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Hechos Geométricos en el Triángulo (2020)

Angel Montesdeoca
(Última actualización: )

Hechos Geométricos en el Triángulo de:
(2013) (2014) (2015) (2016) (2017) (2018) (2019) (2021) (2022) (2023) (2024)

Cómo es el enlace a un Hecho Geométrico correspondiente a un día concreto:
http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2020.htm#HGddmmaa
EJEMPLO: 1 de enero del 2020
http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2020.htm#HG010120

C O N T E N I D O
Glosario
Centros del triángulo que NO figuran en la Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)
Ejercicios relativos a triángulos
Resolución De Triángulos
Construcción de cónicas (Para prescindir de JAVA, se han sustituido los "<applet>" por "<script>")
Contribuciones y citas en otras web de Geometría del Triángulo
Geometría afín y euclídea

Geometría proyectiva. Cónicas y Cuádricas

Miércoles, 30 de diciembre del 2020
Generalización de la construcción de los centros X(479) y X(5423)

El 30 de diciembre de 1896, en Manila (Filipinas), se procede a la ejecución, por las autoridades españolas, de José Rizal. Por instigación de las órdenes religiosas de dominicos y franciscanos, Rizal fue acusado de asociación ilícita. Fue un médico, escritor, pintor, lingüista y político filipino.

Let A' be the point in which the incircle is tangent to a circle that passes through vertices B and C, and define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(479). For an excircle version, see X(5423).
Clark Kimberling and Peter Yff, Problem 10678, American Mathematical Monthly 105 (1998) 666.

Let A' be the point in which the A-excircle is tangent to the circle OA that passes through vertices B and C, and define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(5423); for the incircle version, see X(479). (Peter Moses, December 10, 2015)

Dado un triángulo ABC con incentro I=X₁ y I_a, I_b, I_c, sean D y D' las proyecciones ortogonales de I y I_a sobre el lado BC, respectivamente.
Se concidera la circunferencia Γ_a que pasa por B, C y el punto D_t, que divide al segmento DI_a en la razón t (DD_t:D_tI_a=t, t número real).
Si O_a es el centro de Γ_a, sea P_a=DI_a∩IO_a; P_a es el , respecto a la a ABC, del de ésta y Γ_a. Los puntos P_b y P_c, se definen cíclicamente.
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Utilizando coordenadas baricéntricas, la ecuación del eje radical, e_A, de las circunferencias inscrita y Γ_a es:
e_A: ((b - c)^2 (b + c) (-1 + 2 t) + a (b - c)^2 (1 - 3 t + t^2) + a^3 (-1 + t + t^2) - a^2 (b + c) (-1 + 2 t^2)) x + a (a - b + c)^2 t (1 + t) y + a (a + b - c)^2 t (1 + t) z = 0.

P_a =(-2 a^2 (a + b - c) (a - b + c) t (1 + t) :
(a + b - c) (a^3 - (b - c)^2 (b + c) (-1 + 2 t) - a^2 (b + c + 2 c t - 2 b t^2) - a (c^2 (1 - 4 t) - 2 b c (1 - 3 t + t^2) + b^2 (1 - 2 t + 2 t^2))) :
(a - b + c) (a^3 - (b - c)^2 (b + c) (-1 + 2 t) - a^2 (b + c + 2 b t - 2 c t^2) + a (b^2 (-1 + 4 t) + c^2 (-1 + 2 t - 2 t^2) + 2 b c (1 - 3 t + t^2)))).

Los triángulos ABC y P_aP_bP_c son perspectivos si y solo si
t = -1, t = 0, t =1/2, t = 1, t = - r/(2R).

Se designa por P_t el centro de perspectividad para estos casos.

Para t = -1 , t = 0, la circunferencia Γ_a degenera en la recta BC, y el centro de perspectividad es el .

Para t = 1/2, el centro el perspectividad P_½ es X₂₁₃₁₄

AoPS (brokendiamond, Aug 20, 2018)

Let ABC be the triangle with incircle (I). (I) touch BC,CA,AB at D,E,F, respectively . G_e is the Gergone point of ABC. AD cuts (I) at M,D . Similarly for N,P. Prove that the radical center of (ANP), (BMP), (CMN) lies on IG_e (Soddy Line).

Hyacinthos 28065 (César Lozada, Sunday, October 27, 2019)

The radical center of the three circles is X(21314):= X(1)X(7) ∩ X(57)X(1358); (a^2+(b+c)a-2(b-c)^2)(a+b-c)(a-b+c) : ... : ...

Cuando t = 1, es decir cuando se toma el punto medio del segmento DI_a, la circunferencia Γ_a es tangente a la circunferencia inscrita y el centro de perspectividad de ABC y P_aP_bP_c es X₄₇₉.

Cuando t = -r/(2R), r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, el centro de perspectividad W=P_-r/(2R) es:
W = ( a/( (b + c-a) (3 a^3 - 5 a^2 (b + c) + a (b + c)^2 + (b - c)^2 (b + c)) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (5.54644081156577, 0.374217693310462, 0.821694935046781).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,15728}, {7,24389}, {269,3660}.

El triángulo formado por los ejes radicales e_A, e_B y e_C es perspectivo con ABC. El lugar geométrico del centro de perspectividad, Z_t (cuando t varía), es la circun-hipérbola
( (a c - b c) x y + (-a b + b c) x z + (a b - a c) y z = 0)
de centro X(1015) [centro de homotecia exterior de la y la circunferencia inscrita]. Es la conjugada isogonal de la recta que pasa por el incentro y simediano.

Z_t = (a/(a^3-a^2 (b+c) (1+2 t)-a (b^2 (1-4 t)+c^2 (1-4 t)-2 b c (1-2 t+2 t^2))-(b-c)^2 (b+c) (-1+2 t)) : ... : ...)=
=(a/(4 a b c t^2 -2 (a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))t + a^3 - a (b - c)^2 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c)) : ... : ...).
Casos particulares:
Cuando t=1/2, Z_½ = X(34578) .

Cuando t= 2, Z₂ = X(39980) .

Cuando t=-r/(2R), Z_t es X₅₇= DI_a∩EI_b∩FI_c. En este punto concurren las tres circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c.
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VERSIÓN CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS

Se concidera la circunferencia Γ'_a que pasa por B, C y el punto D'_t, que divide al segmento II_aa en la razón t (ID'_t:D'_tI_aa=t, t número real). Sea P'_a el polo, respecto a la a ABC, del eje radical de ésta y Γ'_a. Los puntos P'_b y P'_c, se definen cíclicamente.

En coordenadas baricéntricas, la ecuación del eje radical, e'_A, de las circunferencias A-exinscrita y Γ'_a es:
e'_A: ((b-c)^2 (b+c) (-2+t) t+a^3 (1+t-t^2)-a^2 (b+c) (-2+t^2)+a (b-c)^2 (1-3 t+t^2)) x+a (a+b-c)^2 (1+t) y+a (a-b+c)^2 (1+t) z = 0.

P'_a =(-2 a^2 (a+b-c) (a-b+c) (1+t) :
(a-b+c) (-(b-c)^2 (b+c) (-2+t) t+a^3 t^2+a^2 (c t (2+t)+b (-2+t^2))-a (c^2 (-4+t) t-2 b c (1-3 t+t^2)+b^2 (2-2 t+t^2))) :
(a+b-c) (-(b-c)^2 (b+c) (-2+t) t+a^3 t^2+a^2 (b t (2+t)+c (-2+t^2))-a (b^2 (-4+t) t-2 b c (1-3 t+t^2)+c^2 (2-2 t+t^2)))).

Los triángulos ABC y P'_aP'_bP'_c son perspectivos si y solo si
t = -1, t = 0, t = 1, t = (r±Sqrt[r (r+2 R)])/r.

Se designa por P'_t el centro de perspectividad para estos casos.

Para t = -1 la circunferencia Γ_a degenera en la recta BC, y el centro de perspectividad es el .

Para t = 0, los puntos P'_a, P'_b, P'_c coinciden con el incentro.

Cuando t = 1, es decir cuando se toma el punto medio del segmento II_aa, la circunferencia Γ'_a es tangente a la circunferencia A-exinscrita y el centro de perspectividad de ABC y P'_aP'_bP'_c es X₅₄₂₃.

Cuando t = (r±Sqrt[r (r+2 R)])/r, las coordenadas de P'_t son muy complicadas.
Viernes, 25 de diciembre del 2020
La cúbica de Grebe del triángulo anticomplementario

El 25 de diciembre de 1758, el cometa Halley avistado por primera vez después de que él predijo su regreso. Después de que Newton explicó el movimiento planetario, sugirió que los cometas podrían tener órbitas elípticas alargadas. El cometa Halley tiene una excentricidad de 0,9675

Dados un triángulo ABC y un punto P en su plano, sean DEF el de P y D^∘E^∘F^∘ el triángulo ceviano de P^∘, de P.
Las circunferencias (AEF), (BFD), (CDE), vuelven a cortar a la circunferecnia circunscrita a ABC, en los puntos D', E', F', respectivamente.
Los triángulos D'E'F' y D^∘E^∘F^∘ son directamente semejantes.
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Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
D' = (a^2 (u + v) (u + w) : b^2 (u + v) (v - w) : -c^2 (v - w) (u + w)).
El centro de la semejanza que aplica D'E'F' en D^∘E^∘F^∘ es:
Z = (a^2 (u + v) (u + w) (a^4 (u^2 - v^2) (u^2 - w^2) + 2 a^2 (b^2 (u^2 - v^2) (u v + v^2 + v w + w^2) + c^2 (u^2 - w^2) (v^2 + v w + w (u + w))) + (v + w)^2 (b^4 (-u^2 + v^2) + c^4 (-u^2 + w^2) + 2 b^2 c^2 (u^2 + v^2 + v w + w^2 + u (v + w)))) : ... : ...).
Casos particulares:

• Si P es el baricentro las circunferencias (ABC), (AEF) son tangentes y D^•E^•F^• es el triángulo medial, luego Z es el baricentro.

• Si P es el , Z=X₅₅, centro interior de homotecia de las circunferencias inscrita y circunscrita.

• Si P es el , Z es el baricentros.

En estos tres casos, los triángulos D'E'F' y D^∘E^∘F^∘ son homotéticos.
Más en general:
Los triángulos D'E'F' y D^∘E^∘F^∘ son perspectivos si y solo si P está sobre la cúbica de la cúbica de Grebe, pK(X6, X6), o sobre la cúbica, 𝒦, anticomplmento de una nK(X6, X2, ?),
((b^2 x^2+a^2 y^2) z+y (c^2 x^2+a^2 z^2)+x (c^2 y^2+b^2 z^2) - (a^2+b^2+c^2) x y z= 0)
de raíz el baricentro.
Cuando P está sobre la cúbica anticomplemento de la cúbica de Grebe los triángulos D'E'F' y D^∘E^∘F^∘ son homotéticos.
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La cúbica anticomplemento de la cúbica de Grebe pasa por los centros X₂, X₈, X₆₉, X₁₀₄₅₃, X₂₀₀₈₁, X₃₂₅₄₈.
El centro de homotecia de los triángulos D'E'F' y D^∘E^∘F^∘ para los puntos X₂₀₀₈₁, X₃₂₅₄₈, coincide y es:
W = ( (2 a^4 - a^2 (b^2 + c^2)+ b^2 c^2 )/(b^2 c^2 - a^2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-11.3091918666326, 1.20036368031517, 8.02927048782741).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,699}, {6,15965}, {25,385}, {194,32543}, {1968,16985}, {3224,7793}.

Cuando P está sobre la cúbica 𝒦 los centros de semejanza y de perspectividad están sobre la circunferencia circunscrita a ABC.
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Miércoles, 16 de diciembre del 2020
gagP, tagP y la segunda circunferencia de Steiner

El 16 de diciembre de 1965, en las Naciones Unidas (Nueva York), se vota la Resolución 2017, en la que se insta al Gobierno de España como país invasor, a descolonizar los territorios de Ifni y Sáhara Occidental.

Dados un triángulo ABC y un punto P en su plano, establecemos las siguientes notaciones:
gP, de P,
tP, de P,
cP y aP, y anticomplemento de P, respectivamente.
Se pueden combinar entre ellos como en:

gagP, conjugado isogonal del anticomplemento del conjugado isogonal de P,
tagP, conjugado isotómico del anticomplemento del conjugado isogonal de P.

Se da a continuación una construcción que involucra estos dos puntos recién mencionados.

Sea DEF el de P y A', B', C' los puntos donde la circunferencia circunscrita a ABC vuelve a cortar a las rectas EF, FD, DE, respectivamente.
A", B", C" son los puntos donde la circunferencia circunscrita a ABC vuelve a cortar a las rectas A'P, B'P, C'P, respectivamente.
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Las rectas AA", BB", CC" concurren en gagP.
Las dos circunferencias que pasan por A" y tales que una es tangente a AB en B y la otra es tangente a AC en C, se vuelven a cortar en A₁, sobre BC. Los puntos B₁ y C₁, se construyen cíclicamente.
Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ concurren en tagP.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces
gagP=(a^2/(c^2 u v+b^2 u w-a^2 v w):...:...),

tagP=(1/(c^2 u v+b^2 u w-a^2 v w):...:...).
Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita a ABC, gagP=P. Otros casos {P=X_i, gagP=X_j}, para centros que actualmente figuran en , para los índices {i, j}.
( {1, 56}, {2, 25}, {3, 64}, {4, 3}, {5, 3432}, {6, 6}, {7, 3433}, {8, 3435}, {9, 1436}, {10, 3437}, {11, 36902}, {12, 36903}, {13, 3438}, {14, 3439}, {15, 3440}, {16, 3441}, {17, 3442}, {18, 3443}, {19, 2164}, {20, 34426}, {21, 2217}, {22, 34427}, {23, 22258}, {24, 34428}, {25, 8770}, {27, 34429}, {28, 2218}, {30, 34178}, {31, 2162}, {32, 3224}, {34, 34430}, {36, 34431}, {37, 3444}, {39, 14370}, {40, 34432}, {42, 2248}, {48, 8761}, {53, 34433}, {54, 4}, {55, 11051}, {56, 3445}, {57, 55}, {58, 1}, {60, 34434}, {61, 3489}, {62, 3490}, {63, 7169}, {64, 3532}, {65, 34435}, {66, 34436}, {67, 34437}, {68, 34438}, {69, 34207}, {70, 34439}, {71, 34440}, {75, 7087}, {76, 2353}, {79, 34441}, {80, 34442}, {81, 31}, {82, 34443}, {83, 32}, {84, 963}, {86, 34444}, {87, 34445}, {88, 6187}, {89, 34446}, {90, 34447}, {94, 34448}, {95, 2980}, {96, 34449}, {97, 32319}, {163, 4559}, {184, 1988}, {186, 35372}, {193, 15369}, {194, 32543}, {219, 7152}, {222, 2192}, {223, 7037}, {248, 1987}, {251, 2}, {252, 11816}, {256, 34250}, {262, 3425}, {264, 1485}, {275, 184}, {282, 198}, {284, 19}, {288, 51}, {291, 8852}, {292, 17962}, {294, 911}, {371, 8948}, {372, 8946}, {511, 34130}, {512, 9217}, {513, 3446}, {514, 34179}, {515, 34180}, {516, 34181}, {517, 34182}, {518, 34183}, {519, 34184}, {520, 34185}, {521, 34187}, {522, 34189}, {523, 3447}, {524, 22259}, {525, 34190}, {526, 34191}, {588, 8577}, {589, 8576}, {605, 37882}, {644, 34080}, {648, 1576}, {651, 692}, {662, 4557}, {666, 34067}, {667, 9265}, {671, 3455}, {672, 9500}, {677, 32735}, {749, 7246}, {751, 7236}, {765, 3733}, {801, 33581}, {847, 24}, {895, 1177}, {909, 2161}, {937, 939}, {943, 28}, {947, 84}, {959, 1036}, {961, 21}, {994, 3422}, {1000, 3420}, {1002, 3423}, {1016, 667}, {1073, 154}, {1126, 58}, {1166, 5}, {1167, 34}, {1168, 36}, {1169, 37}, {1170, 41}, {1171, 42}, {1172, 48}, {1173, 54}, {1174, 57}, {1175, 65}, {1176, 66}, {1177, 67}, {1178, 82}, {1179, 96}, {1249, 28783}, {1252, 649}, {1255, 6186}, {1257, 8615}, {1258, 904}, {1262, 663}, {1342, 1677}, {1343, 1676}, {1383, 21448}, {1389, 3417}, {1390, 3415}, {1391, 10428}, {1433, 221}, {1438, 292}, {1461, 8750}, {1487, 3518}, {1783, 1415}, {1914, 2109}, {1945, 17963}, {1976, 694}, {1988, 36617}, {1989, 14579}, {1993, 39109}, {2052, 2351}, {2067, 30336}, {2141, 14377}, {2149, 7252}, {2161, 19302}, {2162, 36614}, {2214, 34819}, {2221, 7050}, {2226, 902}, {2259, 2160}, {2287, 2155}, {2298, 1333}, {2311, 1910}, {2316, 909}, {2341, 2159}, {2981, 3457}, {2982, 2194}, {2983, 1474}, {2984, 3199}, {2985, 1397}, {2987, 1976}, {2990, 34858}, {3108, 251}, {3194, 19614}, {3224, 36615}, {3225, 9468}, {3341, 34167}, {3342, 1035}, {3343, 28781}, {3344, 1033}, {3349, 28785}, {3352, 28784}, {3356, 28782}, {3417, 945}, {3431, 3426}, {3433, 38269}, {3435, 38273}, {3449, 7}, {3450, 8}, {3451, 9}, {3453, 10}, {3527, 14528}, {4558, 32734}, {4577, 1634}, {4590, 18105}, {4629, 35327}, {4630, 35325}, {4638, 23344}, {5378, 23355}, {5381, 23349}, {5383, 1919}, {5481, 3424}, {5504, 11744}, {5627, 186}, {5663, 34192}, {6151, 3458}, {6185, 2223}, {6502, 30335}, {6531, 32654}, {7021, 359}, {7115, 650}, {7121, 2176}, {7123, 1407}, {7128, 21789}, {7132, 2053}, {7133, 34125}, {8269, 1633}, {8749, 14910}, {8770, 36616}, {8882, 2165}, {8884, 22261}, {9190, 9192}, {9262, 9259}, {9268, 23345}, {9309, 1037}, {9469, 5989}, {9472, 8301}, {9506, 17735}, {10159, 3456}, {10308, 10623}, {10415, 23}, {10422, 468}, {10426, 1155}, {10428, 1319}, {10630, 187}, {11071, 11063}, {11075, 19297}, {11082, 11142}, {11087, 11141}, {11610, 34129}, {13136, 32719}, {13472, 3527}, {13492, 38533}, {13603, 20421}, {14248, 3053}, {14371, 6759}, {14483, 3431}, {14528, 22334}, {14534, 1402}, {14586, 1625}, {14910, 1989}, {15905, 31956}, {16459, 15}, {16460, 16}, {16835, 11270}, {17708, 32729}, {18018, 22}, {18315, 32737}, {18532, 34801}, {18771, 59}, {18772, 60}, {19118, 39128}, {19607, 3185}, {19613, 20993}, {20332, 1911}, {21353, 1030}, {21355, 10329}, {23357, 2623}, {23586, 8641}, {23592, 8648}, {23617, 604}, {23963, 36198}, {23964, 647}, {23984, 1946}, {24479, 17798}, {25148, 34418}, {27644, 34248}, {30535, 263}, {32544, 32540}, {32641, 32675}, {32674, 32653}, {32708, 32662}, {32714, 32652}, {34071, 190}, {34238, 1691}, {34260, 1460}, {34277, 197}, {34536, 237}, {34537, 669}, {34538, 39201}, {34539, 351}, {34567, 1173}, {34568, 23347}, {34570, 8749}, {34572, 3108}, {34574, 5467}, {34756, 155}, {36049, 32674}, {36052, 1411}, {38534, 265}, {38809, 3271}, {38810, 560}, {38811, 1334}, {38812, 1917}, {38813, 75}, {38825, 1412}, {38826, 76}, {38827, 561}, {38828, 3939}, {38829, 1502}, {38830, 1501}, {38831, 38813}, {38936, 14264}, {39267, 37579}, {39389, 1383}.)

Pares {P=X_i, tagP=X_j} para los índices {i, j}.
( {1, 7}, {2, 4}, {3, 253}, {4, 69}, {6, 2}, {7, 13577}, {8, 8048}, {9, 189}, {10, 8044}, {13, 2992}, {14, 2993}, {15, 19776}, {16, 19777}, {19, 2994}, {21, 2995}, {23, 14364}, {25, 2996}, {28, 2997}, {31, 330}, {32, 2998}, {36, 36917}, {37, 1029}, {39, 1031}, {42, 6625}, {44, 8046}, {48, 7361}, {54, 264}, {55, 10405}, {56, 4373}, {57, 8}, {58, 75}, {59, 693}, {61, 19712}, {62, 19713}, {63, 7219}, {64, 35510}, {69, 13575}, {74, 1494}, {75, 7357}, {76, 66}, {81, 1}, {83, 6}, {86, 8049}, {88, 80}, {89, 1000}, {94, 33565}, {97, 15318}, {98, 290}, {99, 670}, {100, 668}, {101, 190}, {102, 34393}, {103, 18025}, {104, 18816}, {105, 2481}, {106, 903}, {107, 6528}, {108, 18026}, {109, 664}, {110, 99}, {111, 671}, {112, 648}, {158, 7331}, {162, 4566}, {163, 4552}, {190, 8050}, {222, 280}, {223, 1034}, {239, 2113}, {248, 1972}, {249, 523}, {250, 850}, {251, 76}, {256, 7224}, {266, 7048}, {275, 3}, {279, 6601}, {282, 329}, {284, 92}, {287, 1297}, {288, 5}, {289, 7057}, {291, 7261}, {292, 6650}, {294, 36101}, {323, 1138}, {346, 34546}, {371, 24244}, {372, 24243}, {393, 6504}, {394, 3346}, {395, 13484}, {396, 13483}, {459, 15077}, {476, 35139}, {493, 1131}, {494, 1132}, {511, 9473}, {512, 35511}, {513, 8047}, {523, 13485}, {524, 13574}, {525, 13573}, {577, 34287}, {588, 485}, {589, 486}, {593, 596}, {598, 5486}, {605, 37883}, {644, 27834}, {647, 15351}, {648, 110}, {649, 6630}, {651, 100}, {662, 3952}, {666, 660}, {667, 9295}, {671, 67}, {677, 927}, {691, 892}, {694, 11606}, {697, 18824}, {699, 3225}, {713, 18825}, {715, 18826}, {727, 3226}, {729, 3228}, {733, 14970}, {739, 3227}, {741, 18827}, {757, 27807}, {759, 14616}, {765, 7192}, {783, 18828}, {801, 64}, {805, 18829}, {813, 4562}, {825, 4586}, {827, 4577}, {829, 255}, {840, 18821}, {842, 5641}, {843, 18823}, {847, 317}, {895, 2373}, {898, 889}, {901, 4555}, {909, 18359}, {919, 666}, {932, 18830}, {933, 18831}, {934, 4569}, {943, 286}, {947, 309}, {959, 30479}, {961, 314}, {1016, 513}, {1073, 20}, {1101, 7372}, {1113, 15164}, {1114, 15165}, {1126, 86}, {1166, 311}, {1167, 273}, {1168, 320}, {1169, 321}, {1170, 9}, {1171, 10}, {1172, 63}, {1173, 95}, {1174, 85}, {1175, 1441}, {1176, 18018}, {1177, 18019}, {1178, 3112}, {1179, 34385}, {1220, 20028}, {1249, 1032}, {1252, 514}, {1255, 79}, {1257, 15314}, {1258, 256}, {1262, 522}, {1290, 35156}, {1296, 35179}, {1297, 35140}, {1304, 16077}, {1308, 35171}, {1331, 1305}, {1332, 13397}, {1333, 35058}, {1379, 6190}, {1380, 6189}, {1383, 5485}, {1407, 6553}, {1412, 34860}, {1427, 13583}, {1433, 347}, {1438, 335}, {1461, 1897}, {1462, 1280}, {1477, 35160}, {1487, 32002}, {1509, 13476}, {1576, 11794}, {1743, 8051}, {1783, 651}, {1797, 2370}, {1814, 26703}, {1945, 17947}, {1967, 30669}, {1976, 1916}, {1988, 38256}, {1989, 13582}, {1993, 254}, {1994, 3459}, {2006, 11604}, {2052, 68}, {2065, 325}, {2149, 4560}, {2161, 21739}, {2162, 38247}, {2163, 36588}, {2165, 13579}, {2207, 6339}, {2214, 25417}, {2221, 1219}, {2222, 35174}, {2226, 519}, {2238, 9510}, {2249, 35145}, {2259, 30690}, {2287, 2184}, {2291, 1121}, {2298, 81}, {2311, 1821}, {2316, 34234}, {2334, 30712}, {2341, 2349}, {2380, 11117}, {2381, 11118}, {2382, 18822}, {2384, 35168}, {2433, 12066}, {2699, 35151}, {2700, 35150}, {2701, 35154}, {2702, 35148}, {2703, 35147}, {2708, 35149}, {2711, 35152}, {2712, 35153}, {2715, 2966}, {2717, 35164}, {2718, 35175}, {2963, 13585}, {2981, 13}, {2982, 21}, {2983, 27}, {2984, 53}, {2985, 56}, {2986, 74}, {2987, 98}, {2988, 102}, {2989, 103}, {2990, 104}, {2991, 105}, {2996, 16774}, {3108, 83}, {3114, 263}, {3194, 19611}, {3224, 38262}, {3225, 694}, {3342, 5932}, {3343, 14365}, {3344, 14361}, {3349, 14362}, {3352, 34162}, {3407, 19222}, {3431, 36889}, {3445, 36606}, {3449, 6063}, {3450, 3596}, {3451, 312}, {3453, 313}, {3457, 11121}, {3458, 11122}, {3563, 35142}, {3565, 35136}, {3939, 37206}, {3978, 34214}, {4558, 925}, {4563, 3565}, {4567, 4581}, {4570, 4608}, {4573, 3903}, {4577, 4576}, {4588, 4597}, {4629, 4427}, {4638, 17780}, {5376, 23836}, {5383, 649}, {5392, 70}, {5395, 17040}, {5627, 340}, {5970, 35146}, {5994, 23896}, {5995, 23895}, {6151, 14}, {6185, 518}, {6531, 2987}, {6551, 6635}, {7115, 4391}, {7121, 192}, {7123, 279}, {7128, 7253}, {7132, 7155}, {7133, 13386}, {7160, 30501}, {7578, 3431}, {7953, 35137}, {8056, 7319}, {8105, 13580}, {8106, 13581}, {8115, 1113}, {8116, 1114}, {8652, 32042}, {8687, 6648}, {8691, 35181}, {8693, 32041}, {8701, 6540}, {8749, 2986}, {8751, 2991}, {8770, 38259}, {8882, 5392}, {9111, 35172}, {9139, 9141}, {9150, 886}, {9190, 9080}, {9262, 4440}, {9268, 6548}, {9307, 34405}, {9309, 8817}, {9472, 20345}, {9506, 6542}, {9516, 1383}, {10159, 15321}, {10415, 316}, {10419, 3260}, {10420, 18878}, {10426, 30806}, {11051, 36605}, {11071, 37779}, {11075, 17484}, {11082, 16770}, {11085, 19779}, {11087, 16771}, {11538, 13418}, {11636, 35138}, {13136, 901}, {13138, 934}, {13404, 21453}, {13472, 8797}, {13582, 5900}, {14248, 193}, {14371, 20477}, {14534, 65}, {14586, 14570}, {14621, 1002}, {14642, 35061}, {14733, 35157}, {14910, 94}, {14919, 1294}, {14970, 20021}, {15378, 3261}, {15379, 35516}, {15380, 35517}, {15381, 3262}, {15382, 3263}, {15383, 3264}, {15384, 3265}, {15385, 35518}, {15386, 35519}, {15387, 3266}, {15388, 3267}, {15396, 35520}, {15397, 3006}, {15401, 1273}, {15407, 30737}, {15460, 22340}, {15461, 22339}, {16039, 933}, {16080, 265}, {16081, 35098}, {16082, 35097}, {16460, 299}, {16606, 13584}, {16806, 32036}, {16807, 32037}, {16813, 35360}, {17708, 691}, {17743, 9309}, {18018, 315}, {18268, 27809}, {18315, 930}, {18771, 4998}, {18772, 261}, {18879, 18808}, {19607, 3869}, {19613, 5596}, {19619, 6224}, {20251, 18575}, {20332, 291}, {20998, 31373}, {21353, 2895}, {21355, 2896}, {21907, 24298}, {23357, 15412}, {23592, 3738}, {23617, 57}, {23964, 525}, {23984, 521}, {24479, 4645}, {24624, 38955}, {25417, 3296}, {25430, 5556}, {26716, 32040}, {27644, 3223}, {28317, 35170}, {28471, 35141}, {28482, 35162}, {30535, 262}, {31626, 15319}, {32014, 15320}, {32641, 655}, {32693, 32038}, {32714, 13138}, {34051, 1320}, {34056, 3254}, {34071, 1978}, {34079, 4080}, {34238, 385}, {34258, 20029}, {34260, 388}, {34277, 3436}, {34533, 5487}, {34534, 5488}, {34536, 511}, {34537, 512}, {34538, 520}, {34568, 4240}, {34570, 16080}, {34572, 10159}, {34574, 5468}, {35105, 35143}, {35106, 35144}, {35107, 35155}, {35108, 35159}, {36049, 653}, {36052, 18815}, {36296, 19774}, {36297, 19775}, {36897, 20022}, {37128, 13576}, {37135, 4589}, {37874, 14457}, {38253, 15749}, {38534, 328}, {38809, 11}, {38810, 31}, {38811, 2321}, {38812, 560}, {38813, 561}, {38825, 1434}, {38826, 1502}, {38827, 1928}, {38828, 3699}, {38830, 32}, {38847, 38845}, {39284, 3519}, {39295, 15328}, {39389, 598}, {39391, 18810}, {39392, 18811}, {39394, 18812}, {39402, 7026}, {39403, 7043}.)

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Cuando el punto P recorre una recta ℓ, la envolvente de las rectas gagPtagP es una cónica 𝒞_ℓ, con el . Esta cónica es parábola si la recta ℓ pasa por X₂₄₉, conjugado isogonal del centro de la .
Cuando ℓ gira alrededor de X₂₄₉, el foco de la parábola 𝒞_ℓ está sobre la .
Si P=((g - h) (g h + t) : (-f + h) (f h + t) : (f - g) (f g + t)) es un punto genérico de la recta ℓ: fx+gy+hz=0, la ecuación de la recta gagPtagP es:
(b^2-c^2) (a^2 (f-g) (f-h) (f g+t) (f h+t)+b^2 (f-g) (g-h) (f g+t) (g h+t)+c^2 (g-h) (-f+h) (f h+t) (g h+t))x+...=0.
Cuando t varía, la envolvente de esta recta es la cónica 𝒞_ℓ, de ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} (b-c)^2 (b+c)^2 (a^4 f^2+(b^2 g-c^2 h)^2+2 a^2 f (b^2 g+c^2 h)) x^2-2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) (a^2 f-b^2 g-c^2 h) (a^2 f+b^2 g+c^2 h) y z= 0.
El centro de esta cónica es:
L_o = ((a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (2 a^6 f - 2 a^4 (b^2 + c^2) f + a^2 (b^4 + c^4) f + (b^2 - c^2)^2 (b^2 g + c^2 h)) : ... : ...).
Si L es el de ℓ, se tienen los siguientes pares {L=X_i, L_o=X_j}, para {i,j}: {99, 110}, {101, 4610}, {110, 99}, {112, 4563}, {249, 11123}, {476, 10411}, {691, 5468}, {805, 17941}, {827, 4576}, {2709, 34245}, {2715, 2396}, {4558, 1632}, {6578, 4427}, {7953, 10330}, {9150, 5118}, {10409, 35314}, {10410, 35315}, {10411, 14611}, {10425, 4226}, {11636, 9146}, {12074, 35356}, {18315, 1634}, {36066, 3573}.

El perspector de esta cónica, respecto al triángulo ceviano del punto de Steiner, es:
S_o = (a^2 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) f (b^2 g + c^2 h) : ... : ...).
Si L es el de ℓ, se tienen los siguientes pares {L=X_i, S_o=X_j}, para {i,j} ver aquí
( {1, 100}, {2, 1634}, {3, 110}, {4, 23181}, {6, 99}, {15, 35314}, {16, 35315}, {19, 6516}, {20, 1624}, {22, 1576}, {23, 5467}, {25, 4558}, {30, 15329}, {31, 190}, {32, 4576}, {39, 10330}, {48, 664}, {55, 662}, {56, 643}, {58, 4427}, {63, 1633}, {74, 3233}, {81, 4436}, {99, 669}, {100, 3733}, {101, 7192}, {109, 7253}, {112, 3265}, {154, 648}, {155, 925}, {157, 32661}, {159, 112}, {160, 1625}, {163, 4467}, {184, 14570}, {187, 5468}, {190, 16695}, {195, 930}, {197, 4565}, {198, 1414}, {199, 4556}, {221, 36797}, {237, 2421}, {249, 11123}, {284, 17136}, {333, 23363}, {381, 36829}, {394, 1632}, {399, 476}, {511, 4226}, {512, 2}, {513, 21}, {514, 4184}, {515, 7450}, {516, 4243}, {517, 3658}, {518, 4236}, {520, 20}, {521, 16049}, {522, 4225}, {523, 3}, {524, 11634}, {525, 22}, {542, 7468}, {560, 33946}, {574, 35356}, {595, 3952}, {610, 934}, {647, 69}, {648, 22089}(recta de Euler), {649, 86}, {650, 1444}, {652, 8822}, {654, 17139}, {659, 3286}, {662, 4367}, {663, 333}, {664, 23864}, {665, 30941}, {667, 81}, {669, 6}, {670, 9491}, {674, 4237}, {688, 384}, {690, 23}, {691, 1649}, {692, 4560}, {758, 13589}, {778, 33728}, {792, 33725}, {798, 17103}, {804, 237}, {814, 4215}, {826, 6636}, {827, 2528}, {832, 17521}, {834, 1010}, {838, 17587}, {850, 160}, {875, 4366}, {876, 8299}, {878, 36790}, {882, 8290}, {884, 16728}, {887, 3231}, {888, 13586}, {900, 859}, {918, 16876}, {924, 4}, {926, 14953}, {928, 14956}, {1019, 1621}, {1350, 35278}, {1379, 30509}, {1380, 30508}, {1384, 9146}, {1444, 16680}, {1459, 1043}, {1486, 5546}, {1495, 2407}, {1498, 107}, {1499, 1995}, {1503, 4230}, {1510, 5}, {1511, 14611}, {1613, 670}, {1615, 4616}, {1616, 7256}, {1619, 32713}, {1621, 4557}, {1625, 850}, {1630, 4566}, {1631, 163}, {1632, 39201}, {1633, 21789}, {1649, 2930}, {1691, 2396}, {1740, 932}, {1919, 33296}, {1938, 35981}, {1946, 1812}, {1960, 16704}, {1964, 18047}, {1971, 877}, {1979, 4601}, {1995, 9145}, {2071, 5502}, {2076, 17941}, {2110, 4584}, {2162, 36860}, {2176, 799}, {2178, 4592}, {2328, 14543}, {2352, 1332}, {2360, 14544}, {2393, 4235}, {2420, 3268}, {2422, 5976}, {2433, 6148}, {2441, 17195}, {2483, 16705}, {2485, 3926}, {2488, 16713}, {2489, 6337}, {2491, 12215}, {2492, 6390}, {2501, 9723}, {2502, 9182}, {2514, 7789}, {2528, 2916}, {2531, 10328}, {2574, 1114}, {2575, 1113}, {2605, 8}, {2623, 311}, {2771, 7477}, {2772, 7479}, {2773, 7424}, {2774, 5196}, {2775, 7469}, {2776, 7478}, {2777, 7480}, {2778, 37966}, {2780, 7426}, {2781, 7473}, {2793, 35298}, {2799, 37183}, {2836, 7475}, {2854, 7472}, {2872, 35297}, {2878, 448}, {2881, 441}, {2916, 827}, {2917, 933}, {2930, 691}, {2931, 10420}, {2934, 14586}, {2935, 1304}, {2936, 32729}, {2948, 1290}, {2975, 23845}, {2978, 27164}, {3005, 141}, {3049, 1975}, {3050, 76}, {3052, 645}, {3053, 4563}, {3124, 14588}, {3129, 17402}, {3130, 17403}, {3145, 4636}, {3185, 651}, {3196, 4622}, {3207, 4573}, {3216, 34594}, {3221, 3552}, {3231, 23342}, {3250, 30966}, {3265, 159}, {3267, 15270}, {3286, 3573}, {3288, 183}, {3309, 4228}, {3360, 3222}, {3447, 14366}, {3499, 689}, {3511, 805}, {3556, 162}, {3566, 25}, {3569, 325}, {3573, 659}, {3667, 7419}, {3724, 4585}, {3733, 1}, {3737, 2975}, {3747, 3570}, {3800, 7485}, {3804, 3618}, {3827, 4238}, {3887, 33325}, {3900, 1817}, {3903, 24533}, {3904, 23369}, {3906, 7492}, {3915, 3699}, {3941, 644}, {4057, 58}, {4068, 35342}, {4079, 6626}, {4083, 13588}, {4132, 404}, {4139, 4188}, {4145, 13587}, {4151, 4210}, {4155, 19308}, {4184, 35327}, {4230, 684}, {4367, 55}, {4394, 1014}, {4427, 4057}, {4436, 667}, {4455, 1931}, {4467, 1631}, {4557, 1019}, {4559, 18155}, {4560, 16678}, {4576, 21006}, {4590, 14824}, {4775, 5235}, {4784, 1001}, {4833, 993}, {4834, 5333}, {4840, 5248}, {4843, 11350}, {4879, 1376}, {4897, 1486}, {4977, 17524}, {5027, 385}, {5029, 17731}, {5040, 19623}, {5078, 17944}, {5104, 34245}, {5106, 14607}, {5113, 7779}, {5118, 9147}, {5191, 14999}, {5201, 5118}, {5301, 4561}, {5546, 4897}, {5611, 14185}, {5615, 14187}, {5638, 6189}, {5639, 6190}, {5652, 9149}, {5663, 7471}, {5898, 1291}, {5989, 17938}, {6000, 4240}, {6001, 4246}, {6003, 11101}, {6088, 27088}, {6089, 27086}, {6129, 1792}, {6137, 298}, {6138, 299}, {6140, 37779}, {6363, 17539}, {6368, 7488}, {6370, 37311}, {6371, 11115}, {6562, 1609}, {6563, 157}, {6586, 17206}, {6587, 3964}, {6589, 332}, {6626, 23390}, {6759, 35360}, {7192, 8053}, {7234, 38814}, {7252, 75}, {7253, 23361}, {7254, 32929}, {7468, 34291}, {7492, 35357}, {7669, 249}, {7927, 15246}, {8053, 101}, {8057, 11413}, {8632, 33295}, {8639, 940}, {8640, 27644}, {8641, 2287}, {8644, 1992}, {8646, 2303}, {8651, 193}, {8653, 391}, {8663, 1213}, {8664, 3589}, {8665, 3763}, {8672, 4189}, {8673, 1370}, {8674, 1325}, {8675, 376}, {8676, 27}, {8678, 27174}, {8679, 7462}, {8702, 37294}, {8711, 35929}, {8750, 15411}, {8925, 6037}, {8939, 1306}, {8943, 1307}, {8999, 7415}, {9000, 4229}, {9001, 4221}, {9002, 4234}, {9003, 7464}, {9007, 21312}, {9009, 1003}, {9010, 16046}, {9012, 8356}, {9013, 17512}, {9023, 8598}, {9029, 35935}, {9030, 35924}, {9033, 2071}, {9044, 35955}, {9135, 22329}, {9147, 5201}, {9178, 2482}, {9181, 9168}, {9208, 7840}, {9210, 7788}, {9217, 31632}, {9218, 10190}, {9259, 4600}, {9313, 16050}, {9402, 17693}, {9409, 11064}, {9426, 194}, {9431, 34537}, {9479, 6660}, {9489, 9463}, {9491, 1613}, {9494, 3051}, {9509, 36066}, {9517, 858}, {9937, 13398}, {10097, 7664}, {10117, 250}, {10282, 35311}, {10329, 4577}, {10330, 18105}, {10537, 653}, {11063, 10411}, {11123, 7669}, {11186, 11163}, {11450, 34845}, {11634, 351}, {11641, 36830}, {12073, 7496}, {13152, 13621}, {13754, 30512}, {14077, 35997}, {14270, 323}, {14273, 5866}, {14318, 3329}, {14329, 2883}, {14380, 16163}, {14424, 19596}, {14480, 14809}, {14529, 1897}, {14560, 5664}, {14809, 32609}, {14824, 20998}, {15034, 30221}, {15047, 20189}, {15107, 35345}, {15141, 935}, {15270, 35325}, {15313, 28}, {15411, 23359}, {15451, 343}, {15470, 14264}, {15959, 14587}, {16678, 692}, {16679, 1018}, {16680, 650}, {16681, 32739}, {16685, 668}, {16686, 4567}, {16687, 4553}, {16692, 213}, {16693, 2284}, {16694, 1023}, {16695, 31}, {16872, 4559}, {16874, 37}, {17104, 6758}, {17136, 23865}, {17221, 14723}, {17414, 599}, {17415, 4048}, {17847, 30716}, {18105, 39}, {18155, 16872}, {18311, 2936}, {18610, 906}, {18611, 1783}, {18613, 3939}, {18614, 21859}, {18755, 4610}, {18859, 30510}, {19504, 39193}, {19588, 3565}, {20184, 3518}, {20186, 4232}, {20188, 140}, {20474, 2702}, {20580, 1619}, {20677, 37135}, {20718, 7437}, {20986, 4552}, {20987, 4611}, {20994, 4599}, {20995, 4625}, {20998, 4590}, {20999, 4570}, {21002, 7259}, {21004, 24041}, {21005, 1333}, {21006, 32}, {21007, 274}, {21009, 23889}, {21123, 33954}, {21731, 3580}, {21767, 811}, {21769, 7257}, {21776, 4602}, {21777, 4593}, {21779, 4623}, {21781, 4615}, {21783, 24037}, {21784, 1577}, {21786, 30939}, {21789, 63}, {21791, 310}, {21905, 7665}, {22089, 154}, {23090, 17134}, {23189, 3869}, {23283, 14368}, {23284, 14369}, {23285, 23208}, {23286, 5562}, {23339, 32656}, {23342, 887}, {23359, 8750}, {23361, 109}, {23363, 663}, {23381, 1415}, {23383, 1331}, {23386, 32665}, {23387, 34073}, {23388, 1110}, {23389, 23990}, {23390, 4079}, {23392, 1252}, {23394, 902}, {23399, 2200}, {23400, 41}, {23401, 2210}, {23403, 560}, {23404, 765}, {23843, 4575}, {23844, 2617}, {23845, 3737}, {23846, 4551}, {23858, 4591}, {23860, 1101}, {23861, 661}, {23864, 48}, {23865, 284}, {23866, 5009}, {23867, 2206}, {23870, 34008}, {23871, 34009}, {23878, 37184}, {24303, 36839}, {24304, 36840}, {25423, 11328}, {27550, 38432}, {27551, 38431}, {29328, 36015}, {29350, 35983}, {30202, 453}, {30209, 7493}, {30211, 30552}, {30230, 26255}, {31296, 8266}, {31299, 35222}, {31521, 907}, {32320, 20477}, {32445, 6331}, {32472, 37465}, {32473, 37335}, {32478, 13595}, {32609, 14480}, {32661, 6563}, {32713, 20580}, {32729, 18311}, {32737, 20577}, {33704, 31614}, {33786, 4609}, {33801, 14574}, {33803, 8029}, {33946, 23403}, {34008, 35329}, {34009, 35330}, {34146, 2409}, {34948, 3193}, {34952, 1993}, {35057, 37405}, {35193, 14985}, {35237, 1302}, {35325, 3267}, {35326, 7199}, {35364, 114}, {36201, 37937}, {38348, 8301}, {38401, 12168}, {38402, 12074}, {38861, 5489}, {39199, 283}, {39201, 394}, {39232, 316})
.

• La cónica 𝒞_ℓ es parábola si su centro está en la , o sea si:
a^2 (a^2-b^2)^2 (a^2-c^2)^2f+b^2 (a^2-b^2)^2 (b^2-c^2)^2g+c^2 (a^2-c^2)^2 (b^2-c^2)^2h=0.
Es decir, si la recta ℓ pasa por X₂₄₉.

Cuando ℓ gira alrededor de X₂₄₉, el lugar geométrico del foco F_ℓ de la parábola 𝒞_ℓ es la , de ecuación:
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+
(x+y+z) (-(((a^6-a^4 b^2+a^2 b^4-b^6-a^4 c^2-a^2 b^2 c^2+b^4 c^2+a^2 c^4+b^2 c^4-c^6) x)/(2 (a^2-b^2) (a^2-c^2)))
-((a^6-a^4 b^2+a^2 b^4-b^6-a^4 c^2+a^2 b^2 c^2+b^4 c^2-a^2 c^4-b^2 c^4+c^6) y)/(2 (a^2-b^2) (b^2-c^2))
+((-a^6+a^4 b^2+a^2 b^4-b^6+a^4 c^2-a^2 b^2 c^2+b^4 c^2-a^2 c^4-b^2 c^4+c^6) z)/(2 (a^2-c^2) (-b^2+c^2)))=0.
( Mostrar/Ocultar figura )
Cuando ℓ gira alrededor de X₂₄₉, el lugar geométrico de los puntos de intersección D_ℓ, de ℓ con la directriz d_ℓ, de la parábola 𝒞_ℓ, es la cónica que pasa por X₃, X₂₄₉, X₂₀₇₆ (inverso en la circunferencia circunscrita del punto medio de los ), X₃₅₂₉₆, de ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} (a^2 (b^2 + c^2) - b^4 - c^4) ( b^2 c^2 (b^2 - c^2)^4 x^2 + ( a^2) (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (a^6 - a^4 (b^2 + c^2) - a^2 (b^4 - 3 b^2 c^2 + c^4) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) y = 0.
• La cónica 𝒞_ℓ es si los coeficientes de la recta ℓ satisfacen a:
𝔖_{_{abc fgh}} a^4 (a^6 - b^6 - b^4 c^2 - b^2 c^4 - c^6 - 3 a^4 (b^2 + c^2) + 3 a^2 (b^4 + b^2 c^2 + c^4))f^2 -2 a^2 b^2 (a^2 - b^2) c^2 (a^2 - c^2)g h = 0.
Ésta es la ecuación tangencial de una cónica, 𝒞_eq, cuya ecuación puntual es:
𝔖_{_{abc xyz}} b^4 c^4 (b^2 - c^2)^4 (a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2))x^2 -2 a^4 b^2 c^2 (a^2 - b^2)(a^2 - c^2) (a^8 - b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 - 3 a^6 (b^2 + c^2) + 3 a^4 (b^4 + b^2 c^2 + c^4) - a^2 (b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 + c^6))y z = 0.
Pasa por X₃ y X₁₉₉₃ ( de X(3)). Su centro es X₃₉X₅₄∩X₁₁₀X₁₁₅, es decir el punto de intersección de la recta que pasa por el punto medio de los puntos de Brocard y el , con la recta que une el foco de la y el centro de la .
A cada recta tangente ℓ a 𝒞_eq, le corresponde una hipérbola rectangular 𝒞_ℓ, tangente a los lados del triángulo ceviano del punto de Steiner y cuyo centro queda sobre la circunferencia circunscrita a ABC.
La tangente a 𝒞_eq en X(3) es el , a la que corresponde la hipérbola de Kiepert del triángulo anticomplemetario, cuyo centro es el punto de Steiner.
La tangente a 𝒞_eq en X(1993) es la recta la del punto de Steiner, que pasa por el baricentro y el simediano, a la que corresponde la , cuyo centro es el foco de la parábola de Kiepert.
( Mostrar/Ocultar figura )
• Cuando ℓ es la recta de Euler, la cónica 𝒞_ℓ tiene por ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 (b^2 - c^2) (a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4)-(b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2))x^2+ 2 b^2c^2 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (b^2 - c^2)y z = 0.
Pasa por los centros X₂₂, X₉₇₂₃, X₁₇₁₃₄, X₂₀₄₇₇, X₂₂₃₃₉, X₂₂₃₄₀. Su centro es:
W = ( (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (a^4 + (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.0195648763671119, -1.64943185773662, 4.77354890201722).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,34981}, {3,338}, {4,23702}, {5,14669}, {67,550}, {99,670}, {110,930}, {290,8266}, {401,3001}, {523,4558}, {599,34510}, {648,5467}, {925,23181}, {935,1296}, {1316,34990}, {1576,4226}, {2453,33813}, {2782,7669}, {6368,34968}, {7668,14060}, {7816,29959}, {9142,25051}, {15526,38738}, {23290,30450}.

La recta de Euler es tangente a 𝒞_ℓ en el .
( Mostrar/Ocultar figura )
La recta ℓ es tangente a 𝒞_ℓ si y solo si ℓ pasa por el punto de Steiner o es tangente a la hipérbola de Stammler.
La condición de tangencia es:
(a^4 f - a^2 b^2 f - a^2 c^2 f + b^2 c^2 f - a^2 b^2 g + b^4 g + a^2 c^2 g - b^2 c^2 g + a^2 b^2 h - a^2 c^2 h - b^2 c^2 h + c^4 h)
(a^6 f^2 - a^4 b^2 f^2 - a^4 c^2 f^2 + a^2 b^2 c^2 f^2 - a^2 b^4 g^2 + b^6 g^2 + a^2 b^2 c^2 g^2 - b^4 c^2 g^2 + a^2 b^2 c^2 h^2 - a^2 c^4 h^2 - b^2 c^4 h^2 + c^6 h^2)=0.
El primer factor expresa que la recta ℓ para por el punto de Steiner, y el segundo factor indica que es tangente a la hipérbola de Stammler.
Lunes, 14 de diciembre del 2020
Recta de Euler y puntos de Tixier en un círculo

El 14 de diciembre de 1546 nació, en Suecia, Tycho Brahe. Las observaciones de Tycho de una nueva estrella en 1572 y un cometa 1577, así como la publicación de estos fenómenos, fueron fundamentales para establecer el hecho de que estos astros se encuentran por encima de la Luna, y que por tanto, el cielo no es inmutable como Aristóteles.
Al morir dejó a Kepler las observaciones realizadas a lo largo de años y años de estudio, con la esperanza de que éste pudiera demostrar su teoría del Universo. Kepler se sirvió de los trabajos de Tycho para formular sus famosas leyes sobre los movimientos planetarios.

HYACINTHOS 27613

[Tran Quang Hung]: (Oct 26, 2019)
Let ABC be a triangle. N is the NPC center. A'B'C' is the pedal triangle of N. The of the triangles AB'C', BC'A' and CA'B' bound a triangle A''B''C''. Then the circumcenter of the triangle A''B''C'' lies on the Euler line of ABC.

[Angel Montesdeoca]:
Is the triangle center W (= X(18279)), with first barycentric coordinate:
2 a^10-5 a^8 (b^2+c^2)+2 a^6 (b^4+b^2 c^2+c^4)-a^4 (-4 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4-4 c^6)-a^2 (b^2-c^2)^2 (4 b^4+b^2 c^2+4 c^4)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2).

Euclid 1269

[Kadir Altintaş]: (Dec 13, 2020)

Let Euler line of ABC intersects the sidelines BC, CA, AB at P,Q,R resp.
X(476)-Tixier point of ABC, X(476) of ARQ, X(476) of BPR, X(476) of CPQ lie on same circle.

La de un triángulo ABC intersecta a sus lados BC, CA, AB en P, Q, R , respectivamente.
Sea T_a el de ARQ. Se definen T_b y T_c cíclicamente.
El punto de Tixier de ABC, T_a, T_b y T_c están sobre una misma circunferencia.
( Mostrar/Ocultar figura )
Para obtener las coordenadas baricéntricas del punto de Tiexer respecto al triángulo AQR, en función de las longitudes de los lados de ABC, sustituimos en sus coordenadas respecto a ABC:

((a^2-b^2) (a^2-c^2) (-a^2 b^2+(a^2+b^2-c^2)^2) (-a^2 c^2+(a^2-b^2+c^2)^2):
(-a^2+b^2) (b^2-c^2) (-a^2 b^2+(a^2+b^2-c^2)^2) (-b^2 c^2+(-a^2+b^2+c^2)^2):
(-a^2+c^2) (-b^2+c^2) (-a^2 c^2+(a^2-b^2+c^2)^2) (-b^2 c^2+(-a^2+b^2+c^2)^2)),

a², b² y c² por ‍QR², ‍AR², ‍AQ², respectivamente, y se obtiene:

T'_a = (x':y':z')=
(((-b^4+c^4+a^2 (b^2-c^2))^12 (a^12-(b^2-c^2)^6-a^10 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)-a^8 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)+a^4 (b^2-c^2)^2 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)))/((b^2-c^2)^12 (-a^2+b^2+c^2)^12):
-(b^2-c^2) (a^4-2 b^4+b^2 c^2+c^4+a^2 (b^2-2 c^2)) (a^6-a^4 b^2+(b^2-c^2)^3+a^2 (-b^4+b^2 c^2)) :
(b^2-c^2) (a^6-a^4 c^2+a^2 c^2 (b^2-c^2)-(b^2-c^2)^3) (a^4+b^4+b^2 c^2-2 c^4+a^2 (-2 b^2+c^2))).

Si las coordenadas baricéntricas de un punto, respecto a ABC son (x:y:z) y queremos obtener su relación con las coordenadas baricéntricas (x':y':z'), respecto a otro triángulo A'B'C', del que se conocen las coordenadas baricéntricas de sus vértices respecto a ABC, debemos dar una determinación fija a éstos para que la suma de los tres sea el baricentro G' de A'B'C'. Esto puede lograrse haciendo que las sumas de las coordenadas de cada uno de ellos sean las mismas.

Por tanto, las coordenadas (x:y:z) de T'_a, respecto ABC, vienen dadas por la expresión matricial {x,y,z} = {x',y', z'}*M, donde M=(a_ij), siendo:

a₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 0

a₂₁ = ((-a^2+b^2) (a^2+b^2-c^2))/((-a^2+b^2) (a^2+b^2-c^2)+(b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)),
a₂₂ = 0,
a₂₃ = ((b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2))/((-a^2+b^2) (a^2+b^2-c^2)+(b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)),

a₃₁ = ((-a^2+c^2) (a^2-b^2+c^2))/((-a^2+c^2) (a^2-b^2+c^2)+(-b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2)),
a₃₂ = ((-b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2))/((-a^2+c^2) (a^2-b^2+c^2)+(-b^2+c^2) (-a^2+b^2+c^2)).
a₃₃ = 0.

Se obtiene:

T_a =
(a^2 (a^10-a^8 (b^2+c^2)+2 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)-a^6 (b^4-3 b^2 c^2+c^4)-a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)) :
-(b-c)^2 (b+c)^2 (-a^2+b^2-c^2) (a^2-a b+b^2-c^2) (a^2+a b+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2):
(b-c)^2 (b+c)^2 (a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2-a c-c^2) (-a^2+b^2+a c-c^2) (-a^2+b^2+c^2)).

La circunferencia circunscrita a T_aT_bT_c, contiene a X₄₇₆ (punto de Tixier) y pasa por X₂₆₅, X₁₃₀₄, X₁₀₇₄₅, su ecuación baricéntrica es:
𝔖_{_{abc xyz}} (b-c)^2 (b+c)^2 (-a^2+b^2+c^2) (-a^2+b^2-b c+c^2) (-a^2+b^2+b c+c^2) (-2 a^4+b^4-2 b^2 c^2+c^4+a^2 (b^2+c^2)) x^2-(-b^14+2 b^12 c^2-b^8 c^6-b^6 c^8+2 b^2 c^12-c^14+a^12 (b^2+c^2)+a^10 (-4 b^4+2 b^2 c^2-4 c^4)+a^8 (5 b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+5 c^6)+a^6 (-9 b^6 c^2+16 b^4 c^4-9 b^2 c^6)+a^4 (-5 b^10+13 b^8 c^2-8 b^6 c^4-8 b^4 c^6+13 b^2 c^8-5 c^10)+a^2 (4 b^12-7 b^10 c^2-2 b^8 c^4+10 b^6 c^6-2 b^4 c^8-7 b^2 c^10+4 c^12)) y z = 0.
Sábado, 12 de diciembre del 2020
Una propiedad de la cúbica de Darboux

a Pablo, por su "cumple"

Dados un triángulo ABC y un punto P (que no está sobre la circunferencia circunscrita ni sobre la recta del infinito), sean DEF el de P y D'E'F' el triángulo pedal, respecto a D'E'F', del P* de P. Los triángulos DEF y D'E'F' son perspectivos si y solo si P está sobre la cúbica de Darboux.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
D' = (-b^6 w^2 (v+2 w)-c^2 (a^2-c^2) v^2 (a^2 w-c^2 (2 v+w))+b^2 v (-4 a^2 c^2 u w-a^4 w^2+c^4 (2 v^2+w^2+4 u (v+w)))+b^4 w (2 a^2 w (v+w)+c^2 (v^2+2 w^2+4 u (v+w))) :
b^2 w ((-a^2+b^2) w+c^2 (2 v+w)) (-a^2 v+c^2 v+b^2 (v+2 w)) :
c^2 v ((-a^2+b^2) w+c^2 (2 v+w)) (-a^2 v+c^2 v+b^2 (v+2 w))).
Si P está sobre la cúbica de Darboux, el centro de perspectividad de DEF y D'E'F' es:
Q = a^2(a^6 v w (b^2 (u+2 v) w+c^2 v (u+2 w))
-a^4 (-b^2 c^2 u v w (4 u+3 (v+w))+c^4 v^2 (2 u^2+4 (v+w)^2+u (8 v+3 w))+b^4 w^2 (2 u^2+4 (v+w)^2+u (3 v+8 w)))
+a^2 (c^6 v^2 (4 u^2+8 u v+4 v^2+3 u w+8 v w+2 w^2)+b^6 w^2 (4 u^2+3 u v+2 v^2+8 u w+8 v w+4 w^2)-b^2 c^4 v (4 u^3+4 u^2 (5 v+2 w)+2 v (2 v^2+4 v w+w^2)+u (16 v^2+22 v w+5 w^2))-b^4 c^2 w (4 u^3+4 u^2 (2 v+5 w)+2 w (v^2+4 v w+2 w^2)+u (5 v^2+22 v w+16 w^2)))
-(b^2-c^2) u (-c^2 v+b^2 (2 u+v)) (-c^2 v+b^2 w) (b^2 w-c^2 (2 u+w))) : ... : ...).
Algunos pares {P=X_i, Q=X_j}, para {i, j}: {1, 354}, {3, 6}, {4, 185}.
Cuando P=X₂₀, , Q es:
Q₂₀ = ( a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^6 (b^2+c^2)-a^4 (b^2-c^2)^2+-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4+6 b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.77687090857033, 4.31527007260811, -1.55153983385369).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,185}, {4,18920}, {22,21663}, {25,64}, {51,125}, {69,305}, {184,5085}, {389,8889}, {468,36982}, {511,7396}, {612,1425}, {614,3270}, {858,14531}, {1181,16419}, {1196,3269}, {1216,26944}, {1368,5562}, {1495,1619}, {1843,1853}, {2063,3292}, {3580,12058}, {3819,6776}, {5020,10605}, {5133,27355}, {5622,34986}, {6000,6353}, {6146,10691}, {6241,38282}, {6619,34854}, {6677,12162}, {6995,32062}, {7391,13851}, {7398,11469}, {7485,13367}, {7667,21659}, {7714,13474}, {7734,18914}, {7735,17830}, {9140,27365}, {10154,10575}, {11793,18909}, {13348,18945}, {13754,30771}, {14915,20850}, {18396,36987}, {26958,34146}.

El conjugado isogonal U de P*, respecto a DEF, es el de DEF respecto a D'E'F'. Cuando P está sobre la cúbica de Darboux los puntos P*, U, W están alineados ().
Lunes, 30 de noviembre del 2020
La cúbica pK(X274, X314) y una generalización de la cónica de Yiu

Si después de morirme quisieran escribir mi biografía
no hay nada más sencillo.
Tiene sólo dos fechas
la de mi nacimiento y la de mi muerte.
Entre una y otra todos los días son míos.
Fernando Pessoa (Lisboa, 13 de junio de 1888- Lisboa, 30 de noviembre de 1935)

Dado un triángulo ABC, sean P un punto y DEF su .
Se consideran los paralelogramos ABDD_b y ACDD_c y los puntos A_b y A_c (sobre AC y AB, respectivamente) tales que los triángulos A_bD_bA y A_cD_cA son isósceles con cúspide A. Por construcción, se verifica DB=AA_b y DC=AA_c.
Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b, se definen cíclicamente.
Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b están sobre una misma cónica 𝒞_p, si solo si P está sobre la recta que pasa por los puntos de y de , o sobre la .
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
A_b=(a w - b (v + w) : 0 : -a w) y A_c=(a v - c (v + w) : -a v : 0).

Si P está sobre la elipse circunscrita de Steiner, el centro Q de la cónica 𝒞_p es la proyección sobre la elipse circunscrita de el incentro, desde X₁₉₀ (perspector de la ).
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Cuando P es el punto de Nagel, la cónica 𝒞_X(8) es la cónica inscrita de perspector X₈.

El punto de Nagel es el único punto del plano del triángulo ABC, con triángulo ceviano DEF, verificando que BD=AE, CD=AF, CE=BF, AE=BD, AF=CD, DF=CE.

Cuando P recorre la cónica circunscrita de Steiner, el triángulo A'B'C' formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b es perspectivo con ABC (𝒞_p es la de ABC y A'B'C') y el centro de perspecividad P' queda sobre una cuártica
( -c x^2 y^2+(-a-b-c) x^2 y z+(-a-b-c) x y^2 z-b x^2 z^2+(-a-b-c) x y z^2-a y^2 z^2 = 0)
que pasa por X₆₆₃₀, X₈₀₄₆, X₈₀₄₇, X₉₅₁₀.
También son perspectivos los triángulos ABC y A'B'C' cuando P está sobre la recta X₇X₈, teniéndose los casos particulares de pares {P=X_i, P'=X_j}, para los índices {i, j}: {8, 8}, {69, 63}, {75, 333}, {190, 8047}, {668, 6630}, {903, 8046}, {18827, 9510}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Sean A'_b y A'_c los simétricos de A_b y A_c, respecto a A; B'_c y B'_a los simétricos de B_c y B_a, respecto a B; C'_a y C'_b los simétricos de C_a y C_b, respecto a C.
Los seis puntos A'_b, A'_c, B'_c, B'_a, C'_a, C'_b están sobre una misma cónica 𝒞'_p, si solo si P está sobre la pK(X274, X314).
( a^2 b x^2 y-a b^2 x^2 y+a^2 c x^2 y+a c^2 x^2 y+a^2 b x y^2-a b^2 x y^2-b^2 c x y^2-b c^2 x y^2-a^2 b x^2 z-a b^2 x^2 z-a^2 c x^2 z+a c^2 x^2 z+a^2 b y^2 z+a b^2 y^2 z+b^2 c y^2 z-b c^2 y^2 z-a^2 c x z^2+b^2 c x z^2+a c^2 x z^2+b c^2 x z^2-a^2 c y z^2+b^2 c y z^2-a c^2 y z^2-b c^2 y z^2 = 0)

pK(X274, X314) pasa por los centros X₇, X₆₉, X₇₅, X₈₆, X₂₈₆, X₃₀₉, X₃₁₄, X₅₉₃₁, X₈₈₂₂, X₃₃₆₇₃ y por los vértices del triángulo ceviano de X₃₁₄.

Cuando P es el punto de Gergonne, la cónica 𝒞'_X(7) es la , con centro X₄₇₈.

Cuando P recorre la cúbica 𝒦, el triángulo A"B"C" formado por las rectas A'_bA'_c, B'_cB'_a, C'_aC'_b es perspectivo con ABC. Si P" es el centro de perspectividad, se tienen los siguientes casos particulares de pares {P=X_i, P"=X_j}, para los índices {i, j}: {7, 4}, {69, 63}, {75, 86}.
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Domingo, 29 de noviembre del 2020

Parábolas con eje paralelos y puntos sobre la circunferencia de Euler

a Lolilla, por su cumpleaños

Dados un triángulo ABC y una recta ℓ, que pasa por su circuncentro O=X₃, sean N=X₅ el centro de la , el y A'B'C' el .
A_b es el punto sobre B'C', por donde pasa la mediatriz del segmento de extremos B y el punto donde la paralela a ℓ por B corta a B'C'. Se considera la parábola 𝒫_ab con foco F_ab, el simétrico de B respecto a B'C', y directriz d_ab, la perpendicular por B a BA_b. 𝒫_ab es tangente a B'C' en A_b.
A_c es el punto sobre B'C', por donde pasa la mediatriz del segmento de extremos C y el punto donde la paralela a ℓ por C corta a B'C'. Se considera la parábola 𝒫_ac con foco F_ac, el simétrico de C respecto a B'C', y directriz d_ac, la perpendicular por C a CA_c. 𝒫_ac es tangente a B'C' en A_c.
Las parábolas 𝒫_ab, 𝒫_ac (de ejes paralelos) se corta en A_o y son las usadas en la construcción de un triángulo propuesto por Luís Lopes en Euclid#1203, (ver https://amontes.webs.ull.es/geogebra/euclid1203.html).
Los puntos B_o y C_o se definen cíclicamente.

El triángulo es pespectivo al triángulo medial. El centro de perspectividad L' es el simétrico, respecto a la paralela a ℓ por N, del punto de intersección L de las de los extremos del diámetro ℓ.

Si se parte del diámetro ℓ', perpendicular a ℓ, se obtiene el mismo triángulo .

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Si la recta ℓ es paralela a la recta de ecuación baricéntrica px+qy+rz=0,

L' = (q - r) (b^2 (p - q)^2 - c^2 (p - r)^2)((b^2 - c^2) (q - r) + a^2 (q + r-2 p)) : ... : ...).

Cuando se toma una recta ℓ': (q - r)x+ S_B (r - p)y+ S_C (p - q)z=0, perpendicular a ℓ, se obtiene el mismo punto L'.

Algunos casos particulares:

• Si ℓ es paralela a los ejes de la , L' = X(115), centro de la .

• Si ℓ es paralela al eje mayor de la elipse centrada en el circuncentro y que pasa por el de X(125), L'=X(125), centro de la .

• Si ℓ es paralela a la , L'= X(1566), "Stevanovic-circle-inverse" del (Milorad R. Stevanovic http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200320.pdf, Theorem 8.)

• Si ℓ paralela al , L'= X(2679), centro de la rectangular circun-hipérbola que pasa por X(32), del .

• Si ℓ es la , o paralela al , L' = X(3258), reflexión de X(125) en la recta de Euler.

• Si ℓ paralela al eje anti-órtico (tripolar del incentro), L'= X(3259), centro de la rectangular circun-hipérbola que pasa por X(56), centro exterior de homotecia de las circunferencias inscrita y circunscrita.

• Si ℓ es paralela a la , L'= X(5516), centro de la rectangular circun-hipérbola que pasa por X(145), anticomplemento del

• Si ℓ es parelela a la recta IK (que pasa por el incentro y simediano), L'= X(5519), centro de la rectangular circun-hipérbola que pasa por X(218), del y el centro interior de homotecia de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Estos y otros casos se reflejan en la tabla siguiente, en cuya primera columna figuran los de rectas paralelas o perpendiculares a ℓ, y en la segunda columna aparece el correspondiente índice de del punto L'

Tripolos de rectas paralelas o perpendiculares a ℓ	L' = X(k)
6189, 6190, 30508, 30509	115
1113, 1114, 8115, 8116, 16070, 16071, 39298, 39299	125
7, 27, 75, 86, 234, 272, 273, 310, 335, 554, 658, 673, 675, 871, 903, 1081, 1088, 1223, 1240, 1246, 1268, 1440, 1659, 1897, 2296, 2398, 2400, 2989, 4241, 4373, 5936, 6384, 6548, 6650, 7249, 7318, 8049, 9057, 13390, 14621, 15467, 16078, 16099, 18815, 18884, 19975, 20028, 20527, 21453, 24015, 24154, 24155, 27447, 27475, 27483, 27494, 27498, 28626, 28650, 30598, 30712, 31002, 32011, 32040, 34402, 35096, 36588, 36606, 36620, 36807, 38254, 39293	1566
6, 25, 37, 42, 110, 111, 251, 263, 308, 393, 493, 494, 588, 589, 694, 941, 967, 1169, 1171, 1218, 1239, 1241, 1383, 1400, 1427, 1880, 1976, 1989, 2054, 2165, 2248, 2350, 2395, 2396, 2421, 2433, 2963, 2981, 2987, 2998, 3108, 3228, 3444, 3457, 3458, 3572, 4230, 5638, 5639, 5649, 5968, 6094, 6096, 6151, 6331, 6339, 8105, 8106, 8576, 8577, 8749, 8770, 8791, 8794, 8882, 9178, 9281, 9403, 9462, 9513, 10103, 11166, 11175, 11794, 13854, 14553, 14579, 14606, 14624, 14840, 14842, 14910, 14948, 14998, 16081, 16098, 16606, 18372, 18818, 18898, 21448, 21461, 21462, 24861, 27809, 28625, 28658, 30530, 30535, 30537, 33631, 34079, 34204, 34212, 34288, 34533, 34534, 34570, 34572, 34816, 34818, 34898, 35910, 36616, 36886, 37128, 37137, 37876, 38262, 38278, 38280, 39291, 39292, 39389, 39410, 39411	2679
4, 10, 13, 14, 17, 18, 76, 83, 94, 96, 98, 226, 262, 275, 321, 459, 485, 486, 598, 648, 671, 801, 1029, 1131, 1132, 1139, 1140, 1302, 1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2407, 2592, 2593, 2671, 2672, 2986, 2996, 3316, 3317, 3366, 3367, 3370, 3373, 3374, 3381, 3382, 3387, 3388, 3391, 3392, 3397, 3399, 3406, 3407, 3413, 3414, 3424, 3429, 3590, 3591, 3597, 4049, 4052, 4080, 4240, 4444, 5392, 5395, 5397, 5401, 5402, 5403, 5404, 5466, 5485, 5487, 5488, 5490, 5491, 5503, 6035, 6177, 6178, 6504, 6539, 6568, 6569, 6625, 7578, 7607, 7608, 7612, 8587, 8781, 8796, 8808, 9180, 9211, 9214, 9221, 9290, 9302, 9381, 10153, 10155, 10159, 10185, 10187, 10188, 10194, 10195, 10290, 10302, 10484, 10511, 11121, 11122, 11140, 11167, 11170, 11172, 11538, 11599, 11602, 11603, 11606, 11608, 11611, 11668, 11669, 12066, 12067, 12816, 12817, 12818, 12819, 12820, 12821, 12822, 12823, 13380, 13478, 13576, 13579, 13580, 13581, 13582, 13583, 13584, 13585, 13599, 14223, 14226, 14228, 14229, 14231, 14232, 14234, 14236, 14237, 14238, 14240, 14241, 14243, 14244, 14245, 14458, 14484, 14485, 14488, 14492, 14494, 14534, 14554, 14632, 14633, 16075, 16080, 16277, 17503, 17758, 18316, 18366, 18840, 18841, 18842, 18843, 18844, 18845, 21845, 21846, 22235, 22237, 22244, 22245, 24007, 24008, 24624, 27797, 30505, 30527, 30528, 30588, 31363, 31630, 31943, 32014, 32022, 32130, 32532, 33602, 33603, 33604, 33605, 33606, 33607, 33698, 34087, 34089, 34091, 34258, 34289, 34475, 34899, 35005, 35098, 35353, 36316, 36317, 36840, 36907, 37865, 37874, 37892, 38253, 38259, 38309, 39284, 39290, 39295	3258
1, 28, 57, 81, 88, 89, 105, 274, 277, 278, 279, 291, 330, 367, 651, 955, 957, 959, 961, 985, 1002, 1022, 1123, 1170, 1219, 1224, 1255, 1257, 1258, 1280, 1336, 1390, 1422, 1432, 1929, 2006, 2224, 2282, 2306, 2362, 2397, 2401, 2982, 2990, 3227, 3300, 3302, 4246, 5376, 6335, 6553, 7052, 7132, 7167, 7313, 8056, 9058, 9401, 9445, 10490, 14596, 15474, 16015, 16082, 16100, 16232, 17946, 19296, 21907, 23834, 24029, 24857, 24858, 25417, 25430, 26745, 27789, 30571, 30602, 30701, 30710, 32009, 32017, 32019, 32020, 33654, 33655, 34018, 34051, 34056, 34084, 34578, 34892, 34914, 35058, 35348, 35577, 36122, 36603, 36805, 36871, 37626, 37870, 37887, 38247	3259
145, 190, 1222, 2403, 2415, 4248, 5435, 6336, 6632, 7320, 8051, 9059, 9083, 9311, 17780, 17783, 18743, 24004, 27496, 27818, 31227, 36872	5516
100, 344, 1025, 1026, 1445, 2346, 2402, 2414, 2991, 3870, 4233, 4238, 4554, 9061, 14947, 17093, 27819, 30610, 31615, 31628, 32041, 39272, 39273	5519
8, 29, 85, 92, 178, 189, 257, 312, 333, 653, 1121, 1220, 1311, 1952, 2090, 2399, 2406, 2988, 2994, 4102, 4181, 4518, 4997, 6557, 7020, 7026, 7043, 7090, 7452, 8777, 9056, 10405, 14121, 14218, 14942, 17743, 17947, 18031, 18359, 19607, 21739, 24035, 27424, 28660, 30608, 30690, 30711, 31359, 32008, 32015, 34234, 34527, 36596, 36605, 38255, 39294	10017
99, 1992, 2408, 2418, 4232, 4235, 5468, 9084, 9170, 9227, 11059, 11169, 14608, 17983, 23054, 31614, 36890, 37210, 37860, 37880, 39296	31654
69, 95, 107, 253, 264, 287, 305, 306, 307, 328, 1441, 1494, 1799, 1972, 2373, 2409, 2419, 6330, 6340, 8797, 9229, 10603, 11090, 11091, 13575, 14977, 18018, 18019, 18024, 19774, 19775, 20336, 20563, 20564, 22339, 22340, 30786, 31360, 34211, 34407, 34767, 35510, 36889, 36948, 37202, 39297	33504
3, 97, 276, 394, 1073, 1214, 1217, 1297, 2404, 2416, 3346, 3682, 3926, 3998, 5481, 8813, 9064, 14376, 14489, 14919, 14938, 15352, 15421, 17974, 18317, 18876, 22268, 22270, 26922, 28724, 30441, 31626, 32132, 34129, 34225, 34287, 34427, 34568, 34579, 34897, 35061, 35911, 36609, 37872, 38256	Ver preámbulo 35579 (César Eliud Lozada, December 22, 2019)
21, 63, 78, 280, 345, 348, 1791, 1812, 2339, 2405, 2417, 6513, 7131, 7361, 7435, 9107, 26703, 30556, 30557, 30679, 30680, 31623, 34259, 34277, 36100, 36795, 37141	35580
15, 16, 186, 249, 323, 842, 1138, 2410, 2411, 3431, 7480, 7799, 9060, 9213, 10419, 14165, 14355, 14565, 14838, 15412, 16577, 18333, 18593, 36210, 37802, 39149	35581
468, 476, 523, 524, 2770, 2966, 3266, 4062, 4590, 5486, 5967, 7473, 9164, 9516, 10415, 13574, 14999, 15464, 16092, 16103, 17708, 18361, 18823, 31068, 34761, 34763, 35511, 36885, 36953, 37778	35582
662, 4242, 4552, 4585, 9070, 13739, 15455, 33116, 34772	35583
66, 141, 427, 1031, 1502, 3613, 8024, 8801, 9076, 9483, 14617, 15523, 16102, 17949, 20021, 23297, 31125, 34285, 35366	35584
666, 24002, 26015, 30379, 37143, 37788}, 35585}, {{892, 8599, 9080, 9154, 9182, 9187, 9198, 9199, 9487, 17948, 17952, 22329, 34760	35586
v514, 519, 655, 996, 1000, 1016, 2726, 2985, 3911, 4358, 6630, 8046, 13136, 14358, 14359, 14628, 16704, 20569, 31011, 32013, 34523, 34764, 35168, 36592, 36915, 36954, 37168, 37222, 37790	35587
24, 54, 254, 371, 372, 1993, 3425, 3563, 4558, 7763, 11547, 13429, 13440, 15329, 16237, 18879, 18883, 30450	35588
55, 241, 650, 672, 677, 949, 1252, 2115, 2340, 3693, 5089, 7123, 37908	35589
59	35590
61, 62, 288, 1166, 1994, 2413, 2984, 3459, 3518, 5966, 7769, 13472, 14570, 14590, 18315, 22101, 30526, 30529, 38342	35591
5, 68, 324, 343, 13157, 14592, 16039, 16813, 18027, 18855, 28706, 31610, 31617, 31846, 34580, 36952	35592
9, 200, 281, 282, 346, 2184, 2287, 2297, 4183, 6605, 7097, 7110, 13138, 13149, 14943, 15889, 15890, 15891, 15892, 16016, 19605, 21446, 23617, 28071, 28132, 30705, 31618, 34525, 36101, 36627, 36629, 36796, 36910, 36916	35593
23, 250, 1304, 4580, 15398, 22151, 37765, 37801, 37804, 37937	35594

Si (u:v.w) son las coordenadas del de una recta paralela a ℓ, entonces:

L' = (u (v-w) (c^2 v^2 (u-w)^2-b^2 (u-v)^2 w^2) (-(b^2-c^2) u (v-w)+a^2 (-2 v w+u (v+w))) : ... : ...).

Jueves, 26 de noviembre del 2020
X(10990) centro de una hipérbola rectangular

El 26 de noviembre de 1922, Howard Carter y Lord Carnarvon, después de haber encontrado las escaleras que conducían a la tumba del joven faraón Tutankhamon, y tras tres semanas de intensos trabajos con su equipo, entraron en ella observando que no había sido saqueada. El sucesor de Tutankhamon fue Ay, progenitor de la reina Nefertiti.

Sea DEF el de un triángulo ABC y el de un punto P. Se denota por A_b el antipodal de P_a en la circunferencia (BFP_a), y por A_c el antipodal de P_a en la circunferencia (CEP_a).
Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b, se definen cíclicamente.
Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b, están en una misma cónica, 𝒞_pe(P), si y solo si P está sobre la hipérbola (rectangular) ℋ, que pasa por el circuncentro, el y su , y cuyas asíntotas tienen la dirección de los conjugados isogonales de los puntos de intersección de la con la circunferencia circunscrita.
( Mostrar/Ocultar figura )
Con estos datos la hipérbola ℋ puede ser construida: (IIPPP) o §2.3. (5P₂0T).

En coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w),
A_b = (2 a^2 (a^2 - b^2 + c^2) ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) :
(b^2 - c^2)^3 u - a^2 (b^2 - c^2)^2 (u + 2 w) - a^6 (3 u + 4 v + 2 w) + a^4 (b^2 (3 u + 4 (v + w)) + c^2 (5 u + 4 (v + w))) :
-(a^2 - b^2 + c^2)^2 ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v))),

A_c = (2 a^2 (a^2 + b^2 - c^2) ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w)) :
-(a^2 + b^2 - c^2)^2 ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w)) :
-(b^2 - c^2)^3 u - a^2 (b^2 - c^2)^2 (u + 2 v) - a^6 (3 u + 2 v + 4 w) + a^4 (c^2 (3 u + 4 (v + w)) + b^2 (5 u + 4 (v + w)))),

ℋ: 2 b^2 c^2 (b^2 - c^2) (-3 a^4 + (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2))x^2
-a^2 (b^2 - c^2) (-a^6 + b^6 + 7 b^4 c^2 + 7 b^2 c^4 + c^6 + 3 a^4 (b^2 + c^2) - a^2 (3 b^4 + 10 b^2 c^2 + 3 c^4))y z + ... = 0.
La hipérbola ℋ, que pasa por los centros X_i, para i∈{3, 20, 64, 2574, 2575, 7957, 11469, 12250, 15054, 15062, 16936, 22528, 35253}, tiene su centro en X₁₀₉₉₀, reflexión del centro de la en el conjugado isogonal del punto del infinito de la recta de Euler.

• Si P es el circuncentro, la cónica 𝒞_pe(X₃)
( 5 a^6 x^2-17 a^4 b^2 x^2+19 a^2 b^4 x^2-7 b^6 x^2-17 a^4 c^2 x^2+26 a^2 b^2 c^2 x^2-9 b^4 c^2 x^2+19 a^2 c^4 x^2-9 b^2 c^4 x^2-7 c^6 x^2+2 a^6 x y-2 a^4 b^2 x y-2 a^2 b^4 x y+2 b^6 x y+2 a^4 c^2 x y-4 a^2 b^2 c^2 x y+2 b^4 c^2 x y-26 a^2 c^4 x y-26 b^2 c^4 x y+22 c^6 x y-7 a^6 y^2+19 a^4 b^2 y^2-17 a^2 b^4 y^2+5 b^6 y^2-9 a^4 c^2 y^2+26 a^2 b^2 c^2 y^2-17 b^4 c^2 y^2-9 a^2 c^4 y^2+19 b^2 c^4 y^2-7 c^6 y^2+2 a^6 x z+2 a^4 b^2 x z-26 a^2 b^4 x z+22 b^6 x z-2 a^4 c^2 x z-4 a^2 b^2 c^2 x z-26 b^4 c^2 x z-2 a^2 c^4 x z+2 b^2 c^4 x z+2 c^6 x z+22 a^6 y z-26 a^4 b^2 y z+2 a^2 b^4 y z+2 b^6 y z-26 a^4 c^2 y z-4 a^2 b^2 c^2 y z-2 b^4 c^2 y z+2 a^2 c^4 y z-2 b^2 c^4 y z+2 c^6 y z-7 a^6 z^2-9 a^4 b^2 z^2-9 a^2 b^4 z^2-7 b^6 z^2+19 a^4 c^2 z^2+26 a^2 b^2 c^2 z^2+19 b^4 c^2 z^2-17 a^2 c^4 z^2-17 b^2 c^4 z^2+5 c^6 z^2 = 0)
es la descrita en X₁₃₈₈₁, donde los puntos A_b, A_c de allí son los puntos C_b, B_c de aquí, respectivamente. (El punto X(13881) como centro de una cónica)

Let DEF be the orthic triangle. Let Ab be the point in which the line through B perpendicular to AB meets the perpendicular bisector of segment BD . Let Ac be the point in which the line through C perpendicular to AC meets the perpendicular bisector of segment CD. Define Bc, Ba, Ca, Cb cyclically. The six ponts Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb lie on a conic with center X(13881). (Angel Montesdeoca, Decemberr 23, 2018).

• Si P es el conjugado isogonal del punto De Longchamps, el centro de la cónica 𝒞_pe(X₆₄)
( a^8 x^2-6 a^4 b^4 x^2+8 a^2 b^6 x^2-3 b^8 x^2+12 a^4 b^2 c^2 x^2-8 a^2 b^4 c^2 x^2-4 b^6 c^2 x^2-6 a^4 c^4 x^2-8 a^2 b^2 c^4 x^2+14 b^4 c^4 x^2+8 a^2 c^6 x^2-4 b^2 c^6 x^2-3 c^8 x^2+2 a^8 x y-8 a^6 b^2 x y+12 a^4 b^4 x y-8 a^2 b^6 x y+2 b^8 x y+12 a^6 c^2 x y-12 a^4 b^2 c^2 x y-12 a^2 b^4 c^2 x y+12 b^6 c^2 x y-16 a^4 c^4 x y+32 a^2 b^2 c^4 x y-16 b^4 c^4 x y-12 a^2 c^6 x y-12 b^2 c^6 x y+14 c^8 x y-3 a^8 y^2+8 a^6 b^2 y^2-6 a^4 b^4 y^2+b^8 y^2-4 a^6 c^2 y^2-8 a^4 b^2 c^2 y^2+12 a^2 b^4 c^2 y^2+14 a^4 c^4 y^2-8 a^2 b^2 c^4 y^2-6 b^4 c^4 y^2-4 a^2 c^6 y^2+8 b^2 c^6 y^2-3 c^8 y^2+2 a^8 x z+12 a^6 b^2 x z-16 a^4 b^4 x z-12 a^2 b^6 x z+14 b^8 x z-8 a^6 c^2 x z-12 a^4 b^2 c^2 x z+32 a^2 b^4 c^2 x z-12 b^6 c^2 x z+12 a^4 c^4 x z-12 a^2 b^2 c^4 x z-16 b^4 c^4 x z-8 a^2 c^6 x z+12 b^2 c^6 x z+2 c^8 x z+14 a^8 y z-12 a^6 b^2 y z-16 a^4 b^4 y z+12 a^2 b^6 y z+2 b^8 y z-12 a^6 c^2 y z+32 a^4 b^2 c^2 y z-12 a^2 b^4 c^2 y z-8 b^6 c^2 y z-16 a^4 c^4 y z-12 a^2 b^2 c^4 y z+12 b^4 c^4 y z+12 a^2 c^6 y z-8 b^2 c^6 y z+2 c^8 y z-3 a^8 z^2-4 a^6 b^2 z^2+14 a^4 b^4 z^2-4 a^2 b^6 z^2-3 b^8 z^2+8 a^6 c^2 z^2-8 a^4 b^2 c^2 z^2-8 a^2 b^4 c^2 z^2+8 b^6 c^2 z^2-6 a^4 c^4 z^2+12 a^2 b^2 c^4 z^2-6 b^4 c^4 z^2+c^8 z^2 = 0)
es el circuncentro.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Cuando se parte del de P, en vez de su triángulo pedal, el lugar geométrico de P tal que los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b, están en una misma cónica, 𝒞_ce(P), es la hipérbola descrita en X₁₅₅₂₆. Pasa por los centros X_i, para i∈{ 2, 69, 95, 253, 264, 287, 305, 306, 307, 328, 1441, 1494, 1799, 1972, 2373, 2419, 6330, 6340, 8797, 9229, 10603, 11090, 11091, 13575, 14977, 18018, 18019, 18024, 19774, 19775, 20336, 20563, 20564, 22339, 22340, 30786, 31360, 34407, 34767, 35510, 36889, 36948, 37202, 39297}.

