- Viernes, 10 de mayo del 2024
El punto medio de X(4) y X(17829)
El 10 de mayo de 1994 Nelson Mandela se convertía en el primer presidente negro de Sudáfrica y su proclamación ponía fin a 342 años de dominio blanco y a 46 de régimen de discriminación racial conocido como 'apartheid'.
Fue elegido presidente de Sudáfrica, en elecciones democráticas, sucediendo a Frederick De Klerk
Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X3, ortocentro H=X4 y circunferencia circunscrita Γ, sean Ab el punto donde la recta que pasa por A y por el punto de intersección de BC con la paralela a AC por O vuelve a cortar a Γ y Ac el punto donde la recta que pasa por A y por el punto de intersección de BC con la paralela a AB por O vuelve a cortar a Γ. Se denota por ℓa la recta AbAc, y se definen cíclicamente las rectas ℓb y ℓc. Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas ℓa, ℓb y ℓc.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son perspectivos; el centro de perspectividad es el punto medio de X
4 y
X17829.
Ab = ((a^2-b^2+c^2) (a^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+2 c^2)) : -b^2 (a^2-b^2-3 c^2) (a^2-b^2+c^2) : (a^2-b^2-3 c^2) (a^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+2 c^2))),
Ac = ((a^2+b^2-c^2) (a^4+b^4-b^2 c^2-a^2 (2 b^2+c^2)) : (a^2-3 b^2-c^2) (a^4+b^4-b^2 c^2-a^2 (2 b^2+c^2)) : -c^2 (a^2-3 b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2)),
ℓa: a^2 (a^4+3 b^4+10 b^2 c^2+3 c^4-4 a^2 (b^2+c^2))x+(-a^6+3 a^4 c^2+(-b^2 c+c^3)^2+a^2 (b^4+2 b^2 c^2-3 c^4))y+(-a^6+3 a^4 b^2+(b^3-b c^2)^2+a^2 (-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4))z=0.
Las rectas AA', BB', CC' concurren en:
W = ( 1/(a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (6 b^4+20 b^2 c^2+6 c^4)-4 a^2 (b^2+c^2)^3+(b^2-c^2)^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(-16.1957070556932, -19.3348048864141, 24.5012403520526).
Es el punto medio de X4 y X17829.
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,1498}, {4,1033}, {10,38015}, {76,6527}, {226,8803}, {459,3089}, {2052,6523}, {2883,31363}, {3086,8808}, {3088,56346}, {3146,6504}, {3316,6807}, {3317,6808}, {3424,16621}, {3542,38253}, {3543,54785}, {3839,54797}, {5485,34621}, {5656,13599}, {6776,45300}, {7400,18840}, {12233,14484}, {13579,17578}, {13582,50690}, {31943,31956}, {34781,40448}, {50687,54761}.
Notas sobre esta configuración (Peter Moses, César Lozada)
• Los seis puntos en los que las paralelas que se han trazado por O cortan a los lados de ABC, están sobre una cónica, denotada por Cpar(O) en el preámbulo de X10001. Su centro es X182, punto medio del
• Las seis rectas AAb, AAc, BBc, BBa, CCa, CCb, son tangentes a una cónica, denotada por TCpar(O) en el preámbulo de X37869. Su centro es X37871.
- Martes, 7 de mayo del 2024
Triángulos perspectivos a partir de puntos conjugados isogonales
El 7 de mayo de 1861
nació Rabindranath Tagore, poeta bengalí, filósofo y novelista, que en 1913 recibió el Premio Nobel de Literatura, lo que le convertirá en el primer asiático en lograrlo.
Sean ABC un triángulo y P, Q dos puntos . Las rectas AP y AQ vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita, Γ, en AP y AQ, y sean A'P y A'Q sus simétricos respeto al circuncentro. La recta PA'Q vuelve a cortar a Γ en Pa y la recta QA'P vuelve a cortar a Γ en Qa.
Los puntos Pb, Qb y Pc, Qc se definen cíclicamente. Sean A'=PbQb∩PcQc, B'=PcQc∩PaQa,
C'=PaQa∩PbQb,
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
A' = (-a^2 v w (-2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 u^4+a^8 v w (u^2+2 v w+u (v+w))+a^2 (b^2-c^2) u^2 (c^4 v (-u+v-w)+b^4 (u+v-w) w-b^2 c^2 (v-w) (7 u+v+w))+a^6 u (b^2 w (u^2-u v-2 v^2+3 u w+6 v w)+c^2 v (u^2+3 u v-u w+6 v w-2 w^2))-a^4 (c^4 v (2 u^3+u (7 v-w) w+2 v w^2+u^2 (2 v+w))+b^4 w (2 u^3-u v (v-7 w)+2 v^2 w+u^2 (v+2 w))-2 b^2 c^2 (u^4+2 v^2 w^2+3 u^3 (v+w)+3 u v w (v+w)-u^2 (v^2-13 v w+w^2)))) :
w (-b^4 c^2 (b^2-c^2)^2 u^4 (v+w)+a^8 (-c^2 v^4 (u+w)+b^2 v^2 w (u^2+u v+v w))+a^6 (2 c^4 v^4 (u+w)-b^4 u w (2 v^2 (v-w)+u^2 (-v+w)+u v (v+2 w))-b^2 c^2 v^2 (2 u v w+2 v^2 w+u^2 (2 v+3 w)))+a^2 b^2 (b^2-c^2) u^2 (c^4 v^2 w+b^4 w (v^2+u (v+w))-b^2 c^2 (2 u^2 w+2 v^2 w+u (2 v^2+v w-w^2)))+a^4 (-c^6 v^4 (u+w)-b^6 v w (2 u^3+u^2 (v-2 w)-u v (v-2 w)+v^2 w)+b^2 c^4 v^2 (u v w+v (2 v-w) w+u^2 (2 v+3 w))+b^4 c^2 (u^4 (v-w)-v^3 (v-2 w) w+2 u^3 (v^2-v w+w^2)+2 u^2 v (v^2+3 v w+w^2)+u v^2 (v^2-2 v w+2 w^2)))) :
v (-c^4 (b^3-b c^2)^2 u^4 (v+w)+a^8 (-b^2 (u+v) w^4+c^2 v w^2 (u^2+u w+v w))-a^6 (-2 b^4 (u+v) w^4+c^4 u v (u^2 (v-w)+2 w^2 (-v+w)+u w (2 v+w))+b^2 c^2 w^2 (2 u v w+2 v w^2+u^2 (3 v+2 w)))+a^4 (-b^6 (u+v) w^4-c^6 v w (2 u^3+u (2 v-w) w+v w^2+u^2 (-2 v+w))+b^4 c^2 w^2 (u v w-v (v-2 w) w+u^2 (3 v+2 w))+b^2 c^4 (v (2 v-w) w^3+u^4 (-v+w)+u w^2 (2 v^2-2 v w+w^2)+2 u^3 (v^2-v w+w^2)+2 u^2 w (v^2+3 v w+w^2)))-a^2 c^2 (b^2-c^2) u^2 (b^4 v w^2+c^4 v (w^2+u (v+w))-b^2 c^2 (2 u^2 v+2 v w^2+u (-v^2+v w+2 w^2))))).
Las rectas AA', BB', CC' concurren en:
W = 1/(u (a^6 (b^2 c^2 u v^2 w^2+b^4 (u+v) w^4+c^4 v^4 (u+w))-a^4 (2 b^6 (u+v) w^4+2 c^6 v^4 (u+w)+b^4 c^2 w^2 (-u^2 w+2 v^2 w+u (3 v^2+v w+2 w^2))+b^2 c^4 v^2 (-u^2 v+2 v w^2+u (2 v^2+v w+3 w^2)))+a^2 (b^8 (u+v) w^4+c^8 v^4 (u+w)+b^6 c^2 w^2 (2 v^2 w+u (3 v^2+2 v w+2 w^2))+b^2 c^6 v^2 (2 v w^2+u (2 v^2+2 v w+3 w^2))-b^4 c^4 (-u (v-w)^2 (v^2+4 v w+w^2)+2 u^2 (v^3+v^2 w+v w^2+w^3)+v w (v^3+2 v^2 w+2 v w^2+w^3)))-b^2 c^2 (b^2-c^2) u (b^4 w^2 (v^2+u w+v w)-c^4 v^2 (u v+w (v+w))+b^2 c^2 (v-w) (v w (v+w)-u (v^2+3 v w+w^2))))) : :
Cuando P y Q son los focos (X46357 y X46358) de la cónica inscrita de centro el circuncentro ( el ), W=X64.
En este caso, A'B'C' es el del circuncentro: X(64) = X(3)- of X(3).
Los lados de A'B'C' son tangentes a Γ para cualquier otro par de puntos conjugados isogonales sobre la cúbica de McCay.
Una construcción de X64 aparece en Emile Lemoine, "Quelques questions se rapportant à l'étude des antiparallèles des côtes d'un triangle", Bulletin de la S. M. F., tome 14 (1886), p. 107-128, concretamente, en la página 111. Este artículo está disponible en
Numdam
(dans page 110)
ABC est un triangle. En B je mène une perpendiculaire à AB
qui coupe AC en i
a; en C une perpendiculaire à AC qui coupe AB en i
c.
La droite i
bi
c se denota por (I
a). De même, les droite (I
b) et (I
c) sont définies.
Nous appellerons I
a, I
b, I
c les sommets du triangle formé par les droites
(I
a), (I
b), (I
c), Ia étant l'intersection des droites (I
b), (I
c),...
Le deux triangles ABC, I
aI
bI
c sont homologiques; le centre d'homologie
a pour coordonnées
1/(cosA-cosB cosC), 1/(cosB-cosC cosA), 1/(cosC-cosA cosB)
(
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- Viernes, 3 de mayo del 2024
El centro del triángulo X(34567)
El 3 de mayo de 1948 el dramaturgo estadounidense Tennessee Williams obtiene el Premio Pulitzer por su obra teatral "Un tranvía llamado Deseo".
Una poderosa exploración de los deseos humanos, tanto físicos como emocionales, y de las consecuencias que surgen cuando estos deseos se dejan sin control.
Sea ABC un triángulo con triángulo medial DEF. Ba y Ca son puntos sobre AB y AC, respectivamente, tales que los triángulos BBaD y CCaD son isósceles con cúspide D.
B'a y C'a son las proyecciones ortogonales sobre BC de Ba y Ca, respectivamente.
Abb y Abc son los puntos medios de BB'a y CB'a, y Acb y Acc son los puntos medios de BC'a y CC'a.
ℓa es la recta que pasa por los ortocentros, Hab y Hac, de BaAbbAbc y CaAcbAcc. Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente.
Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas ℓb, ℓb, ℓc.
En coordenadas baricéntricas:
A'=ℓb∩ℓc = (3 (3 a^8-10 a^6 (b^2+c^2)-6 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)+3 a^4 (4 b^4+3 b^2 c^2+4 c^4)):
-b^2 (-3 a^6+3 b^6-2 b^4 c^2-3 b^2 c^4+2 c^6+a^4 (9 b^2+8 c^2)-a^2 (9 b^4+6 b^2 c^2+7 c^4)):
-c^2 (-3 a^6+2 b^6-3 b^4 c^2-2 b^2 c^4+3 c^6+a^4 (8 b^2+9 c^2)-a^2 (7 b^4+6 b^2 c^2+9 c^4))).
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son perspectivos y el centro de perspectividad es
X34567, conjugado isogonal de
X3628, baricentro de {
D, E, F, X
5}.
- Viernes, 26 de abril del 2024
X(5888) punto fijo de una afinidad
El 26 de abril de 1986 se produjeron dos explosiones en la central nuclear de Chernobyl, en Ucrania, mientras se llevaba a cabo un experimento para probar la gama inercial de la unidad turbo-generadora. Un fallo en el sistema de seguridad hizo que los elementos de enfriamiento no se activen.
El vapor de la primera explosión destruyó el techo de hormigón, y la segunda fue aún peor, provocando la muerte de dos personas y obligando a evacuar a 116.000 personas. Se estima que la explosión fue 500 veces mayor que las realizada por la bomba de Hiroshima en 1945, la más devastadora de la historia bélica. Además, por la radiación liberada, más de 5 millones de personas estuvieron expuestas.
X(5888) is the similitude center of ABC and the .
X(5888) = Thomson-isogonal conjugate of X(549), midpoint of centroid and circumcenter.
Dado un triángulo ABC con DEF, circuncentro O=X3 y simediano K=X6, sea 𝒞a la cónica que pasa por B, C, E, F y O, también pasa por K y la proyección ortogonal de O sobre AK (A2, A-vértice del ). Sea ℓa la recta que pasa por los otros dos puntos de intersección de
𝒞a
-b^2 c^2 x^2+b^2 c^2 x y+b^2 c^2 x z+a^4 y z-a^2 b^2 y z-a^2 c^2 y z = 0
y la circunferencia circunscrita Γ.
Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente. Sea A'B'C' el triángulo formado por estas tres rectas.
ℓa
-b^2 c^2 x-a^2 c^2 y+2 b^2 c^2 y+c^4 y-a^2 b^2 z+b^4 z+2 b^2 c^2 z = 0
es una de las dos rectas que forman la cónica degenerada (la otra es BC) del haz de cónicas 𝒞a+λ Γ, correspondiente a λ=b^2+c^2-a^2.
A' = ℓb ∩ ℓc =
(a^2 (a^4-2 (b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2)) : b^2 (-2 a^4+a^2 (b^2-5 c^2)+(b^2-c^2)^2) : c^2 (-2 a^4+(b^2-c^2)^2+a^2 (-5 b^2+c^2))).
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica
ABC en
A'B'C' es
X5888.
x:y:z ↦ σ(x:y:z)=
(a^6-2 a^2 (b^2-c^2)^2+a^4 (b^2+c^2)) x+a^2 (a^4-2 b^4-5 b^2 c^2+c^4+a^2 (b^2-2 c^2)) y+a^2 (a^4+b^4-5 b^2 c^2-2 c^4+a^2 (-2 b^2+c^2)) z:..:...
Los puntos fijos de σ en la recta del infinito tienen las direcciones de las asíntotas de la .
Como AK es perpendicular a ℓa (de hecho, ℓa es
la mediatriz de AA2), los triángulos ABC y A'B'C' son . El centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC es X3098.
- Sábado, 23 de marzo del 2024
Algo más relativo al X(2052)
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A Marta, en el aniversario de su nacimiento
|
Sea ABC un triángulo con DEF, la circunferencia que pasa por A y por los simétricos de D, respecto a AB y a AC, vuelve a cortar a AC y a AB en Ab y Ac, respectivamente. En coordenadas baricéntricas:
Ab = (a^4 - (-b^2 + c^2)^2 : 0 : a^4 + (-b^2 + c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2)),
Ac = (a^4 - (b^2 - c^2)^2 : a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2), 0).
Los puntos Bc, Ba, Ca, Cb se definen cíclicamente. Sea A'B'C' el triángulo cuyos vértices son las intersecciones de las rectas:
A' = CaAc∩AbBa,
B' = AbBa∩BcCa,
C' = BcCb∩CaAc.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad
X(2052).
La
'perspeconic'
𝔖abc xyz
(b+c-a) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) (a^2-b^2-c^2)^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2)x^2+
-2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^8-3 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (3 b^4+4 b^2 c^2+3 c^4)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2)y z = 0.
de
ABC y
A'B'C', que pasa por los seis puntos
Ab,
Ac,
Bc,
Ba,
Ca,
Cb, es homotética a la cónica circunscrita
ABC con este mismo punto.
