b - c)^4 (b + c)^2 + a^4 (b^2 - 6 b c + c^2) - 4 a^3 (b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 12 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 4 b c^3 + c^4) + 2 a (b^5 - 3 b^4 c + 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + b c^4 + c^5)): : |
| 7011 | -(a (a^9 + b^2 (b - c)^3 (b + c)^4 + a^8 (2 b + c) + a^7 (-3 b^2 + b c - 3 c^2) - a^6 (7 b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + 3 c^3) - a b (b - c)^2 c (3 b^4 - 6 b^2 c^2 - 8 b c^3 - 5 c^4) + a^5 (3 b^4 + 3 b^3 c - 5 b c^3 + 3 c^4) - a^2 (b - c)^2 (5 b^5 + 4 b^4 c + 5 b^3 c^2 + 7 b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5) + a^4 (9 b^5 - 6 b^4 c + b^3 c^2 + 7 b^2 c^3 - 6 b c^4 + 3 c^5) - a^3 (b^6 + b^5 c + 3 b^4 c^2 - 2 b^3 c^3 - 5 b^2 c^4 + b c^5 + c^6))): : |
| 7070 | a (3 a^6 + 4 a^3 b^3 - 2 a^5 c - a^4 (7 b^2 + 2 b c + c^2) + a^2 (b^4 + 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 - 3 c^4) + (b - c)^2 (3 b^4 + 4 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 4 b c^3 + c^4) + 2 a (-2 b^5 + b^4 c + 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + c^5)): : |
| 7146 | a (a^4 c - 2 a^3 c (b + c) - 2 a^2 b (b^2 + c^2) + 2 a (b^4 - b^3 c - b c^3) + c (b^4 - 2 b^3 c + c^4)): : |
| 7280 | -(a (2 a^3 + 2 b^2 (b - c) - 2 a^2 c + a b (-4 b + 3 c))): : |
| 7373 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c + a b (-2 b + 9 c)): : |
| 7688 | -(a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^4 b (3 b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c + b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 + 5 b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + b^3 c + 3 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 2 c^4))): : |
| 7742 | -(a (a^6 - 3 a^4 b^2 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + c^3) + a^2 (b^4 + 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 - c^4) + a b (-3 b^4 + 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4))): : |
| 7957 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 - 4 b c + c^2) - 2 a^3 c (b^2 - b c + c^2) + 2 a^2 (b^4 + 4 b^3 c - b c^3) + a (-b^5 - 2 b^4 c + 4 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 7962 | -(a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 + 8 b c - 3 c^2))): : |
| 7964 | a (2 a^6 - a^5 (b + 4 c) + a^4 (-8 b^2 - 4 b c + c^2) + 2 a^3 (4 b^3 - b^2 c + b c^2 + c^3) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + c^3) + 2 a^2 (2 b^4 + 6 b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a (-7 b^5 + 2 b^4 c + 8 b^3 c^2 - 8 b^2 c^3 + 3 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 7982 | -(a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 + 4 b c - 3 c^2))): : |
| 7987 | -(a (5 a^3 + 5 b^3 - 5 b^2 c - b c^2 + c^3 - a (-3 b + c)^2 - a^2 (b + 5 c))): : |
| 7991 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (3 b - c) - b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3 + a (-5 b^2 - 2 b c + 3 c^2))): : |
| 7994 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 - 10 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 + 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 + 24 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 8 b c^3 + c^4) - 2 a (b^5 - 5 b^4 c + 4 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + 3 b c^4 + c^5)): : |
| 8069 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) - a b (b - c)^2 (3 b^2 - c^2) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 2 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 8071 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) - a b (b - c)^2 (3 b^2 - c^2) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 10 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 8148 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 4 b c^2 + 4 c^3 - a^2 (4 b + c) + a (2 b^2 + 5 b c - 4 c^2)): : |
| 8158 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 4 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 2 b^3 c + 14 b^2 c^2 - 8 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 10 b c^3 + 9 c^4)): : |
| 8162 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - a b (2 b + 13 c)): : |
| 8163 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 10 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 7 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 42 b^2 c^2 - 14 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 12 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 16 b c^3 + 15 c^4)): : |
| 8171 | a (3 a^6 + 3 b^2 (b - c)^3 (b + c) - 3 a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-9 b + 4 c) + 2 a^3 (6 b^3 - 2 b c^2 + 3 c^3) + a^2 (3 b^4 - 2 b^3 c - 22 b^2 c^2 - 3 c^4) + a b (-9 b^4 + 10 b^3 c + 2 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 8186 | a (2 a^3 - 4 a b^2 + 2 b^3 - 2 a^2 c - 2 a b c - 2 b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a + b + c) (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)))]): : |
| 8187 | a (2 a^3 - 4 a b^2 + 2 b^3 - 2 a^2 c - 2 a b c - 2 b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a + b + c) (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)))]): : |
| 8193 | a (a^6 + a^5 b - a^4 b^2 + b^6 - b^2 c^4 + 2 a^3 b c (-b + c) - a b (b^4 + 2 b^3 c + 2 b c^3 - c^4) - a^2 (b^4 + c^4)): : |
| 8251 | a (a^9 + a^8 (b - c) + 2 a^7 b (-2 b + c) - 2 a^6 b c (b + 2 c) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)^2 + 2 a^5 (b^4 - 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 - c^4) + 2 a^2 b^2 c (-3 b^4 + 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) + 2 a^3 b (2 b^5 + b^4 c - 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 2 b c^4 - c^5) + 2 a^4 (-b^5 + 5 b^4 c + b c^4 + c^5) + a (-3 b^8 + 2 b^7 c + 6 b^4 c^4 - 2 b^3 c^5 - 4 b^2 c^6 + c^8)): : |
| 8270 | a (a^6 - a^4 (b - c)^2 + 2 a^3 b (b - c) c + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 2 a b c (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3) - a^2 (b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4)): : |
| 8273 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - 3 a^4 b (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c + 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 12 b^3 c - 6 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 + 4 b^3 c - 8 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 8726 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 + 6 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 + 2 b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 - 16 b^3 c + 6 b^2 c^2 + c^4) - 2 a (b^5 + 3 b^4 c - 4 b^3 c^2 - b c^4 + c^5)): : |
| 8758 | a (a^5 (b + 2 c) + a^4 (2 b^2 - 2 b c - c^2) + 2 a^2 b^2 (-b^2 + b c + c^2) - 2 a^3 (2 b^3 - b c^2 + c^3) + a b (3 b^4 - 4 b^3 c + 2 b c^3 - c^4) + c (2 b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 + c^5)): : |
| 8924 | -(a (a^5 (b^2 - b c + c^2) + a^4 (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3) + b^2 c^2 (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3) - a b c (b^4 + 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) + a^3 (-3 b^4 + 2 b^3 c - b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4) + a^2 (b^5 - b^4 c + 3 b^3 c^2 - 3 b^2 c^3 + b c^4 - c^5))): : |
| 9120 | a (a^12 + 8 a^9 b (b - c) c + a^10 (-6 b^2 + 8 b c - 6 c^2) + (b^2 - c^2)^6 + 8 a b (b - c)^3 c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)^2 + a^8 (15 b^4 - 32 b^3 c + 18 b^2 c^2 + 15 c^4) + a^4 (b^2 - c^2)^2 (15 b^4 + 32 b^3 c + 18 b^2 c^2 + 15 c^4) - 16 a^5 b c (b^5 - b^4 c + b c^4 - c^5) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (3 b^6 + 12 b^5 c - 3 b^4 c^2 + 8 b^3 c^3 - 3 b^2 c^4 - 4 b c^5 + 3 c^6) - 4 a^6 (5 b^6 - 4 b^5 c + 3 b^4 c^2 - 8 b^3 c^3 + 3 b^2 c^4 + 4 b c^5 + 5 c^6)): : |
| 9364 | a (a^6 - a^5 c + a^4 b (-3 b + 5 c) + 2 a^3 b (b^2 + b c - 3 c^2) + a^2 (b^4 - 12 b^3 c + 10 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) + a (-2 b^5 + 7 b^4 c - 4 b^3 c^2 - 2 b c^4 + c^5) + b (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)): : |
| 9371 | a (a^5 (b + 2 c) + a^4 (2 b^2 - 6 b c - c^2) - 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - 3 b c^2 + c^3) - 2 a^2 b (b^3 - 6 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + a b (3 b^4 - 8 b^3 c + 4 b^2 c^2 + c^4) + c (2 b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 + c^5)): : |
| 9441 | a (a^5 - a^4 (b + 2 c) - 2 a^3 (b^2 - c^2) + b (b - c)^2 (b^2 + c^2) + a^2 (4 b^3 - 2 c^3) + a (-3 b^4 + 4 b^3 c - 2 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 9627 | a (a^6 + a^3 b c^2 + a b^3 c (-b + c) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 + b c + c^2) - a^2 (b^4 - 2 b^3 c - 3 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 9630 | a (a^6 + a^3 b c^2 + a b^3 c (-b + c) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 + b c + c^2) - a^2 (b^4 - 2 b^3 c + b^2 c^2 + c^4)): : |
| 9659 | a (a^9 - a^8 c + b^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^7 (3 b^2 - b c + c^2) - a b (b^2 - c^2)^2 (2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a^6 (b^3 + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a^4 (-b^5 + 2 b^4 c - b^3 c^2 + b^2 c^3 + c^5) + a^3 (3 b^6 - b^5 c - b^4 c^2 + 4 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 + c^6) - a^2 (b^7 - b^4 c^3 + b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + c^7)): : |
| 9672 | a (a^9 - a^8 c + b^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^7 (3 b^2 - b c + c^2) - a b (b^2 - c^2)^2 (2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a^6 (b^3 + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a^4 (-b^5 + 2 b^4 c - b^3 c^2 + b^2 c^3 + c^5) + a^3 (3 b^6 - b^5 c - b^4 c^2 - 4 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 + c^6) - a^2 (b^7 - b^4 c^3 + b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + c^7)): : |
| 9819 | a (a^3 + b^3 + a^2 (3 b - c) - b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3 + a (-5 b^2 - 10 b c + 3 c^2)): : |
| 9940 | -(a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (4 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - 7 b c + 4 c^2) - a (b^5 - 8 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5))): : |
| 9957 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 - 5 b c + c^2)): : |
| 10202 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (3 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 4 b c + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - 5 b c + 3 c^2) - a (b^5 - 6 b^4 c + 4 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5)): : |
| 10222 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + 2 c) - a (b^2 - 5 b c + 3 c^2)): : |
| 10225 | a (2 a^6 - a^5 (b + 4 c) + a^4 (-8 b^2 + 8 b c + c^2) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + c^3) + a^3 (8 b^3 + 3 b^2 c - 10 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (4 b^4 - 17 b^3 c + 11 b^2 c^2 + 3 b c^3 - 2 c^4) - a (7 b^5 - 14 b^4 c + 4 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 + 2 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 10246 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + 3 c) + a (-4 b^2 + 5 b c - 2 c^2)): : |
| 10247 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - 4 b c^2 + 4 c^3 - a^2 (4 b + 3 c) + a (-2 b^2 + 7 b c - 4 c^2)): : |
| 10267 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c + c^3) + a^2 (b^4 + 2 b c^3 - c^4) + a (-3 b^5 + 2 b^4 c + 2 b^3 c^2 - b c^4)): : |
| 10268 | a (3 a^6 - 2 a^5 (b + 3 c) + a^4 (-11 b^2 + 2 b c + c^2) + 4 a^3 (3 b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + (b - c)^3 (3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (5 b^4 - 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 4 b c^3 - 3 c^4) - 2 a (5 b^5 - 5 b^4 c - 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 - c^5)): : |
| 10269 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 8 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 12 b^3 c + 12 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 10 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 10270 | a (3 a^6 - 2 a^5 (b + 3 c) + a^4 (-11 b^2 + 18 b c + c^2) + 4 a^3 (3 b^3 + b^2 c - 5 b c^2 + c^3) + (b - c)^3 (3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (5 b^4 - 36 b^3 c + 22 b^2 c^2 + 4 b c^3 - 3 c^4) - 2 a (5 b^5 - 13 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 - c^5)): : |
| 10273 | a (3 a^5 b + 3 (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-6 b^2 + 3 c^2) - 2 a^3 c (-4 b^2 + 3 b c + 3 c^2) + 2 a^2 b (3 b^3 - 7 b^2 c - b c^2 + 4 c^3) + a (-3 b^5 + 6 b^4 c + 2 b^2 c^3 - 11 b c^4 + 6 c^5)): : |
| 10284 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^3 c (7 b^2 + 2 b c - 2 c^2) + a^4 (-2 b^2 - 4 b c + c^2) + a^2 b (2 b^3 - b^2 c - 9 b c^2 + 7 c^3) - a (b^5 + 2 b^4 c - 4 b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 + 8 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 10306 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - 3 c^4) + a^2 (b^4 - 10 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4)): : |
| 10310 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 12 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 8 b^3 c + 4 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 10319 | a (a^6 + 2 a^5 b - 4 a^3 b^2 c + (b^2 - c^2) (b^2 + c^2)^2 + a^4 (-b^2 + 4 b c + c^2) - 2 a b (b^4 + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a^2 (b^4 + 8 b^3 c + 6 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 10383 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 + 10 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 + b^2 c + 3 b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 - 20 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 4 b c^3 + c^4) - 2 a (b^5 + 5 b^4 c - 6 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + b c^4 + c^5)): : |
| 10388 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 - 6 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 + 12 b^3 c + 14 b^2 c^2 - 4 b c^3 + c^4) - 2 a (b^5 - 3 b^4 c + 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + b c^4 + c^5)): : |
| 10389 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 + 8 b c + c^2)): : |
| 10434 | a (2 a^5 (b + c) + a^4 b (2 b + c) + 2 b^3 c (b^2 - c^2) + a^3 (-4 b^3 - 3 b^2 c + b c^2 - 2 c^3) - a^2 b (2 b^3 + 3 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) + a b (2 b^4 - 3 b^3 c - 3 b^2 c^2 - b c^3 + c^4)): : |
| 10439 | a (a^4 b (2 b - c) + 2 b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 c (b^2 + 5 b c + 2 c^2) + a^2 b (-2 b^3 + b^2 c - 4 b c^2 + 3 c^3) + a c (-5 b^4 + b^3 c + 3 b^2 c^2 - b c^3 - 2 c^4)): : |
| 10441 | a (a^4 b^2 + a^3 c^2 (2 b + c) + b c^3 (b^2 - c^2) - a^2 b (b^3 + b c^2 - c^3) - a (2 b^4 c - b^2 c^3 + c^5)): : |
| 10470 | a (2 a^4 b^2 + 3 a^5 (b + c) + a^3 (-6 b^3 - 3 b^2 c + b c^2 - 4 c^3) - a^2 b (2 b^3 + 3 b^2 c + 8 b c^2 + c^3) + b c (3 b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4) + a (3 b^5 - 4 b^4 c - 3 b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5)): : |
| 10473 | a (a^4 b^2 + b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 c (2 b^2 + 4 b c + c^2) + a^2 b (-b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + 3 c^3) - a c (2 b^4 - 2 b^3 c - 3 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 10474 | a (a^5 (b + c) - a^4 b (b + c) + a^2 b (b^3 - 2 b^2 c - 5 b c^2 - 3 c^3) - a^3 (2 b^3 + 2 b^2 c + 4 b c^2 + 3 c^3) + b c (b^4 - 3 b^2 c^2 + 2 c^4) + a (b^5 + b^4 c - 2 b^3 c^2 - 3 b^2 c^3 - b c^4 + 2 c^5)): : |
| 10475 | a (a^4 b (b - c) + a^5 (b + c) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^2 b (b^3 - 2 b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3) - a^3 (2 b^3 - 2 b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a b (b^4 - 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 3 b c^3 - c^4)): : |
| 10476 | a (a^4 b (2 b - c) + a^5 (b + c) - 2 a^3 (b^3 - 2 b c^2) - 2 a^2 b (b^3 + 3 b c^2 - c^3) + b c (b^4 - c^4) + a (b^5 - 5 b^4 c + 2 b^2 c^3 - b c^4 - c^5)): : |
| 10480 | a (a^4 b^2 + b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 (-2 b^2 c + c^3) - a^2 b (b^3 + 2 b^2 c + 3 b c^2 + c^3) - a c (2 b^4 + 2 b^3 c + b^2 c^2 + c^4)): : |
| 10508 | -(a (-(a Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)]) - b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] - c Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 - 7 b c + c^2)) Cos[A/2] + (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 - 7 b c + c^2)) Cos[B/2] + a^2 b Cos[C/2] - a b^2 Cos[C/2] - 7 a b c Cos[C/2] + a c^2 Cos[C/2] + b c^2 Cos[C/2] - c^3 Cos[C/2])): : |
| 10618 | a (a^5 (7 b + 8 c) + a^4 (2 b^2 + 2 b c - c^2) + (b - c)^2 c (8 b^3 + 15 b^2 c + 8 b c^2 + c^3) - a^2 b (2 b^3 + 9 b^2 c + 15 b c^2 + 9 c^3) - a^3 (16 b^3 + 9 b^2 c + 8 b c^2 + 14 c^3) + a (9 b^5 - 10 b^3 c^2 - 7 b^2 c^3 + 2 b c^4 + 6 c^5)): : |
| 10679 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - b c^2 + c^3) + a b (-3 b^4 + 4 b^3 c + 2 b c^3 - 3 c^4) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 4 b c^3 - c^4)): : |
| 10680 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 12 b^2 c^2 - 4 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 8 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 5 c^4)): : |
| 10831 | a (a^9 - a^8 c + b^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^7 (3 b^2 - b c + c^2) - a b (b^2 - c^2)^2 (2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a^6 (b^3 + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c - b c^3 - c^4) + a^4 (-b^5 + 2 b^4 c - b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 + c^5) + a^3 (3 b^6 - b^5 c + 3 b^4 c^2 + 6 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 + c^6) - a^2 (b^7 + 2 b^5 c^2 - 3 b^4 c^3 + b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + c^7)): : |
| 10832 | a (a^9 - a^8 c + b^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^7 (3 b^2 - b c + c^2) - a b (b^2 - c^2)^2 (2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a^6 (b^3 + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c - b c^3 - c^4) + a^4 (-b^5 + 2 b^4 c - b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 + c^5) + a^3 (3 b^6 - b^5 c + 3 b^4 c^2 - 10 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 + c^6) - a^2 (b^7 + 2 b^5 c^2 - 3 b^4 c^3 + b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + c^7)): : |
| 10856 | a (a^6 + b^6 + 6 b^5 c - b^4 c^2 - 4 b^3 c^3 - b^2 c^4 - 2 b c^5 + c^6 + 6 a^5 (b + c) + a^4 (7 b^2 + 2 b c - c^2) - 4 a^3 (3 b^3 + 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) - a^2 (9 b^4 + 8 b^3 c + 22 b^2 c^2 + c^4) + 2 a (3 b^5 - 7 b^4 c - 4 b^3 c^2 + b c^4 - c^5)): : |
| 10857 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 + 14 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 + 4 b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 - 32 b^3 c + 14 b^2 c^2 + c^4) - 2 a (b^5 + 7 b^4 c - 8 b^3 c^2 - b c^4 + c^5)): : |
| 10882 | a (a^4 b (2 b - c) + 2 a^5 (b + c) + 2 b^3 c (b^2 - c^2) - a^2 b (2 b^3 + b^2 c + 8 b c^2 - c^3) - a^3 (4 b^3 + b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3) + a b (2 b^4 - 5 b^3 c - b^2 c^2 + b c^3 - c^4)): : |
| 10902 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a b^2 (-3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 - c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c - b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 - c^4)): : |
| 10965 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 3 b^2 c + c^3) + a b (-3 b^4 + 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 4 b c^3 - 5 c^4) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c - 8 b^2 c^2 + 6 b c^3 - c^4)): : |
| 10966 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 12 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 10980 | a (a^3 + b^3 + a^2 (3 b - c) - b^2 c + 3 b c^2 - 3 c^3 + a (-5 b^2 + 14 b c + 3 c^2)): : |
| 11009 | a (a^3 + b^3 - b^2 c + 2 a (b - c) c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c)): : |
| 11010 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 - b c + c^2)): : |
| 11011 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + 2 c) - a (b^2 - 3 b c + 3 c^2)): : |
| 11012 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3) - a b (3 b^4 - 5 b^3 c + b^2 c^2 + 3 b c^3 - 2 c^4) + a^2 (b^4 - 3 b^3 c + 6 b^2 c^2 - b c^3 - c^4)): : |
| 11014 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 - a^4 (b^2 - 5 b c + c^2) + a^3 (4 b^3 - 5 b^2 c - 3 b c^2 + 4 c^3) - a^2 (b^4 + b^3 c - 10 b^2 c^2 + 5 b c^3 + c^4) - a (2 b^5 - 5 b^4 c + 3 b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 - 7 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 11018 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (2 b^2 + 4 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 6 b^2 c - 7 b c^2 - 2 c^3) + 2 a^2 b (b^3 - 5 b^2 c - 2 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 11021 | a (a^4 b (2 b + c) + 2 b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 c (7 b^2 + 11 b c + 2 c^2) + a^2 b (-2 b^3 + 7 b^2 c + 8 b c^2 + 9 c^3) + a c (-3 b^4 + 7 b^3 c + 9 b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4)): : |
| 11224 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - 7 b c^2 + 7 c^3 - a^2 (7 b + 3 c) + a (b^2 + 10 b c - 7 c^2)): : |
| 11227 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (6 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 10 b c + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - 11 b c + 6 c^2) - a (b^5 - 12 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5)): : |
| 11248 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 4 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 6 b^3 c + 2 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 11249 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 11278 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - 5 b c^2 + 5 c^3 - a^2 (5 b + 2 c) + a (b^2 + 7 b c - 5 c^2)): : |
| 11280 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 + 3 b c - 3 c^2)): : |
| 11366 | -(a (a^3 + b^3 - a^2 c - b^2 c - a b (2 b + c) + 2 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 11367 | -(a (a^3 + b^3 - a^2 c - b^2 c - a b (2 b + c) - 2 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 11407 | a (a^6 + 2 a^5 (b - c) + a^4 (-9 b^2 + 26 b c + 3 c^2) + 4 a^3 (b^3 - 8 b c^2 - c^3) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + 3 b c^2 + 3 c^3) + a^2 (7 b^4 - 56 b^3 c + 34 b^2 c^2 - c^4) - 2 a (3 b^5 - 17 b^4 c + 12 b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 + b c^4 - 3 c^5)): : |
| 11507 | -(a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a (3 b^5 - 4 b^4 c + b c^4))): : |
| 11508 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a (3 b^5 - 4 b^4 c + b c^4)): : |
| 11509 | -(a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 8 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 6 b^3 c + 2 b^2 c^2 + c^4))): : |
| 11510 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) + a (-3 b^5 + 2 b^4 c + 2 b^3 c^2 - b c^4)): : |
| 11518 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 - 8 b c - 3 c^2)): : |
| 11521 | a (a^5 (b + c) - 2 a^4 b (b + c) + a^3 (-2 b^3 + b^2 c - 3 b c^2 - 4 c^3) + a^2 b (2 b^3 + b^2 c - 4 b c^2 - c^3) + b c (b^4 - 4 b^2 c^2 + 3 c^4) + a (b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 - b^2 c^3 - 2 b c^4 + 3 c^5)): : |
| 11529 | -(a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 - 4 b c - 3 c^2))): : |
| 11531 | -(a (a^3 + b^3 - b^2 c - 5 b c^2 + 5 c^3 - a^2 (5 b + c) + a (3 b^2 + 6 b c - 5 c^2))): : |
| 11567 | a (2 a^6 - 4 a^5 (b + c) + 2 (b - c)^4 (b + c)^2 - 2 a^4 (b^2 - 6 b c + c^2) + a^3 (8 b^3 - 7 b^2 c - 8 b c^2 + 8 c^3) - a^2 (2 b^4 + 9 b^3 c - 19 b^2 c^2 + 7 b c^3 + 2 c^4) - a (4 b^5 - 12 b^4 c + 8 b^3 c^2 + 7 b^2 c^3 - 11 b c^4 + 4 c^5)): : |
| 11575 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (-2 b^2 + 8 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 14 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 17 b^2 c + 14 b c^2 + 2 c^3) - a (b^5 - 16 b^4 c + 14 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + 5 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 11849 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 + 2 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 3 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 5 b^3 c + b^2 c^2 + c^4)): : |
| 11877 | -(a (a^6 + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^3 (4 b^3 + 2 b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-b^4 + 4 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a (3 b^5 - 4 b^4 c + b c^4 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))): : |
| 11878 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^3 (-4 b^3 - 2 b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (-3 b^5 + 4 b^4 c - b c^4 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 11879 | -(a (a^6 + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^3 (4 b^3 + 2 b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-b^4 + 4 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a (3 b^5 - 4 b^4 c + b c^4 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - 4 Sqrt[2] b c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))): : |
| 11880 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^3 (-4 b^3 - 2 b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (-3 b^5 + 4 b^4 c + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - b (c^4 + 4 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))): : |
| 11881 | a (a^6 - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^3 (4 b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-b^4 + 8 b^3 c - 2 b c^3 + c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a (3 b^5 - 6 b^4 c + 2 b^3 c^2 + b c^4 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 11882 | a (a^6 - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^3 (-4 b^3 - 2 b^2 c + 4 b c^2 - 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 2 b c^3 - c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (-3 b^5 + 6 b^4 c - 2 b^3 c^2 - b c^4 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 11883 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^3 (4 b^3 + 2 b^2 c + 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-b^4 - 4 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a (3 b^5 - 2 b^4 c - 2 b^3 c^2 + b c^4 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - 4 Sqrt[2] b c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 11884 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^3 (-4 b^3 - 2 b^2 c - 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (-3 b^5 + 2 b^4 c + 2 b^3 c^2 + Sqrt[2] b^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c^2 Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - b (c^4 + 4 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))): : |
| 12000 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - a^4 b (3 b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 4 b^2 c + b c^2 + c^3) + a b (-3 b^4 + 4 b^2 c^2 + 6 b c^3 - 7 c^4) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c - 8 b^2 c^2 + 8 b c^3 - c^4)): : |
| 12001 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 10 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 4 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 10 b^3 c + 20 b^2 c^2 - 8 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 12 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 10 b c^3 + 9 c^4)): : |
| 12009 | a (3 a^5 b + 3 (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-6 b^2 + 10 b c + 3 c^2) - a^3 c (b^2 + 16 b c + 6 c^2) + a^2 b (6 b^3 - 25 b^2 c + 17 b c^2 - c^3) - a (3 b^5 - 16 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 7 b^2 c^3 + 2 b c^4 - 6 c^5)): : |
| 12410 | a (a^6 + a^5 b - a^4 b^2 + b^6 - b^2 c^4 + 2 a^3 b c (-b + c) - a b (b^4 + 2 b^3 c + 2 b c^3 - c^4) - a^2 (b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 12435 | -(a (a^4 b (2 b + c) + 2 b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 c (-b^2 + 3 b c + 2 c^2) + a^2 (-2 b^4 - b^3 c + b c^3) + a c (-3 b^4 - b^3 c + b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4))): : |
| 12555 | a (a^6 + b^6 - 2 b^5 c - b^4 c^2 - 4 b^3 c^3 - b^2 c^4 + 6 b c^5 + c^6 - 2 a^5 (b + c) - a^4 (9 b^2 - 2 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - 4 b c^2 - c^3) + a^2 (7 b^4 + 10 b^2 c^2 - 8 b c^3 - c^4) - 2 a (b^5 - 9 b^4 c + 4 b^2 c^3 - b c^4 - 3 c^5)): : |
| 12702 | -(a (a^3 + b^3 + a^2 (2 b - c) - b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 - a (4 b^2 + b c - 2 c^2))): : |
| 12703 | -(a (a^6 - 2 a^5 c + 2 a^3 b (2 b^2 + 5 b c - c^2) + a^4 (-5 b^2 + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 10 b^3 c - 6 b^2 c^2 + 10 b c^3 - c^4) + 2 a (-2 b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - 5 b c^4 + c^5))): : |
| 12704 | -(a (a^6 - 2 a^5 c + 2 a^3 b (2 b^2 - b c - 3 c^2) + a^4 (-5 b^2 + 4 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 6 b^3 c + 10 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + 2 a (-2 b^5 + 4 b^4 c - b^3 c^2 - 3 b^2 c^3 + b c^4 + c^5))): : |
| 12915 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (2 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - 3 b c + 10 c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 13145 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^3 c (3 b^2 - 4 b c - 2 c^2) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) + a^2 b (2 b^3 - 9 b^2 c + b c^2 + 3 c^3) + a (-b^5 + 4 b^4 c - 2 b^3 c^2 + b^2 c^3 - 4 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 13151 | a (2 a^6 - a^5 (3 b + 4 c) - a^4 (4 b^2 + c^2) + 2 a^2 c (3 b^3 + b^2 c - c^3) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - c^3) + 2 a^3 (4 b^3 + b c^2 + 3 c^3) + a (-5 b^5 + 2 b^4 c + 4 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + 3 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 13370 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 3 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 9 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 15 b^3 c + 20 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 11 b^3 c - 7 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 13373 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (b^2 + 4 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 6 b^2 c + 5 b c^2 - c^3) + a (-b^5 + 8 b^4 c - 6 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 13384 | a (5 a^3 + 5 b^3 - 5 b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + 5 c) + a (-7 b^2 + 4 b c - 3 c^2)): : |
| 13388 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 - b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] - c Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + a (-3 b^2 + 4 b c + c^2 - Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)])): : |