X(15526) is the center of hyperbola {{A,B,C,X(2),X(69)}}. This hyperbola is the isotomic conjugate of the Euler line and the isogonal conjugate of line X(6)X(25). It is also the locus of cevapoints of X(2) and a point P as P moves along the Euler line, and also the locus of trilinear poles of lines passing through X(525). (Randy Hutson, January 29, 2018)

• Si P es el baricentro, la cónica 𝒞_ce(X₂) es la 𝒞_pe(X₃).
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Martes, 24 de noviembre del 2020
Transformación afín entre triángulos cevianos

El 24 de noviembre de 1927 nació, en Las Palmas de Gran Canaria, Alfredo Kraus. Fue un tenor y profesor de canto español, que será considerado como uno de los mejores tenores líricos ligeros de la segunda mitad del siglo XX.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sea Q su , y , sus , respectivamente.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la matriz ℳ asociada de la transformación afín σ_P, que aplica en , tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente):
M[1,1] = v w (v + w), M[1,2] = w u (v - w), M[1,3] = u v (w-v).
Su punto fijo, correspondiente al valor propio λ=2 u v w, es:
F_o = (u(v - w)^2 : v(u - w)^2 : w(u - v)^2).
Caso particulares {{P=X_i, Q=X_j}, F_o=X_k}, para {{i,j},k}: {{1, 75}, 244}, {{3, 264}, 2972}, {{4, 69}, 125}, {{5, 95}, 35442}, {{6, 76}, 3124}, {{7, 8}, 11}, {{9, 85}, 3119}, {{10, 86}, 3120}, {{13, 298}, 30465}, {{14, 299}, 30468}, {{20, 253}, 122}, {{25, 305}, 20975}, {{27, 306}, 4466}, {{28, 20336}, 18210}, {{30, 1494}, 1650}, {{37, 274}, 3121}, {{42, 310}, 3122}, {{43, 6384}, 3123}, {{57, 312}, 2170}, {{63, 92}, 34591}, {{78, 273}, 7004}, {{81, 321}, 3125}, {{88, 4358}, 2087}, {{94, 323}, 2088}, {{98, 325}, 868}, {{99, 523}, 1649}, {{100, 693}, 3126}, {{105, 3263}, 3675}, {{111, 3266}, 21906}, {{144, 10405}, 13609}, {{145, 4373}, 3756}, {{186, 328}, 16186}, {{189, 329}, 5514}, {{190, 514}, 6544}, {{192, 330}, 6377}, {{193, 2996}, 6388}, {{200, 1088}, 2310}, {{226, 333}, 21044}, {{239, 335}, 27918}, {{263, 20023}, 6784}, {{278, 345}, 7117}, {{279, 346}, 14936}, {{291, 350}, 27846}, {{394, 2052}, 3269}, {{459, 37669}, 1562}, {{513, 668}, 14434}, {{519, 903}, 1647}, {{524, 671}, 1648}, {{525, 648}, 14401}, {{527, 1121}, 33573}, {{536, 3227}, 1646}, {{538, 3228}, 1645}, {{598, 599}, 8288}, {{694, 3978}, 2086}, {{824, 4586}, 33568}, {{899, 31002}, 19945}, {{985, 33931}, 4475}, {{1022, 24004}, 1635}, {{1026}, 2254}, {{1032, 14361}, 13613}, {{1034, 5932}, 3612}, {{1119, 1265}, 38351}, {{1143, 1274}, 21623}, {{1440, 7080}, 38357}, {{1445}, 38375}, {{1446, 2287}, 36197}, {{1447, 4518}, 4124}, {{1647}, 24188}, {{1654, 6625}, 6627}, {{1992, 5485}, 6791}, {{2089}, 6732}, {{2394, 2407}, 1637}, {{2395, 2396}, 2491}, {{2397, 2401}, 3310}, {{2398, 2400}, 676}, {{2403, 2415}, 14425}, {{2408, 2418}, 9125}, {{2421}, 3569}, {{2433}, 14398}, {{2994, 5905}, 6506}, {{3146, 35510}, 13611}, {{3210, *}, 16614}, {{3214, *}, 21963}, {{3413, 6190}, 13722}, {{3414, 6189}, 13636}, {{3911, 4997}, 4530}, {{4049, *}, 4120}, {{4052, *}, 21950}, {{4230, *}, 684}, {{4235, 14977}, 14417}, {{4240, 34767}, 9033}, {{4452, 6553}, 17071}, {{4585}, 2610}, {{4651, *}, 2486}, {{4762, 32041}, 33570}, {{5435, 6557}, 4534}, {{5466, 5468}, 690}, {{5968, *}, 9155}, {{6545, 6632}, 14442}, {{6548, 17780}, 900}, {{6633, *}, 14475}, {{6735, *}, 35015}, {{7081, 7249}, 4459}, {{8027, *}, 14441}, {{8029, 31614}, 14443}, {{8030, *}, 14444}, {{9178, *}, 351}, {{9180, 9182}, 8371}, {{9214, 36890}, 5642}, {{11251, *}, 13212}, {{13386, 13387},26932}, {{13582, 37779}, 10413}, {{14223, 14999}, 1640}, {{14607, *}, 11182}, {{14998, *}, 6041}, {{15774, *}, 34601}, {{16075, 16076}, 1651}, {{16084, 16098}, 865}, {{16085, 16100}, 866}, {{16086, 16099}, 867}, {{16606, 31008}, 21835}, {{17948, *}, 1641}, {{20806, *}, 38356}, {{22016, *},22215}, {{23342, *}, 9148}, {{23354, *}, 3837}, {{23878, *}, 33569}, {{23891, *},4728}, {{27846, *}, 24193}, {{30508, 30509}, 523}, {{30695, *}, 17426}, {{34760, 34763}, 33921}, {{34762, 34764}, 33920}, {{35348, *}, 14413}, {{35353, *}, 14431}, {{36887, *}, 6174}, {{38940, *}, 15357}.

F_o está en la si y solo si P está sobre la cúbica:
K015, "Tucker nodal cubic": x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=0.
En este caso los tres puntos fijos de σ_P coinciden. Se trata del caso IV de la clasificación de homogafías.

Para puntos sobre K015, se tienen los siguientes casos particulares, {{P=X_i, Q=X_j}, F_o=X_k}, para {{i,j},k}: {{30508, 30509}, 523}, {{5466, 5468}, 690}, {{6548, 17780}, 900}, {{4240, 34767}, 9033}, {{34762, 34764}, 33920}, {{34760, 34763}, 33921}.

Cuando P recorre la el lugar geometrico del punto fijo F_o es la recta que pasa por el centro de la y paralela a la asíntota (que no es la recta de Euler) de la hipérbola circunscrita de centro X₁₆₅₀.
En estas circunstancias, la recta PF_o envuelve una hipérbola,
( (-b^4+c^4+a^2 (b^2-c^2))^4 (-2 a^4+(b^2-c^2)^2+a^2 (b^2+c^2))^2x^2-2 (a^2-b^2)^2 (a^2-c^2)^2 (a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (a^8-a^6 (b^2+c^2)+5 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (-3 b^4+7 b^2 c^2-3 c^4)-(b^2-c^2)^2 (2 b^4+5 b^2 c^2+2 c^4))y z + ... = 0)
ℋ, con una asíntota e (la recta de Euler), la tangente t en T = X₁₄₉₄ (conjugado isotómico del punto del infinito de la recta de Euler) pasa por el baricentro, y su centro es D = X₄₀₂ ("Zeeman-Gossard Perspector").
Con estos datos se puede construir (hOt_P) la hipérbola ℋ.
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Miércoles, 18 de noviembre del 2020
Conjugado isogonal como centro ortológico

El 18 de noviembre de 1922 falleció (a los 51 años) Marcel Proust, novelista, ensayista y crítico francés cuya obra maestra, la novela "En busca del tiempo perdido" está compuesta de siete partes publicadas entre 1913 y 1927.

Dados un triángulo ABC y un punto (no situado sobre la circunferencia circunscrita, ni en la recta del infinito), la circunferencia
( Si P=(u:v:w), en baricéntricas,
c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z + (x + y + z) (-(((c^2 u - c^2 v + a^2 w - b^2 w) y)/( u + v + w)) - ((b^2 u + a^2 v - c^2 v - b^2 w) z)/(u + v + w)) = 0)
con centro en P y que pasa por A vuelve a cortar a la lados AC y AB en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b, se definen cíclicamente. Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b.
Los triángulos ABC y A'B'C' son .
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El centro de ortología de ABC, respecto a A'B'C', es el P* de P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el centro de ortología de A'B'C', respecto a ABC, es:
Q = (a^6 v w (-u+v+w)-2 (b^2-c^2)^2 u^2 (c^2 v+b^2 w)+2 a^4 u (b^2 w (3 v+w)+c^2 v (v+3 w))-a^2 (b^4 w (-2 u^2+v (v+w)+u (5 v+2 w))+c^4 v (-2 u^2+w (v+w)+u (2 v+5 w))-2 b^2 c^2 (u^2 (v+w)+v w (v+w)-u (v^2-v w+w^2))) : ... : ...).

Q es la reflexión, en P, de la reflexión de P* en el circuncentro.

Los puntos P, P*, Q están alineados si P está sobre la cúbica McCay. La recta que los contienen pasa por el circuncentro (propiedad 1).

Algunos pares {P=X_i, Q=Q_i=X_j}, para {i, j}: {1, 7982}, {3, 4}, {4, 382}, {5, 15800}, {20, 5925}, {64, 12250}, {84, 7992}.

Cuando P es el baricentro (G=X₂), Q₂ es la reflexión, en el baricentro, de la reflexión del simediano en el circuncentro:
Q₂ = (a^6+8 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (-7 b^4+6 b^2 c^2-7 c^4)-2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-7.31307970834958, -6.79471405421268, 11.7199648463699).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {1351,3830}, {1353,33699}, {1992,3543}, {6776,15682}, {8593,10723}, {12294,21969}, {14927,15640}, {15534,36990}, {20423,31670}.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {2,5480}, {3,5476}, {6,20423}, {376,597}, {599,381}, {1350,2}, {1352,3845}, {1853,23049}, {2930,5655}, {3242,3656}, {3534,182}, {5085,14853}, {5648,113}, {5655,32271}, {6776,8584}, {8703,18583}, {10606,23327}, {11646,9880}, {12117,5026}, {12584,25566}, {13169,32274}, {15533,1352}, {15534,1351}, {19161,21849}, {20423,21850}, {31884,14561}, {32233,15303}, {33706,24256}, {36990,3830}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,1350}, {3,5476}, {4,524}, {5,21358}, {6,30}, {25,5642}, {51,31152}, {69,3839}, {113,5648}, {115,11173}, {141,3545}, {182,3534}, {376,597}, {381,511}, {382,576}, {383,9763}, {428,37672}, {518,31162}, {541,16010}, {542,1351}, {547,38136}, {549,14561}, {550,10541}, {551,38035}, {575,1657}, {578,34726}, {1080,9761}, {1181,34613}, {1352,3845}, {1353,33699}, {1469,11238}, {1503,1992}, {1513,11184}, {1853,2781}, {1993,9143}, {2777,23048}, {2810,10710}, {2854,10706}, {2930,5655}, {3056,11237}, {3091,21356}, {3098,5054}, {3146,5032}, {3242,3656}, {3524,3589}, {3564,15687}, {3580,31105}, {3618,10304}, {3654,38087}, {3655,38315}, {3679,38144}, {3763,5055}, {3818,14269}, {3828,38146}, {3843,34507}, {5017,6034}, {5026,12117}, {5028,14537}, {5050,15681}, {5052,11648}, {5064,12294}, {5071,10519}, {5073,11482}, {5092,15688}, {5093,15684}, {5094,32225}, {5104,37637}, {5201,32444}, {5446,37473}, {5846,34627}, {5847,34648}, {5864,37333}, {5865,37332}, {5894,15741}, {5895,8549}, {5965,35403}, {5969,6054}, {6144,18440}, {6173,38143}, {6776,8584}, {6800,37901}, {7464,37827}, {7500,17809}, {7530,19596}, {7540,36747}, {7610,13860}, {7745,10542}, {7778,9993}, {7788,18906}, {7841,22486}, {8537,35490}, {8540,12943}, {8546,37946}, {8593,10723}, {8703,18583}, {9024,10711}, {9053,34631}, {9745,13192}, {9756,22329}, {9830,10753}, {9880,11646}, {9969,16072}, {9974,35821}, {9975,35820}, {9976,38790}, {10056,10387}, {10606,23327}, {10989,11002}, {11064,26255}, {11177,14614}, {11216,36201}, {11470,12173}, {12007,14927}, {12017,15689}, {12100,38079}, {12233,34621}, {12584,25566}, {12953,19369}, {13169,32274}, {13352,18374}, {13857,34417}, {14093,17508}, {14492,24256}, {14787,37486}, {14810,15693}, {14831,34146}, {14893,34380}, {14912,20583}, {15033,19127}, {15274,37200}, {15303,32233}, {15360,37638}, {15520,29323}, {15683,25406}, {15694,38317}, {15696,20190}, {15702,21167}, {15703,25565}, {15811,31802}, {16475,34628}, {17702,34319}, {17845,34117}, {18358,23046}, {19149,34603}, {19161,21849}, {19709,24206}, {25154,33517}, {25164,33518}, {25335,32273}, {30270,33237}, {34200,38110}, {35228,37940}, {35266,37645}, {35707,37925}, {35822,36719}, {35823,36733}.
Martes, 10 de noviembre del 2020
Un caso del problema de Apolonio: PPC

El 10 de noviembre de 1938 falleció Ataturk, fundador en el 29 de octubre de 1923 de la República Turca, rompiendo definitivamente con el sultanato y suponiendo el fin del Imperio Otomano, y patrocinador de la secularización de la sociedad islámica. Tras la creación de la República, Atatürk introdujo una serie de reformas sociales entre las más destacadas se encuentran la separación de Estado y religión, mayores derechos para las mujeres o la sustitución de la grafía árabe por la latina.

Dado un triángulo ABC con incentro I=X₁, y DEF. Sean D_b la proyección ortogonal de D sobre AC y D_c la proyección ortogonal de D sobre AB.

Se designan por A' el punto de intersección de la mediatriz de D_bD_c con la perpendicular por M_a a AI, y por Γ_a1 la circunferencia
( Ecuación baricéntrica:
a^6 b^2 x^2-3 a^4 b^4 x^2+3 a^2 b^6 x^2-b^8 x^2-2 a^6 b c x^2+4 a^4 b^3 c x^2-2 a^2 b^5 c x^2+a^6 c^2 x^2-2 a^4 b^2 c^2 x^2-3 a^2 b^4 c^2 x^2+4 b^6 c^2 x^2+4 a^4 b c^3 x^2+4 a^2 b^3 c^3 x^2-3 a^4 c^4 x^2-3 a^2 b^2 c^4 x^2-6 b^4 c^4 x^2-2 a^2 b c^5 x^2+3 a^2 c^6 x^2+4 b^2 c^6 x^2-c^8 x^2+a^8 x y-2 a^6 b^2 x y+2 a^2 b^6 x y-b^8 x y-2 a^6 c^2 x y+4 a^4 b^2 c^2 x y-6 a^2 b^4 c^2 x y+4 b^6 c^2 x y-8 a^4 b c^3 x y+4 a^4 c^4 x y+6 a^2 b^2 c^4 x y-6 b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y+4 b^2 c^6 x y-c^8 x y+a^8 y^2-3 a^6 b^2 y^2+3 a^4 b^4 y^2-a^2 b^6 y^2+2 a^6 b c y^2-4 a^4 b^3 c y^2+2 a^2 b^5 c y^2+a^6 c^2 y^2-2 a^4 b^2 c^2 y^2+a^2 b^4 c^2 y^2+4 a^4 b c^3 y^2-4 a^2 b^3 c^3 y^2-a^4 c^4 y^2+a^2 b^2 c^4 y^2+2 a^2 b c^5 y^2-a^2 c^6 y^2+a^8 x z-2 a^6 b^2 x z+4 a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z-b^8 x z-8 a^4 b^3 c x z-2 a^6 c^2 x z+4 a^4 b^2 c^2 x z+6 a^2 b^4 c^2 x z+4 b^6 c^2 x z-6 a^2 b^2 c^4 x z-6 b^4 c^4 x z+2 a^2 c^6 x z+4 b^2 c^6 x z-c^8 x z-2 a^8 y z+6 a^6 b^2 y z-2 a^4 b^4 y z-2 a^2 b^6 y z-12 a^6 b c y z+4 a^2 b^5 c y z+6 a^6 c^2 y z+4 a^4 b^2 c^2 y z+2 a^2 b^4 c^2 y z-8 a^2 b^3 c^3 y z-2 a^4 c^4 y z+2 a^2 b^2 c^4 y z+4 a^2 b c^5 y z-2 a^2 c^6 y z+a^8 z^2+a^6 b^2 z^2-a^4 b^4 z^2-a^2 b^6 z^2+2 a^6 b c z^2+4 a^4 b^3 c z^2+2 a^2 b^5 c z^2-3 a^6 c^2 z^2-2 a^4 b^2 c^2 z^2+a^2 b^4 c^2 z^2-4 a^4 b c^3 z^2-4 a^2 b^3 c^3 z^2+3 a^4 c^4 z^2+a^2 b^2 c^4 z^2+2 a^2 b c^5 z^2-a^2 c^6 z^2 = 0)
(A'D_bD_c), que es tangente a la circunferencia circunscrita en (baricéntricas):
A₁ = (-a^2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2) : -b (b - c) (-a^4 + 2 a^2 c (b + c) + (b - c) (b + c)^3) : -(b - c) c (a^4 - 2 a^2 b (b + c) + (b - c) (b + c)^3)).
La circunferencia Γ_a1 también es tangente a la circunferencia inscrita en:
A_i = (4 a^4 (b - c)^2 (a + b - c) (a - b + c) : -(a - b - c) (a + b - c) (a^3 - a (b - c)^2 + a^2 (-b + c) - (b - c)^2 (b + c))^2 : -(a - b - c) (a - b + c) (a^3 + a^2 (b - c) - a (b - c)^2 - (b - c)^2 (b + c))^2),
y a la circunferencia en:
A_e =(4 a^4 (b - c)^2 (a + b - c) (a - b + c) : -(a - b + c) (a + b + c) (a^3 + a^2 (b - c) - a (b - c)^2 + (b - c)^2 (b + c))^2 : -(a + b - c) (a + b + c) (a^3 - a (b - c)^2 + a^2 (-b + c) + (b - c)^2 (b + c))^2).

Cíclicamente, se definen los puntos B₁, C₁, B_i, C_i, B_e, C_e.
Los triángulos y son perspectivos, con centro de perspectividad X₅₆, centro de homotecia externo de las circunferencias inscrita y circunscrita.
El T_a1T_b1T_c1 de es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₂₁₇₈.
( Mostrar/Ocultar figura )
T_a1 = (a (a^6 + a^5 (b + c) - 2 b c (b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)^2 - 2 a^4 (b^2 - b c + c^2) - 2 a^3 (b^3 + c^3) + a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) :
-b^2 (a^5 + b^5 + a^4 (b - c) + b^4 c - b c^4 - c^5 - 2 a^3 (b^2 + c^2) + a (b^2 + c^2)^2 - 2 a^2 (b^3 - c^3)) :
-c^2 (a^5 - b^5 - b^4 c + b c^4 + c^5 + a^4 (-b + c) - 2 a^3 (b^2 + c^2) + a (b^2 + c^2)^2 + 2 a^2 (b^3 - c^3))

Se designan por A" el punto de intersección de la mediatriz de D_bD_c con la paralela por M_a a AI, y por Γ_a2 la circunferencia
( Ecuación baricéntrica:
a^6 b^2 x^2-3 a^4 b^4 x^2+3 a^2 b^6 x^2-b^8 x^2+2 a^6 b c x^2-4 a^4 b^3 c x^2+2 a^2 b^5 c x^2+a^6 c^2 x^2-2 a^4 b^2 c^2 x^2-3 a^2 b^4 c^2 x^2+4 b^6 c^2 x^2-4 a^4 b c^3 x^2-4 a^2 b^3 c^3 x^2-3 a^4 c^4 x^2-3 a^2 b^2 c^4 x^2-6 b^4 c^4 x^2+2 a^2 b c^5 x^2+3 a^2 c^6 x^2+4 b^2 c^6 x^2-c^8 x^2+a^8 x y-2 a^6 b^2 x y+2 a^2 b^6 x y-b^8 x y-2 a^6 c^2 x y+4 a^4 b^2 c^2 x y-6 a^2 b^4 c^2 x y+4 b^6 c^2 x y+8 a^4 b c^3 x y+4 a^4 c^4 x y+6 a^2 b^2 c^4 x y-6 b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y+4 b^2 c^6 x y-c^8 x y+a^8 y^2-3 a^6 b^2 y^2+3 a^4 b^4 y^2-a^2 b^6 y^2-2 a^6 b c y^2+4 a^4 b^3 c y^2-2 a^2 b^5 c y^2+a^6 c^2 y^2-2 a^4 b^2 c^2 y^2+a^2 b^4 c^2 y^2-4 a^4 b c^3 y^2+4 a^2 b^3 c^3 y^2-a^4 c^4 y^2+a^2 b^2 c^4 y^2-2 a^2 b c^5 y^2-a^2 c^6 y^2+a^8 x z-2 a^6 b^2 x z+4 a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z-b^8 x z+8 a^4 b^3 c x z-2 a^6 c^2 x z+4 a^4 b^2 c^2 x z+6 a^2 b^4 c^2 x z+4 b^6 c^2 x z-6 a^2 b^2 c^4 x z-6 b^4 c^4 x z+2 a^2 c^6 x z+4 b^2 c^6 x z-c^8 x z-2 a^8 y z+6 a^6 b^2 y z-2 a^4 b^4 y z-2 a^2 b^6 y z+12 a^6 b c y z-4 a^2 b^5 c y z+6 a^6 c^2 y z+4 a^4 b^2 c^2 y z+2 a^2 b^4 c^2 y z+8 a^2 b^3 c^3 y z-2 a^4 c^4 y z+2 a^2 b^2 c^4 y z-4 a^2 b c^5 y z-2 a^2 c^6 y z+a^8 z^2+a^6 b^2 z^2-a^4 b^4 z^2-a^2 b^6 z^2-2 a^6 b c z^2-4 a^4 b^3 c z^2-2 a^2 b^5 c z^2-3 a^6 c^2 z^2-2 a^4 b^2 c^2 z^2+a^2 b^4 c^2 z^2+4 a^4 b c^3 z^2+4 a^2 b^3 c^3 z^2+3 a^4 c^4 z^2+a^2 b^2 c^4 z^2-2 a^2 b c^5 z^2-a^2 c^6 z^2 = 0)
(A"D_bD_c), que es tangente a la circunferencia circunscrita en (baricéntricas):
A₂ = (a^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) : b (b+c) (-a+b-c) (a+b-c) (a^2+b^2-c^2) : c (b+c) (-a-b+c) (a-b+c) (a^2-b^2+c^2)).

es el del .
El triángulo tangencial T_a2T_b2T_c2 de es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₂₁₆₄.
Los triángulos y son perspectivos, con centro de perspectividad X₁₆₀₉, de punto de Clawson. X₁₆₀₉ también es el centro de perspectividad de los triángulos T_a1T_b1T_c1 y T_a2T_b2T_c2.
( Mostrar/Ocultar figura )
T_a2 = (a (a^6 - a^5 (b + c) - 2 b c (b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)^2 - 2 a^4 (b^2 - b c + c^2) + 2 a^3 (b^3 + c^3) - a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) :
b^2 (-a^5 + b^5 + a^4 (b - c) + b^4 c - b c^4 - c^5 + 2 a^3 (b^2 + c^2) - a (b^2 + c^2)^2 - 2 a^2 (b^3 - c^3)) :
c^2 (-a^5 - b^5 - b^4 c + b c^4 + c^5 + a^4 (-b + c) + 2 a^3 (b^2 + c^2) - a (b^2 + c^2)^2 + 2 a^2 (b^3 - c^3))).

Los centros del triángulo X_i, i∈{19, 1609, 2164, 2178, 7120}, estudiados aquí, están sobre una recta, de la cónica circunscrita
( -a^7 c x y+a^6 b c x y+a^5 b^2 c x y-a^4 b^3 c x y+a^3 b^4 c x y-a^2 b^5 c x y-a b^6 c x y+b^7 c x y-2 a^5 b c^2 x y+2 a b^5 c^2 x y+3 a^5 c^3 x y-a^4 b c^3 x y+a b^4 c^3 x y-3 b^5 c^3 x y+2 a^3 b c^4 x y-2 a b^3 c^4 x y-3 a^3 c^5 x y+a^2 b c^5 x y-a b^2 c^5 x y+3 b^3 c^5 x y+a c^7 x y-b c^7 x y+a^7 b x z-3 a^5 b^3 x z+3 a^3 b^5 x z-a b^7 x z-a^6 b c x z+2 a^5 b^2 c x z+a^4 b^3 c x z-2 a^3 b^4 c x z-a^2 b^5 c x z+b^7 c x z-a^5 b c^2 x z+a b^5 c^2 x z+a^4 b c^3 x z+2 a b^4 c^3 x z-3 b^5 c^3 x z-a^3 b c^4 x z-a b^3 c^4 x z+a^2 b c^5 x z-2 a b^2 c^5 x z+3 b^3 c^5 x z+a b c^6 x z-b c^7 x z+a^7 b y z-3 a^5 b^3 y z+3 a^3 b^5 y z-a b^7 y z-a^7 c y z+a^5 b^2 c y z+2 a^4 b^3 c y z-a^3 b^4 c y z-2 a^2 b^5 c y z+a b^6 c y z-a^5 b c^2 y z+a b^5 c^2 y z+3 a^5 c^3 y z-2 a^4 b c^3 y z-a b^4 c^3 y z+a^3 b c^4 y z+a b^3 c^4 y z-3 a^3 c^5 y z+2 a^2 b c^5 y z-a b^2 c^5 y z-a b c^6 y z+a c^7 y z = 0)
con centro en X₆₅₀₆, punto que se obtiene haciendo las sustituciones a → cosA, b → cosB, c → cosC, en las cordenadas baricéntricas del .
Viernes, 6 de noviembre del 2020
X(3091) como centro de una homotecia

“Nunca pensé que en la felicidad hubiera tanta tristeza”. Mario Benedetti

Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X₄ y centro de la N=X₅, sean el , DEF es el y el .
La circunferencia de los nueve puntos vuelve a corta a la circunferencia de diámetro HD en A₂ y sea A₃=AH∩NA₂.
A' es el centro de la cónica 𝒞_a, que pasa por H, tangente a la recta M_aA₁ en M_a y tangente a la recta NA₂ en A₃. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente. A'B'C' es el triángulo medial del triángulo de Euler.
Los triángulo ABC y A'B'C' son homoteticos en una homotecia de razón -1/4 y centro X₃₀₉₁, del baricentro respecto a H y N.
En coordenadas baricéntricas:
A₁ = (2 (b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2) : a^4-b^4-2 a^2 c^2+c^4 : a^4-2 a^2 b^2+b^4-c^4),

A₂ = (2 (b-c)^2 (b+c)^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) : (a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^4-2 a^2 b^2-(b^2-c^2)^2) : (a^2-b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4-2 a^2 c^2-(b^2-c^2)^2)),

A₃ = (2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) ((b^2-c^2)^4+a^6 (b^2+c^2)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^2+c^2)^2) : -(a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^8+(b^2-c^2)^4-2 a^4 (b^2+c^2)^2) : -(a^2-b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^8+(b^2-c^2)^4-2 a^4 (b^2+c^2)^2)).
Para determinar la ecuación
( (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)^2 (a^8+(b^2-c^2)^4-2 a^4 (b^2+c^2)^2)x^2+ b^2 (a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (a^4-2 a^2 b^2+(b^2-c^2)^2)y^2 -c^2 (a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (a^4-2 a^2 c^2+(b^2-c^2)^2)z^2 -(b^2-c^2) (a^4-(b^2-c^2)^2)^2 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))y z -a^12 (b^2+2 c^2)-(b^2-c^2)^5 (b^4-b^2 c^2-2 c^4)+2 a^2 (b^2-c^2)^4 (b^4+2 c^4)+2 a^10 (b^4+4 b^2 c^2+2 c^4)+a^8 (b^6-6 b^4 c^2-13 b^2 c^4+2 c^6)+a^4 (b^2-c^2)^2 (b^6+4 b^4 c^2+9 b^2 c^4+2 c^6)-4 a^6 (b^8-b^4 c^4-2 b^2 c^6+2 c^8)z x + a^12 (2 b^2+c^2)+(b^2-c^2)^5 (2 b^4+b^2 c^2-c^4)-2 a^2 (b^2-c^2)^4 (2 b^4+c^4)-2 a^10 (2 b^4+4 b^2 c^2+c^4)-a^8 (2 b^6-13 b^4 c^2-6 b^2 c^4+c^6)-a^4 (b^2-c^2)^2 (2 b^6+9 b^4 c^2+4 b^2 c^4+c^6)+4 a^6 (2 b^8-2 b^6 c^2-b^4 c^4+c^8)z y = 0)
cónica 𝒞_a, podemos partir del haz bitangente de cónicas
M_aA₃² + λ M_aA₁ · NA₂ = 0,
y determinar la cónica de este haz que pasa por H,
λ = (a^2 - b^2 + c^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2.
El centro de la cónica 𝒞_a es:
A' = (2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2) : -3 a^4 + b^4 + 2 b^2 c^2 - 3 c^4 + 2 a^2 (b^2 + 3 c^2) : -3 a^4 - 3 b^4 + 2 b^2 c^2 + c^4 + 2 a^2 (3 b^2 + c^2)).
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Las tangentes en H a las cónicas 𝒞_a, 𝒞_b, 𝒞_c cortan a BC, CA, AB en T_a, T_b, T_c, respectivamente.
es el del del circuncentro, X₂₆₄.

La cónica 𝒞_a vuelve a cortar a la recta BC en:
N_a = (0 : -c^2 (a^4 - 2 a^2 c^2 + (b^2 - c^2)^2) : b^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + (b^2 - c^2)^2)).
Los puntos N_b, sobre CA, y N_c, sobre AB, se definen cíclicamente.
Los tres puntos N_a, N_b, N_c están sobre la de X₅₃₉₂, recta que pasa por X₂₀₇₂ (inverso en la circunferencia circunscrita del circuncentro del ) y tiene la dirección del del foco de la .

Las tangentes en N_a, N_b, N_c a las cónicas 𝒞_a, 𝒞_b, 𝒞_c, respectivamente, forman un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad:
W = ( ( a^2 (b^2 + c^2)-(b^2 - c^2)^2)/((a^2 - b^2 - c^2) (a^8 (b^2 + c^2) + 4 a^4 b^2 c^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) - 2 a^6 (b^4 + b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.402824571918432, 0.576070701089292, 3.42776533742338n).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {5,23709}, {1593,3613}, {1968,2165}, {3541,16837}, {6815,8797}.
Miércoles, 4 de noviembre del 2020
Cónicas asociadas a la recta de De Longschamps

El 4 de noviembre de 1652 falleció Jean-Charles della Faille, jesuita y matemático de los Países Bajos. Su libro más famoso es "Theoremata de centro gravitatis partium circuli et elipsis" (1632) en el que determinaba por vez primera el centro de gravedad del sector de un círculo.

Dado un triángulo ABC con ℓ, sea DEF el de un punto P. Los de D, E, F (sobre ℓ) se denotan por D', E', F', respectivamente.
Se considera la cónica 𝒞_a
( P=(u:v:w), u x ((b^2 u + a^2 v) y + (c^2 u + a^2 w) z)-a^2 v w y z = 0)
, circunscrita a ABC y que pasa por E' y F' (isotómica conjugada de la recta EF). Las cónicas 𝒞_b y 𝒞_c, se definen cíclicamente.
La tangentes en A, B, C a las cónicas 𝒞_a, 𝒞_b, 𝒞_c, respectivamente, forma un triángulo que se denota por .
Las rectas AT_a, BT_b, CT_c son concurrentes. El punto de concurrencia T es el conjugado isotómico del de P y el .
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Si A', B' C' son los polos de la recta de De Longschamps respecto a las cónicas 𝒞_a, 𝒞_b, 𝒞_c, respectivamente. Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes en un punto Q.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
T = ( c^2 v + b^2 w : ... : ... ),

Q = ((c^2 v + b^2 w)/ (c^2 u v + b^2 u w - a^2 v w) : ... : ... ).

Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, el triángulo DEF degenera en P y las cónicas 𝒞_a, 𝒞_b, 𝒞_c coinciden con la cónica circunscrita tangente al recta de De Longschams en el conjugado isotómico de P.
Pares {P=X_i, Q=X_j}, para los índices {i, j}: {1, 1441}, {2, 427}, {3, 253}, {6, 76}, {22, 34427}, {25, 6340}, {81, 21020}, {648, 22089}.
Lunes, 2 de noviembre del 2020
Un trebol equilátero, K723

El 2 de noviembre de 1789, en París, la Asamblea Nacional Constituyente francesa aprueba (por 568 votos contra 364 con 40 abstenciones) la confiscación de todos los bienes de la Iglesia, que el Estado dividide en lotes para venderlos. El Estado se hace cargo de los hospitales y escuelas.
Trèfle Équilatère

Courbe étudiée par G. de Longchamps en 1884.
The inverse of the regular trifolium with respect to its centre.
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Dado un triángulo ABC, sea P un punto sobre su circunferencia circunscrita, Γ, y 𝓈_P la de P, que corta los lados BC, CA, AB en los puntos D, E, F, respectivamente.
Si B_f es la reflexión de B en F, la circunferencia de diámetro AB_f vuelve a cortar a la recta AC en A_b y si C_e es la reflexión de C en E, la circunferencia de diámetro AC_e vuelve a cortar a la recta AB en A_c. Los puntos B_c, B_a, C_a, C_b, se definen cíclicamente.
Las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b son paralelas. Sean P' (sobre Γ) el de su punto común en la recta del infinito, Q el punto medio de la cuerda PP' y Q' el inverso de Q respecto de Γ.
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El lugar geométrico de Q', cuando P se mueve sobre Γ, es la cúbica K723, del catálogo de Bernard Gibert.

En coordenadas baricéntricas, si P=(a^2 (-1 + t) t : -b^2 (-1 + t) : c^2 t), entonces:
A_b = (-a^4 t^2 - b^2 (b^2 - c^2) (-1 + 2 t) + a^2 (c^2 t^2 + b^2 (1 - 2 t + 3 t^2)) : 0 : -(-a^2 + b^2 + c^2) (-b^2 + a^2 t^2)),
A_c = (-a^4 (-1+t)^2+c^2 (-b^2+c^2) (-1+2 t)+a^2 (b^2 (-1+t)^2+c^2 (2-4 t+3 t^2)) : -(-a^2+b^2+c^2) (-c^2+a^2 (-1+t)^2) : 0),

P' = ((-c^2+a^2 (-1+t)^2) (b^2-a^2 t^2) : -(b^2-a^2 t^2) (b^2 (-1+t)^2-c^2 t^2) : (-c^2+a^2 (-1+t)^2) (-b^2 (-1+t)^2+c^2 t^2)),

Q = (-b^2 c^2 - 2 a^4 (-1 + t)^2 t^2 + a^2 (-c^2 (-2 + t) t^2 + b^2 (-1 + t)^2 (1 + t)) : -2 b^4 (-1 + t)^2 - a^2 c^2 t^4 + b^2 t (a^2 (-1 + t)^2 (1 + t) + c^2 (-1 + 2 t)) : -2 c^4 t^2 + b^2 c^2 (1 - 3 t + 2 t^2) - a^2 (-1 + t) (b^2 (-1 + t)^3 - c^2 (-2 + t) t^2)).
El lugar geométrico de Q, cuando P se mueve sobre Γ, es el trifolio regular de centro en el circuncentro:
𝔖_{_{abc xyz}} b^2 (b-c)^2 c^2 (b+c)^2 x^4-b^2 c^2 (8 a^4+4 b^4-8 b^2 c^2+4 c^4+a^2 (-3 b^2-3 c^2)) x^2 y z-a^2 (2 a^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+a^4 (-4 b^2-4 c^2)+a^2 (2 b^4+4 b^2 c^2+2 c^4)) y^2 z^2+a^2 y z (c^2 (a^4-2 a^2 (2 b^2+c^2)+c^2 (3 b^2+c^2)) y^2+b^2 (a^4-2 a^2 (b^2+2 c^2)+b^2 (b^2+3 c^2)) z^2) = 0.
El inverso de Q respecto a Γ es:
Q' = (a^2 b^2 c^2 (1-2 t)+a^4 (b^2 (-1+t)^3+c^2 t^3) : b^4 c^2+a^2 (-b^4 (-1+t)^3+b^2 c^2 (-2+t) t^2): -c^2 (b^2 c^2+a^2 (c^2 t^3-b^2 (-1+t)^2 (1+t)))),
y el lugar geométrico que describe es la cúbica K723.
( (b^6 c^2-2 b^4 c^4+b^2 c^6) x^3+(3 a^2 b^4 c^2-2 a^2 b^2 c^4) x^2 y+(3 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^2 c^4) x y^2+(a^6 c^2-2 a^4 c^4+a^2 c^6) y^3+(-2 a^2 b^4 c^2+3 a^2 b^2 c^4) x^2 z+(-2 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^4 c^2-2 a^2 b^2 c^4) x y z+(-2 a^4 b^2 c^2+3 a^2 b^2 c^4) y^2 z+(3 a^4 b^2 c^2-2 a^2 b^4 c^2) x z^2+(-2 a^4 b^2 c^2+3 a^2 b^4 c^2) y z^2+(a^6 b^2-2 a^4 b^4+a^2 b^6) z^3 = 0)
Viernes, 30 de octubre del 2020
Construcciones de X(1617)

El 30 de octubre de 1840 nació Joseph Jean Baptiste Neuberg, matemático luxemburgués que trabajó principalmente en la geometría, sobre todo la geometría del triángulo. Junto Henri Brocard y Émile Lemoine, es conciderado como el creador de la geometría del triángulo y del tetraedro. Lleva su nombre la cúbica de Neuberg, una curva que Neuberg descubrió y publicó en 1885. Neuberg también se implicó en varias revistas matemáticas. Fundó junto con Eugène Catalan y Paul Mansion la revista Nouvelle correspondance mathématique, que perduró hasta 1880. Catalan aconsejó a Mansion y Neuberg que publicaran una nueva revista. Ellos siguieron su consejo y crearon Mathesis en 1881.

Dado un triángulo ABC, sean I=X₁ su incentro, DEF su y A₁ la proyección ortogonal de A sobre EF. La circunferencia circunscrita vuelve a corta a la circunferencia (AEF) en A' y a la circunferencia (A'IA₁) en A". Los puntos B" y C" se definen cíclicamente.
Las rectas AA", BB", CC" se cortan en X₁₆₁₇, centro de perpspectividad de los triángulos y del de .
( Mostrar/Ocultar figura )
Las rectas A'A", B'B", C'C" concurren en W=(r^2+2rR-4R^2) I + 4rR O.
W = ( a (a^5 - 3 a^4 (b + c) + 2 a^3 (b^2 + c^2)+ 2 a^2 (b - c)^2 (b + c) + (b - c)^4 (b + c) - a (b - c)^2 (3 b^2 - 2 b c + 3 c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.108673475212006, 0.204842057385918, 3.54900773843044).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1, 3}, {7, 4666}, {9, 17625}, {11, 1750}, {48, 38849}, {63, 7677}, {77, 3598}, {78, 5265}, {103, 30239}, {105, 1422}, {108, 1435}, {200, 3911}, {222, 7290}, {223, 614}, {226, 4321}, {269, 2191}, {479, 4350}, {497, 5732}, {553, 12560}, {672, 2324}, {910, 3554}, {936, 7288}, {954, 10569}, {1042, 28011}, {1279, 1407}, {1412, 17194}, {1423, 28364}, {1445, 3873}, {1453, 34046}, {1455, 16485}, {1465, 5573}, {1490, 3086}, {1708, 5083}, {1788, 6765}, {1836, 38036}, {2003, 16469}, {2057, 6921}, {2360, 5324}, {2951, 9580}, {3174, 8732}, {3434, 30379}, {3476, 9623}, {3681, 30318}, {3720, 4327}, {3870, 5435}, {3924, 34039}, {4308, 19860}, {4320, 28082}, {4334, 29820}, {4423, 8581}, {4551, 23511}, {4654, 38024}, {5273, 19861}, {5274, 18450}, {5284, 8545}, {5436, 7091}, {5517, 35804}, {5720, 15325}, {6049, 36846}, {6174, 37736}, {7190, 29814}, {7580, 17626}, {7675, 10580}, {7965, 11376}, {8544, 9812}, {8580, 31231}, {8583, 30478}, {9533, 38459}, {10382, 11019}, {10396, 12675}, {10884, 14986}, {12053, 12565}, {16487, 34033}, {16572, 22153}, {21454, 29817}, {27414, 33765}, {30223, 30304}.

Otras propiedades de X₁₆₁₇

☆ En un triángulo ABC, A₁ y A₂ son los puntos de contacto de su circunferencia circunscrita con el y el . Se denota lor ℓ_a la recta pasa por A₁ y A₂, y se definen ℓ_a y ℓ_a cíclicamente. Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c.
La transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' tiene punto fijo finito X₁₆₁₇.
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☆ Sea ABC un triángulo con incentro I, circuncentro O y circunferencia inscrita Γ.
Ω_b y Ω_c son las circunferencias circunscritas a los triángulos AOC y AOB, respectivamente.
Γ_b es la circunferencia tangente a Γ que pasa por A y C y Γ_c es la circunferencia tangente a Γ que pasa por A y B.
Existe una circunferencia Λ_a, tangente a las cuatro circunferencias Γ_b, Γ_c, Ω_b y Ω_c.
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Se denota por G_ab, G_ac, O_ab y O_ac los puntos de contacto de la circunferencia Λ_a con las circunferencias Γ_b, Γ_c, Ω_b y Ω_c, respectivamente.
Se considera el punto M_a = G_abO_ac ∩ G_acO_ab. Se definen cíclicamente los puntos M_b y M_c.

Las rectas AM_a, BM_b y CM_c concurren en X₁₆₁₇ = 2R^2 I - r(r+2R) O.

☆ Sea ABC un triángulo con incentro I y DEF. Sean E_a la reflexión de E en C y F_a la reflexión de F en B. La circunferencia AEF vuelve a cortara a la circunferencia ircunscita en A₁, Las cirunferencias (AEF_a) y (AFE_a) se vuelven a cortar en A₂, sobre la circunferencia circunscrita. Los puntos B₁, B₂, C₁ y C₂ se definen cíclicamente.
Las rectas A₁A₂, A₁A₂, A₁A₂ concurren en X₁₆₁₇.
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Miércoles, 28 de octubre del 2020
Compendio de propiedades del cuadrado baricéntrico del ortocentro

El 28 de octubre de 1999 murió (en el Puerto de Santa María, Cádiz) Rafael Alberti, poeta español de la "Generación del 27". Entre sus obras más conocidas caben destacar "Marinero en tierra" por el que recibió el Premio Nacional de Literatura en 1925, y "Cal y canto". En 1939, al terminar la Guerra Civil española, emigra a la República Argentina, desde donde se traslada a Roma en 1962. A su vuelta a España es elegido diputado por el Partido Comunista de España, pero renuncia a su escaño para proseguir su tarea literaria y dar recitales por toda España.

El del ortocentro es el centro X(393) en .

★ Sea DEF el de un triángulo ABC, cuyo ortorcentro es X₄. La recta que pasa por las proyecciones ortogonales de D sobre BX₄ y CX₄ corta a BC en el punto A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente, entonces los puntos A', B' C' están en una misma recta, cuyo es X₃₉₃.
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★ Sean 𝒫_a, 𝒫_b, 𝒫_c, las parábolas circunscritas a ABC tales que sus ejes son perpendiculares a los lados BC, CA, AB, respectivamente.
A₁ es el punto de interscción de la tangente a 𝒫_b en B con la tangente a 𝒫_c en C. Los puntos B₁ y C₁ se definen cíclicamente. Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ se cortan en X₃₉₃.
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★ Sean DEF su y c(AD) la circunferencia de diámetro AD.
A_b y A_c son los puntos (distintos de A) donde c(AD) corta a AC y AB, respectivamente. Es decir, las proyecciones ortogonales de D sobre AC y AB.
T_a es el punto de intersección de las tangente en A_b y A_c a c(AD). Es decir, el de A_bA_c respecto a a c(AD).
Si A" es el punto de intersección de las rectas DT_a y A_bA_c, y se definen B" y C" cíclicamente, se tiene:
La rectas AA", BB" y CC" concurren en X₃₉₃.
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★ Sean y los triángulos y de X₂₅, centro de homotecia del los triángulos y .
Se denotan por Γ_ab y Γ_ac las circunferencias circunscritas a los triángulos AB₁C₂, AB₂C₁ y por d₁ su eje radical. Similarmente, se definen los ejes radicales d₂ y d₃.
Los ejes radicales d₁, d₂ y d₃ concurren en X₃₉₃.
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★ K406=cK(#X4,X2) has three real asymptotes parallel to the sidelines of ABC forming a triangle homothetic of ABC under the homothety with center X(393) and ratio 2 cotA cotB cotC cotω, where ω is the Brocard angle.
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★ Dado un triángulo ABC con circuncentro X₃ y ortocentro X₄, sea DEF el y A₁ la proyeccion ortogonal de A sobre EF. La circunferencia Γ_a = (AEF) vuelve a cortar a la circunferencia Γ, circunscrita a ABC, en A' y la circunferencia (A'X₃A₁) en A". Se definen B" y C" cíclicamente.
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Las rectas AA", BB", CC" concurren en X₃₉₃.
En coordenadas baricéntricas:
A' = (a^2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) : -(a^2 + b^2 - c^2) (-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2)) : (a^2 - b^2 + c^2) (-b^4 + c^4 + a^2 (b^2 - c^2))),

A" = (a^2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2)^2 : -(a^2 + b^2 - c^2)^2 (-2 a^2 (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) : -(a^2 - b^2 + c^2)^2 (-2 a^2 (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2))).
Domingo, 25 de octubre del 2020
Algunas propiedades asociadas con el Teorema de Napoleón

El 25 de octubre de 1881, en Málaga, nació Pablo Picasso, pintor y escultor español, creador, junto con Georges Braque, del cubismo. Abordó géneros como el dibujo, el grabado, la ilustración de libros, la escultura, la cerámica y el diseño de escenografía y vestuario para montajes teatrales. También tiene una breve obra literaria. En lo político, Picasso se declaraba pacifista y comunista. Fue miembro del Partido Comunista de España y del Partido Comunista Francés hasta su muerte, a los 91 años.

Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' el . Se definen los puntos B_a = A'C ∩ C'B, C_a = A'B ∩ B'C, y cíclicamente, C_b, A_b, A_c y B_c.
A" es el baricentro de A'B_aC_a, y se define cíclicamente B" y C" .
En coordenadas baricéntricas:
A" = (8 a^6+8 a^2 (b^2-c^2)^2-2 a^4 (8 b^2+8 c^2+S) :
-4 a^6+a^4 (7 b^2+9 c^2-2 S)-(b^2-c^2)^2 (b^2-c^2+3 S)+a^2 (-2 b^4-6 c^4+5 c^2 S+b^2 (8 c^2+7 S)) :
-4 a^6+(b^2-c^2)^2 (b^2-c^2-3 S)+a^4 (9 b^2+7 c^2-2 S)+a^2 (-6 b^4-2 c^4+7 c^2 S+b^2 (8 c^2+5 S))).
El triángulo A"B"C" es equilátero, siendo el cuadrado de la longitud de sus lados:
((a^2+b^2+c^2) (29 (a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2)-13 (a^4+b^4+c^4))+Sqrt[3] (19 (a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2)-3 (a^4+b^4+c^4))S)/(216S^2).

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El centro del triángulo A"B"C" es el simétrico de X₁₃₀₈₃ respecto a X₅₀₅₄:

O_e = ( 3S ( 2SA- a^2)+ Sqrt[3] ( 13 S^2-3 SB SC) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.74887264160323, 2.67312320190409, -0.401746646304562).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {5054,9761}, {10304,22491}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,17}, {18,11299}, {30,9736}, {140,33459}, {299,33416}, {302,3642}, {524,11539}, {530,5055}, {531,3524}, {533,5054}, {549,34508}, {616,16967}, {618,6772}, {635,11302}, {3180,33417}, {3525,5862}, {3526,5859}, {3643,23303}, {5858,15694}, {6669,11486}, {6671,37641}, {10124,33458}, {10304,22491}, {16773,37352}, {16962,37785}, {33464,36836}.

Si O=X₃ es el circuncentro de ABC, entonces los triángulos OA_cA_b, OB_aB_c, OC_bC_a son equiláteros. El cuadrado de la longitud de el lado de OA_cA_b es ((b^2 c^2 (a^2+b^2+c^2+Sqrt[3] S))/(8 S^2)).
Sean A₀, B₀, C₀ son los centros de los triángulos OA_cA_b, OB_aB_c, OC_bC_a, respectivamente.
Los triángulos ABC y son homotéticos, de razón de homotecia (12S +Sqrt[3] (a^2+b^2+c^2) )^2/(24 S^2) y centro X₁₆ ().

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Si en vez del triángulo exterior de Napoleón, A'B'C' es el triángulo interior de Napoleón, el centro de homotecia de los triángulos ABC y es X₁₅ (primer punto isodinámico).

El centro del triángulo A"B"C" es el simétrico de X₁₃₀₈₄ respecto a X₅₀₅₄:
O_i = ( 3S ( 2SA- a^2)- Sqrt[3] ( 13 S^2-3 SB SC) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (1.89419631061008, 2.21338132088273, 1.23407911639938).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {5054, 9763}, {10304, 22492}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,18}, {17,11300}, {30,9735}, {140,33458}, {298,33417}, {303,3643}, {524,11539}, {530,3524}, {531,5055}, {532,5054}, {549,34509}, {617,16966}, {619,6775}, {636,11301}, {3181,33416}, {3525,5863}, {3526,5858}, {3642,23302}, {5459,36763}, {5859,15694}, {6670,11485}, {6672,37640}, {10124,33459}, {10304,22492}, {16772,37351}, {16963,37786}, {33465,36843}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

El punto medio de O_o y O_i es X11539.

La recta O_oO_i interseca a la recta del infinito en X₅₂₄, conjugado isogonal del , y pasa por X₃₈₁₁₀, baricentro del triángulo con vértices en el circuncentro, centro de la circunferencia de los nueve puntos y simediano.
Viernes, 23 de octubre del 2020
Rectángulos levantados sobre los lados de un triángulo

El 23 de octubre de 1780, en Zaragoza, falleció a los 60 años de edad, María Andresa Casamayor, matemática, escritora y maestra de niñas española que destacó en el manejo de los números y en la aritmética. Es la única científica española del siglo XVIII de la cual se conserva su obra.

Dado un triángulo ABC, la paralela por un punto P al lado BC corta a las perpendiculares a BC por B y C en B_a y en B_c, respectivamente. Sea A' el punto medio de segmento B_aB_c. Los puntos C_b, C_a, A_c, A_b, B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas AA', BB', CC' son concurrentes (en un punto Q) si y solo si P está sobre la cúbica de Thomson (K002). El punto de concurrencia está sobre la cúbica de Darboux (K004).

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Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
B_a = (a^2u : (v+w)+S_B(u+v+w) : -S_Bu),
C_a = (a^2u : -S_Cu : S_B(v+w)+S_C(u+v+w)),
A' = (2S_A^2(u+v+w)+S_BS_C(2u+v+w)+S_AS_B(2u+2v+w)+ S_AS_C(2u+v+2w) :
b^2(S_Bv+S_A(v-w)) : -c^2(S_A(v-w)-S_Cw)).
Si P está sobre K002,
( c^2 x^2 y - c^2 x y^2 - b^2 x^2 z + a^2 y^2 z + b^2 x z^2 - a^2 y z^2 = 0)
las rectas AA', BB', CC' concurren en:
Q = (a^2(v wa^4+2(v-w)(c^2v-b^2w)a^2+b^4(v-2w)w+ 2b^2c^2(-2u^2+v^2-v w+w^2)+c^4v(-2v+w)) : ... : ...).
Q está sobre la cúbica K004 y la recta PQ pasa por el ortocentro.

Pares {P=X(i), Q=X(j)}, para {i,j}: {1, 1}, {2, 3}, {3, 20}, {4, 64}, {6, 4}, {9, 40}, {57, 84}, {223, 1490}, {282, 3345}, {1073, 3346}, {1249, 1498}, {3341, 3182}, {3342, 3347}, {3343, 3183}, {3344, 3348}, {3349, 2131}, {3350, 2130}, {3351, 3353}, {3352, 3354}, {3356, 3637}, {14481, 3355}.

Los seis puntos B_a, B_c, C_b, C_a, A_c, A_b están sobre una misma cónica si y solo si está sobre una quíntica 𝒬, circular, circunscrita a ABC, que pasa por el circuncentro y simétrica respecto a éste.
Su ecuación baricéntrica de 𝒬 es:
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 y z (-8 b^2 c^2 (b^2-c^2) (a^4+b^4+2 b^2 c^2+c^4+a^2 (-2 b^2-2 c^2)) x^3+(b^2-c^2) (-5 a^8+b^8-4 b^6 c^2+6 b^4 c^4-4 b^2 c^6+c^8+a^6 (14 b^2+14 c^2)+a^4 (-12 b^4-32 b^2 c^2-12 c^4)+a^2 (2 b^6+22 b^4 c^2+22 b^2 c^4+2 c^6)) x y z-a^2 y z ((a^8-b^8-6 b^6 c^2-8 b^4 c^4+14 b^2 c^6+c^8+a^6 (-2 b^2-4 c^2)+a^4 (2 b^2 c^2+6 c^4)+a^2 (2 b^6+8 b^4 c^2-14 b^2 c^4-4 c^6)) y+(-a^8-b^8-14 b^6 c^2+8 b^4 c^4+6 b^2 c^6+c^8+a^6 (4 b^2+2 c^2)+a^4 (-6 b^4-2 b^2 c^2)+a^2 (4 b^6+14 b^4 c^2-8 b^2 c^4-2 c^6)) z)-2 a^2 (a^4+b^4+2 b^2 c^2+c^4+a^2 (-2 b^2-2 c^2)) (-c^2 (a^2+b^2-c^2) y^3+b^2 (a^2-b^2+c^2) z^3)) = 0.
Sus tres asíntotas reales son las mediatrices de los lados de ABC y las dos imaginarias también se cortan en el circuncentro.
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La configuración que estamos estudiando es un caso particular del planteaminto siguiente:

Dao Thanh Oai, (August 11, 2017)

Let ABC be a triangle, let L be the line through B orthogonal to BC, let B_A be any point on L, and let B_C be the point such that BB_AB_CC is a rectangle. Likewise, let CC_BC_AA be a rectangle with base CA and let AA_CA_BB be a rectangle with base AB. Let A' be the midpoint of B_AC_A, and define B' and C' cyclically. Let L_A be the line through A' perpendicular to BC, and define L_B and L_C cyclically. Then the lines L_A, L_B, L_C concur.

Las perpendiculares por A', B', C' a BC, CA, AB, respectivamente, son concurrentes en ( de A'B'C' respecto a ABC):
σ(P) = (a^2 (a^6 (c^2 v+b^2 w)+a^2 (3 c^6 v+b^4 c^2 (4 u-v-2 w)+b^2 c^4 (4 u-2 v-w)+3 b^6 w)-(b^2-c^2)^2 (c^4 v+b^4 w+3 b^2 c^2 (2 u+v+w))+a^4 (-3 c^4 v-3 b^4 w+b^2 c^2 (2 u+3 (v+w)))) : ... : ...).

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σ es una transformación afín, con punto fijo propio X₆₄ ( del ) y puntos fijos en la recta del infinito X₂₅₇₄ y X₂₅₇₅ (conjugados isogonales de los puntos donde la corta a la circunferencia circunscrita).

Algunos pares {P=X(i), σ(P)=X(j)}, para {i, j}: {1, 9856}, {3, 5}, {4, 13474}, {6, 4}, {30, 14915}, {36, 1538}, {40, 31788}, {64, 64}, {67, 15738}, {69, 5907}, {74, 20417}, {110, 38791}, {159, 2883}, {182, 546}, {185, 13568}, {193, 13598}, {206, 5893}, {371, 36658}, {372, 36657}, {376, 16836}, {511, 30}, {512, 1499}, {513, 3309}, {518, 517}, {520, 525}, {523, 512}, {524, 511}, {525, 30209}, {526, 690}, {542, 5663}, {575, 3861}, {576, 3853}, {578, 16198}, {599, 15030}, {674, 516}, {690, 2780}, {834, 28478}, {900, 2821}, {924, 3566}, {1151, 36656}, {1152, 36655}, {1192, 3089}, {1350, 3}, {1351, 3627}, {1498, 5878}, {1499, 30230}, {1503, 6000}, {1510, 32478}, {1620, 6622}, {1843, 16621}, {2076, 1513}, {2393, 1503}, {2574, 2574}, {2575, 2575}, {2781, 2777}, {2791, 515}, {2810, 952}, {2836, 2771}, {2839, 2391}, {2854, 542}, {2871, 2794}, {2929, 22970}, {2930, 15063}, {3098, 140}, {3221, 30217}, {3242, 12672}, {3313, 12362}, {3564, 13754}, {3566, 20186}, {3581, 16619}, {3818, 32137}, {3827, 6001}, {4259, 20420}, {4265, 6831}, {5050, 3845}, {5085, 381}, {5092, 3850}, {5093, 15687}, {5096, 1532}, {5097, 12102}, {5102, 3830}, {5621, 125}, {5622, 7687}, {5663, 541}, {5844, 28521}, {5845, 2808}, {5848, 2807}, {5965, 1154}, {6003, 30231}, {6371, 28481}, {6403, 13419}, {6467, 12241}, {6776, 389}, {7289, 942}, {7691, 32348}, {7716, 15811}, {8057, 8673}, {8547, 575}, {8549, 18381}, {8550, 10110}, {8674, 2775}, {8675, 523}, {8679, 515}, {8681, 3564}, {8705, 11645}, {8999, 522}, {9000, 514}, {9001, 513}, {9002, 3667}, {9003, 526}, {9004, 518}, {9007, 520}, {9009, 32472}, {9010, 28475}, {9011, 28468}, {9012, 32473}, {9013, 6003}, {9016, 28850}, {9017, 29010}, {9018, 28845}, {9019, 29012}, {9023, 2793}, {9024, 29349}, {9025, 15310}, {9026, 519}, {9027, 524}, {9028, 916}, {9029, 28292}, {9031, 32475}, {9032, 28294}, {9033, 9517}, {9037, 28160}, {9038, 29311}, {9039, 28234}, {9044, 8704}, {9047, 28146}, {9048, 30198}, {9049, 28194}, {9051, 521}, {9052, 28174}, {9054, 29309}, {9142, 11623}, {9145, 38745}, {9786, 1598}, {9924, 1498}, {9969, 16656}, {9971, 16654}, {9973, 16655}, {10249, 23325}, {10387, 12705}, {10516, 16194}, {10541, 3832}, {10605, 11438}, {11477, 382}, {11579, 36253}, {11898, 5876}, {12017, 3858}, {12041, 20397}, {12163, 7689}, {12329, 10}, {13622, 15739}, {14810, 3628}, {14984, 17702}, {15069, 12162}, {15073, 13403}, {15316, 22661}, {15520, 12101}, {15533, 11459}, {15578, 32767}, {15748, 15751}, {16010, 16003}, {16936, 15740}, {17430, 9830}, {17508, 5066}, {17813, 18405}, {17834, 7387}, {18374, 1514}, {19149, 22802}, {19161, 6756}, {19459, 12233}, {19596, 32111}, {20190, 3856}, {21358, 16261}, {22089, 30476}, {22549, 22834}, {22769, 946}, {23885, 29116}, {25406, 5943}, {29291, 6084}, {31884, 2}, {32233, 25711}, {32305, 20379}, {32621, 5480}, {33878, 550}, {34146, 15311}, {34371, 971}, {34372, 5840}, {34381, 912}, {34383, 2782}, {34778, 3357}, {34787, 6759}, {34817, 33537}, {35383, 37459}, {36740, 8727}, {36990, 11381}, {37473, 3575}, {37474, 36663}, {37478, 16618}, {37483, 14791}, {37485, 6823}, {37489, 7530}, {37498, 14790}, {37511, 31833}}.

La imagen del baricentro mediante σ es:
σ(G) = ( a^2 (a^6 (b^2+c^2)+a^4 (-3 b^4+8 b^2 c^2-3 c^4)+a^2 (3 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+3 c^6)-(b^2-c^2)^2 (b^4+12 b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-4.42224780603593, -5.57662790978330, 9.54244432992786).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {2, 32062}, {4, 15030}, {51, 15305}, {381, 16194}, {568, 12162}, {3543, 3917}, {3627, 15067}, {3830, 5891}, {11188, 12294}, {11381, 15072}, {13363, 32137}, {13474, 16836}, {15060, 15687}, {15682, 36987}, {16654, 34664}.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {51,13570}, {568,10110}, {5892,5066}, {5907,15030}, {5943,381}, {13363,3850}, {13364,3860}, {15072,9729}, {15644,15067}, {16836,5}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,32062}, {3,5646}, {4,69}, {5,13474}, {20,5650}, {30,3819}, {51,3839}, {185,3832}, {373,3091}, {381,1853}, {382,11793}, {389,546}, {542,16657}, {548,11017}, {568,3843}, {575,11456}, {1154,14893}, {1216,3853}, {1495,7527}, {1498,5050}, {1593,35259}, {1594,36518}, {1596,21243}, {1597,9306}, {2842,31871}, {2883,23300}, {3090,12045}, {3146,7998}, {3292,15052}, {3357,7529}, {3426,37475}, {3522,33879}, {3543,3917}, {3545,6688}, {3581,18551}, {3627,15067}, {3628,14641}, {3830,5891}, {3845,13754}, {3850,13363}, {3851,10575}, {3854,10574}, {3855,12290}, {3856,13630}, {3857,13491}, {3858,5462}, {3859,12006}, {3860,13364}, {3861,5446}, {4550,7530}, {5055,14855}, {5066,5892}, {5068,12279}, {5071,10219}, {5076,10625}, {5085,11479}, {5102,12164}, {5656,14561}, {5946,23046}, {6090,11403}, {6225,9815}, {6241,15012}, {6759,37506}, {6800,26883}, {7387,32620}, {7395,17508}, {7503,35268}, {7528,22802}, {7545,32110}, {9050,14872}, {9976,14094}, {10282,39242}, {10982,15520}, {11002,12111}, {11430,31861}, {11438,11472}, {11454,14002}, {11591,12102}, {11645,16658}, {12082,14810}, {12101,13391}, {12233,38136}, {12362,16656}, {13367,35265}, {13382,18439}, {13402,15102}, {13487,31978}, {13595,21663}, {14269,18435}, {14531,16981}, {14865,15035}, {15032,15516}, {15041,18369}, {15056,17578}, {15060,15687}, {15682,36987}, {16654,29012}, {16776,34146}, {18451,34986}, {18488,23515}, {18492,23841}, {23039,38335}, {23306,33332}, {31884,33537}, {32139,37505}.

El centro de ortológico de ABC respecto a A'B'C es el conjugado isogonal de la imagen de P mediante la homotecia h_X₃,-1/3, de centro el circuncentro y razón -1/3.
(h_X₃,-1/3(P))^* = (a^2/((b^2 - c^2)^2 u + 2 a^2 (b^2 + c^2) (u + 2 (v + w)) - a^4 (3 u + 4 (v + w))) : ... : ...).
Pares {P=X(i), (h_X₃,-1/3(P))^*=X(j)}, para {i, j}: {{1, 3062}, {2, 14490}, {3, 4}, {4, 3426}, {5, 13603}, {20, 6}, {23, 11744}, {40, 3577}, {64, 253}, {72, 14493}, {185, 32085}, {376, 3531}, {382, 11738}, {548, 14487}, {550, 14483}, {576, 14458}, {1350, 14484}, {1498, 16251}, {1657, 3431}, {3091, 22334}, {3098, 14488}, {3146, 64}, {3303, 10429}, {3428, 38306}, {3430, 38309}, {3529, 3}, {3534, 14491}, {3579, 14496}, {3627, 16835}, {5188, 14485}, {5537, 80}, {5889, 2980}, {6282, 38308}, {6762, 19604}, {6776, 14486}, {7464, 265}, {7527, 15321}, {7556, 18550}, {7691, 38305}, {7957, 2346}, {7982, 84}, {7991, 1}, {9821, 11170}, {10222, 10308}, {10310, 38307}, {10990, 9139}, {10991, 10630}, {11477, 3424}, {12082, 4846}, {12086, 6145}, {12088, 3521}, {12103, 1173}, {12680, 1014}, {12702, 14497}, {15704, 54}, {15801, 15619}, {17538, 3527}, {17800, 20421}, {22333, 17578}, {31388, 39286}, {33524, 14542}, {33557, 65}, {33795, 1389}, {33878, 14494}, {34147, 10152}, {34795, 13377}, {35001, 33565}, {37946, 10293}.
Martes, 20 de octubre del 2020
Baricentro de triángulos tangenciales

El 20 de octubre de 1917, en Berlín, nace Stéphane Frédéric Hessel, diplomático, escritor francés. Sus libros "¡Indignaos!" y "¡Comprometeos!" influirán en las protestas ciudadanas de 2011. Fue uno de los redactores de la Declaración Universal de Derechos Humanos de 1948 y autor del libro ¡Indignaos!, en él se plantea un alzamiento «contra la indiferencia y a favor de la insurrección pacífica». En su conclusión figura: "Convoquemos una verdadera insurrección pacífica contra los medios de comunicación de masas que no propongan como horizonte para nuestra juventud otras cosas que no sean el consumo en masa, el desprecio hacia los más débiles y hacia la cultura, la amnesia generalizada y la competición excesiva de todos contra todos."

Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X₃, K=X₆ y .
Sea A' el centro de la cónica 𝒞_a, que pasa por O y es tangente a T_aT_b en T_b y a T_aT_c en T_c. Las cónicas 𝒞_b y 𝒞_c, se definen cíclicamente; sean B' y C' sus respectivos centros.
Las rectas A'T_a, B'T_b, C'T_c concurren en el baricentro de , X₁₅₄.

( Mostrar/Ocultar figura )

La cónica
( b^4 c^4 x^2+a^2 b^2 c^4 x y-a^4 c^4 y^2+a^2 b^2 c^4 y^2+a^2 c^6 y^2-b^2 c^6 y^2+a^2 b^4 c^2 x z-a^4 b^2 c^2 y z+2 a^2 b^4 c^2 y z+2 a^2 b^2 c^4 y z-2 b^4 c^4 y z-a^4 b^4 z^2+a^2 b^6 z^2+a^2 b^4 c^2 z^2-b^6 c^2 z^2 = 0)
𝒞_a es el lugar geométrico del polo P, respecto a la circunferencia circunscrita Γ, de la recta p=MN, siendo M y N puntos variables sobre las rectas AB y AC, tales que AM:MB=CN:NA.

Γ y 𝒞_a se intersecan en cuatro puntos (reales o imaginarios). La mediatriz ℓ_a de la bisectriz en A, pasa por dos puntos (reales) de intersección de Γ y 𝒞_a. Cosiderando, cíclicamente, las rectas ℓ_b y ℓ_c, el triángulo formado por estas tres rectas es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad el primer punto de Sharygin, X₂₅₆.

Darij Grinberg, Sharygin Points Report, Hyacinthos #6293 (1/8/03) and #6315 (1/10/03)

The first of ten sections is an Introduction quoted, in part, here:

We will treat two remarkable triangles: the triangle bounded by the perpendicular bisectors of the internal angle bisectors of a triangle ABC, and the triangle bounded by the perpendicular bisectors of the external angle bisectors of triangle ABC. These two triangles and the triangle ABC are three perspective triangles, having a common perspectrix: the Lemoine axis of ABC. The mutual perspectors of the three triangles will be called the first, second and third Sharygin points of ABC (after a problem of Igor Sharygin - see Section 10).
The report introduces fifteen Sharygin points, of which the 1st, 2nd, 4th, and 6th are X(256), X(291), X(846), and X(1054), respectively. X(1281) is the 3rd Sharygin point

UNA SITUACIÓN MÁS GENERAL

Dados un triángulo, de baricentro G=X₂, y un punto P, se considera la cónica circunscrita C(P) a ABC con P y su (de P). Sea A' el centro de la cónica 𝒞_a que pasa por el centro Z de C(P) (Z=) y es tangente a T_aT_b en T_b y a T_aT_c en T_c. Los puntos B', C' se definen cíclicamente.
Las rectas A'T_a, B'T_b, C'T_c con concurren en Q=(G/P)/P, baricentro de .

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Pares {P=X(i), Q=X(j)}, para {i, j}: {1, 165}, {2, 2}, {3, 3167}, {6, 154}, {7, 32079}, {9, 3158}, {10, 3971}, {30, 34582}, {37, 210}, {39, 3917}, {57, 34499}, {115, 8029}, {216, 51}, {233, 32078}, {395, 15769}, {396, 15768}, {512, 38237}, {513, 38238}, {514, 21204}, {523, 10278}, {524, 38239}, {525, 38240}, {650, 11193}, {1015, 8027}, {1084, 23610}, {1086, 6545}, {1146, 23615}, {1212, 354}, {1213, 1962}, {2482, 8030}, {3163, 3081}, {4370, 8028}, {6184, 23612}, {6292, 11205}, {6547, 6546}, {11672, 23611}, {13466, 8031}, {15526, 23616}, {16589, 21020}, {23991, 11123}, {34832, 24165}, {35071, 23613}, {35072, 23614}.
Lunes, 19 de octubre del 2020
Cuadrado baricéntrico de la cúbica de Lucas

A Kake en su 50 aniversario

Dado un triángulo ABC, sea DEF el de un punto P.
Se considera la hipérbola ℋ_a, con asíntotas paralelas a los lados AB y AC, que pasa por A y es tangente al lado BC en el punto D.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de ℋ_a es:
((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w))^2y^2+((b^2-c^2) u+a^2 (u+2 v))^2z^2-2 ((b^2-c^2) u+a^2 (u+2 v)) ((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w))y z+((b^2-c^2) u+a^2 (u+2 v))^2z x +((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w))^2 x y = 0.
Esta ecuacíon se obtiene tomando el haz de cónica determinado por la cónica degenerada del haz producto de la rectas BC (x=0) y la , y la cónica producto de las rectas paralelas por D a los lados AB y AC:
((-2 a^2+b^2+a (b-c)-c^2) x+(-2 a^2+b^2+a (b-c)-c^2) y+(2 a^2+b^2+a (b-c)-c^2) z) ((2 a^2+b^2+a (b-c)-c^2) x+(-2 a^2+b^2+a (b-c)-c^2) y+(2 a^2+b^2+a (b-c)-c^2) z) + λ x (x+y+z)= 0,
y determinando la cónica del haz que pasa por A, que se obtiene para
λ = (2 a^2+a b+b^2-a c-c^2) (2 a^2-a b-b^2+a c+c^2).
La tangente en A a ℋ_a es:
t_A: ((-b^2+c^2) u+a^2 (u+2 w))^2y+((b^2-c^2) u+a^2 (u+2 v))^2z=0.
Procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC, se definen las hipérbolas ℋ_b y ℋ_c y sus correspondientes tangentes t_B y t_C.
Las rectas t_A, t_B y t_C no son concurrentes y el triángulo A'B'C' formado por ellas es perspectivo con ABC si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux.
Si P está sobre la cúbica de Darboux, el centro de perspectividad P' es el del centro de perspectividad Q (sobre la cúbica de Lucas) de ABC y el triángulo pedal de P.

( Mostrar/Ocultar figura )

Algunas ternas {P=X(i), P'=X(j)=Q^2, Q=X(k)}, para los índices {i,j,k}: {1, 279, 7}, {3, 2, 2}, {4, 393, 4}, {20, 3926, 69}, {40, 346, 8}, {64, *, 253}, {84, *, 189}, {1490, *, 329}, {1498, 36413, 20}, {2130, *, 14362}, {3182, *, 5932}, {3183, *, 14361}, {3345, *, 1034}, {3346, *, 1032}, {3348, *, 14365}, {3353, *, 34162}. Q^2 indica el cuadrado baricéntrico de Q y el * indica que P' no figura actualmente en .

Cuando DEF es el de P, en vez de su triángulo pedal, el triángulo A'B'C' siempre es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad es el cuadrado baricéntrico de P.
Domingo, 18 de octubre del 2020
Dos propiedades geométricas de K243

El 18 de octubre de 1850 nació en El Ferrol (La Coruña), Pablo Iglesias Posse, líder del movimiento obrero español, fue el cofundador del Partido Socialista Obrero Español (PSOE) en 1879 y de la Unión General de Trabajadores (UGT) en 1888.

• A Construction For X(21454) (Euclid #1151, Kadir Altintaş, Oct 18, 2020)

Let I be incenter of ABC.
Ka, orthogonal projection of symmedian point of IBC on BC. Define Kb, Kc cyclically.
KaKbKc is cevian triangle of X(21454) respect to ABC.

• K243. Locus property
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 y z (a^4 (y - z) + a^2 (2 c^2 (2 y + z) - 2 b^2 (y + 2 z)) + (b^2 - c^2) (c^2 (5 y + z) + b^2 (y + 5 z))) = 0.
Points on the curve: excenters, X(1), X(3), X(4), X(376), X(3426), X(5119), X(7284), X(35237)

Let PaPbPc be the circumcevian triangle of P and denote by Ka, Kb, Kc the Lemoine points of triangles BCPa, CAPb, ABPc respectively. Let Qa, Qb, Qc be the orthogonal projections of Ka, Kb, Kc on BC, CA, AB respectively. ABC and QaQbQc are perspective (at Q) if and only if P lies on K243 (Kadir Altintaş, 2020-09-17).

Dado un triángulo y un punto propio P, sean D, E, F las proyecciones ortogonales de los de los triángulos PBC, PCA, PAB, sobre BC, CA, AB, respectivamente.
Las rectas AD, BE, CF son concurrentes si y solo si P está cobre la K243=pK(X6,X276), del catálogo de Bernard Gibert.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P (u+v+w≠0), el simediano de PBC es:
S_a = (a^2 u (u + v + w) : b^2 u^2 + 2 a^2 u v + b^2 u v - c^2 u v + 2 a^2 v^2 + a^2 v w : c^2 u^2 + 2 a^2 u w - b^2 u w + c^2 u w + a^2 v w + 2 a^2 w^2),
y su proyección ortogonal sobre BC es:
D = (0 : u (c^2 (u + 3 v + w) - b^2 (3 u + 3 v + w)) - a^2 (u^2 + 2 v (2 v + w) + u (5 v + w)) : u (b^2 (u + v + 3 w) - c^2 (3 u + v + 3 w)) - a^2 (u^2 + 2 w (v + 2 w) + u (v + 5 w))).
Las AD, BE, CF son concurren en W, cuando P está sobre K243,
W = (2 b^2 c^2 (20 u^4 + 34 u^3 (v + w) + v w (v + w)^2 + u^2 (16 v^2 + 53 v w + 16 w^2) + 2 u (v^3 + 8 v^2 w + 8 v w^2 + w^3)) - c^4 (4 u^4 + v w (v + w)^2 + u^3 (35 v + 9 w) + u^2 (22 v^2 + 49 v w + 6 w^2) + u (3 v^3 + 17 v^2 w + 15 v w^2 + w^3)) + a^4 (3 u^3 (v + w) + u^2 (6 v^2 + 41 v w + 6 w^2) + v w (13 v^2 + 38 v w + 13 w^2) + 3 u (v^3 + 17 v^2 w + 17 v w^2 + w^3)) - b^4 (4 u^4 + v w (v + w)^2 + u^3 (9 v + 35 w) + u^2 (6 v^2 + 49 v w + 22 w^2) + u (v^3 + 15 v^2 w + 17 v w^2 + 3 w^3)) + 2 a^2 (b^2 (2 u^4 - 2 v^3 w + 2 v w^3 + 2 u^2 w (8 v + 13 w) + u^3 (3 v + 20 w) - u (v^3 + 6 v^2 w - 19 v w^2 - 8 w^3)) + c^2 (2 u^4 + u^3 (20 v + 3 w) + 2 u^2 v (13 v + 8 w) + 2 v w (v^2 - w^2) + u (8 v^3 + 19 v^2 w - 6 v w^2 - w^3))) : ... : ...)
Se tienen los siguientes pares {P=X(i), W=X(j)}, para {i, j}: {1, 21454}, {3, 2}, {4, 8796}.

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Sean el del punto P, K_a, K_b, K_c los simedianos de los triángulos BCP_a, CAP_b, ABP_c respectivamente, y Q_a, Q_b, Q_c las proyecciones ortogonales de K_a, K_b, K_c sobre BC, CA, AB respectivamente.
ABC y son perspectivos (en Q) si y solo si P está sobre K243 (CTC, Kadir Altintaş).

El centro de perspectividad es:
Q = (u (b^4 w (v + 4 w) + (a^2 - c^2) v (a^2 w - c^2 (4 v + w)) - 2 b^2 (a^2 w (v + 2 w) + c^2 (8 u^2 + 2 v^2 + v w + 2 w^2 + 12 u (v + w)))) : ... : ...).

La recta QW pasa por el baricentro, para todo P sobre K243.
Sábado, 17 de octubre del 2020
Asíntotas de una cúbica concurrentes en el Tercer Punto de Stevanovic

El 17 de octubre de 1937 falleció (a la edad de 77 años) Frank Morley, profesor americano de origen inglés que publicó numerosos problemas de la geometría del triángulo. Teorema de Morley (1899): "Si se trazan las trisectrices de los tres ángulos de un triángulo, las trisectrices adyacentes se cortan en los vértices de un triángulo equilátero".

Hyacinthos #7185 (Milorad R. Stevanovic. May 21, 2003)

• 1. If J1,J2,J3 are incenters of triangles IaBC,IbCA,IcAB (where Ia,Ib,Ic are excenters of triangle ABC), and BJ3∩CJ2=K1, CJ1∩AJ3=K2, AJ2∩BJ1=K3 then AK1,BK2,CK3 are concurent in point Q=X(1130) (1st Stevanovic Point) given in barycentrics by
Q(a(2sinA/2+1):b(2sinB/2+1):c(2sinC/2+1)).
• 2.If I is incenter of ABC and IJ1∩BC=A1, IJ2∩CA=B1, IJ3∩AB=C1 then AA1,BB1,CC1 are concurent in point S (X(1488) = 2nd Stevanovic Point), given in barycentrics by
S(a/(1+sinA/2):b/(1+sinB/2):c/(1+sinC/2)).
• 3.If I1,I2,I3 are incenters of triangles IBC,ICA,IAB and J1I1∩BC=V1, J2I2∩CA=V2, J3I3∩AB=V3 then AV1,BV2,CV3 are concurent in point V (X(1489) = 3rd Stevanovic Point), given in barycentrics by
V(cosA/2+sinA/2-1:cosB/2+sinB/2-1: :cosC/2+sinC/2-1).

Euclid #1146 (Kadir Altintaş. Oct 17, 2020)

Let P be point and DEF pedal triangle of P.
Ha, orthogonal projection of midpoint of EF on BC.
Define Hb, Hc cyclically.
HaHbHc is a cevian triangle iff P lies on a cubic curve.

Dado un triángulo ABC, sea DEF el de un punto P, de coordenadas baricéntricas (u:v:w). La proyección ortogonal del punto medio de EF sobe BC es:
H_a = (0 : a^4 (-c^2 v+b^2 w)+(b^2-c^2) (c^4 v+b^4 w-b^2 c^2 (4 u+v+w))-2 a^2 (-c^4 v+b^4 w+b^2 c^2 (2 u+3 v+w)) : a^4 (c^2 v-b^2 w)-(b^2-c^2) (c^4 v+b^4 w-b^2 c^2 (4 u+v+w))+2 a^2 (-c^4 v+b^4 w-b^2 c^2 (2 u+v+3 w))).
Los puntos H_b y H_c se definen cíclicamente.
Las rectas AH_a, BH_b, CH_c son concurrentes si y sólo si el punto P está sobre la cúbica de ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} 4 b^4 (-a+b-c) (a+b-c) c^4 (-a+b+c) (a+b+c) (b^2-c^2) (-3 a^4+b^4-2 b^2 c^2+c^4+a^2 (2 b^2+2 c^2)) x^3+a^4 y z (c^2 (a^12+2 a^10 (b^2-3 c^2)+a^8 (-17 b^4+22 b^2 c^2+15 c^4)+4 a^6 (7 b^6+13 b^4 c^2-19 b^2 c^4-5 c^6)+(b-c)^3 (b+c)^3 (b^6+17 b^4 c^2-b^2 c^4-c^6)-a^4 (b^2-c^2) (17 b^6+149 b^4 c^2+91 b^2 c^4+15 c^6)+2 a^2 (b^2-c^2) (b^8+26 b^6 c^2+52 b^4 c^4+14 b^2 c^6+3 c^8)) y-b^2 (a^12-2 a^10 (3 b^2-c^2)+a^8 (15 b^4+22 b^2 c^2-17 c^4)-4 a^6 (5 b^6+19 b^4 c^2-13 b^2 c^4-7 c^6)+(b-c)^3 (b+c)^3 (b^6+b^4 c^2-17 b^2 c^4-c^6)+a^4 (b^2-c^2) (15 b^6+91 b^4 c^2+149 b^2 c^4+17 c^6)-2 a^2 (b^2-c^2) (3 b^8+14 b^6 c^2+52 b^4 c^4+26 b^2 c^6+c^8)) z) = 0.

Esta cúbica pasa por los centros del triángulo X₆₄ (ortocentro del ), X₂₂₁ = 2(r+R)X₅₅- r X₆₄, X₁₄₉₈ (Tercer Punto de Stevanovic), X₇₉₅₉ ( de los triángulos y ). Es simétrica respecto a X₁₄₉₈.
Si Q es el punto de concurrencia de las rectas AH_a, BH_b, CH_c, se tienen los siguientes pares {P=X(i), Q=X(j)}, para {i,j}: {64, 4}, {221, 7}, {1498, 2}, {7959, 8}.
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Las ecuaciones de las asíntotas de la cúbica son:
b^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2x -a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2y + 4 a^2 b^2 (a^2 - b^2)z = 0,
-c^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2x + (-4 a^4 c^2 + 4 a^2 c^4)y + a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2 z = 0,
4 b^2 c^2 (b^2 - c^2)x + c^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 y -b^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2z = 0.
Estas tres rectas concurren en el Tercer Punto de Stevanovic, X₁₄₉₈.
Lunes, 12 de octubre del 2020
Los centros del triángulo X(950) y X(1214)

Edwin Abbott (20 de diciembre de 1838, 12 de octubre de 1926) fue un maestro de escuela inglés que escribió el popular libro "Planilandia, una novela de muchas dimensiones" (1884), como una introducción a las dimensiones superiores. En "Planilandia", cuantos más lados tenga, mayor será su clase. Los trabajadores son triángulos equiláteros, el autor mismo es A Cuadrado, una persona de clase media, mientras que las clases más altas son los círculos que son sacerdotes. El mundo de Planilandia es visitado por una esfera que A Cuadrado ve al principio como un punto que crece hasta convertirse en un disco, luego se encoge de nuevo hasta convertirse en un punto y desaparece.

The M-Configuration of a Triangle

Given a triangle ABC, we consider points A_a on the line BC, B_a on the half line CA, and C_a on the half line BA such that BC_a = C_aA_a = A_aB_a = B_aC. We shall refer to BC_aA_aB_aC as M_a, because it looks like the letter M when triangle ABC is acute-angled. Similarly, we also have M_b and M_c. The three figures M_a, M_b, M_c constitute the M-configuration of triangle ABC.
Proposition.- The lines AA_a, BB_b, CC_c concur at the point X₉₂.

Dado un triángulo ABC con incentro I=X₁, circuncentro O=X₃ y I_a, I_b, I_c, la hipérbola ℋ_a tangente en A a la , que pasa por O y por los ortocentros de los de I e I_a, vuelve a cortar a los lados de AC y AB en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente.
Las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b concurren en X₁₂₁₄, de X₉₂.

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El ortocentro del triángulo pedal del incentro () es X₆₅, del . Las coordenadas baricéntricas del ortocentro del triángulo pedal del A-excentro son:
H_a = (-a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) : -b (a - c) (-a + b - c) (a + b + c) : (a - b) (a + b - c) c (a + b + c)).
La ecuación de la cónica tangente en A a la simediana AX₆ y que pasa por X₃, X₆₅ y H_a es:
ℋ_a: (a^2 b c^2-b^3 c^2-a^2 c^3-b^2 c^3+b c^4+c^5) x y+(-a^2 b c^2+b^3 c^2-a^2 c^3-b^2 c^3-b c^4+c^5) y^2+(-a^2 b^3+b^5+a^2 b^2 c+b^4 c-b^3 c^2-b^2 c^3) x z+(-a^2 b^3+b^5+3 a^2 b^2 c-b^4 c+3 a^2 b c^2-a^2 c^3-b c^4+c^5) y z+(-a^2 b^3+b^5-a^2 b^2 c-b^4 c-b^3 c^2+b^2 c^3) z^2=0.
La cónica ℋ_a (hipérbola de asíntotas paralelas a la mediatriz de BC y a la bisectriz en A) puede ser descrita como lugar geómetrico como sigue:
Sea P un punto sobre la bisectriz del ángulo en A y DEF su triángulo pedal, la de P vuelve a cortar a BC en D'. El lugar geométrico del ortocentro H' de D'EF es la hipérbola ℋ_a.

La hipérbola ℋ corta, respectivamente, a AC y AB en:
A_b = (-(-a^2 + (b - c)^2) (b + c) : 0 : (b - c) (-a^2 + (b + c)^2)),
A_c = ((-a^2 + (b - c)^2) (b + c) : (b - c) (-a^2 + (b + c)^2) : 0).

Sean A₁ y A₂ los puntos de intersección de la hipérbola ℋ_a con el lado BC. Las hipérbolas ℋ_b y ℋ_c (definidas cíclicamente) cortan, respectivamente, a los lados CA y AB en los puntos B₁, B₂ y C₁ y C₂. Entonces, los seis puntos A₁ y A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ están sobre una misma cónica,
( a^3 b^2 c^2 x^2-a^2 b^3 c^2 x^2-a b^4 c^2 x^2+b^5 c^2 x^2-a^2 b^2 c^3 x^2+2 a b^3 c^3 x^2-b^4 c^3 x^2-a b^2 c^4 x^2-b^3 c^4 x^2+b^2 c^5 x^2+a^5 c^2 x y-a^4 b c^2 x y-a b^4 c^2 x y+b^5 c^2 x y-a^4 c^3 x y+2 a^3 b c^3 x y-2 a^2 b^2 c^3 x y+2 a b^3 c^3 x y-b^4 c^3 x y-a^3 c^4 x y+3 a^2 b c^4 x y+3 a b^2 c^4 x y-b^3 c^4 x y+a^2 c^5 x y-4 a b c^5 x y+b^2 c^5 x y+a^5 c^2 y^2-a^4 b c^2 y^2-a^3 b^2 c^2 y^2+a^2 b^3 c^2 y^2-a^4 c^3 y^2+2 a^3 b c^3 y^2-a^2 b^2 c^3 y^2-a^3 c^4 y^2-a^2 b c^4 y^2+a^2 c^5 y^2+a^5 b^2 x z-a^4 b^3 x z-a^3 b^4 x z+a^2 b^5 x z-a^4 b^2 c x z+2 a^3 b^3 c x z+3 a^2 b^4 c x z-4 a b^5 c x z-2 a^2 b^3 c^2 x z+3 a b^4 c^2 x z+b^5 c^2 x z+2 a b^3 c^3 x z-b^4 c^3 x z-a b^2 c^4 x z-b^3 c^4 x z+b^2 c^5 x z+a^5 b^2 y z-a^4 b^3 y z-a^3 b^4 y z+a^2 b^5 y z-4 a^5 b c y z+3 a^4 b^2 c y z+2 a^3 b^3 c y z-a^2 b^4 c y z+a^5 c^2 y z+3 a^4 b c^2 y z-2 a^3 b^2 c^2 y z-a^4 c^3 y z+2 a^3 b c^3 y z-a^3 c^4 y z-a^2 b c^4 y z+a^2 c^5 y z+a^5 b^2 z^2-a^4 b^3 z^2-a^3 b^4 z^2+a^2 b^5 z^2-a^4 b^2 c z^2+2 a^3 b^3 c z^2-a^2 b^4 c z^2-a^3 b^2 c^2 z^2-a^2 b^3 c^2 z^2+a^2 b^2 c^3 z^2 = 0)
que pasa por los centros X₃₂₇₀, X₃₂₇₁ y su centro está sobre la recta X₃₁X₂₁₇₄₆:
W = ( a^2 (a^7 (b^2-4 b c+c^2) -2 a^6 (b^3-3 b^2 c-3 b c^2+c^3) -10 a^5 b^2 c^2 +3 a^4 (b-c)^2 (b^3+c^3) +a^3 (-3 b^6+8 b^5 c+3 b^4 c^2-8 b^3 c^3+3 b^2 c^4+8 b c^5-3 c^6) -2 a^2 b (b-c)^2 c (b^3+5 b^2 c+5 b c^2+c^3) +2 a (b^4-b^3 c+b c^3-c^4)^2 -(b-c)^4 (b+c)^3 (b^2-b c+c^2) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.90354122421281, 0.575828812010040, 1.90191781626382).