El punto fijo de la transformación afín, σ, que aplica ABC en A'B'C' es X(1075), del circuncentro y el ortocentro.
σ(x:y:z) = (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^2 b^2 (a^2-b^2)^4-(a^2-b^2)^2 (a^2+b^2)^3 c^2+2 (a^2-b^2)^2 (2 a^4+3 a^2 b^2+2 b^4) c^4+2 (-3 a^6+a^4 b^2+a^2 b^4-3 b^6) c^6+(4 a^4+a^2 b^2+4 b^4) c^8-(a^2+b^2) c^10) (a^6 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-3 a^4 (b^4+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^4+c^4)) (a^10 (b-c) (b+c)+b^2 c^2 (b^2-c^2)^4+a^2 (b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)^2+a^8 (-4 b^4+b^2 c^2+4 c^4)+2 a^6 (3 b^6+b^4 c^2-b^2 c^4-3 c^6)-2 a^4 (2 b^8+b^6 c^2-2 b^4 c^4+b^2 c^6-2 c^8)) x-
(a-b-c) (a+b-c) c^2 (a-b+c) (a+b+c) (a^2+b^2-c^2)^2 (a^2-b^2+c^2) (a^2 b^2 (a^2-b^2)^4-(a^2-b^2)^2 (a^2+b^2)^3 c^2+2 (a^2-b^2)^2 (2 a^4+3 a^2 b^2+2 b^4) c^4+2 (-3 a^6+a^4 b^2+a^2 b^4-3 b^6) c^6+(4 a^4+a^2 b^2+4 b^4) c^8-(a^2+b^2) c^10) (-b^2 c^2 (b^2-c^2)^4+a^10 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)^3-2 a^4 (b^2-c^2)^2 (2 b^4+3 b^2 c^2+2 c^4)+2 a^6 (b^2+c^2) (3 b^4-4 b^2 c^2+3 c^4)-a^8 (4 b^4+b^2 c^2+4 c^4)) y+
b^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2)^2 (-b^2 c^2 (b^2-c^2)^4+a^10 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)^3-2 a^4 (b^2-c^2)^2 (2 b^4+3 b^2 c^2+2 c^4)+2 a^6 (b^2+c^2) (3 b^4-4 b^2 c^2+3 c^4)-a^8 (4 b^4+b^2 c^2+4 c^4)) (a^10 (b-c) (b+c)+b^2 c^2 (b^2-c^2)^4+a^2 (b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)^2+a^8 (-4 b^4+b^2 c^2+4 c^4)+2 a^6 (3 b^6+b^4 c^2-b^2 c^4-3 c^6)-2 a^4 (2 b^8+b^6 c^2-2 b^4 c^4+b^2 c^6-2 c^8)) z : :
- Sábado, 16 de marzo del 2024
Otra construcción del centro del triángulo X(2052)
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La Matanza de My Lai fue un crimen de guerra cometido por personal del Ejército de Estados Unidos el 16 de marzo de 1968, consistente en el asesinato en masa de civiles desarmados en Vietnam del Sur.
Entre 347 y 504 civiles fueron asesinados, entre las víctimas había hombres, mujeres, niños y bebés. Algunas de las mujeres fueron violadas en grupo y sus cuerpos mutilados; algunos soldados mutilaron y violaron a niños de tan sólo 12 años. Se trata de la mayor masacre de civiles perpetrada por las fuerzas estadounidenses en el siglo XX de la que se tiene público conocimiento.
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Sea ABC un triángulo, con ortocentro H=X4, y circunferencia circunscrita Γ. La circunferencia de diámetro AH vuelve a cortar a Γ en A' y la circunferencia Γa, tangente a Γ en A' y que pasa por Ma, vuelve a cortar a BC en A". Los puntos B" y C" se definen cíclicamente.
Usando coordenadas baricéntricas:
A' = (a^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) : (b-c) (b+c) (a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) : (b-c) (b+c) (-a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)),
Γa: (-b^4+c^4+a^2 (b-c) (b+c))^2 x^2
+
a^2 b^2 (a^2-b^2+c^2)^2 y^2
+a^2 c^2 (a^2+b^2-c^2)^2 z^2
-a^2 (-2 a^2 (b^2-c^2)^2+a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) y z
+(a^6 c^2+a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^2-c^2)-(b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)-a^4 (b^2+c^2)^2) z x
+
(a^6 b^2-a^2 (b^2-2 c^2) (b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^3 (b^2+c^2)-a^4 (b^2+c^2)^2) x y =0,
A" = (0 : c^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2: b^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2).
Las rectas
AA", BB", CC" concurren en
X(2052).
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica ABC en A"B"C" es X(13567).
(x:y:z) ↦
σ(x:y:z) =
c^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 ((a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2) -
2 (a^2 - b^2)^2 c^2 + (a^2 + b^2) c^4) (-2 a^2 (b^2 - c^2)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) y +
b^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2 (-2 a^2 (b^2 - c^2)^2 +
a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) (a^6 -
a^4 (2 b^2 + c^2) + (-b^2 c + c^3)^2 +
a^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 - c^4)) z : :
Pares {Xi, σ(Xi)=Xj}, para {i, j}: {185, 4}, {417, 13450}, {774, 17869}, {800, 41760}, {2883, 6247}, {6508, 40149}, {6509, 2052}, {13567, 13567}, {28172, 28190}, {28530, 704}, {36982, 64}, {41005, 53}, {41580, 1853}, {44079, 23291}, {44670, 29178}.
Los pares de color están en la recta del infinito.
- Martes, 12 de marzo del 2024
Reflexiones de los lados de un triángulo en las cevianas de un punto
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El 12 de marzo de 1945 nació Vijay Kumar Patodi, fue un matemático indio que hizo contribuciones fundamentales a la geometría diferencial, operadores diferenciales, variedades analíticas y topología algebraica. Fue el primer matemático en aplicar métodos de ecuaciones de calor a la prueba del
Teorema del índice para los operadores elípticos.
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Dados un triángulo ABC y un punto P, distinto del ortocentro, sean ℓa, ℓb, ℓc las reflexiones de los lados BC, CA, AB en las cevianas AP, BP, CP, respectivamente.
Las rectas ℓa, ℓb, ℓc son concurrentes, en Q, si y solo si P está en una séxtica tricircular, 𝒮, con los vértices A, B, C puntos aislados.
La
curva 𝒮
a^4 c^2 x^4 y^2 - 2 a^2 b^2 c^2 x^4 y^2 + b^4 c^2 x^4 y^2 -
2 a^2 c^4 x^4 y^2 + b^2 c^4 x^4 y^2 + c^6 x^4 y^2 +
2 a^4 c^2 x^3 y^3 - 4 a^2 b^2 c^2 x^3 y^3 + 2 b^4 c^2 x^3 y^3 -
a^2 c^4 x^3 y^3 - b^2 c^4 x^3 y^3 - c^6 x^3 y^3 + a^4 c^2 x^2 y^4 -
2 a^2 b^2 c^2 x^2 y^4 + b^4 c^2 x^2 y^4 + a^2 c^4 x^2 y^4 -
2 b^2 c^4 x^2 y^4 + c^6 x^2 y^4 - a^6 x^4 y z + 3 a^4 b^2 x^4 y z -
3 a^2 b^4 x^4 y z + b^6 x^4 y z + 3 a^4 c^2 x^4 y z -
5 a^2 b^2 c^2 x^4 y z + 2 b^4 c^2 x^4 y z - 3 a^2 c^4 x^4 y z +
2 b^2 c^4 x^4 y z + c^6 x^4 y z - a^6 x^3 y^2 z +
3 a^4 b^2 x^3 y^2 z - 3 a^2 b^4 x^3 y^2 z + b^6 x^3 y^2 z +
2 a^4 c^2 x^3 y^2 z - 3 a^2 b^2 c^2 x^3 y^2 z + b^4 c^2 x^3 y^2 z -
a^2 c^4 x^3 y^2 z - 2 b^2 c^4 x^3 y^2 z + a^6 x^2 y^3 z -
3 a^4 b^2 x^2 y^3 z + 3 a^2 b^4 x^2 y^3 z - b^6 x^2 y^3 z +
a^4 c^2 x^2 y^3 z - 3 a^2 b^2 c^2 x^2 y^3 z + 2 b^4 c^2 x^2 y^3 z -
2 a^2 c^4 x^2 y^3 z - b^2 c^4 x^2 y^3 z + a^6 x y^4 z -
3 a^4 b^2 x y^4 z + 3 a^2 b^4 x y^4 z - b^6 x y^4 z +
2 a^4 c^2 x y^4 z - 5 a^2 b^2 c^2 x y^4 z + 3 b^4 c^2 x y^4 z +
2 a^2 c^4 x y^4 z - 3 b^2 c^4 x y^4 z + c^6 x y^4 z +
a^4 b^2 x^4 z^2 - 2 a^2 b^4 x^4 z^2 + b^6 x^4 z^2 -
2 a^2 b^2 c^2 x^4 z^2 + b^4 c^2 x^4 z^2 + b^2 c^4 x^4 z^2 -
a^6 x^3 y z^2 + 2 a^4 b^2 x^3 y z^2 - a^2 b^4 x^3 y z^2 +
3 a^4 c^2 x^3 y z^2 - 3 a^2 b^2 c^2 x^3 y z^2 -
2 b^4 c^2 x^3 y z^2 - 3 a^2 c^4 x^3 y z^2 + b^2 c^4 x^3 y z^2 +
c^6 x^3 y z^2 - 2 a^6 x^2 y^2 z^2 + 2 a^4 b^2 x^2 y^2 z^2 +
2 a^2 b^4 x^2 y^2 z^2 - 2 b^6 x^2 y^2 z^2 + 2 a^4 c^2 x^2 y^2 z^2 -
6 a^2 b^2 c^2 x^2 y^2 z^2 + 2 b^4 c^2 x^2 y^2 z^2 +
2 a^2 c^4 x^2 y^2 z^2 + 2 b^2 c^4 x^2 y^2 z^2 - 2 c^6 x^2 y^2 z^2 -
a^4 b^2 x y^3 z^2 + 2 a^2 b^4 x y^3 z^2 - b^6 x y^3 z^2 -
2 a^4 c^2 x y^3 z^2 - 3 a^2 b^2 c^2 x y^3 z^2 + 3 b^4 c^2 x y^3 z^2 +
a^2 c^4 x y^3 z^2 - 3 b^2 c^4 x y^3 z^2 + c^6 x y^3 z^2 +
a^6 y^4 z^2 - 2 a^4 b^2 y^4 z^2 + a^2 b^4 y^4 z^2 +
a^4 c^2 y^4 z^2 - 2 a^2 b^2 c^2 y^4 z^2 + a^2 c^4 y^4 z^2 +
2 a^4 b^2 x^3 z^3 - a^2 b^4 x^3 z^3 - b^6 x^3 z^3 -
4 a^2 b^2 c^2 x^3 z^3 - b^4 c^2 x^3 z^3 + 2 b^2 c^4 x^3 z^3 +
a^6 x^2 y z^3 + a^4 b^2 x^2 y z^3 - 2 a^2 b^4 x^2 y z^3 -
3 a^4 c^2 x^2 y z^3 - 3 a^2 b^2 c^2 x^2 y z^3 - b^4 c^2 x^2 y z^3 +
3 a^2 c^4 x^2 y z^3 + 2 b^2 c^4 x^2 y z^3 - c^6 x^2 y z^3 -
2 a^4 b^2 x y^2 z^3 + a^2 b^4 x y^2 z^3 + b^6 x y^2 z^3 -
a^4 c^2 x y^2 z^3 - 3 a^2 b^2 c^2 x y^2 z^3 - 3 b^4 c^2 x y^2 z^3 +
2 a^2 c^4 x y^2 z^3 + 3 b^2 c^4 x y^2 z^3 - c^6 x y^2 z^3 -
a^6 y^3 z^3 - a^4 b^2 y^3 z^3 + 2 a^2 b^4 y^3 z^3 -
a^4 c^2 y^3 z^3 - 4 a^2 b^2 c^2 y^3 z^3 + 2 a^2 c^4 y^3 z^3 +
a^4 b^2 x^2 z^4 + a^2 b^4 x^2 z^4 + b^6 x^2 z^4 -
2 a^2 b^2 c^2 x^2 z^4 - 2 b^4 c^2 x^2 z^4 + b^2 c^4 x^2 z^4 +
a^6 x y z^4 + 2 a^4 b^2 x y z^4 + 2 a^2 b^4 x y z^4 + b^6 x y z^4 -
3 a^4 c^2 x y z^4 - 5 a^2 b^2 c^2 x y z^4 - 3 b^4 c^2 x y z^4 +
3 a^2 c^4 x y z^4 + 3 b^2 c^4 x y z^4 - c^6 x y z^4 + a^6 y^2 z^4 +
a^4 b^2 y^2 z^4 + a^2 b^4 y^2 z^4 - 2 a^4 c^2 y^2 z^4 -
2 a^2 b^2 c^2 y^2 z^4 + a^2 c^4 y^2 z^4 = 0
pasa por X(80) (reflexión del incentro en el ), para el que las rectas ℓa, ℓb, ℓc son paralelas a la dirección de X(900).
Sean A1 y A2 los otros dos puntos de intersección de 𝒮 y BC.
A1,2 = (0 : 3 SC^2 - S^2 : S^2 + 3 ± Sqrt[3] a^2 S).
Similarmente, se consideran lo puntos B1, B2 y C1 y C2. Estos seis puntos están en una
cónica
a^4 x^2 - 2 a^2 b^2 x^2 + b^4 x^2 - 2 a^2 c^2 x^2 + b^2 c^2 x^2 +
c^4 x^2 + 2 a^4 x y - 4 a^2 b^2 x y + 2 b^4 x y - a^2 c^2 x y -
b^2 c^2 x y - c^4 x y + a^4 y^2 - 2 a^2 b^2 y^2 + b^4 y^2 +
a^2 c^2 y^2 - 2 b^2 c^2 y^2 + c^4 y^2 + 2 a^4 x z - a^2 b^2 x z -
b^4 x z - 4 a^2 c^2 x z - b^2 c^2 x z + 2 c^4 x z - a^4 y z -
a^2 b^2 y z + 2 b^4 y z - a^2 c^2 y z - 4 b^2 c^2 y z + 2 c^4 y z +
a^4 z^2 + a^2 b^2 z^2 + b^4 z^2 - 2 a^2 c^2 z^2 - 2 b^2 c^2 z^2 +
c^4 z^2 = 0
de centro el y homotética a la elipse circunscrita de el del simediano, X(32).
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas ℓa, ℓb, ℓc. Si P=(u:v:w), en coordenadas baricéntricas, entonces:
A' = (a^4 (u + v) (u + w) (u^2 - v w) +
u^3 (b^4 (u + v) + b^2 c^2 (u - v - w) + c^4 (u + w)) -
a^2 u (c^2 (u + w) (2 u^2 + u v + v^2 - v w) +
b^2 (u + v) (2 u^2 + u w - v w + w^2)) :
(b^2 (-u + w) +
a^2 (u + w) - c^2 (u + w)) (a^2 v (u + v) (u + w) -
u (b^2 (u + v) (v - w) + c^2 v (u - v + w))) :
(c^2 (-u + v) +
a^2 (u + v) - b^2 (u + v)) (-b^2 u (u + v - w) w +
c^2 u (v - w) (u + w) + a^2 (u + v) w (u + w))).