| 13389 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + b Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + c Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)] + a (-3 b^2 + 4 b c + c^2 + Sqrt[-a^4 - (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)])): : |
| 13462 | a (5 a^3 + 5 b^3 - 5 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 5 c) - a (9 b^2 - 14 b c + c^2)): : |
| 13528 | a (2 a^6 - a^5 (b + 4 c) + a^4 (-8 b^2 + 8 b c + c^2) + 2 a^3 (4 b^3 + 3 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (4 b^4 - 20 b^3 c + 8 b^2 c^2 + 6 b c^3 - 2 c^4) + a (-7 b^5 + 14 b^4 c - 4 b^3 c^2 - 5 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 13600 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 - 6 b c + c^2) - 2 a^3 c (-6 b^2 - 2 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - b^2 c - 8 b c^2 + 6 c^3) - a (b^5 + 4 b^4 c - 6 b^3 c^2 - 10 b^2 c^3 + 13 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 13601 | a (a^5 b + 2 a^2 b (b - 2 c)^2 (b + c) + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 - 2 b c + c^2) + a^3 (8 b^2 c - 2 c^3) + a (-b^5 + 2 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 - 9 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 13624 | a (4 a^3 + 4 b^3 - 4 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 4 c) - a (7 b^2 - 5 b c + c^2)): : |
| 13750 | a (a^5 b + 2 a^2 b^3 (b - 3 c) + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c^2 (2 b + c) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 13751 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 + 4 b c + c^2) - a^3 c (b^2 + 6 b c + 2 c^2) + a^2 b (2 b^3 - 9 b^2 c + 9 b c^2 - c^3) - a (b^5 - 6 b^4 c + 4 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - 2 c^5)): : |
| 14000 | a (4 a^6 - a^5 (b + 10 c) + a^4 (-22 b^2 + 26 b c + 5 c^2) + a^3 (20 b^3 + 11 b^2 c - 34 b c^2 + 2 c^3) + (b - c)^2 (4 b^4 - 2 b^3 c - 3 b^2 c^2 - 2 b c^3 - 5 c^4) + a^2 (14 b^4 - 61 b^3 c + 39 b^2 c^2 + 11 b c^3 - 4 c^4) - a (19 b^5 - 44 b^4 c + 16 b^3 c^2 + 7 b^2 c^3 + 10 b c^4 - 8 c^5)): : |
| 14110 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + 2 a^3 c (b^2 + b c - c^2) + a^4 (-2 b^2 - 4 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 + 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) - a (b^5 + 2 b^4 c - 4 b^3 c^2 + 3 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 14115 | a (a^7 b (b - 3 c) + b (b - c)^3 c^3 (b + c)^2 + a^6 (-b^3 + 8 b c^2 + c^3) - a^5 (2 b^4 - 15 b^3 c + 20 b^2 c^2 + 4 b c^3 + c^4) + a^4 (2 b^5 - 14 b^4 c + 25 b^2 c^3 - 3 b c^4 - 2 c^5) + a^3 (b^6 - 7 b^5 c + 34 b^4 c^2 - 36 b^3 c^3 + b^2 c^4 + 3 b c^5 + 2 c^6) + a^2 (-b^7 + 14 b^6 c - 30 b^5 c^2 + 11 b^4 c^3 + 13 b^3 c^4 - 4 b^2 c^5 - 4 b c^6 + c^7) - a c (5 b^7 - 8 b^6 c + 3 b^4 c^3 - b^3 c^4 + 4 b^2 c^5 - 4 b c^6 + c^7)): : |
| 14122 | a (2 a^6 + 2 b^6 - 4 b^5 c + b^4 c^2 + b^3 c^3 - 2 b^2 c^4 + 3 b c^5 - c^6 - a^5 (b + 4 c) + a^4 (-9 b^2 + 13 b c + c^2) + a^3 (8 b^3 + 5 b^2 c - 19 b c^2 + c^3) + a^2 (5 b^4 - 33 b^3 c + 31 b^2 c^2 + 4 b c^3 - 2 c^4) - a (7 b^5 - 21 b^4 c + 11 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 6 b c^4 - 3 c^5)): : |
| 14131 | a (a^4 b (b - 7 c) + a^3 c^2 (9 b + c) + b c^3 (b^2 - c^2) + a^2 b (-b^3 + 14 b^2 c - 8 b c^2 + c^3) + a c (-9 b^4 + 7 b^3 c + b^2 c^2 - c^4)): : |
| 14132 | a (a^8 b + (b - c)^3 c^2 (b + c)^4 + a^7 (b^2 + b c + c^2) + a^6 (-3 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 + c^3) - a^5 (3 b^4 + 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 + 3 c^4) + a^4 (3 b^5 - 3 b^3 c^2 + b^2 c^3 - 6 b c^4 - 3 c^5) - a (b - c)^2 (b^6 + 5 b^5 c + 5 b^4 c^2 - b^3 c^3 - 3 b^2 c^4 + c^6) + a^3 (3 b^6 + 5 b^5 c - 5 b^4 c^2 - 4 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 + 3 c^6) - a^2 (b^7 - b^6 c - 2 b^5 c^2 + b^4 c^3 + 3 b^3 c^4 + 5 b^2 c^5 - 4 b c^6 - 3 c^7)): : |
| 14792 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) - a b (b - c)^2 (3 b^2 - c^2) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 7 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 14793 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) - a b (b - c)^2 (3 b^2 - c^2) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 8 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 14794 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c + 5 b^2 c^2 - c^4) + a b (-3 b^4 + 4 b^3 c - 2 b c^3 + c^4)): : |
| 14795 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + a^2 (b - c)^2 (b^2 - b c - c^2) - a b^2 (3 b^3 - 4 b^2 c + c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3)): : |
| 14796 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c - a b (2 b + Sqrt[2] c)): : |
| 14797 | a (a^3 + b^2 (b - c) - a^2 c + a b (-2 b + Sqrt[2] c)): : |
| 14798 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a b^2 (-3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 - c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c - b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - b^3 c + b c^3 - c^4)): : |
| 14799 | a (a^6 - 3 a^4 b^2 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - a b^2 (3 b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c + 2 c^3) + a^2 (b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + b c^3 - c^4)): : |
| 14800 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 6 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 9 b^3 c + 8 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 8 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 14801 | a (a^12 + b^2 (b - c)^7 (b + c)^3 - a^11 (3 b + 4 c) + a^10 (-2 b^2 - 2 (-10 + Sqrt[2]) b c + 3 c^2) + a^9 (15 b^3 + (-19 + 3 Sqrt[2]) b^2 c + 3 (-13 + 2 Sqrt[2]) b c^2 + 8 c^3) - a b (b - c)^5 (b + c)^2 (5 b^3 + (-11 + 2 Sqrt[2]) b^2 c + b c^2 + (2 + Sqrt[2]) c^3) - a^8 (9 b^4 + (53 - 9 Sqrt[2]) b^3 c + 3 (-36 + 7 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 3 (-1 + Sqrt[2]) b c^3 + 14 c^4) - a^7 b (22 b^4 + (-115 + 19 Sqrt[2]) b^3 c + 33 b^2 c^2 - 4 (-37 + 9 Sqrt[2]) b c^3 + (-73 + 7 Sqrt[2]) c^4) + a^2 (b - c)^3 (b + c) (6 b^6 + (-43 + 9 Sqrt[2]) b^5 c + (58 - 15 Sqrt[2]) b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 - (20 + 3 Sqrt[2]) b^2 c^4 + (5 + 3 Sqrt[2]) b c^5 + c^6) + a^6 (28 b^6 - (17 + 3 Sqrt[2]) b^5 c + 3 (-79 + 23 Sqrt[2]) b^4 c^2 + 2 (145 - 31 Sqrt[2]) b^3 c^3 - (20 + 9 Sqrt[2]) b^2 c^4 + 3 (-23 + 3 Sqrt[2]) b c^5 + 14 c^6) + a^5 (6 b^7 + (-131 + 27 Sqrt[2]) b^6 c + 18 (17 - 4 Sqrt[2]) b^5 c^2 - 6 (7 + 3 Sqrt[2]) b^4 c^3 + (-285 + 77 Sqrt[2]) b^3 c^4 - 6 (-31 + 4 Sqrt[2]) b^2 c^5 - 3 (5 + Sqrt[2]) b c^6 - 8 c^7) + a^3 (b - c) (9 b^8 + (22 - 9 Sqrt[2]) b^7 c + (-173 + 51 Sqrt[2]) b^6 c^2 + (177 - 41 Sqrt[2]) b^5 c^3 + 6 (11 - 4 Sqrt[2]) b^4 c^4 + 12 (-11 + Sqrt[2]) b^3 c^5 + (28 + 9 Sqrt[2]) b^2 c^6 + (14 - 3 Sqrt[2]) b c^7 - 4 c^8) - a^4 (25 b^8 + (-109 + 13 Sqrt[2]) b^7 c + 3 (7 + 5 Sqrt[2]) b^6 c^2 + 2 (177 - 56 Sqrt[2]) b^5 c^3 + (-392 + 79 Sqrt[2]) b^4 c^4 + 6 (7 + 3 Sqrt[2]) b^3 c^5 + (115 - 21 Sqrt[2]) b^2 c^6 + (-49 + Sqrt[2]) b c^7 + 3 c^8)): : |
| 14802 | a (a^12 + b^2 (b - c)^7 (b + c)^3 - a^11 (3 b + 4 c) + a^10 (-2 b^2 + 2 (10 + Sqrt[2]) b c + 3 c^2) + a^9 (15 b^3 - (19 + 3 Sqrt[2]) b^2 c - 3 (13 + 2 Sqrt[2]) b c^2 + 8 c^3) - a b (b - c)^5 (b + c)^2 (5 b^3 - (11 + 2 Sqrt[2]) b^2 c + b c^2 - (-2 + Sqrt[2]) c^3) + a^8 (-9 b^4 - (53 + 9 Sqrt[2]) b^3 c + 3 (36 + 7 Sqrt[2]) b^2 c^2 + 3 (1 + Sqrt[2]) b c^3 - 14 c^4) + a^7 b (-22 b^4 + (115 + 19 Sqrt[2]) b^3 c - 33 b^2 c^2 - 4 (37 + 9 Sqrt[2]) b c^3 + (73 + 7 Sqrt[2]) c^4) + a^2 (b - c)^3 (b + c) (6 b^6 - (43 + 9 Sqrt[2]) b^5 c + (58 + 15 Sqrt[2]) b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 + (-20 + 3 Sqrt[2]) b^2 c^4 + (5 - 3 Sqrt[2]) b c^5 + c^6) + a^6 (28 b^6 + (-17 + 3 Sqrt[2]) b^5 c - 3 (79 + 23 Sqrt[2]) b^4 c^2 + 2 (145 + 31 Sqrt[2]) b^3 c^3 + (-20 + 9 Sqrt[2]) b^2 c^4 - 3 (23 + 3 Sqrt[2]) b c^5 + 14 c^6) + a^5 (6 b^7 - (131 + 27 Sqrt[2]) b^6 c + 18 (17 + 4 Sqrt[2]) b^5 c^2 + 6 (-7 + 3 Sqrt[2]) b^4 c^3 - (285 + 77 Sqrt[2]) b^3 c^4 + 6 (31 + 4 Sqrt[2]) b^2 c^5 + 3 (-5 + Sqrt[2]) b c^6 - 8 c^7) + a^3 (b - c) (9 b^8 + (22 + 9 Sqrt[2]) b^7 c - (173 + 51 Sqrt[2]) b^6 c^2 + (177 + 41 Sqrt[2]) b^5 c^3 + 6 (11 + 4 Sqrt[2]) b^4 c^4 - 12 (11 + Sqrt[2]) b^3 c^5 + (28 - 9 Sqrt[2]) b^2 c^6 + (14 + 3 Sqrt[2]) b c^7 - 4 c^8) + a^4 (-25 b^8 + (109 + 13 Sqrt[2]) b^7 c + 3 (-7 + 5 Sqrt[2]) b^6 c^2 - 2 (177 + 56 Sqrt[2]) b^5 c^3 + (392 + 79 Sqrt[2]) b^4 c^4 + 6 (-7 + 3 Sqrt[2]) b^3 c^5 - (115 + 21 Sqrt[2]) b^2 c^6 + (49 + Sqrt[2]) b c^7 - 3 c^8)): : |
| 14803 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 7 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 7 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 11 b^3 c + 8 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 9 b^3 c - 5 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 14804 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 4 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 5 b^3 c + 4 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 14882 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^3 (4 b^3 + 2 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 5 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 5 b^3 c + b^2 c^2 + c^4)): : |
| 15016 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^3 c (b^2 - 5 b c - 2 c^2) + a^4 (-2 b^2 + 3 b c + c^2) + a^2 b (2 b^3 - 9 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) - a (b^5 - 5 b^4 c + 3 b^3 c^2 + b^2 c^3 + 2 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 15177 | a (a^9 - a^8 c + b^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^7 (3 b^2 - b c + c^2) - a b (b^2 - c^2)^2 (2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a^6 (b^3 + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a^4 (-b^5 + 2 b^4 c - 3 b^3 c^2 + b^2 c^3 + c^5) + a^3 (3 b^6 - b^5 c + b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 - b^2 c^4 - b c^5 + c^6) - a^2 (b^7 - b^4 c^3 + 3 b^3 c^4 - 4 b^2 c^5 + c^7)): : |
| 15178 | a (4 a^3 + 4 b^3 - 4 b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + 4 c) + a (-5 b^2 + 7 b c - 3 c^2)): : |
| 15803 | a (3 a^3 + 3 b^3 + a^2 (b - 3 c) - 3 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-7 b^2 + 6 b c + c^2)): : |
| 15804 | a (a^9 + b^2 (b - c)^5 (b + c)^2 - a^8 (2 b + 3 c) - a b (b - c)^3 (b + c)^2 (4 b^2 - b c + c^2) + a^7 (-3 b^2 + b c + c^2) + a^6 (9 b^3 + 6 b^2 c + 4 b c^2 + 5 c^3) - a^5 (b^4 - 3 b^3 c + 16 b^2 c^2 + b c^3 + 5 c^4) - a^4 (11 b^5 + 6 b^4 c + 11 b^3 c^2 - 15 b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5) + a^3 (7 b^6 - 9 b^5 c + 41 b^4 c^2 - 46 b^3 c^3 - 11 b^2 c^4 - b c^5 + 3 c^6) + a^2 (3 b^7 + 6 b^6 c - 26 b^5 c^2 + 15 b^4 c^3 - 9 b^3 c^4 + 12 b^2 c^5 - c^7)): : |
| 15931 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^4 b (3 b + c) - a^5 (b + 2 c) + a b^2 (-3 b^3 + b^2 c + 3 b c^2 - c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c + b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 + 3 b^3 c + b c^3 - c^4)): : |
| 15932 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^3 b (4 b^2 - b c - 5 c^2) + a^4 (-5 b^2 + 3 b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 5 b^3 c - b c^3 - c^4) + a (-4 b^5 + 7 b^4 c - b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 15934 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c) - a c (5 b + 2 c)): : |
| 15941 | a (a^9 + a^8 (b - c) - 2 a^7 b (2 b + c) + 2 a^6 b c (b + 2 c) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)^2 + 2 a^5 (b^4 + 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 - c^4) + 2 a^2 b^2 c (3 b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - 2 a^4 (b^5 + 3 b^4 c + 3 b c^4 - c^5) + 2 a^3 b (2 b^5 - b^4 c - 6 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5) + a (-3 b^8 - 2 b^7 c + 8 b^6 c^2 - 2 b^4 c^4 + 2 b^3 c^5 - 4 b^2 c^6 + c^8)): : |
| 16189 | a (5 a^3 + 5 b^3 - 5 b^2 c - 9 b c^2 + 9 c^3 - a^2 (9 b + 5 c) - a (b^2 - 14 b c + 9 c^2)): : |
| 16191 | a (9 a^3 + 9 b^3 - 9 b^2 c - 17 b c^2 + 17 c^3 - a^2 (17 b + 9 c) - a (b^2 - 26 b c + 17 c^2)): : |
| 16192 | a (7 a^3 + 7 b^3 + a^2 (b - 7 c) - 7 b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-15 b^2 + 6 b c + c^2)): : |
| 16193 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (2 b^2 + 4 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 6 b^2 c - 7 b c^2 - 2 c^3) + 2 a^2 b (b^3 - 5 b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 16200 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - 5 b c^2 + 5 c^3 - a^2 (5 b + 3 c) - a (b^2 - 8 b c + 5 c^2)): : |
| 16201 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (2 b^2 + 4 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 5 b^2 c - 10 b c^2 - 2 c^3) - a (b - c)^2 (b^3 - 6 b^2 c - 7 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 16202 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - a^4 b (3 b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + c^3) + a b (-3 b^4 + 4 b^2 c^2 + 2 b c^3 - 3 c^4) + a^2 (b^4 + 2 b^3 c - 4 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4)): : |
| 16203 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 10 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 14 b^3 c + 16 b^2 c^2 - 4 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 12 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 5 c^4)): : |
| 16204 | a (5 a^6 - 2 a^5 (7 b + 5 c) + 3 a^4 (b^2 + 10 b c - 3 c^2) + (b - c)^3 (5 b^3 + 5 b^2 c - 9 b c^2 - 9 c^3) + 4 a^3 (5 b^3 - 5 b^2 c - 3 b c^2 + 7 c^3) - a^2 (13 b^4 + 12 b^3 c - 42 b^2 c^2 + 20 b c^3 + 5 c^4) - 2 a (3 b^5 - 11 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 - 17 b c^4 + 9 c^5)): : |
| 16205 | a (5 a^6 - 2 a^5 (7 b + 5 c) + a^4 (3 b^2 + 46 b c - 9 c^2) + (b - c)^3 (5 b^3 + 5 b^2 c - 9 b c^2 - 9 c^3) + 4 a^3 (5 b^3 - 13 b^2 c - 7 b c^2 + 7 c^3) - a^2 (13 b^4 + 12 b^3 c - 90 b^2 c^2 + 52 b c^3 + 5 c^4) - 2 a (3 b^5 - 19 b^4 c + 18 b^3 c^2 + 22 b^2 c^3 - 33 b c^4 + 9 c^5)): : |
| 16206 | a (5 a^6 - 2 a^5 (7 b + 5 c) + a^4 (3 b^2 + 32 b c - 9 c^2) + (b - c)^3 (5 b^3 + 5 b^2 c - 9 b c^2 - 9 c^3) + 2 a^3 (10 b^3 - 11 b^2 c - 7 b c^2 + 14 c^3) - a^2 (13 b^4 + 14 b^3 c - 46 b^2 c^2 + 22 b c^3 + 5 c^4) - 2 a (3 b^5 - 12 b^4 c + 11 b^3 c^2 + 7 b^2 c^3 - 18 b c^4 + 9 c^5)): : |
| 16207 | a (5 a^6 - 2 a^5 (7 b + 5 c) + a^4 (3 b^2 + 44 b c - 9 c^2) + (b - c)^3 (5 b^3 + 5 b^2 c - 9 b c^2 - 9 c^3) + a^3 (20 b^3 - 50 b^2 c - 26 b c^2 + 28 c^3) - a^2 (13 b^4 + 10 b^3 c - 86 b^2 c^2 + 50 b c^3 + 5 c^4) - 2 a (3 b^5 - 18 b^4 c + 17 b^3 c^2 + 21 b^2 c^3 - 32 b c^4 + 9 c^5)): : |
| 16208 | a (3 a^6 - 2 a^5 (b + 3 c) + a^4 (-11 b^2 + c^2) + (b - c)^3 (3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 + c^3) + 2 a^3 (6 b^3 + 3 b^2 c - b c^2 + 2 c^3) + a^2 (5 b^4 - 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 6 b c^3 - 3 c^4) - 2 a (5 b^5 - 4 b^4 c - 3 b^3 c^2 + b^2 c^3 + 2 b c^4 - c^5)): : |
| 16209 | a (3 a^6 - 2 a^5 (b + 3 c) + a^4 (-11 b^2 + 20 b c + c^2) + (b - c)^3 (3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 + c^3) + 2 a^3 (6 b^3 + b^2 c - 11 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (5 b^4 - 38 b^3 c + 26 b^2 c^2 + 2 b c^3 - 3 c^4) - 2 a (5 b^5 - 14 b^4 c + 7 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - c^5)): : |
| 16215 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (2 b^2 + 4 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 - 6 b^2 c - 7 b c^2 - 2 c^3) + 2 a^2 b (b^3 - 5 b^2 c + 14 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 16216 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (3 b^2 + 4 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 6 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 4 b^2 c - 9 b c^2 - 3 c^3) - a (b^5 - 8 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 8 b^2 c^3 - 5 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 16217 | a (a^8 b + (b - c)^5 c^2 (b + c)^2 + a^7 (-3 b^2 + 5 b c + c^2) + a^6 (b^3 - 8 b^2 c - 16 b c^2 - 3 c^3) + a^5 (5 b^4 - 13 b^3 c + 8 b^2 c^2 + b c^3 + c^4) + a^2 (b - c)^2 (3 b^5 - 14 b^4 c - 21 b^3 c^2 - 17 b^2 c^3 - 10 b c^4 - c^5) - a (b - c)^3 (b^5 - 6 b^4 c - 7 b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 + 8 b c^4 + 3 c^5) + a^4 (-5 b^5 + 28 b^4 c + 13 b^3 c^2 - b^2 c^3 + 20 b c^4 + 5 c^5) - a^3 (b^6 + b^5 c + 3 b^4 c^2 + 30 b^3 c^3 - 13 b^2 c^4 + 5 b c^5 + 5 c^6)): : |
| 16218 | a (a^8 b + (b - c)^5 c^2 (b + c)^2 + a^7 (-3 b^2 + 5 b c + c^2) + a^6 (b^3 - 4 b^2 c - 16 b c^2 - 3 c^3) + a^5 (5 b^4 - 21 b^3 c + 32 b^2 c^2 + 5 b c^3 + c^4) + a^2 (b - c)^2 (3 b^5 - 18 b^4 c + 3 b^3 c^2 + 11 b^2 c^3 - 2 b c^4 - c^5) - a (b - c)^3 (b^5 - 6 b^4 c - 7 b^3 c^2 + b^2 c^3 + 4 b c^4 + 3 c^5) + a^4 (-5 b^5 + 28 b^4 c - 3 b^3 c^2 - 33 b^2 c^3 + 12 b c^4 + 5 c^5) - a^3 (b^6 - 7 b^5 c + 43 b^4 c^2 - 82 b^3 c^3 + 3 b^2 c^4 + 5 b c^5 + 5 c^6)): : |
| 16541 | a (a^9 - a^8 c + b^2 (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 + c^2) - a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 - b c + c^2) - a^7 (3 b^2 - b c + c^2) - a b (b^2 - c^2)^2 (2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a^6 (b^3 + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c + 4 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) - a^4 (b^5 - 2 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 - c^5) + a^3 (3 b^6 - b^5 c - 5 b^4 c^2 - 14 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 + c^6)): : |
| 16678 | a (a^5 (b + c) + a^4 b (b + c) - a^2 b^3 (b + 3 c) + a b^3 (b^2 - b c - 2 c^2) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^3 (2 b^3 + b^2 c + c^3)): : |
| 16687 | a (a^5 (b + c) + a^4 b (b + 3 c) + b^3 c (b^2 - c^2) + a^3 (-2 b^3 + b^2 c + 2 b c^2 - c^3) - a^2 (b^4 + b^3 c - 2 b c^3) + a b (b^4 + b^3 c + 2 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 16763 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^4 (-5 b^2 + 6 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - 2 b c^2) - 2 a (b - c)^2 (2 b^3 - b^2 c - 2 b c^2 - c^3) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 12 b^3 c + 7 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 16778 | a (2 a^5 (b + c) + a^4 b (2 b + 3 c) + 2 b^3 c (b^2 - c^2) + a b (b - c)^2 (2 b^2 + 3 b c + c^2) - a^3 (4 b^3 + b^2 c - b c^2 + 2 c^3) + a^2 (-2 b^4 - 5 b^3 c + b c^3)): : |
| 16877 | a (a^7 (b + c) + a^6 b (b + c) + a b^4 (b - c)^2 (b + c) + a^4 b c^2 (b + 3 c) + a^5 (-b^3 + b c^2) - a^2 b^3 (b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + 2 c^3) + b^3 c (b^4 - c^4) - a^3 (b^5 + 2 b^3 c^2 - 2 b c^4 + c^5)): : |
| 16878 | a (2 a^5 (b + c) + a^4 b (2 b + 3 c) + 2 b^3 c (b^2 - c^2) + a^3 (-4 b^3 + b^2 c + 3 b c^2 - 2 c^3) + a^2 b (-2 b^3 - 3 b^2 c + 6 b c^2 + 3 c^3) + a b (2 b^4 - b^3 c - b^2 c^2 + 3 b c^3 + c^4)): : |
| 17102 | a (a^5 (b + 2 c) + a b (b - c)^2 (3 b^2 - c^2) + a^4 (2 b^2 - 4 b c - c^2) - 2 a^2 b^2 (b^2 - 3 b c + 2 c^2) - 2 a^3 (2 b^3 - 2 b c^2 + c^3) + c (2 b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 + c^5)): : |
| 17437 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^4 (-5 b^2 + 6 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - 2 b c^2) - 2 a (b - c)^2 (2 b^3 - b^2 c - 2 b c^2 - c^3) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 12 b^3 c + 14 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 17502 | a (6 a^3 + 6 b^3 - 6 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 6 c) - a (11 b^2 - 7 b c + c^2)): : |
| 17591 | a (a^2 (b + 3 c) + a (5 b^2 - b c + c^2) + c (3 b^2 + b c + 2 c^2)): : |
| 17592 | a (a^2 (2 b + 3 c) + 2 a (2 b^2 + 2 b c + c^2) + c (3 b^2 + 2 b c + c^2)): : |
| 17593 | a (a^3 + b^3 - 4 b^2 c - b c^2 - 2 c^3 - a^2 (b + 4 c) - a (7 b^2 + c^2)): : |
| 17594 | a (a^3 + b^3 - 3 b^2 c - b c^2 - c^3 - a^2 (b + 3 c) - a (5 b^2 + 2 b c + c^2)): : |
| 17595 | a (a^3 + b^3 - 3 a^2 c - 3 b^2 c - 2 c^3 + 3 a b (-2 b + c)): : |
| 17596 | a (a^3 + b^3 - 2 a^2 c - 2 b^2 c - c^3 + a b (-4 b + c)): : |
| 17597 | a (a^3 + b^3 + a b (2 b - 5 c) + a^2 c + b^2 c + 2 c^3): : |
| 17598 | a (a^3 + b^3 + 2 b^2 c + b c^2 + 2 c^3 + a^2 (b + 2 c) + a (3 b^2 - 2 b c + c^2)): : |
| 17599 | a (a^3 + b^3 + 3 b^2 c + 2 b c^2 + 2 c^3 + a^2 (2 b + 3 c) + a (4 b^2 + b c + 2 c^2)): : |
| 17600 | a (a^3 + b^3 + 4 b^2 c + 3 b c^2 + 2 c^3 + a^2 (3 b + 4 c) + a (5 b^2 + 4 b c + 3 c^2)): : |
| 17601 | a (2 a^3 - 6 a b^2 + 2 b^3 - 3 a^2 c - 3 b^2 c - c^3): : |
| 17603 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (b^2 + 5 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 8 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 8 b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a (-b^5 + 10 b^4 c - 8 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 17609 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 9 b c + c^2)): : |
| 17642 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 + c^2) - 2 a^3 c (b^2 + b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 + 6 b c^2 - c^3) + a (-b^5 + 2 b^4 c - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 17699 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^4 (-5 b^2 + 6 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - 2 b c^2) - 2 a (b - c)^2 (2 b^3 - b^2 c - 2 b c^2 - c^3) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 12 b^3 c - 2 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 17700 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^4 (-5 b^2 + 6 b c + c^2) + 4 a^3 (b^3 - 2 b c^2) - 2 a (b - c)^2 (2 b^3 - b^2 c - 2 b c^2 - c^3) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - 12 b^3 c + 6 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 17715 | a (2 a^3 + 2 b^3 - a^2 c - b^2 c + c^3 - 2 a b (b + 2 c)): : |
| 17716 | a (2 a^3 + 2 b^3 + b^2 c + 2 b c^2 + c^3 + 2 a c (b + c) + a^2 (2 b + c)): : |
| 17798 | a (a^5 + a^4 b + b^5 - b^2 c^3 + a^3 b (-b + c) - a^2 (b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + c^3) - a (b^4 + b^3 c - b c^3)): : |
| 18115 | -(a (a^8 c + a^7 (b^2 - 2 b c - 2 c^2) + (b - c)^3 c (b + c)^2 (b^3 - b^2 c - c^3) - a^6 (3 b^3 - 4 b c^2 + c^3) + a^5 c (6 b^3 - 4 b^2 c - b c^2 + 3 c^3) + a^4 b (6 b^4 - 8 b^3 c - b^2 c^2 + 5 b c^3 - 3 c^4) + a^3 b (-3 b^5 + 7 b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 - 2 b c^4 + 2 c^5) + a (b - c)^2 (2 b^6 + 3 b^3 c^3 + b^2 c^4 - b c^5 - c^6) - a^2 (3 b^7 - 6 b^6 c + 4 b^5 c^2 + b^4 c^3 - 4 b^3 c^4 + b^2 c^5 + c^7))): : |
| 18193 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - 3 c) - 3 b^2 c + b c^2 - 3 c^3 + a (-7 b^2 + 8 b c + c^2)): : |
| 18201 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - 2 c) - 2 b^2 c + b c^2 - 2 c^3 + a (-5 b^2 + 6 b c + c^2)): : |
| 18208 | -(a (a^4 c + a^3 (b^2 - 2 b c - c^2) + a b (2 b^3 - 2 b^2 c + b c^2 - 2 c^3) + a^2 (-b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + c (b^4 - b^3 c + b^2 c^2 + c^4))): : |
| 18280 | a (a^12 + a^11 b - a b (b - c)^5 (b + c)^4 (b + 2 c) + a^10 (-6 b^2 + b c - 5 c^2) + b^2 (b^2 - c^2)^5 - a^9 b (5 b^2 + b c + 2 c^2) + a^7 b (10 b^4 + 4 b^3 c + b^2 c^2 + 6 b c^3 - 2 c^4) + a^8 (15 b^4 - 4 b^3 c + 14 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 10 c^4) + a^6 (-20 b^6 + 6 b^5 c - 7 b^4 c^2 + 7 b^3 c^3 - 8 b^2 c^4 + 6 b c^5 - 10 c^6) + a^3 b (b + c)^2 (5 b^6 - 6 b^5 c - 6 b^4 c^2 + 15 b^3 c^3 - 19 b^2 c^4 + 18 b c^5 - 7 c^6) + a^5 b (-10 b^6 - 6 b^5 c + 8 b^4 c^2 - 7 b^3 c^3 + 3 b^2 c^4 - 8 b c^5 + 8 c^6) - a^2 (b - c)^3 (6 b^7 + 17 b^6 c + 19 b^5 c^2 + 14 b^4 c^3 + 10 b^3 c^4 + 3 b^2 c^5 - 2 b c^6 - c^7) + a^4 (15 b^8 - 4 b^7 c - 11 b^6 c^2 - b^5 c^3 + b^3 c^5 - 5 b^2 c^6 - 4 b c^7 + 5 c^8)): : |
| 18330 | a (a^7 b^2 + b (b - c)^3 c^3 (b + c)^2 + a^6 (-b^3 - 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) - a^5 (2 b^4 - 4 b^3 c + 3 b^2 c^2 + 3 b c^3 + c^4) + a^4 (2 b^5 - 2 b^4 c - 2 b^3 c^2 + 6 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5) - a (b - c)^2 c (2 b^5 + 2 b^4 c + b^3 c^2 - b^2 c^3 - b c^4 + c^5) + a^3 (b^6 - 2 b^5 c + 6 b^4 c^2 - 5 b^3 c^3 - b^2 c^4 + 2 c^6) + a^2 (-b^7 + 4 b^6 c - 5 b^5 c^2 + 3 b^3 c^4 - 2 b c^6 + c^7)): : |
| 18398 | a (a^2 b + (b - c) c^2 + a (-b^2 + 4 b c + c^2)): : |
| 18421 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 5 b c^2 + 5 c^3 - a^2 (5 b + c) + a (3 b^2 - 2 b c - 5 c^2)): : |
| 18443 | a (a^6 - 2 a^5 (b + c) - a^4 (b + c)^2 + (b - c)^4 (b + c)^2 + 4 a^3 (b^3 + b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 2 b^2 c^2 + c^4) - 2 a (b^5 + b^4 c - 2 b^3 c^2 - b c^4 + c^5)): : |
| 18447 | a (a^6 + a b^3 (b - c) c - a^3 b c^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 - b c + c^2) - a^2 (b^4 + 2 b^3 c - 3 b^2 c^2 + c^4)): : |
| 18453 | a (a^9 + a^8 (b - c) + a^7 b (-4 b + c) - a^6 b c (b + 2 c) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3)^2 + a^5 (2 b^4 - 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 2 c^4) + a^2 b^2 c (-3 b^4 + 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + c^4) + a^3 b (4 b^5 + b^4 c - 6 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 4 b c^4 - c^5) + a^4 (-2 b^5 + 6 b^4 c + 2 c^5) + a (-3 b^8 + b^7 c + 2 b^6 c^2 + 4 b^4 c^4 - b^3 c^5 - 4 b^2 c^6 + c^8)): : |
| 18455 | a (a^6 + a^3 b c^2 + a b^3 c (-b + c) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 + b c + c^2) - a^2 (b^4 - 2 b^3 c - b^2 c^2 + c^4)): : |
| 18758 | a (a^4 (b - c) c^2 + b^4 (b - c) c^2 + a^5 (b^2 + c^2) + a b^2 c^2 (-b^2 + b c + c^2) + a^3 (-2 b^4 + b^3 c + b c^3) + a^2 b (b^4 + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4)): : |
| 18788 | a (a^5 + b^5 - 2 a^4 c - 2 b^4 c + 3 b^3 c^2 - b^2 c^3 - c^5 + a^3 (-b^2 + b c + 3 c^2) + a^2 (3 b^3 - 2 b^2 c + 2 b c^2 - c^3) + a b (-4 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + c^3)): : |
| 18838 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) - 2 a^3 c (-b^2 + 2 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 4 b^2 c + 3 b c^2 + c^3) - a (b^5 - 4 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 3 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 18839 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (b + c)^2 + a^4 (-2 b^2 + 2 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 2 b^2 c + 5 b c^2 - c^3) + a (-b^5 + 4 b^4 c - 2 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 18856 | a (a^8 b + (b - c)^5 c^2 (b + c)^2 + a^7 (-3 b^2 + 5 b c + c^2) + a^6 (b^3 - 16 b c^2 - 3 c^3) + a^5 (5 b^4 - 29 b^3 c + 32 b^2 c^2 + 9 b c^3 + c^4) - a (b - c)^3 (b^5 - 6 b^4 c - 7 b^3 c^2 - 3 b^2 c^3 + 3 c^5) + a^4 (-5 b^5 + 28 b^4 c + 9 b^3 c^2 - 41 b^2 c^3 + 4 b c^4 + 5 c^5) - a^3 (b^6 - 15 b^5 c + 63 b^4 c^2 - 46 b^3 c^3 - 9 b^2 c^4 + 5 b c^5 + 5 c^6) + a^2 (3 b^7 - 28 b^6 c + 50 b^5 c^2 - 13 b^4 c^3 - 17 b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + 8 b c^6 - c^7)): : |
| 18857 | a (4 a^6 - a^5 (5 b + 8 c) - a^4 (10 b^2 - 22 b c + c^2) + (b - c)^3 (4 b^3 + 4 b^2 c - b c^2 - c^3) + 2 a^3 (8 b^3 - 3 b^2 c - 10 b c^2 + 5 c^3) + 2 a^2 (b^4 - 14 b^3 c + 17 b^2 c^2 - 3 b c^3 - 2 c^4) - a (11 b^5 - 28 b^4 c + 14 b^3 c^2 + 12 b^2 c^3 - 11 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 18967 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 8 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 3 b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 12 b^2 c^2 - 6 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 10 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 8 b c^3 + 7 c^4)): : |
| 19758 | a (a^5 - a^4 c - 3 a^3 (b^2 + b c + c^2) - a^2 (5 b^3 + 8 b^2 c + 4 b c^2 + 3 c^3) + b (b^4 - b^3 c - 3 b^2 c^2 - 3 b c^3 - 2 c^4) - a (2 b^4 + 7 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 19761 | a (a^5 + a^4 (4 b + 3 c) + a^3 (b^2 + 5 b c + c^2) + a^2 (-b^3 + 4 b c^2 + c^3) + b (b^4 + 3 b^3 c + b^2 c^2 + b c^3 + 2 c^4) + a (2 b^4 + b^3 c + 2 b^2 c^2 + 5 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 19765 | a (a^3 - a^2 (2 b + 3 c) + b (b^2 - 3 b c - 2 c^2) - a (4 b^2 + 3 b c + 2 c^2)): : |
| 19782 | a (a^6 - a^4 b^2 - a^5 (b + 2 c) + 4 a^3 (b^3 + b c^2 + c^3) - a^2 (b^4 - 2 b^3 c - 2 b c^3 + c^4) + b (b^5 - 2 b^4 c + 4 b^2 c^3 - b c^4 - 2 c^5) + a (-3 b^5 - 2 b^4 c + 2 b^3 c^2 + b c^4 - 2 c^5)): : |
| 20182 | a (a^3 + b^3 + 5 b^2 c + 4 b c^2 + 2 c^3 + a^2 (4 b + 5 c) + a (6 b^2 + 7 b c + 4 c^2)): : |
| 20254 | -(a (a^5 c + a^4 (b^2 - 2 b c - c^2) + a^2 b^2 (-b^2 + 3 b c + c^2) + a^3 (-2 b^3 + b^2 c + b c^2 - c^3) + a b (2 b^4 - 2 b^3 c + b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) + c (b^5 - b^4 c - b^3 c^2 + c^5))): : |
| 20323 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 - 9 b c + c^2)): : |
| 20358 | a (a^3 b (b - c) + b (b - c) c^3 - a c (3 b^3 - 2 b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (-b^3 + b^2 c + 2 b c^2 + c^3)): : |
| 20359 | a (a^4 b (b - 3 c) + b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 c (-b^2 + 3 b c + c^2) - a^2 b^2 (b^2 - 3 b c + 3 c^2) - a c (5 b^4 - b^3 c + b c^3 + c^4)): : |
| 20367 | a (a^4 (b + c) + a^3 (b^2 - c^2) + b c (b^3 - b^2 c + b c^2 - c^3) + a^2 (-3 b^3 + 2 b c^2 + c^3) + a (b^4 - 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 - c^4)): : |
| 20368 | a (a^4 b (2 b - 3 c) + a^5 (b + c) - 2 a^3 b (b^2 + b c - 3 c^2) - 2 a^2 b^2 (b^2 - 3 b c + 3 c^2) + b c (b^4 - c^4) + a (b^5 - 7 b^4 c + 2 b^3 c^2 + b c^4 - c^5)): : |
| 20764 | a (-(a^7 c^2) + a^8 (b + c) + b^3 (b - c)^3 c (b + c)^2 - a^6 (4 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3) - a^2 b^2 (b - c)^2 (2 b^3 + b^2 c + 2 b c^2 + 3 c^3) + a^5 (b^4 + 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 2 c^4) + a^4 (5 b^5 - 4 b^4 c + b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5) + a b (b - c)^2 (b^5 + b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 + 4 b c^4 + 2 c^5) + a^3 (-2 b^6 + b^4 c^2 + 2 b^2 c^4 - c^6)): : |
| 20788 | a (b^2 (b - c) c^4 (b + c)^2 + a^6 (b^3 - b c^2) + a^5 (b^4 + b^3 c + 3 b^2 c^2 + 3 b c^3 + c^4) + a^4 (-b^5 + 2 b^4 c + 3 b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 + 6 b c^4 + c^5) - a b c^2 (3 b^5 + b^4 c - 4 b^3 c^2 - b^2 c^3 + 3 b c^4 + 2 c^5) - a^3 (b^6 + 3 b^5 c + 3 b^4 c^2 - 5 b^3 c^3 - 5 b^2 c^4 - b c^5 + c^6) - a^2 c (4 b^6 + 3 b^5 c - 3 b^3 c^3 + 3 b c^5 + c^6)): : |
| 20789 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 - 10 b c + c^2) - 2 a^3 c (-6 b^2 - 4 b c + c^2) - a (b - c)^2 (b^3 + 10 b^2 c + 9 b c^2 - 2 c^3) + 2 a^2 b (b^3 + 3 b^2 c - 18 b c^2 + 6 c^3)): : |
| 20790 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) - 2 a^3 c (6 b^2 + 8 b c + c^2) + a^4 (-2 b^2 + 14 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - 9 b^2 c - 18 b c^2 - 6 c^3) - a (b - c)^2 (b^3 - 14 b^2 c - 15 b c^2 - 2 c^3)): : |
| 20878 | a (a^5 b^2 (b - c) + b^4 c^2 (b^2 - c^2) + a^6 (b^2 + c^2) + a b^3 c^2 (-2 b^2 - b c + c^2) + a^2 b^2 (b^4 - b^3 c + 2 b c^3 - 2 c^4) - a^4 (2 b^4 + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) + a^3 (-b^5 + 4 b^3 c^2 + b c^4)): : |
