Hechos Geométricos en el Triángulo (2014)

Triángulos pedales ortológicos. Cúbica K389. Cuártica Q098

  Dado un punto P, el lugar geométrico de los puntos Q tal que los triángulos pedales de P y Q son ortológicos es la recta OP.

(0 : (b^2-c^2)p + a^2(p+2q) : (-b^2+c^2)p + a^2(p+2r)).

(b^2-c^2)p(c^2v+b^2w)+a^2(c^2(p+2q)v-b^2(p+2r)w)x -
((-b^2+c^2)p+a^2(p+2r))(c^2v+b^2w)y +
((b^2-c^2)p+a^2(p+2q))(c^2v+b^2w)z = 0.

a^2(b^2r-c^2q) - (b^2-c^2)(c^2q+b^2r)u+... =0,

  Sean P un punto con triángulo pedal P_aP_bP_c y Q un punto variable sobre la recta OP, con triángulo pedal Q_aQ_bQ_c.

 • El lugar geométrico del centro de ortología X de Q_aQ_bQ_c respecto a PaPbPc es una recta (L) que pasa por el ortocentro H_P de P_aP_bP_c.
  La recta (L) pasa por O si y solo si P está en la cúbica K389.
  La recta (L) pasa por P si y solo si P está en la cuártica Q098.

 • El lugar geométrico del centro de ortología Y de P_aP_bP_c respecto a Q_aQ_bQ_c es la hipérbola equilátera (H) circunscrita a PaPbPc que pasa por P.

(L):    (b^2S_Br-c^2S_Cq)x ⁄ (c^2q+b^2r)+... = 0.

H_P (a^2(c^2q+b^2r) (S_A(c^2p q+b^2p r+a^2q r) - b^2c^2p(p+q+r)): ... : ... )

  El lugar geométrico de los puntos P tales que la recta (L) pasa por el punto P₀, que divide al segmento OP en la razón OP₀ : P₀P = m : n, es la cuártica

m a^2b^2c^2 Q098 + n R^2 (x+y+z) K389 = 0.

Cúbicas circulares circunscritas con punto nodal en el ortocentro

F(X) = Y = ((u-v-w) /(2 a^2 v w+(b^2 w+c^2 v) (u-v-w)) : ... : ...)

Quártica Q23 y séptica asociada

  Sea ABC un triángulo, O su circuncentro y P un punto, el lugar geométrico de P tal que el ortocentro de su triángulo pedal queda en la recta OP es la cuártica Q023, del catálogo de Bernard Gibert).

H' (a^2(c^2y+b^2z) (yza^4 + (b^2z(x-y)+c^2y(x-z))a^2 - x(b^4z+c^4y-b^2c^2(2x+y+z))) : ... : ...)

Cúbica de Bataille como un caso particular

  Sean ABC un triángulo y DEF el triángulo ceviano de un punto U. Tomemos los puntos D₁=BC∩EF, E₁=CA∩FD y F₁=AB∩DE y sus reflexiones D₂, E₂, F₂ respecto a los puntos medios D₀, E₀, F₀ de los lados de DEF.
  Sea K_a el punto de intersección de la paralela por D₁ a AU con la recta AD₀.

  Las tres rectas d_a, d_b y d_c son concurrentes.

F(U) = V = (u(v+w)^2 : v(u+w)^2 : w(u+v)^2)

  A un punto U y a su conjugado isotómico U^• les corresponde el mismo punto V.

  Cuando U recorre la cónica circunscrita de perspector P(p:q:r), pyz+qzx+rxy=0, o la recta px+qy+rz=0, V=F(U) describe la cúbica:

D = (p/(q + r - p) : q/(r + p - q) : r/(p + q - r)).

  Si U(u:v:w) se mueve sobre la recta del infinito, x+y+z=0, o sobre la elipse circunscrita de Steiner, yz+zx+xy=0, V (u^3:v^3:w^3) o V (1/u^3:1/v^3:1/w^3) describe la cúbica de Bataille (K656):
x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3 + 3 x^2 z - 21 x y z + 3 y^2 z + 3 x z^2 + 3 y z^2 + z^3 =0
ó (x + y + z)^3 = 27 x y z.

Cuadrados inscritos en un triángulo y cúbicas asociadas

a Lolilla, por su "cumple"

  Los triángulos A_iB_iC_i y A_eB_eC_e son perspectivos con centro de perspectividad el simediano.

  El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos DEF y A_iB_iC_i son perspectivos es la cúbica K070-b, "Shoemaker's (inner) cubic" = pK(X4, X1585). El centro de perspectividad Q_i queda sobre la cúbica isogonal de pivote X₃₀₆₈ (K424a, del catálogo de cúbicas de Bernard Gibert).

a^4(-p^2+p(q+r)+3q r) + 2a^2(p(c^2(p+q)+b^2(p+r))+2(p-q)(p-r)S) - b^4(p+q)(p-r) - c^4(p-q)(p+r) + 2b^2c^2(p^2-qr) - 4pS(c^2(p-q)+b^2(p-r))-4(p-q)(p-r)S^2

  El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulo DEF y A_eB_eC_e son perspectivos es la cúbica K070-a, "Shoemaker's (outer) cubic" = pK(X4, X1586). El centro de perspectividad Q_e queda sobre la cúbica isogonal de pivote X₃₀₆₉ (K424b).

∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗  ∗ 

  El lugar geométrico de los puntos P tales que su triángulo anticeviano DEF es perspectivo con A_iB_iC_i y con A_eB_eC_e, es la cúbica K006, "Orthocubic" = pK(X6, X4). Los centros de perspectividad Q_i y Q_e quedan, respectivamente, sobre la cúbicas isogonales K424a y K424b.

Cúbica asociada a una recta. Cúbica de Allardice

  Sean ABC un triángulo, U un punto y DEF su triángulo ceviano. Los puntos D₁=BC∩EF, E₁=CA∩FD y F₁=AB∩DE están en el eje d de perspectividad ("perspectrix") de los triángulos ABC y DEF. Denotamos por d‍′ la recta que pasa por las reflexiones D₂, E₂, F₂ de D₁, E₁, F₁ respecto a los puntos medios de los lados de DEF
  Si U=(u:v:w), las coordenadas baricéntricas de V=d∩d‍′ son:

V = (u(v-w)(2u+v+w) : v(w-v)(u+2v+w) : w(u-v)(u+v+2w)).

  El lugar geométrico del punto de intersección V de las la rectas d y d‍′, cuando U se mueve sobre una recta p : px+qy+rz=0 es la cúbica:

p(p:q:r)  ↦  S(3p-2(q+r) : 3q-2(r+p) :3r-2(p+q))

Séptica que pasa por los "equilateral cevian points"

  Sean ABC un triángulo, O el circuncentro, P un punto y A'B'C' el triángulo ceviano de P.
  El lugar geométrico de P, tal que el centro N' de la circunferencia de los nueve puntos de A'B'C' esté sobre la recta OP, es una séptica que pasa por los vértices de los triángulos ABC (triples), medial y excentral, y por X₁, X₂, X₃, X₃₇₀ (y los otros cinco -tres siempre reales- "equilateral cevian points"), X₁₁₃₈.

a^2 c^2 u^3 v^3 - b^2 c^2 u^3 v^3 + c^4 u^3 v^3 - 3 a^4 u^3 v^2 w +
6 a^2 b^2 u^3 v^2 w - 3 b^4 u^3 v^2 w + 5 a^2 c^2 u^3 v^2 w +
5 b^2 c^2 u^3 v^2 w - 2 c^4 u^3 v^2 w - a^4 u^2 v^3 w +
2 a^2 b^2 u^2 v^3 w - b^4 u^2 v^3 w + 4 a^2 c^2 u^2 v^3 w +
2 b^2 c^2 u^2 v^3 w - c^4 u^2 v^3 w - 3 a^4 u^3 v w^2 +
5 a^2 b^2 u^3 v w^2 - 2 b^4 u^3 v w^2 + 6 a^2 c^2 u^3 v w^2 +
5 b^2 c^2 u^3 v w^2 - 3 c^4 u^3 v w^2 - 4 a^4 u^2 v^2 w^2 +
6 a^2 b^2 u^2 v^2 w^2 - 2 b^4 u^2 v^2 w^2 + 6 a^2 c^2 u^2 v^2 w^2 +
4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^2 - 2 c^4 u^2 v^2 w^2 - a^4 u v^3 w^2 +
a^2 b^2 u v^3 w^2 - a^2 c^2 u v^3 w^2 + a^2 b^2 u^3 w^3 +
b^4 u^3 w^3 - b^2 c^2 u^3 w^3 - a^4 u^2 v w^3 + 4 a^2 b^2 u^2 v w^3 -
b^4 u^2 v w^3 + 2 a^2 c^2 u^2 v w^3 + 2 b^2 c^2 u^2 v w^3 -
c^4 u^2 v w^3 - a^4 u v^2 w^3 - a^2 b^2 u v^2 w^3 +
a^2 c^2 u v^2 w^3 - 2 a^4 v^3 w^3.

  O bien,

𝔖_{abc xyz} y z ((b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2) x^3 y z - 2 a^2 (b^2 - c^2) x y^2 z^2 - a^4 y^2 (y - z) z^2 - x^4 (c^2 (a^2 + 2 b^2 - c^2) y - b^2 (a^2 - b^2 + 2 c^2) z) = 0.

Una nónica con puntos cuádruples en los vértices del triángulo de referencia

  Los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si sólo si el punto P está en una nónica con puntos cuádruples en los vértices de ABC, puntos dobles los vértices del triángulo antimedial y que pasa por el baricentro, ortocentro y punto de Gergonne.

D' = (u(c^2uv(v-w)+ w(b^2u(-v+w)+a^2v(2u+v+w))) : v(c^2uv(u+w)+ w(-b^2u(u+2v-w)+a^2v(u+w))) : -w(-(u+v)(b^2u+ a^2v)w+c^2uv(u-v+2w))).

A' = (-u(v-w)(-b^2(u+v)w+c^2v(u+w)) : -v(u+ w)(c^2u(v-w)+a^2(u+v)w) : -(u+v)w(a^2v(u+w)+ b^2u(-v+w)).

Otra caracterización de la cuártica de Stammler

  Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si sólo si el punto P está en la circunferencia circunscrita o en la cuártica de Stammler (Q066)

D' = (u(c^2uv(v-w)+w(b^2u(-v+w)+a^2v(2u+v+w))) : v(c^2uv(u+w)+w(-b^2u(u+2v-w)+a^2v(u+w))) : -w(-(u+v)(b^2u+a^2v)w+c^2uv(u-v+2w))).