Las dos hipérbolas ℋ_b y ℋ_c tienen en común los puntos X₃ y X₆₅. La ecuación de la recta d_a que pasa por el otro par de puntos comunes es:
(a^4 - a^3 (b + c) - a^2 (b^2 - 3 b c + c^2) + a (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) + b c (-3 b^2 + 2 b c - 3 c^2))x + (a + b) (a - c) (a - b - c) (a - b + c) y + (a - b) (a - b - c) (a + b - c) (a + c)z = 0.
Las rectas d_b y d_c se definen cíclicamente.
Las rectas d_a, d_b, d_c concurren en X₉₅₀.

( Mostrar/Ocultar figura )

X(950)
(2 a^4 - a^3 (b + c) - a^2 (b + c)^2 + a (b - c)^2 (b + c)- (b^2 - c^2)^2 : ... : ...)

A' is the insimilicenter of the circles having as diameters segments CA and AB; and cyclically for B' and C'. A'B'C' is also the complement of the cevian triangle of isotomic conjugate of incenter. Let La be the reflection of line BC in line B'C', and define Lb and Lc cyclically. Let A" = Lb ∩ Lc, and define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(950). (Randy Hutson, January 29, 2018)
Viernes, 9 de octubre del 2020
Una propiedad de la cúbica K108

El 9 de octubre de 1911 nació Luis A. Santaló, matemático español que se exilió en la Argentina en 1939 al iniciarse la Segunda Guerra Mundial y ser partidario del derrotado bando republicano en España. Publicó más de cien trabajos de investigación fundamental y de divulgación; y varios libros, en especial Geometría integral (1951, en colaboración con Julio Rey Pastor). Geometría Proyectiva (1966). Vectores y Tensores con sus aplicaciones (1968).

Dado un triángulo ABC y un punto P, no situado sobre su circunferencia circunscrita, la circunferencia (PBC) vuelve a cortar a las tangentes en B y C a la circunferencia circunscrita en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente.
Si las coordenadas baricéntricas de P son (u:v:w), se tiene que:
A_b = (a^2 (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : -(a^2-c^2) v (c^2 u+a^2 w)-b^2 u (c^2 (u+v)+a^2 w) : -c^2 (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w),

A_c = (a^2 (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : -b^2 (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : b^4 u w-a^2 v (c^2 u+a^2 w)-b^2 (a^2 (u-v) w+c^2 u (u+w)).

El triángulo A'B'C' formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b, es homotético a ABC y el centro de homotecia es:
Q = (a^4/u : b^4/v : c^4/w),
es decir, el de P. (X(32) es el la elipse que es el del , Randy Hutson, October 15, 2018).

Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b están en una misma cónica si y solo si P está sobre la cúbica K108=pK(X32, X23), del catálogo de Bernard Gibert.

( Mostrar/Ocultar figura )

K108 contiene a los centros X_i, para i∈{3, 6, 23, 25, 111, 187, 1177, 2393, 2930, 3455, 8428, 10355, 13493, 22258, 22259, 38532, 38533}.
El tercer punto X de intersección de K108 con la recta X(3)X(8428) es su punto de intersección con su asintota.
X = ( a^2 (a^4 - b^4 + 4 b^2 c^2 - c^4)/(a^12 - 2 a^10 (b^2 + c^2) - a^8 (b^4 - 9 b^2 c^2 + c^4) + 4 a^6 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^4 (b^8 + 6 b^6 c^2 - 10 b^4 c^4 + 6 b^2 c^6 + c^8) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + (b^4 - c^4)^2 (b^4 - 3 b^2 c^2 + c^4) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-1.77616500557179, -0.185194723983688, 4.58864467800622).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,1560}, {2373,37778}.

Las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son concurrentes si y solo si P está en la cuártica conjugada isogonal de la circunferencia circunscrita al .
( Mostrar/Ocultar figura )

Esta cuártica está descrita en preámbulo de X(34178). Hyacinthos #29444 (Randy Hutson and Peter Moses, Aug 31, 2019). El punto de concurrencia Q, que es el X(32)-isoconjugado de P, queda sobre la elipse de centro X(159), del , y circunscrita a este triángulo.

Hyacinthos #29444

Aug 31, 2019

[Randy Hutson]:
The locus of the P-vertex conjugate of P, as P varies on the line at infinity is a curve that is the isogonal conjugate of the anticomplementary circle. The curve passes through the vertices of ABC and X(3446), X(3447), X(9217), and X(22259) (for P = X(513), X(523), X(512) and X(524), resp.). If ABC is acute, the curve is closed. If ABC is obtuse, it has as asymptotes the isogonal conjugates of the anticomplements of PU(4) (the circumcircle intercepts of the anticomplementary circle). Is this curve a cubic or higher degree curve? I could not find a match on Bernard's site.

[Peter Moses]:
c^6 x^2 y^2+b^2 c^2 (a^2+b^2+c^2) x^2 y z+a^2 c^2 (a^2+b^2+c^2) x y^2 z+b^6 x^2 z^2+a^2 b^2 (a^2+b^2+c^2) x y z^2+a^6 y^2 z^2 = 0
passes through ABC, tangential tiangle, X{3446,3447,9217,22259,34130}, circular points at infinity.
The quartic is not in Bernard's CTC.

[Randy Hutson]
Thank you, Peter!
I wonder if the triangle formed by the tangents to the quartic at the vertices of the tangential triangle has any interesting properties.

[Peter Moses]:
Hi Antreas & Randy,
The tangents form the Ara triangle / excentral of tangential triangle, see ETC X(5594).
Miércoles, 7 de octubre del 2020
Otra propiedad del centro del triángulo X(184)

Referencias de X(184) en ETC

• Inverse of the center of in the

• of of the circumcenter.

• HomothetIc center of and .

• Homothetic center of triangles ABC and A'B'C', the latter defined as follows: let B₁ and C₁ be the points where the perpendicular bisector BC meets sidelines CA and AB, and cyclically define C₂, A₂; A₃, B₃. Then A'B'C' is formed by the perpendicular bisectors of segments B₁C₁, C₂A₂, A₃B₃. (Fred Lang, Hyacinthos #1190, Aug 13, 2000).

• Homothety center of the orthic triangle and the medial triangle of the (Nikos Dergiades, Hyacinthos #5437, May 10, 2002).

• Common vertex of three triangles inside ABC, mutually congruent and similar to ABC. The triangles can be labeled XB_CC_B, XC_AA_C, XA_BB_A, with B_C and C_B on side BC, C_A and A_C on side CA, and A_B and B_A on side AB.(Alexei Myakishev, On the Procircumcenter and Related Points, Forum Geometricorum 3 (2003) 29-34.)

• Exsimilicenter of the circumcircle and . (Randy Hutson, December 14, 2014)

• Perspector of the tirangles A'B'C' and A"B"C". Being A'B'C' the intersections, other than X(3), of the X(3)-cevians and the Brocard circle, and A"B"C" the intersections, other than X(6), of the X(6)-cevians and the Brocard circle. (Randy Hutson, June 1, 2015)

• p∩q, where p is the isotomic conjugate of polar conjugate of Brocard axis (i.e., line X(3)X(49)), and q is the polar conjugate of isotomic conjugate of Brocard axis (i.e., line X(6)X(25)). (Randy Hutson, June 1, 2015) Let DEF be the orthic triangle. Let D' be the isotomic conjugate of X(4) wrt AEF, and define E' and F' cyclically; then the lines AD', BE', CF' concur in X(184). (Randy Hutson, June 1, 2015)

• Let DEF be the orthic triangle. Let D' be the isotomic conjugate of X(4) wrt AEF, and define E' and F' cyclically; then the lines AD', BE', CF' concur in X(184). (Randy Hutson, June 1, 2015)

Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X₃, ortocentro H=X₄, radio de su circunferencia circunscrita R y DEF, la circunferencia (BCH) vuelve a cortar a las tangentes en B y C a la circunferencia circunscrita en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente. Sea A'B'C' el triángulo formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b.
( Mostrar/Ocultar figura )

Los triángulos ABC y A'B'C' son homotéticos, con centro de homotecia X₁₈₄ y razón de homotecia (4R^2-OH^2)/R^2.

En coordenadas baricéntricas:
A_b = (a^2 (-a^2 + b^2 + c^2) : a^4 + c^4 - a^2 (b^2 + 2 c^2) : -c^2 (-a^2 + b^2 + c^2)),

A_c = (a^2 (-a^2 + b^2 + c^2) : -b^2 (-a^2 + b^2 + c^2) : a^4 + b^4 - a^2 (2 b^2 + c^2)),

A' = ((b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - a^2 (b^4 + b^2 c^2 + c^4) : b^4 (a^2 - b^2 + c^2) : c^4 (a^2 + b^2 - c^2)).

X₁₈₄ = (a^4 (a^2 - b^2 - c^2) : b^4 (-a^2 + b^2 - c^2) : c^4 (-a^2 - b^2 + c^2)).
Lunes, 5 de octubre del 2020
Centro de una circunferencia de Apolonio sobre la recta de Euler

El 5 de octubre de 1781 nació Bernard Bolzano, matemático, lógico, filósofo y teólogo checo. Se le conoce por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que esbozó como lema de otro trabajo en 1817, y décadas después desarrolló Karl Weierstrass.

Dado un triángulo ABC, sean su y A'B'C' el de X₂₅ (centro de homotecia de los triángulos y ).
Las circunferencias Γ_a= (A'M_bM_c),
( Ecuación baricéntrica:
c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z + (x + y + z) (-((2 a^2 b^2 c^2 x)/( a^4 + 2 a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)) - ( c^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4) y)/( 2 (a^4 + 2 a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4)) - ( b^2 (a^4 + 2 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4) z)/( 2 (a^4 + 2 a^2 b^2 + b^4 + 2 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4))) = 0)
Γ_b=(B'M_cM_a), Γ_c=(C'M_aM_b), son tangentes a la circunferencia circunscrita a ABC y su es X₅₀₂₀, centro de homotecia del triángulo medial y el tercer del circuncentro.
( Mostrar/Ocultar figura )

La recta A'X₅₀₂₀ vuelve a cortar a la circunferencia Γ_a en:
T_a = (-a^8 - 2 (b^2 - c^2)^4 - 3 a^6 (b^2 + c^2) + 3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + a^4 (3 b^4 - 14 b^2 c^2 + 3 c^4) : b^2 (-a^6 + a^4 (3 b^2 - 7 c^2) - 3 (b^2 - c^2)^3 + a^2 (b^4 + 2 b^2 c^2 - 3 c^4)) : -c^2 (a^6 + a^4 (7 b^2 - 3 c^2) - 3 (b^2 - c^2)^3 + a^2 (3 b^4 - 2 b^2 c^2 - c^4))).
Los puntos T_b y T_c se definen cíclicamente.
La circunferencia Γ= (T_aT_bT_c)
( 3 a^4 b^2 c^2 x^2 - 5 a^2 b^4 c^2 x^2 - 5 a^2 b^2 c^4 x^2 - a^6 c^2 x y - a^4 b^2 c^2 x y - a^2 b^4 c^2 x y - b^6 c^2 x y + a^4 c^4 x y + 12 a^2 b^2 c^4 x y + b^4 c^4 x y + a^2 c^6 x y + b^2 c^6 x y - c^8 x y - 5 a^4 b^2 c^2 y^2 + 3 a^2 b^4 c^2 y^2 - 5 a^2 b^2 c^4 y^2 - a^6 b^2 x z + a^4 b^4 x z + a^2 b^6 x z - b^8 x z - a^4 b^2 c^2 x z + 12 a^2 b^4 c^2 x z + b^6 c^2 x z - a^2 b^2 c^4 x z + b^4 c^4 x z - b^2 c^6 x z - a^8 y z + a^6 b^2 y z + a^4 b^4 y z - a^2 b^6 y z + a^6 c^2 y z + 12 a^4 b^2 c^2 y z - a^2 b^4 c^2 y z + a^4 c^4 y z - a^2 b^2 c^4 y z - a^2 c^6 y z - 5 a^4 b^2 c^2 z^2 - 5 a^2 b^4 c^2 z^2 + 3 a^2 b^2 c^4 z^2 = 0)
es una circunferencia de Apolonio de las tres circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c. Su radio es 2R(r^2+4rR+2R^2-s^2)/(8R^2-r^2-4rR+s^2) y su centro es

W = 12R^2 X₂ - ((r+2R)^2-s^2) X₃ =
( a^2(a^8 - 2 a^6 (b^2 + c^2)- 4 a^4 b^2 c^2 + 2 a^2 (b^6 + 7 b^4 c^2 + 7 b^2 c^4 + c^6)- (b^2 - c^2)^2 (b^4 + 10 b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.08085077722376, 1.20584151743502, 1.84545845727225).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {6,11793}, {54,6090}, {64,16836}, {68,19588}, {155,5050}, {182,17814}, {185,22112}, {389,17825}, {394,11426}, {498,16541}, {511,3527}, {569,3167}, {578,17811}, {1154,5644}, {1216,1351}, {1350,10110}, {1498,37515}, {1503,31521}, {2548,8573}, {3199,36751}, {3564,11487}, {3614,18954}, {3796,14530}, {3817,9911}, {3819,37498}, {3917,10982}, {3964,32828}, {5085,6759}, {5093,15067}, {5422,11444}, {5446,33878}, {5544,37489}, {5562,10601}, {5646,37480}, {5650,11424}, {5651,19357}, {5709,26938}, {5818,8192}, {5886,12410}, {5891,12164}, {5892,12163}, {5907,37514}, {5943,17834}, {6000,33537}, {7173,10833}, {7330,26928}, {7689,32620}, {7746,34809}, {7988,37557}, {8193,8227}, {9306,37476}, {9695,23275}, {9723,19418}, {9777,11412}, {9786,11695}, {9798,10175}, {9861,36519}, {9919,36518}, {10516,18381}, {10576,13889}, {10577,13943}, {10984,32063}, {11477,15606}, {11820,13474}, {11898,13292}, {12161,26206}, {12168,15059}, {12174,15058}, {12309,14852}, {12310,23515}, {12315,15030}, {12329,13374}, {13175,23514}, {13222,23513}, {13336,18451}, {13434,15066}, {13754,15805}, {14561,37491}, {14673,36520}, {14826,31804}, {15082,37497}, {16252,31267}, {18920,18925}, {23039,37493}, {32205,33533}, {37488,38317}, {37505,37672}.
Domingo, 4 de octubre del 2020
Una circunferencia de Apolonio

El 4 de octubre de 1917 nació Violeta Parra, cantante, poetisa, compositora, pintora, escultora y ceramista chilena. Fue la más importante folclorista de su país y es considerada fundadora de la música popular chilena. "Gracias a la vida"

Dado un triángulo ABC de incentro I=X₁ y circuncentro O=X₃, sea DEF el y el de éste. Una de las dos circunferencias tangentes a la circunferencia inscrita, que pasan por M_b y M_c tiene diámetro ID; el punto de tangencia D' de la otra, que se designa por Γ_a, es el segundo punto de intersección de la circunferencia inscrita y la recta D X₅₇.
( Ejes radicales concurrentes en el conjugado isogonal del punto intermedio
Antipodales del punto de Bevan y el centro X(57) )
Cíclicamente, se consideran las circunferencias Γ_b, Γ_c y sus puntos de tangencia E', F'.
La recta que une D' con el centro radical X₁₀₉₈₀, de las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c, vuelve a cortar a Γ_a en T_a. Los puntos T_b y T_c se definen cíclicamente.

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La circunferencia
( Ecuación baricéntrica:
a^5 x^2-3 a^4 b x^2+2 a^3 b^2 x^2+2 a^2 b^3 x^2-3 a b^4 x^2+b^5 x^2-3 a^4 c x^2+3 a^3 b c x^2+5 a^2 b^2 c x^2-7 a b^3 c x^2+2 b^4 c x^2+2 a^3 c^2 x^2+5 a^2 b c^2 x^2-4 a b^2 c^2 x^2-3 b^3 c^2 x^2+2 a^2 c^3 x^2-7 a b c^3 x^2-3 b^2 c^3 x^2-3 a c^4 x^2+2 b c^4 x^2+c^5 x^2+2 a^5 x y-6 a^4 b x y+4 a^3 b^2 x y+4 a^2 b^3 x y-6 a b^4 x y+2 b^5 x y-a^4 c x y-4 a^3 b c x y+10 a^2 b^2 c x y-4 a b^3 c x y-b^4 c x y-2 a^3 c^2 x y+2 a^2 b c^2 x y+2 a b^2 c^2 x y-2 b^3 c^2 x y+8 a b c^3 x y+c^5 x y+a^5 y^2-3 a^4 b y^2+2 a^3 b^2 y^2+2 a^2 b^3 y^2-3 a b^4 y^2+b^5 y^2+2 a^4 c y^2-7 a^3 b c y^2+5 a^2 b^2 c y^2+3 a b^3 c y^2-3 b^4 c y^2-3 a^3 c^2 y^2-4 a^2 b c^2 y^2+5 a b^2 c^2 y^2+2 b^3 c^2 y^2-3 a^2 c^3 y^2-7 a b c^3 y^2+2 b^2 c^3 y^2+2 a c^4 y^2-3 b c^4 y^2+c^5 y^2+2 a^5 x z-a^4 b x z-2 a^3 b^2 x z+b^5 x z-6 a^4 c x z-4 a^3 b c x z+2 a^2 b^2 c x z+8 a b^3 c x z+4 a^3 c^2 x z+10 a^2 b c^2 x z+2 a b^2 c^2 x z+4 a^2 c^3 x z-4 a b c^3 x z-2 b^2 c^3 x z-6 a c^4 x z-b c^4 x z+2 c^5 x z+a^5 y z-2 a^2 b^3 y z-a b^4 y z+2 b^5 y z+8 a^3 b c y z+2 a^2 b^2 c y z-4 a b^3 c y z-6 b^4 c y z+2 a^2 b c^2 y z+10 a b^2 c^2 y z+4 b^3 c^2 y z-2 a^2 c^3 y z-4 a b c^3 y z+4 b^2 c^3 y z-a c^4 y z-6 b c^4 y z+2 c^5 y z+a^5 z^2+2 a^4 b z^2-3 a^3 b^2 z^2-3 a^2 b^3 z^2+2 a b^4 z^2+b^5 z^2-3 a^4 c z^2-7 a^3 b c z^2-4 a^2 b^2 c z^2-7 a b^3 c z^2-3 b^4 c z^2+2 a^3 c^2 z^2+5 a^2 b c^2 z^2+5 a b^2 c^2 z^2+2 b^3 c^2 z^2+2 a^2 c^3 z^2+3 a b c^3 z^2+2 b^2 c^3 z^2-3 a c^4 z^2-3 b c^4 z^2+c^5 z^2 = 0)
() toca a las tres circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c, permaneciendo en el interior de ellas. Su radio es (2r(r+2R))/(r+12R) y su centro es W = (5r+12R) I - 4r O.

W = ( a (a^3 - 5 a^2 (b + c) - a (b^2 + 14 b c + c^2) + 5 (b - c)^2 (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.31065860192754, 1.37682165635177, 2.08256090354352).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,3}, {5,30291}, {7,6744}, {10,11038}, {84,24645}, {145,4900}, {169,16667}, {515,3296}, {516,5586}, {518,4866}, {519,11024}, {553,18217}, {938,5290}, {950,4355}, {1056,17706}, {1071,3062}, {1125,31446}, {1698,3475}, {1699,9799}, {3243,3812}, {3616,18249}, {3671,9800}, {3730,16673}, {3742,11523}, {3868,10582}, {3874,5223}, {3881,9623}, {3889,4853}, {3892,12629}, {3894,5506}, {3945,10521}, {3982,5225}, {4208,38054}, {4293,11034}, {4297,15933}, {4314,21454}, {4334,15658}, {4539,16856}, {4666,12526}, {4864,9340}, {4902,24851}, {4915,34791}, {5129,5850}, {5439,8580}, {5493,8236}, {5587,38041}, {5603,9948}, {5726,5818}, {5787,38036}, {5883,6765}, {5904,30393}, {6738,11037}, {7989,13407}, {7992,24644}, {8583,11520}, {9614,11551}, {9624,16137}, {9851,12675}, {10122,18219}, {10399,30326}, {10404,37723}, {11019,11036}, {11025,12560}, {11522,21628}, {12563,14986}, {17151,35633}, {17728,34595}, {20116,30330}, {24391,38053}, {24473,31435}, {31145,37717}.
Sábado, 3 de octubre del 2020
El centro X(10980) como centro radical

A Silvia en su 50 aniversario

Dado un triángulo ABC sean, respectivamente, DEF, y los triángulos de , , y de DEF.
La recta DH_a vuelve a cortar a la circunferencia inscrita en D'. La circunferencia Γ_a,
( Ecuación baricéntrica de Γ_a:
2 a^6 x^2-7 a^5 b x^2+9 a^4 b^2 x^2-6 a^3 b^3 x^2+4 a^2 b^4 x^2-3 a b^5 x^2+b^6 x^2-7 a^5 c x^2+14 a^4 b c x^2-6 a^3 b^2 c x^2-4 a^2 b^3 c x^2+5 a b^4 c x^2-2 b^5 c x^2+9 a^4 c^2 x^2-6 a^3 b c^2 x^2-2 a b^3 c^2 x^2-b^4 c^2 x^2-6 a^3 c^3 x^2-4 a^2 b c^3 x^2-2 a b^2 c^3 x^2+4 b^3 c^3 x^2+4 a^2 c^4 x^2+5 a b c^4 x^2-b^2 c^4 x^2-3 a c^5 x^2-2 b c^5 x^2+c^6 x^2+5 a^6 x y-18 a^5 b x y+23 a^4 b^2 x y-12 a^3 b^3 x y+3 a^2 b^4 x y-2 a b^5 x y+b^6 x y-6 a^5 c x y+6 a^4 b c x y+4 a^3 b^2 c x y-4 a^2 b^3 c x y+2 a b^4 c x y-2 b^5 c x y-a^4 c^2 x y+4 a^3 b c^2 x y-6 a^2 b^2 c^2 x y+4 a b^3 c^2 x y-b^4 c^2 x y+4 a^3 c^3 x y+12 a^2 b c^3 x y-4 a b^2 c^3 x y+4 b^3 c^3 x y-5 a^2 c^4 x y-2 a b c^4 x y-b^2 c^4 x y+2 a c^5 x y-2 b c^5 x y+c^6 x y+3 a^6 y^2-11 a^5 b y^2+14 a^4 b^2 y^2-6 a^3 b^3 y^2-a^2 b^4 y^2+a b^5 y^2+a^5 c y^2-8 a^4 b c y^2+10 a^3 b^2 c y^2-3 a b^4 c y^2-6 a^4 c^2 y^2-2 a^3 b c^2 y^2+6 a^2 b^2 c^2 y^2+2 a b^3 c^2 y^2-2 a^3 c^3 y^2-8 a^2 b c^3 y^2+2 a b^2 c^3 y^2+3 a^2 c^4 y^2-3 a b c^4 y^2+a c^5 y^2+5 a^6 x z-6 a^5 b x z-a^4 b^2 x z+4 a^3 b^3 x z-5 a^2 b^4 x z+2 a b^5 x z+b^6 x z-18 a^5 c x z+6 a^4 b c x z+4 a^3 b^2 c x z+12 a^2 b^3 c x z-2 a b^4 c x z-2 b^5 c x z+23 a^4 c^2 x z+4 a^3 b c^2 x z-6 a^2 b^2 c^2 x z-4 a b^3 c^2 x z-b^4 c^2 x z-12 a^3 c^3 x z-4 a^2 b c^3 x z+4 a b^2 c^3 x z+4 b^3 c^3 x z+3 a^2 c^4 x z+2 a b c^4 x z-b^2 c^4 x z-2 a c^5 x z-2 b c^5 x z+c^6 x z+2 a^6 y z+2 a^5 b y z-4 a^4 b^2 y z-4 a^3 b^3 y z+2 a^2 b^4 y z+2 a b^5 y z+2 a^5 c y z+8 a^4 b c y z+4 a^3 b^2 c y z-8 a^2 b^3 c y z-6 a b^4 c y z-4 a^4 c^2 y z+4 a^3 b c^2 y z+12 a^2 b^2 c^2 y z+4 a b^3 c^2 y z-4 a^3 c^3 y z-8 a^2 b c^3 y z+4 a b^2 c^3 y z+2 a^2 c^4 y z-6 a b c^4 y z+2 a c^5 y z+3 a^6 z^2+a^5 b z^2-6 a^4 b^2 z^2-2 a^3 b^3 z^2+3 a^2 b^4 z^2+a b^5 z^2-11 a^5 c z^2-8 a^4 b c z^2-2 a^3 b^2 c z^2-8 a^2 b^3 c z^2-3 a b^4 c z^2+14 a^4 c^2 z^2+10 a^3 b c^2 z^2+6 a^2 b^2 c^2 z^2+2 a b^3 c^2 z^2-6 a^3 c^3 z^2+2 a b^2 c^3 z^2-a^2 c^4 z^2-3 a b c^4 z^2+a c^5 z^2 = 0)
que pasa por D', M_b, M_c, es tangente a la circunferencia inscrita en D'. Las circunferencias Γ_b y Γ_c son construidas cíclicamente.
El de las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c es X(10980).

( Mostrar/Ocultar figura )

En coordenadas baricéntricas:
D' = (-4 a^2 (a + b - c) (a - b + c) : (a - b - c) (a + b - c)^3 : (a - b - c) (a - b + c)^3).
Miércoles, 30 de septiembre del 2020
Dos triángulos ortológicos

El 30 de septiembre de 1894 nació Dirk J. Struik, matemático, historiador de las matemáticas y teórico marxista holandés, que pasó la mayor parte de su vida en los Estados Unidos. Su tesis doctoral versó sobre "La aplicación de los métodos tensoriales a las variedades de Riemann". En 1950 publicó "Geometría Diferencial Clásica, que ha sido un libro utilizado por los estudiantes de Matemáticas. Otra obra importante de Struik es "Una historia sucinta de las Matemáticas".

Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X₃, ortocentro H=X₄ y DEF, la recta paralela a BC por A vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita en A' y la recta A'D la corta en A". Sea D' el punto de intersección de las rectas AD y OA".
La circunferencia de centro D' y que pasa por A" es tangente (Nguyen Dang Khoa) a las circunferencias (ABH) y (ACH) en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos B_c, B_a, C_a y C_b son definidos cíclicamente.
Las tangentes comunes en A_b y A_c a las tangentes consideradas, se cortan sobre AH, en A₁. Los puntos B₁ y C₁ son definidos cíclicamente.
( Mostrar/Ocultar figura )

Los triángulos ABC y son . El centro ortológico de ABC respecto a es U = (32 r^2 R^2 s^2) X₃ + (r^2+4 r R-s^2)^3 .

U = ( (b^2+c^2-a^2)^2 (a^6+a^4 (b^2+c^2)-a^2 (b^4-10 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (5.45484899922424, 0.442131946456559, 0.816950519334037).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,69}, {4,305}, {76,6803}, {325,3088}, {631,34254}, {1007,7404}, {1204,4175}, {1595,32816}, {1975,7487}, {3266,6816}, {3525,37804}, {4121,26937}, {4176,5562}, {6340,11585}, {6515,32973}, {6643,19583}, {6756,32815}, {6815,8024}, {7401,28706}, {7738,28728}, {7819,18928}, {11413,13575}, {11433,14001}, {14786,34803}, {16043,36212}, {28406,37669}, {32006,34938}, {32820,37460}, {32824,37458}.

En coordenadas baricéntricas:
A_b = (a^4-(b^2-c^2)^2 : 2 (a^2+b^2-c^2) (a^2+c^2) : 2 c^2 (a^2-b^2+c^2)),

A_c = (-a^4+(b^2-c^2)^2 : -2 b^2 (a^2+b^2-c^2) : -2 (a^2+b^2) (a^2-b^2+c^2)),

A₁ = (a^6 - a^2 (b^2 - c^2)^2 + a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) : 4 b^2 c^2 (a^2 + b^2 - c^2) : 4 b^2 c^2 (a^2 - b^2 + c^2)).
Domingo, 27 de septiembre del 2020
El centro del triángulo X(24929) como centro radical

El 27 de septiembre de 1972 murió Ramamrita Ranganathan, matemático y bibliotecario indio. Fue el creador de una de las más destacadas clasificaciones bibliotecarias, la clasificación "colonada".

Dado un triángulo ABC, sea DEF el . Consideremos el triángulo A'B'C' formado por la recta que unen los puntos medios A_b de AE y A_c de AF, la recta que unen los puntos medios B_c de BF y B_a de BD, y la recta que unen los puntos medios C_a de CD y C_b de CE.
El triángulo A'B'C' es el triángulo medio del y el , y se conoce como triángulo Ascella (Referencia: Preámbulo antes de X(8726)).
El centro radical de las circunferencias (A'B_aC_a), (B'C_bA_b), (C'A_cB_c) es X(24929).

( Mostrar/Ocultar figura )

La ecuación baricéntrica de la circunferencia (A'B_aC_a) es:
𝔖_{_{abc xyz}} (a^3-a (5 b^2+6 b c+5 c^2)+4 (b-c)^2 (b+c))x^2 + 2 a (5 a^2-(b-c)^2)y z = 0.

X₂₄₉₂₉ = (a (2 a^3-a^2 (b+c)-2 a (b^2+b c+c^2)+(b-c)^2 (b+c)) : ... :...).

El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en A'B'C' es X₃₈₃₉₉.
Viernes, 25 de septiembre del 2020
El centro del triángulo X(6340) como centro de perspectividad

El 25 de septiembre de 1819 nació George Salmon, matemático y teólogo irlandés. Descubrió, junto con Cayley, las 27 líneas de la superficie cúbica. Salmon realizó, entre otros, trabajos sobre la geometría del triángulo, sobre el método de las polares recíprocas y sobre las transformaciones cuadráticas. Trató de asegurarse de que el Trinity College fuera una institución inaccesible para las mujeres. Cuenta la leyenda que Salmon murió de un infarto cuando vio a la primera mujer entrar en su adorada universidad. Se dice que todas las mujeres que se gradúan en el Trinity College, restriegan (literalmente) su título por la cara de dicha estatua.

Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X₄, sean y DEF sus triángulos y , respectivamente.
La circunferencia que pasa por E, F, H (su centro es A) vuelve a cortar a las rectas EM_a y FM_a en A_b y A_c, respectivamente. Sea A' el punto de intersección de las rectas EA_c y FA_b. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Las rectas A'D, B'E, C'F concurren en X₆₂₄₀, del triángulo circunórtico respecto al .

( Mostrar/Ocultar figura )

En coordenadas baricéntricas,
A_b = ( (a^2 + b^2 - c^2) (3 a^6 - a^2 (b^2 - c^2)^2 - 4 a^4 (b^2 + c^2) + 2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) (a^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + 2 c^2)) : -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (a^8 + a^6 (b^2 - 4 c^2) - 2 a^4 (2 b^4 + b^2 c^2 - 3 c^4) + (b^4 - c^4)^2 + a^2 (b^6 + 2 b^4 c^2 + b^2 c^4 - 4 c^6)) : -(a^2 - b^2 - c^2) (4 a^10 - (b^2 - c^2)^3 (b^2 + c^2)^2 - a^8 (8 b^2 + 15 c^2) - a^2 (b^2 + 3 c^2) (b^3 - b c^2)^2 + a^6 (b^4 + 11 b^2 c^2 + 20 c^4) + a^4 (5 b^6 + 4 b^4 c^2 + b^2 c^4 - 10 c^6))),

A_c = ({(a^2 - b^2 + c^2) (3 a^6 - a^2 (b^2 - c^2)^2 - 4 a^4 (b^2 + c^2) + 2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) (a^4 + b^4 - b^2 c^2 - a^2 (2 b^2 + c^2)) : -(a^2 - b^2 - c^2) (4 a^10 + (b^2 - c^2)^3 (b^2 + c^2)^2 - a^8 (15 b^2 + 8 c^2) - a^2 (3 b^2 + c^2) (-b^2 c + c^3)^2 + a^6 (20 b^4 + 11 b^2 c^2 + c^4) + a^4 (-10 b^6 + b^4 c^2 + 4 b^2 c^4 + 5 c^6)) : -(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^8 + a^6 (-4 b^2 + c^2) + a^4 (6 b^4 - 2 b^2 c^2 - 4 c^4) + (b^4 - c^4)^2 + a^2 (-4 b^6 + b^4 c^2 + 2 b^2 c^4 + c^6))),

A' = (-3 a^10 + 4 a^6 (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 - c^2)^4 + 4 a^8 (b^2 + c^2) - 6 a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 2 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) : 2 a^10 + 2 a^2 (b^2 - c^2)^3 (2 b^2 + c^2) - a^8 (b^2 + 7 c^2) - (b^2 - c^2)^3 (3 b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4) + a^6 (-6 b^4 + 6 b^2 c^2 + 8 c^4) + a^4 (4 b^6 + 6 b^4 c^2 - 8 b^2 c^4 - 2 c^6) : 2 a^10 - a^8 (7 b^2 + c^2) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^3 (b^2 + 2 c^2) + a^6 (8 b^4 + 6 b^2 c^2 - 6 c^4) + (b^2 - c^2)^3 (b^4 + 4 b^2 c^2 + 3 c^4) - 2 a^4 (b^6 + 4 b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 - 2 c^6)).
Las rectas A'D, B'E, C'F concurren en:
X₆₂₄₀ = ((2 a^6 - 3 a^4 (b^2 + c^2) + 2 a^2 b^2 c^2 + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2))/(a^2 - b^2 - c^2) : ... : ...).
Jueves, 24 de septiembre del 2020
Una propiedad del centro del triángulo X(37593)

El 24 de septiembre de 1905 nació Severo Ochoa de Albornoz, médico y científico español, nacionalizado estadounidense en 1956, renunciando a la nacionalidad española, que no quiso recuperar ni siquiera tras el final de la dictadura franquista. En 1959 fue galardonado con el Premio Nobel de Fisiología o Medicina, junto al estadounidense Arthur Kornberg.

Dado un triángulo ABC, sea DEF el . La circunferencia (AEF) vuelve a cortar en A_c a la circunferencia centrada en C, que pasa por D y E, y en A_b a la circunferencia centrada en B y que pasa por D y F. Sea A' el centro de la circunferencia (DA_bA_c). Se definen los puntos B' y C' cíclicamente.

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El punto fijo finito de la transformación afín que aplica ABC en A'B'C' es X₃₇₅₉₃.
En coordenadas baricéntricas,
A_b = ((a + b - c) (3 a + b + c) : (a + b - c) (a + 3 b - c) : 2 (a + 3 b - c) c),
A_c = ((a - b + c) (3 a + b + c) : -2 b (-a + b - 3 c) : (a - b + c) (a - b + 3 c)),
A' = (a : a + 2 b - c : a - b + 2 c).
La matriz M asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente)
M[1,1] = a (a + 3 b + c) (a + b + 3 c),
M[1,2] = (a+b+ 3 c) (6 a^2 + 5 a b + b^2 - a c - c^2),
M[1,3] = (a + 3 b + c) (6 a^2 - a b - b^2 + 5 a c + c^2).
Su punto fijo propio, correspondiente al valor propio λ=-(3 a + b + c) (a + 3 b + c) (a + b + 3 c), es:
X₃₇₅₉₃ = (a (b + c) (3 a + b + c) : b (a + c) (a + 3 b + c) : c (a + b) (a + b + 3 c)).

Como la circunferencia (DA_bA_c) es tangente a BC, los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos, con centro de ortologia de A'B'C' respecto a ABC el incentro. El centro de ortología de ABC respecto a A'B'C' es X₃₆₁₆, centro de perspectividad de ABC y el triángulo homotético al triángulo medial, mediante la homotecia de centro el incentro y razón 1/2.
Viernes, 18 de septiembre del 2020
La cuártica conjugada isogonal de la elipse inscrita de Steiner

El 18 de septiembre de 2012 fallece en Madrid, a los 97 años, el que fuera secretario general del Partido Comunista de España (PCE) desde 1960 hasta 1982, Santago Carrillo, sucediendo en el cargo a Dolores Ibárruri, la "Pasionaria".

Dados un triángulo ABC y dos puntos P y U, sean DEF, y los triángulos de U y de P respecto a ABC y respecto a , respectivamente.
Las rectas BA₂ y CA₂ vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en B_a y C_a, respectivamente.
Sea ℓ_a la recta que pasa por los puntos D_b=DB_a∩CA₂ y D_c=DC_a∩BA₂. Se definen cíclicamente las rectas ℓ_b y ℓ_c. A'B'C' es el triángulo formado por las rectas ℓ_a, ℓ_b y ℓ_c.
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Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos.
Si, en coordenadas baricéntricas, P=(p:q:r) y U=(u:v:w),
B_a = ( 2 p (2 c^2 p + a^2 r) : -2 b^2 p r : r (2 c^2 p + a^2 r)),
C_a = (2 p (2 b^2 p + a^2 q) : q (2 b^2 p + a^2 q) : -2 c^2 p q)
y el punto de concurrencia de las rectas AA', BB', CC' es:
W(P,U) = (p^2/(a^2 v w (q r u^2 + 4 p^2 v w) + 2 p u^2 (c^2 v + b^2 w) (r v + q w)) : ... : ...).

UN CASO PARTICULAR (AoPS)

Si P=H=X₄ es el ortocentro y U=K=X₆ es el ,
W(H,K) = ( 1/((b^2 + c^2 - a^2) (a^8 - 6 a^6 (b^2 + c^2) + a^4 (9 b^4 + 6 b^2 c^2 + 9 c^4) - 4 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 4 b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-5.78265796589107, -7.94747086050246, 11.8116787542050).
Está sobre la circun-hipérbola rectangular que pasa por el centro de la . No existen rectas determinadas por puntos de ETC que lo contengan.
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CUANDO P=U,

W(U,U) = (u/(4u(c^2v+b^2w)+5a^2v w ) : ... : ...).
Pares {U=X_i, W(U,U)=X_j}, para {i,j} : {6, 6}, {98, 34536}, {99, 34537}, {100, 1016}, {101, 1252}, {105, 6185}, {106, 2226}, {107, 34538}, {108, 23984}, {109, 1262}, {110, 249}, {111, 10630}, {112, 23964}, {691, 34539}, {934, 23586}, {2222, 23592}.

El lugar geométrico de W(U,U), cuando U se mueve sobre la circunferencia circunscrita, es la cuártica conjugada isogonal de la .

En comunicación personal, Bernard Gibert, observa que W(U,U) es el de U y h_1/13,X₂(U*).
Domingo, 6 de septiembre del 2020
Un punto sobre la recta de Euler con una propiedad de unicidad

El 6 de septiembre de 1492, partió Cristóbal Colón de la isla de La Gomera (islas Canarias) hacia las Indias, llegando el 12 de octubre a tierra firme.

Dados un triángulo ABC, de circuncentro O=X₃, sean A', B', C' las reflexiones de A, B, C en O, respectivamente. Si DEF el de un punto P, sean A" es la reflexion de A' en D, B" es la reflexion de B' en E y C" es la reflexion de C' en F. Entonces: ABC y A"B"C" son inversamente semejantes.
Cuando P=O, los puntos A", B" y C" coinciden con el ortocentro H=X₄.
Sea A'''B'''C''' el triángulo reflexión de A"B"C" en la ; ABC y A'''B'''C''' son directamente semejantes.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P en la referencia ABC,
A' = (-a^4 + (b^2 - c^2)^2 : -2 b^2 (-a^2 + b^2 - c^2) : -2 c^2 (-a^2 - b^2 + c^2)),

A" = (a^2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (u + v + w) : -(b^2 - c^2)^3 u - a^6 (u + 2 v) + a^2 (b^2 - c^2) (c^2 (3 u + 2 v) + b^2 (3 u + 2 w)) + a^4 (c^2 (3 u + 4 v) - b^2 (u - 2 v + 2 w)) : (b^2 - c^2)^3 u - a^6 (u + 2 w) - a^2 (b^2 - c^2) (c^2 (3 u + 2 v) + b^2 (3 u + 2 w)) + a^4 (-c^2 (u + 2 v - 2 w) + b^2 (3 u + 4 w))),

A''' =((b^2 - c^2)^6 u + a^12 (u + v + w) - 2 a^2 (b^2 - c^2)^4 (c^2 (u + v) + b^2 (u + w)) - a^10 (b^2 (u + 3 v - w) + c^2 (u - v + 3 w)) + a^6 (b^2 - c^2) (c^4 (-7 u - 5 v + w) + 2 b^2 c^2 (-v + w) + b^4 (7 u - v + 5 w)) - a^4 (b^2 - c^2)^2 (2 c^4 (u - v) + 2 b^4 (u - w) + b^2 c^2 (5 u + 3 (v + w))) + a^8 (b^4 (-4 u + 3 v - 7 w) + c^4 (-4 u - 7 v + 3 w) + b^2 c^2 (9 u + 5 (v + w))) :
-b^2 (b^2 - c^2)^5 u - a^12 (u + 2 w) + a^2 (b^2 - c^2)^3 (c^4 (2 u + v + w) + b^2 c^2 (4 u + 3 v + w) + b^4 (3 u + 2 w)) - a^4 (b^2 - c^2) (-4 b^4 c^2 (u + v + w) + c^6 (7 u + 4 v + 2 w) + b^6 (2 u - v + 3 w) - b^2 c^4 (3 u + v + 3 w)) + a^10 (b^2 (2 u - v + 3 w) + c^2 (2 u - v + 7 w)) + a^8 (2 c^4 (u + 2 v - 4 w) + b^4 (3 v + w) - b^2 c^2 (7 u + 3 v + 7 w)) - a^6 (2 c^6 (4 u + 3 v - w) + b^6 (u + 3 v + w) - b^2 c^4 (12 u + 9 v + 7 w) + b^4 c^2 (u + 2 (v + w))) :
c^2 (b^2 - c^2)^5 u - a^12 (u + 2 v) + a^10 (c^2 (2 u + 3 v - w) + b^2 (2 u + 7 v - w)) - a^2 (b^2 - c^2)^3 (c^4 (3 u + 2 v) + b^4 (2 u + v + w) + b^2 c^2 (4 u + v + 3 w)) + a^8 (2 b^4 (u - 4 v + 2 w) + c^4 (v + 3 w) - b^2 c^2 (7 u + 7 v + 3 w)) + a^4 (b^2 - c^2) (c^6 (2 u + 3 v - w) - 4 b^2 c^4 (u + v + w) - b^4 c^2 (3 u + 3 v + w) + b^6 (7 u + 2 v + 4 w)) - a^6 (c^6 (u + v + 3 w) + b^6 (8 u - 2 v + 6 w) - b^4 c^2 (12 u + 7 v + 9 w) + b^2 c^4 (u + 2 (v + w)))).

El único punto sobre la recta de Euler para el cual los triángulos ABC y A'''B'''C''' son semejantes y perspectivos es:

W = ( (b^2+c^2-a^2)( 4 a^14 - 8 a^12 (b^2 + c^2) - 2 a^10 (b^4 - 14 b^2 c^2 + c^4) + a^8 (9 b^6 - 17 b^4 c^2 - 17 b^2 c^4 + 9 c^6) + 4 a^6 (b^8 - 7 b^6 c^2 + 13 b^4 c^4 - 7 b^2 c^6 + c^8) - 10 a^4 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^2 - c^2)^4 (b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4) + (b^2 - c^2)^6 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (16.1313116550609, 15.2192369247069, -14.3409510759947).
Es el punto de intersección de la recta de Euler con la recta que pasa por X₁₆₁₆₃ (punto medio del y del foco de la ) y X₁₆₁₈₆.

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Los triángulos ABC y A'''B'''C''' son perspectivos y no homotéticos si y solo si P está sobre la recta ℓ de ecuación:
ℓ: (a^12 - a^10 (b^2 + c^2) + a^8 (-4 b^4 + 5 b^2 c^2 - 4 c^4)+ a^6 (6 b^6 - 2 b^4 c^2 - 2 b^2 c^4 + 6 c^6) + a^4 (b^8 - 12 b^6 c^2 + 18 b^4 c^4 - 12 b^2 c^6 + c^8) - 5 a^2 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^4 (2 b^4 + 3 b^2 c^2 + 2 c^4) )x + ... = 0,
que pasa por X₁₆₁₁₁ (punto medio del punto de De Longchamps y X₇₄, conjugaado isogonal del punto del infinito de la recta de Euler) y corta a la recta de Euler en W.

Cuando P está sobre la recta de Euler, el centro de semejanza de ABC y A'''B'''C''' es X₃₂₇₁₀ (punto donde la recta que pasa por el ortocentro y el vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita: "circumcircle-X(4)-antipode of X(476)"). X₃₂₇₁₀ queda sobre las circunferencias circunscritas a ABC y a A'''B'''C''', y sobre la circunferencia (X₃X₄X₁₁₀), lugar geométrico del centro de semejanza de ABC y A'''B'''C''', cuando P se mueve sobre la recta de Euler.

Cuando P=W, los triángulos ABC y A'''B'''C''' son además perspectivos y el centro de perspectividad es X₁₃₀₀, punto donde la recta que pasa por el ortocentro y el foco de la parábola de Kierpet, vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC.

Cuando P=X₁₆₁₁₁, el centro de perspectividad de los triángulos ABC y A'''B'''C''' es X₄₇₇, antipodal del punto de Tixier en la circunferencia circunscrita a ABC.

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Viernes, 4 de septiembre del 2020
Punto de tangencia de dos circunferencias de Apolonio

El 4 de septiembre de 1870 el político Léon Gambetta, líder de la oposición republicana en la Asamblea Nacional francesa, proclamó la Tercera República en París, al quedar el país sin jefe de Estado al aceptar Napoleón III la capitulación ante los jefes militares prusianos el 2 de septiembre de 1870, y quedando prisionero de guerra junto con varios miles de sus soldados. Léon Gambetta había concurrido, en 1869, a las elecciones generales y elaboró un programa radical, conocido como el «Programa de Belleville»: defendía el sufragio universal, la supresión de los títulos nobiliarios, la elección de los funcionarios, la supresión de los ejércitos permanentes, la separación Iglesia-Estado, la abolición de los monopolios, y numerosas reformas económicas y sociales.

X(8951) = 1st Moses-Apollonian Point

Let A' be the point in which the A-excircle Γ_a is tangent to the circle (O_a) that passes through vertices B and C, and define B' and C', (O_b) and (O_c) cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(5423). Let Γ be the outer Apollonian circle of (O_a), (O_b), (O_c), and let A'' be the touch-point of (O_a) and Γ. Define B'' and C'' cyclically. The center of the circumcircle of A''B''C'' is X(8951). The circumcircle of A''B''C'' tangent to the Apollonius circle γ of the excircles at X(3030). (Peter Moses, December 10, 2015).

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Sea t_a la tangente común a las circunferencias Γ_a y (O_a) y se definen cíclicamente las tangentes t_b y t_c; UVW es el triángulo formado por las rectas t_a, t_b y t_c.

En coordenadas baricéntricas:
A' = (-4 a^2 (a + b - c) (a - b + c) : (a - b + c)^3 (a + b + c) : (a + b - c)^3 (a + b + c)),

A" = (4 a^2 (a^2-6 a b+b^2-c^2) (a^2-b^2-6 a c+c^2) : (-a-b-c) (a^2-6 a b+b^2-c^2) (a^3-9 a^2 b-a b^2+b^3+3 a^2 c-2 a b c-b^2 c+3 a c^2-b c^2+c^3) : (-a-b-c) (a^2-b^2-6 a c+c^2) (a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3-9 a^2 c-2 a b c-b^2 c-a c^2-b c^2+c^3)),

U = ( a^5 + a^4 (b + c) - 2 a^3 (b + c)^2 + (b + c)^5 + a (b + c)^2 (b^2 - 14 b c + c^2) - 2 a^2 (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3) : -2 b (-a^4 + 4 a^2 b c - 2 a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 + 2 a (b^3 - 5 b^2 c + 3 b c^2 + c^3)) : -2 c (-a^4 + 4 a^2 b c - 2 a^3 (b + c) + (b^2 - c^2)^2 + 2 a (b^3 + 3 b^2 c - 5 b c^2 + c^3)))

t_a: (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) x + 2 a (a + b - c)^2 y + 2 a (a - b + c)^2 z =0.

Los triángulos ABC y UVW son perspectivos, con centro de perspectividad:

Z = ( a (b + c - a)/(a^3 + a^2 (b + c) - a (b^2 - 6 b c + c^2) - (b + c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.28184884981979, 4.44262838116892, -0.488162328049391).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1, 1696}, {6, 7091}, {7, 2999}, {44, 7285}, {84, 1743}, {90, 3973}, {2324, 3680}, {3731, 7160}, {5962, 11459}, {6204, 22380}, {7070, 33590}, {7655, 35355}, {8809, 14557}, {9372, 18594}, {15257, 33405}.
Miércoles, 2 de septiembre del 2020
Conjugado isogonal del punto Bevan-Schröder

El 2 de septiembre de 1865 falleció, a los 60 años de edad, William Rowan Hamilton, matemático, físico, y astrónomo irlandés. Su descubrimiento del cuaternión y sus trabajos en dinámica son los hechos más conocidos Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Vocablo fue propuesto por su creador William Rowan Hamilton.
La mecánica hamiltoniana fue formulada en 1833 por William R. Hamilton. Como la mecánica lagrangiana, es una reformulación de la mecánica clásica. La mecánica hamiltoniana puede ser formulada por sí misma, usando los espacios simplécticos

Bevan point and center X(1319)

X(1320) = isogonal conjugate of X(1319)

Let X'Y'Z' be the pedal triangle of the Bevan point, W = X(40); then X(1319) is the point, other than W, in which the circles AWX', BWY', CWZ' concur. (Floor van Lamoen, Hyacinthos #6321, 6352). ( Mostrar/Ocultar figura )

X(1320) = Kirikami concurrent circles image of X(1)

Let P be a point in the plane of triangle ABC. Let H_a be the orthocenter of triangle PBC, and define H_b and H_c cyclically. Let (O_a) be the circle of the points A, H_b, H_c, and define (O_b) and (O_c) cyclically. The circles (O_A, O_B, O_C concur in a point Q, the Kirikami concurrent circles image of P.

Dado un triángulo ABC de incentro I=X₁, sea DEF el y H_a el ortocentro del triángulo IBC. La circunferencia de diámetro AI vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en A₁.
Sea t_a la tangente a la circunferencia (DH_aA₁) en H_a. Se definen cíclicamente las tangentes t_b y t_c

( Mostrar/Ocultar figura )

Las rectas t_a, t_b, t_c concuren en X₁₃₂₀.

En coordenadas baricéntricas en la referencia ABC:
H_a = (a : c-a : b-a),

A₁ = (a^2 (a + b - c) (a - b + c) : b (b - c) (a + b - c) (-a + b + c) : (a - b - c) (b - c) c (a - b + c)),

t_a: (b - c) (-2 a + b + c) x + a (a - 2 b + c) y - a (a + b - 2 c) z = 0.

t_a∩t_b∩t_c = X₁₃₂₀ = (a (b + c - a)/ (b + c - 2a):..:...).
Lunes, 31 de agosto del 2020
Isocúbica no pivotal y 'perspeconic'

El 31 de agosto de 1879 nació Alma Mahler-Werfel, compositora y editora musical austríaca. Alma tuvo una serie de flirteos, entre ellos uno con Klimt, que motivó a éste la creación de su cuadro "El beso". Alma estuvo casada con el compositor Gustav Mahler, su adagietto de la Sinfonía nº 5, su segundo tema de la Sexta, se dice que son retratos musicales de Alma.

Preamble just before X(15254) (César Eliud Lozada, November 14, 2017)

Let ABC and A'B'C' be two perspective triangles such that neither is inscribed in the other. Let A_b = BC∩A'B', A_c = BC∩A'C', and likewise for B_c, B_a, C_a, and C_b. As ABC and A'B'C' are perspective, the pairs of lines {BC, B'C'}, {CA, C'A'} and {AB, A'B'} concur at three collinear points, and the lines A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b join opposite vertices of an hexagon. By Pascal's theorem, the six points lie on a conic, here named the perspeconic of ABC and A'B'C'.

Preamble just before X(34807) (Contributed by Clark Kimberling and Peter Moses, November 18, 2019)

The perspeconic of ABC and the circumcevian triangle of a point P = u : v : w (barycentrics) is given by
a^2 v^2 w^2 (c^2 v+b^2 w) x^2-u v w (2 b^2 c^2 u^2+a^2 c^2 u v+a^2 b^2 u w+a^4 v w) y z + (cyclic) = 0,
center = u (2 b^2 c^2 u v+2 a^2 c^2 v^2+2 b^2 c^2 u w-a^4 v w+a^2 b^2 v w+a^2 c^2 v w+2 a^2 b^2 w^2) : :
perspector = u (2 b^2 c^2 u+2 a^2 c^2 v+a^2 b^2 w) (2 b^2 c^2 u+a^2 c^2 v+2 a^2 b^2 w) : :
If P lies inside ABC, the conic is an ellipse; otherwise, a hyperbola. As a degenerate case, if P lies on the circumcircle, then the conic is the line tangent to the circumcircle at P. If P is on the line X(187)X(237), the conic consists of two lines that pass through X(6).

Dado un triángulo ABC, sean DEF el de un punto P, no situado sobre la circunferencia circunscrita, y C(P)
( Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
-a^2 c^2 v^3 w^2 x^2-a^2 b^2 v^2 w^3 x^2+c^4 u^2 v^2 w x y+b^2 c^2 u^2 v w^2 x y+a^2 c^2 u v^2 w^2 x y+2 a^2 b^2 u v w^3 x y-b^2 c^2 u^3 w^2 y^2-a^2 b^2 u^2 w^3 y^2+b^2 c^2 u^2 v^2 w x z+2 a^2 c^2 u v^3 w x z+b^4 u^2 v w^2 x z+a^2 b^2 u v^2 w^2 x z+2 b^2 c^2 u^3 v w y z+a^2 c^2 u^2 v^2 w y z+a^2 b^2 u^2 v w^2 y z+a^4 u v^2 w^2 y z-b^2 c^2 u^3 v^2 z^2-a^2 c^2 u^2 v^3 z^2 = 0)
la de ABC y DEF.
Los P' y Q' de C(P), respecto a ABC y a DEF, coinciden si P está sobre la nK(X6,X32,?) de ecuación baricéntrica:
3(a^4x(c^2y^2+b^2z^2)+b^4y(a^2z^2+c^2x^2)+c^4z(b^2x^2+a^2y^2)) + 7a^2b^2c^2 x y z = 0.

( Mostrar/Ocultar figura )

P' = (u/(b^2 c^2 u + 2 a^2 c^2 v + 2 a^2 b^2 w): ... : ... ),

Q' = (u (4 a^4 c^4 v^3 (c^2 u + a^2 w) + 2 b^6 u w (c^4 u^2 + 3 a^2 c^2 u w + 2 a^4 w^2) + a^2 b^2 c^2 v^2 (6 c^4 u^2 + 13 a^2 c^2 u w + 7 a^4 w^2) + b^4 v (2 c^6 u^3 + 10 a^2 c^4 u^2 w + 13 a^4 c^2 u w^2 + 4 a^6 w^3)):...:...).
Sábado, 29 de agosto del 2020
El centro X(29) como punto fijo de una transformación afín

El 29 de agosto de 1915 nació en Estocolmo (Suecia) Ingrid Bergman. Según la lista elaborada por el American Film Institute, es la cuarta estrella femenina más importante en la historia del cine. Entre las películas que intervino están Casablanca, Por quién doblan las campanas, Luz que agoniza, Recuerda y Encadenados. Curiosamente, falleció de cáncer el mismo día y mes de su nacimiento, el 29 de agosto de 1982 en Londres.

X(29)

En un triángulo, el X(29) es el de la recta que pasa por el incentro y ortoncentro , respecto a la hipérbola rectangular circunscrita a su que pasa por el ortocentro.

Dado un triángulo ABC, sea DEF el del incentro. La circunferencia de diámetro BC vuelve a cortar a los lados AC y AB en los puntos A_b y A_c, respectivante. Sea A' el segundo punto de intersección de las circunferencias BDA_c y CDA_b (está sobre la bisectriz por A). Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
El punto fijo propio de la transformación afín que aplica ABC sobre A'B'C' es X₂₉.
( Mostrar/Ocultar figura )
La matriz M asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente)
M[1,1] = a (a + b - c) (a - b + c) (a^2 (b^2 + c^2)-(b^2 - c^2)^2),
M[1,2] = -a b (a^5 - a^4 c - 2 a^3 b^2 + a (b^4 - c^4)+ c (b^2 - c^2)^2),
M[1,3] = -a c (a^5 - a^4 b - 2 a^3 c^2 + a (-b^4 + c^4)+ b (b^2 - c^2)^2 ).
Su punto fijo propio, correspondiente al valor propio λ= 2 a b (b+ c-a) (a + b - c) c (a - b + c) (a + b + c), es:
X₂₉ = ((b + c - a)/((b + c) (b^2 + c^2 - a^2)) : ... : ...).
Pares {X=X_i, X'=σ(X)=X_j}, {i, j}: {1, 946}, {8, 65}, {10, 31870}, {21, 18180}, {29, 29}, {72, 389}, {78, 1210}, {100, 31849}, {145, 12672}, {663, 3716}, {1043, 58}, {1807, 5}, {1897, 4}, {2968, 942}, {3100, 26932}, {3685, 3271}, {3699, 6788}, {3811, 12616}, {4086, 21180}, {4391, 10015}, {4511, 11}, {5081, 1845}, {5904, 31728}, {6735, 12736}, {6740, 3109}, {10538, 1364}, {15252, 5806}, {15500, 25640}, {34772, 6831}, {38460, 1537}, {38554, 5908}.

Las polares de A', B', C' respecto a la de ABC y A'B'C', forman un triángulo perspectivo con ABC con centro de perspectividad:
W = ( (a (a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4))/(-a^2 b + b^3 - a^2 c + 2 a b c - b^2 c - b c^2 + c^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.261192091126329, 0.273000618755428, 3.57221424944277).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,2250}, {104,112}, {909,1319}, {3666,34234}, {14570,16697}, {15352,16082}, {32734,34858}.
Jueves, 27 de agosto del 2020
Dos cónicas asociadas a la recta de Euler

El 27 de agosto de 2003 ocurrió el mayor acercamiento de Marte a la Tierra en aproximadamente 60 000 años, a tan solo 55,76 millones de km. La próxima vez que Marte esté más cerca que lo que estuvo en el año 2003 será el 28 de agosto de 2287.

A Property of Euler line (Kadir Altintaş - Francisco Javier García Capitán)

Let P be point on Euler line of ABC. DEF anticevian triangle of X(6). A'B'C' is pedal triangle of P respect to DEF.

ABC is orthologic to A'B'C'.

The locus of the orthologic center of ABC with respect to A'B'C' is Jerabek hyperbola.
The locus of the orthologic center of A'B'C' with respect to ABC is line X(4)X(54).

Dados un triángulo ABC y un punto P, sobre su , sea A'B'C' el de P, respecto al DEF.

Siendo O=X₃ el circuncentro, H=X₄ el ortocentro, X₅₄ el y R el radio de la circunferencia de ABC, si X₃P : PX₄ = t y X₄V : VX₅₄ = t', siendo V el de A'B'C' respecto a ABC, entonces:
t' = ( ‍OH - 4 R^2 ) t/(2 R^2 + (6 R^2 - ‍OH) t).
Así, la correspondencia P ↦ V es una proyectividad entre las rectas X₃X₄ y X₄X₅₄ y, en consecuencia, la recta PV envuelve una cónica, cuando P varía sobre la recta de Euler. Como los puntos del infinito de ambas rectas se corresponde (t=-1, t'=-1), tal cónica es una parábola 𝒫, de ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} (b - c)^2 (b + c)^2 (a^16 + b^16 - 2 b^14 c^2 + b^12 c^4 - 2 b^10 c^6 + 4 b^8 c^8 - 2 b^6 c^10 + b^4 c^12 - 2 b^2 c^14 + c^16 + a^14 (-4 b^2 - 4 c^2) + a^12 (4 b^4 + 6 b^2 c^2 + 4 c^4) + a^10 (4 b^6 + 16 b^4 c^2 + 16 b^2 c^4 + 4 c^6) + a^8 (-10 b^8 - 46 b^6 c^2 - 47 b^4 c^4 - 46 b^2 c^6 - 10 c^8) + a^6 (4 b^10 + 44 b^8 c^2 + 40 b^6 c^4 + 40 b^4 c^6 + 44 b^2 c^8 + 4 c^10) + a^4 (4 b^12 - 22 b^10 c^2 - 22 b^8 c^4 + 16 b^6 c^6 - 22 b^4 c^8 - 22 b^2 c^10 + 4 c^12) + a^2 (-4 b^14 + 8 b^12 c^2 + 8 b^10 c^4 - 12 b^8 c^6 - 12 b^6 c^8 + 8 b^4 c^10 + 8 b^2 c^12 - 4 c^14)) x^2 + 2 (a - b) (a + b) (a - c) (a + c) (-a^2 + b^2 + c^2) (a^14 + b^14 + 5 a^10 b^2 c^2 - 5 b^12 c^2 + 9 b^10 c^4 - 5 b^8 c^6 - 5 b^6 c^8 + 9 b^4 c^10 - 5 b^2 c^12 + c^14 + a^12 (-2 b^2 - 2 c^2) + a^8 (b^6 - 2 b^4 c^2 - 2 b^2 c^4 + c^6) + a^6 (b^8 - 9 b^6 c^2 + 16 b^4 c^4 - 9 b^2 c^6 + c^8) + a^4 (9 b^8 c^2 - 9 b^6 c^4 - 9 b^4 c^6 + 9 b^2 c^8) + a^2 (-2 b^12 + 4 b^10 c^2 + 2 b^8 c^4 - 8 b^6 c^6 + 2 b^4 c^8 + 4 b^2 c^10 - 2 c^12)) y z = 0.
Esta parábala es tangente a la recta de Euler en el circuncentro, su eje tiene la dirección de X₁₇₇₀₂ y pasa por X₉₉₀₈. Con estos datos la parábola puede ser construida, ver IPt_PC_p, IPt_PCp2 o (3P₁2T₁)₁ §10.2
( Mostrar/Ocultar figura )
El foco de la parábola 𝒫 es:
F_o = ( a^2 (a^16-3 a^14 (b^2+c^2)+2 a^12 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)+a^10 (b^6-9 b^4 c^2-9 b^2 c^4+c^6)+a^8 (-4 b^6 c^2+17 b^4 c^4-4 b^2 c^6)-(b^2-c^2)^4 (b^8+b^6 c^2+2 b^4 c^4+b^2 c^6+c^8)-a^4 (b^2-c^2)^2 (2 b^8+b^6 c^2+7 b^4 c^4+b^2 c^6+2 c^8)-a^6 (b^10-8 b^8 c^2+8 b^6 c^4+8 b^4 c^6-8 b^2 c^8+c^10)+a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^10-2 b^8 c^2+2 b^6 c^4+2 b^4 c^6-2 b^2 c^8+3 c^10)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-5.34927089818235, -8.21524837266903, 11.7970383852240).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,3258}, {22,842}, {23,147}, {24,1304}, {25,16221}, {186,5667}, {232,8428}, {399,1495}, {468,34131}, {476,15928}, {523,13558}, {647,2079}, {924,3447}, {1614,14979}, {6644,14685}, {14165,37970}, {15959,30715}, {16316,37969}, {19165,21284}, {26883,38595}.

La directriz de 𝒫:
(b^8 - b^6 c^2 - b^2 c^6 + c^8 + a^6 (b^2 + c^2) - a^4 (b^2 + c^2)^2 - a^2 (b^6 - 2 b^4 c^2 - 2 b^2 c^4 + c^6))x + ... = 0,
pasa por los centros X_i, para i∈{7669, 10117, 13558, 32119}.

El punto de tangencia de 𝒫 con la recta X₄X₅₄ es:
T = ( 2 a^10 - 4 a^8 (b^2 + c^2) + a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + a^6 (b^2 + c^2)^2 + a^2 (b^4 - c^4)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-5.62551623372265, -8.25935299608749, 11.9550702024554).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {3146, 12278}, {6240, 16659}, {12290, 34797}.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {4, 13419}, {52, 11819}, {125, 12140}, {185, 3575}, {1885, 16621}, {3574, 32332}, {5562, 12134}, {6146, 6756}, {11381, 16655}, {11750, 5}, {12225, 5907}, {12289, 13403}, {18560, 13474}, {21659, 4}, {34224, 389}, {34799, 10112}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,2918}, {4,54}, {5,1495}, {20,1352}, {24,125}, {26,18474}, {30,5562}, {51,6146}, {52,11819}, {64,67}, {113,18377}, {154,7507}, {155,382}, {159,1593}, {182,7544}, {185,1503}, {186,20299}, {235,13851}, {265,18378}, {378,34785}, {389,7576}, {403,18383}, {427,13367}, {428,12241}, {511,14516}, {539,6243}, {542,5889}, {568,10116}, {569,11818}, {1092,14790}, {1141,11816}, {1147,31723}, {1181,18494}, {1204,13399}, {1209,7502}, {1498,12173}, {1514,3853}, {1568,10539}, {1594,10282}, {1598,18396}, {1658,34514}, {1853,3515}, {1885,16621}, {1899,7487}, {2070,5449}, {2777,12281}, {2937,6288}, {2980,22261}, {3060,10112}, {3146,12278}, {3331,7747}, {3357,35471}, {3410,7691}, {3426,17800}, {3518,25739}, {3547,35268}, {3564,14531}, {3627,30522}, {3818,7503}, {3830,12897}, {5064,11425}, {5094,17821}, {5446,7540}, {5448,10540}, {5576,18475}, {5651,6643}, {5907,12225}, {6000,6240}, {6143,10182}, {6241,18559}, {6247,21663}, {6293,9973}, {6696,37931}, {6995,18945}, {7391,13346}, {7399,22352}, {7488,21243}, {7505,23325}, {7517,9927}, {7574,18350}, {7575,13561}, {7577,26882}, {7687,18394}, {7731,13423}, {8779,27376}, {9306,37444}, {9714,14852}, {9730,31830}, {9908,12293}, {10018,32767}, {10110,12022}, {10117,32357}, {10193,17506}, {10263,13417}, {10301,15873}, {10312,15340}, {10594,18390}, {10605,34780}, {10984,18420}, {10996,14927}, {11202,37119}, {11204,35503}, {11245,11745}, {11430,15559}, {11432,34564}, {11438,11457}, {11442,31304}, {11449,31074}, {11563,18379}, {11565,13364}, {11645,38323}, {12084,16163}, {12107,34826}, {12429,33586}, {12605,15030}, {13366,31804}, {13434,19130}, {13474,16658}, {13488,16654}, {13598,34603}, {13630,38322}, {14049,19504}, {14585,27371}, {16195,37638}, {16252,23047}, {17701,23315}, {18128,37481}, {18376,35488}, {18405,37197}, {18488,18570}, {19124,36989}, {21844,25563}, {22802,35480}, {23329,32534}, {24206,37126}, {26937,32064}, {32345,37954}, {34417,37122}, {34609,35602}.

El de 𝒫, respecto a sus tres tangentes X₃X₄, X₄X₅₄ y la recta del infinito, es:
Z = ( 2 a^10-4 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+6 b^2 c^2+c^4)+a^4 (b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6) +a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4+c^4)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (6.83346607140023, 4.16676219912929, -2.39792445813600).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {4, 12278}, {6240, 14516}, {12111, 34797}, {18439, 18565}.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {52, 3575}, {382, 13419}, {6146, 31833}, {11750, 3}, {12162, 12134}, {12225, 1216}, {12295, 12140}, {12370, 31830}, {18563, 5907}, {21659, 5}, {34799, 10116}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,12289}, {3,161}, {4,110}, {5,13367}, {20,3410}, {24,9927}, {25,12293}, {30,5562}, {49,18388}, {51,12370}, {52,3575}, {68,18533}, {125,37814}, {128,23702}, {143,25711}, {155,12173}, {186,5449}, {235,20302}, {378,8907}, {381,11425}, {382,13419}, {389,38321}, {539,5889}, {542,34783}, {549,13470}, {568,10112}, {569,18420}, {578,18428}, {1092,18569}, {1204,16003}, {1216,12225}, {1350,1657}, {1495,15761}, {1503,10575}, {1511,10224}, {1568,18377}, {1594,12038}, {1614,34007}, {1625,7747}, {1885,16194}, {2072,18383}, {2777,18439}, {2889,5059}, {3292,3627}, {3357,16111}, {3515,14852}, {3522,17712}, {3843,8780}, {3858,15807}, {5012,12254}, {5446,7576}, {5462,12022}, {5576,11430}, {5890,10116}, {5891,12605}, {5907,18563}, {5972,10255}, {6102,11562}, {6146,9730}, {6240,11660}, {6639,11202}, {6640,23325}, {6642,18396}, {6699,23294}, {6815,13336}, {7399,37513}, {7506,18390}, {7540,13598}, {7577,11449}, {7592,7706}, {7689,11442}, {9306,18404}, {9820,23047}, {9938,18385}, {10024,10282}, {10113,20771}, {10564,23335}, {10574,18128}, {10619,32046}, {11250,16163}, {11424,11818}, {11438,25738}, {11440,13619}, {11441,35480}, {11550,12084}, {11572,13371}, {12111,34797}, {12160,13431}, {12163,37196}, {12234,15087}, {12359,32110}, {12429,37489}, {12902,13621}, {13160,18475}, {13346,31723}, {13561,15646}, {14831,32358}, {14855,31829}, {14915,16659}, {15102,32339}, {15331,34826}, {15760,34782}, {16266,32332}, {16868,18392}, {18350,18403}, {18435,18562}, {18494,36747}, {19131,36989}, {19361,36752}, {20191,21844}, {20427,32275}, {22115,31724}, {22467,25739}, {23410,27355}, {24206,34864}, {26917,36253}, {32136,36966}, {34224,38323}, {35264,35488}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Sea U el centro de ortología de ABC respecto a A'B'C', que está sobre la , y sea U* su , que está sobre la recta de Euler.
Si X₄V : VX₅₄ = t' y X₃U* : U*X₄ = t'', se obtiene que:
t'' = (R^2 t')/(4 R^2 - ‍OH + 3 R^2 t').
Así, la correspondencia V ↦ U* es una proyectividad entre las rectas X₄X₅₄ y X₃X₄ y, en consecuencia, la recta VU* envuelve una cónica, cuando P varía sobre la recta de Euler. Tal cónica es una hipérbola ℋ, de ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} b^2 c^2 ((b-c)^2 (b+c)^2 (b^6 c^2-2 b^4 c^4+b^2 c^6+a^6 (-4 b^2-4 c^2)+a^4 (8 b^4+9 b^2 c^2+8 c^4)+a^2 (-4 b^6-6 b^4 c^2-6 b^2 c^4-4 c^6)) x^2+2 a^2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) (3 a^6-2 b^6+2 b^4 c^2+2 b^2 c^4-2 c^6+a^2 (-b^4+2 b^2 c^2-c^4)) y z) = 0.
Esta hipérbola pasa por X₁₈₂ (punto medio del ), es tangente a la recta de Euler en el circuncentro y a la recta X₄X₅₄ en X₆₇₅₉ (conjugado isogonal del centro de perspectividad de ABC y el triángulo reflexión del del circuncentro, respecto a la de éste). Con estos datos la hiperbola ℋ puede ser construida, ver Pt_Pt_P, Pt_Pt_P2 o (3P2T)₂ §10.1
El centro de ℋ se X₁₄₉₅ (conjugado isogonal del del punto del infinito de la recta de Euler, X₃₀ ). Sus asíntotas pasan por los puntos X₁₁₁₃ y X₁₁₁₄, donde la recta de Euler corta a la circunferencia circunscrita, y por los X₁₁₁₃ y X₁₁₁₄ del .

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

La correspondencia P↦U* es una proyectividad sobre la recta de Euler, dada por
t'' = (R^2 t)/((‍OH - 3 R^2 ) t-2 R^2),
siendo X₃P : PX₄ = t y X₃U* : U*X₄ = t''.
Los puntos fijos de esta proyectividad son el circuncentro y X₂₃, inverso del baricentro en la circunferencia circunscrita. Para estos dos puntos las tangentes a 𝒫 y a ℋ coinciden, en la recta de Euler y en la paralela por X₂₃ al , respectivamente.
Martes, 25 de agosto del 2020
La cúbica de McCay y el centro X(32561) como punto fijo de una afinidad

El 25 de agosto de 1806 nació James Booth clérigo irlandés, matemático y pedagogo. Publicó un tratado relacionado con las coordenadas tangenciales y con la recta polar, se publicó en 1873. Booth inventó independientemente las coordenadas tangenciales que se conocieron como "coordenadas Boothianas", que, sin embargo, fueron introducidas previamente por Julius Plücker en 1830. La lemniscata de Booth, una curva en forma de ocho, y el óvalo de Booth, otra curva con una ecuación de definición similar, llevan el nombre de Booth, que estudió ambas.

Dados un triángulo ABC, un punto P, no situado sobre su circunferencia circunscrita ni en la recta del infinito, sea Q su ; sean y los de P y Q; y son los de P y Q.
Los puntos U=P_aP₁∩Q_aQ₁, V=P_bP₂∩Q_bQ₂, W=P_cP₂∩Q_cQ₃ están sobre la recta PQ.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC,
U = (a^2 v w (a^4 v (v-w) w+(b^2-c^2) u^2 (c^2 v+b^2 w)+a^2 (-b^2 w (u^2+2 u w+v (v+w))+c^2 v (u^2+2 u v+w (v+w)))) :
w (-b^2 (b^2-c^2) u^2 (v+w) (c^2 v+b^2 w)+a^4 (c^2 v^3 (u+v+w)-b^2 v w (v^2+u w+v w))+a^2 (-c^4 v^3 (u+v+w)+b^4 w (u^2 (v-w)-u v w+v^2 (v+w))+b^2 c^2 v (v^3+u^2 (v-w)-v w^2+u (v^2+w^2)))) :
v (c^2 (-b^2+c^2) u^2 (v+w) (c^2 v+b^2 w)+a^4 (-b^2 w^3 (u+v+w)+c^2 v w (u v+w (v+w)))+a^2 (b^4 w^3 (u+v+w)+c^4 v (u^2 (v-w)+u v w-w^2 (v+w))-b^2 c^2 w (-v^2 w+w^3+u^2 (-v+w)+u (v^2+w^2))))).

U = a^2 v w (u+v+w)^2 (a^2 (c^2 v-b^2 w)+(b^2-c^2) (c^2 v+b^2 w)) P
-(c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w)^2 (a^2 (-v+w)+(b^2-c^2) (v+w)) Q.

Los puntos U, V, W coinciden si y solo si P está sobre la cúbica de McCay (K003 en el catálogo de Bernard Gibert).
( Mostrar/Ocultar figura )
Pares {P=X_i, U=X_j}, cuando P está sobre K003, para los índices {i,j}: {1,56}, {3,4}, {4,4}. Cuando P=X₁ es el incentro, los puntos U, V, W no están definidos, pero cuando P tiende a X₁ sobre K003, los puntos U, V, W coinciden con X₅₆, centro de homotecia exterior de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.

Cuando P tiende, sobre K003, al A-exincentro I_a, los puntos U, V, W coinciden con:
Z_a = (a^2 (a^2-(b-c)^2) : b^2 (-a^2+b^2-2 a c-c^2) : c^2 (-a^2-2 a b-b^2+c^2)).
Similarmente, cuando P tiende a I_b y a I_c, obtienen los puntos:
Z_b = (a^2 (a^2-b^2-2 b c-c^2) : b^2 (b^2-(-a+c)^2) : c^2 (-a^2-2 a b-b^2+c^2)),
Z_c = (a^2 (a^2-b^2-2 b c-c^2) : b^2 (-a^2+b^2-2 a c-c^2) : c^2 (-(a-b)^2+c^2)).
Las rectas AZ_a, BZ_b, CZ_c concurren en X₇₅, del incentro.

El punto fijo finito de la trasformación afín que aplica ABC en es X₃₂₅₆₁, centro de la cónica
( a^4 b^4 c^3 x^2-2 a^2 b^6 c^3 x^2+b^8 c^3 x^2+a^4 b^3 c^4 x^2+2 a^2 b^5 c^4 x^2-3 b^7 c^4 x^2+2 a^2 b^4 c^5 x^2+2 b^6 c^5 x^2-2 a^2 b^3 c^6 x^2+2 b^5 c^6 x^2-3 b^4 c^7 x^2+b^3 c^8 x^2+2 a^6 b^2 c^3 x y-4 a^4 b^4 c^3 x y+2 a^2 b^6 c^3 x y-4 a^4 b^2 c^5 x y-4 a^2 b^4 c^5 x y+2 a^2 b^2 c^7 x y+a^8 c^3 y^2-2 a^6 b^2 c^3 y^2+a^4 b^4 c^3 y^2-3 a^7 c^4 y^2+2 a^5 b^2 c^4 y^2+a^3 b^4 c^4 y^2+2 a^6 c^5 y^2+2 a^4 b^2 c^5 y^2+2 a^5 c^6 y^2-2 a^3 b^2 c^6 y^2-3 a^4 c^7 y^2+a^3 c^8 y^2+2 a^6 b^3 c^2 x z-4 a^4 b^5 c^2 x z+2 a^2 b^7 c^2 x z-4 a^4 b^3 c^4 x z-4 a^2 b^5 c^4 x z+2 a^2 b^3 c^6 x z+2 a^7 b^2 c^2 y z-4 a^5 b^4 c^2 y z+2 a^3 b^6 c^2 y z-4 a^5 b^2 c^4 y z-4 a^3 b^4 c^4 y z+2 a^3 b^2 c^6 y z+a^8 b^3 z^2-3 a^7 b^4 z^2+2 a^6 b^5 z^2+2 a^5 b^6 z^2-3 a^4 b^7 z^2+a^3 b^8 z^2-2 a^6 b^3 c^2 z^2+2 a^5 b^4 c^2 z^2+2 a^4 b^5 c^2 z^2-2 a^3 b^6 c^2 z^2+a^4 b^3 c^4 z^2+a^3 b^4 c^4 z^2 = 0)
mutualmente polar de los triángulos ABC y Apus.

Apus triangle

Let A' be the insimilicenter of the circumcircle and A-excircle, and define B' and C' cyclically. The triangle with vertices A,' B, C' is introduced here as the Apus triangle. A'B'C' is a central triangle of type 2. The following properties were communicated by Peter Moses, November 12, 2013:
Barycentric coordinates for vertices:
A' = a^2(a - b + c)(a + b - c) : b^2(b - c - a)(a + b + c) : c^2(c - b - a)(a + b + c)
B' = a^2(a - c - b)(a + b + c) : b^2(b - c + a)(b + c - a) : c^2(c - a - b)(a + b + c)
C' = a^2(a - b - c)(a + b + c) : b^2(b - a - c)(a + b + c) : c^2(c - a + b)(c + a - b)

Los puntos U, V, W son distintos y las rectas AU, BV, CW son concurrentes si y solo si P está sobre la séxtica isogonal, con puntos dobles en el incentro y en los exincentros, de ecuación
( 2 a^4 b^2 c^4 x^4 y^2-2 a^2 b^4 c^4 x^4 y^2+2 b^4 c^6 x^4 y^2-2 b^2 c^8 x^4 y^2+a^6 c^4 x^3 y^3+a^4 b^2 c^4 x^3 y^3-a^2 b^4 c^4 x^3 y^3-b^6 c^4 x^3 y^3-2 a^4 c^6 x^3 y^3+2 b^4 c^6 x^3 y^3+a^2 c^8 x^3 y^3-b^2 c^8 x^3 y^3+2 a^4 b^2 c^4 x^2 y^4-2 a^2 b^4 c^4 x^2 y^4-2 a^4 c^6 x^2 y^4+2 a^2 c^8 x^2 y^4+a^4 b^4 c^2 x^4 y z-2 a^2 b^6 c^2 x^4 y z+b^8 c^2 x^4 y z-a^4 b^2 c^4 x^4 y z+b^6 c^4 x^4 y z+2 a^2 b^2 c^6 x^4 y z-b^4 c^6 x^4 y z-b^2 c^8 x^4 y z+a^6 b^2 c^2 x^3 y^2 z-2 a^4 b^4 c^2 x^3 y^2 z+a^2 b^6 c^2 x^3 y^2 z+a^4 b^2 c^4 x^3 y^2 z-b^6 c^4 x^3 y^2 z-a^2 b^2 c^6 x^3 y^2 z+2 b^4 c^6 x^3 y^2 z-b^2 c^8 x^3 y^2 z-a^6 b^2 c^2 x^2 y^3 z+2 a^4 b^4 c^2 x^2 y^3 z-a^2 b^6 c^2 x^2 y^3 z+a^6 c^4 x^2 y^3 z-a^2 b^4 c^4 x^2 y^3 z-2 a^4 c^6 x^2 y^3 z+a^2 b^2 c^6 x^2 y^3 z+a^2 c^8 x^2 y^3 z-a^8 c^2 x y^4 z+2 a^6 b^2 c^2 x y^4 z-a^4 b^4 c^2 x y^4 z-a^6 c^4 x y^4 z+a^2 b^4 c^4 x y^4 z+a^4 c^6 x y^4 z-2 a^2 b^2 c^6 x y^4 z+a^2 c^8 x y^4 z-2 a^4 b^4 c^2 x^4 z^2+2 b^8 c^2 x^4 z^2+2 a^2 b^4 c^4 x^4 z^2-2 b^6 c^4 x^4 z^2-a^6 b^2 c^2 x^3 y z^2-a^4 b^4 c^2 x^3 y z^2+a^2 b^6 c^2 x^3 y z^2+b^8 c^2 x^3 y z^2+2 a^4 b^2 c^4 x^3 y z^2-2 b^6 c^4 x^3 y z^2-a^2 b^2 c^6 x^3 y z^2+b^4 c^6 x^3 y z^2-a^8 c^2 x y^3 z^2-a^6 b^2 c^2 x y^3 z^2+a^4 b^4 c^2 x y^3 z^2+a^2 b^6 c^2 x y^3 z^2+2 a^6 c^4 x y^3 z^2-2 a^2 b^4 c^4 x y^3 z^2-a^4 c^6 x y^3 z^2+a^2 b^2 c^6 x y^3 z^2-2 a^8 c^2 y^4 z^2+2 a^4 b^4 c^2 y^4 z^2+2 a^6 c^4 y^4 z^2-2 a^4 b^2 c^4 y^4 z^2-a^6 b^4 x^3 z^3+2 a^4 b^6 x^3 z^3-a^2 b^8 x^3 z^3-a^4 b^4 c^2 x^3 z^3+b^8 c^2 x^3 z^3+a^2 b^4 c^4 x^3 z^3-2 b^6 c^4 x^3 z^3+b^4 c^6 x^3 z^3-a^6 b^4 x^2 y z^3+2 a^4 b^6 x^2 y z^3-a^2 b^8 x^2 y z^3+a^6 b^2 c^2 x^2 y z^3-a^2 b^6 c^2 x^2 y z^3-2 a^4 b^2 c^4 x^2 y z^3+a^2 b^4 c^4 x^2 y z^3+a^2 b^2 c^6 x^2 y z^3+a^8 b^2 x y^2 z^3-2 a^6 b^4 x y^2 z^3+a^4 b^6 x y^2 z^3+a^6 b^2 c^2 x y^2 z^3-a^2 b^6 c^2 x y^2 z^3-a^4 b^2 c^4 x y^2 z^3+2 a^2 b^4 c^4 x y^2 z^3-a^2 b^2 c^6 x y^2 z^3+a^8 b^2 y^3 z^3-2 a^6 b^4 y^3 z^3+a^4 b^6 y^3 z^3-a^8 c^2 y^3 z^3+a^4 b^4 c^2 y^3 z^3+2 a^6 c^4 y^3 z^3-a^4 b^2 c^4 y^3 z^3-a^4 c^6 y^3 z^3+2 a^4 b^6 x^2 z^4-2 a^2 b^8 x^2 z^4-2 a^4 b^4 c^2 x^2 z^4+2 a^2 b^4 c^4 x^2 z^4+a^8 b^2 x y z^4+a^6 b^4 x y z^4-a^4 b^6 x y z^4-a^2 b^8 x y z^4-2 a^6 b^2 c^2 x y z^4+2 a^2 b^6 c^2 x y z^4+a^4 b^2 c^4 x y z^4-a^2 b^4 c^4 x y z^4+2 a^8 b^2 y^2 z^4-2 a^6 b^4 y^2 z^4+2 a^4 b^4 c^2 y^2 z^4-2 a^4 b^2 c^4 y^2 z^4 = 0)
:
𝔖_{_{abc xyz}} y z (b^2 c^2 (b^2-c^2) (a^4+b^4+2 b^2 c^2+c^4+a^2 (-2 b^2-2 c^2)) x^4+a^4 (b^2-c^2) (a^4+b^4+2 b^2 c^2+c^4+a^2 (-2 b^2-2 c^2)) y^2 z^2+b^2 c^2 x^3 ((a^2-c^2) (a^4+(b^2-c^2)^2 -2 a^2 (b^2-c^2)) y-(a^2-b^2) (a^4+(b-c)^2 (b+c)^2+2 a^2 (b^2-c^2)) z)-2 a^4 y z ((a^2-b^2) c^2 (a^2+b^2-c^2) y^2-b^2 (a^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) z^2)) = 0.
Domingo, 23 de agosto del 2020
Circunferencia de diámetro un punto y el baricentro de su triángulo antipedal

Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos. Henry David Thoreau.

Dados un triángulo ABC y un punto P. Su p corta a los lados BC, CA, AB en D, E, F, respectivamente.
La circunferencia que pasa por B, C y P, vuelve a cortar a la recta PD en P_a; la circunferencia que pasa por C, A y P, vuelve a cortar a la recta PE en P_b; y la circunferencia que pasa por A, B y P, vuelve a cortar a la recta PF en P_c.
La circunferencia Γ(P), circunscrita a , pasa por P. El punto diametralmente opuesto a P es el baricentro del de P.

Pares {P=X_i, M=X_j} de , siendo M el centro de la circunferencia Γ(P), para los índices {i, j}: {1, 3576}, {2, 3}, {3, 11202}, {4, 381}, {6, 182}, {10, 38430}, {13, 2}, {14, 2}, {15, 14170}, {16, 14169}, {67, 11178}, {80, 5587}, {249, 32609}, {265, 23325}, {671, 381}, {1138, 32609}, {3062, 11372}, {5627, 38724}, {6094, 182}, {11599, 38330}, {13377, 11178}, {34578, 3576}, {34579, 11202}.