| 21010 | a (b^3 (b - c) c + a^3 (2 b - c) c + a^4 (b + c) + a^2 b (-2 b^2 + b c + 2 c^2) + a b (b^3 + 2 b c^2 + 2 c^3)): : |
| 21164 | a (3 a^6 - 2 a^5 (b + 3 c) + a^4 (-11 b^2 + 22 b c + c^2) + 4 a^3 (3 b^3 - 6 b c^2 + c^3) + (b - c)^3 (3 b^3 + 3 b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (5 b^4 - 40 b^3 c + 30 b^2 c^2 - 3 c^4) - 2 a (5 b^5 - 15 b^4 c + 8 b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 - b c^4 - c^5)): : |
| 21334 | a (a^4 b (b - c) + b c^3 (b^2 - c^2) + a^3 c (-b^2 + b c + c^2) - a^2 b^2 (b^2 + b c + 5 c^2) - a c (3 b^4 + b^3 c + b c^3 + c^4)): : |
| 21842 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 - 4 b c + c^2)): : |
| 22341 | a (a^8 (b + c) - a^7 c (b + c) + b^3 (b - c)^3 c (b + c)^2 - a^6 (4 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3) - a^2 b^2 (b - c)^2 (2 b^3 + b^2 c + 2 b c^2 + 3 c^3) + a^5 (b^4 + 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + 2 c^4) + a^4 (5 b^5 - 4 b^4 c + b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5) + a b (b - c)^2 (b^5 - b^4 c - b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5) + a^3 (-2 b^6 + b^5 c + b^4 c^2 - 2 b^3 c^3 + 2 b^2 c^4 + b c^5 - c^6)): : |
| 22765 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 5 c) + a^3 (4 b^3 - 2 b^2 c - 5 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 9 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 7 b^3 c - 3 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 22766 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - a b (b - c)^2 (3 b^2 - 2 b c - 3 c^2) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4)): : |
| 22767 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) - a b (b - c)^2 (3 b^2 - 2 b c - 3 c^2) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 8 b^3 c + 14 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4)): : |
| 22768 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 8 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - 4 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 12 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 10 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4)): : |
| 22770 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c + 10 b^2 c^2 - 4 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 5 c^4)): : |
| 23171 | a (a^7 (b - c) c + a^8 (b + c) + b^3 (b - c)^3 c (b + c)^2 - 2 a^6 (2 b^3 + b^2 c + c^3) + a^5 (b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 2 c^4) - 2 a^2 b^2 (b^5 - b^2 c^3 - b c^4 + c^5) + a^4 (5 b^5 + b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 - b c^4 + c^5) + a^3 (-2 b^6 + b^5 c + 3 b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 + 2 b^2 c^4 - b c^5 - c^6) + a (b^8 - b^7 c + 2 b^5 c^3 - b^4 c^4 - 3 b^3 c^5 + 2 b c^7)): : |
| 23207 | a (a^7 (b - c) c + a^8 (b + c) + b^3 (b - c)^3 c (b + c)^2 - a^2 b^2 (b + c)^3 (2 b^2 - 3 b c + c^2) + a b (b^2 - c^2)^2 (b^3 - b^2 c + c^3) - a^6 (4 b^3 + 3 b^2 c + 2 b c^2 + 2 c^3) + a^5 (b^4 - 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + 2 c^4) + a^4 (5 b^5 + 4 b^4 c + b^3 c^2 + 4 b^2 c^3 + b c^4 + c^5) - a^3 (2 b^6 - 3 b^5 c - 5 b^4 c^2 - 2 b^3 c^3 - 2 b^2 c^4 + b c^5 + c^6)): : |
| 23340 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + 2 a^3 c (4 b^2 + b c - c^2) + a^4 (-2 b^2 - 4 b c + c^2) + 2 a^2 b (b^3 - b^2 c - 5 b c^2 + 4 c^3) - a (b^5 + 2 b^4 c - 4 b^3 c^2 - 6 b^2 c^3 + 9 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 23703 | a (2 a^6 - 6 a^4 b (b - c) - a^5 (b + 3 c) + b (b - c)^2 (2 b^3 + b^2 c + c^3) + a^3 (6 b^3 + 3 b^2 c - 7 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (2 b^4 - 13 b^3 c + 8 b^2 c^2 + 3 b c^3 - 2 c^4) + a (-5 b^5 + 10 b^4 c - 3 b^3 c^2 - b^2 c^3 - 2 b c^4 + c^5)): : |
| 23832 | a (a^4 b (b - 5 c) + a^5 (b + c) + b^3 c (b^2 - c^2) - a^3 (2 b^3 + 3 b^2 c - 6 b c^2 + c^3) - a^2 b (b^3 - 11 b^2 c + 4 b c^2 + 2 c^3) + a b (b^4 - 7 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 23853 | a (a^4 b^2 + a^5 (b + c) + b^3 c (b^2 - c^2) + a b^3 (b^2 - 2 b c - c^2) - a^2 b^2 (b^2 + b c - c^2) - a^3 (2 b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3)): : |
| 23890 | a (2 a^7 - a^6 (b + 3 c) + a^4 b (6 b^2 + b c - 3 c^2) - a^5 (7 b^2 - 8 b c + c^2) + b (b - c)^3 (2 b^3 + 3 b^2 c + 2 b c^2 - c^3) - a (b - c)^2 (5 b^4 - 2 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 6 b c^3 - c^4) + 2 a^3 (b^4 - 4 b^3 c + 3 b^2 c^2 - 4 b c^3 + 3 c^4) + a^2 (b^5 - 7 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 - b c^4 - 5 c^5)): : |
| 23960 | a (2 a^6 - 2 a^5 (3 b + 2 c) + 2 a^4 (b^2 + 9 b c - 2 c^2) + 2 (b - c)^3 (b^3 + b^2 c - 2 b c^2 - 2 c^3) + a^3 (8 b^3 - 19 b^2 c - 10 b c^2 + 12 c^3) - a^2 (6 b^4 + 5 b^3 c - 33 b^2 c^2 + 19 b c^3 + 2 c^4) - a (2 b^5 - 14 b^4 c + 14 b^3 c^2 + 15 b^2 c^3 - 25 b c^4 + 8 c^5)): : |
| 23961 | -(a (2 a^6 + 2 b^2 (b - c)^3 (b + c) - 2 a^5 (b + 2 c) + 2 a^4 b (-3 b + 5 c) + a^3 (8 b^3 - b^2 c - 10 b c^2 + 4 c^3) + a^2 (2 b^4 - 15 b^3 c + 15 b^2 c^2 - b c^3 - 2 c^4) + a b (-6 b^4 + 14 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 5 b c^3 + 3 c^4))): : |
| 23981 | a (a^8 (b + c) + b^3 (b - c)^3 c (b + c)^2 - a^7 c (3 b + c) - 2 a^6 (2 b^3 - 3 b c^2 + c^3) - 2 a^2 b (b - c)^2 (b^4 - 3 b^3 c + 2 b c^3 + c^4) + a^5 (b^4 + 11 b^3 c - 8 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 2 c^4) + a^4 (5 b^5 - 12 b^4 c - 3 b^3 c^2 + 12 b^2 c^3 - 5 b c^4 + c^5) + a b (b - c)^2 (b^5 - 3 b^4 c - b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 + 2 b c^4 + 2 c^5) - a^3 (2 b^6 + 3 b^5 c - 15 b^4 c^2 + 10 b^3 c^3 + 2 b^2 c^4 - 3 b c^5 + c^6)): : |
| 24299 | a (2 a^6 - a^4 (-2 b + c)^2 - a^5 (3 b + 4 c) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - c^3) - 2 a^2 c (b^3 - 3 b^2 c + c^3) + a^3 (8 b^3 - 2 b c^2 + 6 c^3) + a (-5 b^5 + 6 b^4 c - 2 b^2 c^3 + 3 b c^4 - 2 c^5)): : |
| 24301 | -(a (2 a^9 - a^8 (b + 2 c) + a^7 (-5 b^2 + 3 b c - 3 c^2) + 3 a^6 (b^3 + c^3) + (b - c)^3 (b + c)^2 (2 b^4 + b^2 c^2 - c^4) + a^5 (b^4 - 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 - c^4) - a (b^2 - c^2)^2 (3 b^4 - 3 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 + c^4) + a^4 (-b^5 + 4 b^4 c - 3 b^3 c^2 + b^2 c^3 + 2 b c^4 + c^5) + a^3 (5 b^6 - 3 b^5 c + b^4 c^2 + 2 b^3 c^3 - b^2 c^4 - 3 b c^5 + 3 c^6) + a^2 (-3 b^7 + 2 b^5 c^2 + b^4 c^3 - 3 b^3 c^4 + 6 b^2 c^5 - 3 c^7))): : |
| 24310 | a (a^5 (b + c) + a^4 b (2 b + c) - 2 a^3 (b^3 - b c^2) - 2 a^2 (b^4 + 2 b^3 c - b c^3) + b c (b^4 - c^4) + a (b^5 - 3 b^4 c - 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - b c^4 - c^5)): : |
| 24464 | -(a (a^3 c^2 + a^2 b^2 (2 b + c) + b c^2 (b^2 + c^2) + a (2 b^3 c + c^4))): : |
| 24468 | a (a^6 - 2 a^5 c + a^3 b (4 b^2 - b c - 3 c^2) + a^4 (-5 b^2 + b c + c^2) + (b - c)^3 (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + a^2 (3 b^4 - b^3 c + 6 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a (-4 b^5 + 5 b^4 c + b^3 c^2 - 5 b^2 c^3 + b c^4 + 2 c^5)): : |
| 24474 | a (a^5 b - 2 a^3 c^2 (b + c) + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 + c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - b c + c^2) - a (b^5 - 2 b^4 c + 2 b^2 c^3 + b c^4 - 2 c^5)): : |
| 24806 | a (-(a^4 b c) + a^5 (b + c) + b c (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 b c (b^2 + b c - c^2) - 2 a^3 (b^3 - b^2 c + c^3) + a (b^5 - b^4 c + 2 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5)): : |
| 24926 | a (3 a^3 + 3 b^3 - 3 b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + 3 c) - 2 a (2 b^2 - 2 b c + c^2)): : |
| 24927 | a (2 a^6 - a^5 (3 b + 4 c) - a^4 (4 b^2 - 16 b c + c^2) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - c^3) - 2 a^2 c (9 b^3 - 13 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) + 2 a^3 (4 b^3 - 4 b^2 c - 7 b c^2 + 3 c^3) - a (5 b^5 - 18 b^4 c + 12 b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 - 11 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 24928 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 - 7 b c + c^2)): : |
| 24929 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 + b c + c^2)): : |
| 25405 | a (4 a^3 + 4 b^3 - 4 b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + 4 c) + a (-5 b^2 + 11 b c - 3 c^2)): : |
| 25413 | a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 - b c + c^2) - a^3 c (-4 b^2 + b c + 2 c^2) + a^2 b (2 b^3 - 4 b^2 c - 3 b c^2 + 4 c^3) + a (-b^5 + b^4 c + b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - 5 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 25414 | -(a (a^5 b + (b - c)^3 c^2 (b + c) + a^4 (-2 b^2 - 2 b c + c^2) + a^3 (5 b^2 c - 2 c^3) + a^2 b (2 b^3 - 3 b^2 c - 7 b c^2 + 5 c^3) + a (-b^5 + 2 b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - 6 b c^4 + 2 c^5))): : |
| 25415 | a (a^3 + b^3 - b^2 c - 3 b c^2 + 3 c^3 - a^2 (3 b + c) + a (b^2 + 2 b c - 3 c^2)): : |
| 26086 | a (2 a^6 + 2 b^2 (b - c)^3 (b + c) - 2 a^5 (b + 2 c) + a^4 (-6 b^2 + 8 b c) + a^3 (8 b^3 + b^2 c - 8 b c^2 + 4 c^3) + a^2 (2 b^4 - 13 b^3 c + 11 b^2 c^2 + b c^3 - 2 c^4) + a b (-6 b^4 + 12 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 3 b c^3 + c^4)): : |
| 26087 | a (2 a^6 - 4 a^5 (b + c) + 2 (b - c)^4 (b + c)^2 - 2 a^4 (b^2 - 6 b c + c^2) + a^3 (8 b^3 - 9 b^2 c - 8 b c^2 + 8 c^3) - a^2 (2 b^4 + 7 b^3 c - 21 b^2 c^2 + 9 b c^3 + 2 c^4) - a (4 b^5 - 12 b^4 c + 8 b^3 c^2 + 9 b^2 c^3 - 13 b c^4 + 4 c^5)): : |
| 26285 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) - a b^2 (3 b^3 - 6 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) + a^3 (4 b^3 + b^2 c - 4 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 7 b^3 c + 5 b^2 c^2 + b c^3 - c^4)): : |
| 26286 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + a^4 b (-3 b + 4 c) + a^3 (4 b^3 - b^2 c - 4 b c^2 + 2 c^3) + a^2 (b^4 - 5 b^3 c + 7 b^2 c^2 - b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 6 b^3 c - 2 b^2 c^2 - 3 b c^3 + 2 c^4)): : |
| 26287 | a (2 a^6 - a^5 (3 b + 4 c) - a^4 (4 b^2 - 10 b c + c^2) + (b - c)^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - c^3) - a^2 c (11 b^3 - 15 b^2 c + 3 b c^2 + 2 c^3) + a^3 (8 b^3 - 3 b^2 c - 8 b c^2 + 6 c^3) - a (5 b^5 - 12 b^4 c + 6 b^3 c^2 + 5 b^2 c^3 - 6 b c^4 + 2 c^5)): : |
| 26290 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^3 (-4 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 - 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (b - c) (-3 b^4 + b^3 c + b^2 c^2 - 3 b c^3 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (b^4 + 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26291 | a (a^6 + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + (b - c)^2 (b + c) (b^3 - b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^3 (4 b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + 2 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a (b - c) (3 b^4 - b^3 c - b^2 c^2 + 3 b c^3 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-b^4 - 6 b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26296 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 - 2 b c + c^2) + 2 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26297 | a (a^3 + b^3 + a^2 (b - c) - b^2 c + b c^2 - c^3 + a (-3 b^2 - 2 b c + c^2) - 2 Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26319 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 4 b^3 c + 4 b c^3 - 3 c^4 + 2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26320 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 + 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 4 b^3 c + 4 b c^3 - 3 c^4 - 2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26351 | a (2 a^4 b c + Sqrt[2] (b - c)^2 (b + c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + a^3 (-2 b c^2 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (b - c) (2 b^3 c - Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26352 | a (2 a^4 b c - Sqrt[2] (b - c)^2 (b + c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - a^3 (2 b c^2 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (b - c) (2 b^3 c + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (-4 b^3 c - 2 b^2 c^2 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26357 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 2 b^3 c + 8 b^2 c^2 - c^4) + a b (-3 b^4 + 4 b^3 c - 2 b c^3 + c^4)): : |
| 26358 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + 2 b^2 c - b c^2 + c^3) + a b (-3 b^4 + 4 b^3 c + 2 b c^3 - 3 c^4) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c - 4 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4)): : |
| 26365 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 + b c + c^2) + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26366 | a (2 a^3 + 2 b^3 - 2 b^2 c - b c^2 + c^3 - a^2 (b + 2 c) - a (3 b^2 + b c + c^2) - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26380 | a (2 a^4 b c - Sqrt[2] (b - c)^2 (b + c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - a^3 (4 b^2 c + 2 b c^2 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (b - c) (2 b^3 c - 4 b c^3 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (2 b^2 c^2 - 4 b c^3 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26393 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 4 b^3 c + c^4 - 2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26395 | a (a^3 + b^3 - b^2 c + a (b - 2 c) c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c) - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26398 | a (2 a^6 - 2 a^5 (b + 2 c) + a^4 (-6 b^2 + 4 b c) + (b - c)^2 (b + c) (2 b^3 - 2 b^2 c + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^3 (8 b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + 4 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a (b - c) (6 b^4 - 2 b^3 c - 2 b^2 c^2 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-2 b^4 + 6 b^3 c - 6 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 2 c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26399 | a (a^3 + b^3 - a^2 c - b^2 c + a b (-2 b + c) + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26401 | a (a^3 + b^3 - a^2 c - b^2 c + a b (-2 b + 3 c) + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26404 | a (2 a^4 b c + Sqrt[2] (b - c)^2 (b + c) Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + a^3 (-4 b^2 c - 2 b c^2 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^2 (-2 b^2 c^2 + 4 b c^3 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (b - c) (2 b^3 c + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - b (4 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]))): : |
| 26417 | a (a^6 + b^2 (b - c)^3 (b + c) + a^4 b (-3 b + 2 c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 + b^2 c - b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 2 b c^3 - c^4) - a b (3 b^4 - 4 b^3 c + c^4 + 2 Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26419 | a (a^3 + b^3 - b^2 c + a (b - 2 c) c - 2 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (2 b + c) + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26422 | a (2 a^6 - 2 a^5 (b + 2 c) + a^4 (-6 b^2 + 4 b c) + (b - c)^2 (b + c) (2 b^3 - 2 b^2 c - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) - a^3 (-8 b^3 - 2 b^2 c + 4 b c^2 - 4 c^3 + Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a (b - c) (-6 b^4 + 2 b^3 c + 2 b^2 c^2 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] - Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]) + a^2 (2 b^4 - 6 b^3 c + 6 b^2 c^2 + 2 b c^3 - 2 c^4 + Sqrt[2] b Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))] + Sqrt[2] c Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))])): : |
| 26423 | a (a^3 + b^3 - a^2 c - b^2 c + a b (-2 b + c) - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26425 | a (a^3 + b^3 - a^2 c - b^2 c + a b (-2 b + 3 c) - Sqrt[2] Sqrt[-(a b c (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - a (b^2 + 6 b c + c^2)))]): : |
| 26437 | a (a^6 - 3 a^4 b (b - 2 c) + b^2 (b - c)^3 (b + c) - a^5 (b + 2 c) + 2 a^3 (2 b^3 - 2 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) + a^2 (b^4 - 6 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 4 b c^3 - c^4) + a b (-3 b^4 + 8 b^3 c - 4 b^2 c^2 - 6 b c^3 + 5 c^4)): : |
| 26903 | a (2 b^4 (b - c)^5 c^2 (b + c)^4 - 2 a^12 c (b^2 + c^2) - 2 a^3 b^2 (b^2 - c^2)^4 (2 b^2 + c^2) + a^13 (2 b^2 + b c + 2 c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - c^2)^4 (b^3 - b^2 c + b c^2 - 2 c^3) + a b c (b^2 - c^2)^4 (b^4 - 4 b^3 c + 4 b^2 c^2 + c^4) - 2 a^11 (6 b^4 + 5 b^2 c^2 + 4 c^4) + 2 a^10 (b^5 + 3 b^4 c + b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 4 c^5) - 2 a^4 (b - c)^3 (b + c)^2 (4 b^6 + b^5 c + 7 b^4 c^2 + 4 b^2 c^4 - b c^5 - c^6) + a^5 (b^2 - c^2)^2 (18 b^6 - 9 b^5 c + 22 b^4 c^2 - 18 b^3 c^3 + 14 b^2 c^4 - 9 b c^5 + 2 c^6) + a^9 (28 b^6 - 9 b^5 c + 16 b^4 c^2 + 20 b^2 c^4 - 9 b c^5 + 12 c^6) - 2 a^8 (4 b^7 + 2 b^6 c + 3 b^5 c^2 - b^4 c^3 + 4 b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + 6 c^7) - 4 a^7 (8 b^8 - 4 b^7 c + b^6 c^2 + 5 b^2 c^6 - 4 b c^7 + 2 c^8) + 4 a^6 (3 b^9 - b^8 c + b^7 c^2 - 2 b^6 c^3 + b^5 c^4 - 3 b^4 c^5 + 3 b^3 c^6 - 4 b^2 c^7 + 2 c^9)): : |
| 26904 | a (2 b^4 (b - c)^5 c^2 (b + c)^4 - 2 a^12 c (b^2 + c^2) + a^13 (2 b^2 - b c + 2 c^2) - 2 a^3 b (b^2 - c^2)^4 (2 b^3 - 2 b^2 c + b c^2 - 2 c^3) + 2 a^2 b^2 (b^2 - c^2)^4 (b^3 - b^2 c + b c^2 - 2 c^3) - a b c (b^2 - c^2)^4 (b^4 + 4 b^3 c + c^4) - 2 a^11 (6 b^4 - 2 b^3 c + 5 b^2 c^2 - 2 b c^3 + 4 c^4) + 2 a^10 (b^5 + 3 b^4 c + b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 4 c^5) - 2 a^4 (b - c)^3 (b + c)^2 (4 b^6 + b^5 c + 7 b^4 c^2 + 4 b^2 c^4 - b c^5 - c^6) + a^5 (b^2 - c^2)^2 (18 b^6 - 7 b^5 c + 22 b^4 c^2 - 6 b^3 c^3 + 14 b^2 c^4 - 7 b c^5 + 2 c^6) + a^9 (28 b^6 - 7 b^5 c + 16 b^4 c^2 - 12 b^3 c^3 + 20 b^2 c^4 - 7 b c^5 + 12 c^6) - 2 a^8 (4 b^7 + 2 b^6 c + 3 b^5 c^2 - b^4 c^3 + 4 b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + 6 c^7) - 4 a^7 (8 b^8 - 2 b^7 c + b^6 c^2 - 2 b^5 c^3 - 2 b^3 c^5 + 5 b^2 c^6 - 2 b c^7 + 2 c^8) + 4 a^6 (3 b^9 - b^8 c + b^7 c^2 - 2 b^6 c^3 + b^5 c^4 - 3 b^4 c^5 + 3 b^3 c^6 - 4 b^2 c^7 + 2 c^9)): : |
| 26908 | a (-2 a^12 c^3 + 2 b^4 (b - c)^5 c^2 (b + c)^4 + a^13 (2 b^2 + b c + 2 c^2) + 2 a^2 b^2 (b^2 - c^2)^4 (b^3 - 2 b^2 c - b c^2 - c^3) + a b c (b^2 - c^2)^4 (b^4 - 4 b^3 c - 2 b^2 c^2 - c^4) - 2 a^11 (6 b^4 + 4 b^3 c + 5 b^2 c^2 + 3 b c^3 + 4 c^4) - 2 a^3 b (b^2 - c^2)^3 (2 b^5 + 4 b^4 c - b^3 c^2 + 3 b^2 c^3 - b c^4 + c^5) + 2 a^10 (b^5 - 2 b^4 c - b^3 c^2 - b^2 c^3 + 4 c^5) + a^9 (28 b^6 + 23 b^5 c + 16 b^4 c^2 + 18 b^3 c^3 + 20 b^2 c^4 + 13 b c^5 + 12 c^6) + 2 a^8 (-4 b^7 + 8 b^6 c + 5 b^5 c^2 + 5 b^4 c^3 + 4 b^3 c^4 + 4 b^2 c^5 - 6 c^7) - 2 a^4 (b^2 - c^2)^2 (4 b^7 - 8 b^6 c - 2 b^5 c^2 - 5 b^4 c^3 - 4 b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + c^7) - 4 a^7 (8 b^8 + 8 b^7 c + b^6 c^2 + 3 b^5 c^3 + 2 b^3 c^5 + 5 b^2 c^6 + 3 b c^7 + 2 c^8) + 4 a^6 (3 b^9 - 6 b^8 c - 5 b^7 c^2 + b^6 c^3 - 3 b^5 c^4 - 2 b^4 c^5 - 3 b^3 c^6 - 3 b^2 c^7 + 2 c^9) + a^5 (18 b^10 + 23 b^9 c - 14 b^8 c^2 - 12 b^7 c^3 - 12 b^6 c^4 - 10 b^5 c^5 - 4 b^4 c^6 - 4 b^3 c^7 + 10 b^2 c^8 + 3 b c^9 + 2 c^10)): : |
)
Si X=I+tO y X'=IO∩PU= (t+2)I+tO, entonces X ↦ X' es una proyectividad, con puntos dobles el incentro y X517 (punto en el infinito de la recta IO).
Pares {X=Xi, X'=Xj}, para los índices: {3, 1385}, {35, 2646}, {36, 1319}, {40, 3}, {46, 56}, {55, 24929}, {56, 24928}, {57, 999}, {65, 942}, {165, 3576}, {354, 5049}, {484, 36}, {942, 5045}, {986, 37592}, {1155, 5126}, {1319, 25405}, {1385, 15178}, {1482, 10222}, {1697, 3295}, {1764, 37620}, {2093, 57}, {2448, 1381}, {2449, 1382}, {3057, 9957}, {3245, 1155}, {3333, 7373}, {3336, 5563}, {3338, 3304}, {3339, 3333}, {3359, 10269}, {3576, 10246}, {3579, 13624}, {3612, 34471}, {3746, 37080}, {4424, 3666}, {5010, 37525}, {5119, 55}, {5183, 5122}, {5255, 5266}, {5264, 37539}, {5535, 22765}, {5563, 20323}, {5697, 3057}, {5709, 11249}, {5711, 37594}, {5902, 354}, {5903, 65}, {6282, 37611}, {6766, 8158}, {6769, 37531}, {7280, 21842}, {7688, 13151}, {7957, 31793}, {7982, 1482}, {7991, 40}, {7994, 6282}, {8148, 11278}, {8186, 26365}, {8187, 26366}, {8270, 1060}, {9819, 31393}, {9957, 31792}, {10222, 33179}, {10439, 39550}, {10441, 35631}, {10902, 24299}, {11009, 11011}, {11010, 35}, {11224, 16200}, {11280, 11009}, {11529, 15934}, {11531, 7982}, {12435, 10441}, {12702, 3579}, {12703, 10679}, {12704, 10680}, {13750, 16193}, {14110, 31786}, {15177, 24301}, {15803, 1420}, {16192, 30389}, {16200, 10247}, {17596, 37617}, {18398, 17609}, {18421, 11529}, {24464, 37596}, {25413, 35004}, {25415, 2099}, {26285, 26287}, {26287, 33657}, {26296, 11366}, {26297, 11367}, {30282, 13384}, {30323, 2098}, {30503, 18443}, {31393, 6767}, {31778, 37536}, {31788, 9940}, {31798, 31787}, {32167, 10618}, {32622, 38014}, {32623, 38013}, {33795, 31663}, {34339, 13373}, {34560, 34557}, {35004, 5885}, {35046, 5662}, {35445, 37606}, {37561, 24927}, {37562, 34339}, {37563, 3746}, {37567, 37582}, {37569, 37533}, {37572, 37605}, {37598, 3931}, {37610, 3744}, {37616, 24926}, {37618, 1388}, {37625, 24474}, {41338, 3428}.
- Martes, 6 de abril del 2021
Propiedad del centro del triángulo X(3062)
El 6 de abril de 1896, en Atenas (Grecia), se inauguran los I Juegos Olímpicos de la Era Moderna, 1.500 años después de su prohibición por el emperador romano Teodosio I. El barón Pierre de Coubertin, pretende así recuperar los ideales deportivos de la Grecia clásica.
X(3062)
Three circles concentric to the incircle, each orthogonal to an excircle. The radical axes of the three circles with respective excircles form the
Atik triangle, A'B'C', which is perspective to ABC with perspector
X(3062).
Let p
a be the polar of the incenter with respect to the A-excircle, and define p
b and p
c cyclically. Then A' = p
b∩p
c, B' = p
c∩p
a, C' = p
a∩p
b. The triangle A'B'C' is the
Atik triangle. (Randy Hutson, July 11, 2014).
Let I, I
a be the incenter and A-excenter of ABC. Let a' be the radical axis of the A-excircle and the circle with diameter II
a and denote b', c' cyclically. The triangle bounded by these radical axes is the
Atik triangle.
Se da un triángulo ABC con incentro I=X1 y exinscentros Ia, Ib, Ic.
La mediatriz de BC corta en Ab a la bisectriz exterior en B y en Ac a la bisectriz exterior en C. Sean Oa el circuncentro del triángulo IaAbAc y ℓa la recta IaOa.
Se definen cíclicamente las rectas ℓb y ℓc.
Sean D=ℓb∩ℓc, E=ℓc∩ℓa, F=ℓa∩ℓb.
Los triángulos ABC y DEF son perspectivos y el centro de perspectividad es X3062.
En coordenadas baricéntricas:
Ab=(a^2 : -b^2 + c (-a + c) : -a c),
Ac=(-a^2 : a b : a b - b^2 + c^2),
Oa=(-a^3 : -b (-a^2 + (b - c)^2 +
a (-b + c)) : -(-a^2 + a (b - c) + (b - c)^2) c).
IaOa: 2 b c x + c (a + b - c) y + b (a - b + c) z=0.
D = (a (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)) : b (a^2 - 2 a b + b^2 + 2 a c +
2 b c - 3 c^2) : c (a^2 - 3 b^2 + 2 a (b - c) + 2 b c + c^2)).
Las rectas AD, BE, CF concurren en X3062:
(a/(3 a^2 - 2 a (b + c)- (b - c)^2) : ... : ...).
El eje de perspectividadDos triángulos ABC y DEF son perspectivos (o están en pespectiva) si las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto (centro de perspectividad o 'perspector'). Entonces (Teoerema de Desargues), los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan sobre una misma recta (eje de perspectividad o 'perspectriz').
Tres triángulos T1, T2, T3 forma una terna de triángulos perspectivos si Ti y Tj son perspectivos, para i,j =1,2,3; i≠j. de ABC y DEF es:
b (-a + b - c) (a + b - c) c x + a (a - b - c) (a + b - c) c y +
a b (a - b - c) (a - b + c) z = 0,
que pasa por pos centros Xi, para i∈{650, 663, 861, 2340, 3689, 3900, 4041, 4105, 4162, 4433, 4435, 4477, 4814, 4895, 4959, 6603, 6608, 8611, 10397, 14392, 33969}.
El triángulo DEF es homotético al triángulo Atik, A'B'C', y el centro de homotecia es X3062. Por lo que, los triángulos ABC, DEF, A'B'C' forman un tripleta de triángulos perspectivos, con centros de perspectividad común, entonces (Theorem 17) sus ejes de perspectividad son concurrentes, en la recta del infinito, con punto de concurrencia X3900, conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de X934 (simétrico, respecto al circuncentro, del cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la circun-hipérbola rectangular que pasa por el punto de BevanEl punto de Bevan es el circuncentro del triángulo excentral. Es el punto X40 de ETC.
Lleva el nombre en honor de Benjamin Bevan que propuso el problema de probar que el circuncentro O era el punto medio del incentro I y el circuncentro del triángulo excentral.
Primera coordenada baricéntrica: a(a^3+a^2(b+c)-a (b+c)^2-(b-c)^2(b+c))
)
- Martes, 30 de marzo del 2021
Conjugado isogonal del cuadrado baricéntrico del centro de la circunferencia de Euler
El 30 de marzo de 1853 nació Vicent van Gogh, pintor holandés, cuyos cuadros se consideran postimpresionistas, su estilo fue tomado como ejemplo en el desarrollo posterior del abstracto, fauvista y expresionista.
Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X3 y centro de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
N=X5, dos rectas paralelas por B y C vuelven a cortar a la circunferencias circunscrita Γ en los puntos Ab y Ac.
Las rectas AAb y CO se cortan en A2, y
la rectas AAc y BO se cortan en A3.
Sea
A'= AbAc∩A2A3.
Se verifica que A'Ab/A'Ac es constante
[ =c^2 (a^2+b^2-c^2)/(b^2 (-a^2+b^2-c^2)) ].
Cuando las rectas paralelas dadas varían, el punto A' recorre una
circunferencia
(Ecuación baricéntrica:
a^6 b^2 c^2 x^2-a^2 b^6 c^2 x^2+2 a^2 b^4 c^4 x^2-a^2 b^2 c^6 x^2+2 a^6 b^2 c^2 x y-a^4 b^4 c^2 x y-b^8 c^2 x y-2 a^4 b^2 c^4 x y+2 a^2 b^4 c^4 x y+4 b^6 c^4 x y-a^4 c^6 x y-4 a^2 b^2 c^6 x y-6 b^4 c^6 x y+2 a^2 c^8 x y+4 b^2 c^8 x y-c^10 x y+a^6 b^2 c^2 y^2-a^2 b^6 c^2 y^2+2 a^2 b^4 c^4 y^2-a^2 b^2 c^6 y^2-a^4 b^6 x z+2 a^2 b^8 x z-b^10 x z+2 a^6 b^2 c^2 x z-2 a^4 b^4 c^2 x z-4 a^2 b^6 c^2 x z+4 b^8 c^2 x z-a^4 b^2 c^4 x z+2 a^2 b^4 c^4 x z-6 b^6 c^4 x z+4 b^4 c^6 x z-b^2 c^8 x z-a^6 b^4 y z+2 a^4 b^6 y z-a^2 b^8 y z-2 a^4 b^4 c^2 y z+2 a^2 b^6 c^2 y z-a^6 c^4 y z-2 a^4 b^2 c^4 y z-2 a^2 b^4 c^4 y z+2 a^4 c^6 y z+2 a^2 b^2 c^6 y z-a^2 c^8 y z+a^6 b^2 c^2 z^2-a^2 b^6 c^2 z^2+2 a^2 b^4 c^4 z^2-a^2 b^2 c^6 z^2 = 0)
Γa de centro O y radio Ra= R a^2 |a^2 - b^2 - c^2| /(a^2 (b^2+c^2-(b^2-c^2)^2)).
Sea ea el eje radicalEl eje radical de dos circunferencias es la recta lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. (paralelo a BC) de las circunferencias Γa y (BCO). Los ejes radicales eb y ec, se definen cíclicamente.
Las rectas
ea,
eb,
ec forman un triángulo
DEF homotético a
ABC, con centro de homotecia g
N2,
conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del
cuadrado baricéntricoDados dos puntos P y U de coordenadas baricéntricas (p:q:r) y (u:v:w), respectivamente, el punto P×U de coordenadas (pu:qv:rw) es el producto baricéntrico de P y U. Cuando U=P, tememos el cuadrado baricéntrico P².
(Para varias construcciones, ver Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane. §1.2.2. http://bernard-gibert.fr//files/Resources/SITP.pdf#page=6).
El producto baricéntrico de P y U es la imagen de U en la homografía que aplica {A, B, C, G} en {A, B, C, P}, donde G es el baricentro. del centro de la circunferencia de los nueve puntos.
Podemos expresar las coordenadas de Ab como:
Ab = (a^2 (-1 + t) t : -b^2 (-1 + t) : c^2 t),
y entonces:
Ac = (a^2 (c^2 + a^2 (-1 + t) - b^2 (-1 + t)) (-1 +
t) : -(c^2 + a^2 (-1 + t)) (c^2 + a^2 (-1 + t) -
b^2 (-1 + t)) : -c^2 (c^2 + a^2 (-1 + t)) (-1 + t)).
Obteniéndose:
A' = (a^2 (a^2-b^2-c^2) (-b^2+c^2+a^2 (-1+t)) (-1+t) :
c^6-b^6 (-1+t)+2 b^4 c^2 (-1+t)-a^6 (-1+t)^2-b^2 c^4 t+a^4 c^2 (3-4 t+t^2)+a^2 (b^4 (-1+t) t-b^2 c^2 (-1+t) t+c^4 (-3+2 t)) :
c^2 (-a^4 (-1+t)^2+(b^2-c^2) (-c^2 (-1+t)+b^2 t)+a^2 (b^2 (-1+t-t^2)+c^2 (2-3 t+t^2)))).
El centro de homotecia de ABC y DEF es:
gN2 = ( a^2/((b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(1.95048335767224, 3.92784392504975, 0.0211648302550592).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,18315}, {6,288}, {54,186}, {95,37636}, {97,323}, {110,34985}, {184,933}, {275,1971}, {1157,15032}, {1614,20574}, {2052,21449}, {2167,16577}, {3484,11430}, {5012,15958}, {7799,34386}, {14355,16030}, {14838,39177}.
- Viernes, 26 de marzo del 2021
Cónica asociada a la cúbica de Darboux
El 26 de marzo de 1913 nació Natalicio de Paul Erdős, matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad que, con cientos de colaboradores, trabajó en problemas sobre combinatoria, teoría de grafos, teoría de números, análisis clásico, teoría de aproximación, teoría de conjuntos y probabilidad. Su vida fue documentada en la película "N es un número: El retrato de Paul Erdős", hecha mientras él todavía estaba vivo, y el libro "El hombre que solo amaba a los números" (1998).
Dado un triángulo ABC, sea P es un punto sobre la cúbica de Darboux y DEF el triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . de P, que es el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de un punto Q (sobre la cúbica de Lucas).
Los vértices de los triángulos pedal de P y ceviano de Q, respecto a DEF, están en una misma cónica 𝒞(P).
•
Cuando P = X1 (incentro), Q=X7 (punto de Gergonne), la cónica
𝒞(X1)
( 3 a^4 x^2-10 a^3 b x^2+12 a^2 b^2 x^2-6 a b^3 x^2+b^4 x^2-10 a^3 c x^2+20 a^2 b c x^2-10 a b^2 c x^2+12 a^2 c^2 x^2-10 a b c^2 x^2-2 b^2 c^2 x^2-6 a c^3 x^2+c^4 x^2+4 a^4 x y-16 a^3 b x y+24 a^2 b^2 x y-16 a b^3 x y+4 b^4 x y-2 a^3 c x y+2 a^2 b c x y+2 a b^2 c x y-2 b^3 c x y-6 a^2 c^2 x y+12 a b c^2 x y-6 b^2 c^2 x y+2 a c^3 x y+2 b c^3 x y+2 c^4 x y+a^4 y^2-6 a^3 b y^2+12 a^2 b^2 y^2-10 a b^3 y^2+3 b^4 y^2-10 a^2 b c y^2+20 a b^2 c y^2-10 b^3 c y^2-2 a^2 c^2 y^2-10 a b c^2 y^2+12 b^2 c^2 y^2-6 b c^3 y^2+c^4 y^2+4 a^4 x z-2 a^3 b x z-6 a^2 b^2 x z+2 a b^3 x z+2 b^4 x z-16 a^3 c x z+2 a^2 b c x z+12 a b^2 c x z+2 b^3 c x z+24 a^2 c^2 x z+2 a b c^2 x z-6 b^2 c^2 x z-16 a c^3 x z-2 b c^3 x z+4 c^4 x z+2 a^4 y z+2 a^3 b y z-6 a^2 b^2 y z-2 a b^3 y z+4 b^4 y z+2 a^3 c y z+12 a^2 b c y z+2 a b^2 c y z-16 b^3 c y z-6 a^2 c^2 y z+2 a b c^2 y z+24 b^2 c^2 y z-2 a c^3 y z-16 b c^3 y z+4 c^4 y z+a^4 z^2-2 a^2 b^2 z^2+b^4 z^2-6 a^3 c z^2-10 a^2 b c z^2-10 a b^2 c z^2-6 b^3 c z^2+12 a^2 c^2 z^2+20 a b c^2 z^2+12 b^2 c^2 z^2-10 a c^3 z^2-10 b c^3 z^2+3 c^4 z^2 = 0)
pasa por X5083 (inverso en la circunferencia inscrita del punto de concurrencia, X109, de las reflexiones de la recta X1X4 en los lados de ABC) y su centro es la reflexión de X4662 en X3826:
W1 = ( a (a^3 (b+c)+3 a (b-c)^2 (b+c)-(b-c)^2 (b^2-4 b c+c^2)-a^2 (3 b^2+4 b c+3 c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(1.16362607785634, 1.22659354531071, 2.25442614537404).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {7, 5572}, {942, 5542}, {2550, 34791}, {3243, 5836}, {5173, 8255}, {5805, 12675}, {15185, 15587}.