A' =( u(v-w)(-b^2(u+v)w+c^2v(u+w)) : v(u+w)(c^2u(v-w)+a^2(u+v)w) : (u+v)w(a^2v(u+w)+b^2u(-v+w)) ).

  Las rectas AA', BB', CC' son concurrrentes si las coordenadas de P satifacen a una de las ecuaciones:

a^2 yz + b^2 zx + c^2 xy =0,
Q066:   a^2(b^2-c^2)y^2z^2 + b^2(c^2-a^2)z^2x^2 + c^2(a^2-b^2)x^2y^2= 0.

  Si el punto P recorre la cuártica de Stammler Q066, el lugar geométrico del centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es la cuártica (Q) de ecuación:

P_t = (1/(b^2(a^2-c^2)-c^2(a^2-b^2)t^2) :
1/(b^2(c^2- a^2)-2c^2(b^2-a^2)t+c^2(b^2-a^2)t^2) :
1/(b^2(a^2-c^2)-2b^2(a^2-c^2)t+c^2(a^2-b^2)t^2)).

Q_t = ((b^2-c^2)^2t(-a^2t+b^2(1+t))(a^2-c^2(1+t)):
(a^2-c^2)^2(1+t)(b^2+c^2t)(a^2t-b^2(1+t)) :
(a^2-b^2)^2t(1+t)(b^2+c^2t)(a^2-c^2(1+t))).

  Si el punto P recorre la la circunferencia circunscrita, el lugar geométrico del centro Q de perspectividad de ABC y A'B'C' es la circunferencia de los nueve puntos. El punto Q es la imagen de P en la homotecia de centro el baricentro y razón -1/2.

Más sobre la cúartica de Stammler:
Triángulos semejantes y homólogos
Cuártica de Stammler como lugar geométrico
Cuártica de Stammler e hipérbola de Jerabek
Cuárticas tipo Stammler
Caracterización de la cuártica de Stammler
Otra caracterización de la cuártica de Stammler

Conjugado antigonal del incentro respecto a su triángulo ceviano

  Sean ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo ceviano del incentro X₁. El conjugado antigonal Q de X₁ respecto A'B'C' está en la recta X₁O', donde O' es el circuncentro de A'B'C'. Se verifica que
         Q = 3R X₁ + 2r X₃₉₉,
donde R y r son los radios de las circunfencias circunscrita e inscrita a ABC, respectivamente.

a^2 (a^5 + a^4(b+c) - 2a^3(b^2+c^2) - a^2(2b^3-b*c(b+c)+2c^3)+ a(b^4+b^2c^2+c^4) + (b-c)^2(b^3+c^3))

Let ABC be a triangle and A'B'C' the cevian triangle of I.
Denote:
B'a, C'a = the reflections of B',C' in AA', resp.
A'a = (perpendicular to BB' from B'a) /\ (perpendicular to CC' from C'a).

C'b, A'b = the reflections of C',A' in BB', resp.
B'b = (perpendicular to CC' from C'b) /\ (perpendicular to AA' from A'b).

A'c, B'c = the reflections of A',B' in CC', resp.
C'c = (perpendicular to AA' from A'c) /\ (perpendicular to BB' from B'c).

Are the circumcircles of A'aB'aC'a, B'bC'bA'b, C'cA'cB'c 
concurrent?.

 Antreas P. Hatzipolakis

The circumcircles are concurrent at non-ETC 0.812149174855220, which is, 
the antigonal conjugate, wrt incentral triangle, of X(1)

Randy Hutson

Ejes radicales concurrentes y cúbica de Neuberg

  Los ejes radicales e_a, e_b y e_c concurren en un punto Q si y solo si P está en la cúbica de Neuberg (K001, del catálogo de cúbicas de Bernard Gibert).

Reflexión de la recta de Euler y triángulo tangencial

  Los triángulos T_aT_bT_c y P_aP_bP_c son perspectivos si P está sobre el díámetro de ABC que pasa por X₁₁₀ (foco de la parábola de Kiepert) o en la circunferencia con centro en la reflexión de X₁₁₀ en X₁₅₆ (centro de la circunferencia de los nueve puntos de T_aT_bT_c) y que pasa por X₁₅₅ (ortocentro de T_aT_bT_c).

((b^2-c^2)^3-a^2(b^4-c^4))x - a^2(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)y + a^2(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)z=0.

(-a^2(a^8u - a^6(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+ w)) - a^4(b^4(u-v)+c^4(u-w)+b^2c^2(-3u+v+w)) - a^2(b^2-c^2)^2(c^2v+b^2w) + (b^2-c^2)^4u ) :
(b^2-c^2)^5u - a^10w - a^2(b^2-c^2)^3(c^2(u+v)+b^2w) + a^8(b^2(-v+w)+c^2(v+w)) - a^4(b^2-c^2)(c^4(u-v-w)+b^4(2u+w)+b^2c^2(-u+2v+w)) + a^6(-c^4(u+v-w)-4b^2c^2w+b^4(u+v+2 w)) :
-(b^2-c^2)^5u - a^10v+ a^2(b^2-c^2)^3(c^2v+b^2(u+w)) + a^8(c^2(v-w)+b^2(v+w)) + a^6(-4b^2c^2v-b^4(u-v+w)+c^4(u+2v+w)) + a^4(b^2-c^2)(c^4(2u+v)+b^4(u-v-w) + b^2c^2(-u+v+2w)))

{(-a^2:b^2:c^2), (a^2:-b^2:c^2), (a^2:b^2:-c^2)}

d:  b^2c^2(b^2-c^2)(2a^4 - a^2(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2x+...=0

P₀ = ( a^2 (a^14 - 4a^12(b^2+c^2) + a^10(5b^4+11b^2c^2+5c^4) - 13a^8b^2c^2(b^2+c^2) + a^6(-5b^8+12b^6c^2+2b^4c^4+12b^2c^6-5c^8) + 2a^4(2b^10-4b^8c^2+b^6c^4+b^4c^6-4b^2c^8+2c^10) - a^2(b^2-c^2)^2(b^8+b^6c^2-6b^4c^4+b^2c^6+c^8) + b^2c^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)) : ... : ... ).

P ∈ d ↦ Q ∈ d'

T₁ = (a^2(a^10 - a^8(b^2+c^2) + a^6(-2b^4+5b^2c^2-2c^4) + 2a^4(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + a^2(b^2-c^2)^2(b^4-b^2c^2+c^4)- b^10+b^2c^2(b^6+c^6)-c^10) : ... : ... ).

  El conjunto d∪Γ se tansforma en d'∪Γ' mediante una semejanza directa de centro en T₂, el otro punto de intersección (distinto de T₁) de las circunferencia Γ y Γ'.

T₂ = (a^2(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) (a^12 - 4a^10(b^2+c^2) + a^8(7b^4+11b^2c^2+7c^4) - a^6(8b^6+11b^4c^2+11b^2c^4+8c^6) + a^4(7b^8+3b^6c^2+8b^4c^4+3b^2c^6+7c^8) - a^2(4b^10-3b^8c^2+3b^6c^4+3b^4c^6-3b^2c^8+4c^10) + (b^6-b^4c^2+b^2c^4-c^6)^2): ... : ...).

Una propiedad del centro X₃₅₇₄

  El lugar geométrico de los puntos P tal que los ejes radicales d_a, d_b y d_c son concurrentes es una séptica circunscrita a los triángulos ABC y antimedial, y que pasa por el baricentro y ortocentro.

  Cuando P es el ortocentro la intersección de los ejes radicales d_a, d_b y d_c es el centro X₃₅₇₄,

  El lugar geométrico de los puntos P tal que los ejes radicales e_a, e_b y e_c son concurrentes es una séptica circunscrita a los triángulos ABC, órtico, antimedial y excentral, y que pasa por el incentro, ortocentro y X₁₁₃₈. Los vértices de ABC son puntos triples.

  El lugar geométrico de los puntos P tal que los ejes radicales f_a, f_b y f_c son concurrentes es la "O(X5) orthopivotal cubic" (K060, del catálogo de cúbicas de Bernard Gibert).

Bisectriz interior, altura y mediana concurrentes

  Dado un triángulo ABC, sea M_aM_bM_c el su triángulo medial.
 L_ab es la recta que pasa por M_a y por el punto de intersección de la bisectriz interior en B y la altura desde C.
 L_ac es la recta que pasa por M_a y por el punto de intersección de la bisectriz interior en C y la altura desde B.
 A_b es el punto de intersección de AB con L_ab y A_c es el punto de intersección de AC con L_ac.
 Similarmente se definen los puntos B_c, B_a, C_a y C_b.

  Las mediatrices de los segmentos B_cC_b, C_aA_c y A_bB_a son concurrentes.

(a(a^6 - a^4(b+c)^2 + 2a^3(b^3+b^2c+bc^2+c^3) - 2a(b^5+b^4c+bc^4+c^5) - (b-c)^4(b+c)^2+a^2(b^2+c^2)^2) : ... : ... )

Parábolas asociadas al triángulo de reflexión

  Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' el triángulo de reflexión que resulta de reflejar cada vértice de ABC en su lado opuestos. Se denota por:
  ℘_ab la parábola de foco C y directriz BC', D_ab el polo de CB' respecto a ℘_ab.
  ℘_ac la parábola de foco B y directriz CB', D_ac el polo de BC' respecto a ℘_ac.
  Similarmente, se definen las parábolas ℘_bc, ℘_ba, ℘_ca y ℘_cb, y los puntos D_bc, D_ba, D_ca y D_cb.

  Las rectas D_abD_ac, D_bcD_ba y D_caD_cb delimitan un triángulo perspectivo con ABC.

A' (-a^2 : 2S_C : 2S_B),   B' (2S_C : -b^2 : 2S_A),   C' (2S_B : 2S_A : -c^2).

℘_ab : b^2R^2S_B^2x^2 + a^2c^2S_C^2y^2+a^4b^2R^2z^2 + 2a^2b^2R^2S_Bzx - a^2b^2c^2S_Cxy= 0,
℘_ac : c^2R^2S_C^2x^2 + a^4c^2R^2y^2 + a^2b^2S_B^2z^2 - a^2b^2c^2S_Bzx + 2a^2c^2R^2S_Cxy = 0.