Cuando P=X₅, es el centro de la , el centro de Γ(X₅) es:
M₅ = ( 2 a^16 - 12 a^14 (b^2 + c^2) + a^12 (33 b^4 + 46 b^2 c^2 + 33 c^4) - 6 a^10 (9 b^6 + 11 b^4 c^2 + 11 b^2 c^4 + 9 c^6)+ a^8 (55 b^8 + 29 b^6 c^2 + 30 b^4 c^4 + 29 b^2 c^6 + 55 c^8) - a^6 (b^2 - c^2)^2 (32 b^6 + 39 b^4 c^2 + 39 b^2 c^4 + 32 c^6) + a^4 (b^2 - c^2)^2 (7 b^8 - 13 b^6 c^2 - 18 b^4 c^4 - 13 b^2 c^6 + 7 c^8) + a^2 (b^2 - c^2)^4 (2 b^6 + 9 b^4 c^2 + 9 b^2 c^4 + 2 c^6) - (b^2 - c^2)^6 (b^2 + c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (6.74812988412115, 7.05263045588886, -4.35644731868690).
Es el punto medio de X₅ y X₃₅₈₈₅.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,161}, {4,32904}, {5,27684}, {140,30484}, {549,23237}, {632,33545}, {1656,20414}, {10126,14143}, {13856,35888}, {15712,35728}.
Martes, 18 de agosto del 2020
La reflexión del punto de Exeter en el circuncentro

El 18 de agosto de 1936, durante el periodo de Guerra Civil, muere asesinado por el franquismo, el poeta granadino Federico García Lorca.

Punto de Exeter

Es uno de los "centros" de un triángulo, designado como centro X(22) en la Enciclopedia Clark Kimberling. Fue descubierto en un taller de matemáticas por ordenador en la Academia Phillips Exeter en 1986 (la ciudad de Exeter, sede de la academia, pertenece al estado de New Hampshire).

Dado un triángulo ABC, sean DEF el y A' el otro punto de intersección de la circunferencia circunscrita a ABC con la perpendicular por A a la mediana por A. Los puntos B' y C' se define cíclicamnete.
Los triángulos A'B'C' y DEF son perspectivos, con centro de perspectividad X₃₇₈, reflexión del en el circuncentro.
( Mostrar/Ocultar figura )
Las coordenadas baricéntricas de A' son:
(a^2 (a^2 - b^2 - 3 c^2) (a^2 - 3 b^2 - c^2) : -(a^2 - 3 b^2 - c^2) (a^2 - b^2 - c^2) (b^2 - c^2) : (a^2 - b^2 - 3 c^2) (a^2 - b^2 - c^2) (b^2 - c^2)).
Lunes, 17 de agosto del 2020
Una caracterización de la quíntica Q037

a Clara, por su "cumple"

Q037 is an inversible bicircular quintic with a real asymptote parallel to the Euler line.

Q037 is the locus of P such that the Euler line of the circumcevian triangle of P contains P (and obviously O).

Dados un triángulo ABC y un punto P (no situado sobre su circunferencia circunscrita ni en la recta del infinito), sea el de P.
La circunferencia circunscrita a AP_bP_c vuelve a corta a recta P_aP_b en P_ab y a la recta P_aP_c en P_ac. Sea H_a el ortocentro de AP_abP_ac. Los puntos H_b y H_c se definen cíclicamente.
Q037 es el lugar geométrico del punto P tal que las rectas AH_a, BH_b y CH_c son concurrentes.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P,
H_a = (a^2 u (-b^4 u w (u^2 + 3 u (v + w) + 2 v (v + w)) + v (a^4 w (v^2 + w^2 + u (v + w)) - c^4 u (u^2 + 3 u (v + w) + 2 w (v + w)) + a^2 c^2 (u^3 + 3 u^2 (v + w) + w (v^2 - w^2) + u (2 v^2 + v w + w^2))) + b^2 (c^2 u (2 u^3 + 5 u^2 (v + w) + 4 v w (v + w) + 3 u (v + w)^2) + a^2 w (u^3 - v^3 + v w^2 + 3 u^2 (v + w) + u (v^2 + v w + 2 w^2)))) :
(a^4 v (u + v) w + (b^2 - c^2) u^2 (c^2 v + b^2 w) + a^2 u (c^2 v (u + v - w) + b^2 (v - w) w)) (-u (b^2 (u + v - w) + c^2 (u - v + w)) + a^2 (u^2 + 2 v w + u (v + w))) :
(-b^4 u^2 w + v (c^4 u^2 + a^4 w (u + w) + a^2 c^2 u (-v + w)) + b^2 u (c^2 u (-v + w) + a^2 w (u - v + w))) (-u (b^2 (u + v - w) + c^2 (u - v + w)) + a^2 (u^2 + 2 v w + u (v + w))))
y la ecuación de la recta AH_a es:
(b^4 u^2 w+v (-c^4 u^2+a^2 c^2 u (v-w)-a^4 w (u+w))+b^2 u (c^2 u (v-w)-a^2 w (u-v+w))) y +
(a^4 v (u+v) w+(b^2-c^2) u^2 (c^2 v+b^2 w)+a^2 u (c^2 v (u+v-w)+b^2 (v-w) w)) z = 0.
Pares {P=X_i, Q=X_j}, si P (i∈{1, 3, 15, 16, 30, 36, 5000, 5001, 32622, 32623, 39162, 39163, 39164, 39165}) está sobre Q037 y Q es el centro de perspectividad de ABC y , para {i, j}: {1, 4}, {3, 3}, {15, 13}, {16, 14}, {30, 265}, {36, 104}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Los triángulos ABC y son , para todo punto P del plano.

Pares {P=X_i, U=X_j},
U = (b^6 u^2 w^2 (v+w) (3 u^2+2 v (v+w)+u (5 v+w))-v^2 (a^4 c^2 u w (u^3-v^3+u v (v-w)-v w^2-2 w^3+3 u^2 (v+w))+a^6 w^2 (2 u^3+5 u^2 (v+w)+2 v w (v+w)+3 u (v+w)^2)-c^6 u^2 (v+w) (3 u^2+2 w (v+w)+u (v+5 w))+a^2 c^4 u (u^2 v (v-w)+(v-w) w (v+w)^2+u^3 (v+2 w)+3 u w (v^2-w^2)))-b^2 u v (a^4 w^2 (u^3-2 v^3-v^2 w-w^3+u w (-v+w)+3 u^2 (v+w))+a^2 c^2 w (u^2 (v-w)^2+3 u^3 (v+w)-3 u (v-w)^2 (v+w)-(v^2-w^2)^2)+c^4 u (v+w) (2 u^3+3 u^2 v+u (v^2+9 v w-4 w^2)+2 w (2 v^2+v w-w^2)))-b^4 u w (c^2 u (v+w) (2 u^3+3 u^2 w+u (-4 v^2+9 v w+w^2)+2 v (-v^2+v w+2 w^2))+a^2 w (u^2 w (-v+w)-v (v-w) (v+w)^2+u^3 (2 v+w)-3 u (v^3-v w^2))) : ... : ...)
es el centro de ortología de ABC respecto a , para {i, j}: {1, 4}, {3, 12162}, {4, 11381}, {74, 13202}, {100, 38389}, {101, 1146}, {109, 38357}, {110, 125}, {112, 1562}, {934, 38388}.

El centro de ortología de ABC respecto a , cuando P es el baricentro, es
U₂ = ( 28 a^6-26 b^6+30 b^4 c^2+30 b^2 c^4-26 c^6+3 a^4 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^2+c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-3.65928669547773, -5.31440354233865, 9.00876848605470).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,1495}, {381,31748}, {3845,14856}.

Pares {P=X_i, V=X_j},
V = (a^2/(b^6 u^3 (u+v-w) w^2 (v+w)+b^2 u v (c^2 u+a^2 w) (a^2 w (-u^3+2 v^3+v^2 w+u (v-w) w+w^3-3 u^2 (v+w))+c^2 u (v+w) (v^2-3 v w+2 w^2+u (v+2 w)))+b^4 u^2 w (c^2 u (v+w) (2 v^2-3 v w+w^2+u (2 v+w))+a^2 w (3 v^3+2 v^2 w+w^3+u (3 v^2+5 v w+w^2)))+v^2 (c^2 u+a^2 w) (c^4 u^2 (u-v+w) (v+w)-a^4 w (u^3+3 u^2 (v+w)+v w (v+w)+u (2 v^2+3 v w+2 w^2))+a^2 c^2 u (v^3+v^2 w+2 v w^2+2 w^3+u (v^2+4 v w+2 w^2))) : ... : ...)
es el centro de ortología de respecto a ABC, para {i, j}: {1, 84}, {3, 64}.

El centro de ortología de respecto a ABC, cuando P es el baricentro, es:
V₂ = ( a^2/(16 a^6+3 a^4 (b^2+c^2)-3 a^2 (5 b^4+b^2 c^2+5 c^4)-2 (b^2+c^2)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-82.7042020117640, -146.060616426579, 142.930722936507).
No hay rectas determinadas por pares de puntos que están actualmente en ETC que pasen por este punto.
Viernes, 14 de agosto del 2020
El centro del triángulo X(3057) con centro radical

El 14 de agosto de 1842 nació Jean Gaston Darboux, matemático francés. Hizo muchas contribuciones importantes a la geometría diferencial y al análisis matemático. En la geometría diferencial de superficies, la referencia de Darboux es una referencia móvil construida sobre una superficie; es la análoga a referencia Frenet-Serret aplicada a una superficie. La cúbica de Darboux (Z(X₂₀) o K004=pK(X6, X20)) de un triángulo ABC es el lugar geométrico de todos los puntos cuyo triángulo pedal es perspectivo con ABC. El vector Darboux asociado a una curva se define como la suma de las velocidades areolares de los vectores del triedro de Frenet.

X(3057)

Let Oa be the circle centered at the A-excenter and passing trough the A-intouch point. Define Ob and Oc cyclically. The radical center of Oa, Ob, Oc is X(3057). (Randy Hutson, February 10, 2016)

X(3057) is the radical center of circles {Oa}, {Ob}, {Oc} used in the construction of the Ursa-minor and Ursa-major triangles; see preamble before X(17603). (Randy Hutson, June 27, 2018)

Dado un triángulo ABC, sean DEF el , el del N_a=X₈ y A(X₈A₈) la circunferencia de centro A y radio X₈A₈ (corta a la cirunferencia inscrita en puntos sobre las cevianas de X₈ y de su , X₅₆). Se consideran, procediendo cíclicamente, las circunferencias B(X₈B₈) y C(X₈C₈).
El de las circunferencias A(X₈A₈), B(X₈B₈), C(X₈C₈) es X₃₀₅₇.
( Mostrar/Ocultar figura )
En coordenadas baricéntricas,
A(X₈A₈): 𝔖_{_{abc xyz}} (b+c-a)^2(a^2-a(b+c)-2(b-c)^2)x^2
- 2(a^4+5a^3(b+c)-a^2(3b^2+10b c+3c^2)-5a(b-c)^2(b+c)+2(b^2-c^2)^2)y z = 0.
Γ_a, Γ_b y Γ_c son las circunferencias de centros los y pasan por D, E y F, respectivamente. Sea ℓ_a el de las circunferencias Γ_a y A(X₈A₈). ℓ_b y ℓ_c se definen similarmente.
El triánguloa A'B'C' formado por las rectas ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c es perspectivo con DEF y el centro de perspectividad es W = 4 (a^2 + b^2 + c^2)X₆₉ - 3 (a + b + c)^2 X₂₁₀.

W = ( a( a^3 (b + c) + a^2 (b^2 - 6 b c + c^2)- a (b + c)^3 -(b - c)^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.11144252329413, 1.99758804170394, 1.28320698074590).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1122}, {7,3057}, {37,3942}, {55,269}, {65,3664}, {69,210}, {75,3893}, {77,2646}, {86,9432}, {354,3056}, {374,17245}, {517,4888}, {960,21296}, {1358,3663}, {1364,1439}, {1418,2269}, {1697,7271}, {2098,4328}, {2262,4675}, {2268,6610}, {2348,25878}, {3599,34855}, {3698,10436}, {3869,32093}, {3880,31995}, {4059,10446}, {4648,34371}, {4689,24802}, {4862,9957}, {5048,7190}, {6666,25731}, {7053,22768}, {7223,10444}, {7269,33176}, {7274,7962}, {10401,17170}, {11997,31391}, {14828,20359}, {16859,19604}, {17272,25917}, {17365,21871}, {24179,24805}, {24213,37722}, {31188,31792}.
Miercoles, 12 de agosto del 2020
Propiedades del cuadrado baricéntrico del ortocentro

El 12 de agosto de 1982 muere (a los 77 años) Henry Fonda, actor de cine y teatro estadounidense, ganador de los premios Óscar, Globo de Oro, ... En 1999, Henry Fonda fue nombrado por el American Film Institute como la sexta mayor estrella masculina en la historia de Hollywood. Algunas de sus numerosas películas: Doce hombres sin piedad (1957), El destino también juega (1966), En el estanque dorado (1981).

X(393) (Randy Hutson)

• Let Ha be the foot of the A-altitude of ABC. Let Pa be the foot of the altitude from Ha to AB, and Qa the foot of the altitude from Ha to CA. Define Hb, Hc, Pb, Pc, Qb, Qc cyclically. Let A' be the trilinear pole of line PaQa, and define B' and C' cyclically. The lines AA', BB', CC' concur in X(393). Lines PaQa, PbQb, PcQc are the antiparallels in the construction of the Taylor circle. (Randy Hutson, January 29, 2018)

• Let A'B'C' and A"B"C" be the Euler and anti-Euler triangles, resp. Let A* be the barycentric product A'*A'', and define B* and C* cyclically. The lines AA*, BB*, CC* concur in X(393). (Randy Hutson, January 29, 2018)

• Let A'B'C' be the orthic triangle. Let A" be the cevapoint of the (real or imaginary) circumcircle intercepts of line B'C'. Define B" and C" cyclically. The lines AA", BB", CC" concur in X(393). (Randy Hutson, July 31 2018)

• X(393) is the Brianchon point (perspector) of the inellipse that is the barycentric square of the orthic axis. The center of this inellipse is X(3767). (Randy Hutson, October 15, 2018)

Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el de P.
La recta que pasa por las proyecciones ortogonales de D sobre BP y CP corta a BC en el punto A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w),
A'=(0 : -((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v))^2 : ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w))^2).
( Mostrar/Ocultar figura )
El lugar geométrico del punto P (con triángulo pedal no degenerado) tal que los puntos A', B', C' están alineados es la cúbica de Darboux.
Pares {P=X_i, Q=X_j= de A'B'C'}, para {i, j}: {1, 279}, {3, 2}, {4, 393}, {20, 3926}, {40, 346}, {1498, 36413}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Sean 𝒫_a, 𝒫_b, 𝒫_c, las parábolas circunscritas a ABC tales que sus ejes son perpendiculares a los lados BC, CA, AB, respectivamente.
A₁ es el punto de interscción de la tangente a 𝒫_b en B con la tangente a 𝒫_c en C. Los puntos B₁ y C₁ se definen cíclicamente.
Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ se cortan en X₃₉₃, del ortocentro.
( Mostrar/Ocultar figura )
𝒫_a: 4 a^4 y z+ (a^2 + b^2 - c^2)^2 + x z (a^2 - b^2 + c^2)^2 x y = 0,

A₁ =(-(a^4 - (b^2 - c^2)^2)^2 : (a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4)^2 : (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4)^2).
Jueves, 6 de agosto del 2020
Otra propiedad del conjugado isogonal del punto de De Longchamps

El 6 de agosto de 1945 a las 8:15 h, hora local, Hiroshima (Japón) se convierte en la primera ciudad del mundo en ser pasto de una bomba nuclear. El bombardero americano B-29 "Enola Gay" deja caer su única bomba, "Little Boy" sobre el centro de la ciudad. 120.000 de los 450.000 habitantes mueren en el acto, otros 70.000 sufren graves heridas. A consecuencia de la radiación otras decenas de miles irán muriendo en terrible goteo con el paso de los años.
La guerra en Europa contra el nazismo había terminado con el suicidio de Hitler y había un arma nueva que el nuevo presidente de EEUU tras la muerte de Roosevelt, Harry S. Truman, quería mostrar al mundo: la bomba atómica, un artefacto que apuntalaba la supremacía militar de EEUU. Si ya no había tiempo de lanzarla sobre Berlín, el escenario japonés se abría como el escenario ideal para los halcones de EEUU.

Dados un triángulo ABC, de circuncentro O=X₃, y un punto P, sean A', B', C' las reflexiones de A, B, C en O, respectivamente, y DEF el de P. A" es la reflexion de A' en D, B" es la reflexion de B' en E y C" es la reflexion de C' en F. Entonces: ABC y A"B"C" son inversamente semejantes.

Denotamos por S_a, S_b y S_c los centros de las semejanzas entre ABC y los triángulos , y , reflexiones de A"B"C" en BC, CA y AB, respectivamente.
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Si el punto P recorre una recta ℓ, los lugares geométricos de los puntos S_a, S_b y S_c son circunferencias, Γ_a, Γ_b y Γ_c, que se cortan en un punto f(ℓ), sobre la circunferencia circunscrita a ABC.
Si (u:v.w) son las coordenadas baricéntricas de P,
S_a = (a^2 (b^4 w (v+2 w)+(a^2-c^2) v (a^2 w-c^2 (2 v+w))-2 b^2 (a^2 w (v+w)+c^2 (-v w+u (v+w)))) : -b^2 (a^4 (v-w) w+b^4 w (v+w)+c^4 (2 u+w) (v+w)-2 a^2 c^2 (v^2+u w)-2 b^2 (a^2 v w+c^2 (u+w) (v+w))) : -c^2 (a^4 v (-v+w)+(b^2-c^2) (-c^2 v+b^2 (2 u+v)) (v+w)-2 a^2 (c^2 v w+b^2 (u v+w^2)))),
Si la ecuación de ℓ es px+qy+rz=0, la ecuación de Γ_a es:
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+
(x+y+z) (-((2 (2 a^4 b^4 c^2 p-2 a^2 b^6 c^2 p+2 a^4 b^2 c^4 p+4 a^2 b^4 c^4 p-2 a^2 b^2 c^6 p-a^4 b^4 c^2 q+b^8 c^2 q-a^4 b^2 c^4 q-2 a^2 b^4 c^4 q-3 b^6 c^4 q+2 a^2 b^2 c^6 q+3 b^4 c^6 q-b^2 c^8 q-a^4 b^4 c^2 r+2 a^2 b^6 c^2 r-b^8 c^2 r-a^4 b^2 c^4 r-2 a^2 b^4 c^4 r+3 b^6 c^4 r-3 b^4 c^6 r+b^2 c^8 r) x)/((a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2 p))-(2 (a^6 b^2 c^2 p-a^2 b^6 c^2 p+2 a^2 b^4 c^4 p-a^2 b^2 c^6 p-2 a^4 b^4 c^2 q+2 a^2 b^6 c^2 q-2 a^2 b^4 c^4 q-a^6 b^2 c^2 r+2 a^4 b^4 c^2 r-a^2 b^6 c^2 r+a^2 b^2 c^6 r) y)/((a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2 p)-(2 (a^6 b^2 c^2 p-a^2 b^6 c^2 p+2 a^2 b^4 c^4 p-a^2 b^2 c^6 p-a^6 b^2 c^2 q+a^2 b^6 c^2 q+2 a^4 b^2 c^4 q-a^2 b^2 c^6 q-2 a^4 b^2 c^4 r-2 a^2 b^4 c^4 r+2 a^2 b^2 c^6 r) z)/((a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2 p))=0.

f(ℓ) = (a^2 (a^4 (p - q) (p - r) - 2 a^2 (q - r) (b^2 (p - q) + c^2 (-p + r)) - b^4 (p - q) (p - 2 q + r) - 2 b^2 c^2 (-p^2 + q^2 - 3 q r + r^2 + p (q + r)) - c^4 (p + q - 2 r) (p - r)) : ... : ...).
Si m es la de un punto M, sobre una hipérbola circunscrita ℋ, que pasa por el baricentro, f(m) es el mismo para todo M.
Si L es el de intersección de Γ y ℋ, la envolvente de la recta Lf(m) es la elipse
( a^4 b^4 x^2-2 a^2 b^6 x^2+b^8 x^2-2 a^4 b^2 c^2 x^2+2 a^2 b^4 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2+2 a^2 b^2 c^4 x^2-2 b^4 c^4 x^2-2 a^2 c^6 x^2+c^8 x^2+2 a^6 b^2 x y-4 a^4 b^4 x y+2 a^2 b^6 x y+2 a^6 c^2 x y-2 a^4 b^2 c^2 x y-2 a^2 b^4 c^2 x y+2 b^6 c^2 x y-2 a^4 c^4 x y-30 a^2 b^2 c^4 x y-2 b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y-2 b^2 c^6 x y+2 c^8 x y+a^8 y^2-2 a^6 b^2 y^2+a^4 b^4 y^2+2 a^4 b^2 c^2 y^2-2 a^2 b^4 c^2 y^2-2 a^4 c^4 y^2+2 a^2 b^2 c^4 y^2+b^4 c^4 y^2-2 b^2 c^6 y^2+c^8 y^2+2 a^6 b^2 x z-2 a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z+2 b^8 x z+2 a^6 c^2 x z-2 a^4 b^2 c^2 x z-30 a^2 b^4 c^2 x z-2 b^6 c^2 x z-4 a^4 c^4 x z-2 a^2 b^2 c^4 x z-2 b^4 c^4 x z+2 a^2 c^6 x z+2 b^2 c^6 x z+2 a^8 y z-2 a^6 b^2 y z-2 a^4 b^4 y z+2 a^2 b^6 y z-2 a^6 c^2 y z-30 a^4 b^2 c^2 y z-2 a^2 b^4 c^2 y z+2 b^6 c^2 y z-2 a^4 c^4 y z-2 a^2 b^2 c^4 y z-4 b^4 c^4 y z+2 a^2 c^6 y z+2 b^2 c^6 y z+a^8 z^2-2 a^4 b^4 z^2+b^8 z^2-2 a^6 c^2 z^2+2 a^4 b^2 c^2 z^2+2 a^2 b^4 c^2 z^2-2 b^6 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2-2 a^2 b^2 c^4 z^2+b^4 c^4 z^2 = 0)
con centro O, eje mayor el diametro de Γ determinado por la recta de Euler y cuadrado de la longitud del eje menor .

Parallel trilinear polars (Paris Pamfilos)

[1] Every conic 𝒞 passing through the vertices of the triangle of reference ABC and the centroid G of this triangle is a hyperbola.
[2] All trilinear polars tr(M) of points M lying on 𝒞 are parallel to each other and define a point at infinity P0.
[3] P0 is the perspector of the hyperbola 𝒞 with respect to the triangle ABC.

En los pares de la siguiente lista, el primer elemento es un punto de la hipérbola ℋ, que pasa además por A, B,C, G (si está entre {}, es el cuarto punto L de Γ y ℋ) y el segundo elemento es el punto (sobre Γ) correspondiente a las tripolares (que son paralelas) de los puntos de ℋ.

{{98}, 74}, {{111}, 98}, {{110}, 99}, {{9058}, 100}, {{9057}, 101}, {{1311}, 102}, {{675}, 103}, {{105}, 104}, {{9061}, 105}, {{9083}, 106}, {{9064}, 107}, {{9107}, 108}, {{9056}, 109}, {{1302}, 110}, {{9084}, 111}, {{107}, 112}, {{9060}, 476}, {{842}, 477}, {2412, 675}, {{476}, 691}, {14614, 729}, {1999, 741}, {13739, 759}, {34085, 813}, {36098, 831}, {24002, 840}, {{477}, 841}, {{2770}, 842}, {8599, 843}, {655, 901}, {{15344}, 915}, {{9085}, 917}, {4558, 925}, {677, 927}, {14570, 930}, {16039, 933}, {13138, 934}, {{1304}, 935}, {{2726}, 953}, {9, 972}, {{1113}, 1113}, {{1114}, 1114}, {{5966}, 1141}, {{16166}, 1287}, {{1301}, 1289}, {37966, 1290}, {{100}, 1292}, {{9059}, 1293}, {{1297}, 1294}, {{26703}, 1295}, {{99}, 1296}, {{2373}, 1297}, {436, 1298}, {847, 1299}, {{3563}, 1300}, {35360, 1303}, {15459, 1304}, {1331, 1305}, {36037, 1308}, {28978, 1311}, {6190, 1379}, {6189, 1380}, {8732, 1477}, {37136, 2222}, {12848, 2291}, {1797, 2370}, {895, 2373}, {21466, 2378}, {21467, 2379}, {1487, 2383}, {{2752}, 2687}, {2073, 2688}, {{1290}, 2691}, {4591, 2692}, {{2697}, 2693}, {1325, 2694}, {2075, 2695}, {{691}, 2696}, {23, 2697}, {385, 2698}, {422, 2699}, {423, 2700}, {4615, 2705}, {450, 2706}, {425, 2707}, {415, 2708}, {{9080}, 2709}, {{2857}, 2710}, {17951, 2712}, {685, 2715}, {2167, 2716}, {765, 2717}, {5382, 2718}, {59, 2723}, {55, 2724}, {9503, 2725}, {36146, 2730}, {7128, 2733}, {222, 2734}, {36086, 2736}, {{901}, 2737}, {7012, 2739}, {666, 2742}, {3257, 2743}, {908, 2745}, {5380, 2746}, {5379, 2747}, {37963, 2752}, {{10102}, 2770}, {{2374}, 3563}, {{925}, 3565}, {3146, 5896}, {{34168}, 5897}, {3467, 5951}, {3629, 5966}, {36309, 5994}, {799, 6010}, {{9070}, 6011}, {{9136}, 6093}, {{9100}, 6233}, {{11636}, 6236}, {11163, 6323}, {174, 7597}, {1997, 8686}, {11056, 9076}, {9190, 9080}, {17092, 9105}, {3477, 9108}, {15328, 9161}, {23895, 9202}, {23896, 9203}, {{935}, 10098}, {{2766}, 10101}, {{16167}, 10420}, {{22239}, 10423}, {21468, 11612}, {21469, 11613}, {{9073}, 12032}, {1332, 13397}, {30512, 13398}, {11004, 13530}, {14146, 13594}, {34484, 13597}, {{6325}, 14388}, {37779, 14979}, {22836, 14987}, {{9082}, 15323}, {1249, 15324}, {1998, 15728}, {1156, 15731}, {5, 18401}, {{3565}, 20187}, {16868, 22751}, {230, 23700}, {11185, 23701}, {1814, 26703}, {{108}, 26706}, {{26711}, 26712}, {37070, 26717}, {{9103}, 28145}, {5556, 28149}, {5561, 28153}, {{9093}, 28159}, {3617, 28163}, {5560, 28167}, {{9108}, 28173}, {3634, 28177}, {3828, 28181}, {3626, 28185}, {4691, 28189}, {{9105}, 28193}, {3624, 28197}, {3632, 28203}, {4668, 28207}, {551, 28211}, {4114, 28215}, {3244, 28219}, {3625, 28223}, {3622, 28227}, {5550, 28231}, {{9095}, 28233}, {3621, 28235}, {{9086}, 28291}, {{9089}, 28293}, {6540, 28305}, {4597, 28318}, {32042, 28327}, {{9068}, 28467}, {1978, 28469}, {28974, 28471}, {{9067}, 28474}, {{835}, 28477}, {{8707}, 28480}, {4610, 28483}, {29840, 28485}, {4562, 28520}, {35180, 28560}, {4621, 28575}, {{2862}, 28838}, {16826, 28842}, {{9075}, 28844}, {7233, 28848}, {17244, 28853}, {29569, 28857}, {17397, 28861}, {17292, 28865}, {17389, 28869}, {29575, 28873}, {17310, 28876}, {5308, 28880}, {17367, 28884}, {17266, 28892}, {17308, 28896}, {17294, 28900}, {3008, 28914}, {{9074}, 29009}, {{9076}, 29011}, {3187, 29015}, {32778, 29019}, {29667, 29023}, {4812, 29027}, {29631, 29031}, {20565, 29042}, {20566, 29045}, {29679, 29049}, {3757, 29053}, {894, 29056}, {26227, 29068}, {32914, 29072}, {3771, 29084}, {29846, 29096}, {29850, 29100}, {29632, 29104}, {3618, 29180}, {261, 29206}, {37213, 29214}, {20017, 29218}, {1278, 29228}, {3011, 29242}, {{9110}, 29308}, {{9094}, 29310}, {428, 29316}, {3763, 29322}, {29649, 29326}, {17982, 29330}, {{9081}, 29348}, {751, 29352}, {29687, 29356}, {16825, 29364}, {29670, 29368}, {{9104}, 30236}, {644, 30237}, {4612, 30238}, {{112}, 30247}, {{3222}, 30254}, {{1296}, 30256}, {{6011}, 30257}, {5664, 32418}, {21464, 32420}, {21463, 32422}, {{9088}, 32704}, {1167, 32706}, {403, 32710}, {35178, 33638}, {22, 34168}, {811, 36516}

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

La tripolar de un punto Q=(f:g:h) corta a los lados de ABC en:
A₁=(0:-g:h), B₁=(f:0:-h), C₁=(-f:g:0).
El centro de semejanza S_a, cuando P=B₁ es:
S_ab = (-2 a^2 (-c^2 f+(a^2-b^2) h) : (a^2+b^2-c^2) ((a^2-b^2) h+c^2 (-2 f+h)) : 2 c^2 (b^2 f-c^2 f+a^2 h)).
Y el centro de semejanza S_a, cuando P=C₁ es:
S_ac = (-2 a^2 (-b^2 f+(a^2-c^2) g) : -2 b^2 (b^2 f-c^2 f-a^2 g) : (a^2-b^2+c^2) ((a^2-c^2) g+b^2 (-2 f+g))).
La ecuación de la recta ℓ_a=S_abS_ac es:
a^8 g h + 2 a^2 (b^4 - c^4) f (-c^2 g + b^2 h) - 2 a^6 f (c^2 g + b^2 h) + 2 a^4 (c^4 g (f - h) + b^2 c^2 f (2 f - g - h) + b^4 (f - g) h) - (b^2 - c^2)^3 (b^2 (2 f - g) h + c^2 g (-2 f + h))x+
2 (a^8 g h - a^2 (b^2 - c^2) (-c^4 f g + b^4 (2 f - g) h + b^2 c^2 g (-f + h)) - a^6 (b^2 (2 f + g) h + c^2 g (f + 2 h)) + a^4 (b^4 (4 f - g) h + c^4 g (2 f + h) + 2 b^2 c^2 (f^2 - f g + g h)))y *
2 (a^8 g h - a^2 (b^2 - c^2) (b^4 f h + b^2 c^2 (f - g) h + c^4 g (-2 f + h)) - a^6 (b^2 (f + 2 g) h + c^2 g (2 f + h)) + a^4 (c^4 g (4 f - h) + b^4 (2 f + g) h + 2 b^2 c^2 (f^2 - f h + g h)))z = 0.
Las rectas ℓ_b y ℓ_c se definen cíclicamente.
El triángulo UVW formado por las rectas ℓ_a, ℓ_b y ℓ_c es perspectivo con ABC si y solo si Q está sobre la recta GK, la , una isocúbica
( 1/(2 a^2 b^2 c^2) (a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+6 a^4 (b^4+c^4)-4 a^2 (b^6+c^6)+(b^2-c^2)^4) x y z+(a^2+b^2-c^2) (x^2+y^2) z+(a^2-b^2+c^2) y (x^2+z^2)+(-a^2+b^2+c^2) x (y^2+z^2) = 0)
no pivotal de polo G y raíz el o una séxtica.
( 8 a^10 b^2 c^4 x^4 y^2-16 a^8 b^4 c^4 x^4 y^2+8 a^6 b^6 c^4 x^4 y^2-8 a^8 b^2 c^6 x^4 y^2+16 a^6 b^4 c^6 x^4 y^2+8 a^4 b^6 c^6 x^4 y^2-8 a^6 b^2 c^8 x^4 y^2-16 a^4 b^4 c^8 x^4 y^2+8 a^4 b^2 c^10 x^4 y^2-4 a^12 c^4 x^3 y^3+4 a^10 b^2 c^4 x^3 y^3+4 a^8 b^4 c^4 x^3 y^3-8 a^6 b^6 c^4 x^3 y^3+4 a^4 b^8 c^4 x^3 y^3+4 a^2 b^10 c^4 x^3 y^3-4 b^12 c^4 x^3 y^3+16 a^10 c^6 x^3 y^3-16 a^8 b^2 c^6 x^3 y^3-16 a^6 b^4 c^6 x^3 y^3-16 a^4 b^6 c^6 x^3 y^3-16 a^2 b^8 c^6 x^3 y^3+16 b^10 c^6 x^3 y^3-20 a^8 c^8 x^3 y^3+40 a^6 b^2 c^8 x^3 y^3+56 a^4 b^4 c^8 x^3 y^3+40 a^2 b^6 c^8 x^3 y^3-20 b^8 c^8 x^3 y^3-64 a^4 b^2 c^10 x^3 y^3-64 a^2 b^4 c^10 x^3 y^3+20 a^4 c^12 x^3 y^3+52 a^2 b^2 c^12 x^3 y^3+20 b^4 c^12 x^3 y^3-16 a^2 c^14 x^3 y^3-16 b^2 c^14 x^3 y^3+4 c^16 x^3 y^3+8 a^6 b^6 c^4 x^2 y^4-16 a^4 b^8 c^4 x^2 y^4+8 a^2 b^10 c^4 x^2 y^4+8 a^6 b^4 c^6 x^2 y^4+16 a^4 b^6 c^6 x^2 y^4-8 a^2 b^8 c^6 x^2 y^4-16 a^4 b^4 c^8 x^2 y^4-8 a^2 b^6 c^8 x^2 y^4+8 a^2 b^4 c^10 x^2 y^4+4 a^12 b^2 c^2 x^4 y z-8 a^10 b^4 c^2 x^4 y z+8 a^6 b^8 c^2 x^4 y z-4 a^4 b^10 c^2 x^4 y z-8 a^10 b^2 c^4 x^4 y z+32 a^8 b^4 c^4 x^4 y z-24 a^6 b^6 c^4 x^4 y z-24 a^6 b^4 c^6 x^4 y z+8 a^4 b^6 c^6 x^4 y z+8 a^6 b^2 c^8 x^4 y z-4 a^4 b^2 c^10 x^4 y z-2 a^14 c^2 x^3 y^2 z-10 a^12 b^2 c^2 x^3 y^2 z+46 a^10 b^4 c^2 x^3 y^2 z-62 a^8 b^6 c^2 x^3 y^2 z+34 a^6 b^8 c^2 x^3 y^2 z+2 a^4 b^10 c^2 x^3 y^2 z-14 a^2 b^12 c^2 x^3 y^2 z+6 b^14 c^2 x^3 y^2 z+10 a^12 c^4 x^3 y^2 z-24 a^10 b^2 c^4 x^3 y^2 z-10 a^8 b^4 c^4 x^3 y^2 z+16 a^6 b^6 c^4 x^3 y^2 z-18 a^4 b^8 c^4 x^3 y^2 z+40 a^2 b^10 c^4 x^3 y^2 z-14 b^12 c^4 x^3 y^2 z-18 a^10 c^6 x^3 y^2 z+94 a^8 b^2 c^6 x^3 y^2 z+20 a^6 b^4 c^6 x^3 y^2 z-4 a^4 b^6 c^6 x^3 y^2 z-58 a^2 b^8 c^6 x^3 y^2 z-18 b^10 c^6 x^3 y^2 z+10 a^8 c^8 x^3 y^2 z-96 a^6 b^2 c^8 x^3 y^2 z-12 a^4 b^4 c^8 x^3 y^2 z+64 a^2 b^6 c^8 x^3 y^2 z+90 b^8 c^8 x^3 y^2 z+10 a^6 c^10 x^3 y^2 z+50 a^4 b^2 c^10 x^3 y^2 z-34 a^2 b^4 c^10 x^3 y^2 z-110 b^6 c^10 x^3 y^2 z-18 a^4 c^12 x^3 y^2 z-8 a^2 b^2 c^12 x^3 y^2 z+54 b^4 c^12 x^3 y^2 z+10 a^2 c^14 x^3 y^2 z-6 b^2 c^14 x^3 y^2 z-2 c^16 x^3 y^2 z+6 a^14 c^2 x^2 y^3 z-14 a^12 b^2 c^2 x^2 y^3 z+2 a^10 b^4 c^2 x^2 y^3 z+34 a^8 b^6 c^2 x^2 y^3 z-62 a^6 b^8 c^2 x^2 y^3 z+46 a^4 b^10 c^2 x^2 y^3 z-10 a^2 b^12 c^2 x^2 y^3 z-2 b^14 c^2 x^2 y^3 z-14 a^12 c^4 x^2 y^3 z+40 a^10 b^2 c^4 x^2 y^3 z-18 a^8 b^4 c^4 x^2 y^3 z+16 a^6 b^6 c^4 x^2 y^3 z-10 a^4 b^8 c^4 x^2 y^3 z-24 a^2 b^10 c^4 x^2 y^3 z+10 b^12 c^4 x^2 y^3 z-18 a^10 c^6 x^2 y^3 z-58 a^8 b^2 c^6 x^2 y^3 z-4 a^6 b^4 c^6 x^2 y^3 z+20 a^4 b^6 c^6 x^2 y^3 z+94 a^2 b^8 c^6 x^2 y^3 z-18 b^10 c^6 x^2 y^3 z+90 a^8 c^8 x^2 y^3 z+64 a^6 b^2 c^8 x^2 y^3 z-12 a^4 b^4 c^8 x^2 y^3 z-96 a^2 b^6 c^8 x^2 y^3 z+10 b^8 c^8 x^2 y^3 z-110 a^6 c^10 x^2 y^3 z-34 a^4 b^2 c^10 x^2 y^3 z+50 a^2 b^4 c^10 x^2 y^3 z+10 b^6 c^10 x^2 y^3 z+54 a^4 c^12 x^2 y^3 z-8 a^2 b^2 c^12 x^2 y^3 z-18 b^4 c^12 x^2 y^3 z-6 a^2 c^14 x^2 y^3 z+10 b^2 c^14 x^2 y^3 z-2 c^16 x^2 y^3 z-4 a^10 b^4 c^2 x y^4 z+8 a^8 b^6 c^2 x y^4 z-8 a^4 b^10 c^2 x y^4 z+4 a^2 b^12 c^2 x y^4 z-24 a^6 b^6 c^4 x y^4 z+32 a^4 b^8 c^4 x y^4 z-8 a^2 b^10 c^4 x y^4 z+8 a^6 b^4 c^6 x y^4 z-24 a^4 b^6 c^6 x y^4 z+8 a^2 b^6 c^8 x y^4 z-4 a^2 b^4 c^10 x y^4 z+8 a^10 b^4 c^2 x^4 z^2-8 a^8 b^6 c^2 x^4 z^2-8 a^6 b^8 c^2 x^4 z^2+8 a^4 b^10 c^2 x^4 z^2-16 a^8 b^4 c^4 x^4 z^2+16 a^6 b^6 c^4 x^4 z^2-16 a^4 b^8 c^4 x^4 z^2+8 a^6 b^4 c^6 x^4 z^2+8 a^4 b^6 c^6 x^4 z^2-2 a^14 b^2 x^3 y z^2+10 a^12 b^4 x^3 y z^2-18 a^10 b^6 x^3 y z^2+10 a^8 b^8 x^3 y z^2+10 a^6 b^10 x^3 y z^2-18 a^4 b^12 x^3 y z^2+10 a^2 b^14 x^3 y z^2-2 b^16 x^3 y z^2-10 a^12 b^2 c^2 x^3 y z^2-24 a^10 b^4 c^2 x^3 y z^2+94 a^8 b^6 c^2 x^3 y z^2-96 a^6 b^8 c^2 x^3 y z^2+50 a^4 b^10 c^2 x^3 y z^2-8 a^2 b^12 c^2 x^3 y z^2-6 b^14 c^2 x^3 y z^2+46 a^10 b^2 c^4 x^3 y z^2-10 a^8 b^4 c^4 x^3 y z^2+20 a^6 b^6 c^4 x^3 y z^2-12 a^4 b^8 c^4 x^3 y z^2-34 a^2 b^10 c^4 x^3 y z^2+54 b^12 c^4 x^3 y z^2-62 a^8 b^2 c^6 x^3 y z^2+16 a^6 b^4 c^6 x^3 y z^2-4 a^4 b^6 c^6 x^3 y z^2+64 a^2 b^8 c^6 x^3 y z^2-110 b^10 c^6 x^3 y z^2+34 a^6 b^2 c^8 x^3 y z^2-18 a^4 b^4 c^8 x^3 y z^2-58 a^2 b^6 c^8 x^3 y z^2+90 b^8 c^8 x^3 y z^2+2 a^4 b^2 c^10 x^3 y z^2+40 a^2 b^4 c^10 x^3 y z^2-18 b^6 c^10 x^3 y z^2-14 a^2 b^2 c^12 x^3 y z^2-14 b^4 c^12 x^3 y z^2+6 b^2 c^14 x^3 y z^2+a^16 x^2 y^2 z^2-20 a^12 b^4 x^2 y^2 z^2+64 a^10 b^6 x^2 y^2 z^2-90 a^8 b^8 x^2 y^2 z^2+64 a^6 b^10 x^2 y^2 z^2-20 a^4 b^12 x^2 y^2 z^2+b^16 x^2 y^2 z^2+48 a^12 b^2 c^2 x^2 y^2 z^2-96 a^10 b^4 c^2 x^2 y^2 z^2+48 a^8 b^6 c^2 x^2 y^2 z^2+48 a^6 b^8 c^2 x^2 y^2 z^2-96 a^4 b^10 c^2 x^2 y^2 z^2+48 a^2 b^12 c^2 x^2 y^2 z^2-20 a^12 c^4 x^2 y^2 z^2-96 a^10 b^2 c^4 x^2 y^2 z^2+84 a^8 b^4 c^4 x^2 y^2 z^2-32 a^6 b^6 c^4 x^2 y^2 z^2+84 a^4 b^8 c^4 x^2 y^2 z^2-96 a^2 b^10 c^4 x^2 y^2 z^2-20 b^12 c^4 x^2 y^2 z^2+64 a^10 c^6 x^2 y^2 z^2+48 a^8 b^2 c^6 x^2 y^2 z^2-32 a^6 b^4 c^6 x^2 y^2 z^2-32 a^4 b^6 c^6 x^2 y^2 z^2+48 a^2 b^8 c^6 x^2 y^2 z^2+64 b^10 c^6 x^2 y^2 z^2-90 a^8 c^8 x^2 y^2 z^2+48 a^6 b^2 c^8 x^2 y^2 z^2+84 a^4 b^4 c^8 x^2 y^2 z^2+48 a^2 b^6 c^8 x^2 y^2 z^2-90 b^8 c^8 x^2 y^2 z^2+64 a^6 c^10 x^2 y^2 z^2-96 a^4 b^2 c^10 x^2 y^2 z^2-96 a^2 b^4 c^10 x^2 y^2 z^2+64 b^6 c^10 x^2 y^2 z^2-20 a^4 c^12 x^2 y^2 z^2+48 a^2 b^2 c^12 x^2 y^2 z^2-20 b^4 c^12 x^2 y^2 z^2+c^16 x^2 y^2 z^2-2 a^16 x y^3 z^2+10 a^14 b^2 x y^3 z^2-18 a^12 b^4 x y^3 z^2+10 a^10 b^6 x y^3 z^2+10 a^8 b^8 x y^3 z^2-18 a^6 b^10 x y^3 z^2+10 a^4 b^12 x y^3 z^2-2 a^2 b^14 x y^3 z^2-6 a^14 c^2 x y^3 z^2-8 a^12 b^2 c^2 x y^3 z^2+50 a^10 b^4 c^2 x y^3 z^2-96 a^8 b^6 c^2 x y^3 z^2+94 a^6 b^8 c^2 x y^3 z^2-24 a^4 b^10 c^2 x y^3 z^2-10 a^2 b^12 c^2 x y^3 z^2+54 a^12 c^4 x y^3 z^2-34 a^10 b^2 c^4 x y^3 z^2-12 a^8 b^4 c^4 x y^3 z^2+20 a^6 b^6 c^4 x y^3 z^2-10 a^4 b^8 c^4 x y^3 z^2+46 a^2 b^10 c^4 x y^3 z^2-110 a^10 c^6 x y^3 z^2+64 a^8 b^2 c^6 x y^3 z^2-4 a^6 b^4 c^6 x y^3 z^2+16 a^4 b^6 c^6 x y^3 z^2-62 a^2 b^8 c^6 x y^3 z^2+90 a^8 c^8 x y^3 z^2-58 a^6 b^2 c^8 x y^3 z^2-18 a^4 b^4 c^8 x y^3 z^2+34 a^2 b^6 c^8 x y^3 z^2-18 a^6 c^10 x y^3 z^2+40 a^4 b^2 c^10 x y^3 z^2+2 a^2 b^4 c^10 x y^3 z^2-14 a^4 c^12 x y^3 z^2-14 a^2 b^2 c^12 x y^3 z^2+6 a^2 c^14 x y^3 z^2+8 a^10 b^4 c^2 y^4 z^2-8 a^8 b^6 c^2 y^4 z^2-8 a^6 b^8 c^2 y^4 z^2+8 a^4 b^10 c^2 y^4 z^2-16 a^8 b^4 c^4 y^4 z^2+16 a^6 b^6 c^4 y^4 z^2-16 a^4 b^8 c^4 y^4 z^2+8 a^6 b^4 c^6 y^4 z^2+8 a^4 b^6 c^6 y^4 z^2-4 a^12 b^4 x^3 z^3+16 a^10 b^6 x^3 z^3-20 a^8 b^8 x^3 z^3+20 a^4 b^12 x^3 z^3-16 a^2 b^14 x^3 z^3+4 b^16 x^3 z^3+4 a^10 b^4 c^2 x^3 z^3-16 a^8 b^6 c^2 x^3 z^3+40 a^6 b^8 c^2 x^3 z^3-64 a^4 b^10 c^2 x^3 z^3+52 a^2 b^12 c^2 x^3 z^3-16 b^14 c^2 x^3 z^3+4 a^8 b^4 c^4 x^3 z^3-16 a^6 b^6 c^4 x^3 z^3+56 a^4 b^8 c^4 x^3 z^3-64 a^2 b^10 c^4 x^3 z^3+20 b^12 c^4 x^3 z^3-8 a^6 b^4 c^6 x^3 z^3-16 a^4 b^6 c^6 x^3 z^3+40 a^2 b^8 c^6 x^3 z^3+4 a^4 b^4 c^8 x^3 z^3-16 a^2 b^6 c^8 x^3 z^3-20 b^8 c^8 x^3 z^3+4 a^2 b^4 c^10 x^3 z^3+16 b^6 c^10 x^3 z^3-4 b^4 c^12 x^3 z^3+6 a^14 b^2 x^2 y z^3-14 a^12 b^4 x^2 y z^3-18 a^10 b^6 x^2 y z^3+90 a^8 b^8 x^2 y z^3-110 a^6 b^10 x^2 y z^3+54 a^4 b^12 x^2 y z^3-6 a^2 b^14 x^2 y z^3-2 b^16 x^2 y z^3-14 a^12 b^2 c^2 x^2 y z^3+40 a^10 b^4 c^2 x^2 y z^3-58 a^8 b^6 c^2 x^2 y z^3+64 a^6 b^8 c^2 x^2 y z^3-34 a^4 b^10 c^2 x^2 y z^3-8 a^2 b^12 c^2 x^2 y z^3+10 b^14 c^2 x^2 y z^3+2 a^10 b^2 c^4 x^2 y z^3-18 a^8 b^4 c^4 x^2 y z^3-4 a^6 b^6 c^4 x^2 y z^3-12 a^4 b^8 c^4 x^2 y z^3+50 a^2 b^10 c^4 x^2 y z^3-18 b^12 c^4 x^2 y z^3+34 a^8 b^2 c^6 x^2 y z^3+16 a^6 b^4 c^6 x^2 y z^3+20 a^4 b^6 c^6 x^2 y z^3-96 a^2 b^8 c^6 x^2 y z^3+10 b^10 c^6 x^2 y z^3-62 a^6 b^2 c^8 x^2 y z^3-10 a^4 b^4 c^8 x^2 y z^3+94 a^2 b^6 c^8 x^2 y z^3+10 b^8 c^8 x^2 y z^3+46 a^4 b^2 c^10 x^2 y z^3-24 a^2 b^4 c^10 x^2 y z^3-18 b^6 c^10 x^2 y z^3-10 a^2 b^2 c^12 x^2 y z^3+10 b^4 c^12 x^2 y z^3-2 b^2 c^14 x^2 y z^3-2 a^16 x y^2 z^3-6 a^14 b^2 x y^2 z^3+54 a^12 b^4 x y^2 z^3-110 a^10 b^6 x y^2 z^3+90 a^8 b^8 x y^2 z^3-18 a^6 b^10 x y^2 z^3-14 a^4 b^12 x y^2 z^3+6 a^2 b^14 x y^2 z^3+10 a^14 c^2 x y^2 z^3-8 a^12 b^2 c^2 x y^2 z^3-34 a^10 b^4 c^2 x y^2 z^3+64 a^8 b^6 c^2 x y^2 z^3-58 a^6 b^8 c^2 x y^2 z^3+40 a^4 b^10 c^2 x y^2 z^3-14 a^2 b^12 c^2 x y^2 z^3-18 a^12 c^4 x y^2 z^3+50 a^10 b^2 c^4 x y^2 z^3-12 a^8 b^4 c^4 x y^2 z^3-4 a^6 b^6 c^4 x y^2 z^3-18 a^4 b^8 c^4 x y^2 z^3+2 a^2 b^10 c^4 x y^2 z^3+10 a^10 c^6 x y^2 z^3-96 a^8 b^2 c^6 x y^2 z^3+20 a^6 b^4 c^6 x y^2 z^3+16 a^4 b^6 c^6 x y^2 z^3+34 a^2 b^8 c^6 x y^2 z^3+10 a^8 c^8 x y^2 z^3+94 a^6 b^2 c^8 x y^2 z^3-10 a^4 b^4 c^8 x y^2 z^3-62 a^2 b^6 c^8 x y^2 z^3-18 a^6 c^10 x y^2 z^3-24 a^4 b^2 c^10 x y^2 z^3+46 a^2 b^4 c^10 x y^2 z^3+10 a^4 c^12 x y^2 z^3-10 a^2 b^2 c^12 x y^2 z^3-2 a^2 c^14 x y^2 z^3+4 a^16 y^3 z^3-16 a^14 b^2 y^3 z^3+20 a^12 b^4 y^3 z^3-20 a^8 b^8 y^3 z^3+16 a^6 b^10 y^3 z^3-4 a^4 b^12 y^3 z^3-16 a^14 c^2 y^3 z^3+52 a^12 b^2 c^2 y^3 z^3-64 a^10 b^4 c^2 y^3 z^3+40 a^8 b^6 c^2 y^3 z^3-16 a^6 b^8 c^2 y^3 z^3+4 a^4 b^10 c^2 y^3 z^3+20 a^12 c^4 y^3 z^3-64 a^10 b^2 c^4 y^3 z^3+56 a^8 b^4 c^4 y^3 z^3-16 a^6 b^6 c^4 y^3 z^3+4 a^4 b^8 c^4 y^3 z^3+40 a^8 b^2 c^6 y^3 z^3-16 a^6 b^4 c^6 y^3 z^3-8 a^4 b^6 c^6 y^3 z^3-20 a^8 c^8 y^3 z^3-16 a^6 b^2 c^8 y^3 z^3+4 a^4 b^4 c^8 y^3 z^3+16 a^6 c^10 y^3 z^3+4 a^4 b^2 c^10 y^3 z^3-4 a^4 c^12 y^3 z^3+8 a^6 b^6 c^4 x^2 z^4-16 a^4 b^8 c^4 x^2 z^4+8 a^2 b^10 c^4 x^2 z^4+8 a^6 b^4 c^6 x^2 z^4+16 a^4 b^6 c^6 x^2 z^4-8 a^2 b^8 c^6 x^2 z^4-16 a^4 b^4 c^8 x^2 z^4-8 a^2 b^6 c^8 x^2 z^4+8 a^2 b^4 c^10 x^2 z^4-4 a^10 b^2 c^4 x y z^4+8 a^6 b^6 c^4 x y z^4-4 a^2 b^10 c^4 x y z^4+8 a^8 b^2 c^6 x y z^4-24 a^6 b^4 c^6 x y z^4-24 a^4 b^6 c^6 x y z^4+8 a^2 b^8 c^6 x y z^4+32 a^4 b^4 c^8 x y z^4-8 a^4 b^2 c^10 x y z^4-8 a^2 b^4 c^10 x y z^4+4 a^2 b^2 c^12 x y z^4+8 a^10 b^2 c^4 y^2 z^4-16 a^8 b^4 c^4 y^2 z^4+8 a^6 b^6 c^4 y^2 z^4-8 a^8 b^2 c^6 y^2 z^4+16 a^6 b^4 c^6 y^2 z^4+8 a^4 b^6 c^6 y^2 z^4-8 a^6 b^2 c^8 y^2 z^4-16 a^4 b^4 c^8 y^2 z^4+8 a^4 b^2 c^10 y^2 z^4 = 0)

El lugar geomérico del centro de perspectividad Q'=Φ(Q) de ABC y UVW, cuando Q recorre la cónica circunscrita de MacBeath, es la circunferencia circunacrita a ABC.
En particular, {Q=X_i, Q'=X_j}, para {i,j}: {110, 2710}, {287, 2710}, {648, 2693}, {651, 2745}, {895, 23701}, {2986, 32710}, {2987, 23700}, {8115, 74}, {8116, 74}, {14919, 2693}.

Los siguientes casos corresponden a puntos Q sobre la recta GK:

Φ(G)= O.
Φ(K) = ( a^2 (a^8 + 4 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 4 a^4 (b^4 - 3 b^2 c^2 + c^4)- b^8 + 6 b^4 c^4 - c^8) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.713061416586531, 0.589773744171168, 2.90325431290286).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {182,378}, {187,15066}, {287,3972}, {458,37648}, {512,1995}, {524,1003}, {3003,30541}, {5422,19220}, {5663,11653}.

Φ(X₁₉₉₃)= X₆₄, del .

Une construction de X(64)

Emile Lemoine, "Quelques questions se rapportant à l'étude des antiparallèles des côtes d'un triangle", Bulletin de la S. M. F., tome 14 (1886), p. 107-128, specifically, on page 110.

A₁, B₁, C₁ les pôles de BC, AC, AB par rapport au cercle circonscrit. ℓ_a est la antiparallèle à BC que passe par A₁. De même ℓ_b et ℓ_c, respectivement antiparallèles à A C que passe par B₁. et à AB que passe par C₁. Nous appellerons La, Lb, Lc les sommets du triangle formé par les droites ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c, ℓ_a étant l'intersection des droites ℓ_b, ℓ_c,....
Les deux triangles ABC, L_aL_bL_c sont homologiques ; le centre d'homologie a pour coordonnées
1/(cosA-cosBcosC), 1/(cosB-cosCcosA), 1/(cosC-cosAcosB).
Domingo, 2 de agosto del 2020
Las circunferencias de Mannheim y el segundo punto de Sharygin

Un aniversario personal especial

Darij Grinberg, Sharygin Points Report, Hyacinthos #6293 (Jan 8, 2003)

Let ABC be a triangle. The internal angle bisectors from A, B, C meet BC, CA, AB at A', B', C'. The external angle bisectors from A, B, C meet BC, CA, AB at A", B", C". Let X, X', Y, Y', Z, Z' be the midpoints and x, x', y, y', z, z' the perpendicular bisectors of the segments AA', AA", BB', BB", CC', CC" respectively.
Now define the points
D = y ∩ z, E = z ∩ x and F = x ∩ y; D' = y' ∩ z', E' = z' ∩ x' and F' = x' ∩ y'.
The triangles DEF and D'E'F' are the triangles enclosed by the perpendicular bisectors of the internal and external angle bisectors of ABC, respectively.
The triangles ABC, DEF and D'E'F' are mutually perspective, having a common perspectrix - this is the Lemoine axis of triangle ABC.
The perspector of ABC and DEF is the 1ST SHARYGIN POINT of ABC.
The perspector of ABC and D'E'F' is the 2nd SHARYGIN POINT of ABC.

La Γ_a es tangente a la circunferencia Γ, circunscrita a un triángulo ABC, en el punto T_a y es tangente a los lados AB y AC en los puntos A_c y A_b. respectivamente.
Las rectas BC y A_bA_c se cortan en U. La tangente en T_a a Γ interseca a A_bA_c en X.
Sea ℓ_a la mediatriz del segmento UX, y se definen cíclicamente las rectas ℓ_b y ℓ_c. Las rectas ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c forman un triángulo .
Los triángulos ABC y son perspectivos, con centro de perspectividad el segundo punto de Sharygin.
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En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC:
A_b = (-a - b + c : 0 : -2 c), A_c = (a - b + c : 2 b, 0),
T_a = (a (-a^2 + (b - c)^2) : 2 b^2 (a + b - c) : 2 c^2 (a - b + c)),
U = (0 : -b (a + b - c) : c (a - b + c)),
Y = (-a^2 + (b - c)^2) (b - c) : -2 b^2 (a + b - c) : 2 c^2 (a - b + c)),
ℓ_a: b c (a^2 + (b - c)^2 + 2 a (b + c))x + c^2 (a - b + c) (a + 3 b + c)y + b^2 (a + b - c) (a + b + 3 c)z = 0,

A₂ = (-a (a^4 + 2 a^3 (b + c) + 2 a b c (b + c) - b c (b + c)^2 + a^2 (-3 b^2 + b c - 3 c^2)) :
b (-3 a^3 b - c^2 (b + c)^2 + a^2 (2 b^2 + 2 b c + 3 c^2) + a (b^3 + 2 b^2 c - b c^2 - 2 c^3)) :
c (-3 a^3 c - b^2 (b + c)^2 + a^2 (3 b^2 + 2 b c + 2 c^2) + a (-2 b^3 - b^2 c + 2 b c^2 + c^3))).

X₂₉₁ = ( a/(a^2 - bc) : b/(b^2 - ca) : c/(c^2 - ab).
NOTA. Una propiedad del pimer y segundo punto de Sharygin aparecen en http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejtr2475.pdf

Como la recta A_bA_c es perpendicular a la bisectriz interior en A, los triángulos ABC y son , con centro de paralelogía de ABC respecto a el incentro.
El centro de paralelogía de recpaecto a ABC es Z =(r^2-4 r R+s^2)X₆₅₉ + 8 r R X₈₇₅ (r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita y s el semiperímetro de ABC).
Z = ( a (b-c) (a^4+2 a^3 (b+c)+a^2 (-3 b^2+b c-3 c^2)+2 a b c (b+c)-b c (b+c)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-3.87341833362457, 1.92531313640961, 4.09548692606599).
Martes, 28 de julio del 2020
La elipse lugar geométrico de los ortopolos de la rectas que pasan por el incentro

El 28 de julio de 1818 falleció (a los 72 años) el matemático francés Gaspard Monge, considerado el padre de la geometría diferencial debido a su trabajo "Application de l'analyse à la géométrie", donde introdujo el concepto de líneas de curvatura de una superficie en un espacio tridimensional. Desarrolló un método general para aplicar geometría a problemas de construcción. También introdujo dos planos de proyección en ángulo recto entre sí para la descripción gráfica de objetos sólidos. Estas técnicas se generalizaron en un sistema llamado géométrie descriptiva. Estudió las superficies minimales de manera puramente teórica. Una superficie regular M se dice que es de Monge si M={(u,v,f(u,v))∈R³: (u,v)∈U}, donde f es una función diferenciable definida en un abierto U de R². Una superficie de Monge es minimal si y solo si
f_uu(1 +f²_v)-2f_uf_vf_uv+f_vv(1 +f²_u) = 0.

Dados un triángulo ABC, un punto P y una recta ℓ que pasa por P, el lugar geométrico del L de ℓ, cuando ésta gira alrededor de P, es una cónica,
( Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:

𝔖_{_{abc uvw xyz}} ((a^2-b^2 -c^2 )v-2 b^2 w) ((a^2 -b^2 -c^2) w-2 c^2 v)((a^4 -(b^2-c^2)^2) u-2 a^2 (b^2+c^2-a^2) (v+w))x^2+ 2 (a^8 v w (u+v+w)+(b^2-c^2)^2 u (c^4 v^2+b^4 w^2-b^2 c^2 (4 u^2+v^2+w^2+4 u (v+w)))+a^6 (c^2 v (2 u^2+(v-w) w+u (3 v+w))+b^2 w (2 u^2+v (-v+w)+u (v+3 w)))+a^2 (b^2-c^2) (b^2 c^2 (v-w) (-6 u^2+2 v w-3 u (v+w))-c^4 v (2 u^2+w (3 v+w)+u (v+3 w))+b^4 w (2 u^2+u (3 v+w)+v (v+3 w)))-a^4 (c^4 v (u+w) (4 u+5 v+w)+b^4 (u+v) w (4 u+v+5 w)-b^2 c^2 (4 u^3+8 u^2 (v+w)+6 v w (v+w)+u (v^2+18 v w+w^2))))y z = 0.
)
𝒸(P). Su centro es el punto medio de P y el ortocentro.
En particular, cuando P es el incentro la ecuación de la cónica 𝒞(I) es:
𝔖_{_{abc xyz}} (b+c-a)^2 (a^3+a^2 (b+c)-a (b+c)^2-(b-c)^2 (b+c))x^2+2 a (a^2-(b-c)^2)^2y z = 0.
Su centro es X₉₄₆ ("center of conic that is the locus of orthopoles of lines passing through X(1)") y pasa por los centros del triángulo X_i, para i∈{11, 1537, 1565, 21618, 38357, 38384, 38385, 38386} y está circunscrita a la , DEF.
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Si es el , sea A'B'C' el triángulo formado por las perpendiculares por M_a, M_b y M_c a las bisectrices en A, B y C, respectivamente.
La cónica 𝒞(I) es la imagen de la circunferencia inscrita a ABC, mediante la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C'.
El punto fijo finito de σ es el y las rectas dobles pasan por los extremos, X₂₄₄₆ y X₂₄₄₇, del diámetro de la circunferencia inscrita que pasa por el circuncentro.
El triángulo , cuya imagen por σ es DEF, es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₅₅, centro de homotecia interior de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC.
Martes, 21 de julio del 2020
La elipse circunscrita de centro el simediano, como lugar geométrico

El 21 de julio de 1873 falleció (a los 49 años) Delfino Codazzi matemático italiano que hizo importante contribuciobes a la geometría diferencial de superficies, tales como sus famosas fórmulas que se han demostrado ser de capital importancia en la teoría de superficies. Hoy día, dichas fórmulas son conocidas como las ecuaciones de Mainardi-Codazzi, que son dos relaciones entre la primera y segunda forma fundamental de una superficie que junto con la ecuación de Gauss, dan condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una superficie, con esa primera y segunda forma fundamental, en R³.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el de P.
La circunferencia que pasa por A, E y el circuncentro O=X₃, vuelve a cortar a la recta AB en E' y a la circunferencia circunscrita en E₁, sea A_b la reflexión de E₁ en EE' (queda sobre BC).
La circunferencia que pasa por A, F y O, vuelve a cortar a la recta AC en F' y a la circunferencia circunscrita en F₁, sea A_c la reflexión de F₁ en FF' (queda sobre BC).
Los puntos B_c, B_a, C_a y C_b se definen cíclicamente.
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Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a y C_b están sobre una misma cónica, 𝒞(P), si y solo si P está sobre la recta de Euler o sobre la circunferencia circunscrita, Γ, a ABC.

Si P=(a^2 t(t-1) : -b^2 (t-1) : c^2 t) son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre Γ, el lugar geométrico del centro
W_t = ( (c^2 + a^2 (-1 + t)) (b^2 - a^2 t) :
(b^2 - a^2 t) (b^2 (-1 + t) - c^2 t) :
-(c^2 + a^2 (-1 + t)) (-b^2 (-1 + t) + c^2 t)),
de la cónica
( (a^2-b^2-c^2) (-b^2+a^2 t) (-a^2+c^2+a^2 t) (-b^2+b^2 t-c^2 t) x^2+(a^2-b^2+c^2) t (-b^2+a^2 t) (-a^2+c^2+a^2 t) (-b^2+b^2 t-c^2 t) y^2+2 a^2 t (a^4 b^2+b^6 t+a^4 c^2 t+c^6 t) x z+2 b^2 t^2 (a^6+b^4 c^2+c^6+a^2 b^4 t) y z-(a^2+b^2-c^2) (-1+t) (-b^2+a^2 t) (-a^2+c^2+a^2 t) (-b^2+b^2 t-c^2 t) z^2 = 0)
𝒞(P), cuando P varía sobre Γ, es:
(-a^4 + a^2 b^2 + a^2 c^2) y z + (a^2 b^2 - b^4 + b^2 c^2) z x + (a^2 c^2 + b^2 c^2 - c^4) x y = 0,
que es la ecuación de la elipse de centro el . Pasa por los X_i, para i∈{110, 287, 648, 651, 677, 895, 1331, 1332, 1797, 1813, 1814, 1815, 2986, 2987, 2988, 2989, 2990, 2991, 4558, 4563, 8115, 8116, 8759, 9190, 13136, 13138, 14919, 16039, 17708, 18315, 38413, 38414}.

El centro de la cónica 𝒞() es X₁₁₀, foco de la .
Sábado, 18 de julio del 2020
Centro de homotecia externo de las circunferencias inscrita y circunscrita

El 18 de julio de 1918 nació el líder nacionalista negro Nelson Mandela, cuya larga prisión (1962-1990) y su ascensión a la Presidencia de Sudáfrica (1994-1999) simbolizará las aspiraciones de su pueblo.

Sean ABC un triángulo A'B'C' y su imagen mediante la homotecia que transforma la circunferencia circunscrita en la inscrita (su razón es r/R y su centro es X₅₆, del ).
El de la circunferencia inscrita respecto a A'B'C' es X₁₄₆₉.

El A"B"C", de la circunferencia inscrita a ABC respecto a A'B'C', es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₆₅ (ortocentro del ).
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El centro de la (bc(a+b)(a+c)(a-b-c)^2x^2- a(b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a^2+a(b+c)+2bc)yz+ ... = 0) de ABC y A"B"C" es:
W = ( a^2(b+c)(a^2-(b-c)^2) (a^2 (b+c)-a (b^2+c^2)-b c (b+c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (7.15669680131694, 8.08134630993316, -5.25720456403870).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,9551}, {7,8049}, {42,181}, {55,34429}, {65,1418}, {73,3649}, {145,37558}, {256,13265}, {1064,1537}, {1071,3931}, {1214,15185}, {1284,2594}, {1404,2309}, {1409,2293}, {1818,3696}, {1827,1880}, {2171,2667}, {3747,21741}, {4068,4559}, {4334,5586}, {4343,14100}, {4424,11570}, {4551,29822}, {4552,25295}, {10052,24248}, {17077,17135}, {21035,21794}, {21859,22279}.

Los de ABC y A"B"C" (b c (-a + b + c)x+...=0) y el de A'B'C' y A"B"C", (b c (-a + b + c) (-a^2 + a b + a c + 2 b c)x+ ...=0), son paralelos y tinen la direccióm de X₃₆₆₉=(a(b-c)(a^2-(b-c)^2) :...:..), con respecto a la circunferencia inscrita de la recta que pasa por los puntos de y Nagel.
Jueves, 16 de julio del 2020
El centro del triángulo X(31392)

El 16 de julio de 1801 nació Julius Plücker, matemático y físico alemán especialista en curvas algebraicas. Plücker generaliza el concepto de coordenadas homogéneas de Möebius, que aplica a la recta y al plano y a las curvas algebraicas construyendo una teoría analítica de la geometría proyectiva.

X₃₁₃₉₂ (Antreas Hatzipolakis and Angel Montesdeoca, Hyacinthos 28850)

Let ABC be a triangle.
Denote:
(O₁) ,(O₁), (O₃) = the circumcircles of NBC, NCA, NAB, resp.
(O_a) ,(O_b), (O_c) = the reflections of (O₁) ,(O₁), (O₃) in BC, CA, AB, resp.
They concurr at D = antigonal conjugate of N = X(1263).

The circumcircles of DAO_a, DBO_b, DCO_c are coaxial.
2nd (other than D=X(1263)) intersection is X(31392) = REFLECTION OF X(5) IN X(14051).

Barycentrics (a^4+(b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+2 c^2)) (a^12-(b^2-c^2)^6-a^10 (4 b^2+3 c^2)+a^8 (5 b^4+5 b^2 c^2+3 c^4)-a^6 (3 b^4 c^2+2 b^2 c^4)+a^2 (b^2-c^2)^2 (4 b^6-6 b^4 c^2-3 b^2 c^4+3 c^6)+a^4 (-5 b^8+9 b^6 c^2+b^4 c^4+4 b^2 c^6-3 c^8)) : :

Dado un triángulo ABC, A' es el simétrico de A respecto a BC. La mediatriz de BA' corta a AC en A_b y la mediatriz de CA' corta a AB en A_c. Sea A" la proyección ortogonal de A' sobre la recta A_bA_c. Se definen B" y C" cíclicamente.
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En coordenadas baricéntricas:
A_b = (a^2 (a^2 - b^2) : 0 : -a^4 - (b^2 - c^2)^2 + a^2 (2 b^2 + c^2)),

A_c = ( a^2(a^2- c^2) : -a^4 - (b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + 2 c^2) : 0),

A" = (2 a^12 - 7 a^10 (b^2 + c^2) - a^2 (b^2 - c^2)^4 (b^2 + c^2) + 10 a^8 (b^4 + b^2 c^2 + c^4) + a^4 (b^2 - c^2)^2 (4 b^4 + 3 b^2 c^2 + 4 c^4) - a^6 (8 b^6 + b^4 c^2 + b^2 c^4 + 8 c^6):
-(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + 2 c^2)) (a^8 - (b^2 - c^2)^3 (b^2 + c^2) - 2 a^6 (b^2 + 2 c^2) + 3 a^4 c^2 (b^2 + 2 c^2) + a^2 (2 b^6 - b^4 c^2 + 3 b^2 c^4 - 4 c^6)):
-(a^4 + (b^2 - c^2)^2 - a^2 (2 b^2 + c^2)) (a^8 + (b^2 - c^2)^3 (b^2 + c^2) - 2 a^6 (2 b^2 + c^2) + 3 a^4 b^2 (2 b^2 + c^2) + a^2 (-4 b^6 + 3 b^4 c^2 - b^2 c^4 + 2 c^6))).

Las rectas AA", BB", CC" con concurren en X₃₁₃₉₂.
Viernes, 10 de julio del 2020
Triángulos bilógicos y el centro X(34147)

El 10 de julio de 2007 falleció (a los 87 años) Paulette Libermann matemática francesa, que obtuvo importantes resultados en Geometría Diferencial: variedades simplécticas, cosimplécticas, de contacto, Poisson,... Su libro "Symplectic geometry and analytical mechanics", escrito en colaboración con Charles-Michel, es hoy en día un clásico en el tema y consulta imprescindible para geómetras e investigadores de la mecánica simpléctica.

Dado un triángulo ABC, una perpendicular, d, a BC corta a AC en A_b y a AB en A_c. El lugar geométrico del , D, de la recta d respecto a la circunferencia (AA_bA_c), cuando d varía, es una recta ℓ_a que pasa por A.
Procediendo cíclicamente, se obtienen las rectas ℓ_b y ℓ_c.
ABC y el triángulo A'B'C' formado por las rectas ℓ_a, ℓ_b y ℓ_c son .
La ecuación baricéntrica de la recta ℓ_a es:
(a^2 c^2 + b^2 c^2 - c^4) y + (a^2 b^2 - b^4 + b^2 c^2) z = 0.
A'=ℓ_b∩ℓ_c = (a^2 (a^2 - b^2 - c^2) : b^2 (a^2 - b^2 + c^2) : c^2 (a^2 + b^2 - c^2)).

El centro de perspectividad de ABC y A'B'C' es el circuncnetro, X₃.
El centro de ortología de ABC respecto a A'B'C' es X₆₄, del .
El centro de ortología de A'B'C' respecto a ABC es X₁₄₉₈, reflexión de X₆₄ en el circuncentro.

El punto de intersección de la de los triangulos ABC y A'B'C' y su es X₃₄₁₄₇
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En la aplicación afín,
( σ(x:y:z) = (a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)^2 x + a^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4) y + a^2 (a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4) z : b^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4) x + b^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2 y + b^2 (-a^4 + (b^2 - c^2)^2) z : c^2 (a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4) x + c^2 (-a^4 + (b^2 - c^2)^2) y + c^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 z))
σ, que transforma ABC en A'B'C' los centros ortológicos se corresponden, σ(X₆₄)=X₁₄₉₈. Sus punto fijos son el y los puntos del infinito de la , X₂₅₇₄ y X₂₅₇₅.

Otros pares {X_i, X_j=σ(X_i)} para {i, j} : {1, 3157}, {2, 3167}, {3, 155}, {4, 3}, {5, 1147}, {6, 6}, {9, 3211}, {11, 36059}, {15, 10661}, {16, 10662}, {19, 219}, {20, 12164}, {25, 394}, {27, 22139}, {28, 22136}, {30, 13754}, {31, 22130}, {32, 23128}, {33, 222}, {34, 7078}, {46, 1069}, {51, 2}, {52, 68}, {53, 577}, {54, 195}, {55, 3173}, {64, 1498}, {65, 1}, {66, 159}, {67, 2930}, {68, 9937}, {69, 19588}, {74, 399}, {75, 23075}, {76, 19597}, {92, 20760}, {112, 22146}, {113, 5504}, {115, 32661}, {125, 110}, {130, 18831}, {132, 17974}, {137, 15958}, {143, 5449}, {154, 37672}, {155, 15316}, {158, 20764}, {162, 22156}, {182, 19139}, {184, 1993}, {185, 4}, {193, 6391}, {196, 38288}, {208, 1433}, {225, 255}, {232, 3289}, {235, 1092}, {242, 17976}, {243, 17975}, {264, 20794}, {265, 2931}, {273, 20793}, {278, 22117}, {281, 20818}, {286, 23079}, {290, 3511}, {318, 20805}, {324, 23158}, {331, 23078}, {338, 1634}, {371, 10665}, {372, 10666}, {378, 18445}, {382, 12163}, {389, 5}, {393, 15905}, {397, 61}, {398, 62}, {403, 22115}, {407, 283}, {423, 20766}, {427, 184}, {428, 3917}, {429, 1437}, {430, 1790}, {460, 36212}, {468, 3292}, {485, 8909}, {511, 3564}, {512, 525}, {513, 521}, {515, 29211}, {516, 916}, {517, 912}, {518, 34381}, {520, 8057}, {523, 520}, {524, 8681}, {525, 8673}, {526, 9033}, {542, 14984}, {546, 12038}, {550, 15083}, {568, 14852}, {576, 8548}, {578, 12161}, {607, 22131}, {608, 22132}, {647, 32320}, {648, 22143}, {650, 36054}, {661, 23090}, {674, 9028}, {690, 9517}, {695, 3499}, {798, 23145}, {811, 23083}, {834, 23874}, {900, 8677}, {905, 34975}, {924, 523}, {973, 1209}, {974, 113}, {1075, 38281}, {1096, 22119}, {1112, 125}, {1131, 8912}, {1146, 101}, {1148, 38284}, {1154, 539}, {1173, 15047}, {1177, 15141}, {1181, 36747}, {1194, 3051}, {1199, 14627}, {1204, 11441}, {1205, 11061}, {1249, 38292}, {1395, 23129}, {1425, 3562}, {1474, 22133}, {1495, 323}, {1498, 37498}, {1499, 30209}, {1503, 511}, {1510, 6368}, {1514, 10564}, {1539, 12901}, {1562, 112}, {1587, 3311}, {1588, 3312}, {1593, 1181}, {1594, 49}, {1637, 1636}, {1770, 6238}, {1783, 22144}, {1824, 63}, {1826, 48}, {1827, 77}, {1828, 78}, {1829, 72}, {1830, 7004}, {1831, 201}, {1834, 58}, {1836, 55}, {1837, 56}, {1839, 71}, {1840, 4020}, {1841, 3990}, {1842, 3682}, {1843, 69}, {1844, 7100}, {1845, 1807}, {1846, 1795}, {1848, 3955}, {1851, 1260}, {1852, 7066}, {1853, 154}, {1854, 221}, {1856, 7125}, {1857, 7011}, {1858, 65}, {1859, 1214}, {1860, 4055}, {1861, 7193}, {1862, 3937}, {1863, 7053}, {1864, 57}, {1865, 2193}, {1870, 23071}, {1871, 26921}, {1872, 24467}, {1877, 22350}, {1878, 5440}, {1880, 22134}, {1881, 4100}, {1885, 185}, {1887, 17102}, {1890, 3781}, {1897, 22148}, {1898, 46}, {1899, 25}, {1900, 3916}, {1901, 284}, {1902, 1071}, {1903, 610}, {1905, 1060}, {1907, 10984}, {1969, 23076}, {1973, 20739}, {1974, 20806}, {1986, 265}, {1990, 3284}, {2052, 6638}, {2082, 218}, {2181, 23112}, {2182, 2323}, {2201, 20741}, {2203, 23130}, {2207, 23115}, {2211, 14965}, {2212, 22125}, {2262, 9}, {2331, 22124}, {2333, 22126}, {2356, 20744}, {2362, 1124}, {2390, 519}, {2393, 524}, {2489, 3049}, {2501, 647}, {2574, 2574}, {2575, 2575}, {2679, 17932}, {2777, 5663}, {2778, 2771}, {2781, 542}, {2818, 952}, {2883, 13346}, {2904, 15317}, {2935, 17838}, {2969, 1331}, {2970, 23181}, {3064, 652}, {3070, 371}, {3071, 372}, {3088, 19347}, {3168, 38283}, {3176, 38290}, {3186, 22152}, {3195, 23122}, {3269, 1625}, {3270, 651}, {3357, 32139}, {3426, 35237}, {3448, 12310}, {3527, 15805}, {3564, 34382}, {3566, 512}, {3567, 1656}, {3574, 54}, {3575, 5562}, {3627, 7689}, {3667, 32475}, {3827, 518}, {3852, 732}, {3867, 19126}, {3914, 31}, {3959, 2176}, {3981, 1613}, {4295, 3295}, {5064, 3796}, {5089, 20752}, {5095, 895}, {5101, 1473}, {5140, 6390}, {5151, 36058}, {5185, 1565}, {5254, 32}, {5286, 30435}, {5318, 15}, {5321, 16}, {5334, 11486}, {5335, 11485}, {5339, 22238}, {5340, 22236}, {5349, 5237}, {5350, 5238}, {5446, 12359}, {5452, 34960}, {5462, 9820}, {5480, 182}, {5523, 10317}, {5562, 6193}, {5663, 17702}, {5706, 36742}, {5721, 5398}, {5799, 13323}, {5800, 37492}, {5868, 5864}, {5869, 5865}, {5870, 1160}, {5871, 1161}, {5878, 12085}, {5887, 9928}, {5889, 12429}, {5890, 381}, {5895, 64}, {5928, 37581}, {6000, 30}, {6001, 517}, {6003, 30212}, {6102, 9927}, {6145, 2917}, {6146, 52}, {6152, 3519}, {6198, 23070}, {6201, 26348}, {6202, 26341}, {6240, 18436}, {6241, 382}, {6247, 6759}, {6291, 488}, {6331, 23180}, {6335, 22158}, {6336, 23081}, {6403, 11898}, {6406, 487}, {6467, 193}, {6524, 6617}, {6525, 1073}, {6591, 22383}, {6747, 23606}, {6748, 216}, {6749, 5158}, {6750, 19210}, {6751, 317}, {6752, 264}, {6753, 30451}, {6756, 1216}, {6759, 16266}, {6776, 1351}, {7009, 22161}, {7017, 23159}, {7046, 23089}, {7071, 23144}, {7079, 22153}, {7101, 23185}, {7119, 23150}, {7297, 17796}, {7507, 19357}, {7576, 23039}, {7577, 9703}, {7581, 6417}, {7582, 6418}, {7592, 36749}, {7649, 1459}, {7686, 1385}, {7687, 1511}, {7699, 11935}, {7722, 12902}, {7728, 12302}, {7745, 39}, {7952, 23072}, {8057, 30211}, {8550, 576}, {8674, 2850}, {8675, 9007}, {8676, 514}, {8735, 906}, {8736, 22118}, {8743, 22120}, {8744, 22121}, {8750, 22145}, {8751, 20740}, {8752, 23135}, {8754, 4558}, {8756, 22356}, {9001, 9051}, {9002, 9031}, {9134, 351}, {9306, 34966}, {9719, 6139}, {9730, 5654}, {9777, 10601}, {9781, 3526}, {9786, 17814}, {9927, 9932}, {9969, 141}, {9971, 599}, {10110, 140}, {10113, 12893}, {10117, 17847}, {10214, 34900}, {10374, 7070}, {10564, 12364}, {10572, 7352}, {10605, 18451}, {10619, 15801}, {10625, 9936}, {10628, 32423}, {10693, 2948}, {10721, 10620}, {10783, 11916}, {10784, 11917}, {10982, 36752}, {10990, 14094}, {11245, 51}, {11381, 20}, {11411, 12309}, {11424, 7592}, {11433, 5020}, {11435, 37543}, {11436, 34048}, {11438, 15068}, {11455, 3534}, {11457, 7517}, {11550, 22}, {11557, 23306}, {11572, 7488}, {11577, 13431}, {11743, 32348}, {11744, 2935}, {11745, 11793}, {11746, 5972}, {11799, 15136}, {11807, 10264}, {11808, 21230}, {11817, 34483}, {12007, 5097}, {12022, 568}, {12077, 17434}, {12099, 5642}, {12112, 37496}, {12133, 16163}, {12135, 23154}, {12143, 4173}, {12162, 12118}, {12233, 578}, {12239, 485}, {12240, 486}, {12241, 389}, {12242, 1493}, {12244, 12308}, {12250, 12315}, {12254, 12316}, {12290, 1657}, {12291, 13432}, {12292, 12121}, {12294, 6776}, {12298, 12257}, {12299, 12256}, {12664, 5709}, {12679, 10310}, {12688, 40}, {12902, 15085}, {13152, 30210}, {13198, 19504}, {13202, 74}, {13292, 12235}, {13366, 1994}, {13382, 546}, {13399, 14157}, {13403, 6102}, {13417, 3448}, {13419, 6101}, {13473, 21663}, {13474, 550}, {13567, 9306}, {13568, 5907}, {13630, 5448}, {13748, 9733}, {13749, 9732}, {13851, 186}, {13854, 22135}, {14053, 28786}, {14054, 28787}, {14055, 28788}, {14216, 7387}, {14230, 9738}, {14233, 9739}, {14248, 6461}, {14417, 13303}, {14593, 6503}, {14644, 32609}, {14645, 29130}, {14715, 22391}, {14717, 36949}, {14790, 9908}, {14853, 5050}, {14864, 17714}, {14912, 5093}, {14975, 23119}, {15004, 5422}, {15033, 15087}, {15118, 6593}, {15151, 6053}, {15232, 23361}, {15311, 6000}, {15313, 513}, {15320, 8053}, {15321, 2916}, {15353, 1651}, {15472, 19456}, {15473, 12358}, {15738, 30714}, {15752, 15748}, {15938, 15937}, {15946, 15945}, {16105, 16003}, {16228, 23224}, {16230, 684}, {16232, 1335}, {16240, 14919}, {16270, 16534}, {16318, 8779}, {16616, 13624}, {16621, 15644}, {16655, 10625}, {16656, 13348}, {16657, 9730}, {16658, 13340}, {16659, 37484}, {16879, 15077}, {17442, 22164}, {17634, 1697}, {17810, 17811}, {17840, 17842}, {17843, 17839}, {17853, 10706}, {17854, 7728}, {17856, 10721}, {17907, 23163}, {17923, 23166}, {17924, 22160}, {18022, 23173}, {18130, 37867}, {18344, 905}, {18376, 18324}, {18381, 26}, {18383, 1658}, {18390, 6644}, {18391, 999}, {18396, 37489}, {18400, 1154}, {18560, 34783}, {18569, 19908}, {18909, 1598}, {18912, 7506}, {18914, 5446}, {18916, 7529}, {19041, 6416}, {19042, 6415}, {19161, 1352}, {19463, 19462}, {19464, 19461}, {19467, 12160}, {20184, 1510}, {20186, 1499}, {20299, 156}, {20303, 34116}, {20410, 34897}, {20414, 15345}, {20417, 5609}, {20883, 23167}, {21045, 35327}, {21639, 37784}, {21645, 17496}, {21646, 31296}, {21650, 12383}, {21655, 12222}, {21656, 12221}, {21659, 5889}, {21660, 11271}, {22334, 16936}, {22336, 38402}, {22466, 2929}, {22533, 22550}, {22802, 12084}, {22829, 32455}, {22833, 22962}, {22948, 3521}, {22967, 5893}, {22968, 22966}, {23047, 13367}, {23249, 6221}, {23251, 1151}, {23253, 6449}, {23259, 6398}, {23261, 1152}, {23263, 6450}, {23267, 6199}, {23273, 6395}, {23290, 23286}, {23291, 8780}, {23292, 34986}, {23300, 206}, {23324, 11202}, {23327, 19153}, {24006, 23189}, {24862, 18315}, {25739, 2070}, {26869, 35259}, {26879, 18350}, {26926, 1843}, {27358, 36433}, {27370, 36952}, {27373, 14376}, {27376, 10316}, {28154, 790}, {30443, 6225}, {30496, 3360}, {31364, 31353}, {31978, 2883}, {32062, 376}, {32064, 9909}, {32085, 22138}, {32111, 37477}, {32140, 32048}, {32191, 24206}, {32246, 5181}, {32247, 32254}, {32274, 12584}, {32317, 32299}, {32337, 9920}, {32340, 7691}, {32345, 17824}, {32351, 10274}, {32352, 2888}, {32366, 3629}, {32369, 23358}, {32377, 6152}, {32393, 32391}, {32587, 10133}, {32588, 10132}, {32676, 23138}, {33565, 5898}, {33630, 33636}, {34146, 1503}, {34224, 6243}, {34417, 15066}, {34507, 9925}, {34563, 15062}, {34564, 1173}, {34565, 34545}, {34783, 12293}, {34854, 441}, {34944, 1619}, {34980, 648}, {35709, 3164}, {35884, 32078}, {36124, 20761}, {36125, 22141}, {36201, 2781}, {36747, 19458}, {36851, 37491}, {36990, 1350}, {37197, 35602}, {37473, 15069}, {37498, 17836}, {37765, 23164}, {38336, 8614}, {38345, 4559}, {38356, 35325}, {38357, 109}, {38358, 35326}, {38359, 35364}, {38360, 35365}, {38361, 35357}, {38362, 35350}, {38388, 934}, {38389, 100}, {38462, 23169}.

Imagen del :
σ(X₇) = r ((r+4 R)^2-s^2) X₃ + 4 R (R(r+4 R)-s^2) X₇₇ =
( a^2 (a^6 -2 a^5 (b+c) +a^4 (b-c)^2 +4 a^3 b c (b+c) -a^2 (b^4-4 b^3 c+10 b^2 c^2-4 b c^3+c^4) +2 a (b^5-b^4 c-b c^4+c^5) -(b-c)^2 (b^4+4 b^3 c+2 b^2 c^2+4 b c^3+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.79318790747633, 1.44589782743362, 1.81203310561818).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,7083}, {3,77}, {6,29957}, {55,15374}, {521,3126}, {651,7071}, {912,6767}, {916,2293}, {954,3564}, {1069,3477}, {1200,2280}, {3270,23144}, {3781,7078}, {5942,28044}, {13754,15937}, {17262,23874}, {18621,34371}, {20760,38288}, {22117,22132}, {23078,23079}, {36059,37541}.

