Let A'B'C' be the cevian triangle of X(1). Let A" be the symmedian
point of triangle AB'C', and define B" and C" cyclically. Then the
lines AA", BB", CC" concur in X(81). (Eric Danneels, Hyacinthos 7892,
9/13/03)
Let A'B'C' be the incentral triangle. Let LA be the
reflection of B'C' in the internal angle bisector of vertex angle A,
and define LB and LC cyclically. Let A'' =
LB6cap;LC, B'' = LC∩LA,
C'' = LA∩LB. The lines AA'', BB'', CC''
concur in X(81). (Randy Hutson, 9/23/2011)
Let H* be the Stammler hyperbola. Let A'B'C' be the tangential triangle and A"B"C" be the excentral triangle. Let A* be the intersection of the tangents to H* at A' and A", and define B* and C* cyclically. The lines AA*, BB*, CC* concur in X(81). (Randy Hutson, February 10, 2016)
Let A'B'C' be the 2nd circumperp triangle. Let A" be the trilinear pole of line B'C', and define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(81). (Randy Hutson, February 10, 2016)
Let A'B'C' be the anticomplement of the Feuerbach triangle. Let A" be BB'?CC', and define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(81). (Randy Hutson, February 10, 2016)
Let Ba, Ca be the intersections of lines CA, AB, resp., and the antiparallel to BC through X(1). Define Cb, Ab, Ac, Bc cyclically. Triangles ABaCa, AbBCb, AcBcC are similar to each other and inversely similar to ABC. Let Sa be the similitude center of triangles AbBCb and AcBcC. Define Sb and Sc cyclically. The lines ASa, BSb, CSc concur in X(81). (Randy Hutson, February 10, 2016)
Dado un triángulo ABC, sean O su circuncentro y DEF el . La perpendicular por el incentro a la bisectriz en A y la recta EF cortan a BC en A1 y D1, respectivamente. Si A' es el puntos donde la bisectriz exterior en A vuelve a corta al circunferencia circunscrita a ABC, las rectas A'D1 y OA1 se cortan en A2. Procediendo cíclicamente, se definen los puntos B2 y C2.
A' = (-a^2 : b (b - c) : c (-b + c)),
A1 = (0 : b (a + b - c) : -c (a - b + c)),
D1 = (0 : a + b - c : -a + b - c),
A2 = (a^2 (b - c) (-a^2 + b^2 + c^2) : b^2 (a^2 (b - 3 c) +
2 a c (-b + c) - (b - c)^2 (b + c)) : c^2 (-2 a b (b - c) +
a^2 (3 b - c) + (b - c)^2 (b + c))).
La recta que contiene a los puntos A2, B2, C2 es bc(b+c)x + ac(a+c)y + ab(a+b)z = 0, que contiene a los Xi, para i = 36, 238, 513, 667, 859, 905, 1019, 1756, 2530, 3220, 3286, 3733, 3737, 3803, 4040, 4057, 4164, 4455, 4481, 4491, 4833, 4840, 4905, 4983, 14348, 14349, 14419, 16695, 16702, 18792, 20470, 21003, 21009, 21173, 21189, 21789, 23189, 23224, 23800, 24436, 30234, 31947.
El punto A2está en la recta que pasa por antipodal de A y por el punto de tangencia de la con la circunferencia circunscrita.
Lunes, 23 de diciembre del 2019
Circunferencias tangentes a los mixtilinear excircles
El 23 de diciembre de 1881 nació Juan Ramón Jiménez, poeta español. Ganó el Premio Nobel de Literatura en 1956, por el conjunto de su obra, entre la cual destaca la narración lírica "Platero y yo".
Dado un triángulo ABC, sean (Oa), (Ob) y (Oc) los .
Γa ( Ecuación baricéntrica: c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z-(8 a b^2 c^2 x (x+y+z))/((a-b-c) (a^2-2 a b+b^2-2 a c-2 b c+c^2)) = 0)
es la circunferencia tangente interiormente a (Oa) y que pasa por B y C. El punto de tangencia de estas circunferencias, Ta(-a (a+b-c) (a-b+c) (a^2+(b-c)^2-2 a (b+c)):-2 b^2 (a-b+c)^3:-2 (a+b-c)^3 c^2), se determina trazando la otra tangente, distinta de la tangente común de (Oa) y la circunferncia circunscrita, desde el punto de intersección de esta tangente común con la recta BC.
Γb es la circunferencia tangente interiormente a (Ob) y que pasa por C y A.
Γc es la circunferencia tangente interiormente a (Oc) y que pasa por A y B.
Para construir las circunferencias tangentes a las tres circunferencias Γa, Γb, Γc utilizamos el procedimiento debido a Adriaan van Roomen, descrito en HG021015. Las circunferencias tangentes a dos de ellas tienen sus centros en una cónica de focos en los centros de las dos circunferencias.
El centro de la circunferencia
tangente exteriormente ( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) ((2 (a^5 b^3 c-4 a^4 b^4 c+6 a^3 b^5 c-4 a^2 b^6 c+a b^7 c+2 a^5 b^2 c^2-4 a^4 b^3 c^2+4 a^2 b^5 c^2-2 a b^6 c^2+a^5 b c^3-4 a^4 b^2 c^3+4 a^3 b^3 c^3-a b^5 c^3-4 a^4 b c^4+4 a b^4 c^4+6 a^3 b c^5+4 a^2 b^2 c^5-a b^3 c^5-4 a^2 b c^6-2 a b^2 c^6+a b c^7) x)/((a^2-2 a b+b^2-2 a c-2 b c+c^2)^2 (a^3-a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3))+(2 (a^7 b c-4 a^6 b^2 c+6 a^5 b^3 c-4 a^4 b^4 c+a^3 b^5 c-2 a^6 b c^2+4 a^5 b^2 c^2-4 a^3 b^4 c^2+2 a^2 b^5 c^2-a^5 b c^3+4 a^3 b^3 c^3-4 a^2 b^4 c^3+a b^5 c^3+4 a^4 b c^4-4 a b^4 c^4-a^3 b c^5+4 a^2 b^2 c^5+6 a b^3 c^5-2 a^2 b c^6-4 a b^2 c^6+a b c^7) y)/((a^2-2 a b+b^2-2 a c-2 b c+c^2)^2 (a^3-a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3))+(2 (a^7 b c-2 a^6 b^2 c-a^5 b^3 c+4 a^4 b^4 c-a^3 b^5 c-2 a^2 b^6 c+a b^7 c-4 a^6 b c^2+4 a^5 b^2 c^2+4 a^2 b^5 c^2-4 a b^6 c^2+6 a^5 b c^3+4 a^3 b^3 c^3+6 a b^5 c^3-4 a^4 b c^4-4 a^3 b^2 c^4-4 a^2 b^3 c^4-4 a b^4 c^4+a^3 b c^5+2 a^2 b^2 c^5+a b^3 c^5) z)/((a^2-2 a b+b^2-2 a c-2 b c+c^2)^2 (a^3-a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3))) = 0)
a Γa, Γb, Γc es X954, de primera coordenada baricéntrica:
(a^5 + (b + c)(2a^2(b^2 + c^2 - a^2 + b c) - (b - c)^2(2b c + a b + a c)) : ... : ...).
Su radio es r R/(r+R), donde r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.
El radio de la circunferencia
tangente interiormente ( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-((2 (a^2 b^4 c^2-2 a b^5 c^2+b^6 c^2+2 a^2 b^3 c^3+2 a b^4 c^3-4 b^5 c^3+a^2 b^2 c^4+2 a b^3 c^4+6 b^4 c^4-2 a b^2 c^5-4 b^3 c^5+b^2 c^6) x)/(a^6-4 a^5 b+7 a^4 b^2-8 a^3 b^3+7 a^2 b^4-4 a b^5+b^6-4 a^5 c+8 a^4 b c-4 a^3 b^2 c-4 a^2 b^3 c+8 a b^4 c-4 b^5 c+7 a^4 c^2-4 a^3 b c^2+2 a^2 b^2 c^2-4 a b^3 c^2+7 b^4 c^2-8 a^3 c^3-4 a^2 b c^3-4 a b^2 c^3-8 b^3 c^3+7 a^2 c^4+8 a b c^4+7 b^2 c^4-4 a c^5-4 b c^5+c^6))-(2 (a^6 c^2-2 a^5 b c^2+a^4 b^2 c^2-4 a^5 c^3+2 a^4 b c^3+2 a^3 b^2 c^3+6 a^4 c^4+2 a^3 b c^4+a^2 b^2 c^4-4 a^3 c^5-2 a^2 b c^5+a^2 c^6) y)/(a^6-4 a^5 b+7 a^4 b^2-8 a^3 b^3+7 a^2 b^4-4 a b^5+b^6-4 a^5 c+8 a^4 b c-4 a^3 b^2 c-4 a^2 b^3 c+8 a b^4 c-4 b^5 c+7 a^4 c^2-4 a^3 b c^2+2 a^2 b^2 c^2-4 a b^3 c^2+7 b^4 c^2-8 a^3 c^3-4 a^2 b c^3-4 a b^2 c^3-8 b^3 c^3+7 a^2 c^4+8 a b c^4+7 b^2 c^4-4 a c^5-4 b c^5+c^6)-(2 (a^6 b^2-4 a^5 b^3+6 a^4 b^4-4 a^3 b^5+a^2 b^6-2 a^5 b^2 c+2 a^4 b^3 c+2 a^3 b^4 c-2 a^2 b^5 c+a^4 b^2 c^2+2 a^3 b^3 c^2+a^2 b^4 c^2) z)/(a^6-4 a^5 b+7 a^4 b^2-8 a^3 b^3+7 a^2 b^4-4 a b^5+b^6-4 a^5 c+8 a^4 b c-4 a^3 b^2 c-4 a^2 b^3 c+8 a b^4 c-4 b^5 c+7 a^4 c^2-4 a^3 b c^2+2 a^2 b^2 c^2-4 a b^3 c^2+7 b^4 c^2-8 a^3 c^3-4 a^2 b c^3-4 a b^2 c^3-8 b^3 c^3+7 a^2 c^4+8 a b c^4+7 b^2 c^4-4 a c^5-4 b c^5+c^6)) = 0)
a Γa, Γb, Γc es:
(4r R (r+2R)s^2)/(r^4+12r^3R+48r^2R^2+64r R^3-r^2s^2-4r R s^2-4R^2s^2),
donde s es el semiperímetro de ABC.
Su centro es:
W = ( a^2 (a^5-3 a^4 (b+c)+2 a^3 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^3+5 b^2 c+5 b c^2+c^3)-a (3 b^4+8 b^3 c+2 b^2 c^2+8 b c^3+3 c^4)+(b-c)^2 (b+c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-68.2738572200194, -18.4688578871718, 47.9378078899584).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,6}, {35,1190}, {644,6764}, {1170,8232}, {1174,3295}, {2348,7957}.
• La rectas UaaVaa, UbbVbb, UccVc concurren en X9.
• La rectas
UabVab, UacVac,
UbcVbc, UbaVba,
UcaVca, UcbVcb concurren en X9.
Sábado, 21 de diciembre del 2019
Ejes radicales concurrentes en el conjugado isogonal del punto intermedio
El 21 de diciembre de 1966 la Unión Soviética lanza la sonda espacial Luna 13, que consigue alunizar y recoger muestras de la superficie lunar. Exactamente dos años después, en Cabo Cañaveral (EE. UU.) despega la nave espacial Apolo 8, que circunvalará la Luna. Fue la primera misión tripulada que llegó a la órbita lunar.
Let Ja, Jb, Jc be the excenters and I the incenter of ABC. Let Ka be the symmedian point of JbJcI, and define Kb, Kc cyclically. Then KaKbKc is perspective to ABC at X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Let A' be the perspector of the circumconic centered at the A-excenter, and define B' and C'cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Let A'B'C' be the mixtilinear incentral triangle. Let A" be the trilinear pole of line B'C', and define B", C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Let A' be the perspector of the A-mixtilinear incircle, and define B' and C'cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Let A', B' and C'be the inverse-in-{circumcircle, incircle}-inverter of A, B, C. Let A"B"C" be the tangential triangle of A'B'C'. A"B"C" is perspective to the intouch triangle at X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Let A'B'C' be the orthic triangle. Let La be the reflection of line B'C' in the internal angle bisector of A, and define Lb and Lc cyclically. Let A" = Lb∩Lc, B" = Lc∩La, C" = La∩Lb. Triangle A"B"C" is homothetic to ABC, with center of homothety X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Let Oa be the circle passing through B and C, and tangent to the incircle. Define Ob and Oc cyclically. Let A' be the point of tangency of Oa and the incircle, and define B' and C' cyclically. Triangle A'B'C' is perspective to the intouch triangle at X(57). Also, X(57) is the radical center of circles Oa, Ob, Oc. (Randy Hutson, July 31 2018)
Let A'B'C' be the intouch triangle. Let A" be the trilinear product of the circumcircle intercepts of line B'C', and define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(57). (Randy Hutson, July 31 2018)
Let A1B1C1 be Gemini triangle 1. Let A' be the perspector of conic {{A,B,C,B1,C1}}, and define B' and C' cyclically. Triangle A'B'C' is the tangential of excentral triangle. The lines AA', BB', CC' concur in X(57). (Randy Hutson, January 15, 2019)
Let Va, Vb, Vc be the antipodes of V=X(40) in the circles (VBC), (VCA), (VAB), respectively. The lines AVa, BVb, CVc concur in X(57). (Angel Montesdeoca, October 14, 2019)
X(57) is the perspector of the intouch triangle and excentral triangle.
Dado un triángulo ABC sea DEF el . La paralela por D a la bisectriz del ángulo ∠BAC, vuelve a corta a la circunferencia inscrita en D' y la recta AD' en A'. Se desiga por ℓa el de las circunferencias circunscritas a los triángulos A'BF y A'CE. Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente.
D' = (-(a+b-c)(a-b+c)(b+c)^2 : -b^2(a+b-c)(-a+b+c) : (a-b-c)c^2(a-b+c)),
A' = ((b-c)^2(a+b-c)(a-b+c) : b^2(a+b-c)(-a+b+c) : -(a-b-c)c^2(a-b+c)),
ℓa: b c(a-b-c)(b-c) x -
c(a-b+c)(-b^2+a c+2b c-c^2) y +
b(a+b-c)(a b-b^2+2b c-c^2) z = 0.
Viernes, 20 de diciembre del 2019
Cónica asociada a la reflexión de un triángulo en su incentro
El 20 de diciembre de 1838 nació Edwin Abbott, profesor, escritor y teólogo inglés, conocido por ser el autor de la sátira matemática "Planilandia, una novela de muchas dimensiones" (1884). Es un cuento de las aventuras de un cuadrado en Lineland y Spaceland. En él Abbott intenta popularizar las nociones de geometría multidimensional pero el libro es también una sátira inteligente de los valores sociales, morales, y religiosos del período.
Dado un triángulo ABC y A'B'C' su reflexión en el incentro. La recta B'C' corta a AC y AB en Ab y a Ac, respectivamente; la recta C'A' corta a BA y a BC en Bc y Ba, respectivamente; y la recta A'B' corta a CB y CA en Ca y Cb, respectivamente.
Sea 𝒞a la cónica que pasa por los cinco puntos A, Ba, Bc, Ca y Cb. La recta B'C' corta a 𝒞a en dos puntos A1 y A2. Procediendo cíclicamente, se definen los puntos B1, B2 y C1, C2.
Los puntos A1, A2, B1, B2, C1 y C2 están sobre una misma
cónica, ( 2 a^2 b x^2-2 b^3 x^2+2 a^2 c x^2-8 a b c x^2+2 b^2 c x^2+2 b c^2 x^2-2 c^3 x^2-a^3 x y+5 a^2 b x y+5 a b^2 x y-b^3 x y+7 a^2 c x y-10 a b c x y+7 b^2 c x y+5 a c^2 x y+5 b c^2 x y-3 c^3 x y-2 a^3 y^2+2 a b^2 y^2+2 a^2 c y^2-8 a b c y^2+2 b^2 c y^2+2 a c^2 y^2-2 c^3 y^2-a^3 x z+7 a^2 b x z+5 a b^2 x z-3 b^3 x z+5 a^2 c x z-10 a b c x z+5 b^2 c x z+5 a c^2 x z+7 b c^2 x z-c^3 x z-3 a^3 y z+5 a^2 b y z+7 a b^2 y z-b^3 y z+5 a^2 c y z-10 a b c y z+5 b^2 c y z+7 a c^2 y z+5 b c^2 y z-c^3 y z-2 a^3 z^2+2 a^2 b z^2+2 a b^2 z^2-2 b^3 z^2-8 a b c z^2+2 a c^2 z^2+2 b c^2 z^2 = 0)
cuyo centro es:
W = ( 5 a^2 - b^2 + 6 b c - c^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.11959321027152, 1.49355302158373, 1.62839244683956).
Es la reflexión de X17251 en X10022.
Y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {1,4454}, {2,7}, {6,4402}, {8,524}, {37,4488}, {69,7229}, {75,1992}, {145,4659}, {190,5308}, {193,17116}, {239,5032}, {320,21356}, {335,17487}, {346,3664}, {391,25590}, {404,24328}, {519,4307}, {536,3241}, {551,4310}, {594,15533}, {597,4000}, {599,2345}, {1002,6007}, {1266,17014}, {1267,13757}, {1278,4460}, {1449,4452}, {1654,5936}, {2297,7274}, {2325,29621}, {3161,4648}, {3616,4419}, {3618,7321}, {3629,4371}, {3729,3945}, {3758,5222}, {3875,27830}, {3879,4461}, {3946,4373}, {4346,17023}, {4361,7231}, {4364,5550}, {4440,26626}, {4470,4643}, {4472,4748}, {4480,16831}, {4645,4715}, {4672,16020}, {4675,29627}, {4713,26103}, {4796,20050}, {4869,4888}, {4887,29598}, {4896,17284}, {4911,33190}, {5391,13637}, {5543,27340}, {5564,11008}, {5731,29069}, {5764,16393}, {5839,7277}, {7081,9740}, {7227,22165}, {7232,20582}, {9309,17049}, {9843,14269}, {10022,17251}, {11160,17364}, {11238,25729}, {12436,15687}, {13639,32794}, {13759,32793}, {16670,24599}, {16826,20073}, {17092,25099}, {17224,17378}, {17237,26039}, {17261,29622}, {17296,32093}, {17318,20057}, {17347,31144}, {17369,21358}, {17740,31179}, {17951,27818}, {19822,31143}, {24231,25055}, {24315,26062}.
Jueves, 19 de diciembre del 2019
Un centro que no figura actualmente en ETC
El 19 de diciembre de 1783 nació Charles Julien Brianchon, matemático francés. Escribió (1820) con Jean Victor Poncelet una demostración del teorema del círculo de nueve puntos, fue el primero en dar una demostración y, por primera vez utilizó la denominación aún hoy en uso. El teorema de Brianchon recibió esta denominación en su memoria.
Dado un triángulo ABC, sea DEF el . La paralela por D a la bisectriz en A vuelve a cortar a la circunferencia inscrita en D'. Las rectas BD' y CD' vuelven a cortar a la circunferencia inscrita en Ab y Ac, respectivamente. Sea ℓa la recta que pasa por ellos.
Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb y las rectas ℓb y ℓc, se definen cíclicamente.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad
W = ( (b+c)/((b+c-a)(a b+b^2+a c+3 b c+c^2)): : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.710932924314480, 0.786977672085665, 2.76771089770300).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {56,551}, {65,4714}, {1400,3649}.
En lugar de la circunferencia inscrita, tomamos una cónica inscrita c(P) de perspector P y centro P0 ( del baricentro y P).
Sea DEF el de P. La paralela por D a AP0 vuelve a corta a c(P) en D'. Las rectas BD' y CD' vuelven a corta a c(P) en Ab y Ac, respectivamente. Los puntos Bc, Ba y Ca, Cb se definen cíclicamente.
El triángulo formado por las rectas AbAc, BcBa y CaCb es perspectivo a ABC
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de perspectividad es:
Q = (u (u v+u w+2 v w)/(2 u^2 v^2+5 u^2 v w+7 u v^2 w+2 u^2 w^2+7 u v w^2+5 v^2 w^2) : ... : ...).
El 16 de diciembre de 1921 falleció, a los 86 años, Charles Camille Saint-Saëns, compositor, director de orquesta, organista, pianista y militar francés.
Se le recuerda especialmente por algunas obras populares, como la ópera Sansón y Dalila y sobre todo por El carnaval de los animales.
Dado un triángulo ABC con DEF, sean Ab el punto medio de A y la reflexión en AC de la reflexión de A en BC y Ac el punto medio de A y la reflexión en AB de la reflexión de A en BC. Los puntos Bc, Ba, Ca, Cb se definen cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas,
Ab es el punto de intersección de EF con la perpendicular por D a AC y Ac es el punto de intersección de EF con la perpendicular por D a AB y, como ABC y DEF son , entonces los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb están sobre una misma
cónica, ( a^10 x^2-3 a^8 b^2 x^2+2 a^6 b^4 x^2+2 a^4 b^6 x^2-3 a^2 b^8 x^2+b^10 x^2-3 a^8 c^2 x^2+7 a^6 b^2 c^2 x^2-6 a^4 b^4 c^2 x^2+3 a^2 b^6 c^2 x^2-b^8 c^2 x^2+2 a^6 c^4 x^2-6 a^4 b^2 c^4 x^2+4 a^2 b^4 c^4 x^2+2 a^4 c^6 x^2+3 a^2 b^2 c^6 x^2-3 a^2 c^8 x^2-b^2 c^8 x^2+c^10 x^2+2 a^10 x y-6 a^8 b^2 x y+4 a^6 b^4 x y+4 a^4 b^6 x y-6 a^2 b^8 x y+2 b^10 x y-4 a^8 c^2 x y+6 a^6 b^2 c^2 x y-4 a^4 b^4 c^2 x y+6 a^2 b^6 c^2 x y-4 b^8 c^2 x y-2 a^6 c^4 x y+2 a^4 b^2 c^4 x y+2 a^2 b^4 c^4 x y-2 b^6 c^4 x y+10 a^4 c^6 x y+6 a^2 b^2 c^6 x y+10 b^4 c^6 x y-8 a^2 c^8 x y-8 b^2 c^8 x y+2 c^10 x y+a^10 y^2-3 a^8 b^2 y^2+2 a^6 b^4 y^2+2 a^4 b^6 y^2-3 a^2 b^8 y^2+b^10 y^2-a^8 c^2 y^2+3 a^6 b^2 c^2 y^2-6 a^4 b^4 c^2 y^2+7 a^2 b^6 c^2 y^2-3 b^8 c^2 y^2+4 a^4 b^2 c^4 y^2-6 a^2 b^4 c^4 y^2+2 b^6 c^4 y^2+3 a^2 b^2 c^6 y^2+2 b^4 c^6 y^2-a^2 c^8 y^2-3 b^2 c^8 y^2+c^10 y^2+2 a^10 x z-4 a^8 b^2 x z-2 a^6 b^4 x z+10 a^4 b^6 x z-8 a^2 b^8 x z+2 b^10 x z-6 a^8 c^2 x z+6 a^6 b^2 c^2 x z+2 a^4 b^4 c^2 x z+6 a^2 b^6 c^2 x z-8 b^8 c^2 x z+4 a^6 c^4 x z-4 a^4 b^2 c^4 x z+2 a^2 b^4 c^4 x z+10 b^6 c^4 x z+4 a^4 c^6 x z+6 a^2 b^2 c^6 x z-2 b^4 c^6 x z-6 a^2 c^8 x z-4 b^2 c^8 x z+2 c^10 x z+2 a^10 y z-8 a^8 b^2 y z+10 a^6 b^4 y z-2 a^4 b^6 y z-4 a^2 b^8 y z+2 b^10 y z-8 a^8 c^2 y z+6 a^6 b^2 c^2 y z+2 a^4 b^4 c^2 y z+6 a^2 b^6 c^2 y z-6 b^8 c^2 y z+10 a^6 c^4 y z+2 a^4 b^2 c^4 y z-4 a^2 b^4 c^4 y z+4 b^6 c^4 y z-2 a^4 c^6 y z+6 a^2 b^2 c^6 y z+4 b^4 c^6 y z-4 a^2 c^8 y z-6 b^2 c^8 y z+2 c^10 y z+a^10 z^2-a^8 b^2 z^2-a^2 b^8 z^2+b^10 z^2-3 a^8 c^2 z^2+3 a^6 b^2 c^2 z^2+4 a^4 b^4 c^2 z^2+3 a^2 b^6 c^2 z^2-3 b^8 c^2 z^2+2 a^6 c^4 z^2-6 a^4 b^2 c^4 z^2-6 a^2 b^4 c^4 z^2+2 b^6 c^4 z^2+2 a^4 c^6 z^2+7 a^2 b^2 c^6 z^2+2 b^4 c^6 z^2-3 a^2 c^8 z^2-3 b^2 c^8 z^2+c^10 z^2 = 0)
𝒞, denominada de DEF respecto a ABC. En consecuencia las restas BaCa, CbAb, AcBc, determinan un triángulo A'B'C' perspectivo con DEF (𝒞 es la de DEF y A'B'C').
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad el circuncentro, los triángulos ABC y DEF son perspectivos (por definición), con centro de perspectividad el ortocentro, y los triángulos DEF y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad el X3575. Estos tres centros están alineados (sobre la recta de Euler) y sus tres ejes de perspectividad coinciden con el .
El punto fijo (finito) de la aplicación afín que transforma ABC en A'B'C' es X571.
La matriz M asociada de la transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' tiene las entradas:
El 15 de diciembre de 1802 nació Johann Bolyai, matemático húngaros famoso por sus trabajos sobre geometría no euclidea, compartiendo la autoría de su descubrimiento de forma independiente con el ruso Nikolái Lobachevski.
Dados un triángulo ABC y un punto U, de coordenadas baricéntricas (u:v:w), el lugar geométrico del punto cuyos , respecto a ABC y a su , tienen la misma área es la circunferencia de ecuación:
𝔖abc uvw xyz
4 a^2 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 (-c^2 u^2 v^2+a^2 u^2 v w-b^2 u^2 v w-c^2 u^2 v w+a^2 u v^2 w-b^2 u v^2 w-c^2 u v^2 w-b^2 u^2 w^2+a^2 u v w^2-b^2 u v w^2-c^2 u v w^2+a^2 v^2 w^2) x^2-a^2 (c^2 u^2 v^2+a^2 u^2 v w-b^2 u^2 v w-c^2 u^2 v w+a^2 u v^2 w-b^2 u v^2 w+c^2 u v^2 w+b^2 u^2 w^2+a^2 u v w^2+b^2 u v w^2-c^2 u v w^2+a^2 v^2 w^2) (c^4 u^4 v^4-2 a^2 c^2 u^4 v^3 w+2 b^2 c^2 u^4 v^3 w+2 c^4 u^4 v^3 w+a^4 u^4 v^2 w^2-2 a^2 b^2 u^4 v^2 w^2+b^4 u^4 v^2 w^2-2 a^2 c^2 u^4 v^2 w^2+4 b^2 c^2 u^4 v^2 w^2+c^4 u^4 v^2 w^2-4 b^2 c^2 u^3 v^3 w^2-a^4 u^2 v^4 w^2+2 a^2 b^2 u^2 v^4 w^2-b^4 u^2 v^4 w^2+2 b^2 c^2 u^2 v^4 w^2-c^4 u^2 v^4 w^2-2 a^2 b^2 u^4 v w^3+2 b^4 u^4 v w^3+2 b^2 c^2 u^4 v w^3-4 b^2 c^2 u^3 v^2 w^3+2 a^2 b^2 u^2 v^3 w^3-2 b^4 u^2 v^3 w^3+2 a^2 c^2 u^2 v^3 w^3+4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3-2 c^4 u^2 v^3 w^3+b^4 u^4 w^4-a^4 u^2 v^2 w^4-b^4 u^2 v^2 w^4+2 a^2 c^2 u^2 v^2 w^4+2 b^2 c^2 u^2 v^2 w^4-c^4 u^2 v^2 w^4+a^4 v^4 w^4) y z + ... = 0.
En caso de que U sea el baricentro, esta circunferencia degenera en el producto de la y el .
Si ABC es un triángulo, de DEF, entonces el X468 (inverso en la circunferencia circunscrita del centro de homotecia de los triángulos órtico y ) es el único punto cuyos triángulos pedales (no degenerados) y ,
respecto a ABC y DEF, tienen la misma área y son .
que tiene números de búsqueda en
(1.07090034736716, 0.0760964002793503, 3.09372065985229).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {5,141}, {66,12290}, {468,2393}, {1503,16270}, {1514,15738}, {1995,8542}, {5094,9971}, {5159,9019}, {6000,32274}, {6593,8681}, {7505,15073}, {10510,11284}, {18374,32251}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.37932471590442, 2.54438079779461, 0.781020214555302).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6}, {468,2393}, {1177,1205}, {2781,15471}, {3147,18919}, {3292,32245}, {5181,8681}, {8262,13567}, {8705,11746}, {12061,23326}, {15074,34351}, {16511,19510}.
Al tomar un punto variable sobre el eje órtico, el de sus correspondientes tiángulos pedales y envuelve la
parábola ( (a^12 - 6 a^10 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)^4 +
5 a^8 (3 b^4 + 2 b^2 c^2 + 3 c^4) +
3 a^4 (b^2 - c^2)^2 (5 b^4 + 6 b^2 c^2 + 5 c^4) -
2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (3 b^6 + 5 b^4 c^2 + 5 b^2 c^4 + 3 c^6) -
4 a^6 (5 b^6 - b^4 c^2 - b^2 c^4 + 5 c^6)) x^2 +
2 (a^12 + (b^2 - c^2)^6 - 2 a^10 (b^2 + c^2) -
2 a^2 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + 4 a^6 (b^2 + c^2)^3 -
a^8 (b^4 + 14 b^2 c^2 + c^4) -
a^4 (b^8 - 4 b^6 c^2 + 22 b^4 c^4 - 4 b^2 c^6 + c^8)) y z + ... = 0)
de foco el centro de la y directriz la del del ortocentro.
Viernes, 13 de diciembre del 2019
Lugares geométricos y cociente ceviano
El 13 de diciembre de 1887 nació George Pólya, matemático húngaro. Realizó contribuciones fundamentales en combinatoria, teoría de números, análisis numérico y teoría de la probabilidad.
La conjetura de Pólya (1919), que resultó ser falsa, enuncia que:
Para cualquier n (> 1), si dividimos los números naturales menores o iguales a n (excluyendo el 0) por aquellos que tienen un número impar de factores primos, y si análogamente los dividimos por aquellos que tienen un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene más elementos que el último, o bien, tienen igual cantidad de elementos.
El contraejemplo más pequeño es n = 906.150.257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980.
Dados un triángulo ABC de baricentro G, un punto P y un punto M sobre la recta AP, se consideran las circunferencias (BPM) y (CPM) que vuelven a cortar a la recta BC en Ab y Ac, respectivamente. La recta PAb interseca a AC en Pab y la recta PAc interseca a AB en Pac. Las rectas AcPab y AbPac es cortan en A'.
El lugar geométrico de A', cuando M varía en AP, es una recta ℓa. Las rectas ℓb y ℓc se define cíclicamente.
que recorre, al variar M, la recta ℓa, de ecuación (v-w)x+u y-u z = 0. Esta recta pasa por Ma(0:1:1) y Pa(-u:v:w), vértices del (triángulo ceviano de G) y del de P, respectivamente.
Jueves, 12 de diciembre del 2019
La cuártica conjugada isogonal de la circunferencia de los nueve puntos
Q120 is the isogonal transform of the , and the locus of X(3)- of M, X(3)cM, when M traverses the circumcircle.
Dado un triángulo ABC y un punto P, sean Ab y Ac las reflexiones en la bisectriz exterior en A, de B y C, respectivamente. Las paralelas por
Ab y Ac a PB y PC, cortan a la recta BC en Pab y Pac, respectivamente.
Sean Oab y Oac los circuncentros de los triángulo BAcPac y CAbPab, respectivamente. A' es el punto de intersección de la rectas BOab y COac.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A' = (a^2 (c^2 (-u + v) + a^2 (u + v) - b^2 (u + v)) (b^2 (-u + w) +
a^2 (u + w) - c^2 (u + w)) :
-b^2 (c^2 (-u + v) + a^2 (u + v) -
b^2 (u + v)) ((-b^2 + c^2) u +
a^2 (u + 2 w)) :
-c^2 ((b^2 - c^2) u +
a^2 (u + 2 v)) (b^2 (-u + w) + a^2 (u + w) - c^2 (u + w))).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB' y CC' concurren en un punto Q si y solo si P está en la recta del infinito o sobre la circunferencia circunscrita.
Si P está en la recta del infinito, Q es el antipodal del P* de P.
El lugar geométrico de Q, cuando P varía sobre la circunferencia circunscrita, es la cuártica Q120,
𝔖abc xyz
a^2 y z (a^2 (-a^2 + b^2 + c^2) y z-2 b^2 c^2 x^2)= 0,
con puntos dobles en A, B, C y pasa por los centros Xi, para i: 59, 249, 250, 2065, 10419, 15378, 15379, 15380, 15381, 15382, 15383, 15384, 15385, 15386, 15387, 15388, 15395, 15396, 15397, 15401, 15402, 15403, 15404, 15405, 15406, 15407, 15460, 15461.
Miércoles, 11 de diciembre del 2019
Parábolas circunscritas a un triángulo y tangentes al eje radical de la circunferencias inscrita y circunscrita
Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' el , p el de ABC y A'B'C', y ℓ el de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.
Existen cuatro parábolas circunscritas a ABC y tangentes a ℓ (§4.2. Parabola by three points and a tangent. Paris Pamfilos).
Tres de tales parábolas son tangentes a ℓ en los puntos Ta, Tb, Tc, donde esta recta corta a los lados de A'B'C' (sus ejes tienen la dirección de estos lados).
La
cuarta parábola ( a^2 x y-2 a b x y+b^2 x y+a^2 x z-2 a c x z+c^2 x z+b^2 y z-2 b c y z+c^2 y z = 0)
es tangente a ℓ en X3676=ℓ∩p; pasa por los centros X514 (dirección del eje), X693, X927, X3676, X4444, X4555, X4583, X4608, X4817, X6548, X6549, X7192,
X15634, X17925, X17930; su eje es paralelo a la recta p; y su foco es:
F = ( (b-c) (-a^6-6 a^4 b c+2 a^5 (b+c) +a^2 b c (b^2-3 b c+c^2) -a (b-c)^4 (b+c)+(b-c)^4 (b^2+b c+c^2)-a^3 (b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-1.17236976876276, 5.08532888877957, 0.661145913719797).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {101,6545}, {116,21204}, {150,6548}, {514,6710}, {1358,21201}, {3676,24201}, {14475,31273}.
Martes, 10 de diciembre del 2019
El foco de la parábola de Kiepert y una única hipérbola rectángular
El 10 de diciembre de 1804 nació Carl Gustav Jakob Jacobi, matemático judío alemán. Contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales.
Varios conceptos en Matemáticas llevan su nombre:
Ecuación de Jacobi,
Ecuación de Hamilton-Jacobi,
Función elíptica de Jacobi,
Identidad de Jacobi,
Método de Jacobi,
Símbolo de Jacobi,
Producto triple de Jacobi,
Jacobiano.
Dados un triángulo ABC y un punto P de coordenadas baricéntricas (u:v:w), sean Ba y Ca los centros de las circunferencia tangentes a AP en P y que pasan por B y C, respectivamente.
Los puntos Cb y Ab, Ac y Bc, se definen cíclicamente.
Los seis puntos Ba, Ca, Cb, Ab, Ac, Bc están en una cónica
c(P) ( (-a^2 v w+c^2 v (v+w)+b^2 w (v+w)) (b^4 w (v (v+w)^2-u^2 (3 v+5 w)-2 u (v^2-w^2))+v (a^4 w (-2 u^2+2 v^2-3 v w+2 w^2)+c^4 (w (v+w)^2-u^2 (5 v+3 w)+2 u (v^2-w^2))+a^2 c^2 (u^2 (4 v+5 w)+3 w (v^2-w^2)+2 u (2 v^2-v w+w^2)))+b^2 (c^2 (u^4+u^2 (v-w)^2+4 u^3 (v+w)-2 u (v-w)^2 (v+w)-2 v w (v+w)^2)+a^2 w (-3 v^3+3 v w^2+u^2 (5 v+4 w)+2 u (v^2-v w+2 w^2)))) x^2+(a^6 v w (3 u^4+5 u^3 (v+w)-v w (v^2-12 v w+w^2)+u^2 (v^2+18 v w+w^2)-u (v^3-12 v^2 w-12 v w^2+w^3))+u^2 (c^6 v (u^3-u^2 (7 v+w)+u (6 v^2-5 v w-5 w^2)+w (5 v^2+2 v w-3 w^2))+b^6 w (u^3-u^2 (v+7 w)+v (-3 v^2+2 v w+5 w^2)+u (-5 v^2-5 v w+6 w^2))+b^4 c^2 (u^3 (4 v+7 w)+v w (11 v^2-2 v w-13 w^2)+u^2 (8 v^2-v w-3 w^2)+u (4 v^3+3 v^2 w+7 v w^2-10 w^3))+b^2 c^4 (u^3 (7 v+4 w)-u^2 (3 v^2+v w-8 w^2)+v w (-13 v^2-2 v w+11 w^2)+u (-10 v^3+7 v^2 w+3 v w^2+4 w^3)))+a^4 (-c^2 v (-u^5+u^4 (2 v+7 w)+u^3 (8 v^2+v w+15 w^2)+v w (2 v^3+11 v^2 w+8 v w^2-w^3)+u^2 (6 v^3+9 v^2 w+22 v w^2+5 w^3)+u (v^4+17 v^3 w+6 v^2 w^2+22 v w^3-2 w^4))-b^2 w (-u^5+u^4 (7 v+2 w)+u^3 (15 v^2+v w+8 w^2)+v w (-v^3+8 v^2 w+11 v w^2+2 w^3)+u^2 (5 v^3+22 v^2 w+9 v w^2+6 w^3)+u (-2 v^4+22 v^3 w+6 v^2 w^2+17 v w^3+w^4)))+a^2 u (b^4 w (-2 u^4-v^4+10 v^3 w+6 v^2 w^2-6 v w^3-w^4+u^3 (5 v+9 w)+u^2 (15 v^2+v w+6 w^2)+u (7 v^3+2 v^2 w+15 v w^2-6 w^3))+c^4 v (-2 u^4-v^4-6 v^3 w+6 v^2 w^2+10 v w^3-w^4+u^3 (9 v+5 w)+u^2 (6 v^2+v w+15 w^2)+u (-6 v^3+15 v^2 w+2 v w^2+7 w^3))+b^2 c^2 (v^5+7 v^4 w-16 v^3 w^2-16 v^2 w^3+7 v w^4+w^5-5 u^4 (v+w)-2 u^3 (3 v^2-5 v w+3 w^2)+2 u^2 (2 v^3-5 v^2 w-5 v w^2+2 w^3)+2 u (3 v^4-9 v^3 w+2 v^2 w^2-9 v w^3+3 w^4)))) y z + ... = 0)
(euclid #338 (César Lozada)).
El foco de la es el único punto sobre la circunferencia circunscrita para el que la cónica c(P) es una .
El lugar geométrico del punto P tal que c(P) es una hipérbola rectangular es la
cuártica ( a^2 c^2 x^3 y-3 b^2 c^2 x^3 y-c^4 x^3 y-2 a^2 c^2 x^2 y^2-2 b^2 c^2 x^2 y^2+4 c^4 x^2 y^2-3 a^2 c^2 x y^3+b^2 c^2 x y^3-c^4 x y^3+a^2 b^2 x^3 z-b^4 x^3 z-3 b^2 c^2 x^3 z+3 a^4 x^2 y z-5 a^2 b^2 x^2 y z+2 b^4 x^2 y z-5 a^2 c^2 x^2 y z+2 c^4 x^2 y z+2 a^4 x y^2 z-5 a^2 b^2 x y^2 z+3 b^4 x y^2 z-5 b^2 c^2 x y^2 z+2 c^4 x y^2 z-a^4 y^3 z+a^2 b^2 y^3 z-3 a^2 c^2 y^3 z-2 a^2 b^2 x^2 z^2+4 b^4 x^2 z^2-2 b^2 c^2 x^2 z^2+2 a^4 x y z^2+2 b^4 x y z^2-5 a^2 c^2 x y z^2-5 b^2 c^2 x y z^2+3 c^4 x y z^2+4 a^4 y^2 z^2-2 a^2 b^2 y^2 z^2-2 a^2 c^2 y^2 z^2-3 a^2 b^2 x z^3-b^4 x z^3+b^2 c^2 x z^3-a^4 y z^3-3 a^2 b^2 y z^3+a^2 c^2 y z^3 = 0)
, 𝒬, que pasa por los vértices de ABC y por X110 (foco de la parabola de Kiepert).
El centro de la hipérbola rectangular
c(X110) ( a^8 b^6 c^4 x^2-a^6 b^8 c^4 x^2+a^2 b^12 c^4 x^2-b^14 c^4 x^2-a^8 b^4 c^6 x^2+a^4 b^8 c^6 x^2-2 a^2 b^10 c^6 x^2+5 b^12 c^6 x^2+a^6 b^4 c^8 x^2-a^4 b^6 c^8 x^2-10 b^10 c^8 x^2+2 a^2 b^6 c^10 x^2+10 b^8 c^10 x^2-a^2 b^4 c^12 x^2-5 b^6 c^12 x^2+b^4 c^14 x^2+a^12 b^2 c^4 x y+a^10 b^4 c^4 x y-4 a^8 b^6 c^4 x y+4 a^6 b^8 c^4 x y-a^4 b^10 c^4 x y-a^2 b^12 c^4 x y-4 a^10 b^2 c^6 x y+a^8 b^4 c^6 x y-a^4 b^8 c^6 x y+4 a^2 b^10 c^6 x y+6 a^8 b^2 c^8 x y-a^6 b^4 c^8 x y+a^4 b^6 c^8 x y-6 a^2 b^8 c^8 x y-4 a^6 b^2 c^10 x y+4 a^2 b^6 c^10 x y+a^4 b^2 c^12 x y-a^2 b^4 c^12 x y+a^14 c^4 y^2-a^12 b^2 c^4 y^2+a^8 b^6 c^4 y^2-a^6 b^8 c^4 y^2-5 a^12 c^6 y^2+2 a^10 b^2 c^6 y^2-a^8 b^4 c^6 y^2+a^4 b^8 c^6 y^2+10 a^10 c^8 y^2+a^6 b^4 c^8 y^2-a^4 b^6 c^8 y^2-10 a^8 c^10 y^2-2 a^6 b^2 c^10 y^2+5 a^6 c^12 y^2+a^4 b^2 c^12 y^2-a^4 c^14 y^2-a^12 b^4 c^2 x z+4 a^10 b^6 c^2 x z-6 a^8 b^8 c^2 x z+4 a^6 b^10 c^2 x z-a^4 b^12 c^2 x z-a^10 b^4 c^4 x z-a^8 b^6 c^4 x z+a^6 b^8 c^4 x z+a^2 b^12 c^4 x z+4 a^8 b^4 c^6 x z-a^4 b^8 c^6 x z-4 a^2 b^10 c^6 x z-4 a^6 b^4 c^8 x z+a^4 b^6 c^8 x z+6 a^2 b^8 c^8 x z+a^4 b^4 c^10 x z-4 a^2 b^6 c^10 x z+a^2 b^4 c^12 x z+a^12 b^4 c^2 y z-4 a^10 b^6 c^2 y z+6 a^8 b^8 c^2 y z-4 a^6 b^10 c^2 y z+a^4 b^12 c^2 y z-a^12 b^2 c^4 y z-a^8 b^6 c^4 y z+a^6 b^8 c^4 y z+a^4 b^10 c^4 y z+4 a^10 b^2 c^6 y z+a^8 b^4 c^6 y z-4 a^4 b^8 c^6 y z-6 a^8 b^2 c^8 y z-a^6 b^4 c^8 y z+4 a^4 b^6 c^8 y z+4 a^6 b^2 c^10 y z-a^4 b^4 c^10 y z-a^4 b^2 c^12 y z-a^14 b^4 z^2+5 a^12 b^6 z^2-10 a^10 b^8 z^2+10 a^8 b^10 z^2-5 a^6 b^12 z^2+a^4 b^14 z^2+a^12 b^4 c^2 z^2-2 a^10 b^6 c^2 z^2+2 a^6 b^10 c^2 z^2-a^4 b^12 c^2 z^2+a^8 b^6 c^4 z^2-a^6 b^8 c^4 z^2-a^8 b^4 c^6 z^2+a^4 b^8 c^6 z^2+a^6 b^4 c^8 z^2-a^4 b^6 c^8 z^2 = 0)
es X1511, punto medio del circuncentro y X110, y el punto de interseción de la de X110, con el diámetro de la circunferencia circunscrita que pasa por este punto (Randy Hutson, January 29, 2015).