A'B'C' es no degenerado y respecto a
ABC si solo si
P está en la recta del infinito o sobre la quíntica
Q038, del catálogo de Bernard Gibert.
Cuando P está en la recta del infinito, el centro ortológico de ABC respecto a A'B'C' está sobre la circunferencia circunscrita, y el centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC está sobre una cuártica de
ecuación
(-9 a^12 + 12 a^10 b^2 + 30 a^8 b^4 - 60 a^6 b^6 + 15 a^4 b^8 +
24 a^2 b^10 - 12 b^12 + 12 a^10 c^2 + 44 a^8 b^2 c^2 -
20 a^6 b^4 c^2 - 180 a^4 b^6 c^2 + 184 a^2 b^8 c^2 -
40 b^10 c^2 + 30 a^8 c^4 - 20 a^6 b^2 c^4 - 70 a^4 b^4 c^4 -
208 a^2 b^6 c^4 + 268 b^8 c^4 - 60 a^6 c^6 - 180 a^4 b^2 c^6 -
208 a^2 b^4 c^6 - 432 b^6 c^6 + 15 a^4 c^8 + 184 a^2 b^2 c^8 +
268 b^4 c^8 + 24 a^2 c^10 - 40 b^2 c^10 -
12 c^12) x^4 + (-39 a^12 + 60 a^10 b^2 + 105 a^8 b^4 -
240 a^6 b^6 + 75 a^4 b^8 + 84 a^2 b^10 - 45 b^12 + 46 a^10 c^2 +
178 a^8 b^2 c^2 - 188 a^6 b^4 c^2 - 388 a^4 b^6 c^2 +
398 a^2 b^8 c^2 - 46 b^10 c^2 + 169 a^8 c^4 + 72 a^6 b^2 c^4 -
630 a^4 b^4 c^4 - 208 a^2 b^6 c^4 + 597 b^8 c^4 - 356 a^6 c^6 -
996 a^4 b^2 c^6 - 1076 a^2 b^4 c^6 - 1028 b^6 c^6 + 179 a^4 c^8 +
764 a^2 b^2 c^8 + 637 b^4 c^8 + 38 a^2 c^10 - 78 b^2 c^10 -
37 c^12) x^3 y + (-63 a^12 + 108 a^10 b^2 + 135 a^8 b^4 -
360 a^6 b^6 + 135 a^4 b^8 + 108 a^2 b^10 - 63 b^12 +
28 a^10 c^2 + 348 a^8 b^2 c^2 - 376 a^6 b^4 c^2 -
376 a^4 b^6 c^2 + 348 a^2 b^8 c^2 + 28 b^10 c^2 + 469 a^8 c^4 +
88 a^6 b^2 c^4 - 1114 a^4 b^4 c^4 + 88 a^2 b^6 c^4 +
469 b^8 c^4 - 896 a^6 c^6 - 1680 a^4 b^2 c^6 - 1680 a^2 b^4 c^6 -
896 b^6 c^6 + 539 a^4 c^8 + 1164 a^2 b^2 c^8 + 539 b^4 c^8 -
28 a^2 c^10 - 28 b^2 c^10 - 49 c^12) x^2 y^2 + (-45 a^12 +
84 a^10 b^2 + 75 a^8 b^4 - 240 a^6 b^6 + 105 a^4 b^8 +
60 a^2 b^10 - 39 b^12 - 46 a^10 c^2 + 398 a^8 b^2 c^2 -
388 a^6 b^4 c^2 - 188 a^4 b^6 c^2 + 178 a^2 b^8 c^2 +
46 b^10 c^2 + 597 a^8 c^4 - 208 a^6 b^2 c^4 - 630 a^4 b^4 c^4 +
72 a^2 b^6 c^4 + 169 b^8 c^4 - 1028 a^6 c^6 - 1076 a^4 b^2 c^6 -
996 a^2 b^4 c^6 - 356 b^6 c^6 + 637 a^4 c^8 + 764 a^2 b^2 c^8 +
179 b^4 c^8 - 78 a^2 c^10 + 38 b^2 c^10 -
37 c^12) x y^3 + (-12 a^12 + 24 a^10 b^2 + 15 a^8 b^4 -
60 a^6 b^6 + 30 a^4 b^8 + 12 a^2 b^10 - 9 b^12 - 40 a^10 c^2 +
184 a^8 b^2 c^2 - 180 a^6 b^4 c^2 - 20 a^4 b^6 c^2 +
44 a^2 b^8 c^2 + 12 b^10 c^2 + 268 a^8 c^4 - 208 a^6 b^2 c^4 -
70 a^4 b^4 c^4 - 20 a^2 b^6 c^4 + 30 b^8 c^4 - 432 a^6 c^6 -
208 a^4 b^2 c^6 - 180 a^2 b^4 c^6 - 60 b^6 c^6 + 268 a^4 c^8 +
184 a^2 b^2 c^8 + 15 b^4 c^8 - 40 a^2 c^10 + 24 b^2 c^10 -
12 c^12) y^4 + (-39 a^12 + 46 a^10 b^2 + 169 a^8 b^4 -
356 a^6 b^6 + 179 a^4 b^8 + 38 a^2 b^10 - 37 b^12 + 60 a^10 c^2 +
178 a^8 b^2 c^2 + 72 a^6 b^4 c^2 - 996 a^4 b^6 c^2 +
764 a^2 b^8 c^2 - 78 b^10 c^2 + 105 a^8 c^4 - 188 a^6 b^2 c^4 -
630 a^4 b^4 c^4 - 1076 a^2 b^6 c^4 + 637 b^8 c^4 - 240 a^6 c^6 -
388 a^4 b^2 c^6 - 208 a^2 b^4 c^6 - 1028 b^6 c^6 + 75 a^4 c^8 +
398 a^2 b^2 c^8 + 597 b^4 c^8 + 84 a^2 c^10 - 46 b^2 c^10 -
45 c^12) x^3 z + (-118 a^12 + 148 a^10 b^2 + 472 a^8 b^4 -
1008 a^6 b^6 + 482 a^4 b^8 + 140 a^2 b^10 - 116 b^12 +
148 a^10 c^2 + 816 a^8 b^2 c^2 - 696 a^6 b^4 c^2 -
1624 a^4 b^6 c^2 + 1332 a^2 b^8 c^2 + 24 b^10 c^2 + 472 a^8 c^4 -
696 a^6 b^2 c^4 - 2708 a^4 b^4 c^4 - 1472 a^2 b^6 c^4 +
948 b^8 c^4 - 1008 a^6 c^6 - 1624 a^4 b^2 c^6 -
1472 a^2 b^4 c^6 - 1712 b^6 c^6 + 482 a^4 c^8 +
1332 a^2 b^2 c^8 + 948 b^4 c^8 + 140 a^2 c^10 + 24 b^2 c^10 -
116 c^12) x^2 y z + (-116 a^12 + 140 a^10 b^2 + 482 a^8 b^4 -
1008 a^6 b^6 + 472 a^4 b^8 + 148 a^2 b^10 - 118 b^12 +
24 a^10 c^2 + 1332 a^8 b^2 c^2 - 1624 a^6 b^4 c^2 -
696 a^4 b^6 c^2 + 816 a^2 b^8 c^2 + 148 b^10 c^2 + 948 a^8 c^4 -
1472 a^6 b^2 c^4 - 2708 a^4 b^4 c^4 - 696 a^2 b^6 c^4 +
472 b^8 c^4 - 1712 a^6 c^6 - 1472 a^4 b^2 c^6 -
1624 a^2 b^4 c^6 - 1008 b^6 c^6 + 948 a^4 c^8 +
1332 a^2 b^2 c^8 + 482 b^4 c^8 + 24 a^2 c^10 + 140 b^2 c^10 -
116 c^12) x y^2 z + (-37 a^12 + 38 a^10 b^2 + 179 a^8 b^4 -
356 a^6 b^6 + 169 a^4 b^8 + 46 a^2 b^10 - 39 b^12 - 78 a^10 c^2 +
764 a^8 b^2 c^2 - 996 a^6 b^4 c^2 + 72 a^4 b^6 c^2 +
178 a^2 b^8 c^2 + 60 b^10 c^2 + 637 a^8 c^4 - 1076 a^6 b^2 c^4 -
630 a^4 b^4 c^4 - 188 a^2 b^6 c^4 + 105 b^8 c^4 - 1028 a^6 c^6 -
208 a^4 b^2 c^6 - 388 a^2 b^4 c^6 - 240 b^6 c^6 + 597 a^4 c^8 +
398 a^2 b^2 c^8 + 75 b^4 c^8 - 46 a^2 c^10 + 84 b^2 c^10 -
45 c^12) y^3 z + (-63 a^12 + 28 a^10 b^2 + 469 a^8 b^4 -
896 a^6 b^6 + 539 a^4 b^8 - 28 a^2 b^10 - 49 b^12 +
108 a^10 c^2 + 348 a^8 b^2 c^2 + 88 a^6 b^4 c^2 -
1680 a^4 b^6 c^2 + 1164 a^2 b^8 c^2 - 28 b^10 c^2 + 135 a^8 c^4 -
376 a^6 b^2 c^4 - 1114 a^4 b^4 c^4 - 1680 a^2 b^6 c^4 +
539 b^8 c^4 - 360 a^6 c^6 - 376 a^4 b^2 c^6 + 88 a^2 b^4 c^6 -
896 b^6 c^6 + 135 a^4 c^8 + 348 a^2 b^2 c^8 + 469 b^4 c^8 +
108 a^2 c^10 + 28 b^2 c^10 - 63 c^12) x^2 z^2 + (-116 a^12 +
24 a^10 b^2 + 948 a^8 b^4 - 1712 a^6 b^6 + 948 a^4 b^8 +
24 a^2 b^10 - 116 b^12 + 140 a^10 c^2 + 1332 a^8 b^2 c^2 -
1472 a^6 b^4 c^2 - 1472 a^4 b^6 c^2 + 1332 a^2 b^8 c^2 +
140 b^10 c^2 + 482 a^8 c^4 - 1624 a^6 b^2 c^4 -
2708 a^4 b^4 c^4 - 1624 a^2 b^6 c^4 + 482 b^8 c^4 -
1008 a^6 c^6 - 696 a^4 b^2 c^6 - 696 a^2 b^4 c^6 - 1008 b^6 c^6 +
472 a^4 c^8 + 816 a^2 b^2 c^8 + 472 b^4 c^8 + 148 a^2 c^10 +
148 b^2 c^10 - 118 c^12) x y z^2 + (-49 a^12 - 28 a^10 b^2 +
539 a^8 b^4 - 896 a^6 b^6 + 469 a^4 b^8 + 28 a^2 b^10 - 63 b^12 -
28 a^10 c^2 + 1164 a^8 b^2 c^2 - 1680 a^6 b^4 c^2 +
88 a^4 b^6 c^2 + 348 a^2 b^8 c^2 + 108 b^10 c^2 + 539 a^8 c^4 -
1680 a^6 b^2 c^4 - 1114 a^4 b^4 c^4 - 376 a^2 b^6 c^4 +
135 b^8 c^4 - 896 a^6 c^6 + 88 a^4 b^2 c^6 - 376 a^2 b^4 c^6 -
360 b^6 c^6 + 469 a^4 c^8 + 348 a^2 b^2 c^8 + 135 b^4 c^8 +
28 a^2 c^10 + 108 b^2 c^10 - 63 c^12) y^2 z^2 + (-45 a^12 -
46 a^10 b^2 + 597 a^8 b^4 - 1028 a^6 b^6 + 637 a^4 b^8 -
78 a^2 b^10 - 37 b^12 + 84 a^10 c^2 + 398 a^8 b^2 c^2 -
208 a^6 b^4 c^2 - 1076 a^4 b^6 c^2 + 764 a^2 b^8 c^2 +
38 b^10 c^2 + 75 a^8 c^4 - 388 a^6 b^2 c^4 - 630 a^4 b^4 c^4 -
996 a^2 b^6 c^4 + 179 b^8 c^4 - 240 a^6 c^6 - 188 a^4 b^2 c^6 +
72 a^2 b^4 c^6 - 356 b^6 c^6 + 105 a^4 c^8 + 178 a^2 b^2 c^8 +
169 b^4 c^8 + 60 a^2 c^10 + 46 b^2 c^10 -
39 c^12) x z^3 + (-37 a^12 - 78 a^10 b^2 + 637 a^8 b^4 -
1028 a^6 b^6 + 597 a^4 b^8 - 46 a^2 b^10 - 45 b^12 +
38 a^10 c^2 + 764 a^8 b^2 c^2 - 1076 a^6 b^4 c^2 -
208 a^4 b^6 c^2 + 398 a^2 b^8 c^2 + 84 b^10 c^2 + 179 a^8 c^4 -
996 a^6 b^2 c^4 - 630 a^4 b^4 c^4 - 388 a^2 b^6 c^4 +
75 b^8 c^4 - 356 a^6 c^6 + 72 a^4 b^2 c^6 - 188 a^2 b^4 c^6 -
240 b^6 c^6 + 169 a^4 c^8 + 178 a^2 b^2 c^8 + 105 b^4 c^8 +
46 a^2 c^10 + 60 b^2 c^10 - 39 c^12) y z^3 + (-12 a^12 -
40 a^10 b^2 + 268 a^8 b^4 - 432 a^6 b^6 + 268 a^4 b^8 -
40 a^2 b^10 - 12 b^12 + 24 a^10 c^2 + 184 a^8 b^2 c^2 -
208 a^6 b^4 c^2 - 208 a^4 b^6 c^2 + 184 a^2 b^8 c^2 +
24 b^10 c^2 + 15 a^8 c^4 - 180 a^6 b^2 c^4 - 70 a^4 b^4 c^4 -
180 a^2 b^6 c^4 + 15 b^8 c^4 - 60 a^6 c^6 - 20 a^4 b^2 c^6 -
20 a^2 b^4 c^6 - 60 b^6 c^6 + 30 a^4 c^8 + 44 a^2 b^2 c^8 +
30 b^4 c^8 + 12 a^2 c^10 + 12 b^2 c^10 - 9 c^12) z^4 = 0
complicada.
- Domingo, 10 de marzo del 2024
Afinidad con puntos fijos X(7004) y los del infinito de la hipérbola de Jerabek
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El 10 de marzo de 1825 falleció Karl Mollweide, matemático y astrónomo alemán Es recordado por su invención de la proyección de Mollweide de la esfera, una proyección de mapa que produjo para corregir las distorsiones en el Proyección de Mercator, utilizada por primera vez por Gerardus Mercator en 1569. Mollweide anunció su proyección en 1805. Si bien la proyección de Mercator está bien adaptada para cartas marítimas, su gran exageración de áreas terrestres en latitudes altas la hace inadecuada para la mayoría de los demás propósitos. En la proyección de Mercator se conservan los ángulos de intersección entre los paralelos y meridianos, y la configuración general del terreno, pero como consecuencia las áreas y distancias se exageran cada vez más a medida que uno se aleja del ecuador. Para corregir estos defectos, Mollweide dibujó su proyección elíptica.
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Sean ABC un triángulo y el triángulo A'B'C' formado por las reflexiones de cada lado en la bisectriz del vértice opuesto.
En coordenadas baricéntricas,
A = (a^2 (a - b - c) : b (a - c) (a - b + c) : c(a - b) (a + b - c) ).
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica
ABC en
A'B'C' es
X(7004).