D_ab ((a^2-b^2+c^2)(a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2) : b^2(-a^4+(b^2-c^2)^2) : -c^2(a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2)).

D_ac (-(a^2+b^2-c^2)(a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2) : b^2(a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2) : -c^2(-a^4+(b^2-c^2)^2)).

-b^2c^2(a^4(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-2a^2(b^4-b^2c^2+c^4))x + c^4(-a^6-a^4(b^2-3c^2)-(b^2-c^2)^3-a^2(b^4-4b^2c^2+3c^4))y + b^4(-a^6+(b^2-c^2)^3+a^4(3b^2-c^2)-a^2(3b^4-4b^2c^2+c^4))z = 0.

a^2 / (a^14(b^2+c^2) -
  a^12(5b^4+3b^2c^2+5c^4)+
  2a^10(5b^6+2b^4c^2+2b^2c^4+5c^6) -
  a^8(10b^8+3b^6c^2-2b^4c^4+3b^2c^6+10c^8) +
  a^6(5b^10+b^8c^2-2b^6c^4-2b^4c^6+b^2c^8+5c^10)-
  a^4(b^4-c^4)^2(b^4+b^2c^2+c^4)+
  2a^2b^2c^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)-b^2c^2(b^2-c^2)^6 )

Bisectriz interior, altura y simediana concurrentes

a Kake, por su "cumple"

  Dado un triángulo ACUTÁNGULO ABC, sean:
  A_b es el único punto sobre AB tal que, en el triángulo A_bBC, la simediana en A_b, la bisectriz interior en B y la altura en C son concurrentes.
  A_c es el único punto sobre AC tal que, en el triángulo A_cBC, la simediana en A_c, la bisectriz interior en C y la altura en B son concurrentes.
  Similarmente se define los puntos B_c, B_a, C_a y C_b.

  Las mediatrices de los segmentos B_cC_b, C_aA_c y A_bB_a son concurrentes.

(a-b-c)(a+b-c)c^2t^2 - (a^2-b^2+c^2)(a^2-b^2-ac+c^2)t + a^2(a^2-b^2+c^2) = 0.

t = (a^2-b^2+c^2)(a^2-ac+c^2-b^2) - ((a^2-b^2+c^2)f₂(a,b,c))^½

A_b = ((a^2-b^2+c^2)(a^2-ac+c^2-b^2) - ((a^2-b^2+c^2)f₂(a,b,c))^½ :
-a^4+a^3c+2a^2b^2-ac(b^2+3c^2)-b^4+c^4 + ((a^2-b^2+c^2)f₂(a,b,c))^½ : 0).

A_c = ( a^4-a^3b+2a^2(b^2-c^2)+a(-b^3+bc^2)+(b^2-c^2)^2 -((a^2+b^2-c^2)f₃(a,b,c))^½ : 0 :
-a^4+a^3b+2a^2c^2+b^4-ab(3b^2+c^2)-c^4)-c^2 +f₃(a,b,c))^½).

f₀(a,b,c) - 2a^2(b+c-a)((b^2+c^2-a^2)f₁(a,b,c))^½ + (a-b+c)(a^2+b^2-c^2)((a^2-b^2+c^2)f₂(a,b,c))^½ + (a+b-c)(a^2-b^2+c^2)((a^2+b^2-c^2)f₃(a,b,c))^½

Centros de circunferencias de Euler y circunferencias concurrentes

  Las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, AN_bN_c, BN_cN_c y CN_aN_b son concurrentes en X₉₃₀.
  Las circunferencias circunscritas a los triángulos N_aN_bN_c, N_aBC, N_bCA y N_cAB son concurrentes en:

Q = (a^2(a^6(b^2+c^2)- a^4(3b^4+4b^2c^2+3c^4)+ a^2(3b^6+2b^4c^2+2b^2c^4+3c^6)-b^8+b^6c^2+b^2c^6-c^8) : ... : ...)

D = (a^2(a^6(b^2+c^2)- 3a^4(b^4+c^4)+a^2(3b^6-2b^4c^2-2b^2c^4+3c^6)-b^8+b^6c^2+b^2c^6-c^8) : ... :...)

Triángulos precevianos y rectas de Euler concurrentes

  Sean ABC un triángulo, P un punto y P^aP^bP^c el triángulo preceviano de P.
  Se denotan por d_a, d_b y d_c las rectas de Euler de los triángulos P^aBC, P^bCA y P^cAB, respectivamente.

  Las rectas de Euler d_a, d_b y d_c son concurrentes si y solo si P está en una nónica (ver su ecuación baricéntrica), que pasa por los vértices de los triángulos ABC (dobles), medial y excentral, por los centros X₁, X₂ y X₆.

Cónicas homofocales y parábola envolvente de polares

  Sean ABC un triángulo, M_aM_bM_c el triángulo medial y P un punto, la recta d_a que une P con M_a vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita a PBC en P_a; sea F_a la reflexión de P_a en la mediatriz de BC. Similarmente, procediendo cíclicamente, se consideran los puntos F_b y F_c.

  Los triángulos ABC y F_aF_bF_c son perspectivos si y sólo si el punto P está sobre la quíntica Θ de ecuación baricéntrica:

b^2 c^4 x^4 y + 2 a^2 c^4 x^3 y^2 + b^2 c^4 x^3 y^2 - 2 c^6 x^3 y^2 - a^2 c^4 x^2 y^3 - 2 b^2 c^4 x^2 y^3 + 2 c^6 x^2 y^3 - a^2 c^4 x y^4 - b^4 c^2 x^4 z - b^4 c^2 x^3 y z + b^2 c^4 x^3 y z + 4 a^4 c^2 x^2 y^2 z - 4 b^4 c^2 x^2 y^2 z - 4 a^2 c^4 x^2 y^2 z + 4 b^2 c^4 x^2 y^2 z + a^4 c^2 x y^3 z - a^2 c^4 x y^3 z + a^4 c^2 y^4 z - 2 a^2 b^4 x^3 z^2 + 2 b^6 x^3 z^2 - b^4 c^2 x^3 z^2 - 4 a^4 b^2 x^2 y z^2 + 4 a^2 b^4 x^2 y z^2 - 4 b^4 c^2 x^2 y z^2 + 4 b^2 c^4 x^2 y z^2 - 4 a^4 b^2 x y^2 z^2 + 4 a^2 b^4 x y^2 z^2 + 4 a^4 c^2 x y^2 z^2 - 4 a^2 c^4 x y^2 z^2 - 2 a^6 y^3 z^2 + 2 a^4 b^2 y^3 z^2 + a^4 c^2 y^3 z^2 + a^2 b^4 x^2 z^3 - 2 b^6 x^2 z^3 + 2 b^4 c^2 x^2 z^3 - a^4 b^2 x y z^3 + a^2 b^4 x y z^3 + 2 a^6 y^2 z^3 - a^4 b^2 y^2 z^3 - 2 a^4 c^2 y^2 z^3 + a^2 b^4 x z^4 - a^4 b^2 y z^4=0.

a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y - ((c^2 u v + b^2 u w + a^2 v w) x (x + y + z))/( u (u + v + w))=0

P_a = ( a^2u(u+v+w) : -b^2u(u+v-w)-(u-v+w)(c^2u+a^2w) : -b^2u(u+v-w)-a^2v(u+v-w)-c^2u(u-v+w)).

F_a = ( a^2u(u+v+w) : -2b^2u(u+v)+v(2c^2u-a^2(u+v-w)) : -2c^2u(u+w)+w(2b^2u-a^2(u-v+w)) ).

(2c^2u(u+w)+ w(-2b^2u+a^2(u-v+w)))y+(-2b^2u(u+v)+ v(2c^2u-a^2(u+v-w)))z=0.

(b^2-c^2)(11a^6 - 6a^4(b^2+c^2) - 3a^2(5b^4-7b^2c^2+5c^4) + 2b^6+3b^4c^2+3b^2c^4+2c^6)x+....=0

{X₃, X₆}; {X₆,X₂₅}; {X₁₅, X₆₂}; {X₁₆, X₆₁}; {X₁₈₇, X₆}; {X₅₂₄,X₂}.

==============================================================

  Sea ℘_a la parábola envolvente de las polares de P respecto a las cónicas homofocales de focos en los vértices B y C; su foco lo denotamos por F_a. Similarmente, procediendo cíclicamente, se consideran los focos F_b y F_c de las parábolas ℘_b y ℘_c, respectivamente.
  Los triángulos ABC y F_aF_bF_c son perspectivos si y sólo si el punto P está sobre la quíntica Θ.

Rectas de Euler concurrentes

  Las recta de Euler de los triángulos ABC, AO_abO_ac, BO_bcO_ba, CO_caO_cb concurren en el inverso del ortocentro en la circunferencia circunscrita, X₁₈₆.
  El ortocentro del triángulo O_aO_bO_c es el punto sobre la recta de Euler:

X = (r^2 + 2 r R - R^2 + s^2)*X(3) + R^2*X(4),
R y r, radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, y s el semiperímetro.

O_ab = (a^2(bc^2+cS_A) : b^2cS_B + b(S^2+S_AS_B)) : c^2(-bS_B+cS_C)),

O_ac = (a^2(cb^2+bS_A) : b^2(-cS_C+bS_B): c^2bS_C + c(S^2+S_AS_C)) ),

O_a = (a^2(b(3S_A+S_B)+c(3S_A+S_C)) : b^2(2bS_B+c(S_B-S_C)) : -c^2(b(S_B-S_C)-2cS_C) ).

((-2a^2+(b-c)^2)(b+c) : b(-a^2+2b(b-c)) : c(-a^2+2c(-b+c))).

(a^2(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2-bc-c^2)(a^2-b^2+bc-c^2) : ... : ...).

(a^2(a^2-b^2-bc-c^2)(a^5(b+c)+bc(b^2-c^2)^2 - 2a^3(b^3+c^3) - a^2bc(b^2+c^2) + a(b^5-b^4c-bc^4+c^5)) : ... : ...).

Rectas de Euler y triángulos ortológicos

  Los triángulos ABC y M_qaM_qbM_qc son ortológicos.
  El lugar geométrico de los centros de ortología de ABC con respcto a M_qaM_qbM_qc, cuando Q varía en la recta de Euler, es la hipérbola de Jerabek.
  El lugar geométrico de los centros de ortología de M_qaM_qbM_qc con respcto a ABC, cuando Q varía en la recta de Euler, es una cúbica, con punto doble en el centro de la circunferencia de los nueve pountos, X₅, con puntos en la recta del infinito los dos de la hipérbola de Jerabek (X₂₅₇₄, X₂₅₇₅) y el conjugado isogonal (X₅₆₆₃) del antipodal del punto de Tixier; esta cúbica también pasa por el conjugado isogonal (X₂₈₈₃) del ortocentro respecto al triángulo medial.