Imagen del :
σ(X₈) = (r^2-s^2) X₃ + 4R(r+R) X₆₃ =
( a^2 (a^5 + a^4 (b + c) - 4 a^2 b c (b + c) - a (b^2 + c^2)^2- b^5 + 3 b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + 3 b c^4 - c^5 ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (3.59872134271497, -2.84350964207725, 3.94829976824633).
Es la reflexión de X₁₂₄₁₀ en X₃₅₅₆.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,7083}, {3,63}, {6,29958}, {25,3868}, {38,1036}, {56,4641}, {64,2808}, {65,1773}, {101,4306}, {144,37399}, {145,28029}, {155,10680}, {159,9021}, {218,1400}, {219,23620}, {329,37415}, {394,23154}, {404,26866}, {405,17257}, {518,3556}, {521,6161}, {651,1398}, {758,9798}, {942,5020}, {956,3564}, {958,4643}, {960,22769}, {999,1201}, {1046,1460}, {1069,3478}, {1147,16203}, {1245,6391}, {1423,5247}, {1425,23144}, {1482,12309}, {1593,12528}, {1598,24474}, {1633,3189}, {1722,28039}, {1724,21362}, {1858,16541}, {2178,21874}, {2286,20818}, {2292,3295}, {2800,9910}, {3191,19782}, {3193,11401}, {3218,37257}, {3219,37246}, {3220,11523}, {3487,25514}, {3732,7754}, {3869,8192}, {3874,11365}, {3876,7484}, {3901,8185}, {3913,4952}, {4185,5905}, {4186,12649}, {4223,11036}, {4701,28040}, {5044,16419}, {5777,11479}, {5904,8193}, {6147,7535}, {6642,24475}, {6743,24309}, {7011,23159}, {7078,7193}, {7289,37613}, {7393,31835}, {7532,20256}, {9909,37547}, {10529,28034}, {10822,34931}, {12109,17810}, {12164,22770}, {12635,22654}, {15934,28787}, {16049,20078}, {20007,37328}, {20013,35998}, {22120,22144}, {22148,23072}, {23168,38290}.
Lunes, 6 de julio del 2020
Triángulos homólogos y la cúbica de Darboux

El 6 de julio de 1907 nace Frida Kahlo, pintora mexicana que destacará por su sentido de la independencia y la rebeldía contra los hábitos sociales impuestos. Su obra pictórica gira temáticamente en torno a su biografía y a su propio sufrimiento.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sea el de P.
El punto P_c divide al segmento AB en la razón:
k_ab = AP_c : P_cB.
El punto P_b divide al segmento AC en la razón:
k_ac = AP_b : P_bC.

A_b y A_c son los puntos sobre BC tales que BA_b : A_bC = k_ab y CA_c : A_cB = k_ac. En coordenadas baricéntricas:
A_b = (0 : (a^2 - b^2) w + c^2 (2 u + w) : (-a^2 + b^2) w + c^2 (2 v + w)),
A_c = (0 : -a^2 v + c^2 v + b^2 (v + 2 w) : (a^2 - c^2) v + b^2 (2 u + v)).
Los puntos B_c, B_a, C_a, C_b son construidos cíclicamente.
Las rectas B_cC_b, C_aA_c, A_bB_a no son concurrentes y el triángulo A'B'C' formado por ellas es perspectivo con ABC si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux (K004).
Las rectas B_cC_b, C_aA_c, A_bB_a son concurrentes si solo si P está sobre la cuártica 𝒬 de ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} (b^2 c^2 (-a^2+b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (-5 a^4+b^4+6 b^2 c^2+c^4) x^2+4 a^4 (-3 b^6 c^2-2 b^4 c^4-3 b^2 c^6+a^6 (b^2+c^2)+a^4 (-2 b^4-b^2 c^2-2 c^4)+a^2 (b^6+3 b^4 c^2+3 b^2 c^4+c^6)) y z-2 a^4 (c^2 (a^6-b^6+5 b^4 c^2+b^2 c^4+3 c^6+a^4 (b^2+c^2)+a^2 (-b^4-2 b^2 c^2-5 c^4)) y^2+b^2 (a^6+3 b^6+b^4 c^2+5 b^2 c^4-c^6+a^4 (b^2+c^2)+a^2 (-5 b^4-2 b^2 c^2-c^4)) z^2))y z = 0.

Algunos casos particulares para P=X_i y Q=X_j (centro de perspectividad de ABC y A'B'C'):
{i, j}: {3, 2}, {4, 9289}, {20, 9307}, {40, 9311}, {110, 14223}, {111, 37860}.
( Mostrar/Ocultar figura )
Cuando P está sobre la , Γ, o sobre la cúbica de Darboux,
( a^4 c^2 x^2 y+2 a^2 b^2 c^2 x^2 y-3 b^4 c^2 x^2 y-2 a^2 c^4 x^2 y+2 b^2 c^4 x^2 y+c^6 x^2 y+3 a^4 c^2 x y^2-2 a^2 b^2 c^2 x y^2-b^4 c^2 x y^2-2 a^2 c^4 x y^2+2 b^2 c^4 x y^2-c^6 x y^2-a^4 b^2 x^2 z+2 a^2 b^4 x^2 z-b^6 x^2 z-2 a^2 b^2 c^2 x^2 z-2 b^4 c^2 x^2 z+3 b^2 c^4 x^2 z+a^6 y^2 z-2 a^4 b^2 y^2 z+a^2 b^4 y^2 z+2 a^4 c^2 y^2 z+2 a^2 b^2 c^2 y^2 z-3 a^2 c^4 y^2 z-3 a^4 b^2 x z^2+2 a^2 b^4 x z^2+b^6 x z^2+2 a^2 b^2 c^2 x z^2-2 b^4 c^2 x z^2+b^2 c^4 x z^2-a^6 y z^2-2 a^4 b^2 y z^2+3 a^2 b^4 y z^2+2 a^4 c^2 y z^2-2 a^2 b^2 c^2 y z^2-a^2 c^4 y z^2 = 0)
como consecuencia de que ABC y A'B'C' son perspectivos, los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a y C_b están sobre una misma cónica c(P) (llamada de ABC y A'B'C').

Cuando P se mueve sobre la circunferencia circunscrita, la cónica c(P) degenera en dos rectas y el lugar geométrico de su punto de intersección, D, es un trifollium

𝔖_{_{abc xyz}} (2 (-a^2+b^2+c^2) x^2-2 (b^2+c^2) y z+(-a^2+b^2+c^2) (y^2+z^2))y z = 0
𝒯, con punto triple el baricentro y pasa por X₁₄₉₉₉, que corresponde al del punto del infinito de la . D es el baricentro cuando P coincide con los tres punto reales (a parte de A, B, C) de intersección Γ y 𝒬. En estos tres casos, las rectas B_cC_b, C_aA_c, A_bB_a son paralelas y sus direcciones son las de los conjugados isogonales de los antipodales de A, B,C.
Otra construcción de 𝒯, como lugar geométrico, es descrita en HG120620.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si P es el foco de la , el punto singular de c(X₁₁₀) es:
D₁₁₀ = ( (2 a^6-2 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (b^4+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2))/(2 a^4-a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.03716448710585, 2.09865854235775, 1.24751726622631).
Es la reflexión de X₁₄₉₉₉ en X₂₃₉₆₇.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,525}, {30,74}, {287,524}, {297,671}, {441,14919}, {468,22265}, {542,7473}, {1304,35266}, {7799,11064}, {9214,18808}, {14999,23967}, {16280,36166}, {20423,35908}.

Si P es el , el punto singular de c(X₁₁₁) es:
D₁₁₁ = ( (2 a^6-6 a^4 (b^2+c^2)-(b^2+c^2)^3+9 a^2 (b^4+c^4))/((b^2-c^2) (5 a^2-b^2-c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (10.3090414049871, -1.60392550040776, -0.00694466626583736).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2418}, {523,35179}, {1296,1499}, {2396,17937}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Si tomamos los puntos A'_b y A'_c, sobre BC, tales que CA_b : A_bB = k_ab y BA_c : A_cC = k_ac, entonces A'_b y A'_c son simétricos, respecto al punto medio de BC, de A_b y A_c, respectivamente.
Los puntos B'_c, B'_a, C'_a, C'_b son construidos cíclicamente.

Las rectas B'_cC'_b, C'_aA'_c, A'_bB'_a no son concurrentes y el triángulo A"B"C" formado por ellas es perspectivo con ABC si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux.

Los triángulos A'B'C' y A"B"C" son obtenidos tomando puntos, sobre Γ o K004, simétricos respecto al circuncentro.

Si P está sobre Γ, el punto singular D' de la cónica c'(P), intersección de las rectas A'_bB'_cC'_a y A'_cB'_aC'_b es el punto singular de la cónica c(P'), siendo P' la reflexión de P en el circuncentro.
El punto D' es el punto M de HG120610.
Viernes, 3 de julio del 2020
Los centros del triángulo X(9289) y X(9307)

El 3 de julio de 1897 nació Jesse Douglas, matemático estadounidense. Fue uno de los ganadores de la primera entrega de la Medalla Fields, otorgada en 1936. Se le premió por la resolución del problema de Plateau en 1930, que versa sobre si existe una superficie minimal acotada para una curva de Jordan.

Dado un triángulo ABC, con .
A_b el punto sobre BC tal que AH_c : H_cB = BA_b : A_bC.
A_c el punto sobre BC tal que AH_b : H_bC = CA_c : A_cB.
Se definen cíclicamente los puntos B_c, B_a, C_a, C_b.

El triángulo A'B'C' formado por las rectas B_cC_b, C_aA_c, A_bB_a es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₉₂₈₉, de PU(37).
( Mostrar/Ocultar figura )
En consecuencia, los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a y C_b están sobre una misma cónica 𝒞 (llamada de ABC y A'B'C') de ecuación baricéntrica
𝔖_{_{S_AS_BS_C xyz}} S_B S_C x^2 - () y z = 0.
El centro de 𝒞 es:
W = ( a^4 (b^4-4 b^2 c^2+c^4)-a^2 (b^6-4 b^4 c^2-4 b^2 c^4+c^6)+b^2 c^2 (b^4-4 b^2 c^2+c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.458329276111154, 4.24985124903085, 0.486923182065568).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {69,698}, {75,7209}, {183,2998}, {264,10010}, {325,1368}, {6375,6719}, {6379,37671}, {14913,32819}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

A'_b el punto sobre BC tal que AH_c : H_cB = CA'_b : A'_bB.
A'_c el punto sobre BC tal que AH_b : H_bC = BA'_c : A'_cC.
Se definen cíclicamente los puntos B'_c, B'_a, C'_a, C'_b.
El triángulo A"B"C" formado por las rectas B'_cC'_b, C'_aA'_c, A'_bB'_a es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₉₃₀₇, de PU(45).
( Mostrar/Ocultar figura )
En consecuencia, los seis puntos A'_b, A'_c, B'_c, B'_a, C'_a y C'_b están sobre una misma cónica 𝒞', de ecuación baricéntrica
𝔖_{_{abc xyz}} S_B S_C ( S_A^2 x^2 - (S_A^2 + S_B S_C) y z) = 0.
El centro de 𝒞' es:
W' = ( (a^4 + b^2 c^2 (b^2 - c^2)^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4) + a^6 (-3 b^6 + 4 b^4 c^2 + 4 b^2 c^4 - 3 c^6) + a^4 (3 b^8 + 5 b^6 c^2 - 14 b^4 c^4 + 5 b^2 c^6 + 3 c^8) - a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^6 + 8 b^4 c^2 + 8 b^2 c^4 + c^6) - (b^2 - c^2)^2) (a^8 (b^4 - 4 b^2 c^2 + c^4) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (2.75688487453397, -1.60868256730172, 3.48195939410066). Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {297,3981}, {458,1073}.

Los triángulos ABC y A"B"C" son . El centro de ortología de ABC respecto a A"B"C" es el y el centro de ortología de A"B"C" respecto a ABC es X₁₈₅ (centro de ortología los triángulos órtico y ).

El punto fijo propio de la transformación afín
( (x:y:z) ↦
(-a^4 (a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) (a^6 (b^2+c^2)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^4 (b^4+c^4)+(b^2-c^2)^2 (b^4+c^4)) x-a^2 b^2 (a^2-b^2+c^2)^2 (a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (a^6 (6 b^2-3 c^2)+c^2 (b^2-c^2)^3+a^4 (-4 b^4-5 b^2 c^2+5 c^4)-a^2 (2 b^6-7 b^4 c^2+4 b^2 c^4+c^6)) y+a^2 c^2 (a^2+b^2-c^2)^2 (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) (3 a^6 (b^2-2 c^2)+b^2 (b^2-c^2)^3+a^4 (-5 b^4+5 b^2 c^2+4 c^4)+a^2 (b^6+4 b^4 c^2-7 b^2 c^4+2 c^6)) z:
a^4 (-a^2+b^2+c^2)^2 (a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) (-b^2 c^2+c^4+a^2 (2 b^2-c^2)) x-a^2 b^2 (a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (-3 a^12+c^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+a^10 (5 b^2+8 c^2)+a^8 (2 b^4-11 b^2 c^2-9 c^4)+a^6 (-6 b^6+6 b^2 c^4+8 c^6)+a^4 (b^8+2 b^6 c^2+4 b^4 c^4-2 b^2 c^6-5 c^8)+a^2 (b^10+2 b^6 c^4-8 b^4 c^6+5 b^2 c^8)) y-a^2 c^2 (a^2+b^2-c^2)^2 (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) (3 a^8-2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2-5 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (b^4+12 b^2 c^2+c^4)+a^2 (b^6-5 b^4 c^2-5 b^2 c^4+c^6)) z:
-a^4 (-a^2+b^2+c^2)^2 (-b^4+b^2 c^2+a^2 (b^2-2 c^2)) (a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) x-a^2 b^2 (a^2-b^2+c^2)^2 (a^4+b^4+2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2-c^2)) (3 a^8-2 b^2 c^2 (b^2-c^2)^2-5 a^6 (b^2+c^2)+a^4 (b^4+12 b^2 c^2+c^4)+a^2 (b^6-5 b^4 c^2-5 b^2 c^4+c^6)) y-a^2 c^2 (a^4-3 b^4+2 b^2 c^2+c^4+2 a^2 (b^2-c^2)) (-3 a^12+b^2 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+a^10 (8 b^2+5 c^2)+a^8 (-9 b^4-11 b^2 c^2+2 c^4)+a^6 (8 b^6+6 b^4 c^2-6 c^6)+a^4 (-5 b^8-2 b^6 c^2+4 b^4 c^4+2 b^2 c^6+c^8)+a^2 (5 b^8 c^2-8 b^6 c^4+2 b^4 c^6+c^10)) z) )
σ, que aplica ABC en A"B"C" es X₁₄₂₄₉:
((3 a^4- 2 a^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 )/(a^2 (b^2 + c^2 - a^2)^2) : ... : ...).
Miércoles, 1 de julio del 2020
Centros de homotecia que son pares bicéntricos

El 1 de julio de 1788 nació Jean-Victor Poncelet, matemático e ingeniero francés. En la famosa polémica que enfrentó a los geómetras sintéticos con los analíticos, Poncelet se alineó claramente con los primeros. Reconoció en alguna ocasión que los resultados de la geometría sintética son más una consecuencia de la casualidad y la perspicacia del investigador que de la aplicación de un procedimiento general, y que en este sentido era superior la geometría analítica.

Dado un triángulo ABC, sean el y DEF el .
A₁=DE∩M_aM_c, A₂=DF∩M_aM_b. Se definen los puntos B₁, B₂ y C₁, B₂ cíclicamente.
La paralela por B a A₁C₁ interseca a la paralela por C a A₁B₁ en A'₁.
La paralela por B a A₂C₂ interseca a la paralela por C a A₂B₂ en A'₂.
Se definen B'₁, B'₂ y C'₁, C'₂ cíclicamente.
En coordenandas baricéntricas:
A₁ = (b - c : b : c),
A'₁ = (a c (a b + c (-b + c)) : -a^2 b c : a^2 b (b - c) + b^2 (b - c) c - a (b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + c^3)),
A₂ = (b - c : -b : -c),
A'₂ = (a b (b^2 + a c - b c) : a^2 c (-b + c) + b c^2 (-b + c) - a (b^3 - 2 b^2 c + b c^2 + c^3) : -a^2 b c).
Los triángulos y A'₁B'₁C'₁ son homotéticos (por construcción) y el centro de homotecia es:
P₁=(a^2 b+a c (c-b)+b c(b-c) : b^2 c+b a(a-c)+c a(c-a) : c^2 a+c b (b-a)+a b(a-b)).
( Mostrar/Ocultar figura )
Los triángulos y A'₂B'₂C'₂ son homotéticos (por construcción) y el centro de homotecia es:
P₂=(a^2 c+a b (b-c)+b c(b-c) : c^2 c+c a(a-b)+b a(b-a) : b^2 a+c b (c-a)+a c(a-c)).
( Mostrar/Ocultar figura )
P₁ y P₂ es un . Su suma bicéntrica es X₄₈₈₅ ( del centro de homotecia externo de las circunferencias inscrita y circunscrita y el del ) y su diferencia bicéntrica es X₃₇₅₂ ( del y el punto intermedio).

La paralela por B₁ a AC interseca a la paralela por C₁ a AB en A''₁.
La paralela por B₂ a AC interseca a la paralela por C₂ a AB en A''₂.
Se definen B''₁, B''₂ y C''₁, C''₂ cíclicamente.
A"₁ = (a^2 + b c : a (-a + c) : c(a - b)), A"₂ = (a^2 + b c : b (a - c) : a (-a + b)).
Los triángulos ABC y A''₁B''₁C''₁ son homotéticos (por construcción) y el centro de homotecia es:
Q₁=(a c(c-b) : a b(a - c) : b c(b-a)).
( Mostrar/Ocultar figura )
Los triángulos ABC y A''₂B''₂C''₂ son homotéticos (por construcción) y el centro de homotecia es:
Q₂=(a b(b - c) : b c(c-a ) : a c(a - b)).
( Mostrar/Ocultar figura )
Q₁ y Q₂ es un par bicéntrico. Su suma bicéntrica es X₂₄₄ (diferencia bicéntrica de PU(34)) y su diferencia bicéntrica es X₆₆₁ ( del baricentro y X₂₄₄).

El de Q₁ y Q₂ es X₂₄₄ y el producto trilineal de Q₁ y Q₂ es X₁₀₈₆, centro de la hipérbola circunscrita que pasa por el baricentro y por el .
La de Q₁ y Q₂ es X₄₅₇₉, de la recta que pasa por la 'crosssum' de PU(6) y la 'crosssum' de PU(10).
La de Q₁ y Q₂ es X₃₅₇₃, 'crossdifference' de todo par de puntos sobre la recta X₂₄₄X₆₆₁.
El tripolo de la recta Q₁Q₂ es X₈₇₆, tripolo de la recta X₂₄₄X₆₆₁ (que pasa por X_i, para i∈{244, 661, 3124, 5098, 16592, 24197, 35505}).
La de Q₁ y Q₂ es X₄₃₆₉=3 X₂ - X₆₆₁.
Lunes, 29 de junio del 2020
El centro del triángulo X(34224) como centro ortológico

-Una de las cosas más impresionantes sobre las matemáticas es que la gente que la practica no están normalmente interesadas en su aplicación, porque las matemáticas en si mismas son una forma de hermoso arte.-Danica McKellar.

Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X₃, ortocentro H=X₄ y K=X₆, la paralela por A a BC corta a las alturas BH y CH en A_b y A_c, respectivamente.
La paralela por A_b a AB corta a CH en A₃ y la paralela por A_c a AC corta a BH en A₂. Sea A' la proyección ortogonal de A sobre la recta A₂A₃.
Los puntos B' y C' se construyen procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC.
Los triángulos ABC y A'B'C' son .
Su centro de perspectividad es el circuncentro. El de ABC respecto a A'B'C' es X₇₀, del circuncentro del . El centro de ortología de A'B'C' respecto a ABC es X₃₄₂₂₄ = X₃X₇₀∩X₄X₆.
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Hyacinthos #29470 (Antreas Hatzipolakis and César Lozada)

Let ABC be a triangle and DEF the pedal triangle of H (orthic triangle).
Denote:
La = the reflection of HD in EF. Lb = the reflection of HE in FD. Lc = the reflection of HF in DE.
Ma = the reflection of La in OA. Mb = the reflection of Lb in OB. Mc = the reflection of Lb in OC.
The lines Ma,Mb,Mc concur at a point Q=X(34224).

Denote:
A" = BC ∩ Ma. B" = CA ∩ Mb. C" = AB ∩ Mc.

The triangles ABC, A"B"C" are orthologic, with orthologic centers Q,S=X(34225) = isogonal conjugate of X(34224).

Por el , X₃, X₇₀ y X₃₄₂₂₄ están alineados.
En coordenadas baricéntricas:
A' = (a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 2 a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) : -b^2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - c^4) : -c^2 (a^4 - b^4 - 2 a^2 c^2 + c^4).

La matriz M asociada de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente)
M[1,1] = -a^2 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - -a^4 b^2 + 2 a^2 b^4 - b^6 - a^4 c^2 - 2 a^2 b^2 c^2 + b^4 c^2 + 2 a^2 c^4 + b^2 c^4 - c^6,
M[1,2] = a^6 - 2 a^4 b^2 + a^2 b^4 - a^2 c^4,
M[1,3] = a^6 - a^2 b^4 - 2 a^4 c^2 + a^2 c^4.
Su punto fijo propio, correspondiente al valor propio λ=-2 a^2 b^2 c^2, es el simediano.

La imagen mediante σ de la recta de Sondat de los triánguls ABC y A'B'C' es la paralela a la por X₃₄₂₂₄=σ(X₇₀).

Pares {X=X_i, X'=X_j=σ(X)}, para {i, j} : {3, 34783}, {4, 18560}, {5, 12370}, {6, 6}, {70, 34224}, {155, 12293}, {195, 6288}, {1993, 11442}, {1994, 5133}, {2904, 4}, {5095, 32239}, {8907, 5889}, {15317, 3}, {20303, 6146}, {34114, 6102}, {34116, 52}, {34438, 6293}, {38534, 1986}.
σ(X₁) = ( a (a^5 (b + c) - a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 2 a^3 (b^3 + c^3) + 2 a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) + a (b^5 - b^4 c - b c^4 + c^5)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.19824758168143, 3.08449987246549, 0.490665686347610).
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {1, 1858}, {1770, 15556}, {3901, 14054}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,90}, {11,24475}, {35,72}, {36,1071}, {46,1490}, {65,79}, {73,1725}, {201,4337}, {354,37735}, {392,24926}, {484,16143}, {517,6243}, {518,3633}, {758,10572}, {920,18446}, {942,7741}, {960,37525}, {971,10483}, {1046,3465}, {1210,11570}, {1399,1807}, {1478,12528}, {1479,3868}, {1737,5884}, {1770,15556}, {1864,37702}, {1898,3583}, {2099,18761}, {2646,5694}, {3057,6286}, {3244,12758}, {3586,3901}, {3612,5692}, {3746,12711}, {3754,16120}, {3874,30384}, {3894,9614}, {3962,5441}, {4067,4304}, {4324,16113}, {5010,31837}, {5119,5904}, {5425,12709}, {5432,31835}, {5444,25917}, {5570,37720}, {5691,5903}, {5720,17700}, {5777,7951}, {5885,17606}, {5902,5927}, {5930,11809}, {6256,10573}, {7082,37615}, {7280,13369}, {8614,18447}, {9627,23071}, {9943,37572}, {10058,12532}, {10090,26877}, {10222,17638}, {10391,37571}, {10950,14988}, {11009,12672}, {12047,18389}, {12560,18412}, {12616,12691}, {12675,21842}, {12680,36975}, {12739,16141}, {14793,24467}, {14872,37710}, {16193,31821}, {17637,22936}, {17660,24928}, {18254,27385}, {18393,31937}, {18395,34339}, {18398,23708}, {20612,21077}, {26201,37605}, {30274,37692}.

La imagen del baricentro es la reflexión del baricentro de ABC en el baricentro del :
σ(X₂) = ( 2 a^6 - 3 a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (3.39209297415901, 4.88583408212526, -1.30741740917573).
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {2, 11245}, {51, 11225}, {7576, 568}, {15305, 16657}, {34603, 3060}, {38323, 5890}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3167}, {3,32358}, {4,13292}, {5,1199}, {6,5133}, {20,18914}, {22,6515}, {24,18951}, {25,37644}, {30,34796}, {49,10018}, {51,542}, {52,10116}, {54,12359}, {68,7592}, {69,7485}, {97,26905}, {110,13567}, {125,34986}, {140,9545}, {154,7426}, {155,18912}, {182,37636}, {184,3580}, {185,10112}, {193,1370}, {195,13371}, {323,1368}, {343,5012}, {373,32068}, {378,18917}, {389,14516}, {394,18911}, {403,18445}, {427,1353}, {428,11002}, {468,9544}, {524,2979}, {539,9730}, {550,32608}, {568,7576}, {576,11550}, {858,1899}, {1147,26879}, {1351,7391}, {1352,5422}, {1493,13561}, {1503,3060}, {1591,5874}, {1592,5875}, {1594,12161}, {1986,10111}, {1992,11216}, {1995,11433}, {2888,7399}, {2895,7465}, {3090,31831}, {3146,13142}, {3519,37471}, {3567,12134}, {3575,34799}, {3618,7571}, {3681,5849}, {3818,15004}, {3845,38789}, {3873,5848}, {3917,5965}, {5064,5093}, {5159,9716}, {5446,16659}, {5576,18356}, {5889,6146}, {5890,38323}, {5921,6997}, {6102,6240}, {6193,12421}, {6636,37779}, {6676,11003}, {7378,11405}, {7394,9777}, {7484,11898}, {7488,31804}, {7496,15108}, {7503,11411}, {7544,11432}, {7667,34380}, {7762,14957}, {9140,15131}, {9637,26956}, {9704,10020}, {9820,26917}, {10114,21649}, {10169,25320}, {10601,15069}, {10605,16386}, {10625,18128}, {10691,33884}, {11004,31074}, {11064,26913}, {11232,12022}, {11413,18909}, {11422,23292}, {11427,31236}, {11457,36747}, {12007,37649}, {12111,12241}, {12160,37444}, {12163,34005}, {12278,13568}, {12317,13596}, {12370,18560}, {12429,22663}, {13321,13490}, {13366,14389}, {13595,14683}, {14788,36753}, {14831,18400}, {15018,37439}, {15032,15760}, {15140,25328}, {15305,16657}, {15331,36966}, {15559,32140}, {17809,37638}, {18583,37353}, {18925,38444}, {19130,34565}, {19161,27365}, {19481,21650}, {21969,29012}, {22467,32334}, {23291,30744}, {26881,32269}, {32136,34826}, {32423,38321}, {33586,37900}.
Sábado, 27 de junio del 2020
Los centros del triángulo X(14380) y X(23286)

El 27 de junio de 1806 nació Augustus De Morgan, matemático y lógico británico nacido en la India. Conocido por formular las llamadas leyes de De Morgan, que consisten en dos equivalencias lógicas entre dos formas proposicionales: La negación de la disyunción de dos proposiciones es equivalente a la conjunción de las negaciones de ambas proposiciones. La negación de la conjunción de dos proposiciones es equivalente a la disyunción de las negaciones de ambas proposiciones.

Dado un triángulo ABC, sea A' el punto de intersección de la paralela por el circuncentro a BC, con la recta que une A con el foco de la . Se definen B' y C' cíclicamente.
Las coordenadas baicéntricas de A' son:
(a^2 (b^2 - c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2 :
-b^2 (a^4 (b^2 + c^2) + (b^3 - b c^2)^2 - a^2 (2 b^4 - b^2 c^2 + c^4)) :
c^2 (a^4 (b^2 + c^2) + (-b^2 c + c^3)^2 - a^2 (b^4 - b^2 c^2 + 2 c^4))).

Los triángulos ABC y A'B'C' son , por construcción, y el centro paralelógico de ABC respecto a A'B'C' es X₁₄₃₈₀.
El punto fijo finito de la aplicación afín σ, que transforma a ABC en A'B'C' es X₂₃₂₈₆.

La matriz M asociada de la transformación afín σ tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente)
M[1,1] = -a^2 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (-a^2 + b^2 + c^2)^2,
M[1,2] = a^2 (a^2 - b^2) (b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (-a^8 + 3 a^6 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 (b^4 - c^4) - a^4 (3 b^4 + 5 b^2 c^2 + 3 c^4) + a^2 (b^6 + b^4 c^2 + 3 b^2 c^4 + c^6)),
M[1,3] =-(b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) (a^3 - a c^2)^2 (a^6 - b^6 + b^2 c^4 - a^4 (3 b^2 + 2 c^2) + a^2 (3 b^4 + 2 b^2 c^2 + c^4)).
Su punto fijo propio, correspondientee al valor propio
λ= -(a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)(b^2+c^2-a^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2),
es
X₂₃₂₈₆ = (a^2 (b^2 - c^2) (b^2 + c^2 - a^2) /((b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)):...:...).
( Mostrar/Ocultar figura )
OTRA PROPIEDAD GEOMÉTRICA DEL PUNTO A':

Si H=X₄ es el ortocentro y P es un punto variable sobre la circunferencia circunscrita, la mediatriz de PH corta a BC, CA, AB en D, E,F, respectivamente.
El lugar geométrico del circuncentro O_a del triángulo AEF, cuando P varía, es una hipérbola ℋ_a, con asíntotas paralelas a las alturas BH y CH. El de la respecto a ℋ_a es el punto A'.

Si P = (a^2(t-1)t : -b^2(t-1) : c^2t),
O_a = (a^8 (-1 + t) t - 3 a^6 (b^2 + c^2) (-1 + t) t + (b^2 - c^2)^2 (b^2 (-1 + t) - c^2 t)^2 - a^2 (b^2 - c^2) (c^4 (1 - 3 t) t + b^4 (2 - 5 t + 3 t^2)) + a^4 (4 b^2 c^2 (-1 + t) t + c^4 t (-3 + 4 t) + b^4 (1 - 5 t + 4 t^2)) :
b^2 (b^2 c^4 (1 - 3 t) + b^6 (-1 + t) + 2 c^6 t + a^2 c^4 (-3 + t) t - a^6 (-1 + t) t - a^2 b^4 (-2 + t + t^2) + a^4 b^2 (-1 - t + 2 t^2)) :
-c^2 (b^4 c^2 (2 - 3 t) + 2 b^6 (-1 + t) + c^6 t + a^4 c^2 (3 - 2 t) t + a^2 c^4 (-3 + t) t + a^6 (-1 + t) t - a^2 b^4 (-2 + t + t^2)).
El lugar geométrico de O_a es la hipérbola ℋ_a, de ecuación:
(-a^4 b^2 c^2 + a^2 b^4 c^2 + a^2 b^2 c^4) x^2 + (-a^6 c^2 + 2 a^4 b^2 c^2 - 3 a^2 b^4 c^2 + 2 b^6 c^2 + 3 a^4 c^4 - 2 a^2 b^2 c^4 - 3 b^4 c^4 - 3 a^2 c^6 + c^8) x y + (a^6 c^2 - 3 a^4 b^2 c^2 + 2 a^2 b^4 c^2 - 3 a^4 c^4 + a^2 b^2 c^4 - b^4 c^4 + 3 a^2 c^6 + 2 b^2 c^6 - c^8) y^2 + (-a^6 b^2 + 3 a^4 b^4 - 3 a^2 b^6 + b^8 + 2 a^4 b^2 c^2 - 2 a^2 b^4 c^2 - 3 a^2 b^2 c^4 - 3 b^4 c^4 + 2 b^2 c^6) x z + (-a^8 + 3 a^6 b^2 - 3 a^4 b^4 + a^2 b^6 + 3 a^6 c^2 - 6 a^4 b^2 c^2 + 5 a^2 b^4 c^2 - 2 b^6 c^2 - 3 a^4 c^4 + 5 a^2 b^2 c^4 + 4 b^4 c^4 + a^2 c^6 - 2 b^2 c^6) y z + (a^6 b^2 - 3 a^4 b^4 + 3 a^2 b^6 - b^8 - 3 a^4 b^2 c^2 + a^2 b^4 c^2 + 2 b^6 c^2 + 2 a^2 b^2 c^4 - b^4 c^4) z^2=0.
Lunes, 22 de junio del 2020
Los centros 2X₃+X₆₄₈ y 4X₃-X₆₄₈

El 22 de junio de 1925 falleció, a la edad de 76 años, Felix Christian Klein, matemático alemán que demostró que las geometrías métricas, euclidianas o no euclidianas, constituyen casos particulares de la geometría proyectiva. En 1872 presentó una notable clasificación de la geometría, el "programa de Erlangen", que reduce el estudio de las diferentes geometrías al de sus grupos de simetrías respectivos. Describió por primera vez en 1882 lo que se conoce hoy como botella de Klein.

Dados un triángulo ABC y un punto P, las circunferencias de diámetros AP, BP, CP, vuelven a corta a la circunferencia circunscrita en A', B', C', respectivamente.
Si P' es el simétrico de P respecto al circuncentro, O=X₃, sean B_a, C_a los puntos de intersección de la recta A'P con las rectas BP', CP', respectivamente. Cíclicamente, se definen los puntos C_b, A_b, A_c, B_c.
Los segmentos A_bB_a, B_cC_b y C_aA_c son diámetros de una misma cónica 𝒞(P), con centro el circuncentro.
Cuando P recorre una recta d, que pasa O, las p y p' de P y de P', respecto a 𝒞(P), pasan por sendos puntos fijos, simétricos respecto a O, W_d=2X₃+D y W'_d=4X₃-D (siendo D el de la recta d).

El lugar geométrico de W_d, cuando d gira alrededor de O, es una cónica,
( (4 a^6 b^4 c^2-4 a^4 b^6 c^2-4 a^2 b^8 c^2+4 b^10 c^2+4 a^6 b^2 c^4+8 a^4 b^4 c^4+4 a^2 b^6 c^4-16 b^8 c^4-4 a^4 b^2 c^6+4 a^2 b^4 c^6+24 b^6 c^6-4 a^2 b^2 c^8-16 b^4 c^8+4 b^2 c^10) x^2+(a^10 c^2+5 a^8 b^2 c^2-6 a^6 b^4 c^2-6 a^4 b^6 c^2+5 a^2 b^8 c^2+b^10 c^2-a^8 c^4-4 a^6 b^2 c^4+10 a^4 b^4 c^4-4 a^2 b^6 c^4-b^8 c^4-6 a^6 c^6-18 a^4 b^2 c^6-18 a^2 b^4 c^6-6 b^6 c^6+14 a^4 c^8+28 a^2 b^2 c^8+14 b^4 c^8-11 a^2 c^10-11 b^2 c^10+3 c^12) x y+(4 a^10 c^2-4 a^8 b^2 c^2-4 a^6 b^4 c^2+4 a^4 b^6 c^2-16 a^8 c^4+4 a^6 b^2 c^4+8 a^4 b^4 c^4+4 a^2 b^6 c^4+24 a^6 c^6+4 a^4 b^2 c^6-4 a^2 b^4 c^6-16 a^4 c^8-4 a^2 b^2 c^8+4 a^2 c^10) y^2+(a^10 b^2-a^8 b^4-6 a^6 b^6+14 a^4 b^8-11 a^2 b^10+3 b^12+5 a^8 b^2 c^2-4 a^6 b^4 c^2-18 a^4 b^6 c^2+28 a^2 b^8 c^2-11 b^10 c^2-6 a^6 b^2 c^4+10 a^4 b^4 c^4-18 a^2 b^6 c^4+14 b^8 c^4-6 a^4 b^2 c^6-4 a^2 b^4 c^6-6 b^6 c^6+5 a^2 b^2 c^8-b^4 c^8+b^2 c^10) x z+(3 a^12-11 a^10 b^2+14 a^8 b^4-6 a^6 b^6-a^4 b^8+a^2 b^10-11 a^10 c^2+28 a^8 b^2 c^2-18 a^6 b^4 c^2-4 a^4 b^6 c^2+5 a^2 b^8 c^2+14 a^8 c^4-18 a^6 b^2 c^4+10 a^4 b^4 c^4-6 a^2 b^6 c^4-6 a^6 c^6-4 a^4 b^2 c^6-6 a^2 b^4 c^6-a^4 c^8+5 a^2 b^2 c^8+a^2 c^10) y z+(4 a^10 b^2-16 a^8 b^4+24 a^6 b^6-16 a^4 b^8+4 a^2 b^10-4 a^8 b^2 c^2+4 a^6 b^4 c^2+4 a^4 b^6 c^2-4 a^2 b^8 c^2-4 a^6 b^2 c^4+8 a^4 b^4 c^4-4 a^2 b^6 c^4+4 a^4 b^2 c^6+4 a^2 b^4 c^6) z^2 = 0)
con centro X₅₀₈₅ = 2X₃ + X₆ y pasa por X₅₆₂₂=2X₃+X₈₉₅, X₁₅₀₃₅=2X₃+X₁₁₀
( Mostrar/Ocultar figura )
En particular, si P recorre la , las p y p' de P y de P', respecto a 𝒞(P),
( Ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} (b^2-c^2) (a^2-b^2-c^2) ((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (b^2+(-a^2+b^2+c^2) t) (c^2+(-a^2+b^2+c^2) t)x^2+2 (b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 t+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) t^2+a^8 (1+3 t (1+t))-a^6 (b^2+c^2) (2+t (6+5 t))+a^4 (b^4 (1+t (3+t))+c^4 (1+t (3+t))+b^2 c^2 (2+t (5+6 t))))y z) = 0.
)
pasan por sendos puntos fijos, W_e=2X₃+X₆₄₈ y W'_e=4X₃-X₆₄₈ (X₆₄₈ es el de la recta de Euler):
W_e = ( 3 a^12-7 a^10 (b^2+c^2)+a^8 (4 b^4+11 b^2 c^2+4 c^4)-4 a^6 b^2 c^2 (b^2+c^2)-a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)^3+a^4 (b^2-c^2)^2 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)-b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.20051922069914, 4.17437375974015, -1.18798776131225).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,98}, {3,648}, {4,23583}, {30,250}, {95,549}, {107,37926}, {112,376}, {381,36794}, {631,15526}, {868,20774}, {2790,35278}, {2799,21166}, {3284,35474}, {5050,20792}, {9033,11845}, {9307,15078}, {16075,30528}, {19179,37471}, {33695,38323}, {36898,37930}.
W'_e = ( 3 a^12 -5 a^10 (b^2+c^2) +a^8 (2 b^4+7 b^2 c^2+2 c^4) +a^6 (-6 b^6+4 b^4 c^2+4 b^2 c^4-6 c^6) +a^4 (b^2-c^2)^2 (11 b^4+14 b^2 c^2+11 c^4) -a^2 (b^2-c^2)^2 (5 b^6+9 b^4 c^2+9 b^2 c^4+5 c^6) +b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (9.36420656769355, 7.61552809372266, -5.95356569114371).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,107}, {3,648}, {20,15526}, {30,30716}, {69,74}, {287,1350}, {2781,35278}, {2799,34473}, {2972,37926}, {3163,10979}, {3523,23583}, {5622,13479}, {9033,15055}.

Las polares de P y de P', respecto a 𝒞(P')
( Ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} (b^2-c^2) (a^2-b^2-c^2) ((a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) ((a-c) (a+c) t+b^2 (1+t)) ((a-b) (a+b) t+c^2 (1+t))x^2+2 (a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2) t^2-b^2 c^2 (b^2-c^2)^2 t (1+2 t)+a^8 (1+t+t^2)-a^6 (b^2+c^2) (2+t (2+t))+a^4 (b^4 (1+t-t^2)+c^4 (1+t-t^2)+b^2 c^2 (2+t (3+4 t))))y z) = 0.
)
pasan por W'_e y W_e, respectivamente.
( Mostrar/Ocultar figura )
Cuando P se mueve sobre el los puntos fijos son X₁₅₀₃₅=2X₃+X₁₁₀ y X₁₅₀₅₅=4X₃-X₁₁₀

Cuando P se mueve sobre la recta X₃X₆₄₇ los puntos fijos son X₅₆₂₂=2X₃+X₈₉₅ y 4X₃-X₈₉₅
4X₃-X₈₉₅ = ( a^2 (a^2-b^2-c^2) (a^8+a^6 (b^2+c^2)-a^4 (3 b^4+b^2 c^2+3 c^4)-a^2 (b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+c^6)+(b^2-c^2)^2 (2 b^4+b^2 c^2+2 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (8.68373252025191, 6.56677967646236, -4.91344414960583).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,895}, {6,15051}, {20,1632}, {22,110}, {25,35904}, {69,74}, {113,28419}, {125,7386}, {141,10733}, {159,12825}, {182,15036}, {186,249}, {265,28725}, {343,9140}, {378,11188}, {858,15142}, {1092,7556}, {1176,5504}, {1177,7488}, {1204,27082}, {1205,13348}, {1352,35481}, {1370,12827}, {1503,13445}, {1511,10752}, {1568,19924}, {1992,11438}, {1994,19161}, {2063,9909}, {2071,2393}, {2777,35513}, {2854,5621}, {2882,15915}, {2930,15054}, {3260,35474}, {3289,5104}, {3523,15118}, {3564,38723}, {3619,7687}, {5562,8718}, {5642,37669}, {5663,35243}, {5889,32245}, {5972,6353}, {6194,9769}, {6593,15020}, {6699,28438}, {6776,38726}, {7426,11064}, {7484,12099}, {7503,32246}, {7527,29959}, {7691,32233}, {8681,21663}, {9924,11598}, {9967,12893}, {10296,19510}, {10519,17702}, {10545,38072}, {10627,15132}, {10766,32661}, {11413,34787}, {11440,15069}, {11449,34117}, {11579,14810}, {11744,15585}, {11746,17825}, {12117,14833}, {12278,34118}, {12279,15581}, {12310,13416}, {12596,19129}, {13198,22352}, {14643,37971}, {14853,38793}, {14909,30209}, {15021,16010}, {15057,25328}, {15116,37444}, {15128,16196}, {15920,35387}, {18438,19138}, {19121,35228}, {20417,32255}, {21850,38794}, {23049,30744}, {23296,31829}, {25320,38727}, {25711,37486}, {28408,31670}, {30714,32247}, {34148,37473}, {37784,37941}.
Sábado, 20 de junio del 2020
La isocúbica circular pK(X6,X523)

El 20 de junio de 1838 nació el matemático alemán Karl Theodor Reye. Investigó en geometría proyectiva siguiendo los trabajos de Steiner y Standt. Escribió Geometría sintética (1879), Geometría de la posición (1899). La configuración de Reye de 12 puntos, 12 planos y 16 líneas lleva su nombre. En la notación de configuraciones, la configuración de Reye se escribe como 12₄16₃. Si la configuración de Reye se forma a partir de un cubo en un espacio tridimensional, entonces hay 12 planos que contienen cuatro líneas cada uno: los seis planos de la cara del cubo y los seis planos a través de pares de bordes opuestos del cubo. La intersección de estos 12 planos y 16 líneas con otro plano en posición general produce una configuración 16₃12₄, la dual de la configuración Reye.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sean D, E, F las reflexiones de P en BC, CA, AB, respectivamente.
Las circunferencias de diámetros AD, BE, CF son concurrentes si y solo si P esta sobre la isocúbica isogonal circular con pivote el conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, pK(X6, X523).
( Mostrar/Ocultar figura )
En coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w), la ecuación de la circunferencia Γ_a, de diámetro AD es:
a^2 y z+b^2 z x+c^2 x y+
(x+y+z) (-(((a^4 u-2 a^2 b^2 u+b^4 u-2 b^2 c^2 u+c^4 u+a^4 w-a^2 b^2 w+a^2 c^2 w) y)/(2 a^2 (u+v+w)))-((a^4 u+b^4 u-2 a^2 c^2 u-2 b^2 c^2 u+c^4 u+a^4 v+a^2 b^2 v-a^2 c^2 v) z)/(2 a^2 (u+v+w))) =0.
Las ecuaciones de las circunferencias Γ_b y Γ_c, de diámetros BE y CF, respectivamente, se obtienen por permutación cíclica.
El de esta tres circunferencias es:
W = (a^6 v w-a^4 (b^2+c^2) v w-(b^2-c^2)^2 u (c^2 v+b^2 w)-a^2 u (b^2 c^2 u-c^4 v-b^4 w) : ... : ...).
La aplicación P ↦ W coincide con "QF mapping and related curves" (Another description added on 2020-06-21 in Table 74. Bernard Gibert).

El punto W está sobre las tres circunferencias si y sólo si P satisface a la ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} (b^2-c^2) x (c^2 y^2-b^2 z^2) = 0.
Se trata de la pivotal, isogonal y , de pivote X₅₂₃, del foco, X₁₁₀, de la . Pasa por los centros X₁ (incentro), X₁₁₀, X₅₂₃, X₂₁₃₈₁. Su singular es X₇₄. conjugado isogonal del punto del infinito de la . Su asíntota real pasa por X₁₁₀ y X₄₇₆ ().
Puntos W, de intersección de las circunferencias Γ_a, Γ_b y Γ_c, para P=X_i: W₁=X₈₀ (reflexión del incentro en el ), W₁₁₀=X₄₇₆, W₅₂₃=X₂₆₅ (reflexión del circuncentro en el centro de la ), W₂₁₃₈₁ es la reflexión de X₈₀ en X₃₄₁₇₂.
W₂₁₃₈₁ = ( (b-c)^4 (b+c)^3 (b^2-b c+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^4-3 b^3 c+3 b^2 c^2-3 b c^3+c^4) a+(-b^7+4 b^5 c^2-3 b^4 c^3-3 b^3 c^4+4 b^2 c^5-c^7) a^2+(b^6-3 b^5 c-b^4 c^2+5 b^3 c^3-b^2 c^4-3 b c^5+c^6) a^3+b c (2 b^3-b^2 c-b c^2+2 c^3) a^4+b c (b^2-b c+c^2) a^5+(-b^3-b^2 c-b c^2-c^3) a^6+(b^2-b c+c^2) a^7+(b+c) a^8-a^9 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-13.5004939878839, -1.94682349191960, 11.2194625861059).
Es la reflexión de X₈₀ en X₃₄₁₇₂.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {79,476}, {80,758}, {226,2222}, {1836,36815}, {2607,5520}, {2651,5057}, {6003,34789}, {17768,34311}.

La tangente en el incentro a pK(X6, X523) es paralela a su asíntota real, por lo que X₅₂₃ es su .
El punto tangencial de X₁₁₀ es:
Z = ( a^2 (a^2-b^2) (a^2-c^2) (a^10-2 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^6+c^6)-a^4 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)+a^2 (2 b^8-4 b^6 c^2+5 b^4 c^4-4 b^2 c^6+2 c^8)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.910529457728449, 0.905192850044087, 3.43423687390545).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,2612}, {3,9218}, {5,34365}, {20,31990}, {32,6792}, {512,14366}, {2613,2617}, {4226,14884}, {6328,36163}, {7785,9514}, {13434,18114}.

El punto tangencial de X₂₁₃₈₁ es:
T = ( (b^2-c^2)/(a^10-2 a^8 (b^2+c^2)+a^6 (b^4+4 b^2 c^2+c^4)-a^4 (b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+c^6)+a^2 (2 b^8-4 b^6 c^2+5 b^4 c^4-4 b^2 c^6+2 c^8)-(b^2-c^2)^2 (b^6+c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-7.28156569882929, 7.32449451721387, 1.93058321560368).

El centro radical W de las circunferencias Γ_a, Γ_b y Γ_c está sobre la circunferencia circunscrita, Γ, si y solo sí P está sobre la cónica 𝒞 circunscrita que pasa por el foco de la y por el .

El centro de la cónica
( a^4 c^4 x y+a^2 b^2 c^4 x y+b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y-2 b^2 c^6 x y+c^8 x y+a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z+b^8 x z+a^2 b^4 c^2 x z-2 b^6 c^2 x z+b^4 c^4 x z+a^8 y z-2 a^6 b^2 y z+a^4 b^4 y z-2 a^6 c^2 y z+a^4 b^2 c^2 y z+a^4 c^4 y z = 0)
𝒞 es X₁₁₅₉₇, punto medio de X₅₄X₁₁₀, su es X₅₀, pasa además por los centros X₁₀₄₁₁, X₁₄₃₅₅, X₁₄₃₈₅, X₁₄₅₉₁, X₁₇₁₀₄, X₃₄₂₁₀ y por los conjugados isogonales del par bicéntrico PU(5).

P(5) and U(5) lie on the central line X(5)X(523).
The points PU(5) lie on the orthocentroidal circle. (Randy Hutson, September 10, 2012)
Martes, 16 de junio del 2020
Triángulos pedales de los conjugados isogonales de los puntos de Napoleón

Julius Weingarten fue un matemático alemán, que falleció el 16 de junio de 1910, a los 74 años de edad. Contribuyó en geometría diferencial de las superficies, como en las Ecuaciones de Weingarten. Se conocen como superficies de Weigarten aquellas para las que existe un relación entre sus curvaturas principales. Por ejemplo: superficies mínimas (k₁+k₂=0), superficies de curvatura gaussiana constante (k₁k₂=cte.), paraboloide de revolución (k₂-a²k₁³=0, parábola x²=2az, y=0 que gira alrededor de OZ).

Dado un triángulo ABC, sea el triángulo homotético a ABC tal que los triángulos equiláteros B₁C₁A', C₁A₁B', A₁B₁C' levantados exteriormente sobre los lados de verifiquen que A', B', C' estén sobre los lados BC, CA, AB, respectivamente.
El triángulo es homotético a ABC en una homotecia con centro en punto P (con coordenadas baricéntricas (u:v:w)) y razón k. Imponiendo que el punto imagen de B₁ en el giro de centro C₁ y amplitud π/3,
(√‍3a²k(u+v+w)+2(k-1)u : √‍3a²k(u+v+w)+2(k-1)uS: √‍3a²k(u+v+w)+2(k-1)uS),
esté sobre BC, se obtiene la relación:
2 (k-1) S u + √‍3 a² k (u + v + w) = 0.
Procediendo cíclicamente, se obtiene otras dos relaciones. Al resolver el sistema forma por estas tres ecuaciones se obtiene que P es el y
k = S/(S + √‍3 S_ω).

A'B'C' es el de X₆₁, del .

X₆₁ = ( a^2 (2 S (a^2 + 2 (b^2 + c^2)) - √‍3 (a^4 - a^2 (b^2 + c^2) - 2 b^2 c^2)): ... : ...).
( Mostrar/Ocultar figura )
Las circunferencias circunscritas a los triángulos B₁C₁A', C₁A₁B', A₁B₁C' concurren en el punto W₁, intersección del con la recta X₃₂X₆₁₆ (que pasa por el del simediano, X₃₂, y el , X₆₁₆, del ). W₁ también es la reflexión de X₁₁₁₂₈ (cuadrado baricéntrico del , X₂₉₉, del segundo punto de Fermat) en X₆₂₀ (punto medio de los complementos de los puntos de Fermat).
W₁ tiene números de búsqueda en (0.845800443410649, 1.26263942093842, 2.37616006276056).

Si O_a, O_b, O_c son los circuncentros de los triángulos B₁C₁A', C₁A₁B', A₁B₁C', entonces y son perspectivos, con centro de perspectividad Z₁, punto de intersección de la recta que pasa por los con la recta X₃₉₆X₆₂₉ (X₃₉₆ es el punto medio de los primeros puntos de Fermat e y X₆₂₉ es complemento del primer punto de Napoleón).
Z₁ tiene números de búsqueda en ETC (1.05607701256880, 1.44508560964729, 2.15280043865835).

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Si el triángulo homotético a ABC tal que los triángulos equiláteros B₂C₂A", C₂A₂B", A₂B₂C" levantados interiormente sobre los lados de verifiquen que A", B", C" estén sobre los lados BC, CA, AB, respectivamente, entonces:
A"B"C" es el triángulo homtético a ABC, mediante la homotecia de centro el simediano y razón S/(S - √‍3 S_ω). A"B"C" es el triángulo pedal de X₆₂, conjugado isogonal del segundo punto de Napoleón.

X₆₂ = ( a^2 (2 S (a^2 + 2 (b^2 + c^2)) + √‍3 (a^4 - a^2 (b^2 + c^2) - 2 b^2 c^2)): ... : ...).
( Mostrar/Ocultar figura )
Las circunferencias circunscritas a los triángulos B₂C₂A", C₂A₂B", A₂B₂C" concurren en el punto W₂, sobre el , reflexión de X₁₁₁₂₉ (cuadrado baricéntrico de X₂₉₈, conjugado isotómico del segundo punto de Fermat) en X₆₂₀ (punto medio de los complementos de los puntos de Fermat).
W₂ tiene números de búsqueda en ETC (0.1943466373, 0.2586170771, 3.3719234421).

es perspectivo al tiángulo formado por los circuncentros de los triángulos B₁C₁A", C₁A₁B", A₁B₁C". El centro de perspectividad Z₂ es la intersección de la recta que pasa por los puntos de Napoleón con la recta X₃₉₅X₆₃₀ (X₃₉₅ es el punto medio de los segundos puntos de Fermat e isodinámico y X₆₃₀ es complemento del segundo punto de Napoleón).
Z₂ tiene números de búsqueda en ETC (5.0733490054, -1.3707678117, 2.2481118875).
Viernes, 12 de junio del 2020
La cúbica de Darboux y un trifolium

El 12 de junio de 1929 nació, Ana Frank, joven judía alemana, cuyo diario sobre la vida clandestina de su familia en una buhardilla de unos almacenes de Ámsterdam durante dos años, en la cruel ocupación alemana de los Países Bajos, se convertirá en un símbolo contra la barbarie nazi. Morirá en un campo de exterminio en 1945.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF su . La paralela por D a AB corta a AC en A_b y la paralela por D a AC corta a AB en A_c. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente.
Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b están sobre una misma cónica 𝒞, si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux (K004, en el catálogo de Bernard Gibert).
Si P se mueve la circunferencia circunscrita (DEF degenera en la , 𝓈_P), la cónica 𝒞 degenera en el producto de dos rectas. El lugar geométrico de su punto de intersección, M, es un trifolium
( (a^2+b^2-c^2) x^3 y+(-2 a^2-2 b^2) x^2 y^2+(a^2+b^2-c^2) x y^3+(a^2-b^2+c^2) x^3 z+(-2 a^2+2 b^2+2 c^2) x^2 y z+(2 a^2-2 b^2+2 c^2) x y^2 z+(-a^2+b^2+c^2) y^3 z+(-2 a^2-2 c^2) x^2 z^2+(2 a^2+2 b^2-2 c^2) x y z^2+(-2 b^2-2 c^2) y^2 z^2+(a^2-b^2+c^2) x z^3+(-a^2+b^2+c^2) y z^3 = 0)
𝒯, con punto triple en el baricentro y pasa por X₁₄₉₉₉.
Otra construcción de 𝒯, como lugar geométrico, es descrita en HG120620.

Si P=(u:v:w), entonces:
M = (u(a^2 (b^2 + c^2 ) v^2 w^2- u^2 (c^4 v^2+b^4 w^2)) : ... : ...).

El punto M es la intersección de la de P con la recta (pasa por el baricentro) cuyos coeficientes de su ecuación baricéntrica son las coordenadas de P* ( de P).
Toda recta que pasa por el baricentro vuelve a corta al trifoliun en un solo punto. Si la recta pasa por el tal punto es X₁₄₉₉₉.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si queremos obtener las coordenadas del punto W de intersección de la con 𝒯, podemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas curvas, obteniéndose una solución triple, correspondiente al baricentro, y las coordenadas de W; o bien intersecando la recta de Euler con la recta antipedal del punto X₁₁₂, conjugado isogonal del punto cuyas coordenadas son los coeficientes de la ecuación de la recta de Euler.
W = ( (2 a^10-2 a^8 b^2-a^6 b^4-a^4 b^6+3 a^2 b^8-b^10-2 a^8 c^2+4 a^6 b^2 c^2+a^4 b^4 c^2-2 a^2 b^6 c^2-b^8 c^2-a^6 c^4+a^4 b^2 c^4-2 a^2 b^4 c^4+2 b^6 c^4-a^4 c^6-2 a^2 b^2 c^6+2 b^4 c^6+3 a^2 c^8-b^2 c^8-c^10)/((b^2-c^2) (a^2-b^2-c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.693048908475606, -0.178299294941835, 3.44423372833999).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,3}, {99,20580}, {112,525}, {2799,35907}, {3265,23964}, {3566,32696}.

Los seis puntos comunes de 𝒯 con los lados de ABC (aparte de sus vértices) están en una cónica
( a^6 x^2-a^4 b^2 x^2-a^2 b^4 x^2+b^6 x^2-a^4 c^2 x^2+2 a^2 b^2 c^2 x^2-b^4 c^2 x^2-a^2 c^4 x^2-b^2 c^4 x^2+c^6 x^2-2 a^6 x y+2 a^4 b^2 x y+2 a^2 b^4 x y-2 b^6 x y+2 a^2 c^4 x y+2 b^2 c^4 x y+a^6 y^2-a^4 b^2 y^2-a^2 b^4 y^2+b^6 y^2-a^4 c^2 y^2+2 a^2 b^2 c^2 y^2-b^4 c^2 y^2-a^2 c^4 y^2-b^2 c^4 y^2+c^6 y^2-2 a^6 x z+2 a^2 b^4 x z+2 a^4 c^2 x z+2 b^4 c^2 x z+2 a^2 c^4 x z-2 c^6 x z+2 a^4 b^2 y z-2 b^6 y z+2 a^4 c^2 y z+2 b^4 c^2 y z+2 b^2 c^4 y z-2 c^6 y z+a^6 z^2-a^4 b^2 z^2-a^2 b^4 z^2+b^6 z^2-a^4 c^2 z^2+2 a^2 b^2 c^2 z^2-b^4 c^2 z^2-a^2 c^4 z^2-b^2 c^4 z^2+c^6 z^2 = 0)
cuyo centro es:
U = ( (a^4-(b^2-c^2)^2) (3 a^8-7 a^6 (b^2+c^2)-2 (b^4-c^4)^2-a^4 (b^4-6 b^2 c^2+c^4)+a^2 (7 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+7 c^6)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (0.944594446628652, 1.74768601715249, 1.99476134081943).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,5523}, {3,1560}, {6,468}, {25,5475}, {186,9745}, {216,14580}, {233,11284}, {574,5094}, {1196,37453}, {2501,18311}, {3162,6676}, {6032,35480}, {7746,8791}, {8541,30516}, {15595,37638}, {37752,37753}.

Su es:
V = ( 1/(a^6+b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6-a^4 (b^2+c^2)-a^2 (b^4+b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (0.678649189557374, 1.18365893874178, 2.50798559067513).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {5,111}, {6,16511}, {25,5475}, {39,8791}, {251,6676}, {468,8882}, {1383,7493}, {2963,3291}, {2987,14389}, {3580,30535}, {3815,14910}, {7514,9745}, {7539,8770}, {9178,12077}, {10418,14579}, {11548,16317}.
Miércoles, 10 de junio del 2020
La cúbica de Thomson y la recta del infinito

-Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real.-Marcus du Sautoy.

Dados un triángulo ABC y un punto P en su plano, sea P* su . Sea Z el punto cuyas coordenadas baricéntricas son proporcionales a las áreas de los triángulos APP*, BPP*, CPP*. Si (u:v:w) son las coordenadas de P, entonces:
Z = (u (c^2 v^2 - b^2 w^2) : v (a^2 w^2 - c^2 u^2) : w (b^2 u^2 - a^2 v^2)).

El punto Z está en la si y solo si P está sobre la la cúbica de Thomson (K002, en el catálogo de Bernard Gibert).
( Mostrar/Ocultar figura )
El lugar geométrico del punto P tal que Z está sobre la es la isogonal circular con pivote X(525), pK(X2, X525).

X(525) = isogonal conjugate of X(112)

Some properties of the triangle center X(112):

If the line that passes through orthocenter and symmedian, X(4)X(6), is reflected in every side of triangle ABC, then the reflections concur in X(112). (Randy Hutson, 9/23/2011)

Let P be a point on the other than orthocenter. Let A' be the reflection of P in BC, and define B' and C' cyclically. The circumcircles of AA'B', BC'A', and CA'B' concur at X(112). (Randy Hutson, December 26, 2015)

Let Q be a point on the other than centroid, X(2). Let A'B'C' be the of Q. Let A" be the {B,C}- of A' (or equivalently, A" = BC∩B'C'), and define B" and C" cyclically. The circumcircles of AB"C", BC"A", CA"B" concur in X(112). (Randy Hutson, December 26, 2015)

Let A', B', C' be the intersections of the and lines BC, CA, AB, respectively. The circumcircles of AB'C', BC'A', CA'B' concur in X(112). (Randy Hutson, December 26, 2015)

Let A' be the reflection of X(6) in BC, and define B' and C' cyclically. The circumcircles of AB'C', BC'A', CA'B' concur in X(112). (Randy Hutson, December 26, 2015)

Let A'B'C' be the . Let A" be the pole, wrt the , of line B'C', and define B" and C" cyclically. The lines A'A", B'B", C'C" concur in X(112). (Randy Hutson, December 26, 2015)

Let L₁ be the line that is the of the Euler line and P(4). Let L₂ be the line that is the barycentric product of the Euler line and U(4). Then X(112) = L₁∩L₂. (Randy Hutson, July 11, 2019)

La cúbica
( a^4 c^2 x^2 y-a^2 b^2 c^2 x^2 y+b^2 c^4 x^2 y-c^6 x^2 y-a^2 b^2 c^2 x y^2+b^4 c^2 x y^2+a^2 c^4 x y^2-c^6 x y^2+a^4 b^2 x^2 z-b^6 x^2 z-a^2 b^2 c^2 x^2 z+b^4 c^2 x^2 z-a^6 y^2 z+a^2 b^4 y^2 z+a^4 c^2 y^2 z-a^2 b^2 c^2 y^2 z+a^2 b^4 x z^2-b^6 x z^2-a^2 b^2 c^2 x z^2+b^2 c^4 x z^2-a^6 y z^2+a^4 b^2 y z^2-a^2 b^2 c^2 y z^2+a^2 c^4 y z^2 = 0)
pK(X2, X525) pasa por X₁ (incentro), X₁₁₂, X₅₂₅. Su asíntota es la de X₁₁₂. X₁₁₂ es el de A, B, C.

Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, Z está sobre la cúbica de Simson del triángulo medial.
Aunque los triángulos APP*, BPP*, CPP* no están definidos, cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, por continuidad podemos contemplar esta situación.
Sábados, 6 de junio del 2020
Cónica centrada en el incentro

El 6 de junio de 1928, murió a los 72 años Luigi Bianchi, matemático italiano. Publico, en 1902, las que hoy se concocen com identidades de Bianchi.
Tensor curvatura de Riemann R(X,Y)Z=∇_X∇_YZ - ∇_Y∇_XZ-∇_[X,Y]Z. (∇ conexión de Levi-Civita)
Primera identidad de Bianchi R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0.
En coordenadas, la segunda identidad es Rⁱ_jkl;m+Rⁱ_jmk;l+Rⁱ_jlm;k=0, donde ";" indica derivada covariante.

Sea DEF el de un triángulo dado ABC. Si E' y F' son los simétricos de E y F respecto al incentro I=X₁, la recta E'F' corta a BC en A'.
La perpendicular por B a IC corta a IA' en A_b, y la perpendicular por C a IB corta a IA' en A_c.
Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente.
Los pares de puntos (A_c, A_b), (B_c, B_a) y (C_a, C_b) son diametralmente opuestos en una misma cónica
(
Ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} (-a+b+c)^2 (a^7-a^6 (b+c)+a^5 (-4 b^2+5 b c-4 c^2)+b c (b+c)^3 (3 b^2-10 b c+3 c^2)+a^4 (-2 b^3+b^2 c+b c^2-2 c^3)+a^3 (-7 b^4+14 b^3 c+26 b^2 c^2+14 b c^3-7 c^4)-a^2 (13 b^5-53 b^4 c+80 b^3 c^2+80 b^2 c^3-53 b c^4+13 c^5)+a (-6 b^6+37 b^5 c-102 b^4 c^2+222 b^3 c^3-102 b^2 c^4+37 b c^5-6 c^6)) x^2+(a^9-4 a^8 (b+c)+2 a^7 (9 b^2+b c+9 c^2)+6 a^6 (7 b^3-18 b^2 c-18 b c^2+7 c^3)+2 (b-c)^2 (b+c)^3 (b^4-3 b^3 c+8 b^2 c^2-3 b c^3+c^4)-a (b^2-c^2)^2 (5 b^4-10 b^3 c+66 b^2 c^2-10 b c^3+5 c^4)-2 a^5 (6 b^4+29 b^3 c-214 b^2 c^2+29 b c^3+6 c^4)-2 a^4 (19 b^5-96 b^4 c+165 b^3 c^2+165 b^2 c^3-96 b c^4+19 c^5)-2 a^3 (b^6-55 b^5 c+307 b^4 c^2-618 b^3 c^3+307 b^2 c^4-55 b c^5+c^6)-2 a^2 (b^7+6 b^6 c-104 b^5 c^2+113 b^4 c^3+113 b^3 c^4-104 b^2 c^5+6 b c^6+c^7)) y z = 0.
= 0)
con centro en I.
( Mostrar/Ocultar figura )
Las rectas A_cA_b, B_cB_a y C_aC_b forman un triángulo A"B"C" perspectivo con DEF, con centro de perspectividad:

W = ( (5 a^3-5 a^2 b-9 a b^2+b^3-5 a^2 c+14 a b c+3 b^2 c-9 a c^2+3 b c^2+c^3) (a^4-3 a^3 b+5 a^2 b^2+7 a b^3-2 b^4-3 a^3 c+2 a^2 b c-11 a b^2 c+5 a^2 c^2-11 a b c^2+4 b^2 c^2+7 a c^3-2 c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.96761021883621, 2.66315699023225, 0.427274156899187).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,3524}, {8,4373}, {388,4694}, {497,3976}, {3057,4661}, {5558,17723}.

Los triángulos DEF y A"B"C" son con el centro ortológico común.
Miércoles, 3 de junio del 2020
Propiedades del centro del triángulo X(15740)

El 3 de Junio de 1924 muere, a los 41 años, en el sanatorio de Kierling, en Austria, el escritor Franz Kafka autor de "La metamorfosis", entre otras obras. Su obra es una de las pioneras en la fusión de elementos realistas con fantásticos, y tiene como principales temas los conflictos paternofiliales, la ansiedad, el existencialismo, la brutalidad física y psicológica, la culpa, la filosofía del absurdo, la burocracia y las transformaciones espirituales.

Dado un triángulo ABC, se consideran las seis rectas perpendiculares a los lados AB y AC en A, a los lados BC y BA en B, y a los lados CA y CB en C. Estas rectas son tangentes a una misma cónica,
( Ecuación baricéntrica:
a^8 x^2-2 a^4 b^4 x^2+b^8 x^2+4 a^4 b^2 c^2 x^2-4 b^6 c^2 x^2-2 a^4 c^4 x^2+6 b^4 c^4 x^2-4 b^2 c^6 x^2+c^8 x^2+2 a^8 x y-4 a^4 b^4 x y+2 b^8 x y+4 a^6 c^2 x y-4 a^4 b^2 c^2 x y-4 a^2 b^4 c^2 x y+4 b^6 c^2 x y-8 a^4 c^4 x y+8 a^2 b^2 c^4 x y-8 b^4 c^4 x y-4 a^2 c^6 x y-4 b^2 c^6 x y+6 c^8 x y+a^8 y^2-2 a^4 b^4 y^2+b^8 y^2-4 a^6 c^2 y^2+4 a^2 b^4 c^2 y^2+6 a^4 c^4 y^2-2 b^4 c^4 y^2-4 a^2 c^6 y^2+c^8 y^2+2 a^8 x z+4 a^6 b^2 x z-8 a^4 b^4 x z-4 a^2 b^6 x z+6 b^8 x z-4 a^4 b^2 c^2 x z+8 a^2 b^4 c^2 x z-4 b^6 c^2 x z-4 a^4 c^4 x z-4 a^2 b^2 c^4 x z-8 b^4 c^4 x z+4 b^2 c^6 x z+2 c^8 x z+6 a^8 y z-4 a^6 b^2 y z-8 a^4 b^4 y z+4 a^2 b^6 y z+2 b^8 y z-4 a^6 c^2 y z+8 a^4 b^2 c^2 y z-4 a^2 b^4 c^2 y z-8 a^4 c^4 y z-4 a^2 b^2 c^4 y z-4 b^4 c^4 y z+4 a^2 c^6 y z+2 c^8 y z+a^8 z^2-4 a^6 b^2 z^2+6 a^4 b^4 z^2-4 a^2 b^6 z^2+b^8 z^2-2 a^4 c^4 z^2+4 a^2 b^2 c^4 z^2-2 b^4 c^4 z^2+c^8 z^2 = 0)
𝒞, con centro el circuncentro y X₁₅₇₄₀.

X(15740)=perspector of the X(4)-orthoparallelogic tangential-conic, 𝒞 of ABC.
(See preamble of X(31353), by César Eliud Lozada, January 27, 2019).
( Mostrar/Ocultar figura )
Hyacinthos 26987 (Dec 29, 2017)

[Antreas Hatzipolakis]:

Let ABC be a triangle and A'B'C' the cevian triangle of H.
Denote:
A"B"C" = the midheight triangle (ie A", B", C" = the midpoints of AA', BB', CC', resp.)

A*, B*, C* = the reflections of A", B", C" in H, resp.
Ab, Ac = the orthogonal projections of A* on AB, AC, resp.
Bc, Ba = the orthogonal projections of B* on BC, BA, resp.
Ca, Cb = the orthogonal projections of C* on CA, ab, resp.
A*B*C* = the triangle bounded by AbAc, BcBa, CaCb
M1, M2, M3 = the midpoints of AbAc, BcBa, CaCb, resp.

1. A'B'C', A*B*C* are homothetic.
2. The perpendicular bisectors of AbAc, BcBa, CaCb are concurrent
3. ABC, M1M2M3 are orthologic
4. A'B'C', M1M2M3 are orthologic
5. A*B*C*, M1M2M3 are orthologic.

[Angel Montesdeoca]:

1. A'B'C', A*B*C* are homothetic with homothetic center X(51).
2. The perpendicular bisectors of AbAc, BcBa, CaCb are concurrent at X(5907).
3. ABC, M1M2M3 are orthologic
The orthology center of ABC with respect to M1M2M3 is
Z₃ [=X(15740)] with first barycentric coordinate:
a^10+3 a^8 (b^2+c^2)-14 a^6 (b^2-c^2)^2+2 a^4 (7 b^6-15 b^4 c^2-15 b^2 c^4+7 c^6)-a^2 (b^2-c^2)^2 (3 b^4+10 b^2 c^2+3 c^4)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) ::
The orthology center of M1M2M3 with respect to ABC is X(13568).
4. A'B'C', M1M2M3 are orthologic
The orthology center of A'B'C' with respect to M1M2M3 is
Z₄ with first barycentric coordinate:
5 a^10 + a^8(b^2+c^2)-2 a^6 (15 b^4+2 b^2 c^2+15 c^4)+2 a^4 (17 b^6-9 b^4 c^2-9 b^2 c^4+17 c^6) -a^2 (b^2-c^2)^2 (7 b^4+2 b^2 c^2+7 c^4) -3 (b^2-c^2)^4 (b^2+c^2) ::
The orthology center of M1M2M3 with respect to A'B'C' is X(5907)
5. A*B*C*, M1M2M3 are orthologic.
The orthology center of A*B*C* with respect to M1M2M3 is
Z₅ with first barycentric coordinate:
a^2 (-a^12 (b^2+c^2) +a^10 (4 b^4-46 b^2 c^2+4 c^4) +a^8 (-5 b^6+11 b^4 c^2+11 b^2 c^4-5 c^6) +5 a^4 (b^10-55 b^8 c^2+22 b^6 c^4+22 b^4 c^6-55 b^2 c^8+c^10) +4 a^6 (57 b^6 c^2-2 b^4 c^4+57 b^2 c^6) -2 a^2 (b^2-c^2)^2 (2 b^8-25 b^6 c^2-34 b^4 c^4-25 b^2 c^6+2 c^8) +(b^2-c^2)^4 (b^6+29 b^4 c^2+29 b^2 c^4+c^6))
The orthology center of M1M2M3 with respect to A*B*C* is X(5907).

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Let A'B'C' be the orthic triangle and L the de Longchamps point, X(20). Let A", B", C" be the midpoints of LA', LB', LC'. Then A"B"C" is perspective to ABC, and the perspector is X(15740). See also X(6776). (Hyacinthos #20428, Bui Quang Tuan, 11/26/2011)

Hyacinthos 20428 (Nov 26, 2011)

[Bui Quang Tuan]

O, H, K, L are circumcenter, orthocenter, symmedian and de Longchamps points of reference triangle ABC. Suppose A'B'C' is orthic triangle of ABC. Denote A'', B'', C'' as midpoints of LA', LB', LC' respectively.

Results:
1). A''B''C'' and ABC are perspective at perspector P [=X(15740)] with barycentrics:
SA/(SA^2 + b^2*c^2) : :
2). A''B''C'' and circumcevian triangle of O are perspective at perspector Q [=X(6776)] with barycentrics:
SA*(a^4 - SB*SC) : :
Q is reflection of orthocenter H in symmedian point K.
P and Q are not in current ETC.

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Let A'B'C' be the medial triangle and L the de Longchamps point, X(20). Let A" = midpoint of AL, and define B" and C" cyclically. Let A1=A'A''∩B''C'', and define B1 and C1 cyclically. The triangle A1B1C1 is perspective to ABC, and the perspector is X(15740). (Angel Montesdeoca, December 4, 2018)
Viernes, 29 de mayo del 2020
Dos cónicas bitangentes asociadas a la recta de Euler

Si un teorema lleva el nombre de una matemático, es seguro que este matemático no es su inventor. Félix Klein

En el plano de un triángulo ABC se considera un punto P y su A'B'C'. Sean A', B', C' los inversos de A', B', C', respecto a la circunferencia circunscrita Γ a A"B"C".
Los triángulos ABC y A"B"C" son perspectivos si y solo si P está sobre Γ o sobre la .
El lugar geométrico del centro de perspectividad Q es:
La cuártica Q120, de la , si P se mueve sobre Γ.
Una cónica
( (-a^2 b^12 c^4+b^14 c^4+4 a^2 b^10 c^6-3 b^12 c^6-6 a^2 b^8 c^8+2 b^10 c^8+4 a^2 b^6 c^10+2 b^8 c^10-a^2 b^4 c^12-3 b^6 c^12+b^4 c^14) x^2+(-2 a^6 b^6 c^6+4 a^6 b^4 c^8+4 a^4 b^6 c^8-2 a^6 b^2 c^10-8 a^4 b^4 c^10-2 a^2 b^6 c^10+4 a^4 b^2 c^12+4 a^2 b^4 c^12-2 a^2 b^2 c^14) x y+(a^14 c^4-a^12 b^2 c^4-3 a^12 c^6+4 a^10 b^2 c^6+2 a^10 c^8-6 a^8 b^2 c^8+2 a^8 c^10+4 a^6 b^2 c^10-3 a^6 c^12-a^4 b^2 c^12+a^4 c^14) y^2+(-2 a^6 b^10 c^2+4 a^4 b^12 c^2-2 a^2 b^14 c^2+4 a^6 b^8 c^4-8 a^4 b^10 c^4+4 a^2 b^12 c^4-2 a^6 b^6 c^6+4 a^4 b^8 c^6-2 a^2 b^10 c^6) x z+(-2 a^14 b^2 c^2+4 a^12 b^4 c^2-2 a^10 b^6 c^2+4 a^12 b^2 c^4-8 a^10 b^4 c^4+4 a^8 b^6 c^4-2 a^10 b^2 c^6+4 a^8 b^4 c^6-2 a^6 b^6 c^6) y z+(a^14 b^4-3 a^12 b^6+2 a^10 b^8+2 a^8 b^10-3 a^6 b^12+a^4 b^14-a^12 b^4 c^2+4 a^10 b^6 c^2-6 a^8 b^8 c^2+4 a^6 b^10 c^2-a^4 b^12 c^2) z^2 = 0)
𝒞, cuando P se mueve sobre la recta de Euler.

Hyacinthos 28625 (Nov 12, 2018)

[Alexandr Skutin]:

Let ABC be a triangle and P a point on the Euler line.
Denote:
Ka, Kb, Kc = the symmedian points of PBC, PCA, PAB, resp.
The reflections of PKa,, PKb, PKc in BC, CA, AB, resp. are concurrent.
The point of concurrence, as P moves on the Euler line, is a conic.

[Ercole Suppa]

The locus of the point of conurrence is the conic 𝒞:
b^4 (b-c)^4 c^4 (b+c)^4 (a^2-b^2-c^2) x^2+2 a^6 (a-b)^2 b^2 (a+b)^2 (a-c)^2 c^2 (a+c)^2 y z + ... = 0
Center of 𝒞: X(2)X(98) ∩ X(3)X(7731).
The perspector of 𝒞: X(110)X(9514) ∩ X(5012)X(5661).

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(Randy Hutson, August 19, 2019)

Another construction of the conic 𝒞 described in Hyacinthos 28625: Let P be a point on the Euler line. Let A'B'C' be the cevian triangle of P. Let A", B", C" be the circumcircle-inverses of A', B', C', resp. Triangle A"B"C" is perspective to ABC, and the locus of the perspector, as P moves on the Euler line, is the conic with center X(27866) and perspector X(27867). This conic passes through X(3), X(6), X(24), X(60), X(143), X(1511) and X(1986). Update: The conic passes through X(i), for i∈ {3, 6, 24, 60, 143, 1511, 1986, 6593, 15460, 15461, 19118, 20806, 35602, 35603, 36153}.

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X₁₅₄₆₀ X₁₅₄₆₁

Hyacinthos 26876 (Antreas Hatzipolakis. Dec 4, 2017)

[APH]:

In K932 we read that the cubic passes through the points:
X(3), X(4), X(110), X(523), X(7471), X(14264), X(7471)*, X(14264)*
The two last ones X(7471)*, X(14264)* are isogonal conjugates of X(7471), X(14264), resp.
In K934 we read that the cubic passes through the points
X(4), X(30), X(143), X(1147), X(1992), X(2574), X(2575), isogonal conjugates of X(1312), X(1313).
Which are these isogonal conjugates of X(7471), X(14264) and X(1312), X(1313) ? (properties)

[Peter Moses]:

gX1312:
a^2 (a^4-2 a^2 b^2+b^4+a^2 c^2+b^2 c^2-2 c^4+(a^4-2 a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-b^2 c^2) J) (a^4+a^2 b^2-2 b^4-2 a^2 c^2+b^2 c^2+c^4+(a^4-a^2 b^2-2 a^2 c^2-b^2 c^2+c^4) J)::
on lines {{4,13414}, {69,13415}, {110,1114}, {186,249}, {248,15166}, {265,1313}, {2574,5622}, {13434,14374}}.
on quartic Q120.
on cubic K934.
on Jerabek hyperbola.
isogonal conjugate of X(1312).
isogonal of the complement X(1114).
X(i)-cross conjugate of X(j) for these (i,j): {{3, 1114}, {6, 8116}, {2574, 110}}.
X(i)-isoconjugate of X(j) for these (i,j): {{1, 1312}, {92, 15167}, {2575, 2589}, {2579, 2593}, {2583, 8106}}.
cevapoint of X(1114) and X(14709).
barycentric product X(i)X(j) for these {i,j}: {{249, 1313}, {1114, 8116}, {1823, 2581}}.
barycentric quotient X(i)/X(j) for these {i,j}: {{6, 1312}, {184, 15167}, {1114, 2593}, {1313, 338}, {1823, 2583}, {2577, 2589}, {3284, 14500}, {15166, 125}}.

gX1313:
a^2 (a^4-2 a^2 b^2+b^4+a^2 c^2+b^2 c^2-2 c^4-(a^4-2 a^2 b^2+b^4-a^2 c^2-b^2 c^2) J) (a^4+a^2 b^2-2 b^4-2 a^2 c^2+b^2 c^2+c^4-(a^4-a^2 b^2-2 a^2 c^2-b^2 c^2+c^4) J)::
on lines {{4,13415}, {69,13414}, {110,1113}, {186,249}, {248,15167}, {265,1312}, {2575,5622}, {13434,14375}}.
on quartic Q120.
on cubic K934.
on Jerabek hyperbola.
isogonal conjugate of X(1313).
isogonal of the complement X(1113).
X(i)-cross conjugate of X(j) for these (i,j): {{3, 1113}, {6, 8115}, {2575, 110}}.
X(i)-isoconjugate of X(j) for these (i,j): {{1, 1313}, {92, 15166}, {2574, 2588}, {2578, 2592}, {2582, 8105}}.
cevapoint of X(1113) and X(14710).
barycentric product X(i)X(j) for these {i,j}: {{249, 1312}, {1113, 8115}, {1822, 2580}}.
barycentric quotient X(i)/X(j) for these {i,j}: {{6, 1313}, {184, 15166}, {1113, 2592}, {1312, 338}, {1822, 2582}, {2576, 2588}, {3284, 14499}, {15167, 125}}.