Lunes, 9 de diciembre del 2019
Una propiedad del centro X(6288)
El 9 de diciembre de 1968, en San Francisco, se presentó públicamente el primer modelo oficial de mouse, dispositivo apuntador utilizado para facilitar el manejo de un entorno gráfico en una computadora.
Dado un triángulo ABC de circuncentro O, ortocentro H y centro de la N, sea ℋa la
hipérbola ( a^4 c^2 x y-a^2 b^2 c^2 x y-2 a^2 c^4 x y-b^2 c^4 x y+c^6 x y+a^2 b^2 c^2 y^2-b^4 c^2 y^2+b^2 c^4 y^2-a^4 b^2 x z+2 a^2 b^4 x z-b^6 x z+a^2 b^2 c^2 x z+b^4 c^2 x z-a^4 b^2 y z+2 a^2 b^4 y z-b^6 y z+a^4 c^2 y z+b^4 c^2 y z-2 a^2 c^4 y z-b^2 c^4 y z+c^6 y z-a^2 b^2 c^2 z^2-b^4 c^2 z^2+b^2 c^4 z^2 = 0)
con un diámetro el segmento OH, que pasa por A y tiene una asíntota paralela a la bisectriz en A. Se denota por ta su tangente en el simétrico A' de A respecto a N. Las tangentes tb y tc se definen cíclicamente.
La hipérbola ℋa puede ser construida (IPPPP) al conocerse cuatro de sus puntos, A, A', O, H, y la dirección de una asíntota.
Las rectas ta, tb, tc concurren en X6288, reflexión del en N.
El 8 de diciembre de 1980, en Nueva York, Mark Chapman asesina a John Lennon, músico y exmiembro de la banda británica de rock The Beatles.
Dado un triángulo ABC de circuncentro O y centro de la N, sean ℓ una recta variables que pasa por O, ℓa la reflexión de AO en ℓ y ℓ1 la reflexión de ℓa en BC. Se definen cíclicamente las rectas ℓ2 y ℓ3. Estas tres rectas son paralelas.
Los puntos L1, L2 y L3 son las intersecciones de ℓ con ℓ1, ℓ2 y ℓ3, respectivamente.
Sean DEF el de O y el triángulo reflexión de ABC en N.
Cuando ℓ gira alrededor de O, las rectas ℓ1, ℓ2 y ℓ3 giran alrededor de Na, Nb y Nc, respectivamente.
El lugar geométrico de L1, cuando la recta ℓ gira alrededor de O, es una cúbica
𝒬1, ( (a^4 b^4 c^2-2 a^2 b^6 c^2+b^8 c^2-a^4 b^2 c^4-3 b^6 c^4+2 a^2 b^2 c^6+3 b^4 c^6-b^2 c^8) x^3+(2 a^6 b^2 c^2-4 a^4 b^4 c^2+2 a^2 b^6 c^2-3 a^4 b^2 c^4-3 a^2 b^4 c^4+a^2 b^2 c^6) x^2 y+(a^8 c^2-2 a^6 b^2 c^2+a^4 b^4 c^2-3 a^6 c^4+2 a^4 b^2 c^4+a^2 b^4 c^4+3 a^4 c^6-a^2 c^8) x y^2+(a^4 b^2 c^4+a^2 b^4 c^4-a^2 b^2 c^6) y^3+(-2 a^6 b^2 c^2+3 a^4 b^4 c^2-a^2 b^6 c^2+4 a^4 b^2 c^4+3 a^2 b^4 c^4-2 a^2 b^2 c^6) x^2 z+(-2 a^4 b^4 c^2+2 a^2 b^6 c^2+2 a^4 b^2 c^4-2 a^2 b^2 c^6) x y z+(a^8 c^2-a^6 b^2 c^2-2 a^4 b^4 c^2+2 a^2 b^6 c^2-3 a^6 c^4-2 a^2 b^4 c^4+3 a^4 c^6+a^2 b^2 c^6-a^2 c^8) y^2 z+(-a^8 b^2+3 a^6 b^4-3 a^4 b^6+a^2 b^8+2 a^6 b^2 c^2-2 a^4 b^4 c^2-a^4 b^2 c^4-a^2 b^4 c^4) x z^2+(-a^8 b^2+3 a^6 b^4-3 a^4 b^6+a^2 b^8+a^6 b^2 c^2-a^2 b^6 c^2+2 a^4 b^2 c^4+2 a^2 b^4 c^4-2 a^2 b^2 c^6) y z^2+(-a^4 b^4 c^2+a^2 b^6 c^2-a^2 b^4 c^4) z^3 = 0)
con punto doble O y pasa por D y Na. Estos dos puntos tienen el mismo , que denotamos por P1:
NOTA: Si L es el del punto del infinito de las rectas ℓ1, ℓ2 y ℓ3, el punto de intersección de la recta AL con ℓ1, describe una hipérbola,
cuando ℓ gira alrededor de O, que pasa por A y Na, uno de sus diámetros es el segmento OH y una de sus asíntotas es paralela a la bisectriz en A.
Sábado, 7 de diciembre del 2019
Bisectrices y unas reflexiones
El 7 de diciembre de 1647 nació Giovanni Ceva , matemático italiano. Es conocido por teorema de geometría del triángulo que descubrió y que lleva su nombre, el teorema de Ceva. Pero a Yusuf Al-Mu'taman, un rey de la taifa de Zaragoza del siglo XI, se debe la primera formulación conocida del teorema de Giovanni Ceva, que no sería conocido en Europa hasta 1678.
Dados un triángulo ABC y un punto P, de coordenadas baricéntricas (u:v:w), sea ℓa la reflexión del lado BC en la perpendicular por P a AP, la cual corta a los lados AC y AB es Ab y Ac, respectivamente. Cíclicamente, se definen las rectas ℓb, ℓc y los puntos Bc, Ba, Ca, Cb.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc es perspectivo con ABC, en consecuencia, los seis puntos Ab, Ac,Bc, Ba, Ca, Cb están sobre una cónica
CP ( (u+v) (v+w-u) (u+w) (a^2 u^2-b^2 u^2-c^2 u^2+a^2 u v-b^2 u v+c^2 u v+a^2 u w+b^2 u w-c^2 u w+2 a^2 v w) (a^2 u v-b^2 u v-c^2 u v+a^2 v^2-b^2 v^2+c^2 v^2-2 b^2 u w-a^2 v w-b^2 v w+c^2 v w) (-c^2 v^2+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w-b^2 w^2) (-2 c^2 u v+a^2 u w-b^2 u w-c^2 u w-a^2 v w+b^2 v w-c^2 v w+a^2 w^2+b^2 w^2-c^2 w^2)x^2 + (v+w) (a^2 u v-b^2 u v-c^2 u v+a^2 v^2-b^2 v^2+c^2 v^2-2 b^2 u w-a^2 v w-b^2 v w+c^2 v w) (-2 c^2 u v+a^2 u w-b^2 u w-c^2 u w-a^2 v w+b^2 v w-c^2 v w+a^2 w^2+b^2 w^2-c^2 w^2) (a^4 u^6-2 a^2 b^2 u^6+b^4 u^6-2 a^2 c^2 u^6+3 b^2 c^2 u^6+c^4 u^6+3 a^4 u^5 v-6 a^2 b^2 u^5 v+3 b^4 u^5 v-a^2 c^2 u^5 v+3 b^2 c^2 u^5 v-2 c^4 u^5 v+3 a^4 u^4 v^2-6 a^2 b^2 u^4 v^2+3 b^4 u^4 v^2+3 a^2 c^2 u^4 v^2-3 b^2 c^2 u^4 v^2-c^4 u^4 v^2+a^4 u^3 v^3-2 a^2 b^2 u^3 v^3+b^4 u^3 v^3+a^2 c^2 u^3 v^3-3 b^2 c^2 u^3 v^3+2 c^4 u^3 v^3-a^2 c^2 u^2 v^4+3 a^4 u^5 w-a^2 b^2 u^5 w-2 b^4 u^5 w-6 a^2 c^2 u^5 w+3 b^2 c^2 u^5 w+3 c^4 u^5 w+12 a^4 u^4 v w-10 a^2 b^2 u^4 v w-2 b^4 u^4 v w-10 a^2 c^2 u^4 v w+10 b^2 c^2 u^4 v w-2 c^4 u^4 v w+14 a^4 u^3 v^2 w-16 a^2 b^2 u^3 v^2 w+2 b^4 u^3 v^2 w+5 a^2 c^2 u^3 v^2 w+3 b^2 c^2 u^3 v^2 w-5 c^4 u^3 v^2 w+4 a^4 u^2 v^3 w-6 a^2 b^2 u^2 v^3 w+2 b^4 u^2 v^3 w+8 a^2 c^2 u^2 v^3 w-4 b^2 c^2 u^2 v^3 w+2 c^4 u^2 v^3 w-a^4 u v^4 w+a^2 b^2 u v^4 w-a^2 c^2 u v^4 w+3 a^4 u^4 w^2+3 a^2 b^2 u^4 w^2-b^4 u^4 w^2-6 a^2 c^2 u^4 w^2-3 b^2 c^2 u^4 w^2+3 c^4 u^4 w^2+14 a^4 u^3 v w^2+5 a^2 b^2 u^3 v w^2-5 b^4 u^3 v w^2-16 a^2 c^2 u^3 v w^2+3 b^2 c^2 u^3 v w^2+2 c^4 u^3 v w^2+21 a^4 u^2 v^2 w^2-5 a^2 b^2 u^2 v^2 w^2-4 b^4 u^2 v^2 w^2-5 a^2 c^2 u^2 v^2 w^2+8 b^2 c^2 u^2 v^2 w^2-4 c^4 u^2 v^2 w^2+9 a^4 u v^3 w^2-7 a^2 b^2 u v^3 w^2+7 a^2 c^2 u v^3 w^2-a^4 v^4 w^2+a^4 u^3 w^3+a^2 b^2 u^3 w^3+2 b^4 u^3 w^3-2 a^2 c^2 u^3 w^3-3 b^2 c^2 u^3 w^3+c^4 u^3 w^3+4 a^4 u^2 v w^3+8 a^2 b^2 u^2 v w^3+2 b^4 u^2 v w^3-6 a^2 c^2 u^2 v w^3-4 b^2 c^2 u^2 v w^3+2 c^4 u^2 v w^3+9 a^4 u v^2 w^3+7 a^2 b^2 u v^2 w^3-7 a^2 c^2 u v^2 w^3+6 a^4 v^3 w^3-a^2 b^2 u^2 w^4-a^4 u v w^4-a^2 b^2 u v w^4+a^2 c^2 u v w^4-a^4 v^2 w^4)y z + ... = 0)
( de ABC y A'B'C').
Cuando, P es el incentro, el centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es X65 (ortocentro del ) y cuando P es ortocentro, el propio ortocentro.
El centro de la cónica CH, cuando P es el ortocentro, es el propio ortocentro. Las rectas ℓa, ℓb y ℓc son paralelas a los correspondientes lados de ABC.
Cuando P es el incentro, el centro de CI ( a^4 b c x^2-a^3 b^2 c x^2-a^2 b^3 c x^2+a b^4 c x^2-a^3 b c^2 x^2-a^2 b^2 c^2 x^2+a b^3 c^2 x^2+b^4 c^2 x^2-a^2 b c^3 x^2+a b^2 c^3 x^2+2 b^3 c^3 x^2+a b c^4 x^2+b^2 c^4 x^2+2 a^4 b c x y-2 a^3 b^2 c x y-2 a^2 b^3 c x y+2 a b^4 c x y+a^4 c^2 x y-2 a^2 b^2 c^2 x y+b^4 c^2 x y+a^3 c^3 x y-3 a^2 b c^3 x y-3 a b^2 c^3 x y+b^3 c^3 x y-a^2 c^4 x y-2 a b c^4 x y-b^2 c^4 x y-a c^5 x y-b c^5 x y+a^4 b c y^2-a^3 b^2 c y^2-a^2 b^3 c y^2+a b^4 c y^2+a^4 c^2 y^2+a^3 b c^2 y^2-a^2 b^2 c^2 y^2-a b^3 c^2 y^2+2 a^3 c^3 y^2+a^2 b c^3 y^2-a b^2 c^3 y^2+a^2 c^4 y^2+a b c^4 y^2+a^4 b^2 x z+a^3 b^3 x z-a^2 b^4 x z-a b^5 x z+2 a^4 b c x z-3 a^2 b^3 c x z-2 a b^4 c x z-b^5 c x z-2 a^3 b c^2 x z-2 a^2 b^2 c^2 x z-3 a b^3 c^2 x z-b^4 c^2 x z-2 a^2 b c^3 x z+b^3 c^3 x z+2 a b c^4 x z+b^2 c^4 x z-a^5 b y z-a^4 b^2 y z+a^3 b^3 y z+a^2 b^4 y z-a^5 c y z-2 a^4 b c y z-3 a^3 b^2 c y z+2 a b^4 c y z-a^4 c^2 y z-3 a^3 b c^2 y z-2 a^2 b^2 c^2 y z-2 a b^3 c^2 y z+a^3 c^3 y z-2 a b^2 c^3 y z+a^2 c^4 y z+2 a b c^4 y z+a^4 b^2 z^2+2 a^3 b^3 z^2+a^2 b^4 z^2+a^4 b c z^2+a^3 b^2 c z^2+a^2 b^3 c z^2+a b^4 c z^2-a^3 b c^2 z^2-a^2 b^2 c^2 z^2-a b^3 c^2 z^2-a^2 b c^3 z^2-a b^2 c^3 z^2+a b c^4 z^2 = 0)
es:
J = ( a^2 (a^2 - (b - c)^2) (b + c) (a^2 (b + c) - b c (b + c) -
a (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(7.15669680131694, 8.08134630993316, -5.25720456403870).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,9551}, {7,8049}, {42,181}, {55,34429}, {65,1418}, {73,3649}, {256,13265}, {1064,1537}, {1071,3931}, {1214,15185}, {1284,2594}, {1404,2309}, {1409,2293}, {1818,3696}, {1827,1880}, {2171,2667}, {3747,21741}, {4068,4559}, {4334,5586}, {4343,14100}, {4424,11570}, {4551,29822}, {4552,25295}, {10052,24248}, {17077,17135}, {21035,21794}, {21859,22279}.
Circunferencias coaxiales y los triángulos medial y tangencial
El Día nacional del recuerdo y acción contra la violencia hacia la mujer es un día conmemorativo en Canadá que se celebra cada 6 de diciembre, aniversario de la Masacre de la Escuela Politécnica de Montreal de 1989.
A triangle ABC inscribe (O). M,N,P is the midpoint of BC,CA,AB. Sa is the intersection of the tangent of (O) at B and C. The tangent of (O) at A intersects NP at Ra. Simillarity, we have Sb,Sc,Rb,Rc.
Prove that (OSaRa), (OSbRb), (OScRc) have second common point (not O).
Dado un triángulo ABC, sean y sus triángulos y , respectivamente. Estos dos triángulos son con centro de perspectividad el circuncentro, O. Sean A'=MbMc∩TbTc, B'=McMa∩TcTa y C'=MaMb∩TaTb (A'B'C' es el eje de perspectividad).
Las circunferencias (A'OTa), (B'OTb), (C'OTc) son . Su segundo punto de intersección tiene primera coordenada baricéntrica:
c^2 x y + b^2 x z +
a^2 y z + (x + y + z) ((c^2 (a^4 - 3 a^2 b^2 + a^2 c^2) y)/(
4 (-b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)) + (
b^2 (a^4 + a^2 b^2 - 3 a^2 c^2) z)/(
4 (b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2))) = 0.
Jueves, 5 de diciembre del 2019
Una séxtica Q014 y los centros X(80) y X(900)
El 5 de diciembre de 1930 la Real Academia Española aprueba el uso de los sustantivos femeninos que indiquen profesiones o cargos.
X(80) = reflection of incenter in and reflection of of Feuerbach Point in .
Let Ua be the line through X(80) perpendicular to the line AX(80), and define Ub and Uc cyclically. Let Va be the reflection of BC in Ua, and define Vb and Vc cyclically. The lines Va, Vb, Vc are parallel, and they concur in X(900). (Angel Montesdeoca, June 30, 2017. See HG300617).
Let La be the line of reflection of line X(1)X(5) in line BC, and define Lb and Lc cyclically. Let A' = Lb∩Lc, and define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(901) (isogonal conjugate of X(900)). (Randy Hutson, 9/23/2011)
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean ℓa, ℓb, ℓc las reflexiones de BC, CA, AB en AP, BP,CP, respectivamente.
Las rectas ℓa, ℓb, ℓc son concurentes si y solo si P está sobre la
séxtica ( a^4 c^2 x^4 y^2-2 a^2 b^2 c^2 x^4 y^2+b^4 c^2 x^4 y^2-2 a^2 c^4 x^4 y^2+b^2 c^4 x^4 y^2+c^6 x^4 y^2+2 a^4 c^2 x^3 y^3-4 a^2 b^2 c^2 x^3 y^3+2 b^4 c^2 x^3 y^3-a^2 c^4 x^3 y^3-b^2 c^4 x^3 y^3-c^6 x^3 y^3+a^4 c^2 x^2 y^4-2 a^2 b^2 c^2 x^2 y^4+b^4 c^2 x^2 y^4+a^2 c^4 x^2 y^4-2 b^2 c^4 x^2 y^4+c^6 x^2 y^4-a^6 x^4 y z+3 a^4 b^2 x^4 y z-3 a^2 b^4 x^4 y z+b^6 x^4 y z+3 a^4 c^2 x^4 y z-5 a^2 b^2 c^2 x^4 y z+2 b^4 c^2 x^4 y z-3 a^2 c^4 x^4 y z+2 b^2 c^4 x^4 y z+c^6 x^4 y z-a^6 x^3 y^2 z+3 a^4 b^2 x^3 y^2 z-3 a^2 b^4 x^3 y^2 z+b^6 x^3 y^2 z+2 a^4 c^2 x^3 y^2 z-3 a^2 b^2 c^2 x^3 y^2 z+b^4 c^2 x^3 y^2 z-a^2 c^4 x^3 y^2 z-2 b^2 c^4 x^3 y^2 z+a^6 x^2 y^3 z-3 a^4 b^2 x^2 y^3 z+3 a^2 b^4 x^2 y^3 z-b^6 x^2 y^3 z+a^4 c^2 x^2 y^3 z-3 a^2 b^2 c^2 x^2 y^3 z+2 b^4 c^2 x^2 y^3 z-2 a^2 c^4 x^2 y^3 z-b^2 c^4 x^2 y^3 z+a^6 x y^4 z-3 a^4 b^2 x y^4 z+3 a^2 b^4 x y^4 z-b^6 x y^4 z+2 a^4 c^2 x y^4 z-5 a^2 b^2 c^2 x y^4 z+3 b^4 c^2 x y^4 z+2 a^2 c^4 x y^4 z-3 b^2 c^4 x y^4 z+c^6 x y^4 z+a^4 b^2 x^4 z^2-2 a^2 b^4 x^4 z^2+b^6 x^4 z^2-2 a^2 b^2 c^2 x^4 z^2+b^4 c^2 x^4 z^2+b^2 c^4 x^4 z^2-a^6 x^3 y z^2+2 a^4 b^2 x^3 y z^2-a^2 b^4 x^3 y z^2+3 a^4 c^2 x^3 y z^2-3 a^2 b^2 c^2 x^3 y z^2-2 b^4 c^2 x^3 y z^2-3 a^2 c^4 x^3 y z^2+b^2 c^4 x^3 y z^2+c^6 x^3 y z^2-2 a^6 x^2 y^2 z^2+2 a^4 b^2 x^2 y^2 z^2+2 a^2 b^4 x^2 y^2 z^2-2 b^6 x^2 y^2 z^2+2 a^4 c^2 x^2 y^2 z^2-6 a^2 b^2 c^2 x^2 y^2 z^2+2 b^4 c^2 x^2 y^2 z^2+2 a^2 c^4 x^2 y^2 z^2+2 b^2 c^4 x^2 y^2 z^2-2 c^6 x^2 y^2 z^2-a^4 b^2 x y^3 z^2+2 a^2 b^4 x y^3 z^2-b^6 x y^3 z^2-2 a^4 c^2 x y^3 z^2-3 a^2 b^2 c^2 x y^3 z^2+3 b^4 c^2 x y^3 z^2+a^2 c^4 x y^3 z^2-3 b^2 c^4 x y^3 z^2+c^6 x y^3 z^2+a^6 y^4 z^2-2 a^4 b^2 y^4 z^2+a^2 b^4 y^4 z^2+a^4 c^2 y^4 z^2-2 a^2 b^2 c^2 y^4 z^2+a^2 c^4 y^4 z^2+2 a^4 b^2 x^3 z^3-a^2 b^4 x^3 z^3-b^6 x^3 z^3-4 a^2 b^2 c^2 x^3 z^3-b^4 c^2 x^3 z^3+2 b^2 c^4 x^3 z^3+a^6 x^2 y z^3+a^4 b^2 x^2 y z^3-2 a^2 b^4 x^2 y z^3-3 a^4 c^2 x^2 y z^3-3 a^2 b^2 c^2 x^2 y z^3-b^4 c^2 x^2 y z^3+3 a^2 c^4 x^2 y z^3+2 b^2 c^4 x^2 y z^3-c^6 x^2 y z^3-2 a^4 b^2 x y^2 z^3+a^2 b^4 x y^2 z^3+b^6 x y^2 z^3-a^4 c^2 x y^2 z^3-3 a^2 b^2 c^2 x y^2 z^3-3 b^4 c^2 x y^2 z^3+2 a^2 c^4 x y^2 z^3+3 b^2 c^4 x y^2 z^3-c^6 x y^2 z^3-a^6 y^3 z^3-a^4 b^2 y^3 z^3+2 a^2 b^4 y^3 z^3-a^4 c^2 y^3 z^3-4 a^2 b^2 c^2 y^3 z^3+2 a^2 c^4 y^3 z^3+a^4 b^2 x^2 z^4+a^2 b^4 x^2 z^4+b^6 x^2 z^4-2 a^2 b^2 c^2 x^2 z^4-2 b^4 c^2 x^2 z^4+b^2 c^4 x^2 z^4+a^6 x y z^4+2 a^4 b^2 x y z^4+2 a^2 b^4 x y z^4+b^6 x y z^4-3 a^4 c^2 x y z^4-5 a^2 b^2 c^2 x y z^4-3 b^4 c^2 x y z^4+3 a^2 c^4 x y z^4+3 b^2 c^4 x y z^4-c^6 x y z^4+a^6 y^2 z^4+a^4 b^2 y^2 z^4+a^2 b^4 y^2 z^4-2 a^4 c^2 y^2 z^4-2 a^2 b^2 c^2 y^2 z^4+a^2 c^4 y^2 z^4 = 0)
, Q014
Los vértices de ABC son puntos dobles aislados de la séxtica 𝒮, en cuestión. El centro del triángulo X80 está sobre ella y, en este caso, las rectas ℓa, ℓb, ℓc son paralelas: tienen la dirección de X900.
Los seis puntos reales de intersección de 𝒮 con los lados de ABC están sobre una
cónica ( a^4 x^2-2 a^2 b^2 x^2+b^4 x^2-2 a^2 c^2 x^2+b^2 c^2 x^2+c^4 x^2+2 a^4 x y-4 a^2 b^2 x y+2 b^4 x y-a^2 c^2 x y-b^2 c^2 x y-c^4 x y+a^4 y^2-2 a^2 b^2 y^2+b^4 y^2+a^2 c^2 y^2-2 b^2 c^2 y^2+c^4 y^2+2 a^4 x z-a^2 b^2 x z-b^4 x z-4 a^2 c^2 x z-b^2 c^2 x z+2 c^4 x z-a^4 y z-a^2 b^2 y z+2 b^4 y z-a^2 c^2 y z-4 b^2 c^2 y z+2 c^4 y z+a^4 z^2+a^2 b^2 z^2+b^4 z^2-2 a^2 c^2 z^2-2 b^2 c^2 z^2+c^4 z^2 = 0)
con centro en el , de ecuacíón:
El 3 de diciembre de 2004 falleció (a los 93 años) Shiing-Shen Chern matemático chino que
trabajó sobre las clases características (concepto unificador entre la topología algebraica, geometría diferencial y geometría algebraica) de geometría diferencial. Las clases de Chern reciben este nombre en su honor.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el de P.
A' el de D, respecto a B y C,
B' el conjugado armónico de E, respecto a C y A y
C' el conjugado armónico de F, respecto a A y B.
Es decir, A'=BC∩EF, B'=CA∩FD, C'=AB∩DE.
Las circunferencias (AA'D), (BB'E), (CC'F) son si y solo si P está sobre la cuártica de Stammler (Q066).
El eje radical de las tres circunferencias pasa por el .
La ecuación baricéntrica de la circunferencia (AA'D) es:
a^2 y z + b^2 x z+c^2 x y -
(x + y + z) ( a^2 w^2 y /(-v^2 + w^2) + (a^2 v^2 z)/((v - w) (v + w))) = 0.
Lunes, 2 de diciembre del 2019
Una quíntica
El 2 de diciembre de 1949,
la Unesco declara el Día Internacional para la Abolición de la Esclavitud.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean O su circuncentro y DEF el de P.
Sean los puntos A'=BC∩EF, B'=CA∩FD, C'=AB∩DE, D'=AO∩EF, E'=AO∩FD, F'=CO∩DE, A', B' y C' están sobre la de P ( de ABC y DEF).
La tripolar p de P vuelve a cortar a las circunferencias (AA'D'), (BB'E'), (CC'F') en A'', B'', C''.
El lugar geométrico del punto P tal que las rectas AA'', BB'', CC'' son concurrentes es una
quíntica, ( a^2 b^2 c^2 x^3 y^2-b^4 c^2 x^3 y^2+a^2 c^4 x^3 y^2+2 b^2 c^4 x^3 y^2-c^6 x^3 y^2+a^4 c^2 x^2 y^3-a^2 b^2 c^2 x^2 y^3-2 a^2 c^4 x^2 y^3-b^2 c^4 x^2 y^3+c^6 x^2 y^3+a^4 b^2 x^3 y z-2 a^2 b^4 x^3 y z+b^6 x^3 y z-a^4 c^2 x^3 y z-3 b^4 c^2 x^3 y z+2 a^2 c^4 x^3 y z+3 b^2 c^4 x^3 y z-c^6 x^3 y z-a^6 x^2 y^2 z+3 a^4 b^2 x^2 y^2 z-3 a^2 b^4 x^2 y^2 z+b^6 x^2 y^2 z+a^4 c^2 x^2 y^2 z-b^4 c^2 x^2 y^2 z-a^6 x y^3 z+2 a^4 b^2 x y^3 z-a^2 b^4 x y^3 z+3 a^4 c^2 x y^3 z+b^4 c^2 x y^3 z-3 a^2 c^4 x y^3 z-2 b^2 c^4 x y^3 z+c^6 x y^3 z-a^2 b^4 x^3 z^2+b^6 x^3 z^2-a^2 b^2 c^2 x^3 z^2-2 b^4 c^2 x^3 z^2+b^2 c^4 x^3 z^2+a^6 x^2 y z^2-a^4 b^2 x^2 y z^2-3 a^4 c^2 x^2 y z^2+3 a^2 c^4 x^2 y z^2+b^2 c^4 x^2 y z^2-c^6 x^2 y z^2+a^2 b^4 x y^2 z^2-b^6 x y^2 z^2+3 b^4 c^2 x y^2 z^2-a^2 c^4 x y^2 z^2-3 b^2 c^4 x y^2 z^2+c^6 x y^2 z^2-a^6 y^3 z^2+a^4 b^2 y^3 z^2+2 a^4 c^2 y^3 z^2+a^2 b^2 c^2 y^3 z^2-a^2 c^4 y^3 z^2-a^4 b^2 x^2 z^3+2 a^2 b^4 x^2 z^3-b^6 x^2 z^3+a^2 b^2 c^2 x^2 z^3+b^4 c^2 x^2 z^3+a^6 x y z^3-3 a^4 b^2 x y z^3+3 a^2 b^4 x y z^3-b^6 x y z^3-2 a^4 c^2 x y z^3+2 b^4 c^2 x y z^3+a^2 c^4 x y z^3-b^2 c^4 x y z^3+a^6 y^2 z^3-2 a^4 b^2 y^2 z^3+a^2 b^4 y^2 z^3-a^4 c^2 y^2 z^3-a^2 b^2 c^2 y^2 z^3 = 0)
de ecuación baricéntrica:
𝔖abc xyz
y z((a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)(b^2-c^2)x^3+(b^2-c^2)(b^4-2b^2c^2+c^4+a^2(-b^2-c^2))x y z +
a^2y z((a^4-b^2c^2+c^4+a^2(-b^2-2c^2))y + (-a^4-b^4+b^2c^2+a^2(2b^2+c^2))z)) = 0.
Esta curva tiene puntos dobles en los vértices de ABC y pasa por: los pies de la cevianas de X95 ( del centro de la ), baricentro, ortocentro, extremos (X6189 y X6190) del diámetro de la que pasa por el ), X13582 ( de X1138, el único punto, a parte de ortocentro, tal que su es semejante a su triángulo ceviano).
Cuando P es X13582, el punto de concurrencia Q de AA", BB", CC" es X1138.
Cuando P es el ortocentro, las circunferencias (AA'D'), (BB'E'), (CC'F') son coaxiales (el es la recta que pasa por el ortocentro y simediano) y las rectas AA", BB", CC" son paralelas a la (p es el ).
Viernes, 29 de noviembre del 2019
El punto medio del incentro y circuncentro, centro de circunferencias y cónica
Let Na = X(5)-of-BCX(1), Nb = X(5)-of-CAX(1), Nc = X(5)-of-ABX(1). X(1385) is the of X(5) wrt NaNbNc. Also, X(1385) = X(265)-of-NaNbNc. (Randy Hutson, December 10, 2016)
Let A'B'C' be the medial triangle. X(1385) is the radical center of the incircles of AB'C', BC'A', CA'B'. (Randy Hutson, December 10, 2016)
• Dado un triángulo ABC de incentro I, sea DEF el de I. Las circunferencias de diámetros ID, IE, IF cortan a los lados BC, CA, AB en los puntos A1, A2, B1, B2, C1, C2, correspondientemente.
Los seis puntos A1, A2, B1, B2, C1, C2 están sobre una circunferencia de centro X1385.
• Dado un triángulo ABC, de circunferencia circunscrita Γ, sea ahora DEF el del incentro I. La recta EF corta a Γ en los puntos E' y F'. Las rectas IE' y IF' vuelven a corta a Γ en puntos que están sobre una recta ℓa, paralela a BC. Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc es homotético a ABC, mediante la homotecia de centro de homotecia I y razón 1/2.
El circuncentro de A'B'C' es X1385.
La ecuación de la recta ℓa es (a+2b+2c)x - a y - a z = 0.
• Dado un triángulo ABC, sea DEF el del incentro I. Las bisectrices de los ángulos ∠ADB y ∠ADC cortan a la perpendicular por I a AD en dos puntos Ab y Ac:
•
Dado un triángulo ABC de A'B'C', sean Γ1 y Γ2 las circunferencias tangentes exteriormente e interiormente a la circunferencias inscritas Γa, Γb y Γc a los triángulos AB'C', BC'A' y CA'B'.
Si A2, B2 y C2 son los puntos de tangencia Γ2 con Γa, Γb y Γc, respectivamente, las rectas A'A2, B'B2, B'B2 concurren en X25466:
(a^2 (b^2 + 4 b c + c^2) + 2 a b c (b + c) - (b^2 - c^2)^2 : ... : ...).
La ecuación de Γ1, que pasa por X3035 y X10271, es:
𝔖abc xyz
(-a^2 - b^2 - 6 b c - c^2 + 2 a (b + c)) + (14 a^2 - 2 (b - c)^2 - 4 a (b + c))y z = 0.
La ecuación de Γ2, que pasa por X20418, es:
𝔖abc xyz
(a^3 + b^3 + 7 b^2 c + 7 b c^2 + c^3 - a^2 (b + c) -
a (b^2 + 6 b c + c^2))x^2 +
2 (-7 a^3 + 3 a (b - c)^2 -
5 a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c))y z = 0.
Domingo, 24 de noviembre del 2019
Una parábola
El 24 de noviembre de 1859 se publica, en Inglaterra, El origen de las especies de Charles Darwin, fundamento de la teoría de la biología evolutiva.
Kurt Schiffler discovered that if you partition a triangle into 3 subtriangle with the incenter as a common point, then the Euler lines of those subtriangles and the original triangle intersect in a common point. This property became later known as Schiffler's theorem and that common point as Schiffler point (X21).
Schiffler published his discovery in 1985 in the form of a problem in the Canadian journal Crux Mathematicorum.
Kurt Schiffler: Problem 1018. In: Crux Mathematicorum, volume 11, no 2, February 1985, p. 51
G. R. Veldkamp, W. A. van der Spek: Solutions to Problem 1018. Crux Mathematicorum, volume 12, no 6, June 1986, p. 150
Dados un triángulo ABC de incentro I, sean ℓa, ℓb y ℓc las de los triángulos IBC, ICA y IAB, respectivamente.
Sea P un punto finito del plano de ABC, ℓ1, ℓ2 y ℓ3 las paralelas a ℓa, ℓb y ℓc por P.
Las reflexiones de ℓ1, ℓ2 y ℓ3 en BC, CA y AB son concurrentes si y sólo si P está sobre la recta X5X79.
Los puntos de concurrencia quedan sobre la recta que pasa por el incentro y circuncentro.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
ℓa: (b^2 - c^2) x + a (a + c) y - a (a + b) z = 0,
ℓ1: (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v + w) + a (c v - b w))x + ((b^2 - c^2) u -
a^2 (u + 2 w) - a (b w + c (u + w)))y + ((b^2 - c^2) u + a c v +
a b (u + v) + a^2 (u + 2 v))z = 0.
Y la reflexión de ℓ1 en BC es:
(a^3 (v - w) - a (b^2 - c^2) (v + w) - (b - c) (b + c)^2 (u + v + w) +
a^2 (b (u + v) - c (u + w))) x -
a ((-b^2 + c^2) u + a b w + a c (u + w) + a^2 (u + 2 w)) y +
a ((b^2 - c^2) u + a c v + a b (u + v) + a^2 (u + 2 v)) z = 0.
Si X5P : PX79 = t, el punto de concurrencia Q, sobre la recta X1X3, es X1Q : QX3 = t' = 1/(1 + 2 t).
Q = (a (-2 a^3 (1 + t) +
a^2 (b + c) (1 + 2 t) - (b - c)^2 (b + c) (1 + 2 t) +
2 a (b^2 (1 + t) + c^2 (1 + t) - b (c + 2 c t))) : -b (a^3 (1 +
2 t) - a (b - c)^2 (1 + 2 t) -
a^2 (c + 2 c t + 2 b (1 + t)) + (b^2 - c^2) (2 b (1 + t) -
c (1 + 2 t))) : -c (a^3 (1 + 2 t) -
a (b - c)^2 (1 + 2 t) + (b^2 - c^2) (b + 2 b t - 2 c (1 + t)) -
a^2 (b + 2 b t + 2 c (1 + t)))).
La correspondencia t ↦ t'=1/(1+2t) es una proyectividad, que transfoma el punto del infinito del la recta X5X79 (t=-1) en el punto del infinito de la recta X1X3
(t'=-1). En consecuencia, la envolvente de la recta PQ, cuando P se mueve sobre X5X79, es una
parábola, ( (b-c)^2 (-a+b+c)^2 (a^8 (b-c)^2+8 a^5 b^2 c^2 (b+c)-8 a^3 b^2 c^2 (2 b^3+b^2 c+b c^2+2 c^3)+a^6 (-4 b^4+6 b^3 c+6 b c^3-4 c^4)+(b-c)^4 (b+c)^2 (b^4+2 b^3 c+7 b^2 c^2+2 b c^3+c^4)+8 a b^2 c^2 (b^5-b^3 c^2-b^2 c^3+c^5)+a^4 (6 b^6-6 b^5 c-b^4 c^2-6 b^3 c^3-b^2 c^4-6 b c^5+6 c^6)-2 a^2 (2 b^8-b^7 c+b^6 c^2-5 b^5 c^3-12 b^4 c^4-5 b^3 c^5+b^2 c^6-b c^7+2 c^8))x^2-2 (a-b) (a-c) (a+b-c) (a-b+c) (a^10+a^7 (b-c)^2 (b+c)+a^8 (-5 b^2+8 b c-5 c^2)+b c (b^2-c^2)^4-a (b-c)^4 (b+c)^3 (b^2+b c+c^2)-a^5 (b-c)^2 (3 b^3+4 b^2 c+4 b c^2+3 c^3)+a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^4+2 b^3 c+3 b^2 c^2+2 b c^3+2 c^4)-a^4 (b-c)^2 (7 b^4+13 b^3 c+20 b^2 c^2+13 b c^3+7 c^4)+a^6 (9 b^4-12 b^3 c+7 b^2 c^2-12 b c^3+9 c^4)+a^3 (b-c)^2 (3 b^5+5 b^4 c+4 b^3 c^2+4 b^2 c^3+5 b c^4+3 c^5))y z + .... = 0.
)
𝒫, tangente a X1X3 en X5563 y a la recta X1X79 en X5441.
Con estos datos la parábola 𝒫 puede ser construida (tPtPCp o tPtPCp2).
F = ( a^2 (a-b) (a^2-(b-c)^2) (a-c) (a^6-(b-c)^2 (b+c)^4+a^4 (-3 b^2+4 b c-3 c^2)+a^2 (3 b^4-2 b^3 c-b^2 c^2-2 b c^3+3 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-0.230392418017967, 0.403706270514222, 3.46751048755975 ).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,2687}, {36,74}, {59,8701}, {101,9404}, {102,22765}, {104,3065}, {106,1464}, {109,2605}, {354,2717}, {477,5441}, {484,5951}, {513,26700}, {759,1319}, {953,5563}, {972,5536}, {1141,14452}, {1311,21739}, {1385,2716}, {2078,28471}, {2291,19302}, {2688,3058}, {2695,34773}, {2745,11012}, {5143,29300}, {7113,11075}, {19628,26743}.
El punto F ha sido incorporado a ETC con el número X(34921).
que tiene números de búsqueda en ETC
(-0.000814531640513168, -0.000802286155418174, 3.64159584846452).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {108,476}, {1309,26700}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(34922).
El haz de cónicas bitangentes a 𝒫 en X5563 y X5441 tiene una sola
hipérbola ( -(b - c) (-2 a^10 b c -
a^9 (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) + (b^2 - c^2)^4 (b^4 +
2 b^3 c - b^2 c^2 + 2 b c^3 + c^4) +
a^8 (b^4 + 6 b^3 c - 20 b^2 c^2 + 6 b c^3 + c^4) +
4 a^7 (b^5 - 4 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 - 4 b c^4 + c^5) -
a (b - c)^2 (b + c)^3 (b^6 - 2 b^5 c - 26 b^4 c^2 + 6 b^3 c^3 -
26 b^2 c^4 - 2 b c^5 + c^6) -
2 a^6 (2 b^6 + 4 b^5 c - 8 b^4 c^2 + 7 b^3 c^3 - 8 b^2 c^4 +
4 b c^5 + 2 c^6) +
a^5 (-6 b^7 + 18 b^6 c + 7 b^5 c^2 + 33 b^4 c^3 + 33 b^3 c^4 +
7 b^2 c^5 + 18 b c^6 - 6 c^7) -
2 a^2 (b + c)^2 (2 b^8 - b^7 c + 7 b^6 c^2 - 28 b^5 c^3 +
31 b^4 c^4 - 28 b^3 c^5 + 7 b^2 c^6 - b c^7 + 2 c^8) +
a^4 (6 b^8 + 8 b^7 c + 23 b^6 c^2 - 16 b^5 c^3 - 100 b^4 c^4 -
16 b^3 c^5 + 23 b^2 c^6 + 8 b c^7 + 6 c^8) +
a^3 (4 b^9 - 8 b^8 c - 46 b^7 c^2 - 54 b^6 c^3 + 56 b^5 c^4 +
56 b^4 c^5 - 54 b^3 c^6 - 46 b^2 c^7 - 8 b c^8 +
4 c^9))x^2 -2 (b - c) (a^12 - 2 a^11 (b + c) +
a^10 (-2 b^2 + 13 b c - 2 c^2) - b^2 c^2 (b^2 - c^2)^4 +
a^9 (7 b^3 - b^2 c - b c^2 + 7 c^3) -
a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^4 - b^3 c - 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) -
a^8 (2 b^4 + 29 b^3 c - 13 b^2 c^2 + 29 b c^3 + 2 c^4) +
a^7 (-8 b^5 + 13 b^4 c + b^3 c^2 + b^2 c^3 + 13 b c^4 - 8 c^5) +
a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 b^6 - 10 b^5 c + 7 b^4 c^2 - 11 b^3 c^3 +
7 b^2 c^4 - 10 b c^5 + 2 c^6) +
a^6 (8 b^6 + 9 b^5 c - 19 b^4 c^2 + 47 b^3 c^3 - 19 b^2 c^4 +
9 b c^5 + 8 c^6) +
a^5 (2 b^7 - 13 b^6 c + 5 b^5 c^2 - 4 b^4 c^3 - 4 b^3 c^4 +
5 b^2 c^5 - 13 b c^6 + 2 c^7) +
a^3 (b - c)^2 (2 b^7 + 5 b^6 c - b^5 c^2 - 4 b^4 c^3 - 4 b^3 c^4 -
b^2 c^5 + 5 b c^6 + 2 c^7) +
a^4 (-7 b^8 + 17 b^7 c + 6 b^6 c^2 - 27 b^5 c^3 + 18 b^4 c^4 -
27 b^3 c^5 + 6 b^2 c^6 + 17 b c^7 - 7 c^8))y z + ... = 0)
.
Propiedades geométricas de los centros del triángulo que figuran es este artículo:
X(5441) lies on these lines: {1, 30}∩{10, 21}
X(10) = Spieker Center
X(21) = Schiffler Point
X(30) = Euler Infinity Point
X(5563) = {X(1),X(36)}-harmonic conjugate of X(35)
Let A' be the inverse-in-circumcircle of the A-excenter, and define B' and C' cyclically. Then the lines AA', BB', CC' concur in X(35).
X(36) = inverse-in-circumcircle of incenter
X(5563) lies on these lines: {1,3} ∩ {79,104},
X(79) = isogonal conjugate of X(35)
X(100) anticomplement of Feuerbach Point
X(104) = antipode of X(100)
Domingo, 17 de noviembre del 2019
Triángulos homotéticos y segmentos iguales
El 17 de noviembre de 1790 nació August Ferdinand Möbius, matemático y astrónomo teórico alemán,
conocido sobre todo por su descubrimiento en 1858 de la banda de Möbius.
Su trabajo Der barycentrische Calcul (827), sobre geometría analítica, se convirtió en un clásico e incluye muchos de sus resultados sobre geometría proyectiva y afín. En él introdujo coordenadas homogéneas y también discutió transformaciones geométricas, en particular transformaciones proyectivas.
Dados un triángulo ABC y dos puntos P y U, sean y sus triángulos .
Para construir las paralelas a BC que determinan sobre los lados AB y AC segmentos de la misma longitud que el PaUa, se traslada el vértice A mediante las traslaciones de vectores
PaUa y UaPa, obteniéndose los puntos A' y A'', respectivamente.
La paralela por A' a AB corta a AC en A'b y la paralela por A'' a AC corta a AB en A''c. El segmento A''cA'b es paralelo a PaUa y ambos tienen la misma longitud. Se designa por ℓa1 la recta A''cA'b.
La paralela por A'' a AB corta a AC en A''b y la paralela por A' a AC corta a AB en A'c. El segmento A''bA'c es paralelo a PaUa y ambos tienen la misma longitud. Se designa por ℓa2 la recta A'bA''c.
Las rectas ℓ1b, ℓ1c, ℓ2b, ℓ2c, se definen cíclicamente.
Las recta ℓ1a, ℓ1b y ℓ1c forman un triángulo y las recta ℓ2a, ℓ2b y ℓ2c forman un triángulo . Estos triángulos son homotéticos, por construcción.
Si P(p:q:r) y U(u:v:w), en coordenadas baricéntircas, el centro de la homorecia que transforma en es:
que tiene números de búsqueda en
(10.2328459149917, -4.91192019258171, 2.31837265446786).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {101,6546}, {116,514}, {6545,31273}, {6710,10196}.