(a^4(3m+n) - a^2(b^2+c^2) (3m+2n)+(b^2-c^2)^2n:...:...)

Q_a = (-(b^2-c^2)^2nu^2 + a^2u(b^2(2nu+3m(u+v-w)) + c^2(2nu+3m(u-v+w))) - a^4(nu^2+3m(u^2+2vw+u(v+w))):
-a^4(-3mvw + nu(u+2v+w)) - (b^2-c^2)u(-c^2(3mv+n(u+2v+w)) + b^2(3m(u+v)+n(u+2v+w))) + a^2(c^2(3mv(u-w) + 2nu(u+2v+w)) + b^2(2nu(u+2v+w) + 3m(u^2+uv+2uw+vw))):
-a^4(-3mvw+nu(u+v+2w)) - (b^2-c^2)u(b^2(3mw+n(u+v+2w)) - c^2(3m(u+w) + n(u+v+2w))) + a^2(b^2(3m(u-v)w + 2nu(u+v+2w)) + c^2(2nu(u+v+2w) + 3m(u^2+2uv+uw+vw)))).

M_qa = (-(b^2-c^2)^2u(3m(u+v+w)+n(4u+3(v+w)))- a^4(6m(u+v)(u+w)+nu(4u+3(v+w)))+ a^2u(b^2(3m(3u+3v+w)+2n(4u+3(v+w)))+ c^2(3m(3u+v+3w)+ 2n(4u+3(v+w)))) :
-a^4(-3mvw+ nu(u+2v+w))-(b^2- c^2)u(-c^2(3mv+n(u+2v+w))+ b^2(3m(u+v)+n(u+2v+w)))+ a^2(c^2(3mv(u-w)+2nu(u+2v+w))+ b^2(2nu(u+2v+w)+ 3m(u^2+uv+2uw+vw))) :
-a^4(-3mvw+ nu(u+v+2w))-(b^2- c^2)u(b^2(3mw+n(u+v+2w))- c^2(3m(u+w)+n(u+v+2w)))+ a^2(b^2(3m(u-v)w+2nu(u+v+2w))+ c^2(2nu(u+v+2w)+3m(u^2+2uv+uw+vw))))

( a^4n(v+w) + a^2(b^2+c^2)(3m(u+v+w)+2n(2u+v+w)) - (b^2-c^2)^2(3m(u+v+w)+n(4u+3(v+w))) : ... : ...).

ρ(x:y:z) = ( - a^8(b^2+c^2)(5+6t) + a^6(2b^2c^2(2+3t)^2+3b^4(4+5t)+3c^4(4+5t)) - a^4(b^2+c^2)(3c^4(2+3t)+b^4(6+9t) - a^2(b^2-c^2)^2(3b^2c^2(2+t)(2+3t)^2+b^4(4+3t) +3(b^2-c^2)^4(b^2+c^2)(1+t) -b^2c^2(28+78t+72t^2+27t^3)) + c^4(4+3t)) : ... : ...)

(u/(a^2(3m(u+v)(u+w)+2nu(u+v+w))- u(b^2(3m(u+v)+2n(u+v+w))+ c^2(3m(u+w)+2n(u+v+w)))):...:...).

ρ(x:y:z) = (1/(2(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a^2+b^2- c^2)(a^2+b^2+c^2) + 3(a^8-3a^6b^2+4a^4b^4-3a^2b^6+b^8-2a^6c^2- 12a^4b^2c^2-12a^2b^4c^2-2b^6c^2+13a^2b^2c^4+ 2a^2c^6+2b^2c^6-c^8)t - 9a^2b^2(a^4-2a^2b^2+b^4+3a^2c^2+3b^2c^2-4c^4)t^2) : ...:...).

a^2(b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)yz+ b^2(-a^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)zx+(a^2-b^2)c^2(a^2+b^2-c^2)xy = 0.

Circunferencias tangentes a los lados de un triángulo

  Las tangentes t'_a, t'_b y t'_c delimitan un triángulo DEF perspectivo con ABC.

Φ_ab: a^2yz+b^2zx+c^2xy-(x+y+z)(c^2vx/(u+v)+a^2z)=0
Φ_ac: a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(b^2wx/(u+w)+a^2y)=0.

u/((v+w)(b^4(u+v)^2w^2 + c^4v^2(u + w)^2 + a^4(u+v)^2(u+w)^2 - 2a^2(u+v)(u+w)(b^2(u+v)w+c^2v(u+w))- 2b^2c^2(u+v)(u+w)(vw+2u(v+w)))).

  El centro de perspectividad Q de los triángulos ABC y DEF coincide con P si P está sobre la elipse circunscrita de Steiner.
  Además, en este caso:
  • Las seis circunferencias Φ_ab, Φ_ac, Φ_bc, Φ_ba, Φ_ca, Φ_cb concurren en el punto T donde la recta X₉₉P vuelve a corta a la circunferencia circunscrita.
  • Los puntos de tangencia de las tangentes t'_a, t'_b y t'_c con las circunferencias Φ_ab, Φ_ac, Φ_bc, Φ_ba, Φ_ca, Φ_cb están en la circunferencia reflexión de la circunferencia circunscrita en el punto T.

(1/((b^2-c^2)(a^2(b^2+c^2)-2b^2c^2)) : ... : ....),

Lugares geométricos asociados a ejes radicales

  El lugar geométrico de los puntos P tales que A*B*C* es el triángulo ceviano de un punto Q es una séxtica con puntos dobles en los vértices de ABC, pasa por los vértices del triángulo excentral I_aI_bI_c y por los pies de las bisectrices interiores y exteriores.

(5a^2-b^2-c^2) (a^4-6a^2b^2+b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-3c^4) (a^4+2a^2b^2-3b^4-6a^2c^2+2b^2c^2+c^4),

a^2(a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (a^12 - 5a^10(b^2+c^2) + 5a^8(2b^4+3b^2c^2+2c^4) - 2a^6(5b^6+7b^4c^2+7b^2c^4+5c^6) + a^4(5b^8+2b^6c^2+4b^4c^4+2b^2c^6+5c^8) - a^2(b^2-c^2)^4(b^2+c^2) - b^2c^2(b^2-c^2)^2(b^4+c^4) ),

  El lugar geométrico de los puntos P tales que los ejes radicales Ra, Rb y Rc son concurrentes es una curva algebraica de grado once con puntos cuádruples en los vértices de ABC, pasa por los vértices del triángulo excentral I_aI_bI_c y por los pies de las alturas.

a^2(3a^8 - 7a^6(b^2+c^2) + a^4(3b^4+13b^2c^2+3c^4) + a^2(3b^6-7b^4 c^2-7b^2c^4+3c^6) - (b^2-c^2)^2(2b^4+3b^2c^2+2c^4))

Propiedad geométrica del punto X₂₁₃₆

Las rectas DI_a, EI_b, FI_c concurren en X₂₁₃₆.

Hipérbolas circunscritas con asíntotas paralelas a cevianas

  Las rectas AO_a, BO_b y CO_c son concurrentes, para cualquier punto P.

O_a(u(u^2+u(v+w)+2vw) : v(u+w)(u+v-w) : w(v+u)(u-v+w))

(u(v+w)(u^2-(v-w)^2) : v(w+u)(v^2-(w-u)^2 : w(u+v)(w^2-(u-v)^2).

(X(1),X(65))  (X(2),X(2))  (X(3),X(5562))  (X(4),X(64))  (X(6),X(1843))  (X(7),X(3062))  (X(8),X(3680))  (X(9),X(3059))  (X(10),X(4647))  (X(37),X(2667))

  Los centros O_a, O_b y O_c de las hipérbolas Φ_a, Φ_b y Φ_c están alineados si y solo si P está en la cúbica isotómica no-pivotal de raíz el baricentro y parámetro k=6 del triángulo medial.
  La envolvente de las rectas que contienen los centros, cuando P varía en esta cúbica, es la elipse inscrita de Stenier.

  La ecuación de la cúbica, en coordenadas baricéntricas respecto al triángilo medial, es x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+6xyz=0.

P_a = (1/(b^2(u+v)w-c^2v(u+w)) : -1/(c^2u^2+a^2w(u+v)) : 1/(b^2u^2+a^2v(u+w)).

  Si P está sobre la circunferencia circunscrita, las rectas AO_a, BO_b, CO_c son paralelas, de dirección perpendicular a la del diámetro que pasa por P.

  Si P está sobre la cúbica isogonal no-pivotal Kjp= K024 = nK0+(X6,X6) , las rectas AO_a, BO_b, CO_c concurren en el conjugado isogonal P' de P, sobre dicha cúbica.

  Kjp = K024=nK0+(X6,X6) is the locus of point P such that AP and AP_a are isogonal lines with respect to the sidelines AB and AC, BP and BP_b are isogonal lines with respect to the sidelines BC and BA, and CP and CP_c are isogonal lines with respect to the sidelines CA and CB.

La isocúbica no-pivotal nK(X577,X2,X3)

A₁ = ((q-r) (-p^2q r + p q^2r + p q r^2 - p^2μ + p q μ + p r μ + q r μ + 2 t μ- t^2) :
(p-r) (p^3r - p^2q r - p^2r^2 + p^2μ - p q μ - 2 p r μ - 2 t μ+ t^2) : -(p-q) (p^3q - p^2q^2 - p^2q r + p^2μ - 2 p q μ - p r μ - 2 t μ+ t^2)).

∗  Las rectas DA₁, EA₁, FA₁ concurren en un punto N.

∗   Cuando el punto P queda fijo y M varía sobre la recta δ, el punto N describe la cónica δ_P, circunscrita a DEF tangente a δ en P.

∗ El lugar geométrico del centro Q de la cónica δ_P, cuando P se mueve sobre la recta δ es la cuártica Φ_δ con puntos singulares en los vértices de ABC y tangente a los lados de DEF en los puntos de corte con la recta δ, de ecuación:

  El cuarto punto común de la cuártica Φ_δ y la recta δ es el punto D₀ de coordenadas baricéntricas:

D₀ = (qr(q-r) : pr(r-p) : pq(p-q)).