(x:y:z) ↦
σ(x:y:z) =
a^2 (a - b -
c) (b c (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) x + (b - c) c (a^2 -
b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) y -
b (b - c) (a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) z) : :
Pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, para los índices {i, j}: {1, 1854}, {2, 11189}, {3, 1}, {4, 6285}, {20, 7355}, {30, 6000},
{40, 221}, {48, 4336}, {54, 32378}, {57, 2192}, {63, 55}, {68, 6238},
{69, 3056}, {71, 2293}, {72, 3057}, {74, 19505}, {78, 2098}, {84,
64}, {110, 10118}, {185, 7354}, {219, 4319}, {222, 33}, {265, 7727},
{295, 14942}, {304, 23497}, {376, 32065}, {487, 6405}, {488, 6283},
{511, 1503}, {512, 3566}, {513, 15313}, {514, 8676}, {517, 6001},
{518, 3827}, {519, 2390}, {520, 523}, {521, 513}, {523, 924}, {524,
2393}, {525, 512}, {526, 55121}, {539, 1154}, {542, 2781}, {732,
3852}, {895, 32286}, {905, 4162}, {912, 517}, {916, 516}, {952,
2818}, {974, 46683}, {1071, 65}, {1147, 8144}, {1154, 18400}, {1216,
15171}, {1364, 38357}, {1437, 38336}, {1459, 42312}, {1490, 7973},
{1499, 20186}, {1503, 34146}, {1510, 20184}, {1565, 3022}, {1790,
7073}, {1807, 10703}, , {2771, 2778},
{2781, 36201}, {2850, 8674}, {2968, 1364}, {3218, 10535}, {3292,
5160}, {3519, 6286}, {3564, 511}, {3781, 390}, {3784, 497}, {3916,
2646}, {3917, 3058}, {3927, 1697}, {3928, 154}, {3937, 11}, {3940,
7962}, {3942, 2310}, {3958, 42446}, {4091, 663}, {4131, 11934},
{4173, 13077}, {4303, 2654}, {4652, 34471}, {5227, 10387}, {5440,
5048}, {5447, 15172}, {5449, 32168}, {5504, 12888}, {5562, 6284},
{5663, 2777}, {5709, 1498}, {5965, 44668}, {6000, 15311}, {6212,
30336}, {6213, 30335}, {6368, 1510}, {6390, 5148}, {6467, 39873},
{6776, 1469}, {7004, 7004}, {7193, 3100}, {7289, 6}, {7689, 32047},
{7691, 32350}, {8057, 520}, {8673, 525}, {8677, 900}, {8681, 524},
{9007, 8675}, {9028, 674}, {9031, 9002}, {9033, 526}, {9051, 9001},
{9517, 690}, {10167, 354}, {10619, 18984}, {11573, 950}, {12118,
7352}, {12121, 19470}, {12256, 7353}, {12257, 7362}, {12684, 9899},
{13369, 942}, {13754, 30}, {14414, 23057}, {14984, 542}, {15316,
9931}, {16163, 3028}, {17702, 5663}, {17972, 7281}, {18446, 2099},
{18673, 2650}, {18732, 1858}, {22076, 10543}, {22097, 14547}, {22128,
9629}, {23086, 24307}, {23154, 10950}, {23187, 48307}, {23224,
48302}, {23874, 834}, {24467, 3}, {26871, 11436}, {26921, 3295},
{26932, 3270}, {26934, 31}, {28521, 11645}, {28610, 11190}, {29211,
515}, {30209, 1499}, {30210, 13152}, {30211, 8057}, {30212, 6003},
{30216, 34584}, {31837, 9957}, {32423, 10628}, {32475, 3667}, {32661,
39851}, {33597, 11011}, {34381, 518}, {34382, 3564}, {34783, 10483},
{34862, 12262}, {36058, 12740}, {37623, 40658}, {37700, 1482},
{38554, 1361}, {39006, 14714}, {39469, 804}, {39470, 926}, {39471,
8677}, {39472, 6085}, {39473, 2881}, {39474, 20403}, {40591, 14753},
{40647, 18990}, {41014, 10544}, {41340, 12711}, {41590, 32390},
{41673, 46687}, {42022, 12910}, {42065, 39822}, {42467, 7169},
{43616, 19472}, {44244, 39791}, {44665, 13754}, {46881, 207}, {53791,
32479}, {54272, 25423}, {57156, 6371}.
Los pares de color están en la recta del infinito. Obsérvese que al ser ABC y A'B'C' ortológicos, se tiene que σ(X3)=X1.
- Sábado, 9 de marzo del 2024
Triángulos semejantes y homólogos
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El 9 de marzo de 1934 nació Yuri Gagarin, cosmonauta soviético. El 12 de abril de 1961 a bordo de la Vostok I entró en órbita alrededor del planeta a una velocidad de 28 000 kilómetros por hora, durante casi hora y media, tiempo durante el cual el vehículo llegó a dar dos vueltas completas a la Tierra, haciendo que Gagarin se convirtiera en el primer hombre que llegaba al espacio exterior.
Falleció poco tiempo más tarde en un accidente de aviación al estrellarse el aparato que pilotaba.
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Sean ABC un triángulo y DEF el de un punto P. La de P corta a BC, CA, AB en D', E', F', respectivamente. Sea A'B'C' el triángulo formado por las mediatrices de DD', EE', FF'.
Los triángulos ABC y A'B'C' son directamente semejantes y perspectivos.
Si (u;v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, los centros de semejanza y de perspectividad (puntos de intersección de las circunferencias circunscritas a ABC y A'B'C') son, respectivamente:
Z = (a^2/(v^2 - w^2) : b^2/(w^2-u^2) : c^2/(u^2 - v^2)),
Q = (a^2/(2 a^2 v^2 w^2-(a^2 - b^2 + c^2) u^2 v^2 - (a^2 + b^2 - c^2) u^2 w^2): ... : ...).
El centro de semejanza Z es el del centro de perspectividad del y el formado por las tangentes a la del baricentro y P. Para P el circuncentro ver X(6368).
Algunas situaciones particulares:
• Las mediatrices de DD', EE', FF' son concurrentes si y solo si P está sobre la séxtica de ecuación:
2 (a^2 + b^2 + c^2) x^2 y^2 z^2 -
𝔖abc xyz
y^2 z^2 ((a^2 + b^2 - c^2) y^2 + (a^2 - b^2 + c^2) z^2)= 0,
esta curva contiene las de puntos de la cúbica de Simson (K010, en el catálogo de Bernard Gibert).
• El lugar geométrico de P, tal que Q es el es la cuártica de Stammler, Q066.
Cuando P es el ortocentro, el centro de semejanza es X(107) y la circunferencia circunscrita a A'B'C' es la circunferencia U(X(98)), descrita en el preámbulo de X(6129)
- Viernes, 1 de marzo del 2024
El centro X(13351) como punto fijo de una transformación afín
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El Gran Cometa de 1744, cuya designación oficial es C/1743 X1, y que también se conoce como el Cometa de Chéseaux o el Cometa Klinkenberg-Chéseaux, es uno de los más espectaculares cometas que ha sido observado, apareció durante 1743 y 1744.
El cometa fue descubierto el 29 de noviembre de 1743 por Jan de Munck en Middelburg, y fue avistado independientemente el 9 de diciembre de 1743 por Klinkenberg en Haarlem, y por Chéseaux desde el observatorio de Lausana el 13 de diciembre.
Alcanzó su máximo acercamiento al Sol alrededor del 1 de marzo de 1744. Aproximadamente en este momento era lo suficientemente brillante como para ser observado a la luz del día a simple vista (magnitud -7)
A medida que se alejaba del Sol, desarrolló una cola espectacular, que se extendió muy por encima del horizonte mientras la cabeza del cometa permanecía oculto debido al crepúsculo matutino. A principios de marzo de 1744, varios observadores informaron que un "abanico" de seis colas separadas se elevó sobre el horizonte.
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Sea ABC un triángulo con circuncentro O=X3, DEF el , Ab y Ac los centros de las circunferencias (OBF) y (OCE), respectivamente. Las rectas BAc y CAb se cortan en A' (sobre la A-ceviana del ). Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas:
Ab= (a^2 c^2 : -a^4-b^4+b^2 c^2+a^2 (2 b^2+c^2) : c^2 (b^2-c^2)),
Ac = (a^2 b^2 : -b^4+b^2 c^2 : -a^4+c^2 (b^2-c^2)+a^2 (b^2+2 c^2)),
A' = (a^2 b^2 c^2 : b^2 (-a^4-b^4+b^2 c^2+a^2 (2 b^2+c^2)) : c^2 (-a^4+c^2 (b^2-c^2)+a^2 (b^2+2 c^2))).
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica
ABC en
A'B'C' es
X(13351).
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z) = a^2 (b^2 c^2 (a^6-a^4 b^2-a^2 b^4+b^6-2 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2-2 b^4 c^2+a^2 c^4+b^2 c^4) (a^6-2 a^4 b^2+a^2 b^4-a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+b^4 c^2-a^2 c^4-2 b^2 c^4+c^6) x -
(a^4-2 a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-b^2 c^2) (a^6-a^4 b^2-a^2 b^4+b^6-2 a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2-2 b^4 c^2+a^2 c^4+b^2 c^4) (a^4 b^2-2 a^2 b^4+b^6+a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2-b^4 c^2-2 a^2 c^4-b^2 c^4+c^6) y -
(a^4-a^2 b^2-2 a^2 c^2-b^2 c^2+c^4) (a^6-2 a^4 b^2+a^2 b^4-a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2+b^4 c^2-a^2 c^4-2 b^2 c^4+c^6) (a^4 b^2-2 a^2 b^4+b^6+a^4 c^2-3 a^2 b^2 c^2-b^4 c^2-2 a^2 c^4-b^2 c^4+c^6) z) : :
- Sábado, 24 de febrero del 2024
La cúbica de Napoleón-Feuerbach y una séxtica circunscrita a los triángulos anticevianos de sus puntos
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El 24 de febrero de 1616 los Calificadores de la inquisición entregaron su informe sobre las proposiciones de la visión heliocéntrica del universo: la idea de que el Sol es estacionario es "tonta y absurda en filosofía, y formalmente herética, ya que contradice explícitamente en muchos lugares el sentido de la Sagrada Escritura"...; mientras que el movimiento de la Tierra "recibe el mismo juicio en la filosofía y ... con respecto a la verdad teológica es al menos errónea en la fe".
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X(8918) = Perspector of these triangles: inner-Napoleon and anticevian-of-X(14)
Barycentrics "(-2*sqrt(3)*+(12*R^2+sqrt(3)*S-3*SW)*S)/(-sqrt(3)*SA+S) : :
X(8919) = Perspector of these triangles: outer-Napoleon and anticevian-of-X(13)
Barycentrics (2*sqrt(3)*SB*SC-(-12*R^2+sqrt(3)*S+3*SW)*S)/(sqrt(3)*SA+S) : :
Sean ABC un triángulo, DEF el de un punto P y Oa, Ob, Oc los circuncentros de los triángulos PEF, PFD, PDE, respectivamente.
Si P=(u:v:w), en coordenadas baricéntricas,
Oa = (a^4 (-u^3 + 2 v w (v + w) + u (v + w)^2) - (b^2 -
c^2) u (c^2 (-u^2 - 2 u v + (v - w)^2) +
b^2 (u^2 - (v - w)^2 + 2 u w)) +
2 a^2 (c^2 (u^2 + u (v - w) + v (v - w)) (u + w) +
b^2 (u + v) (u^2 + u (-v + w) + w (-v + w))) :
c^4 v (-u^2 + v^2 + 2 u (v - w) - w^2) -
a^4 v (u^2 - v^2 + 2 u w + 2 v w + w^2) +
b^4 (v^3 - u^2 (v - 2 w) + 2 u (v - w) w - v w^2) -
2 b^2 c^2 (v - w) (u^2 + u (v + w) + v (v + w)) +
2 a^2 (c^2 v (u^2 - u v - v^2 + 2 u w + v w + w^2) +
b^2 (u^2 (v - w) - u w^2 - v (v^2 - v w + w^2))) :
-a^4 w (u^2 +
2 u v + v^2 + 2 v w - w^2) +
b^4 w (-u^2 - 2 u v - v^2 + 2 u w + w^2) +
c^4 (-2 u v (v - w) + u^2 (2 v - w) - v^2 w + w^3) +
2 b^2 c^2 (v - w) (u^2 + u (v + w) + w (v + w)) -
2 a^2 (b^2 w (-u^2 - v^2 - v w + w^2 + u (-2 v + w)) +
c^2 (u v^2 + u^2 (v - w) + w (v^2 - v w + w^2)))).
Las rectas DOa, EOb, FOc son concurrentes (en Q) si P está sobre la séxtica circular 𝒮, con puntos dobles en los vértices de ABC y tangentes las bisectrices. Ecuación baricéntrica:
𝔖abc xyz
a^2 y^2 z^2 (a^4 (y^2 - z^2) +
a^2 (-b^2 (2 y^2 + z^2) + c^2 (y^2 + 2 z^2))+ (b^2 - c^2)^2 (y^2 - z^2)) = 0.
Si esto ocurre, también Q está en recta que pasa por P y el circuncentro Op de DEF.
Esta curva pasa por el incentro y por los (X13 y X14) y los correspondientes puntos Q son el circuncentro, X8919 y X8918, respectivamente.
𝒮 también contiene a los vértices del triángulo anticeviano de cualquier punto que esté sobre ella.
El lugar geométrico de Q, cuando P recorre 𝒮, es la cúbica de Napoleón-Feuerbach (K005, Bernard Gibert)
- Jueves, 22 de febrero del 2024
El conjugado isogonal del ortocentro del triángulo tangencial
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Andy Warhol (6 de agosto de 1928 - 22 de febrero de 1987), fue un artista plástico y actor estadounidense que desempeñó un papel crucial en el nacimiento y desarrollo del "pop art".
Warhol utilizó medios diferentes para crear sus obras, como el dibujo a mano, la pintura, el grabado, la fotografía, la serigrafía, la escultura, el cine y la música. |
Sean ABC un triángulo y DEF el , la circunferencia con centro en D y radio DA corta a BC en A1 y A2. Las rectas AA1 y AA2 vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en A'1 y A'2.
Las mediatrices de los segmentos A1A'1 y A2A'2 se cortan en M1
y las mediatrices de los segmentos A1A'2 y A2A'1 se cortan en M2.
Sea ℓa la recta M1M2 y las rectas ℓb y ℓc, se definen cíclicamente.
ℓa : (-a^8 - (b^2 - c^2)^4 + 4 a^6 (b^2 + c^2) +
4 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 6 a^4 (b^4 + c^4)) x +
2 a^2 c^2 (a^4 - 2 a^2 c^2 + (b^2 - c^2)^2) y +
2 a^2 b^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + (b^2 - c^2)^2) z = 0.
Sea A'B'C' el triángulo de vértices:
A' = ℓb∩ℓc,
B' = ℓc∩ℓa,
C' = ℓa∩ℓb.
A' = (a^12 + (b^2 - c^2)^6 - 6 a^10 (b^2 + c^2) +
a^8 (15 b^4 + 14 b^2 c^2 + 15 c^4) -
2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (3 b^6 - b^4 c^2 - b^2 c^4 + 3 c^6) -
4 a^6 (5 b^6 + 2 b^4 c^2 + 2 b^2 c^4 + 5 c^6) +
a^4 (15 b^8 - 8 b^6 c^2 + 2 b^4 c^4 - 8 b^2 c^6 +
15 c^8) :
2 b^2 c^2 (a^8 - 4 a^6 c^2 +
4 a^2 c^4 (b^2 - c^2) + (b^2 - c^2)^4 -
2 a^4 (b^4 - 3 c^4)) :
2 b^2 c^2 (a^8 - 4 a^6 b^2 + (b^2 - c^2)^4 -
4 a^2 (b^6 - b^4 c^2) + a^4 (6 b^4 - 2 c^4))).