Es la reflexión de X4662 en X3826.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1418}, {7,354}, {9,3742}, {10,141}, {65,11038}, {390,17609}, {480,3306}, {516,5045}, {954,3338}, {960,11036}, {971,12005}, {999,3941}, {1001,3333}, {1071,38036}, {1155,2346}, {1445,4860}, {2550,6764}, {2951,30350}, {3059,3873}, {3174,3880}, {3243,5836}, {3296,5880}, {3475,8732}, {3555,38052}, {3740,20195}, {3748,7676}, {3848,6666}, {4321,11518}, {4343,4883}, {4888,14523}, {5049,30331}, {5173,8255}, {5223,5439}, {5228,30621}, {5249,6067}, {5728,9612}, {5762,13373}, {5805,12675}, {5851,18240}, {5853,12577}, {6001,20330}, {6173,10569}, {7274,18216}, {8388,10502}, {8389,10501}, {8581,30340}, {10177,11034}, {10178,21454}, {10456,11021}, {11018,38454}, {11570,38055}, {12512,20790}, {14151,17636}, {15733,33558}, {16112,17626}, {16133,16141}, {24473,38024}, {24474,38030}, {24475,38041}, {24476,38046}.
•
Cuando P = X3 (circuncentro), Q=X2 (baricentro), la cónica
𝒞(X3)
( (a^2-3 b^2-3 c^2) x^2+(-2 a^2-2 b^2+10 c^2) x y+(-3 a^2+b^2-3 c^2) y^2+(-2 a^2+10 b^2-2 c^2) x z+(10 a^2-2 b^2-2 c^2) y z+(-3 a^2-3 b^2+c^2) z^2 = 0)
es la circunferencia circunscrita al triángulo medial del triángulo medial de ABC. Su centro es X140, punto medio del circuncentro y el centro de la circunferencia de los nueve puntos. La circunferencia 𝒞(X3) ha sido descrita en Hyacinthos #26883, su perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. es X15464.
•
Cuando P = X4 (orotocentro), Q=X4, la cónica
𝒞(X4)
( 3 a^6 x^2-5 a^4 b^2 x^2+a^2 b^4 x^2+b^6 x^2-5 a^4 c^2 x^2+2 a^2 b^2 c^2 x^2+3 b^4 c^2 x^2+a^2 c^4 x^2+3 b^2 c^4 x^2+c^6 x^2+4 a^6 x y-4 a^4 b^2 x y-4 a^2 b^4 x y+4 b^6 x y-2 a^4 c^2 x y+4 a^2 b^2 c^2 x y-2 b^4 c^2 x y-4 a^2 c^4 x y-4 b^2 c^4 x y+2 c^6 x y+a^6 y^2+a^4 b^2 y^2-5 a^2 b^4 y^2+3 b^6 y^2+3 a^4 c^2 y^2+2 a^2 b^2 c^2 y^2-5 b^4 c^2 y^2+3 a^2 c^4 y^2+b^2 c^4 y^2+c^6 y^2+4 a^6 x z-2 a^4 b^2 x z-4 a^2 b^4 x z+2 b^6 x z-4 a^4 c^2 x z+4 a^2 b^2 c^2 x z-4 b^4 c^2 x z-4 a^2 c^4 x z-2 b^2 c^4 x z+4 c^6 x z+2 a^6 y z-4 a^4 b^2 y z-2 a^2 b^4 y z+4 b^6 y z-4 a^4 c^2 y z+4 a^2 b^2 c^2 y z-4 b^4 c^2 y z-2 a^2 c^4 y z-4 b^2 c^4 y z+4 c^6 y z+a^6 z^2+3 a^4 b^2 z^2+3 a^2 b^4 z^2+b^6 z^2+a^4 c^2 z^2+2 a^2 b^2 c^2 z^2+b^4 c^2 z^2-5 a^2 c^4 z^2-5 b^2 c^4 z^2+3 c^6 z^2 = 0)
pasa por X5186 (inverso en la circunferencia polarLa circunferencia polar de un triángulo ABC es la que respecto ella cada vértice es el polo de lado opuesto. Es real cuando ABC es obtusángulo. Su centro es el ortocentro y pasa por los puntos de intersección de las circunferencias circunscrita y la de los nueve puntos.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2=0.
del anticomplementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del punto de SteinerEl punto de Steiner de un triángulo es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner (con centro en el baricentro).
Coordenadas baricéntricas 1/(b^2-c^2):1/(c^2-a^2):1/(a^2-b^2)
Es el X99 de ETC. Su conjugado isogonal es X512 y su conjugados isotómico es X523.) y su centro es:
W4 = ( (a^4-(b^2-c^2)^2) (b^2 c^2 (b^2-c^2)^2+2 a^6 (b^2+c^2)-3 a^4 (b^2+c^2)^2+a^2 (b^6-5 b^4 c^2-5 b^2 c^4+c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(6.47220107285024, 8.49069141822153, -5.22467622586910).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {25,34452}, {232,428}, {3867,14715}.
- Miércoles, 24 de marzo del 2021
Punto medio del circuncentro y el punto de Bevan
Joseph Liouville nació el 24 de marzo de 1809,
matemático francés, demostró que las longitudes de las tangentes trazadas desde un punto a una cónica, son proporcionales a las raíces cúbicas de los radios de curvatura de la cónica en los correspondientes puntos de tangencia. Estudió las superficies de revolución de curvatura constante.
Prosiguió las investigaciones de Gauss y Jacobí acerca de los triángulos geodésicos, las coordenadas geodésicas polares y la representación conforme.
Dado un triángulo ABC, sean MaMbMc el triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). y A'B'C' el primer triángulo circumperpendicularEn un triángulo ABC, la mediatriz del lado BC interseca a la circunferencia circunscrita en dos puntos A' y A'' (A' en el mismo lado de BC que A). Se definen B', B'', C', C'', cíclicamente. El triángulo A'B'C' es el primer triángulo circumperpendicular y A''B''C'' es el segundo triángulo circumperpendicular.
A'(-a^2:b(b-c):c(c-b)), A''(-a^2:b(b+c):c(b+c))..
La circunferencia que pasa por A, A', Mc vuelve a corta al lado AC en A2 y la circunferencia que pasa por A, A', Mb vuelve a corta al lado AB en A3. Los puntos B3 y B1, C1 y C2 se definen cíclicamente.
Las perpendiculares a AC por A2 y C2 y las perpendiculares a AB por B3 y A3 formna un parelelogramo 𝒫a. Los parelelogramos 𝒫b y 𝒫c, se definen cíclicamente.
Los centros de los parelelogramos 𝒫
a, 𝒫
b, 𝒫
c coinciden en X
3579, punto medio del circuncentro y el
punto de BevanEl punto de Bevan es el circuncentro del triángulo excentral. Es el punto X40 de ETC.
Lleva el nombre en honor de Benjamin Bevan que propuso el problema de probar que el circuncentro O era el punto medio del incentro I y el circuncentro del triángulo excentral.
Primera coordenada baricéntrica: a(a^3+a^2(b+c)-a (b+c)^2-(b-c)^2(b+c))
.
a^2 y z+b^2 z x+c^2 x y-c(x+y+z) ( c y+ bz)/2 = 0.
Su centro es:
Oac = (2 a^4 + (b - c)^2 c (b + c) - a^2 (2 b^2 + b c + 3 c^2):
b (2 b^3 - b^2 c - c^3 + a^2 (-2 b + c)):
c^2 (-a^2 - 3 b^2 + 2 b c + c^2)),
y el segundo punto de intersección con AC es A2 =(-c : 0 : -2 b + c).
La ecuación de la circunferencia (A, A', Mb) es:
a^2 y z+b^2 z x+c^2 x y-b(x+y+z) ( c y+ bz)/2 = 0.
Su centro es:
Oab = ( -2 a^4 - b (b - c)^2 (b + c) +
a^2 (3 b^2 + b c + 2 c^2) : -b^2 (-a^2 + b^2 + 2 b c - 3 c^2) :
c (b^3 - a^2 (b - 2 c) + b c^2 - 2 c^3)}),
y el segundo punto de intersección con AB es A3 =(-b : b - 2 c : 0).
La recta OabOac corta a la perpendicular por A2 a AC en:
Ab = (a^4 - 2 a^2 c^2 - (b - c)^3 (b + c) :
b (2 b^3 - 3 b^2 c + 2 b c^2 - c^3 + a^2 (-2 b + c)) :
b c (-a^2 + b^2 - 4 b c + 3 c^2)}),
y a la perpendicular por A3 a AB en:
Ac = (a^4 - 2 a^2 b^2 - (-b + c)^3 (b + c) : b c (-a^2 + 3 b^2 - 4 b c +
c^2) : c (-b^3 + a^2 (b - 2 c) + 2 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3)).
Los puntos Bc y Ba, Ca y Cb, se definen cíclicamente.
Los seis puntos
Ab,
Ac,
Bc,
Ba,
Ca,
Cb están sobre una misma
cónica de centro el circuncentro.
- Martes, 23 de marzo del 2021
Transformación afín y la cúbica nodal de Tucker
45 aniversario del nacimiento de mi hija Marta
Tucker nodal cubic T(G) =
K015
Locus property
2. Let P be the perspector of an inscribed conic (C) with center Q. The circum-conic (C') passing through P and Q is a parabola if and only if P lies on T(G).
Damos otro enfoque de esta propiedad de K015.
Dados un triángulo ABC, con baricentro G=X2, y un punto P, sean DEF el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de P y σ la transformación afín que aplica ABC en DEF. σ(P) es el anticomplemento de P, respecto a DEF, y σ-1(P) es el complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. de P, respecto a ABC.
Una recta variable ℓ, que pasa por P, y su imagen ℓ'=σ(ℓ) se cortan en un punto L. El lugar geométrico que describe σ-1(L), cuando ℓ gira alrededor de P es
una cónica 𝒞P,
(
Si P=(u:v:w), ecuación baricéntrica:
(u^2 w - v^2 w) x y + (-u^2 v + v w^2) x z + (u v^2 - u w^2) y z = 0)
circunscrita a ABC, que pasa por P,
σ-1(P), Po (punto fijo propio de σ).
El centro de 𝒞P, si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, es:
(u (v - w)^2 : v (u - w)^2 : w(u - v)^2),
que está en la recta del infinitoEcuación baricéntrica: x+y+z=0. si y solo si u^2v+uv^2+u^2w-6uvw+v^2w+uw^2+vw^2=0.
La cónica 𝒞P es parábola si y solo si P está sobre K015.
En este caso, Po es el centro de cónica inscritaDado un triángulo ABC, una cónica inscrita es la que es tangente a sus lados.
Su ecuación baricéntrica es x^2/p^2 + y^2/q^2 + z^2/r^2 - (2*y*z)/(q*r) - (2*z*x)/(r*p) - (2*x*y)/(p*q) = 0,
siendo P(p:q:r) el punto de Brianchon o perspector.
Su centro es el complemento del conjugado isotómico de su perspector. de perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. P (Propiedad 2 de K015, en el catálogo de Bernard Gibert). Esta cónica está circunscrita a DEF y su perspector, respecto a este triángulo, es P.
Expresado de otra forma:
K015 es el lugar del punto P tal que la cónica circunscrita que pasa por P y su complemento es parábola.
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en DEF, tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] = 0,
ℳ[1,2] = u (u + v) (v + w) ,
ℳ[1,3] = u (u + w) (v + w).
Su punto fijo, correspondiente al valor propio,
λ = (u + v) (u + w) (v + w),
es
Po = (u (v + w) : v (u + w) : (u + v) w).
Po es el complemento del conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). de P y también el 'crosspoint'El polo de la recta XY, respecto a la cónica circunscrita a un triángulo ABC y que pasa por X e Y, se denomina 'crosspoint' de X e Y, o bien 'crossmul' de X e Y.
Ver otra definición en Weisstein, Eric W. 'Crosspoint.' From MathWorld--A Wolfram Web Resource. de G y P.
P'=σ(P) = (u (v + w) (v (u + v) + w (u + w)) : ... : ...).
Este punto es la reflexión de Q en P, donde Q está definido en:
Hyacinthos #28848 (Abdilkadir Altintaş)
Let ABC be a triangle, P = (x:y:z) a point and DEF the cevian triangle of P.
Denote:
D', E', F' = the reflections of D,E,F in P, resp.
MaMbMc = the medial triangle of D'E'F'
DEF is perspective with MaMbMc at
Q = {x (y+z) (2 x^2-(y-z)^2+x (y+z)),y (x+z) (-x^2+2 y^2+y z-z^2+x (y+2 z)),-(x+y) z (x^2+y^2-y z-2 z^2-x (2 y+z))}
Pares {P=Xi, P'=σ(P)=Xj}, para los índices {i, j}: {1, 2292}, {2, 2}, {4, 185}, {6, 23642}, {7, 14100}, {8, 3057}, {20, 5895}, {69, 6467}, {75, 3728}, {190, 24129}.
Si P=X3 es el circuncentro, σ(X3) es la reflexión de X31388 en X3:
σ(X3) = ( a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^2 b^2-b^4+a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) (a^6 b^2-3 a^4 b^4+3 a^2 b^6-b^8+a^6 c^2-3 a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2-3 a^4 c^4-3 a^2 b^2 c^4-2 b^4 c^4+3 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-41224] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-66.2015389592357, 33.2392913887276, 11.1834038093587).
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {14978, 5}, {31388, 3}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,1075 }, {3,54 }, {4,3164 }, {5,324 }, {52,418 }, {140,2972 }, {155,6641 }, {216,217 }, {233,31354 }, {264,13599 }, {378,23709 }, {381,35719 }, {417,9730 }, {426,36752 }, {631,12012 }, {648,40448 }, {852,5462 }, {1033,7395 }, {1181,10608 }, {1209,35442 }, {1235,7399 }, {1994,2055 }, {3090,10184 }, {3091,14635 }, {3567,6638 }, {3574,10600 }, {5489,6368 }, {5640,38281 }, {5647,17814 }, {5907,41212 }, {6146,20975 }, {6750,34836 }, {7066,22350 }, {7400,12251 }, {10024,34333 }, {11587,14118 }, {12271,20794 }, {13434,15781 }, {13754,26897 }, {14531,26907 }, {14918,15780 }, {15024,38283 }, {17834,26898 }, {31802,41169 }, {40647,40948}.
Si P=X5 es el centro de la circunferencia de los nueve puntos, σ(X5) es la reflexión de X31389 en X5:
σ(X5) = ( (a^2 b^2-b^4+a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) (2 a^4-3 a^2 b^2+b^4-3 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) (a^8-4 a^6 b^2+6 a^4 b^4-4 a^2 b^6+b^8-4 a^6 c^2+3 a^4 b^2 c^2+4 a^2 b^4 c^2-3 b^6 c^2+6 a^4 c^4+4 a^2 b^2 c^4+4 b^4 c^4-4 a^2 c^6-3 b^2 c^6+c^8) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(57.0171130987073, -32.8481460917056, 0.0660980383002817).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,195 }, {3,17035 }, {5,23607 }, {95,22268 }, {140,22269 }, {233,14978 }, {648,14938 }, {1656,3462 }, {3628,35442 }, {19170,26879}.
El eje de perspectividad de la proyectividad σℓ:ℓ↦ℓ' inducida por σ, pasa por cP=σ-1(P), cuando ℓ gira alrededor de P.
- Domingo 14 de marzo del 2021
Perpendiculares a cevianas en sus pies
El 14 de marzo de 1882 nació Waclaw Sierpinski, matemático polaco. Trabajó en teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. Tres conocidos fractales llevan su nombre: el triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski. También los números de Sierpinski en teoría de números han sido nombrados así en su honor.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de P. Las perpendiculares por D, E, F a AP, BP, CP, respectivamente, forman un triángulo A'B'C' ortológicoDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. a ABC (por construcción).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC es:
V = (a^4 (u+v) (u+w) (-4 v w+u (v+w))-2 a^2 u^2 (v+w) (b^2 (u+v)+c^2 (u+w))+(b^2-c^2) u (v+w) (-c^2 (u+3 v) (u+w)+b^2 (u+v) (u+3 w)): ... : ...).
Pares de centros del triángulo {P=Xi, V=Xj}, para los índices {i, j}: {2, 381}, {4, 4}, {5, 31868}, {7, 4312}, {8, 5881}, {20, 5925}, {69, 5921}, {110, 9934}, {189, 5923}, {253, 5922}, {329, 5924}.
•
En el caso en que P=X5 (centro de circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
), V = X31868, centro estudiado por Kadir Altintas y Ercole Suppa, en Hyacinthos 28939.
[Kadir Altintas]:
Let ABC be a triangle with orthocenter H, P a point and DEF the cevian triangle of P.
Denote:
Na, Nb, Nc = the NPC centers of AFE, FBD, DEC, resp.
La = the line through Na parallel to AH.
Define Lb, Lc cyclically
Prove that the lines La, Lb, Lc concur at a point Q
[Ercole Suppa]:
Let Q = Q(P) the concurrency point of La, Lb, Lc.
Q(X(5)) = X(5)X(27684) ∩ X(2883)X(3845)
= 4 a^16-22 a^14 b^2+45 a^12 b^4-31 a^10 b^6-30 a^8 b^8+76 a^6 b^10-63 a^4 b^12+25 a^2 b^14-4 b^16-22 a^14 c^2+58 a^12 b^2 c^2-27 a^10 b^4 c^2-21 a^8 b^6 c^2-56 a^6 b^8 c^2+156 a^4 b^10 c^2-119 a^2 b^12 c^2+31 b^14 c^2+45 a^12 c^4-27 a^10 b^2 c^4-18 a^8 b^4 c^4-20 a^6 b^6 c^4-81 a^4 b^8 c^4+207 a^2 b^10 c^4-106 b^12 c^4-31 a^10 c^6-21 a^8 b^2 c^6-20 a^6 b^4 c^6-24 a^4 b^6 c^6-113 a^2 b^8 c^6+209 b^10 c^6-30 a^8 c^8-56 a^6 b^2 c^8-81 a^4 b^4 c^8-113 a^2 b^6 c^8-260 b^8 c^8+76 a^6 c^10+156 a^4 b^2 c^10+207 a^2 b^4 c^10+209 b^6 c^10-63 a^4 c^12-119 a^2 b^2 c^12-106 b^4 c^12+25 a^2 c^14+31 b^2 c^14-4 c^16 : : (barys)
•
En el caso en que P esté sobre la cúbica de Lucas (K007 del catálogo de Bernard Gibert) y si V' (sobre la cúbica de Darboux, K004) es la reflexión de V en P, entonces P es la Darboux imagenLet X be a point in the plane of triangle ABC, and let A' be the reflection of X in A and A'' be the reflection of X in line BC. Define B', C', B'', and C'' cyclically. The triangles A'B'C' and A''B''C'' are perspective if X lies on the Darboux cubic. The perspector is called the Darboux image of X. de V'. Como en las ternas {P=Xi, V'=Xj, V=Xk}, para {i, j, k}: {2, 3, 381}, {4, 4, 4}, {7, 1, 4312}, {8, 40, 5881}, {20, 1498, 5925}, {69, 20, 5921}, {189, 80, 5923}, {253, 64, 5922}, {329, 1490, 5924}.
• Cuando P es el baricentro, el punto fijo finito de la transfomación afín σ, que aplica ABC en A'B'C' es el centro de la hipérbola de KiepertLa hipérbola de Kiepert de un triángulo es la hipérbola equilátera (pasa por el ortocentro) circunscrita al triángulo y que pasa por su baricentro. Es la conjugada isogonal del eje de Brocard.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2-c^2)yz+(c^2-a^2)zx+(a^2-b^2)xy=0.
Su centro, sobre la circunferencia de Euler, es el centro X115 de ETC.
Su perspector (punto de Brianchon), X(523)=conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, es el punto del infinito del eje órtico
Sus puntos en el infinito son X3413 y X3414, conjugados isogonales de los puntos en los que el eje de Brocard corta a la circunferencia circunscrita, X1379 y X1380.; los puntos fijos, en la recta del infinto, son los de las asíntotas de esta hipérbola.
La imagen, mediante σ, de la hipérbola de Kiepert es la hipérbola de Kiepert del triángulo A'B'C', que pasa por los centros Xi, para i∈{381, 3413, 3414, 7697, 11632, 40727}. Ambas son homotecias en la homotecua de centro X115 y razón:
k = (a^2+b^2+c^2)/(2√3S).
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] = 3 a^4 + 3 a^2 b^2 - 2 b^4 + 3 a^2 c^2 + 4 b^2 c^2 - 2 c^4,
ℳ[1,2] = -(b - c) (b + c) (a^2 + 3 b^2 - c^2),
ℳ[1,3] = (b - c) (b + c) (a^2 - b^2 + 3 c^2).
Su punto fijo, X115, corresponde al valor propio,
λ = 3 (-a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c).
Otra propiedad: La recta Xσ(X), cuando X recorre la hipérbola de Kiepert de ABC, es tangente en X'=σ(X) a la hipérbola de Kiepert de A'B'C'.
- Jueves, 3 de marzo del 2021
Aplicación afín y triángulos circuncevianos
El 4 de marzo de 1918, en la base militar de Fort Riley, Kansas, EE.UU., se registra el primer caso de Gripe Española. En total, el 2,5% de la población mundial perecerá y un 20% padecerá este virus.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el triángulo circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en DEF, tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
ℳ[1,1] = -a^2 v (b^2 u^2+a^2 u v+b^2 u v-c^2 u v+a^2 v^2) w (c^2 u^2+a^2 u w-b^2 u w+c^2 u w+a^2 w^2),
ℳ[1,2] = u (b^2 u^2+a^2 u v+b^2 u v-c^2 u v+a^2 v^2) (c^2 u+a^2 w) (c^2 v^2-a^2 v w+b^2 v w+c^2 v w+b^2 w^2),
ℳ[1,3] = u (b^2 u+a^2 v) (c^2 u^2+a^2 u w-b^2 u w+c^2 u w+a^2 w^2) (c^2 v^2-a^2 v w+b^2 v w+c^2 v w+b^2 w^2).
Su punto fijo, correspondiente al valor propio
λ = (b^2 u^2 + a^2 u v + b^2 u v - c^2 u v + a^2 v^2)
(c^2 u^2+ a^2 u w- b^2 u w + c^2 u w + a^2 w^2) (c^2 v^2 - a^2 v w +
b^2 v w + c^2 v w + b^2 w^2),
ℓ
es
Po = (u (b^2 u + a^2 v) (c^2 u + a^2 w) (c^2 v (v + w) +
b^2 w (v + w)-a^2 v w ) : ... : ...).
Si ℓ es una recta que pasa por P, sea ℓ'=σ(ℓ). La aplicación afín σ induce una proyectividad σℓ:ℓ→ℓ'; sea pℓ su eje de perspectividad.
Cuando ℓ gira alrededor de
P, la recta
pℓ pasa por el
cuarto puntoEl cuarto punto de intersección de dos cónicas circunscritas a un triángulo es el punto común, aparte de los vértices del triángulo. Es el tripolo de la recta que pasa por sus perspectores. Q, de intersección de la circunferencia circunscrita con la
cónica
( u (b^2 u-c^2 u+a^2 v-a^2 w) (c^2 v^2-a^2 v w+b^2 v w+c^2 v w+b^2 w^2) y z-v (b^2 u+a^2 v-c^2 v-b^2 w) (c^2 u^2+a^2 u w-b^2 u w+c^2 u w+a^2 w^2)z x +(b^2 u^2+a^2 u v+b^2 u v-c^2 u v+a^2 v^2) w (c^2 u-c^2 v+a^2 w-b^2 w)x y = 0)
circunscrita que pasa por
P y
Po.
Q = (1/(b^6 u (u+v) w^2+c^2 (-a^2+c^2) v^2 (u+w) (c^2 u+a^2 w)+b^4 w (c^2 u (-u^2+u v+v (v-2 w))+a^2 (-u^2+v^2) w)+b^2 v (-a^4 (u+v) w^2+c^4 u (-u^2+u w+w (-2 v+w))+a^2 c^2 w (-2 u^2+v^2+w^2+u (v+w)))) : ... : ...).
Pares {P=Xi, Q=Xj} de centros que figuran actualmente en ETC Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, para los índices {i, j}: {1, 104}, {2, 6325}, {4, 74}, {6, 6323}, {15, 2378}, {16, 2379}, {30, 477}, {36, 953}, {54, 32749}, {186, 477}, {187, 9831}, {371, 32437}, {372, 32434}, {511, 2698}, {512, 2698}, {513, 953}, {514, 2724}, {515, 2734}, {516, 2724}, {517, 953}, {518, 28914}, {522, 2734}, {523, 477}, {524, 6093}, {526, 16169}, {1154, 15907}, {1157, 6345}, {1499, 6093}, {1510, 15907}, {2574, 74}, {2575, 74}, {3307, 104}, {3308, 104}, {3309, 28914}, {3413, 98}, {3414, 98}, {5663, 16169}.
NOTA. Si en vez de tomar el triángulo circunceviano de P, se toma su triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w)., los ejes de perspectividad Pℓ también concurren, en el complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. de P. Lo mismo ocurre si se toma el triángulo pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . de P; en este caso el punto de concurrencia es el conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de P.
- Miércoles, 3 de marzo del 2021
Cónica inscrita en el triángulo excentral y centro el punto medio de X(20) y X(80)
El 3 de marzo de 1919 nación Alekséi Vasílievich Pogorélov, matemático soviético y ucraniano. Es conocido por sus contribuciones a la geometría convexa y diferencial. Fue también autor de numerosas monografías de investigación, así como libros de texto. Pogorelov demostró en 1949 que ninguna superficie convexa cerrada se puede deformar como un todo conservando su convexidad.
Dado un triángulo ABC, sean A' el punto donde la bisectriz exterior en A vuelve a cortar a su circunferencia circunscrita y un P un punto sobre recta ℒ, que pasa por el incentro (I=X1) y el circuncentro (O=X3). La recta A'P corta a BC en A", la recta B'P corta a CA en B" y la recta C'P corta a AB en C".
Las rectas AA", BB", CC" concurren en un punto P' sobre la recta ℒ', que pasa por el incentro y el punto de GergonneEn todo triángulo las rectas que unen sus vértices con los puntos de contacto de la circunferencia inscrita y los lados opuestos a dichos vértices son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina punto de Gergonne. Es el punto X7 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es 1/(b+c-a). (Ge=X7).
La correspondencia σ:P∈ℒ ↦ P'∈ℒ' es una proyectividad, por lo que la envolvente de la recta PP' es una cónica 𝒞, tangente a ℒ y a ℒ' (en el incentro y en X1445, respectivamente).
X1445 es el conjugado armónicoUn punto D se dice que es el conjugado armónico del punto C respecto de los puntos A y B, todos colineales, si su razón doble es igual a -1: (A, B, C, D) = (BD/BC)/(AD/AC) = -1 del punto de Gergonne respecto al punto intermedioEl punto intermedio (también conocido por su nombre original en alemán, mittenpunkt) fue identificado en 1836 por Christian Heinrich von Nagel como el simediano del triángulo excentral del triángulo dado. Es también el centro de perpectividad de los triángulos medial excentral de un triángulo dado.
Es el punto X9 de ETC, de coordenadas baricéntricas
(a(b + c - a) : b(c + a - b) : c(a + b - c) ). y al conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de éste, X57.
Si IP:PO=t y GP':P'Ge=t', entonces
σ(t)=t'=- (a+b+c)(a^2+(b-c)^2-2a(b+c))/(3(a^3-a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)-a(b^2+c^2-2b c(1+t)))).
Como las rectas ℒ y ℒ' se cortan en X57 y
IX57:X57O = 2 (a + b - c) (a^2 - 2 a b + b^2 - c^2) /(-a^3 +
a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) + a (b + c)^2),
se tiene que:
Gσ(X57):σ(X57)Ge=-((a^3-a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c-2 a b c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3)/(3 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c))).
De aquí se deduce que σ(X57)=X1145, punto de tangencia de ℒ' y 𝒞.
El punto sobre ℒ tal que
σ(t)= IX57:X57O= -(((a-b-c) (a+b+c) (a^2+(b-c)^2-2 a (b+c)))/(3 (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)^2)),
se obtiene para t=0; es decir, se trata del incentro, que es, por tanto, el punto de tangencia de ℒ y 𝒞.
La ecuación baricéntrica de la cónica 𝒞 es:
𝔖abc xyz
b^2 c^2 (b-c)^2(a-b-c)^2 (2 a^2-a (b+c)-(b-c)^2)^2x^2
-2 a^2b c (a-b)(a-c) (a+b-c) (a-b+c) (a^4-a^3 (b+c)+a^2 (b^2-b c+c^2)-3 a (b-c)^2 (b+c)+(b-c)^2 (2 b^2+3 b c+2 c^2))y z = 0.
Está inscrita en el triángulo excentralEl triángulo excentral del triángulo ABC es el triángulo IaIbIc que tiene por vértices sus excentros.
Baricéntricas: Ia(-a:b:c). y pasa por los centros del triángulo Xi, par i∈{1, 411, 920, 1156, 1445, 2951, 7676, 10090}.
Su centro W es el punto medio del punto de De LongchampsEl punto de De Longchamps es la reflexión del ortocentro en el circuncentro de un triángulo. Es el ortocentro del triángulo anticomplementario (antimedial).
Se nombra así después que De Longchamps demostrara que es el centro radical de las circunferencias con los vértices de ABC como centros y longitudes de los lados opuestos como radios.
Es el punto X20 de ETC. Su primera coordenada baricéntrica es SBSC-a^2SA. y X80, simétrico del incentro en el punto de FeuerbachEl punto de Feuerbach de un triángulo es el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la circunferencia de los nueve puntos. Es el punto X11 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son:
((b-c)^2(b+c-a) : (c-a)^2(a-b+ c) : (a-b)^2(a+b-c)).
.
W = ( a (-2 a^5+4 a b (b-c)^2 c+3 a^4 (b+c)+2 a^3 (b^2-5 b c+c^2)+a^2 (-4 b^3+5 b^2 c+5 b c^2-4 c^3)+(b-c)^2 (b^3+c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(11.4186534661763, 11.6881293515845, -9.72126513050165).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {3, 12515}, {20, 80}, {40, 104}, {100, 1768}, {355, 38753}, {484, 6909}, {1155, 17613}, {1156, 2951}, {1320, 7991}, {3065, 33557}, {3218, 5537}, {5493, 21630}, {5531, 13243}, {5541, 38669}, {6361, 14217}, {6840, 15228}, {9778, 11219}, {10265, 31730}, {12119, 12247}, {12248, 12751}, {12532, 15071}, {12702, 12737}, {14110, 17654}, {18481, 19914}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {4, 6702}, {119, 6684}, {214, 3}, {946, 6713}, {1519, 6681}, {1537, 1125}, {3874, 15528}, {4301, 1387}, {6246, 12619}, {11715, 38602}, {12611, 140}, {12665, 3678}, {12699, 16174}, {19907, 13624}, {21630, 20418}, {21635, 3035}, {22799, 9956}, {24466, 12512}, {25485, 1385}, {31803, 18254}, {33814, 31663}, {35016, 17009}.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,38693}, {2,34789}, {3,214}, {4,6702}, {5,38133}, {10,2829}, {11,516}, {20,80}, {30,6246}, {35,11570}, {36,12758}, {40,104}, {43,8148}, {46,10058}, {55,5083}, {56,15558}, {57,18240}, {63,100}, {109,24025}, {119,3647}, {140,12611}, {149,9778}, {210,17661}, {355,38213}, {376,12119}, {381,38104}, {484,6909}, {515,15863}, {517,4973}, {519,13528}, {528,13226}, {546,38182}, {548,952}, {659,2827}, {758,2077}, {946,6713}, {950,12832}, {962,16173}, {991,17601}, {993,3359}, {1125,1537}, {1145,3916}, {1156,2951}, {1158,5720}, {1317,37568}, {1320,7991}, {1376,5779}, {1385,25485}, {1387,4301}, {1519,6681}, {1699,9352}, {1702,19081}, {1703,19082}, {1764,38484}, {1770,8068}, {2771,9943}, {2950,10270}, {2975,39776}, {3035,3452}, {3036,34862}, {3065,33557}, {3070,8988}, {3071,13976}, {3218,5537}, {3522,6224}, {3534,12747}, {3576,10698}, {3651,12691}, {3678,12665}, {3683,31235}, {3754,6906}, {3814,32554}, {3817,6667}, {3874,11248}, {3881,26877}, {3884,37561}, {3887,19921}, {3892,10679}, {3898,10269}, {4299,10057}, {4302,10073}, {4868,37469}, {5010,11571}, {5119,10074}, {5184,9441}, {5204,12740}, {5217,12739}, {5248,12775}, {5250,16209}, {5267,31788}, {5445,37437}, {5480,38197}, {5493,20418}, {5541,38669}, {5587,10728}, {5657,12248}, {5660,9809}, {5731,7972}, {5805,38207}, {5840,10265}, {5851,6594}, {5884,26285}, {6154,7964}, {6174,13257}, {6244,13205}, {6284,20118}, {6326,12520}, {6361,14217}, {6459,19077}, {6460,19078}, {6840,15228}, {7004,23703}, {7987,13253}, {9616,19113}, {9841,38665}, {9951,13279}, {9955,34126}, {9956,22799}, {9964,37105}, {10165,11729}, {10167,17660}, {10434,35649}, {10724,37718}, {10742,26446}, {11012,18861}, {11218,26842}, {11849,12005}, {12512,24466}, {12532,15071}, {12699,16174}, {12702,12737}, {12729,16190}, {12743,15338}, {12764,24914}, {12767,15015}, {13464,38032}, {13624,19907}, {14110,17654}, {14151,31508}, {15326,18976}, {15599,37998}, {15626,23832}, {16128,38752}, {17009,34339}, {18232,34293}, {18481,19914}, {18483,23513}, {19925,34122}, {22938,28146}, {30329,37541}, {31445,38757}, {31806,38722}, {33709,38038}, {33898,37828}, {35445,37736}.
- Domingo, 28 de febrero del 2021
Otra propiedad de la cuártica Euler-Morley
El 28 de febrero de 1803 nació Christian Heinrich von Nagel, matemático alemán. Publicó varios artículos en los que estudió varios puntos en un triángulo que se obtinen como la intersección de tres rectas concurrentes. Es más famoso por uno de estos puntos de intersección que hoy se llama el punto Nagel.
Este se construye de una manera sencilla. En un triángulo ABC, sea s su semiperímetro, esto es la mitad de la suma de las longitudes de los tres lados. Comenzando en A, se recorre una distancia s alrededor del triángulo hasta un punto A' sobre BC. De manera similar, comenzando en B, se recorre una distancia s alrededor del triángulo hasta un punto B' en AC y comenzando en C se recorre una distancia s alrededor del triángulo hasta un punto C' en AB. Entonces las líneas AA', BB', CC' son concurrentes en Na, el punto Nagel. Hay otra forma de construir A', B', C' ya que son los puntos donde los tres excirculos tocan a los segmentos BC, CA y AB, respectivamente.
Enlaces relacionados:
ESTE: Otra propiedad de la cuártica Euler-Morley
Una propiedad de la cuártica Euler-Morley
Dado un triángulo ABC y un punto P, sea Q su conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales., QaQbQc el triangulo circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). de Q y Γa la circunferencia tangente en A a AP y que pasa por Qa. Se donota por ta la tangente en Qa a Γa. Se definen, cíclicamente, las tangentes tb y tc.
Las rectas
ta,
tb,
tc son concurrentes si y solo si
P está en la ecta del infinto, sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cuártica
Q002, del catálogo de Bernard Gibert.
La ecuación baricéntrica de la circunferencia Γa, si P=(u:v:w), es:
b^2 c^2 v w x y + b^2 c^2 w^2 x y + c^4 v^2 y^2 + b^2 c^2 v w y^2 -
b^2 c^2 v^2 x z - b^2 c^2 v w x z - a^2 c^2 v^2 y z + c^4 v^2 y z +
a^2 b^2 w^2 y z - b^4 w^2 y z - b^2 c^2 v w z^2 - b^4 w^2 z^2 = 0.
La ecuación de la tangente en Qa a Γa es:
ta: b^2 c^2 (v+w) (-c^2 v^2+b^2 w^2) x
+c^2 v (-a^2 c^2 v^2+(c^2 v+b^2 w)^2) y
-b^2 w (c^4 v^2+2 b^2 c^2 v w+b^2 (-a^2+b^2) w^2) z = 0.
Las rectas ta, tb, tc son concurrentes, en un punto W, si y solo si las coordenadas del P satifacen a x+y+z=0, o a a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y=0, o a:
𝔖abc xyz
a^4 (b^2 + c^2-a^2) y z (c y - b z) (c y + b z) = 0,
esta última es la ecuación de la cuártica Euler-Morley (Q002).