Cuando P se mueve sobre la recta de Euler la recta t=PQ (tangente a la circunhipérbola rectangular que pasa por P) envuelve una conica
( a^4 b^8 x^2-2 a^2 b^10 x^2+b^12 x^2-4 a^4 b^6 c^2 x^2+6 a^2 b^8 c^2 x^2-2 b^10 c^2 x^2+6 a^4 b^4 c^4 x^2-4 a^2 b^6 c^4 x^2-b^8 c^4 x^2-4 a^4 b^2 c^6 x^2-4 a^2 b^4 c^6 x^2+4 b^6 c^6 x^2+a^4 c^8 x^2+6 a^2 b^2 c^8 x^2-b^4 c^8 x^2-2 a^2 c^10 x^2-2 b^2 c^10 x^2+c^12 x^2+2 a^8 b^4 x y-4 a^6 b^6 x y+2 a^4 b^8 x y-4 a^8 b^2 c^2 x y+4 a^6 b^4 c^2 x y+4 a^4 b^6 c^2 x y-4 a^2 b^8 c^2 x y+2 a^8 c^4 x y+4 a^6 b^2 c^4 x y-14 a^4 b^4 c^4 x y+4 a^2 b^6 c^4 x y+2 b^8 c^4 x y-4 a^6 c^6 x y+8 a^4 b^2 c^6 x y+8 a^2 b^4 c^6 x y-4 b^6 c^6 x y-12 a^2 b^2 c^8 x y+4 a^2 c^10 x y+4 b^2 c^10 x y-2 c^12 x y+a^12 y^2-2 a^10 b^2 y^2+a^8 b^4 y^2-2 a^10 c^2 y^2+6 a^8 b^2 c^2 y^2-4 a^6 b^4 c^2 y^2-a^8 c^4 y^2-4 a^6 b^2 c^4 y^2+6 a^4 b^4 c^4 y^2+4 a^6 c^6 y^2-4 a^4 b^2 c^6 y^2-4 a^2 b^4 c^6 y^2-a^4 c^8 y^2+6 a^2 b^2 c^8 y^2+b^4 c^8 y^2-2 a^2 c^10 y^2-2 b^2 c^10 y^2+c^12 y^2+2 a^8 b^4 x z-4 a^6 b^6 x z+4 a^2 b^10 x z-2 b^12 x z-4 a^8 b^2 c^2 x z+4 a^6 b^4 c^2 x z+8 a^4 b^6 c^2 x z-12 a^2 b^8 c^2 x z+4 b^10 c^2 x z+2 a^8 c^4 x z+4 a^6 b^2 c^4 x z-14 a^4 b^4 c^4 x z+8 a^2 b^6 c^4 x z-4 a^6 c^6 x z+4 a^4 b^2 c^6 x z+4 a^2 b^4 c^6 x z-4 b^6 c^6 x z+2 a^4 c^8 x z-4 a^2 b^2 c^8 x z+2 b^4 c^8 x z-2 a^12 y z+4 a^10 b^2 y z-4 a^6 b^6 y z+2 a^4 b^8 y z+4 a^10 c^2 y z-12 a^8 b^2 c^2 y z+8 a^6 b^4 c^2 y z+4 a^4 b^6 c^2 y z-4 a^2 b^8 c^2 y z+8 a^6 b^2 c^4 y z-14 a^4 b^4 c^4 y z+4 a^2 b^6 c^4 y z+2 b^8 c^4 y z-4 a^6 c^6 y z+4 a^4 b^2 c^6 y z+4 a^2 b^4 c^6 y z-4 b^6 c^6 y z+2 a^4 c^8 y z-4 a^2 b^2 c^8 y z+2 b^4 c^8 y z+a^12 z^2-2 a^10 b^2 z^2-a^8 b^4 z^2+4 a^6 b^6 z^2-a^4 b^8 z^2-2 a^2 b^10 z^2+b^12 z^2-2 a^10 c^2 z^2+6 a^8 b^2 c^2 z^2-4 a^6 b^4 c^2 z^2-4 a^4 b^6 c^2 z^2+6 a^2 b^8 c^2 z^2-2 b^10 c^2 z^2+a^8 c^4 z^2-4 a^6 b^2 c^4 z^2+6 a^4 b^4 c^4 z^2-4 a^2 b^6 c^4 z^2+b^8 c^4 z^2 = 0)
ℰ, inscrita en ABC y bitangente a la cónica 𝒞 en los centros X₁₅₄₆₀ y X₁₅₄₆₁. Las tangentes comunes son X₁₁₁₃X₁₅₄₆₁ y X₁₁₁₄X₁₅₄₆₀, que se cortan en el foco de la
El de la cónica ℰ, X₁₈₀₂₀, es el T de la recta lugar geométrcio del tripolo de la recta t tangente en P a la hipérbola ℋ_P que pasa por A, B, C, X(4), P, cuando P se mueve sobre la recta de Euler. (Randy Hutson, June 27, 2018).
El perspector () de la cónica ℰ respecto al triángulo X₁₁₀X₁₁₁₃X₁₁₁₄ es X₁₅₄₇₂.
El foco de la parábola
( a^10 b^8 x^2-3 a^8 b^10 x^2+2 a^6 b^12 x^2+2 a^4 b^14 x^2-3 a^2 b^16 x^2+b^18 x^2-4 a^10 b^6 c^2 x^2+9 a^8 b^8 c^2 x^2-7 a^6 b^10 c^2 x^2+5 a^2 b^14 c^2 x^2-3 b^16 c^2 x^2+6 a^10 b^4 c^4 x^2-6 a^8 b^6 c^4 x^2+10 a^6 b^8 c^4 x^2-12 a^4 b^10 c^4 x^2-6 a^2 b^12 c^4 x^2+8 b^14 c^4 x^2-4 a^10 b^2 c^6 x^2-6 a^8 b^4 c^6 x^2-10 a^6 b^6 c^6 x^2+10 a^4 b^8 c^6 x^2+27 a^2 b^10 c^6 x^2-16 b^12 c^6 x^2+a^10 c^8 x^2+9 a^8 b^2 c^8 x^2+10 a^6 b^4 c^8 x^2+10 a^4 b^6 c^8 x^2-46 a^2 b^8 c^8 x^2+10 b^10 c^8 x^2-3 a^8 c^10 x^2-7 a^6 b^2 c^10 x^2-12 a^4 b^4 c^10 x^2+27 a^2 b^6 c^10 x^2+10 b^8 c^10 x^2+2 a^6 c^12 x^2-6 a^2 b^4 c^12 x^2-16 b^6 c^12 x^2+2 a^4 c^14 x^2+5 a^2 b^2 c^14 x^2+8 b^4 c^14 x^2-3 a^2 c^16 x^2-3 b^2 c^16 x^2+c^18 x^2+2 a^14 b^4 x y-6 a^12 b^6 x y+4 a^10 b^8 x y+4 a^8 b^10 x y-6 a^6 b^12 x y+2 a^4 b^14 x y-4 a^14 b^2 c^2 x y+6 a^12 b^4 c^2 x y-2 a^10 b^6 c^2 x y-2 a^6 b^10 c^2 x y+6 a^4 b^12 c^2 x y-4 a^2 b^14 c^2 x y+2 a^14 c^4 x y+6 a^12 b^2 c^4 x y-6 a^10 b^4 c^4 x y-2 a^8 b^6 c^4 x y-2 a^6 b^8 c^4 x y-6 a^4 b^10 c^4 x y+6 a^2 b^12 c^4 x y+2 b^14 c^4 x y-6 a^12 c^6 x y+2 a^10 b^2 c^6 x y-2 a^8 b^4 c^6 x y+10 a^6 b^6 c^6 x y-2 a^4 b^8 c^6 x y+2 a^2 b^10 c^6 x y-6 b^12 c^6 x y+2 a^10 c^8 x y-10 a^8 b^2 c^8 x y+14 a^6 b^4 c^8 x y+14 a^4 b^6 c^8 x y-10 a^2 b^8 c^8 x y+2 b^10 c^8 x y+10 a^8 c^10 x y-4 a^6 b^2 c^10 x y-42 a^4 b^4 c^10 x y-4 a^2 b^6 c^10 x y+10 b^8 c^10 x y-10 a^6 c^12 x y+30 a^4 b^2 c^12 x y+30 a^2 b^4 c^12 x y-10 b^6 c^12 x y-2 a^4 c^14 x y-26 a^2 b^2 c^14 x y-2 b^4 c^14 x y+6 a^2 c^16 x y+6 b^2 c^16 x y-2 c^18 x y+a^18 y^2-3 a^16 b^2 y^2+2 a^14 b^4 y^2+2 a^12 b^6 y^2-3 a^10 b^8 y^2+a^8 b^10 y^2-3 a^16 c^2 y^2+5 a^14 b^2 c^2 y^2-7 a^10 b^6 c^2 y^2+9 a^8 b^8 c^2 y^2-4 a^6 b^10 c^2 y^2+8 a^14 c^4 y^2-6 a^12 b^2 c^4 y^2-12 a^10 b^4 c^4 y^2+10 a^8 b^6 c^4 y^2-6 a^6 b^8 c^4 y^2+6 a^4 b^10 c^4 y^2-16 a^12 c^6 y^2+27 a^10 b^2 c^6 y^2+10 a^8 b^4 c^6 y^2-10 a^6 b^6 c^6 y^2-6 a^4 b^8 c^6 y^2-4 a^2 b^10 c^6 y^2+10 a^10 c^8 y^2-46 a^8 b^2 c^8 y^2+10 a^6 b^4 c^8 y^2+10 a^4 b^6 c^8 y^2+9 a^2 b^8 c^8 y^2+b^10 c^8 y^2+10 a^8 c^10 y^2+27 a^6 b^2 c^10 y^2-12 a^4 b^4 c^10 y^2-7 a^2 b^6 c^10 y^2-3 b^8 c^10 y^2-16 a^6 c^12 y^2-6 a^4 b^2 c^12 y^2+2 b^6 c^12 y^2+8 a^4 c^14 y^2+5 a^2 b^2 c^14 y^2+2 b^4 c^14 y^2-3 a^2 c^16 y^2-3 b^2 c^16 y^2+c^18 y^2+2 a^14 b^4 x z-6 a^12 b^6 x z+2 a^10 b^8 x z+10 a^8 b^10 x z-10 a^6 b^12 x z-2 a^4 b^14 x z+6 a^2 b^16 x z-2 b^18 x z-4 a^14 b^2 c^2 x z+6 a^12 b^4 c^2 x z+2 a^10 b^6 c^2 x z-10 a^8 b^8 c^2 x z-4 a^6 b^10 c^2 x z+30 a^4 b^12 c^2 x z-26 a^2 b^14 c^2 x z+6 b^16 c^2 x z+2 a^14 c^4 x z+6 a^12 b^2 c^4 x z-6 a^10 b^4 c^4 x z-2 a^8 b^6 c^4 x z+14 a^6 b^8 c^4 x z-42 a^4 b^10 c^4 x z+30 a^2 b^12 c^4 x z-2 b^14 c^4 x z-6 a^12 c^6 x z-2 a^10 b^2 c^6 x z-2 a^8 b^4 c^6 x z+10 a^6 b^6 c^6 x z+14 a^4 b^8 c^6 x z-4 a^2 b^10 c^6 x z-10 b^12 c^6 x z+4 a^10 c^8 x z-2 a^6 b^4 c^8 x z-2 a^4 b^6 c^8 x z-10 a^2 b^8 c^8 x z+10 b^10 c^8 x z+4 a^8 c^10 x z-2 a^6 b^2 c^10 x z-6 a^4 b^4 c^10 x z+2 a^2 b^6 c^10 x z+2 b^8 c^10 x z-6 a^6 c^12 x z+6 a^4 b^2 c^12 x z+6 a^2 b^4 c^12 x z-6 b^6 c^12 x z+2 a^4 c^14 x z-4 a^2 b^2 c^14 x z+2 b^4 c^14 x z-2 a^18 y z+6 a^16 b^2 y z-2 a^14 b^4 y z-10 a^12 b^6 y z+10 a^10 b^8 y z+2 a^8 b^10 y z-6 a^6 b^12 y z+2 a^4 b^14 y z+6 a^16 c^2 y z-26 a^14 b^2 c^2 y z+30 a^12 b^4 c^2 y z-4 a^10 b^6 c^2 y z-10 a^8 b^8 c^2 y z+2 a^6 b^10 c^2 y z+6 a^4 b^12 c^2 y z-4 a^2 b^14 c^2 y z-2 a^14 c^4 y z+30 a^12 b^2 c^4 y z-42 a^10 b^4 c^4 y z+14 a^8 b^6 c^4 y z-2 a^6 b^8 c^4 y z-6 a^4 b^10 c^4 y z+6 a^2 b^12 c^4 y z+2 b^14 c^4 y z-10 a^12 c^6 y z-4 a^10 b^2 c^6 y z+14 a^8 b^4 c^6 y z+10 a^6 b^6 c^6 y z-2 a^4 b^8 c^6 y z-2 a^2 b^10 c^6 y z-6 b^12 c^6 y z+10 a^10 c^8 y z-10 a^8 b^2 c^8 y z-2 a^6 b^4 c^8 y z-2 a^4 b^6 c^8 y z+4 b^10 c^8 y z+2 a^8 c^10 y z+2 a^6 b^2 c^10 y z-6 a^4 b^4 c^10 y z-2 a^2 b^6 c^10 y z+4 b^8 c^10 y z-6 a^6 c^12 y z+6 a^4 b^2 c^12 y z+6 a^2 b^4 c^12 y z-6 b^6 c^12 y z+2 a^4 c^14 y z-4 a^2 b^2 c^14 y z+2 b^4 c^14 y z+a^18 z^2-3 a^16 b^2 z^2+8 a^14 b^4 z^2-16 a^12 b^6 z^2+10 a^10 b^8 z^2+10 a^8 b^10 z^2-16 a^6 b^12 z^2+8 a^4 b^14 z^2-3 a^2 b^16 z^2+b^18 z^2-3 a^16 c^2 z^2+5 a^14 b^2 c^2 z^2-6 a^12 b^4 c^2 z^2+27 a^10 b^6 c^2 z^2-46 a^8 b^8 c^2 z^2+27 a^6 b^10 c^2 z^2-6 a^4 b^12 c^2 z^2+5 a^2 b^14 c^2 z^2-3 b^16 c^2 z^2+2 a^14 c^4 z^2-12 a^10 b^4 c^4 z^2+10 a^8 b^6 c^4 z^2+10 a^6 b^8 c^4 z^2-12 a^4 b^10 c^4 z^2+2 b^14 c^4 z^2+2 a^12 c^6 z^2-7 a^10 b^2 c^6 z^2+10 a^8 b^4 c^6 z^2-10 a^6 b^6 c^6 z^2+10 a^4 b^8 c^6 z^2-7 a^2 b^10 c^6 z^2+2 b^12 c^6 z^2-3 a^10 c^8 z^2+9 a^8 b^2 c^8 z^2-6 a^6 b^4 c^8 z^2-6 a^4 b^6 c^8 z^2+9 a^2 b^8 c^8 z^2-3 b^10 c^8 z^2+a^8 c^10 z^2-4 a^6 b^2 c^10 z^2+6 a^4 b^4 c^10 z^2-4 a^2 b^6 c^10 z^2+b^8 c^10 z^2 = 0)
𝒫 del haz de cónicas formado por 𝒞 y ℰ es el conjugado isogonal, X₂₄₉, del centro de la
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Ternas {P, Q, Z}, con P, Q, Z sobre la recta de Euler, y sobre las cónicas 𝒞 y ℰ, respectivamente:

{X₄,X₂₄,Indefinido} {X₂,X₆,X₆₉}, {X₃,X₃,X₁₀₉₂}, {X₅,X₁₄₃,Z₅}, {X₂₀,X₃₅₆₀₂,Z₂₀}, {X₂₁,X₆₀,Z₂₁}, {X₂₂,X₂₀₈₀₆,Z₂₂}, {X₂₃,X₆₅₉₃,Z₂₃}, {X₂₄,X₃₅₆₀₃,Z₂₄}, {X₂₅,X₁₉₁₁₈,X₁₉₇₄}, {X₂₈,X₆₀,Z₂₈}, {X₃₀,X₁₅₁₁,X₁₆₁₆₃}, {X₁₈₆,X₁₉₈₆,X₃₀₄₃}, {X₄₆₈,Q₄₆₈,X₅₀₉₅}, {X₁₁₁₃,X₁₅₄₆₁,X₁₅₄₆₁}, {X₁₁₁₄,X₁₅₄₆₀,X₁₅₄₆₀}, {X₃₅₁₈,X₁₄₃,Z₃₅₁₈}, {X₃₅₄₂,X₃₅₆₀₃,Z₃₅₄₂}, {X₃₄₄₈₄,X₃₄₄₈₄,Z₃₄₄₈₄}.

Q₄₆₈ = ( a^2 (2 a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^8-2 a^6 b^2-b^8+3 b^6 c^2-3 b^2 c^6+c^8+a^4 (5 b^2 c^2-2 c^4)+2 a^2 (b^6-4 b^4 c^2+2 b^2 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.0725429577890322, 0.129594607442996, 3.58442650342647).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,19388}, {6,1112}, {24,14984}, {25,895}, {110,19118}, {143,8537}, {235,542}, {427,15118}, {468,524}, {1204,2781}, {1511,19128}, {1593,5622}, {1885,34563}, {1899,32264}, {1974,2854}, {2892,15128}, {5050,15472}, {5609,32234}, {6467,15647}, {9970,13148}, {11579,12133}, {12099,32251}, {12164,35603}, {13416,26206}, {13567,32285}, {15462,35602}, {18947,25321}, {19136,32246}, {19153,32245}, {19504,20806}, {20771,34382}, {25328,32239}, {30739,32300}.

Z₅ = ( (a^2-b^2-c^2) ((b^2-c^2)^2-a^2 (b^2+c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.167521631040232, -0.0482021967567318, 3.75135290937299).
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {3043, 5972}, {5944, 34577}, {13367, 7542}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,578}, {3,125}, {4,14860}, {5,51}, {20,11204}, {22,18381}, {23,13419}, {26,18474}, {30,11572}, {49,539}, {54,10112}, {68,184}, {69,576}, {110,2888}, {113,5876}, {115,22416}, {140,12370}, {141,23308}, {156,24981}, {182,7558}, {185,12359}, {195,11536}, {235,15030}, {311,13450}, {324,6750}, {373,7405}, {376,23294}, {389,3580}, {394,1656}, {403,5907}, {418,10600}, {467,8887}, {511,1594}, {542,1614}, {546,1531}, {550,13561}, {567,6689}, {631,26917}, {648,3462}, {847,8754}, {858,15644}, {1147,6639}, {1199,11225}, {1216,2072}, {1350,6697}, {1352,1974}, {1495,12134}, {1506,3289}, {1511,10125}, {1533,11381}, {1853,11414}, {1899,3547}, {1994,12242}, {2070,6288}, {2071,25563}, {2777,11440}, {2904,5095}, {3043,5972}, {3153,7691}, {3292,9820}, {3313,20300}, {3518,32223}, {3523,26913}, {3526,35602}, {3564,21637}, {3627,18488}, {3628,11064}, {3818,10594}, {3917,11585}, {5067,37669}, {5094,37498}, {5133,10110}, {5446,5576}, {5447,37452}, {5448,10254}, {5462,37347}, {5480,16254}, {5622,22533}, {5889,18388}, {5943,14788}, {5944,32423}, {6101,10224}, {6146,6676}, {6641,16391}, {6756,32269}, {6759,11442}, {6803,37643}, {7387,11550}, {7399,13567}, {7400,23291}, {7488,18400}, {7493,9833}, {7502,11750}, {7503,18390}, {7505,9306}, {7507,17834}, {7512,25739}, {7528,34417}, {7542,13367}, {7565,15360}, {7568,37513}, {7577,11412}, {7706,37490}, {7794,23098}, {7999,11704}, {9729,26879}, {9781,19130}, {9967,20303}, {10024,13754}, {10182,11449}, {10201,10539}, {10203,33565}, {10255,23039}, {10272,12010}, {10282,14516}, {10298,12278}, {10564,23336}, {10575,13399}, {10619,18475}, {10625,13371}, {10990,32138}, {11273,25150}, {11413,23329}, {11459,16868}, {11592,20396}, {11793,37636}, {12088,29012}, {12111,12827}, {12162,15761}, {12225,18383}, {12233,14831}, {12429,19357}, {12605,13851}, {12897,14130}, {13292,13366}, {13336,18952}, {13346,37119}, {13394,31804}, {13403,14118}, {13413,14449}, {13491,16003}, {13598,15559}, {14389,37505}, {14789,15024}, {15067,23515}, {15069,19153}, {15780,33664}, {15908,21252}, {16111,32210}, {17714,34514}, {18563,24572}, {18569,37478}, {18911,37515}, {20304,32142}, {22151,25555}, {22352,34002}, {23325,37444}, {23332,36987}, {26869,37514}, {30714,32171}, {32348,35921}, {33523,37353}, {34520,36412}, {35717,37127}.

Z₂₀ = ( (a^2-b^2-c^2) (3 a^4-2 a^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (6.61655506442307, 5.21388831436237, -3.02274515007714).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,69}, {4,18418}, {20,154}, {99,15324}, {110,6225}, {125,15077}, {184,15740}, {193,1192}, {343,15717}, {376,1092}, {394,3522}, {524,1620}, {631,26917}, {648,3183}, {1097,6060}, {1105,6618}, {1498,2063}, {1531,11541}, {1568,33703}, {1974,13346}, {1992,9786}, {2060,14365}, {2071,12324}, {3043,35503}, {3060,15887}, {3088,28408}, {3146,11064}, {3147,15035}, {3516,14826}, {3528,5562}, {3529,10721}, {3548,18918}, {3618,11425}, {5921,6696}, {6803,11430}, {6908,28754}, {7396,17845}, {7487,28708}, {9833,25712}, {10282,35513}, {10564,34938}, {10996,13367}, {11008,37487}, {11206,11413}, {11433,22467}, {11449,35260}, {11487,18570}, {12429,16976}, {14927,28419}, {15131,37444}, {16051,21659}, {16196,18945}, {17928,18928}, {22151,37460}, {22555,22951}, {37752,37753}.

Z₂₁ = ( a^2 (a+b)^2 (a+c)^2 (b+c-a)^2 (a^2-b^2-c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (4.79679965554001, 2.18347862747365, -0.0848821012081496).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {21,60}, {69,261}, {78,1793}, {110,3869}, {125,18123}, {184,1798}, {255,4558}, {283,6514}, {394,593}, {411,662}, {849,1780}, {1092,6875}, {1437,1444}, {1935,23695}, {2651,7098}, {12514,17104}, {22126,32661}.

Z₂₂ = ( a^4 (a^2-b^2-c^2) (b^4+c^4-a^4)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (20.4787370417051, 18.9953055859872, -18.9616564814861).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,28708}, {22,206}, {69,184}, {110,2892}, {125,18124}, {182,7558}, {1092,3098}, {1147,37511}, {1974,22151}, {5157,7495}, {9306,28408}, {19149,35602}, {34397,37491}, {37752,37753}.

Z₂₃ = ( a^4 (a^2-b^2-c^2) (b^4-b^2 c^2+c^4-a^4)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-1.86721996852158, -2.66778180887472, 6.34938418121530).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,15462}, {22,15141}, {23,6593}, {49,14984}, {67,19127}, {69,110}, {125,1176}, {182,14644}, {184,895}, {511,3043}, {542,1614}, {1092,7556}, {1992,32245}, {2781,7488}, {2854,3047}, {5012,15118}, {5157,15059}, {5622,36253}, {5972,32239}, {6776,19138}, {12228,14853}, {12310,19125}, {13198,18935}, {15132,32247}, {16163,29317}, {18933,25406}, {19140,22109}, {25335,37638}, {37752,37753}.

Z₂₄ = ( a^4 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4+c^4)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-5.83923691985503, -1.03182428185952, 7.05003679389714).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,18532}, {4,54}, {24,52}, {25,49}, {69,3147}, {70,125}, {110,3542}, {156,235}, {182,37119}, {186,1092}, {206,9707}, {215,11398}, {378,10575}, {403,9927}, {421,847}, {427,32046}, {567,7507}, {569,1594}, {576,1974}, {1112,20773}, {1598,9704}, {1986,12893}, {2477,11399}, {3043,15034}, {3088,11003}, {3089,9544}, {3135,19210}, {3146,15472}, {3515,22115}, {3517,9703}, {3520,10984}, {3541,5012}, {5094,13353}, {5651,14940}, {6240,13352}, {6243,11597}, {7487,9545}, {7502,12363}, {7505,9306}, {7713,9622}, {8745,34756}, {8901,34449}, {9677,11473}, {9706,37122}, {10018,37636}, {10540,37197}, {11456,36982}, {12173,37472}, {12228,18569}, {13198,14216}, {13336,37118}, {13346,15463}, {13371,34114}, {15575,21397}, {16266,21213}, {18374,34787}, {18533,34148}, {21284,37484}, {35503,37480}, {37196,37495}.

Z₂₈ = ( a^2 (a + b)^2 (a + c)^2 (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.223129350056969, -0.774422936785160, 4.27978621509271).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,14015}, {3,7054}, {4,1798}, {19,9275}, {25,1171}, {27,29833}, {28,60}, {58,1474}, {69,7521}, {110,3868}, {112,741}, {162,4222}, {163,580}, {184,1175}, {186,35203}, {849,1412}, {1092,7501}, {1098,30733}, {1396,1408}, {1509,31900}, {1576,23383}, {1974,17562}, {2074,11363}, {2183,15796}, {2185,4227}, {3437,20975}, {23606,28348}, {28838,36071}.

Z₁₄₀ = ( (a^2-b^2-c^2) (2 a^4-3 a^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (4.49830869760274, 2.25994275283347, -0.0000537458708245153).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,26861}, {69,3533}, {110,2889}, {125,3519}, {140,1493}, {323,12242}, {394,1656}, {550,5562}, {1092,3523}, {1216,10619}, {1568,3850}, {3292,34002}, {5095,10018}, {5642,18282}.

Z₃₅₁₈ = ( a^4 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4-2 a^2 (b^2+c^2)+b^4-b^2 c^2+c^4)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.0548111433108069, -0.118079325015693, 3.74770915767715).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,569}, {24,3043}, {49,143}, {54,22454}, {110,11271}, {184,1173}, {186,10627}, {1974,8537}, {2070,12226}, {6143,19128}, {10594,15038}, {34397,34484}.

Z₃₅₄₂ = ( (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^6-3 a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^2 (3 b^4-2 b^2 c^2+3 c^4))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.000984771058288283, -0.289890349215837, 3.84181231031455).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,51}, {25,13292}, {69,7505}, {155,3542}, {235,18951}, {403,11411}, {1092,3147}, {1112,14790}, {3089,37644}, {6622,18947}, {8754,36612}, {11441,18934}, {11456,18910}, {11470,14561}, {15081,18920}, {18917,37197}, {18928,37119}.

Z₃₄₄₈₄ = ( a^4 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^4+b^4-3 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2))^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.392814037766889, -1.00944218663557, 4.52080785931680).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,13336}, {184,34567}, {1112,3043}, {1974,22234}, {5095,13420}, {10095,11817}.
Miércoles, 25 de mayo del 2020
Circunferencias coaxiales pasando por el ortocentro. Estrofoide de Ehrmann

El 25 de Mayo de 1828 nació Karl Mikhailovich Peterson, matemático ruso, conocido por una formulación anterior de las ecuaciones de Gauss-Codazzi. Peterson escribió una tesis inédita en 1853 sobre geometría diferencial. Esta disertación fue escrita en alemán, pero aunque se conservó en los archivos de la Universidad de Dorpat, permaneció prácticamente desconocida hasta que se publicó en traducción rusa cien años después, en 1952. La disertación contiene una derivación de dos ecuaciones equivalentes a las de Mainardi y Codazzi, y en él Peterson esbozó una prueba del teorema fundamental de la teoría de la superficie (§11.3). La tesis también contiene lo que se conoce como el teorema de Bonnet, publicado por Pierre Bonnet quince años después, en 1867. En [*], Esther Phillips presenta un fuerte argumento no solo por la prioridad de Peterson sobre Mainardi, Codazzi y Bonnet, sino también por la mayor elegancia. y la simplicidad de su enfoque.
[*] E R Phillips, Karl M Peterson: la primera derivación de las ecuaciones de Mainardi-Codazzi y el teorema fundamental de la teoría de la superficie.

Algunas propiedades más relacionadas con al mensaje Hyacinthos#26814 (Antreas Hatzipolakis, Angel Montesdeoca, César Lozada)

Hyacinthos#26814 (Nov 19, 2017)

[APH]:
Let ABC be a triangle and L a line. Denote:
A', B', C' = the intersections of L and BC, CA, AB, resp.
Ma, Mb, Mc = the midpoints of AA', BB', CC', resp.
A", B", C" = the reflections of O in Ma, Mb, Mc, resp.
The circles (A", A"A), (B", B"B), (C", C"C) are coaxial.
One of the intersection points is the orthocenter H.
The other one?

[Angel Montesdeoca]:
If L is the of P(u:v:w) the other point of intersection of circles (A", A"A), (B", B"B), (C", C"C) is:

Q(P) = ((b^2-c^2) u (v-w)+a^2 (-u^2+v w):a^2 v (u-w)+c^2 v (-u+w)+b^2 (-v^2+u w):(a^2-b^2) (u-v) w+c^2 (u v-w^2)).

** The locus of the other point of intersection of the circles (A", A"A), (B", B"B), (C", C"C) when L turn around the centroid is a quartic
( (-a^4+2 a^2 b^2-b^4+2 a^2 c^2-2 b^2 c^2-c^4) x^3 y+(-2 a^4+4 a^2 b^2-2 b^4+c^4) x^2 y^2+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) x y^3+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4+2 a^2 c^2-2 b^2 c^2-c^4) x^3 z+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4+2 a^2 c^2-c^4) x^2 y z+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4+2 b^2 c^2-c^4) x y^2 z+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4-2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) y^3 z+(-2 a^4+b^4+4 a^2 c^2-2 c^4) x^2 z^2+(-a^4-b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) x y z^2+(a^4-2 b^4+4 b^2 c^2-2 c^4) y^2 z^2+(-a^4-2 a^2 b^2-b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) x z^3+(-a^4-2 a^2 b^2-b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-c^4) y z^3 = 0)

(Figure and more information in http://amontes.webs.ull.es/otrashtm/HGT2017.htm#HG141117)

[César Lozada]:
Hi Antreas and Angel,
Please allow me to add a pair of notes about the locus of the 2nd point of intersection Q(P):
Let L be the polar trilinear of P=u:v:w (trilinears), as Angel said.

If P moves on a line, for example the polar trilinear of P0=u0:v0:w0 (trilinears), then Q(P) moves on a circle C0 through H satisfying:
if P0 = X(264) then C0 has radius=0 . In this case the given circles are tangent at H.
ETC centers on this line: 297, 525, 850, 2501, 2592, 2593, 3569, 3580, 4391, 5523, 9979, 10015, 13302, 14316, 14618, 14918

if P0 lies on the then C0 has radius=infinite, ie, C0 is a line which coincides with the radical axis of the circles.

otherwise, C0 has center O*= u0*(b*v0+c*w0)*(S^2+SB*SC)-SA* a*b*c*v0*w0 : : (trilinears)

If P moves on the then Q(P) lies on the circumcircle of ABC

pairs (P,Q(P)), updated: {1, 5011}, {3, 13509}, {4, 5523}, {5, 15340}, {6, 23}, {8, 5179}, {10, 5134}, {20, 15341}, {22, 34137}, {23, 6}, {30, 6794}, {69, 858}, {75, 5057}, {76, 316}, {81, 1325}, {86, 5196}, {88, 1320}, {94, 265}, {97, 3484}, {99, 15342}, {110, 112}, {111, 895}, {141, 5189}, {144, 16870}, {145, 8074}, {148, 16278}, {190, 15343}, {193, 468}, {194, 5167}, {230, 36181}, {249, 14366}, {287, 98}, {297, 4}, {298, 36186}, {299, 36185}, {312, 5176}, {321, 5080}, {323, 3}, {324, 6761}, {325, 36163}, {333, 7424}, {338, 3448}, {343, 3153}, {346, 17615}, {385, 1316}, {394, 2071}, {401, 18338}, {511, 34235}, {512, 14700}, {514, 6788}, {523, 6792}, {524, 2}, {525, 4}, {538, 6787}, {543, 9144}, {599, 10989}, {648, 107}, {651, 108}, {671, 671}, {693, 18343}, {694, 1916}, {850, 4}, {858, 35902}, {895, 111}, {908, 18340}, {918, 10773}, {1016, 11607}, {1086, 149}, {1111, 10770}, {1230, 20558}, {1252, 14887}, {1331, 101}, {1332, 100}, {1648, 36174}, {1654, 33329}, {1797, 106}, {1813, 109}, {1814, 105}, {1815, 103}, {1976, 11610}, {1992, 7426}, {1993, 186}, {1994, 2070}, {2006, 34242}, {2340, 3730}, {2394, 34150}, {2395, 13137}, {2396, 12833}, {2397, 34151}, {2398, 34805}, {2407, 7471}, {2408, 34806}, {2421, 7468}, {2501, 4}, {2574, 8426}, {2575, 8427}, {2592, 4}, {2593, 4}, {2799, 11005}, {2895, 30447}, {2981, 1337}, {2986, 1300}, {2987, 3563}, {2988, 32706}, {2989, 917}, {2990, 915}, {2991, 15344}, {2996, 5203}, {3124, 148}, {3125, 10769}, {3180, 32461}, {3181, 32460}, {3187, 242}, {3218, 1}, {3219, 3465}, {3231, 36182}, {3239, 18328}, {3265, 18337}, {3266, 69}, {3268, 18331}, {3413, 31862}, {3414, 31863}, {3448, 115}, {3506, 13195}, {3569, 4}, {3580, 4}, {3589, 20063}, {3621, 5199}, {3762, 10774}, {3904, 18341}, {3935, 9}, {3936, 36154}, {3978, 76}, {4240, 35907}, {4358, 8}, {4359, 5180}, {4391, 4}, {4437, 20344}, {4558, 110}, {4563, 99}, {4585, 36167}, {4858, 10777}, {5392, 5962}, {5466, 34169}, {5468, 7472}, {5483, 5535}, {5523, 4}, {5638, 3558}, {5639, 3557}, {5905, 1785}, {6151, 1338}, {6332, 18339}, {6392, 5140}, {6504, 16172}, {6515, 403}, {6542, 10}, {6563, 18347}, {6650, 11599}, {7664, 11061}, {7665, 5095}, {7774, 5112}, {7779, 11007}, {7840, 36194}, {8024, 5207}, {8105, 24651}, {8106, 24650}, {8115, 1113}, {8116, 1114}, {8759, 20624}, {9486, 31962}, {9716, 187}, {9979, 4}, {10015, 4}, {11004, 7575}, {11064, 20}, {11078, 13}, {11092, 14}, {11126, 15}, {11127, 16}, {11130, 5668}, {11131, 5669}, {11140, 19552}, {13136, 1309}, {13302, 4}, {13485, 6328}, {13492, 14262}, {13582, 1263}, {14223, 34174}, {14262, 13492}, {14316, 4}, {14463, 7876}, {14618, 4}, {14918, 4}, {14919, 74}, {14920, 5667}, {14922, 616}, {14999, 4226}, {15066, 7464}, {16039, 20626}, {16080, 10152}, {16704, 3109}, {16732, 10778}, {17264, 3681}, {17434, 4}, {17496, 31849}, {17708, 935}, {17773, 4}, {17778, 36195}, {17790, 321}, {17896, 4}, {17924, 4}, {17946, 11611}, {17947, 11608}, {17948, 5466}, {17949, 11606}, {17950, 226}, {17951, 4052}, {17952, 5485}, {17953, 4049}, {18018, 34237}, {18019, 67}, {18314, 4}, {18315, 933}, {18359, 80}, {19577, 1843}, {20013, 31896}, {20017, 31897}, {20078, 16869}, {20080, 5159}, {20859, 32528}, {21438, 4}, {22151, 22}, {23878, 6785}, {23978, 33650}, {23983, 34188}, {23989, 150}, {24978, 4}, {25257, 31865}, {25259, 4}, {26545, 4}, {26546, 4}, {26611, 153}, {26932, 10776}, {30690, 34301}, {30699, 1878}, {31296, 31850}, {32849, 72}, {32851, 3869}, {33294, 4}, {34211, 7473}, {34545, 5899}, {34767, 17986}, {35466, 36171}, {36213, 13236}, {36789, 146}, {36790, 147}, {36791, 21290}, {36792, 14360}, {36793, 13219}, {37638, 10296}, {37644, 11799}, {37645, 10295}, {37669, 16386}, {37691, 20085}

NOTA: La circunferencia (C", C"C) de Hyacinthos#26814 es la circunferencia circunscrita al triángulo EFC, en AoPS.
Dado un triángulo ABC y un punto P, sean D, E, F los puntos donde la tripolar de P corta a BC, CA, AB, respectivamente. A_b es el punto sobre AC tal que DA_b=DC y A_c es el punto sobre AB tal que DA_c=DB, entonces la circunferencia (O_a) circunscrita a AA_bA_c pasa por el ortocentro de ABC.
Las circunferencia (O_b) y (O_c) son construidas cíclicamente.
Las circunferencias (O_a), (O_b), (O_c) son coaxiales.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, el otro punto de intersección de estas tres circunferencias es:
Q = (((b^2-c^2) u (v-w)+a^2 (-u^2+v w): ... : ...).

Cuando P está sobre la circuncónica de MacBeath, P, Q, están alineados.
El punto P es diferente del ortocentro y los puntos H, P, Q están alineados si y solo si P está en la . El lugar geométrico de Q es la de Ehrmann (K025)
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Si P=X₆₇₁ (sexto punto de intersección de la hipérbola de Kiepert y la estrofoide de Ehrmann y también el cuarto punto de intersección de la hipérbola de Kiepert y elipse circunscrita de Steiner) entonces P=Q.
Miércoles, 20 de mayo del 2020
Reflexión de X(11270) en el circuncentro

El 20 de mayo de 1943 nació Al Bano, cantante italiano aclamado internacionalmente, que ha ganado muchos premios y distinciones a lo largo de sus 30 años de carrera. Ha utilizado su fama para dirigir la atención a la lucha contra las drogas. El 16 de octubre de 2001, Al Bano fue nombrado Embajador de Buena Voluntad de la Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación (FAO).

Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' el triángulo obtenido reflejando A, B, C en el circuncentro O=X₃ (A'B'C' es el de O).
A_b es la reflexión de B' en AC y A_c es la reflexión de C' en AB. El circuncentro O_a del triángulo OA_bA_c está sobre la altura por A y tiene coordenadas baricéntricas
(4(a^6-3a^4(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+3a^2(b^4+c^4)) : 4b^2c^2(a^2+b^2-c^2) : 4b^2c^2(a^2-b^2+c^2)).
Los puntos O_b y O_c se definen cíclicamente.
Los triángulos A'B'C' y O_aO_bO_c son perspectivos y el centro de perspectividad es la reflexión en el circuncentro del conjugado isogonal de la reflexión del circuncentro en el ortocentro:

W = ( a^2(4a^8-10a^6(b^2+c^2)+a^4(6b^4+17b^2c^2+6c^4)+2a^2(b^6-4b^4c^2-4b^2c^4+c^6)-(b^2-c^2)^2(2b^4+3b^2c^2+2c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.51548892994527, 3.13289197959206, -0.612332548554094).
Es la reflexión de X₁₁₂₇₀ en X₃.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {{2,9927}, {3,9544}, {4,1511}, {20,10282}, {110,3357}, {140,3431}, {186,2904}, {195,15040}, {323,32534}, {376,18442}, {550,7712}, {576,15020}, {578,12834}, {631,2888}, {1071,5694}, {1092,7691}, {1147,15035}, {1204,15051}, {1350,7488}, {1498,2071}, {3516,15052}, {3522,4549}, {3523,3620}, {3528,5944}, {3533,14805}, {3543,15751}, {5050,17928}, {5056,11430}, {5059,10564}, {5876,23040}, {6102,9716}, {6640,12383}, {7592,9545}, {8546,10541}, {8567,11441}, {10255,34153}, {10257,34799}, {10304,11821}, {10539,15034}, {11250,32609}, {11413,11820}, {12085,35265}, {12111,35493}, {12162,35494}, {12289,14156}, {13620,37486}, {14118,32620}, {15043,15516}, {15717,18475}, {17818,19357}, {18281,18432}, {18350,35475}, {21844,22115}, {22555,22951}, {23294,30714}, {32233,34118}, {32330,37444}.
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Una situación más general:

Circumcenter of reflection (AoPS)

In the ABC, P is an arbitrary point. A'B'C' is the circumcevian triangle of P. F is the reflection of C' in AB and E is the reflection of B' in AC. ω is circumcircle of PEF. Call H the orthocenter of ABC. Prove circumcenter of ω is on AH.

Dado un triángulo ABC y un punto P no situado sobre su circunferencia circunscrita, sea A'B'C' el de P.
A_b es la reflexión de B' en AC y A_c es la reflexión de C' en AB. El circuncentro P_a del triángulo PA_bA_c está sobre la altura por A y tiene coordenadas baricéntricas, si P=(u:v:w),
(-(b^2-c^2)^2 u (u+v+w)+2 a^2 u (b^2 (u+v)+c^2 (u+w))-a^4 (u^2+2 v w+u (v+w)) :
(a^2+b^2-c^2) (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) :
(a^2-b^2+c^2) (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w)).
Los puntos P_b y P_c se definen cíclicamente.
Los triángulos A'B'C' y P_aP_bP_c son perspectivos si y solo si está sobre la séptica de ecuación:
𝔖_{_{abc xyz}} y z ((b^2-c^2) (-2 a^8+b^8+b^6 c^2-4 b^4 c^4+b^2 c^6+c^8+a^6 (5 b^2+5 c^2)+a^4 (-3 b^4-6 b^2 c^2-3 c^4)+a^2 (-b^6-c^6)) x^3 y z-2 a^2 (b^2-c^2) (b^6-b^4 c^2-b^2 c^4+c^6+a^4 (b^2+c^2)+a^2 (-2 b^4+2 b^2 c^2-2 c^4)) x y^2 z^2-a^6 y^2 z^2 ((a^4+b^4+b^2 c^2-2 c^4+a^2 (-2 b^2+c^2)) y+(-a^4+2 b^4-b^2 c^2-c^4+a^2 (-b^2+2 c^2)) z)-x^4 (c^2 (a^6 (2 b^2-c^2)-3 a^4 (2 b^4-c^4)+a^2 (6 b^6+b^4 c^2-5 b^2 c^4-3 c^6)-(b^2-c^2) (2 b^6+2 b^4 c^2+4 b^2 c^4+c^6)) y+b^2 (a^6 (b^2-2 c^2)-3 a^4 (b^4-2 c^4)+a^2 (3 b^6+5 b^4 c^2-b^2 c^4-6 c^6)-(b^2-c^2) (b^6+4 b^4 c^2+2 b^2 c^4+2 c^6)) z) = 0.

Esta curva tiene puntos triples en los vértices de ABC, pasa por los puntos donde las paralelas a la por ellos cortan a sus lados opuestos, por el circuncentro, por el ortocentro y por el punto del infinito X₃₀ de la recta de Euler.
El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C', cuando P es X₃, X₄ y X₃₀, es W (obtenido arriba), X₃ y X₁₁₀ (foco de la ), respectivamente.
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Martes, 19 de mayo del 2020
Complemento de la X-parábola

El 19 de mayo de 1895, José Martí, poeta cubano y combatiente, general mayor del ejército de liberación, resulta muerto a los 42 años en una emboscada por soldados españoles en Dos Ríos (Cuba). Junto a Simón Bolívar y José de San Martín, José Martí es considerado uno de los principales protagonistas del proceso de emancipación de Hispanoamérica.
Cultivo Una Rosa Blanca (por José Martí)

Cultivo una rosa blanca
en junio como enero
para el amigo sincero
que me da su mano franca.

Y para el cruel que me arranca
el corazón con que vivo,
cardo ni ortiga cultivo;
cultivo la rosa blanca.

X-parabola of ABC

Let A*B*C* be the of the and triangles of ABC, and let A'B'C' be the medial triangle of A*B*C*. Then A, B, C, A', B', C' lie on a parabola here named the X-parabola of ABC.
(César Eliud Lozada, February 27, 2017.)

It has barycentric equation: (b^2-c^2)^2*y*z+(c^2-a^2)^2*z*x+(a^2-b^2)^2*x*y=0.

Sea P un punto sobre una recta ℓ que pasa por el baricentro G de un triángulo dado ABC, Se denota por gtP el del de P.
En la referencia baricéntrica dada por el triángulo ABC, la ecuación tangencial (Definición 4.17) de la cónica 𝒞, lugar geométrico de la recta PgtP, cuando ℓ gira alrededor de G, puede ser dada por:
(b^2 - c^2)(1-t) V W + (c^2 -a^2)t W U + (b^2-a^2) U V= 0,
y su ecuación puntual es:
(b^2 - c^2)^2 (t-1)^2x^2 + (a^2 - c^2)^2 t^2 y^2 + (a^2 - b^2)^2z^2
- 2(a^2-b^2)(a^2-c^2)t y z -2(a^2-b^2)(b^2-c^2)(t-1)z x - 2(a^2-c^2)(b^-c^2)(t-1)t x y = 0.
La ecuación puntual de la cónica 𝒞^# con la misma matriz asociada (§ 10.6 The dual conic) que la de la ecuación tangencial anterior, tiene por ecuación:
(b^2 - c^2)(1-t) y z + (c^2 -a^2)t z x + (b^2-a^2) x y = 0.
El centro de esta cónica es:
L = ((c^2-b^2) (t-1) (c^2+b^2 t-a^2 (1+t)):
(c^2-a^2) (-c^2-b^2 (-2+t)+a^2 (t-1)) t :
(a^2-b^2) (c^2 (1-2 t)+a^2 (t-1)+b^2 t).

El lugar geométrico de L, cuando ℓ gira al rededor de G, es una parábola
( (a^4-a^2 b^2-a^2 c^2+b^2 c^2) x^2+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4) x y+(-a^2 b^2+b^4+a^2 c^2-b^2 c^2) y^2+(-a^4+2 a^2 c^2-c^4) x z+(-b^4+2 b^2 c^2-c^4) y z+(a^2 b^2-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4) z^2 = 0)
𝒫 circunscrita al triángulo medial y su , punto de Briachon, respecto a este triángulo es X(620), centro de la elipse inscrita en ABC de la recta que pasa por el baricentro y .
El de la parábola 𝒫 es la X-parábola.
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Lunes, 18 de mayo del 2020
Inversión respecto a la circunferencia polar

El 18 de mayo de 1872 nació Bertrand Russell, matemático, lógico, pacifista y escritor británico, premio Nobel de Literatura en 1950 por su pensamiento e ideales humanitarios.

El inverso de un punto P, respecto a la de un triángulo ABC, puede ser construido (independientemente de que tal circunferencia sea real o imaginaria) por el procedimento siguiente:
Las perpendiculares por el ortocentro a las rectas AP, BP, CP cortan a los lados BC, CA, AB en los puntos D, E, F, respectivamente, que están en una misma recta: de P, respecto a la circunferencia polar de ABC.
La proyección ortogonal de P en esta recta es el inverso P' de P, respecto a la circunferencia polar.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la primera coordenadas de P' es:
(-a^2-b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2(v^2+w^2+u(v+w))-(v+w)(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w))).
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Sábado, 16 de mayo del 2020
Una recta con la dirección del punto del infinito X(9033)

El 13 de mayo de 1718 nació María Gaetana Agnesi, que fue una importante figura matemática por su influencia en la divulgación del cálculo. Su obra "Instituzioni analítiche" es la obra matemática de autoría femenina más antigua que se conserva. Su nombre está asociado a la curva llamada indebidamente "bruja de Agnesi". Los dos sustantivos son inciertos: Agnesi no descubrió esa curva (Fermat la había estudiado en 1630 y Guido Grandi, en 1703, había dado un método de construcción) y el nombre de "bruja" surgió de una mala traducción al inglés.

Dado un triángulo ABC, sea DEF el de su ortocentro H=X(4). La recta EF corta a AB y a AC en A_c y A_b, respectivamente y las paralelas a AB y a AC por el circuncentro cortan a BC en a A₂ y A₃, respectivamente.
Sea A'=A_bA₃∩A_cA₂ y se definen cíclicamente los puntos B' y C'.
En coordenadas baricéntricas:
A' = (a^4-(b^2-c^2)^2 : a^2 (-a^2+b^2+c^2) : a^2 (-a^2+b^2+c^2)).

Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos, con centro de perspectividad el baricentro. Su eje de perspectividad es paralelo a la otra asíntota (dirección de X₉₀₃₃) de la hipérbola circunscrita a ABC con una asíntota la recta de Euler.
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Miércoles, 13 de mayo del 2020
Porismo de Poncelet y triángulos circuncevianos

El 13 de mayo de 1753 nació Lazare Carnot, político y matemático francés. El teorema de Carnot, válido para todas las secciones cónicas no degeneradas, establece que si los lados AB, BC y CD del triángulo ABC cortan a una cónica en los puntos P,P', Q,Q' y R,R', respectivamente. Entonces, AP * AP'* BQ * BQ' * CR * CR' = AR' * AR * CQ'* CQ * BP' * BP. Esta relación también es suficiente, es decir, si se satisface, entonces hay una cónica que pasa por los seis puntos P, P', Q, Q', R, R'.

Un triángulo ABC tiene circunferencia circunscrita O(R) y circunferencia inscrita I(r). El es el problema de encontrar todos los triángulos que tiene las mismas circunferencias circunscrita e inscrita que ABC, y es conocido que hay una familia infinita de tales triángulos.
En el mensaje "Construction - Poncelet Porism and concurrency" de AoPS, se plantea la siguiente cuestión:

Triangle ABC with circumcircle (O) and incircle (I). Contruct triangle XYZ such that (O) and (I) are also the circumcircle and the incircle of XYZ, respectively; moreover, AX, BY, CZ are concurrent at a point on IO.

Para resolver este problema, tomemos un punto P sobre la recta IO tal que IP:PO=t, y sea XYZ su . Las coordenadas baricéntricas de X (las de Y y Z, se deducen por permutación cíclica) son:
(a^2 b c ((-a+b-c) (a+b-c) (-a+b+c)+b (-a^2+b^2-c^2) t) ((-a-b+c) (a-b+c) (-a+b+c)+c (-a^2-b^2+c^2) t) :
-b ((-a+b-c) (a+b-c) (-a+b+c)+b (-a^2+b^2-c^2) t) (b c^2 ((-a+b-c) (a+b-c) (-a+b+c)+b (-a^2+b^2-c^2) t)+b^2 c ((-a-b+c) (a-b+c) (-a+b+c)+c (-a^2-b^2+c^2) t)):
-c ((-a-b+c) (a-b+c) (-a+b+c)+c (-a^2-b^2+c^2) t) (b c^2 ((-a+b-c) (a+b-c) (-a+b+c)+b (-a^2+b^2-c^2) t)+b^2 c ((-a-b+c) (a-b+c) (-a+b+c)+c (-a^2-b^2+c^2) t))).
Tratamos de encontrar los puntos P sobre IO para que los lados de XYZ sean tangentes a la de ABC.
Si imponemos que de la recta XY respecto a la circunferencia inscrita esté sobre ésta, el polinomio de cuatro grado en la variable t, que resulta, tiene dos de sus soluciones:
t=((a - b - c)(a + b - c)(a - b + c) (-a^3 + a^2(b + c) - (b - c)^2 (b + c) + a(b + c)^2 ±
Sqrt[(a - b - c)(a + b - c) (a - b + c)(a + b + c) (a^2 + (b - c)^2 - 2a(b + c))]))/ (8a^2b^2c^2)
Los puntos que dividen al segmento IO en las razones dadas por estos valores de t, tienen primera coordenada baricéntrica:
a((a + b - c)(a - b + c)(a + b + c) (b^3 - b^2c - bc^2 + c^3 + a^2(b + c) - 2a(b^2 - bc + c^2)) - 2S(a^2b - b^3 + a^2c - 2abc + b^2c + bc^2 - c^3) Sqrt[-a^2 - (b - c)^2 + 2a(b + c)]),

a^2((a + b - c)(a - b + c) (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - 2a(b + c)) + 2S(-a^2 + b^2 + c^2) Sqrt[-a^2 - b^2 - c^2 + 2(ab + ac + bc)]).
Que son, respectivamente, los centros del triángulo X(3513) y X(3514).

X(3513) and X(3514) are the limiting points (point-circles) of the coaxal system that includes the circumcircle and incircle. Their midpoint, X(3660), is the radical trace of the incircle and circumcircle. (Peter Moses, November 15, 2011)

Si se repiten los cálculos anteriores exigiendo que los lados YZ y ZX sean tangentes a la circunferencia inscrita, cada polinomio que resulta, tiene dos raíces que dan lugar a los puntos anteriormente obtenidos.
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Viernes, 8 de mayo del 2020

Pares bicéntricos asociados a brocardianos

El 8 de mayo de 2016 falleció (a los 93 años) Tom M. Apostol, matemático especializado en teoría analítica de los números. Sus padres eran inmigrantes griegos. Es conocido por su dedicación a la docencia y por la multitud de libros de texto que ha escrito, utilizados por estudiantes de todo el mundo (Linear Algebra, Cálculo, Calculus II, Análisis matemático, ...).

Para un punto P sobre la de un triángulo ABC, consideramos sus P₁ y P₂. Si OP:PH=t (O=X₃ el circuncentro, H=X₄ el ortocentro y t un número real), las coordenadas baricéntricas de P₁ y P₂ son:

P₁ = (1/(a^4 t + c^4 t - a^2 (b^2 + 2 c^2 t) - b^2 (c^2 + b^2 (t - 1))) : ... : ...),

P₂ = (1/(a^4 t + b^4 t - a^2 (c^2 + 2 b^2 t) - c^2 (b^2 + c^2 (t - 1))) : ... : ...).

Se definen los puntos A'=BP₁∩CP₂, B'=AP₂∩CP₁, C'=AP₁∩BP₂.

El triángulo A'B'C' tiene el mismo baricentro, G=X₂ que ABC, para todo valor de t.
Los puntos A', B' y C' están en las rectas que pasan por el baricentro y por los puntos donde la tangente a la en X₁₅₅₂₆, corta a los lados BC, CA y AB, respectivamente.

X(15526) is the center of hyperbola ℋ through A,B,C,X(2),. This hyperbola is the isotomic conjugate of the Euler line and the of line X(6)X(25), i.e. lines through and the pole of the with respect to the circumcircle. . It is also the locus of of X(2) and a point P as P moves along the Euler line, and also the locus of trilinear poles of lines passing through X(525), of the hyperbola ℋ. (Randy Hutson, January 29, 2018)

El triángulo ABC es perspectivo con los triángulos A'B'C', C'A'B' y B'C'A'.

El centro de perspectividad de ABC y C'A'B' es P₁, de ABC y B'C'A' es P₂, y de ABC y A'B'C' es:

P_o = (1/(a^4 (t-1) + a^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 t) : ... : ...).

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El lugar geométrico de P_o, cuando P recorre la recta de Euler, es la hipérbola ℋ,
( (a^4-b^4-a^2 c^2+b^2 c^2) x y+(-a^4+a^2 b^2-b^2 c^2+c^4) x z+(-a^2 b^2+b^4+a^2 c^2-c^4) y z = 0)
circunscrita a ABC con centro X₁₅₅₂₆. Esta hipérbola es tangente a la recta de Euler en el baricentro y pasa por los centros del triángulo X_i. para i∈{2, 69, 95, 253, 264, 287, 305, 306, 307, 328, 1441, 1494, 1799, 1972, 2373, 2419, 6330, 6340, 8797, 9229, 10603, 11090, 11091, 13575, 14977, 18018, 18019, 18024, 19774, 19775, 20336, 20563, 20564, 22339, 22340, 30786, 31360, 34407, 34767, 35510, 36889, 36948, 37202}.

El lugar geométrico de P₁, cuando P recorre la recta de Euler, es la hipérbola ℋ₁,
( (a^2 b^2-b^4-a^2 c^2+c^4) x y+(-a^4+b^4+a^2 c^2-b^2 c^2) x z+(a^4-a^2 b^2+b^2 c^2-c^4) y z = 0)
circunscrita a ABC, que pasa por el baricentro, con centro y perspector (en la recta del infinito), respectivamente:

W₁ = ((a^2 - c^2)^2 (a^2 - b^2 + c^2)^2 : ... : ...),
Z₁ = ((a^2 - c^2)(a^2 - b^2 + c^2) : ... : ...).

El lugar geométrico de P₂, cuando P recorre la recta de Euler, es la hipérbola ℋ₂,
( (-a^4+a^2 b^2-b^2 c^2+c^4) x y+(-a^2 b^2+b^4+a^2 c^2-c^4) x z+(a^4-b^4-a^2 c^2+b^2 c^2) y z = 0)
circunscrita a ABC, que pasa por el baricentro, con centro y perspector (en la recta del infinito), respectivamente:

W₂ = ((a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 : ... : ...),
Z₂ = ((a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) : ... : ...).

Los de las tangentes en el baricentro a las hipérbolas ℋ₁ y ℋ₂ son, respectivamente:

Q₁ = ((a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2) : ... : ...),
Q₂ = ((a^2-c^2)(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) : ... : ...).

Sean p_o,
( (-a^6 b^2+2 a^4 b^4-a^2 b^6-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+2 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8+a^8 t-2 a^6 b^2 t+2 a^4 b^4 t-2 a^2 b^6 t+b^8 t-a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+a^2 b^4 c^2 t-b^6 c^2 t-a^4 c^4 t-b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+b^2 c^6 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) x+(a^6 b^2-2 a^4 b^4+a^2 b^6+a^4 c^4+a^2 b^2 c^4+b^4 c^4-2 a^2 c^6-2 b^2 c^6+c^8-a^8 t+2 a^6 b^2 t-2 a^4 b^4 t+2 a^2 b^6 t-b^8 t+a^6 c^2 t-a^4 b^2 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+b^6 c^2 t+a^4 c^4 t+b^4 c^4 t-a^2 c^6 t-b^2 c^6 t) (a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t) y+(-a^8+2 a^6 b^2-a^4 b^4+2 a^6 c^2-a^4 b^2 c^2-b^6 c^2-a^4 c^4+2 b^4 c^4-b^2 c^6+a^6 b^2 t-a^4 b^4 t-a^2 b^6 t+b^8 t+a^6 c^2 t+a^2 b^4 c^2 t-2 b^6 c^2 t-a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t+2 b^4 c^4 t-a^2 c^6 t-2 b^2 c^6 t+c^8 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) z = 0)
p₁
( (-a^6 b^2+2 a^4 b^4-a^2 b^6-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+2 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8+a^8 t-2 a^6 b^2 t+2 a^4 b^4 t-2 a^2 b^6 t+b^8 t-a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+a^2 b^4 c^2 t-b^6 c^2 t-a^4 c^4 t-b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+b^2 c^6 t) (a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t) x+(a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) y+(a^6 b^2-2 a^4 b^4+a^2 b^6+a^4 c^4+a^2 b^2 c^4+b^4 c^4-2 a^2 c^6-2 b^2 c^6+c^8-a^8 t+2 a^6 b^2 t-2 a^4 b^4 t+2 a^2 b^6 t-b^8 t+a^6 c^2 t-a^4 b^2 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+b^6 c^2 t+a^4 c^4 t+b^4 c^4 t-a^2 c^6 t-b^2 c^6 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) z = 0)
y p₂
( (a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) x+(a^6 b^2-2 a^4 b^4+a^2 b^6+a^4 c^4+a^2 b^2 c^4+b^4 c^4-2 a^2 c^6-2 b^2 c^6+c^8-a^8 t+2 a^6 b^2 t-2 a^4 b^4 t+2 a^2 b^6 t-b^8 t+a^6 c^2 t-a^4 b^2 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+b^6 c^2 t+a^4 c^4 t+b^4 c^4 t-a^2 c^6 t-b^2 c^6 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) y+(-a^6 b^2+2 a^4 b^4-a^2 b^6-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+2 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8+a^8 t-2 a^6 b^2 t+2 a^4 b^4 t-2 a^2 b^6 t+b^8 t-a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+a^2 b^4 c^2 t-b^6 c^2 t-a^4 c^4 t-b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+b^2 c^6 t) (a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t) z = 0)
los ejes de perspectividad de ABC y los triángulos A'B'C', C'A'B' y B'C'A', respectivamente.

La envolvente de p_o es la parábola 𝒫_o,
( a^4 b^4 x^2-2 a^2 b^6 x^2+b^8 x^2-2 a^4 b^2 c^2 x^2+2 a^2 b^4 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2+2 a^2 b^2 c^4 x^2-2 b^4 c^4 x^2-2 a^2 c^6 x^2+c^8 x^2-2 a^6 b^2 x y+4 a^4 b^4 x y-2 a^2 b^6 x y+2 a^6 c^2 x y-2 a^4 b^2 c^2 x y-2 a^2 b^4 c^2 x y+2 b^6 c^2 x y-2 a^4 c^4 x y+6 a^2 b^2 c^4 x y-2 b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y-2 b^2 c^6 x y+2 c^8 x y+a^8 y^2-2 a^6 b^2 y^2+a^4 b^4 y^2+2 a^4 b^2 c^2 y^2-2 a^2 b^4 c^2 y^2-2 a^4 c^4 y^2+2 a^2 b^2 c^4 y^2+b^4 c^4 y^2-2 b^2 c^6 y^2+c^8 y^2+2 a^6 b^2 x z-2 a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z+2 b^8 x z-2 a^6 c^2 x z-2 a^4 b^2 c^2 x z+6 a^2 b^4 c^2 x z-2 b^6 c^2 x z+4 a^4 c^4 x z-2 a^2 b^2 c^4 x z-2 b^4 c^4 x z-2 a^2 c^6 x z+2 b^2 c^6 x z+2 a^8 y z-2 a^6 b^2 y z-2 a^4 b^4 y z+2 a^2 b^6 y z-2 a^6 c^2 y z+6 a^4 b^2 c^2 y z-2 a^2 b^4 c^2 y z-2 b^6 c^2 y z-2 a^4 c^4 y z-2 a^2 b^2 c^4 y z+4 b^4 c^4 y z+2 a^2 c^6 y z-2 b^2 c^6 y z+a^8 z^2-2 a^4 b^4 z^2+b^8 z^2-2 a^6 c^2 z^2+2 a^4 b^2 c^2 z^2+2 a^2 b^4 c^2 z^2-2 b^6 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2-2 a^2 b^2 c^4 z^2+b^4 c^4 z^2 = 0)
inscrita en ABC, con foco (sobre la circunferencia circunscrita) X₁₁₂ y directriz la recta que pasa por el ortocentro y simediano. Esta parábola contiene a los centros X_i, para i∈{525 (dirección del eje), 2501, 14401, 15639, 17925, 17926, 23090, 32320}.

La envolvente de p₁ es la parábola 𝒫₁,
( a^8 x^2-2 a^6 b^2 x^2+a^4 b^4 x^2+2 a^4 b^2 c^2 x^2-2 a^2 b^4 c^2 x^2-2 a^4 c^4 x^2+2 a^2 b^2 c^4 x^2+b^4 c^4 x^2-2 b^2 c^6 x^2+c^8 x^2+2 a^8 x y-2 a^6 b^2 x y-2 a^4 b^4 x y+2 a^2 b^6 x y-2 a^6 c^2 x y+6 a^4 b^2 c^2 x y-2 a^2 b^4 c^2 x y-2 b^6 c^2 x y-2 a^4 c^4 x y-2 a^2 b^2 c^4 x y+4 b^4 c^4 x y+2 a^2 c^6 x y-2 b^2 c^6 x y+a^8 y^2-2 a^4 b^4 y^2+b^8 y^2-2 a^6 c^2 y^2+2 a^4 b^2 c^2 y^2+2 a^2 b^4 c^2 y^2-2 b^6 c^2 y^2+a^4 c^4 y^2-2 a^2 b^2 c^4 y^2+b^4 c^4 y^2-2 a^6 b^2 x z+4 a^4 b^4 x z-2 a^2 b^6 x z+2 a^6 c^2 x z-2 a^4 b^2 c^2 x z-2 a^2 b^4 c^2 x z+2 b^6 c^2 x z-2 a^4 c^4 x z+6 a^2 b^2 c^4 x z-2 b^4 c^4 x z-2 a^2 c^6 x z-2 b^2 c^6 x z+2 c^8 x z+2 a^6 b^2 y z-2 a^4 b^4 y z-2 a^2 b^6 y z+2 b^8 y z-2 a^6 c^2 y z-2 a^4 b^2 c^2 y z+6 a^2 b^4 c^2 y z-2 b^6 c^2 y z+4 a^4 c^4 y z-2 a^2 b^2 c^4 y z-2 b^4 c^4 y z-2 a^2 c^6 y z+2 b^2 c^6 y z+a^4 b^4 z^2-2 a^2 b^6 z^2+b^8 z^2-2 a^4 b^2 c^2 z^2+2 a^2 b^4 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2+2 a^2 b^2 c^4 z^2-2 b^4 c^4 z^2-2 a^2 c^6 z^2+c^8 z^2 = 0)
inscrita en ABC, con punto de tangencia:

T₁ = ((a^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^8 t-(b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2 t-c^4 t)+a^4 (b^2 c^2 t-b^4 (1+t)+2 c^4 (1+t))-a^6 (b^2 t+c^2 (1+2 t))+a^2 (-b^4 c^2+b^2 c^4 t+b^6 (2+t)-c^6 (1+2 t)))^2 : ... : ...),

foco (sobre la circunferencia circunscrita):

F₁ = (a^2(a^2-b^2)(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2) :...:...),

directriz (pasa por el ortocentro)

d₁: (a^2-c^2) (a^2-b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) x+(a^2-b^2) (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) y+(b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) z =0,

vértice:

V₁ =((a^2-b^2) (a^2-b^2-c^2) (b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2)^3 (a^4-a^2 b^2-b^2 c^2+c^4)^2:...:...),

punto en infinito de su eje:

I₁ = ((a^2-c^2) (a^2-b^2+c^2):...:...),

punto en infinito de su directriz:

I'₁ = (a^6-a^4 c^2+a^2 (-b^4+c^4)-(-b^2 c+c^3)^2:...:...),

punto de intersección de eje y directriz:

D₁ = ((a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^12-2 a^2 c^6 (b^2-c^2)^2-2 a^10 (b^2+c^2)+(-b^2 c+c^3)^4+a^8 (2 b^4+2 b^2 c^2+c^4)-2 a^6 (b^6+b^4 c^2-b^2 c^4)+a^4 (b^8+2 b^6 c^2-2 b^4 c^4-2 b^2 c^6+c^8)):...:...),

perspector (coincide con el tripolo de la tangente en el baricentro a la hipérbola ℋ₁):

Q₁ = ((a^2 - b^2)(b^2-c^2)(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) : ... : ...).

La envolvente de p₂ es la parábola 𝒫₂,
( a^8 x^2-2 a^4 b^4 x^2+b^8 x^2-2 a^6 c^2 x^2+2 a^4 b^2 c^2 x^2+2 a^2 b^4 c^2 x^2-2 b^6 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2-2 a^2 b^2 c^4 x^2+b^4 c^4 x^2+2 a^6 b^2 x y-2 a^4 b^4 x y-2 a^2 b^6 x y+2 b^8 x y-2 a^6 c^2 x y-2 a^4 b^2 c^2 x y+6 a^2 b^4 c^2 x y-2 b^6 c^2 x y+4 a^4 c^4 x y-2 a^2 b^2 c^4 x y-2 b^4 c^4 x y-2 a^2 c^6 x y+2 b^2 c^6 x y+a^4 b^4 y^2-2 a^2 b^6 y^2+b^8 y^2-2 a^4 b^2 c^2 y^2+2 a^2 b^4 c^2 y^2+a^4 c^4 y^2+2 a^2 b^2 c^4 y^2-2 b^4 c^4 y^2-2 a^2 c^6 y^2+c^8 y^2+2 a^8 x z-2 a^6 b^2 x z-2 a^4 b^4 x z+2 a^2 b^6 x z-2 a^6 c^2 x z+6 a^4 b^2 c^2 x z-2 a^2 b^4 c^2 x z-2 b^6 c^2 x z-2 a^4 c^4 x z-2 a^2 b^2 c^4 x z+4 b^4 c^4 x z+2 a^2 c^6 x z-2 b^2 c^6 x z-2 a^6 b^2 y z+4 a^4 b^4 y z-2 a^2 b^6 y z+2 a^6 c^2 y z-2 a^4 b^2 c^2 y z-2 a^2 b^4 c^2 y z+2 b^6 c^2 y z-2 a^4 c^4 y z+6 a^2 b^2 c^4 y z-2 b^4 c^4 y z-2 a^2 c^6 y z-2 b^2 c^6 y z+2 c^8 y z+a^8 z^2-2 a^6 b^2 z^2+a^4 b^4 z^2+2 a^4 b^2 c^2 z^2-2 a^2 b^4 c^2 z^2-2 a^4 c^4 z^2+2 a^2 b^2 c^4 z^2+b^4 c^4 z^2-2 b^2 c^6 z^2+c^8 z^2 = 0)
inscrita en ABC, con punto de tangencia:

T₂ = ((a^2-b^2) (a^2+b^2-c^2) (a^8 t+(b^2-c^2)^2 (-c^4+b^4 t+b^2 c^2 t)+a^4 (b^2 c^2 t+2 b^4 (1+t)-c^4 (1+t))-a^6 (c^2 t+b^2 (1+2 t))+a^2 (-b^2 c^4+b^4 c^2 t+c^6 (2+t)-b^6 (1+2 t)))^2 : ... : ...),

foco (sobre la circunferencia circunscrita):

F₂ = (a^2 (a^2 - c^2) (a^2 - b^2 - c^2) (-b^2 + c^2) (a^2 - b^2 + c^2) :...:...),

directriz (pasa por el ortocentro)

d₂: (a^2-b^2) (a^2-b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) x+(a^2-b^2-c^2) (b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) y+(a^2-c^2) (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) z =0,

vértice:

V₂ =((a^2-c^2) (a^2-b^2-c^2) (-b^2+c^2) (a^2-b^2+c^2)^3 (a^4+b^4-a^2 c^2-b^2 c^2)^2 :...:...),

punto en infinito de su eje:

I₂ = ((a^2-b^2) (a^2+b^2-c^2) :...:...),

punto en infinito de su directriz:

I'₂ = (a^6-a^4 b^2-a^2 (-b^4+c^4)-(b^3-b c^2)^2:...:...),

punto de intersección de eje y directriz:

D₂ = ((a^2-c^2)(b^2-c^2)(a^2-b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2) (a^12-2 a^2 b^6 (b^2-c^2)^2-2 a^10 (b^2+c^2)+(b^3-b c^2)^4-2 a^6 c^2 (-b^4+b^2 c^2+c^4)+a^8 (b^4+2 b^2 c^2+2 c^4)+a^4 (b^8-2 b^6 c^2-2 b^4 c^4+2 b^2 c^6+c^8)) :...:...),

perspector (coincide con el tripolo de la tangente en el baricentro a la hipérbola ℋ₂):

Q₂ = ((a^2-c^2)(b^2-c^2)(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2) : ... : ...).

Las parejas de puntos {W₁, W₂}, {Z₁, Z₂}, {Q₁, Q₂}, {F₁, F₂}, {I₁, I₂}, {I'₁, I'₂}, {V₁, V₂}, {D₁, D₂} son

El par {F₁, F₂} es P(109).

El resto de pares no figuran actualmente en la lista "BICENTRIC PAIRS OF POINTS", de Clark Kimberling.

En la tabla siguiente el número 23999 (por ejemplo) en la primera fila significa que es el centro del triángulo X₂₃₉₉₉ (punto de Brianchon o perspector de la cónica inscrita cuadrado trilineal de la recta de Euler) que es el producto trilineal del par bicentrico W₁W₂.

Pares bicéntricos			suma bicéntrica	diferencia bicéntrica				punto del infinto	punto medio
W₁,W₂	23999	23582	23583	9033	-	-	15351	9033	23583	-
Z₁,Z₂	811	648	525	30	-	6	2	recta infinito	-	15351
Q₁,Q₂	14208	525	15526	9033	-	112	525	9033	15526	-
F₁,F₂ P(109)	810	3049	3269	9409	refl. 648 en 23582	648	647	-	-	-
I₁,I₂	811	648	525	30	refl. 1971 en 187	6	2	recta infinito	-	-
I'₁,I'₂	36120	6531	523	1503	-	6	2	recta infinito	-	-
V₁,V₂	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
D₁,D₂	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

Obsérvese que cosssum(F₁,F₂) es la reflexión del producto baricéntrico de Z₁ y Z₂ en el producto baricéntrico de W₁ y W₂.

Puntos sobre la recta F₁F₂: {3269, 9409, 20975, 34980, 35236}
Puntos sobre la recta W₁W₂: {402, 5972, 6130, 6716, 9033, 16073, 16074, 23583, 24930}
Puntos sobre la recta Q₁Q₂: {122, 125, 684, 1650, 2972, 4466, 9033, 12037, 13212, 13611, 14417, 14429, 15526, 16186, 18210, 20975, 34601, 35442}

También son un par bicéntrico los puntos de tangencia, T₁ y T₂, de los ejes de perspectividad p₁ y p₂ con las parábolas 𝒫₁ y 𝒫₁.
El lugar geométrico del punto medio de T₁ y T₂, cuando P recorre la recta de Euler, es la parábola a𝒫_o, de la parábola 𝒫_o, envolvente del eje de perspectividad p₀ de ABC y A'B'C'.
El lugar geométrico de la diferencia baricéntrica de T₁ y T₂, cuando P recorre la recta de Euler, es la hipérbola cℋ, complemento de la hipérbola ℋ lugar del centro de perspectividad P_o de ABC y A'B'C'.

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El conjugado isogonal Q de P_o está sobre la recta X₆X₂₅ (recta que pasa por el y el del respecto a la circunferencia circunscrita).
La correspondencia P ↦ Q es una proyectividad entre las rectas que los contienen, X₂X₃ y X₆X₂₅. X₄↦X₂₅ y X₂₅↦X₁₉₅₄ (conjugado isogonal del de X₂₅).
La envolvente de la recta PQ es la cónica inscrita ℰ, tangente a los lados de ABC en los pies de las cevianas de X₁₈₀₂₀, conjugado isotómico del centro de la . ℰ pasa por los centros del triángulo X_i, para i∈{4, 69, 1092, 1974, 3043, 5095, 15460, 15461, 16163}, su centro es X₅₉₇₂ ( de las circunferencias centradas en los vértices de ABC y tangentes a la recta de Euler. Randy Hutson, August 20, 2014).

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El lugar geométrico de U_o = p₁∩ p₂,
( ((-a^4+a^2 b^2+a^2 c^2+a^4 t-b^4 t+2 b^2 c^2 t-c^4 t) (-a^6 b^2+2 a^4 b^4-a^2 b^6-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+2 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8+a^8 t-2 a^6 b^2 t+2 a^4 b^4 t-2 a^2 b^6 t+b^8 t-a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+a^2 b^4 c^2 t-b^6 c^2 t-a^4 c^4 t-b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+b^2 c^6 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t) :
(-a^2 b^2+b^4-b^2 c^2+a^4 t-b^4 t-2 a^2 c^2 t+c^4 t) (-a^6 b^2+2 a^4 b^4-a^2 b^6-a^4 c^4-a^2 b^2 c^4-b^4 c^4+2 a^2 c^6+2 b^2 c^6-c^8+a^8 t-2 a^6 b^2 t+2 a^4 b^4 t-2 a^2 b^6 t+b^8 t-a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+a^2 b^4 c^2 t-b^6 c^2 t-a^4 c^4 t-b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+b^2 c^6 t) (a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t):
(-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4+a^4 t-2 a^2 b^2 t+b^4 t-c^4 t) (a^8-2 a^6 b^2+a^4 b^4-2 a^6 c^2+a^4 b^2 c^2+b^6 c^2+a^4 c^4-2 b^4 c^4+b^2 c^6-a^6 b^2 t+a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-b^8 t-a^6 c^2 t-a^2 b^4 c^2 t+2 b^6 c^2 t+a^4 c^4 t-a^2 b^2 c^4 t-2 b^4 c^4 t+a^2 c^6 t+2 b^2 c^6 t-c^8 t) (-a^4 b^4+2 a^2 b^6-b^8-a^6 c^2-a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^4 c^4-b^4 c^4-a^2 c^6+a^8 t-a^6 b^2 t-a^4 b^4 t+a^2 b^6 t-2 a^6 c^2 t+a^4 b^2 c^2 t+b^6 c^2 t+2 a^4 c^4 t+a^2 b^2 c^4 t-b^4 c^4 t-2 a^2 c^6 t-b^2 c^6 t+c^8 t)))
cuando P varía sobre la recta de Euler, es K953=cK0(#X2, X525) (Catálogo de Bernard Gibert).

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Miércoles, 6 de mayo del 2020
Los centros del triángulo X(1319) y X(1420)

El 6 Mayo de 1928 falleció (a la edad de 66 años) el matemático escocés Robert Edgar Allardice, sus trabajos publicados versan sobre todo en geometría. Propiedades relativas a K219=Allardice cubic A1(G).

X(1319) = Bevan-Schröder Point

Let X'Y'Z' be the of the , W = X(40); then X(1319) is the point, other than W, in which the circles AWX', BWY', CWZ' concur at X(1319) (Floor van Lamoen, Hyacinthos #6321, 6352).

X(1420) = X(145)-Beth conjugate of X(145)

Let Ja, Jb, Jc be the excenters and I the incenter. Let A' be the centroid of JbJcI, and define B' and C' cyclically. The triangle A'B'C' is homothetic to the at X(1420). (Randy Hutson, July 31 2018).

Sean I=X₁ el incentro y DEF el de un triángulo dado ABC.
La es tangente a AC en A_b. a AB en A_c y a la circunferencia circunscrita en T_a y ésta vuelve a cortar a la circunferencia (IDT_a)
( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-(((-a b c+b^2 c+b c^2) x)/(a+b+c))+(a c (a-b+c)^2 y)/(2 (b-c) (a+b+c))-((a^3 b+2 a^2 b^2+a b^3-2 a^2 b c-2 a b^2 c+a b c^2) z)/(2 (b-c) (a+b+c))) = 0)
en T'_a. Se denota por A' la proyección ortogonal de T_a sobre la recta A_bA_c.
Los puntos T_b, T'_b, T_c, T'_c y B', C' se definen de manera similar, procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC.
X₁₄₂₀ es el punto de concurrencia de las rectas T_aT'_a, T_bT'_a, T_cT'_c, AA', BB', CC'.
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Martes, 5 de mayo del 2020
Punto medio de los centros ortológicos de el triangulo de McCay y los triángulos de Vecten

El 5 de mayo de 1821 , muere Napoleón I, ex emperador de Francia. al que se le atribuye el teorema de Napoleón (si bien no hay pruebas de que sea el verdadero autor). Teorema de Napoleón: Si sobre los lados de un triángulo arbitrario ABC, en el exterior de éste, se construyen los triángulos equiláteros ABZ, BCX y ACY entonces los centros de estos triángulos son también vértices de un triángulo equilátero.

X(6177) and X(6178) are the of the real and imaginary foci of the
(Contributed by Bernard Gibert, January 4, 2015.)

X(13087) and X(13088) are the of w.r.t. inner and outer

X(13881)
Let DEF be the orthic triangle. Let Ab be the point in which the line through B perpendicular to AB meets the perpendicular bisector of segment BD . Let Ac be the point in which the line through C perpendicular to AC meets the perpendicular bisector of segment CD. Define Bc, Ba, Ca, Cb cyclically. The six ponts Ab, Ac, Bc, Ba, Ca, Cb lie on a conic with center X(13881).
(See El punto X(13881) como centro de una cónica.)

Dado un triángulo ABC, sean DEF el y D' la proyección ortogonal de D sobre EF.
Se denotan por A_b y A_c los centros de las circunferencias (BFD') y (CED'), con coordenadas baricéntricas:
A_b = (3 a^4-4 a^2 b^2+(b^2-c^2)^2 : a^4+3 (b^2-c^2)^2-4 a^2 (b^2+c^2) : -4 a^2 c^2),

A_c = (3 a^4-4 a^2 c^2+(b^2-c^2)^2 : -4 a^2 b^2 ; a^4+3 (b^2-c^2)^2-4 a^2 (b^2+c^2)).
Procediendo cíclicamente, se definen los puntos B_c, B_a y C_a, C_b.
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Los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b están cobre una misma cónica, 𝒞.
La ecuación
( 5 a^6 x^2-25 a^4 b^2 x^2+39 a^2 b^4 x^2-27 b^6 x^2-25 a^4 c^2 x^2+78 a^2 b^2 c^2 x^2-9 b^4 c^2 x^2+39 a^2 c^4 x^2-9 b^2 c^4 x^2-27 c^6 x^2-6 a^6 x y-2 a^4 b^2 x y-2 a^2 b^4 x y-6 b^6 x y+78 a^4 c^2 x y-68 a^2 b^2 c^2 x y+78 b^4 c^2 x y-114 a^2 c^4 x y-114 b^2 c^4 x y+90 c^6 x y-27 a^6 y^2+39 a^4 b^2 y^2-25 a^2 b^4 y^2+5 b^6 y^2-9 a^4 c^2 y^2+78 a^2 b^2 c^2 y^2-25 b^4 c^2 y^2-9 a^2 c^4 y^2+39 b^2 c^4 y^2-27 c^6 y^2-6 a^6 x z+78 a^4 b^2 x z-114 a^2 b^4 x z+90 b^6 x z-2 a^4 c^2 x z-68 a^2 b^2 c^2 x z-114 b^4 c^2 x z-2 a^2 c^4 x z+78 b^2 c^4 x z-6 c^6 x z+90 a^6 y z-114 a^4 b^2 y z+78 a^2 b^4 y z-6 b^6 y z-114 a^4 c^2 y z-68 a^2 b^2 c^2 y z-2 b^4 c^2 y z+78 a^2 c^4 y z-2 b^2 c^4 y z-6 c^6 y z-27 a^6 z^2-9 a^4 b^2 z^2-9 a^2 b^4 z^2-27 b^6 z^2+39 a^4 c^2 z^2+78 a^2 b^2 c^2 z^2+39 b^4 c^2 z^2-25 a^2 c^4 z^2-25 b^2 c^4 z^2+5 c^6 z^2 = 0)
de 𝒞 es:
𝔖_{_{abc xyz}} (5 a^6-25 a^4 (b^2+c^2)+39 a^2 (b^2+c^2)^2-9 (3 b^6+b^2 c^2(b^2+c^2)+3 c^6))x^2+
2 (45 a^6-57 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (39 b^4-34 b^2 c^2+39 c^4) -3 b^6-b^2c^2(b^2+c^2)-3 c^6)y z = 0.
Y su centro W es el punto medio del circuncentro y X₁₃₈₈₁, de X₆₁₇₇ y X₆₁₇₈, X₁₃₀₈₇ y X₁₃₀₈₈:
W = ( 3 a^8-7 a^6 (b^2+c^2)+2 a^4 (4 b^4+b^2 c^2+4 c^4)-a^2 (5 b^6-3 b^4 c^2-3 b^2 c^4+5 c^6)+(b^2-c^2)^4 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.05922283497132, 4.39695820748854, -1.27687097018676).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {3, 13881}, {6177, 6178}, {13087, 13088}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,13335}, {3,115}, {20,9754}, {76,631}, {98,7907}, {114,33233}, {140,141}, {230,9737}, {575,31401}, {632,7914}, {1078,3406}, {1352,32970}, {2996,3523}, {3398,31455}, {3525,7940}, {3526,6292}, {3818,37466}, {3933,10256}, {5054,7801}, {5206,15980}, {5254,9734}, {5346,32447}, {5476,20576}, {5569,26614}, {6248,16925}, {6249,13860}, {6289,11316}, {6290,11315}, {6680,35424}, {6683,11261}, {7752,21445}, {7782,14651}, {7836,10303}, {7857,37334}, {7870,15702}, {7886,37242}, {7887,32152}, {9744,33000}, {11257,33259}, {12221,26516}, {12222,26521}, {13087,13088}, {13449,32961}, {14693,35375}, {18281,22463}, {24206,32954}, {34473,37446}, {37752,37753}.
Lunes, 4 de mayo del 2020
Los centros del triángulo X(5221) y X(32635)

El 4 de mayo de 1859 murió, a la edad de 88 años, Joseph Diaz Gergonne matemático francés, fundador y editor de la primera revista dedicada por completo a las matemáticas, los "Annales de mathématiques pures et appliquées". Descubrió el principio de dualidad en Geometría proyectiva, cuando notó que cada teorema en el plano conectando puntos y líneas tenía un correspondiente con puntos y líneas intercambiados, siempre que el teorema no hiciera intervenir nociones métricas. En 1816, encontró una solución elegante al problema de Apolonio. A él se debe el descubrimiento del punto de Gergonne: punto en que se cortan los tres segmentos que unen cada vértice de un triángulo con el punto de contacto de la circunferencia inscrita con el lado opuesto.

X(32635) = X(1)X(748)∩X(2)X(3296)

(Antreas Hatzipolakis and Peter Moses, Hyacinthos 29070)

Let ABC be a triangle.
Denote:
Na, Nb, Nc = the NPC centers of IBC, ICA, IAB, resp.
Oa, Ob, Oc = the circumcenters of IBC, ICA, IAB, resp.
O1, O2, O3 = the reflections of Oa, Ob, Oc in BC, CA, AB, resp.
Ma, Mb, Mc = the midpoints of NaO1, NbO2, NcO3, resp.

MaMbMc is perspective to Garcia reflection triangle at X(1)X(748)∩X(2)X(3296)

The Garcia-reflection triangle has vertices the reflections of the excenters on the midpoints of their corresponding sides.

Se consideran los triángulos DEF y UVW del incentro I=X₁ de un triángulo dado ABC.
La bisectriz en A corta VW en U'. A_b es el punto donde la recta CU' y la circunferencia (ABU') se vuelven a cortar, y A_c es el punto donde la recta BU' y la circunferencia (ACU') se vuelven a cortar.
El punto A' (sobre la bisectriz AI) es la intersección de las rectas BA_b y CA_c. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
( Mostrar/Ocultar figura )
Las rectas A'D, B'E, C'F se cortan en X₅₂₂₁.

En coordenadas baricéntricas:
U' = (2 a : b : c),

A_b = (2 a (a+2 (b+c)) : b (a+2 (b+c)) : -2 c (2 a+b+c)),

A_c = (2 a (a+2 (b+c)) : -2 b (2 a+b+c) : c (a+2 (b+c))),

A' = (a (a+2 (b+c)) : -b (2 a+b+c) : -c (2 a+b+c)),

X₅₂₂₁ = ((a+2(b+c))/(b+c-a) : (b+2(c+a))/(c+a-b) : (c+2(a+b))/(a+b-c)).

El punto fijo finito de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C', es X(32635):
(a(b+c-a)/(2a+b+c) : b(c+a-b)/(2b+c+a) , c(a+b-c)/(2c+a+b)).
La imagen de un punto de coordenadas (x:y:z), mediante σ, es:
(a (a + b - c) (a - b + c) (a + 2 (b + c)) x + a (a + b - c) (a^2 + a b - 2 b^2 - 3 b c - c^2) y + a (a - b + c) (a^2 - b^2 + a c - 3 b c - 2 c^2) z :
-(b (a + b - c) (a - b + c) (2 a + b + c) x) + b (a + b - c) (-2 a^2 + a b + b^2 + 3 b c + 2 c^2) y + b (a - b + c) (a^2 - b^2 + a c - 3 b c - 2 c^2) z :
-((a + b - c) c (a - b + c) (2 a + b + c) x) + (a + b - c) c (a^2 + a b - 2 b^2 - 3 b c - c^2) y + c (a - b + c) (-2 a^2 + 2 b^2 + a c + 3 b c + c^2) z).
Pares {X_i, X_j=σ(X_i)}, para los índices {i,j}:
{1, 12702}, {2, 40}, {8, 1}, {9, 5220}, {10, 3579}, {21, 11684}, {72, 31673}, {78, 37567}, {80, 12738}, {200, 36279}, {210, 10}, {354, 5493}, {392, 11362}, {551, 33795}, {960, 3626}, {2321, 4663}, {3057, 3625}, {3059, 30424}, {3241, 7991}, {3582, 35460}, {3617, 35242}, {3625, 11278}, {3626, 13624}, {3632, 8148}, {3678, 18357}, {3679, 3}, {3681, 4}, {3701, 3214}, {3717, 44}, {3753, 31730}, {3873, 6361}, {3876, 3617}, {3877, 8}, {3878, 37705}, {3885, 3621}, {3899, 18525}, {4041, 4784}, {4102, 1126}, {4134, 18480}, {4147, 4782}, {4391, 4724}, {4511, 3245}, {4512, 3927}, {4525, 33697}, {4543, 764}, {4662, 3634}, {4669, 1385}, {4677, 1482}, {4711, 1125}, {4723, 899}, {4745, 31663}, {4882, 5708}, {5587, 11500}, {5657, 1158}, {5686, 9}, {5692, 355}, {5790, 6796}, {6175, 33557}, {6734, 37568}, {6735, 1155}, {6736, 37582}, {6743, 31794}, {7080, 5128}, {9778, 7992}, {10005, 15601}, {10056, 37584}, {10176, 5690}, {11114, 12528}, {11684, 10308}, {14430, 659}, {14432, 4730}, {14740, 12019}, {15104, 5787}, {17579, 9961}, {18908, 6260}, {21020, 37425}, {21677, 3647}, {24392, 3913}, {24393, 15254}, {31145, 7982}, {31156, 3951}, {32635, 32635}, {34606, 31803}, {34619, 5709}, {34641, 10222}, {34790, 18483}, {36590, 14513}, {36926, 5524}, {37718, 12331}.
Sábado, 2 de mayo del 2020
Una construcción de X(1799)

El 2 de mayo de 1949, Arthur Miller (1915-2005), escritor y dramaturgo estadounidense, recibe el Premio Pulitzer por la obra “La muerte de un viajante”. Es vista como un ataque al sueño americano de progresar en la vida sin considerar los principios éticos. Su obra tiene una demoledora capacidad para inquietar a una sociedad maquillada de bienestar, confort, éxito y consumismo. Arthur Miller ha sabido reflejar las frustraciones y desengaños de la sociedad estadounidense.

X(1799) = inverse Mimosa transform of X(75)

Let A'B'C' be the circummedial triangle (the circumcevian triangle of X(2)). Let A" be the of B' and C', and define B" and C" cyclically. AA", BB", and CC" concur in X(1799). (Randy Hutson, December 10, 2016)

Se consideran los triángulos DEF y D'E'F' de un triángulo dado ABC. Las rectas E'F y F'E vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita en A_b y A_c
Sea 𝒞_a la cónica tangente a las cinco rectas BC, AE', AF', BA_b y CA_c, y denotamos por O_a su centro. Las cónicas 𝒞_b y 𝒞_c y sus centros O_b y O_c son definidos cíclicamente.
Las rectas AO_a, BO_b y CO_c concurren en X₁₇₉₉.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si M es un punto sobre la circunferencia circunscrita a ABC y las rectas ME y MF vuelven a cortarla en M_b y M_c, la recta M_bM_c, cuando M varía, envuelve a la cónica 𝒞_a. Su punto de tangencia con BC es D.

La ecuación baricéntrica de 𝒞 es:
a^2(x^2+y^2+z^2) -2 a^2y z -2 (a^2 + 2 b^2)z x -2 (a^2 + 2 c^2)x y = 0.

O_a = (a^2 (a^2 + b^2 + c^2) : (a^2 + b^2) (a^2 - b^2 + c^2) : (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 + c^2)).

El punto fijo finito de la transformación afín, σ, que aplica ABC en es X₇₄₉₄,
(b^2 + c^2 - a^2)(3a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2) : :
No existe otro centro en tal que su imagen mediante σ esté en ETC.
σ(x:y:z) = (a^2 (a^2+b^2+c^2) (a^4+b^4-2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) (a^4-3 b^4-2 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) x+
(a^2+b^2) (a^4+b^4-2 b^2 c^2-3 c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) (3 a^6-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (3 b^4+2 b^2 c^2+3 c^4)) y+
(a^2+c^2) (a^4-3 b^4-2 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) (3 a^6-a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)-a^2 (3 b^4+2 b^2 c^2+3 c^4)) z : ... : ...).

Sea L_a la recta que pasa por los puntos de tangencia de las rectas BA_b y CA_c con 𝒞_a y se definen L_b y L_c cíclicamente.
Las rectas L_a, L_b y L_c forman un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X₃₉, punto medio de los ,
a^2 (b^2 + c^2) : b^2 (a^2 + c^2) : c^2(a^2 + b^2)
Viernes, 1 de mayo del 2020
Una construcción del conjugado isogonal del complemento del conjugado isogonal de un punto

El 1 de mayo de 1870 murió, a la edad de 75 años, el matemático francés Gabriel Lamé. En geometría diferencial crea nuevas herramientas para el estudio de superficies, en particular las coordenadas curvilíneas definidas mediante tres cuádricas homofocales.

Se consideran los triángulos DEF y D'E'C' de un punto P, respecto a un triángulo dado ABC.
Las rectas E'F y F'E vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a ABC en A_b y A_c, respectivamente. Sea A'=BA_b∩CA_c, y se definen B' y C', cíclicamente.
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Si (u:v.w) son las coordenadas baricéntricas de P en la referencia ABC, se tiene que:
A_b = (a^2 u w (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : v (c^2 u+a^2 w) (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : -c^2 u v w (c^2 u+a^2 w)),

A_c = (a^2 u v (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : -b^2 u v (b^2 u+a^2 v) w : (b^2 u+a^2 v) w (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w)),

A' = (a^2 (c^2 u v+b^2 u w+a^2 v w) : -b^2 (b^2 u+a^2 v) w : -c^2 v (c^2 u+a^2 w) ).