Si P=X2 y U se mueve sobre la , el lugar geométrico de Z es la parábola, que pasa por X525, X31296, X33294, de ecuación:
𝔖abc xyz
(a^2(b^2-c^2)-b^4+c^4)^2x^2 + 2(a^8+b^8+a^4b^2c^2-b^6c^2-b^2c^6+
c^8-a^6(b^2+c^2)-a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2))y z = 0.
que tiene números de búsqueda en ETC
(-28.2565259339191, 21.3158375277354, 1.92501970143791).
Si P=X2 y U se mueve sobre la recta que pasa por el baricentro y , el lugar geométrico de Z es la parábola, que pasa por X523, X6563, X14611, X14721, X14731, X14779, X17161, X30508, X30509, X31296, de ecuación:
que tiene números de búsqueda en ETC
(12.5375409127293, -6.03607074065305, 2.03292534263837).
Viernes, 15 de noviembre del 2019
Triángulo formado por polares de los excentros
El 15 de noviembre de 1630 falleció, a los 59 años, Johannes Kepler, astrónomo y matemático alemán. Descubrió que la Tierra y los planetas viajan alrededor del Sol en órbitas elípticas. Dio tres leyes fundamentales del movimiento planetario.
Dado un triángulo ABC, sean DEF y los triángulos y . Se designan por Ao, Bo, Co las proyecciones ortogonales de A, B, C sobre EF, FD, DE, respectivamente.
Sea A'B'C' el triángulo formado por las polares de Ia, Ib, Ic, respecto a las circunferencias de diámetros AAo, BBo, CCo, respectivamente.
El triángulo A'B'C' es perspectivo con los triángulos ABC y con DEF.
W = ( a/(5 a^2 + (b - c)^2 - 6 a (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.18628220787867, 1.23605628653092, 2.23741834144205).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {7,30350}, {8,5542}, {9,3742}, {21,17207}, {84,24644}, {165,2346}, {294,16667}, {354,3062}, {516,5558}, {885,28225}, {942,4866}, {943,3361}, {1000,18421}, {1156,18240}, {1476,12560}, {2951,10390}, {3243,31509}, {3296,4312}, {3339,7160}, {4321,17097}, {4900,11529}, {5223,32635}, {5541,12868}, {5728,33576}, {7091,30343}, {7319,30340}, {7320,11038}, {7707,8090}, {9814,11025}, {14100,31507}.
El centro de perspectividad (centro de homotecia) de DEF y A'B'C' es:
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.457301993682156, 0.579065011014250, 3.02871086181352).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {218,7271}, {226,24797}, {1362,3339}, {4859,10481}.
Domingo, 12 de noviembre del 2019
Una construccion de X(4846) y X(7100)
El 12 de noviembre de 1927 nació Yutaka Taniyama, matemático japonés. Es conocido por la conjetura de Taniyama-Shimura, que fue un factor importante en la demostración, por Andrew Wiles, del Último teorema de Fermat (Si n es un número entero mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad: xn + yn = zn).
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF su . Sea ℓa la recta que pasa por los centros, Ab y Ac, de las circunferencias que pasan por D y son tangentes a la circunferencia circunscrita a ABC en B y C, respectivamente. Los puntos Bc, Ba, Ca, Cb y la rectas ℓb, ℓc, se definen cíclicamente.
El triángulo A'B'C' formado por la rectas AbAc, BcB, CaCb es perspectivo con ABC.
Si (u,v,w) son las coordenadas baricéntricas de P:
Ab = (-a^2 (a^2 - b^2 -
c^2) w, -a^4 v - (b^2 - c^2) (-c^2 v + b^2 (v + w)) +
a^2 (2 c^2 v + b^2 (2 v + w)), c^2 (a^2 + b^2 - c^2) w),
Ac = (a^2 (a^2 - b^2 - c^2) v, -b^2 (a^2 - b^2 + c^2) v,
a^4 w + (b^2 - c^2) (b^2 w - c^2 (v + w)) -
a^2 (2 b^2 w + c^2 (v + 2 w))).
El centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es:
Q = ( a^2(b^2+c^2-a^2)/((b^2 - c^2) u^2 (v + w) (-c^2 v + b^2 w) +
a^4 v w (u^2 + v w) - a^2 (b^2 w (v^2 w + u^2 (2 v + w)) +
c^2 v (v w^2 + u^2 (v + 2 w)))) : ... : ...).
El 10 de noviembre de 1829 nació Elwin Bruno Christoffel, físico y matemático alemán.
Christoffel trabajó en aplicaciones conformes, en la teoría del potencial, en la teoría de invariantes, en el análisis tensorial, en la física matemática, en geodesia y en las ondas de choque. Los símbolos de Christoffel, el tensor Riemann-Christoffel reciben esos nombres en su honor.
Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre su circunferencia circunscrita ni en la recta del infinito), sean ta la tangente en A a la circunferencia circunscrita a ABC, ℓa la tangente en P a la circunferencia circunscrita a BPC.
Se definen cíclicamente tb, tc; ℓb, ℓc.
Ab=ta∩ℓb y Ac=ta∩ℓc.
Se definen cíclicamente Bc, Ba y Ca, Cb
Los seis puntos Ab. Ac, Bc, Ba, Ca, Cb están sobre una misma cónica si y solo si P está sobre la cuártica circular Q136, del catálogo de Bernard Gibert.
Los seis puntos Ab. Ac, Bc, Ba, Ca, Cb están sobre una misma cónica, C(P), si y solo si P está sobre la cuártica circular es ecuacíon:
𝔖abc xyz
y z(b^2c^2(b^4-c^4)x^2-
a^4(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)y z-a^4b^2c^2(y^2-z^2))= 0.
Esta cuártica es , pasa por los vértices de ABC y por los del , por los centros del triángulo X3, X4, X6, X15, X16, X23, X2574, X2575, X7712. Es tangente a la en el circuncentro. X23 (inverso del baricentro en la circunferencia circunscrita) es el .
Viernes, 8 de noviembre del 2019
X(31663) como centro de ortología
El 8 de noviembre de 1656 nació Edmond Halley, astrónomo, matemático y físico inglés, conocido por el cálculo de la órbita del cometa Halley. Se le observó por última vez en el año 1986 en las cercanías de la órbita de la Tierra. Su siguiente aparición ocurrirá a mediados de 2061.
Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' y A"B"C" el primer y segundo triángulo , respectivamente.
A'b, A'c, A"b, A"c son los puntos medios de los segmentos A'B , A'C, A"B, A"C, respectivamente.
Γ'a la circunferencia de centro A' y que pasa por A"b y A"c.
Γ"a la circunferencia de centro A" y y que pasa por A'b y A'c.
Las circunferencias Γ'b, Γ'c , Γ"b , Γ"c, se definen cíclicamente.
Sean Ao, Bo, Co los de las tres ternas de circunferencias (Γ'a, Γ"b, Γ"c), (Γ'b, Γ"c, Γ"a), (Γ'c, Γ"a, Γ"b).
El punto X13624 es el centro radical de las dos ternas de circunferencias ( Γ'a, Γ'b, Γ'c) y ( Γ"a, Γ"b, Γ"c).
Los triángulos ABC y son . El centro ortológico de respecto a ABC es X31663, baricentro del circuncentro y los exincentros. El centro ortológico recíproco es el incentro.
Las ecuaciones baricéntricas de las circunferencias Γ'a y Γ"a son:
X13624 = (a (4 a^3 + a^2 (b + c) -
2a (2 b^2 - b c + 2 c^2) + (b - c)^2 (b + c)) : : ),
X31663 = (a (4 a^3 + a^2 (b + c) -
2a (2 b^2 + b c + 2 c^2)- (b - c)^2 (b + c)) : : ).
Miércoles, 6 de noviembre del 2019
El centro X(13624) como centro radical
El 6 de noviembre de 1975, en Marruecos, comienza la Marcha Verde: 350 000 marroquíes desarmados se unen en la ciudad de Tarfaya, en el sur, y esperan una señal del rey Hassan II para cruzar al Sahara español para forzar la retirada de las tropas invasoras españolas.
Dado un triángulo ABC de incentro I=X1 y circuncentro O=X3, sean DEF el de I y A"B"C" el . Db y Dc son los circuncentros de los triángulos ABD y ACD.
Las rectas por O paralelas a DDb y a DDc interecan a las perpendiculares por I a IB y a IC en Ab y Ac, respectivamente.
Sea Γa la circunferencia con centro en A" y tangente a la recta ta=AbAc, y se definen Γb y Γc, cíclicamente.
Let ABC be a triangle and A'B'C' the pedal triangle of O.
Denote:
Na, Nb, Nc = the NPC centers of IBC, ICA, IAB, resp.
N1, N2, N3 = the reflections of Na, Nb, Nc in I, resp.
The NPCs of A'NaN1, B'NbN2, C'NcN3 are coaxial.
The 2nd intersection (other than I) lies on the OI line.
[César Lozada]:
Q2=X(13624) = X(1)X(3) ∩ X(30)X(1125)
= 4*a^3-(b+c)*a^2-2*(2*b^2-b*c+ 2*c^2)*a+(b^2-c^2)*(b-c) : : (trilinears)
En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC:
Ab = (a^2(a^2-b^2-2a*c+b*c+c^2) : b(-a^2b+a(2b-c)c+(b-c)^2(b+c)) :
c(a^3-2a^2(b+c)+2b(b^2-c^2)+a(-b^2+3b*c+c^2))),
Ac = (a^2(a^2-2a*b+b^2+b*c-c^2) : b(a^3-2b^2c+2c^3-
2a^2(b+c)+a(b^2+3b*c-c^2)) : c(-a*b(b-2c)-a^2c+(b-c)^2(b+c))).
Las rectas ta, ta y ta forman un triángulo , perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X953, de los lados de ABC y la .
Martes, 5 de noviembre del 2019
El centro X(15048) como perspector de una cónica
El 5 de novienbre de 1971, en Madrid, un comando de ultradecha destruye 24 grabados de Pablo Picasso.
Dados un triángulo ABC y una recta ℓ, sean M un punto que se mueve sobre ℓ, y D, E, F los puntos medios de los segmentos AM, BM, CM, respectivamente.
La perpendicular por D a ℓ interseca a AB en Ac y a AC en Ab.
La perpendicular por E a ℓ interseca a BC en Ba y a BA en Bc.
La perpendicular por F a ℓ interseca a CA en Cb y a CB en Ca.
Las perpendiculares por M a BcCb, a CaAc y a AbBa pasan por sendos puntos fijos Ao, Bo y Co, respectivamente.
Si px+qy+rz=0 es la ecuación baricéntrica de la recta ℓ,
Los puntos Ao, Bo, Co están sobre una recta ℓo, paralela a ℓ. Las perpendiculares por Ao, Bo, Co a BC, CA, AB, respectivamente, concurren en un punto Q.
Sean P y Po los de las rectas ℓ y ℓo, respectivamente; algunos pares {P=X(i), Po=X(j)}, para {i,j}:
El lugar geométrico de Q, cuando la recta ℓ gira alrededor del , es una
cónica, ( (a^2-b^2-3 c^2) (a^2-3 b^2-c^2) (a^4-3 b^4-2 b^2 c^2-3 c^4+a^2 (2 b^2+2 c^2)) x^2+2 (9 a^8+8 b^6 c^2-16 b^4 c^4+8 b^2 c^6+a^6 (9 b^2+9 c^2)+a^4 (-13 b^4+26 b^2 c^2-13 c^4)+a^2 (-5 b^6+5 b^4 c^2+5 b^2 c^4-5 c^6)) y z + ... = 0)
𝒞, de centro X5480 (punto medio del ortocentro y simediano) y pasa por X115, X1561, X1562, X2686, X14856.
El lugar geométrico de Ao, cuando ℓ gira alrededor del simediano, es una cónica 𝒞1, con centro A', trasladado de A, mediante la traslación de vector(HK)/2. Similarmente, se definen las cónicas 𝒞2 y 𝒞3, con centros B' y C'.
Las cónicas 𝒞, 𝒞2 y 𝒞3 se cortan sobre BC en un punto A1(0 : a^2 + 3 b^2 - c^2 : a^2 - b^2 + 3 c^2). Análogamente, se definen B1 y C1.
El de la cónica 𝒞, respecto al triángulo , es X15048:
((b^2 - c^2)^2 + 3 a^2 (b^2 + c^2) : ... : ...).
Sábado, 2 de noviembre del 2019
Las cúbicas K007 y K198
El 2 de noviembre de 1815 nació George Boole, matemático y lógico británico,
inventor del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética computacional moderna.
Dados un triángulo ABC y un punto P de su plano de recta del infinito ℒ∞, sean Γ la circunferencia circunscrita, DEF el de P y A' el centro de la circunferencia 𝒞a del haz Γ+λ EF·ℒ∞, que pasa por D. Los puntos B' y C' se definen análogamente.
Los puntos A', B', C' están alineados si y sólo si P está sobre la cúbica K198=nK(X2,X76,?).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de la circunferencia 𝒞a (λ=- a^2/(2 u (v + w))) es:
a^2 y z + b^2 z x+c^2 x y +
(x + y + z) ((a^2 v w x)/(2 u (v + w)) - (a^2 w y)/( 2 (v + w)) - (a^2 v z)/(2 (v + w))) = 0.
Su centro es:
A' = (a^2 (2 a^2 v w - a^2 u (v + w) + c^2 u (3 v + w) + b^2 u (v + 3 w)) :
-a^4 v (u + w) - 2 b^2 (b^2 - c^2) u (v + w) + a^2 v (b^2 (3 u - w) + c^2 (u + w)) :
a^2 c^2 (3 u - v) w - a^4 (u + v) w - 2 c^4 u (v + w) + b^2 (a^2 (u + v) w + 2 c^2 u (v + w))).
Los puntos A', B', C' están sobre una misma recta si y solo si las coordenadas de P, no situado sobre los lados de ABC, satisfacen a la ecuación de la cúbica K198, del catálogo de Bernard Gibert, de ecuación:
2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)x y z + a^2b^2(x^2+y^2)z+
a^2c^2y(x^2+z^2)+b^2c^2x(y^2+z^2) = 0,
Los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si y solo si P está sobre la cúbica de Lucas ( K007, del catálogo de Bernard Gibert).
Si U y V son, respectivamente, los de ABC respecto a A'B'C' y de A'B'C' respecto a ABC, se tienen, para P sobre K007, las ternas {P=X(i), U=X(j), V=X(k)}, para los índices {i, j, k}: {2,76,3}, {4,4,5}, {7,1,1385}, {8,3680,3579}, {20,?,6759}, {69,68,550}, {253,15318,3357}, {1032, ?, 20329}.
El centro radical de las circunferencias 𝒞a, 𝒞b, 𝒞c es:
Z = (a^2 u (b^2 (u + v) w + c^2 v (u + w)) : ... : ...).
Si P está sobre la circunferencia circunscrita a ABC, Z es su circuncentro.
Si P recorre la ℰ, el punto Z está sobre la tercera cúbica de Mulsseman, K028.
El 1 de noviembre de 1969 el Concorde rompe por primera vez la barrera del sonido.
Fue el primer avión a reacción supersónico en ser usado de manera comercial, puesto en servicio el 21 de enero de 1976, y voló durante 27 años.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean A'B'C' el de P y A"B"C" de P, respecto a A'B'C'.
El circuncentro, O", de A"B"C" está sobre la de ABC si P está sobre la cúbica 𝒬, de ecuación baricéntrica:
que pasa por los centros X(i), para i: 30, 3448, 10620, 12244, 12902, 32608, 34193.
Cuando P es el centro de la , el circuncentro de A"B"C" es:
W = ( 2a^10-5a^8(b^2+c^2)+2a^6(b^4+b^2c^2+c^4)+a^4(4b^6+b^4c^2+b^2c^4+4c^6)-
a^2(b^2-c^2)^2(4b^4+3b^2c^2+4c^4)+(b^2-c^2)^4(b^2+c^2): ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.206870049445915, -0.663195601865549, 4.00432141422395).
Es el punto medio de X5 y X7488.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {140, 7542}, {1594, 3628}, {20299, 20391}.
Y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {52,22051}, {110,10203}, {143,8254}, {1154,15806}, {1291,15641}, {3470,16243}, {3519,9705}, {3580,32165}, {5944,32423}, {5972,32142}, {6689,10095}, {10272,10628}, {11743,18874}, {11808,15426}, {13364,20193}, {14128,32348}, {14449,23292}, {20299,20391}, {20379,23060}.
Jueves, 31 de octubre del 2019
Una propiedad del centro X(3532)
El 31 de octubre de 1815 nació Karl Theodor Weierstrass , matemático alemán. Dio las definiciones de continuidad, límite y derivada de una función. Esto le permitió abordar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar de forma rigurosa, como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass.
Dado un triángulo ABC, sean DEF el del y A' el centro de la circunferencia que pasa por D y por los puntos A1 y A2, donde la recta EF corta a la a ABC. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' concurren en el centro X(3532), de del .
Para obtener la ecuación baricéntrica de la circunferencia (DA1A2), podemos utilizar el haz de circunferencias determinado por la circunferencia circunscrita a ABC y el producto de la recta EF y la del :
El 30 de octubre de 1906 nació Andréi Tychonoff , matemático ruso conocido por sus contribuciones en topología, análisis funcional, física matemática y problemas mal definidos. El teorema de Tíjonov establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. En su honor, los espacios topológicos completamente regulares se llaman espacios de Tychonoff.
Dado un triángulo ABC, sean el , DEF el , A'B'C' el y D'E'F' el triángulo cuyos vértices D', E', F' son las proyecciones ortogonales de Ma, Mb, Mc sobre EF, FD, DE, respectivamente.
Los triángulos A'B'C' y D'E'F' son . El centro de perspectividad es el incentro; el centro ortologico de D'E'F' respecto a A'B'C' es el ; y el centro ortologico de A'B'C' respecto a D'E'F' es X(17749).
En coordenadas baricéntricas,
D' = (-a (b + c) : b (a - 2 c) : (a - 2 b) c),
A' = (a^2 : -b (b - c) : -c (-b + c)).
La perpendicular por A' a E'F' es:
b (b - c) c (b + c)x -a c (-b^2 + c^2 + a (-2 b + c))y + a b (b^2 +
a (b - 2 c) - c^2)z = 0.
Y el centro ortológico de A'B'C' respecto a D'E'F' es:
X17749 = (a (a^2 (b+c)-2 b c (b+c)+a (b^2-b c+c^2)) : ... : ...).
Martes, 29 de octubre del 2019
Hipérbolas rectangulares y una cúbica nK(X2, X69, ?)
El 29 de octubre de 1929, en Nueva York, comienza la Gran Depresión con la caída de la bolsa en el día conocido como Martes Negro.
Dado un triángulo ABC y un punto P, sea P' su y 𝒞(P) la cónica que pasa por los vértices de los de P y P'.
𝒞(P) es una si y solo si P está sobre la n𝒦(X2,X69,?) de ecuación baricéntrica
2 (a^2 + b^2 + c^2) x y z +
𝔖abc xyz
(b^2 + c^2 - a^2) x (y^2 + z^2) = 0.
[Chris van Tienhoven]:
What is the condition for a conic to be an orthogonal hyperbola,
related to the conic
f x^2 + g y^2 + h z^2 + 2 p y z + 2 q z x + 2 r x y = 0
with matrix
| f r q |
| r g p |
| q p h |
[Bernard Gibert]:
(https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/19737)
a^2 f + b^2 g + c^2 h - 2 (SA p + SB q + SC r)=0
El centro Q de la hipérbola rectangular 𝒞(P), cuando P recorre la cúbica, está sobre la .
Las tangentes a la cúbica en los vértices de ABC forman un triángulo perspectivo con ABC (con centro de perspectividad en el ortocentro) y sus lados vuelven a cortarla en tres puntos alineados sobre la de:
que tiene números de búsqueda en
(-1.89924832148393, -2.30225040386166, 6.11110629449657).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2052,15321}, {6145,14249}, {18434,34170}.
Lunes, 28 de octubre del 2019
Una hipérbola bitangente a la hipérbola de Feuerbach
El 28 de octubre de 1703, falleció John Wallis (a los 87 años), matemático inglés.
Publicó un tratado sobre secciones cónicas en el que las define analíticamente. Este fue el primer libro en el que estas curvas fueron consideradas y definidas como curvas de segundo grado.
Dado un triángulo ABC de incentro I=X1 y circuncentro O=X3, sean P un punto sobre la , k la razón en la que divide el Q de P al segmento IO, A'B'C' es la imagen de ABC en la homotecia de razón k y centro I, y u el vector de origen y extremo las proyecciones de I en B'C' y BC, respectivamente.
La recta que une Ya, trasladado de I por el vector u, con el centro Ia de la circunferencia A-exincrita corta al lado BC en A''. Los puntos B'' y C'' se determinan análogamente, procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC.
Ya = (2a^2k : 2a b - a^2(-1+k)-(b^2-c^2)(k-1) :
2a c - a^2(-1+k)+(b^2-c^2)(k-1)),
A" = (0 : a^2(k-1)+(b^2-c^2)(k-1)-2a b(1+k) :
a^2(k-1)-(b^2-c^2)(k-1)-2a c(1+k)).
P' = (a^4(k-1)^2-(b^2-c^2)^2(k-1)^2+4a^2b c(1+k)^2-
2a^3(b+c)(k^2-1)+2a(b-c)^2(b+c)(k^2-1) : ... : ...).
La recta PP' envuelve una hipérbola ℋ, bitangente a la hipérbola de Feuerbach, de ecuación baricéntrica:
(b - c)^2 (-a + b + c)^4 (2 a^4 + (b - c)^4 + a^3 (b + c) +
a^2 (-3 b^2 + 4 b c - 3 c^2) -
a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3))^2x^2
-2 (a - b) (a - c)(a^2 - (b - c)^2)^2 (a^8 - 5 a^7 (b + c) -
a^6 (b^2 - 31 b c + c^2) -
3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + 9 b c + c^2) +
a (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + 20 b c + c^2) + (b - c)^2 (b +
c)^4 (2 b^2 - 5 b c + 2 c^2) -
a^3 (b - c)^2 (7 b^3 + 9 b^2 c + 9 b c^2 + 7 c^3) +
a^5 (11 b^3 - 21 b^2 c - 21 b c^2 + 11 c^3) +
a^4 (b^4 - 3 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 3 b c^3 + c^4))yz+ ... = 0.
La hipérbola ℋ pasa por X4308 y las tangentes comunes con la hipérbola de Feuerbach se cortan en:
T = ( a (a^5 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 4 b c + c^2) +
2 a^2 (b - c)^2 (b^2 + 4 b c + c^2) - a^4 (b^2 + 8 b c + c^2) +
a (b - c)^2 (b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3) -
2 a^3 (b^3 - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-1.41386573580219, -1.36027570781590, 5.23494723461179).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,6985}, {12,31786}, {40,22759}, {65,944}, {354,4308}, {388,962}, {392,10895}, {515,1858}, {517,1770}, {920,18519}, {960,5080}, {1155,2975}, {1319,7686}, {3474,14923}, {3487,5919}, {3698,26062}, {3753,5204}, {3812,3897}, {3868,3880}, {3877,5229}, {4295,10805}, {4311,18838}, {5252,14110}, {5697,9579}, {7951,31838}, {9657,12709}, {9957,13407}, {10629,12701}, {10728,17638}, {11246,13601}, {12672,12943}, {15326,31788}, {15556,28236}, {26089,31794}.
El centro de ℋ es:
W = ( (b - c)^2 (-a + b + c)^4 (2 a^4 + (b - c)^4 + a^3 (b + c) +
a^2 (-3 b^2 + 4 b c - 3 c^2) -
a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3))^2, -2 (a -
b) (a^2 - (b - c)^2)^2 (a - c) (a^8 - 5 a^7 (b + c) -
a^6 (b^2 - 31 b c + c^2) -
3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + 9 b c + c^2) +
a (b - c)^2 (b + c)^3 (b^2 + 20 b c + c^2) + (b - c)^2 (b +
c)^4 (2 b^2 - 5 b c + 2 c^2) -
a^3 (b - c)^2 (7 b^3 + 9 b^2 c + 9 b c^2 + 7 c^3) +
a^5 (11 b^3 - 21 b^2 c - 21 b c^2 + 11 c^3) +
a^4 (b^4 - 3 b^3 c + 8 b^2 c^2 - 3 b c^3 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-3.36169791278416, -3.63267868608515, 7.70714876278987).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {5,2551}, {946,3918}, {962,4187}, {1532,18990}, {3847,6882}, {4193,8166}, {6841,12571}.
Articulo inspirado en: Camino entre dos pueblos con menor distancia y un puente
Hay dos pueblos, A y D, separados por un río y se tiene que construir un puente en perpendicular al río de tal forma que la distancia entre los dos pueblos sea la menor.
Sábado, 19 de octubre del 2019
Rectas que unen pies de simedianas
a Kaque, por su "cumple"
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean Ab y Ac los puntos de intersección de las de los triángulos ABP y ACP con sus lados BP y CP, respectivamente. Se designa por ℓa la recta que pasa por Ab y Ac. Las rectas ℓb y ℓc, se obtiene de forma similar.
Las rectas ℓa, ℓb y ℓc forman un triángulo A'B'C', perspectivo con ABC.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C' es:
Q = (u/(b^2 c^2 u (u+v+w) + (u+2(v+w)) (c^2v+b^2w) a^2 - v w a^4) : ... : ...).
Q1 = ( a/(-a^2 + 2 a b + 2 a c + b c) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.50400604785717, 1.53062562392543, 1.88684395094808).
Este punto es la intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,29309}, {7,33095}, {8,4699}, {9,24512}, {21,8296}, {171,2346}, {256,354}, {294,21748}, {940,983}, {941,982}, {1458,17097}, {2298,4038}, {2481,3664}, {3296,24248}, {4334,5665}, {4335,10390}, {4890,4947}, {5557,32857}, {6646,17450}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.65830292575522, 1.58612411362527, 1.31566951443371).
Este punto es la intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {524,3934}, {4062,21022}, {7820,15464}.
Si P es el circuncentro, Q es el conjugado isogonal de X428,
que tiene números de búsqueda en ETC
(5.90157469466819, 4.50045979797126, -2.19884216038104).
Este punto es la intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,3096}, {6,1627}, {54,5092}, {64,15577}, {65,33844}, {66,3410}, {67,3631}, {68,10519}, {69,4175}, {71,7293}, {74,7953}, {141,15321}, {182,13472}, {248,22052}, {265,28725}, {290,1232}, {511,1173}, {542,5900}, {895,11574}, {1176,3917}, {1245,5315}, {3313,12039}, {3426,33533}, {3527,7393}, {3630,13622}, {4558,22078}, {4846,28419}, {5157,33884}, {5486,20080}, {5888,22336}, {5965,18368}, {7691,21167}, {11008,17040}, {12017,16266}, {14060,22062}, {14810,16835}, {15066,34207}, {15328,31065}, {15812,18124}, {22334,31884}.
Si P es el simediano, Q es el conjugado isogonal de X20582= 5X2-X6,
Q6 = (a^2 /(2 a^2 + 5 (b^2 + c^2)): ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.771099681944740, 1.28819769949151, 2.39294314443884).
Este punto es la intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {111,5007}, {187,3108}, {1383,14075}, {5008,7496}, {8664,9178}.
Las rectas ℓa, ℓb y ℓc son concurrentes si y solo si P está sobre una
séxtica ( 2 b^2 c^4 x^5 y+2 a^2 c^4 x^4 y^2+8 b^2 c^4 x^4 y^2-c^6 x^4 y^2+8 a^2 c^4 x^3 y^3+8 b^2 c^4 x^3 y^3-3 c^6 x^3 y^3+8 a^2 c^4 x^2 y^4+2 b^2 c^4 x^2 y^4-c^6 x^2 y^4+2 a^2 c^4 x y^5+2 b^4 c^2 x^5 z+2 a^2 b^2 c^2 x^4 y z+7 b^4 c^2 x^4 y z+7 b^2 c^4 x^4 y z-a^4 c^2 x^3 y^2 z+14 a^2 b^2 c^2 x^3 y^2 z+4 b^4 c^2 x^3 y^2 z+9 a^2 c^4 x^3 y^2 z+15 b^2 c^4 x^3 y^2 z-4 c^6 x^3 y^2 z+4 a^4 c^2 x^2 y^3 z+14 a^2 b^2 c^2 x^2 y^3 z-b^4 c^2 x^2 y^3 z+15 a^2 c^4 x^2 y^3 z+9 b^2 c^4 x^2 y^3 z-4 c^6 x^2 y^3 z+7 a^4 c^2 x y^4 z+2 a^2 b^2 c^2 x y^4 z+7 a^2 c^4 x y^4 z+2 a^4 c^2 y^5 z+2 a^2 b^4 x^4 z^2-b^6 x^4 z^2+8 b^4 c^2 x^4 z^2-a^4 b^2 x^3 y z^2+9 a^2 b^4 x^3 y z^2-4 b^6 x^3 y z^2+14 a^2 b^2 c^2 x^3 y z^2+15 b^4 c^2 x^3 y z^2+4 b^2 c^4 x^3 y z^2-3 a^6 x^2 y^2 z^2+6 a^4 b^2 x^2 y^2 z^2+6 a^2 b^4 x^2 y^2 z^2-3 b^6 x^2 y^2 z^2+6 a^4 c^2 x^2 y^2 z^2+30 a^2 b^2 c^2 x^2 y^2 z^2+6 b^4 c^2 x^2 y^2 z^2+6 a^2 c^4 x^2 y^2 z^2+6 b^2 c^4 x^2 y^2 z^2-3 c^6 x^2 y^2 z^2-4 a^6 x y^3 z^2+9 a^4 b^2 x y^3 z^2-a^2 b^4 x y^3 z^2+15 a^4 c^2 x y^3 z^2+14 a^2 b^2 c^2 x y^3 z^2+4 a^2 c^4 x y^3 z^2-a^6 y^4 z^2+2 a^4 b^2 y^4 z^2+8 a^4 c^2 y^4 z^2+8 a^2 b^4 x^3 z^3-3 b^6 x^3 z^3+8 b^4 c^2 x^3 z^3+4 a^4 b^2 x^2 y z^3+15 a^2 b^4 x^2 y z^3-4 b^6 x^2 y z^3+14 a^2 b^2 c^2 x^2 y z^3+9 b^4 c^2 x^2 y z^3-b^2 c^4 x^2 y z^3-4 a^6 x y^2 z^3+15 a^4 b^2 x y^2 z^3+4 a^2 b^4 x y^2 z^3+9 a^4 c^2 x y^2 z^3+14 a^2 b^2 c^2 x y^2 z^3-a^2 c^4 x y^2 z^3-3 a^6 y^3 z^3+8 a^4 b^2 y^3 z^3+8 a^4 c^2 y^3 z^3+8 a^2 b^4 x^2 z^4-b^6 x^2 z^4+2 b^4 c^2 x^2 z^4+7 a^4 b^2 x y z^4+7 a^2 b^4 x y z^4+2 a^2 b^2 c^2 x y z^4-a^6 y^2 z^4+8 a^4 b^2 y^2 z^4+2 a^4 c^2 y^2 z^4+2 a^2 b^4 x z^5+2 a^4 b^2 y z^5 = 0)
, tangente en los vértices de ABC a la circunferencia circunscrita.
La intersecciones de esta séxtica, 𝒮, con los lados de ABC (a parte de sus vértices) están sobre la elipse ( x^2+y^2+z^2+3 x y+3 x z+3 y z = 0)
imagen de la , mediante la homotecia de centro en el baricentro y razón 2.
Lunes, 14 de octubre del 2019
Antipodales del punto de Bevan y el centro X(57)
El 14 de octubre de 2010 falleció Benoît Mandelbrot (a los 76 años), matemático polaco conocido por sus trabajos sobre los fractales. El conjunto de Mandelbrot, el más estudiado de los fractales, se conoce así en su honor, que investigó sobre él en los años setenta.
• X(57) is wrt of .
• X(57) = of Bevan circle.
• X(57) = inverse-in-Bevan-circle of .
• X(57) is the perspector of the and .
• Let Oa be the circle passing through B and C, and tangent to the incircle. Define Ob and Oc cyclically. Let A' be the point of tangency of Oa and the incircle, and define B' and C' cyclically. Triangle A'B'C' is perspective to the intouch triangle at X(57). Also, X(57) is the of circles Oa, Ob, Oc. (Randy Hutson, July 31 2018)
• Let A'B'C' be the . Let La be the reflection of line B'C' in the internal angle bisector of A, and define Lb and Lc cyclically. Let A" = Lb∩Lc, B" = Lc∩La, C" = La∩Lb. Triangle A"B"C" is homothetic to ABC, with center of homothety X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
• Let Ja, Jb, Jc be the excenters and I the incenter of ABC. Let Ka be the of JbJcI, and define Kb, Kc cyclically. Then KaKbKc is perspective to ABC at X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
• Let A' be the perspector of the circumconic centered at the A-excenter, and define B' and C'cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
• Let A'B'C' be the . Let A" be the trilinear pole of line B'C', and define B", C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
• Let A' be the perspector of the , and define B' and C'cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(57). (Randy Hutson, September 14, 2016)
Dado un triángulo ABC, sean V el y Va, Vb, Vc los puntos antipodales de V en las circunferencias circunscritas a los triángulos VBC, VCA, VAB, respectivamente.
En coordenadas baricéntricas, Va = ( a/(a - b - c) : b/(a - b + c) : c/(a + b - c)).
Randy Hutson observa que es el de V.
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC sobre es X223, del baricentro y X57.
La matriz M asociada de la transformación afín σ que aplica ABC en tiene las entradas:
M[1,1] = a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + a^2 (b - c) -
a (b - c)^2 - (b - c) (b + c)^2) (a^3 - a (b - c)^2 +
a^2 (-b + c) + (b - c) (b + c)^2),
M[1,2] = a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b + c)^2) (a^3 - a (b - c)^2 + a^2 (-b + c) + (b - c) (b + c)^2),
M[1,3] = a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b + c)^2) (a^3 + a^2 (b - c) - a (b - c)^2 - (b - c) (b + c)^2),
cíclicamente, se obtienen las restantes filas.
El punto fijo finito es X223, del baricentro y X57 (i.e. el de la cónica circunscrita de centro X57).
X223 = (a (a + b - c) (a - b + c) (a^3 + a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) -
a (b + c)^2) : ... : ...).
Viernes, 11 de octubre del 2019
Una propiedad de la cúbica de Simson
El 11 de octubre de 1963 fallece Édith Piaf, cantante y actriz francesa, a los 47 años de edad.
Dados un triángulo ABC y un punto P, la de P corta a los lados BC, CA, AB en A', B', C', respectivamente. Sean Oa, Ob, Oc los centros de las circunferencias Γa, Γb, Γc, circunscritas a los triángulos AB'C', BC'A', CA'B', respectivamente.
Las circunferencias Γa, Γb, Γc concurren en un punto Q sobre la circunferencia circunscrita, Γ.
Los triángulos ABC y OaObOc son semejantes y perspectivos, con centro de semejanza Q y centro de perspectividad Z, sobre Γ.
Los puntos Q y Z son distintos y están alineados con P si y solo si P está sobre las hipérbolas circunscritas con punto común el baricentro y pasan por cada uno de los puntos donde la recta de Euler interseca a la circunferencia circunscrita.
(En este resultado ha contribuido Bernard Gibert).
Cuando P está sobre la hipérbola que pasa por X1113 (que también contiene a X8115, X16070), el centro de perspectividad de ABC y coincide con X1113. Análogamente con la otra hipérbola.
Miércoles, 9 de octubre del 2019
Los centros del triángulo X(57) y X(109)
El 9 de octubre de 1967, Che Guevara fue capturado y ejecutado de manera clandestina y sumaria por el Ejército de Bolivia en colaboración con la CIA.
Dado un triángulo ABC (de incentro I=X1 y ortocentro H=X4), sean DEF el de I.
Sean Ea y Fa los puntos donde la altura por A corta a las rectas BE y CF, respectivamente. Ab y Ac son las reflexiones de A en BE y CF, respectivamente.
Ha = (0 : (a - c) (a - b + c) : (b - a) (a + b - c)).
Los puntos Hb y Hc, se definen cíclicamente.
Las rectas AHa, BHb, CHc son paralelas y tienen la dirección del conjugado isogonal de X109, punto de concurrencia de las reflexiones de la recta que pasa por el incentro y ortocentro, en los lados de ABC.
Jueves, 3 de octubre del 2019
Parábolas con el mismo foco y directrices concurrentes
El 3 de octubre de 1891 falleció Édouard Lucas, matemático francés, conocido por los Números de Lucas (los dos primeros números Lucas son L0 = 2 y L1 = 1 y cada número de Lucas se define como la suma de sus dos inmediatos anteriores, de manera similar a los números de Fibonacci) y por el juego de las Torres de Hanói.
Dado un triángulo ABC (de incentro I y circuncentro O), sean A'B'C' el y A"B"C" la reflexión de éste en la recta IO.
Se denota por Na, Nb, Nc los centros de las de los triángulos IBC, ICA, IAB, respectivamente.
Sobre las rectas A"Na, B"Nb, C"Nc se toman los puntos At, Bt, Ct, tales que:
A" = ((a - b - c) (b - c)^2 (a + b - c) (a - b + c) : -(a - b)^2 b^2 (a + b -
c) : -(a - c)^2 c^2 (a - b + c)),
Na = (a (b + c) : -a^2 - a b + (b + c)^2 : -a^2 - a c + (b + c)^2),
At = ((a - b - c) (b - c)^2 (a + b - c) (a - b + c) (a^2 - (b + c)^2) +
a b c (b + c) (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2)) t :
b (-(a - b)^2 b (a + b -
c) (a^2 - (b + c)^2) -
c (a^2 + a b - (b + c)^2) (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2)) t) :
c (-(a - c)^2 c (a - b +
c) (a^2 - (b + c)^2) -
b (a^2 + a c - (b + c)^2) (a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) -
a (b^2 - 3 b c + c^2)) t)),
Ht = (a (a^2 (b + c) - (b - c)^2 (b + c) + 2 a b c t) : b (b^2 (a + c) - (-a + c)^2 (a + c) + 2 a b c t) : c (c^2(a + b)-(a - b)^2 (a + b) + 2 a b c t).
Se tiene que:
IHt : HtO =
(a^2 - (b - c)^2) (b + c - a)/(a^3 - a^2 (b + c) - a (b^2 + c^2) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a b c t).
En consecuencia, la correspendencia f : A"Na → IO, At ↦ Ht, es un una proyectiviadad. Como los puntos del infinito de ambas rectas se corresponden, la envolvente de las rectas AtHt (cuando t varía) es una parábola 𝒫a.
Similarmente, se obtienen las parábolas 𝒫b y 𝒫c, envolventes de las rectas BtHt y CtHt, respectivamente.
Las parábolas 𝒫a, 𝒫b y 𝒫c tienen el mismo foco y sus directrices son concurrentes.
El foco común de las tres parábolas es el centro de semejanza de los triángulos A"B"C" y :
F = ( (a - b + c) (a + b - c) (a^7 (b + c)
+ a^6 (b^2 - 12 b c + c^2)
- a (b - c)^2 (b + c)^3 (3 b^2 - 5 b c + 3 c^2)
+ a^5 (-5 b^3 + 13 b^2 c + 13 b c^2 - 5 c^3) -
a^4 (b^4 - 11 b^3 c + 30 b^2 c^2 - 11 b c^3 + c^4) +
a^3 (7 b^5 - 16 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 - 16 b c^4 + 7 c^5)
- a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 - b c + c^2) + (b^2 - c^2)^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.02672530231474, 0.972500486415961, 2.49352169793576).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,12619}, {106,18976}, {11011,23869}.
La ecuación de la directriz de la parábola 𝒫a es:
(b+c-a) (a^7 (b + c) + 2 b (b - c)^4 c (b + c)^2 +
a^4 b c (3 b^2 + 2 b c + 3 c^2) -
a^2 b (b - c)^2 c (5 b^2 + 7 b c + 5 c^2) -
a (b - c)^4 (b^3 + 4 b^2 c + 4 b c^2 + c^3) -
a^5 (3 b^3 + b^2 c + b c^2 + 3 c^3) +
a^3 (3 b^5 - 4 b^3 c^2 - 4 b^2 c^3 + 3 c^5)) x
- a (a - b + c) (a^6 (b - c) +
2 a^5 b c - (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 - b c + c^2) +
a^3 b c (-3 b^2 + 4 b c + c^2) +
a^4 (-3 b^3 + 5 b^2 c - 9 b c^2 + 3 c^3) +
a b c (b^4 - 3 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 3 b c^3 - 3 c^4) +
a^2 (3 b^5 - 6 b^4 c + 10 b^3 c^2 - 14 b^2 c^3 + 10 b c^4 -
3 c^5)) y
+ a (a + b - c) (a^6 (b - c) - 2 a^5 b c -
a^3 b c (b^2 + 4 b c - 3 c^2) - (b - c)^3 (b + c)^2 (b^2 - b c +
c^2) + a^4 (-3 b^3 + 9 b^2 c - 5 b c^2 + 3 c^3) +
a b c (3 b^4 - 3 b^3 c - 2 b^2 c^2 + 3 b c^3 - c^4) +
a^2 (3 b^5 - 10 b^4 c + 14 b^3 c^2 - 10 b^2 c^3 + 6 b c^4 -
3 c^5)) z = 0.
El punto de concurrencia Z, de las tres directrices está sobre la recta que une el ortocentro de triángulo de contacto interior (X65) con la reflexión del centro de la circunferencia de los nueve puntos en el incentro (i.e. reflexión de X5 en X1). Z = (2r^3-24r^2R-R^3+2r s^2) X65 + (4r^2(2r-R)) X1483 (donde r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC, y s el semiperímetro):
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.894824616590753, 1.20332668643293, 2.39459618364277).
Lunes, 30 de septiembre del 2019
Ejes de perspectividad tangentes a la cónica de MacBeath
El 30 de septiembre de 1891 nació Otto Schmidt, científico, matemático, astrónomo, geofísico, político ruso. Trabajó en teoría de grupos; conocido es el "problema de Schmidt", que pregunta qué grupos infinitos no tienen subgrupos propios infinitos. Szélpál demostró en 1949 que los grupos cuasicíclicos de Prüfer son los únicos grupos abelianos con esta propiedad.
Dados un triángulo ABC (de circuncentro O y ortocentro H) y un punto P, sea DEF el de P. La perpendicular por D a BC corta a las alturas por B y C en Ab y Ac, respectivamente.
El ortocentro, Ha, de HAbAc está sobre AP (AoSP).
Los puntos Hb y Hc se definen cíclicamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces
T = (((b^2 - c^2)^2 (v + w) + 2 a^2 (b^2 + c^2) u - a^4 (2 u + v + w))^2/(a^2SA) : ... : ...).
Cuando el punto P se mueve sobre una recta que pasa por H, el punto T es fijo.
T es el del del circuncentro y el cuadrado baricéntrico del punto del infinito de la recta HP.
Los centros del triángulo que actualmente están sobre la cónica inscrita de MacBeath, son los de
índices: 339, 1312, 1313, 2967, 2968, 2969, 2970, 2971, 2972, 2973, 2974, 21664, 21665, 21666, 24977.
A la recta HXi le corresponde el punto T=Xj sobre la cónica de MacBeath, para los pares de índices {i,j}:
{525, 339}, {2575, 1312}, {2574, 1313}, {69, 2967}, {521, 2968}, {513, 2969}, {523, 2970}, {512, 2971}, {520, 2972}, {514, 2973}, {193, 2974}, {8, 21664}, {9, 21665}, {522, 21666}.
La recta por H, tal que a sus puntos les corresponde el X24977, es la que tiene la dirección perpendicular a la dirección de X10628.
Otros puntos sobre la cónica inscrita de MacBeath correspondientes, según la cosntrucción anterior, a rectas por el ortocentro:
• A la recta que pasa por el incentro y ortocentro, le corresponde
que tiene números de búsqueda en
(-2.52915913679864, -3.62412685212655, 7.31697959651752).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,26704}, {4,151}, {25,9056}, {117,14304}, {273,2973}, {355,7141}, {407,2970}, {2968,6831}, {2972,3142}.
• A la recta que pasa por el baricentro y ortocentro (recta de Euler), le corresponde
que tiene números de búsqueda en ETC
(-2.32274089216832, -3.86471273638440, 7.38826909578973).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,1289}, {4,339}, {25,98}, {235,2971}, {264,14944}, {427,2972}, {1352,17407}, {1529,16096}.
• A la recta que pasa por el ortocentro y , le corresponde
T7 = ( (a^4 - (b^2 - c^2)^2) (a^4 (b + c) - (b - c)^2 (b + c)^3 -
2 a^3 (b^2 - b c + c^2) + 2 a (b - c)^2 (b^2 + b c + c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-2.46660909388646, -3.69345823128370, 7.33610899305146).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,10405}, {92,2968}, {5779,7046}, {7490,13226}.