  Cuando la recta δ gira alrededor del circuncentro, el punto D₀ recorre la isocúbica no-pivotal nK(X577,X2,X3).

Inversos de los puntos de corte de una recta y un triángulo

A₁ = ((q-r)(qr+t)(qr-t+2μ) : (r-p)(pqr^2-t^2+prμ+qrμ+2tμ) : (p-q)(pq^2r-t^2+pqμ+qrμ+2tμ)).

N = ((q-r)/(p^2qr+p(q+r)μ-t(t-2μ)) : ... : ...).

  Cuando el punto P queda fijo y M varía sobre la recta δ, el punto N describe la cónica δ_P, circunscrita a ABC tangente a δ en P:

δ_P: p(q-r)^2+(qr+t)^2yz + q(r-p)^2+(rp+t)^2zx + r(p-q)^2+(pq+t)^2)xy=0.

Q = (p(q-r)(qr+t)^2 (p^2qr(q+r)-pqr(q^2-2qr+r^2-4t)+(q+r)t^2) : ... : ...).

  El lugar geométrico del centro de la cónica δ_P, cuando P se mueve sobre la recta δ es la cuártica Φ_δ con puntos singulares en los vértices del triángulo medial y tangente a los lados de ABC en los puntos de corte con la recta δ, de ecuación:

p^2x^4 + (-2p^2+2pq)x^3y + (p^2-4pq+q^2)x^2y^2 + (2pq-2q^2)xy^3 + q^2y^4 + (-2p^2+2pr)x^3z + (2p^2-2qr)x^2yz + (2q^2-2pr)xy^2z + (-2q^2+2qr)y^3z + (p^2-4pr+r^2)x^2z^2 + (-2pq+2r^2)xyz^2 + (q^2-4qr+r^2)y^2z^2 + (2pr-2r^2)xz^3 + (2qr-2r^2)yz^3 + r^2z^4=0.

  El cuarto punto común de la cuártica Φ_δ y la recta δ es el punto D₀ de coordenadas baricéntricas:

D₀ = (p(q^2-r^2) : q(r^2-p^2) : r(p^2-q^2)).

  Si D₁ es el inverso de D₀ respecto a C(M,P) la recta ND₁ pasa por un punto fijo N₁ sobre la cónica δ_P, cuando P queda fijo y M varía.

D₁ = ((q-r)(p(q+r)(qr+μ)+(qr+t)(qr-t+2μ)) : ... : ...),
N₁ = (qr(q-r)(qr+μ)/(q+r) : rp(r-p)(rp+μ)/(r+p) : pq(p-q)(pq+μ)/(p+q)).

  El lugar geométrico del punto N₁, cuando P, es la cónica inscrita en ABC tangente a δ en D₀.

P₁ = (q^3r^3/(q^2-r^2) : r^3p^3/(r^2-p^2) : p^3q^3/(p^2-q^2)).

(b^2-c^2)yz/S_A + (c^2-a^2)zx/S_B + (a^2-b^2)xy/S_C = 0.

(a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2-a^2)(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4) : ... : ...)

a^2(b^2-c^2)yz + b^2(c^2-a^2)zx + c^2(a^2-b^2)xy = 0.

"Porismcircles" y ejes radicales

  El triángulo delimitado por los ejes radicales e_a, e_b y e_c es perspectivo con ABC con centro de perspectividad el punto de coordenadas baricentricas:

(a/(a^4-2a^2b c-2a^3(b+c)+2a(b^3+c^3)-(b-c)^4) : ... : ...)

Lugares geométricos asociados a rectas de Euler

A_b = (w(u+v+w)((-b^2+c^2)u+a^2(u+2w)) :
(u+w)(-w(a^2(u-v+w)+b^2(-u+v+w))+c^2(w(v+w)+u(2 v+w))) :
w(w(a^2(u-v+w)+b^2(-u+v+w))-c^2(w(v+w)+u(2v+w))) )

  El lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas L_a, L_b, L_c son paralelas es una séxtica con puntos dobles en los vértices de ABC.

  El lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas L_a, L_b, L_c son concurrentes una séptica con puntos dobles en los vértices de ABC y que pasa por los centros X₃, X₄, X₁₃, X₁₄, X₂₀.

Dear Jean-Pierre,

[APH]:
 So, we have the Theorem:

 Let AA', BB', CC' be the three altitudes of ABC, and
 Let Ab, Ac be the orth. proj. of A' on AB, AC resp.
 Bc, Ba " B' BC, BA
 Ca, Cb " C' CA, CB

 Then the Euler lines of A'B'C', A'AbAc, B'BcBa, C'CaCb are
 concurrent.

 Which is the point of concurrence [a point lying on the Euler
 line of the orthic triangle A'B'C' of ABC]? Is it in ETC?

 
 [JPE]:
  X(442) of the orthic triangle (not in ETC, I think)

[JPE]:
Let's name them temporarily (or not!) as:
 
 Triangles A'AbAc, B'BcBa, C'CaCb = Orthiac Triangles
 
[APH]:

  A PS for Clark Kimberling:
 
 Dear Clark,
 
 If the above  point of concurrence of the Euler lines
 of the Orthiacs (ie X442 of Orthic)  is not already
 in your list, then you may of course include them, but with these 
name:
 1st Ehrmann Point.
 

  El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos ABC y el delimitado por las rectas L_a, L_b, L_c son ortológicos es una curva algebraica de grado ocho, con puntos triples en los vértices de ABC y pasa por el foco de la parábola de Kiepert, X₁₁₀..

El centro X₄₂₄₀ y cuatro rectas de Euler

A_b = ((a^2-c^2) S_B : 0 : -2(b^2-c^2)S_A)
A_c = ((a^2-b^2)S_C : -2(c^2-b^2)S_A : 0)

2 (b^2-c^2)^2S_A^2x + (a^2-b^2)(a^2-c^2)S_BS_C(y + z) = 0.

( (2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)/((b^2-c^2)S_A) : ... : ...).

  Los seis puntos A_b, A_c, B_a, B_c, C_a, C_b están en una misma cónica, tangente en X₄₂₄₀ a la recta de Euler y que pasa por X₆₄₈ (tripolo de la recta de Euler). Estos dos puntos son antipodales en esta cónica.

Involución sobre la recta de Euler y centros ortológicos

  Los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si y solo si P está sobre la recta de Euler.
  El centro de ortología de A'B'C' con respecto a ABC es P; el centro de ortología de ABC con respecto a A'B'C' es un punto Q sobre la recta de Euler.
  La correspondencia P ↦ Q es una involución de centro en el inverso del ortocentro respecto a la circunferencia circunscrita de ABC.

t' = -(a^2b^2c^2)/((a^2+b^2-c^2)(a^4-2a^2b^2+b^4-c^4)t).

P=(a²S_A+2S_BS_C t:...:...) ↦ Q=(a²b²c²S_BS_C+4a²S_A²S_BS_C t:...:...).

±abc/((-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2))^½,

Problema de Apolonio relativo a las circunferencias exinscritas

Se cree que fue Isaac Newton el primero
que resolvió, por medio de la regla y el compás,
el problema de encontrar la circunferencia tangente
a otras tres circunferencias.

A_a = ((a+b-c)(a-b+c)(b+c)^2 : -c^2(a-b+c)(a+b+c) : -b^2(a+b-c)(a+b+c)).

Los triángulos ABC y A_aB_bC_c son perspectivos con centro de perspectividad en X₃₅₉₆ (1st Odehnal Point):
((-a+b+c)/a^2 : (a-b+c)/b^2 : (a+b-c)/c^2).

Los triángulos ABC y J_aJ_bJ_c son perspectivos con centro de perspectividad en X₃₅₉₇ (2nd Odehnal Point):
(1/(a^5+a^4(b+c) - a^3(b-c)^2-a^2(b^3+b^2c+bc^2+c^3) - 2abc(b^2+bc+c^2) - 2b^2c^2(b+c)) : .. : .. ).

*************************************

 Las tangentes en los puntos de contacto A_a, B_b y C_c de las circunferenicias (Ia), (Ib) y (Ic) con las (Ja), (Jb) y (Jc) delimitan un triángulo T₁T₂T₃ perspectivo con ABC. El centro de perspectividad T tiene coordenadas baricéntricas:

T = ((b+c)/(a^3(b+c) + a^2bc - a(b-c)^2(b+c) - bc(b+c)^2) : ... : ...)

bc(a+b+c)x + b(a+b-c)(b+c)y + c(a-b+c)(b+c)z = 0.

*************************************

A_b = ((-a+b+c)(a+b-c)(b+c)^2 : c^2(a-b-c)(a+b+c) : (b(b+c)+a(b+2c))^2),
A_c = ((a-b-c)(a-b+c)(b+c)^2, : -(c(b+c)+a(2b+c))^2 : b^2(-a+b+c)(a+b+c)).

 Las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b delimitan un triángulo P₁P₂P₃ perspectivo con ABC. El centro de perspectividad es:

P = ( (b+c)(b+c-a)/(a^2(b^2+3bc+c^2) + a(b^3+b^2c+bc^2+c^3) + bc(b+c)^2) : ... : ... )

 Las rectas B_aC_a, C_bA_b y A_cB_c delimitan un triángulo Q₁Q₂Q₃ perspectivo con J_aJ_bJ_c. El centro de perspectividad Q tiene primera coordenada baricéntrica:

a^10 (b + c)^3 + a^9 (b + c)^2 (5 b^2 - b c + 5 c^2) -
  a^8 (5 b^5 + 28 b^4 c + 42 b^3 c^2 + 42 b^2 c^3 + 28 b c^4 + 5 c^5) -
a^7 (33 b^6 + 101 b^5 c + 182 b^4 c^2 + 243 b^3 c^3 + 182 b^2 c^4 +
  101 b c^5 + 33 c^6) -
a^6 (21 b^7 + 86 b^6 c + 257 b^5 c^2 + 411 b^4 c^3 + 411 b^3 c^4 +
  257 b^2 c^5 + 86 b c^6 + 21 c^7) -
a^5 (-27 b^8 - 27 b^7 c + 83 b^6 c^2 + 290 b^5 c^3 + 454 b^4 c^4 +
 290 b^3 c^5 + 83 b^2 c^6 - 27 b c^7 - 27 c^8) +
a^4 (29 b^9 + 104 b^8 c + 160 b^7 c^2 - 53 b^6 c^3 - 372 b^5 c^4 -
  372 b^4 c^5 - 53 b^3 c^6 + 160 b^2 c^7 + 104 b c^8 + 29 c^9) +
a^3 (b^2 - c^2)^2 (b^6 + 73 b^5 c + 182 b^4 c^2 + 239 b^3 c^3 +
  182 b^2 c^4 + 73 b c^5 + c^6) -
a^2 (b - c)^2 (b + c)^3 (4 b^6 - 11 b^5 c - 49 b^4 c^2 -
  99 b^3 c^3 - 49 b^2 c^4 - 11 b c^5 + 4 c^6) -
a b c (b - c)^2 (b + c)^4 (8 b^4 - 21 b^3 c - 9 b^2 c^2 -
  21 b c^3 + 8 c^4) -
b^2 c^2 (b - c)^2 (b + c)^5 (4 b^2 - 11 b c + 4 c^2)

  La circunferenica (J) tangente a las (Ja), (Jb) y (Jc), abarcándolas, es tangente a la circunferencia de Apolonio de ABC en el centro del triángulo X₃₀₃₀.

k(a,b,c)(a^2yz+b^2zx+c^2xy)-(x+y+z)(f(a,b,c)x+f(b,c,a)y+f(c,a,b)z)=0

J = ( a(a^2(b+c)-3bc(b+c)+a(b^2+bc+c^2)) : ... : ...),

  El triángulo tangencial de S_aS_bS_c es perspectivo con ABC, con centro de perpectividad el punto de Spieker X₁₀.