Si P está sobre Q002, se tienen los pares {P=Xi, Wi=Xj}, para los índices {i, j}: {1, 1}, {3, 3}, {6,?}, {15,?}, {16,?}, {358,?}, {1135,?}, {1137,?}, {1155,?}, {2574, 1113}, {2575, 1114}, {10221,?}.
W6 = ( a^6 - a^2 (b^4 + 16 b^2 c^2 + c^4)+ 4 b^2 c^2 (b^2 + c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-11.2432285470671, 7.81672079938954, 3.41827095020723).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2418}, {3,5971}, {6,9146}, {22,26276}, {99,1995}, {111,8716}, {126,9745}, {183,3266}, {378,34336}, {381,14360}, {538,20481}, {858,1007}, {1003,31128}, {1649,30474}, {1799,7485}, {5913,34511}, {6032,10717}, {7622,10163}, {11580,22253}, {15482,30749}, {19583,37990}.
Si P está en la recta del infinto (x+y+z=0), su conjugado isogonal, Q, queda sobre la circunferencia circunscrita, Γ; por lo que Qa, Qb, Qb, se confunden en Q y las tres tangentes, ta, tb, tc, pasan por Q.
Si P está sobre Γ, a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y=0, el punto de concurrencia de ta, tb, tc, es el punto W, donde el eje de la parábola inscrita en ABC y foco P vuelve a cortar a Γ.
En este caso, la envolvente de la recta PW es el anticomplementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente.,
aH3
(ecuación),
(
𝔖abc xyz
4 b^2 (b-c)^2 c^2 (b+c)^2 x^4+2 b^2 c^2 (11 a^4+b^4-2 b^2 c^2+c^4+a^2 (24 b^2+24 c^2)) x^2 y z+a^2 (a^6+12 b^4 c^2+12 b^2 c^4+a^4 (-2 b^2-2 c^2)+a^2 (b^4+38 b^2 c^2+c^4)) y^2 z^2+4 a^2 y z (c^2 (a^4+a^2 (5 b^2-2 c^2)+c^2 (3 b^2+c^2)) y^2+b^2 (a^4+b^2 (b^2+3 c^2)+a^2 (-2 b^2+5 c^2)) z^2) = 0.
= 0)
de la deltoide de SteinerLa envolvente de las rectas de Simson-Wallace es una curva que tiene tres cúspides que se llama el deltoide de Steiner.
- Martes, 23 de febrero del 2021
Parábolas con directrices paralelas a los lados de un triángulo
En Madrid, a las 18:24 horas de 23 de Febrero de 1981, un numeroso grupo de guardias civiles a cuyo mando se encontraba el teniente coronel Antonio Tejero asaltó el Palacio de las Cortes durante la votación para la investidura del candidato a la Presidencia del Gobierno, Leopoldo Calvo-Sotelo, y anuncia a los guardias que lo custodian que "La II, III, IV y V Región Militar han dicho sí al teniente general Milans del Bosch como Presidente del Gobierno". Los diputados y el Gobierno de España al completo fueron secuestrados en su interior.
La ciudad de Valencia fue ocupada militarmente, en virtud del estado de excepción proclamado por el teniente general Jaime Milans del Bosch, capitán general de la III región militar. Dos mil hombres y cincuenta carros de combate fueron desplegados en las calles de la ciudad.
Dado un triángulo ABC con incentro I=X1, sean DEF y UVW los triángulos cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). y circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). de I, respectivamente.
Se toma un punto M sobre la recta BC; Mb es el punto sobre AC que queda en el mismo semiplano, delimitado por AB, que M y tal que BM = AMb; Mc es el punto sobre AB que queda en el mismo semiplano, delimitado por AC, que M y tal que CM = AMc.
El punto Mc puede ser construido hayando la reflexión de M en la bisectriz interior en B y, a continuación, la reflexión del punto obtenido en el punto medio de AB. Análogamente se conscruye el punto Mb.
La recta MbMc corta a las rectas AU y MU en A1 y A2, respectivamente.
Si (0:1:t) son las coordenadas baricéntricas de M,
A1 = (a c t - b (-a t + c (1 + t)^2) : -a b t : -a c t),
A2 = (a^2 (a - b - c) t (1 + t) :
a (-a^2 + c^2) t + b^3 t (1 + t) - b^2 (c + a t^2 - c t^2) -
b c (a (-1 + t) t + c (1 + t)) : t (-a^3 t + c (b + c) (1 + t) (c - b t) + a (b + c) (-c + b t))).
Los cuatro puntos D, M, A1, A2 están en una circunferencia (AoPS); su centro es:
Oa = (a^2 (c (1 + t) + t (-2 a + b + b t)) :
a^3 t + a (b^2 - c^2) t + a^2 b (1 + t) - b^2 (b - c) (1 + t)^2 :
a^3 t - a b^2 t + a c^2 t + a^2 c t (1 + t) + b c^2 (1 + t)^2 - c^3 (1 + t)^2).
El lugar geométrico de Oa, cuando M recorre la recta BC, es una
parábola,
( (a^2 b^4-b^6+a^4 b c+a^3 b^2 c-2 b^5 c+a^3 b c^2-2 a^2 b^2 c^2+b^4 c^2+4 b^3 c^3+a^2 c^4+b^2 c^4-2 b c^5-c^6) x^2+(a^4 b^2-a^2 b^4+2 a^4 b c+a^3 b^2 c-4 a^2 b^3 c-a^4 c^2-2 a^2 b^2 c^2-a^3 c^3+4 a^2 b c^3+3 a^2 c^4) x y+(-a^4 b c-2 a^4 c^2-a^3 b c^2-a^3 c^3) y^2+(-a^4 b^2-a^3 b^3+3 a^2 b^4+2 a^4 b c+4 a^2 b^3 c+a^4 c^2+a^3 b c^2-2 a^2 b^2 c^2-4 a^2 b c^3-a^2 c^4) x z+(2 a^4 b^2-a^3 b^3+6 a^4 b c-a^3 b^2 c+2 a^4 c^2-a^3 b c^2-a^3 c^3) y z+(-2 a^4 b^2-a^3 b^3-a^4 b c-a^3 b^2 c) z^2 = 0)
𝒫a, con directriz, paralela a BC,
da: (a^5 + a^4 (b + c) + 2 (b - c)^2 (b + c)^3 - a^3 (b^2 + 3 b c + c^2) -
a^2 (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3))x + a^2 (a^3 -
a^2 (b + c) + (b + c)^3 - a (b^2 + 3 b c + c^2))y + a^2 (a^3 -
a^2 (b + c) + (b + c)^3 - a (b^2 + 3 b c + c^2))z = 0.
Procediendo cíclicamente, se obtienen las ecuaciones de las directrices db y dc de las parábolas 𝒫b y 𝒫c, respectivamente.
Las rectas da, db y dc forman un triángulo A'B'C', homotético a ABC, cuyo centro de homotecia es:
Z = ( a^2(a+b)(a+c)(a^3-a^2(b+c)-a(b^2+3b c+c^2)+(b+c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(6.48121975901121, 3.65247178598485, -1.87930202793338).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,21}, {5,13329}, {72,5497}, {110,34890}, {238,36250}, {284,17796}, {501,4184}, {580,7489}, {1754,6884}, {2194,15792}, {11813,24161}, {17104,17524}, {17586,18395}, {33325,37572}.
- Sábado, 20 de febrero del 2021
El centro del triángulo X(8041) como punto fijo de una afinidad
El 20 de febrero de 1931 nació John Milnor, matemático estadounidense conocido por sus trabajos en la topología diferencial y sistemas dinámicos.
Ha sido galardonado con el premio Abel 2011, la medalla Fields en 1962 (por sus estudios relacionado con al estructura de ciertas esferas 7-dimensionales) y otros premios importantes en el ámbito de las Matemáticas. El nombre de Milnor aparece entre otros en: número de Milnor, fibración de Milnor, bola de Milnor, esferas exóticas deMilnor, invariante de Kervaire-Milnor y torsión de Milnor. Entre sus publicaciones figuran: Differential Topology (1958), Morse Theory (1963).
Dado un triángulo ABC de circunferencia circunscrita Γ y triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). del simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²). DEF.
A2 y A3 son, respectivamente, los puntos de intersección de la tangente a Γ en A, con las paralelas por B y C a la mediana en A.
Ab y Ac son, respectivamente, los puntos de intersección la mediana en A con las rectas DA2 y DA3.
A' es el conjugado armónicoUn punto D se dice que es el conjugado armónico del punto C respecto de los puntos A y B, todos colineales, si su razón doble es igual a -1: (A, B, C, D) = (BD/BC)/(AD/AC) = -1 de A respecto a Ab y Ac. Los puntos B' y C' se define cíclicamente.
El punto fijo finito de la aplicación afín σ, que transforma
ABC en
A'B'C' es
X(8041).
En coordenadas baricéntricas:
A2 = (2 c^2 : b^2 : -c^2) A3 = (2 b^2 : -b^2 : c^2)
Ab = (c^2 - b^2 : b^2 : b^2) Ac = (b^2 - c^2 : c^2 : c^2)
A' = ((b^2 - c^2)^2 : 2 b^2 c^2 : 2 b^2 c^2).
La matriz ℳ asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
M[1,1] = (a^2+b^2)^2 (b^2-c^2)^2 (a^2+c^2)^2,
M[1,2] = 2 a^2 (a^2+b^2)^2 c^2 (b^2+c^2)^2,
M[1,3] = 2 a^2 b^2 (a^2+c^2)^2 (b^2+c^2)^2.
Su punto fijo, correspondiente al valor propio λ = -(a^2+b^2)^2 (a^2+c^2)^2 (b^2+c^2)^2, es:
(a^2 (b^2+c^2)^2 : b^2 (c^2+a^2)^2 : c^2(a^2+b^2)^2).
Se tiene que σ(X7794)=X7765. No existen actualmente en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html otros pares de centros del triangulo que se correspondan mediante σ.
- Viernes, 19 de febrero del 2021
Un par bicéntrico sobre la tripolar de X(290)
El 19 de febrero de 1951 muere en París, el escritor y Premio Nobel de Literatura en 1947, André Gide, defensor de los derechos de los homosexuales. Un año después de su muerte, la Iglesia Católica incluirá sus libros en el Índice de libros prohibidos. Fue inspiración para escritores como Sartre o Camus.
Dado un triángulo ABC con baricentro G=X2, sea ℓab el eje (paralelo a BC) de la
parábola 𝒫ab,
( Ecuación baricéntrica: y (x - z) - z^2 = 0)
tangente a AC en A y también tangente a BG en B; se definen cíclicamente ℓbc y ℓca.
El triángulo AbBcCa formado por las rectas ℓab, ℓbc, ℓca es homotético (por construcción) a ABC, y el centro de homotecia es, en coordenadas baricéntricas:
P = (b^2 c^2 (b^2-c^2-3 a^2) : c^2 a^2 (c^2-a^2-3 b^2) : a^2 b^2 (a^2-b^2-3 c^2)).
Sea ℓac el eje (paralelo a BC) de la
parábola 𝒫ab,
( Ecuación baricéntrica: z (x - y) - y^2 = 0)
tangente a AB en A y también tangente a CG en C; se definen cíclicamente ℓba y ℓcb.
El triángulo AcBaCb formado por las rectas ℓac, ℓba, ℓcb es homotético (por construcción) a ABC, y el centro de homotecia es:
U = (b^2 c^2 (c^2-b^2-3 a^2) : c^2 a^2 (a^2-c^2-3 b^2) : a^2 b^2 (b^2-a^2-3 c^2)).
Los puntos
P y
U son un
par bicéntricoSea (f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) donde f es una función no nula satisfaciendo la condición
(1) f es homogénea en a,b,c; i.e., existe un número real no negativo h tal que
f(ta,tb,tc) = t^hf(a,b,c) para todo (a,b,c) en el dominio de f,
pero que |f(a,b,c)| ≠ |f(a,c,b)|. Entonces
(f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)) y (f(a,c,b) : f(b,a,c) : f(c,b,a))
son puntos bicéntricos, juntos forman un par bicéntrico.
Ejemplo: los puntos de Brocard (c/b : a/c : b/a) y (b/c : c/a : a/b). y están sobre la recta X
2X
647,
tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de X
290.
Centros del triángulo X(i) sobre ella, i∈{99, 190, 290, 648, 664, 666, 668, 670, 671, 886, 889, 892, 903, 1121, 1494, 2479, 2480, 2481, 2966, 3225, 3226, 3227, 3228, 4555, 4562, 4569, 4577, 4586, 4597, 5641, 6189, 6190, 6528, 6540, 6606, 6613, 6635, 6648, 9487, 11117, 11118, 14616, 14727, 14728, 14970, 15164, 15165, 16077, 18025, 18026, 18816, 18821, 18822, 18823, 18824, 18825, 18826, 18827, 18828, 18829, 18830, 18831, 18878, 23895, 23896, 32036, 32037, 32038, 32039, 32040, 32041, 32042, 33513, 33514, 33515, 33516, 34393, 35136, 35137, 35138, 35139, 35140, 35141, 35142, 35143, 35144, 35145, 35146, 35147, 35148, 35149, 35150, 35151, 35152, 35153, 35154, 35155, 35156, 35157, 35158, 35159, 35160, 35161, 35162, 35163, 35164, 35165, 35166, 35167, 35168, 35169, 35170, 35171, 35172, 35173, 35174, 35175, 35176, 35177, 35178, 35179, 35180, 35181, 38341, 39202, 39203, 39204, 39205, 39626, 40301, 41072, 41073, 41074, 41075, 41076, 42367, 42371, 43091, 43092, 43093, 43094, 43095, 43096, 43097, 43098, 43099, 43664, 45876, 46132, 46133, 46134, 46135, 46136, 46137, 46138, 46139, 46140, 46141, 46142, 46143, 46144, 46145, 47269} y la hipérbola de Jerabek Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341}.
La suma baricéntrica de P y U es X850 (conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). del foco de la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99.); la diferencia baricéntrica es X2; la "crossdifference The crossdifference of P and U is the isogonal conjugate of the trilinear pole of the line PU.
Barycentric coordinates (a^2(qw-rv) : b^2(ru-pw) : c^2(pv-qu)) if P(p:q:r) and U(u:v:w)." es X237 (conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de X290); el pripoloLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de la recta PU es X290; y el punto del infinito de la recta PU es X23878 (punto cuyas coordenadas baricéntricas son los coeficientes de la recta que pasa por los baricentros de ABC y su triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0).).
El centro de homotecia, que debe estar sobre la recta X2X647, de los triángulos AbBcCa y AcBaCb es:
W = ( (b^2-c^2)(3 a^4 - 3 a^2 (b^2 + c^2)- 2 b^2 c^2 ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-16.6361942772876, 14.0432196871557, 1.59667898031707).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,647}, {523,8651}, {550,30209}, {3005,32472}, {3629,8675}, {3631,9030}, {3804,9147}, {3906,32450}, {7950,14316}, {9404,19750}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(41300).
La parábola 𝒫ab es el lugar geométrico del punto M, donde una recta variable ℓ, que pasa por A, corta a la recta que pasa por B y por el punto de intersección de las rectas paralelas a BC y a ℓ por A y C, respectivamente.
- Lunes, 15 de febrero del 2021
Una propiedad de la cúbica K917
El 15 de febrero de 1847 fallece Germinal Pierre Dandelin (a los 52 años de edad), matemático francés.
El teorema de Dandelin en geometría, descubierto en 1822, demuestra que si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica son los puntos donde este plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.
Dados un triángulo ABC y un punto P en su plano, sea DEF el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de P.
Db y Dc son las reflexiones de D en B y C, respectivamente.
La circunferencia Γa=(ADbDc) vuelve a cortar a AB y AC en Ab y Ac, respectivamente.
Si A2 es el polo de la recta AbDb respecto a la circunferencia (BAbDb) y si A3 es el polo de la recta AcDc respecto a la circunferencia (CAcDc), sea ℓa=A2A3. Se definen cíclicamente las rectas ℓb y ℓc.
El triángulo A'B'C' formado por la rectas ℓa, ℓb, ℓc es no degenerado y perspectivo con ABC si y solo si P está sobre la cúbica K917, del catálogo de Bernard Gibert.
En coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w):
Ab=(-a^2 w (2 v + w) : c^2 (v + w)^2 + a^2 w (2 v + w) : 0),
Ac=(-a^2 v (v + 2 w) : 0 : b^2 (v + w)^2 + a^2 v (v + 2 w)).
A2 = (-a^2 w (v + w) : -(b^2 - c^2) (v + w)^2 +
a^2 (v^2 + 5 v w + 3 w^2) : -a^2 w (2 v + w)),
A3 = (-a^2 v (v + w) : -a^2 v (v + 2 w) : (b^2 - c^2) (v + w)^2 +
a^2 (3 v^2 + 5 v w + w^2)).
A' = ( a^8 (u+v)^2 (u+w)^2-3 c^8 (u^2+4 u v+v^2) (u+w)^2+b^2 c^6 (u+w) (3 u^3+u^2 (19 v-8 w)+8 u v (v-3 w)-4 v^2 w)-3 b^8 (u+v)^2 (u^2+4 u w+w^2)-4 a^6 (u+v) (u+w) (b^2 (u+v) w+c^2 v (u+w))+a^4 (-2 c^4 (3 u^2+5 u v-v^2) (u+w)^2+3 b^2 c^2 (u+v) (u+w) (u^2+4 v w)-2 b^4 (u+v)^2 (3 u^2+5 u w-w^2))+2 b^4 c^4 (6 u^4+7 v^2 w^2+16 u^3 (v+w)+19 u v w (v+w)+u^2 (3 v^2+61 v w+3 w^2))+b^6 c^2 (3 u^4-4 v^2 w^2+4 u v w (-6 v+w)+u^3 (-5 v+19 w)+u^2 (-8 v^2-5 v w+8 w^2))+2 a^2 (2 c^6 (2 u^2+6 u v+v^2) (u+w)^2-b^2 c^4 (u+w) (3 u^3+u^2 (11 v-6 w)+2 u v (2 v-5 w)+2 v^2 w)+2 b^6 (u+v)^2 (2 u^2+6 u w+w^2)-b^4 c^2 (3 u^4+2 v^2 w^2+2 u v w (-5 v+3 w)+u^3 (-3 v+11 w)+u^2 (-6 v^2+v w+4 w^2))) :
b^2 (a^6 (u+v)^2 w (u+w)+b^6 (u+v)^2 w (5 u+w)+c^6 (u+w) (3 v^2 w+u^2 (5 v+3 w)+u v (v+12 w))+b^2 c^4 (u^3 (4 v-13 w)-5 v^2 w^2-u^2 w (36 v+w)-u v w (13 v+12 w))-a^4 (u+v) (-b^2 (u+v) (3 u-w) w+c^2 (u+w) (u (v-w)+3 v w))-b^4 c^2 (-v^2 w^2+2 u v w (-2 v+w)+u^3 (v+11 w)+u^2 (v^2+7 v w+3 w^2))-a^2 (b^4 (u+v)^2 w (9 u+w)+c^4 (u+w) (12 u v w+v^2 w+u^2 (4 v+5 w))-2 b^2 c^2 (2 u v w^2+v^2 w^2+u^3 (v+5 w)+u^2 (v^2+5 v w+w^2)))) :
c^2 (a^6 v (u+v) (u+w)^2+c^6 v (5 u+v) (u+w)^2-b^2 c^4 (u+w) (u v (3 v-4 w)-v^2 w+u^2 (11 v+w))-b^4 c^2 (u^3 (13 v-4 w)+5 v^2 w^2+u v w (12 v+13 w)+u^2 v (v+36 w))-a^4 (u+w) (-c^2 (3 u-v) v (u+w)-b^2 (u+v) (u (v-w)-3 v w))+b^6 (3 v^2 w^2+4 u v w (3 v+w)+u^3 (3 v+5 w)+u^2 (3 v^2+17 v w+w^2))-a^2 (c^4 v (9 u+v) (u+w)^2-2 b^2 c^2 (u+w) (u v^2+v^2 w+u^2 (5 v+w))+b^4 (v^2 w^2+u v w (12 v+w)+u^3 (5 v+4 w)+u^2 v (5 v+16 w))))).
Las rectas ℓa, ℓb, ℓc son concurrentes si P está sobre una curva algebraica de grado 6, con puntos dobles en los vértices de ABC.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes si P, está sobre la cúbica K917.
K917 a nodal cubic
Let M be a variable point on the circumcircle and let S(M) be the Steiner line of M. S(M) and the line MX(3522) meet at N on K917.
- Viernes, 12 de febrero del 2021
Puntos de Brocard asociados al triángulo de contacto interior
El 12 de febrero de 1984, muere en París el escritor argentino Julio Cortázar, autor de obras como "Bestiario", "Historias de cronopios y de famas" y "Rayuela". Renovó el género narrativo, poniendo especial cuidado en el cuento breve.
Enlaces relacionados:
ESTE: Puntos de Brocard asociados al triángulo de contacto interior
Euclid #1435, (Elias M. Hagos )
Dados un triángulo ABC, sea A'B'C' el triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
.
Sean Ab y Ac los segundos puntos de BrocardLos puntos de Brocard del triángulo ABC son dos puntos Ω1 y Ω2 tales que para cada uno de ellos se verifica que los segmentos que lo unen con los vértices forman el mismo ángulo con los lados: ∠Ω1AB = ∠Ω1BC = ∠Ω1CA, ∠ABΩ2 = ∠BCΩ2 = ∠CAΩ2. Todos los ángulos anteriores tienen el mismo valor ω ( ángulo de Brocard ), y se verifica
ω≤π/6, cotω = cotA+cotB+cotC.
En coordenadas baricéntricas Ω1(1/b^2:1/c^2:1/a^2) y Ω2(1/c^2:1/a^2:1/b^2). de los triángulos AB'A' y AC'A', respectivamente, (están sobre la circunferencia inscrita a ABC).
Si Kab es el simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²). de AB'A', sus puntos de Brocard son los brocardianosDado un punto P(u:v:w), en coordenadas baricéntricas relativas al triángulo ABC, los brocardianos de P son los puntos P1(1/v:1/w:1/u) y P2(1/w:1/u:1/v).
§8.4 The Brocardians. (Consultado 30 dic. 2023).
Los puntos de Brocard son los brocardianos del simediano. de Kab.
En coordenadas baricéntricas:
Kab = (-(a+b-c) (3 a^2+a b-4 b^2+a c+8 b c-4 c^2) : -b (a+b-c) (-a+b+c) : (a-b-c) (a^2+2 a b-3 b^2+a c+5 b c-2 c^2)),
Ab = (-(a+b-c) (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c))^2 : (a+b-c)^3 (a^2-2 a b+b^2-c^2) : (a-b-c) ((b-c)^2-a (b+c))^2).
Kac = ((a-b+c) (3 a^2+a b-4 b^2+a c+8 b c-4 c^2) :-(a-b-c) (a^2+a b-2 b^2+2 a c+5 b c-3 c^2) : c (a-b+c) (-a+b+c)),
Ac = (-(a-b+c) (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c))^2 : (a-b-c) ((b-c)^2-a (b+c))^2 : (a-b+c)^3 (a^2-b^2-2 a c+c^2)).
La ecuación de la recta ℓa=AbAc es:
(-a^5+a^4 (b+c)+2 (b-c)^4 (b+c)+a^2 (b+c)^3-4 a (b-c)^2 (b^2+c^2)+a^3 (b^2-6 b c+c^2)) x-(a-b+c) (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c))^2 y-(a+b-c) (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c))^2 z = 0.
Procediendo cíclicamente, se obtienen las ecuaciones de las rectas ℓb=BcBa y ℓc=CaCb.
Sean A"= ℓb∩ℓc, B"= ℓc∩ℓa, C"= ℓa∩ℓb.
Las rectas AA", BB", CC" son concurrentes en
Z = ( (a^2+a b-2 b^2+a c+4 b c-2 c^2)^2 /((a-b-c)(a^4-2 a^2 (b^2-4 b c+c^2)-3 a (b-c)^2 (b+c)+3 (b-c)^4+a^3 (b+c))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(0.658096887691987, 0.734894512322484, 2.82815433290328).
No existen rectas que pasa por puntos listados en ETC que contenga al punto Z.
Los triángulos A'B'C' y A"B"C" también son perspectivos y el centro de perspectividad es
W = ( (a^4+a^3 b-2 a^2 b^2-3 a b^3+3 b^4+a^3 c+8 a^2 b c+3 a b^2 c-12 b^3 c-2 a^2 c^2+3 a b c^2+18 b^2 c^2-3 a c^3-12 b c^3+3 c^4) (6 a^7-24 a^6 b+31 a^5 b^2-5 a^4 b^3-20 a^3 b^4+14 a^2 b^5-a b^6-b^7-24 a^6 c+66 a^5 b c-52 a^4 b^2 c+2 a^3 b^3 c+6 a^2 b^4 c+4 a b^5 c-2 b^6 c+31 a^5 c^2-52 a^4 b c^2+36 a^3 b^2 c^2-20 a^2 b^3 c^2-7 a b^4 c^2+12 b^5 c^2-5 a^4 c^3+2 a^3 b c^3-20 a^2 b^2 c^3+8 a b^3 c^3-9 b^4 c^3-20 a^3 c^4+6 a^2 b c^4-7 a b^2 c^4-9 b^3 c^4+14 a^2 c^5+4 a b c^5+12 b^2 c^5-a c^6-2 b c^6-c^7) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(1.03827473220076, 0.994977505348996, 2.47263017872703).
No existen rectas que pasa por puntos listados en ETC que contenga al punto Z.
Los triángulos ABC, A'B'C', A"B"C" forman un tripleta de triángulo perspectivos y los centros de perspectividad de pares de estos triángulos, X7, W, Z, están alineados; por los que sus ejes de perspectividad coinciden, en la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de X7.
El simediano de AB'C' es:
Ka = (2 a^2 + a (b + c)- 3 (b - c)^2 : b (-a + b + c) : c (-a + b + c)).
Los puntos de Brocard de AB'C' son:
A1 = (-(a+2 b-c)^2 (a-b+c):-b^2 (-a+b+c):a^3-a (b-c)^2-a^2 (b+c)+(b-c)^2 (b+c)),
A2 = (-(a+b-c) (a-b+2 c)^2:a^3-a (b-c)^2-a^2 (b+c)+(b-c)^2 (b+c):(a-b-c) c^2}).
La recta da que pasa por ellos tiene ecuación:
(a^3+b^3-2 b^2 c-2 b c^2+c^3-a^2 (b+c)-a (b^2-3 b c+c^2)) x+
(a^3+b^3-a^2 (b-3 c)-6 b^2 c+8 b c^2-3 c^3-a (b^2-3 b c+c^2)) y+
(a^3-3 b^3+8 b^2 c-6 b c^2+c^3-a^2 (-3 b+c)-a (b^2-3 b c+c^2)) z = 0.
Cíclicamente se obtienen las ecuaciones de las rectas db y dc.
El triángulo formado por las rectas da, db, dc es perspectivo a A'B'C', con centro de perspectividad
T = ( a(a+b-c) (a-b+c) (4 a-5 b-5 c) (2 a^2-2 b^2+5 b c-2 c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.582917746259555, 0.578721360173314, 2.97097227274460).
Es el punto de intersección de las rectas X1X6942∩X4031X14564.
- Miércoles, 10 de febrero del 2021
El centro X(9969) y el triángulo ceviano del 1º punto Saragossa del conjugado isogonal del punto de Exeter
El 10 de febrero de 1886, nació Pia Nalli, matemática italiana, catedrática de la Universidad de Catania. Conocida por su trabajo en sumabilidad de series de Fourier. A partir de 1928 se dedica casi exclusivamente al cálculo diferencial absoluto, manteniendo una estrecha correspondencia con Tullio Levi-Civita, quien fue el creador de ese cálculo con Gregorio Ricci.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean DEF el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). de P y TaTbTc el triángulo tangencialEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P.. Las circunferencias circunscritas a los triángulos BDTa y CDTa vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en Ab y Ac, respectivamente. Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb, se definen cíclicamente.
El triángulo A'B'C' formado por la rectas AbAc, BcBa, CaCb es perspectivo con ABC
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P el centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es:
Q = (a^2 (a^2 - b^2 -
c^2) (v + w) /(a^4 v w (u + v + w) -
a^2 (b^2 w (v (v + w) + u (3 v + w)) +
c^2 v (w (v + w) + u (v + 3 w))) +
u (b^4 w (2 v + w) + c^4 v (v + 2 w) +
2 b^2 c^2 (v^2 + 3 v w + w^2))):...:...).
El único par {P, Q} que consta de centros del triángulo, listados actualmente en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, es {X1176, X9969}.
X1176 es el 1º punto SaragossaLet A'B'C' be the cevian triangle of a point P, and let A'', B'', C'' be the respective intersections of lines PA, PB, PC with the circumcircle of triangle ABC. Let
U = B'C''∩B''C' V = C'A''∩C''A' W = A'B''∩A''B'.
Lines AU, BV, CW concur in the 1st Saragossa point of P;
lines A'U, B'V, C'W concur in the 2nd Saragossa point of P;
lines A''U, B''V, C''W concur in the 3rd Saragossa point of P.
(Darij Grinberg, Hyacinthos #6531, February 14, 2003). del conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del punto de Exeter El punto de Exeter de un triángulo ABC es el centro de perspectividad entre el triángulo tangencial y el triángulo circunmedial (circunceviano del baricentro). Es el punto X22 de ETC y está en la recta de Euler..
X9969 es el del triángulo media-alturaEl triangulo media-altura de un triángulo es el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las alturas del triángulo dado.
Las coordenadas baricéntricas del A-vértice del triángulo media-altura del triángulo de referencia son
(2 a^2 : a^2 + b^2 - c^2 : a^2 - b^2 + c^2). respecto al 1º triángulo de EhrmannIn Hyacinthos #6098, December 2, 2002, Jean-Pierre Ehrmann defines a circle as follows. Let P be a point in the plane of ABC and not on the lines BC, CA, AB. Let AB the the point of intersection of the circle {{P,B,C}} and the line AB. Define AC symmetrically, and define BC, BA, CA, CB cyclically. These six points of intersection are on a circle if and only if P = X(6). The centers A1, B1, C1 of the circles {{X(6),B,C}}, {{X(6),C,A}}, {{X(6),A,B,}}, respectively, are the vertices of the 1st Ehrmann triangle.
Following the construction of the 1st Ehrmann triangle, let A2 = BCBA∩CACB, and define B2 and C2 cyclically. The triangle A2B2C2 is the 2nd Ehrmann triangle..
Cuando P es el baricentro, el centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es:
Q2 = ( a^2(a^2-b^2-c^2)/(3a^4-6a^2b^2+3b^4-6a^2c^2+10b^2c^2+3c^4) : ... : ...) =
( a^2SA/(4SA^2+S^2) Notación de Conway
Sθ=S cot θ, S es el doble del área del triángulo ABC.
En particular:
SA = (b²+c²-a²)/2,
Sω = (a²+b²+c²)/2 (donde, ω es el ángulo de Brocard). : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-1.20834258082577, -2.86384022796122, 6.18101967703096).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,31371}, {25,33630}, {184,38292}, {1661,2353}, {3425,20850}, {9777,40352}, {17810,33581}, {22455,35501}.
Los triángulos DEF y A'B'C' también son perspectivos, con centro de perspectividad:
W = ((a^4 v w (u+v+w)-a^2 (b^2 w (v (v+w)+u (3 v+w))+c^2 v (w (v+w)+u (v+3 w)))+u (b^4 w (2 v+w)+c^4 v (v+2 w)+2 b^2 c^2 (v^2+3 v w+w^2)))
(a^8 v (2 u+v) w (2 u+w)+a^6 (c^2 v (4 u^3+v w^2+u w (4 v+w)+2 u^2 (v+3 w))+b^2 w (4 u^3+v^2 w+2 u^2 (3 v+w)+u v (v+4 w)))-a^4 (b^4 w (4 u^3+2 v^2 w+u^2 (12 v+w)+u v (5 v+4 w))+c^4 v (4 u^3+2 v w^2+u w (4 v+5 w)+u^2 (v+12 w))-b^2 c^2 (3 u^4+5 v^2 w^2+9 u^3 (v+w)+12 u v w (v+w)+u^2 (3 v^2+32 v w+3 w^2)))-a^2 (b^2-c^2) u (-c^4 v (u^2+u v+2 (v-w) w)+b^4 w (u^2+u w+2 v (-v+w))+b^2 c^2 (v-w) (2 u^2+5 v w+2 u (v+w)))+(b^2-c^2)^3 u^2 (b^2 (u+2 v) w-c^2 v (u+2 w))) : ... : ...).
Los centros de perspectividad P, Q, W están alineados, por tanto (Theorem 19, Florentin Smarandache and Ion Pătraşcu), los ejes de perspectividad de la tripleta de triángulos ABC, DEF, A'B'C' coinciden: la tripolarLa tripolar (o polar trilineal) del punto P respecto al triángulo ABC es el eje de perspectividad p del triángulo ABC y el triángulo ceviano de P. Es la recta donde se cortan los lados de ABC con los del triángulo ceviano de P. Se dice que P es el tripolo de p.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de p es x/u+y/v+z/w=0. de P.
- Viernes, 5 de febrero del 2021
Nuevos centros del triángulo sobre el eje de Brocard
El teorema de Johnson establece que si tres círculos iguales se cortan mutuamente en un solo punto, entonces el círculo que pasa por sus otros tres puntos de intersección por pares de estos círculos es congruente con los tres círculos originales.
Se dice que el matemático rumano Gheorghe Titeica (4 de Octubre de 1873 - 5 de Febrero de 1939) lo descubrió accidentalmente mientras dibujaba círculos con una moneda rumana de 5 lei en 1908 (Problema piesei de cinci lei), y lo propuso el mismo año en un concurso organizado por Rumanian Mathematical Gazette.
Enlaces relacionados:
ESTE: Nuevos centros del triángulo sobre el eje de Brocard
Euclid #1400
Dado un triángulo ABC, sean DEF el triángulo circunsimedial (circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). del simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²). K=X6),
Los lados de ABC y DEF se cortan en los seis puntos:
Ab = BC∩DF, Ac = BC∩DE,
Bc = CA∩ED, Ba = CA∩EF,
Ca = AB∩FE, Cb = AB∩FD.
Sean Mbc el punto medio de BAc y Mcb el punto medio de CAb. Se define cíclicamente los puntos Mca, Mac, Mab y Mba.
Se consideran las circunferencias Γba=(BDMcb) y Γca=(CDMbc), que se vuelven a cortar en D'. Procediendo cíclicamente se definen las circunferencias Γcb, Γab, Γac, Γbc y los puntos E', F'.
Las circunferencias Γab y Γac se vuelven a cortar en A'. Análogamente se definen los puntos B' y C'.
Los seis puntos
A', B', C', D', E', F' están sobre la
circunferencia
( Ecuación baricéntrica:
a^2 b^2 c^2 x^2+b^4 c^2 x^2+b^2 c^4 x^2+a^4 c^2 x y-a^2 b^2 c^2 x y+b^4 c^2 x y-2 a^2 c^4 x y-2 b^2 c^4 x y+a^4 c^2 y^2+a^2 b^2 c^2 y^2+a^2 c^4 y^2+a^4 b^2 x z-2 a^2 b^4 x z-a^2 b^2 c^2 x z-2 b^4 c^2 x z+b^2 c^4 x z-2 a^4 b^2 y z+a^2 b^4 y z-2 a^4 c^2 y z-a^2 b^2 c^2 y z+a^2 c^4 y z+a^4 b^2 z^2+a^2 b^4 z^2+a^2 b^2 c^2 z^2 = 0)
de diámetro el segmento de extremos los centros de homotecia de las circunferencias circunscrita y de
BrocardThe Brocard circle is the circle having the line segment connecting the circumcenter O and symmedian point K of a triangle ABC as its diameter (known as the Brocard diameter). This circle also passes through the first and second Brocard points Ω and Ω', respectively. It also passes through Kimberling centers X(i) for i=3, 6, 1083, 1316, 5091, 5108, 6141, 6142, 6232, 6322, 6795, 8429, 9129, 11650, 13414, 13415, 13511, 13515, 13516, 14685, 18332, 18338, 22740, 22742, 24279, 35901.