• A la recta que pasa por el ortocentro y , le corresponde
T11 = ( b^2 c^2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2) (2 a^7 - 4 a^3 b (b - c)^2 c -
2 a^6 (b + c) + 3 a^4 (b - c)^2 (b + c) +
4 a^2 b (b - c)^2 c (b + c) - (b - c)^4 (b + c)^3 +
a^5 (-3 b^2 + 8 b c - 3 c^2) +
a (b^2 - c^2)^2 (b^2 - 4 b c + c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-2.34982055318143, -3.83114239252066, 7.37752639358242).
• A la recta que pasa por el ortocentro y el conjugado isogonal del , le corresponde
que tiene números de búsqueda en ETC
(-25.7278968282367, -0.767749430674028, 16.0465972392526).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,339}, {3,2373}, {4,10748}, {25,99}, {126,1560}, {186,5971}, {264,2970}, {427,2971}, {468,3266}, {1112,4576}, {1312,22339}, {1313,22340}, {2967,3268}, {2972,30739}, {4235,31128}, {4563,19504}, {6337,10603}, {7386,13219}, {13416,25053}.
• A la recta que pasa por el ortocentro y es paralela a la , le corresponde
que tiene números de búsqueda en ETC
(-148.618461236905, -0.759960590315359, 72.7599269999283).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,2370}, {4,10744}, {25,9059}, {119,4397}, {121,4768}, {264,2973}, {318,7141}, {339,16052}, {1000,7046}, {1145,4723}, {1883,2969}, {2968,4187}.
Viernes, 27 de septiembre del 2019
Una caracterización de la cúbica de Thomson
El 27 de septiembre de 1730 fallece, a los 53 años, Étienne Bézout, matemático francés, conocido por el teorema de Bézout, que afirma que dos curvas algebraicas, en el plano proyectivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, de grados m y n, tienen exactamente mn puntos de intersección contados con su multiplicidad.
Definition 29
The triplet (T1, T2, T3) is a triplet of homological triangles if the triangles (T1, T3) are homological, the triangles (T2,T3) are homological and the triangles (T1, T3) are homological.
Theorem 17
Given the triplet of triangles (T1, T2, T3) such that (T1, T2) are homological, (T1, T3) are homological and their homological centers coincide, then
(i) (T1, T2, T3) is a triplet of homological triangles. The homological center of (T1, T3) coincides with the center of the previous homologies.
(ii) The homological axes of the pairs of triangles from the triplet (T1, T2, T3) are concurrent, parallel, or coincide.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean y DEF los triángulos y de P, respectivamente. Por construcción, los tres triángulos son perspectivos, dos a dos, con centro de perspectividad común, P. Entonces, los correspondientes , son concurrentes.
Sean (u:v:w) las coordenadas baricéntricas de P.
El eje de perspectividad de ABC y es x/u+y/v+z/w=0.
El eje de perspectividad de ABC y DEF es (c^2 v + b^2 w)x + (c^2 u + a^2 w)y + (b^2 u + a^2 v)z=0.
El eje de perspectividad de DEF y es:
v w (-c^2 u v - b^2 u w + a^2 v w) x +
u w (-c^2 u v + b^2 u w - a^2 v w) y +
u v (c^2 u v - b^2 u w - a^2 v w) z=0.
El punto de concurencia, Q, de estas tres rectas es:
(u^2 (c^2 v - b^2 w) : v^2 ( a^2 w-c^2 u ) : w^2(b^2 u - a^2 v)).
Cuando P es X5 (centro de la circunferencia de los nueve puntos), el punto de concurrencia de los ejes de perspectividad es la reflexion de X23286 en X24978:
que tiene números de búsqueda en
(-0.476995555190587, 0.0623538420470286, 3.81764823211671).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {52,924}, {216,2489}, {382,13152}, {523,2070}, {648,14587}, {2081,2600}, {23286,24978}.
Los tres ejes de perspectividad de los triángulos ABC, y DEF son paralelos si y solo si P está sobre la cúbica de Thomson.
El centro del triángulo X(2426) y parábolas tangentes a la bisectrices
Pendiente
Miércoles, 19 de septiembre del 2019
Baricentro del triángulo ceviano del anticomplemento del punto de Feuerbach
El 19 de septiembre de 1749 nació Jean-Baptiste Joseph Delambre, matemático y astrónomo francés.
Conocido por contribuir en la medida de la longitud del arco del meridiano que pasa por Francia, de Dunkerque a Montjuic, cuyos resultados sirvieron para establecer el sistema métrico decimal.
En un triángulo ABC, el baricentro del DEF de X100, del , es X11124.
El ortocentro de DEF es el circuncentro de ABC.
La correspondencia entre un punto P de ABC y el mismo punto P' de DEF, induce una proyectividad entre sus rectas de Euler. La envolvente de la recta PP', cuando P se mueve sobre la recta de Euler, es una parábola 𝒫,
tangente a ambas rectas en el ortocentro de ABC y en el circuncentro O' de DEF.
O' = ( a (b-c) (a^5-a^4 (b+c)-(b-c)^2 (b+c)^3-a^3 (2 b^2+b c+2 c^2)+2 a^2 (b^3+2 b^2 c+2 b c^2+c^3)+a (b^4-b^3 c-6 b^2 c^2-b c^3+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(25.2313759797076, -19.8329531776292, 5.72592007578570).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,650}, {3,11124}, {55,11247}, {155,521}, {496,10006}, {513,3579}, {514,6684}, {693,27529}, {905,21105}, {3126,9709}, {3295,32195}, {3309,11500}, {3746,11193}, {8760,26285}, {9366,10284}, {9373,32612}, {25005,26641}.
El punto de tangencia con 𝒫 de la recta que une los baricentros de los triángulos ABC y DEF es:
W = ( (a-b-c) (b-c) (5 a^4-b (b-c)^2 c-5 a^3 (b+c)+3 a (b-c)^2 (b+c)+a^2 (-3 b^2+11 b c-3 c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(13.5975928982988, -6.92035258578628, 2.15586570362159).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}:
{2,11124}, {390,10006}, {522,6544}, {650,885}, {4763,14392}, {15584,26777}.
Miércoles, 18 de septiembre del 2019
Círculos mixtilíneos y centros del triángulo asociados
El 18 de septiembre de 1783 fallece, a los 76 años, Leonhard Euler, matemático y físico suizo.
Trabajó en geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números y varias áreas de la física.
Dentro del campo de la geometría descubrió que el baricentro, ortocentro y circuncentro están en una misma recta; se le denomina «Recta de Euler» en su honor.
En un triángulo ABC, A1 y A2 son los puntos de contacto de su circunferencia circunscrita con el y el . Se denota lor ℓa la recta pasa por A1 y A2, y se definen ℓa y ℓa cíclicamente.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓa, ℓb, ℓc es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad es el de la reflexión del en el incentro:
W = ( a^2/((b+c-a)(3a^2+(b-c)^2) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.682731527705356, 0.695825009058609, 2.84383261669518).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,738}, {3,10482}, {6,1362}, {7,14942}, {9,32560}, {33,354}, {55,1407}, {56,220}, {57,200}, {65,17107}, {105,6180}, {269,7218}, {388,21258}, {999,2808}, {1002,5228}, {1043,1434}, {1350,4334}, {1412,1617}, {2192,6612}, {2332,34046}, {2342,33925}, {4315,28849}, {7056,11038}, {10322,10980}.
La transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' tiene punto fijo finito X1617, centro de perspectividad de los triángulos y de X57 (conjugado isogonal del )
La matriz M asociada de la transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' tiene las entradas:
M[1,1] = {-a^2 (a^2 - 2 a b + (b - c)^2) (a^2 + (b - c)^2 - 2 a c) (a^4 -
b^4 + 4 a^2 b c - 14 b^2 c^2 - c^4 - 2 a^3 (b + c) +
2 a (b - c)^2 (b + c)),
M[1,2] = -a^2 (a^2 + (b - c)^2 - 2 a c) (a^6 -
2 a^5 (2 b + c) - 4 a^3 c (2 b^2 + 2 b c + c^2) +
a^4 (5 b^2 + 6 b c + 3 c^2) +
2 a (b - c)^2 (2 b^3 + b^2 c + 4 b c^2 + 3 c^3) +
a^2 (-5 b^4 + 8 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 4 b c^3 - c^4) - (b -
c)^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 + 3 c^4)),
M[1,3] = -a^2 (a^2 -
2 a b + (b - c)^2) (a^6 - 2 a^5 (b + 2 c) -
4 a^3 b (b^2 + 2 b c + 2 c^2) + a^4 (3 b^2 + 6 b c + 5 c^2) +
2 a (b - c)^2 (3 b^3 + 4 b^2 c + b c^2 + 2 c^3) +
a^2 (-b^4 + 4 b^3 c + 2 b^2 c^2 + 8 b c^3 - 5 c^4) - (b -
c)^2 (3 b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4))
cíclicamente, se obtienen las restantes filas.
Algunas imagenes de centros del triángulo mediante σ:
El conjugado isogonal e isotómico de X(33586) y X(32816)
El 14 de septiembre de 1920 nació Mario Benedetti, escritor prolífico uruguayo, autor de novelas, relatos, poesía, teatro y crítica literaria, publicó más de cincuenta libros y ha sido traducido a veintitrés idiomas.
"El amor, las mujeres y la vida"
Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' el y A"B"C" el .
El ea de las circunferencias de diámetros los segmentos BC y A'A" tiene ecuación baricéntrica:
2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2) x + (a^2 - b^2 + c^2)^2 y + (a^2 + b^2 -
c^2)^2 z = 0.
Se definen eb y ec cíclicamente.
Las rectas ea, eb y ec forman un triángulo DEF perspectivo con ABC, con centro de perspectividad
W = ( 1/() : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(5.65712580037565, 5.88201579286508, -3.04248143640328).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {32,8801}, {141,631}, {427,3087}, {1502,3785}, {3515,33582}, {8024,15589}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.19648919044989, 1.64277234622595, 1.48959630815877).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,10002}, {4,1192}, {20,6525}, {30,6523}, {107,3146}, {381,33531}, {393,3053}, {1503,3183}, {2060,31377}, {2883,3079}, {3346,9530}, {5667,12250}, {5893,6621}, {5895,6616}, {6193,8057}, {6618,13568}, {13346,32713}, {13450,18533}, {14361,17845}.
Los triángulos DEF y A"B"C" son perspectivos, con centro de perspectividad:
que tiene números de búsqueda en ETC
(5.35553622354997, 6.37075733290123, -3.24164577481646).
Viernes, 13 de septiembre del 2019
Un punto de Feurebach
200 aniversario del nacimiento de Clara Schumann, nacida el 13 de septiembre de 1819, fue una pianista y compositora alemana. Contrubuyo a la difusión de las composiciones de Robert Schumann, con quien estuvo casada.
Canciones
Dados un triángulo ABC, sean A'B'C' su y A*B*C* el de A'B'C'.
A'B'C' es el de A*B*C*. Entonces, ABC y A*B*C* tienen la misma .
El de A*B*C* es el el centro de la si y solo si ABC es acutángulo
El 11 de septiembre de 1973 tuvo lugar en Chile el golpe de Estado que derrocó al gobierno democrático del presidente Salvador Allende. Durante el regimen dictatorial se registreron al menos 28259 víctimas de prisión política y tortura, 2298 ejecutados y 1209 detenidos desaparecidos.
Dados un triángulo ABC, de circuncentro O=X3, y dos puntos P y Q , sean y sus y A', B', C' los otros puntos en los que las rectas APa, BPb, CPc cortan, respectivamente, a la circunferencia circunscrita a ABC.
Se denota por ea el de la circunferencia de diámetro BC y la circunscrita al triángulo '. Los ejes radicales eb y ec se definen cíclicamente. Sea el triángulo formado por estos tres ejes radicales.
Las rectas AA1, BB1, CC1 son concurrentes en un punto F(P) = U.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
U = (a^2/(a^6 v w (u+2 (v+w))+2 a^4 (c^2 v (u^2+(v-w) w+2 u (v+w))+b^2 w (u^2+v (-v+w)+2 u (v+w)))-a^2 u (5 b^4 v w+5 c^4 v w+2 b^2 c^2 (2 v^2-v w+2 w^2))-2 (b^2-c^2)^2 u^2 (c^2 v+b^2 w)):... : ...).
The
Simson cubic is the image of the circumcircle under
a mapping here named the Gibert-Simson transform. If P = u : v : w
(barycentrics) and P is not X(3), then the transform is given by
In case P lies on the circumcircle, these barycentrics are proportional
to the respective directed distances from A, B, C, to the Simson line
of P. (Bernard Gibert, October 19, 2003)
Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita se tiene que F(P) = GS(P).
Pares de centros {P=Xi, U=F(P)=Xj},con P no situado sobre la circunferencia circunscrita, para {i,j}: {3, 2996}, {4, 11270}, {64, 20}, {512, 4226}, {1498, 20}.
El lugar geométrico del conjugado isogonal V=U* de U, cuando P recorre la recta AO, es una cónica 𝒞a que pasa por A.
Las cónicas 𝒞b y 𝒞c se definen cíclicamente.
Las tres cónicas 𝒞a, 𝒞b y 𝒞c son tangentes
al en X3053.
Las tangentes en A, B, C a las cónicas en 𝒞a, 𝒞b y 𝒞c, respectivamente, concurren en X2207.
Una de las cónicas degeneradas del haz de cónicas generado por las cónicas 𝒞b y 𝒞c está formado por el eje de Brocard y la recta ℓa de ecuación:
que tiene números de búsqueda en
(0.0213469985109284, -0.223466772009006, 3.78551978629326).
Ninguna recta determinada por pares de centros, que figuran en ETC, pasa por W.
The antigonal image of a line ℓ is, in general, a bicircular quintic passing through A, B, C, H (which are singular) and the point at infinity of the line.
This quintic decomposes into the circumcircle and a circular nodal circum-cubic with node H if and only if ℓ passes through H.
Dados un triángulo ABC, con circuncentro O y ortocentro H, y un punto P, sean A'B'C' el y Q el (que queda sobre la circunferencia circunscrita a A'B'C') de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
Q = (u/(a^2 (u + v) (u + w) - u (b^2 (u + v) + c^2 (u + w))):...:...).
Supongamos que P está sobre una recta ℓ que pasa por H y se denota por ℓP la recta que pasa por P y tiene la dirección del (a^2(b^2w(u+v)-c^2v(u+w)):...:...) de Q respecto a A'B'C'.
La envolvente de ℓP, cuando P se mueve sobre ℓ, es una parábola 𝒫ℓ, tangente a ℓ, directriz la recta d que pasa por O y por el conjugado isogonal L del punto del infinito de ℓ y foco F la reflexión en ℓ del antipodal L' de L en la circunferencia circunscrita a ABC.
La cuártica 𝒬 pasa por A, B, C, por los centros X265 (doble), X476 (), X14989 (reflexión del antipodal del punto de Tixier en el ortocentro). Estos dos últimos puntos se obtienen cuando ℓ es la recta de Euler y su perpendicular, respectivamente.
Sus tangentes en A, B, C forman un triángulo perspectivo a ABC, con centro de perspectividad X2963 ( de los ). Además, X21975 ( del baricentro y X2963) es el punto fijo (finito) de la transformación afín que a aplica ABC en el triángulo formado por estas tres tangentes.
La cuártica 𝒬 corta a los lados de ABC en seis puntos, a parte de sus vértices, que están en una misma
cónica. ( (a^2-a b+b^2-c^2) (a^2+a b+b^2-c^2) (a^2-b^2-a c+c^2) (a^2-b^2+a c+c^2) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-b^2 c^2+c^4) (4 (a^2-a b+b^2-c^2) (a^2+a b+b^2-c^2) (a^2-b^2-b c-c^2)^2 (a^2-b^2+b c-c^2)^2 (a^4-a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2 (a^4-2 a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) (2 a^8-8 a^6 b^2+12 a^4 b^4-8 a^2 b^6+2 b^8-4 a^6 c^2+4 a^4 b^2 c^2+4 a^2 b^4 c^2-4 b^6 c^2+3 a^4 c^4+3 b^4 c^4-2 a^2 c^6-2 b^2 c^6+c^8+Sqrt[3] c^4 (a^2+b^2-c^2) S) x^2+(a^8-2 a^6 b^2+3 a^4 b^4-4 a^2 b^6+2 b^8-2 a^6 c^2+4 a^2 b^4 c^2-8 b^6 c^2+3 a^4 c^4+4 a^2 b^2 c^4+12 b^4 c^4-4 a^2 c^6-8 b^2 c^6+2 c^8) (4 (a^2-a b+b^2-c^2) (a^2+a b+b^2-c^2) (a^2-b^2-b c-c^2) (a^2-b^2+b c-c^2) (a^4-a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-b^2 c^2+c^4) (2 a^8-8 a^6 b^2+12 a^4 b^4-8 a^2 b^6+2 b^8-4 a^6 c^2+4 a^4 b^2 c^2+4 a^2 b^4 c^2-4 b^6 c^2+3 a^4 c^4+3 b^4 c^4-2 a^2 c^6-2 b^2 c^6+c^8)-Sqrt[3] c^4 (-a^2-b^2+c^2) S ((2 a^8-4 a^6 b^2+3 a^4 b^4-2 a^2 b^6+b^8-8 a^6 c^2+4 a^4 b^2 c^2-2 b^6 c^2+12 a^4 c^4+4 a^2 b^2 c^4+3 b^4 c^4-8 a^2 c^6-4 b^2 c^6+2 c^8)^2-3 b^8 (a^2-b^2+c^2)^2 S^2)) y z) + ... = 0)
La cuártica 𝒬 es un Limaçon de Pascal (o Caracol de Pascal), y queda caracterizada por cualquiera de las cuatro definiciones siguientes:
Definición primera: El caracol de Pascal de polo P, respecto a una circunferencia que pasa por P, es el lugar geométrico definido por los dos puntos equidistantes del punto U de una circunferencia dada, en la cuerda de la misma PU, cuando U recorre dicha circunferencia.
Para la cuártica 𝒬, el polo es X264, la circunferencia tiene centro en H y radio R (donde R es el radio de la circunferencia circunscrita a ABC), y la distancia del par de puntos que define el lugar al punto variable U es |OH|.
Definición segunda: El caracol de Pascal de polo P, respecto a una circunferencia dada, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde P a las tangentes a dicha circunferencia ( de P respecto a la circunferencia).
En el caso de 𝒬, el polo es X264, la
circunferencia ( a^4 b^4 x^2-2 a^2 b^6 x^2+b^8 x^2-2 a^4 b^2 c^2 x^2+2 a^2 b^4 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2+2 a^2 b^2 c^4 x^2-2 b^4 c^4 x^2-2 a^2 c^6 x^2+c^8 x^2+a^8 x y-2 a^6 b^2 x y+2 a^4 b^4 x y-2 a^2 b^6 x y+b^8 x y-a^6 c^2 x y+a^4 b^2 c^2 x y+a^2 b^4 c^2 x y-b^6 c^2 x y+a^2 b^2 c^4 x y-a^2 c^6 x y-b^2 c^6 x y+c^8 x y+a^8 y^2-2 a^6 b^2 y^2+a^4 b^4 y^2+2 a^4 b^2 c^2 y^2-2 a^2 b^4 c^2 y^2-2 a^4 c^4 y^2+2 a^2 b^2 c^4 y^2+b^4 c^4 y^2-2 b^2 c^6 y^2+c^8 y^2+a^8 x z-a^6 b^2 x z-a^2 b^6 x z+b^8 x z-2 a^6 c^2 x z+a^4 b^2 c^2 x z+a^2 b^4 c^2 x z-b^6 c^2 x z+2 a^4 c^4 x z+a^2 b^2 c^4 x z-2 a^2 c^6 x z-b^2 c^6 x z+c^8 x z+a^8 y z-a^6 b^2 y z-a^2 b^6 y z+b^8 y z-a^6 c^2 y z+a^4 b^2 c^2 y z+a^2 b^4 c^2 y z-2 b^6 c^2 y z+a^2 b^2 c^4 y z+2 b^4 c^4 y z-a^2 c^6 y z-2 b^2 c^6 y z+c^8 y z+a^8 z^2-2 a^4 b^4 z^2+b^8 z^2-2 a^6 c^2 z^2+2 a^4 b^2 c^2 z^2+2 a^2 b^4 c^2 z^2-2 b^6 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2-2 a^2 b^2 c^4 z^2+b^4 c^4 z^2 = 0)
es la que tiene centro en X7728 (simétrico de X264 en X4) y radio |OH|. El eje de simetría es la recta X4X265 y sus puntos restantes comunes están sobre esta circunferencia, que pasa por X107, X110, X10721.
El pie de la perpendicular desde X265 a la tangente en X110 es X476. El correspondiente pue para X107 es:
que tiene números de búsqueda en
(-0.0984773738691532, -0.0625032534900310, 3.72938706072478).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {107,14220}, {265,10152}, {1304,9033}.
Definición tercera: El caracol de Pascal de polo P, respecto a una circunferencia dada, es la envolvente de las circunferencia con centro en un punto W sobre la circunferencia dada y que pasa por P.
Se obtiene 𝒬 tomando X265 como polo, y circunferencia la centrada en X4 y radio |OH|/2.
Definición cuarta: El caracol de Pascal es el lugar geométrico que describe un punto ligado a una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre otra del mismo radio.
Si se toma la circunferencia de centro H y radio |OH|/2, y girando sobre ella otra del mismo radio. El extremo que de un segmento fijo con origen en el centro de esta circunferencia móvil y longitud 2R/|OH|, describe la cuártica 𝒬.
Cubicas de Musselman relacionadas con esta construcción:
El lugar geométrico del punto E=d∩ℓ, cuando ℓ gira alrededor de H, es la segunda cúbica de Musselman (K027 del catálogo de Bernard Gibert).
El lugar geométrico del punto T de contacto de la parábola 𝒫ℓ con su tangente ℓ, cuando ℓ gira alrededor de H, es la tercera cúbica de Musselman (K028).
Miércoles, 4 de septiembre del 2019
Reflexión de un triángulo en rectas que pasan por su incentro
El 4 de septiembre de 1970, en Chile, Salvador Allende gana las elecciones presidenciales. Luego fue derrocado (11 de septiembre de 1973) por un golpe de estado en el que estuvo involucadro la CIA.
Dados un triángulo ABC y ℓ una recta a través su incentro, sea A'B'C' la reflexion de AB en ℓ y 𝒞ℓ la de ABC y A'B'C'.
El lugar geométrico del centro W (sobre ℓ) de la cónica 𝒞ℓ, cuando ℓ gira alrededor del incentro, es una
cúbica ( (a c^2-3 b c^2-c^3) x^2 y+(3 a c^2-b c^2+c^3) x y^2+(-a b^2+b^3+3 b^2 c) x^2 z+(-a^3+a^2 b-3 a^2 c) y^2 z+(-3 a b^2-b^3+b^2 c) x z^2+(a^3+3 a^2 b-a^2 c) y z^2 +(2 a^2 b-2 a b^2-2 a^2 c+2 b^2 c+2 a c^2-2 b c^2) x y z = 0)
circunscrita a ABC con punto doble el incentro.
Esta cúbica pasa por el , el , el , X999, de las , y la reflexión, X3241, del baricentro en el incentro.
Otros centros sobre la cúbica:
• El centro de 𝒞ℓ, cuando ℓ es la perpendicular por el incentro a la recta que pasa por éste y el circuncentro, es:
W = ( a^2 (a^2 - 2 b^2 + 5 b c - 2 c^2 - a (b + c)) (-b^2 - c^2 + a (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.765534000444951, 3.30866390022818, 0.996727627697971).
Y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,513}, {2,16506}, {3,3446}, {6,101}, {7,528}, {36,23344}, {55,840}, {56,59}, {88,1002}, {518,1026}, {551,16494}, {672,2284}, {997,16504}, {1001,3257}, {1037,1417}, {1149,16501}, {1159,4792}, {1168,15934}, {1193,17109}, {1201,16493}, {1318,4638}, {1319,24029}, {1458,2283}, {1797,3423}, {3304,18771}, {3433,8069}, {3616,16500}, {4080,11330}, {4674,5902}, {4997,30947}, {10247,29349}, {22769,32719}, {24841,31061}, {24870,31139}.
• El centro de 𝒞ℓ, cuando ℓ es la recta que pasa por el incentro y ortocentro, es:
W4 = ( (a^2 + b^2 - c^2) (3 a^5 + 2 a^3 b (-3 b + c) -
a^4 (b + c) - (b - c)^3 (b + c)^2 + 2 a^2 (b^3 - b c^2) +
a (3 b^4 - 2 b^3 c + 2 b c^3 - 3 c^4)) : ... : ...),
• El centro de 𝒞ℓ, cuando ℓ es la recta que pasa por el incentro y el centro de la circunferencia de los nueve puntos, es:
W5 = ( (a^2 - a b + b^2 - c^2) (4 a^5 - (b - c)^3 (b + c)^2 - a^4 (b + 5 c) +
a^3 (-8 b^2 + 7 b c + c^2) +
2 a^2 (b^3 + 2 b^2 c - 4 b c^2 + 2 c^3) +
a (4 b^4 - 7 b^3 c + b^2 c^2 + 7 b c^3 - 5 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(1.47186209267110, 1.30458939787734, 2.05816624060571).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {{1,5}, {514,4667}, {655,11041}, {999,2222}, {1168,15934}, {3025,5902}, {6740,26860}.
Martes, 3 de septiembre del 2019
Cónica tangente a seis rectas
El 3 de septiembre de 1814 nació James Joseph Sylvester, matemático inglés. Hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices, así como a la teoría de los invariantes algebraicos (en colaboración con su colega A. Cayley).
El criterio de Sylvester es una condición necesaria y suficiente para determinar si una matriz simétrica o hermítica es definida positiva.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean DEF y los del incentro y P, respectivamente.
P'a, P'b, P'c son las reflexiones de Pa, Pb, Pc en D, E, F, respectivamente.
Una recta ℓa por D corta en Ab y Ac a AC y AB, respectivamente.
Cuando ℓa gira alrededor de D, los puntos AbPa ∩ AcP'a y
AbP'a ∩ AcPa recorren sendas rectas ℓab y ℓac, que pasan por A.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC, las ecuaciones de las rectas ℓab y ℓac son:
(b w - c (2 v + w)y - (b + c) v z = 0, (b + c) w y - (c v - b (v + 2 w)) z = 0.
Procediendo cíclicamente, se deducen las ecuaciones de las rectas ℓbc, ℓba y ℓca, ℓcb.
Las seis rectas ℓab, ℓac, ℓbc, ℓba, ℓca, ℓcb son tangentes a una misma cónica si y solo si el punto P queda sobre una
cúbica ( (-a b c-b^2 c-a c^2+3 b c^2) x^2 y+(a^2 c+a b c-3 a c^2+b c^2) x y^2+(a b^2+a b c-3 b^2 c+b c^2) x^2 z+(-a^2 b+3 a^2 c-a b c-a c^2) y^2 z+(-a^2 b+3 a b^2-a b c-b^2 c) x z^2+(-3 a^2 b+a b^2+a^2 c+a b c) y z^2 +(-a^2 b+a b^2+a^2 c-b^2 c-a c^2+b c^2) x y z = 0)
Ψ, con punto doble el incentro.
Esta cúbica pasa por los vértices de ABC y por los centros del triángulo X1 (doble), X519 (en la recta del infinito), X1320 ( del ), X3227 (cuarto punto de intersección de la y la hipérbola circunscrita que pasa por el incentro y baricentro).
La asíntota real (que pasa por X519, X3952, X4937) corta a la cúbica Ψ en:
S = (a (a (b - c)^2 + a^2 (b + c) - b c (b + c)) (a^2 (b - 3 c) +
a (b^2 + 4 b c - c^2) + c (-3 b^2 - b c + 2 c^2)) (a^2 (3 b - c) +
a (b^2 - 4 b c - c^2) + b (-2 b^2 + b c + 3 c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-44.4413757269612, -5.16756854357236, 27.7296161168243).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,4145}, {519,3952}.
La tangente desde S a Ψ (distinta de su asíntota y de la tangente en S) toca a la curva en:
Fo= ( (a (b - 3 c) + b (b + c)) (a (3 b - c) - c (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-0.783124584656699, 5.30784440711763, 0.327445085282961).
Es el punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {1, 17154}, {3555, 22313}.
Es la reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {10, 244}, {3952, 1125}.
Y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,4427}, {10,244}, {37,537}, {65,1317}, {75,17205}, {99,30593}, {106,24841}, {354,22306}, {519,4674}, {897,32922}, {900,21630}, {994,3873}, {1120,4792}, {1125,3952}, {1647,4013}, {2218,8666}, {3555,22313}, {3892,13476}, {4358,4694}, {4681,5049}, {4793,24165}, {4975,6534}, {19862,24003}, {21087,25377}, {21093,23869}.
Lunes, 2 de septiembre del 2019
El centro X(1498) relacionado con tres quínticas
El 2 de septiembre de 1923 nació René Thom, matemático francés fundador de la teoría de las catástrofes. Trabajó en el campo de la topología, en el que introdujo el concepto de «cobordismo»: "dos variedades compactas de dimensión n son cobordantes si su reunión constituye el borde de otra variedad compacta de dimensión n+1".
X(1498) is the perspector of the tangential triangle and the reflection of triangle ABC in X(3). (Darij Grinberg, 6/2/03)
Dado un triángulo ABC, sean P y Q dos puntos , y sus .
La recta corta a BC en Aa, la paralela por Pa a PbPc corta a AC y AB en Ab y Ac, respectivamente.
El lugar geométrico del punto P tal que los puntos Aa, Ab, Ac, Qa están sobre una misma circunferencia es una
quíntica ( 3 a^6 c^4 x^2 y^3+a^4 b^2 c^4 x^2 y^3-3 a^2 b^4 c^4 x^2 y^3-b^6 c^4 x^2 y^3-5 a^4 c^6 x^2 y^3+2 a^2 b^2 c^6 x^2 y^3+3 b^4 c^6 x^2 y^3+a^2 c^8 x^2 y^3-3 b^2 c^8 x^2 y^3+c^10 x^2 y^3+6 a^6 c^4 x y^4-4 a^4 b^2 c^4 x y^4-2 a^2 b^4 c^4 x y^4-4 a^4 c^6 x y^4+4 a^2 b^2 c^6 x y^4-2 a^2 c^8 x y^4-2 a^8 c^2 x^2 y^2 z-2 a^6 b^2 c^2 x^2 y^2 z+8 a^4 b^4 c^2 x^2 y^2 z-2 a^2 b^6 c^2 x^2 y^2 z-2 b^8 c^2 x^2 y^2 z+5 a^6 c^4 x^2 y^2 z-9 a^4 b^2 c^4 x^2 y^2 z-9 a^2 b^4 c^4 x^2 y^2 z+5 b^6 c^4 x^2 y^2 z-3 a^4 c^6 x^2 y^2 z+12 a^2 b^2 c^6 x^2 y^2 z-3 b^4 c^6 x^2 y^2 z-a^2 c^8 x^2 y^2 z-b^2 c^8 x^2 y^2 z+c^10 x^2 y^2 z-4 a^8 c^2 x y^3 z+4 a^6 b^2 c^2 x y^3 z+4 a^4 b^4 c^2 x y^3 z-4 a^2 b^6 c^2 x y^3 z+8 a^6 c^4 x y^3 z-16 a^4 b^2 c^4 x y^3 z+8 a^2 b^4 c^4 x y^3 z-4 a^4 c^6 x y^3 z-4 a^2 b^2 c^6 x y^3 z+2 a^8 c^2 y^4 z-4 a^6 b^2 c^2 y^4 z+2 a^4 b^4 c^2 y^4 z+4 a^6 c^4 y^4 z+4 a^4 b^2 c^4 y^4 z-6 a^4 c^6 y^4 z+2 a^8 b^2 x^2 y z^2-5 a^6 b^4 x^2 y z^2+3 a^4 b^6 x^2 y z^2+a^2 b^8 x^2 y z^2-b^10 x^2 y z^2+2 a^6 b^2 c^2 x^2 y z^2+9 a^4 b^4 c^2 x^2 y z^2-12 a^2 b^6 c^2 x^2 y z^2+b^8 c^2 x^2 y z^2-8 a^4 b^2 c^4 x^2 y z^2+9 a^2 b^4 c^4 x^2 y z^2+3 b^6 c^4 x^2 y z^2+2 a^2 b^2 c^6 x^2 y z^2-5 b^4 c^6 x^2 y z^2+2 b^2 c^8 x^2 y z^2+2 a^8 b^2 x y^2 z^2-6 a^6 b^4 x y^2 z^2+6 a^4 b^6 x y^2 z^2-2 a^2 b^8 x y^2 z^2-2 a^8 c^2 x y^2 z^2-2 a^4 b^4 c^2 x y^2 z^2+4 a^2 b^6 c^2 x y^2 z^2+6 a^6 c^4 x y^2 z^2+2 a^4 b^2 c^4 x y^2 z^2-6 a^4 c^6 x y^2 z^2-4 a^2 b^2 c^6 x y^2 z^2+2 a^2 c^8 x y^2 z^2-a^10 y^3 z^2+3 a^8 b^2 y^3 z^2-3 a^6 b^4 y^3 z^2+a^4 b^6 y^3 z^2-5 a^8 c^2 y^3 z^2-10 a^6 b^2 c^2 y^3 z^2+15 a^4 b^4 c^2 y^3 z^2+13 a^6 c^4 y^3 z^2-9 a^4 b^2 c^4 y^3 z^2-7 a^4 c^6 y^3 z^2-3 a^6 b^4 x^2 z^3+5 a^4 b^6 x^2 z^3-a^2 b^8 x^2 z^3-b^10 x^2 z^3-a^4 b^4 c^2 x^2 z^3-2 a^2 b^6 c^2 x^2 z^3+3 b^8 c^2 x^2 z^3+3 a^2 b^4 c^4 x^2 z^3-3 b^6 c^4 x^2 z^3+b^4 c^6 x^2 z^3+4 a^8 b^2 x y z^3-8 a^6 b^4 x y z^3+4 a^4 b^6 x y z^3-4 a^6 b^2 c^2 x y z^3+16 a^4 b^4 c^2 x y z^3+4 a^2 b^6 c^2 x y z^3-4 a^4 b^2 c^4 x y z^3-8 a^2 b^4 c^4 x y z^3+4 a^2 b^2 c^6 x y z^3+a^10 y^2 z^3+5 a^8 b^2 y^2 z^3-13 a^6 b^4 y^2 z^3+7 a^4 b^6 y^2 z^3-3 a^8 c^2 y^2 z^3+10 a^6 b^2 c^2 y^2 z^3+9 a^4 b^4 c^2 y^2 z^3+3 a^6 c^4 y^2 z^3-15 a^4 b^2 c^4 y^2 z^3-a^4 c^6 y^2 z^3-6 a^6 b^4 x z^4+4 a^4 b^6 x z^4+2 a^2 b^8 x z^4+4 a^4 b^4 c^2 x z^4-4 a^2 b^6 c^2 x z^4+2 a^2 b^4 c^4 x z^4-2 a^8 b^2 y z^4-4 a^6 b^4 y z^4+6 a^4 b^6 y z^4+4 a^6 b^2 c^2 y z^4-4 a^4 b^4 c^2 y z^4-2 a^4 b^2 c^4 y z^4 = 0)
Φa, que pasa por A (triple), B, C, por sus reflexiones, A', B', C', en el circuncentro.
Procediendo cíclicamente, se definen la quínticas Φb y Φc.
Las tres quínticas Φa, Φb y Φc son tangentes en los puntos A', B', C' y las tangentes comunes concurren en X1498.
La quíntica Φa vuelve a cortar a los lados AC y AB en A2 y A3;
la quíntica Φb vuelve a cortar a los lados BA y BC en B3 y B1;
la quíntica Φc vuelve a cortar a los lados CB y CA en C1 y C2.
Estos seis puntos están sobre la .
Las rectas A2A3, B3B1, C1C2 forman un triángulo A"B"C", perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X64. La cónica excoseno el la de ABC y A"B"C"
Además, los triángulos A'B'C' y A"B"C" son perspectivos, con centro de perspectividad X3183, el del y el ortocentro.
Domingo, 1 de septiembre del 2019
Tripolo de la recta de Euler respecto al triángulo tangencial
Pierre Bézier nació en París el 1 de septiembre de 1910. Creador de las llamadas curvas y superficies de Bézier, que se usan en la mayoría de los programas de diseño gráfico y de diseño CAD.
Dado un triángulo ABC, de circunferencia circunscrita Γ y circuncentro O, su interseca a las perpendiculares BC en B y C en Ba y Ca, respectivamente.
La perpendicular a AB por Ba corta a la perpendicular a AC por Ca en Aa. Sea A' la reflexión de A en OAa y ta la tangente a Γ en A'. Las tangentes tb y tc se determinan cíclicamente.
El triángulo , formado por la rectas ta, tb y tc, es perspectivo a ABC y su centro de perspectividad es X7669, el , respecto al , de la recta de Euler de ABC.
Si se sustituye al recta de Euler por otra recta ℓ, que pasa por el circuncentro, y se construye el triángulo A'B'C' siguiendo el mismo procedimiento anterior, se llega a que el centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es el tripolo de la recta ℓ respecto al triángulo tangencial. En consecuencia, está sobre la cónica circunscrita al triángulo tangencial de el circuncentro. Esta cónica pasa por los centros del triángulo X2930, X7669, X10117, X15588, X16686, X20468, X20998, X20999, X23858, que son, respectivamente, los tripolos de las rectas X3X669, X2X3, X3X66, X3X9494, X1X3, X3X667, X3X6, X3X142, X3X3667.
Viernes, 30 de agosto del 2019
El punto medio de X(950) y X(5083)
200 aniversario del nacimiento de Joseph Serret (30 de agosto de 1819 - 2 de marzo de 1885), matemático y astrónomo francés, conocido por las fórmulas de geometría diferencial asociadas al triedro de Serret-Frenet.
Let A'B'C' be the complement of the cevian triangle of isotomic conjugate of incenter.
Let La be the reflection of line BC in line B'C', and define Lb and Lc cyclically. Let A" = Lb ∩ Lc, and define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(950). (Randy Hutson, January 29, 2018)
X(5083) is the center of the Jerabek hyperbola of the intouch triangle (Randy Hutson, February 16, 2015)
Dado un triángulo ABC, sean DEF el y el .
La bisectriz interior en A interseca a DE y DF en Bb y Ac, respectivamente.
Sea ℓa el de las circunferencias circunscrita e inscrita al triángulo . Se definen ℓb y ℓc, cíclicamente.
Las rectas ℓa, ℓb y ℓc concurren en el punto medio W del segmento X950X5083.
que tiene números de búsqueda en
(1.58172428019342, 1.49857722331665, 1.87316135182974), punto medio de X950 y X 5083; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {18240, 6744}, {24465, 942}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,5}, {7,10724}, {30,5570}, {55,12832}, {57,24466}, {100,938}, {104,3488}, {153,14151}, {214,11019}, {354,12743}, {497,1537}, {528,5572}, {550,17437}, {942,5840}, {950,2829}, {1058,10698}, {1145,6600}, {1210,3035}, {1478,20330}, {1737,3689}, {1862,7952}, {1863,12138}, {1864,12665}, {2802,6738}, {2834,15906}, {3036,31397}, {3333,12119}, {3586,12678}, {3601,21154}, {3895,18802}, {4423,12647}, {5703,31272}, {5728,5856}, {6068,10398}, {6147,22938}, {6224,10580}, {6246,21620}, {6667,13411}, {6702,13405}, {6713,24929}, {6744,16193}, {6767,19914}, {8069,33814}, {8703,31515}, {9844,17661}, {9945,10090}, {10058,13226}, {10391,15528}, {10629,10742}, {10707,15933}, {10738,15934}, {11529,14217}, {11570,14100}, {12611,18527}, {12758,13867}, {12764,12831}, {17609,18976}, {21625,33337}.
Adenda:
• Los centros Oa=((b-c)^2 : -a^2+c(-b+c) : -a^2+b(b-c)) y D de las circunferencias circunscrita e inscrita al triángulo están alineados con el .
• El de las circunferencias centradas en los vértices del triángulo órtico y tangentes a las bisectrices en A, B, C, respectivamente, es X12433.
Let A'B'C' be the orthic triangle of a triangle ABC. Let (Oa) be the incircle of AB'C', and define (Ob) and (Oc) cyclically. Then X(12433) = center of the circle that is externally tangent to (Oa), (Ob), (Oc); i.e., the outer Apollonian circle of (Oa), (Ob), (Oc), which passes through X(12019). (Contributed by Thanh Oai Dao, March 4, 2017)
Let A'B'C' be the orthic triangle and let Ab, Ac be the orth. proj. of A' on AB, AC resp.
1) Let L'a the Euler line of A'AbAc, and define L'b and L'c cyclically.
Then L'a, L'b , L'c are concurrent at X(442) of orthic triangle.
2) Let La the Euler line of AAbAc, and define Lb and Lc cyclically.
Then La, Lb , Lc are concurrent.
[Antreas Hatzipolakis]:
Dear Clark,
If the above two points of concurrence for 1) and 2) are not already
in your list, then you may of course include them, but with these names:
1st Ehrmann Point - 2nd Ehrmann Point.
Dado un triángulo ABC de circuncentro O y ortocentro H, sean el y el .
Se denota por el de O, respecto a , y por el triángulo pedal de H , respecto a .
Los triángulos y son perspectivos, con centro de perspectividad X974.
Sean P y Q dos puntos . Se denota por el triángulo pedal de P, respecto al triángulo pedal de Q, y por el triángulo pedal de Q, respecto al el triángulo pedal de P.
Los triángulos y son perspectivos si y solo si P y Q quedan sobre la de McCay (K003).
Si P(u:v:w) se tiene:
Pa = ( (b^2 - c^2) u (v + w) (c^2 v (2 v - w) + b^2 (v - 2 w) w) +
a^4 v w (4 v w + u (v + w)) -
2 a^2 (c^2 v + b^2 w) (2 v w (v + w) + u (v^2 + w^2)) :
u v ((-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)) (a^2 v - c^2 v - b^2 (v + 2 w)) :
u w ((a^2 - b^2) w - c^2 (2 v + w)) (-a^2 v + c^2 v +
b^2 (v + 2 w))),
Qa = ( b^6 w^2 (v + 2 w) + c^2 (a^2 - c^2) v^2 (a^2 w - c^2 (2 v + w)) -
b^2 v (-4 a^2 c^2 u w - a^4 w^2 + c^4 (2 v^2 + w^2 + 4 u (v + w))) -
b^4 w (2 a^2 w (v + w) +
c^2 (v^2 + 2 w^2 + 4 u (v + w))) :
-b^2 w ((-a^2 + b^2) w +
c^2 (2 v + w)) (-a^2 v + c^2 v +
b^2 (v + 2 w)) :
-c^2 v ((-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)) (-a^2 v +
c^2 v + b^2 (v + 2 w))).
Martes, 27 de agosto del 2019
Centro de cónica sobre la recta de Euler
El 27 de agosto de 1858 nace Giuseppe Peano, matemático, lógico y filósofo italiano. Se conoce como curva de Peano un ejemplo de curva definida como imagen de un intervalo real, mediante una aplicación continua, que lleva una región del plano.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sobre su Γ, se denota por Ga, Gb, Gc los baricentros de los triángulos PBC, PCA, PAB, respectivamente, y por Na, Nb, Nc los centros de las de los triángulos PBC, PCA, PAB, respectivamente.
La circunferencia circunscrita Γg a pasa por el baricentro de ABC, y la circunferencia circunscrita Γn a pasa por el centro de la circunferencia de los nueve puntos de ABC.