Las rectas
AA', BB', CC' concurren en
X254, conjugado isogonal del ortocentro (X
155) del triángulo tangencial.
El punto fijo finito de la
transformación afín,
σ(x:y:z) = (-a^28 - (b^2 - c^2)^14 + 10 a^26 (b^2 + c^2) -
a^24 (43 b^4 + 78 b^2 c^2 + 43 c^4) +
2 a^2 (b^2 - c^2)^10 (5 b^6 - 3 b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 + 5 c^6) +
4 a^22 (25 b^6 + 66 b^4 c^2 + 66 b^2 c^4 + 25 c^6) -
a^4 (b^2 - c^2)^8 (43 b^8 - 22 b^4 c^4 + 43 c^8) -
a^20 (121 b^8 + 504 b^6 c^2 + 670 b^4 c^4 + 504 b^2 c^6 +
121 c^8) +
a^18 (22 b^10 + 594 b^8 c^2 + 920 b^6 c^4 + 920 b^4 c^6 +
594 b^2 c^8 + 22 c^10) +
a^16 (165 b^12 - 454 b^10 c^2 - 757 b^8 c^4 - 788 b^6 c^6 -
757 b^4 c^8 - 454 b^2 c^10 + 165 c^12) +
a^12 (b^2 + c^2)^2 (165 b^12 - 298 b^10 c^2 + 203 b^8 c^4 -
204 b^6 c^6 + 203 b^4 c^8 - 298 b^2 c^10 + 165 c^12) +
2 a^10 (b^2 - c^2)^2 (11 b^14 - 163 b^12 c^2 - 89 b^10 c^4 -
79 b^8 c^6 - 79 b^6 c^8 - 89 b^4 c^10 - 163 b^2 c^12 +
11 c^14) +
4 a^6 (b^2 - c^2)^4 (25 b^14 - 54 b^12 c^2 + 12 b^10 c^4 +
b^8 c^6 + b^6 c^8 + 12 b^4 c^10 - 54 b^2 c^12 + 25 c^14) -
8 a^14 (33 b^14 - 28 b^12 c^2 - 50 b^10 c^4 - 43 b^8 c^6 -
43 b^6 c^8 - 50 b^4 c^10 - 28 b^2 c^12 + 33 c^14) -
a^8 (b^2 - c^2)^2 (121 b^16 - 404 b^14 c^2 + 196 b^12 c^4 -
44 b^10 c^6 + 6 b^8 c^8 - 44 b^6 c^10 + 196 b^4 c^12 -
404 b^2 c^14 + 121 c^16)) x -
2 a^2 c^2 (a^8 - 4 a^6 c^2 + 4 a^2 c^4 (b^2 - c^2) + (b^2 - c^2)^4 -
2 a^4 (b^4 - 3 c^4))^2 (a^8 - 4 a^6 (b^2 + c^2) + (b^4 - c^4)^2 +
a^4 (6 b^4 + 4 b^2 c^2 + 6 c^4) - 4 a^2 (b^6 + c^6)) y -
2 a^2 b^2 (a^8 - 4 a^6 b^2 + (b^2 - c^2)^4 - 4 a^2 (b^6 - b^4 c^2) +
a^4 (6 b^4 - 2 c^4))^2 (a^8 - 4 a^6 (b^2 + c^2) + (b^4 - c^4)^2 +
a^4 (6 b^4 + 4 b^2 c^2 + 6 c^4) - 4 a^2 (b^6 + c^6)) z : :
σ, que aplica ABC en A'B'C' es X155.
Otros puntos que se corresponden por σ son: σ(X6503)=X3, las coordenadas baricéntricas de X6503 se obtienen haciendo las sustuciones simbólicas (a → cos A, b → cos B, c → cos C) en las coordenadas del circuncentro, X3. σ(X34853)=X254, X34853 es el de X254.
- Sábado, 17 de febrero del 2024
Tangentes a las circunferencias inscritas mixtilíneas, paralelas a los lados de un triángulo
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El 17 de febrero 1915 murió Francisco Giner de los Ríos, pedagogo y escritor,
referente para la cultura española, no solo de su tiempo, sino que su influencia llega a los grandes autores del 98 como Azorín, Unamuno o Machado.
Las normas en la universidad, donde se impedían las críticas a la religión católica o a la monarquía, hizo que por dos veces fuera expulsado de su cátedra.
En 1876, funda la Institución Libre de Enseñanza junto a varios catedráticos y auxiliares de Universidad o Instituto, basándose en modelo pedagógicos modernos, laicos y progresistas,
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Sean ABC un triángulo, Γ su circunferencia circunscrita y Γa la , tangente a Γ en Ta. El punto más cercano a A, donde la tangente a Γa es paralela a BC, está sobre la reflexión de ATa en la bisectriz en A (AoPS); esto nos da un método sencillo para determinar tal punto, cuyas coordenadas baricéntricas son:
(a (a^2 + (b - c)^2 + 2 a (b + c)) : 2 b (a - b + c) c : 2 b (a + b - c) c)
La ecuación de la tangente es:
ℓ'a:
4 b c x - (a^2 + (b - c)^2 + 2 a (b + c)) y - (a^2 + (b - c)^2 +
2 a (b + c)) z = 0.
La ecuación de la otra tangente a Γa, paralela a BC, es:
ℓ''a:
4 b c x - (-a^2 + (b - c)^2) y - (-a^2 + (b - c)^2) z = 0.
Cíclicamente, se obtienen las tangentes a las otras circunferencias de Mannheim y paralelas a los lados CA y AB, ℓ'b, ℓ'c y ℓ''b, ℓ''c. Se consideran lo triángulos de vértices:
A'=ℓ'b∩ℓ'c,
B'=ℓ'c∩ℓ'a,
C'=ℓ'a∩ℓ'b y
A''=ℓ''b∩ℓ''c,
B''=ℓ''c∩ℓ''a,
C''=ℓ''a∩ℓ''b.
X3672, X279, X390 son los centros de homotecia los pares de triángulos ABC y A'B'C', ABC y A"B"C", A'B'C' y A"B"C".
Las razones de las homotecias que aplican ABC en A'B'C', ABC en A"B"C" y A'B'C' en A"B"C" son, respectivamente:
(r^2 + 4 r R - s^2)/s^2,
((r + 4 R)^2 - s^2)/s^2,
((r + 4 R)^2 - s^2)/(r^2 + 4 r R - s^2).
Cuando se toman las y se consideran los pares de tangentes a cada una de ellas, paralelas a los lados de ABC, se obtienen dos triángulos, cuyos centros de homotecia entre ellos y con ABC coinciden para los tres casos, X279.
X(279), barycentric square of .
An exarc circle (mixtilinear excircles) is a circle tangent to two sides of a triangle ABC and externally tangent to the circumcircle of ABC. The point whose distance to the sides BC, CA, AB are proportional to the respective radii of the exarc circles is X(279). The point having distances to the sides proportional to the radii of the inarc circles is X(7). See Martin Lukarevski, "Exarc radii and the Finsler-Hadwiger inequality", The Mathematical Gazette 106, issue 565, March 2022, pp. 138-143.
- Jueves, 15 de febrero del 2024
Un nuevo centro del triángulo
| El 15 de febrero de 2013, justo después del amanecer, un asteroide de 20 metros y 13.000 toneladas irrumpió en la atmósfera terrestre sobre los Montes Urales, en Rusia, a una velocidad de más de 18 km/s.
El objeto explotó sobre la ciudad de Chelyabinsk, de la que tomó el nombre (bólido de Cheliábinsk), y varios fragmentos cayeron en forma de meteoritos. Resultaron dañados 3.613 edificios y la onda expansiva provocó que unas 1.500 personas resultaran heridas.
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Sea ABC un triángulo con incentro I=X1, la tangente en A a la circunferencia circunscrita corta a BI en Ab y a la recta CI en Ac. Sea Ha el ortocentro del triángulo IAbAc.
Las circunferencias circunscritas a los triángulos
BCI y
son tangentes en (baricéntricas):
A'=(a^2 b c : -b^2 (a b + b^2 - c^2) : c^2 (b^2 - c (a + c))).
ta:
b c (-2 a^2 b c + a (b - c)^2 (b + c) + (b^2 - c^2)^2) x -
a^2 c^3 (a - b + c) y - a^2 b^3 (a + b - c) z = 0.
Los puntos B', C' y las rectas tb, tc se definen cíclicamente.
Las tres circunferencias (
AB'C'), (
BC'A'), (
CA'B') concurren en
X1326, inverso en la circunferencia circunscrita del del .
Las rectas ta, tb, tc forman un triangulo de vértices A"=tb∩tc,
B"=tc∩ta,
C"=ta∩tb.
Los triángulos ABC y A"B"C" son perspectivos, con centro de perspectividad
W = ( a/(2 a^3 b c - a^2 (b - c)^2 (b + c) -
a (b^4 - 3 b^2 c^2 + c^4)-b^2 c^2 (b + c) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(45.4467388458900, 56.9224605407317, -56.7426107443945).
Por este punto no pasa ninguna recta determinada por pares de centros del triángulo de los que figuran actualmente en ETC.
- Martes, 13 de febrero del 2024
Una construcción de un triángulo con regla y compás
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El 13 de febrero de 1883
murió en Venecia el compositor alemán Richard Wagner. Entre sus óperas destacan "El holandés errante", "Tannhauser", "Tristán e Isolda", "Sigfrido" y "Parsifal".
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A-1. Dados dos puntos B y C, dar una construcción
con regla y compás de todos los triángulos ABC tales
que la altura trazada por A, la bisectriz interior del
ángulo B y la mediana correspondiente al vértice C
sean concurrentes.
Propuesto por Francisco Javier García Capitán.
Vamos a suponer que el triángulo a construir sea acutángulo, es decir que el pie de la altura, L, desde A esté en el interior del segmento BC, de longitud a, dada.
Para un planteamiento analítico, tomaremos un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, respecto al cual B(0,0), C(a,0) y L(λ,0). Sea A'(λ,μ) un punto sobre la perpendicular a BC por L.
La bisectriz interior en B del triángulos A'BL corta al lado opuesto en un punto, L', cuya ordenada satiaface a relación (Teorema de la bisectriz):
λ/y = √λ² + μ²/(μ- y) ⇒
y=λμ/(λ +√λ² + μ²).
La recta CL' corta a BA' en:
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M' = (
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a λ²
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aλμ
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───────────
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,
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───────────
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a λ+(a-λ) √λ²+μ²
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|
a λ+(a-λ) √λ²+μ²
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)
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Para que se cumplan las exigencias del problema planteado, M' debe coincidir con el punto medio de BA', que estará en la recta x=λ/2.
Al variar L, el punto M' queda sobre la cónica de ecuación, obtenida al eliminar μ:
(-2 a λ+λ^2)x^2 + (a^2-2 a λ+λ^2)y^2+2 a^2 x λ-a^2 λ^2= 0.
Determinando los puntos de intersección de recta y cónica, se deduce que el vértice A ha de estar sobre la circunferencia de centro en L y de radio
λ √λ (2 a -λ) /(a -λ).
Cantidad que puede ser construida con regla y compás.
- Jueves, 8 de febrero del 2024
La bicircular séptica Q030
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El el 8 de febrero de 1828 nació Julio Verne quién fue uno de los autores más prolíficos y leídos de la historia. La fórmula de su éxito se debió a la combinación de dos elementos que apasionaban a la sociedad europea de finales del siglo XIX y principios del XX: las aventuras de los exploradores que se adentraban en territorios desconocidos hasta entonces –como los polos, el África tropical o las profundidades submarinas–, y los avances científicos y tecnológicos que plasmaba en sus obras. Esto último le otorgó un aura de escritor visionario, al ir un paso por delante de la realidad de su época (máquinas voladoras, submarinos, viajes espaciales...), aunque él siempre defendió que sus predicciones estaban basadas en la aplicación lógica de la tecnología existente en la época.
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Q030 a bicircular septic related to orthologic triangles (Bernard Gibert)
Let ABC be a triangle and P a point. The line AP intersects the circumcircle of the triangle PBC at P and A'. Similarly define B', C'. A", B", C" are the projections of A', B', C' on the sidelines of ABC. The triangles ABC and A"B"C" are perspective for any P. Q030 is the locus of P such that these triangles are orthologic, together with the circumcircle of ABC (question raised by Antreas Hatzipolakis,
Hyacinthos #10031).
Another description of Q030 is the following : denote by Ab, Ac the projections of A on the lines PB, PC and by La the Euler line of the triangle AAbAc. Define Lb and Lc similarly. These three lines concur if and only if P lies at infinity or on Q030. In this case, the point of concurrence is the center of the rectangular circum-hyperbola through P and lies on the nine-point circle. (see the thread "Antreas' Feuerbach concurrence" at
Hyacinthos, messages 10584 & sq.)
Sean ABC un triángulo y P un punto finito. La circunferencia de diámetro AP corta a BP, CP en otros dos puntos. Denotamos a la recta que pasa por estos dos puntos por ℓa. Similarmente, tenemos las rectas ℓb y ℓc. Sean A'=ℓb∩ℓc, B'=ℓc∩ℓa, C'=ℓa∩ℓb.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P la ecuación de ℓa es:
(a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) v w (u+v+w) x+
(2 c^2 u+a^2 w-b^2 w+c^2 w) (-a^2 u v+b^2 u v+c^2 u v-a^2 v^2+b^2 v^2-c^2 v^2+2 b^2 u w+a^2 v w+b^2 v w-c^2 v w) y+
(2 b^2 u+a^2 v+b^2 v-c^2 v) (2 c^2 u v-a^2 u w+b^2 u w+c^2 u w+a^2 v w-b^2 v w+c^2 v w-a^2 w^2-b^2 w^2+c^2 w^2) z
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son si y solo si
P está sobre la bicircular séptica
Q030.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos si y solo si P está sobre la cúbica de Darboux (K004) o sobre la circunferencia circunscrita; en este caso, el triángulo A'B'C' degenera en un punto que está sobre la .
- Viernes, 2 de febrero del 2024
Una séxtica isotómica conjugada
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El 2 de febrero de 1970 falleció (a la edad de 98 años) el matemático, pacifista y escritor británico Bertrand Russell, premio Nobel de Literatura en 1950 por su pensamiento e ideales humanitarios. Su trabajo ha tenido una influencia considerable en matemática, lógica, teoría de conjuntos, inteligencia artificial, ciencia cognitiva, informática, filosofía del lenguaje, epistemología, metafísica, ética y política. Russell fue un destacado activista social pacifista contra la guerra y defendió el antiimperialismo.
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Sean ABC un triángulo, P un punto y p la de P respecto a ABC. Denotamos por A' el centro de la cónica (12.1. Conic by two tangents-at and a tangent (2P3T )2, Paris Pamfilos) tangente a p, a AB en B y a AC en C.
Si (u.v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de esta cónica, 𝒞a, es vwx^2-4u^2yz=0, y A' =(-2 u^2 : v w : v w), que está sobre la A-mediana.
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
La transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' está dada por:
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z) = 2 u^2 (-v^2+u w) (u v-w^2) x+u w (u^2-v w) (u v-w^2) y+u v (-v^2+u w) (u^2-v w) z : :
Su punto fijo finito es Po = (u^3-u v w : v^3-u v w : w^3-u v w).