Puntos de Feuerbach y circunferencia de Apolonio

a Clara, por su 13 "cumple", con 9 días de retraso

Los puntos L_a, L_b y L_c están en una misma recta y su tripolo L tiene coordenadas baricéntricas:
      ((b+c)/(a^2+bc) : (a+c)/(b^2+ac) : (a+b)/(ab+c^2))

Descripciones geométricas del centro del triángulo X₅₄₂

PP'_a / PP_a = PP'_b / PP_b = PP'_c / PP_c = t, (t≠1)

El lugar geométrico de los puntos P tales que las mediatrices de B_aC_a, C_bA_b, A_cB_c son concurrentes es la recta que pasa por el baricentro y el simediano.

(b^2-c^2)(tu+v+w)x + ((b^2-c^2)(t-1)u+a^2(u+v+w))y + ((b^2-c^2)(t-1)u-a^2(u+v+w))z = 0.

(b^2-c^2)u + (c^2-a^2)v + (a^2-b^2)w = 0.

Si P es el punto P_t de intersección de las rectas GK y δ_t, el correspondiente punto Q_t de intersección de las mediatrices d_a, d_b, d_c, describe la parábola que contiene al baricentro, circuncentro y simediano y con punto en el infinito X₅₄₂.

Cuando t varía y P queda fijo en la recta GK , el lugar geométrico que describe el punto Q de intersección de las mediatrices d_a, d_b, d_c, es una recta δ_P que pasa por el circuncentro, X₃.

(b^2-c^2)((a^2-b^2-c^2+b^2c^2)ξ-b^2c^2)x + ... = 0.

Cuando P varía en la recta GK, el lugar geométrico que describe el pie de la perpendicular, trazada por él a la recta δ_P, es una cúbica circunscrita al triángulo medial, que contiene a los centros X₂, X₃ (doble), X₆, X₅₄₂, X₅₁₀₈ y con asíntota pasando por X₅₀₉₉ (descrito por Seiichi Kirikami en Anopolis #846) y dirección la del punto del infinito X₅₄₂.

Propiedad del centro del triángulo X₄₂₇

  Sean ABC un triángulo, A₁ y A₂ los puntos de intersección de la circunferencia circunscrita con la circunferencia A-exinscrita, F_a el punto de tangencia de la circunferencia de los nueve puntos y la circunferencia A-exinscrita.
  Sea Γ_a la circunferencia, distinta de la A-exinscrita, que pasa por A₁ y A₂ es tangente a la circunferencia de los nueve puntos y L_a el punto de contacto.
  Similarmente se definen los puntos F_b, F_c, L_b, L_c.
  Las rectas F_aL_a, F_bL_b, F_cL_c concurren en X₄₂₇, sobre la recta de Euler.

E_a = ((b-c)(2a^3+a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)) : -(a+c)(a^3+2b^3+a^2c-b^2c-c^3+a(b^2-c^2)) : (a+b)(a^3+a^2b-b^3-bc^2+2c^3+a(-b^2+c^2))).

(c-b)(-a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+a(b^2+bc+c^2))x +
(a+c)(a^2-b^2+c^2)(a^3+a^2b+b^3+ab(b-c)-b^2c+bc^2-c^3)y -
(a+b)(a^2+b^2-c^2)(a^3-b^3+a^2c+b^2c-bc^2+c^3+ac(-b+c))z=0.

((a^4(b+c) + 2a^3(b^2+c^2) + 2a^2(b^3+b^2c+bc^2+c^3) + 2a(b+c)^2(b^2+c^2) + (b+c)(b^2+c^2)^2)/(b^2+c^2-a^2) : ... : ...)

Homotecia con centro en el circuncentro

  Sea, ABC un triángulo, P un punto y DEF su triángulo circunceviano.
O_a, O_b, O_c son los circuncentros de los triángulos BCP, CAP, ABP, respectivamente.
O_d, O_e, O_f son los circuncentros de los triángulos EFP, FDP, DEP, respectivamente.
 Las rectas O_aO_d, O_bO_e, O_cO_f concurren en el punto P', imagen de P en la homotecia de centro el circuncentro y razón 1/2.

D=(-a^2vw : v(c^2v+b^2w) : w(c^2v+b^2w)),
E=(u(c^2u+a^2w) : -b^2uw : w(c^2u+a^2w)),
F= (u(b^2u+a^2 v) : v(b^2u+a^2v) : -c^2uv).

O_a =(-a^2(-u(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w))+ a^2(u^2+2vw+u(v+w))) : -(b^2-c^2)u(-c^2v+ b^2(u+v))+a^4vw+ a^2(c^2v(u-w)+b^2(u^2+uv+2uw+vw)) : a^4vw-(b^2-c^2)u(b^2w-c^2(u+w))+ a^2(b^2(u-v)w+c^2(u^2+2uv+uw+vw))).

P' = ( (3S^2-S_BS_C)u + a^2S_Av + a^2S_Aw : ... : ... ).

Cuatro triángulos perspectivos

Sean ABC un triángulo, Γ_a la circunferencia que pasa por B y C y es tangente internamente a la circunferencia inscrita y similarmente, las circunferencias Γ_b y Γ_c. Designamos por P_a el punto de contacto de Γ_a y la circunferencia inscrita; similarmente, sean P_b y P_c. Sea Q_a el punto de concurrencia de las tangentes a la circunferencia inscrita en P_b y P_c; y similarmente, Q_b y Q_c. Finalmente, sea T_a el punto de intersección de las rectas BP_c y CP_b; similarmente se definen T_b y T_c.

(a(a^4 - 4a^3(b+c) + 2a^2(3b^2-2b c+3 c^2) - 4a(b-c)^2(b+c) + (b-c)^2(b^2+6b c+c^2))/(b+c-a)^2 : ... : ...)

Propiedades del punto de De Longchamps

  Sea ABC un triángulo y Φ_a la cónica circunscrita con tangentes en B y C perpendiculares a BC. Similarmente se definen las cónicas circunscritas Φ_b y Φ_c.
  Denotamos por A', B', C' los cuartos puntos de intersección de Φ_b y Φ_c, Φ_c y Φ_a, Φ_a y Φ_b, respectivamete.
  La tangente en B a Φ_b vuelve a cortar a Φ_a en B_a. La tangente en C a Φ_c vuelve a cortar a Φ_a en C_a. Similarmente se definen los puntos C_b, A_b y A_c, B_c.

En coordenadas baricéntricas:
  Φ_a : a²yz+S_Czx+S_Bxy=0,     Φ_b : S_Cyz+b²zx+S_Axy=0,     Φ_c : S_Byz+S_Azx+c²xy=0.

Cuarto punto de intersección de la cónicas circunscritas Φ_b y Φ_c, tripolo de la recta determinada por sus perspectores E=(S_C:b²:S_A) y F=(S_B:S_A:c²):

  Las rectas AA', BB', CC' concurren en el punto de De Longchamps, X₂₀.

A_b=(S_BS_C^2 : -S_C(S_A(S_B-S_C)+S_BS_C) : S_B(S_A(S_B-S_C)+S_BS_C)),

A_c=(S_B^2S_C : -S_C(S_A(S_B-S_C)-S_BS_C) : S_B(S_A(S_B-S_C)-S_BS_C).

  Los puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a y C_b están en una misma cónica, de centro:

con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: 0.4464942066184852070174993, y está alineado (Peter Moses) con los centros del triángulo:

X₁₁₂, X₃₇₆, X₅₇₇, X₁₂₄₉, X₁₂₉₄, X₃₁₆₃, X₃₁₈₄.

  El triángulo delimitado por las rectas B_aC_a, C_bA_b, A_cB_c es perspectivo con ABC con centro de perspectividad el punto de De Longschamps.
  El triángulo delimitado por las rectas B_cC_b, C_aA_c, A_bB_a es perspectivo con ABC con centro de perspectividad el punto

Centros de semejanza y puntos de Beltrami

  Sea ABC un triángulo y P un punto sobre su circunferencia circunscrita Γ. Se denotan por A', B', C' las reflexiones de P en las mediatrices de BC, CA, AB, respectivamente; A'B'C' está inscrito en Γ.

•   Se designa por A⁺ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento BC en el C'A', por B⁺ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento CA en el A'B' y por C⁺ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento AB en el B'C'.

  El lugar geométrico de los centros de semejanza A⁺, B⁺, C⁺ son tres circunferencias Γ‍⁺‍_a, Γ‍⁺‍_b, Γ‍⁺‍_c, con un punto común B₁ (primer punto de Beltrami, inverso del primer punto de Brocard Ω₁, respecto a la circunferencia circunscrita, Γ).
  La circunferencia Γ⁺_t circunscrita a A⁺B⁺C⁺ pasa por B₁ y el circuncentro, O.

B₁ = ( a^2(a^2-b^2) : b^2(b^2-c^2) : c^2(c^2-a^2)).