La envolvente del de las circunferencias Γg y Γn es una
cónica ( 25 a^12 x^2-110 a^10 b^2 x^2+191 a^8 b^4 x^2-164 a^6 b^6 x^2+71 a^4 b^8 x^2-14 a^2 b^10 x^2+b^12 x^2-110 a^10 c^2 x^2+172 a^8 b^2 c^2 x^2+10 a^6 b^4 c^2 x^2-98 a^4 b^6 c^2 x^2+28 a^2 b^8 c^2 x^2-2 b^10 c^2 x^2+191 a^8 c^4 x^2+10 a^6 b^2 c^4 x^2-141 a^4 b^4 c^4 x^2-14 a^2 b^6 c^4 x^2-b^8 c^4 x^2-164 a^6 c^6 x^2-98 a^4 b^2 c^6 x^2-14 a^2 b^4 c^6 x^2+4 b^6 c^6 x^2+71 a^4 c^8 x^2+28 a^2 b^2 c^8 x^2-b^4 c^8 x^2-14 a^2 c^10 x^2-2 b^2 c^10 x^2+c^12 x^2-10 a^12 x y+92 a^10 b^2 x y-278 a^8 b^4 x y+392 a^6 b^6 x y-278 a^4 b^8 x y+92 a^2 b^10 x y-10 b^12 x y+32 a^10 c^2 x y-232 a^8 b^2 c^2 x y+200 a^6 b^4 c^2 x y+200 a^4 b^6 c^2 x y-232 a^2 b^8 c^2 x y+32 b^10 c^2 x y-26 a^8 c^4 x y+140 a^6 b^2 c^4 x y-138 a^4 b^4 c^4 x y+140 a^2 b^6 c^4 x y-26 b^8 c^4 x y-16 a^6 c^6 x y+32 a^4 b^2 c^6 x y+32 a^2 b^4 c^6 x y-16 b^6 c^6 x y+34 a^4 c^8 x y-16 a^2 b^2 c^8 x y+34 b^4 c^8 x y-16 a^2 c^10 x y-16 b^2 c^10 x y+2 c^12 x y+a^12 y^2-14 a^10 b^2 y^2+71 a^8 b^4 y^2-164 a^6 b^6 y^2+191 a^4 b^8 y^2-110 a^2 b^10 y^2+25 b^12 y^2-2 a^10 c^2 y^2+28 a^8 b^2 c^2 y^2-98 a^6 b^4 c^2 y^2+10 a^4 b^6 c^2 y^2+172 a^2 b^8 c^2 y^2-110 b^10 c^2 y^2-a^8 c^4 y^2-14 a^6 b^2 c^4 y^2-141 a^4 b^4 c^4 y^2+10 a^2 b^6 c^4 y^2+191 b^8 c^4 y^2+4 a^6 c^6 y^2-14 a^4 b^2 c^6 y^2-98 a^2 b^4 c^6 y^2-164 b^6 c^6 y^2-a^4 c^8 y^2+28 a^2 b^2 c^8 y^2+71 b^4 c^8 y^2-2 a^2 c^10 y^2-14 b^2 c^10 y^2+c^12 y^2-10 a^12 x z+32 a^10 b^2 x z-26 a^8 b^4 x z-16 a^6 b^6 x z+34 a^4 b^8 x z-16 a^2 b^10 x z+2 b^12 x z+92 a^10 c^2 x z-232 a^8 b^2 c^2 x z+140 a^6 b^4 c^2 x z+32 a^4 b^6 c^2 x z-16 a^2 b^8 c^2 x z-16 b^10 c^2 x z-278 a^8 c^4 x z+200 a^6 b^2 c^4 x z-138 a^4 b^4 c^4 x z+32 a^2 b^6 c^4 x z+34 b^8 c^4 x z+392 a^6 c^6 x z+200 a^4 b^2 c^6 x z+140 a^2 b^4 c^6 x z-16 b^6 c^6 x z-278 a^4 c^8 x z-232 a^2 b^2 c^8 x z-26 b^4 c^8 x z+92 a^2 c^10 x z+32 b^2 c^10 x z-10 c^12 x z+2 a^12 y z-16 a^10 b^2 y z+34 a^8 b^4 y z-16 a^6 b^6 y z-26 a^4 b^8 y z+32 a^2 b^10 y z-10 b^12 y z-16 a^10 c^2 y z-16 a^8 b^2 c^2 y z+32 a^6 b^4 c^2 y z+140 a^4 b^6 c^2 y z-232 a^2 b^8 c^2 y z+92 b^10 c^2 y z+34 a^8 c^4 y z+32 a^6 b^2 c^4 y z-138 a^4 b^4 c^4 y z+200 a^2 b^6 c^4 y z-278 b^8 c^4 y z-16 a^6 c^6 y z+140 a^4 b^2 c^6 y z+200 a^2 b^4 c^6 y z+392 b^6 c^6 y z-26 a^4 c^8 y z-232 a^2 b^2 c^8 y z-278 b^4 c^8 y z+32 a^2 c^10 y z+92 b^2 c^10 y z-10 c^12 y z+a^12 z^2-2 a^10 b^2 z^2-a^8 b^4 z^2+4 a^6 b^6 z^2-a^4 b^8 z^2-2 a^2 b^10 z^2+b^12 z^2-14 a^10 c^2 z^2+28 a^8 b^2 c^2 z^2-14 a^6 b^4 c^2 z^2-14 a^4 b^6 c^2 z^2+28 a^2 b^8 c^2 z^2-14 b^10 c^2 z^2+71 a^8 c^4 z^2-98 a^6 b^2 c^4 z^2-141 a^4 b^4 c^4 z^2-98 a^2 b^6 c^4 z^2+71 b^8 c^4 z^2-164 a^6 c^6 z^2+10 a^4 b^2 c^6 z^2+10 a^2 b^4 c^6 z^2-164 b^6 c^6 z^2+191 a^4 c^8 z^2+172 a^2 b^2 c^8 z^2+191 b^4 c^8 z^2-110 a^2 c^10 z^2-110 b^2 c^10 z^2+25 c^12 z^2 = 0)
𝒞 con centro W, en la .
El lugar geométrico, cuando P(u:v:w) recorre Γ, del centro
On = ( a^4 v^2 w^2 (2 u + v + w) +
a^2 u (b^2 w (u^2 (v - w) + v^2 (v + w) + u (2 v^2 + 2 v w - w^2)) +
c^2 v (u^2 (-v + w) + w^2 (v + w) + u (-v^2 + 2 v w + 2 w^2))) -
u (b^4 w (u^2 v + v (v + w)^2 + u (2 v^2 + 3 v w + w^2)) +
c^4 v (u^2 w + w (v + w)^2 + u (v^2 + 3 v w + 2 w^2)) -
b^2 c^2 (2 v w (v + w)^2 + u^2 (v^2 + 4 v w + w^2) +
u (v^3 + 5 v^2 w + 5 v w^2 + w^3))) :
-a^4 v w (u^3 + v w^2 +
2 u^2 (v + w) + u (v^2 + 3 v w + w^2)) +
u (b^4 u w^2 (u + 2 v + w) -
c^4 v (u^2 (v + w) + w (v + w)^2 + u w (3 v + 2 w)) +
b^2 c^2 v (-u^2 v + w (v + w)^2 + u (-v^2 + 2 v w + w^2))) +
a^2 v (b^2 w (u^3 - v w (v + w) + u^2 (2 v + w) + u v (v + 2 w)) +
c^2 (v w^2 (v + w) + u^3 (v + 2 w) +
u w (4 v^2 + 5 v w + 2 w^2) + u^2 (v^2 + 5 v w + 4 w^2)))
c^4 u^2 v^2 (u + v + 2 w) +
c^2 w (a^2 v (u^3 - v w (v + w) + u w (2 v + w) + u^2 (v + 2 w)) +
b^2 u (-u^2 w + v (v + w)^2 + u (v^2 + 2 v w - w^2))) -
w (b^4 u (u^2 (v + w) + v (v + w)^2 + u v (2 v + 3 w)) +
a^4 v (u^3 + v^2 w + 2 u^2 (v + w) + u (v^2 + 3 v w + w^2)) -
a^2 b^2 (v^2 w (v + w) + u^3 (2 v + w) +
u^2 (4 v^2 + 5 v w + w^2) + u v (2 v^2 + 5 v w + 4 w^2))))
de las circunferencia Γn es la circunferencia de los nueve puntos, y el lugar geométrico del centro
Og = ( -a^4 u - (b^2 - c^2)^2 (2 u + v + w) +
a^2 (b^2 + c^2) (3 u + v + w):
-a^4 (u + 2 v + w) - (b^2 -
c^2) (b^2 v - c^2 (u + 2 v + w)) +
a^2 (2 c^2 (u + 2 v + w) + b^2 (u + 3 v + w)) :
-a^4 (u + v +
2 w) - (b^2 - c^2) (-c^2 w + b^2 (u + v + 2 w)) +
a^2 (2 b^2 (u + v + 2 w) + c^2 (u + v + 3 w))}
de la circunferencia Γg es la circunferencia de centro el baricentro y radio R/3, esta circunferencia pasa por los centros X15061, X15561, X14643, que corresponden a X74, X99, X110, respectivamente.
Las tangentes a la cónica 𝒞 desde un punto X (sobre la recta de Euler) son los ejes radicales que corresponden a dos puntos sobre Γ, P1 y P2, simétricos respecto a la recta de Euler; sea X' el punto medio de estos puntos.
La correspondencia X ↦ X' = σ(X) es una proyectividadad, con la siguiente terna de puntos homólogos:
que tiene números de búsqueda en ETC
(15.9295916288493, 15.0180490410178, -14.1085656059584) y (-0.288368789602808, -1.15712798835225, 4.57484637673723).
El punto central (punto medio de los puntos dobles) de σ es el punto medio de X2X550:
Los puntos límite (la imagen y el origen del punto en el infinito de la recta de Euler) son X3845 y X20.
Lunes, 26 de agosto del 2019
La séxtica de Thomson
El 26 de agosto de 1728 nace Jean-Henri Lambert, matemático, físico, astrónomo y filósofo alemán. Demostró que el número π es irracional, usando el desarrollo en fracción continua de tan(x). Desarrolló una especial proyección geográfica que conserva los ángulos, conocida como Proyección conforme de Lambert.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean DEF su y c(AD) es la circunferencia de diámetro AD.
Ab y Ac son los puntos (distintos de A) donde c(AD) corta a AC y AB, respectivamente. Es decir, las proyecciones ortogonales de D sobre AC y AB.
Ta es el punto de intersección de las tangente en Ab y Ac a c(AD). Es decir, el de AbAc respecto a a c(AD).
A' es el punto de intersección de EF y DTa. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB' y CC' son concurrentes si y solo si P queda sobre Q027 (Thomson sextic).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntriccas de P:
Ta = ((b^2 - c^2) (v - w) - a^2 (v + w) : -a^2 v + c^2 v +
b^2 (v + 2 w) : (-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)),
A' =(2 u v w (-(b^2 - c^2) (v - w) + a^2 (v + w)) :
v (c^2 v (2 u v + (v - w) w) + w (a^2 v (v + w) - b^2 (v^2 + 2 u w - v w))) :
w (-c^2 v (2 u v + w (-v + w)) + w (a^2 v (v + w) + b^2 (-v^2 + 2 u w + v w)))).
Si Q es el punto de concurrencia de las rectas AA', BB', CC', cuando P está sobre Q027, se tienen los siguientes pares {P=Xi, Q=Xj}, para {i, j}:
{1, 1}, {2, 69}.
Las rectas ATa, BTb y CTc son concurrentes si y solo si P queda sobre la cúbica K004 (Darboux cubic). El punto de concurrencia T está sobre K002 (Thomson cubic)
Si A" es el punto de intersección de las rectas DTa y AbAc, y se definen B" y C" cíclicamente, se tiene:
La rectas AA", BB" y CC" son concurrentes si y solo si P queda sobre la cúbica K004 (Darboux cubic).
Pares {P=Xi, U=Xj}, para {i,j}: {1, 1}, {3, 394}, {4, 393}, {64, 31942}; con P sobre K004 y U=AA" ∩ BB" ∩ CC".
Domingo, 25 de agosto del 2019
Dos triángulos homotéticos
El 25 de agosto de 1900 fallece Friedrich Nietzsche, filósofo alemán. Para él, el cristianismo sólo fomenta valores mezquinos como la obediencia, el sacrificio o la humildad, sentimientos propios del rebaño.
Dado un triángulo ABC, sea DEF el ; las perpendiculares a BC en B y C cortan a EF en Ba y Ca, respectivamente. Las rectas DBa y DCa vuelven a cortar a la circunferencia inscrita en Db y Dc, respectivamente.
Se considera la recta ℓa=DbDc, y se definen cíclicamente las rectas ℓb y ℓc.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc
es homotético a ABC, con centro de homotecia
W = ( a^3 (a - b - c) (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - 4 a b^2 c - 2 a^2 c^2 -
2 b^2 c^2 + c^4) (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 c^2 - 4 a b c^2 -
2 b^2 c^2 + c^4 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.38166352204854, 2.52502113151282, 0.793343611453100) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {21,6514}, {25,48}, {31,577}, {41,6056}, {55,2289}, {56,1064}, {2188,7154}, {2218,2646}.
El 24 de agosto de 2006, la Unión Astronómica Internacional publica una nueva definición de planeta que excluye a Plutón (con el fin de no considerar como planetas muchos otros objetos similares a él). El sistema solar reduce su número de planetas de nueve a ocho.
Therem 7M. The meta-pedal triangle of a point P (not on the Darboux cubic of ABC or the line at infinity) is perspective to ABC if and only if P lies on the circumcicle.
Si P es un punto sobre la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, sea A'B'C' su , que degenera en la de P.
El A"B"C" de ABC y A'B'C' es perspectivo a ABC, con centro de perspectividad Q, el de la recta de Simson de P, que queda sobre la cúbica de Simson (K010, del Catálogo de Bernard Gibert).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC,
A'' = (((a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)) ((a^2 - b^2) w + c^2 (2 u + w)) :
((a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)) ((-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)) :
-((a^2 - b^2) w + c^2 (2 u + w)) (a^2 v - c^2 v -
b^2 (v + 2 w)).
Si P = (a^2 (-1 + t) t : -b^2 (-1 + t) : c^2 t) está sobre la , las coordenadas de los vértice del triángulo A"B"C" son:
Q = ((-1 + t) t (-a^2 - b^2 + c^2 + 2 a^2 t) : (-1 + t) (-2 b^2 + a^2 t +
b^2 t - c^2 t) : -t (-a^2 + b^2 + c^2 + a^2 t - b^2 t + c^2 t)),
que satisface a la ecuación de la cúbica de Simson:
(a^2 - b^2 + c^2) x^2 y + (-a^2 + b^2 + c^2) x y^2 + (a^2 + b^2 -
c^2) x^2 z + (-2 a^2 - 2 b^2 - 2 c^2) x y z + (a^2 + b^2 -
c^2) y^2 z + (-a^2 + b^2 + c^2) x z^2 + (a^2 - b^2 + c^2) y z^2 = 0.
Jueves, 22 de agosto del 2019
Cuadrado baricéntrico de la recta de Euler
El 22 de agosto de 1823 fallece Lazare Carnot, matemático y político francés.
Teorema de Carnot sobre curvas transversales:
Sea un triángulo ABC y una curva algebraica de grado n que corta a cada lado del triángulo en n puntos.
Designamos con (XY) el producto de las distancias desde el punto X a los puntos de intersección de la recta XY con la curva.
Entonces (AB)(BC)(CA) = (AC)(BA)(CB).
Suppose that P = p : q : r (barycentrics) is a point in the plane of a triangle ABC, not on a sideline BC, CA, AB. Let L be the trilinear polar of P, so that L meets the sidelines in 0 : q : -r, -p : 0 : r, p : -q : 0. The barycentric squares of these points are the points A' = 0 : q^2 : r^2, B' = p^2 : 0 : r^2, C' = p^2 : q^2 : 0. The perspector of A'B'C' is the barycentric square P^2 = p^2 : q^2 : r^2, so that P^2 is the perspector of the inellipse that is the locus of squares of points on L. The center of the ellipse is the point p^2 (q^2 + r^2) : q^2 (r^2 + p^2) : r^2 (p^2 + q^2), which is the X(2)-crosspoint of P^2, as well as the complement of the isotomic conjugate of P^2. The ellipse is here named the barycentric square of L.
Dados un triángulo ABC, un punto P y un número real k, sea A'B'C' el triángulo imagen de ABC, mediante la homotecia de centro P y razón k.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de la ,
𝒞k:
(k-1)v w(k u+v+w)x^2 + u(u^2+k(v-w)^2+2v w+2k^2v w+(1+k)u(v+w))y z+ ... = 0,
de ABC y A'B'C' es:
U = (u (-u^2 + 2 v w - (-1 + k) u (v + w) + k (v^2 + w^2)):
v (v (-v + w) + u (v + 2 w) + k (u^2 - u v + w (-v + w))):
w ((v - w) w + u (2 v + w) + k (u^2 + v (v - w) - u w))).
NOTA: En la identidad del Teorema de Carnot,
(AB)(BC)(CA) = (a^2 b^2 c^2 u v w(-1 + k)^2 (k u + v + w) (u + k v +
w) (u + v + k w))/(u + v + w)^6.
Cuando k varía, el lugar geométrico que describe U es la recta ℓP, de ecuación:
(v^2 w - v w^2) x + (-u^2 w + u w^2) y + (u^2 v - u v^2) z = 0.
Esta recta pasa por P y contiene a su P2, y al G/P del baricentro y P.
En particular:
Si P está sobre la recta de Euler, la recta ℓP es tangente en P2 a la elipse ℰ inscrita, cuadrado baricéntrico de la recta de Euler.
La elipse ℰ pasa por los centros X2, X393, X577, X3163, X7054. Su es X32582 y su centro es X32583.
La elipse ℰ es bitangente, en los extremos del diámetro X2X3163, a la hipérbola ℋ lugar geométrico del cociente ceviano G/P, del baricentro y P, cuando P recorre la recta de Euler.
X(23583) is the center of the hyperbola, ℋ, which is the locus of perspectors of circumconics centered at points on the Euler line, or equivalently, the locus of the X(2)-Ceva conjugate of P, as P moves on the Euler line. H passes through X(2), X(6), X(216), X(233), X(1196), X(1249), X(1560), X(3162), X(3163), and the vertices of the medial triangle. H is the complement of hyperbola {{A, B, C, X(2), X(69)}}, and is tangent to the Euler line at X(2). (Randy Hutson, September 29, 2018)
Miércoles, 21 de agosto del 2019
El centro X(6525) y el triángulo órtico
El 21 de agosto de 1789 nace Augustin Louis Cauchy , matemático francés,
uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX.
Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, las condiciones de Cauchy-Riemann, las sucesiones de Cauchy, el teorema de existencia de Cauchy-Kovalevskaya para la solución de ecuaciones en derivadas parciales.
Dado un triángulo ABC, sea DEF su . La circunferencia de diámetro AD vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en A'. Se denota por ℓa la mediatriz de A'D. Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente.
El triángulo A"B"C", formado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc, es perspectivo a DEF, con centro de perspectividad X6525.
Las coordenadas baricéntricas de A' son:
(a^2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2)^2 : -(a - b - c) (b - c) (a + b - c) (a -
b + c) (b + c) (a + b + c) (a^2 + b^2 - c^2)^2 : (a - b - c) (b -
c) (a + b - c) (a - b + c) (b + c) (a + b + c) (a^2 - b^2 +
c^2)^2).
Dados un triángulo ABC y un punto P, sobre su circunferencia circunscrita Γ, sean Pa, Pb, Pc (en la ) las proyecciones ortogonales de P sobre los lados BC, CA, AB, respectivamente.
Se consideran los triángulos A'PcPb, PcB'Pa, PbPaC', directamente semejantes a ABC.
Los puntos A', B', C' están alineados si y solo si P es uno de los puntos de intersección de Γ con el ; las dos rectas (reales o imaginarias) que los contienen, se intersecan en
que tiene números de búsqueda en
(0.0367515704973125, -2.43809191241820, 5.31161200412129), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {155, 32123}, {17838, 32125}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {5,6}, {30,5504}, {113,10151}, {974,6699}, {1514,17702}, {1885,13352}, {2072,19456}, {5448,16657}, {6640,12164}, {9730,9820}, {10564,16111}, {11441,23307}, {17838,32125}.
Si las coordenadas baricéntricas de P son (a^2 (-1 + t) t : -b^2 (-1 + t) : c^2 t),
A' = (-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2)+2a^4(-1+t)t :
b^2(b^2-c^2+a^2(1-2t)) : c^2(-b^2+c^2+a^2(-1+2t))),
B' = (a^2t(-b^2(-2+t)+(-a^2+c^2)t) :
2b^4(-1+t)+(a^2-c^2)^2t^2-b^2(a^2+c^2)t^2 :
c^2t(b^2(-2+t)+(a^2-c^2)t)),
C' = (-a^2(-1+t)(a^2(-1+t)-b^2(-1+t)+c^2(1+t)) :
b^2(-1+t)(a^2(-1+t)-b^2(-1+t)+c^2(1+t)) :
a^4(-1+t)^2+b^4(-1+t)^2-b^2c^2(-1+t)^2-
a^2(2b^2+c^2)(-1+t)^2-2c^4t).
La condición para que los puntos A', B', C' estén alineados es:
Que tiene dos soluciones reales si el triángulo ABC es obtusángulo:
t = (c^4 - (a - b)^2 (a + b)^2 ±
2 Sqrt[-2 (a^2 + b^2 + c^2)])/(4 a^2 SA).
Los puntos P, correspondientes a estos valores de t, son los de intersección de la circunferencia circunscrita con el eje órtico.
Los baricentros Ga, Gb, Gc de los triángulos
A'PcPb, PcB'Pa, PbPaC', forman un triángulo directamente semejante y perspectivo con ABC, con centro de semejanza P y centro de perspectividad Q, el segundo punto des intersección de las circunferencia circunscritas a ambos triángulos.
La recta PQ es tangente a la
elipse (4 a^4 b^4 x^2-8 a^2 b^6 x^2+4 b^8 x^2-4 a^4 b^2 c^2 x^2+8 a^2 b^4 c^2 x^2-4 b^6 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2+2 a^2 b^2 c^4 x^2-3 b^4 c^4 x^2-2 a^2 c^6 x^2+2 b^2 c^6 x^2+c^8 x^2+8 a^6 b^2 x y-16 a^4 b^4 x y+8 a^2 b^6 x y+4 a^6 c^2 x y-16 a^4 b^2 c^2 x y+12 a^2 b^4 c^2 x y-8 a^4 c^4 x y-24 a^2 b^2 c^4 x y+4 a^2 c^6 x y+4 a^8 y^2-8 a^6 b^2 y^2+4 a^4 b^4 y^2-8 a^6 c^2 y^2+8 a^4 b^2 c^2 y^2+4 a^4 c^4 y^2+4 a^6 b^2 x z-8 a^4 b^4 x z+4 a^2 b^6 x z+2 a^6 c^2 x z-16 a^4 b^2 c^2 x z-18 a^2 b^4 c^2 x z-4 a^4 c^4 x z+12 a^2 b^2 c^4 x z+2 a^2 c^6 x z+4 a^8 y z-8 a^6 b^2 y z+4 a^4 b^4 y z-8 a^6 c^2 y z-24 a^4 b^2 c^2 y z+4 a^4 c^4 y z+a^8 z^2-2 a^6 b^2 z^2+a^4 b^4 z^2-2 a^6 c^2 z^2+2 a^4 b^2 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2 = 0)
de circunferencia principal Γ, y un foco el baricentro.
Ga = (-(b^2-c^2)^2+a^2(-2b^2(-1+t)+2c^2t)+a^4(1-6t+6t^2) :
b^4-b^2c^2-a^4t+a^2(-3b^2(-1+t)+c^2t) :
-b^2c^2+c^4+a^4(-1+t)+a^2(-b^2(-1+t)+3c^2t)),
El 10 de agosto de 1859 nace Georg Alexander Pick, matemático austriaco, conocido por la fórmula de Pick para determinar el área de un polígono simple (que no tienen agujeros) cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono viene dada por la fórmula: A = I + B/2 -1
Dados un triángulo ABC y un punto P, sobre su circunferencia circunscrita Γ, sean Pa la reflexión de P en el lado BC, el de Pa y Oa el circuncentro del triángulo AEaFa. Los puntos Ob y Oc se definen cíclicamente.
Cuando P=(a^2 (-1 + t) t : -b^2 (-1 + t) : c^2 t) varía sobre Γ, la recta OabOac de ecuación:
(b^2c^2(-(b^2-c^2)^2+a^2(b^2+c^2)+a^4(-1+t)t)) x +
(a^2c^2(a^4(-1+t)t-(b^2-c^2)(b^2-c^2t)-a^2(c^2(-2+t)t+b^2(1-4t+2t^2)))) y +
(a^2b^2((b^2-c^2)(c^2+b^2(-1+t))+a^4(-1+t)t+a^2(c^2(1-2t^2)-b^2(-1+t^2)))) z = 0,
envuelve una
cónica ( a^4 b^4 c^4 x^2 - 4 a^2 b^6 c^4 x^2 + 4 b^8 c^4 x^2 -
4 a^2 b^4 c^6 x^2 - 8 b^6 c^6 x^2 + 4 b^4 c^8 x^2 +
2 a^6 b^2 c^4 x y - 8 a^4 b^4 c^4 x y + 16 a^2 b^6 c^4 x y -
8 b^8 c^4 x y - 8 a^4 b^2 c^6 x y - 2 a^2 b^4 c^6 x y +
12 b^6 c^6 x y + 10 a^2 b^2 c^8 x y - 4 b^2 c^10 x y + a^8 c^4 y^2 -
4 a^6 b^2 c^4 y^2 + 12 a^4 b^4 c^4 y^2 - 8 a^2 b^6 c^4 y^2 -
4 a^6 c^6 y^2 + 6 a^4 b^2 c^6 y^2 + 12 a^2 b^4 c^6 y^2 +
6 a^4 c^8 y^2 + b^4 c^8 y^2 - 4 a^2 c^10 y^2 - 2 b^2 c^10 y^2 +
c^12 y^2 + 2 a^6 b^4 c^2 x z - 8 a^4 b^6 c^2 x z +
10 a^2 b^8 c^2 x z - 4 b^10 c^2 x z - 8 a^4 b^4 c^4 x z -
2 a^2 b^6 c^4 x z + 16 a^2 b^4 c^6 x z + 12 b^6 c^6 x z -
8 b^4 c^8 x z + 2 a^8 b^2 c^2 y z - 8 a^6 b^4 c^2 y z +
10 a^4 b^6 c^2 y z - 4 a^2 b^8 c^2 y z - 8 a^6 b^2 c^4 y z -
8 a^4 b^4 c^4 y z + 4 a^2 b^6 c^4 y z + 2 b^8 c^4 y z +
10 a^4 b^2 c^6 y z + 4 a^2 b^4 c^6 y z - 4 b^6 c^6 y z -
4 a^2 b^2 c^8 y z + 2 b^4 c^8 y z + a^8 b^4 z^2 - 4 a^6 b^6 z^2 +
6 a^4 b^8 z^2 - 4 a^2 b^10 z^2 + b^12 z^2 - 4 a^6 b^4 c^2 z^2 +
6 a^4 b^6 c^2 z^2 - 2 b^10 c^2 z^2 + 12 a^4 b^4 c^4 z^2 +
12 a^2 b^6 c^4 z^2 + b^8 c^4 z^2 - 8 a^2 b^4 c^6 z^2 = 0)
𝒞a, cuyo centro es:
El nombre Saragossa hace referencia al rey que probó el teorema de Ceva, antes de que éste lo hiciera.
Al-Mutamán (WikipediA) fue rey de la Taifa de Zaragoza de la dinastía hudí entre 1081 y 1085.
En el año 1081, Almutamán contó con los servicios de las tropas mercenarias de El Cid (desterrado de Castilla por llevar a cabo razias en contra de los intereses de Alfonso VI de León y Castilla en territorios de Toledo), para resistir el empuje del rey aragonés, Sancho Ramírez.
Fue un rey erudito, protector de las ciencias, de la filosofía y de las artes. Un ejemplo es su tratado "El Libro de la perfección y de las apariciones ópticas" (Kitab al-Istikmal) que trata los números irracionales, secciones cónicas, la cuadratura del segmento parabólico, volúmenes y áreas de varios cuerpos geométricos o el trazado de la tangente de una circunferencia, entre otros problemas matemáticos.
A Al-Mutamán se debe la primera formulación conocida del Teorema de Giovanni Ceva, que no sería conocido en Europa hasta 1678 en la obra "De lineis rectis" del mencionado geómetra italiano.
Lunes, 5 de agosto del 2019
Conjugado isogonal del centro del triángulo X(4902)
El 5 de agosto de 1802 nace Niels Henrik Abel, matemático noruego, célebre fundamentalmente por haber probado en 1824 que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados n≥5 en términos de sus coeficientes (Teorema de Abel-Ruffini).
El adjetivo abeliano, que se ha popularizado en los escritos matemáticos deriva de su nombre y suele indicarse en minúsculas (grupo abeliano, categoría abeliana o variedad abeliana).
Dados un triángulo ABC y un punto P. Sea PaPbPc el de P, su lado PbPc vuelve a corta en A' a la circunferencia Γ, circunscrita a ABC. La recta PA' vuelve a cortar en Ta a la circunferencia Γa, circunscrita a PBC; sea ta la tangente en Ta a Γa. Cíclicamente, se definen las rectas tb y tc.
Las rectas ta, tb y tc forman un triángulo DEF perspectivo con ABC.
Cuando PaPbPc es el , anticeviano del incentro, el centro de pespectividad Q es el de X4902:
W = (a^2/(3 a^2 - a (b + c) - 4 (b - c)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(7.17103966153197, 7.63368738163080, -4.95390662608247), y está sobre la recta X1043X4677.
Viernes, 2 de agosto del 2019
Puntos centrales de proyectividades alineados
Un aniversario especial
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea el de P respecto a ABC. Ambos triángulos son ; sea P' el centro ortológico de respecto a ABC. La aplicación P ↦ P'=σ(P) es una .
A una recta ℓ por P le corresponde una recta σ(ℓ) por P'; sea ℓ' la paralela por P a σ(ℓ).
Designamos por Pa el punto medio de los puntos dobles de la proyectividad, sobre el lado BC, La=ℓ∩BC ↦ L'a=ℓ'∩BC.
Los puntos Pb y Pc se definen ciclicamente.
Los puntos Pa, Pb y Pc están alineados sobre una recta p, si P está sobre la
hipérbola ( a^2 c^2 x y-b^2 c^2 x y-a^2 b^2 x z+b^2 c^2 x z+a^2 b^2 y z-a^2 c^2 y z = 0)
ℋ, a ABC y tangente en el al , o sobre la
parábola ( a^4 b^4 x^2-2 a^2 b^6 x^2+b^8 x^2+14 a^4 b^2 c^2 x^2-14 a^2 b^4 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2-14 a^2 b^2 c^4 x^2+14 b^4 c^4 x^2-2 a^2 c^6 x^2+c^8 x^2-2 a^6 b^2 x y+4 a^4 b^4 x y-2 a^2 b^6 x y+10 a^6 c^2 x y-10 a^4 b^2 c^2 x y-10 a^2 b^4 c^2 x y+10 b^6 c^2 x y-10 a^4 c^4 x y+22 a^2 b^2 c^4 x y-10 b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y-2 b^2 c^6 x y+2 c^8 x y+a^8 y^2-2 a^6 b^2 y^2+a^4 b^4 y^2-14 a^4 b^2 c^2 y^2+14 a^2 b^4 c^2 y^2+14 a^4 c^4 y^2-14 a^2 b^2 c^4 y^2+b^4 c^4 y^2-2 b^2 c^6 y^2+c^8 y^2+10 a^6 b^2 x z-10 a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z+2 b^8 x z-2 a^6 c^2 x z-10 a^4 b^2 c^2 x z+22 a^2 b^4 c^2 x z-2 b^6 c^2 x z+4 a^4 c^4 x z-10 a^2 b^2 c^4 x z-10 b^4 c^4 x z-2 a^2 c^6 x z+10 b^2 c^6 x z+2 a^8 y z-2 a^6 b^2 y z-10 a^4 b^4 y z+10 a^2 b^6 y z-2 a^6 c^2 y z+22 a^4 b^2 c^2 y z-10 a^2 b^4 c^2 y z-2 b^6 c^2 y z-10 a^4 c^4 y z-10 a^2 b^2 c^4 y z+4 b^4 c^4 y z+10 a^2 c^6 y z-2 b^2 c^6 y z+a^8 z^2+14 a^4 b^4 z^2+b^8 z^2-2 a^6 c^2 z^2-14 a^4 b^2 c^2 z^2-14 a^2 b^4 c^2 z^2-2 b^6 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2+14 a^2 b^2 c^4 z^2+b^4 c^4 z^2 = 0)
𝒫, de foco el y directriz la del .
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces :
P' = (-a^6 u + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) u +
a^4 (c^2 (3 u - 4 v) + b^2 (3 u - 4 w)) -
a^2 (b^2 - c^2) (c^2 (-3 u + 4 v) + b^2 (3 u - 4 w)) :
a^6 v - (b^2 - c^2) (2 b^2 c^2 (2 u - v) + b^4 v + c^4 v) -
a^4 (c^2 v + b^2 (3 v - 4 w)) +
a^2 (-c^4 v + b^4 (3 v - 4 w) - 2 b^2 c^2 (2 u - 3 v + 2 w)) :
a^6 w + a^4 (c^2 (4 v - 3 w) - b^2 w) -
a^2 (2 b^2 c^2 (2 u + 2 v - 3 w) + c^4 (4 v - 3 w) +
b^4 w) + (b^2 - c^2) (2 b^2 c^2 (2 u - w) + b^4 w + c^4 w)),
Pa = (0 :
2 (a^4 u v + b^2 u (-b^2 v + c^2 (-2 u + v)) +
a^2 (c^2 v (-u + 2 v) + 2 b^2 (u^2 - v^2))) (a^4 u (v + w) +
u (c^4 (u + v) + b^2 c^2 (-4 u + v + w) - b^4 (u + 2 v + w)) +
a^2 (b^2 (5 u^2 + u v - 4 v (v + w)) -
c^2 (u^2 - 4 v (v + w) + u (2 v + w)))) :
-2 (a^4 u v + b^2 u (-b^2 v + c^2 (-2 u + v)) +
a^2 (c^2 v (-u + 2 v) + 2 b^2 (u^2 - v^2))) (a^4 u (v + w) +
u (b^4 (u + w) + b^2 c^2 (-4 u + v + w) - c^4 (u + v + 2 w)) -
a^2 (c^2 (-5 u^2 - u w + 4 w (v + w)) +
b^2 (u^2 - 4 w (v + w) + u (v + 2 w))))).
Cuando P está sobre la parábola 𝒫, la recta p es su tangente en P.
Esta parábola pasa por los centros X1499 (dirección de su eje), X1640, X3288 (la tangente es el ), X5915, X9209 (la tangente es el ).
Otras propiedades de esta parábola:
Las tripolares de los puntos de la directriz de 𝒫 envuelven la . Estas dos parábolas tiene cuatro tangentes comunes: una es la recta del infinito, otra es la tripolar del simediano (el eje de Lemoine) y las dos restantes son las tripolares en los puntos (X6198 y X6190) de intersección de la directriz de 𝒫 con la , que son las tangentes (perpendiculares) desde el baricentro a 𝒫. Los puntos de intersección de estas tangentes con la parábola de Kiepert están sobre las tangentes a la elipse circunscrita de Steiner en X6198 y X6190.
El jueves, 31 de julio de 1704 nace Gabriel Cramer.
Demostró que una curva de grado n viene dada por n(n+3)/2 puntos situados sobre ella.
La Regla de Cramer es un método que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.
Soit une conique et M un point de cette conique. Toutes les cordes de la conique vues sous un angle droit depuis M sont sécantes en un même point F.
Ce point d'intersection est appelé point de Frégier de M. Il est au-dessus de la normale dans M à la conique.
Le lieu des points de Frégier d'une conique est en général une conique de type identique, de même centre:
• les points de Frégier d'une parabole sont une parabole déduite de la parabole d'origine par translation.
• les points de Frégier d'une hyperbole ou d'une ellipse sont une conique de même centre homothétique à la conique d'origine.
•
Dans le cas d'un cercle, ce lieu est réduit au centre du cercle.
Dados un triángulo ABC y un punto P, denominamos "triángulo de Frégier" de P respecto a ABC al triángulo cuyos vértices son los de los vértices de ABC, respecto a la c(P) de P. Los triángulos ABC y son inversamente semejantes; el centro de semejanza inversa es el centro de la cónica c(P).
El lugar geométrico del baricentro GP de , cuando P se mueve sobre la circunferencia circunscrita Γ, es una cónica 𝒞, que pasa por los vértices del triángulo Q'1Q'2Q'3, antipodal del .
GP = ((b^2+c^2)u+a^2(-3u+2(v+w)) : (a^2+c^2)v+
b^2(2u-3v+2w) : c^2(2u+2v-3w)+(a^2+b^2)w).
GP queda sobre la perpendicular por X110 (foco de la ) a PX110.
Cuando P varía sobre la circunferencia circunscrita, GP describe la cónica de ecuación:
𝒞: 8b^2c^2(b^2-c^2)^2x^2
- a^2(3a^6-5a^4(b^2+c^2)+a^2(b^4+30b^2c^2+c^4)+b^6-9b^4c^2-9b^2c^4+c^6)y z + ... = 0.
El centro de la cónica 𝒞 es X154 ( del ortocentro y ) y pasa por X110. Dos puntos más sobre ella son G98 = X99X110∩X107X112 y G99 = X2X98∩X99X2502. Con estos datos la cónica queda determinada.
El de la cónica c(P) es la intersección de la recta X1495X21309 con la paralela por X5050 a la :
que tiene números de búsqueda en
(0.0175666165964604, 0.0603960112614059, 3.59074418952812).
Para todo punto P, los triángulos ABC y son .
El centro ortológico U de ABC respecto a queda sobre la circunferencia circunscrita Γ y es fijo para todo punto sobre cada recta que pasa por el simediano.
El centro ortológico V de respecto a ABC es la imagen de P mediante una colineación σ.
La colineación σ induce, sobre los haces de rectas con puntos base en el simediano y circuncentro, una proyectividad, cuyos rayos homólogos, ℓ y ℓ', se cortan en la
( (-2 b^4 c^2+2 b^2 c^4) x^2+(-a^4 c^2+b^4 c^2+a^2 c^4-b^2 c^4) x y+(2 a^4 c^2-2 a^2 c^4) y^2+(a^4 b^2-a^2 b^4+b^4 c^2-b^2 c^4) x z+(a^4 b^2-a^2 b^4-a^4 c^2+a^2 c^4) y z+(-2 a^4 b^2+2 a^2 b^4) z^2 = 0)
del triángulo de Thomson.
σ induce, sobre los haces de rectas con puntos base en el baricentro y ortocentro, una proyectividad, cuyos rayos homólogos se cortan en la de ABC.
Sábado, 27 de julio del 2019
Haz de pivotal cúbicas isogonales con pivote sobre la recta de Euler
Dado un triángulo ABC (con circuncentro O, ortocentro H y simediano K) y un punto M finito, entonces el de M es perspectivo con el triángulo homotético de ABC mediante la homotecia de centro M y razón k si y sólo si M está sobre la pK(K, 2k O - H).
Let M be a point and t a real number.
The homothety h(M, t) transforms A, B, C into At, Bt, Ct.
The perpendiculars at At, Bt, Ct to the lines AM, BM, CM meet the sidelines BC, CA, AB at A', B', C' respectively.
These points A', B', C' are collinear (on a line L) if and only if M lies on a cubic of the Euler pencil whose pivot Pt is the barycenter of {X3, 2t}, {X4, -1}.
The table below gives a selection of these cubics with the corresponding value of t and associated pivot Pt.
P1, P2 (on the Euler line) lie on the lines passing through X(6) and X(2545), X(2544) respectively.
Viernes, 26 de julio del 2019
Circunferencia de diámetros AP, BP, CP
El 26 de julio de 1925 fallece
Friedrich Ludwig Gottlob Frege, matemático, lógico y filósofo alemán. Se le considera el padre de la lógica matemática.
El 26 de julio de 1997 fallece Kunihiko Kodaira, matemático japonés, conocido por sus contribuciones en la geometría algebraica y en la teoría de la variedades complejas.
Por sus trabajos ha recibido la Medalla Fields, otorgada por la Unión Matemática Internacional en 1954 y el Premio Wolf en 1984/85.
Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado en la recta del infinito), sea el de P.
La circunferencia Γa de diámetro APa (de centro Oa) vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita Γ en A'. La recta A'Pa vuelve a cortar a Γa en A". La recta PA" corta a PbPc en A1. Los puntos B1 y C1 se definen cíclicamente.
Los triángulos y son perspectivos si y solo si P está sobre la cúbica de Neuberg (K001, en el catálogo de Bernard Gibert).
A1, B1, C1 están alineados (sobre una recta ℓ) si P está sobre la circunferencia circunscrita (ℓ es la ) o sobre una nónica, con puntos triples en los vértices de ABC y pasa por el incentro, circuncentro y .
• Si P=X1 es el incentro, ℓ es la
de X189.
En este caso A1 es el inverso de A" en la circunferencia incrita.
• Si P=X3 es el circuncentro, ℓ es el del y la de X2996.
• Si P=X20 es el punto de De Longchamps, A"=P=X20 y A1 es la intersección de PbPc con la tangente en P a Γa; ℓ es la de:
que tiene números de búsqueda en
(6.39022174818619, 6.44023232847011, -3.76729101388855), punto medio de X74 y X5627; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {5627, 12079}, {14611, 31378}, {31378, 6699}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,14264}, {30,74}, {125,32417}, {140,3470}, {186,17986}, {403,16080}, {523,1138}, {542,15468}, {549,14385}, {1494,7799}, {2394,15543}, {3233,12317}, {5054,9717}, {6070,20417}, {6699,14611}, {7471,16003}, {10257,14919}, {10295,10421}, {12068,14094}, {14480,15057}.
Jueves, 25 de julio del 2019
La recta de Sherman y el centro del triángulo X(953)
El 25 de julio de 1575 nació Christopher Scheiner, físico y astrónomo jesuita alemán, inventor del pantógrafo, dispositivo con el cual es posible dibujar un objeto a escala.
El lunes, 25 de julio de 1808 nació el matemático alemán Johann Benedict Listing. Fue el primero en utilizar la palabra topología en vez del término usual en la época: analisis situs. Descubre las propiedades topológicas de lo que actualmente se conoce con el nombre de banda de Möbius, de forma independiente a este último.
• Let L be the line tangent to the incircle and the nine-point circle; i.e., the line X(11)X(244), called the Feuerbach tangent line. Let La be the reflection of L in BC, and define Lb and Lc cyclically. Let A'' = Lb∩Lc, and define B'' and C'' cyclically. The lines AA'', BB'', CC'' concur in X(953). (Randy Hutson, 9/23/2011)
•Let ABC be a triangle and L the Euler line. Denote: La, Lb, Lc = the reflections of L in BC, CA, AB, resp.
La, Lb, Lc are concurrent at D = X(110).
Ab, Ac = the intersections of La and AC, AB, resp.
Bc, Ba = the intersections of Lb and BA, BC, resp.
Ca, Cb = the intersections of Lc and CB, CA, resp.
The circumcircles of DBaCa, DCbAb, DAcBc, ABC are coaxial.
The 2nd point, other than D, of intersection is X(953) (Antreas Hatzipolakis and César Lozada, Hyacinthos 26050, Dec 21, 2017).
Dado un triángulo ABC, su ℓ corta a sus lados en D, E, F.
El del formado por las rectas ℓ, BC, CA, AB es X953.
Es decir, las circunferencias circunscritas a los triángulos EAD, EBC, FAB, FDC son concurrentes en X953.
La ecuación de la recta de Sherman de ABC es (§5. Coordinates, Paul Yiu)
ℓ: lx+my+nz =
(a-b)(a-c)(a^3-a^2b+b^3-a(b-c)^2-b c^2)(a^3-a(b-c)^2-a^2c-b^2c+c^3) x + ... = 0.
El punto de Miquel del cuadrilátero completo ℓ, BC, CA, AB es (QL-P1: Miquel Point):
X953 = ( a^2 m n/(m - n) : ... : ...) =
(a^2/(-2 a^4 + 2 a^3 (b + c) - 2 a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 +
a^2 (b^2 - 4 b c + c^2)) : ... : ...).
Miércoles, 24 de julio del 2019
La cúbica de Lucas como lugar geométrico
El jueves, 24 de julio de 1856 nació en París, Charles Émile Picard, matemático y miembro de la Academia francesa. Realizó importantes avances en geometría analítica y mecánica.
Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre sus lados y ni sobre sus alturas), sea el triángulo ceviano de P.
La perpendicular por Pb a AC corta a AP en Ab y la perpendicular por Pc a AB en Ac.
Los puntos Bc, Ba, Ca, Cb se definen cíclicamente.
En el punto Bc concurren las rectas KD, LF, BE, cuando P es el , en Romantics of Geometry (Thanos Kalogerakis).
Las rectas AbBa, BcCb, CaAc son concurrentes (en Q) si y solo si P está sobre la cúbica de Lucas (K007).
Por construcción, si P es el ortocentro, los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb coinciden en el ortocentro.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
Ab = ((-a^2 + c^2) v (u + w) + b^2 (u v + 2 u w - v w) : 2 b^2 v w :
2 b^2 w^2),
Ac = (
((a^2 - b^2) (u + v) w +
c^2 (v w - u (2 v + w)) : -2 c^2 v^2 : -2 c^2 v w).