Si P recorre una recta ℓ, que pasa por el baricentro, la recta PPo envuelve la cónica (inscrita en ABC) de ℓ, el punto de tangencia es P2, y
el lugar de Po es una recta ℓ', paralela a ℓ. Cuando ℓ gira alrededor del baricentro, ℓ' envuelve la deltoide, y z (y z-2 x^2) + z x (z x-2 y^2) + x y (x y-2 z^2)=0, de la .
Los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si y solo si P está sobre la séxtica :
𝒮:
𝔖abc xyz
(b^2 - c^2) y z (x^4 + y^2 z^2) = 0.
Sus puntos dobles reales son los vértices de ABC, con tangentes los lados, y el baricentro, con tangentes las rectas que pasan por los centros de homotecias de las circunferencias circunscrita y de (X1340 y X1341). Además, es tangente a la recta que pasa por el baricentro y el en sus puntos de intersección con la (X6189 y X6290). Sus asíntotas reales son las mismas que las de la .
Cuando P recorre la séxtica 𝒮, Po está sobre la hipérbola de Kiepert y el lugar geométrico del V de A'B'C' respecto a ABC (que está sobre la recta que pasa por Po y el ortocentro) es la hipérbola rectangular ℋ, cuyo centro es el centro de la , con asíntotas paralelas a las de la hipérbola de Kiepert y que pasa por los siguientes puntos:
Intersecciones de la recta que pasa por el baricentro y el con las paralelas por el circuncentro a las asíntotas de la hipérbola de Kiepert (X47365 y X47366).
Intersecciones de la recta que pasa por los con las paralelas por el baricentro a las asíntotas de la hipérbola de Kiepert (X31862 y X31863).
- Jueves, 1 de febrero del 2024
Curiosidades de una 'perspeconic'
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25 años sin mi hija Marta
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Sea ABC un triángulo con DEF, las proyecciones ortogonales de D sobre AB y AC, y los vértices B y C están sobre una circunferencia Γa. Sea ℓa la polar de A respecto a Γa, cuya ecuación baricéntrica es:
ℓa: =0.
Se definen cíclicamente las rectas ℓb y ℓc. Sea A'B'C' el triángulo formado por estas tres rectas. Es decir:
A'=ℓb∩ℓc=(4 S^4 - SB^2 SC^2 : SA^2 (2 S^2 + SC^2) : SA^2 (2 S^2 + SB^2)), etc.
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son , con centro de perspectividad
X46952=1/(2 S² + S
A²): :.
Este punto también es el de la circuncónica homotética a la de ABC y A'B'C'.
𝒞:
𝔖abc xyz
2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) (b^2+c^2-a^2)^2 x^2+
(5 a^8-16 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (22 b^4+20 b^2 c^2+22 c^4)-16 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+5 (b^2-c^2)^4) y z = 0.
Sea A"B"C" el de ABC respecto a la cónica 𝒞.
Los triángulos A'B'C' y A"B"C" son perspecticos y el centro de perspectividad coincide con el centro W de la cónica 𝒞.
W = ( a^16-20 a^14 (b^2+c^2)+20 a^12 (5 b^4+16 b^2 c^2+5 c^4)-4 a^10 (b^2+c^2) (59 b^4+218 b^2 c^2+59 c^4)+2 a^8 (155 b^8+784 b^6 c^2+426 b^4 c^4+784 b^2 c^6+155 c^8)-4 a^6 (b-c)^2 (b+c)^2 (b^2+c^2) (59 b^4+298 b^2 c^2+59 c^4)+4 a^4 (b^2-c^2)^2 (25 b^8+90 b^6 c^2-102 b^4 c^4+90 b^2 c^6+25 c^8)
-4 a^2 (b-c)^4 (b+c)^4 (b^2+c^2) (5 b^4+6 b^2 c^2+5 c^4)
+(b^2-c^2)^6 (b^4+6 b^2 c^2+c^4)
: ... : ...),
que tiene números de búsqueda en
(1.75469060729639, 1.86268588980220, 1.54125550867683).
Es el punto de intersección de las rectas XiXj s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3528,9786}, {13341,31401}.
- Viernes, 26 de enero del 2024
Un triángulo inscrito en la circunferencia de Euler
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"La casualidad favorece a las mentes entrenadas." Charles Babbage (1792-1871), inventor y matemático británico. Considerado el padre de las computadoras digitales, pues en 1822 construyó un modelo de calculadora mecánica (la máquina diferencial), así llamada porque para realizar sus cálculos utilizaba la teoría matemática de las diferencias finitas.
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Sea ABC un triángulo con . A2 es el inverso del circuncentro en la circunferencia de diámetro B1C1; en coordenadas baricentricas:
A2 = (2(b-c)^2(b+c)^2(-a^2+b^2+c^2) : (a^2-b^2+c^2)(a^4-
b^4+c^4+2a^2(b^2-c^2)) : (a^2+b^2-c^2)(a^4+b^4-c^4-2a^2(b^2-c^2))).
Los puntos B2 y C2 se definen cíclicamente.
El triángulo está inscrito (Abdilkadir Altintaş) en la .
Sea el de y .
A3 = (a^2 (a^2-b^2-c^2) : (a^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) : (a^2-b^2) (a^2+b^2-c^2)),
que está sobre la mediatriz de BC. Por tanto, los triángulos ABC y son . El centro de ortología de ABC respecto es el (X20).
El centro, X122, de la circunscrita a ABC que pasa por X20, es el punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica ABC en .
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z) = a^2 (-a^2+b^2+c^2) ((a^2-b^2)^2+2 (a^2+b^2) c^2-3 c^4) (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b-c) (b+c)) x+
(b-c) (b+c) (-a^2+b^2+c^2) ((a^2-b^2)^2+2 (a^2+b^2) c^2-3 c^4) (3 a^4-(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) y-
(b-c) (b+c) (-a^2+b^2+c^2) ((a-b)^2 (a+b)^2 (3 a^2+b^2) (a^2+3 b^2)-8 (a^2-b^2)^2 (a^2+b^2) c^2+6 (a^2-b^2)^2 c^4-c^8) z : :
Pares {Xi, Xj=σ(Xi}, para {i, j}: {4, 33546}, {20, 3}, {30, 15311}, {64, 3346}, {122, 122}, {154, 2}, {610, 17073}, {706, 46192}, {1249, 20208}, {1498, 6523}, {1503, 15312}, {1562, 127}, {2777, 28154}, {2883, 5}, {3172, 14376}, {3198, 1214}, {3900, 29366}, {5878, 51342}, {5894, 20329}, {5895, 4}, {5930, 10}, {6525, 1073}, {8057, 523}, {8804, 18589}, {9422, 23882}, {9833, 42457}, {9924, 42458}, {10152, 10745}, {13155, 2883}, {14249, 14059}, {14343, 54260}, {14615, 50666}, {15905, 6389}, {17845, 3183}, {18750, 20254}, {21172, 20315}, {23888, 834}, {29016, 20525}, {29061, 28294}, {29369, 971}, {32602, 3089}, {33531, 47030}, {35602, 3548}, {37669, 30771}, {40933, 52389}, {42459, 141}, {42658, 52584}, {47329, 55142}, {55063, 53833}, {55127, 9033}.
Los pares de color están en la recta del infinito. Obsérvese que al ser ABC y ortológicos, se tiene que σ(X20)=X3.
Señalar, finalmente, que los triángulos y son perspectivos, con centro de perspectividad X30771.
- Martes, 23 de enero del 2024
Reflexión de un punto en los vértices del triángulo de contacto interior
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Francisco Maldonado da Silva, era un médico y cirujano nacido en San Miguel de Tucumán, hijo de un cirujano portugués y una cristiana vieja, fue juzgado por el Santo Oficio y sentenciado a morir en la hoguera en un Auto de Fe el 23 de enero de 1639. Pese a haber sido bautizado y educado como cristiano, decidió “vivir y morir en la Ley de Moisés”. Confió su secreto a Isabel, su hermana. Ella se lo confió a su hermana Felipa, monja, que no dudó en transmitirlo a su confesor. El confesor, rompiendo su juramento, corrió a contárselo al obispo y éste a los agentes del Santo Oficio.
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Sean un triángulo. Γ su circunferencia circunscrita y P un punto en su plano, se designa por σi el giro, en contra de las agujas del reloj, alrededor de Ai y amplitud el ángulo en este vértice. Se definen para i∈{1,2,3}, los puntos:
Pi = σi+2(σi(σi+1(P))),
donde los índices se toman módulo 3.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto a , y utilizando las expresiones del giro que figuran en Hyacinthos#11730 (Jean-Pierre Ehrmann), se obtiene que:
P1 = (a u : -a (u+w)-(b-c) (u+v+w) : -a (u+v)+(b-c) (u+v+w)).
P1 es la reflexión de P en D, siendo DEF es el .
Por permutación cíclica, se obtienen los puntos P2 y P3.
La ecuación de la circunferencia circunscrita Γp a es:
𝔖abc uvw xyz
((cu+b(u+v))^2+2c(b+c)uw+(b^2+c^2)vw+c^2w^2+
a^2((u+v)^2+(2u+v)w+w^2)-
2a(u+v+w)(b(u+v)+c(u+w)))x^2 +
(-4bc(v+
w)(u+v+w)-
2a(u+v+w)(b(u+v-w)+c(u-v+w))+
a^2(u^2-2vw+u(v+w))+
b^2(u^2+2(v+w)^2+u(3v+w))+
c^2(u^2+2(v+w)^2+u(v+3w)))yz= 0,
y su radio es 2r. Como R≥ 2r, el radio de Γp es a lo máximo el radio de Γ (R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ).
Los triángulos y son , con centros de ortología el incentro y el circuncentro de , que es la reflexión de
P en el incentro:
Po =((b+c) u-a (u+2 (v+w)) : (a+c) v-b (2 u+v+2 w) : (a+b) w-c (2 u+2 v+w)).
ℋ : 𝔖abc xyz
(b - c)((b + c - a)^2x^2+ (2 a^2 - a (b + c) - (b - c)^2)y z) = 0.
Esta hipérbola es homotética a la (razón (2 r + 3 R)/R) y su centro es X17660.
Cuando P está en la recta del infinito, P1=P2=P3=P.
Si Q es el centro de perspectividad, cuando P recorre ℋ, se tienen los siguientes pares {P=Xi, Q=Xj}, para {i, j}: {1, 79}, {7, 7}, {944, 4}, {3307, 3307}, {3308, 3308}, {3868, 21}, {5528, 3254}, {5903, 1}, {6224, 11604}, {14450, 10266}, {20050, 8}.
- Sábado, 20 de enero del 2024
X(355) y X(43734) par de centros ortológicos
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El 20 de enero de 1993 muere la actriz belga Audrey Hepburn.
Puso de moda la sencillez frente a los espectaculares y sofisticados vestidos de las actrices de Hollywood.
Estudió para bailarina, su verdadera vocación, pero finalmente tuvo más éxito como modelo en Londres.
Su primera película de Hollywood fue la mítica "Vacaciones en Roma", de William Wyler, donde era una princesa decidida a pasar un día como una turista normal en esa ciudad; fue premiada con el Oscar a la mejor actriz protagonista.
Otros films de los años 50 que contaron con la participación de Audrey fueron:
“Sabrina” (1954),
“Una cara con ángel” (1956),
“Guerra y Paz” (1956),
“Ariane” (1957),
“Mansiones verdes” (1958),
“Historia de una monja” (1959).
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X(355) The Fuhrmann center
Barycentrics a^4-a^3 (b+c)+2 a^2 b c+a (b-c)^2 (b+c)-(b^2-c^2)^2 : :
X(355) = the center of the Fuhrmann circle, defined as the circumcircle of the Fuhrmann triangle A"B"C", where A" is obtained as follows: let A' be the midpoint of the circumcircle-arc having endpoints B and C and not containing A; then A" is the reflection of A' in line BC. Vertices B" and C" are obtained cyclically. (Other constructions of A'', and hence the Fuhrmann triangle, follow: (1) Let IA be the reflection of X(1) in BC; then A'' is the circumcenter of IABC. (2) Let JA be the reflection of the A-excenter in BC; then A'' is the circumcenter of JABC.
X(355) is the homothetic center of the triangles formed by internal and external tangents of circumcircles of BCX(4), CAX(4), ABX(4). Equivalently, the incenter of the trianglar hull of circumcircles of BCX(4), CAX(4), ABX(4). (Randy Hutson, December 2, 2017)
Let Na = X(5)-of-BCX(1), Nb = X(5)-of-CAX(1), Nc = X(5)- of-ABX(1). Then X(355) = X(20)-of-NaNbNc. (Randy Hutson, December 2, 2017)
Let A'B'C' be the anticomplementary triangle. Then X(355) is the radical center of the incircles of A'BC, B'CA, C'AB. (Randy Hutson, December 2, 2017)
Let A'B'C' be the outer Garcia triangle and A"B"C" the inner Garcia triangle. Let A* be the isogonal conjugate, wrt A'B'C', of A", and define B* and C* cyclically. The lines A'A*, B'B*, C'C* concur in X(355); see also X(952). (Randy Hutson, December 2, 2017)
Let OA be the circle centered at the A-vertex of the Yff contact triangle and passing through A; define OB and OC cyclically. X(355) is the radical center of OA, OB, OC. (Randy Hutson, August 30, 2020)
X(355) is the midpoint of orthocenter and Nagel point.
Sea ABC un triángulo con incentro I=X1, DEF el de I, D'E'F' el , Ea y Fa los ortocentros de los triángulos AIE y AIF, respectivamente. Las rectas EFa, FEa se cortn en A1 y la perpendicular por el punto medio de BC a IA1 corta a AD' en A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Por construcción los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad el .
En coordenadas baricéntricas:
Ea = (-a^2 + c (-b + c : b (-a + c) : -b c),
Fa = (-a^2 + b (b - c) : -b c : (-a + b) c),
A1 = (-b + c : -a + c : a - b),
A' = (4 a - 2 (b + c), : -a - b : -a + b - c).
Los triángulos
ABC y
A'B'C' son y los centros ortológicos son X(355) y
X(43734).
El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplic ABC en A'B'C' es el . Las rectas fijas finitas son las paralelas, por este punto, a las asíntotas de la .
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z)= (-4 a^3+4 a (b-c)^2+2 a^2 (b+c)-2 (b-c)^2 (b+c)) x-(a-b-c) (a+b-c)^2 y-(a-b-c) (a-b+c)^2 z: ...: ...
Pares {Xi, Xj=σ(Xi}, para {i, j}: {1, 4297}, {2, 165}, {4, 6259}, {8, 8}, {10, 43174}, {11, 3035}, {149, 34789}, {312, 3967}, {497, 24703}, {519, 28236}, {1320, 1317}, {3307, 3307}, {3308, 3308}, {3616, 3522}, {3876, 4005}, {3877, 31165}, {4962, 3667}, {5274, 30827}, {9010, 14915}, {9279, 19924}, {10527, 4652}, {18220, 45036}, {24392, 24386}, {29272, 47331}, {43734, 355}, {43740, 7702}, {51577, 550}.
Los pares de color están en la recta del infinito. Obsérvese que al ser ABC y A'B'C' ortológicos, se tiene que σ(X43734)=X355.
NOTA. Las coordenadas baricéntricas de X(43734) respecto a ABC coinciden con las coordenadas de X(355) respecto a A'B'C'.