Usamos las siguientes notaciones: gP es de P y cP es el de P.
La rectas AA', BB', CC' concurren en gcgP.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Los triángulos ABC y A'B'C' son si y solo si P está sobre la séxtica
( a^4 c^4 x^3 y^3-b^4 c^4 x^3 y^3-a^2 c^6 x^3 y^3+b^2 c^6 x^3 y^3+2 a^4 b^2 c^2 x^3 y^2 z+a^2 b^4 c^2 x^3 y^2 z-3 b^6 c^2 x^3 y^2 z+5 b^4 c^4 x^3 y^2 z-2 a^2 c^6 x^3 y^2 z-4 b^2 c^6 x^3 y^2 z+2 c^8 x^3 y^2 z+3 a^6 c^2 x^2 y^3 z-a^4 b^2 c^2 x^2 y^3 z-2 a^2 b^4 c^2 x^2 y^3 z-5 a^4 c^4 x^2 y^3 z+4 a^2 c^6 x^2 y^3 z+2 b^2 c^6 x^2 y^3 z-2 c^8 x^2 y^3 z+2 a^2 b^6 x^3 y z^2-2 b^8 x^3 y z^2-2 a^4 b^2 c^2 x^3 y z^2+4 b^6 c^2 x^3 y z^2-a^2 b^2 c^4 x^3 y z^2-5 b^4 c^4 x^3 y z^2+3 b^2 c^6 x^3 y z^2+2 a^6 b^2 x^2 y^2 z^2-2 a^2 b^6 x^2 y^2 z^2-2 a^6 c^2 x^2 y^2 z^2+2 b^6 c^2 x^2 y^2 z^2+2 a^2 c^6 x^2 y^2 z^2-2 b^2 c^6 x^2 y^2 z^2+2 a^8 x y^3 z^2-2 a^6 b^2 x y^3 z^2-4 a^6 c^2 x y^3 z^2+2 a^2 b^4 c^2 x y^3 z^2+5 a^4 c^4 x y^3 z^2+a^2 b^2 c^4 x y^3 z^2-3 a^2 c^6 x y^3 z^2-a^4 b^4 x^3 z^3+a^2 b^6 x^3 z^3-b^6 c^2 x^3 z^3+b^4 c^4 x^3 z^3-3 a^6 b^2 x^2 y z^3+5 a^4 b^4 x^2 y z^3-4 a^2 b^6 x^2 y z^3+2 b^8 x^2 y z^3+a^4 b^2 c^2 x^2 y z^3-2 b^6 c^2 x^2 y z^3+2 a^2 b^2 c^4 x^2 y z^3-2 a^8 x y^2 z^3+4 a^6 b^2 x y^2 z^3-5 a^4 b^4 x y^2 z^3+3 a^2 b^6 x y^2 z^3+2 a^6 c^2 x y^2 z^3-a^2 b^4 c^2 x y^2 z^3-2 a^2 b^2 c^4 x y^2 z^3-a^6 b^2 y^3 z^3+a^4 b^4 y^3 z^3+a^6 c^2 y^3 z^3-a^4 c^4 y^3 z^3 = 0)
con puntos triples en los vértice de ABC, pasa por el baricentro, circuncentro, y por X₁₁₂₇₀, conjugado isogonal de la reflexión del circuncentro en el ortocentro, de ecuación:
2 (a^2-b^2) (a^2-c^2) (b^2-c^2) (a^2+b^2+c^2) x^2 y^2 z^2 +
𝔖_{_{abc xyz}} y z (a^4 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2) y^2 z^2+x^3 (c^2 (2 a^4 b^2+a^2 (b^4-2 c^4)-(b^2-c^2) (3 b^4-2 b^2 c^2+2 c^4)) y-b^2 (2 a^4 c^2+a^2 (-2 b^4+c^4)+(b^2-c^2) (2 b^4-2 b^2 c^2+3 c^4)) z)) = 0.
( Mostrar/Ocultar figura )
Cuando P está sobre esta séxtica, se denota por U el centro de ortologia de ABC respecto a A'B'C' y por V el centro de ortologia de A'B'C' respecto a ABC.
Ternas {P, U, V}: {X₂,U₂, X₃}, {X₃,U₃,X₄}, {X₆₉, U₆₉,X₂₄}, {X₁₁₂₇₀,X₃,V₁₁₂₇₀}.
U₂ = ( a^2 (a^4-b^4-c^4) (a^4+4 a^2 (b^2+c^2)+3 b^4+10 b^2 c^2+3 c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (13.3744666451673, 11.0408740791004, -10.1758483321624).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,251}, {4,141}, {20,13575}, {907,1297}, {990,23051}, {3313,8743}, {3425,10323}, {5188,7509}, {32956,33586}.
V₁₁₇₂₀ = ( a^2 (a^8-4 a^6 (b^2+c^2)+6 a^4 (b^4-b^2 c^2+c^4)-4 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^4+8 b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),

V₁₁₇₂₀ = 5R^2 X₄ + (r^2+4r R-s^2) X₆,
(r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita y s el semiperímetro de ABC)
que tiene números de búsqueda en ETC (-12.9018191297064, -15.2199216021018, 20.1322190355348).
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {24, 26883}, {11413, 10539}, {11457, 235}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6030}, {4,6}, {20,18451}, {22,12162}, {23,12163}, {24,1204}, {25,6241}, {26,18439}, {30,11441}, {54,1597}, {64,186}, {74,3515}, {110,12085}, {154,3520}, {155,3146}, {184,13474}, {185,10594}, {235,11457}, {376,17814}, {378,6759}, {382,1993}, {394,3529}, {399,5073}, {403,14216}, {546,5422}, {550,15066}, {578,32062}, {1216,33524}, {1495,3357}, {1593,1614}, {1596,18912}, {1598,5890}, {1657,15068}, {1853,16868}, {1906,18914}, {2904,34786}, {3089,26879}, {3426,3516}, {3518,10605}, {3522,15052}, {3528,17811}, {3542,12324}, {3543,36747}, {3544,17825}, {3545,37514}, {3567,5198}, {3627,18445}, {3796,35500}, {3830,12161}, {3832,36752}, {3845,36753}, {3853,36749}, {3855,10601}, {5059,37483}, {5068,15805}, {5562,12082}, {5663,7517}, {5876,12083}, {5878,6240}, {5889,18534}, {5894,35503}, {5895,34797}, {5907,10323}, {5925,13619}, {6225,18533}, {6247,7505}, {6642,15072}, {6696,15152}, {6800,7526}, {6834,37687}, {7387,12111}, {7391,22660}, {7464,35602}, {7506,13491}, {7509,15030}, {7529,10574}, {7530,34783}, {7547,11550}, {7550,33537}, {7731,12308}, {7999,37198}, {8567,17506}, {9781,18535}, {9786,34484}, {9818,11439}, {9833,18560}, {9919,12281}, {9934,12292}, {10282,35477}, {10295,20427}, {10539,11413}, {10540,12084}, {10575,17928}, {10606,21844}, {10706,34725}, {10984,20190}, {11160,34621}, {11403,15033}, {11414,11459}, {11425,13596}, {11440,14070}, {11444,35243}, {11468,15750}, {11472,14118}, {11479,16261}, {11799,32140}, {12087,37486}, {12164,12271}, {12234,32340}, {12244,17812}, {13382,34417}, {14865,19357}, {15311,35471}, {16252,37119}, {17810,26863}, {17821,35473}, {18381,35488}, {18394,19361}, {18400,35490}, {18488,31236}, {20806,29012}, {21663,35479}, {22802,35480}, {25739,34780}, {33703,37498}, {34782,35481}.
Martes, 28 de abril del 2020
Un problema de construcción y el punto de Kosnita

El 28 Abril 1843 falleció (a la edad de 74 años) el matemático británico William Wallace. El trabajo de Wallace fue sobre geometría y la (¡que definitivamente no se debe a Simson!) aparece primero en un artículo de Wallace en 1799. Uno de los teoremas de Wallace:
Teorema (Wallace 1804). Cada tres lados extendidos de un cuadrilátero general determinan un triángulo y, por lo tanto, determinan un círculo circunscrito al triángulo. Por lo tanto, 4 círculos están determinados por un cuadrilátero. Estos cuatro círculos se encuentran en un punto.

Se considera el siguiente problema de construcción:

En los lados AB, AC, prolongados si es necesario, de un triángulo ABC encontrar dos puntos D, E de manera que los segmentos AD, DE y CE sean iguales.

Para construir tales puntos, se traza la circunferencia B(c), de centro B y radio AB, que vuelve a cortar a la recta AC en F. La circunferencia F(c) corta a AC en dos puntos L y L'. La paralela por C a BL corta a AB en el punto D buscado, y la paralela por D a BF corta a AC el segundo punto E buscado.
Tomando el punto L', y repitiendo la misma construcción, se obtiene otra solución.

Pensando en la geometría del triángulo, por permutación cíclica sobre sus vértices, tomando las dos rectas que parten de ellos, se obienen seis de tales construcciones. Para adaptar la notación, con el fin de deducir cuál es el nombre de los extremos de los segmentos a construir, designamos por AA_cb, A_cbA_bcb, A_bcbC los tres segmentos iguales, partiendo del vértice A, continuando sobre la recta AB y terminado sobre la recta AC.
Si, partiendo de A, tomamos el primer segmento sobre la recta AC, se denotan los tres segmentos iguales por: AA_bc = A_bcA_cbc = A_cbcB.
Partiendo de B, los extremos de los segmento obtenidos se denotan por B_ac, B_cac, B_ca y B_aca.
Finalmente, partiendo de C, C_ba, C_aba, C_ab y C_cac.
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Los cuatro puntos A_cb, A_bcb, A_bc y A_cbc son , y denotamos el centro de la circunferencia
( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-(((-a^2 b^2 c^2+b^4 c^2+b^2 c^4) x)/(a^2-b^2-b c-c^2)^2)-(b c^3 (-a^2+b c+c^2) y)/(-a^2+b^2+b c+c^2)^2-(b^3 c (-a^2+b^2+b c) z)/(-a^2+b^2+b c+c^2)^2) = 0)
que los contiene por O_a. Cíclicamente, definimos O_b y O_c.
O_a = (-a^6+b c (b^2-c^2)^2+a^4 (2 b^2+b c+2 c^2)-a^2 (b^4+2 b^3 c+2 b c^3+c^4) : b^2 (a^4+b^4-b^2 c^2-a^2 (2 b^2+c^2)) : c^2 (a^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+2 c^2))).

Las rectas AO_a, BO_b y CO_c concurren en el .

Si se considera la segunda solución del problema planteado, correspondiente a cada vértice y cada uno de los dos lados que parten de él, se obtienen tres cuaternas de puntos sobre circunferencias de centros O'_a, O'_b y O'_c, que están sobre las rectas AO_a, BO_b y CO_c, respectivamente.
O'_a = ({-a^6-b c (b^2-c^2)^2+a^4 (2 b^2-b c+2 c^2)-a^2 (b^4-2 b^3 c-2 b c^3+c^4) : b^2 (a^4+b^4-b^2 c^2-a^2 (2 b^2+c^2)) : c^2 (a^4-b^2 c^2+c^4-a^2 (b^2+2 c^2))).

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Los seis puntos A_bcb, A_cbc, B_cac, B_aca, C_aba, C_bab están sobre una misma cónica cónica,
( a^4 b c x^2-a^2 b^3 c x^2-a^2 b c^3 x^2+a^5 b x y-2 a^3 b^3 x y+a b^5 x y-a^2 b^2 c^2 x y-a b c^4 x y-a^3 b^2 c y^2+a b^4 c y^2-a b^2 c^3 y^2+a^5 c x z-a b^4 c x z-a^2 b^2 c^2 x z-2 a^3 c^3 x z+a c^5 x z-a^4 b c y z+b^5 c y z-a^2 b^2 c^2 y z-2 b^3 c^3 y z+b c^5 y z-a^3 b c^2 z^2-a b^3 c^2 z^2+a b c^4 z^2 = 0)
𝒞, de ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 b c (b^2+c^2-a^2)x^2+b c (a^4+a^2 b c-(b^2-c^2)^2)y z = 0.
Así mismo, los seis puntos A'_bcb, A'_cbc, B'_cac, B'_aca, C'_aba, C'_bab (de las segundas construcciones en cada vértice) están sobre una misma cónica cónica,
( a^4 b c x^2-a^2 b^3 c x^2-a^2 b c^3 x^2-a^5 b x y+2 a^3 b^3 x y-a b^5 x y+a^2 b^2 c^2 x y+a b c^4 x y-a^3 b^2 c y^2+a b^4 c y^2-a b^2 c^3 y^2-a^5 c x z+a b^4 c x z+a^2 b^2 c^2 x z+2 a^3 c^3 x z-a c^5 x z+a^4 b c y z-b^5 c y z+a^2 b^2 c^2 y z+2 b^3 c^3 y z-b c^5 y z-a^3 b c^2 z^2-a b^3 c^2 z^2+a b c^4 z^2 = 0)
𝒞', de ecucación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 b c (b^2+c^2-a^2)x^2-b c (a^4+a^2 b c-(b^2-c^2)^2)y z = 0.

Se denota por UVW y U'V'W' los triángulos formados por las de los vértices de ABC respecto a las cónicas 𝒞 y 𝒞', y por P y P' sus , respectivamente.
Los triángulos UVW y U'V'W' son perspectivos, su centro de perspectividad Q está alineado con P y P'.
( Mostrar/Ocultar figura )
En consecuencia, los tres ejes de perspectividad de los pares de triángulos (ABC, UVW), (ABC, U'V'W'), (UVW, U'V'W'), coinciden (ver Theorem 19) en una misma recta. Es la del de los centros del triángulo X₇₅ y X₃₅₈₅:
Z = ( (a^4+a^2 b c-(b^2-c^2)^2)/a : ... : ...),

Z = 3R^2 X(2) - (4R^2-r^2-s^2) X(92),
(r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita y s el semiperímetro de ABC)
que tiene números de búsqueda en (-1.60100366934300, -1.53067534278271, 5.43928756660764).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,92}, {9,14212}, {23,7009}, {35,6757}, {75,5361}, {81,14616}, {94,226}, {171,1109}, {242,13595}, {304,30637}, {312,17791}, {319,321}, {323,1943}, {858,7140}, {1087,3075}, {1851,7394}, {1920,20944}, {2003,24149}, {2064,28654}, {2345,20915}, {2969,5133}, {2994,37644}, {3218,14213}, {3219,6358}, {3262,33168}, {3580,6354}, {4008,30652}, {4358,20919}, {4454,14552}, {4671,20928}, {4858,27003}, {4957,37634}, {7102,7391}, {7544,31387}, {13746,18447}, {14008,21318}, {14211,27065}, {14829,20886}, {16732,33133}, {17126,17871}, {17862,26842}, {20883,27059}, {20887,32939}, {20942,26739}, {23661,37256}, {23690,33142}, {26165,26789}, {26792,30807}.

Sea P_a y P'_a los polos de las rectas A_bcbA_cbc y A'_bcbA'_cbc respecto a las cónicas 𝒞 y 𝒞', respectivamente. Se definen similarmente los puntos P_b, P_c y P'_b, P'_c.
Las rectas P_aP'_a, P_bP'_b y P_cP'_c son concurrentes en el producto baricéntrico de X₇₅ y X₃₅₈₃:

T = ( (a^4-a^2 b c-(b^2-c^2)^2)/a : ... : ...),

T = 3R^2 X(2) + (4R^2-r^2-s^2) X(92),
que tiene números de búsqueda en ETC (5.89867065985038, 4.29052359106732, -2.05216138568548).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,92}, {23,242}, {57,14212}, {190,20887}, {238,1109}, {304,30638}, {320,21739}, {321,4886}, {323,1944}, {333,20886}, {391,28605}, {858,2969}, {908,18359}, {1087,3074}, {1146,3580}, {1851,7391}, {1921,20944}, {2323,24148}, {3218,4858}, {3219,14213}, {3262,32849}, {4000,20915}, {4008,30653}, {4358,18151}, {4462,26546}, {4671,20927}, {4957,35466}, {5133,7140}, {5180,23580}, {5249,30690}, {5259,6757}, {5905,37644}, {6358,27065}, {7009,13595}, {7102,7394}, {7112,23989}, {14211,27003}, {15065,31160}, {15680,23661}, {16732,33129}, {17127,17871}, {17483,17862}, {17484,30807}, {17586,18455}, {20432,32028}, {20643,35543}, {20883,26998}, {23690,33139}, {26165,26837}, {31387,37444}.
Domingo, 26 de abril del 2020
Los triángulo pedales de los puntos de Brocard. Un par bicéntrico

El bombardeo de Guernica fue un ataque aéreo realizado sobre población civil de esta población vasca el 26 de abril de 1937, por parte de la Legión Cóndor alemana y la Aviación Legionaria italiana, que combatían en favor del bando sublevado contra el gobierno de la Segunda República Española.

Dado ABC un triángulo, sean y los de los , Ω₁ y Ω₂.
La transformación afín σ₁, que aplica el triángulo ABC en tiene un único punto fijo finito con coordenadas baricéntricas:
F₁ = (a^6b^2+4a^4(b^2+c^2)^2-a^2b^2(b^4-4b^2c^2-7c^4)-2b^4c^2(b^2-c^2): ... : ... ).
Así mismo, el punto fijo propio de la transformación afín σ₂, que aplica el triángulo ABC en es:
F₂ = (a^6c^2+4a^4(c^2+b^2)^2-a^2c^2(c^4-4c^2b^2-7b^4)-2c^4b^2(c^2-b^2): ... : ... ).

Los puntos F₁ y F₂ forman un , que no figura en la lista confeccionada por Clark Kimberling. La recta que pasa por estos puntos solamente contiene un centro de : su punto del infinito, X₂₃₈₇₈.
( Mostrar/Ocultar figura )
La matriz M₁ asociada de la transformación afín σ₁ tiene las entradas (las demás se deducen cíclicamente)
M₁[1,1] = 0,
M₁[1,2] = a^2 (a^2+b^2+c^2),
M₁[1,3] =-b^4+b^2 c^2+a^2 (b^2+2 c^2).
Su punto fijo propio, corresponde al valor propio λ₁=2 (a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2).

La matriz M₂ asociada de la transformación afín σ₂ tiene las entradas:
M₂[1,1] = 0,
M₂[1,2] = c^2 (b^2-c^2)+a^2 (2 b^2+c^2),
M₂[1,3] =a^2 (a^2+b^2+c^2).
Su punto fijo propio, corresponde al valor propio λ₂=2 (a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2).

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Si se toman de los puntos de Brocard, en vez de triángulo pedales, y procediendo análogamente, se obtiene otro par bicéntrico con función:
f(a,b,c) = a^6 (2 b^2+c^2)-2 a^4 (b^4+2 b^2 c^2+2 c^4)-a^2 c^2 (7 b^4 +8 b^2 c^2+c^4)- 4 b^4 c^4
Jueves, 23 de abril del 2020
La tripolar de X(6630) como lugar geométrico de centros de cónicas inscritas

El 23 de abril de 1858 nació Max Planck, físico y matemático alemán considerado como el fundador de la teoría cuántica y galardonado con el Premio Nobel de Física en 1918. En 1900, descubrió una constante fundamental, la denominada constante de Planck, usada para calcular la energía de un fotón. Esto significa que la radiación no puede ser emitida ni absorbida de forma continua, sino solo en determinados momentos y pequeñas cantidades denominadas cuantos o fotones.

ABC es un triángulo, de incentro I=X(1) y baricentro G=X(2). P es un punto sobre una recta variable ℓ que pasa por G. W es el de I y P.
Cuando ℓ gira alrededor de G, el lugar geométrico del centro de la cónica 𝒞_ℓ, inscrita en ABC y tangente a IW y a PW es la de X₆₆₃₀
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Consideremos una recta, que pasa por G, de ecuación baricéntrica (t-1)x-t y+z=0, la cónica 𝒞_ℓ es:
(b-c)^2 (-1+t)^2x^2+(a-c)^2 t^2y^2+(a-b)^2z^2-2 (a-b) (a-c) t y z-2 (a-b) (b-c) (-1+t)z x-2 (a-c) (b-c) (-1+t) t x y =0.
Su centro es:
(a-b+a t-c t : a+c+b (-2+t)-c t : c+b (-1+t)+a t-2 c t),
que está sobre la recta:
(a^2-a (b+c)-b^2+3 b c-c^2)x + (b^2-b (c+a)-c^2+3 c a-a^2)y + (c^2-c (a+b)-a^2+3 a b-b^2)z=0,
tripolar de X₆₆₃₀ y que pasa por los centros X_i, para i∈{900, 3035, 3716, 4422, 4763, 4925, 6164, 9508, 24003, 28601}.

El lugar geométrico del ((a-b) (a-c) t:(a-b) (b-c) (-1+t):-(a-c) (-b+c) (-1+t) t) de 𝒞_ℓ es la cóncia circunscrita, que pasa pot X_i, para i∈{1016, 4555, 4589, 4600, 4607, 4998, 7035, 8709}, de ecuación:
(a - b) (a - c)y z + (b - c) (b - a)z x + (c - a) (c - b)x y = 0.
Su centro es X₆₆₃₁ y su perspector es el perspector de la .
Lunes, 20 de abril del 2020
El centro X(7971) y una circunferencia de Apolonio

El 20 de abril 1923, en Italia, Benito Mussolini suprime el recuerdo del Primero de Mayo (la masacre contra los obreros de Chicago). En España, la celebración del primero de mayo, sepultada con la guerra civil, reaparece en los años cincuenta transformada en Fiesta de San José Obrero, patrón de los trabajadores católicos, sugerida por la introducción (en 1955 por Pío XII) en el calendario oficial la festividad de San José Obrero, como patrón de los trabajadores, el día 1 de mayo.

Dado un triángulo ABC, se considera su reflexión A'B'C' en el incentro I=X₁. A" es la proyección ortogonal de A' en BC, Γ_a la circunferencia que pasa por I, A', A" y t_a la tangente en A' a Γ_a.
Los puntos B", C", las circunferencias Γ_b, Γ_c y las tangentes t_b, t_c se definen cíclicamente.
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La rectas t_a, t_a, t_a concurren en X₇₉₇₁:
(a (a^6-4 a^5 (b+c)+a^4 (b^2+6 b c+c^2)+8 a^3 (b-c)^2 (b+c)-a^2 (b-c)^2 (5 b^2+14 b c+5 c^2-4 a (b-c)^4 (b+c)+(b^2-c^2)^2 (3 b^2-2 b c+3 c^2))) : ... : ...),
reflexión de del en el incentro.

La ecuación baricéntrica de Γ_a es:
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) ((2 (a b c-b^2 c-b c^2) x)/(a+b+c)-((-a^3 c+3 a^2 b c-3 a b^2 c+b^3 c-3 a^2 c^2+4 a b c^2-b^2 c^2-a c^3-b c^3+c^4) y)/(2 (b-c) (a+b+c))-((a b+b^2-b c) (a^2+2 a b-b^2-2 a c+c^2) z)/(2 (b-c) (a+b+c)))=0.

Y la tangente t_a en A' es:
4 b (b-c) c (-a+b+c) x+c (a^3+3 b^3+a^2 (b-c)-b^2 c-3 b c^2+c^3-a (5 b^2-6 b c+c^2)) y-b (a^3+b^3-3 b^2 c-b c^2+3 c^3+a^2 (-b+c)-a (b^2-6 b c+5 c^2)) z = 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Sean O_a, O_b y O_c los centros de las circunferencias Γ_a, Γ_b y Γ_c, respectivamente.
O_a =((b-c) (-a+b+c) : -b (a+3 b-3 c) : c (a-3 b+3 c)).
El centro W de la circunferencia tangente exteriormente a las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c es el punto de intersección (distinto de I) de las hipérbolas Φ_a, Φ_b, Φ_c, que pasan por el incentro y con focos, respectivamente O_b y O_c, O_c y O_a, O_a y O_b.
Los números de búsqueda de W en son (5.4862651337, 10.0041462335, -5.8174052799).
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La hipérbola Φ_a pasa por los puntos de intersección de las circunferencias Γ_b y Γ_c y por sus simétricos respecto a su centro, además si DEF es el triángulo antipodal de ABC, su tangente en el incentro es la bisectriz del ángulo ∠EIF. En consecuencia, con estos cinco datos, su ecuación se puede determinar (ver §4.6, Tipos de haces de cónicas. Caso II).
Sábado, 18 de abril del 2020
X(554), X(1081) y X(5441) como centros de homotecia

El 18 de abril 1955 falleció, a los 76 años, Albert Einstein, físico alemán de origen judío, nacionalizado después suizo, austriaco y estadounidense. Uno de los intelectuales más creativos en la historia de la humanidad, cuyas avanzadas teorías de la relatividad y la gravitación revolucionaron la ciencia y la filosofía. Fallece en Princeton a causa una hemorragia interna, rechazó la cirugía, diciendo: "Quiero irme cuando quiero. Es de mal gusto prolongar artificialmente la vida. He hecho mi parte, es hora de irse. Yo lo haré con elegancia".

En un triángulo ABC, se considera el punto A_b simétrico de B respecto del punto de intersección de AC y la perpendicular por B a la bisectriz interior en A.
Sea H_ab el de A_b respecto a los puntos de corte con AB y AC de la perpendicular por A_b a AB.
Las proyecciones desde A_b sobre AB de los puntos de intersección de AC con la circunferencia de diámetro A_bH_ab, los designamos por B_ab y C_ab.

NOTA: El triángulo A_bB_abC_ab es la solución al problema de construcción de un triángulo del que se conocen un vértice A_b, la recta que contiene su lado opuesto BC, y la recta AC, que contiene a los pies de las alturas que no pasan por el vértice dado.

Se considera ahora el punto A_c, simétrico de C respecto del punto sobre AB y en la perpendicular por C a la bisectriz interior en A.
Sea H_ac el conjugado armónico de A_c respecto a los puntos de corte con AB y AC de la perpendicular por A_c a AC.
Las proyecciones desde A_c sobre AC de los puntos de intersección de AB con la circunferencia de diámetro A_cH_ac, los designamos por B_ac y C_ac.

Se tiene que las rectas ℓ_ab≔B_abB_ac y ℓ_ac≔C_abC_ac son paralelas a BC.

Procediendo cíclicamente se obtienen las rectas ℓ_bc, ℓ_ba, ℓ_ca y ℓ_cb.
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En coordenadas baricéntricas, se tienen las ecuaciones de las rectas:
ℓ_ab: 3 (b c-2SA)x + (3 a^2-3 (b-c)^2 + 2√‍3S) y + (3 a^2-3 (b-c)^2 + 2√‍3S)z = 0.
ℓ_ac: 3 (b c-2SA)x + (3 a^2-3 (b-c)^2 - 2√‍3S) y + (3 a^2-3 (b-c)^2 - 2√‍3S)z = 0.

Las rectas ℓ_ab, ℓ_bc, ℓ_ca forma un triángulo A'B'C', homotético con ABC, con centro de homotecia X₅₅₄:
(√‍3 (a+b-c)(a+b+c) + 2 S)( √‍3 (a-b+c)(a+b+c) + 2 S) : ... : ...).

Las rectas ℓ_ac, ℓ_ba, ℓ_cb forma un triángulo A"B"C", homotético con ABC, con centro de homotecia X₁₀₈₁:
(√‍3 (a+b-c)(a+b+c) - 2 S)( √‍3 (a-b+c)(a+b+c) - 2 S) : ... : ...).

M_ab=(3 (a^4+a^2 (-2 b^2+3 b c-2 c^2)+(b-c)^2 (b^2-b c+c^2)):0:9 b c (-a^2+b^2-b c+c^2)) es el punto medio de B_abC_ab y M_ac=(3 (a^4+a^2 (-2 b^2+3 b c-2 c^2)+(b-c)^2 (b^2-b c+c^2)):9 b c (-a^2+b^2-b c+c^2):0) es el punto medio de B_acC_ac.
Se definen cíclicamente los puntos M_bc, M_ba y M_ca, M_cb.
Las rectas M_abM_ac, M_bcM_ba y M_caM_cb forman un triángulo M_aM_bM_c, homotético con ABC, con centro de homotecia

W = ( (a + b - c) (a - b + c) /(a^2 - b^2 - b c - c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.00594153130308257, 0.0103849339211635, 3.63073266705292).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,30}, {2,7110}, {7,25417}, {57,2160}, {81,553}, {88,26723}, {105,5322}, {226,1255}, {274,17078}, {278,18688}, {1022,30726}, {1280,6742}, {1358,7313}, {1427,1989}, {2003,2982}, {2688,36064}, {3175,34892}, {3227,19796}, {3676,21141}, {8056,35466}, {8818,17056}, {14844,30571}, {15455,36805}, {20565,30710}, {27789,37635}.

El punto W está sobre la recta que pasa por el incentro y es paralela a la , donde también están X₅₅₄ y X₁₀₈₁. En dicha recta deben estar los centros de homotecia de los pares de triángulos (A'B'C', A"B"C"), (A'B'C', M_aM_bM_c) y (A"B"C", M_aM_bM_c), que en este caso, coinciden los tres en X₅₄₄₁:
(3 a^4-a^3 (b+c)-a^2 (2 b^2+b c+2 c^2)+a (b-c)^2 (b+c)-(b^2-c^2)^2 : ... : ...).
Martes, 14 de abril del 2020
Un problema de construcción de triángulos y el centro X(222)

El 14 de abril de 1629 nació Christiaan Huygens, científico neerlandés de vastos conocimientos: obtuvo resultados notables en la matemática, la mecánica aplicada y la óptica. A Huygens pertenece el honor de haber inventado el reloj de péndulo. Elaboró la teoría y construyó los primeros relojes de este tipo. Teorema de Huygens: La evoluta de una cicloide es una cicloide igual a ella, pero desplazada. Una tautócrona o curva isócrona es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamento en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida. La identificación de la tautócrona fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. Demostró geométricamente que la curva es un cicloide.

Vamos a utilizar la construcción de un triángulo del que se conocen un vértice, la recta que contiene su lado opuesto y la recta que contiene a los pies de las alturas que no pasan por el vértice dado, para obtener una construcción del X₂₂₂.
Dado un triángulo ABC, sea DEF el y D', E', F' los puntos antipodales de D, E, F en la circunferencia inscrita en ABC.

F'F_abF_ac es el triángulo tal que F_abF_ac está sobre la recta BC y los pies F'_ab y F'_ac de sus alturas desde F_ab y F_ac están sobre la recta AC.

E'E_abE_ac es el triángulo tal que E_abE_ac está sobre la recta AC y los pies E'_ab y E'_ac de sus alturas desde E_ab y E_ac están sobre la recta AB.
Los cuatro puntos F'_ab, F'_ac, E'_ab y E'_ac están sobre una circunferencia Γ_a, cuyo centro O_a está sobre la bisectriz interior en A.
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Utilizando coordenadas baricéntricas en la referencia ABC:
E'_ab, E'_ac = ( (a-b-c) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-a^3 c+7 a^2 b c+a b^2 c-7 b^3 c-a^2 c^2-6 a b c^2+7 b^2 c^2+a c^3-b c^3± Sqrt[(a^2-(b-c)^2)^3(a^2-b^2+6 b c-c^2)]) : 0 : -c (-a+b+c)^2 (-a^2+b^2-6 b c+c^2)).

El centro de la circunferencia Γ_a es:
O_a = (6 a^3 b c-a^4 (b+c)-(b-c)^2 (b+c)^3-2 a b c (3 b^2-2 b c+3 c^2)+2 a^2 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3) :
b (-a^2+b^2+c^2) (-a^2+b^2-6 b c+c^2) :
c (-a^2+b^2+c^2) (-a^2+b^2-6 b c+c^2)).
La ecuación de la polar p_a de A respecto a la circunferencia Γ_a es:
b c (-a + b + c) x - c (-a + c) (a - b + c) y - b c (-a+b+c) x-c (-a+c) (a-b+c) y-b (-a+b) (a+b-c) z = 0.
Procediendo cíclicamente, se definen las circunferencia Γ_b y Γ_c, se obtienen las coordenadas de sus centros O_b y O_c, y las ecuaciones de sus polares p_b y p_c.
El triángulo A'B'C' formado por las rectas p_a, p_b y p_c es perspectivo con DEF y el centro de perspectividad es X₂₂₂:
((a^2 /(b+c-a) : (b^2 S_B)/(a-b+c) : (c^2 S_C)/(a+b-c)).

Como los centros O_a, O_b, O_c de las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c están sobre las bisectrices interiores de ABC, los triángulos A'B'C' y O_aO_bO_c son y un centro ortológico es el incentro.
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El centro órtologico de A'B'C' respecto a O_aO_bO_c es:
Z = ( a(a+b-c)(a-b+c)(3 a^5 -5 a^4 (b+c)+2 a^3 (4 b^2-b c+4 c^2)-8 a^2 (b-c)^2 (b+c) +a (5 b^4+2 b^3 c-22 b^2 c^2+2 b c^3+5 c^4)-3 (b-c)^2 (b+c)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-1.43398497003681, -1.67417150730665, 5.46154551159828).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {516,21147}, {4488,8270}, {4862,34036}.

La matriz M asociada de la transformación afín que aplica ABC en A'B'C' tiene las entradas:
M[1,1] = -a^2 (-a^2 + (b - c)^2) (-a^2 + b^2 + c^2)
M[1,2] = -a (a - c) (a^4 - 2 a^2 b (b - c) + (b - c)^3 (b + c))
M[1,3] = -(a - b) (a^5 + 2 a^3 (b - c) c - a (b - c)^3 (b + c))
Su punto fijo propio, correspondiente al valor propio λ=(b^2+c^2-a^2) (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2), es:
U = ( a (a^3+a^2 (b+c)-a (b+c)^2-(b-c)^2 (b+c))/((a-b-c) (b-c) (a^2-b^2-c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (0.113126903796815, -0.151820879914510, 3.69355882778820).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,34040}, {33,11372}, {34,1830}, {100,7012}, {108,109}, {196,3195}, {221,7952}, {222,36996}, {651,1897}, {1455,15500}, {1457,37305}, {1783,4559}, {1785,34789}, {1870,10698}, {1877,12751}, {2800,36121}, {4551,31511}, {6198,21669}, {7046,34048}, {10702,21147}, {10731,18340}, {36044,36059}.

La matriz M asociada de la transformación afín que aplica ABC en tiene las entradas:
M[1,1] =-a (3 a^2-2 a b+3 b^2-3 c^2) (3 a^2-3 b^2-2 a c+3 c^2) (-6 a^3 b c+a^4 (b+c)+(b-c)^2 (b+c)^3+2 a b c (3 b^2-2 b c+3 c^2)-2 a^2 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3))
M[1,2] = ,-a b (3 a^2-2 a b+3 b^2-3 c^2) (3 a^6-18 a^5 c+12 a^3 b (3 b-c) c-(b^2-c^2)^2 (3 b^2-2 b c+3 c^2)+a^4 (-9 b^2+2 b c+3 c^2)+a^2 (9 b^4-4 b^3 c-6 b^2 c^2+4 b c^3-3 c^4)+6 a c (-3 b^4+2 b^3 c-2 b c^3+3 c^4))
M[1,3] = -a c (3 a^2-3 b^2-2 a c+3 c^2) (3 a^6-18 a^5 b-12 a^3 b (b-3 c) c+a^4 (3 b^2+2 b c-9 c^2)-(b^2-c^2)^2 (3 b^2-2 b c+3 c^2)+6 a b (3 b^4-2 b^3 c+2 b c^3-3 c^4)+a^2 (-3 b^4+4 b^3 c-6 b^2 c^2-4 b c^3+9 c^4))
Su punto fijo propio, correspondiente al valor propio
λ=a b c (a+b+c) (3 a^2-2 a b+3 b^2-3 c^2) (3 a^2-3 b^2+2 b c-3 c^2) (3 a^2-3 b^2-2 a c+3 c^2),
es:
V = ( ( 3 S_A - b c )/( S_A ( S_A - 3 b c )) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (1.37131407442394, 1.18493009537510, 2.18741407383672).
Este punto está en la recta X₄X₇₃₂₀.
V = r(2r^2-16r R+32R^2+s^2) X₄ + 4(r+12R)((r+2R)^2-s^2) X₇₃₂₀,
Donde r y R son los radios de la circunferencias inscrita y circunscrita, y s es el semiperímetro de ABC.
Domingo, 12 de abril del 2020
Tres formas diferentes de construir un punto de una cierta cónica

El 12 de abril de 1852 nació Carl Louis Ferdinand von Lindemann, matemático alemán. Es conocido por la demostración en 1882 de que el número π es un número trascendente, es decir, no es cero de algún polinomio con coeficientes racionales.

Partiendo de un punto P sobre la de un triángulo ABC, vamos a exponer la construcción, siguiendo tres métodos distintos, un mismo punto Q de la cónica
(
𝔖_{_{abc xyz}} b^2 c^2 ( b^2 c^2 (b^2-c^2)^4 (a^2-b^2-c^2)x^2+2 (a^6) ((a^2-b^2)^2) ((a^2-c^2)^2) y z) = 0.
)
𝒞, que pasa los X_i, para i ∈ {3, 6, 24, 60, 143, 1511, 1986, 6593, 15460, 15461, 19118, 20806, 35602, 35603, 36153}. Su centro es X₂₇₈₆₆ y su es X₂₇₈₆₇.

PRIMER MÉTODO (Alexandr Skutin and Ercole Suppa, Hyacinthos 28625)

Sean K_a, K_b, K_c los de los triángulos PBC, PCA, PAB, respectivamente. Las reflexiones de PK_a, PK_b, PK_c en BC, CA, AB, respectivamente, concurren en el punto Q, sobre la cónica 𝒞.
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SEGUNDO MÉTODO (Randy Hutson, August 19, 2019, X₂₇₈₆₆)

Sea DEF el de P y D', E', F', respectivamente, los inversos de D, E, F en la circunferecia circunscrita a ABC. Las rectas AD', BE', CF' concurren en el punto Q, sobre la cónica 𝒞.
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TERCER MÉTODO

Sea P' el de P, que está sobre la , y A'B'C' su triángulo ceviano.
La circunferencia que pasa por A, B, A' corta de nuevo a AC en A_b y la circunferencia que pasa por A, C, A' corta de nuevo a AB en A_c. La perpendicular por A' a BC corta a A_bA_c en A". Los puntos B", C" se definen cíclicamente.
Las rectas AA", BB", CC" concurren en un punto Q', conjugado isogonal de Q.
El lugar geomñetrico de Q', cuando P varía en la recta de Euler, es la cuártica
( (-a^10+3 a^8 b^2-2 a^6 b^4-2 a^4 b^6+3 a^2 b^8-b^10+a^8 c^2-4 a^6 b^2 c^2+6 a^4 b^4 c^2-4 a^2 b^6 c^2+b^8 c^2) x^2 y^2+(2 a^10-4 a^8 b^2+2 a^6 b^4-4 a^8 c^2+8 a^6 b^2 c^2-4 a^4 b^4 c^2+2 a^6 c^4-4 a^4 b^2 c^4+2 a^2 b^4 c^4) x^2 y z+(2 a^4 b^6-4 a^2 b^8+2 b^10-4 a^4 b^4 c^2+8 a^2 b^6 c^2-4 b^8 c^2+2 a^4 b^2 c^4-4 a^2 b^4 c^4+2 b^6 c^4) x y^2 z+(-a^10+a^8 b^2+3 a^8 c^2-4 a^6 b^2 c^2-2 a^6 c^4+6 a^4 b^2 c^4-2 a^4 c^6-4 a^2 b^2 c^6+3 a^2 c^8+b^2 c^8-c^10) x^2 z^2+(2 a^4 b^4 c^2-4 a^4 b^2 c^4-4 a^2 b^4 c^4+2 a^4 c^6+8 a^2 b^2 c^6+2 b^4 c^6-4 a^2 c^8-4 b^2 c^8+2 c^10) x y z^2+(a^2 b^8-b^10-4 a^2 b^6 c^2+3 b^8 c^2+6 a^2 b^4 c^4-2 b^6 c^4-4 a^2 b^2 c^6-2 b^4 c^6+a^2 c^8+3 b^2 c^8-c^10) y^2 z^2 = 0)
𝒬 (conjugada isogonal de la cónica 𝒞) de ecuación baricéntrica:
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 (a^2-b^2)^2 (a^2-c^2)^2 x^2 y z = 𝔖_{_{abc xyz SASBSC}} (b^2-c^2)^4 S_A y^2 z^2.
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La cuártica 𝒬 pasa por los vértices A, B, C (dobles) y por los centros X_i, para i∈{2, 4, 12, 68, 252, 1312, 1313, 5627, 6340, 6526, 10415, 12028, 13853, 13854, 32132, 32133, 34110}.
Sábado, 11 de abril del 2020
Centro de perspectividad de los triangulos de referencia y tangencial de Jenkins

El 11 de abril de 1986 el cometa Halley alcanza su perigeo, o punto más cercano a la Tierra, en su último periodo orbital de 76 años. Su siguiente aparición ocurrirá a mediados de 2061 y su próximo afelio está previsto para finales de 2023.

Jenkins Circles

Boris Odehnal, "Some Triangle Centers Associated with the Circles Tangent to the Excircles," http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf

Las circunferencias de Jenkins de un triángulo ABC son las tres circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos.

La A-circunferencia de Jenkins
( a^2 b x^2+2 a b^2 x^2+b^3 x^2+a^2 c x^2+2 a b c x^2+b^2 c x^2+2 a c^2 x^2+b c^2 x^2+c^3 x^2+2 a^2 b x y+2 a b^2 x y+2 a^2 c x y-2 b c^2 x y-2 c^3 x y+a^2 b y^2-b^3 y^2+a^2 c y^2-2 a b c y^2-b^2 c y^2-2 a c^2 y^2+b c^2 y^2+c^3 y^2+2 a^2 b x z-2 b^3 x z+2 a^2 c x z-2 b^2 c x z+2 a c^2 x z-2 a^2 b y z-2 a b^2 y z-2 a^2 c y z-4 a b c y z-2 a c^2 y z+a^2 b z^2-2 a b^2 z^2+b^3 z^2+a^2 c z^2-2 a b c z^2+b^2 c z^2-b c^2 z^2-c^3 z^2 = 0)
y la A-circunferencia exinscrita
( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z-1/4 (x+y+z) ((a+b+c)^2 x+(a+b-c)^2 y+(a-b+c)^2 z) = 0)
son tangentes en el punto de coordenadas baricéntricas:
T_a = (-(a+b-c) (a-b+c) (b+c)^2 : c^2 (a-b+c) (a+b+c) : b^2 (a+b-c) (a+b+c)).
El centro de la A-circunferencia de Jenkins es:
J_a = (2 a^4 (b+c)+(b-c)^2 (b+c)^3-a (b^2-c^2)^2+a^3 (3 b^2+4 b c+3 c^2)-a^2 (b^3+b^2 c+b c^2+c^3):
-(b-c) c^2 (b+c)^2-a^3 (2 b^2+2 b c+c^2)-a^2 (2 b^3+2 b^2 c+b c^2+c^3)+a c (-2 b^3-b^2 c+2 b c^2+c^3):
b^2 (b-c) (b+c)^2-a^3 (b^2+2 b c+2 c^2)+a b (b^3+2 b^2 c-b c^2-2 c^3)-a^2 (b^3+b^2 c+2 b c^2+2 c^3)).
Las coordenadas de los puntos T_b, T_c y J_b, J_c se deducen por permutación cíclica.

Las rectas AT_a, BT_b y CT_c concurren en X(3596) = 1st Odehnal Point:
((b+c-a)/a^2 : (a-b+c)/b^2 : (a+b-c)/c^2).
Las rectas AJ_a, BJ_b y CJ_c concurren en X(3597) = 2nd Odehnal Point:
(1/(a^5+a^4 b-a^3 b^2-a^2 b^3+a^4 c+2 a^3 b c-a^2 b^2 c-2 a b^3 c-a^3 c^2-a^2 b c^2-2 a b^2 c^2-2 b^3 c^2-a^2 c^3-2 a b c^3-2 b^2 c^3) :...:...).

Las circunferencias B-circunferencia de Jenkins y la C-circunferencia de Jenkins se cortan, además de en el , en:
U = (b^3+b^2 c+b c^2+c^3+a^2 (b+c)+2 a (b^2+b c+c^2) : (-a^2+(b-c)^2) (a+c) : -(a+b) (a^2-(b-c)^2)).
Cíclicamente se definen los puntos V y W. Sea DEF el del .

Los triángulos DEF y UVW son perspectivos y el centro de perspectividad es X(3687):
((b+c-a) (a b+b^2+a c+c^2) : (a-b+c) (a^2+a b+b c+c^2) : (a+b-c) (a^2+b^2+a c+b c)).

Las tangentes en los puntos T_a, T_b y T_c a las correspondientes circunferencia exinscritas forman un triángulo A'B'C', que podemos llamar tiángulo tangencial de Jenkins, perspectivo con ABC, con centro de perspectividad:
J = ( (b+c)/(a^3 (b+c)+a^2 b c-a (b-c)^2 (b+c)-b c (b+c)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (3.25704532583740, 5.70279605927079, -1.81067678643574).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,43}, {76,3687}, {226,2092}, {284,14534}, {321,21033}, {946,3597}, {3452,34258}, {4052,22020}, {5929,8808}, {6685,11358}, {9565,12053}, {14923,24996}.
( Mostrar/Ocultar figura )
A' = (b c (-3 a^3 (b+c)+b c (b+c)^2-a^2 (2 b^2+3 b c+2 c^2)+a (b^3+b^2 c+b c^2+c^3)):
a (a+c) (a^2 b (2 b-c)+a^3 (b+c)+b c (b^2-c^2)+a (b^3-b^2 c-b c^2-c^3)):
a (a+b) (-b^3 c+b c^3+a^3 (b+c)+a^2 c (-b+2 c)-a (b^3+b^2 c+b c^2-c^3))).
El centro J es la intersección de la recta que pasa por el ortocentro y el del simediano y el incentro, con la recta que pasa por el del simediano y X(3687) (centro de perspectividad de DEF y UVW).

El punto J ha sido incorporado a ETC con el número X(37865).

Sean T_ab y T_ac los puntos de tangencia de la A-circunferencia de Jenkins con las circunferencias B-exinscrita y C-exinscrita, respectivamente. Los puntos T_bc, T_ba y T_ca, T_cb, se definen cíclicamente.
Según una observación (en comunicación personal) de César Lozada, se tiene:
El triángulo A"B"C" formado por las rectas T_abT_ac, T_bcT_ba, T_caT_cb es perspectivo con ABC y el centro de perspectividad es:

Z = ( (b+c) (-a+b+c)/(a^2 b^2+a b^3+3 a^2 b c+a b^2 c+b^3 c+a^2 c^2+a b c^2+2 b^2 c^2+a c^3+b c^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (4.57674437778157,1.85522742814725,0.243932703444792).
Es el punto está sobre la recta X₁₄₆₂₄X₁₇₇₅₁.
( Mostrar/Ocultar figura )
A'' = (2 a^5 (b+c)+b^2 c^2 (b+c)^2+a^4 (5 b^2+8 b c+5 c^2)+a b c (3 b^3+7 b^2 c+7 b c^2+3 c^3)+a^3 (4 b^3+13 b^2 c+13 b c^2+4 c^3)+a^2 (b^4+10 b^3 c+15 b^2 c^2+10 b c^3+c^4):
(a+c) (-b^4 c+b^2 c^3+a^4 (b+c)+a^3 (b^2+b c+2 c^2)-a b (b^3-b^2 c+b c^2-3 c^3)+a^2 (-b^3+2 b^2 c+3 b c^2+c^3)):
a^5 (b+c)+b^2 c^2 (b^2-c^2)+a^4 (3 b^2+2 b c+c^2)+a b c (3 b^3+b c^2-2 c^3)+a^3 (3 b^3+4 b^2 c+3 b c^2-c^3)+a^2 (b^4+6 b^3 c+b^2 c^2-c^4)).
Miércoles, 8 de abril del 2020
Triángulos ortológicos con el mismo centro ortológico. Imagen Kirikami-Euler

El 8 de abril de 2013 falleció, a la edal de 95 años, José Luis Sampedro escritor, humanista y economista español que abogó por una economía «más humana, más solidaria, capaz de contribuir a desarrollar la dignidad de los pueblos». Algunas de sus novelas: El río que nos lleva (1961), La sonrisa etrusca (1985), La vieja sirena (1990).

Kirikami-Euler image

Let P be a point in the plane of triangle ABC. Let H_a be the orthocenter of triangle PBC, and define H_b and H_c cyclically. The Euler lines of the triangles AH_bH_c, BH_cH_a, CH_aH_b concur in the Kirikami-Euler image of P. Let P be given by barycentrics p : q : r. Then Q is given by

Q = g(a,b,c,p,q,r) : g(b,c,a,q,r,p) : g(c,a,b,r,p,q), where g(a,b,c,p,q,r) = p/[(a² - b² - c²)p² + (a² - b² + c²)pq + (a² + b² - c²)pr + 2a²qr]

If P = X(2), then Q = X(5485). (Seichii Kirikami, May 20, 2013)

The Kirikami-Euler image K(P) of a point P is related to the mapping H(P) called "pedal antipodal perspector", defined in Hyacinthos #20403 and #20405, November 2011, by Randy Hutson, with general coordinates given in #20404 by Francisco Javier. X(5485) = H(X(i)) for i = 6 and i = 187. In general, K(P) = H(P*) = H(P*), where P* denotes the isogonal conjugate of P, and Pⁿ= (inverse-in-circumcircle of P*)=(); for example, K(X(1)) = X(8), K(X(3)) = X(68), and K(X(6)) = X(5486). (Randy Hutson, May 22, 2013)

Dados un triángulo ABC, un punto P y un triángulo A'B'C', con ABC, tal que sus dos centros ortológicos coincidan en P. Las rectas AA', BB', CC' concurren en un punto P' sobre la circun-hipérbola c(P) que pasa por P. Sea H' es el ortocentro de A'B'C' (está sobre la tangente a c(P) en P).
La recta H'P' pasa por un punto fijo P_o sobre c(P), cuando el triángulo A'B'C' varía.
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Usamos coordenadas baricéntricas respecto a ABC. Tomemos un punto arbitrario A' sobre la perpendicular a BC por P=(u:v:w):
A' = (-2 a^2 u : (-b^2+c^2) t u-a^2 (2 v+t (u+2 v)) : (b^2-c^2) t u-a^2 (2 w+t (u+2 w))),
los otros dos vértices del triángulo A'B'C' ortológico con ABC, tal que sus centros ortológicos coincidan em P, son:
B' = (u ((b^2-c^2) t u+a^2 (2 v+t (u+2 v))) : -2 b^2 t u^2+2 a^2 (1+t) v^2 : (b^2+c^2) t u^2+a^2 (-t u^2+2 v w+2 t v w)),

C' = (u ((-b^2+c^2) t u+a^2 (2 w+t (u+2 w))) : (b^2+c^2) t u^2+a^2 (-t u^2+2 v w+2 t v w) : -2 c^2 t u^2+2 a^2 (1+t) w^2).
Las rectas AA', BB', CC' concurren en:
P' = (u (a^2 t u+b^2 t u-c^2 t u+2 a^2 v+2 a^2 t v) (-a^2 t u+b^2 t u-c^2 t u-2 a^2 w-2 a^2 t w):
-(a^2 t u+b^2 t u-c^2 t u+2 a^2 v+2 a^2 t v) (-a^2 t u^2+b^2 t u^2+c^2 t u^2+2 a^2 v w+2 a^2 t v w):
(-a^2 t u+b^2 t u-c^2 t u-2 a^2 w-2 a^2 t w) (-a^2 t u^2+b^2 t u^2+c^2 t u^2+2 a^2 v w+2 a^2 t v w)).
El lugar geométrico que describe P', cuando el triángulos A'B'C' varía, es la hipérbola rectangular circunscrita a ABC y que pasa por P:
c(P): u (a^2 (-v+w)+(b^2-c^2) (v+w))y z + v (b^2 (u-w)-a^2 (u+w)+c^2 (u+w))z x + w(c^2 (-u+v)+a^2 (u+v)-b^2 (u+v)) x y = 0.
Si H' es el ortocentro de A'B'C', cuando t varía, la recta H'P' pasa por un punto fijo P_o (Kirikami-Euler imagen K(P) de P), sobre c(P):
P_o = ( u/(u^2-(S_Bv+S_Cw)u-a^2v w) : v/(S_Bv^2-(S_Cw+S_Au)v-b^2w u) : w/(S_Cw^2-(S_Au+S_Bv)w-c^2u v)).

En particular, si P=X₁₁ es el , entonces P₁₁ ≔ P_o=X₄X₅₁₃∩X₈X₈₈₅, es decir el punto de intersección de la recta que pasa por el ortocentro y el del del punto de Feuerbach, con la recta que pasa por el y por el de la recta que pasa por el punto de Feuerbach y el de la . "Kirikami-Euler image of X(11)":
P₁₁ = ( b c(b-c)^3 (b+c-a)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-20.0905239981179,18.6931687590995,-0.0282105060300865).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,33528}, {4,513}, {8,885}, {10,522}, {85,693}, {158,17924}, {341,4397}, {442,1577}, {499,905}, {514,946}, {521,6238}, {667,2217}, {900,14304}, {1212,28143}, {1734,18395}, {2401,3086}, {2517,11024}, {3667,9948}, {3704,4086}, {3762,6366}, {4462,20220}, {6554,28132}, {14505,23100}, {16732,21134}, {21132,23615}, {30591,31936}.

Cuando P está sobre la circunferencia circunscrita, el punto fijo P_o es el ortocentro.
Otros puntos fijos {P∈{X_i, X_j}, P_o=X_k}, para los índices {{i,j},k}:

{{1, 80}, 8}, {{2, 671}, 5485}, {{3, 265}, 68}, {{5, 1263}, 25043}, {{6, 67}, 5486}, {{7, 1156}, 34919}, {{13, 14}, 2}, {{15, 11600}, 19778}, {{16, 11601}, 19779}, {{17, 11602}, 5487}, {{18, 11603}, 5488}, {{20, 10152}, 33893}, {{54, 33565}, 13418}, {{79, 3065}, 10266}, {{84}, 10309}, {{113}, 34104}, {{115, 6328}, 23105}, {{125}, 5489}, {{186, 5962}, 562}, {{485}, 5490}, {{486}, 5491}, {{502, 5620}, 6757}, {{2009, 2010}, 76}, {{3479}, 36304}, {{3480}, 36305}, {{10215}, 7057}, {{34221, 34222}, 6}.

O bien, ordenados por el punto fijo:

{{13, 14}, 2}, {{34221, 34222}, 6}, {{1, 80}, 8}, {{3, 265}, 68}, {{2009, 2010}, 76}, {{186, 5962}, 562}, {{2, 671}, 5485}, {{6, 67}, 5486}, {{17, 11602}, 5487}, {{18, 11603}, 5488}, {{125}, 5489}, {{485}, 5490}, {{486}, 5491}, {{502, 5620}, 6757}, {{10215}, 7057}, {{79, 3065}, 10266}, {{84}, 10309}, {{54, 33565}, 13418}, {{15, 11600}, 19778}, {{16, 11601}, 19779}, {{115, 6328}, 23105}, {{5, 1263}, 25043}, {{20, 10152}, 33893}, {{113}, 34104}, {{7, 1156}, 34919}, {{3479}, 36304}, {{3480}, 36305}.
Martes, 7 de abril del 2020
Trapecios isósceles construidos sobre las bisectrices de un triángulo

El 7 de abril de 1761 fallece, a la edad de 59 años, Thomas Bayes matemático británico y ministro presbiteriano. Su obra más conocida es el Teorema de Bayes, utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.

Dado un triángulo ABC, sean DEF el y A'B'C' el . Se consideran los trapecios isósceles AA'A_bE y AA'A_cF con AA' paralelo a A_bE y a A_cF. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b se definen cíclicamente.
En coordenadas baricéntricas:
A_b = (b (b+c)^2-a^2 (b+2 c) : b (a^2-b^2+c^2) : 2 c^2 (b+c)),

A_c = (-c (b+c)^2+a^2 (2 b+c),-2 b^2 (b+c),c (-a^2-b^2+c^2)).
( Mostrar/Ocultar figura )
El triángulo UVW formado por las rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b es perspectivo al triángulo medial. El centro de perspectividad es el punto medio de X₇₃ y X₂₃₃₆₁:

Z = ( a^2 (2 a^2+a (b+c)-(b-c)^2) (a^2 (b+c)-a b c-b^3-c^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-6.52905418576988, -8.22151795123758, 12.3458942261965).
Es el punto medio de X₇₃ y X₂₃₃₆₁.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,15232}, {3,14529}, {5,515}, {6,41}, {36,1437}, {407,2646}, {942,4719}, {1064,23383}, {1147,26286}, {1457,23846}, {1464,22345}, {1511,2779}, {3185,10571}, {3720,34471}, {4337,7428}, {4999,34831}, {11281,17045}, {15622,33537}, {22076,35069}.

El punto Z ha sido incorporado a ETC con el número X(37836).

Las cordenadas de U son:
(a^2 (2 a^2-(b-c)^2+a (b+c)) : b (a^3-b^2 c+c^3+a^2 (-b+c)+a (-2 b^2+b c+c^2)) :c (a^3+b^3+a^2 (b-c)-b c^2+a (b^2+b c-2 c^2))).

Los triángulos ABC y UVW son . El centro de ortología de ABC respecto a UVW es el circuncentro y el centro de ortología de UVW respecto a ABC es:

Q = ( a( -(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+(b-c)^2 (3 b^3+b^2 c+b c^2+3 c^3) a+4 b (b-c)^2 c a^2+(-6 b^3+2 b^2 c+2 b c^2-6 c^3)a^3+(3 b^2-4 b c+3 c^2) a^4+3 (b+c) a^5-2 a^6) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (20.3975338271681, 21.8284856247054, -20.8856104092739).
Es el punto medio de X_i y X_j para los índices {i,j}: {1,11500}, {3,6261}, {960,9942}, {1490,12114}, {3811,22770}, {4297,6260}, {5534,12513}, {5709,12635}, {6256,18481}, {6326,22775}, {12119,12761}.
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: 5450,13624}, {12616,140}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,227}, {3,960}, {4,2646}, {5,515}, {8,6962}, {20,5057}, {21,12671}, {30,12608}, {35,12672}, {36,1071}, {40,5440}, {56,12675}, {65,6905}, {72,2949}, {78,3428}, {84,7987}, {104,12680}, {140,12616}, {165,7971}, {214,2829}, {355,6863}, {392,10902}, {405,1490}, {411,4511}, {517,6796}, {518,11249}, {549,33899}, {908,11827}, {912,26286}, {944,1319}, {946,4314}, {950,7681}, {952,10916}, {956,17857}, {958,5720}, {971,5450}, {993,5777}, {1006,12664}, {1012,3612}, {1155,6942}, {1455,1745}, {1479,22835}, {1512,10950}, {1519,6284}, {1532,10572}, {1836,6934}, {2095,12559}, {2478,5731}, {2800,3579}, {2975,14872}, {3057,11491}, {3486,6848}, {3523,14647}, {3586,10893}, {3601,11496}, {3616,6835}, {3655,24927}, {3683,6875}, {3689,12245}, {3748,10595}, {3811,22770}, {3812,6911}, {3817,35016}, {3838,6917}, {3897,6933}, {3916,5693}, {4018,5535}, {4192,30986}, {4324,34789}, {4679,5658}, {4855,10310}, {4881,18239}, {5086,6960}, {5087,6256}, {5219,10894}, {5231,5881}, {5252,10786}, {5253,18444}, {5258,18908}, {5267,31803}, {5288,5531}, {5428,17502}, {5438,30503}, {5534,12513}, {5660,12762}, {5709,12635}, {5768,7288}, {5787,6861}, {5790,31494}, {5794,6825}, {5836,11499}, {5880,6885}, {5882,11019}, {5886,24299}, {6245,6675}, {6253,15950}, {6684,12447}, {6744,13607}, {6826,28628}, {6827,25681}, {6868,24703}, {6880,24914}, {6906,12688}, {6907,17647}, {6914,31937}, {6924,34339}, {6927,18391}, {6938,12679}, {6947,24954}, {6949,17606}, {6954,26066}, {7280,15071}, {7680,13411}, {7967,20323}, {8261,10202}, {9615,19068}, {9945,31777}, {10167,16132}, {10179,16202}, {10268,15829}, {10391,22766}, {10395,20418}, {10532,17718}, {10582,12650}, {10680,34791}, {10826,21842}, {10884,18238}, {10914,11014}, {11220,12666}, {11344,19861}, {11374,26332}, {11376,12116}, {11715,12019}, {12119,12761}, {12332,15015}, {12699,33596}, {12705,30282}, {13369,32612}, {13464,22991}, {13600,25439}, {14646,21735}, {15481,31835}, {16616,19541}, {18443,25524}, {20117,31445}, {25440,31788}, {26287,28160}, {30144,31786}, {31162,33595}, {32153,32159}.
Lunes, 6 de abril del 2020
La cúbica K088

El 6 de abril de 1992 falleció, a los 72 años, Isaac Asimov, bioquímico nacido en Rusia pero nacionalizado estadounidense. Prolífico y existoso escritor de ciencia ficción y de obras de divulgación científica, entre estas "Alpha Centauri. La estrella más próxima".

Dado un triángulo ABC con baricentro G, K y S, sean M un punto sobre la recta GK, Γ_M la circunferencia que pasa por G,M,S, y 𝒞_M la que pasa por G y M. Γ_M y 𝒞_M son tangentes en G y se vuelven a corta en un punto P.
El lugar geométrico de P, cuando M se mueve sobre GK, es la cúbica K088, del catálogo de Bernard Gibert.
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Si en coordenadas baricéntricas:
M=(b^2+c^2+a^2 (1+3 t) : a^2+c^2+b^2 (1+3 t) : a^2+b^2+c^2 (1+3 t)),
entonces:
P = (( b^2 -c^2 )(a^2+b^2+c^2+3 a^2 t) / ((a^2+b^2+c^2) (2 a^6-6 a^4 b^2+9 a^2 b^4-b^6-6 a^4 c^2-3 b^4 c^2+9 a^2 c^4-3 b^2 c^4-c^6)+3 (a^6 b^2+2 a^4 b^4+a^2 b^6+a^6 c^2-16 a^4 b^2 c^2+8 a^2 b^4 c^2-2 b^6 c^2+2 a^4 c^4+8 a^2 b^2 c^4-4 b^4 c^4+a^2 c^6-2 b^2 c^6)t) : ... : ...).
La ecuación implícita del lugar descrito por el punto P es K088:
𝔖_{_{abc xyz}} y z ((a^4+(b^2+c^2)^2) (y+z)+a^2 (c^2 (2 y-7 z)+b^2 (2 z-7 y))) =
(6 a^4-6 a^2 b^2+6 b^4-6 a^2 c^2-6 b^2 c^2+6 c^4) x y z.

Una construcción del punto P: El de Γ_M y la circunferencia circunscrita a ABC corta la cónica circuncscrita que pasa por G y S en el punto D. La recta GD pasa por P.
Sábado, 4 de abril del 2020
Centro ortológico del triángulo órtico respecto al triángulo media-altura

Hoy 4 de abril de 2020 ha fallecido, a los 76 años de edad, Luis Eduardo Aute, uno de los principales referentes de la canción de autor en España. Poeta, pintor, escultor y director de cine, destacó sobre todo como cantautor, con la publicación de más de una veintena de discos de estudio y temas como "Al alba" (inspirada en los últimos fusilamientos del franquismo, una canción que mucha gente creyó de amor, e incluso algo dulzona, pero que es un grito de angustia y de reproche contra la pena de muerte), "Rosas en el mar" o "La belleza".

Dado un triángulo ABC de circuncentro O=X₃ y ortocentro H=X₄, sus lados AB y AC cortan a una recta variable perpendicular a AO, en los puntos A_b y A_c, respectivamente. La envolvente de la recta que pasa por las proyecciones ortogonales de A_b y A_c sobre BO y CO es una parábola
( a^12 b^4 x^2-6 a^10 b^6 x^2+15 a^8 b^8 x^2-20 a^6 b^10 x^2+15 a^4 b^12 x^2-6 a^2 b^14 x^2+b^16 x^2-2 a^12 b^2 c^2 x^2+6 a^10 b^4 c^2 x^2-4 a^8 b^6 c^2 x^2-4 a^6 b^8 c^2 x^2+6 a^4 b^10 c^2 x^2-2 a^2 b^12 c^2 x^2+a^12 c^4 x^2+6 a^10 b^2 c^4 x^2-22 a^8 b^4 c^4 x^2+24 a^6 b^6 c^4 x^2-11 a^4 b^8 c^4 x^2+2 a^2 b^10 c^4 x^2-6 a^10 c^6 x^2-4 a^8 b^2 c^6 x^2+24 a^6 b^4 c^6 x^2-4 a^4 b^6 c^6 x^2+6 a^2 b^8 c^6 x^2-16 b^10 c^6 x^2+15 a^8 c^8 x^2-4 a^6 b^2 c^8 x^2-11 a^4 b^4 c^8 x^2+6 a^2 b^6 c^8 x^2+30 b^8 c^8 x^2-20 a^6 c^10 x^2+6 a^4 b^2 c^10 x^2+2 a^2 b^4 c^10 x^2-16 b^6 c^10 x^2+15 a^4 c^12 x^2-2 a^2 b^2 c^12 x^2-6 a^2 c^14 x^2+c^16 x^2+2 a^12 b^4 x y-12 a^10 b^6 x y+30 a^8 b^8 x y-40 a^6 b^10 x y+30 a^4 b^12 x y-12 a^2 b^14 x y+2 b^16 x y-4 a^12 b^2 c^2 x y+16 a^10 b^4 c^2 x y-28 a^8 b^6 c^2 x y+32 a^6 b^8 c^2 x y-28 a^4 b^10 c^2 x y+16 a^2 b^12 c^2 x y-4 b^14 c^2 x y+2 a^12 c^4 x y+8 a^10 b^2 c^4 x y-36 a^8 b^4 c^4 x y+48 a^6 b^6 c^4 x y-30 a^4 b^8 c^4 x y+8 a^2 b^10 c^4 x y-12 a^10 c^6 x y+4 a^8 b^2 c^6 x y+32 a^6 b^4 c^6 x y-8 a^4 b^6 c^6 x y-20 a^2 b^8 c^6 x y+4 b^10 c^6 x y+30 a^8 c^8 x y-16 a^6 b^2 c^8 x y-30 a^4 b^4 c^8 x y-4 a^2 b^6 c^8 x y-4 b^8 c^8 x y-40 a^6 c^10 x y+4 a^4 b^2 c^10 x y+16 a^2 b^4 c^10 x y+4 b^6 c^10 x y+30 a^4 c^12 x y+8 a^2 b^2 c^12 x y-12 a^2 c^14 x y-4 b^2 c^14 x y+2 c^16 x y+a^12 b^4 y^2-6 a^10 b^6 y^2+15 a^8 b^8 y^2-20 a^6 b^10 y^2+15 a^4 b^12 y^2-6 a^2 b^14 y^2+b^16 y^2-2 a^12 b^2 c^2 y^2+10 a^10 b^4 c^2 y^2-24 a^8 b^6 c^2 y^2+36 a^6 b^8 c^2 y^2-34 a^4 b^10 c^2 y^2+18 a^2 b^12 c^2 y^2-4 b^14 c^2 y^2+a^12 c^4 y^2+2 a^10 b^2 c^4 y^2-10 a^8 b^4 c^4 y^2+8 a^6 b^6 c^4 y^2+5 a^4 b^8 c^4 y^2-10 a^2 b^10 c^4 y^2+4 b^12 c^4 y^2-6 a^10 c^6 y^2+8 a^8 b^2 c^6 y^2-8 a^6 b^4 c^6 y^2+12 a^4 b^6 c^6 y^2-10 a^2 b^8 c^6 y^2+4 b^10 c^6 y^2+15 a^8 c^8 y^2-12 a^6 b^2 c^8 y^2+5 a^4 b^4 c^8 y^2+6 a^2 b^6 c^8 y^2-10 b^8 c^8 y^2-20 a^6 c^10 y^2-2 a^4 b^2 c^10 y^2-2 a^2 b^4 c^10 y^2+4 b^6 c^10 y^2+15 a^4 c^12 y^2+10 a^2 b^2 c^12 y^2+4 b^4 c^12 y^2-6 a^2 c^14 y^2-4 b^2 c^14 y^2+c^16 y^2+2 a^12 b^4 x z-12 a^10 b^6 x z+30 a^8 b^8 x z-40 a^6 b^10 x z+30 a^4 b^12 x z-12 a^2 b^14 x z+2 b^16 x z-4 a^12 b^2 c^2 x z+8 a^10 b^4 c^2 x z+4 a^8 b^6 c^2 x z-16 a^6 b^8 c^2 x z+4 a^4 b^10 c^2 x z+8 a^2 b^12 c^2 x z-4 b^14 c^2 x z+2 a^12 c^4 x z+16 a^10 b^2 c^4 x z-36 a^8 b^4 c^4 x z+32 a^6 b^6 c^4 x z-30 a^4 b^8 c^4 x z+16 a^2 b^10 c^4 x z-12 a^10 c^6 x z-28 a^8 b^2 c^6 x z+48 a^6 b^4 c^6 x z-8 a^4 b^6 c^6 x z-4 a^2 b^8 c^6 x z+4 b^10 c^6 x z+30 a^8 c^8 x z+32 a^6 b^2 c^8 x z-30 a^4 b^4 c^8 x z-20 a^2 b^6 c^8 x z-4 b^8 c^8 x z-40 a^6 c^10 x z-28 a^4 b^2 c^10 x z+8 a^2 b^4 c^10 x z+4 b^6 c^10 x z+30 a^4 c^12 x z+16 a^2 b^2 c^12 x z-12 a^2 c^14 x z-4 b^2 c^14 x z+2 c^16 x z+2 a^12 b^4 y z-12 a^10 b^6 y z+30 a^8 b^8 y z-40 a^6 b^10 y z+30 a^4 b^12 y z-12 a^2 b^14 y z+2 b^16 y z-4 a^12 b^2 c^2 y z+12 a^10 b^4 c^2 y z-16 a^8 b^6 c^2 y z+24 a^6 b^8 c^2 y z-36 a^4 b^10 c^2 y z+28 a^2 b^12 c^2 y z-8 b^14 c^2 y z+2 a^12 c^4 y z+12 a^10 b^2 c^4 y z-20 a^8 b^4 c^4 y z+10 a^4 b^8 c^4 y z-12 a^2 b^10 c^4 y z+8 b^12 c^4 y z-12 a^10 c^6 y z-16 a^8 b^2 c^6 y z+24 a^4 b^6 c^6 y z-4 a^2 b^8 c^6 y z+8 b^10 c^6 y z+30 a^8 c^8 y z+24 a^6 b^2 c^8 y z+10 a^4 b^4 c^8 y z-4 a^2 b^6 c^8 y z-20 b^8 c^8 y z-40 a^6 c^10 y z-36 a^4 b^2 c^10 y z-12 a^2 b^4 c^10 y z+8 b^6 c^10 y z+30 a^4 c^12 y z+28 a^2 b^2 c^12 y z+8 b^4 c^12 y z-12 a^2 c^14 y z-8 b^2 c^14 y z+2 c^16 y z+a^12 b^4 z^2-6 a^10 b^6 z^2+15 a^8 b^8 z^2-20 a^6 b^10 z^2+15 a^4 b^12 z^2-6 a^2 b^14 z^2+b^16 z^2-2 a^12 b^2 c^2 z^2+2 a^10 b^4 c^2 z^2+8 a^8 b^6 c^2 z^2-12 a^6 b^8 c^2 z^2-2 a^4 b^10 c^2 z^2+10 a^2 b^12 c^2 z^2-4 b^14 c^2 z^2+a^12 c^4 z^2+10 a^10 b^2 c^4 z^2-10 a^8 b^4 c^4 z^2-8 a^6 b^6 c^4 z^2+5 a^4 b^8 c^4 z^2-2 a^2 b^10 c^4 z^2+4 b^12 c^4 z^2-6 a^10 c^6 z^2-24 a^8 b^2 c^6 z^2+8 a^6 b^4 c^6 z^2+12 a^4 b^6 c^6 z^2+6 a^2 b^8 c^6 z^2+4 b^10 c^6 z^2+15 a^8 c^8 z^2+36 a^6 b^2 c^8 z^2+5 a^4 b^4 c^8 z^2-10 a^2 b^6 c^8 z^2-10 b^8 c^8 z^2-20 a^6 c^10 z^2-34 a^4 b^2 c^10 z^2-10 a^2 b^4 c^10 z^2+4 b^6 c^10 z^2+15 a^4 c^12 z^2+18 a^2 b^2 c^12 z^2+4 b^4 c^12 z^2-6 a^2 c^14 z^2-4 b^2 c^14 z^2+c^16 z^2 = 0)
𝒫_a, cuyo eje es la paralela a BC por O, y su foco está sobre la altura AH. Se denota por d_a su directriz, su ecuación baricéntrica es:
(b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)^2 x+(b^6-b^4 c^2+b^2 c^4-c^6+a^4 (b^2-c^2)+2 a^2 (-b^4+b^2 c^2+c^4)) y+(b^6-b^4 c^2+b^2 c^4-c^6+a^4 (b^2-c^2)-2 a^2 (b^4+b^2 c^2-c^4)) z=0.
Las parábolas 𝒫_b y 𝒫_c y sus directrices d_b y d_c, se definen cíclicamente.
Las directrices d_a, d_a, d_a concurren en X₁₈₅, del respecto al .
( Mostrar/Ocultar figura )
Las tangentes a las parábolas 𝒫_a, 𝒫_b, 𝒫_c en sus vértices concurren en X₃₈₉, centro de la .
Viernes, 3 de abril del 2020
Puntos sobre la cónica inscrita de perspector X(92)

El 3 de abril de 1924, nació Marlon Brando, actor estadounidense de cine y teatro. Se hizo mundialmente conocido en la década de 1950 por sus intervenciones en películas como Un tranvía llamado deseo (1951), Viva Zapata! (1952), Julio César y On the Waterfront (1954). Otros filmes míticos en los que intervino son El padrino, El último tango en París (1972) y Apocalypse Now (1979).

Dados un triángulo ABC y un punto P, sean el y DEF el de X₉₂ (Proposition 1).
Sean A_b y A_c las interseciones de la altura por A con P_aP_c y P_aP_b, respectivamente. Los puntos B_c, B_a y C_a, C_b, se definen cíclicamente.
Se denota por l, m, n los las distancias entre los pares de puntos (A_b, A_c), (B_c, B_a), (C_a, C_b), respectivamente.
Se considera el punto Q_o determinado por sus coordenadas baricéntricas (l:m:n), respecto a ABC, y sea el de Q_o. El punto Q_o está sobre la de X₉₂ y Q₁, Q₂, Q₃ están, respectivamente, sobre los lados EF. FD, DE de DEF.
Las rectas DQ₁, EQ₂ y FQ₃ concurren en un punto Q', sobre la cónica inscrita de de X₉₂.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si P=(u:v:w), entonces:
Q_o = (b c u (a^2 (v-w)-(b^2-c^2) (v+w)) : ... : ...),

Q' = (b c (-a^2+b^2+c^2) u^2 (-a^2 v+b^2 v-c^2 v+a^2 w+b^2 w-c^2 w)^2 : ... : ...).
El punto Q' están sobre la de perpector X₉₂=(:...:..), con ecuación:
a^2 S_A^2 x^2+b^2 S_B^2 y^2+c^2 S_C^2 z^2-2 b c S_BS_C y z-2 a c S_AS_C x z-2 a b S_AS_B x y = 0.
Esta cónica pasa por los centros del triángulo X₂₀₉₀₂, X₃₄₅₉₁.

Pares {P ∈{X_i, X_j,...}, f(P)=Q'=X_k}, para los índices {{i,j,...}, k}:

{{2, 10, 13, 14, 17, 18, 76, 83, 94, 96, 98, 226, 262, 275, 321, 459, 485, 486, 598, 671, 801, 1029, 1131, 1132, 1139, 1140, 1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593, 2671, 2672, 2986, 2996, 3316, 3317, 3366, 3367, 3370, 3373, 3374, 3381, 3382, 3387, 3388, 3391, 3392, 3397, 3399, 3406, 3407, 3413, 3414, 3424, 3429, 3590, 3591, 3597, 4049, 4052, 4080, 4444, 5392, 5395, 5397, 5401, 5402, 5403, 5404, 5466, 5485, 5487, 5488, 5490, 5491, 5503, 6177, 6178, 6504, 6539, 6568, 6569, 6625, 7578, 7607, 7608, 7612, 8587, 8781, 8796, 8808, 9180, 9221, 9290, 9302, 9381, 10153, 10155, 10159, 10185, 10187, 10188, 10194, 10195, 10290, 10302, 10484, 10511, 11121, 11122, 11140, 11167, 11170, 11172, 11538, 11599, 11602, 11603, 11606, 11608, 11611, 11668, 11669, 12066, 12816, 12817, 12818, 12819, 12820, 12821, 12822, 12823, 13380, 13478, 13576, 13579, 13580, 13581, 13582, 13583, 13584, 13585, 13599, 14223, 14226, 14228, 14229, 14231, 14232, 14234, 14236, 14237, 14238, 14240, 14241, 14243, 14244, 14245, 14458, 14484, 14485, 14488, 14492, 14494, 14534, 14554, 14632, 14633, 16080, 16277, 17503, 17758, 18316, 18366, 18840, 18841, 18842, 18843, 18844, 18845, 21845, 21846, 22235, 22237, 22244, 22245, 24007, 24008, 24624, 27797, 30505, 30588, 31363, 31630, 31943, 32014, 32022, 32130, 32532, 33602, 33603, 33604, 33605, 33606, 33607, 33698, 34087, 34089, 34091, 34258, 34289, 34475, 34899, 35005, 35098, 35353, 36316, 36317}, 20902},

{{1, 7, 8, 9, 21, 79, 80, 84, 90, 104, 177, 256, 294, 314, 885, 941, 943, 981, 983, 987, 989, 1000, 1039, 1041, 1061, 1063, 1156, 1172, 1251, 1320, 1389, 1392, 1476, 1896, 1937, 2298, 2320, 2335, 2344, 2346, 2481, 2648, 2997, 3062, 3065, 3254, 3255, 3296, 3307, 3308, 3427, 3467, 3495, 3551, 3577, 3680, 4180, 4866, 4876, 4900, 5377, 5424, 5551, 5553, 5555, 5556, 5557, 5558, 5559, 5560, 5561, 5665, 6595, 6596, 6597, 6598, 6599, 6601, 7003, 7049, 7091, 7126, 7133, 7149, 7155, 7160, 7161, 7162, 7261, 7284, 7285, 7317, 7319, 7320, 7595, 7707, 8372, 8759, 8809, 9365, 9372, 9442, 10266, 10305, 10307, 10308, 10309, 10390, 10429, 10435, 11279, 11604, 11609, 12641, 12867, 12868, 13143, 13426, 13454, 13602, 13606, 14224, 14496, 14497, 14947, 15173, 15175, 15176, 15179, 15180, 15314, 15315, 15446, 15909, 15910, 15997, 15998, 16005, 16615, 17097, 17098, 17501, 18299, 18490, 19551, 21398, 23836, 23838, 23893, 23959, 24297, 24298, 24300, 24302, 26722, 30479, 30494, 30500, 30513, 31316, 31507, 31509, 32635, 33576, 33653, 33696, 34215, 34216, 34256, 34485, 34894, 34917, 34918, 34919, 35097, 35355, 36121, 36599}, 34591}.

{{X₃, X₆,...}, f(X₃)=f(X₆)=...=W},
W = ( a^3 (a^2-b^2-c^2)^3 (b^2-c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (3.20440116974460, 3.20398941608048, -0.0564364229534639).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,1956}, {48,163}, {520,35072}, {820,4020}, {1973,19614}, {2631,2632}, {7065,34980}, {17438,35201}, {17879,24018}, {17881,20902}, {34589,34591}.

Los puntos I'_a=f(I_a), I'_b=f(I_b), I'_c=f(I_c), que corresponden a los I_a, I_b, I_c, forman un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad:
Z = ( a (b+c)^2 (a^2-b^2-c^2)/(-a+b+c)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.606578189344412, -0.671114323140515, 4.38524125454831).
{1,951}, {2,1952}, {12,13853}, {19,223}, {42,65}, {48,57}, {55,6611}, {71,1214}, {77,2359}, {171,8766}, {196,18676}, {201,1425}, {222,3942}, {226,1826}, {278,1953}, {306,1231}, {307,8896}, {651,1762}, {756,2632}, {1020,16577}, {1407,2286}, {1782,34043}, {1796,7177}, {1859,2635}, {1869,5930}, {1876,14547}, {1888,2654}, {2171,6046}, {2184,7079}, {3611,18210}, {3668,18674}, {3752,22063}, {3949,6356}, {4466,26957}, {4605,6358}, {6505,6507}, {7146,7365}, {11529,18446}, {17080,24310}, {18161,18623}.

NOTA: Cuando P es uno de los cuatro puntos I, I_a, I_b, I_c, una de las longitudes l, m, n es la suma de las otras dos. (Problema 945, Solución de Saturnino Campo Ruiz).
Domingo, 29 de marzo del 2020
X(1000) como centro de perspectividad

El 29 de marzo de 1873 nació Tullio Levi-Civita, matemático italiano, famoso por su trabajo sobre cálculo tensorial, Levi-Civita personalmente ayudó a Albert Einstein a aprender el cálculo tensorial, en el cual Einstein basaría su relatividad general.El término Conexión de Levi-Civita es adoptado en su honor.

Sean ABC un triángulo de incentro I=X₁ y el , las rectas BI y CI cortan a B_bC_c en B_a y C_a, respectivamente. El incentro del triángulo coincide con I.
Sea el triángulo de contacto interior de . Se definen, cíclicamente, los triángulos y .
Si O_a, O_b y O_c son los centros de las circunferencias (), () y (), las rectas AO_a, AO_b, CO_c concurren en X₁₀₀₀, del de los .
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En coordenadas baricéntricas:
A₁ = ((b - c)^2 - a (b + c) : -b (-a + b + c) : (a - b - c) c),

A₂ = (-a^2 (a-b-c):-b (b-c)^2+a b (b+c):a^3-a b (b-3 c)+b (b-c)^2-a^2 (b+c)),

A₃ = (-a^2 (a-b-c):a^3+(b-c)^2 c+a (3 b-c) c-a^2 (b+c):c (-(b-c)^2+a (b+c))).

El radio de la circunferencia ()
( a^5 x^2-3 a^4 b x^2+2 a^3 b^2 x^2+2 a^2 b^3 x^2-3 a b^4 x^2+b^5 x^2-3 a^4 c x^2+12 a^3 b c x^2-14 a^2 b^2 c x^2+4 a b^3 c x^2+b^4 c x^2+2 a^3 c^2 x^2-14 a^2 b c^2 x^2+14 a b^2 c^2 x^2-2 b^3 c^2 x^2+2 a^2 c^3 x^2+4 a b c^3 x^2-2 b^2 c^3 x^2-3 a c^4 x^2+b c^4 x^2+c^5 x^2+2 a^5 x y-6 a^4 b x y+4 a^3 b^2 x y+4 a^2 b^3 x y-6 a b^4 x y+2 b^5 x y-6 a^4 c x y+20 a^3 b c x y-24 a^2 b^2 c x y+12 a b^3 c x y-2 b^4 c x y+4 a^3 c^2 x y-8 a^2 b c^2 x y+4 a b^2 c^2 x y+4 a^2 c^3 x y-4 a b c^3 x y-6 a c^4 x y-2 b c^4 x y+2 c^5 x y+a^5 y^2-3 a^4 b y^2+2 a^3 b^2 y^2+2 a^2 b^3 y^2-3 a b^4 y^2+b^5 y^2-3 a^4 c y^2+8 a^3 b c y^2-10 a^2 b^2 c y^2+8 a b^3 c y^2-3 b^4 c y^2+2 a^3 c^2 y^2+6 a^2 b c^2 y^2-10 a b^2 c^2 y^2+2 b^3 c^2 y^2+2 a^2 c^3 y^2+8 a b c^3 y^2+2 b^2 c^3 y^2-3 a c^4 y^2-3 b c^4 y^2+c^5 y^2+2 a^5 x z-6 a^4 b x z+4 a^3 b^2 x z+4 a^2 b^3 x z-6 a b^4 x z+2 b^5 x z-6 a^4 c x z+20 a^3 b c x z-8 a^2 b^2 c x z-4 a b^3 c x z-2 b^4 c x z+4 a^3 c^2 x z-24 a^2 b c^2 x z+4 a b^2 c^2 x z+4 a^2 c^3 x z+12 a b c^3 x z-6 a c^4 x z-2 b c^4 x z+2 c^5 x z+2 a^5 y z-6 a^4 b y z+4 a^3 b^2 y z+4 a^2 b^3 y z-6 a b^4 y z+2 b^5 y z-6 a^4 c y z-4 a^2 b^2 c y z+16 a b^3 c y z-6 b^4 c y z+4 a^3 c^2 y z-4 a^2 b c^2 y z-20 a b^2 c^2 y z+4 b^3 c^2 y z+4 a^2 c^3 y z+16 a b c^3 y z+4 b^2 c^3 y z-6 a c^4 y z-6 b c^4 y z+2 c^5 y z+a^5 z^2-3 a^4 b z^2+2 a^3 b^2 z^2+2 a^2 b^3 z^2-3 a b^4 z^2+b^5 z^2-3 a^4 c z^2+8 a^3 b c z^2+6 a^2 b^2 c z^2+8 a b^3 c z^2-3 b^4 c z^2+2 a^3 c^2 z^2-10 a^2 b c^2 z^2-10 a b^2 c^2 z^2+2 b^3 c^2 z^2+2 a^2 c^3 z^2+8 a b c^3 z^2+2 b^2 c^3 z^2-3 a c^4 z^2-3 b c^4 z^2+c^5 z^2 = 0)
es r√‍(R-2r)/R/2 y su centro es:
O_a = (-6 a^2:a^2-4 a b+b^2-c^2:a^2-b^2-4 a c+c^2).

Las rectas AO_a, AO_b, CO_c concurren en:
X₁₀₀₀ = (1/(a^2-b^2+4 b c-c^2):1/(-a^2+b^2+4 a c-c^2):1/(-a^2+4 a b-b^2+c^2)).
Clic aquí para otra construcción de X₁₀₀₀.

Si Γ y Γ_a las circunferencias inscritas a los triángulos ABC y , se denosta por d_a y e_a los ejes radicales de () y Γ_a, y () y Γ, respectivamente. Los ejes radicales d_b, d_c y e_b, e_c, se definen cíclicamente.
Los triángulos A'B'C' y A"B"C" formados por las rectas d_a, d_b, d_c y e_a, e_b, e_c, respectivamente, son homotéticos a ABC.
A'= (a (-b^2-c^2+a (b+c)):b (-a^2+(b-c) c+a (b+2 c)):c (-a^2+b (-b+c)+a (2 b+c))),

A" = (a^2 (b+c)+(b-c)^2 (b+c)-2 a (b^2+c^2):-b (a^2+(b-c)^2-2 a (b+c)):-c (a^2+(b-c)^2-2 a (b+c))).