Las rectas AbBa, BcCb, CaAc concuren en Q, si las coordenadas de P satisfacen a:
a^2 u^2 v - b^2 u^2 v + c^2 u^2 v + a^2 u v^2 - b^2 u v^2 -
c^2 u v^2 - a^2 u^2 w - b^2 u^2 w + c^2 u^2 w + a^2 v^2 w +
b^2 v^2 w - c^2 v^2 w - a^2 u w^2 + b^2 u w^2 + c^2 u w^2 -
a^2 v w^2 + b^2 v w^2 - c^2 v w^2 = 0.
Es decir, si P está sobre K007, que pasa por los centros del triángulo Xi, para los índices i: 2, 4, 7, 8, 20, 69, 189, 253, 329, 1032, 1034, 5932, 14361, 14362, 14365.
El martes, 22 de julio de 1755 nace Gaspard de Prony quien confeccionó unas elaboradas tablas trigonométricas y logarítmicas para facilitar la realización de cálculos astronómicos; trabajo encargado por Napoleón para el Observatorio de París y en el Instituto de Francia.
Un triángulo ABC es perspectivo con el triángulo reflexión A"B"C" en un punto P del triángulo tangencial A'B'C' de la cónica circunscrita c(P) a ABC de centro P.
Usando coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w), la ecuación de la cónica c(P) es:
u (u - v - w)x -v (u - v + w)y -w(u + v - w)z = 0.
A' = (u (u - v - w) : v (u - v + w) : w(u + v - w)),
A" = (u (u^2 - v^2 + 6 v w - w^2) : v (u^2 - v^2 - 2 u w + 4 v w -
3 w^2) : w (u^2 - 2 u v - 3 v^2 + 4 v w - w^2)).
El centro de perspectividad de ABC y el triángulo A"B"C" es:
Q = ( u (v+w-u)/(v+w-3 u) : v (w+u-v)/(w+u-3 v) : w (u+v-w)/(u+v-3 w)).
que tiene números de búsqueda en
(-21.4228366136794, -22.8790374979080, 29.3674611867727), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,31361}, {3,16251}, {4,1192}, {30,3346}, {253,3146}, {1249,5895}.
• Si P=X7 es el :
W7 = ( (3 a^2 - (b - c)^2 -
2 a (b + c))/((a - b - c) (5 a^2 - 3 (b - c)^2 - 2 a (b + c))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(1.67380352335037, 2.41413256789759, 1.19681723181664), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {7,3817}, {5851,15913}, {10405,20059}, {18025,21296}.
• Si P=X11 es el :
W11 = ( (3 a^2 - (b - c)^2 -
2 a (b + c))/((a - b - c) (5 a^2 - 3 (b - c)^2 - 2 a (b + c))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(13.9114214913157, -3.30774288176664, -0.490015749784422), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {11,11193}, {149,693}, {513,22321}, {654,14418}, {900,1830}, {1768,3309}, {2254,3722}, {3446,15313}, {3738,14740}, {3887,5083}, {8760,12747}, {20095,30613}.
Viernes, 19 de julio del 2019
Puntos conjugados isogonales. Cónicas circunscritas. Tripolares
El jueves, 19 de julio de 1849 se promulga en España la ley que obliga al uso del sistema métrico decimal en todas las transacciones comerciales.
Dados un triángulo ABC y dos puntos P y Q, sea c(P) la a ABC de centro P y q la de Q.
La recta q corta a los lados B'C', C'A', A'B' del de c(P) en los puntos A", B", C", respectivamente.
Las tangentes ta, tb, tc, a c(P), distintas de los lados de A'B'C', desde los puntos A", B", C", forman un triángulo DEF perspectivo con ABC.
Usando coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w), la ecuación de la cónica c(P) es:
u (u - v - w)x -v (u - v + w)y -w(u + v - w)z = 0.
A' = (u (u - v - w) : v (u - v + w) : w(u + v - w)),
A" = (a^2 (b^2 w^2 (-u - v + w) + c^2 v^2 (u - v + w)) : -b^2 c^2 u v (u -
v + w) : b^2 c^2 u w(u + v - w)).
La ecuación de la tangente ta desde A" a c(P), distinta de B'C', es:
(-4 b^4 c^4 u^3 v (u - v - w) (u + v - w) w (u - v + w)x
+ (u + v - w) w (b^2 c^2 u^3 - b^2 c^2 u^2 v - a^2 c^2 u v^2 + a^2 c^2 v^3 -
b^2 c^2 u^2 w - a^2 c^2 v^2 w + a^2 b^2 u w^2 + a^2 b^2 v w^2 -
a^2 b^2 w^3)^2) y
+ v (u - v + w) (b^2 c^2 u^3 - b^2 c^2 u^2 v + a^2 c^2 u v^2 -
a^2 c^2 v^3 - b^2 c^2 u^2 w + a^2 c^2 v^2 w - a^2 b^2 u w^2 -
a^2 b^2 v w^2 + a^2 b^2 w^3)^2) z = 0.
El centro de perspectividad de ABC y el triángulo DEF, formado por las rectas ta, tb, tc, es
W = (u(v+w-u)/((b^2 w^2 (-u - v + w) +
c^2 v^2 (u - v + w))^2a^4 -2 b^2 c^2 u^2 (u - v -
w) (b^2 (u + v - w) w^2 +
c^2 v^2 (u - v + w))a^2 -3 b^4 c^4 u^4 (-u + v + w)^2) : ... : ...).
CASOS PARTICULARES
• Cuando P=X1 es el incentro:
W1 = ( a(b+c-a)/(7 a^2 - 10 a (b + c) - b^2 + 14 b c - c^2 ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-9.29151180658590, 7.25899359889523, 2.90359743955809). Este centro NO está sobre rectas determinadas por pares de centros de ETC.
que tiene números de búsqueda en ETC
(-3.09674058950505, 3.04823390570513, 2.95961358849854), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {194, 15968}, {1613, 3360}, {9493, 20105}, {21877, 25287}.
que tiene números de búsqueda en ETC (-1.84150562416696, 2.56616320595448, 2.71401562740065). Este centro NO está sobre las rectas determinadas por pares de centros de ETC.
Jueves, 18 de julio del 2019
Puntos alineados sobre los lados de un triángulo
El 18 de julio de 1768, nace Jean Robert Argand tenedor de libros y matemático autodidacta francés, nacido en Suiza, que describió en 1806 una forma de representar las cantidades imaginarias mediante construcciones geométricas.
Dados un triángulo ABC, de incentro I=X1, y un punto P, la recta simétrica de AP respecto a IP, corta a BC en A'. Los puntos B' y C' se construyen de manera similar, procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC.
Los puntos A', B', C' están sobre una recta p, tangente a la circunferencia inscrita a ABC.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A' = (0 : a^3 v^2 w - a^2 v (c v + b (2 u + v)) w +
a u (c^2 v^2 + b^2 w (u + 2 v + w)) -
u (c^3 v^2 + b^3 (u - w) w + b^2 c w (u + 2 v + w) -
b c^2 v (v + 2 w)) ;
a^3 v w^2 - a^2 v w (b w + c (2 u + w)) +
a u (b^2 w^2 + c^2 v (u + v + 2 w)) -
u (c^3 (u - v) v + b^3 w^2 - b^2 c w (2 v + w) +
b c^2 v (u + v + 2 w))),
y la primera coordenadas del punto de tangencia P' de la recta p con la circunferencia inscrita es:
(b+c-a) (a^3 v (v - w) w -
a^2 (b - c) v w (2 u + v + w)
+ a u (b^2 (u + 2 v) w - c^2 v (u + 2 w))
- (b - c) u^2 (c^2 v + b^2 w))^2
Para todo punto M sobre la circun- isogonal spK(Z,X1), donde Z es el punto del infinito de la recta IP, el correspondiente punto de tangencia M', permanece fijo, y está en la recta m, de la (que está sobre la tripolar del )
R =(b u - c u - a v + a w : b u - a v + c v - b w : -c u + c v + a w - b w)
de spK(Z,X1).
Pares {{P=Xi, P=Xj, ...} sobre spK(Z,X1), P'=Xk sobre la circunferencia inscrita}, para los índices {{i, j, ...}, k}:
•
{{36, 80, 106, 519, 1323, 1785, 1795, 4845, 5127, 5209, 5526, 5620, 7343} sobre K086, 11};
•
{{109, 522} sobre spK(X522,X1), 1317};
•
{{14224}, 1354};
•
{{5061, 11609}, 1356};
•
{{1319, 1320, 3880, 8686} sobre spK(X3880,X1), 1357};
•
{{1477, 2078, 3254, 5853} sobre spK(X5853,X1), 1358};
•
{{8058, 8059} sobre spK(X8058,X1), 1359};
•
{{108, 521} sobre spK(X512,X1), 1361};
•
{{934, 3900} sobre spK(X3900,X1), 1362};
•
{{104, 517, 1339, 5088} sobre spK(X517,X1), 1364};
•
{{5172, 11604}, 1365};
•
{{1382, 3308} sobre spK(X3308,X1), 2446};
•
{{1381, 3307} sobre spK(X3307,X1), 2447};
•
{{17765, 28574} sobre spK(X17765,X1), 3020};
•
{{101, 514} sobre spK(X514,X1), 3021};
•
{{105, 243, 296, 518, 1155, 1156,
2651, 2652, 5205, 7061, 9432, 12008, 14189, 14190, 14191, 14192,
14193, 14194, 14195, 14196, 14197, 14198, 14199, 14200, 14201,
14202, 14203, 14204, 24646, 24647} sobre K040, 3022};
•
{{740, 741, 5018, 5143, 5524, 7281, 7312, 8481, 8482} sobre spK(X740,X1) , 3023};
•
{{2718, 2802} sobre spK(X2802,X1), 3025};
•
{{28581} sobre spK(X29581,X1), 3026};
•
{{3907, 29055} sobre spK(X3907,X1), 3027};
•
{{26700}, 3028};
•
{{102, 515, 2077} sobre spK(X515,X1), 3318};
•
{{2720, 2804, 23981} sobre spK(X2804,X1), 3319};
•
{{220, 279}, 3323};
•
{{24394} sobre spK(X24394,X1), 3325};
•
{{3, 4, 952, 953, 3109, 6790, 14260, 14887} sobre K165, 3326};
•
{{7, 55, 528, 840, 15729} sobre spK(X528,X1), 3328};
•
{{5126, 24297}, 5577};
•
{{14074, 14077} sobre spK(X14077,X1), 5580};
•
{{100, 513} sobre spK(X513,X1), 6018};
•
{{4160, 8691} sobre spK(X4160,X1), 6019};
•
{{26702}, 6020},
•
{{29350, 29351} sobre spK(X29350,X1), 6021};
•
{{29066, 29067} sobre spK(X29066,X1), 6025};
•
{{718, 719} sobre spK(X718,X1), 6026};
•
{{3465, 3466, 26701}, 7158};
•
{{10215, 10231, 13385}, 10501};
•
{{13444}, 10506};
•
{{2222, 3738, 23703, 23838} sobre spK(X3738,X1), 13756};
•
{{8, 56, 5854} sobre spK(X5854,X1), 14027};
•
{{1083, 3110, 5091, 14665, 14839, 14947} sobre K359, 15615};
•
{{218, 277}, 16184};
•
{{145, 3445}, 16185};
•
{{35, 79}, 31522};
•
{{16870}, 31893}
Miércoles, 17 de julio del 2019
El centro del triángulo X(8770)
El 17 de julio de 1932, nació Salvador Lavado Tejón, humorista gráfico e historietista, más conocido como Quino. Es reconocido por ser el creador de Mafalda, tira cómica que se publicó originalmente entre 1964 y 1973.
En España, la censura franquista obligó a los editores a colocar una franja en la portada del primer libro de Mafalda con la que se declaraba como una obra "Para adultos" (BBC).
Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' el . El intersecta a los lados B'C', C'A' y A'B' en los puntos A", B" y C", respectivamente.
Sean ta, tb y tc las tangentes, desde A", B" y C" (distintas de los lados B'C', C'A' y A'B') a la circunferencia circunscrita a
ABC.
Las rectas ta, tb y tc forman un triángulo perspectivo a ABC, con centro de perspectividad X8770.
4 a^2 b^2 c^2 x + c^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2 y +
b^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 z = 0,
y el centro de perspectividad citado es:
(a^2/(a^2 - ) : b^2/(b^2 - SB) : c^2/(c^2- SC)).
Martes, 16 de julio del 2019
El centro del triángulo (8R-r) X(3) + (4R+r) X(9)
El 16 de julio de 1906, nace en Estados Unidos, Reynold B. Johnson, científico informático de la IBM, conocido por desarrollar la primera unidad de disco duro magnético comercial y la cinta de video.
Dado un triángulo ABC, con circuncentro O, Mt, R y r radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, respectivamente, sea (O1) la circunferencia que pasa por B y C y es tangente a la circunferencia (Ia). Las circunferencias (O2) y (O3) se definen cíclicamente.
El baricentro de O1O2O3 es W = (8R-r) O + (4R+r) Mt.
Para construir la circunferencia (O1), se traza la tangente (distinta de BC) a la circunferencia A-exinscrita, desde el punto D, de intersección de BC con del eje radical de las circunferencias circunscrita y A-exinscrita.
O1 = (-2 a^2 (5 a^3 - a (b - c)^2 +
3 a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c)) :
a^5 + 3 a^4 (b + c) + (b - c)^3 (b + c)^2 + 2 a^3 (6 b^2 + b c + c^2) -
a (b - c)^2 (5 b^2 + 8 b c + 3 c^2) +
2 a^2 (2 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 - c^3) :
a^5 + 3 a^4 (b + c) - (b - c)^3 (b + c)^2 -
a (b - c)^2 (3 b^2 + 8 b c + 5 c^2) + 2 a^3 (b^2 + b c + 6 c^2) -
2 a^2 (b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - 2 c^3)).
W = (a (a^5 (b+c)-a^4 (b^2+20 b c+c^2)-2 a^3 (b^3+c^3)+2 a^2 (b^4+11 b^3 c+11 b c^3+c^4)+a (b^5-b^4 c-b c^4+c^5)-(b-c)^2 (b+c)^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(5.65125675712842, 4.60456571858002, -2.15538413424567), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {165, 5049}, {551, 10178}, {3576, 11227}; reflexión de X10156 en X549; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,9}, {72,15717}, {140,5806}, {165,16417}, {376,10157}, {517,549}, {631,31793}, {912,12100}, {942,3523}, {1071,10299}, {2800,31787}, {3524,11227}, {3530,9940}, {3579,22753}, {3628,31822}, {3646,24644}, {3940,10857}, {5447,31816}, {5927,10304}, {6924,31663}, {6961,31786}, {9729,31819}, {10167,15692}, {10176,10178}, {10202,15693}, {10855,16371}, {11220,15705}, {15712,31837}, {16192,25917}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(33575).
Let A' be the point in which the A-excircle is tangent to the circle O1 that passes through vertices B and C, and define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(5423); for the incircle version, see X(479). . (Peter Moses, December 10, 2015)
(center of circle O1) = -2 a^2 (5 a^3+3 a^2 b-a b^2+b^3+3 a^2 c+2 a b c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3)
: a^5+3 a^4 b+12 a^3 b^2+4 a^2 b^3-5 a b^4+b^5+3 a^4 c+2 a^3 b c+2 a^2 b^2 c+2 a b^3 c-b^4 c+2 a^3 c^2-4 a^2 b c^2+8 a b^2 c^2-2 b^3 c^2-2 a^2 c^3-2 a b c^3+2 b^2 c^3-3 a c^4+b c^4-c^5
: a^5+3 a^4 b+2 a^3 b^2-2 a^2 b^3-3 a b^4-b^5+3 a^4 c+2 a^3 b c-4 a^2 b^2 c-2 a b^3 c+b^4 c+12 a^3 c^2+2 a^2 b c^2+8 a b^2 c^2+2 b^3 c^2+4 a^2 c^3+2 a b c^3-2 b^2 c^3-5 a c^4-b c^4+c^5
Sean t1 la tangente común (en A') a (Ia) y (O1), t2 la tangente común (en B') a (Ib) y (O2), y t3 la tangente común (en C') a (Ic) y (O3).
Las rectas t1, t1, t1 forman un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad:
Z =
( a (b + c - a)/(a^3 + a^2 (b + c) - a (b^2 - 6 b c + c^2) - (b + c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.28184884981979, 4.44262838116892, -0.488162328049391) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1696}, {6,7091}, {7,2999}, {44,7285}, {84,1743}, {90,3973}, {2324,3680}, {3731,7160}, {8809,14557}, {9372,18594}.
Dado un triángulo ABC, con circuncentro O, incentro I, R y r radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, respectivamente, sea (Oa) la circunferencia que pasa por B y C y es tangente a la circunferencia inscrita. Las circunferencias (Ob) y (Oc) se definen cíclicamente.
El baricentro de OaObOc es G' = (4R+r) I + (8R-r) O.
Para construir la circunferencia (Oa), se traza la tangente (distinta de BC) a la circunferencia inscrita, desde el punto D, de intersección de BC con del eje radical de las circunferencias circunscrita e inscrita.
Oa = ( 2 a^2 (-5 a^3 + a (b - c)^2 + 3 a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c)) :
a^5 - 3 a^4 (b + c) - (b - c)^3 (b + c)^2 +
2 a^3 (6 b^2 + b c + c^2) - a (b - c)^2 (5 b^2 + 8 b c + 3 c^2) +
a^2 (-4 b^3 - 2 b^2 c + 4 b c^2 + 2 c^3):
a^5 - 3 a^4 (b + c) + (b - c)^3 (b + c)^2 -
a (b - c)^2 (3 b^2 + 8 b c + 5 c^2) + 2 a^3 (b^2 + b c + 6 c^2) +
2 a^2 (b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - 2 c^3)).
G' = (a (-a^5 (b + c) + (b - c)^4 (b + c)^2 + a^4 (b^2 - 20 b c + c^2) +
2 a^3 (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3) -
a (b - c)^2 (b^3 + 5 b^2 c + 5 b c^2 + c^3) -
2 a^2 (b^4 - 11 b^3 c + 4 b^2 c^2 - 11 b c^3 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(4.98829624962058, 4.41354319946759, -1.71715600216422), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {165, 5049}, {551, 10178}, {3576, 11227}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,3}, {140,9947}, {515,10156}, {551,10178}, {631,18908}, {971,10165}, {1125,15726}, {2801,5044}, {3555,15717}, {3646,12684}, {3817,3824}, {3848,28164}, {5265,7671}, {5886,21151}, {5918,25055}, {5927,16845}, {6916,18527}, {9858,30478}, {10864,16853}, {11220,17558}, {13369,31821}.
Let A' be the point in which the incircle is tangent to a circle that passes through vertices B and C, and define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(479).
Clark Kimberling and Peter Yff, Problem 10678, American Mathematical Monthly 105 (1998) 666.
Miércoles, 10 de julio del 2019
Las cúbicas K219 y K656
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea A'B'C' un triángulo inscrito en ABC con baricentro P (A', B', C' sobre BC, CA, AB, respectivamente).
Para construir tales triángulos se toma un punto arbitrario A' sobre BC. El punto medio M'a de B'C' es tal que A'P:PM'a=3:2. Las reflexiones de AB, AC en M'a, cortan a AC, AB en B', C', respectivamente.
Sea F el punto fijo finito de la transformación afín σ que aplica A, B, C en A', B', C', respectivamente.
Si P=(u:v:w) y A'=(0,1,t), en coordenadas baricéntricas, la imagen de un punto X=(x:y:z) mediante σ es:
F = ((1 + t + t^2) u^2 + (2 + 5 t + 5 t^2) u v + (5 + 5 t +
2 t^2) u w + (v + 2 t v - (2 + t) w)^2 :
u^2 + (2 + 3 t + 3 t^2) u v + 2 u w + (v + w) (v + 3 t v + 3 t^2 v + w) :
(u + v + w) (3 w + 3 t w + t^2 (u + v + w))).
El lugar geométrico de F, cuando A'B'C' se mueve, es una cónica c(P) que pasa por el baricéntrico de ABC.
La ecuación de la cónica c(P) es:
(u+v+w)x^2 + (u+v+w)y^2 + (u+v+w)z^2 + (u-2v-2w)y z + (-2u+v-2w)z x + (-2u-2v+w)x y = 0.
El centro Q de c(P) es:
Q = (7 u^2 + 29 u (v + w) + 4 (v + w)^2 : ... : ... ).
• La cónica c(P) es una hipérbola si y solo si P está sobre la del simétrico de X14482 respecto al baricéntro (paralela al eje de la ). El centro de estas hipérbolas está sobre la .
• La cónica c(P) es parábola si y sólo sí P está sobre la elipse imagen de la , mediante la homotecia de centro el baricentro y razón 3/2.
El único centro del triángulo sobre tal elipse, que figura actualmente en , es X15300.
El foco U de la
parábola ( 2 a^4 x^2-2 a^2 b^2 x^2+2 b^4 x^2-2 a^2 c^2 x^2-2 b^2 c^2 x^2+2 c^4 x^2-5 a^4 x y+14 a^2 b^2 x y-5 b^4 x y-4 a^2 c^2 x y-4 b^2 c^2 x y+4 c^4 x y+2 a^4 y^2-2 a^2 b^2 y^2+2 b^4 y^2-2 a^2 c^2 y^2-2 b^2 c^2 y^2+2 c^4 y^2-5 a^4 x z-4 a^2 b^2 x z+4 b^4 x z+14 a^2 c^2 x z-4 b^2 c^2 x z-5 c^4 x z+4 a^4 y z-4 a^2 b^2 y z-5 b^4 y z-4 a^2 c^2 y z+14 b^2 c^2 y z-5 c^4 y z+2 a^4 z^2-2 a^2 b^2 z^2+2 b^4 z^2-2 a^2 c^2 z^2-2 b^2 c^2 z^2+2 c^4 z^2 = 0)
correspondiente a X15300 es:
que tiene números de búsqueda en
(1.69629127061157, 1.59593343867634, 1.75288382254157), reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {6697, 3589}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {523,5972}, {690,22247}.
c(P) es degenerada (en un producto de rectas) si el determinante de su matriz asociada es nulo, es decir si
u^3 + 3 u^2 v + 3 u v^2 + v^3 + 3 u^2 w - 21 u v w + 3 v^2 w +
3 u w^2 + 3 v w^2 + w^3 = 0.
Cuando P se mueve sobre K656, el lugar geométrico del punto singular Q de c(P) es la cúbica de Allardice A1(G) (K219), de K656.
Cuando P se mueve sobre K656, la imagen P' de P, mediante la homotecia h(G,-1/3), es el punto de intersección de las rectas que forman la 𝒞Q de Q respecto a K656, entonces la cónica polar 𝒞P' de P' respecto a K656 es c(P).
Una de las rectas que forman cada una de las cónicas c(P) = 𝒞P' y 𝒞Q pasa por el baricentro de ABC; éstas son diámetros conjugados respecto a las elipses de Steiner. La segunda recta de c(P) pasa por el baricentro G' de PP'Q y es paralela a la otra de 𝒞Q; ambas son tangentes a la elipse inscrita de Steiner. La recta QP' también es tangente a esta elipse, y es una de las rectas de que consta la cónica polar 𝒞R de R, el S de Q y P' en K219.
★ Pares {P=Xi, Q=Xj} (P sobre K656 y Q sobre K219), para {i, j}: {2, 2}, {3081, 14401}, {6545, 1647}, {8027, 1646}, {8028, 6544}, {8029, 1648}, {8030, 1649}, {8031, 14434}, {23610, 1645}, {23616, 1650}.
Otros pares {P, Q} (P sobre K656 y Q sobre K219,
que han sido incorporado a ETC con el número X(33568) a X(33573)) son:
punto donde la recta X2X824 vuelve a cortar a la cúbica K219.
Tiene números de búsqueda en
(0.0583337482592470, -0.273670965213684, 3.80320572785882), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,824}, {4809,14402}.
Si P=X23611,
Q23611 = ( a^4(b^2-c^2)(b^4+c^4-a^2(b^2+c^2))^2(-a^4+2b^2c^2+a^2(b^2+c^2)) : ... : ...),
punto donde la recta X2X647 vuelve a cortar a la cúbica K219.
Tiene números de búsqueda en ETC
(-17.7514715722171, 14.7547016444858, 1.61885791520979), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,647}, {684,2491}, {3005,32078}, {3288,14096}, {11205,17434}.
Si P=X23612,
Q23612 = ( a^2 (b - c) (b^2 + c^2 - a (b + c))^2 (-a^2 + 2 b c + a (b + c)) : ... : ...),
punto donde la recta X2X650 vuelve a cortar a la cúbica K219.
Tiene números de búsqueda en ETC
(5.71189314056055, -0.927949556209383, 1.64683272517832), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,650}, {647,1962}, {665,1642}.
punto donde la recta X2X216 vuelve a cortar a la cúbica K219.
Tiene números de búsqueda en ETC
(4.29128356791240, 2.49379098099683, -0.0663986132037638), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,216}, {1636,2972}.
Si P=X23614,
Q23614 = ( a^2 (b - c)^2 (a^3 + b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3 - a^2 (b + c) -
a (b^2 + c^2))^2 (a^4 (b + c) - a^2 (b - c)^2 (b + c) -
2 b (b - c)^2 c (b + c) + a (b^2 - c^2)^2 - a^3 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
punto donde la recta X2X92 vuelve a cortar a la cúbica K219.
Tiene números de búsqueda en ETC
(3.85364416076229, 2.70318718769218, -0.00937779915434318), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,92}, {7004,7117}.
Si P=X23615,
Q23615 = ( (b - c)^2 (-a + b + c)^2 (2 a^2 - (b - c)^2 - a (b + c)) : ... : ...),
punto donde la recta X2X7 vuelve a cortar a la cúbica K219.
Tiene números de búsqueda en ETC
(4.15719039141809, 2.53022527164075, -0.0297331944983368), es la reflexión de X14477 en X2; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,7}, {11,1146}, {101,5660}, {661,3139}, {1023,24980}, {1566,3259}, {1647,17435}, {2006,2338}, {4997,6559}.
El punto P está sobre c(P) si y solo si P está sobre la cúbica K219.
The author of this posting is : Huynh Anh Hao (edited by Darij Grinberg)
3. In the plane, there are two circles Γ1, Γ2 intersecting each other at two points A and B. Tangents of Γ1 at A and B meet each other at K. Let us consider an arbitrary point M (which is different of A and B) on Γ1. The line MA meets Γ2 again at P. The line MK meets Γ1 again at C. The line CA meets Γ2 again at Q. Show that the midpoint of PQ lies on the line MC and the line PQ passes through a fixed point when M moves on Γ1.
Dados un triángulo ABC de circunferencia circunscrita Γ y , y un punto P, sea Γa la circunferencia que pasa por P, B,C.
Para un punto arbitrario M sobre Γ, sean Pab y Pac los segundos puntos de intersección de Γa con las rectas MB y MC, respectivamente.
La recta MTa vuelve a corta a Γ en Ma y sean Qab y Qac los segundos puntos de intersección de Γa con las rectas MaB y MaC, respectivamente.
Cuando M varía sobre Γa, las rectas PabQab y PacQac, pasan por puntos fijos Ab y Ac, respectivamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
Ab = (a^2 u (u + v + w) : -b^2 u (u + v) +
v (c^2 u + a^2 w) : -(b^2 u + a^2 v) w - c^2 u (u + 2 v + w)),
Ac = (a^2 u (u + v + w) : -b^2 u (u + v + 2 w) -
v (c^2 u + a^2 w) : (b^2 u + a^2 v) w - c^2 u (u + w)).
Los puntos Bc y Ba, Ca y Cb son determinados cíclcicamente.
Cuando P = X25 ( del con respecto a la circunferencia circunscrita), los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están en una misma
cónica ( b^2 c^2 (a^12 - 2 a^10 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^2 -
a^8 (b^4 - 15 b^2 c^2 + c^4) -
2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^6 - 5 b^4 c^2 - 5 b^2 c^4 + c^6) +
2 a^6 (2 b^6 - 5 b^4 c^2 - 5 b^2 c^4 + 2 c^6) -
a^4 (b^8 + 11 b^6 c^2 - 44 b^4 c^4 + 11 b^2 c^6 + c^8)) x^2 +
a^2 (a^14 - a^12 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2)^3 +
a^10 (-3 b^4 + 10 b^2 c^2 - 3 c^4) +
a^8 (3 b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 + 3 c^6) -
a^2 (b^2 + c^2)^2 (b^8 - 12 b^6 c^2 + 20 b^4 c^4 - 12 b^2 c^6 +
c^8) + a^6 (3 b^8 - 20 b^6 c^2 + 20 b^4 c^4 - 20 b^2 c^6 +
3 c^8) +
a^4 (-3 b^10 + b^8 c^2 + 22 b^6 c^4 + 22 b^4 c^6 + b^2 c^8 -
3 c^10)) y z + ... = 0)
con centro en X159 ( de X25 respecto al triángulo tangencial).
Otro centro del triángulo para el cual los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están en una misma
cónica, ( b^2 c^2 (5 a^8-16 a^6 (b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 (5 b^4-26 b^2 c^2+5 c^4)-3 a^4 (14 b^4+13 b^2 c^2+14 c^4)-8 a^2 (2 b^6+15 b^4 c^2+15 b^2 c^4+2 c^6)) x^2+a^2 (5 a^10-11 a^8 (b^2+c^2)-58 a^6 (b^2+c^2)^2+(b^2+c^2)^3 (5 b^4-26 b^2 c^2+5 c^4)-2 a^4 (29 b^6+105 b^4 c^2+105 b^2 c^4+29 c^6)-a^2 (11 b^8+116 b^6 c^2+48 b^4 c^4+116 b^2 c^6+11 c^8)) y z + ... = 0)
es el .
Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre su circunferencia circunscrita, ni sobre los lados de los triángulos ABC y ), sean el y DEF el de P.
La circunferencia circunscrita a APbPc vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en A'.
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
es el triángulo formado por las rectas AA', BB', CC'.
Los triángulos A'B'C' y son perspectivos con DEF si y solo si P está sobre la cuártica de Stammler.
A' = (a^2 (u + v) (u + w) : b^2 (u + v) (v - w) : -c^2 (v - w) (u + w)).
A1 = (a^2 (u + v) (u + w) : -b^2 (u + v) (v + w) : -c^2 (u + w) (v + w)).
• de DEF y :
Q = (a^2 (u + v) (u + w) (-a^6 v^2 (u + v) w^2 (u + w) +
b^2 c^2 u^3 (-c^2 v + b^2 w) (v^2 - w^2) +
a^2 u^2 (v + w) (b^4 (u + v) w^2 + c^4 v^2 (u + w)) +
a^4 u v w (b^2 (-u^2 + v^2) w + c^2 v (-u^2 + w^2))) : ... : ...).
• Centro de perspectividad de DEF y A'B'C':
W =(2 b^2 c^2 u^3 (v+w)+a^4 v w (u^2-3 v w+u (v+w))+a^2 u (c^2 v (u^2+3 u v+u w-v w)+b^2 w (u^2+u v+3 u w-v w)) : ... : ...).
Pares {P=Xi, Q=Xj} (P sobre Q066 ), para {i, j}: {1, 2360}, {2, 22}, {4, 4}, {1113, 1113}, {1114, 1114}.
Pares {P=Xi, W=Xj} (P sobre Q066), para {i, j}:
{1, 58} (https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1865626_hard_geometry), {2, 2}, {4, 24}, {1113, 1113}, {1114, 1114}.
Otros pares de triángulos perspectivos, para todo punto P del plano del triángulo ABC:
• Centro de perspectividad de ABC y :
T =
(a^2 (u + v) (u + w) : b^2 (u + v) (v + w) : c^2 (u + w) (v + w)).
Suppose that P = (p : q : r) (barycentyrics) is a point in the plane of a triangle ABC, and let be the cevian triangle of P. Let A'' be the point, other than P, of the interserction of the circumcircles of PBPc and PCPb, and define B'' and C'' cyclically. Then A''B''C'' is perspective to ABC, and the perspector is the point
• Centro de perspectividad de A'B'C' y :
Z =
(a^2 (u + v) (u + w) (u v + u w - v w) :
b^2 (u + v) (v + w) (u v - u w + v w) :
c^2 (u + w) (v + w) (-u v + u w + v w)).
Los centros de perspectividad T, W, Z están alineados con P, cuando P recorre la cuártica de Stammler, en la recta de ecuación:
(v + w) (-b^2 (u + v) w + c^2 v (u + w)) x - (u + w) (-a^2 (u + v) w +
c^2 u (v + w)) y - (u + v) (a^2 v (u + w) - b^2 u (v + w)) z=0.
Cuando P varía sobre la cuártica de Stammler, los ejes de perspectividad de los pares de triángulos {ABC, DEF}, {ABC, }, {DEF, A'B'C'}, {A'B'C', } concurren en un punto U, sobre la .
U = (a^2 (u + v) (w - v) (u + w) : b^2 (u + v) (u - w) (v + w) : c^2 (v - u) (u + w) (v + w)).
Pares {P=Xi, U=Xj} (P sobre Q066 ), para {i, j}: {1, 3733}, {4, 523}, {8049, 7192}, {13574, 1649}, {13575, 3265}.
Domingo, 16 de junio del 2019
Séxtica conjugada isogonal de la cúbica nodal de Tucker del triángulo antimedial
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean A'B'C' el y DEF el de P.
Sean e el de ABC y DEF, p la de P,
Q el de e y T = p ∩ e.
Los puntos P, Q, T están alineados si y solo si P está sobre la
séxtica ( y z (b^2 c^2 x^3 (c^2 y + b^2 z)-2 a^6 y^2 z^2) + ... = 0)
𝒮, de la cúbica nodal de Tucker del triángulo antimedial.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces la ecuación del eje de perspectividad de ABC y DEF es:
e: (c^2 v + b^2 w) x + (c^2 u + a^2 w) y + (b^2 u + a^2 v) z = 0.
T=p ∩ e = (u^2 (c^2 v - b^2 w) : v^2 (-c^2 u + a^2 w) : (b^2 u - a^2 v) w^2).
La ecucación de la recta PQ es:
t: u (c^4 v^2 - b^4 w^2) x + v(-c^4 u^2 + a^4 w^2) y + w(b^4 u^2 -
a^4 v^2) z = 0.
Los puntos P, Q, T están alineados si y solo si
2 c^6 u^3 v^3 - b^2 c^4 u^3 v^2 w - a^2 c^4 u^2 v^3 w -
b^4 c^2 u^3 v w^2 - a^4 c^2 u v^3 w^2 + 2 b^6 u^3 w^3 -
a^2 b^4 u^2 v w^3 - a^4 b^2 u v^2 w^3 + 2 a^6 v^3 w^3 = 0.
Es decir, si P está sobre una séxtica 𝒮 (cuya conjugada isogonal es la
cúbica ( 2 x^3-x^2 y-x y^2+2 y^3-x^2 z-y^2 z-x z^2-y z^2+2 z^3 = 0)
nodal de Tucker del triángulo antimedial), circunscrita al , , y tangente a los lados de éste en los vértices de ABC. El es un punto acnodal (aislado), la ecuación conjunta de las tangentes es b^4 c^4 x^2 + a^4 c^4 y^2+ a^4 b^4 z^2- a^2 b^2 c^4 x y - a^2 b^4 c^2 x z - a^4 b^2 c^2 y z = 0.
El lugar geométrico de T, cuando P varía sobre 𝒮, es la
curva ( -4 b^2 c^8 x^4 y^3-4 a^2 c^8 x^3 y^4-5 b^4 c^6 x^4 y^2 z+2 a^2 b^2 c^6 x^3 y^3 z-5 a^4 c^6 x^2 y^4 z-5 b^6 c^4 x^4 y z^2-8 a^2 b^4 c^4 x^3 y^2 z^2-8 a^4 b^2 c^4 x^2 y^3 z^2-5 a^6 c^4 x y^4 z^2-4 b^8 c^2 x^4 z^3+2 a^2 b^6 c^2 x^3 y z^3-8 a^4 b^4 c^2 x^2 y^2 z^3+2 a^6 b^2 c^2 x y^3 z^3-4 a^8 c^2 y^4 z^3-4 a^2 b^8 x^3 z^4-5 a^4 b^6 x^2 y z^4-5 a^6 b^4 x y^2 z^4-4 a^8 b^2 y^3 z^4 = 0)
de ecuación:
𝔖abc xyz
y z(-8a^2b^4c^4x^3y z+2a^6b^2c^2x y^2z^2-5b^4c^4x^4(c^2y+b^2z)-4a^8y^2z^2(c^2y+b^2z)) = 0.
No hay centros de sobre esta curva.
¡¡Parece ser que se descompone en una cúbica y una curva imaginaria de cuarto grado!!
Sábado, 15 de junio del 2019
El centro del triángulo X(262)
Dado un triángulo ABC, sea ℓa la recta que une los centros de las circunferencias que pasan por A y son tangentes al lado BC en B y C. Las rectas ℓb y ℓc se definen similarmente.
El triángulo A'B'C' determinado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc, es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X262.
El centro Ab de la circunferencia que pasa por A, tangente a BC en B es la intersección del la perpendicular a BC en B con la mediatriz de AB. Sus coordenadas baricéntricas son:
Recta por el incentro y punto sobre la circunferencia circunscrita
Dados un triángulo ABC con incentro I, y un punto P, sean D, E, F los puntos donde la recta perpendicular a IP corta a los lados BC, CA, AB, respectivamente, y A'B'C' el triángulo reflexión de ABC en la recta IP.
Las rectas A'D, B'E, C'F son concurrentes, en un punto Q sobre al circunferencia circunscrita a ABC.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
D = (0 : (a + b - c) (b (b + c) u + a^2 v + a c v -
a b (u + v + 2 w)) : -(a - b + c) (c (b + c) u + a^2 w + a b w -
a c (u + 2 v + w))),
A' = ((a+ b + c-a) (-b u + a v) (-c u + a w) :
(b w-c v) (-a^2 v + c^2 v + b^2 (-u + w) + a b (u + v + w) - b c (u + v + w)) :
(c v - b w) (c^2 (-u + v) - a^2 w + b^2 w + a c (u + v + w) - b c (u + v + w))),
Q = (1/(( b w-c v) ( a (c v+b w) + b^2 w - b c (2 u + v + w)+c^2v)) : ... : ...).
Si P es el centro de la circunferencia de los nueve puntos, X5:
Q = ( 1 / ((b-c)(-a^2 + b^2 - b c + c^2) (-a^2 b + b^3 - a^2 c + 4 a b c - 2 b^2 c - 2 b c^2 + c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(10.9484539527243, 2.52336553554371, -3.15941348241862) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {80,106}, {101,6544}, {105,14204}, {109,15343}, {900,901}, {952,953}, {2757,17100}, {6551,17780}.
1. Denote by PaPbPc the pedal triangle of point P. Under the symmetry in P, PaPbPc is transformed into QaQbQc which is perspective to ABC if and only if P lies on the Thomson cubic. The perspector lies on the Lucas cubic.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean su de la de P y A', B', C' las proyecciones ortogonales de Ta, Tb, Tc sobre BC, CA, AB, respectivamente.
es el de P y Qa, Qb, Qc son las reflexiones de Pa, Pb, Pc en P.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P queda sobre la cúbica de Thomson (K002). El centro de perspectividad Q queda sobre la cúbica de Lucas (K007).
Si (u:v:w) son las coordenadas de P, A'=(0 : (-b^2+c^2)u-a^2(u-2v) : (b^2-c^2)u-a^2(u-2w)).
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si
-c^2 u^2 v + c^2 u v^2 + b^2 u^2 w - a^2 v^2 w - b^2 u w^2 + a^2 v w^2 = 0.
Es decir, cuando P esta sobre la cúbica de Thomson, que pasa por los centros del triángulo de índices: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 57, 223, 282, 1073, 1249, 3341, 3342, 3343, 3344, 3349, 3350, 3351, 3352, 3356, 14481.
Pares {P=Xi, Q=Xj} (P sobre K002 y Q sobre K007), para los índices {i,j}: {1, 8}, {2, 69}, {3, 20}, {4, 4}, {6, 2}, {9, 329}, {57, 7}, {223, 5932}, {282, 189}, {1073, 253}, {1249, 14361}, {3342, 1034}, {3343, 14362}, {3344, 1032}, {3349, 14365}.
Cuando P está sobre K002, los triángulos ABC, A'B'C' y forman una terna de , con centros de perspectividad, Q, común. En consecuencia (Theorem 17), los tres ejes de perspectividad de pares de estos triángulos son concurrentes, en un punto Z.
Sean A', B', C' las proyecciones, sobre los lados de ABC, de los vértices del triángulo tangencial de la . A", B", C" las reflexiones, en el baricentro, de los vértices de su triángulo pedal, .
Los triángulos ABC, A'B'C', A"B"C" forman una terna de triángulos perspectivos, con el como centro de perspectividad común. El punto de intersección de los ejes de perspectividad de pares de estos triángulos es:
que tiene números de búsqueda en
(1.64527754851633, 2.74445900899496, 0.981295530211101), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {647, 14417}, {6563, 9979}, {14610, 23301}; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {3265, 14417}, {6562, 14610}, {9979, 6587}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,523}, {351,3566}, {394,3049}, {441,525}, {669,5940}, {684,9007}, {850,26695}, {1073,14638}, {1499,4786}, {2451,10601}, {2799,9209}, {3050,17811}, {4843,27486}, {6562,14610}, {6563,6587}, {8361,32204}, {8369,32231}, {9033,22264}, {11288,32232}, {12077,14341}.
Reflexión en una recta que pasa por el circuncentro
Dado un triángulo ABC, sean su , ℓ una recta que pasa por el circuncentro, X3, (incentro de ) y A'B'C' el triángulo reflexión de en ℓ.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes. El lugar geométricos del punto L de concurrencia, cuando ℓ gira alrededor del circuncentro, es una
cuártica ( y z (b^2 c^2 (a^2 + b^2 + c^2) x^2 + a^6 y z) + ... = 0)
, con puntos dobles en los vértices de ABC.
Esta cuártica pasa por los centros del triángulo: X3446, cuando ℓ es la recta X1X3;
X3447, cuando ℓ es la ;
X9217, cuando ℓ es la ;
X22259, cuando ℓ es la recta X3X699.
Las tangentes en los puntos dobles B y C forman un , con vértices B, C, Pa1, Pa2, Pa3,Pa4. Una de las diagonales es BC y las otras dos se cortan en un punto, Da, sobre la por A.
En coordenadas baricéntricas, la ecuaciones conjuntas de las tangentes en B y C son, respectivamente,
c^6 x^2 + a^4 c^2 x z + a^2 b^2 c^2 x z + a^2 c^4 x z + a^6 z^2 = 0,
b^6 x^2 + a^4 b^2 x y + a^2 b^4 x y + a^2 b^2 c^2 x y + a^6 y^2 = 0.
Procediendo cíclicamente, se determinan las coordenadas de los vértices, Pb1, Pb2, Pb3,Pb4 y Pc1, Pc2, Pc3,Pc4, de los otros dos cuadriláteros completos.
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.0652252887535739, 0.347386728686228, 3.37006199800765).
Lunes, 20 de mayo del 2019
Centros del triángulo relativos a cónicas circunscritas
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea 𝒞(P)
la cónica circunscrita de P; su centro Q es el del baricentro y P. A'B'C' es el triángo ve vértices los extremos de las cuerdas determinadas por lasrectas AP, BP y CP, respectivamente.
Se toma un punto variable M sobre 𝒞(P) y se designa por Ma el de la recta AM respecto a 𝒞(P). Las rectas BTa y CTa vuelven a cortar a 𝒞(P) en Db y Dc, respectivamente.
La envolvente de la recta DbDc es la cónica 𝒞a tangente en A a 𝒞(P), a BC en el pie de la ceviana AP y a las rectas BC', CB'. Esta cónica corta a AB en Ab y a AC en Ab.
Procediendo cíclicamente, se definen además los puntos Bc, Ba, Ca, Cb. Estos seis puntos están en una misma cónica, 𝒞.
Si (p:q:r) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de 𝒞 es:
4 (q^2 r^2 x^2 + p^2 r^2 y^2 + p^2 q^2 z^2)- 17 p q r(p y z + q x z + r x y) = 0
y su centro es:
W = (p (9p - 17(q + r)) : q (9q - 17(r + p)) : r (9r - 17(p + q))).
que está sobre la recta PQ, cumpliéndose:
QW : WP = - 4 (p+q+r)^2/(13 (p^2+q^2+r^2 - 2p q - 2p r - 2q r )).
con lo que, si el perspector P está en la , W es el centro de la cónica circunscrita (hipérbola) y queda sobre la .