Si P=(x:y:z), respecto a ABC, sus coordenadas (x':y':z') respecto a A'B'C' son:
(x':y':z') = ((a - b - c) (3 a^2 - 2 a b - 9 b^2 - 2 a c + 18 b c - 9 c^2) x +
(b+c-a) (3 a^2 + 2 a b + 3 b^2 - 6 a c - 6 b c + 3 c^2) y +
(b+c-a) (3 a^2 - 6 a b + 3 b^2 + 2 a c - 6 b c + 3 c^2) z : ...: ...).
- Jueves, 18 de enero del 2024
X(20) centro ortológico y X(122) punto fijo afinidad
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El 18 de enero de 1873 falleció Charles Dupin, matemático, ingeniero, economista, y político francés; particularmente conocido por su trabajo en el campo de la geometría, donde descubrió las cíclidas (unas superficies que llevan su nombre), y por introducir en 1826 los primeros mapas coropléticos. Estudió las tangentes conjugadas a un punto en una superficie y de la indicatriz de Dupin, una sección cónica plana, que describe el comportamiento de la curvatura local de una superficie en un punto determinado.
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Sea ABC un triángulo con ortocentro H=X4. A', B', C' son los puntos diametralmente opuestos A, B, C en la circunferencia circunscrita, respectivamente. La recta HA' corta a la paralela por A a BC en A". Sea ℓa la recta que pasa por los puntos en los que las rectas AB y AC vuelven a cortar a la circunferencia (AA'A"). Las rectas ℓb y ℓc se definen cíclicamente.
Las rectas ℓa, ℓb, ℓc forman un triángulo , cuyos vértices están sobre las mediatrices de BC, CA, AB. Por tanto, las perpendiculares por A, B, C a B1C1, C1A1, A1B1 son concurrentes, en el .
A1 = (a^2 (-a^2+b^2+c^2) : -(a^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) : -(a^2-b^2) (a^2+b^2-c^2)).
El centro, X122, de la hipérbola rectangular circunscrita a ABC y que pasa por el punto de De Longchamps es el punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica ABC en .
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z)=
a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^4-2 a^2 b^2+b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-3 c^4) (a^4+2 a^2 b^2-3 b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2+c^4) x+
(b-c) (b+c) (a^2-b^2-c^2) (a^4-2 a^2 b^2+b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-3 c^4) (3 a^4-2 a^2 b^2-b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) y+
(c-b) (b+c) (a^2-b^2-c^2) (3 a^4-2 a^2 b^2-b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) (a^4+2 a^2 b^2-3 b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2+c^4) z : :
Pares {Xi, Xj=σ(Xi}, para {i, j}: {4, 33546}, {20, 3}, {30, 15311}, {64, 3346}, {122, 122}, {154, 2}, {610, 17073}, {706, 46192}, {1249, 20208}, {1498, 6523}, {1503, 15312}, {1562, 127}, {2777, 28154}, {2883, 5}, {3172, 14376}, {3198, 1214}, {3900, 29366}, {5878, 51342}, {5894, 20329}, {5895, 4}, {5930, 10}, {6525, 1073}, {8057, 523}, {8804, 18589}, {9422, 23882}, {9833, 42457}, {9924, 42458}, {10152, 10745}, {13155, 2883}, {14249, 14059}, {14343, 54260}, {14615, 50666}, {15905, 6389}, {17845, 3183}, {18750, 20254}, {21172, 20315}, {23888, 834}, {29016, 20525}, {29061, 28294}, {29369, 971}, {32602, 3089}, {33531, 47030}, {35602, 3548}, {37669, 30771}, {40933, 52389}, {42459, 141}, {42658, 52584}, {47329, 55142}, {55063, 53833}, {55127, 9033}.
Los pares de color están en la recta del infinito. Obsérvese que al ser ABC y , se tiene que σ(X20)=X3.
- Martes, 16 de enero del 2024
X(221) centro ortológico
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A Aye en su cumpleaños
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ResearchGate (Liudmyla Hetmanenko, 26th Dec, 2023)
In triangle ABC, the inscribed circle touches sides BC, AC, and AB at points K
1, K
2, and K
3, respectively.
The excircle (I
a, r
a=I
aT
1) touches the lines BC, AC, and AB at points T
1, T
2, and T
3, respectively.
Given that AI=3, r=1, and T
1K
1=2:
Let D be the intersection of K
1K
3 and T
1T
2, and let E be the intersection of K
1K
2 and T
1T
3.
Find DE.
DE
2 = 32. (Steftcho P. Dokov)
Sean ABC un triángulo, DEF el del incentro y el triángulo pedal del .
En coordenadas baricéntricas:
Ab = DE∩DaFa = (2 a (b - c) : -a^2 - b^2 + c^2 : -a^2 + b^2 - c^2),
Ac = DF∩DaEa = (2 a (b - c) : a^2 + b^2 - c^2 : a^2 - b^2 + c^2).
Estos puntos está sobre la altura por A. Procediendo cíclicamente se definen los puntos Bc, Ba y Ca, Cb.
La recta que pasa por los puntos diagonales (distintos del ortocentro) del cuadrivértice BcBaCaCb tiene ecuación:
ℓa: (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 + b^4 - 2 a^2 (b - c)^2 +
6 b^2 c^2 + c^4 - 4 a b c (b + c)) x +
(a - b + c) (a^2 - b^2 -
c^2) (a^2 + b^2 -
c^2) ((a - b) (a + b)^2 - (a - b)^2 c + (-a + b) c^2 +
c^3) y +
((a^2 - b^2)^4 + 4 a (a - b)^2 b (a + b)^3 c -
2 (a - b)^2 (a + b)^4 c^2 - 4 a b (a + b) c^5 + 2 (a + b)^2 c^6 -
c^8) z = 0.
Las rectas ℓb y ℓc son definidas cíclicamente.
El triángulo A'B'C', formado por las rectas ℓa, ℓb, ℓc, y ABC son , con centro de perspectividad y centro ortológico de A'B'C' respecto a ABC el ortocentro.
A' = (4 a^2 (b-c)^2 (-a^2+b^2+c^2) : (a^2+b^2-c^2)^2 (a^2-b^2+c^2) : -(-a^2-b^2+c^2) (a^2-b^2+c^2)^2).
Este punto está sobre la altura por A. Procediendo cíclicamente se definen los puntos B' y C'.
El centro ortológico de
ABC respecto a
A'B'C' es X(221), del incentro y el centro de homotecia externo de las circunferencias inscrita y circunscrita.
a^2 (a^3 + a^2 (b + c) -
a (b + c)^2 - (b - c)^2 (b + c))/(b+c-a) : ... : ...
X(221) = X(1)-CEVA CONJUGATE OF X(56)
Let I = X(1) = incenter, and MaMbMc = medial triangle. Let A
B = AC∩IMa, and define B
C and C
A cyclically. Let A
C = AB∩IMa, and define B
A and C
B cyclically. Let O
A be the circumcircle of AA
BA
C, and define O
B and O
C cyclically. Then X(221) is the radical center of O
A, O
B, O
C. (Angel Montesdeoca, April 27, 2021)
El punto fijo finito de la transformación afín que aplica
ABC en
A'B'C' es
X(7053)
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z) =
a^2 (a^2-b^2-c^2) (4 b^2 c^2 (a-b-c)^2 (b-c)^2 x+ c^2 (a-b+c)^2 (a^2+b^2-c^2)^2 y+ b^2 (a+b-c)^2 (a^2-b^2+c^2)^2 z) : ... : ...
Pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, para {i, j}: {1, 51490}, {109, 2968}, {221, 4}, {534, 29101}, {934, 7215}, {1407, 26929}, {3556, 84}, {6087, 8677}, {7053, 7053}, {8058, 32475}, {9242, 53802}, {14529, 6245}, {18621, 18725}, {29097, 2817}, {29172, 14645}, {34498, 52097}, {47380, 1210}, {53279, 52117}, {53321, 53557}.
Los pares de color están en la recta del infinito. Obsérvese que al ser ABC y A'B'C' , se tiene que σ(X221)=X4.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Una solución geométrica del problema planteado por Liudmyla Hetmanenko, 26th Dec, 2023, es expuesto en Liudmyla261223.html
ID^2 = (b+c-a) (a + b - c) (a - b + c) /(4 (a + b + c)) = r,
DDa^2 = (b - c)^2 = 2r,
IA^2 = (b c (-a + b + c))/(a + b + c) = 3r.
Resolviendo estas ecuaciones en a, b, c, las soluciones positivas, salvo simetría son:
a=Sqrt[9+Sqrt[17]] r,
b=1/4 (-4+9 Sqrt[2]+Sqrt[34]) r,
c=1/4 (4+9 Sqrt[2]+Sqrt[34]) r.
Para estos valores AbAc^2 =
(b - c)^2 (-a + b + c) (a + b + c)/((a - b + c) (a + b - c)) = 32r^2.
Si se supone que:
IaDa=(a + b - c) (a - b + c) (a + b + c)/(4 (b+c-a))= ra^2,
DD^2 =(b - c)^2= 4ra.
AIa^2= b c (a + b + c) /(-a + b + c)=9ra,
se obtienen las soluciones:
a=1/72 (58 Sqrt[49+9 Sqrt[17]] r-(49+9 Sqrt[17])^(3/2) r),
b=1/2 (-2 r+Sqrt[49+9 Sqrt[17]] r),
c=1/2 (2 r+Sqrt[49+9 Sqrt[17]] r).
Obteniéndose el mismo valor para AbAc^2 =32 r^2.
- Viernes, 12 de enero del 2024
La cúbica nodal Tucker y una cuártica relacionada
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El 12 de enero de 1960 falleció Pedro Puig Adam, matemático, ingeniero y pedagogo catalán.
En 1921 presentó su tesis doctoral, Resolución de algunos problemas elementales en Mecánica relativista restringida, dirigida por Plans y apadrinada por Blas Cabrera.
Como material docente para la Escuela de Ingenieros Industriales de Madrid, Puig redactó tres de sus tratados más influyentes y reeditados, los dos volúmenes del Curso de Geometría Métrica (1947- 1948), el Curso teórico-práctico de Cálculo Integral (1949) y el Curso teórico-práctico de Ecuaciones Diferenciales (1950).
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Dado un triángulo ABC, sea P un punto sobre su (ℰ). Esta elipse y la (ℐP) del DEF de P son tangentes en P; las otras dos tangentes comunes son paralelas y tienen la dirección del de P.
El diámetro conjugado de la dirección de P• respecto a ℰ es la de P respeto a ABC, que coincide con la tripolar de P respecto DEF..
La tangente común en
P a ℰ y ℐ
P y sus diámetros conjugados a la dirección de
P•, concurren en un punto
U, sobre la cúbica nodal Tucker (
K015).
El lugar geométrico del baricentro Po de DEF, cuando P varía sobre ℰ, es la imagen de K015 mediante la homotecia de centro G=X2 y razón -3/2. En particular, hG,-3/2(U) = P'o, donde P' es el antipodal de P en ℰ.
Los puntos diagonales del cuadrivértice que consta de los puntos de tangencia de las tangentes paralelas comunes a ℰ y ℐP son P•, U y V.
El lugar geométrico de V, cuando P varía sobre ℰ, es la cuártica de ecuación baricéntrica:
𝔖xyz
(1268 x^2 + 326 y z + 175 (y^2 + z^2))y z = 0.
- Miércoles, 10 de enero del 2024
X(3575) centro ortológico
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El 10 de enero de 1938 nació Donald Ervin Knuth, experto en ciencias de la computación estadounidense y matemático.
Se le conoce principalmente por ser el autor de la obra The Art of Computer Programming (El arte de programar computadoras), una de las más respetadas referencias en el campo de las ciencias de la computación. Sentó las bases y dio nombre al análisis de algoritmos, y ha realizado numerosos aportes a varias ramas teóricas de la informática. Es el creador de TEX, del sistema de diseño de tipos METAFONT y del estilo de programación conocido como programación literaria.
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Dado un triángulo ABC con DEF, sea M un punto variable sobre AD, las paralelas por M a AB y a AC cortan a BC en Mb y Mc, respectivamente. Sean Ab la reflexión de A en el diámetro que pasa por Mb de la circunferencia (ACMb) y Ac la reflexión de A en el diámetro que pasa por Mc de la circunfrencia (ABMc).
Los cuatro puntos B, C, Ab y Ac están en una circunferencia de centro Mo. Las rectas MMo pasan por un punto fijo A', cuando M varía, de coordenadas baricéntricas respecto a ABC:
A' = ( a^2 (b^2 + c^2)-(b^2 - c^2)^2 : b^2 (a^2 - b^2 + c^2) : c^2 (a^2 + b^2 - c^2)).
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos
DEF y
A'B'C' son , con centro de perspectividad en centro del la , centro ortológico de
A'B'C' respecto a
DEF el circuncentro y centro ortológico de
DEF respecto a
A'B'C' el
X(3575).
El punto fijo de la transformación afín, σ, que aplica ABC en A'B'C' es X(216), del del circuncentro.
(x:y:z) ↦ σ(x:y:z)=
(a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - b^2 c^2) (a^2 b^2 - b^4 +
a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) (a^4 - a^2 b^2 - 2 a^2 c^2 - b^2 c^2 +
c^4) x +
a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 -
b^2 c^2) (a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) y +
a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 -
c^4) (a^4 - a^2 b^2 - 2 a^2 c^2 - b^2 c^2 + c^4) z : :
Pares {Xi, Xj=σ(Xi)}, para {i, j}: {2, 12012}, {3, 46025}, {5, 140}, {51, 2}, {52, 5}, {143, 3628}, {185, 42441}, {216, 216}, {343, 6676}, {418, 46832}, {511, 32428}, {520, 6368}, {1154, 30}, {1209, 7568}, {1568, 10257}, {1953, 40937}, {2081, 47230}, {3060, 10184}, {3917, 32078}, {5562, 3}, {5889, 45997}, {5891, 549}, {5943, 44914}, {6243, 35719}, {6368, 523}, {6751, 41005}, {8677, 6369}, {8798, 53844}, {10095, 16239}, {10628, 53808}, {11591, 3530}, {12077, 2501}, {13364, 10124}, {13754, 1154}, {14128, 12108}, {14391, 1637}, {14531, 4}, {14845, 11539}, {15451, 52584}, {15912, 6663}, {17434, 647}, {18180, 6675}, {21102, 7649}, {21230, 34004}, {21969, 11197}, {22257, 14363}, {27355, 3525}, {27374, 7819}, {30493, 17102}, {32352, 13160}, {34951, 6689}, {35319, 23584}, {35441, 55280}, {41586, 468}, {41587, 16238}, {41588, 6677}, {41597, 15345}, {43581, 14118}, {44706, 37565}, {44707, 1214}, {45186, 14978}, {45187, 31388}, {51363, 16318}, {52317, 6753}, {52945, 1990}, {55073, 15366}, {55219, 2489}, {57195, 12077}.
Los pares de color están en la recta del infinito.
- Sábado, 6 de enero del 2024
X(11597) centro de una nueva cónica
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El 6 de enero de 1918, a la edad 73 años de edad, falleció el matemático aleman George Cantor, conocido por ser el creador de la teoría de conjuntos. Demostró, en particular, que los números reales son más numerosos que los naturales utilizando el llamado argumento de la diagonal de Cantor.
.