  El lugar geométrico de los centros de semejanza A‍^-, B‍^-, C‍^- son tres circunferencias Γ‍^-‍_a, Γ‍^-‍_b, Γ‍^-‍_c, con un punto común B₂ (segundo punto de Beltrami, inverso del segundo punto de Brocard Ω₂, respecto a la circunferencia circunscrita, Γ).
  La circunferencia Γ‍^-‍_t circunscrita a A‍^-B‍^-C‍^- pasa por B₂ y el circuncentro O.

B₁ = ( a^2(a^2-c^2) : b^2(b^2-a^2) : c^2(c^2-b^2)).

(a^2(-a^8 + a^6(b^2+c^2) + a^4(b^4+5b^2c^2+c^4) - a^2(2b^6+3b^4c^2+3b^2c^4+2c^6) + b^8 + c^8),

V= (a^2(4a^6 - 9a^4(b^2+c^2) + 2a^2(4b^4+b^2c^2+4c^4) - 3b^6+b^4c^2+ b^2c^4-3c^6 ) : ... : ...),

Construcción de triángulo

  Construir un triángulo ABC, dado A'B'C' el triángulo ceviano de algún punto, tal que A' es el pie de bisectriz en A y B' es el pie de la mediana por B.

4 u w (u + w) (u + v + w)=0

Propiedad de una hipérbola equilátera

  Sean ABC un triángulo, P un punto en su plano y ℵ_P la hipérbola equilátera circunscrita a ABC y que pasa por P (pasa también por el ortocentro H). Una recta δ que pasa por P, vuelve a cortar a la hipérbola en un punto Q. Denotamos por A₁, B₁, C₁ los puntos en los que las rectas por P y perpendiculares a AQ, BQ, CQ cortan a los lados BC, CA, AB, respectivamente.

Los puntos A₁, B₁, C₁ están alineados sobre una recta δ₁ perpendicular a PQ.

u(S_Bv-S_Cw)yz + v(S_Cw-S_Au)xz + w(S_Au-S_Bv)xy = 0.

((1-t)tu(S_Bv-S_Cw) : -t(S_Au-S_Cw)((t-1)v+ tw) : (t-1)(S_Au-S_Bv)((t-1)v+tw)) ).

El cuarto punto Q_p de intersección de la hipérbola ℵ_p con la circunferencia circunscrita es el segundo punto de intersección de la hipérbola con la recta PF_p.

Circunferencias tangentes y cúbica de Lucas

  Sean ABC un triángulo y P un punto en su plano. Las reflexiones de P en los vértices del triángulo ceviano X_aX_bX_c de un punto X, forman un triángulo Q_aQ_bQ_c. Los tres puntos que resultan de reflejar este triángulo en los lados de ABC determinan una circunferencia Γ(X,P).

P está sobre la circunferencia Γ(X,P) si y solo si X está sobre la cúbica de Lucas o sobre las rectas perpendiculares a los lados de ABC en los pies de las cevianas del punto X.

  Tomemos un punto L₁ sobre la curva de Lucas y un punto P arbitrario del plano, entonces P está en la circunferencia Γ(L₁,P) cuyo centro es el punto D₁ (en la cúbica de Darboux, K004), tal que el triángulo pedal de D₁ es el triángulo ceviano de L₁.
  La recta D₁P corta a la cúbica de Darboux en otros dos puntos D₂ y D₃ (reales o imaginarios). Si L₂ y L₃ son los puntos (en la cúbica de Lucas) tales que sus triángulos cevianos son los triángulos pedales de D₂ y D₃, respectivamente, se verifica que las tres circunferencias Γ(L₁,P), Γ(L₂,P) y Γ(L₃,P) son tangentes en P.

Las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P) son tangentes en P si y solo si P está en la recta YY'.

En estas circunstancias, si G es el baricentro, también la circunferencia Γ(G,P), con centro en el circuncentro, es tangente en P a las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P).

En particular (Peter Moses):
Si X=X₇ = punto de Gergonne y X'=X₈ = punto de Nagel, las circunferencias Γ(X₇,P) y Γ(X₈,P) son tangentes en P si y solo si P queda en la recta que pasa por O=X₃, I=X₁ and X₄₀.

Una caracterización de la cuártica de Euler-Morley

  Sean ABC un triángulo y P, Q dos puntos conjugados isogonales.
A_p es el punto de intersección, distinto de P, de la recta AP con la circunferencia circunscrita a BPC; A_q es el punto de intersección, distinto de Q, de la recta AQ con la circunferencia circunscrita a BQC.
Similarmente se definen los puntos B_p, B_q, C_p y C_q.
  Denotamos por R el centro radical de las circunferenecias cicunscritas a los triángulos AA_pA_q, BB_pB_q y CC_pC_q.
  Si las coordenadas baricéntricas de P son (u:v:w),
R_p =(a^2u(c^2v^2+b^2w^2) : b^2v(c^2 u^2+a^2w^2) : c^2(b^2u^2+a^2v^2)w).

El lugar geométrico de los puntos P tales que el circuncentro, P y R están alineados es la cuártica de Euler-Morley.

Caracterización de la cúbica de Darboux en términos de la circunferencia pedal

  Sean ABC un triángulo, P, P* dos puntos conjugados isogonales y A'B'C', A"B"C" los triángulos pedales de P, P*, respectivamente.
Se denota por A₁ el punto de intersección (distinto de A) de la recta AA' con la circunferencia pedal de P, y por A* el punto de intersección de la recta B"C" con la tangente a la circunferencia pedal de P en A₁.
De forma similar se define los puntos B* y C*.

El lugar geométrico de los puntos P tales que su circunferencia pedal está definida y los puntos A*, B* y C* están alineados es la cúbica de Darboux.

Hipérbolas de asíntotas paralelas a los lados de un triángulo

  Sean p, q, r tres recta fijas y D un punto fijo sobre p. Una recta variable δ a través de D interseca a q en Q y δ', la reflexión de δ en p, corta a r en R. Sea M el punto medio de QR.
  El lugar geométrico de M, cuando δ gira alrededor de D, es una hipérbola de asíntotas paralelas a las rectas q y r, y que pasa por los puntos medios de B=p∩r y C=p∩q (cuando δ=p), de A=q∩r y q∩δ' (cuando δ pasa por A=q∩r) y de A=q∩r y r∩δ' (cuando δ pasa por A=q∩r).

Los centros de las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c están alineados si y sólo si P está sobre la hipérbola de Kiepert.

Los centros de las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c están alineados si y sólo si P está sobre la ortopivotal cúbica de ortopivote X₅, K060.

Caracterizaciones de las cúbicas de Darboux, Lucas y Simson

  Dados un triángulo ABC y un punto P, sean M_aM_bM_c el triángulo medial y DEF el triángulo pedal de P.
  Consideremos el lugar geométrico del punto medio de los puntos en que una recta variable, que pasa por D, corta a las rectas AB y AC.

El triángulo A'B'C' delimitado por las tangentes t_a, t_b y t_c es perspectivo con ABC si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux.
El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C', cuando P recorre la cúbica de Darboux está sobre la cúbica de Lucas.

Cuando P queda sobre la circunferencia circunscrita a ABC, los vértices de su triángulo pedal quedan sobre la recta de Simson s(P) de P, y las tres tangentes t_a, t_b y t_c concurren en el tripolo de s(P), sobre la cúbica de Simson.

Triángulos con su ortocentro en una recta paralela a la de Euler

Dado un triángulo ABC y una recta d. Se consideran los triángulos AB_aC_a, con B_a en AB, C_a en AC y el ortocentro H_a sobre la recta d.
1.1. El circuncentro O_a de AB_aC_a recorre la mediatriz m_a de AS_a. donde S_a es el punto "Anti-Steiner" (denominado así por Darij Grinberg en "Anti-Steiner point with respect to a triangle") de la recta d respecto al triángulo AB_aC_a.
1.2. El centro de la circunferencia de los nueve puntos N_a de AB_aC_a recorre una recta n_a.

El punto S_a (en la circunferencia es circunscrita a AB_aC_a) es la intersección de las refleciones de d en AB y AC.
Dos puntos particulares de la recta n_a son los puntos medios de EF_a y FE_a, siendo E y F las intersecciones de d con los lados AB y AC, respectivamente; y E_a y F_a las intersecciones de m_a con los lados AB y AC, respectivamente.

 Cuando la recta d es paralela a la recta de Euler de ABC, las rectas AA_d, BB_d, CC_d concurren en el punto de Kosnita, X₅₄.
  Existe una única recta d₀, paralela a la recta de Euler, para la cual los puntos A₀, B₀ y C₀ están alineados.

Recta de Euler e hipérbola asociada

Dado un triángulo ABC, su recta de Euler corta a los lados BC, CA, AB en los puntos D, E, F, respectivamente. La circunferencia de centro en F y que pasa por A vuelve a cortar a AC en A_b. La circunferencia de centro en E y que pasa por A vuelve a cortar a AB en A_c. La recta A_bA_c (que pasa por el ortocentro) corta a BC en A_a.
Similarmente, se definen los puntos B_a, B_b, B_c, C_a, C_b, C_c.

Los puntos A_a, B_b y C_c están en la recta que corta a la circunferencia de Euler en los centros de las hipérbolas rectangulares de Jerabek y circunscrita que pasa por el centro X₉₃.

Los seis puntos A_b, A_c, B_a, B_c, C_a y C_b están en una hipérbola que pasa por X₁₀₇ (en la circunferencia circunscrita), X₆₄₈ (tripolo de la recta de Euler).

Las rectas AS_a, BS_b, CS_c son parelelas, con punto del infinito X₅₂₃, conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert.

Triángulo ceviano y ejes radicales

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' su triángulo ceviano.
Conideremos los siguentes puntos: M_a el punto medio de AH, M'_a el punto medio de A'H, y M₁ el punto medio de M_aM'_a. Similarmente, se definen M₂ y M₃.
Denotamos por:
R_a el eje radical de las circunferencias M₂(M₂B') y M₃(M₃C').
R_b el eje radical de las circunferencias M₃(M₃C') y M₁(M₁A').
R_c el eje radical de las circunferencias M₁(M₁A') y M₂(M₂B').

  Las paralelas L_a, L_b, L_c a R_a, R_b, R_c a través de A, B, C, respectivamente, son concurrentes si y sólo si P está en la cúbica de Lucas. El punto de concurrencia Q queda sobre la cúbica de Darboux.

  Los puntos P, Q y R están alineados si y sólo si P está en una curva algebraica de grado diez, que pasa por A, B, C, X₂, X₄, X₂₀, los puntos medios de los lados (donde es tangente a los lados), pies de las cevianas de X₆₉ y por los puntos del infinto de los lados.