Pares {P=Xi, W=Xj}, para los índices: {2,2}, {30,3163}, {511,11672}, {512,1084}, {513,1015}, {514,1086}, {515,23986}, {516,23972}, {517,23980}, {518,6184}, {519,4370}, {522,1146}, {523,115} (), {524,2482}, {525,15526}, {526,18334}, {536,13466}, {542,23967}, {690,23992}, {726,20532}, {826,15449}, {1503,23976}, {2574,15166}, {2575,15167}, {3566,15525}, {3906,17416}, {7927,15527}, {17430,17429}.
Excepto X2, los demás Xi
están en la recta del infinito, y el correspondiente Xj está sobre la elipse inscrita de Steiner.
Algunos casos de cónicas circunscritas a ABC:
• Circunferencia circunscrita. P=X6, Q=X3,
W6 = ( a^2 (9 a^2 - 17 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.51287777003669, 2.64601036712472, 0.649021410804177) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6} (), {1682,8572}, {3534,31400}, {3767,15701}, {3815,17800}, {3830,31401}, {3973,7962}, {5073,31467}, {5286,15693}, {5309,15722}, {5644,20977}, {6048,15492}, {7737,31470}, {7738,15720}, {7745,15689}, {7756,14269}, {8148,31443}, {9909,15302}, {10246,31421}, {15484,31450}, {15696,31406}, {16671,24167}, {16885,21857}, {19709,31455}.
• . P=X650, Q=X11,
W650 = ( a (a - b - c) (b - c)^2 (4 a^2 + 17 b c - 4 a (b + c))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(2.81187222017471, 3.23931950130816, 0.100271494767328).
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.606330254047699, 1.19518916190196, 2.53338109872255).
Domingo, 19 de mayo del 2019
X(32) y tirángulos homotéticos
X(32) is the (perspector) of the
inellipse ( -b^8 c^8 x^2+2 a^4 b^4 c^8 x y-a^8 c^8 y^2+2 a^4 b^8 c^4 x z+2 a^8 b^4 c^4 y z-a^8 b^8 z^2 = 0)
that is the of the . The center of this inellipse is X(8265). (Randy Hutson, October 15, 2018).
Dado un triángulo ABC, sean Ab y Ac las proyecciones ortogonales de B y C sobre la mediatriz de BC, respectivamente.
Sea ℓa la mediatriz de AbAc y las rectas ℓb y ℓc se definen similarmente.
Dado un triángulo ABC, sean el y DEF el . La paralela por D a la recta EF corta a AC y a AB en Ba y Ca, respectivamente.
La circunferencia que pasa por Ma, Ba y Ca vuelve a cortar a AB y a AC en C'a y B'a, respectivamente. La recta ℓa que pasa por C'a y B'a es paralela a BC.
Las rectas ℓb y ℓc se definen similarmente.
El centro de homotecia de ABC y A'B'C' es (a^4 (a^2 - b^2)^2(a^2 - c^2)^2 :..:..), cuadrado baricéntrico del foco de la .
La razón de homotecia es k = - a^4 b^4 c^4 /( 2 (a^2 - b^2)^2 (b^2 - c^2)^2 (c^2 - a^2)^2).
Miércoles, 15 de mayo del 2019
Proyectividad sobre el eje órtico
Dado un triángulo ABC, sean el , el y A'B'C' el triángulo obtenido reflejando A, B, C en el circuncentro O. Las rectas A'Ma, B'Mb y C'Mc intersecan de nuevo a la circunferencia circunscrita en A", B" y C", respectivamente.
Los puntos
D=BC∩HbHc,
E=CA∩HcHa,
F=AB∩HaHb,
D'=B"C"∩MbMc,
E'=C"A"∩McMa,
F'=A"B"∩MaMb quedan sobre el
(eje de perspectividad común de los pares de triángulos ABC y , y A"B"C").
tiene valores propios a^2b^2c^2(1±J), donde J = |OH|/R, siendo |OH| la distancia entre el circuncentro y ortocentro, y R el radio de la circunferencia circunscrita. Los puntos fijos de σ, correspondientes a estos valores propios son los centros del triángulo X8105 y X8106.
El lugar geométrico del punto de intersección de las de X y X'=σ(X) (sobre el eje órtico) es la
cónica ( (a^2 b^4 c^4 - b^6 c^4 - b^4 c^6) x^2 +
2 a^2 b^2 c^6 x y + (-a^6 c^4 + a^4 b^2 c^4 - a^4 c^6) y^2 +
2 a^2 b^6 c^2 x z + 2 a^6 b^2 c^2 y z + (-a^6 b^4 - a^4 b^6 + a^4 b^4 c^2) z^2 = 0)
de centro el simediano, X6, y perspector X27375. Pasa por los centros Xi, para i: 3124, 3271, 20455, 20870, 20974, 20975, 23644. Las tangentes en los extremos del diámetro X6X25 son las tripolares de los puntos fijos (que tienen la dirección del conjugado isogonal del ).
W = ( (a^2 + b^2 - c^2) (a^3 (b^2 + c^2)-a^2 b c (b + c) + a (-b^4 + c^4) + b c(b - c)(b + c)^2 ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.51123422436974, -0.976540803235268, 3.15770001136122) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {19,2319}, {25,20475}, {92,264}, {230,231}, {281,3771}, {674,1824}, {726,20785}, {1829,1840}, {1897,2201}, {2333,17915}}.
W' = ( a^2 (a^2 (b - c)^2 (b + c) + a (b^4 + c^4) - b c (b^3 + c^3)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(-1.62064946566523, 3.18664503596664, 2.18251767192989) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,20284}, {37,6375}, {230,231}, {696,8265}, {1015,21331}, {1084,10026}, {1575,6377}, {2238,8620}, {3009,20475}, {3121,3726}, {3589,3666}, {5069,17591}, {5301,21775}.
Martes, 13 de mayo del 2019
X(4674) como centro ortológico
Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' el y A"B"C" el del incentro I.
Los cuatro puntos de intersección de las circunferencias circunscritas a BA'I y a CA'I con las rectas A"C" y A"B", respectivamente, están en una misma circunferencia Γa; sea Oa su centro, que queda sobre la mediatriz de BC.
Los puntos Ob y Oc, centros de las circunferencias Γb y Γc, se definen similarmente.
Los triángulos ABC y son , con centros ortológicos el circuncentro y X4674.
Los triángulos A"B"C" y son perpectivos y , con centro de perspectividad el circuncentro, y con centros paralelógicos el incentro y W (punto medio del incentro y
X5400): (X(5400) = , with respect to the , of the (Randy Hutson, Dec. 31, 2012) )
W = ( a(a^5(b+c)-4a^4b c+a^3(-2b^3+3b^2c+3b c^2-2c^3)+5a^2b c(b-c)^2+a(b-c)^2(b^3-2b^2c-2b c^2+c^3)- b c(b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(6.57398197129883, 10.3135957057535, -6.53366268575215), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {1, 5400}, {17154, 30196} y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,5}, {3,23404}, {40,1054}, {43,16200}, {56,1777}, {57,1361}, {102,105}, {104,106}, {117,614}, {244,2800}, {386,10595}, {392,25939}, {484,23153}, {515,1149}, {517,1739}, {551,1064}, {581,3622}, {759,953}, {899,28234}, {912,4694}, {946,1201}, {962,28370}, {978,7982}, {995,4000}, {999,6180}, {1086,1537}, {1125,26095}, {1193,13464}, {1318,14511}, {1331,13279}, {1482,3216}, {1616,3149}, {1647,10265}, {1724,10680}, {1742,3576}, {1772,12758}, {2718,28219}, {3073,5563}, {3293,10222}, {3953,5887}, {3976,5693}, {3987,23340}, {4202,19861}, {4657,17044}, {5844,31855}, {6261,28011}, {6684,28352}, {6788,12247}, {8583,25882}, {8686,28233}, {10090,23703}, {11362,27627}, {12245,17749}, {12608,23675}, {12616,28018}, {14217,24715}, {15558,24028}, {16483,22753}, {17154,30196}.
En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC,
Oa = ( a^2((b-c)^2+a(b+c)) : -b(-2a^2c+(b-c)^2(b+c)+
a(b^2-c^2)) : c(2a^2b-(b-c)^2(b+c)+a(b^2-c^2))).
Las polares de los vértices de ABC, respecto a las circunferencias Γa, Γb y Γc, forman un triángulo DEF perspectivo con ABC, con centro de perspectividad
P = ( a(b+c)^2/(2a^2-(b+c)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda ETC
(-22.1532113815461, -34.2091805639780, 37.5485024330674) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2292,3754}, {4535,18697}.
(-2b^2c^2(a+b-c)(-a+b+c)^2(a^2+3b^2+4b c+c^2+
2a(b+c))(-a^2-a(b+c)+(b+c)^2)- 2b^2(a+b-c)c(-a+b+c)(-a^2+b^2+4b c+
3c^2)Sqrt[b c(-a^2+(b+c)^2)](-a^2-a(b+c)+(b+c)^2)) x +
(b c^2(a+b-c)(a-b+c)(b+c)^2(-a+b+c)^2(a^2+3b^2+4b c+c^2+2a(b+c))-
b c(-a+b-c)(a+b-c)(b+c)^2(-a+b+c)(-a^2+b^2+4b c+3c^2)Sqrt[b c(-a^2+(b+c)^2)])y +
(b^2c(a+b-c)^2(b+c)^2(-a+b+c)^2(a^2+3b^2+4b c+c^2+2a(b+c))+
b^2(a+b-c)^2(b+c)^2(-a+b+c)(-a^2+b^2+4b c+3c^2)Sqrt[b c(-a^2+(b+c)^2)]) z = 0.
Martes, 7 de mayo del 2019
El punto de Spieker
Dado un triángulo ABC, sean DEF el y A'B'C' el del .
Las bisectrices interiores en los vértices B y C cortan a la recta EF en los puntos Ba y Ca, respectivamente. Sea Oa el circuncentro del triángulo . Los circuncentros Ob y Oc, se obtienen similarmente.
Los triángulos A'B'C' y son perspectivos y (). El es el centro de perspectividad y el centro ortológico de respecto a A'B'C'.
El centro ortológico de A'B'C' respecto a es U = X(2)X(2124)∩X(10)X(971),
U = ((b+c-a)(a^5(b+c)-3a^4(b-c)^2+2a^3(b-c)^2(b+c)+2a^2(b-c)^2(b^2+6b c+c^2)-a(b-c)^2(3b^3+13b^2c+13b c^2+3c^3)+(b-c)^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(4.25475832315418, 3.10283867884024, -0.471189214130022) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2124}, {10,971} (), {142,10004}, {279,19605}, {2391,3452}, {6706,20205}.
El punto U ha sido incorporado a ETC con el número X(32446).
En coordenadas baricéntricas A' = (b+c : -a+c : -a+b), complemento de Ia=(-a:b:c).
Ba = (a:-a+c:c), Ca = (-a:-b:a-b).
Oa = (2(b+c)(-a^2+b^2+c^2) : a^3-b^3+3b^2c+b c^2+c^3-
a^2(-b+c)-a(b+c)^2 : a^3+b^3-a^2(b-c)+b^2c+3b c^2-c^3-a(b+c)^2).
Domingo, 5 de mayo del 2019
La cónica de MacBeath y puntos fijos de una afinidad
The MacBeath inconic of a triangle is the inscribed conic with center N.
Its foci are the circumcenter O and the orthocenter H. The perspector is the isotomic conjugate of the circumcenter.
It is the envelope of the perpendicular bisectors of the segments joining H to a point
on the circumcircle. The major auxiliary circle is the nine-point circle.
It is named after Macbeath (1951), but had earlier been investigated by Serret (1865). It was subsequently publicized by Gabriel-Marie (1912).
The MacBeath inconic is an ellipse only for acute triangles. For obtuse triangles, it is a hyperbola.
Dado un triángulo ABC, con circunferencia circunscrita Γ, sea tP la tangente en un punto P de Γ y A'B'C' el triángulo formado por las reflexiones de tP; en BC, CA, AB.
El del punto fijo propio de la transformación afín σt, que aplica ABC en A'B'C' queda sobre la cónica inscrita de MacBeath.
Si (a^2(t-1)t : b^2 (1-t) : c^2t) son las coordenadas baricéntricas de P, el punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en A'B'C', correspondiente al valor propio
Let D be the trilinear pole of the tangent to the circumcircle at the antipode of A, and define E and F cyclically. The lines AD, BE, CF concur in X(394). (Randy Hutson, November 18, 2015)
Dado un triángulo ABC con circunferencia circunscrita Γ, sea tP la tangente en un punto P de Γ y ℓa, ℓb, ℓc las reflexiones de tP; en BC, CA, AB, respectivamente.
La circunferencia circunscrita Γ' al triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓa, ℓb, ℓc es tangente a Γ, en un punto Q.
Si las coordenadas baricéntricas de P, del punto en el infinito (1:-t:t-1), son (a^2(t-1)t : b^2(1-t) : c^2t),
𝔖abc xyz
[a^2(b^2+c^2-a^2)^2x(c^4(a^2+b^2-c^2)^2y^2+b^4(a^2-b^2+c^2)^2z^2)]
- 2a^2b^2c^2(-a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+
c^2)(a^2+b^2+c^2)x y z= 0.
Centros del triángulo sobre la cúbica: X3 (circuncentro), X878 (punto de intersección de la recta que pasa por el ortocentro y el con la que pasa por el y por el punto de intersección, X112, de las reflexiones en los lados del triángulo de referencia, de la recta que pasa por el ortocentro y , X6), X14380 (conjugado isogonal de X4240, el único punto sobre la cuya es paralela a la recta de Euler).
La recta MM* (M* es el X577-isoconjugado de M) envuelve una cónica 𝒞, inscrita en el del circuncentro, , denominada , de ecuación:
𝔖abc xyz
b^4c^4(b^2-c^2)^2(a^2+b^2-c^2)^2(a^2-b^2+c^2)^2 x^2
- 2a^4b^2c^2(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)^2(-a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2))y z = 0.
Su centro es el baricentro, X1147, de {Oa, Ob, Oc, X3}. Pasa por X1331 ( del foco de la ) y por X23181 (imagen del centro de la mediante la colineación que transforma {A,B,C,X6} en {Oa, Ob, Oc, X3}).
Dados un triángulo ABC y un punto P, su corta a los lados BC, CA, AB en D, E , F, respectivamente.
Si es el , las rectas PD, PE, PC cortan a sus lados TbTc, TcTa, TaTb en los puntos A', B', C', respectivamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
A' = (-c^2 u v + b^2 u w, 2 b^2 v w, -2 c^2 v w), B' = (-2 a^2 u w, c^2 u v - a^2 v w, 2 c^2 u w), C' = (2 a^2 u v, -2 b^2 u v, -b^2 u w + a^2 v w).
Los triángulos ABC y A'B'C' son si y sólo si P está la séxtica de ecuación
que tiene números de búsqueda en
(-5.30932808814123, -8.67635119120909, 12.0978282703482), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,19209}, {20,2979}, {51,3087}, {97,6759}, {154,160}, {217,3172}, {512,23613}, {3198,11190}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(-12.1315452786879, 12.0387835147051, 0.905296792659866), reflexión de X17434 en X647 ( de la ), y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,2430}, {112,6080}, {323,401}, {394,3265}, {416,23090}, {418,23613}, {450,2451}, {520,647}, {651,2639}, {1640,23128}, {3569,6753}, {9033,12077}.
En la aplicación afín que transforma un triángulo en uno paralelógico, los centros de paralelogía se corresponden.
Cuando P=X1988 el punto fijo propio de tal aplicación es el mismo X1988.
Sábado, 28 de abril del 2019
Una transformación afín
Dado un triángulo ABC de ortocentro H, su corta a los lados BC, CA, AB en D, E , F, respectivamente.
Las tangentes en A, B, C a la cortan a las rectas HD, HE, HF en los puntos A', B', C', respectivamente.
Las rectas fijas de la transformación afín que transforma ABC en A'B'C' son (aparte de la ) el eje órtico y la recta pasa por el de la y tiene la dirección del .
Se tiene la siguiente construcción del transformado σ(X) de un punto X:
Sea Y la reflexión de X en el eje órtico y Z el punto de intersección de la paralela por Y al eje órtico, con la recta X647X512, entonces σ(X) es la reflexión de X en Z.
El punto fijo propio (correspondiente al valor propio λ1=(b^2 - c^2) (a^4 - a^2 b^2 - a^2 c^2 + b^2 c^2)) es:
perspector de la hipérbola de Jerabek.
Los puntos fijos en la recta del infinito son X512, conjugado isogonal de X99 (punto de Steiner) y X523, conjugado isogonal de X110 (foco de la ).
Pares de centros del triángulo que se corresponden mediante σ, {Xi, Xj=σ(Xi)}, para {i, j}:
{2, 9147 (baricentro de A'B'C')}, {115, 6781}, {351, 3005}, {512,512}, {523,523}, {525, 1499}, {647, 647}, {661, 4979}, {669, 8665}, {826, 690}, {3005, 8664}, {4041, 4895}, {4145, 4132}, {5466, 9485}, {7927, 12073}, {7950, 3906}, {8675, 924}, {9210, 3288}, {9213, 23}, {11123, 14420}, {14407, 21123}, {14838, 3743}, {15412, 4}, {15451, 9409}, {17414, 669}, {23872, 27550}, {23873, 27551}.
que tiene números de búsqueda en
(-8.92262602160001, 5.02482620538591, 4.28007373430183); reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {2650, 3960}, {4895, 3743}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {512,659}, {758,2254}, {2292,3887}, {2650,3960}, {3743,4895}, {4151,21118}, {4674,18011}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(0.809452312464233, -32.7867989096306, 25.9656241982067); reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {3, 21731}, {9409, 11615}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6132}, {512,2080}, {523,18325}, {526,12308}, {684,2780}, {1351,2869}, {2491,10097}, {2510,30435}, {6130,19912}, {9409,11615}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(-26.3982342828635, 69.5654577133123, -32.3362365736794) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,6130}, {20,9517}, {376,684}, {512,11674}, {526,12244}, {2797,3529}, {2881,13200}, {3522,8552}.
• El punto medio de X y σ(X) es (a^2(b^2-c^2)(a^2(y+z)-b^2y-c^2z):...:....).
Los siguientes pares {i, j} significan que σ(Xi) es la reflexión de Xi en Xj:
2. Denote by Oa, Ob, Oc the circumcenters of triangles PBC, PCA, PAB respectively. Triangles ABC and OaObOc are perspective if and only if P lies on the Neuberg cubic (together with C(O,R) and line at infinity). The perspector Q lies on the Napoleon cubic.
Dados un triángulo ABC con , un número real t, y el punto At tal que AAt:AtMa=t.
Sea P un punto no situado sobre los lados de ABC, ni en la recta del infinito.
La paralela por At a BC corta en Abt a AC, en Act a AB, en Pab a BP, y en Pac a CP.
La recta ℓa que pasa por los circuncentros de los triángulos
y es perpendicular a AP.
Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente, y A'B'C' es el triángulo formado por estas tres rectas.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos () si solo si P queda sobre la séptica 𝒮t, con puntos triples en los vértices de ABC, de ecuación baricéntrica:
𝔖abc xyz
(
(c^2(a^4+a^2b^2-2b^4-2a^2c^2+b^2c^2+c^4+(2a^4-3a^2b^2+b^4-2a^2c^2+3b^2c^2)t+(a^4-b^4-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4)t^2)y -
b^2(a^4-2a^2b^2+b^4+a^2c^2+b^2c^2-2c^4+(2a^4-2a^2b^2-3a^2c^2+3b^2c^2+c^4)t+(a^4-
2a^2b^2+b^4+2b^2c^2-c^4)t^2)z)x^4
+(c^2-b^2)(6b^2c^2t+(b^4+4b^2c^2+c^4)(1+t^2)-
2a^2(b^2+c^2)(1+3t+t^2)+a^4(1+6t+t^2))x^3y z
-a^2(b^2-c^2)(3(a^2-b^2-c^2)+(5a^2-b^2-c^2)t+2(a^2-b^2-c^2)t^2)x y^2z^2
+a^4t((a^2-3b^2+3c^2+(a^2-b^2+c^2)t)y
+(-a^2-3b^2+3c^2-(a^2+b^2-c^2)t)z)y^2z^2
)y z = 0.
Los séptimos puntos de intersección con los lados de ABC forman un triángulo perspectivo a ABC si t=-2 (centro de perspectividad X69) o si t=-3 (centro de perspectividad el baricentro).
CASO PARTICULAR (La cúbica de Neuberg)
Si t=0 (i.e. cuando A = At = Abt = Act), 𝒮t se descompone en el producto de los lados, la recta del infinito y la cúbica de Neuberg (K001, en el Catálogo de Bernard Gibert). En este caso, ℓa es la mediatriz de AP. Podemos decir:
La cúbica de Neuberg es el lugar geométrico del punto P tal que las mediatrices de AP, BP, CP forman un triángulo perspectivo con ABC.
El centro de perspectividad P' queda en la cúbica de Napoleón-Feuerbach, K005. Los puntos P, P' y el circuncentro (centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC) están alineados (), en una recta perpendicular al eje de perspectividad.
El lugar geométrico del punto de intersección de ambas rectas, cuando P varía sobre K001, es la estrofoide de Stammler (K038), de la (envolvente del eje de perspectividad).
Lunes, 9 de abril del 2019
Las cúbicas pK(Q,X2)
12. The parallels at point P to each sideline of ABC meet the other sidelines at six points which always lie on a same conic with center S. The line PS contains the Lemoine point X(6) if and only if P lies on the Thomson cubic. More generally, the line PS contains Q if and only if P lies on pK(Q,X2).
Dados un triángulo ABC de baricentro G=X2 y un punto Q, el lugar geométrico de P tal que la tangente en P a la cónica circunscrita que pasa por P y G, pasa por Q es la pivotal de polo Q y pivote G, pK(Q,X2).
La ecuación baricéntrica de la cónica circunscrita 𝒞(P), que pasa por G y por P(u:v:w) es
u(v-w)y z + v(w -u)z x + w(u-v)x y = 0.
El centro M de esta cónica queda sobre la .
La ecuación de la tangente en P es v w(v-w)x + u w(w-u)y + u v(u-v)z = 0. Por lo que la ecuación del lugar geométrico de P, tal que que esta recta pase por el punto Q de coordendas (p:q:r) es:
Dados un triángulo ABC y un punto U sea A'B'C' su .
La aplicación afín σU, que transforma ABC en A'B'C' tiene punto fijo propio F el de U y el baricentro.
El lugar geométrico del punto U tal que σU tiene una sola recta fija (a parte de la recta del infinito) es la cúbica nodal de Tucker (K015).
Cuando U varía sobre K015, el lugar geométrico del punto fijo F de σU es la cúbica K219, de K015.
Estos dos puntos coinciden (es decir, sólo existe una recta fija propia) si las coordenadas de U satisfacen a la ecuación de la cúbica nodal de Tucker, K015 del catálogo de Bernard Gibert.
Si Ut = (t(1+t) : -2+3t-t^2 : -t(1-3t+2t^2)) es un punto genérico de K015, el punto fijo propio de σUt es Ft = ((1-t)(1+t)^2 :(-2+t)^2t : -(1-2t)^2) y queda sobre la cúbica K219, complemento de K015.
El punto fijo en la recta del infinito es (t^2-1 : (2-t)t : 1-2t) y la recta fija, que tiene de ecuación
(2-5t+2t^2)x + (-1+t+2t^2)y + (2+t-t^2)z = 0,
es tangente a la en Tt = (-(1 + t)^2 : -(-2 + t)^2 : -(1 - 2 t)^2).
La restricción de σU a la recta fija es la homotecia de centro F y razón -½.
σU transforma una recta que pasa por F y que resulta de girar la recta fija un ángulo θ, en la recta que pasa por F y que resulta de girar la recta fija el ángulo -θ/2.
La otra tangente por Ft a la elipse inscrita de Steiner pasa por el complemento U't de Ut y el punto de tangencia es T't =
((-1+t^2)^2: (-2+t)^2t^2 : (1-2t)^2).
La recta UtFt es tangente a la elipse inscrita de Steiner del triángulos ceviano de Ut. El punto de tangencia es σUt(T't) y el lugar geométrico que describe es la cuártica Φ de ecuación:
𝔖xyz
y z (24 x^2 + y^2 - 2 y z + z^2) = 0.
Φ pasa por el centro del triángulo X6549 y es tangente a la en los vértices de ABC y a la elipse inscrita de Steiner en los puntos medios de sus lados.
La recta UtFt es tangente a la elipse inscrita de Steiner del triángulo ceviano de Ut. El punto de tangencia es la imagen, mediante σUt, del punto de tangencia, en la elipse inscrita de Steiner de ABC, de la tangente desde Ft, que no es la recta fija de σUt.
En particular, cuando Ut = X6548 (t=-(a-2b+c)/(a+b-2c)) y Ft=X1647, el punto de tangencia, en la elipse inscrita de Steiner de su triángulo ceviano, es X6549. El punto W =
σ-1X6548(X6549), queda sobre la elipse inscrita de Steiner de ABC, es el de X900 y es el antipodal del cuadrado baricéntrico del de la parábola de Yff.
W = ( (2 a b - b^2 - 2 a c + c^2)^2 : ... : ...),
tiene números de búsqueda en
(4.60955814607226, 0.0941118121489753, 1.44802177530943), punto medio de X1016 y X6630 ; reflexión de X6633 en X4422; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,4555}, {44,519}, {45,24864}, {115,661}, {121,20532}, {239,2482}, {514,1086}, {650,1015}, {1016,4473}, {1017,1317}, {1145,6184}, {1146,4521}, {1573,5701}, {1647,2087}, {2226,8046}, {3008,31201}, {3125,4988}, {3163,30117}, {3912,13466}, {4422,6633}, {5222,24281}, {6550,14442}, {8609,23980}, {17435,23757}.
La recta fija de σX6548 es tangente a la elipse inscrita de Steiner de ABC en X1086, y a la elipse inscrita del triángulo ceviano de X6549 en:
Z = ( (2 a - b - c) (b - c)^2 (7 a^2 + 4 b^2 - b c + 4 c^2 - 7 a (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC
(16.3576456574482, 1.77272431611524, -5.13628880960998) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {11,244}, {519,3246}, {4473,20042}.
• La cuártica descrita aquí por Bernard Gibert es entonces la envolvente de la polares de los puntos de la cuúbica K219, respecto a la elipse inscrita de Steiner.
• El punto Q que aparece en esta construcción, correspondiente a la tangente en T a la elipse inscrita de Steiner, tiene relación con los puntos
Qt y Q't, correspondientes a los puntos Tt y T't, de la figura del principio.
El punto medio Mt de los puntos Qt y Q't está sobre recta fija de σUt.
El lugar geometrico de Mt es la curva algebraica Ψ de grado 8:
Séxtica invariante por la conjugación cicloceviana
Dados un triángulo ABC, un punto P y su DEF. Se consideran los puntos:
Ab es la intersección de la perpendicular por E a AB con la perpendicular en A a AC,
Ac es la intersección de la perpendicular por F a AC con la perpendicular en A a AB.
Γab es la circunferencia que pasa por E y es tangente en A a AB,
Γac es la circunferencia que pasa por F y es tangente en A a AC.
NOTA:
Ab es el punto por donde pasan las directrices de las parábolas tangentes en E a AC y tangentes a AB. El lugar de sus focos es la circunferencia Γab.
Ac es el punto por donde pasan las directrices de las parábolas tangentes en F a AB y tangentes a AC. El lugar de sus focos es la circunferencia Γac.
AbAc es la directriz de la parábola tangente a AC y AB en E y F. Su foco es el otro punto de intersección de las circunferencias Γab y Γac.
A' es el punto de intersección de la de Ab respecto Γab con la polar de Ac respecto Γac.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A' = (b^8u(u+v)+c^8u(u+w)+a^8(u+v)(u+w)-
b^2c^6(u^2+5u v+3u w+7v w) - b^6c^2(u^2+3u v+5u w+7v w) -
5b^4c^4(2v w+u(v+w))-a^6(c^2(4u+3v)(u+w)+b^2(u+v)(4u+3w))+
a^4(3c^4(2u+v)(u+w)+3b^4(u+v)(2u+w)+b^2c^2(7u^2-v w+3u(v+w)))-
a^2(b^2+c^2)(c^4(4u+v)(u+w)+b^4(u+v)(4u+w)-b^2c^2(2u^2+12v w+7u(v+w))) :
-b^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2 ((a^2 - b^2) (u + v) w - c^2 (2 v w + u (v + w))) :
-c^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2 (a^2 v (u + w) - c^2 v (u + w) - b^2 (2 v w + u (v + w)))).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P está sobre la séxtica 𝒮, invariante por , de ecuación:
La séxtica 𝒮, del de la cúbica de Neuberg (Bernard Gibert, comunicado personal), pasa por los vértices (puntos triples) de ABC y del y por los centros del triángulo X7, X69, X253, X1494, X2992, X2993, X19776, X19777.
Si P=(u:v:w) es un punto sobre 𝒮 entonces Q=f(P), sobre K005, es:
Dados un triángulo ABC, un punto P y su A'B'C', sean Oa el circuncentro, Ha el ortocentro del triángulo AB'C' y A1 el punto sobre la de AB'C' tal que OaA1:A1Ha = k (número real). Los puntos B1 y C1 se definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y son .
Cuando P es fijo y k variable, el lugar geométrico del centro ortológico V de con respecto a ABC es una recta ℓP.
Cuando P varía sobre la recta de Euler de ABC, la envolvente de la recta ℓP es la parábola tangente a la recta de Euler en X(5), tangente a la recta X(4)X(51) en X(185) y tangente a la recta X(389)X(546) en X(10095).
que tiene números de búsqueda en
(-1.08165760625716, -1.83381454793840, 5.40945498721427).
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(31873).
Cuando k es fijo y P varía sobre la recta de Euler de ABC, la recta que une P con el centro ortológico V de , respecto a ABC, envuelve una parábola 𝒫k, tangente a la recta de Euler en el circuncentro, tangente a la recta X(4)X(51).
El lugar del foco de la parábola 𝒫k es la circunferencia que pasa por el circuncentro y es tangente a la recta X(4)X(51) en el ortocentro.
La directriz de 𝒫k pasa por X(14380), punto de intersección de las perpendiculares a la recta de Euler en el ortocentro y a X(4)X(51) desde el circuncentro.
Domingo, 24 de marzo del 2019
Reflexión de triángulos circuncevianos
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean su y A', B', C' las reflexiones de A1, B1, C1 en BC, CA, AB, respectivamente.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P queda sobre la recta del infinito o sobre la .
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A' = (a^2 v w : -a^2 v w + c^2 v (v + w) : -a^2 v w + b^2 w (v + w)).
• Cuando P está en la , los triángulos son simétricos y el centro de perspectividad Q (centro de simetría) está sobre la y es el punto de tangencia con la circunferencia de los nueve puntos de A'B'C'.
, (b^2+c^2-a^2)(b^2-c^2) x+(a^2+c^2-b^2) (c^2-a^2)y+(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2) z=0, P = X30, Q = X113, antipodal en la circunferencia de Euler del centro de la hipérbola de Jerabek.
, b^2 c^2 (b^2-c^2) x+a^2 c^2 (c^2-a^2) y+a^2 b^2 (a^2-b^2) z=0, P = X511, Q = X114, antipodal en la circunferencia de Euler del centro de la .
Recta IO, b (b-c) c (-a+b+c) x-a (a-c) c (a-b+c) y+a (a-b) b (a+b-c) z=0, P = X517, Q = X119, antipodal en la circunferencia de Euler del centro de la .
, a^2 x+b^2 y+c^2 z=0, P = X523, Q = X125, centro de la hipérbola de Jerabek.
, (a^4 b^2-2 a^2 b^4-a^4 c^2+2 a^2 c^4+b^4 (b^2-c^2)+b^2 c^2 (b^2-c^2)+c^4 (b^2-c^2)) x+(-a^6+2 a^4 b^2-a^2 b^4+b^2 c^2 (b^2-c^2)-c^4 (b^2-c^2)) y+(a^6-2 a^4 c^2+a^2 c^4-b^4 (b^2-c^2)+b^2 c^2 (b^2-c^2)) z=0, P = X542, Q = X16188, reflexión del en la recta de Euler.
, (a-b-c) x+(-a+b-c) y+(-a-b+c) z=0, P = X514, Q = X116, centro de perspectividad del , DEF, y el triángulo formado por las rectas de Soddy de los triángulos AEF, BFD, CDE. (Randy Hutson, July 31 2018).
, (b-c) (-a+b+c)^2 x+(-a+c) (a-b+c)^2 y+(a-b) (a+b-c)^2 z=0, P = X516, Q = X118, centro de perspectividad del , DEF, y el triángulo formado por las rectas de Gergonne de los triángulos AEF, BFD, CDE. (Randy Hutson, July 31 2018).
, b^2 c^2 x+a^2 c^2 y+a^2 b^2 z=0, P = X512, Q = X115, centro de la hipérbola de Kiepert.
, (b-c) x+(-a+c) y+(a-b) z=0, P = X519, Q = X121.
, (a^2-b^2-c^2) x+(-a^2+b^2-c^2) y+(-a^2-b^2+c^2) z=0, P = X523, Q = X125, centro de la hipérbola de Jerabek.
Let ABC be a triangle and P a point on the Euler line.
Denote:
Ka, Kb, Kc = the symmedian points of PBC, PCA, PAB, resp.
The reflections of PKa, PKb, PKc in BC, CA, AB, resp. are concurrent.
The point of concurrence, as P moves on the Euler line, is a conic.
[Antreas Hatzipolakis]:
Questions:
Which are the center and the perspector of the conic?
[Ercole Suppa]:
The locus of the point of conurrence is the conic q2:
Σ b^4 (b-c)^4 c^4 (b+c)^4 (a^2-b^2-c^2) x^2+2 a^6 (a-b)^2 b^2 (a+b)^2 (a-c)^2 c^2 (a+c)^2 y z = 0.
La cúbica de Lucas y directrices de parábolas pasando por un punto fijo
Recordando a Marta, en el 43 aniversario de su nacimiento
Dados un triángulo ABC y dos puntos P y U, sean p la de P y A'B'C' el de U.
La transformación afín σU, que aplica ABC en A'B'C', tiene punto fijo propio F, el del baricentro y U.
σU induce sobre la recta p y su imagen p' una proyectividad, y las rectas que unen puntos homólogos envuelven una parábola 𝒫PU (los puntos del infinito se corresponden).
La directriz de 𝒫PU pasa por F, para todo P, si y solo si U está sobre la cúbica de Lucas (K007, del catálogo de Bernard Gibert).
La parábola 𝒫PU puede ser determinada por diferentes métodos. Uno de ellos consiste en determinar el punto de intersección Q=p∩p' y entonces la parábola es la cónica del haz bitangente a p' en σU(Q) y a p en σU-1(Q), que es tangente a la . Otro método puede ser determinar la ecuación tangencial de la cónica tangente a cinco rectas, por ejemplo: recta del infinito, tripolar de P(p:q:r) (x/p+y/q+z/r=0) y las rectas PaσU( Pa), PbσU( Pb) PcσU( Pc), siendo Pa=p∩BC, Pb=p∩CA, Pc=p∩AB.
La ecuación de 𝒫PU es:
(u+v)(u+w)(4q^2r^2v w(v+w)^2+
p^2(u+v)(u+w)(r v+q w)^2-
4 p q r v w(v+w)(q(u+v)+r(u+w)))x^2
-2(u+v)(u+w)(v+w)(-q^2r^2u^2(v+w)+p q r u(v+w)(r v+q w)+
p^2(2q^2u(u+v)w+2r^2u v(u+w)-
q r(2u^2(v+w)+v w(v+w)+2u(v^2+w^2)))) y z + .... = 0.
La ecuación de su directriz dPU es:
(-c^2 (u + w) (-2 q r v (v + w) +
p (u + v) (-r v + q (2 v + w))) - (u +
v) (a^2 p (u + w) (r v - q w) +
b^2 (2 q r w (v + w) +
p (u + w) (q w - r (v + 2 w))))) x +
(c^2 (v +
w) (-q r u (u + v) - 2 p r u (u + w) +
p q (u + v) (2 u + w)) - (u + v) (b^2 q (v + w) (-r u + p w) +
a^2 (-2 p r w (u + w) +
q (v + w) (-p w + r (u + 2 w))))) y +
((v +
w) (-c^2 r (q u - p v) (u + w) +
b^2 (2 p q u (u + v) + q r u (u + w) -
p r (2 u + v) (u + w))) -
a^2 (u + w) (-q r (u + 2 v) (v + w) +
p v (2 q (u + v) + r (v + w)))) z = 0,
que pasa por F si y solo si
(p r u v + q r u v + p q u w + q r u w + p q v w +
p r v w)
(a^2 u^2 v - b^2 u^2 v + c^2 u^2 v + a^2 u v^2 -
b^2 u v^2 - c^2 u v^2 - a^2 u^2 w - b^2 u^2 w + c^2 u^2 w +
a^2 v^2 w + b^2 v^2 w - c^2 v^2 w - a^2 u w^2 + b^2 u w^2 +
c^2 u w^2 - a^2 v w^2 + b^2 v w^2 - c^2 v w^2) = 0.
Es decir, cuando U queda sobre la cúbica de Lucas.
Cuando las coordenadas de U satisfacen el primer factor, es decir, si está sobre la cónica circunscrita de el "crosspoint" del baricentro y P, entonces, el punto fijo F queda sobre p y las rectas que unen un punto sobre p y su homólogo, sobre p', son paralelas.
UN CASO PARTICULAR
Cuando la recta p gira arrededor de un punto Z, o sea cuando el punto P recorre la circuncónica 𝒞(Z) de perspector Z, el lugar geométrico del foco FPU de la parábola 𝒫PU es una circunferencia que pasa por el punto fijo F de σU y la recta ZσU(Z) es un diámetro.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean Q su , y los de P y Q, respectivamente (ambos tienen la misma área).
Las paralelas por P y Q a los lados QbQc y PbPc, respectivamente, se cortan en un punto A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
En el supuesto de que el punto P no esté sobre los lados de ABC, ni sobre las tres elipses que pasan por el baricentro y son tangentes en dos vértices a los lados que pasan por el vértice restante, se tiene que:
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y sólo si P queda sobre la cúbica de Tucker 𝒯(λ) correspondiente a λ=2/3, de ecuación baricéntrica:
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A' = ((v - w) (u^2 (v + w) + v w (v + w) -
u (v^2 - v w + w^2)) : -u^2 (v^2 + w^2) + v w (v^2 + w^2) +
u (v^3 - w^3) : u^2 (v^2 + w^2) - v w (v^2 + w^2) + u (v^3 - w^3)).
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes si y solo si las coordenadas de P satisfacen a:
u v w (-v^2 + u w) (u^2 - v w) (u v - w^2) (u^2 v + u v^2 + u^2 w -
u v w + v^2 w + u w^2 + v w^2) = 0.
Si P está sobre la elipse que pasa por el baricentro y es tangente a AB y a AC en B y C, respectivamente (de ecuación x^2-yz=0), las rectas AA', BB', CC' concurren sobre la mediana por A. Si P está sobre 𝒯(2/3), dichas rectas son paralelalas a la de P.
Si P está sobre la cúbica 𝒯(2/3), las áreas de los triángulos cevianos de P y Q son iguales a 2/3 del área de ABC, y las áreas de ABC y A'B'C' son iguales.
Miércoles, 20 de marzo del 2019
El centro del triángulo X(2334), otra propiedad
Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF su .
Se denotan por A1 y A5 los centros QA-P1 y QA-P5 (Encyclopedia of Quadri-Figures, Chris van Tienhoven) del AEFP, respectivamente.
Los puntos B1, B5 y C1, C5, se definen cíclicamente.
NOTA:
A1 es el baricentro de los puntos {A, E, F, P} y A5 es la reflexión, en A1, del de A1 con respecto al triángulo D'BC, donde D'E'F' es el triángulo ceviano de P, respecto a DEF.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
Let H and G be the orthocenter and centroid of ABC. Let X,Y,Z be the projections of G on HA,HB,HC. Show synthetically that ABC and XYZ have the same symmedian point.
Dados un triángulo ABC y dos puntos P y Q, sea
A' el punto de intersección de la perpendicular y la paralela a BC por P y Q, respectivamente. Los puntos B' y C' de definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y A'B'C' son inversamente semejantes.
Si (u:v:w) y (p:q:r) son las coordenadas baricéntricas de P y Q, respectivamente,
A' = (2 a^2 p (u + v + w) :
a^2 (q (u + 2 v) + r (u + 2 v) + p (v - w)) + (b^2 - c^2) (q u + r u -
p (v + w)) :
-(b^2 - c^2) (q u + r u - p (v + w)) +
a^2 (p (-v + w) + q (u + 2 w) + r (u + 2 w))).
Esto define una transformación afín, P ↦ Q=f(P), con puntos fijos el simediano y los puntos en el infinito de la , que aplica el ortocentro, X4, en el baricentro, X2.
Se tiene así, una demostración analítica del problema propuesto por Luis González (en memoria de Vladimir Zajic).
f(X1) = Q1 = ( 3 a^4 - a^3 (b + c) + a^2 (-7 b^2 + 2 b c - 7 c^2) +
a (5 b^3 - b^2 c - b c^2 + 5 c^3) - 4 b c(b - c)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-2.76083723211315, 3.48391365004755, 2.50295683131138) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {514,3158}, {812,20317}, {3160,21096}, {3756,25567}, {4859,4962}, {10563,17132}.
Si P es el circuncentro, entonces, Q es punto medio de X9741 y X11148:
que tiene números de búsqueda en ETC
(-6.08041533263016, 5.56001942578344, 2.59776580219438), punto medio de X9741 y X11165 para los índices {i,j}: {6, 206}, {5097, 10282}; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {8667, 12100}, {12040, 11165}, {15687, 7775}, {16509, 12040}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2418}, {5,7781}, {30,8716}, {99,12156}, {141,14148}, {524,3098}, {525,10190}, {538,549}, {543,3845}, {548,7758}, {550,754}, {599,8358}, {1353,14645}, {2482,5306}, {2896,3933}, {3036,10005}, {3627,7764}, {3830,9770}, {3849,19710}, {3926,11287}, {5026,8584}, {5066,11184}, {5305,6337}, {5395,14033}, {5452,14548}, {5569,19711}, {5860,9541}, {7610,11812}, {7615,10109}, {7618,8667}, {7620,19709}, {7622,15713}, {7739,8368}, {7751,15712}, {7757,8369}, {7759,15704}, {7775,15687}, {7788,8354}, {7813,14929}, {7837,8598}, {7840,8353}, {7863,9607}, {8182,15759}, {8362,10159}, {8588,15480}, {9605,14039}, {9740,15698}, {11055,11149}, {11168,14711}, {11648,22110}, {14537,15300}, {14614,27088}, {26288,26294}, {26289,26295}.
Considérese una recta ℓ, que pasa por el circuncentro, y su correspondiente imagen ℓ' (que pasa por Q3) mediante la tranformación afín f. Esta transformación
induce una proyectividad entre las rectas ℓ y ℓ' y, por método dual de Steiner, las rectas que unen un punto con su imagen envuelven una cónica (una parábola 𝒫ℓ en este caso, pues los puntos del infinito se corresponden).
Cuando ℓ gira alrededor del circuncentro, el lugar geométrico del foco de la parábola 𝒫ℓ es la circunferencia con centro en X8716 y que pasa por el simediano.
Cuando ℓ es la , ℓ' es la recta X2X2418 y la parábola 𝒫ℓ pasa los los centros X4 (punto de tangencia con la recta de Euler), X524 (su punto en el infinito), X9741 (punto de tangencia con ℓ'), X11184.
Su foco es:
que tiene números de búsqueda en ETC
(-4.99480895593542, -2.41091345501876, 7.61505485350602) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,14214}, {6,2793}, {111,9756}, {11594,13168}.
Cuando ℓ es el , para todo punto P sobre ℓ las rectas Pf(P) tiene la dirección del vector AX + BX + CX, donde X es X39, punto medio de los .
Viernes, 8 de marzo del 2019
Mediatrices pasando por un punto fijo
Dados un triángulo ABC, el circuncentro O y D un punto variable sobre al circunferencia circunscrita, sean Ha, Hb, Hc los ortocentros del triángulos DBC, DCA, DAB, respectivamente.
La circunferencia de diámetro OHa vuelve a cortar a las rectas BHa y CHa en Hab y Hac, respectivamente. La mediatriz da de HabHac pasa por un punto fijo Fa, sobre la mediatriz de BC, cuando D varía sobre la circunferencia circunscrita.
En coordenadas baricéntricas:
Procediendo cíclicamente, se deducen las coordenadas de los puntos fijos Fb y Fc.