Las rectas A'D', B'E', C'F' concurren en:
W = ( a^2 (2 a^4-2 a^2 (b^2+c^2)-b^4-5 b^2 c^2-c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.90899278978645, 2.94744112903368, 0.257516258828851).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,353}, {3,6}, {115,10168}, {141,7870}, {352,7496}, {524,7771}, {549,15993}, {597,3972}, {599,7622}, {671,7606}, {694,9486}, {1153,33683}, {1383,8627}, {1503,3055}, {1627,31609}, {2056,7484}, {2549,6034}, {3124,7708}, {3288,39495}, {3589,7790}, {3618,33007}, {3619,7945}, {3620,33012}, {4048,40332}, {5191,33876}, {7485,14153}, {7492,13410}, {7603,11645}, {7756,25555}, {7804,11159}, {7930,34573}, {7943,32992}, {8585,20998}, {10007,39141}, {10329,22111}, {11003,39689}, {11179,12042}, {11261,32135}, {13192,15018}, {14567,15302}, {14688,15921}, {18424,38317}, {18584,36990}, {18898,39389}, {30516,39602}, {31958,33813}, {33273,39099}.
Los centros, Oba, Oca, Ocb, Oab, Oac, Obc, de las seis circunferencias Γba, Γca, Γcb, Γab, Γac, Γbc, están sobre una misma
cónica 𝒞o.
( Ecuación baricéntrica:
a^8 b^4 c^4 x^2-4 a^6 b^6 c^4 x^2-a^4 b^8 c^4 x^2-4 a^6 b^4 c^6 x^2-9 a^4 b^6 c^6 x^2-b^10 c^6 x^2-a^4 b^4 c^8 x^2+2 b^8 c^8 x^2-b^6 c^10 x^2+2 a^10 b^2 c^4 x y-12 a^8 b^4 c^4 x y+16 a^6 b^6 c^4 x y-12 a^4 b^8 c^4 x y+2 a^2 b^10 c^4 x y-13 a^8 b^2 c^6 x y+15 a^6 b^4 c^6 x y+15 a^4 b^6 c^6 x y-13 a^2 b^8 c^6 x y+19 a^6 b^2 c^8 x y+24 a^4 b^4 c^8 x y+19 a^2 b^6 c^8 x y-9 a^4 b^2 c^10 x y-9 a^2 b^4 c^10 x y+a^2 b^2 c^12 x y-a^8 b^4 c^4 y^2-4 a^6 b^6 c^4 y^2+a^4 b^8 c^4 y^2-a^10 c^6 y^2-9 a^6 b^4 c^6 y^2-4 a^4 b^6 c^6 y^2+2 a^8 c^8 y^2-a^4 b^4 c^8 y^2-a^6 c^10 y^2+2 a^10 b^4 c^2 x z-13 a^8 b^6 c^2 x z+19 a^6 b^8 c^2 x z-9 a^4 b^10 c^2 x z+a^2 b^12 c^2 x z-12 a^8 b^4 c^4 x z+15 a^6 b^6 c^4 x z+24 a^4 b^8 c^4 x z-9 a^2 b^10 c^4 x z+16 a^6 b^4 c^6 x z+15 a^4 b^6 c^6 x z+19 a^2 b^8 c^6 x z-12 a^4 b^4 c^8 x z-13 a^2 b^6 c^8 x z+2 a^2 b^4 c^10 x z+a^12 b^2 c^2 y z-9 a^10 b^4 c^2 y z+19 a^8 b^6 c^2 y z-13 a^6 b^8 c^2 y z+2 a^4 b^10 c^2 y z-9 a^10 b^2 c^4 y z+24 a^8 b^4 c^4 y z+15 a^6 b^6 c^4 y z-12 a^4 b^8 c^4 y z+19 a^8 b^2 c^6 y z+15 a^6 b^4 c^6 y z+16 a^4 b^6 c^6 y z-13 a^6 b^2 c^8 y z-12 a^4 b^4 c^8 y z+2 a^4 b^2 c^10 y z-a^10 b^6 z^2+2 a^8 b^8 z^2-a^6 b^10 z^2-a^8 b^4 c^4 z^2-9 a^6 b^6 c^4 z^2-a^4 b^8 c^4 z^2-4 a^6 b^4 c^6 z^2-4 a^4 b^6 c^6 z^2+a^4 b^4 c^8 z^2 = 0)
Su centro es el punto:
Z = ( a^2 (a^6 - 10 a^4 (b^2 + c^2) + a^2 (11 b^4 + 12 b^2 c^2 + 11 c^4) -
2 (b^6 - 4 b^4 c^2 - 4 b^2 c^4 + c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(5.53925573925679, 4.94898645135094, -2.34213647945402).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,11155}, {3,6}, {30,15482}, {99,3524}, {542,15483}, {549,3734}, {3818,8359}, {5094,40261}, {5569,12100}, {7616,15717}, {7751,32516}, {10356,33021}, {11147,15719}, {11653,15051}, {12122,21734}, {14931,21166}, {15692,37667}, {22112,35298}, {33008,38749}, {34417,37184}.
Las rectas ObaOca, OcbOab y OacObc forman un triángulo A"B"C", tal que las rectas AA", BB", CC" son paralelas al eje de BrocardThe Brocard axis is the line KO passing through the symmedian point K and circumcenter O of a triangle, where the segment OK is the Brocard diameter (Kimberling 1998, p. 150). The Brocard axis is perpendicular to the Lemoine axis and is the isogonal conjugate of the Kiepert hyperbola.
http://mathworld.wolfram.com/BrocardAxis.html.
Barycentric equation: (-b^4 c^2 + b^2 c^4) x + a^2 c^2 (a^2 - c^2) y + (-a^4 b^2 + a^2 b^4) z = 0.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1379 y X1380 (conjugados isogonales de X3413 y X3414)..
Sean Ta, Tb, Tc los polosDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de las rectas ObaOca, OcbOab y OacObc, respectivamente.
Las rectas ATa, BTb, CTc concurren en T = 3 O + 7 K.
T = ( a^2(5 a^4 - 7 a^2 (b^2 + c^2) + 2 (b^4 - 5 b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.72974481480487, 2.81103919783837, 0.434678199647871).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6}, {69,10168}, {140,3630}, {141,10124}, {184,10546}, {193,15721}, {206,10250}, {524,15713}, {542,3618}, {549,32455}, {597,3818}, {1176,14491}, {1352,7486}, {1353,3631}, {1495,5422}, {1503,3858}, {3589,11178}, {3620,5965}, {3839,11179}, {3855,14561}, {3861,18583}, {5012,7712}, {5054,6144}, {5068,6776}, {5476,6329}, {5622,25556}, {5892,22829}, {5943,26864}, {6688,17809}, {6771,11489}, {6774,11488}, {8550,18358}, {10545,11003}, {11422,22112}, {12007,34507}, {12811,37674}, {13366,15066}, {14912,24206}, {14997,37527}, {15004,15107}, {15019,35268}, {15032,15058}, {15080,34545}, {15683,31670}, {15697,19924}, {17578,29012}, {19710,21850}, {20080,40107}.
- Lunes, 1 de febrero del 2021
Una parábola envolvente de rectas
El 1 de febrero de 1894 nace John Ford, actor, director y productor cinematográfico estadounidense.
En los años treinta cuando las películas de Hollywood mostraban a los indios como salvajes, era un éxito. Desde entonces, los nativos pasaron a aparecer en el cine como seres brutales.
John Ford ya había rodado una película en estos términos, "El caballo de hierro", en 1924, en la que los blancos construían el ferrocarril, eran la civilización, ante la amenaza de los indios, los salvajes.
El paradigma de este modelo de película fue "La diligencia", en 1939, de John Ford. «Una de las que más daño ha hecho a la imagen de los nativos a lo largo de la historia». La diligencia atraviesa el lado salvaje de Norteamérica acosada por los nativos. Los indios son unos salvajes que impiden el progreso. Están atrasados y son sanguinarios.
Son asesinos, depredadores que atacan en manada la diligencia hasta que llega el 7º de caballería, los arrasan en una nube de polvo, y se acabó.
Dado un triángulo ABC, sean DEF el triángulo órtico (pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . del ortocentro H=X4), At, Bt y Ct los puntos tales que:
HA1/AtD = HB1/BtE = HC1/CtF = t.
Sea PaPbPc el triángulo reflexiónDado un punto P y un triangulo ABC, el triángulo reflexión de P es el obtenido reflejando P en los lados ABC.
El circuncentro del triángulo reflexión de P es el conjugado isogonal de P. de un punto P.
Ref: Dao's blog
Las rectas PaAt, PbBt, PcCt son concurrentes.
El lugar geométrico del punto de concurrencia, cuando t varía, es la
cónica 𝒞(P),
( P=(u:v:w), en coordenadas baricéntricas.
(a^4 c^2 v^2-2 a^2 b^2 c^2 v^2+b^4 c^2 v^2-c^6 v^2+a^4 b^2 v w-2 a^2 b^4 v w+b^6 v w-a^4 c^2 v w+b^4 c^2 v w+2 a^2 c^4 v w-b^2 c^4 v w-c^6 v w-a^4 b^2 w^2+b^6 w^2+2 a^2 b^2 c^2 w^2-b^2 c^4 w^2) x^2+(-a^6 u w+2 a^4 b^2 u w-a^2 b^4 u w+2 a^4 c^2 u w-2 a^2 b^2 c^2 u w-a^2 c^4 u w+a^4 b^2 v w-2 a^2 b^4 v w+b^6 v w+2 a^2 b^2 c^2 v w-2 b^4 c^2 v w+b^2 c^4 v w-a^6 w^2-a^4 b^2 w^2+a^2 b^4 w^2+b^6 w^2+2 a^4 c^2 w^2-2 b^4 c^2 w^2-a^2 c^4 w^2+b^2 c^4 w^2) x y+(-a^4 c^2 u^2+2 a^2 b^2 c^2 u^2-b^4 c^2 u^2+c^6 u^2-a^6 u w+2 a^4 b^2 u w-a^2 b^4 u w-a^4 c^2 u w+b^4 c^2 u w+a^2 c^4 u w-2 b^2 c^4 u w+c^6 u w-a^6 w^2+a^2 b^4 w^2-2 a^2 b^2 c^2 w^2+a^2 c^4 w^2) y^2+(a^6 u v-2 a^4 b^2 u v+a^2 b^4 u v-2 a^4 c^2 u v+2 a^2 b^2 c^2 u v+a^2 c^4 u v+a^6 v^2-2 a^4 b^2 v^2+a^2 b^4 v^2+a^4 c^2 v^2-b^4 c^2 v^2-a^2 c^4 v^2+2 b^2 c^4 v^2-c^6 v^2-a^4 c^2 v w-2 a^2 b^2 c^2 v w-b^4 c^2 v w+2 a^2 c^4 v w+2 b^2 c^4 v w-c^6 v w) x z+(-a^4 b^2 u^2+2 a^2 b^4 u^2-b^6 u^2+a^4 c^2 u^2-b^4 c^2 u^2-2 a^2 c^4 u^2+b^2 c^4 u^2+c^6 u^2-a^4 b^2 u v+2 a^2 b^4 u v-b^6 u v-2 a^2 b^2 c^2 u v+2 b^4 c^2 u v-b^2 c^4 u v+a^4 c^2 u w+2 a^2 b^2 c^2 u w+b^4 c^2 u w-2 a^2 c^4 u w-2 b^2 c^4 u w+c^6 u w) y z+(a^4 b^2 u^2-b^6 u^2-2 a^2 b^2 c^2 u^2+b^2 c^4 u^2+a^6 u v+a^4 b^2 u v-a^2 b^4 u v-b^6 u v-2 a^4 c^2 u v+2 b^4 c^2 u v+a^2 c^4 u v-b^2 c^4 u v+a^6 v^2-a^2 b^4 v^2+2 a^2 b^2 c^2 v^2-a^2 c^4 v^2) z^2 = 0)
circunscrita a PaPbPc que pasa por P y H.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro Q de 𝒞(P) es:
Q = ((a^4 (b^2 (u+v)+c^2 (u+w)))-2 a^2 (b^4 (u+v)+c^4 (u+w)-b^2 c^2 (v+w))+(b^2-c^2)^2 (b^2 (u+v)+c^2 (u+w))
(a^6 (2 v w+u (v+w))+a^4 u (c^2 (u+v-2 w)+b^2 (u-2 v+w))-a^2 (-4 b^2 c^2 v w+c^4 (2 u^2+u v-u w+2 v w)+b^4 (2 u^2-u v+u w+2 v w))+(b^2-c^2)^2 u (c^2 (u-v)+b^2 (u-w))) : ... : ...).
Pares {P = Xi, Q = Xj}, para {i, j}: {2,12824}, {3,113}, {5,11557}, {20,12825}, {21,12826}, {22,12827}, {23,3580}, {25,12828}, {110,40049}, {186,403}, {3331,232}, {14157,186}, {15098,126}, {15412,15451}, {17511,10689}, {18338,132}, {18341,3259}, {18342,31841}, {18347,5139}, {18348,31842}, {21445,39663}, {31847,119}, {31848,114}, {31849,11}, {31850,115}, {31851,116}, {31852,118}, {31853,121}, {31854,16188}, {31864,31843}, {31865,120}, {31866,117}, {34150,12079}.
Cuando P recorre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
la cónica 𝒞(P) pasa por el foco la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99. y el lugar geométrico de su centro, Q, es la recta X113X403.
Hyacinthos 27233
(Antreas Hatzipolakis and César Lozada)
[APH]:
Let ABC be a triangle, A'B'C' the pedal triangle of H and L = the Euler line.
Denote:
La, Lb, Lc = the reflections of L in BC, CA, AB, resp.
Ha, Hb, Hc = the orthogonal projections of H on La, Lb, Lc, resp.
Oa, Ob, Oc = the orthogonal projections of O on La, Lb, Lc, resp.
The circumcircles of A'HaOa, B'HbOb, C'HcOc are coaxial.
[César Lozada]:
The radical axis is the line {113, 403}
La envolvente de la recta PQ, cuando P recorre la recta de Euler, es la
parábola 𝒫,
(
𝔖abc xyz
b^2 c^2 (-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2))^2 (4 a^20 +
b^2 c^2 (b^2 - c^2)^8 - 16 a^18 (b^2 + c^2) +
8 a^16 (2 b^4 + 9 b^2 c^2 + 2 c^4) +
8 a^14 (2 b^6 - 13 b^4 c^2 - 13 b^2 c^4 + 2 c^6) +
2 a^4 (b^2 - c^2)^4 (2 b^8 + 5 b^6 c^2 + 12 b^4 c^4 + 5 b^2 c^6 +
2 c^8) -
4 a^12 (10 b^8 - 5 b^6 c^2 - 51 b^4 c^4 - 5 b^2 c^6 + 10 c^8) +
a^8 (b^2 + c^2)^2 (16 b^8 - 111 b^6 c^2 + 194 b^4 c^4 -
111 b^2 c^6 + 16 c^8) -
4 a^6 (b^2 - c^2)^2 (4 b^10 + b^8 c^2 - 11 b^6 c^4 - 11 b^4 c^6 +
b^2 c^8 + 4 c^10) +
4 a^10 (4 b^10 + 21 b^8 c^2 - 35 b^6 c^4 - 35 b^4 c^6 +
21 b^2 c^8 + 4 c^10))x^2 -2 a^2 b^2 c^2 (a^2 - b^2)(a^2 -
c^2) (a^22 - 2 a^20 (b^2 + c^2) - 2 (b^2 - c^2)^8 (b^2 + c^2)^3 -
2 a^18 (2 b^4 - 7 b^2 c^2 + 2 c^4) +
2 a^16 (4 b^6 - 5 b^4 c^2 - 5 b^2 c^4 + 4 c^6) -
2 a^12 (b^2 - c^2)^2 (21 b^6 - 4 b^4 c^2 - 4 b^2 c^4 + 21 c^6) +
a^2 (b^2 - c^2)^6 (6 b^8 - 6 b^6 c^2 - 25 b^4 c^4 - 6 b^2 c^6 +
6 c^8) +
a^10 (b^2 - c^2)^2 (14 b^8 + 80 b^6 c^2 - 103 b^4 c^4 +
80 b^2 c^6 + 14 c^8) +
a^14 (16 b^8 - 60 b^6 c^2 + 89 b^4 c^4 - 60 b^2 c^6 + 16 c^8) -
a^6 (b^2 - c^2)^4 (33 b^8 + 32 b^6 c^2 - 69 b^4 c^4 + 32 b^2 c^6 +
33 c^8) +
2 a^4 (b^2 - c^2)^4 (2 b^10 + 23 b^8 c^2 - 17 b^6 c^4 -
17 b^4 c^6 + 23 b^2 c^8 + 2 c^10) +
2 a^8 (b^2 - c^2)^2 (17 b^10 - 58 b^8 c^2 + 33 b^6 c^4 +
33 b^4 c^6 - 58 b^2 c^8 + 17 c^10))y z = 0.
)
con foco X107 (reflexión, en la recta de Euler, del punto de intersección de las circunferencias que pasan por cada vértice de ABC y los dos puntos de intersección de sus lados adyacentes con la recta de Euler) y directriz la recta paralela a la dirección del conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. de su foco por el foco la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99..
La parábola 𝒫 pasa por X186 (punto de tangencia con la recta de Euler), X6000 (su punto en el infinito, que es el conjugado isogonal del punto diametralmente opuesto de su foco; también es el isogonal de su foco, respecto a los triángulos 2º triángulo circumperpendicularEn un triángulo ABC, la mediatriz del lado BC interseca a la circunferencia circunscrita en dos puntos A' y A'' (A' en el mismo lado de BC que A). Se definen B', B'', C', C'', cíclicamente. El triángulo A'B'C' es el primer triángulo circumperpendicular y A''B''C'' es el segundo triángulo circumperpendicular.
A'(-a^2:b(b-c):c(c-b)), A''(-a^2:b(b+c):c(b+c))., circunórticoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). , 2º triángulo circumperpendicularEn un triángulo ABC, la mediatriz del lado BC interseca a la circunferencia circunscrita en dos puntos A' y A'' (A' en el mismo lado de BC que A). Se definen B', B'', C', C'', cíclicamente. El triángulo A'B'C' es el primer triángulo circumperpendicular y A''B''C'' es el segundo triángulo circumperpendicular.
A'(-a^2:b(b-c):c(c-b)), A''(-a^2:b(b+c):c(b+c))., circun-normal El triangulo circun-normal es el triángulo equilátero con vértices en la circunferencia circunscrita del triángulo de referencia, obtenido rotando el triángulo circuntangencial π/6 alrededor del circuncentro. y al de ThomsonThe Thomson cubic (i.e. the isogonal pivotal cubic with pivot the centroid G of the reference triangle ABC) meets the circumcircle of ABC again at three (always real) points which are the vertices of a triangle called the Thomson triangle.), X7722, X13293.
El punto de tangencia de 𝒫 con la recta X113X403 es:
T = ( a^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2)
(a^8 (b^2+c^2)-2 a^6 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)+6 a^4 (b^6+c^6)+a^2 (-4 b^8+2 b^6 c^2+2 b^2 c^6-4 c^8)+b^10-b^8 c^2-b^2 c^8+c^10) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(0.730887315161516, 0.514920822362869, 2.94684822865862).
T es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {403, 1986}, {13417, 21663}.
T es la reflexión de X10257 en X9826.
(X10257 es el complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del inverso del ortocentro en la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
; X9826 es el punto medio del circuncentro y el centro de la circun-hipérbola rectangular que pasa por el tripoloEl polo trilineal (o tripolo ) de una recta p, respecto a un triángulo ABC, es el punto tal que su tripolar es p. Si A''=p∩BC, B''=p∩CA y C''=p∩AB, sea A' el conjugado armónico de A'' respecto a B y C; B' y C' se definen similarmente. Las rectas AA', BB' y CC' concurren el tripolo P de p.
Si ux+vy+wz=0 es la ecuación baricéntrica de p, las coordenadas de P son (vw:wu:uv).
The trilinear pole of a line PU is the perspector of ABC and the vertex-triangle of the anticevian triangles of P and U. (Randy Hutson, April 9, 2016) de la recta de Euler).
T es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,51}, {6,18532}, {24,52}, {25,568}, {30,1112}, {110,37951}, {113,403}, {143,3575}, {186,249}, {235,6102}, {378,5422}, {427,5946}, {468,1154}, {973,11745}, {974,15311}, {1216,10018}, {1495,12227}, {1593,37481}, {1594,5462}, {1885,13630}, {1992,6403}, {2070,34397}, {2071,15472}, {2072,16222}, {2781,16227}, {2979,35486}, {3060,18533}, {3147,11412}, {3515,6243}, {3518,16625}, {3520,9729}, {3541,15043}, {3542,5889}, {3581,37954}, {3618,15045}, {5446,6240}, {5476,12294}, {5562,7505}, {5663,10151}, {5892,37118}, {5907,16868}, {5943,7577}, {6143,11695}, {6152,10115}, {6746,6756}, {7722,10706}, {9826,10257}, {10095,23047}, {10111,12140}, {10575,35490}, {10625,32534}, {10982,15138}, {11410,40280}, {11793,14940}, {11802,12300}, {11806,12292}, {12162,35488}, {12235,14516}, {13148,37984}, {13289,38534}, {13293,13417}, {13321,18494}, {13348,17506}, {13391,37931}, {13598,34797}, {14581,15544}, {14865,15012}, {15010,15030}, {15126,26879}, {15473,18400}, {15644,21844}, {15646,25487}, {15750,37484}, {16836,35473}, {18559,21849}, {18560,40647}, {19136,19161}, {19504,22115}, {20791,35485}, {23039,37453}, {26206,37511}, {32110,37970}, {32225,37943}, {34783,37197}.
Otras interpretaciones geométricas del centro de 𝒸(P), cuando p recorre la recta de Euler
Hyacinthos #25609 (Antreas Hatzipolakis and Peter Moses, Mar 11, 2017)
Let ABC be a triangle and P a point.
Denote:
A', B', C' = the reflections of A,B,C in P, resp.
Ab, Ac = the orthogonal projections of A' on AC, AB, resp.
Bc, Ba = the orthogonal projections of B' on BA, BC, resp.
Ca, Cb = the orthogonal projections of C' on CB, CA, resp.
(Na), (Nb), (Nc) = the NPCs of AAbAc, BBcBa, CCaCb, resp.
(Na), (Nb), (Nc) are concurrent.
[Peter Moses]:
If P = {p,q,r}, then the point of concurrence is
Q = a^2 (2 a^2 b^2 c^2 p+a^4 c^2 q+b^4 c^2 q-2 a^2 c^4 q-2 b^2 c^4 q+c^6 q+a^4 b^2 r-2 a^2 b^4 r+b^6 r-2 b^4 c^2 r+b^2 c^4 r) (b^2 c^2 p^2+a^2 c^2 p q-c^4 p q+a^2 b^2 p r-b^4 p r+a^4 q r-a^2 b^2 q r-a^2 c^2 q r)::
Hyacinthos #25623 (Antreas Hatzipolakis and César Lozada, Mar 13, 2017)
Let ABC be a triangle and P a point.
Denote:
Pa, Pb,Pc = the reflections of P in BC, CA, AB, resp.
Which is the locus of P such that the NPCs of HPPa, HPPb, HPPc are coaxial ?
The Euler line?
[César Lozada]:
Locus = {Euler line} ∪ {circumcircle } ∪ { L&infinity;}
For P on Euler line, the 2nd point of intersection Q(P) lies on the line {113, 403, 1986, 3580, 11557}.
- Jueves, 28 de enero del 2021
Los puntos X(184) y X(578) como centros de homotecia
El 28 de enero de 1540, nació Ludolph van Ceulen matemático alemán. Es conocido principalmente por haber calculado el valor de π, utilizando esencialmente el mismo método con el que Arquímedes había obtenido 35.
De hecho, este número fue conocido en el continente durante mucho tiempo como número ludolphino
X(184):
inverse of center of Jerabek hyperbola Hipérbola de Jerabek es la hipérbola circunscrita a un triángulo, conjugada isogonal de la recta de Euler. Es equilátera pasa por el circuncentro.
Su centro es X125 y sus asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales (X2574, X2575) de los puntos en los que la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita.
Su perspector es X647, sobre el eje órtico.
Ecuación baricéntrica: a^2(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) y z + b^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)z x - c^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)x y=0.
Una parametrización: (a^2 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) t : (c^2-a^2) (a^2 (c^2-b^2 t)+(b^2-c^2) (c^2+b^2 t)) : (a^2-b^2) t (a^2 (-c^2+b^2 t)-(b^2-c^2) (c^2+b^2 t))).
Contiene a los centros del triángulo Xi, con i∈{3, 4, 6, 54, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 248, 265, 290, 695, 879, 895, 1173, 1175, 1176, 1177, 1242, 1243, 1244, 1245,1246, 1439, 1798, 1903, 1942, 1987, 2213, 2435, 2574, 2575, 2992,2993, 3426, 3431, 3519, 3521, 3527, 3531, 3532, 3657, 4846, 5486, 5504, 5505, 5900, 6145, 6391, 6413, 6414, 6415, 6416, 8044, 8612, 8795, 8811, 8814, 9399, 9513, 10097, 10099, 10100, 10261, 10262, 10293, 10378, 10693, 11138, 11139, 11270, 11559, 11564, 11738, 11744, 12023, 13418, 13452, 13472, 13603, 13622, 13623, 14220, 14374, 14375, 14380, 14457, 14483, 14487, 14490, 14491, 14498, 14528, 14542, 14841, 14843, 14861, 15002, 15077, 15232, 15316, 15317, 15320, 15321, 15328, 15453, 15460, 15461, 15740, 15749, 16000, 16540, 16620, 16623, 16665, 16774, 16835, 16867, 17040, 17505, 17711, 18123, 18124, 18125, 18296, 18363, 18368, 18434, 18532, 18550, 19151, 19222, 20029, 20421, 21400, 22334, 22336, 22466, 26861, 28786, 28787, 28788, 30496, 31366, 31371, 32533, 32585, 32586, 33565, 34207, 34221, 34222, 34259, 34435, 34436, 34437, 34438, 34439, 34440, 34483, 34567, 34800, 34801, 34802, 34817, 35364, 35373, 35512, 35909, 36214, 36296, 36297, 37142, 38005, 38006, 38257, 38260, 38263, 38264, 38433, 38436, 38439, 38442, 38443, 38445, 38447, 38449, 38534, 38535, 38955, 39372, 39379, 39380, 39381, 39665, 39666, 40048, 40441, 41433, 41435, 41518, 41519, 41897, 41898, 42016, 42021, 42059, 42299, 43689, 43690, 43691, 43692, 43693, 43694, 43695, 43696, 43697, 43698, 43699, 43700, 43701, 43702, 43703, 43704, 43705, 43706, 43707, 43708, 43709, 43710, 43711, 43712, 43713, 43714, 43715, 43716, 43717, 43718, 43719, 43720, 43721, 43722, 43723, 43724, 43725, 43726, 43727, 43834, 43891, 43892, 43908, 43918, 43949, 44207, 44731, 44763, 44835, 44836, 45011, 45088, 45302, 45733, 45736, 45788, 45835, 45972, 46765, 46848, 46851, 47060, 48362, 51223, 51480, 52222, 52390, 52391, 52518, 52559, 52560, 52561, 54124, 54125, 54962, 54998, 55020, 55021, 55976, 55977, 55978, 55980, 55981, 56068, 56069, 56071, 56072, 6073, 56268, 56271, 56341} in the Brocard circleEl diámetro de Brocard es el segmento OK uniendo el circuncentro y el simediano. Es un diámetro de la circunferencia de Brocard, sobre el eje de Brocard.
X(184) = homothetic center of
orthic triangleLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). and
X(3)-Ehrmann triangle Let Ab the the point of intersection of the circle {{P,B,C}} and the line AB, and define Bc and Ca cyclically. Define Ac symmetrically, and define Ba and Cb cyclically. Let A' = BcBa∩CaCb, and define B' and C' cyclically. Triangle A'B'C' is the P-Ehrmann triangle, is homothetic to the orthic triangle. .
X(184) is the homothetic center of triangles ABC and A'B'C', the
latter defined as follows: let B
1 and C
1 be the
points where the perpendicular bisector BC meets sidelines CA and AB,
and cyclically define C
2, A
2; A
3,
B
3. Then A'B'C' is formed by the perpendicular bisectors of
segments B
1C
1, C
2A
2,
A
3B
3. (Fred Lang,
Hyacinthos #1190)
X(184) = homothetic center of the orthic triangle and the medial triangle of the
tangential triangleEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P..
Randy Hutson notes that X(184) is the exsimilicenter of the circumcircle and
sine-triple-angle circleA1B1C1 y A2B2C2 son dos triángulos inscritos en un triángulo ABC, de forma que
∠A = ∠AB1C1 = ∠AC2B2,
∠B = ∠BC1A1 = ∠BA2C2,
∠C = ∠CA1B1 = ∠CB2A2.
Entonces, los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 están inscritos en una circunferencia denominada circunferencia seno-triple-angulo de ABC.
Su centro es el X49 en ETC.. (December 14, 2014)
X(578):
inverse-in-Brocard-circle of center of Taylor circleLa circunferencia de Taylor de un triángulo es la que pasa por las proyecciones ortogonales de los pies de las alturas sobre los lados. Su centro es el X(389) de ETC. Es la circunferencia de Tucker, con longitud de los segmentos de antiparalelas iguales a S/(2R), donde S es el doble del área de ABC y R es el radio de la circunferencia circunscrita.
Let A'B'C' be the triangle described in
ADGEOM #2697 (Tran Quang Hung, 8/26/20) or Hyacinthos #1190 (Fred Lang, Aug 13, 2000). A'B'C' is homothetic to the Euler triangle at X(578). (Randy Hutson, March 14, 2018).
Dado un triángulo ABC con orotcntro H=X4 y triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). DEF, sean
Γab
( Ecuación baricéntrica:
a^4 x^2-2 a^2 b^2 x^2+b^4 x^2-2 a^2 c^2 x^2+2 b^2 c^2 x^2+c^4 x^2+2 a^4 x y-2 a^2 b^2 x y-2 a^2 c^2 x y+a^4 y^2-b^4 y^2+2 b^2 c^2 y^2-c^4 y^2+2 a^4 x z-2 b^4 x z-4 a^2 c^2 x z+2 c^4 x z+2 a^4 y z-2 a^2 b^2 y z-2 a^2 c^2 y z+a^4 z^2+2 a^2 b^2 z^2+b^4 z^2-2 a^2 c^2 z^2-2 b^2 c^2 z^2+c^4 z^2 = 0)
la circunferencia tangente en E a AC que pasa por F y
Γac
( Ecuación baricéntrica:
a^4 x^2-2 a^2 b^2 x^2+b^4 x^2-2 a^2 c^2 x^2+2 b^2 c^2 x^2+c^4 x^2+2 a^4 x y-4 a^2 b^2 x y+2 b^4 x y-2 c^4 x y+a^4 y^2-2 a^2 b^2 y^2+b^4 y^2+2 a^2 c^2 y^2-2 b^2 c^2 y^2+c^4 y^2+2 a^4 x z-2 a^2 b^2 x z-2 a^2 c^2 x z+2 a^4 y z-2 a^2 b^2 y z-2 a^2 c^2 y z+a^4 z^2-b^4 z^2+2 b^2 c^2 z^2-c^4 z^2 = 0)
la circunferencia tangente en F a AB que pasa por E.
El punto de tangencia de la otra tangente por C a Γab es:
Tab = ((a^2+b^2-c^2) (4 a^6 b^2-2 a^2 (b^2-c^2)^3-(b^2-c^2)^4-a^4 (b^2+c^2)^2) :
-4 a^2 b^2 (a^2+b^2-c^2) (a^4-b^4-2 a^2 c^2+c^4) :
-(a^2-b^2-c^2) (-2 a^2 (b^2-c^2)^3-(b^2-c^2)^4+a^4 (3 b^4+2 b^2 c^2-c^4))),
y el centro de la circunferencia (EHTab) es:
Oab = (-(a^2 + b^2 - c^2)^2 (-(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)) :
2 a^2 b^2 (a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) :
-(b^2 - c^2)^4 + a^6 (3 b^2 + c^2) - a^4 (7 b^4 + 2 b^2 c^2 + 3 c^4) +
a^2 (5 b^6 - 3 b^4 c^2 - 5 b^2 c^4 + 3 c^6)).
El segundo punto de intersección de AC con (EHTab) es:
Ab = (-(b - c) (b + c) (a^2 + b^2 - c^2) : 0 : (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)).
El punto de tangencia de la otra tangente por C a Γac es:
Tac = ((a^2 - b^2 + c^2) (4 a^6 c^2 + 2 a^2 (b^2 - c^2)^3 - (b^2 - c^2)^4 -
a^4 (b^2 + c^2)^2) :
(a^2 - b^2 - c^2) (-2 a^2 (b^2 - c^2)^3 + (b^2 - c^2)^4 +
a^4 (b^4 - 2 b^2 c^2 - 3 c^4)) :
-4 a^2 c^2 (a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)^2).
y el centro de la circunferencia (FHTac) es:
Oac = ((a^2-b^2+c^2)^2 (-(b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) :
(b^2-c^2)^4-a^6 (b^2+3 c^2)+a^4 (3 b^4+2 b^2 c^2+7 c^4)+a^2 (-3 b^6+5 b^4 c^2+3 b^2 c^4-5 c^6) :
-2 a^2 c^2 (a^2-b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2)).
El segundo punto de intersección de AB con (EHTac) es:
Ac = ((b - c) (b + c) (-a^2 + b^2 - c^2) : -(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2) :
0).
La recta AbAc pasa por D y es paralela a la tangente en A a la circunferencia circunscrita a ABC.
La recta AbAc y las que resultan procediendo cíclicamente, forman un triángulo A1B1C1 homotético al triángulo tangencialEl triángulo tangencial de un triángulo es el formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo dado en los vértices. Se conoce como triángulo tangencial (a secas) del triángulo de referencia ABC.
Las coordenadas barícéntricas de su A-vértice son (-a^2 : b^2 : c^2).
El triángulo tangencial de una cónica circunscrita a un triángulo es el formado por las tangentes a la cónica en sus vértices.
Dado un triángulo ABC y un punto P, se denomina triángulo tangencial de P al formado por las tangentes en los vértices del triángulo circunceviano de P., con centro de homotecia X184.
La recta que une los centros de las circunferencias Γab y Γac, junto con las otras dos que se obtienen procediendo cíclicamente, forman un triángulo AoBoCo homotético al triángulo tangencial, y el centro de homotecia es X578.
La homotecia que transforma AoBoCo en A1B1C1 tiene centro en el ortocentro y razón 4.
Ao = (a^8 (b^2 + c^2) + 3 a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4) -
a^6 (3 b^4 + 4 b^2 c^2 + 3 c^4) :
b^2 (-a^8 + c^2 (-b^2 + c^2)^3 + a^6 (3 b^2 + 4 c^2) +
a^2 (b^3 - b c^2)^2 - a^4 (3 b^4 + b^2 c^2 + 4 c^4)) :
c^2 (-a^8 + b^2 (b^2 - c^2)^3 + a^6 (4 b^2 + 3 c^2) +
a^2 (-b^2 c + c^3)^2 - a^4 (4 b^4 + b^2 c^2 + 3 c^4))),
A1 = (-a^2 (b^2 - c^2)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) : -b^2 (a^2 - c^2) (a^2 - b^2 +
c^2) : -(a^2 - b^2) c^2 (a^2 + b^2 - c^2)).
- Domingo, 24 de enero del 2021
Ortocentro del triángulo de contacto interior
El 24 de enero de 1977, en Madrid, durante la transición democrática, un grupo de extrema derecha asesina a cinco abogados laboralistas de CCOO. Hecho conocido como la Matanza de Atocha.
X(65) orthocenter of the intouch triangle
X(65) is the isogonal conjugate of
Schiffler PointEl punto de Schiffler (en honor a Kurt Schiffler (1896-1986)) del triángulo ABC es el punto de concurrencia de las rectas de Euler de los triángulos ABC, ABI, BCI y CAI, siendo I el incentro de ABC. Es el punto X21 de ETC. Sus coordenadas baricéntricas son:
(a(b+c-a)/(b+c) : b(c+a-b)/(c+a) : c(a+b-c)/(a+b)).
X(65) is the
perspector of circle O(Sqrt[R(R+r)]).
X(65) is the perspector of ABC and the
extangents triangleEl triángulo extangencial de ABC es el triángulo A'B'C' formado por las tangentes exteriores comunes a las circunferencias exinscritas que no corresponden a las prolongaciones de los lados.
Baricéntricas: A'=(a^2 (a+b+c):-b (a+b-c) (a+c):-c(a+b)(a-b+c)).
X(65) is the nine-point center of
reflection triangleDado un punto P y un triangulo ABC, el triángulo reflexión de P es el obtenido reflejando P en los lados ABC.