  Si P es el baricentro, Q es el ortocentro, y R es X₃₈₃₀, que divide al segmento X₂X₄ en la razón 3:-1.


  Los puntos L_a∩R_b, L_a∩R_c, L_b∩R_c, L_b∩R_a, L_c∩R_a, L_c∩R_b quedan sobre una misma cónica de centro el punto medio de Q y R.

Construcción triángulo (AB AC IH)

Construcción de un triángulo conocidas las rectas determinadas por dos de sus lados y la recta que pasa por el incentro y el ortocentro.

Conjugado isotómico del conjugado isogonal

Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF su triángulo circunceviano. Denotamos por (A_b) la circunferencia que pasa por D y es tangente a AB en B, y por (A_c) la circunferencia que pasa por D y es tangente a AC en C.
Sea A' el otro punto de intersección de estas circunferencias (está sobre BC). Similarmente, se definen los puntos B' y C'. (ver Estrofoide de Jerabek)

A'B'C' es el triángulo ceviano de tgP, conjugado isotómico del conjugado isogonal de P.

Proyectividad en la recta de Euler

 Sean ABC un triángulo y P un punto. El triángulo circunceviano de P es perspectivo con el triángulo ceviano del conjugado isotómico del conjugado isogonal de P si y solo si P está en la recta de Euler.
 El perspector P' también está en al recta de Euler y la correspondencia P ↦ P' es una proyectividad, con puntos dobles los de intersección de la recta de Euler con la circunferencia circunscrita.

D(-a^2vw : v(c^2v+b^2w) : w(c^2v + b^2w)), E(u(c^2u+a^2w) : -b^2uw : w(c^2u+a^2w)), F(u(b^2u+a^2v) : v(b^2u+a^2v) : -c^2uv).

L(0 : c^2v : b^2w), M(c^2u : 0 : a^2w), N(b^2u : a^2v : 0).

P' (2b^2c^2S_Au^2 + a^2(b^2c^2+a^2(S_A-a^2))vw + b^2(b^2c^2+a^2(S_A-b^2))wu + c^2(b^2c^2+a^2(S_A-c^2))uv : ... : ...)

Cuando P varía en al recta de Euler, las rectas DL, EM, DN pasan por puntos fijos (sobre la circunferencia circunscrita) que son los vértices del triángulo circunceviano del punto de De Longchamps, respecto al triángulo A'B'C', antipodal de ABC.

Estrofoide de Jerabek

Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF su triángulo circunceviano. Denotamos por A_b el centro de la circunferencia que pasa por D y es tangente a AB en B, y por A_c el centro de la circunferencia que pasa por D y es tangente a AC en C.
Similarmente, se definen los puntos B_c, B_a y C_a, C_b.

Las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b no son concurrentes y el triángulo A'B'C' delimitado por ellas es perspectivo con ABC si y solo si P queda en la estrofoide de Jerabek (K039).

Las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b son concurrentes si y solo si P queda en una séxtica con puntos dobles en los vértices de ABC

Los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si y solo si P está sobre la estrofoide de Jerabek.   En este caso, el centro de ortología de ABC respecto a A'B'C' describe la estrofoide de Ehrmann (K025).

Lugares geométricos y triángulos circuncevianos

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' su triángulo circunceviano.
Denotamos:
A_b el centro de la circunferencia pasando por C' y tangente a AB en B,
A_c el centro de la circunferencia pasando por B' y tangente a AC en C.
Similarmente se definen los puntos B_c,B_a y C_a,C_b.
Sean además M_a, M_b, M_c los puntos medios de los segmentos A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b.

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que el triángulo delimitado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b es nodegenerado y perspectivo con ABC es la cúbica de Neuberg, K001 = pK(X6, X30),

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son concurrentes es una séxtica con puntos dobles en los vértices de ABC, pasa por los centros X₂, X₃ y X₁₁₃₉ y por los puntos, O_a, O_b, O_c, donde las cevianas del circuncentro vuelven a corta a al cúbica de Neuberg.

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos ABC y M_aM_bM_c son ortológicos es es la cúbica de Thomson, K002 = pK(X6, X2),

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que las mediatrices de los segmentos A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son concurrentes es una nónica con puntos cuadruples en los vértices de ABC, pasa por los centros X₁, X₂, X₃, X₁₃, X₁₄, X₁₁₁₃, X₁₁₁₄, y X₁₁₃₈ y por los pies de las cevianas del circuncentro.

Punto de reflexión de Parry y otros asociados

Sean ABC un triángulo, d_a, d_b, d_c tres rectas paralelas a través de A, B, C, respectivamente, y d'_a, d'_b, d'_c las reflexiones de d_a, d_b, d_c en BC, CA, AB, respectivamente.

Si las recta d_a, d_b, d_c son paralelas a la recta de Euler de ABC, las rectas d'_a, d'_b, d'_c concurren en X₃₉₉ (punto de reflexión de Parry)

El eje radical de las circunferencias circunscrita y de Euler de A'B'C' pasa por un punto fijo Y, cuando las rectas d_a, d_b, d_c giran alrededor de A, B, C, permaneciendo paralelas.

Y = (a^10(b^2+c^2)
-a^8(3b^4+4b^2c^2+3c^4)
+a^6(2b^6+5b^4c^2+5b^2c^4+2c^6)
+2a^4(b^8-3b^6c^2+b^4c^4-3b^2c^6+c^8)
-a^2(b^2-c^2)^2(3b^6-4b^4c^2-4b^2c^4+3c^6)
+(b^2-c^2)^6: ... : ...)

Perpendiculares a cevianas y lugares geométricos

•  Sean ABC un triángulo, I su incentro y P un punto. La perpendicular por P a AI corta a AB y AC en A_b y A_c, respectivamente. Se denota por r₁ el eje radical de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC y AA_bA_c.
Los ejes radicales r₂ y r₃ se definen de forma cíclica.

El lugar geométrico de los puntos P tales que el triángulo ABC es perspectivo con el triángulo A'B'C', delimitado por los ejes radicales r₁, r₂ y r₃, está formado por la hipérbola equilátera que pasa por el incentro (hipérbola de Feuerbach) y por la cúbica circunscrita a ABC de ecuación baricéntrica:
x (c (a - b) (a - b + c) y^2 + b (a - c) (a + b - c) z^2) +
y (a (b - c) (a + b - c) z^2 + c (b - a) (-a + b + c) x^2) +
z (b (c - a) (-a + b + c) x^2 + a (c - b) (a - b + c) y^2 ) - 2 a b c x y z = 0.

El lugar geométrico de los puntos P tales que el triángulo ABC es perspectivo con el triángulo A'B'C', delimitado por los ejes radicales r₁, r₂ y r₃, está formado por la circunferencia circunscrita a ABC y por la cúbica de Darboux K004

Cuando P se mueve sobre la circunferencia circunscrita los ejes radicales r₁, r₂ y r₃ son concurrentes en un punto Q, que describe la isocúbica no pivotal nK(X(577),X(394),X(3))=cK(#X(3),X(394)) (conico-pivotal isocubic, Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane, §8), que tiene al circuncentro como punto aislado y pasa por X₈₇₈ (que corresponde a P=X₉₈, punto de Tarry).
La "cónica de contacto" de cK(#X(3),X(394)) es la cónica circunscrita de Johnson.
(Otros ejemplos de "conico-pivotal isocubics" )

Triángulos con misma área que el triángulo órtico

Dado un triángulo ABC, el lugar geométrico de los puntos P para los cuales su triángulo pedal tiene la misma área que el triángulo órtico es la circunferencia de centro el circuncentro y que pasa por el ortocentro.

Una propiedad del cuadrado baricéntrico del simediano

Sean ABC un triángulo y L un punto variable sobre la paralela a BC por A. El lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos LBC es una parábola; denotamos por t_a la tangente en su vértice. Similarmente y de forma cíclica se consideran la tangentes t_b y t_c.

El cento de homotecia de los triángulos ABC y el delimitado por t_a, t_b y t_c es el X₃₂.

Conjugado isogonal respecto al triángulo antipedal

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo antipedal de P. El lugar geométrico de los puntos P tales que P, el conjugado isogonal de P respecto a ABC y el conjugado isogonal de P respecto a A'B'C' están alineados es cúbica de McKay, K003 = pK(X6, X3).

El centro de congruencia de Yff

Sean ABC un triángulo, P un punto, A₁ y A₂ los centros de semejanza interno y externo de las circunferencias con centro en B y C que pasan por P. Similarmente, y de forma cíclica, se definen los puntos B₁, B₂, C₁, A₂. Entonces, las rectas AA₁, BB₂ y CC₁ concurren en un punto Q, cuya polar trilineal pasa por A₂, B₂ y C₂.

Esta construcción de los puntos A₁ y A₂ conincide con la generalización dada por Peter Moses en ETC, ya que PA₁ es la bisectriz del ángulo ∠BPC:
"Let ABC be a triangle and P a point. Let D be the point on side BC such that ∠BPD = ∠DPC), and likewise for point E on side CA and point F on side AB. If P = (p : q : r) (trilinears), then the lines AD, BE, CF concur in the point K(P) = f(p,q,r,A) : f(q,r,p,B) : f(r,p,q,C), where f(p,q,r,A) = (q^2 + r^2 + 2qr cos A)-1/2. Moreover, if P* is the inverse of P in the circumcircle, then K(P*) = K(P). [Peter Moses, Feb. 1, 2010, based on Seiichi Kirikami's construction of X(174)]"

Triángulos ortológicos asociados al baricentro

Sean ABC un triángulo y A'B'C' el triángulo medial.
Adoptamos las siguientes notaciones:

A_b y A_c los circuncentros de los triángulos AGB' y AGC', resp.
B_c y B_a los circuncentros de los triángulos BGC' y BGA', resp.
C_a y C_b los circuncentros de los triángulos CGA' y CGB', resp.
M_a, M_b y M_c los puntos medios de A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b, resp.

Los triángulos ABC y M_aM_bM_c son ortológicos.
El centro de ortología de M_aM_bM_c con respecto a ABC es el centro de la circunferencia de los nueve puntos, X₅.
El centro de ortología de ABC con respecto a M_aM_bM_c es:

Sean M₁, M₂ y M₃ los simétricos de M_a, M_b y M_c respecto a las medianas AA', BB' y CC'. Los triángulos ABC y M₁M₂M₃ son ortológicos