La polares pa, pb, pc de Fa, Fb, Fc, respecto a la circunferencia circunscrita, forma un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad
W = ( : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.0834034001450756, 0.166374876780983, 3.48698799791520) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,125}, {25,6344}, {94,7517}, {476,5899}, {1141,11815}, {1593,23956}, {1989,8573}, {11060,21309}, {11141,21310}, {11142,21311}, {11816,18378}, {13861,30529}, {14356,21308}.
(-b^8+b^6c^2+b^2c^6-c^8+a^6(b^2+c^2)-
3a^4(b^2+c^2)^2+a^2(3b^6+4b^4c^2+4b^2c^4+3c^6)) x +
a^2(a^6-b^6+2b^4c^2+2b^2c^4-c^6-3a^4(b^2+c^2)+a^2(3b^4+b^2c^2+3c^4)) y +
a^2(a^6-b^6+2b^4c^2+2b^2c^4-c^6-3a^4(b^2+c^2)+a^2(3b^4+b^2c^2+3c^4)) z =0.
Dado un triángulo ABC sean el y La la recta que pasa por el centro de la y el del triángulo IaBC. Las rectas Lb y Lc se definen similarmente.
L'a, L'b, L'c son las reflexiones de La, Lb, Lc en BC, CA, AB, respectivamente.
Las rectas L'a, L'b, L'c concurren en el foco de la .
Las rectas La, Lb, Lc forman un triángulo con ABC, con centro de perspectividad X1290, reflexión del foco de la parábola de Kiepert en la recta que pasa por el circuncentro y el incentro.
Sean Aa=Lb∩Lc, Ab=L'a∩Lc, Ac=L'a∩Lb, entonces las rectas BAb, CAc se cortan en Wa (sobre AAa), y se definen Wb y Wc cíclicamente.
Los triángulos ABC, , forman una terna de triángulos perspectivos con el mismo centro de perspectividad X1290. Entonces (The Geometry of Homological Triangles Theorem 17 (Florentin Smarandache and Ion Pătraşcu)), los tres ejes de perspectividad concurren, en el punto:
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(31668).
Domingo, 3 de marzo del 2019
Generalización de un teorema de Maurice D'Ocagne
Maurice D'Ocagne (1884):
Note sur la symédiane.
Nouvelles annales de mathématiques 3ª Série, tome 3. p.28
Dado un triángulo ABC y un punto P, sea DEF su .
Db y Dc son las proyecciones ortogonales de D sobre CA y AB, respectivamente.
Ec y Ea son las proyecciones ortogonales de E sobre AB y BC, respectivamente.
Fa y Fb son las proyecciones ortogonales de F sobre BC y CA, respectivamente.
Las rectas FbEc, DcFa y DbEa son concurrentes si y solo si P está sobre la cúbica K191 (una de raíz el , con ecuación baricéntrica xyz + Σa^2x(c^2y^2+b^2z^2) = 0).
La quíntica 𝒬 pasa por los vértices de ABC, por el ortocentro y por X1498 (reflexión del del en el circuncentro) y los puntos de concurrencia de las rectas AA', BB', CC' son, respectivamente, el simediano (un teorema de Maurice D'Ocagne (1884)) y el ortocentro.
La (que pasa por Db, Dc, Ec, Ea, Fa y Fb) de ABC y A'B'C', cuando P=X1498 es la cónica de Yiu-Hutson.
Let A'B'C' be the pedal triangle of X(1498) (which is also the cevian triangle of X(20)). Let Ba, Ca be the orthogonal projections of A' onto lines CA, AB, resp. Define Cb, Ab, Ac, Bc cyclically. The points Ba, Ca, Cb, Ab, Ac, Bc lie on a conic, here named the Yiu-Hutson conic. Note: If X(4) is substituted for X(1498), the conic is the . The Yiu-Hutson conic has center X(14390) and is given (Paul Yiu, Hyacinthos #21973 4/17/2013) by this barycentric equation:
(4/S^2) cyclic sum ((a^4 SA^2)/(SA*SB + SA*SC -SB*SC}))yz - (x + y + z)^2 = 0.
An alternative construction for points Ba, Ca, Cb, Ab, Ac, Bc above follows: Let A'B'C' be the half-altitude triangle. Then Ab = BC∩C'A', Ac = BC∩A'B', and Bc, Ba, Ca, Cb are defined cyclically. (Randy Hutson, September 10, 2017)
La quíntica 𝒬 tiene común con los lados de ABC y la seis puntos. Los tres restantes puntos de intersección con los lados de ABC,
son los vértices de un triángulo perspectivo con ABC, de centro de perspectividad X394 ( del y el circuncentro).
Las alturas de ABC son tangentes y paralelas a tres de sus cinco asíntotas; las dos restantes son imaginarias si el triángulo ABC es acutángulo.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
A' = (-((b^2-c^2) u+a^2 (u+2 v)) (c^2 v+b^2 w) ((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w)) :
-(b^2-c^2) u (-c^2 v+b^2 (2 u+v)) (b^2 w-c^2 (u+w))+a^4 v (c^2 (u+2 v) (u+w)+b^2 w (u+2 w))+2 a^2 (-c^4 v (u+v) (u+w)+b^4 w (u^2+2 u w+v w)+b^2 c^2 (u^3+v (v-w) w+u^2 (3 v+w)+u v (v+3 w))) :
((a^2-b^2) w+c^2 (2 u+w)) (-(b^2-c^2) u (-c^2 v+b^2 (u+v))+a^2 (c^2 v (u+2 v)+b^2 (u+v) (u+2 w))).
Viernes, 1 de marzo del 2019
Un nuevo centro del triángulo
Dado un triángulo ABC, sean DEF su y el de ABC y DEF ("midheight or half-altitude triangle").
Db, Dc son las proyecciones ortogonales de D sobre BD1, CD1, respectivamente, y Da = BDc∩CDb.
La circunferencia de diámetro AD y la que pasa por Da, Db y Dc son tangentes; sea ta la tangente común. Las tangenes tb y tc, se definen procediendo cíclicamente.
Las rectas ta, tb y tc forman un triángulo A'B'C' perspectivo con ABC, con centro de perspectividad (en coordenadas baricéntricas):
que tiene números de búsqueda en
(0.255241367892261, 0.324921514053268, 3.29791511007415), , y no existen rectas determinadas por centros del triángulo que lo contengan.
Db = (-2a^2(a^2-b^2+c^2)^2 : 2a^2(b^2-c^2)^2-(b^2-c^2)^3-a^4(b^2+3c^2) : -(a^2-b^2+c^2)^3),
Dc = (-2a^2(a^2+b^2-c^2)^2 : -(a^2+b^2-c^2)^3 :
2a^2(b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^3-a^4(3b^2+c^2)),
Da = (2a^2(a^4-(b^2-c^2)^2)^2 : (a^2+b^2-
c^2)^2(-2a^2(b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^3+
a^4(b^2+3c^2)) : (a^2-b^2+
c^2)^2(-2a^2(b^2-c^2)^2-(b^2-c^2)^3+a^4(3b^2+c^2))),
ta: (b^2-c^2)^2(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2)) x
- (a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)^3y
- (a^2+- (a^2+b^2-c^2)^3(a^2-b^2+c^2) z = 0.
Lunes, 25 de febrero del 2019
Un centro del triángulo
Dado un triángulo ABC, sea su y Hab, Hac las proyecciones ortogonales de Ha sobre AC, AB, respectivamente.
Las mediatrices de BHab y CHac, se cortan en A1. La circunferencia A(AHa), de centro A y radio AHa, y la circunferencia (A1HabHac), que pasa por estos tres puntos, son tangentes. Sea ta la tangente común. Se definen las tangentes tb y tc de manera similar.
El triángulo A'B'C' formado por ta, tb, tc es perspectivo con ABC. El centro de perspectividad tiene coordenadas baricéntricas:
W = ( 1/((a^2-b^2-c^2)(a^8-4a^6(b^2+c^2)+2a^4(3b^4-2b^2c^2+3c^4)-4a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^4-10b^2c^2+c^4))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-2.26344724735034, -2.15364598156882, 6.17631812177064), y no existen rectas determinadas por centros del triángulo que lo contengan.
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean su , Pab y Pac las proyecciones ortogonales de Pa sobre AC y AB, respectivamente.
Consideremos los centros Ab y Ac de las circunferencias (BPabPac) y (CPabPac), respectivamente.
Sea A' el de la circunferencia de centro en A que pasa por Pa y las circunferencias (BCAb) y (BCAc). Los puntos B' y C', se definen similarmente.
Los puntos A', B', C' están alineados si y sólo si P está sobre la estrofoide de Ehrmann.
a^6 u^2 v - 3 a^4 b^2 u^2 v + 3 a^2 b^4 u^2 v - b^6 u^2 v +
a^2 b^2 c^2 u^2 v - b^4 c^2 u^2 v - 2 a^2 c^4 u^2 v + b^2 c^4 u^2 v +
c^6 u^2 v + a^6 u v^2 - 3 a^4 b^2 u v^2 + 3 a^2 b^4 u v^2 -
b^6 u v^2 + a^4 c^2 u v^2 - a^2 b^2 c^2 u v^2 - a^2 c^4 u v^2 +
2 b^2 c^4 u v^2 - c^6 u v^2 - a^6 u^2 w + 2 a^2 b^4 u^2 w -
b^6 u^2 w + 3 a^4 c^2 u^2 w - a^2 b^2 c^2 u^2 w - b^4 c^2 u^2 w -
3 a^2 c^4 u^2 w + b^2 c^4 u^2 w + c^6 u^2 w - 2 a^4 b^2 u v w +
2 a^2 b^4 u v w + 2 a^4 c^2 u v w - 2 b^4 c^2 u v w -
2 a^2 c^4 u v w + 2 b^2 c^4 u v w + a^6 v^2 w - 2 a^4 b^2 v^2 w +
b^6 v^2 w + a^4 c^2 v^2 w + a^2 b^2 c^2 v^2 w - 3 b^4 c^2 v^2 w -
a^2 c^4 v^2 w + 3 b^2 c^4 v^2 w - c^6 v^2 w - a^6 u w^2 -
a^4 b^2 u w^2 + a^2 b^4 u w^2 + b^6 u w^2 + 3 a^4 c^2 u w^2 +
a^2 b^2 c^2 u w^2 - 2 b^4 c^2 u w^2 - 3 a^2 c^4 u w^2 + c^6 u w^2 -
a^6 v w^2 - a^4 b^2 v w^2 + a^2 b^4 v w^2 + b^6 v w^2 +
2 a^4 c^2 v w^2 - a^2 b^2 c^2 v w^2 - 3 b^4 c^2 v w^2 +
3 b^2 c^4 v w^2 - c^6 v w^2=0.
Lunes, 18 de febrero del 2019
Reflexión de X(333) en X(4653)
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean su y A', B', C' las reflexiones de A, B, C en Pa, Pb, Pc, respectivamente.
Consideremos las intersecciones Ab=BC∩A'C', Ac=BC∩A'B' y D=AcC'∩AbB'. Los puntos E y F se definen similarmente.
Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita (P=Pa=Pb=Pc), Q es el simétrico del baricentro respecto a P.
Pares {P=Xi, Q=Xj}, para los índices {i,j}: {2, 10130}, {3, 20}, {6, 15534}, {98, 11177}, {99, 8591}, {110, 9143}, {1113, 15158}, {1114, 15159}.
Let ABC be a triangle with circumcircle Γ. Let MA, MB, MC be the midpoints of the arcs BC, CA, AB of Γ containing exactly 2 points of the triangle. Let the reflections of A, B, C over MA, MB, MC respectively be D, E, F. Let BC meet DE, DF in K, L . Let KF ∩ LE = X. Define Y, Z similarly. Prove that DX, EY, FZ concur at a point.
Q = ( (a^2-4a(b+c)+(b+c)^2) /(b+c) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(0.0738635273221795, 1.72477815554072, 2.41249643853826); reflexión de X333 en X4653 y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,75}, {2,4720}, {6,13735}, {8,5235}, {10,4803}, {21,145}, {28,20009}, {29,1807}, {30,17778}, {58,643}, {72,17261}, {81,3241}, {193,11111}, {239,16053}, {333,519}, {386,13741}, {392,3786}, {405,17349}, {495,14009}, {496,14011}, {517,5208}, {551,25507}, {996,5331}, {999,13588}, {1434,4315}, {1483,15952}, {1654,13745}, {1697,10461}, {1834,25650}, {1982,2322}, {1999,24929}, {3210,15934}, {3616,14007}, {3617,17557}, {3621,17588}, {3622,14005}, {3623,11115}, {3871,4225}, {3879,4304}, {3880,18165}, {3936,17677}, {3996,30116}, {4195,7839}, {4221,7967}, {4228,20020}, {4229,5731}, {4276,25439}, {4373,11036}, {4393,16050}, {5232,13725}, {6767,19259}, {7283,17351}, {7474,29832}, {9534,17259}, {9708,20012}, {10449,19270}, {11112,17300}, {11114,31034}, {13740,19767}, {14996,16393}, {15677,20086}, {16054,17316}, {16065,17150}, {16394,17379}, {16483,27644}, {16485,16834}, {16499,29767}, {16821,28581}, {16858,19742}, {17139,30305}, {17285,19867}, {17558,20019}, {17678,18134}, {18667,30266}, {19796,26728}, {24632,29605}, {26643,29585}.
Jueves, 14 de febrero del 2019
Una quíntica bicircular
Dados un triángulo ABC y un punto P no situado en la recta del infinito, una recta ℓ por P corta en L, M, N a BC, CA, AB, respectivamente.
Sea ea el de las circunferencias M(MB) y N(NC), con centros en M y N y que pasan por B y C, respectivamente.
De forma similar, se consideran los ejes radicales eb y ec.
Cuando ℓ gira alrededor de P, la envolvente de ea es una parábola 𝒫a y se denota por Fa y da su foco y directriz.
Procediendo cíclicamente, se obtienen las parábolas 𝒫b y 𝒫c y sus correspondientes focos y directrices Fb, Fc, db, dc.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
Let P = p : q : r be barycentrics for a point P in the plane of a triangle ABC. Let
A' = reflection of A in P, and define B' and C' cyclically
Ab = orthogonal projection of A' on AC, and define Bc and Ca cyclically
Ac = orthogonal projection of A' on AB, and define Ba and Cb cyclically
(Na) = nine-point circle of AAbAC, and define (Nb) and (Nc) cyclically
The circles concur in the point Q given by
La quíntica 𝒬 pasa por los vértices de ABC, X3 (circuncentro), X4 (ortocentro), X30 (punto del infinito de la recta de Euler), X110 (foco de la ), X155 (centro de la ), X13557 (inverso en la circunferencia circunscrita de X1147, punto medio de X3 y X155). Su asíntota real es paralela a la recta de Euler por el conjugado isogonal de su punto del infinito.
Pares de centros {P=Xi, Q=Xj}, donde P está sobre 𝒬 y Q es el centro de perspectividad de ABC y , para los índices {i,j}:
X68 = ,
X254 = conjugado isogonal de X155,
X1147 = punto medio de X3 y X155,
X22261 = reflexión de X4 en X52 (ortocentro del ).
Martes, 5 de febrero del 2019
Una quíntica circunscrita al triángulo órtico
Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' su , P un punto propio, ta, tb, tc las tangentes en A, B, C a la circunferencias (AA'P), (BB'P), (CC'P), respectivamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de ta es:
Las rectas ta, tb, tc son concurrentes si y solo si P está sobre la quíntica circunscrita a los triángulos ABC y A'B'C' y pasa por el incentro, ortocentro y por X1785 (inverso en la circunferencia inscrita del punto medio del incentro y ortocentro). Su asíntota real es paralela a la recta de Euler por el centro de la y sus tangentes en los vértices de ABC pasan por el circuncentro.
El punto de concurrencia Q queda sobre la cúbica de Darboux. En particular, cuando P es el incentro o X1785, Q es el .
Lunes, 4 de febrero del 2019
Una cúbica isogonal nopivotal con raíz el baricentro
Dado un triángulo ABC y un punto P, sea su . Se denota por Pab y Pac las proyecciones de Pa sobre AC y AB, respectivamente, y por Paa el de la recta PabPac respecto a la circunferencia que pasa por Pa, Pab y Pac. Procediendo cíclicamente, se definen los puntos Pbb y Pcc.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces
Los puntos Paa, Pbb, Pcc están alineados si y solo si P está sobre la cúbica de ecuación baricéntrica:
x(c^2y^2+b^2z^2) + y(a^2z^2+c^2x^2) + z(a^2y^2+b^2x^2) +
((a^6+b^6+c^6-a^4b^2-a^2b^4-a^4c^2-b^4c^2-a^2c^4-b^2c^4+10a^2b^2c^2) x y z)/
((b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)) = 0.
Se trata de una no pivotal de polo el simediano y raíz el baricentro. No existen en sobre esta cúbica.
Es tangente en los vértices de ABC a la circunferencia circunscrita.
Sus asíntotas son paralelas a los lados de ABC y forman un triángulo, DEF, homotético a ABC, con centro de homotecia el simediano y razón OH. La cúbica vuelve a cortar a las asíntotas en tres puntos ( de los vértices de ABC) sobre una recta t, que tiene la dirección del del . Esta recta es la del conjugado isogonal de X26958:
T = ( a^2/(a^6-3a^2(b^2-c^2)^2+2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.23730093539423, 1.64125659690938, 1.93334794463439) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,22468}, {6,22467}, {20,18213}, {393,3146}, {577,8749}, {7396,13854}, {8778,11413}, {8791,16051}.
Domingo, 3 de febrero del 2019
Centros ortológicos correspondientes en una transformación afín
Dado un triángulo ABC de , sean Ab y Ac las proyecciones ortogonales de Ma sobre AC y AB, respectivamente, y A' el punto de intersección de la mediatriz de BC con la recta AbAc. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y A'B'C' son y el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC es X3, el circuncentro, por construcción.
El centro ortológico de ABC respecto a A'B'C' es:
U = ( (b^2+c^2)(9a^8-6a^6(b^2+c^2)+
4a^4(b^4-b^2c^2+c^4)-10a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(3b^4-10b^2c^2+3c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(10.5463838259700, 13.4965508698574, -10.5706632707493) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {5,3618}, {3867,27371}.
La matriz M asociada de la transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' tiene las entradas:
cíclicamente, se obtienen las restantes filas. Se verifica que σ(U) = X3.
Viernes, 1 de febrero del 2019
Centro ortológico y punto fijo de una afinidad
En memoria de mi hija Marta
Dado un triángulo ABC de baricentro G y ortocentro H, la recta paralela a BC por el punto Pa que divide al segmento AH en la razón t, interseca a las rectas AC, AB en los puntos Ab, Ac, respectivamente. Sean Da=BAb∩CAc y ℓa la recta que une los ortocentros de los triángulos BDaAb y CDaAc. Las rectas ℓb y ℓc se definen similarmente.
Los triángulos ABC y A'B'C', formado por las rectas ℓa, ℓb, ℓb y ABC, son .
Crux Mathematicorum
Volumrn 16 #5 May 1990
38 TH BULGARIAN MATHEMATICS OLYMPIAD
3rd Round
El centro ortológico de ABC respecto a A'B'C' es G y el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC es el baricentro G' de A'B'C', que divide al segmento GH en la razón t.
Si F es el punto fijo propio de la transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C', la recta FG' pasa por un punto fijo de coordenadas baricéntricas:
El lugar geométrico de F, cuando t varía, es la hipérbola rectangular de asíntotas paralelas a las de la , y que pasa por los centros del triángulo Xi, para i = 2, 25, 275, 394, 3413, 3414.
Su centro es W = (r^2+4rR-s^2) X98 - 3((r+2R)^2-s^2) X154,
W = ( 2a^10-5a^8(b^2+c^2)+
2a^6(2b^4+3b^2c^2+2c^4)-
a^4(b^6+2b^4c^2+2b^2c^4+c^6)+4a^2b^2c^2(b^2-c^2)^2+
b^2c^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2): ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(2.94560824127428, 3.10385904900020, 0.132327490473035) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,353}, {98,154}, {99,17811}, {115,23292}, {287,20998}, {394,5969}, {401,9225}, {542,13567}, {1915,12829}, {2782,9306}, {5020,12177}, {5182,17825}, {6034,11427}, {8780,12188}, {10753,17810}.
Los puntos F y Q coinciden para
t = 2(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(b^2c^2+a^2(b^2+c^2))) / (a^8+2a^6(b^2+c^2)-2a^4(3b^4+b^2c^2+3c^4)+
2a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^4+4b^2c^2+c^4))),
La imagen de la , mediante σ, es la recta ℓ' paralela por G' a la .
Si X es un punto de la recta de Euler, la envolvente de la recta Xσ(X) es una parábola, tangente a la recta de Euler en el baricentro y a ℓ' en σ(G'). El lugar geométrico del foco de esta parábola variable es la circunferencia que pasa por X2 y X25 y centro el punto de intersección de las rectas X25X23878 y X11123X14694:
El triángulo A'B'C' es perspectivo con el y el lugar geométrico del centro de perspectividad es la cónica ((b^2-c^2)()+...=0) circunscrita al triángulo órtico que pasa por el ortocentro y por el del respecto a la circunferencia circunscrita (X25).
Otros sobre esta cónica son Xi, para i=51, 132, 1842, 1859, 6525, 9752, 16240, 20410, 24007, 24008, 27373.
Simpler construction of the triangles A'B'C'
(Incognito letter to the editor)
Consider a triangle ABC with orthocenter H and centroid G.
Chose points Pa, Pb, Pc on AH, BH, CH, such that APa:PaH=BPb:BPbH=CPc:PcH=t.
Consider the lines through Pa, Pb, Pc and parallel to BC, AC, AB, let they form a triangle AtBtCt. Note that AtBtCt is perspective to ABC.
Let BtCt meet HbHc at A*, where HaHbHc is the orthic triangle of ABC.
Similarly define B*, C*.
Then the lines through the collinear points A*, B*, C* and perpendicular to AG, BG, CG form the triangle A'B'C'.
Jueves, 31 de enero del 2019
Una hipérbola bitangente a la hipérbola de Kiepert en los puntos de Fermat
Dado un triángulo ABC, sean el y los triángulos (construidos hacia el exterior de ABC) BAbC y CBAc directamente semejantes a ABC.
Los triángulos y AaCB son directamente semejantes a ABC, y el de es la mediatriz de BC.
Los triángulos y se definen similarmente, procediendo cíclicamente.
Sea X un punto (referido a ABC) y Xa, Xb, Xc los mismo puntos que X en los triángulos , , , respectivamente.
El triángulo es perspectivo con ABC si solo si X está sobre el eje de Brocard o sobre la circunferencia Γ', simétrica de la circunferencia circunscrita Γ en el .
Cuando X se mueve sobre el eje de Brocard de ABC, las rectas AXa, BXb, CXc son concurrentes en X', sobre la .
Cuando X se mueve sobre Γ', las rectas AXa, BXb, CXc son paralelas a la dirección del punto conjugado isogonal Y, del simétrico de X en el eje de Lemoine.
En coordenadas baricéntricas:
Aa = (-1,1,1) , Ab = (-a^2 : a^2 + b^2 - c^2 : c^2), Ac = (-a^2 : b^2 : a^2 - b^2 + c^2).
Si X* es el de X, la envolvente de la recta X'X* es la hipérbola bitangente a la hipérbola de Kiepert en los y que pasa por X5149.
X(5149) = X(1691) of
X(1691) = of circumcircle and
Let be the 1st Brocard triangle. Let A" be the -isogonal-conjugate of A, and define B" and C" cyclically; the lines A1A", B1B", C1C" concur in X(5149). (Randy Hutson, November 22, 2014).
La envolvente de la recta X*X', cuando X se mueve sobre el eje de Brocard de ABC es la hipérbola:
bitangente a la hipérbola de Kiepert en los puntos de Fermat (antipodales), que pasa por X5149 y sus asíntotas tienen la dirección de los puntos, en el infinito, X543, X2794.
Caso en que X es un punto sobre la circunferencia Γ'
The locus of X(23) in a Brocard porism (triangles sharing circumcircle and Brocard inellipse with ABC) is a circle Γ', with center X(2080) and passing through X(23), X(385) and X(11676). This circle is the reflection of the circumcircle in X(187). (Randy Hutson, August 29, 2018)
Centro del triángulo X(1073) y triángulos perspectivos
Dado un triángulo ABC y un punto P , sean H el ortocentro, Ab y Ac puntos en AC y AB, respectivamente, tales que P es el punto medio de AbAc.
Se designa por La el de la circunferencia circunscrita y la circunferencia Γa=(AAbAc). Se definen similarmente, Lb y Lc.
El triángulo A'B'C', formado por las rectas La, Lb, Lc, es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad Q, el del de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
Ab = (u+v-w : 0 : 2w), Ac = (u-v+w : 2v : 0).
Γa:
a^2y z + b^2z x + c^2x y - (x+y+z)(((c^2(u-v+w)y)/(u+v+w))+(
b^2(u+v-w)z)/(u+v+w)) = 0.
La: c^2(u-v+ w)y + b^2(u+v-w)z = 0.
Si P=X(4) entonces, Q=X(64)
Sea L1 el eje radical de las circunferencia Γ', circunscrita a A'B'C', y Γa. L2 y L3 se definen similarmente y se denota por el triángulo formado por las rectas L1, L2, L3.
Si P es el ortocentro, los triángulos A'B'C' y son perspectivos con centro de perspectividad X(1073).
A' = (a^2(-a^8+6a^4(b^2-c^2)^2-
8a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(3b^4+10b^2c^2+3c^4)):
b^2(-3a^8+a^6(8b^2-4c^2)+(b^2-c^2)^3(b^2+3c^2)-
2a^4(3b^4+4b^2c^2-7c^4)+4a^2(3b^4c^2-2b^2c^4-c^6)):
c^2(-3a^8-4a^6(b^2-2c^2)-(b^2-c^2)^3(3b^2+c^2)+
2a^4(7b^4-4b^2c^2-3c^4)-
4a^2(b^6+2b^4c^2-3b^2c^4))).
X(1073)= X(253)/X(64) es el del centro de perspectividad de ABC y el de X(64) y X(64).
Sábado, 19 de enero del 2019
La cúbica de Darboux y pares de triángulos perspectivos
Dado un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre sus lados, ni en la recta del infinito), sean Ha, Hb y Hc los ortocentros de los triángulos PBC, PCA y PAB, A'B'C' el del triángulo y DEF el triángulo formado por las rectas AHa, BHb y CHc.
El triángulo A'B'C' es perspectivo a ABC y a si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux (K004).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a ABC, el ortocentro de PBC es:
Ha = (((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) ((-b^2 + c^2) u +
a^2 (u + 2 w)) : ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) (b^2 (u - w) -
a^2 (u + w) + c^2 (u + w)) : (c^2 (u - v) - a^2 (u + v) +
b^2 (u + v)) ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w))).
Por permutación cíclica, se deducen las coordenadas de Hb y Hc. El punto medio de HbHc es:
A' = (-2 (b^2 (u + v) w -
c^2 v (u + w)) (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v + w)) :
a^4 v w (u + v + w) - b^4 w (u v + v^2 + 4 u w + 3 v w) +
2 b^2 c^2 v (u v - v w + w^2) + c^4 v (2 u v + u w + 3 v w + w^2) -
2 a^2 v (b^2 w^2 +
c^2 (u (v + w) + w (2 v + w))) : -c^4 v (w (3 v + w) +
u (4 v + w)) -
2 c^2 w (a^2 v^2 - b^2 (v^2 + u w - v w)) + (a^2 -
b^2) w (a^2 v (u + v + w) - b^2 (u v + v^2 + 2 u w + 3 v w))).
El punto de intersección de las rectas BHb y CHc es:
D = (((a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)) ((a^2 - b^2) w +
c^2 (2 u + w)) (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v +
w)) : -((a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)) (b^2 (-u + w) +
a^2 (u + w) - c^2 (u + w)) ((-a^2 + b^2) w +
c^2 (2 v + w)) : -(c^2 (-u + v) + a^2 (u + v) -
b^2 (u + v)) ((a^2 - b^2) w + c^2 (2 u + w)) (a^2 v - c^2 v -
b^2 (v + 2 w))).
La condición necesaria y suficiente para que el triángulo A'B'C' sea perspectivo con ABC y con DEF es que el punto P esté sobre la circunferencia circunscrita a ABC o sobre la cúbica de Darboux.
• Si P está sobre la circunferencia circunscrita a ABC, entonces las rectas AHa, BHb y CHc concurren en el punto medio Z de P y el ortocentro, sobre la , y el centro de perspectividad W de ABC y A'B'C', que queda sobre la circunferencia circunscrita al , es la reflexión del en P.
• Caso en el que P esté sobre la cúbica de Darboux, que pasa por los centros del triángulo Xi, para i: 1, 3, 4, 20, 40, 64, 84, 1490, 1498, 2130, 2131, 3182, 3183, 3345, 3346, 3347, 3348, 3353, 3354, 3355, 3472, 3473, 3637.
Pares {P=Xi, W=Xj}, para los índices {i, j}: {1, 4}, {3, 66}, {4, 2}, {20, 3346}, {64, 68}, {84, 6601}.
Si P=X1, el centro de perspectividad de A'B'C' y DEF es Z1 = X1565.
Otros casos:
Si P=X3,
Z3 = ( (b^2-c^2)^2(b^4+c^4-a^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(3.26887950218615, 3.42828014559003, -0.241473850663861), reflexión de X1576 en X23583 y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,1632}, {4,1177}, {5,2790}, {53,23300}, {66,393}, {115,804}, {122,6086}, {125,136}, {137,5522}, {141,14726}, {206,17907}, {216,23333}, {264,6697}, {297,2393}, {523,15526}, {868,20975}, {1576,2794}, {1634,3014}, {1853,6747}, {2450,3003}, {2781,18121}, {2871,15595}, {3018,9512}, {3708,21947}, {6328,15357}, {6749,10169}, {8743,11605}, {19360,20422}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(4.94268672304785, 1.99846659721273, -0.0241293421849776), punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {115,127}, {15311,16096}.
que tiene números de búsqueda en
(3.66800491657332, 2.83408196243054, -0.0143176074244472), punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1015,1146}, {2968,5514}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(6.35457693725812, 0.976636887671618, 0.0316495886310502) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,6720}, {68,3926}, {69,5504}, {74,13219}, {76,5449}, {99,11005}, {115,525}, {125,339}, {127,3269}, {315,7689}, {325,13754}, {539,7799}, {1007,5654}, {1078,20191}, {1147,7763}, {1209,26166}, {1975,9927}, {3564,12042}, {3788,23128}, {3933,12359}, {5448,7752}, {5961,9723}, {6337,12118}, {7776,12163}, {8552,15526}, {9517,15357}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(-1.87609016545141, 6.09373983664615, 0.287809286745387), punto medio de X1086 y X4953; reflexión de Xi en Xj para los índices {i,j}: {1086, 17059}, {3939, 4422}; y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,2834}, {8,4578}, {10,25097}, {11,123}, {37,24388}, {190,5856}, {344,6600}, {346,6601}, {521,3271}, {522,1086}, {1565,17463}, {1862,20999}, {1897,15253}, {2310,26932}, {2321,24389}, {2486,21207}, {2810,24828}, {3140,20975}, {3703,4873}, {3756,17071}, {3912,15733}, {3932,4702}, {3939,4422}, {4534,4965}, {4904,21945}, {10177,25935}.
Viernes, 18 de enero del 2019
Las cúbicas de Lucas y de Darboux
Dado un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre sus lados), sean DEF su , Ab es el punto que resulta de girar el punto E alrededor de A un ángulo π/2, Ac es el punto que resulta de girar el punto F alrededor de A un ángulo -π/2 y U el punto medio de Ab y Ac.
Los triángulos ABC y UVW son perspectivos si y solo si P queda sobre la cúbica de Lucas (K007).
El centro de perspectividad Q queda sobre la cúbica de Darboux (K004).
es decir, si P está sobre la cúbica de Lucas (lugar de los puntos cuyo triángulo ceviano es un ).
NOTAS:
• Si P está en K007, Q (sobre K004) es el centro de perspectividad de ABC y UVW, Z (sobre K004) es el punto tal que DEF es su triángulo pedal y cccP (sobre K007) es el de P; estos cuatro puntos están sobre una recta que pasa por el .
• Si cambiamos de sentido los giros tomados anteriormente, se obtienen nuevos puntos medios U', V' , W', que son las reflexiones de U, V, W en los vértices A, B, C, respectivamente.
• Los triángulos ABC, UVW y U'V'W' tienen el mismo baricentro, para todo punto P del plano.
Miércoles, 16 de enero del 2019
Cónicas con focos en los lados de un triángulo
a Aye, por su "cumple"
Dado un triángulo ABC y un punto P, sea 𝒞a la cónica de vértices B y C, que pasa por P. Las cónicas 𝒞b y 𝒞c se definen similarmente.
Los focos de las cónicas 𝒞a, 𝒞b, 𝒞c, situados en los lados de ABC, están en una misma cónica.
Para determinar los focos reales o imaginarios, Fa y F'a, de 𝒞a, situados sobre la recta BC, podemos utilizar su definición proyectiva, tomando un punto de coordenadas (0:t:1) e imponer que la involución de rectas conjugadas que la cónica induce sobre él, sea rectangular. Es decir, si U es la matriz columna formada por los coeficientes de una recta que pasa por (0:t:1), U⊥ es la matriz fila formada por los coeficientes de su recta perpendicular por (0:t:1), y si M es la matriz adjunta de la matriz asociada a la cónica 𝒞a, entonces de la ecuación U⊥MU=0 se obtienen dos valores de t, que determinan sus focos (reales o imaginarios) sobre BC.
La ecuación de la cónica 𝒞(P), que pasa por los focos Fa, F'a, Fb, F'b, Fc y F'c es:
𝒞(P): (a^4-2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2)u^2v^2w^2x^2 +
2v^2w^2(a^4(3u^2+8v w+4u(v+w))-2a^2u(b^2(u+2v-2w)+c^2(u-2v+2w))-(b^2-c^2)^2u^2)y z + ... = 0.
El centro de esta cónica es:
Q = (v^2 w^2 ((a^2+b^2-c^2) u+2 a^2 v) ((a^2-b^2+c^2) u+2 a^2 w) (v^2 w^2 (3 u^2+2 u (v+w)+4 v w)a^4+2 u v w (u^2 (c^2 v+b^2 w)-u (v+w) (c^2 v+b^2 w)-(b^2-c^2) v w(v-w))a^2-u^2 ((b^2-c^2) v w (-2 c^2 v^2+b^2 v w-c^2 v w+2 b^2 w^2)+2 u (2 c^4 v^3+b^2 c^2 v^2 w+c^4 v^2 w+b^4 v w^2+b^2 c^2 v w^2+2 b^4 w^3))) : ... : ...).
Pares {P=Xi, Q=Xj} de centros del triángulo (), para {i,j}: {1, 3160}, {3, 6523}, {4, 6337}.
Si P=X2 (baricentro), el centro de la cónica 𝒞(X2) es:
que tiene números de búsqueda en
(-0.208642148311811, -1.09184198604125, 4.49285146377223) y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {232,5702}, {1503,3545}.
The Simson cubic (K010, Catalogue of Bernard Gibert) is the image of the circumcircle under a mapping named the Gibert-Simson transform. If P = (u:v:w) (barycentrics) and P is not X(3), then the transform is given by
In case P lies on the circumcircle, these barycentrics are proportional to the respective directed distances from A, B, C, to the Simson line of P. If P' is the antipode of P, then GS(P') is the isotomic conjugate of GS(P).
El centro Q = X2/GS(P') de la cónica 𝒞(P), cuando P está sobre la circunferencia circunscrita a ABC, es el del baricentro y el transformado de Gibert-Simson del antipodal P' de P.
El lugar geométrico de Q, cuando P recorre la recta de Euler, es la cuártica 𝒬, que pasa por los centros Xi (i= 2, 4, 12, 68, 252, 1312, 1313, 5627, 6340, 6526, 10415, 12028, 13853, 13854), de ecuación:
Let ABC be a triangle and P a point on the Euler line.
Denote:
Ka, Kb, Kc = the symmedian points of PBC, PCA, PAB, resp.
The reflections of PKa, PKb, PKc in BC, CA, AB, resp. are concurrent.
The point of concurrence W, as P moves on the Euler line, is a conic 𝒞:
Σ b^4 (b-c)^4 c^4 (b+c)^4 (a^2-b^2-c^2) x^2+2 a^6 (a-b)^2 b^2 (a+b)^2 (a-c)^2 c^2 (a+c)^2 y z = 0.
La envolvente de la recta QW* (Q* conjugado isogonal de Q), cuando P varía sobre la recta de Euler, es una cónica ℋ bitangente a 𝒞 y tangente a la recta de Euler en X3515.
La recta que pasa por los puntos de contacto (reales si ABC es acutángulo, que corresponden a los puntos X5000 y X5001, (:...:...)) de las cónicas 𝒞 y ℋ es X25X110. Las tangentes comunes se cortan en X19128.
El centro de la cónica ℋ es:
Z = ((r+2R)^2-s^2) X15107 +
(7r^2+28r R+32R^2-7s^2)(r^2+4r R-s^2) X19128.
donde s, r, R son el semiperímetro, y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.
Given a triangle ABC, the pedals of a point U are its orthogonal projections A', B', C' on the sidelines BC, CA, AB of the triangle. We build on the segments AC', C'B, BA' , A'C, CB' and B'A squares with orientation opposite to that of ABC.
Let A1B1C1 be the triangle bounded by the lines containing the sides of the
squares opposite to BA', CB', AC' respectively. Similarly, let A2B2C2 be the
one bounded by the lines containing the sides of the squares opposite to A'C, B'A and C'B.
Theorem. Triangles A1B1C1 and A2B2C2 are each homothetic to ABC. Let
O1 and O2 be the respective centers of homothety.
(1) The ratio of homothety in each case is 1 + cotω. Therefore, A1B1C1 and
A2B2C2 are homothetic and congruent.
(2) The mapping P ↦ O1 is the direct similarity which is the rotation ρ(Ω1, π/2)
followed by the homothety h(Ω1 ,tanω). Likewise, The mapping P ↦ O2
is the direct similarity which is the rotation ρ(Ω2, -π/2)
followed by the
homothety h(Ω2 ,tanω).
(3) The midpoint of the segment O1O2 is the symmedian point K.
(4) The vector of translation A1B1C1 ↦ A2B2C2 is the image of 2OP under
the rotation ρ(O,π/2).
Con las notaciones de esta configuración, sean P un punto del plano de ABC, que no está en la recta del infinito, P1 el mismo punto que P en el triángulo , P2 el mismo punto que P en el triángulo y
P' el punto medio del segmento P1P2.
P' es un punto fijo para todo punto U. P' = cot ω X6 - (1+cot ω) P.
La recta que contiene al lado opuesto del BA' en el cuadrado levando sobre éste, hacia el exterior de ABC, tiene ecuación, si (u:v:w) son las coordenadas baricéntrica del punto U:
Por permutación cíclica se deducen las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados opuestos a CB' y AC'.
Un vértice del triángulo formado por estas tres rectas es:
Si se toman los cuadrados levantados sobre los segmentos CA', AB', BC', resulta el triángulo , con:
A2 = (a^2 w + b^2 w - a^2 v + b^2 v +
c^2 (2 u + v + w)+ 2S(u+v+w) :
a^2 v - c^2 v - b^2 (v + 2 w) : (-a^2 + b^2) w - c^2 (2 u + w)).
Como los triángulos ABC, y son homotéticos, si (p:q:r) son las coordenadas de P, respecto a ABC, P1 y P2 tienen estas mismas coordenadas, respecto a y , respectivamente.
Las coordenadas de P1, respecto a ABC son:
P' = ( a (b^2+c^2-a (b+c)+2S) : ... : ...) = (1+cot ω) X1 - cot ω X6,
que tiene números de búsqueda en
(3.79745136659989, 2.29745136659989, 0.297451366599890), punto medio de X1 y X3640 y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,6}, {8,492}, {40,12305}, {65,26495}, {175,2550}, {210,3084}, {354,3083}, {355,6289}, {372,760}, {377,10911}, {481,5880}, {515,13748}, {517,9733}, {519,591}, {1376,13388}, {2809,8225}, {2886,13390}, {3057,8211}, {3102,14839}, {3752,8945}, {3779,7362}, {4849,8941}, {5698,30334}, {13758,13959}, {13911,26300}, {25557,30342}.
que tiene números de búsqueda en ETC
(-0.776666948841286, -5.77924258357540, 8.00014024692486), punto medio de Xi y Xj para los índices {i,j}: {5, 5874}, {9733, 13748} y es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,489}, {5,6}, {30,591}, {76,14234}, {98,8825}, {114,5058}, {182,639}, {550,12305}, {615,10104}, {620,641}, {671,14231}, {1587,26468}, {1591,11245}, {2782,3071}, {3095,13766}, {3155,13428}, {5050,11313}, {6811,7774}, {8550,23311}, {11272,22719}, {12221,21736}, {12256,12322}, {13088,13830}, {13758,13951}.
Jueves, 10 de enero del 2019
La cúbica de Darboux y la elipse inscrita de Steiner
Dados un triángulo ABC y un punto P, sean el , DEF el de P y UVW el de y DEF.
Los triángulos y UVW son perspectivos si y solo si P esta sobre la cúbica de Darboux (K004).
El lugar geométrico del Z es la . La tangente en Z es el eje de perspectividad de ABC y UVW.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de un punto P, sobre la cúbica de Darboux, el centro de perspectividad de los triángulos y UVW, que queda sobre la elipse inscrita de Steiner, es:
Z es el de punto del infinito de las rectas (paralelas) AU, BV, CW.
Z es el de la parábola circunscrita a ABC con dirección del eje el de las rectas (paralelas) AU, BV, CW (ver "cuadrado barícentrico de un punto impropio").
Pares de centros del triángulo {P=Xi, Z=Xj}, para {i,j}: {1, 1086=514²}, {4, 115=523²}, {20, 15526=525²}, {40, 1146=522²}, {64, 15526=525²}, {84, 1146=522²}, {1490, 8058²}, {1498, 8057²}, {3182, 8063²}, {3345, 8058²}, {3346, 8057²}, {3347, 8063²}.
El exponente ² indica cuadrado baricéntrico. A un punto P y a su les corresponde el mismo punto Z.
Viernes, 4 de enero del 2019
El punto medio del incentro y circuncentro como centro ortológico
Dado un triángulo ABC, sea DEF su .
Oa es el centro de la circunferencia que pasa por D y por los puntos donde la recta EF corta a la circunferencia circunscrita. Los puntos Ob y Oc, se definen cíclicamente.
Las coordenadas baricéntricas de Oa son:
El centro de ortología de ABC respecto a es el incentro y el centro de ortología de respecto a ABC es X1385, punto medio del incentro y el circuncentro.
1. Let P be a point and PaPbPc its pedal triangle. A1 is the reflection of P in the line PbPc and B1, C1 are defined similarly. The triangles ABC and A1B1C1 are perspective if and only if P lies on the orthocubic (together with the line at infinity and the circumcircle).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
Sean Ab y Ac los puntos de contacto de las rectas PaPc y PaPb con la parábola 𝒫a de foco P y tangente a estas rectas (la directriz de esta parábola es B1C1).
Los puntos Bc y Ba, Ca y Cb, se definen cíclicamente.
Ab = (a^2 u (c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w) ((a^2 - b^2) w +
c^2 (2 u + w)) :
-c^2 (b^2 - c^2) u^2 (-c^2 v + b^2 (u + v)) w -
a^6 u v w^2 +
a^4 w (b^2 u (-u + v) w + c^2 v (-u^2 + 2 v w + 2 u (v + w))) +
a^2 u (b^4 u w^2 + b^2 c^2 w (-u^2 + u w + v (-2 v + w)) +
c^4 v ((2 v - w) w + 2 u (v + w))) :
c^2 w ((-b^2 + c^2) u +
a^2 (u + 2 w)) (-b^2 u (u + v) + v (c^2 u + a^2 w))),
Ac = (a^2 u ((a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)) (c^2 u v + b^2 u w +
a^2 v w) :
b^2 v ((b^2 - c^2) u +
a^2 (u + 2 v)) ((b^2 u + a^2 v) w - c^2 u (u + w)) :
-a^6 u v^2 w -
b^2 (b^2 - c^2) u^2 v (b^2 w - c^2 (u + w)) +
a^2 u (c^4 u v^2 + b^2 c^2 v (-u^2 + u v + (v - 2 w) w) +
b^4 w (-v (v - 2 w) + 2 u (v + w))) +
a^4 v (c^2 u v (-u + w) + b^2 w (-u^2 + 2 v w + 2 u (v + w)))).
El lugar geométrico del punto P tal que los seis puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están en una misma cónica es la segunda cúbica de Brocard (K018=nK0(X6, X523), Bernard Gibert).
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