El circuncentro del triángulo reflexión de P es el conjugado isogonal de P. of incenter
X(65) is the
radical traceThe radical trace of a coaxal system of circles is the intersection of their radical axis and the line joining their centers. of circumcircle and circumcircle of reflection triangle of incenter
Let A' be the intersections of the tangents to the
Yiu conicThe Yiu conic passes through the points outside the circumcircle at which the excircles of ABC are tangent to the sidelines of ABC. The center of Yiu conic is X(478). [Paul Yiu.-The Clawson point and excircles, December, 1999. §4] at the points where they meet the A-excircle. Define B' and C' similarly. The lines AA', BB', CC' concur in X(65). (Randy Hutson, July 20, 2016)
Let
Ab,
Ac be the points where the A-excircle touches lines CA and AB resp., and define
Bc,
Ba,
Ca,
Cb cyclically. Let
Ta be the intersection of the tangents to the Yiu conic at
Bc and
Ca, and define
Tb,
Tc cyclically. Let
T'a be the intersection of the tangents to the Yiu conic at
Ba and
Cb, and define
T'b,
T'c cyclically. Let
Sa =
TbTc∩
T'bT'c,
Sb =
TcTa∩
T'cT'a,
Sc =
TaTb∩
T'aT'b. The lines
ASa,
BSb,
CSc concur in X(65). (See also
X(1903).) (Randy Hutson, July 20, 2016)
Let A' be the homothetic center of the
orthic trianglesLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). of the
intouchEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
and
A-extouchLet Aa,Ab, Ac be the touchpoints of the A-excircle and the lines BC, CA, AB, respectively. AaAbAc is the A-extouch triangle. triangles, and define B' and C' cyclically. The triangle A'B'C' is perspective to the extouch triangle at X(65). (Randy Hutson, July 20, 2016)
Let A'B'C' be the orthic triangle. Let B'C'A" be the triangle similar to ABC such that segment A'A" crosses the line B'C'. Define B" and C" cyclically. Equivalently, A" is the reflection of A in B'C', and cyclically for B" and C". Let Ia be the incenter of B'C'A", and define Ib and Ic cyclically. The circumcenter of triangle IaIbIc is X(65). Let A* be the intersection of lines A"Ia and B'C', and define B* and C* cyclically. The lines A'A*, B'B*, C'C* concur in X(65). (Randy Hutson, July 20, 2016)
Let Ab, Ac be the points where the A-excircle touches lines CA and AB resp., and define Bc, Ba, Ca, Cb cyclically. Let IaIbIc be the intouch triangle. Let Oa be the circle through Ab, Ac, Ib, Ic, and define Ob, Oc cyclically. X(65) is the radical center of Oa, Ob, Oc. (Randy Hutson, July 20, 2016)
Let A'B'C' be the intouch triangle of the extangents triangle, if ABC is acute. Then A'B'C' is perspective to the intouch triangle and 4th and 5th extouch triangles at X(65). (Randy Hutson, December 2 2017)
Let OA be the circle centered at the A-vertex of the Wasat triangle and passing through A; define OB and OC cyclically. X(65) is the radical center of OA, OB, OC. (Randy Hutson, August 30, 2020)
Let A' be the isogonal conjugate of A wrt the A-extouch triangle. Define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(65). (Randy Hutson, August 30, 2020)
Sean Γ y γ las circunferencias circunscrita e inscrita de un triángulo ABC y X56 el centro de homotecia exterior de Γ y γ.
Sea Ta el punto de intersección de γ y la recta AX56 más cerca de A, y sea ta la tangente en A a γ. Se define cíclicamente las tangentes tb y tc.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas ta, tb y tc es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad es X65.
Una construcción del punto Ta: Sean MaMbMc y DEF los triángulos medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). y de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
. La recta que pasa por D y por la proyección ortogonal de Ma sobre la bisectriz interior en A, vuelve a corta a γ en T'a. El otro punto de intersección de γ con la recta AT'a, es el punto buscado Ta.
Otra construcción de Ta.
ADGEOM #3759 The incircle as envelope (Nikolaos Dergiades, Apr 16, 2017)
If A1B1C1 is the intouch triangle of ABC,
a point P moves on B1C1 and A'B'C' is the cevian triangle of P,
is there a synthetic proof that the line B'C' is tangent to
the incircle?
Si D'E'F' el triángulo ceviano de X56 respecto a DEF, sea LMN el triángulo ceviano de D', entonces la recta MN es tangente a la circunferencia inscrita en Ta.
Las coordenadas baricéntricas de Ta son:
((a + b - c) (a - b + c) (b + c)^2 : b^2 (a + b - c) (b +
c-a) : c^2 (a - b + c) (b + c-a)).
El punto de intersección A' de las tangentes tb y tb es:
A' = (a^2 (-a^2 + (b - c)^2) : b (a + c) (-a^2 + b^2 + 2 a c -
c^2) : -(a + b) c (a^2 - 2 a b + b^2 - c^2)).
El centro de la
"perspeconicLet ABC and A'B'C' be two perspective triangles such that neither is inscribed in the other. Let Ab = BC∩A'B', Ac = BC∩A'C', and likewise for Bc, Ba, Ca, and Cb. As ABC and A'B'C' are perspective, the six points lie on a conic, named the perspeconic of ABC and A'B'C'.
"
( -a^4 b c x^2+a^3 b^2 c x^2+a^2 b^3 c x^2-a b^4 c x^2+a^3 b c^2 x^2+a^2 b^2 c^2 x^2-a b^3 c^2 x^2-b^4 c^2 x^2+a^2 b c^3 x^2-a b^2 c^3 x^2-2 b^3 c^3 x^2-a b c^4 x^2-b^2 c^4 x^2-2 a^4 b c x y+2 a^3 b^2 c x y+2 a^2 b^3 c x y-2 a b^4 c x y-a^4 c^2 x y+2 a^2 b^2 c^2 x y-b^4 c^2 x y-a^3 c^3 x y+3 a^2 b c^3 x y+3 a b^2 c^3 x y-b^3 c^3 x y+a^2 c^4 x y+2 a b c^4 x y+b^2 c^4 x y+a c^5 x y+b c^5 x y-a^4 b c y^2+a^3 b^2 c y^2+a^2 b^3 c y^2-a b^4 c y^2-a^4 c^2 y^2-a^3 b c^2 y^2+a^2 b^2 c^2 y^2+a b^3 c^2 y^2-2 a^3 c^3 y^2-a^2 b c^3 y^2+a b^2 c^3 y^2-a^2 c^4 y^2-a b c^4 y^2-a^4 b^2 x z-a^3 b^3 x z+a^2 b^4 x z+a b^5 x z-2 a^4 b c x z+3 a^2 b^3 c x z+2 a b^4 c x z+b^5 c x z+2 a^3 b c^2 x z+2 a^2 b^2 c^2 x z+3 a b^3 c^2 x z+b^4 c^2 x z+2 a^2 b c^3 x z-b^3 c^3 x z-2 a b c^4 x z-b^2 c^4 x z+a^5 b y z+a^4 b^2 y z-a^3 b^3 y z-a^2 b^4 y z+a^5 c y z+2 a^4 b c y z+3 a^3 b^2 c y z-2 a b^4 c y z+a^4 c^2 y z+3 a^3 b c^2 y z+2 a^2 b^2 c^2 y z+2 a b^3 c^2 y z-a^3 c^3 y z+2 a b^2 c^3 y z-a^2 c^4 y z-2 a b c^4 y z-a^4 b^2 z^2-2 a^3 b^3 z^2-a^2 b^4 z^2-a^4 b c z^2-a^3 b^2 c z^2-a^2 b^3 c z^2-a b^4 c z^2+a^3 b c^2 z^2+a^2 b^2 c^2 z^2+a b^3 c^2 z^2+a^2 b c^3 z^2+a b^2 c^3 z^2-a b c^4 z^2 = 0)
de los triángulos ABC y A'B'C' es la reflexión de X3588 en X40600:
W = ( a^2 (b + c) (a^2 - (b - c)^2)(a^2 (b + c) - b c (b + c) -
a (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(7.15669680131694, 8.08134630993316, -5.25720456403870).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,9551}, {7,8049}, {42,181}, {55,34429}, {65,1418}, {73,3649}, {142,39046}, {145,37558}, {256,13265}, {1064,1537}, {1071,3931}, {1214,15185}, {1284,2594}, {1404,2309}, {1409,2293}, {1441,39775}, {1457,39782}, {1818,3696}, {1827,1880}, {2171,2667}, {3747,21741}, {3870,39773}, {3896,39774}, {4068,4559}, {4334,5586}, {4343,14100}, {4424,11570}, {4551,29822}, {4552,25295}, {10052,24248}, {17077,17135}, {21035,21794}, {21859,22279}.
X3588 es el centro de la cónica de Myakishev Let a, b, and c be the side lengths of a reference triangle ABC. Now let Ba be a point on the extension of the segment AC beyond C such that CBa=a. Similarly, define the points Ca on the extended segment AB beyond C such that BCa=a. Define Cb and Ab, Ac and Bc cyclically. Then the points Ba, Ca, Cb, Ab, Ac and Bc lie on a conic that is known as Myakishev's conic.
Barycentric equation: b c(a+b)(a+c)x^2+a c(a+b) (b+c)y^2+a b (a+c) (b+c)z^2+a (b+c) (a^2+a b+a c+2 b c)y z+b (a+c) (a b+b^2+2 a c+b c)z x +c(a+b) (2 a b+a c+b c+c^2)x y=0.
X40600 es el perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. de la cónica circunscrita centrada en X213, cociente cevianoSi P y Q son dos puntos, el triángulo ceviano de P y el triángulo anticeviano de Q son perspectivos. El centro de perspectividad de ellos se llama cociente ceviano de P y Q y se designa por P/Q. También se le llama P-Ceva conjugado de Q.
En coordenadas baricéntricas, si P(p:q:r) y Q(u:v:w), P/Q (u(-u/p+v/q+w/r):...:...). del simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²). y X42.
Sea A* la intersección de las tangentes a la cónica de Myakishev Let a, b, and c be the side lengths of a reference triangle ABC. Now let Ba be a point on the extension of the segment AC beyond C such that CBa=a. Similarly, define the points Ca on the extended segment AB beyond C such that BCa=a. Define Cb and Ab, Ac and Bc cyclically. Then the points Ba, Ca, Cb, Ab, Ac and Bc lie on a conic that is known as Myakishev's conic.
Barycentric equation: b c(a+b)(a+c)x^2+a c(a+b) (b+c)y^2+a b (a+c) (b+c)z^2+a (b+c) (a^2+a b+a c+2 b c)y z+b (a+c) (a b+b^2+2 a c+b c)z x +c(a+b) (2 a b+a c+b c+c^2)x y=0 en Ba y Ca, y se definen B* y C* cíclicamente. Las rectas AA*, BB*, CC* concurren en X42. (Randy Hutson, December 26, 2015)
- Martes, 19 de enero del 2021
Los centros del triángulo X(593) y X(1252)
El 19 de enero de 1809 nace Edgar Allan Poe, escritor, poeta, crítico y periodista romántico estadounidense, generalmente reconocido como uno de los maestros universales del relato corto, del cual fue uno de los primeros practicantes en su país. Fue renovador de la novela gótica, recordado especialmente por sus cuentos de terror.
X(593) 1st Hatzipolakis-Yiu Point
Let O(A) be the circle tangent to line BC and
internally to the circumcircle of triangle ABC at vertex A. Let A
b and A
c be where O(A) meets lines AB and AC, respectively. Let L(A) be the line joining A
b and A
b, and define L(B) and L(C) cyclically. Let A' be where L(B) and L(C) meet, and define B' and C' cyclically. Then triangle A'B'C' is homothetic to triangle ABC, and the center of homothety is X(593). See Antreas Hatzipolakis, Paul Yiu, Hyacinthos
#2070 (Dec 14, 2000).
En un triángulo ABC, de circunferencia circunscrita Γ, se considera la circunferencia
Γai,
( Ecuación baricéntrica:
a^2 c^2 x y-b^2 c^2 x y-2 b c^3 x y-c^4 x y+a^2 c^2 y^2+a^2 b^2 x z-b^4 x z-2 b^3 c x z-b^2 c^2 x z-2 a^2 b c y z+a^2 b^2 z^2 = 0)
tangente internamente a Γ en A y a la recta BC (el punto de tangencia es el pie de la bisectriz interior en A).
La circunferencia Γai vuelve a cortar a los lados AC y AB en Abi y Aci, respectivamente. Se definen cíclicamente las circunferencias Γbi y Γci, y los puntos Bci y Bai, Cai y Cbi.
Las rectas
AbiAci,
BciBai,
CaiCbi forman un triángulo
AiBiCi homotético a
ABC, con centro de homotecia
X593.
Las rectas CbiBci, AciCai, BaiAbi foman un triángulo A'iB'iC'i perspectivo con ABC y con AiBiCi, con centro de perspectividad común en X593.
El punto de concurrencia de los ejes de perspectividad de esta tripleta de triángulo perspectivos es X6371, en la recta del infinito.
Consideremos ahora la circunferencia
Γae,
( Ecuación baricéntrica:
a^2 c^2 x y - b^2 c^2 x y + 2 b c^3 x y - c^4 x y + a^2 c^2 y^2 +
a^2 b^2 x z - b^4 x z + 2 b^3 c x z - b^2 c^2 x z + 2 a^2 b c y z +
a^2 b^2 z^2 = 0)
tangente externamente a Γ en A y a la recta BC (el punto de tangencia es el pie de la bisectriz exterior en A).
La circunferencia Γae vuelve a cortar a los lados AC y AB en Abe y Ace, respectivamente. Se definen cíclicamente las circunferencias Γbe y Γce, y los puntos Bce y Bae, Cae y Cbe.
Las rectas
AbeAce,
BceBae,
CaeCbe forman un triángulo
AeBeCe homotético a
ABC, con centro de homotecia
X1252.
The definition of vertex conjugate allows X = U. To extend the geometric interpretation to the case that X = U, as X apaches U, the vertex triangle apaches a limiting triangle which we call the tangential triangle of U, a triangle perspective to ABC with perspector U-vertex conjugate of U. de los focos de la elipse inscrita que es el cuadrado baricéntricoDados dos puntos P y U de coordenadas baricéntricas (p:q:r) y (u:v:w), respectivamente, el punto P×U de coordenadas (pu:qv:rw) es el producto baricéntrico de P y U. Cuando U=P, tememos el cuadrado baricéntrico P².
(Para varias construcciones, ver Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane. §1.2.2. http://bernard-gibert.fr//files/Resources/SITP.pdf#page=6).
El producto baricéntrico de P y U es la imagen de U en la homografía que aplica {A, B, C, G} en {A, B, C, P}, donde G es el baricentro. de la recta de NagelLa recta de Nagel es la que pasa, entre otros, por el incentro (X1), baricentro (X2), punto de Nagel (X8), punto de Spieker (X10)..
Las rectas CbeBce, AceCae, BaeAbe foman un triángulo A'eB'eC'e perspectivo con ABC y con AeBeCe, con centro de perspectividad común en X1252.
El punto de concurrencia de los ejes de perspectividad de esta tripleta de triángulo perspectivos es X926, en la recta del infinito.
- Sábado, 16 de enero del 2021
Conjugado isogonal del punto de Miquel de los lados de un triángulo y su recta de Sherman
a Aye, por su "cumple"
X(952) = isogonal conjugate of X(953)
X(953) =
Miquel pointEl punto de Miquel de un cuadrilátero completo es el punto de concurrencia de las circunferencias circunscritas a los cuatro triángulos formados por sus seis vértices. of the sidelines of ABC and the
Sherman lineLa recta de Sherman es la cuarta tangente común a la circunferencia inscrita y a la cónica inscrita con mismo centro que la circunferencia de los nueve puntos.
Es la cuarta tangente a la circunferencia inscrita, en X(3326), que corta a la circunferencia circunscrita en una cuerda con punto medio sobre la circunferencia de los nueve puntos.
(Paul Yiu.- Sherman's Fourth Side of a Triangle,
http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201220.pdf). (Angel Montesdeoca, July 24, 2019). See
HG250719.
En un triángulo ABC, de circunferencia circunscrita Γ, Bc es la reflexión de B en la bisectriz CI y Cb es la reflexión de C en la bisectriz BI. Sea Γa la circunferencia que pasa por A, Bc, Cb; su centro se denota por Oa.
Sea Ao el centro de la polar recíprocaDadas dos cónicas 𝒞1 y 𝒞2, la polar recíproca, 𝒞, de 𝒞1 respecto a 𝒞2 es la cónica envolvente de las polares de 𝒞1 respecto a 𝒞2.
El caso de dos circunferencias se estudia en http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejco1849.pdf de Γ respecto a Γa. Se definen Bo y Co cíclicamente.
Si O'a es el inverso de Oa, respecto a Γ, entonces Ao es el inverso de O'a, respecto a Γa (ver ejco1849). Si se definen cíclicamente
O'b y O'c, entonces las rectas AO'a, BO'b, CO'c concurren en X36, inverso del incentro en Γ.
Las rectas AAo, BBo y CCo son paralelas. Su punto del infinito es X952.
La ecuación baricéntrica de la polar recíproca de Γ respecto a Γa es:
b^2c^2 (b - c)^2 x^2+
c^2 (a^4 + 8 a b^2 c + (-2 b^2 + b c + c^2)^2 - 2 a^2 (2 b^2 + b c + c^2)y^2 +
b^2 (a^4 + 8 a b c^2 + (b^2 + b c - 2 c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + b c + 2 c^2) z^2 +
2 b c (a^4 + 4 a b c (b + c) + (b - c)^2 (2 b^2 + 5 b c + 2 c^2) -
a^2 (3 b^2 + 4 b c + 3 c^2)) y z +
2 b^2 c (b^3 + 4 a b c - 2 b^2 c - 3 b c^2 + 2 c^3 - a^2 (b + c)) z x +
2 b c^2 (2 b^3 + 4 a b c - 3 b^2 c - 2 b c^2 + c^3 - a^2 (b + c))x y =0,
y su centro es:
Ao = (a^6 + 2 a^3 b c (b + c) -
2 a b (b - c)^2 c (b + c) - (b - c)^4 (b + c)^2 -
a^4 (3 b^2 + b c + 3 c^2) +
a^2 (3 b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + 3 c^4) :
b c (a^4 -
2 a^3 b - 2 b^4 + 2 a b (b - c)^2 + 2 b^3 c + b^2 c^2 - 2 b c^3 +
c^4 + a^2 (b^2 + 2 b c - 2 c^2))
b c (a^4 + b^4 - 2 a^3 c -
2 b^3 c + 2 a (b - c)^2 c + b^2 c^2 + 2 b c^3 - 2 c^4 +
a^2 (-2 b^2 + 2 b c + c^2))).
- Martes, 12 de enero del 2021
Conjugado isogonal del punto de Schröder
Hoy martes 12 de enero de 2021, el Gobierno irlandés analiza el informe de una investigación sobre las condiciones de vida de madres solteras y bebés internados en 18 instituciones estatales entre 1922 y 1998, se estima
que hasta 9.000 menores fallecieron en casas de acogidas regentadas por órdenes religiosas católicas. El Gobierno estableció la comisión de investigación en 2014, tras el hallazgo ese año de casi 800 esqueletos de niños en cámaras subterráneas de un convento regentado por monjas del Buen Socorro.
Otras investigaciones han relevado en los últimos años los abusos sexuales cometidos por religiosos contra miles de menores durante gran parte del pasado siglo.
Otra pesquisa oficial reveló el comportamiento de las monjas católicas en las llamadas 'Lavanderías de la Madgalena', donde entre 1922 y 1996 miles de internas trabajaron en un régimen de semiesclavitud y abusos.
Las congregaciones a cargo de estas casas eran las Hermanas de Nuestra Señora de la Caridad, la congregación de las Hermanas de la Piedad, las Hermanas Religiosas de la Caridad y las Hermanas del Buen Pastor.
En un triángulo ABC, Bc es la reflexión de B en la bisectriz CI y Cb es la reflexión de C en la bisectriz BI. Sea Γa la circunferencia que pasa por A, Bc, Cb y sea A' el poloDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de BC, respecto a ella. Se definen B' y C' cíclicamente.
La rectas
AA' BB', CC' concurren en X
1156,
conjugado isogonalEl conjugado isogonal de un punto P, respecto de un triángulo ABC, es el punto de intersección de las reflexiones de las rectas PA, PB y PC en las bisectrices de A, B y C, respectivamente. Se suele denotar por P* o gP.
Si ABC es el triángulo de referencia y si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces P*(a²/u:b²/v:c²/w).
La recta del infinito y la circunferencia circunscrita son conjugados isogonales. del
punto de Schröder Let XYZ be the intouch triangle of ABC; i.e., the pedal triangle of the incenter. The circles (AIX), (BIY), (CIZ) concur in two points. One of them is I; the other is the Schrouml;der Point. X(1155) en ETC.
This result is obtain by inversion in
Heinz Schrouml;der, 'Die Inversion und ihre Anwendung im Unterricht der Oberstufe,' Der Mathematikunterricht 1 (1957) 59-80..
En coordenadas baricéntricas:
Bc = (a:0:b-a), Cb = (a:c-a:0)
Las rectas BcCb, CaAc, AbBa son paralelas, con punto en el infinito X513, conjugado isogonal de X100 (anticomplementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del punto de FeuerbachEl punto de Feuerbach de un triángulo es el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la circunferencia de los nueve puntos. Es el punto X11 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son:
((b-c)^2(b+c-a) : (c-a)^2(a-b+ c) : (a-b)^2(a+b-c)).
)
Γa: c^2 x y - a c y^2- a b z^2 +a(a - b - c) y z +a(b- a )z x -a c x y =0.
El centro de Γa es:
Oa=(a (-a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) + a (b^2 + c^2)) :
b (-a^3 +
a^2 b - b^3 + a (b - c)^2 + b c^2) : c (-a^3 + a (b - c)^2 + a^2 c +
c (b^2 - c^2))).
Las rectas AOa, BOb, COc concurren en X104, punto antipodal de X100 en la circunferencia circunscrita de ABC.
La tangente en Aa Γa es:
ta: a (4 b c - (-a + b + c)^2) x -
b (a^2 + b^2 + b c - 2 c^2 + a (-2 b + c)) y + (-2 (a - b) b c + (a - c) c (-a + b + c)) z = 0.
Las ecuaciones de las tangentes tb y tc se obtienen cíclicamente, entonces ta∩tb∩tc=X100.
El polo de BC respecto a Γa es:
A' = (a (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)) : b (a^2 + b^2 + b c - 2 c^2 +
a (-2 b + c)) : c (a^2 - 2 b^2 + a (b - 2 c) + b c + c^2)).
Los triángulos
A'B'C' y
excentralEl triángulo excentral del triángulo ABC es el triángulo IaIbIc que tiene por vértices sus excentros.
Baricéntricas: Ia(-a:b:c). son pespectivos, con centro de perspectividad X
35445.
X(35445) = point of intersection of the line X(1)X(3) and the line at infinity
Suppose that P = p : q : r (barycentrics) is a point in the plane of a triangle ABC. Let A*B*C* be the circumcevian triangle of P,
and let A' be the inverse-in-circumcircle of the reflection of P in A*; define B' and C' cyclically. The triangle A'B'C', named the
circumcevian-inversion triangle of P, is perspective to ABC in the point
P' = p a
2 b
2 c
2 (p+q+r) + a
2 (b
2 + c
2 - a
2) (a
2 q r + b
2 r p + c
2 p q) : ... : ...
Let A'B'C' be the circumcevian-inversion triangle of P = X(5537). Then X(35445) is the perspector of A'B'C' and the excentral triangle.
Circumcevian Inversion Perspector, Suren (11/22/2019)
- Viernes, 8 de enero del 2021
Centros radicales y cuártica de Stammler
El 8 de enero de 1942 nació Stephen William Hawking, físico teórico, astrofísico, cosmólogo y divulgador científico británico. Sus trabajos más importantes consistieron en aportar, junto con Roger Penrose, teoremas respecto a las singularidades espaciotemporales en el marco de la relatividad general y la predicción teórica de que los agujeros negros emitirían radiación, lo que se conoce hoy en día como radiación de Hawking.
Enlaces relacionados:
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La cuártica de Stammler
Circunferencias coaxiales y la cuártica de Stammler
La cúbica cónico-pivotal cK(#X6,X25) y otras curvas
Cuártica de Stammler como lugar geométrico
Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
Cuárticas tipo Stammler
Otra caracterización de la cuártica de Stammler
Caracterización de la cuártica de Stammler
Dados un triángulo ABC y un punto P en su plano, sea PaPbPc el triángulo ceviano de P. Las tangentes a la circunferencia (APbPc) en Pb y Pc cortan a BC en Ab y Ac, respectivamente.
Sea A' el centro radical de las circunferencias (APbPc), (BPcAb), (CPbAc). Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los puntos
A', B', C' están alineados si
P está sobre la
cónica circunscritaDado un triángulo ABC, una cónica circunscrita es la que pasa por sus vértices.
Su ecuación baricéntrica es pyz+qxz+rxy=0 y las coordenadas de su centro son
(p (-p + q + r) : q (p - q + r) : (p + q - r) r).
Las polares de los vértices forman un triángulo perspectivo con ABC; el centro de perspectividad, (p:q:r), se conoce como perspector de la cónica., 𝒞, de
perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. X
39, el punto medio de los puntos de
BrocardLos puntos de Brocard del triángulo ABC son dos puntos Ω1 y Ω2 tales que para cada uno de ellos se verifica que los segmentos que lo unen con los vértices forman el mismo ángulo con los lados: ∠Ω1AB = ∠Ω1BC = ∠Ω1CA, ∠ABΩ2 = ∠BCΩ2 = ∠CAΩ2. Todos los ángulos anteriores tienen el mismo valor ω ( ángulo de Brocard ), y se verifica
ω≤π/6, cotω = cotA+cotB+cotC.
En coordenadas baricéntricas Ω1(1/b^2:1/c^2:1/a^2) y Ω2(1/c^2:1/a^2:1/b^2). (su centro, X
141, es el
complementoSi ABC es un triángulo de baricentro G, el punto Q es el complemento del punto P si Q, G, P están alineados y PG = 2 GQ. Se dice que P es el anticomplemento del punto Q. Se suelen denotar por cP y aP, respectivamente. del
simedianoEl simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las rectas (simedianas) simétricas de las medianas respecto a las bisectrices del mismo vértice. Se conoce por punto de Lemoine (Francia) y punto de Grebe (Alemania). Es el punto X6 de ETC.
Sus coordenadas baricéntricas son (a²:b²:c²).).
La
cónica
( Ecuación baricéntrica:
a^2 c^2 x y + b^2 c^2 x y + a^2 b^2 x z + b^2 c^2 x z + a^2 b^2 y z +
a^2 c^2 y z = 0)
𝒞 pasa por los centros del triángulo Xi, para i∈{67, 110, 660, 670, 694, 1634, 4553, 4576, 8050, 20021, 35325, 36824, 36827}.
Cuando P varía sobre la cónica 𝒞, la envolvente de la recta A'B'C' es la cónica, que pasa por X10330,
bitangente a 𝒞; con tangentes comunes (de dirección la del conjugado isogonal del punto de SteinerEl punto de Steiner de un triángulo es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner (con centro en el baricentro).
Coordenadas baricéntricas 1/(b^2-c^2):1/(c^2-a^2):1/(a^2-b^2)
Es el X99 de ETC. Su conjugado isogonal es X512 y su conjugados isotómico es X523.) en los extremos del diámetro común X2X6. La tangente en X10330 corresponde al punto P=X4576 de 𝒞 (tripoloEl polo trilineal (o tripolo ) de una recta p, respecto a un triángulo ABC, es el punto tal que su tripolar es p. Si A''=p∩BC, B''=p∩CA y C''=p∩AB, sea A' el conjugado armónico de A'' respecto a B y C; B' y C' se definen similarmente. Las rectas AA', BB' y CC' concurren el tripolo P de p.
Si ux+vy+wz=0 es la ecuación baricéntrica de p, las coordenadas de P son (vw:wu:uv).
The trilinear pole of a line PU is the perspector of ABC and the vertex-triangle of the anticevian triangles of P and U. (Randy Hutson, April 9, 2016) de la recta que pasa por el centro y por el perspector de 𝒞); el otro punto de intersección de esta tangente con 𝒞 es el foco del la parábola de KiepertLa parábola de Kiepert de un triángulo es la parábola inscrita en el triángulo y que tiene por directriz la recta de Euler. Su foco (sobre la circunferencia circunscrita) es el punto X110 (punto de concurrencia de las reflexiones de la recta de Euler en los lados del triángulo) y el punto de Brianchon (perspector) es el punto de Steiner, X99..
Las rectas
AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si
P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cuártica de Stammler (
Q066 del catalogo de Bernard Gibert).
(a^6+a^4(b^2+c^2)+
a^2(b^4+12b^2c^2+c^4)+b^6+c^6+b^4c^2+b^2c^4)x^2y^2z^2 +
𝔖abc xyz
y z(-a^4(b^2+c^2-a^2)y^2z^2-
x^3(c^2((b^2-c^2)(2b^2-c^2)+a^2(2b^2+c^2))y+
b^2((b^2-2c^2)(b^2-c^2)+a^2(b^2+2c^2))z)) = 0,
que pasa por X2 (acnodal), X31614, X31615, X31616.
Las tangentes a esta séxtica en A (punto triple) son la tangente a la circunferencia circunscrita (doble, punto de retroceso) y la ceviana del retrocentroEl retrocentro de un triángulo es el punto conjugado isotómico del ortocentro, y el simediano del triángulo antimedial. Es el punto X69 de ETC.
Coordenadas baricéntricas: ((b^2+c^2-a^2) : ... : ...)..
Cuando P es el incentro (sobre Q066), P' es X2185.
Tomando P como cada uno de los vértices del triángulo excentralEl triángulo excentral del triángulo ABC es el triángulo IaIbIc que tiene por vértices sus excentros.
Baricéntricas: Ia(-a:b:c)., los correspondientes puntos P' son los vértices de un triángulo JaJbJc, perspectivo con ABC. El centro de perspectividad es X4564.
- Martes, 5 de enero del 2021
Cónicas determinadas por proyecciones de puntos sobre rectas de Euler
Que alguien te haga sentir cosas sin ponerte un dedo encima, eso es admirable. Mario Benedetti
Dado un triángulo ABC de circuncentro O=X3 y ortocentro H=X4, sea DEF el triángulo circuncevianoEl triángulo circunceviano A'B'C' de un punto P respecto el triángulo ABC es el formado por las otras intersecciones de las cevianas AP, BP y CP con la circunferencia circunscrita.
El triángulo circunceviano del incentro se denomina triángulo circun-incentral.
El triángulo circunceviano del baricentro se denomina triángulo circunmedial.
El triángulo circunceviano del simediano se denomina triángulo circunsimedial.
El triángulo circunceviano del ortocentro se denomina triángulo circunórtico
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A'=(-a^2v w : v (c^2v + b^2w) : w (c^2v + b^2w)). de H. Si P es un punto sobre la recta de EulerLa recta de Euler de un triángulo es la que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
Su ecuación baricentrica es:
(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)x+(c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)y+(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z = 0
Su punto del infinito es X30 en ETC.
El conjugado isogonal de este punto es X74, sobre la circunferencia circunscrita.
Sus puntos de intersección con la circunferencia circunscrita son X1113 y X1114 (conjugados isogonales de X2574 y X2575).
de ABC, sean Pa, Pb, Pc los mismos puntos sobre las rectas de Euler de DBC, ECA, FAB, respectivamente.
Ab y Ac son las proyecciones ortogonales de Pa sobre AC y AB, respectivamente. Se definen Bc, Ba, Ca, Cb, cíclicamente.
[
Euclid#1291, Abdilkadir Altintas and Elias M. Hago]
Los seis puntos
Ab,
Ac,
Bc,
Ba,
Ca,
Cb están sobre una misma cónica.
Ab = (-a^4 t - (b^2 - c^2)^2 t - a^2 (b^2 - 2 c^2 t) : 0 :
a^4 t + (b^2 - c^2)^2 t - a^2 (2 c^2 t + b^2 (1 + 2 t))),
Ac = (-a^4 t - (b^2 - c^2)^2 t - a^2 (c^2 - 2 b^2 t) :
a^4 t + (b^2 - c^2)^2 t - a^2 (2 b^2 t + c^2 (1 + 2 t)) : 0).
La ecuación de la cónica 𝒞t, que pasa por Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb es:
𝔖abc xyz
(b^2 c^2+a^4 t-2 a^2 b^2 t+b^4 t-2 a^2 c^2 t+c^4 t) (-a^2 b^2+a^4 t-2 a^2 b^2 t+b^4 t-2 a^2 c^2 t-2 b^2 c^2 t+c^4 t) (-a^2 c^2+a^4 t-2 a^2 b^2 t+b^4 t-2 a^2 c^2 t-2 b^2 c^2 t+c^4 t)x^2+
2 (-b^2 c^2+a^4 t-2 a^2 b^2 t+b^4 t-2 a^2 c^2 t-2 b^2 c^2 t+c^4 t) (a^4 b^2 c^2+2 a^4 b^2 c^2 t+a^8 t^2-3 a^6 b^2 t^2+4 a^4 b^4 t^2-3 a^2 b^6 t^2+b^8 t^2-3 a^6 c^2 t^2+2 a^4 b^2 c^2 t^2+3 a^2 b^4 c^2 t^2-4 b^6 c^2 t^2+4 a^4 c^4 t^2+3 a^2 b^2 c^4 t^2+6 b^4 c^4 t^2-3 a^2 c^6 t^2-4 b^2 c^6 t^2+c^8 t^2)y z = 0.