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X(11597) = midpoint of and focus of
• Let P be a point in the plane of a triangle ABC, and let
O1 = circumcenter of PBC, and define O2 and O3 cyclically
Ab = orthogonal projection of O1 on the perpendicular bisectors of AC, and define Bc and Ca cyclically
Ac = orthogonal projection of O1 on the perpendicular bisectors of AB, and define Ba and Cb cyclically
La = Euler line of O1AbAc, and define Lb and Lc cyclically
Ua = Lb∩Lc, and define Ub and Uc cyclically
A* = Ub∩Uc, and define B* and C* cyclically.
The triangles ABC and A*B*C* are parallelogic, and the ABC-to-A*B*C* parallelogic center lies on the circumcircle of ABC. The locus of P for which the lines La, Lb, Lc concur is the union of the circumcircle and the Jerabek hyperbola. For P on the Jerabek hyperbola the point of concurrent of La, Lb, Lc, denote by Q(P), is the midpoint of P and X(110). As P trace the Jerabek hyperbola, Q(P) traces the bicevian conic of X(2) and X(110). The appearance of (i,j) in the following list means that Q(X(i)) = X(j):
(3,1511), (4,113), (6,6593),
(54,11597), (64,11598), (74,3284), (265,11062), (2574,6), (2575,6).
See Antreas Hatzipolakis and César Lozada,
Hyacinthos 25118
• X(11597) = center of
circumconic
a^4 (a^2 - b^2 - b c - c^2) (a^2 - b^2 + b c - c^2)y z + ... = 0
of perspector X(50), passing through X(i) for i∈{54, 110, 10411, 14355, 14385, 14591, 17104, 34210, 38897, 38936,
44067, 44068, 51478, 52179, 52603, 52668, 53176} and the isogonal conjugates of PU(5)
Sean ABC un triángulo, O=X(3) su circuncentro, A1 y A2 los ápices de los triángulos equiláteros de base AO.
t1 y t2 son las rectas que pasa por los extremos (distintos de A) de las cuerdas contenidas en AB y AC en las circunferencias que pasan por A y centros en A1 y A2, respectivamente.
Las rectas t1 y t2 son tangentes la parábola con foco O y tangente en su vértice al lado opuesto al A-vértice del , forman con BC un triángulo equilátero y determinan sobre las rectas AB y AC segmentos de la misma longitud que BC.
El centro de la cónica
𝒞a
a^8 b^2 c^2 x^2 - a^6 b^4 c^2 x^2 - a^2 b^8 c^2 x^2 + b^10 c^2 x^2 -
a^6 b^2 c^4 x^2 + a^4 b^4 c^4 x^2 + a^2 b^6 c^4 x^2 - 4 b^8 c^4 x^2 +
a^2 b^4 c^6 x^2 + 6 b^6 c^6 x^2 - a^2 b^2 c^8 x^2 - 4 b^4 c^8 x^2 +
b^2 c^10 x^2 + a^8 b^2 c^2 x y + 2 a^6 b^4 c^2 x y -
6 a^4 b^6 c^2 x y + 2 a^2 b^8 c^2 x y + b^10 c^2 x y -
a^6 b^2 c^4 x y + 4 a^4 b^4 c^4 x y - 5 a^2 b^6 c^4 x y -
4 b^8 c^4 x y + 4 a^2 b^4 c^6 x y + 6 b^6 c^6 x y -
a^2 b^2 c^8 x y - 4 b^4 c^8 x y + b^2 c^10 x y + a^8 b^2 c^2 y^2 -
a^6 b^4 c^2 y^2 - a^2 b^8 c^2 y^2 + b^10 c^2 y^2 - a^6 b^2 c^4 y^2 +
a^4 b^4 c^4 y^2 + a^2 b^6 c^4 y^2 - 4 b^8 c^4 y^2 +
a^2 b^4 c^6 y^2 + 6 b^6 c^6 y^2 - a^2 b^2 c^8 y^2 - 4 b^4 c^8 y^2 +
b^2 c^10 y^2 + a^8 b^2 c^2 x z - a^6 b^4 c^2 x z - a^2 b^8 c^2 x z +
b^10 c^2 x z + 2 a^6 b^2 c^4 x z + 4 a^4 b^4 c^4 x z +
4 a^2 b^6 c^4 x z - 4 b^8 c^4 x z - 6 a^4 b^2 c^6 x z -
5 a^2 b^4 c^6 x z + 6 b^6 c^6 x z + 2 a^2 b^2 c^8 x z -
4 b^4 c^8 x z + b^2 c^10 x z - a^12 y z + 4 a^10 b^2 y z -
5 a^8 b^4 y z + 5 a^4 b^8 y z - 4 a^2 b^10 y z + b^12 y z +
4 a^10 c^2 y z - 7 a^8 b^2 c^2 y z + 4 a^6 b^4 c^2 y z -
7 a^4 b^6 c^2 y z + 10 a^2 b^8 c^2 y z - 4 b^10 c^2 y z -
5 a^8 c^4 y z + 4 a^6 b^2 c^4 y z + 6 a^4 b^4 c^4 y z -
6 a^2 b^6 c^4 y z + 7 b^8 c^4 y z - 7 a^4 b^2 c^6 y z -
6 a^2 b^4 c^6 y z - 8 b^6 c^6 y z + 5 a^4 c^8 y z +
10 a^2 b^2 c^8 y z + 7 b^4 c^8 y z - 4 a^2 c^10 y z -
4 b^2 c^10 y z + c^12 y z + a^8 b^2 c^2 z^2 - a^6 b^4 c^2 z^2 -
a^2 b^8 c^2 z^2 + b^10 c^2 z^2 - a^6 b^2 c^4 z^2 + a^4 b^4 c^4 z^2 +
a^2 b^6 c^4 z^2 - 4 b^8 c^4 z^2 + a^2 b^4 c^6 z^2 + 6 b^6 c^6 z^2 -
a^2 b^2 c^8 z^2 - 4 b^4 c^8 z^2 + b^2 c^10 z^2 = 0
que pasa por O y por los cuatro puntos en los que las rectas t1 y t2 cortan a AB y AC es:
Ao = (-a^16+4 a^14 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^6 (b^4+c^4)-4 a^12 (b^4+3 b^2 c^2+c^4)+a^10 (-4 b^6+11 b^4 c^2+11 b^2 c^4-4 c^6)+a^2 (b^2-c^2)^4 (4 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+4 c^6)+a^8 (10 b^8-4 b^6 c^2-7 b^4 c^4-4 b^2 c^6+10 c^8)+a^6 (-4 b^10+b^6 c^4+b^4 c^6-4 c^10)-2 a^4 (2 b^12-5 b^10 c^2+3 b^8 c^4+3 b^4 c^8-5 b^2 c^10+2 c^12):
b^2 c^2 (a^2-b^2+c^2) (a^4+a^2 (b^2-2 c^2)+(b^2-c^2)^2) (a^6+(b^2-c^2)^3-a^4 (b^2+3 c^2)+a^2 (-b^4+b^2 c^2+3 c^4)):
b^2 c^2 (a^2+b^2-c^2) (a^4+(b^2-c^2)^2+a^2 (-2 b^2+c^2)) (a^6-(b^2-c^2)^3-a^4 (3 b^2+c^2)+a^2 (3 b^4+b^2 c^2-c^4))).
Los puntos Bo y Co se definen cíclicamente.
Las rectas
AAo,
BBo,
CCo concurren en
X15392 (X(3)- of X(265)).
A' = (a^6-2 a^2 (b^2-c^2)^2+a^4 (b^2+c^2):-(a^2-b^2+c^2) (a^4+a^2 (b^2-2 c^2)+(b^2-c^2)^2):-(a^2+b^2-c^2) (a^4+(b^2-c^2)^2+a^2 (-2 b^2+c^2)))
y cortan a BC en:
A'1 = (0 : (a^4 + (b^2 - c^2)^2 + a^2*(-2*b^2 + c^2))*
(2*a^6 + 2*a^2*c^2*(b^2 - c^2) + a^4*(-3*b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)*(b^4 - 2*b^2*c^2 + c^4 -
Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))])) :
a^10 - a^8*(5*b^2 + 3*c^2) - (b^2 - c^2)^3*
(b^4 - 2*b^2*c^2 + c^4 -
Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))]) +
a^6*(10*b^4 - 5*b^2*c^2 - 7*c^4 +
Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))]) -
a^2*(b^2 - c^2)*(-5*b^6 + 16*b^4*c^2 + 6*c^6 +
b^2*(-17*c^4 + Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 +
c^2)))])) - a^4*(10*b^6 - 24*b^4*c^2 -
2*c^6 - 3*Sqrt[3]*c^2*
Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*(a^4 + (b^2 - c^2)^2 -
2*a^2*(b^2 + c^2)))] +
b^2*(16*c^4 + Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))]))),
y
A'2 =(0, (a^4 + (b^2 - c^2)^2 + a^2*(-2*b^2 + c^2))*
(2*a^6 + 2*a^2*c^2*(b^2 - c^2) + a^4*(-3*b^2 + c^2) +
(b^2 - c^2)*(b^4 - 2*b^2*c^2 + c^4 +
Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))])),
a^10 - a^8*(5*b^2 + 3*c^2) - (b^2 - c^2)^3*
(b^4 - 2*b^2*c^2 + c^4 +
Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))]) -
a^6*(-10*b^4 + 5*b^2*c^2 + 7*c^4 +
Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))]) +
a^4*(-10*b^6 + 24*b^4*c^2 + 2*c^6 -
3*Sqrt[3]*c^2*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))] +
b^2*(-16*c^4 + Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 +
c^2)))])) + a^2*(b^2 - c^2)*
(5*b^6 - 16*b^4*c^2 - 6*c^6 +
b^2*(17*c^4 + Sqrt[3]*Sqrt[-((a^2 - b^2 + c^2)^2*
(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2*a^2*(b^2 + c^2)))]))).
Cíclicamente, se definen los puntos B', C'; B'1, B'2 y C'1, C'2.
Las rectas
AA', BB', CC' concurren en
X265 (X(3)-cross conjugate of X(15392)).
Los seis puntos
A'1,
A'2,
B'1,
B'2 y
C'1,
C'2 están sobre una
cónica,
𝔖abc SASBSC xyz
(4SA^2-b^2c^2)(4SB^2-c^2a^2)(4SC^2-a^2b^2)x^2-(3SA^2- S^2)(a^8-2 (b^2-c^2)^4-4 a^6 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (-3 b^4+8 b^2 c^2-3 c^4))y z = 0.
homotética a la cónica circunscrita de X
50, y tienen centro común,
X11597.
- Lunes, 1 de enero del 2024
Una propiedad de K(ɸ) y sus compañeras Acv(ɸ) y Acv(ɸ)
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El 1 de enero de 1972, falleció Maurice Chevalier, cantante, actor y una figura emblemática de la cultura francesa En los años treinta triunfó en Hollywood de la mano de directores como Lubitsch y tras la Segunda Guerra Mundial regresó para participar en películas de éxito como 'Gigi' de Vincente Minelli y 'Ariane' de Billy Wilder.
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Kiepert AntiCevian Mates of K(ⲫ) (Bernard Gibert)
The Kiepert triangles are formed by the apices of the isosceles triangles erected on the sides of the reference triangle ABC with the same base angle ⲫ in [–π/2;π/2].
With ⲫ>0, the triangle is erected outwardly and is denoted AeBeCe and when ⲫ<0, the triangle is erected inwardly and is denoted AiBiCi.
When ⲫ = 0, this is the medial triangle and when ⲫ = ±π/2, it degenerates into the line at infinity.
A Kiepert triangle has always its centroid at G and is always perspective with ABC, the perspector lies on the Kiepert hyperbola.
There is always an isogonal pK passing through the six apices Ae, Be, Ce and Ai, Bi, Ci of the six triangles obtained with base angle ±ɸ.
The corresponding perspectors are Pe, Pi on the cubic, on the Kiepert hyperbola and collinear with K.
This cubic – denoted by K(ⲫ) – is a member of the Euler pencil of cubics.
Its pivot P lies on the Euler line and is defined by OP = k OH (vectors) where
k = (cot
2ⲫ + 1) / (3cot
2ⲫ – 1).
With Δ = area(ABC), the
equation of K(ⲫ) is (barycentrics):
Σ (-3 a^4 + 2 a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4 -
Δ
2 cot
2ⲫ) x (c^2 y^2- b^2 z^2) = 0.
Let M be a point and MaMbMc its anticevian triangle.
The triangles AeBeCe (resp. AiBiCi) and MaMbMc are perspective (at N) if and only if M lies on Acv(ⲫ) (resp. Acv(–ⲫ)), an isogonal pK with pivot Qe (resp. Qi) on the line GK. The locus of the perspector N is K(ⲫ) again in both cases.
The
equation of Acv(ⲫ) is:
Δ (1 + cot
2ⲫ) Σa
2(y–z)yz + cotⲫ Σa
2(c
2y–b
2z)yz = 0.
Acv(ⲫ) contains Pe (perspector of ABC and AeBeCe) and its isogonal conjugate Pe*. Similarly, Acv(–ⲫ) contains Pi and Pi*.
The pivot Qe of Acv(ⲫ) is the intersection of GK and PPe. Qe and Qi are harmonic conjugates with respect to G and K.
Each cubic K(ⲫ) can be associated with the two cubics Acv(ⲫ) and Acv(–ⲫ) which we call the
Kiepert AntiCevian Mates of K(ⲫ).
Sean ABC un triángulo, DEF el de un punto M y un ángulo ⲫ∈[-π/2,π/2].
Ab es el punto que se obtiene al girar A alrededor de E un ángulo 2ⲫ y Ac es el punto que se obtiene al girar A alrededor de F un ángulo -2ⲫ. Ma es el punto medio de AbAc y se definen cíclicamente los puntos Mb y Mc.
A'b (reflexión de Ab en AC) es el punto que se obtiene al girar A alrededor de E un ángulo -2ⲫ y A'c (reflexión de Ac en AB) es el punto que se obtiene al girar A alrededor de F un ángulo 2ⲫ. M'a es el punto medio de A'bA'c y se definen cíclicamente los puntos M'b y M'c.
Las rectas
AMa,
BMb,
CMc concurren (en
W) y también las rectas
AM'a,
BM'b,
CM'c concurren (en
W') si y solo si
M está sobre
K(ⲫ).
Cuando M recorre K(ⲫ), el lugar de W es Acv(ⲫ) y el lugar de W' es Acv(-ⲫ).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de M y si Δ=2S= area(ABC),
Ma = (c^2 (a^2-c^2) v-b^4 w+b^2 (a^2 w+c^2 (4 u+v+w))-(-c^4 v-b^4 w-3 b^2 c^2 (v+w)+a^2 (c^2 v+b^2 w)) Cos[2 t]-Δ (c^2 v+b^2 w) Sin[2 t] :
2 b^2 Sin[t] (Δ w Cos[t]+((-a^2+b^2) w+c^2 (2 v+w)) Sin[t]) : 2 c^2 Sin[t] (Δ v Cos[t]+(-a^2 v+c^2 v+b^2 (v+2 w)) Sin[t]),
M'a = (c^2 (a^2-c^2) v-b^4 w+b^2 (a^2 w+c^2 (4 u+v+w))-(-c^4 v-b^4 w-3 b^2 c^2 (v+w)+a^2 (c^2 v+b^2 w)) Cos[2 t]+Δ (c^2 v+b^2 w) Sin[2 t] :
2 b^2 Sin[t] (-Δ w Cos[t]+((-a^2+b^2) w+c^2 (2 v+w)) Sin[t]) : 2 c^2 Sin[t] (-Δ v Cos[t]+(-a^2 v+c^2 v+b^2 (v+2 w)) Sin[t]).
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