El lugar geométrico del centro,
Po = ( a^2 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 (a^6 (b^2+c^2)-)-a^4 (3 b^4+2 b^2 c^2+3 c^4)+a^2 (3 b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+3 c^6)(b^2-c^2)^2 (b^4+c^4) +
a^2 b^2 c^2 (-2 a^10 (b^2+c^2)+a^8 (9 b^4+16 b^2 c^2+9 c^4)-2 a^6 (8 b^6+11 b^4 c^2+11 b^2 c^4+8 c^6)+2 a^4 (7 b^8-6 b^4 c^4+7 c^8)-6 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^6+c^6)+(b^2-c^2)^4 (b^4+c^4))t +
a^4 b^4 c^4 (2 a^6-3 a^4 (b^2+c^2)-10 a^2 b^2 c^2+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2))t^2
-2 a^6 b^6 c^6 t^3 : ... : ...),
de 𝒞t es una
cúbica,
( (a^12 b^4-3 a^10 b^6+2 a^8 b^8+2 a^6 b^10-3 a^4 b^12+a^2 b^14-2 a^12 b^2 c^2+3 a^10 b^4 c^2-3 a^8 b^6 c^2+8 a^4 b^10 c^2-7 a^2 b^12 c^2+b^14 c^2+a^12 c^4+3 a^10 b^2 c^4+2 a^8 b^4 c^4-2 a^6 b^6 c^4-a^4 b^8 c^4+15 a^2 b^10 c^4-6 b^12 c^4-3 a^10 c^6-3 a^8 b^2 c^6-2 a^6 b^4 c^6-8 a^4 b^6 c^6-9 a^2 b^8 c^6+15 b^10 c^6+2 a^8 c^8-a^4 b^4 c^8-9 a^2 b^6 c^8-20 b^8 c^8+2 a^6 c^10+8 a^4 b^2 c^10+15 a^2 b^4 c^10+15 b^6 c^10-3 a^4 c^12-7 a^2 b^2 c^12-6 b^4 c^12+a^2 c^14+b^2 c^14) x^3+(-3 a^14 b^2+15 a^12 b^4-32 a^10 b^6+38 a^8 b^8-27 a^6 b^10+11 a^4 b^12-2 a^2 b^14+3 a^14 c^2-3 a^12 b^2 c^2+6 a^10 b^4 c^2-32 a^8 b^6 c^2+59 a^6 b^8 c^2-53 a^4 b^10 c^2+24 a^2 b^12 c^2-4 b^14 c^2-12 a^12 c^4+9 a^10 b^2 c^4-a^8 b^4 c^4-30 a^6 b^6 c^4+60 a^4 b^8 c^4-59 a^2 b^10 c^4+21 b^12 c^4+17 a^10 c^6+3 a^8 b^2 c^6+6 a^6 b^4 c^6-24 a^4 b^6 c^6+53 a^2 b^8 c^6-45 b^10 c^6-8 a^8 c^8-5 a^6 b^2 c^8+5 a^4 b^4 c^8-14 a^2 b^6 c^8+50 b^8 c^8-3 a^6 c^10-3 a^4 b^2 c^10-4 a^2 b^4 c^10-30 b^6 c^10+4 a^4 c^12+3 a^2 b^2 c^12+9 b^4 c^12-a^2 c^14-b^2 c^14) x^2 y+(-2 a^14 b^2+11 a^12 b^4-27 a^10 b^6+38 a^8 b^8-32 a^6 b^10+15 a^4 b^12-3 a^2 b^14-4 a^14 c^2+24 a^12 b^2 c^2-53 a^10 b^4 c^2+59 a^8 b^6 c^2-32 a^6 b^8 c^2+6 a^4 b^10 c^2-3 a^2 b^12 c^2+3 b^14 c^2+21 a^12 c^4-59 a^10 b^2 c^4+60 a^8 b^4 c^4-30 a^6 b^6 c^4-a^4 b^8 c^4+9 a^2 b^10 c^4-12 b^12 c^4-45 a^10 c^6+53 a^8 b^2 c^6-24 a^6 b^4 c^6+6 a^4 b^6 c^6+3 a^2 b^8 c^6+17 b^10 c^6+50 a^8 c^8-14 a^6 b^2 c^8+5 a^4 b^4 c^8-5 a^2 b^6 c^8-8 b^8 c^8-30 a^6 c^10-4 a^4 b^2 c^10-3 a^2 b^4 c^10-3 b^6 c^10+9 a^4 c^12+3 a^2 b^2 c^12+4 b^4 c^12-a^2 c^14-b^2 c^14) x y^2+(a^14 b^2-3 a^12 b^4+2 a^10 b^6+2 a^8 b^8-3 a^6 b^10+a^4 b^12+a^14 c^2-7 a^12 b^2 c^2+8 a^10 b^4 c^2-3 a^6 b^8 c^2+3 a^4 b^10 c^2-2 a^2 b^12 c^2-6 a^12 c^4+15 a^10 b^2 c^4-a^8 b^4 c^4-2 a^6 b^6 c^4+2 a^4 b^8 c^4+3 a^2 b^10 c^4+b^12 c^4+15 a^10 c^6-9 a^8 b^2 c^6-8 a^6 b^4 c^6-2 a^4 b^6 c^6-3 a^2 b^8 c^6-3 b^10 c^6-20 a^8 c^8-9 a^6 b^2 c^8-a^4 b^4 c^8+2 b^8 c^8+15 a^6 c^10+15 a^4 b^2 c^10+8 a^2 b^4 c^10+2 b^6 c^10-6 a^4 c^12-7 a^2 b^2 c^12-3 b^4 c^12+a^2 c^14+b^2 c^14) y^3+(3 a^14 b^2-12 a^12 b^4+17 a^10 b^6-8 a^8 b^8-3 a^6 b^10+4 a^4 b^12-a^2 b^14-3 a^14 c^2-3 a^12 b^2 c^2+9 a^10 b^4 c^2+3 a^8 b^6 c^2-5 a^6 b^8 c^2-3 a^4 b^10 c^2+3 a^2 b^12 c^2-b^14 c^2+15 a^12 c^4+6 a^10 b^2 c^4-a^8 b^4 c^4+6 a^6 b^6 c^4+5 a^4 b^8 c^4-4 a^2 b^10 c^4+9 b^12 c^4-32 a^10 c^6-32 a^8 b^2 c^6-30 a^6 b^4 c^6-24 a^4 b^6 c^6-14 a^2 b^8 c^6-30 b^10 c^6+38 a^8 c^8+59 a^6 b^2 c^8+60 a^4 b^4 c^8+53 a^2 b^6 c^8+50 b^8 c^8-27 a^6 c^10-53 a^4 b^2 c^10-59 a^2 b^4 c^10-45 b^6 c^10+11 a^4 c^12+24 a^2 b^2 c^12+21 b^4 c^12-2 a^2 c^14-4 b^2 c^14) x^2 z+(6 a^14 b^2-40 a^12 b^4+106 a^10 b^6-144 a^8 b^8+106 a^6 b^10-40 a^4 b^12+6 a^2 b^14+6 a^14 c^2-32 a^12 b^2 c^2+78 a^10 b^4 c^2-52 a^8 b^6 c^2-52 a^6 b^8 c^2+78 a^4 b^10 c^2-32 a^2 b^12 c^2+6 b^14 c^2-40 a^12 c^4+78 a^10 b^2 c^4-128 a^8 b^4 c^4+108 a^6 b^6 c^4-128 a^4 b^8 c^4+78 a^2 b^10 c^4-40 b^12 c^4+106 a^10 c^6-52 a^8 b^2 c^6+108 a^6 b^4 c^6+108 a^4 b^6 c^6-52 a^2 b^8 c^6+106 b^10 c^6-144 a^8 c^8-52 a^6 b^2 c^8-128 a^4 b^4 c^8-52 a^2 b^6 c^8-144 b^8 c^8+106 a^6 c^10+78 a^4 b^2 c^10+78 a^2 b^4 c^10+106 b^6 c^10-40 a^4 c^12-32 a^2 b^2 c^12-40 b^4 c^12+6 a^2 c^14+6 b^2 c^14) x y z+(-a^14 b^2+4 a^12 b^4-3 a^10 b^6-8 a^8 b^8+17 a^6 b^10-12 a^4 b^12+3 a^2 b^14-a^14 c^2+3 a^12 b^2 c^2-3 a^10 b^4 c^2-5 a^8 b^6 c^2+3 a^6 b^8 c^2+9 a^4 b^10 c^2-3 a^2 b^12 c^2-3 b^14 c^2+9 a^12 c^4-4 a^10 b^2 c^4+5 a^8 b^4 c^4+6 a^6 b^6 c^4-a^4 b^8 c^4+6 a^2 b^10 c^4+15 b^12 c^4-30 a^10 c^6-14 a^8 b^2 c^6-24 a^6 b^4 c^6-30 a^4 b^6 c^6-32 a^2 b^8 c^6-32 b^10 c^6+50 a^8 c^8+53 a^6 b^2 c^8+60 a^4 b^4 c^8+59 a^2 b^6 c^8+38 b^8 c^8-45 a^6 c^10-59 a^4 b^2 c^10-53 a^2 b^4 c^10-27 b^6 c^10+21 a^4 c^12+24 a^2 b^2 c^12+11 b^4 c^12-4 a^2 c^14-2 b^2 c^14) y^2 z+(-4 a^14 b^2+21 a^12 b^4-45 a^10 b^6+50 a^8 b^8-30 a^6 b^10+9 a^4 b^12-a^2 b^14-2 a^14 c^2+24 a^12 b^2 c^2-59 a^10 b^4 c^2+53 a^8 b^6 c^2-14 a^6 b^8 c^2-4 a^4 b^10 c^2+3 a^2 b^12 c^2-b^14 c^2+11 a^12 c^4-53 a^10 b^2 c^4+60 a^8 b^4 c^4-24 a^6 b^6 c^4+5 a^4 b^8 c^4-3 a^2 b^10 c^4+4 b^12 c^4-27 a^10 c^6+59 a^8 b^2 c^6-30 a^6 b^4 c^6+6 a^4 b^6 c^6-5 a^2 b^8 c^6-3 b^10 c^6+38 a^8 c^8-32 a^6 b^2 c^8-a^4 b^4 c^8+3 a^2 b^6 c^8-8 b^8 c^8-32 a^6 c^10+6 a^4 b^2 c^10+9 a^2 b^4 c^10+17 b^6 c^10+15 a^4 c^12-3 a^2 b^2 c^12-12 b^4 c^12-3 a^2 c^14+3 b^2 c^14) x z^2+(-a^14 b^2+9 a^12 b^4-30 a^10 b^6+50 a^8 b^8-45 a^6 b^10+21 a^4 b^12-4 a^2 b^14-a^14 c^2+3 a^12 b^2 c^2-4 a^10 b^4 c^2-14 a^8 b^6 c^2+53 a^6 b^8 c^2-59 a^4 b^10 c^2+24 a^2 b^12 c^2-2 b^14 c^2+4 a^12 c^4-3 a^10 b^2 c^4+5 a^8 b^4 c^4-24 a^6 b^6 c^4+60 a^4 b^8 c^4-53 a^2 b^10 c^4+11 b^12 c^4-3 a^10 c^6-5 a^8 b^2 c^6+6 a^6 b^4 c^6-30 a^4 b^6 c^6+59 a^2 b^8 c^6-27 b^10 c^6-8 a^8 c^8+3 a^6 b^2 c^8-a^4 b^4 c^8-32 a^2 b^6 c^8+38 b^8 c^8+17 a^6 c^10+9 a^4 b^2 c^10+6 a^2 b^4 c^10-32 b^6 c^10-12 a^4 c^12-3 a^2 b^2 c^12+15 b^4 c^12+3 a^2 c^14-3 b^2 c^14) y z^2+(a^14 b^2-6 a^12 b^4+15 a^10 b^6-20 a^8 b^8+15 a^6 b^10-6 a^4 b^12+a^2 b^14+a^14 c^2-7 a^12 b^2 c^2+15 a^10 b^4 c^2-9 a^8 b^6 c^2-9 a^6 b^8 c^2+15 a^4 b^10 c^2-7 a^2 b^12 c^2+b^14 c^2-3 a^12 c^4+8 a^10 b^2 c^4-a^8 b^4 c^4-8 a^6 b^6 c^4-a^4 b^8 c^4+8 a^2 b^10 c^4-3 b^12 c^4+2 a^10 c^6-2 a^6 b^4 c^6-2 a^4 b^6 c^6+2 b^10 c^6+2 a^8 c^8-3 a^6 b^2 c^8+2 a^4 b^4 c^8-3 a^2 b^6 c^8+2 b^8 c^8-3 a^6 c^10+3 a^4 b^2 c^10+3 a^2 b^4 c^10-3 b^6 c^10+a^4 c^12-2 a^2 b^2 c^12+b^4 c^12) z^3 = 0)
𝒦, que pasa por los centros X2, X52, X3413, X3414, X37649.
Cuando t=1/2 (P=X2), el centro de la cónica 𝒞1/2 es (Euclid #1181, Dominique Laurain):
Go = (a^2 (a^4 + b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4 -
2 a^2 (b^2 + c^2)) (a^10 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^4 (b^4 + c^4) -
a^8 (5 b^4 + 6 b^2 c^2 + 5 c^4) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (5 b^6 - b^4 c^2 - b^2 c^4 + 5 c^6) +
2 a^6 (5 b^6 + 3 b^4 c^2 + 3 b^2 c^4 + 5 c^6) +
a^4 (-10 b^8 + 6 b^6 c^2 + 20 b^4 c^4 + 6 b^2 c^6 - 10 c^8)) : ... : ...)
Cuando t=0 (P=X3), la cónica 𝒞0 es la elipse inscrita de Steiner Elipse inscrita de Steiner es la elipse inscrita al triángulo y con centro en el baricentro. Es la elipse inscunscrita de área máxima. Es la elipse circunscrita de Steiner del triángulo medial. Ecuación baricéntrica: x^2+y^2+z^2-2yz-2zx-2xy=0. Una reperesentación paramétrica P(t)=(1:t^2:(t-1)^2).
Su focos reales son X(39162), X(39163)., cuyo centro es el baricentro.
Cuando t→∞ (P=X4), la cónica 𝒞∞ es la circunferencia de TorresLa circunferencia de Torres de un triángulo ABC es la circunferencia de Tucker, con longitud de los segmentos de antiparalelas iguales a S/R, donde S es el doble del área de ABC y R es el radio de la circunferencia circunscrita. Su centro es X(52), ortocentro del triángulo órtico.
On the Tucker circles (Sandor Nagydobai Kiss and Paul Yiu). §3.4. Special Tucker circles., cuyo centro es X52, ortocentro del triángulo órticoLos vértices del triángulo órtico, de un triángulo dado, son los pies de sus alturas. Sus coordenadas baricéntricas son: (0:a^2+b^2-c^2:a^2-b^2+c^2),
(a^2+b^2-c^2:0:-a^2+b^2+c^2),
(a^2-b^2+c^2:-a^2+b^2+c^2:0). (Euclid #1291, Elias M. Hagos).
Cuando t= R²/(5R²-OH²) (P=X35921, punto de intersección de la recta de Euler con la recta que pasa por el punto de SteinerEl punto de Steiner de un triángulo es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner (con centro en el baricentro).
Coordenadas baricéntricas 1/(b^2-c^2):1/(c^2-a^2):1/(a^2-b^2)
Es el X99 de ETC. Su conjugado isogonal es X512 y su conjugados isotómico es X523. y por el conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). del centro de la circunferencia de los nueve puntosLa circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC es la que pasa por los puntos medios de los lados. Pasa también por los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y los vértices. Se le conoce como circunferencia de Feuerbach o circunferencia de Euler.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2+c^2-a^2)x^2+(c^2+a^2-b^2)y^2+(a^2+b^2-c^2)z^2 -2a^2yz -2b^2zx - 2c^2xy = 0.
Su centro es el punto X5 de ETC.
Es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach (X11)
), el centro de la
cónica
(
𝔖abc xyz
(a^6-3 a^2 b^4+2 b^6-a^4 c^2-4 a^2 b^2 c^2-3 b^4 c^2-a^2 c^4+c^6) (a^4 b^2-2 a^2 b^4+b^6+a^4 c^2-2 a^2 b^2 c^2-b^4 c^2-2 a^2 c^4-b^2 c^4+c^6) (a^6-a^4 b^2-a^2 b^4+b^6-4 a^2 b^2 c^2-3 a^2 c^4-3 b^2 c^4+2 c^6)x^2-2 (2 a^6-3 a^4 b^2+b^6-3 a^4 c^2-4 a^2 b^2 c^2-b^4 c^2-b^2 c^4+c^6) (a^12-2 a^10 b^2-a^8 b^4+4 a^6 b^6-a^4 b^8-2 a^2 b^10+b^12-2 a^10 c^2-3 a^8 b^2 c^2+3 a^6 b^4 c^2+10 a^4 b^6 c^2-7 a^2 b^8 c^2-b^10 c^2-a^8 c^4+3 a^6 b^2 c^4+16 a^4 b^4 c^4+9 a^2 b^6 c^4-5 b^8 c^4+4 a^6 c^6+10 a^4 b^2 c^6+9 a^2 b^4 c^6+10 b^6 c^6-a^4 c^8-7 a^2 b^2 c^8-5 b^4 c^8-2 a^2 c^10-b^2 c^10+c^12)y z = 0.
)
𝒞t es X37649.
X37649
Continuing from X(37636), the lines R
A, R
B, R
C concur in X(37649). (Randy Hutson, March 29, 2020)
From a problem posed by Antreas Hatzipolakis in Anopolis #280 (May 22, 2013) and answered by Angel Montesdeoca (#281, May 22, 2013): Let A'B'C' and A"B"C" be the orthic and medial triangles, resp. Let (A
B) and (A
C) be the nine-point circles of A'BC" and A'B"C, resp., and define (B
C), (B
A), (C
A), (C
B) cyclically. Let R
A be the radical axis of (B
C), (C
B), and define R
B and R
C cyclically. The parallels to R
A, R
B, R
C through A, B, C, resp., concur in X(1994). The parallels to R
A, R
B, R
C through A", B", C", resp., concur in X(37636). (Randy Hutson, March 29, 2020)
The point X(37649) was described earlier in
Circunferencias de Euler y ejes radicales concurrentes (Angel Montesdeoca, May 23, 2013)
Dos de las asíntotas de la cúbica 𝒦 son paralelas a la direcciones (X3413 y X3414) de las asíntotas de la hipérbola de KiepertLa hipérbola de Kiepert de un triángulo es la hipérbola equilátera (pasa por el ortocentro) circunscrita al triángulo y que pasa por su baricentro. Es la conjugada isogonal del eje de Brocard.
Su ecuación baricéntrica es:
(b^2-c^2)yz+(c^2-a^2)zx+(a^2-b^2)xy=0.
Su centro, sobre la circunferencia de Euler, es el centro X115 de ETC.
Su perspector (punto de Brianchon), X(523)=conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, es el punto del infinito del eje órtico
Sus puntos en el infinito son X3413 y X3414, conjugados isogonales de los puntos en los que el eje de Brocard corta a la circunferencia circunscrita, X1379 y X1380..
La tercera asíntota de 𝒦 tiene la dirección de las rectas X(11143)X(36980) o X(11144)X(36978), con punto en la recta del infinito:
( a^2 (a^10 (b^2 + c^2) - a^8 (5 b^4 + 6 b^2 c^2 + 5 c^4) +
10 a^6 (b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 + c^6) - (b^2 - c^2)^2 (b^8 -
b^6 c^2 + 2 b^4 c^4 - b^2 c^6 + c^8) -
a^4 (10 b^8 + 3 b^6 c^2 + 6 b^4 c^4 + 3 b^2 c^6 + 10 c^8) +
a^2 (5 b^10 - 5 b^8 c^2 + 3 b^6 c^4 + 3 b^4 c^6 - 5 b^2 c^8 +
5 c^10)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-25.3112468940511, 15.3919826743027, 1.02612594581403).
X(11143) es el cociente baricéntrico entre el segundo entre y primer puntos de NapoleónLas tres rectas que unen cada vértice de un triángulo con el centro del triángulo equilátero levantado hacia el exterior sobre el lado opuesto concurren en el primer punto de Napoleón. Es el punto X17 de ETC.
Las tres rectas que unen cada vértice de un triángulo con el centro del triángulo equilátero levantado hacia el interior sobre el lado opuesto concurren en el segundo punto de Napoleón. Es el punto X18 de ETC. y
X(36980) es el centro ortológicoDos triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si las perpendiculares por A a B'C', por B a C'A' y por C a A'B' son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina centro de ortología o centro ortológico de ABC respecto a A'B'C'. Ocurre entonces que también las perpendiculares por A' a BC, por B' a CA y por C' a AB son concurrentes en centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC. La recta determinada por los centros de ortología se denomina eje de ortología.
Si los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos con centros P, P' entonces las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC son iguales a las coordenadas baricéntricas de P' wrt A'B'C' (http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10082). Es decir, la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', lleva P en P'
Los triángulos ortológicos se estudian desde 1827 cuando Jacob Steiner descubrió algunos datos básicos sobre ellos.
Dos triángulos son bilógicos si son perspectivos y ortológicos. El centro de perspectividad queda sobre el eje de ortología, que es perpendicular al eje de perspectividad. de los triángulos pedalEl triángulo pedal de un punto P respecto al triángulo ABC es el triángulo A'B'C' que tiene por vértices los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados de ABC.
A'=(0 : (b^2-c^2)u+a^2(u+2v) : (c^2-b^2)u+a^2(u+2w)),
si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P.
La circunferencia circunscrita al triángulo pedal de P, se conoce como circunferencia pedal de P.
El triángulo pedal del ortocentro se conoce como triángulo órtico.
El triángulo pedal del circuncentro es el triángulo medial.
El triángulo pedal del incentro es el triángulo de contacto interior . y reflexiónDado un punto P y un triangulo ABC, el triángulo reflexión de P es el obtenido reflejando P en los lados ABC.
El circuncentro del triángulo reflexión de P es el conjugado isogonal de P. del segundo punto de Fermat.
X(11144) es el cociente baricéntrico entre del primer y segundo puntos de Napoleón y
X(36978) es el centro ortológico de los triángulos pedal y reflexión del primer punto de FermatLas tres rectas que unen cada vértice de un triángulo con la cúspide del triángulo equilátero levantado hacia el exterior sobre el lado opuesto concurren en el primer punto de Fermat. Es el punto X13 de ETC.
Las tres rectas que unen cada vértice de un triángulo con la cúspide del triángulo equilátero levantado hacia el interior sobre el lado opuesto concurren en el segundo punto de Fermat. Es el punto X14 de ETC
Se les conoce tambié como puntos isogónicos.".
La cónica 𝒞t es una
hipérbola rectangular
(
𝔖abc xyz
(a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (a^4 - a^2 b^2 +
2 b^4 - 2 a^2 c^2 - b^2 c^2 + c^4) (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 -
a^2 c^2 - b^2 c^2 + 2 c^4) (3 a^6 b^2 - 7 a^4 b^4 + 5 a^2 b^6 -
b^8 + 3 a^6 c^2 - 8 a^4 b^2 c^2 - 3 a^2 b^4 c^2 + 4 b^6 c^2 -
7 a^4 c^4 - 3 a^2 b^2 c^4 - 6 b^4 c^4 + 5 a^2 c^6 + 4 b^2 c^6 -
c^8)x^2+ 2 (2 a^4 - a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 +
c^4) (a^16 - 8 a^14 b^2 + 28 a^12 b^4 - 56 a^10 b^6 + 70 a^8 b^8 -
56 a^6 b^10 + 28 a^4 b^12 - 8 a^2 b^14 + b^16 - 8 a^14 c^2 +
39 a^12 b^2 c^2 - 67 a^10 b^4 c^2 + 35 a^8 b^6 c^2 +
38 a^6 b^8 c^2 - 67 a^4 b^10 c^2 + 37 a^2 b^12 c^2 - 7 b^14 c^2 +
28 a^12 c^4 - 67 a^10 b^2 c^4 + 36 a^8 b^4 c^4 - 6 a^6 b^6 c^4 +
50 a^4 b^8 c^4 - 75 a^2 b^10 c^4 + 26 b^12 c^4 - 56 a^10 c^6 +
35 a^8 b^2 c^6 - 6 a^6 b^4 c^6 + 18 a^4 b^6 c^6 + 46 a^2 b^8 c^6 -
57 b^10 c^6 + 70 a^8 c^8 + 38 a^6 b^2 c^8 + 50 a^4 b^4 c^8 +
46 a^2 b^6 c^8 + 74 b^8 c^8 - 56 a^6 c^10 - 67 a^4 b^2 c^10 -
75 a^2 b^4 c^10 - 57 b^6 c^10 + 28 a^4 c^12 + 37 a^2 b^2 c^12 +
26 b^4 c^12 - 8 a^2 c^14 - 7 b^2 c^14 + c^16)y z = 0.
)
si
t=-((a^2 b^2 c^2 (a^2+b^2+c^2))/((b+c-a)^2 (a+b-c)^2 (a-b+c)^2 (a+b+c)^2)),
es decir, cuando P es:
W = ( a^2 (a^10-5 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (10 b^4+13 b^2 c^2+10 c^4)-5 a^4 (2 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+2 c^6)+5 a^2 (b^8-b^6 c^2-b^2 c^6+c^8)-(b^2-c^2)^2 (b^6+c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-22.1655966878598, -22.9766432070208, 29.7778467119341.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {32,1199}, {187,15032}, {1181,5023}, {1609,14912}, {3053,7592}, {5171,11412}, {5210,11456}, {5480,15109}, {6776,8553}, {8550,11063}, {8588,12112}, {9609,9752}, {10982,15815}, {11459,34883}, {36751,39588}.
Tres valores de t, para los cuales la cónica 𝒞t es degenerada:
t1 = -b^2c^2/(16 r^2 s^2),
t2 = -c^2a^2/(16 r^2 s^2),
t3 = -a^2b^2/(16 r^2 s^2),
donde r es el radio de la circunferencia inscrita y s el semiperímetro de ABC.
La cónica correspondiente a t1 consta del lado BC y la recta ℓa de ecuación:
(a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (a - b - c) (a + b - c) (a + c) (a - b + c) (a + b + c)x
-(a^2 - c^2) (a^6 - a^4 (b^2 + 2 c^2) +
a^2 (-b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4)+ (b^3 - b c^2)^2)y
+( -a^8 +
a^6 (3 b^2 + c^2) + a^4 (-3 b^4 + b^2 c^2 + c^4) +
a^2 (b^6 - 3 b^4 c^2 + b^2 c^4 - c^6)+ b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2)z=0.
Su punto singular es:
Sa = (0 : a^8 - b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 - a^6 (3 b^2 + c^2) +
a^4 (3 b^4 - b^2 c^2 - c^4) +
a^2 (-b^6 + 3 b^4 c^2 - b^2 c^4 + c^6) : -(a^2 - c^2) (a^6 -
a^4 (b^2 + 2 c^2) + (b^3 - b c^2)^2 +
a^2 (-b^4 - 2 b^2 c^2 + c^4))).
Las rectas ℓb, ℓc y los puntos Sb, Sc, se obtienen por permutación cíclica.
Las rectas ASa, BSb y ASc concurren en:
W = ( (a^2 - b^2)(a^2 - c^2) (a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) -
2 a^2 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(12.1582244063209, -3.63918542705645, 0.548612359259956).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {69,33565}, {76,7999}, {99,110}, {1286,35575}, {11261,18906}.
Las paralelas por A, B, C a la rectas ℓa, ℓb, ℓc, respectivamente, concurren en el punto de Steiner.
- Lunes, 4 de enero del 2021
Una construcción del X(2185)
El 4 de enero de 1643 nació Isaac Newton, físico, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés. Es autor de los Philosophiæ naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describe la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre.
Dado un triángulo ABC, sea DEF el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). del incentro I=X1. Las tangentes en E y F a la circunferencia circunscrita del triángulo AEF intersecan a BC en Ab y Ac, respectivamente. Sea A' el centro radicalEl centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias.
Si P es un punto en el plano y Γ una circunferencia, entonces para cualquier recta que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos M y N, se cumplirá que PM·PN es constante, independientemente de la recta. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P respecto a Γ. de las circunferencias circunscritas de AEF, BFAb y CEAc. Se definen B' y C' cíclicamente.
Las rectas
AA', BB', CC' concurren en
X2185.
- Viernes, 2 de enero del 2021
Una construcción del X(1105)
Hoy 2 de enero de 2021, a las 13.51 UTC (hora Universal), la Tierra está más cerca del Sol (147.093.162 Km) en lo que se conoce como perihelio, del griego «peri» (en torno a) y «hélios» (Sol). Desde el último perihelio han transcurrido 363 días; el próximo será dentro de 366 días, el 4 de enero de 2022.
Dado un triángulo ABC de circuncentro O=X3 y ortocentro H, sean MaMbMc su triángulo medialEl triángulo medial de un triángulo dado es el que tiene por vértices los puntos medios de sus lados.
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son (0:1:1), (1:0:1), (1:1:0). y DEF el triángulo cevianoSi ABC es un triángulo y P un punto, las rectas AP, BP y CP cortan a los lados opuestos del triángulo en A', B', C'. Al triángulo A'B'C' se le denomina triángulo ceviano de P. Cuando P es el ortocentro, triángulos ceviano y pedal coinciden: triángulo órtico.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, A'=(0:v:w). del conjugado isotómicoSea P un punto del plano del triángulo ABC, no situado en las rectas que contienen los lados. Sean A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas AP, BP, CP cortan a las rectas BC, CA, AB, respectivamente. Los simétricos de A1, B1, C1 respecto de los puntos medios de los lados BC, CA, AB son los puntos A2, B2, C2, respectivamente. Las rectas AA2, BB2, CC2 concurren en el conjugado isotómico tP=P• de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, las de P• son (vw:wu:uv). del circuncentro (X264).
Se considera la hipérbola, ℋa, que pasa por A, Ma y D, y sus asíntotas son paralelas a AO y AH. Se denota por Ao su centro y se definen cíclicamente los puntos Bo y Co.
La ecuación baricéntrica de ℋa es:
a^2 b^2 (a^2 - b^2 + c^2)y^2+ a^2 c^2 (a^2 + b^2 -
c^2)z^2 + a^2 ((b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2))y z -(a^2 - b^2) (b^2 -
c^2) (a^2 + b^2 - c^2)z x + (a^2 - c^2) (b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) x y = 0.
Su centro es:
Ao = (a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 3 (b^2 - c^2)^2 +
2 a^2 (b^2 + c^2)) :
-(a^2 + b^2 - c^2) (a^6 -
a^4 (b^2 + 2 c^2) + (b^3 - b c^2)^2 +
a^2 (-b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4)) :
-(a^2 - b^2 + c^2) (a^6 -
a^4 (2 b^2 + c^2) + (-b^2 c + c^3)^2 +
a^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 - c^4))).
Las rectas
AAo,
BBo y
CCo concurren en X
1105,
tripoloEl polo trilineal (o tripolo ) de una recta p, respecto a un triángulo ABC, es el punto tal que su tripolar es p. Si A''=p∩BC, B''=p∩CA y C''=p∩AB, sea A' el conjugado armónico de A'' respecto a B y C; B' y C' se definen similarmente. Las rectas AA', BB' y CC' concurren el tripolo P de p.
Si ux+vy+wz=0 es la ecuación baricéntrica de p, las coordenadas de P son (vw:wu:uv).
The trilinear pole of a line PU is the perspector of ABC and the vertex-triangle of the anticevian triangles of P and U. (Randy Hutson, April 9, 2016) de la
polarDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de
O (resp.
H) en la
circuncónicaDado un triángulo ABC, una cónica circunscrita es la que pasa por sus vértices.
Su ecuación baricéntrica es pyz+qxz+rxy=0 y las coordenadas de su centro son
(p (-p + q + r) : q (p - q + r) : (p + q - r) r).
Las polares de los vértices forman un triángulo perspectivo con ABC; el centro de perspectividad, (p:q:r), se conoce como perspector de la cónica. con
perspectorDado un triángulo ABC, el perspector de una cónica (no necesariamente circunscrita), respecto a ABC, es el centro de perspectividad de ABC y su triángulo polar, formado por las polares de los vértices de ABC respecto a la cónica.
Si la cónica está circunscrita a ABC, su perspector es el cociente ceviano del baricentro y su centro.
Si la cónica está inscrita en ABC, su perspector (punto de Brianchon) es el conjugado isotómico del anticomplemento de su centro. H (resp.
O).
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
La hipérbola ℋa como lugar geométrico, inspirado en un mensaje de AoPS:
Una circunferencia variable, 𝒜, que pasa por B y C, vuelve a cortar a los lados AC y AB en Ba y Ca, respectivamente.
Sean B'a y C'a las reflexiones de Ba y Ca en AC y AB, respectivamente.
Las circunferencias (ABaB'a) y (ACaC'a) se cortan (a parte de en A) en otro punto A'.
Las rectas BA' y CA' vuelven a cortar a (ABaB'a) y (ACaC'a) en Xb y Xc, respectivamente.
Los puntos Ba, Ca, Xb, Xc están sobre una misma circunferencia.
El lugar geométrico del centro de esta circunferencia, cuando la circunferencia 𝒜 varía, es la hipérbola ℋa.
- Viernes, 1 de enero del 2021
El punto de Clawson y una tripleta de triángulos perspectivos
El 1 de enero de 1899, en Cuba, el ejército español entrega la isla a Estados Unidos, que la había mantenido ocupada durante tres años.
Dado un triángulo ABC con incentro I=X1, la circunferencia de diámetro AI vuelve a cortar a la circunferencia circunscritaDado un triángulo ABC, la circunferencia circunscrita es la que pasa por sus vértices.
Su ecución baricéntrica es a²yz+b²zx+c²xy=0. en A1, cuya tangente en este punto interseca a la mediatriz de BC en A2. Se designa por ℓa la recta AA2, y se definen ℓb y ℓc, cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas:
A2 = (-a^2 (a^2 + (b - c)^2) :
b (b - c) (a^2 + b^2 - c^2) : -(b - c) c (a^2 - b^2 + c^2)).
Sean A'B'C' el triángulo formado por las rectas ℓa, ℓb, ℓc, y A"B"C" el triángulo formado por las polaresDado un punto P y una cónica, sean D, E, F, G los cuatro puntos de corte de la cónica con dos rectas por P. La recta diagonal p del cuatrivértice DEFG, que no pasa por P, es la polar de P (que se denomina polo de p) respecto a la cónica.
El polo de la recta que pasa por dos puntos sobre la cónica es el punto de intersección de las tangentes en tales puntos. de A', B', C', respecto a la circunferencia inscritaLa circunferencia inscrita en un triángulo ABC es aquella que, siendo interior, es tangente a todos sus lados. Su ecuación baricéntrica es:
a^2 y z+b^2 z x+c^2 x y -1/4 (x+y+z) ((b+c-a)^2 x+(a-b+c)^2 y+(a+b-c)^2 z)=0..
A' = (a (-a^4 + (b^2 - c^2)^2) : b (-a^4 + b^4 + 2 a^2 c^2 - c^4) :
c (-a^4 + 2 a^2 b^2 - b^4 + c^4)),
A" = (-a^2 (b - c)^2 + a^3 (b + c) + a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 :
b (-a^3 + a^2 (b + c) + (b - c) (b + c)^2 + a (-b^2 + c^2)) :
c (-a^3 + a^2 (b + c) - (b - c) (b + c)^2 + a (b^2 - c^2))).
La ecuación de la polar de A', respecto a la circunferencia inscrita, es:
(a^7 - a^5 (b - c)^2 - a^6 (b + c) +
a (b - c)^4 (b + c)^2 - (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + c^2) +
a^4 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) +
a^2 (b - c)^2 (b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3) -
a^3 (b^4 - 10 b^2 c^2 + c^4)) x +
(a^7 - a^5 (b - c)^2 -
a^6 (b + c) +
a^4 (b^3 + b^2 c - 3 b c^2 + c^3) - (b - c)^4 (b^3 + b^2 c +
b c^2 + c^3) - a^3 (b^4 - 6 b^2 c^2 + 4 b c^3 + c^4) +
a (b - c)^2 (b^4 + 2 b^2 c^2 + 4 b c^3 + c^4) +
a^2 (b^5 - 3 b^4 c - 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4 +
c^5)) y +
(a^7 - a^5 (b - c)^2 - a^6 (b + c) +
a^4 (b^3 - 3 b^2 c + b c^2 + c^3) - (b - c)^4 (b^3 + b^2 c +
b c^2 + c^3) - a^3 (b^4 + 4 b^3 c - 6 b^2 c^2 + c^4) +
a (b - c)^2 (b^4 + 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + c^4) +
a^2 (b^5 + b^4 c + 2 b^3 c^2 - 2 b^2 c^3 - 3 b c^4 + c^5)) z = 0.
ABC, A'B'C', A"B"C" forman un tripleta de triángulos perspectivos cuyos centros de perspectividad coinciden en el
punto de ClawsonEl punto de Clawson es el centro de homotecia de los triángulos órtico y extangencial. Es el punto X19 de ETC.
The Clawson point originates in one of Clawson's problem proposals in the American Mathematical Monthly: no. 3132, submitted in 1925, and solved in v. 33 (1926), page 285.
3132. [1925, 2041. Proposed by J. W. Clawson, Ursinus College.
The trilinear coordinates of the circumcenter of a triangle are: cos A, cos B, cos C; that is, the distances of this point from the sides of the triangle are proportional to cos A, cos B, and cos C respec tively. The points (sin A, sin B, sin C), (sec A, sec B, sec C), and (csc A, csc B, cscC) are also well- known points (symmedian, orthocenter, and centroid) which can be located by simple geometrical constructions.
Can the points (tan A, tan B, tan C) and (cot A, cot B, cot C) be found by simple geometrical con structions? Have the points been named
SOLUTION BY MICHAEL GOLDBERG, Philadelphia, Penn.
The point (tan A, tan B, tan C) may be constructed as follows: Draw a line parallel to AB at a distance tan C from it. To obtain tan C lay off along one side of the angle C an arbitrary unit length and erect a perpendicular at its end to meet the other side. Draw a line parallel to BC at a distance tan A intersecting the first parallel at D; similarly, a parallel to AC intersecting the first parallel at E. The desired point is the intersection of AE and BD.
The construction for (cot A, cot B, cot C) is similar. I am not aware that these points have special names.. Los ejes de perspectividad de los pares de triángulos de esta tripleta concurren (
Theorem 17. Smarandache and Pătraşcu) en:
T = ( a (b-c)(a^3-a^2 (b+c)-(b-c)^2 (b+c)+a (b+c)^2)(a^6+a^4 (b-c)^2-2 a^5 (b+c)+2 a^3 b c (b+c)-a^2 (b-c)^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+2 a (b^5-b^3 c^2-b^2 c^3+c^5)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC[1-40669] Enciclopedia de los Centros del triángulo (ETC) es una lista que consta al menos de 60741 puntos (17 de noviembre del 2023), o centros asociados geométricamente con cualquier triángulo. Está mantenida por Clark Kimberling, profesor de matemáticas en la Universidad de Evansville. Cada punto se identifica mediante un índice numérico en la forma X(n); Por ejemplo, X(1) es el incentro.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(-0.373079963472450, 1.73817240228519, 2.60950510962038).
Está sobre la recta X(661)X(663).
Sea DEF el triángulo de contacto interiorEl triángulo de contacto interior de un triángulo es el que tiene sus vértices en los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados. Es el triángulo pedal del incentro (I=X1) y el triángulo ceviano del punto de Gergonne (Ge=X7).
Las coordenadas baricéntricas de sus vértices son:
(0:a+b-c:a-b+c), (a+b-c:0:-a+b+c), (a-b+c:-a+b+c:0).
.
Los triángulos DEF y A'B'C' son perspectivos y el centro de perspectividad es:
W = ( a (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^6 + a^4 (b - c)^2 -
2 a^5 (b + c) + 2 a^3 b c (b + c) -
a^2 (b - c)^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) +
2 a (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.102383815594064, 0.616398926106776, 3.16667269509781).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,15278}, {4,990}, {6,33}, {9,8750}, {19,6059}, {162,2000}, {208,1876}, {1486,20613}, {1712,5728}, {2097,7716}, {2303,4183}, {2331,4319}, {3192,10382}, {4194,5807}, {5089,21002}.
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