El centro de la homotecia que transforma ABC en A'B'C' es el y su razón es -1/2.
El centro de la homotecia que transforma ABC en A"B"C" es el incentro y su razón es -(r+2R)/(2R). Siendo r y R los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita de ABC.
Conocidos los centros y razones de las homotecias anteriores se puede determina el centro, X, y razón, k, de la homotecia que transforma A'B'C' en A"B"C", mediante las fórmulas:
k=k₁k₂, X = X₃₅₄ + (1-k₁)/(1-k₁k₂) ‍X₂₅₄X₁,
donde k₁=-2 y k₂=-(r+2R)/(2R).
Así, el centro de la homotecia que transforma A'B'C' en A"B"C" es X₅₁₇₃, inverso en la circunferencia inscrita del inverso en la circunferencia circunscrita del conjugado isogonal del .
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Viernes, 28 de marzo del 2020
X(3160) como centro de una circunferencia de Apolonio

El 28 de marzo de 1942 fallece Miguel Hernández (a los 31 años) poeta y dramaturgo español, a consecuencia de una bronquitis que degenera en tuberculosis, en la enfermería de la prisión de Alicante, donde fue recluido represaliado por el franquismo a causa de sus ideas republicanas. Entre sus obras más conocidas están "Perito en lunas", "El rayo que no cesa", "Cancionero y romancero de ausencias", "Vientos del pueblo. Poesía en la guerra", "Nanas de la cebolla" y varias obras de teatro.

Sean DEF el , Γ_a la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en D, Γ_b la circunferencia que pasa por B y es tangente a CA en E, Γ_c la circunferencia que pasa por C y es tangente a AB en F.
El centro de la circunferencia
(
𝔖_{_{abc xyz}} (a-b-c)^4 (b-c)^2x^2-(a+b-c)^2 (a-b+c)^2 (3 a^2-2 a b-b^2-2 a c-c^2)y z = 0.
)
Γ, tangente exteriormente a las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c, es X₃₁₆₀ y es tangente a la circunferencia circunscrita a ABC en X₉₃₄.
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Las coordenadas baricéntricas del punto de tangencia, T_a, de Γ y Γ_a es:
T_a = ((a+b-c)^2 (a-b+c)^2 (a^2-2 (b-c)^2+a (b+c)) :
(b-c) (a+b-c)^2 (-a+b+c)^2 (a-b+3 c) :
-(b-c) (a+3 b-c) (a-b+c)^2 (-a+b+c)^2).
Las rectas DT_a, ET_b, FT_c concurren en X₂₇₉, del .

Let P be a point on line X(4)X(7) other than X(4). Let A' be the reflection of P in BC, and define B' and C' cyclically. The circumcircles of AA'B', BC'A', and CA'B' concur at X(934). (Randy Hutson, July 20, 2016)

X(3160) = of X(2) and X(7).

X(3160) = perspector of triangle ABC and the tangential triangle of the conic that passes through A, B, C and has center X(7).
Miércoles, 25 de marzo del 2020
X(13160) como centro de una circunferencia de Apolonio

El 25 de marzo de 1818 murió (a los 73 años) Caspar Wessel, matemático noruego-danés. Desarrolló métodos matemáticos de topografía cada vez más sofisticados y los explicó en un informe que escribió en 1787. La fama de Wessel como matemático se basa únicamente en este documento, que se publicó en 1799, dando por primera vez una interpretación geométrica de números complejos. Hoy se denomina a esta interpretación geométrica el diagrama de Argand, pero el trabajo de Wessel fue lo primero. Fue redescubierto por Argand en 1806 y nuevamente por Gauss en 1831.

Sean DEF y , respectivamente, los triángulo y de un triágulo dado ABC.
Las circunferencias Γ_a, Γ_b y Γ_c, circunscritas a los triángulos EFH_a, FEH_b, DEH_c (cuyos centros se desigman por O_a, O_b y O_c) son tangentes exteriormente a la .
El centro de la circunferencia Γ, tangente exteriormente a las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c, ha de ser el otro punto común (distinto de X₅) de las tres hipérbolas ℋ_a, ℋ_b y ℋ_c con focos O_b y O_c, O_c y O_a, O_a y O_b y pasan respectivamnete por D, E y F.
( Mostrar/Ocultar figura )
La ecuación baricéntrica de la hipérbola ℋ_a es:

a^8 b^8 x^2-4 a^6 b^10 x^2+6 a^4 b^12 x^2-4 a^2 b^14 x^2+b^16 x^2-2 a^8 b^4 c^4 x^2+4 a^6 b^6 c^4 x^2-6 a^4 b^8 c^4 x^2+8 a^2 b^10 c^4 x^2-4 b^12 c^4 x^2+4 a^6 b^4 c^6 x^2-4 a^2 b^8 c^6 x^2+a^8 c^8 x^2-6 a^4 b^4 c^8 x^2-4 a^2 b^6 c^8 x^2+6 b^8 c^8 x^2-4 a^6 c^10 x^2+8 a^2 b^4 c^10 x^2+6 a^4 c^12 x^2-4 b^4 c^12 x^2-4 a^2 c^14 x^2+c^16 x^2-2 a^12 b^4 x y+10 a^10 b^6 x y-18 a^8 b^8 x y+12 a^6 b^10 x y+2 a^4 b^12 x y-6 a^2 b^14 x y+2 b^16 x y+6 a^10 b^4 c^2 x y-12 a^8 b^6 c^2 x y+4 a^6 b^8 c^2 x y+6 a^2 b^12 c^2 x y-4 b^14 c^2 x y+2 a^12 c^4 x y-8 a^10 b^2 c^4 x y+4 a^8 b^4 c^4 x y-8 a^6 b^6 c^4 x y+6 a^4 b^8 c^4 x y+8 a^2 b^10 c^4 x y-4 b^12 c^4 x y-8 a^10 c^6 x y+16 a^8 b^2 c^6 x y-4 a^6 b^4 c^6 x y+4 a^4 b^6 c^6 x y-4 a^2 b^8 c^6 x y+12 b^10 c^6 x y+10 a^8 c^8 x y-4 a^6 b^2 c^8 x y+2 a^4 b^4 c^8 x y+2 a^2 b^6 c^8 x y-4 a^4 b^2 c^10 x y-10 a^2 b^4 c^10 x y-12 b^6 c^10 x y-10 a^4 c^12 x y-4 a^2 b^2 c^12 x y+4 b^4 c^12 x y+8 a^2 c^14 x y+4 b^2 c^14 x y-2 c^16 x y+a^16 y^2-6 a^14 b^2 y^2+13 a^12 b^4 y^2-10 a^10 b^6 y^2-4 a^8 b^8 y^2+10 a^6 b^10 y^2-3 a^4 b^12 y^2-2 a^2 b^14 y^2+b^16 y^2-4 a^14 c^2 y^2+12 a^12 b^2 c^2 y^2-6 a^10 b^4 c^2 y^2-4 a^8 b^6 c^2 y^2-8 a^6 b^8 c^2 y^2+12 a^4 b^10 c^2 y^2+2 a^2 b^12 c^2 y^2-4 b^14 c^2 y^2+4 a^12 c^4 y^2+4 a^10 b^2 c^4 y^2-10 a^8 b^4 c^4 y^2-8 a^6 b^6 c^4 y^2-2 a^4 b^8 c^4 y^2+8 a^2 b^10 c^4 y^2+4 b^12 c^4 y^2+4 a^10 c^6 y^2-16 a^8 b^2 c^6 y^2-12 a^6 b^4 c^6 y^2-20 a^4 b^6 c^6 y^2-8 a^2 b^8 c^6 y^2+4 b^10 c^6 y^2-10 a^8 c^8 y^2-2 a^6 b^2 c^8 y^2+a^4 b^4 c^8 y^2-10 a^2 b^6 c^8 y^2-10 b^8 c^8 y^2+4 a^6 c^10 y^2+8 a^4 b^2 c^10 y^2+10 a^2 b^4 c^10 y^2+4 b^6 c^10 y^2+4 a^4 c^12 y^2+4 a^2 b^2 c^12 y^2+4 b^4 c^12 y^2-4 a^2 c^14 y^2-4 b^2 c^14 y^2+c^16 y^2+2 a^12 b^4 x z-8 a^10 b^6 x z+10 a^8 b^8 x z-10 a^4 b^12 x z+8 a^2 b^14 x z-2 b^16 x z-8 a^10 b^4 c^2 x z+16 a^8 b^6 c^2 x z-4 a^6 b^8 c^2 x z-4 a^4 b^10 c^2 x z-4 a^2 b^12 c^2 x z+4 b^14 c^2 x z-2 a^12 c^4 x z+6 a^10 b^2 c^4 x z+4 a^8 b^4 c^4 x z-4 a^6 b^6 c^4 x z+2 a^4 b^8 c^4 x z-10 a^2 b^10 c^4 x z+4 b^12 c^4 x z+10 a^10 c^6 x z-12 a^8 b^2 c^6 x z-8 a^6 b^4 c^6 x z+4 a^4 b^6 c^6 x z+2 a^2 b^8 c^6 x z-12 b^10 c^6 x z-18 a^8 c^8 x z+4 a^6 b^2 c^8 x z+6 a^4 b^4 c^8 x z-4 a^2 b^6 c^8 x z+12 a^6 c^10 x z+8 a^2 b^4 c^10 x z+12 b^6 c^10 x z+2 a^4 c^12 x z+6 a^2 b^2 c^12 x z-4 b^4 c^12 x z-6 a^2 c^14 x z-4 b^2 c^14 x z+2 c^16 x z-2 a^16 y z+10 a^14 b^2 y z-16 a^12 b^4 y z+2 a^10 b^6 y z+20 a^8 b^8 y z-18 a^6 b^10 y z+6 a^2 b^14 y z-2 b^16 y z+10 a^14 c^2 y z-26 a^12 b^2 c^2 y z+6 a^10 b^4 c^2 y z+20 a^8 b^6 c^2 y z+6 a^6 b^8 c^2 y z-18 a^4 b^10 c^2 y z-6 a^2 b^12 c^2 y z+8 b^14 c^2 y z-16 a^12 c^4 y z+6 a^10 b^2 c^4 y z+8 a^8 b^4 c^4 y z+28 a^6 b^6 c^4 y z-18 a^2 b^10 c^4 y z-8 b^12 c^4 y z+2 a^10 c^6 y z+20 a^8 b^2 c^6 y z+28 a^6 b^4 c^6 y z+36 a^4 b^6 c^6 y z+18 a^2 b^8 c^6 y z-8 b^10 c^6 y z+20 a^8 c^8 y z+6 a^6 b^2 c^8 y z+18 a^2 b^6 c^8 y z+20 b^8 c^8 y z-18 a^6 c^10 y z-18 a^4 b^2 c^10 y z-18 a^2 b^4 c^10 y z-8 b^6 c^10 y z-6 a^2 b^2 c^12 y z-8 b^4 c^12 y z+6 a^2 c^14 y z+8 b^2 c^14 y z-2 c^16 y z+a^16 z^2-4 a^14 b^2 z^2+4 a^12 b^4 z^2+4 a^10 b^6 z^2-10 a^8 b^8 z^2+4 a^6 b^10 z^2+4 a^4 b^12 z^2-4 a^2 b^14 z^2+b^16 z^2-6 a^14 c^2 z^2+12 a^12 b^2 c^2 z^2+4 a^10 b^4 c^2 z^2-16 a^8 b^6 c^2 z^2-2 a^6 b^8 c^2 z^2+8 a^4 b^10 c^2 z^2+4 a^2 b^12 c^2 z^2-4 b^14 c^2 z^2+13 a^12 c^4 z^2-6 a^10 b^2 c^4 z^2-10 a^8 b^4 c^4 z^2-12 a^6 b^6 c^4 z^2+a^4 b^8 c^4 z^2+10 a^2 b^10 c^4 z^2+4 b^12 c^4 z^2-10 a^10 c^6 z^2-4 a^8 b^2 c^6 z^2-8 a^6 b^4 c^6 z^2-20 a^4 b^6 c^6 z^2-10 a^2 b^8 c^6 z^2+4 b^10 c^6 z^2-4 a^8 c^8 z^2-8 a^6 b^2 c^8 z^2-2 a^4 b^4 c^8 z^2-8 a^2 b^6 c^8 z^2-10 b^8 c^8 z^2+10 a^6 c^10 z^2+12 a^4 b^2 c^10 z^2+8 a^2 b^4 c^10 z^2+4 b^6 c^10 z^2-3 a^4 c^12 z^2+2 a^2 b^2 c^12 z^2+4 b^4 c^12 z^2-2 a^2 c^14 z^2-4 b^2 c^14 z^2+c^16 z^2=0.

El centro de Γ es:
X₁₃₁₆₀ = (a^8 (b^2+c^2)-4 a^4 b^2 c^2 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)-2 a^6 (b^4-b^2 c^2+c^4)+2 a^2 (b^8-b^6 c^2-b^2 c^6+c^8) : ... : ...)

X(13160) = Point Beid 42

Hyacinthos 25728 Apr 5, 2017

[Tran Quang Hung]:

Let ABC be a triangle.
A'B'C' is cevian triangle of circumcenter O.
A'',B'',C'' are midpoints of AA',BB',CC', resp..
The isogonal conjugate of O wrt triangle A''B''C'' lies on Euler line.
Which is this point?

[César Lozada]:

Z = 2*(3*R^2-Sω)*S^2-(4*R^2- : : (barycentrics)

= 5*X(3091)-3*X(7565)

= nine-points circle-inverse-of-X(3153)

El radio de Γ (r, R y s son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y semiperímetro de ABC) es:
4 R^2 (r^2+4 r R+2 R^2-s^2)^2 / (2 r^2+8 r R+5 R^2-2 s^2)^2.

El punto de tangencia de Γ y Γ_a es:
T_a= (-3 a^8 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^4 (b^2+c^2)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^4+3 b^2 c^2+c^4)-2 a^6 (b^4+5 b^2 c^2+c^4)+4 a^4 (b^6-2 b^4 c^2-2 b^2 c^4+c^6) :
a^10+a^8 c^2+2 a^6 c^2 (b^2-c^2)-(b^2-c^2)^3 (2 b^4+3 b^2 c^2+c^4)+2 a^4 (b^6+2 b^4 c^2-2 b^2 c^4-c^6)+a^2 (-b^8+6 b^6 c^2-6 b^2 c^6+c^8) :
b^8-6 b^6 c^2+6 b^2 c^6-c^8).

El de las circunferencias Γ_a, Γ_b y Γ_c es X₅₁₃₃ (el inverso de X₂₃ en la circunferencia de los nueve puntos), este punto es el centro de perspectividad de los triángulos órtico y .
Lunes, 23 de marzo del 2020
Reflexión de X(11270) en el circuncentro

Aniversario del nacimiento de mi hija Marta

Sean A', B', C', las reflexiones de los vértices de un triángulo ABC en su circuncentro O=X₃, y D, E, F las reflexiones de A', B', C' en sus lados BC, CA, AB, respectivamente. Se denota por O_a, O_b, O_c los circuncentros de los triángulos OEF, OFD, ODE.
Los triángulos A'B'C' y son perspectivos y el centro de perspectividad es la reflexión de X₁₁₂₇₀ en X₃:

W = ( a^2 (4 a^8-10 a^6 (b^2+c^2) +a^4 (6 b^4+17 b^2 c^2+6 c^4)+2 a^2 (b^6-4 b^4 c^2-4 b^2 c^4+c^6)-(b^2-c^2)^2 (2 b^4+3 b^2 c^2+2 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.51548892994527, 3.13289197959206, -0.612332548554094).
Es la reflexión de X₁₁₂₇₀ en X₃.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,9927}, {3,9544}, {4,1511}, {20,10282}, {110,3357}, {140,3431}, {186,2904}, {195,15040}, {323,32534}, {376,18442}, {550,7712}, {576,15020}, {578,12834}, {631,2888}, {1071,5694}, {1092,7691}, {1147,15035}, {1204,15051}, {1350,7488}, {1498,2071}, {3516,15052}, {3522,4549}, {3523,3620}, {3528,5944}, {3533,14805}, {3543,15751}, {5050,17928}, {5056,11430}, {5059,10564}, {5876,23040}, {6102,9716}, {6640,12383}, {7592,9545}, {8546,10541}, {8567,11441}, {10255,34153}, {10257,34799}, {10304,11821}, {10539,15034}, {11250,32609}, {11413,11820}, {12085,35265}, {12111,35493}, {12162,35494}, {12289,14156}, {14118,32620}, {15043,15516}, {15717,18475}, {17818,19357}, {18281,18432}, {18350,35475}, {21844,22115}, {22555,22951}, {23294,30714}, {32233,34118}.
( Mostrar/Ocultar figura )
X(11270)=Isogonal conjugate of X(382). Hyacinthos 24872 (Antreas Hatzipolakis and César Lozada)

[APH]:
Let ABC be a triangle, P a point and A'B'C' the pedal triangle of P.
Denote: Ma, Mb, Mc = the midpoints of AA',BB',CC', resp.
A",B",C"= the reflections of Ma,Mb,Mc in PA', PB', PC', resp.
ABC, A"B"C" are orthologic.

If P lies on the Euler line the orthologic center (MaMbMc, ABC) llies on the Euler line.

Which is the locus of the other orthologic center (ABC, MaMbMc) as P moves on the Euler line?

[César Lozada]:
Asked locus = Jerabek hyperbola

ETC-pairs (P, Za(P)=orthologic center (ABC,MaMbMc) ):
(2,3), (4,64), (5,54), (376,3532), (381,4), (403,1177), (3091,3527), (3545,6), (3839,3426), (5055,3431), (5066,1173)

Za(O) = a/(3*a^4-(b^2+c^2)*a^2-2*(b^2- c^2)^2) : : (trilinears) = isogonal conjugate of X(382), On Jerabek hyperbola.

En coordenadas baricéntricas, respecto a ABC,
D = (a^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2):-a^6+(b^2-c^2)^3+a^4 (b^2+c^2)+a^2 (-b^4+c^4) : -a^6-(b^2-c^2)^3+a^4 (b^2+c^2)+a^2 (b^4-c^4)),

O_a = (4 (a^6-3 a^4 (b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+3 a^2 (b^4+c^4)) : 4 b^2 c^2 (a^2+b^2-c^2) : 4 b^2 c^2 (a^2-b^2+c^2)).

Los puntos O_a, O_b, O_c están sobre las alturas, en consecuencia, los triángulos ABC y son . El centro de ortología de ABC respecto a es X₂₆₅, punto diametralmente opuesto de X₃ en la .

Los triángulos DEF y son perspectivos, con centro de perspectividad X₂₈₈₈, del .
Viernes, 20 de marzo del 2020
La cúbica K407

Hoy a la 3:49 UTC entra la primavera de manera oficial en el hemisferio norte. No puede existir una fecha exacta porque nuestro calendario de 365 días no coincide con el tiempo que tarda la Tierra en darle la vuelta al Sol (365,2425 días). Este desfase se ajusta en el calendario gracias a los años bisiestos (cada 4 años) y a quitar un bisiesto (cada 400). Así el equinoccio puede darse entre los días 19 al 21 de marzo.

K407 = is an isogonal nonpivotal cubic with singularity I=X(1) and root X(57), isogonal conjugate of .
Let ℋ be a circum-conic through I = X(1) and (N) its normal at I. (N) meets ℋ at I and another point M which lies on K407.
The pivotal conic is the of the . Its center is O=X(3), its real foci are I=X(1) and . Its principal circle is the circumcircle. Its excentricity is OI/R.

La tangente ℓ en un punto L de la circunferencia inscrita a un triángulo ABC corta a las perpendiculares por el incentro I=X₁ a AI, BI, CI en A', B', C', respectivamente. Las rectas AA',BB', CC' concurren en un punto W.
El lugar geométrico de W, cuando L varía sobre la circunferencia inscrita, es K407.
( Mostrar/Ocultar figura )
Podemos tomar el punto L sobre la circunferencia inscrita como el segundo punto de intersección con una recta variable que pasa por el :
L = ((a-b-c) (-2 a (3 b^2+3 c^2+2 b c (-3+t))+a^2 (b+c) (-3+t)+2 a^3 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t))^2 :
-(a-b+c) (a^3 (3+t)-a^2 (6 b+c (3+t))+a (b^2 (-3+t)-4 b c (-3+t)-c^2 (3+t))+(b+c) (2 b^2 (3+t)+c^2 (3+t)-b c (9+t)))^2:
-(a+b-c) (a^3 (3+t)-a^2 (6 c+b (3+t))-a (4 b c (-3+t)-c^2 (-3+t)+b^2 (3+t))+(b+c) (b^2 (3+t)+2 c^2 (3+t)-b c (9+t)))^2).

La tangente ℓ en L a la circunferencia inscrita corta a la perpendicular por I a AI en:
A' = ((b-c) (-2 a (3 b^2+3 c^2+2 b c (-3+t))+a^2 (b+c) (-3+t)+2 a^3 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t)) (a^3 (3+t)-a^2 (b+c) (3+t)+(b+c) (-6 b c+b^2 (3+t)+c^2 (3+t))-a (b^2 (3+t)+c^2 (3+t)+2 b c (-3+2 t))) :
-(a-b) b (a-b+c) (c (-3+t)+a (3+t)+b (3+t)) (a^3 (3+t)-a^2 (6 b+c (3+t))+a (b^2 (-3+t)-4 b c (-3+t)-c^2 (3+t))+(b+c) (2 b^2 (3+t)+c^2 (3+t)-b c (9+t))) :
(a-c) (a+b-c) c (b (-3+t)+a (3+t)+c (3+t)) (a^3 (3+t)-a^2 (6 c+b (3+t))-a (4 b c (-3+t)-c^2 (-3+t)+b^2 (3+t))+(b+c) (b^2 (3+t)+2 c^2 (3+t)-b c (9+t)))),
La perpendicular por I a BI corta a ℓ en:
B' = (a (a-b) (a-b-c) (c (-3+t)+a (3+t)+b (3+t)) (-2 a (3 b^2+3 c^2+2 b c (-3+t))+a^2 (b+c) (-3+t)+2 a^3 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t)) :
-(a-c) (a^2 c (-3+t)+a c^2 (-3+t)+a^3 (3+t)-a^2 b (3+t)-a b^2 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t)-2 a b c (-3+2 t)) (a^3 (3+t)-a^2 (6 b+c (3+t))+a (b^2 (-3+t)-4 b c (-3+t)-c^2 (3+t))+(b+c) (2 b^2 (3+t)+c^2 (3+t)-b c (9+t))) :
-(b-c) (a+b-c) c (a (-3+t)+(b+c) (3+t)) (a^3 (3+t)-a^2 (6 c+b (3+t))-a (4 b c (-3+t)-c^2 (-3+t)+b^2 (3+t))+(b+c) (b^2 (3+t)+2 c^2 (3+t)-b c (9+t)))),
La perpendicular por I a CI corta a ℓ en:
C' = (a (a-c) (a-b-c) (b (-3+t)+a (3+t)+c (3+t)) (-2 a (3 b^2+3 c^2+2 b c (-3+t))+a^2 (b+c) (-3+t)+2 a^3 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t)) :
-b (b-c) (-a+b-c) (a (-3+t)+(b+c) (3+t)) (a^3 (3+t)-a^2 (6 b+c (3+t))+a (b^2 (-3+t)-4 b c (-3+t)-c^2 (3+t))+(b+c) (2 b^2 (3+t)+c^2 (3+t)-b c (9+t))) :
-(a-b) (a^3 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t)+a^2 (b (-3+t)-c (3+t))+a (b c (6-4 t)+b^2 (-3+t)-c^2 (3+t))) (a^3 (3+t)-a^2 (6 c+b (3+t))-a (4 b c (-3+t)-c^2 (-3+t)+b^2 (3+t))+(b+c) (b^2 (3+t)+2 c^2 (3+t)-b c (9+t)))).
La rectas AA', BB', CC' concurren en:
W = (a (a-b) (a-c) (a-b-c) (-2 a (3 b^2+3 c^2+2 b c (-3+t))+a^2 (b+c) (-3+t)+2 a^3 (3+t)+(b-c)^2 (b+c) (3+t)) (2 a (b+c) t (3+t)+a^2 (3+t)^2+b^2 (-9+t^2)+c^2 (-9+t^2)+2 b c (9+t^2)) : ... : ...).
El lugar geométrico que describe W, cuando L varía sobre la circunferencia inscrita, es la cúbica K407:
(-a^2 b c^2+b^3 c^2+2 a b c^3-b c^4) x^2 y+(a^3 c^2-a b^2 c^2+2 a b c^3-a c^4) x y^2+(-a^2 b^2 c+2 a b^3 c-b^4 c+b^2 c^3) x^2 z+(2 a^3 b c-4 a^2 b^2 c+2 a b^3 c-4 a^2 b c^2-4 a b^2 c^2+2 a b c^3) x y z+(-a^4 c+2 a^3 b c-a^2 b^2 c+a^2 c^3) y^2 z+(a^3 b^2-a b^4+2 a b^3 c-a b^2 c^2) x z^2+(-a^4 b+a^2 b^3+2 a^3 b c-a^2 b c^2) y z^2=0.

La normal en I a la hipérbola ℋ_W que pasa por I y W y circunscrita a ABC, pasa por W. El sexto punto Z de intersección de K407 y la hipérbola ℋ_Z circunscrita, tangente a IW en I, está sobre su normal en I.
Los puntos W y Z son conjugados isogonales y la recta que los une envuelve la cónica de MacBeath del triángulo excentral (pivotal cónica de K407).

El lugar geométrico de los centros de las hipérbolas, circunscritas a ABC que pasan por I, es la elipse del I y G=X₂; su centro es X₁₁₂₅, complemento del .
La recta que une los centros W_o y Z_o de las hipérbolas ℋ_W y ℋ_Z, para todo punto L sobre la circunferencia inscrita, pasa por X₂₆₄₆, del ortocentro, X₆₅, del , respecto al incentro y circuncentro.
Jueves, 19 de marzo del 2020
El centro de la circunferencia de Hatzipolakis-Lozada como centro ortológico

El 19 de marzo de 1978 falleció, a los 85 años, Gaston Maurice Julia, matemático francés (nacido en Argelia, sus padres eran de origen catalán). Fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Todas las propiedades de los fractales las estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones con papel y lápiz, en desventaja con el segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien pudo aprovechar la invención del ordenador.

Dado un triángulo ABC, sean DEF y los triángulios de y .
Γ_M es una circunferencia variable que pasa por B y C (su centro M esta sobre la mediatriz de BC), Γ_M' es la circunferencia que pasa por D y M_a, tal que el de ambas es la recta EF (su centro M' es la intersección de la mediatriz de DM_a con la perpendicular por M a EF).
Sea M_o la proyección ortogonal de M' sobre el eje radical de Γ_M y la circunferencia inscrita a ABC. El lugar geométrico de M_o, cuando Γ_M varía, es una circunferencia
( En coordenadas baricéntricas:
c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-(((3 a^3-8 a^2 b+7 a b^2-2 b^3-8 a^2 c+2 a b c+2 b^2 c+7 a c^2+2 b c^2-2 c^3) x)/(16 a))-((2 a^3-7 a^2 b+8 a b^2-3 b^3+7 a^2 c-16 a b c+9 b^2 c+8 a c^2-9 b c^2+3 c^3) y)/(16 (-b+c))-((-2 a^3-7 a^2 b-8 a b^2-3 b^3+7 a^2 c+16 a b c+9 b^2 c-8 a c^2-9 b c^2+3 c^3) z)/(16 (-b+c))) = 0)
Γ_a que pasa por el punto A₁=(0:-(a+b-c)^2:(a-b+c)^2) (sobre BC), donde pasan los ejes radicales de la circunferencias inscrita y Γ_M.
A₂=(0:2 a+3 b-3 c:2 a-3 b+3 c) es el segundo punto de intersección de BC y Γ_a. Los puntos B₂ y C₂ se definen cíclicamente.
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Los triángulos ABC y son y el centro de ortología de respecto a ABC es X₁₀₂₂₂, centro de la circunferencia de Hatzipolakis-Lozada,
(a(2a^3-3a^2(b+c)+3(b-c)^2(b+c)-2a(b^2-3b c+c^2)+3(b-c)^2(b+c)): ... : ... ).

El centro ortológico de ABC respecto a es el conjugado isogoanal de X₁₀₂₂₂:
W = ( a/ (2a^3-3a^2(b+c)+3(b-c)^2(b+c)-2a(b^2-3b c+c^2)+3(b-c)^2(b+c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.13985008209120, 4.44430401665096, -0.423784490585299).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,1392}, {4,1388}, {8,140}, {9,17438}, {21,15178}, {35,24302}, {56,14497}, {79,13464}, {80,5882}, {515,17501}, {944,7319}, {1000,34471}, {1156,21740}, {1319,1389}, {1320,1385}, {1476,25405}, {3065,11715}, {3579,28082}, {3680,6940}, {5556,5603}, {5559,24926}, {5561,11522}, {5884,11279}, {6595,33858}, {7317,31520}, {15698,17765}, {17097,24928}, {18446,33576}, {21398,21842}.
El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(37518).
Miércoles, 18 de marzo del 2020
La cúbica de Thomson y la quíntica de Darboux

El 18 de marzo de 1965 el cosmonauta soviético Alexei Leonov se convierte en el primer ser humano que pasea, durante 12 minutos, por el espacio.

Dados un triángulo ABC y punto P, se denota por p su y por P_o la proyección ortogonal de P sobre p.
El lugar geométrico del punto P tal que la perpendicular a p por P pasa por el circuncentro es la cúbica de Thomson (K002) y el lugar de P_o, cuando P se mueve sobre K002, es la quíntica de Darboux (Q071).
( Mostrar/Ocultar figura )
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecución de su tripolar es p: vwx+wuy+uvz=0 y la proyección ortogonal de P sobre p es:
P_o = (u (a^2 v w (2 u^2 - 4 v w + u (v + w)) - u (v - w) (b^2 (2 u + v) w - c^2 v (2 u + w))) : ... : ...).
Los puntos O, P, P_o están alineados si y solo si u(c^2v^2-b^2w^2)+v(a^2w^2-c^2u^2)+w(b^2u^2-a^2v^2)=0.
Es decir, P debe estar sobre K002. Entonces, P_o está sobre la quíntica Q071, de ecuación:

𝔖_{_{abc xyz}} y z (-2 b^2 c^2 (b^2 - c^2) (-5 a^2 + 3 b^2 + 3 c^2) x^3 + a^2 (b^2 - c^2) (10 a^4 + b^4 + 14 b^2 c^2 + c^4 + a^2 (-11 b^2 - 11 c^2)) x y z + a^4 y z ((4 a^4 + b^4 + 5 b^2 c^2 - 2 c^4 + a^2 (-5 b^2 - 2 c^2)) y + (-4 a^4 + 2 b^4 - 5 b^2 c^2 - c^4 + a^2 (2 b^2 + 5 c^2)) z) - a^4 (c^2 (3 a^2 - b^2 - 3 c^2) y^3 - b^2 (3 a^2 - 3 b^2 - c^2) z^3)) = 0.

Sean D, E, F los puntos de intersección de p con las rectas BC, CA, AB, respectivamente, las circunferencias (ADP_o), (BEP_o), (CFP_o) se vuelven a concurrir en:
Q = ( u v^4 w^2 + u^2 v^2 w^3 + 8 v^4 w^3 - u v^2 w^4 - 8 v^3 w^4 + c^4 u v^2 (u - v - w) (2 u + w) (2 v^2 - v w - w^2) - w^2 (-b^4 u (2 u + v) (u - v - w) (v^2 + v w - 2 w^2) - a^4 v^2 (v - w) (-u^2 + 8 v w + u (v + w)) - 2 a^2 b^2 v (u - w) (-u^2 (v + w) + 2 v w (v + w) + u (v^2 - 4 v w + w^2))) + 2 c^2 u^2 v^4 w^3 (a^2 (u - v) v (u^2 (v + w) - 2 v w (v + w) - u (v^2 - 4 v w + w^2)) + b^2 u (v - w) (v^3 + 2 v^2 w + 2 v w^2 + w^3 - 3 u^2 (v + w) + u (2 v^2 + 5 v w + 2 w^2)))a^4
+ 2 v w (c^2 (u - v) v + b^2 w (-u + w)) (u^2 (v + w) - 2 v w (v + w) - u (v^2 - 4 v w + w^2))a^2
+ u (u - v - w) (v - w) (-b^2 (2 u + v) w + c^2 v (2 u + w)) (c^2 v (2 v + w) - b^2 w (v + 2 w))) : ... : ... ).
Cuando P está sobre K002, Q está sobre la cúbica de Darboux (K004) y es el punto de intersección de las normales, en los vértices de ABC, a la cónica circunscrita c(P) de P.

Ternas {P=X_i,P_o=X_j,Q=X_k}, para {i,j,k}: {1,1155,1}, {3,34147,64}, {4,468,20}, {6,187,3}, {9,*,84}, {57,1319,40}, {223,*,3345}, {282,*,1490}, {1073,11589,1498}, {1249,*,3346}, {3341,*,3347}, {3342,*,3182}, {3343,*,3348}, {3344,*,3183}, {3349,*,2130}, {3350,*,2131}, {3351,*,3354}, {3352,*,3353}, {3356,*,3355}, {14481,*,3637}.
Lunes, 16 de marzo del 2020
La reflexión del circuncentro en el ortocentro como centro radical

"No hay rama de la matemática, por lo abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real". Nikolai Ivanovich Lobachevski

Dado un triángulo ABC, se denota, como es habitual, las longitudes de los lados BC, CA, AB por a, b, c, respectivamente, y por el .
El centro radical de las circunferencias de centros en M_a, M_b, M_c y radios √‍3a/2, √‍3b/2, √‍3c/2 es X₃₈₂, reflexión del circuncentro en el ortocentro.
La ecuación baricéntica de la circunferencia de centro M_a y radio √‍3a/2 es
a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y + (x + y + z) (1/2 (2 a^2 - b^2 - c^2) x + (a^2 y)/2 + ( a^2 z)/2) = 0.
Por permutación cíclica se obtienen las ecuaciones de las otras dos circunferencias. El de las tres es:
X₃₈₂ = ( a^4 - a^2 (b^2 + c^2)- 2 (b^2 - c^2)^2 : ... : ...).
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La circunferencia de centro M_a y radio √‍3a/2 es el lugar geométrico que describe un punto A' tal que el área del del punto simediano K_a del triángulo A'BC coincida con el área de dicho triángulo.
Domingo, 15 de marzo del 2020
Triángulos con centro ortológico común

"La esencia de las matemáticas reside en su libertad".-Georg Cantor

Si los centros ortológicos de dos triángulois ortológicos coinciden, entondes los triángulos son perspectivos.

Dados un triángulo ABC un punto P, para construir un triángulo A'B'C' a ABC, tal que sus centros de ortología coincidan, tomamos un puno D sobre la recta AP, verificando que AD : DP = k. Sean E el punto sobre BP y F sobre CP, tales que las perpendiculares por D, E, F a AP, BP, CP, forman un triángulo A'B'C' ortológico a ABC y que sus centros ortológicos coinciden en P.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, entonces:
D=(u+k u+v+w : k v : k w).

E=(u (c^2 u^2+c^2 k u^2-c^2 v^2+a^2 u w-b^2 u w+c^2 u w+a^2 k u w-b^2 k u w+c^2 k u w+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w+a^2 w^2-b^2 w^2+a^2 k w^2) : c^2 u^2 v+c^2 k u^2 v+c^2 u v^2+2 c^2 u v w+a^2 k u v w-b^2 k u v w+c^2 k u v w+c^2 v^2 w+b^2 u w^2+b^2 v w^2+c^2 v w^2+a^2 k v w^2+b^2 w^3 : w (c^2 u^2+c^2 k u^2-c^2 v^2+a^2 u w-b^2 u w+c^2 u w+a^2 k u w-b^2 k u w+c^2 k u w+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w+a^2 w^2-b^2 w^2+a^2 k w^2)),

F=(u (b^2 u^2+b^2 k u^2+a^2 u v+b^2 u v-c^2 u v+a^2 k u v+b^2 k u v-c^2 k u v+a^2 v^2-c^2 v^2+a^2 k v^2+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w-b^2 w^2) : v (b^2 u^2+b^2 k u^2+a^2 u v+b^2 u v-c^2 u v+a^2 k u v+b^2 k u v-c^2 k u v+a^2 v^2-c^2 v^2+a^2 k v^2+a^2 v w-b^2 v w-c^2 v w-b^2 w^2) : c^2 u v^2+c^2 v^3+b^2 u^2 w+b^2 k u^2 w+2 b^2 u v w+a^2 k u v w+b^2 k u v w-c^2 k u v w+b^2 v^2 w+c^2 v^2 w+a^2 k v^2 w+b^2 u w^2+b^2 v w^2).
Se concluye que:
A'=((b^2-c^2)^2 (1+k) u^2+a^4 ((1+k) u^2-4 v w)-2 a^2 (c^2 ((1+k) u^2-2 v (v+w))+b^2 ((1+k) u^2-2 w (v+w))) : a^4 v (u+k u+2 w)-2 a^2 (c^2 v (u+k u+v+2 w)+b^2 ((1+k) u v+w^2))+(b^2-c^2) (-c^2 v ((1+k) u+2 (v+w))+b^2 ((1+k) u v-2 w (v+w))) : a^4 (u+k u+2 v) w-2 a^2 (b^2 w (u+k u+2 v+w)+c^2 (v^2+(1+k) u w))+(b^2-c^2) (c^2 (2 v^2-(1+k) u w+2 v w)+b^2 w ((1+k) u+2 (v+w)))),

B'=(a^4 v (u+k u+2 w)-2 a^2 (c^2 v (u+k u+v+2 w)+b^2 ((1+k) u v+w^2))+(b^2-c^2) (-c^2 v ((1+k) u+2 (v+w))+b^2 ((1+k) u v-2 w (v+w))) : a^4 (1+k) v^2+c^4 (1+k) v^2+2 b^2 c^2 v (v-k v+2 w)+b^4 ((1+k) v^2+4 v w+4 w^2)-2 a^2 v (c^2 (1+k) v+b^2 (v+k v+2 w)) : a^4 (-1+k) v w+b^4 ((-1+k) v-2 w) w-c^4 v (2 v+w-k w)-2 b^2 c^2 (v^2+(3+k) v w+w^2)+2 a^2 (b^2 w (v-k v+w)+c^2 v (v+w-k w))),

C'=(-a^4 (u+k u+2 v) w+2 a^2 (b^2 w (u+k u+2 v+w)+c^2 (v^2+(1+k) u w))-(b^2-c^2) (c^2 (2 v^2-(1+k) u w+2 v w)+b^2 w ((1+k) u+2 (v+w))) : -a^4 (-1+k) v w+b^4 w (v-k v+2 w)+c^4 v (2 v+w-k w)+2 b^2 c^2 (v^2+(3+k) v w+w^2)-2 a^2 (b^2 w (v-k v+w)+c^2 v (v+w-k w)): -(a^2-b^2)^2 (1+k) w^2-c^4 (4 v^2+4 v w+(1+k) w^2)+2 c^2 w (-b^2 (2 v+w-k w)+a^2 (2 v+w+k w))).

Los triángulos ABC y A'B'C' son y su centro de perspectividad Q está sobre la circunhipérbola que pasa por P.
Q= ((-2 a^2 c^2 v^2+2 b^2 c^2 v^2-2 c^4 v^2+a^4 u w-2 a^2 b^2 u w+b^4 u w-2 a^2 c^2 u w-2 b^2 c^2 u w+c^4 u w+a^4 k u w-2 a^2 b^2 k u w+b^4 k u w-2 a^2 c^2 k u w-2 b^2 c^2 k u w+c^4 k u w+2 a^4 v w-4 a^2 b^2 v w+2 b^4 v w-2 c^4 v w-2 a^2 b^2 w^2+2 b^4 w^2-2 b^2 c^2 w^2) (a^4 u v-2 a^2 b^2 u v+b^4 u v-2 a^2 c^2 u v-2 b^2 c^2 u v+c^4 u v+a^4 k u v-2 a^2 b^2 k u v+b^4 k u v-2 a^2 c^2 k u v-2 b^2 c^2 k u v+c^4 k u v-2 a^2 c^2 v^2-2 b^2 c^2 v^2+2 c^4 v^2+2 a^4 v w-2 b^4 v w-4 a^2 c^2 v w+2 c^4 v w-2 a^2 b^2 w^2-2 b^4 w^2+2 b^2 c^2 w^2): (2 a^2 c^2 v^2-2 b^2 c^2 v^2-2 c^4 v^2-a^4 v w+2 a^2 b^2 v w-b^4 v w+2 a^2 c^2 v w-6 b^2 c^2 v w-c^4 v w+a^4 k v w-2 a^2 b^2 k v w+b^4 k v w-2 a^2 c^2 k v w-2 b^2 c^2 k v w+c^4 k v w+2 a^2 b^2 w^2-2 b^4 w^2-2 b^2 c^2 w^2) (a^4 u v-2 a^2 b^2 u v+b^4 u v-2 a^2 c^2 u v-2 b^2 c^2 u v+c^4 u v+a^4 k u v-2 a^2 b^2 k u v+b^4 k u v-2 a^2 c^2 k u v-2 b^2 c^2 k u v+c^4 k u v-2 a^2 c^2 v^2-2 b^2 c^2 v^2+2 c^4 v^2+2 a^4 v w-2 b^4 v w-4 a^2 c^2 v w+2 c^4 v w-2 a^2 b^2 w^2-2 b^4 w^2+2 b^2 c^2 w^2): (2 a^2 c^2 v^2-2 b^2 c^2 v^2-2 c^4 v^2-a^4 v w+2 a^2 b^2 v w-b^4 v w+2 a^2 c^2 v w-6 b^2 c^2 v w-c^4 v w+a^4 k v w-2 a^2 b^2 k v w+b^4 k v w-2 a^2 c^2 k v w-2 b^2 c^2 k v w+c^4 k v w+2 a^2 b^2 w^2-2 b^4 w^2-2 b^2 c^2 w^2) (-2 a^2 c^2 v^2+2 b^2 c^2 v^2-2 c^4 v^2+a^4 u w-2 a^2 b^2 u w+b^4 u w-2 a^2 c^2 u w-2 b^2 c^2 u w+c^4 u w+a^4 k u w-2 a^2 b^2 k u w+b^4 k u w-2 a^2 c^2 k u w-2 b^2 c^2 k u w+c^4 k u w+2 a^4 v w-4 a^2 b^2 v w+2 b^4 v w-2 c^4 v w-2 a^2 b^2 w^2+2 b^4 w^2-2 b^2 c^2 w^2)),
y la equación de la hipérbola es:
a^2 u (v - w) - (b^2 - c^2) u (v + w) y z + ... = 0.

El lugar geométrico del circuncentro O' de A'B'C', cuando k varía, es la recta PP* (siendo P* el de P).

La envolvente de la recta O'Q* es la cónica co(P) con ecuación:
u^2 (4 b^2 c^2 v w (w^2 (a^2 (u+w)+b^2 (v+w))+c^2 (u^2 v-w^2 (v+w)+u (v^2-w^2))) (a^2 v^2 (u+v)+c^2 v^2 (v+w)+b^2 (u^2 w-v^2 (v+w)+u (-v^2+w^2)))-(-c^4 v^2 (u+w) (v+w)+b^2 (u+v) w^2 (a^2 v-b^2 (v+w))+c^2 v w (a^2 v (u+w)+b^2 (2 u^2+2 u (v+w)+(v+w)^2)))^2)x^2+ 2 v w ((c^4 u^2 (u+w) (v+w)+a^2 (u+v) w^2 (-b^2 u+a^2 (u+w))-c^2 u w (b^2 u (v+w)+a^2 (u^2+2 v^2+2 v w+w^2+2 u (v+w)))) (a^4 v^2 (u+v) (u+w)+b^2 u^2 (-c^2 v+b^2 (u+v)) (v+w)-a^2 u v (c^2 v (u+w)+b^2 (u^2+v^2+2 v w+2 w^2+2 u (v+w))))-2 a^2 u (-u^2 (b^2 (u+v)+c^2 (u+w))+a^2 (u^3+u^2 (v+w)-v w (v+w))) (c^4 v^2 (u+w) (v+w)-b^2 (u+v) w^2 (a^2 v-b^2 (v+w))-c^2 v w (a^2 v (u+w)+b^2 (2 u^2+2 u (v+w)+(v+w)^2))))y z+ .... = 0.
Su centro es:
W_p = (c^4 u^2 v (u + w) (v + w) - c^2 u v w (2 b^2 u (v + w) + a^2 (3 u^2 + 3 u v + 2 v^2 + 4 u w + 3 v w + w^2)) + w (b^4 u^2 (u + v) (v + w) - a^2 b^2 u v (3 u^2 + 4 u v + v^2 + 3 u w + 3 v w + 2 w^2) + a^4 v (2 u^3 + 3 u^2 (v + w) - v w (v + w) + u (v + w)^2)) : ... : ... ).
( Mostrar/Ocultar figura )
Algunos pares {P=X_i, W_p=X_j}, para {i,j}: {2, 7622}, {74, 12041}, {98, 12042}, {99, 33813}, {100, 33814}, {110, 1511}, {111, 14650}, {1113, 35231}, {1114, 35232}, ...

CASOS PARTICULARES

• Cuando P es el incentro, co(X₁) degenera en la recta doble X₁X₃, que es la tangente en X₁.

• Cuando P es el baricentro, co(X₂) es la cónica de ecuación:
a^4 b^4 x^2-4 a^2 b^6 x^2+4 b^8 x^2-2 a^4 b^2 c^2 x^2+4 a^2 b^4 c^2 x^2-18 b^6 c^2 x^2+a^4 c^4 x^2+4 a^2 b^2 c^4 x^2+28 b^4 c^4 x^2-4 a^2 c^6 x^2-18 b^2 c^6 x^2+4 c^8 x^2+4 a^6 b^2 x y-10 a^4 b^4 x y+4 a^2 b^6 x y-4 a^6 c^2 x y+20 a^4 b^2 c^2 x y+20 a^2 b^4 c^2 x y-4 b^6 c^2 x y-10 a^4 c^4 x y-46 a^2 b^2 c^4 x y-10 b^4 c^4 x y+22 a^2 c^6 x y+22 b^2 c^6 x y-8 c^8 x y+4 a^8 y^2-4 a^6 b^2 y^2+a^4 b^4 y^2-18 a^6 c^2 y^2+4 a^4 b^2 c^2 y^2-2 a^2 b^4 c^2 y^2+28 a^4 c^4 y^2+4 a^2 b^2 c^4 y^2+b^4 c^4 y^2-18 a^2 c^6 y^2-4 b^2 c^6 y^2+4 c^8 y^2-4 a^6 b^2 x z-10 a^4 b^4 x z+22 a^2 b^6 x z-8 b^8 x z+4 a^6 c^2 x z+20 a^4 b^2 c^2 x z-46 a^2 b^4 c^2 x z+22 b^6 c^2 x z-10 a^4 c^4 x z+20 a^2 b^2 c^4 x z-10 b^4 c^4 x z+4 a^2 c^6 x z-4 b^2 c^6 x z-8 a^8 y z+22 a^6 b^2 y z-10 a^4 b^4 y z-4 a^2 b^6 y z+22 a^6 c^2 y z-46 a^4 b^2 c^2 y z+20 a^2 b^4 c^2 y z+4 b^6 c^2 y z-10 a^4 c^4 y z+20 a^2 b^2 c^4 y z-10 b^4 c^4 y z-4 a^2 c^6 y z+4 b^2 c^6 y z+4 a^8 z^2-18 a^6 b^2 z^2+28 a^4 b^4 z^2-18 a^2 b^6 z^2+4 b^8 z^2-4 a^6 c^2 z^2+4 a^4 b^2 c^2 z^2+4 a^2 b^4 c^2 z^2-4 b^6 c^2 z^2+a^4 c^4 z^2-2 a^2 b^2 c^4 z^2+b^4 c^4 z^2= 0,
que pasa por X₂, X₁₈₇, X₇₆₁₈; su centro es X₇₆₂₂.

• Cuando P es el circuncentro, co(X₃) degenera en la (doble), que es tangente en X₃.

• Cuando P es el ortocentro, co(X₄) no está definida.

• Cuando P es el , co(X₆) es la hipérbola de ecuación:
-4 a^8 b^6 c^2 x^2-4 a^6 b^8 c^2 x^2+4 a^4 b^10 c^2 x^2+4 a^2 b^12 c^2 x^2+8 a^8 b^4 c^4 x^2+4 a^6 b^6 c^4 x^2+a^4 b^8 c^4 x^2+4 b^12 c^4 x^2-4 a^8 b^2 c^6 x^2+4 a^6 b^4 c^6 x^2-10 a^4 b^6 c^6 x^2-4 a^2 b^8 c^6 x^2-4 a^6 b^2 c^8 x^2+a^4 b^4 c^8 x^2-4 a^2 b^6 c^8 x^2-8 b^8 c^8 x^2+4 a^4 b^2 c^10 x^2+4 a^2 b^2 c^12 x^2+4 b^4 c^12 x^2-4 a^8 b^4 c^4 x y-26 a^6 b^6 c^4 x y-4 a^4 b^8 c^4 x y+4 a^8 b^2 c^6 x y+10 a^6 b^4 c^6 x y+10 a^4 b^6 c^6 x y+4 a^2 b^8 c^6 x y+16 a^6 b^2 c^8 x y-2 a^4 b^4 c^8 x y+16 a^2 b^6 c^8 x y-4 a^4 b^2 c^10 x y-4 a^2 b^4 c^10 x y-16 a^2 b^2 c^12 x y+4 a^12 b^2 c^2 y^2+4 a^10 b^4 c^2 y^2-4 a^8 b^6 c^2 y^2-4 a^6 b^8 c^2 y^2+4 a^12 c^4 y^2+a^8 b^4 c^4 y^2+4 a^6 b^6 c^4 y^2+8 a^4 b^8 c^4 y^2-4 a^8 b^2 c^6 y^2-10 a^6 b^4 c^6 y^2+4 a^4 b^6 c^6 y^2-4 a^2 b^8 c^6 y^2-8 a^8 c^8 y^2-4 a^6 b^2 c^8 y^2+a^4 b^4 c^8 y^2-4 a^2 b^6 c^8 y^2+4 a^2 b^4 c^10 y^2+4 a^4 c^12 y^2+4 a^2 b^2 c^12 y^2+4 a^8 b^6 c^2 x z+16 a^6 b^8 c^2 x z-4 a^4 b^10 c^2 x z-16 a^2 b^12 c^2 x z-4 a^8 b^4 c^4 x z+10 a^6 b^6 c^4 x z-2 a^4 b^8 c^4 x z-4 a^2 b^10 c^4 x z-26 a^6 b^4 c^6 x z+10 a^4 b^6 c^6 x z+16 a^2 b^8 c^6 x z-4 a^4 b^4 c^8 x z+4 a^2 b^6 c^8 x z-16 a^12 b^2 c^2 y z-4 a^10 b^4 c^2 y z+16 a^8 b^6 c^2 y z+4 a^6 b^8 c^2 y z-4 a^10 b^2 c^4 y z-2 a^8 b^4 c^4 y z+10 a^6 b^6 c^4 y z-4 a^4 b^8 c^4 y z+16 a^8 b^2 c^6 y z+10 a^6 b^4 c^6 y z-26 a^4 b^6 c^6 y z+4 a^6 b^2 c^8 y z-4 a^4 b^4 c^8 y z+4 a^12 b^4 z^2-8 a^8 b^8 z^2+4 a^4 b^12 z^2+4 a^12 b^2 c^2 z^2-4 a^8 b^6 c^2 z^2-4 a^6 b^8 c^2 z^2+4 a^2 b^12 c^2 z^2+4 a^10 b^2 c^4 z^2+a^8 b^4 c^4 z^2-10 a^6 b^6 c^4 z^2+a^4 b^8 c^4 z^2+4 a^2 b^10 c^4 z^2-4 a^8 b^2 c^6 z^2+4 a^6 b^4 c^6 z^2+4 a^4 b^6 c^6 z^2-4 a^2 b^8 c^6 z^2-4 a^6 b^2 c^8 z^2+8 a^4 b^4 c^8 z^2-4 a^2 b^6 c^8 z^2=0,
que pasa por X₆, X₂₃; su centro es el punto medio de X₁₂₀₃₉ y X₁₄₈₁₀:
W₆ = (2 a^8-7 a^2 b^2 c^2 (b^2+c^2)-2 a^4 (b^4+b^2 c^2+c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (5.30381475457525, 3.92023061585448, -1.52125583118037).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,32217}, {3,8705}, {6,7496}, {67,110}, {182,524}, {511,32154}, {599,11003}, {1350,35921}, {2076,30489}, {2854,5092}, {3431,5085}, {3589,22112}, {3631,5157}, {5012,22165}, {5467,14096}, {5650,6593}, {5651,19127}, {8542,17508}, {8550,13339}, {9019,12039}, {9027,20190}, {10354,28662}, {16187,19126}, {25488,29181}

Las asíntotas de co(X₆) son W₆X₅₀₀₄ y W₆X₅₀₀₅.
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El punto W ha sido incorporado a ETC con el número X(37283).
• Cuando P recorre la circunferencia circunscrita el centro W_p de co(P) es el punto medio de P y X₃.

• Cuando P recorre la cúbica de McCay (K003 del catálogo de Bernard Gibert), la cónica co(P) degenera en la recta doble que pasa por el circuncentro y contiene a P, P*, Q*, O'.
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Viernes, 13 de marzo del 2020
Una elipse con circunferencia secundaria el incírculo

El 13 de marzo de 1781 con un telescopio reflector de 152 milímetros construido por él mismo, el astrónomo inglés William Herschel observa por primera vez a Urano, séptimo planeta desde el Sol, y le da el nombre del padre del dios Saturno. Su distancia media del Sol es de 19,19 unidades astronómicas, orbita el Sol cada 84,01 años y tiene un priodo de rotación de 17,24 horas. Su diámetro es de 51.118 kilómetros --cuatro veces el de la Tierra-- y tiene más de 20 satélites observados.

Dados un triángulo ABC, de incentro I=X₁, y un punto P sobre su circunferencia circunscrita, sean D el punto de intersección de BC con la reflexión de AP en AI, E el punto de intersección de CA con la reflexión de BP en BI y F el punto de intersección de AB con la reflexión de CP en CI.
Los puntos D, E, F están alineados sobre una recta ℓ_P, Sea 𝓈_P la de P y Q = ℓ_P, ∩ 𝓈_P.
El lugar geométrico de Q, cuando P varía sobre la circunferencia circunscrita, es la elipse
( (-a^5+3 a^4 b-2 a^3 b^2-2 a^2 b^3+3 a b^4-b^5+3 a^4 c-12 a^3 b c+14 a^2 b^2 c-4 a b^3 c-b^4 c-2 a^3 c^2+14 a^2 b c^2-18 a b^2 c^2+6 b^3 c^2-2 a^2 c^3-4 a b c^3+6 b^2 c^3+3 a c^4-b c^4-c^5) x^2+(-2 a^5+6 a^4 b-4 a^3 b^2-4 a^2 b^3+6 a b^4-2 b^5+2 a^4 c-16 a^3 b c+28 a^2 b^2 c-16 a b^3 c+2 b^4 c+4 a^3 c^2-4 a^2 b c^2-4 a b^2 c^2+4 b^3 c^2-4 a^2 c^3+8 a b c^3-4 b^2 c^3-2 a c^4-2 b c^4+2 c^5) x y+(-a^5+3 a^4 b-2 a^3 b^2-2 a^2 b^3+3 a b^4-b^5-a^4 c-4 a^3 b c+14 a^2 b^2 c-12 a b^3 c+3 b^4 c+6 a^3 c^2-18 a^2 b c^2+14 a b^2 c^2-2 b^3 c^2+6 a^2 c^3-4 a b c^3-2 b^2 c^3-a c^4+3 b c^4-c^5) y^2+(-2 a^5+2 a^4 b+4 a^3 b^2-4 a^2 b^3-2 a b^4+2 b^5+6 a^4 c-16 a^3 b c-4 a^2 b^2 c+8 a b^3 c-2 b^4 c-4 a^3 c^2+28 a^2 b c^2-4 a b^2 c^2-4 b^3 c^2-4 a^2 c^3-16 a b c^3+4 b^2 c^3+6 a c^4+2 b c^4-2 c^5) x z+(2 a^5-2 a^4 b-4 a^3 b^2+4 a^2 b^3+2 a b^4-2 b^5-2 a^4 c+8 a^3 b c-4 a^2 b^2 c-16 a b^3 c+6 b^4 c-4 a^3 c^2-4 a^2 b c^2+28 a b^2 c^2-4 b^3 c^2+4 a^2 c^3-16 a b c^3-4 b^2 c^3+2 a c^4+6 b c^4-2 c^5) y z+(-a^5-a^4 b+6 a^3 b^2+6 a^2 b^3-a b^4-b^5+3 a^4 c-4 a^3 b c-18 a^2 b^2 c-4 a b^3 c+3 b^4 c-2 a^3 c^2+14 a^2 b c^2+14 a b^2 c^2-2 b^3 c^2-2 a^2 c^3-12 a b c^3-2 b^2 c^3+3 a c^4+3 b c^4-c^5) z^2 = 0)
que pasa por los centros X₂₄₄₆, X₂₄₄₇ (estos son los puntos de intersección del incírculo con la recta que pasa pòr el incentro y circuncentro), X₃₂₅₉, X₃₇₅₆, X₃₉₃₇.
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Ercole Suppa hace notar (comunicación personal) que el semieje mayor de la elipse es R-r, diferencia entre los radios de las circunferencia circunscrita e inscrita a ABC.
Jueves, 12 de marzo del 2020
Circunferencia lugar de centros de semejanza

El 12 de marzo de 1919 nació Miguel Gila, humorista madrileño, al que se le recordará pegado al teléfono.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sean y P^aP^bP^c los triángulos y de P, respectivamente.
Sean Q_a, Q_b, Q_c los puntos que dividen a los segmentos P_aP^a, P_bP^b, P_cP^c, resp., en la misma razón t.
Las perpendiculares por Q_a, Q_b, Q_c a BC, CA, AB, respectivamente, forman un triángulo A'B'C', directamente semejante a ABC.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntris de P, el centro de semejanza es:
S_p = ((u+v)(u+w) ( (a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))u(u+v)(u+w)(v+w)^2t^2 +2(v+w)((b^2-c^2)u^2(v+w)(b^2(u+v)-c^2(u+w))+ a^4(u+v)(u+w)(2v w+u(v+w))-a^2u(v+w)(c^2(2u+3v)(u+w)+ b^2(u+v)(2u+3w)))t -4a^2(u+v+w)(c^2u v(u+w)(v+w)-(u+v)w(a^2v(u+w)-b^2u(v+w)))) : ... : ...).
El lugar geométrico de S_p, cuando t varía, es la circunferencia
( (a^2 c^2 u v^3-b^2 c^2 u v^3-c^4 u v^3+a^2 c^2 u v^2 w-b^2 c^2 u v^2 w-c^4 u v^2 w+a^2 c^2 v^3 w+b^2 c^2 v^3 w-c^4 v^3 w-a^2 b^2 u v w^2+b^4 u v w^2+b^2 c^2 u v w^2-a^2 b^2 v^2 w^2+b^4 v^2 w^2+a^2 c^2 v^2 w^2-c^4 v^2 w^2-a^2 b^2 u w^3+b^4 u w^3+b^2 c^2 u w^3-a^2 b^2 v w^3+b^4 v w^3-b^2 c^2 v w^3) x^2+(-2 a^2 c^2 u^2 v^2+2 b^2 c^2 u^2 v^2+a^2 c^2 u^2 v w+b^2 c^2 u^2 v w-c^4 u^2 v w-a^2 c^2 u v^2 w-b^2 c^2 u v^2 w+c^4 u v^2 w-a^4 u^2 w^2+a^2 b^2 u^2 w^2+2 a^2 c^2 u^2 w^2-b^2 c^2 u^2 w^2-c^4 u^2 w^2-a^4 u v w^2+b^4 u v w^2+a^2 c^2 u v w^2-b^2 c^2 u v w^2-a^2 b^2 v^2 w^2+b^4 v^2 w^2+a^2 c^2 v^2 w^2-2 b^2 c^2 v^2 w^2+c^4 v^2 w^2-a^4 u w^3+b^4 u w^3+2 a^2 c^2 u w^3-c^4 u w^3-a^4 v w^3+b^4 v w^3-2 b^2 c^2 v w^3+c^4 v w^3) x y+(a^2 c^2 u^3 v-b^2 c^2 u^3 v+c^4 u^3 v-a^2 c^2 u^3 w-b^2 c^2 u^3 w+c^4 u^3 w+a^2 c^2 u^2 v w-b^2 c^2 u^2 v w+c^4 u^2 v w-a^4 u^2 w^2+a^2 b^2 u^2 w^2-b^2 c^2 u^2 w^2+c^4 u^2 w^2-a^4 u v w^2+a^2 b^2 u v w^2-a^2 c^2 u v w^2-a^4 u w^3+a^2 b^2 u w^3+a^2 c^2 u w^3-a^4 v w^3+a^2 b^2 v w^3-a^2 c^2 v w^3) y^2+(a^4 u^2 v^2-2 a^2 b^2 u^2 v^2+b^4 u^2 v^2-a^2 c^2 u^2 v^2+b^2 c^2 u^2 v^2+a^4 u v^3-2 a^2 b^2 u v^3+b^4 u v^3-c^4 u v^3-a^2 b^2 u^2 v w+b^4 u^2 v w-b^2 c^2 u^2 v w+a^4 u v^2 w-a^2 b^2 u v^2 w+b^2 c^2 u v^2 w-c^4 u v^2 w+a^4 v^3 w-b^4 v^3 w+2 b^2 c^2 v^3 w-c^4 v^3 w+2 a^2 b^2 u^2 w^2-2 b^2 c^2 u^2 w^2+a^2 b^2 u v w^2-b^4 u v w^2+b^2 c^2 u v w^2-a^2 b^2 v^2 w^2-b^4 v^2 w^2+a^2 c^2 v^2 w^2+2 b^2 c^2 v^2 w^2-c^4 v^2 w^2) x z+(-a^4 u^3 v+2 a^2 b^2 u^3 v-b^4 u^3 v+c^4 u^3 v-a^4 u^2 v^2+2 a^2 b^2 u^2 v^2-b^4 u^2 v^2-a^2 c^2 u^2 v^2+b^2 c^2 u^2 v^2+a^4 u^3 w-b^4 u^3 w-2 a^2 c^2 u^3 w+c^4 u^3 w+a^2 b^2 u^2 v w-b^4 u^2 v w-a^2 c^2 u^2 v w+c^4 u^2 v w-a^4 u v^2 w+a^2 b^2 u v^2 w+a^2 c^2 u v^2 w+a^4 u^2 w^2+a^2 b^2 u^2 w^2-2 a^2 c^2 u^2 w^2-b^2 c^2 u^2 w^2+c^4 u^2 w^2+a^4 u v w^2-a^2 b^2 u v w^2-a^2 c^2 u v w^2-2 a^2 b^2 v^2 w^2+2 a^2 c^2 v^2 w^2) y z+(a^2 b^2 u^3 v-b^4 u^3 v+b^2 c^2 u^3 v+a^4 u^2 v^2-b^4 u^2 v^2-a^2 c^2 u^2 v^2+b^2 c^2 u^2 v^2+a^4 u v^3-a^2 b^2 u v^3-a^2 c^2 u v^3-a^2 b^2 u^3 w-b^4 u^3 w+b^2 c^2 u^3 w-a^2 b^2 u^2 v w-b^4 u^2 v w+b^2 c^2 u^2 v w+a^4 u v^2 w+a^2 b^2 u v^2 w-a^2 c^2 u v^2 w+a^4 v^3 w+a^2 b^2 v^3 w-a^2 c^2 v^3 w) z^2 = 0)
Γ_p, que pasa por P, de ecuación:
(v+w)(b^4(u+v)w^2-c^4v^2(u+w)+a^2(-b^2(u+v)w^2+c^2v^2(u+w))+b^2c^2(v-w)(v w-u(v+w)))x^2
-(a^4u(u+v)(v-w)(u+w)-a^2(-c^2(u+w)(2u^2w-2v^2w+u v(v+w))+ b^2(2u^3v+u v w(v-w)-2v^2w^2+u^2(2v^2+v w+w^2))) +(b^2-c^2)u^2(v+w)(b^2(u+v)+c^2(u+w))y z + ⋯ = 0,
y su centro es:
W = (u (a^2 (u + v) (v - w) (u + w) - u (v + w) (b^2 (u + v) - c^2 (u + w))) : ⋯ : ⋯).
Ternas {P=X_i, W=X_j, Z=X_k}, siendo W el de P y Z, para {i, j , k}: {1, 2605, 14838}, {30, *, 14566}, {67, *, 18310}, {80, *, 21198}, {265, *, 14566}, {315, *, 30476}, {512, *, 11052}, {514, *, 24980}, {523, *, 24975}, {858, *, 18310}, {1670, *, 647}, {1671, *, 647}, {2394, *, 22104}, {2996, *, 14341}, {3869, *, 14838}, {5176, *, 21198}, {17732, *, 3239}.
( Mostrar/Ocultar figura )
El antipodal de P en la circunferncia Γ_p es:
P' = (u (u + v) (u + w) (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v + w)) : ⋯ : ⋯).
Pares {P=X_i, P'=X_j}, para {i,j}: {1, 3737}, {3, 23286}, {10, 31010}, {877, 23582}, {2394, 5627}, {4240, 32230}, {15328, 12028}.

CASOS PARTICULARES

• Si P=X₁ es el incentro, la circunferencia Γ₁
( a b^4 c^2 x^2-b^5 c^2 x^2-b^4 c^3 x^2-a b^2 c^4 x^2+b^3 c^4 x^2+b^2 c^5 x^2+a^5 c^2 x y+a^3 b^2 c^2 x y-a^2 b^3 c^2 x y-b^5 c^2 x y-2 a^3 c^4 x y+a^2 b c^4 x y-a b^2 c^4 x y+2 b^3 c^4 x y+a c^6 x y-b c^6 x y+a^5 c^2 y^2-a^4 b c^2 y^2+a^4 c^3 y^2-a^3 c^4 y^2+a^2 b c^4 y^2-a^2 c^5 y^2-a^5 b^2 x z+2 a^3 b^4 x z-a b^6 x z-a^2 b^4 c x z+b^6 c x z-a^3 b^2 c^2 x z+a b^4 c^2 x z+a^2 b^2 c^3 x z-2 b^4 c^3 x z+b^2 c^5 x z+a^6 b y z-2 a^4 b^3 y z+a^2 b^5 y z-a^6 c y z+a^4 b^2 c y z-a^4 b c^2 y z+a^2 b^3 c^2 y z+2 a^4 c^3 y z-a^2 b^2 c^3 y z-a^2 c^5 y z-a^5 b^2 z^2-a^4 b^3 z^2+a^3 b^4 z^2+a^2 b^5 z^2+a^4 b^2 c z^2-a^2 b^4 c z^2 = 0)
pasa por los centros X₁, X₃₆, X₅₀₁, X₃₇₃₇, X₅₁₂₇.

• Si P=X₂ es el baricentro, el lugar geométrico de los centros de semejanza S₂ constan de la y la .

• Si P=X₃ es el circuncentro, la circunferencia Γ₃
( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-(((a^8 b^4 c^2-3 a^6 b^6 c^2+3 a^4 b^8 c^2-a^2 b^10 c^2+a^8 b^2 c^4-2 a^6 b^4 c^4+a^4 b^6 c^4-3 a^6 b^2 c^6+a^4 b^4 c^6+2 a^2 b^6 c^6+3 a^4 b^2 c^8-a^2 b^2 c^10) x)/((a^2-b^2) (a^2-c^2) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2))+((-a^10 b^2 c^2+3 a^8 b^4 c^2-3 a^6 b^6 c^2+a^4 b^8 c^2+a^6 b^4 c^4-2 a^4 b^6 c^4+a^2 b^8 c^4+2 a^6 b^2 c^6+a^4 b^4 c^6-3 a^2 b^6 c^6+3 a^2 b^4 c^8-a^2 b^2 c^10) y)/((-a^2+b^2) (-b^2+c^2) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2)+((-a^10 b^2 c^2+2 a^6 b^6 c^2-a^2 b^10 c^2+3 a^8 b^2 c^4+a^6 b^4 c^4+a^4 b^6 c^4+3 a^2 b^8 c^4-3 a^6 b^2 c^6-2 a^4 b^4 c^6-3 a^2 b^6 c^6+a^4 b^2 c^8+a^2 b^4 c^8) z)/((b^2-c^2) (-a^2+c^2) (a^4-2 a^2 b^2+b^4-2 a^2 c^2-2 b^2 c^2+c^4)^2)) = 0)
pasa por los centros X₃, X₁₈₆, X₁₁₅₇, X₆₇₆₀, X₂₃₂₈₆. Su centro es el punto medio de X₃ y X₂₃₂₈₆:
W₃ = ( a^4 (b^2-c^2) (-a^2+b^2+c^2)^2 (a^4+b^4-b^2 c^2+c^4-2 a^2 (b^2+c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (4.60780876953818, 4.79924127781350, -1.80856814251951).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,6368}, {418,34987}, {520,4091}, {523,15646}, {924,14270}, {1510,6150}, {14380,16665}, {15451,30210}, {22347,23226}.

• Si P=X₄ es el ortocentro, los triángulos y P^aP^bP^c coinciden.

• Si P=X₆ es el , la circunferencia Γ₆
( a^4 b^6 c^2 x^2-a^2 b^8 c^2 x^2-a^2 b^6 c^4 x^2+2 b^8 c^4 x^2-a^4 b^2 c^6 x^2+a^2 b^4 c^6 x^2+a^2 b^2 c^8 x^2-2 b^4 c^8 x^2-2 a^6 b^4 c^2 x y+2 a^4 b^6 c^2 x y-a^8 c^4 x y+a^6 b^2 c^4 x y-a^2 b^6 c^4 x y+b^8 c^4 x y+a^6 c^6 x y-2 a^4 b^2 c^6 x y+2 a^2 b^4 c^6 x y-b^6 c^6 x y+a^4 c^8 x y-b^4 c^8 x y-a^2 c^10 x y+b^2 c^10 x y+a^8 b^2 c^2 y^2-a^6 b^4 c^2 y^2-2 a^8 c^4 y^2+a^6 b^2 c^4 y^2-a^4 b^2 c^6 y^2+a^2 b^4 c^6 y^2+2 a^4 c^8 y^2-a^2 b^2 c^8 y^2+a^8 b^4 x z-a^6 b^6 x z-a^4 b^8 x z+a^2 b^10 x z-a^6 b^4 c^2 x z+2 a^4 b^6 c^2 x z-b^10 c^2 x z+2 a^6 b^2 c^4 x z-2 a^2 b^6 c^4 x z+b^8 c^4 x z-2 a^4 b^2 c^6 x z+a^2 b^4 c^6 x z+b^6 c^6 x z-b^4 c^8 x z-a^10 b^2 y z+a^8 b^4 y z+a^6 b^6 y z-a^4 b^8 y z+a^10 c^2 y z-2 a^6 b^4 c^2 y z+a^4 b^6 c^2 y z-a^8 c^4 y z+2 a^6 b^2 c^4 y z-2 a^2 b^6 c^4 y z-a^6 c^6 y z-a^4 b^2 c^6 y z+2 a^2 b^4 c^6 y z+a^4 c^8 y z+2 a^8 b^4 z^2-2 a^4 b^8 z^2-a^8 b^2 c^2 z^2-a^6 b^4 c^2 z^2+a^4 b^6 c^2 z^2+a^2 b^8 c^2 z^2+a^6 b^2 c^4 z^2-a^2 b^6 c^4 z^2 = 0)
pasa por los centros X₆, X₁₆₉₁, X₁₄₈₈₅, X₃₄₁₃₇. Su centro es:
W₆ = ( a^4 (b^6 - c^6 + a^4 (-b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.992229815301442, 3.12950807690636, 1.93203418957295).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,826}, {512,1692}, {525,13196}, {690,22159}, {2451,7950}, {3050,7927}, {8574,15451}, {9427,24973}.

El antipodal de X₆ en Γ₆ es la reflexión de X₂₂₁₅₉ en X₃₀₄₉:
P'₆ = ( a^2 (a^2 + b^2) (a^2 + c^2) (b^2 - c^2) ) (a^2 - b^2 - c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-2.97736812566855, 4.76965341121422, 1.71276663983694).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {6,826}, {83,2422}, {251,2433}, {419,2501}, {512,1691}, {525,3049}, {647,8673}, {733,2698}, {810,22061}, {827,1625}, {878,10547}, {1176,10097}, {2623,3569}, {3566,22105}, {4630,35325}, {7254,34055}, {9217,9431}, {10548,15412}.
Miércoles, 11 de marzo del 2020
Otra construcción del punto de Longuet-Higgins

El 11 de marzo de 2004, entre las 07:36 y las 07:40 se produjeron diez explosiones casi simultáneas en cuatro trenes de Madrid. Los atentados fueron provocados por una célula terrorista de tipo yihadista, tal como reveló la posterior investigación policial, sentenció la Audiencia Nacional y reiteró el Tribunal Supremo. Fallecieron 193 personas y alrededor de dos mil resultaron heridas. Una comunicación manipulada por parte del Gobierno del PP provocará un cambio radical en intención de voto, otorgando el triunfo al PSOE tres días después. (Quien siembra vientos recoge tempestades)

X(962) = LONGUET-HIGGINS POINT

X(962) is shown in Michael S. Longuet-Higgins, "On the principal centers of a triangle," Elemente der Mathematik 56 (2001) 122-129,

Notations:
O is the circumcenter, I is the incenter, M is the centroid, H is the orthocente, L is the Longchamps point, N is the Nagel point, J (=X(40)) is the Yff point or countercenter (meet of the perpendiculars from the three excenters IA , IB , IC to the corresponding sides of ABC), I' is the Spieker point (incenter of the median triangle ), J' is the countercenter of median triangle.

X(962) is the radical center of the circles centered at A, B, C, with respective radii |CA| + |AB|, |AB| + |BC|, |BC| + |CA|. See

Floor van Lamoen, Problem 10734, American Mathematical Monthly 107 (2000) 658-659.

X(40) = BEVAN POINT

Hyacinthos #6771
Date : Thu Mar 20, 2003 3 : 32 am
Subject : excentral triangle

Dear hyacintos
Is the circumcenter of excentral triangle a well know point? If so, which is it?
Michel

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Hyacinthos #6772
Date : Thu Mar 20, 2003 6 : 16 am
Subject : Re : excentral triangle

Dear Michel,
The circumcenter of the excentral triangle is the reflection of the incenter in the circumcenter, the point X(40) in ETC.

Best regards
Sincerely
Paul

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Hyacinthos #6773
Date : Thu Mar 20, 2003 9 : 26 am
Subject : Bevan point X(40) (was : [EMHL] Re : excentral triangle)

Dear Michel,

Now you have provoked me to expound the theory of one of my favorite points, the Bevan point X(40).
I call X(40) the BEVAN POINT of triangle ABC; former names were Yff center, countercenter and Hadamard point.

Let IaIbIc be the excentral triangle of ABC.

-- X(40) is defined as the circumcenter of the excentral triangle IaIbIc.

-- X(40) is the reflection of the incenter of ABC in the circumcenter of ABC. -- The perpendiculars from Ia to BC, from Ib to CA, from Ic to AB concur at X(40).

-- X(40) is the incenter of the extangents triangle of ABC.

-- X(40) is the midpoint between the Nagel point X (8) and the Longchamps point X (20).

-- X(40) is the reflection of the orthocenter X (4) in the Spieker point X (10).

-- Let the b - excircle touch BC at Ab and the c - excircle touch BC at Ac. The circle with diameter AbAc, and two other similarly defined circles, have radical center X(40).

-- The actual trilinears of X(40) are
[ 2 R - ra, 2 R - rb, 2 R - rc ].

-- The homogeneous trilinears of X(40) are
( cos B + cos C - cos A - 1 : cos C + cos A - cos B - 1 : cos A + cos B - cos C - 1 ).

-- The perpendiculars from Ib to AB and from Ic to CA meet at a point X. Analogously define points Y and Z. Then the lines AX, BY and CZ concur at the point X (84), which I call HEXYL POINT of triangle ABC. This Hexyl point X (84) is the isogonal conjugate of the Bevan point X (40).

Sincerely,
Darij Grinberg
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Constructions received from Randy Hutson, January 29, 2015 :VConstructions received from Randy Hutson, January 29, 2015:

(1) Let A' B' C' be the extangents triangle.Let A " be the reflection of A' in BC, and define B", C " cyclically. A'A", B' B ", C'C" concur in X(40).

(2) Let A' B' C' be the extangents triangle.Let A " be the cevapoint of B' and C', and define B", C " cyclically. The lines AA", BB ", CC" concur in X(40).

(3) Let A' B' C' be the hexyl triangle and A "B" C " be the side-triangle of ABC and hexyl triangle. Let A* be the {B,C}-harmonic conjugate of A", and define B*, C*cyclically.The lines A' A*, B' B*, C' C*concur in X(40).

(4) Let Ia be the reflection of X (1) in the perpendicular bisector of BC, and define Ib, Ic cyclically.X(40) = X (104) - of - IaIbIc.

(5) Let A' B' C' be the cevian triangle of X (189).Let A " be the orthocenter of AB'C', and define B", C " cyclically. The lines AA", BB ", CC" concur in X(40).

(6) Let A' B' C' be the mixtilinear incentral triangle.Let A " be the trilinear product B'*C', and define B", C " cyclically. The lines AA", BB ", CC" concur in X(40).

Let A' B' C' be the intouch triangle of the extangents triangle, if ABC is acute.Then A' B' C' is homothetic to the Aquila triangle at X(40).(Randy Hutson, December 2, 2017)

Let A' B' C' be the excentral triangle.Let A " be the isogonal conjugate, wrt A'BC, of A. Define B" and C " cyclically. (A" is also the reflection of A' in BC, and cyclically for B " and C").The lines A' A ", B'B", C' C " concur in X(40). (Randy Hutson, December 2, 2017)

Dado un triángulo ABC, de incentro I =X₁ y circuncentro H=X₄, la perpendicular a la bisectriz BI en i corta a AH en A_b y la perpendicular a la bisectriz CI en I corta a AH en A_c.
Sea ℓ_a la recta que pasa por los puntos donde la circunferencia Γ_a=() –tangente a AI– vuelve a cortar a BI y CI. Se definen cíclicamente la rectas ℓ_b y ℓ_c.
Las rectas ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c concurren en X₉₆₂, reflexión del punto de De Longschamps en el incentro.
( Mostrar/Ocultar figura )
En coordenadas baricéntricas:
A_b = (a (a^2 + 2 a (b - c) + b^2 - c^2) : c (a^2 + b^2 - c^2) : c (a^2 - b^2 + c^2)),

A_c = (a (a^2 - 2 a b - b^2 + 2 a c + c^2) : b (a^2 + b^2 - c^2), b (a^2- b^2+ c^2)).
La circunferencia
( c^2 x y+b^2 x z+a^2 y z+(x+y+z) (-((((c (a^2-b^2+c^2) (a^2 b c+a b^2 c+a b c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))+c (a+b+c) (a c^3 (a^2+b^2-c^2) (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)+a^2 c^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-b^2+c^2)+a b^2 c (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2) (a^2-b^2+c^2))) (-b^2 (a+b+c) (-a^2+b^2-c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2))-b c (a+b+c) (a^2+b^2-c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2)))-(-c^2 (a+b+c) (a^2+b^2-c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))+b c (a+b+c) (a^2-b^2+c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))) (-b (-a^2+b^2-c^2) (a^2 b c+a b^2 c+a b c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2))+c (a+b+c) (-a^2 b^2 (-a^2+b^2-c^2) (a^2+b^2-c^2)-a b^3 (-a^2+b^2-c^2) (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2)+a b c^2 (a^2+b^2-c^2) (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2)))) x)/((-a c (a+b+c) (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))+a c (a+b+c) (a^2-b^2+c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))) (-b^2 (a+b+c) (-a^2+b^2-c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2))-b c (a+b+c) (a^2+b^2-c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2)))-(-c^2 (a+b+c) (a^2+b^2-c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))+b c (a+b+c) (a^2-b^2+c^2) (-c (a^2+b^2-c^2)-a (a^2+b^2+2 a (b-c)-c^2)-c (a^2-b^2+c^2))) (-a b (a+b+c) (-a^2+b^2-c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2))-a c (a+b+c) (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2) (b (-a^2+b^2-c^2)-b (a^2+b^2-c^2)-a (a^2-2 a b-b^2+2 a c+c^2)))))-((a^2 c-2 a b c-b^2 c+2 a c^2+c^3) y)/(a+b+c)-((a^2 b+2 a b^2+b^3-2 a b c-b c^2) z)/(a+b+c)) = 0)
(), cuyo centro es
O_a =(a^3 - 2 a (b - c)^2 - (b - c)^2 (b + c) : b (a^2 + a (b - c) + 2 (b - c) c) : c (a^2 + a (-b + c) + 2 b (-b + c))),
vuelve a cortar a BI y CI en los puntos antipodales de A_b y A_c. La ecuación de la recta ℓ_a que pasa por ellos –paralela a AH– es:
2 a (-b + c) x + (a^2 - 2 a b - b^2 + 2 a c + c^2) y + (-a^2 - 2 a b - b^2 + 2 a c + c^2) z = 0.
Esta recta y las que se obienen cíclicamnete, ℓ_b y ℓ_c, concurren en:
X₉₆₂ = (a^4 + 2 a^3 (b + c) - 4 a^2 b c - 2 a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2 : ... : ...).

El triángulo

Las circunferencias Γ_a, Γ_b y Γ_c se cortan dos a dos, a parte de en I, en las reflexiones I_a, I_b, I_c de I en los lados de . Como I está en la circunferencia circunscrita a (que también pasa por X₇₉₈₂, del ), los puntos I_a, I_b, I_c están sobre una recta, que pasa por su ortocentro (que coincide con el ortocentro de ABC).

Reflections in Triangle Geometry

Antreas P. Hatzipolakis and Paul Yiu
On the 10th Anniversary of Hyacinthos

Forum GeometricorumVolume 9 (2009) 301‐348.

Los triángulos ABC y son

El centro ortológico de ABC respecto a es X₈₀, reflexión del incentro en el .

El centro ortológico de respecto a ABC es X₁₂₆₉₉, punto de Bevan del .
Sábado, 7 de marzo del 2020
Triángulos asociado a triangulos circuncevianos

El 7 de marzo de 1966, en la costa de Almería (España), el ministro de Información y Turismo, Manuel Fraga, acompañado del embajador de Estados Unidos se bañan supuestamente en la playa de Palomares para hacer creer que no existe riesgo de contaminación radioactiva, ante el temor popular a la radiactividad de una bomba H estadounidense perdida en el mar tras un accidente aéreo. Años después se descubriría que la playa donde se bañó Manuel Fraga no era la de Palomares.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sea DEF el de P. La cónica 𝒞_a que pasa por A y que, respecto a ella, DF y DE son las polares de B y C, respectivamente, vuelve a corta a AC y a AB en A_b y A_c, respectivamente. Los puntos Bc, B_a, C_a, C_b se definen cíclicamente.
Sean los puntos A'=A_cB_a∩A_bC_a, B'=A_bC_a∩C_bB_c, C'=C_bB_c∩A_cB_a.
Las rectas AA', BB' y CC' son concurrentes en un punto Q, las rectas DA', EB' y FC' son concurrentes en un punto Z y los puntos P, Q y Z están alineados.
En concecuencia, los seis puntos A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_b están en una cónica: de ABC y A'B'C'.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, la ecuación de 𝒞_a es:
b^2 u w^2 (c^2 u + a^2 w)y^2 + c^2 u v^2 (b^2 u + a^2 v)z^2 -2 v (b^2 u + a^2 v) w (c^2 u + a^2 w)y z -2 v (b^2 u + a^2 v) w (c^2 v + b^2 w)z x -2 v w (c^2 u + a^2 w) (c^2 v + b^2 w)x y = 0.
Y vuelve a corta a AC y a AB, respectivamente, en:
A_b = (c^2 u v : 0 : 2 w (c^2 v + b^2 w)), A_c = (b^2 u w : 2 v (c^2 v + b^2 w) : 0).

A'=A_cB_a∩A_bC_a = (-v w (4 a^2 v (c^2 u + a^2 w) + b^2 u (3 c^2 u + 4 a^2 w)) : 2 v (c^2 v + b^2 w) (c^2 u v + 2 (b^2 u + a^2 v) w) : 2 w (c^2 v + b^2 w) (2 c^2 u v + b^2 u w + 2 a^2 v w)).

Q=(u/(a^2 v w + 2 u (b^2 w + c^2 v)):...:...),

Z=(4 v^2 w^2a^6 -u^2 (4 c^4 v^2 + 9 b^2 c^2 v w + 4 b^4 w^2)a^2 -6 b^2 c^2 u^3 (c^2 v + b^2 w) : ... : ...).

Como los centros de perspectividad P, Q, Z de las pares de triángulos {ABC, DEF}, {ABC, A'B'C'}, {DEF, A'B'C'} están alineados, los tres ejes de perspectividad coinciden (Theorem 19. The Geometry of Homological Triangles (Florentin Smarandache and Ion Pătraşcu)) en la del de P y el simediano.

El la lista siguiente las ternas {i, j, k} indican que P=X_i, Q=X_j y T= X_k, siendo Q el de P y el de T.

{1, 25417, 1698}, {2, *, 3763}, {3, *, 631}, {4, *, 1656}, {6, 6, 2}, {7, *, 31245}, {8, *, 31246}, {9, *, 20196}, {19, *, 31266}, {21, *, 25917}, {22, *, 31267}, {25, *, 3618}, {28, *, 5439}, {31, *, 4687}, {32, *, 7786}, {37, *, 31247}, {39, *, 31268}, {41, *, 31269}, {42, *, 31248}, {43, *, 31270}, {44, *, 31271}, {54, *, 632}, {55, *, 18230}, {56, *, 3616}, {57, *, 20195}, {58, *, 19862}, {59, *, 31235}, {60, *, 31260}, {63, *, 31261}, {64, *, 3091}, {65, *, 31254}, {66, *, 31236}, {67, *, 30745}, {68, *, 31282}, {69, *, 31255}, {70, *, 31283}, {71, *, 31256}, {72, *, 31257}, {73, *, 31258}, {75, *, 31237}, {76, *, 7867}, {79, *, 31262}, {80, *, 31263}, {81, *, 31238}, {82, *, 31264}, {83, *, 31239}, {84, *, 8227}, {85, *, 31240}, {86, *, 31241}, {87, *, 31242}, {88, *, 31243}, {89, *, 31244}, {92, *, 31265}, {98, 34536, *}, {99, 34537, *}, {100, 1016, *}, {101, 1252, *}, {105, 6185, *}, {106, 2226, *}, {107, 34538, *}, {108, 23984, *}, {109, 262, *}, {110, 249, *}, {111, 10630, *}, {112, 23964, *} , {190, *, 30835}, {223, *, 20198}, {249, *, 31274}, {269, *, 31249}, {282, *, 20197}, {291, *, 31252}, {292, *, 17266}, {512, *, 14061}, {513, *, 31272}, {514, *, 31273}, {523, *, 15059}, {648, *, 31277}, {649, *, 27191}, {651, *, 31250}, {660, *, 30795}, {661, *, 31278}, {662, *, 24924}, {663, *, 31640}, {667, *, 27195}, {668, *, 4162}, {669, *, 31639}, {670, *, 31279}, {671, *, 31275}, {691, *, 34539}, {692, *, 31209}, {694, *, 7925}, {695, *, 7948}, {893, *, 17326}, {897, *, 31280}, {945, *, 5818}, {1073, *, 20200}, {1126, *, 31253}, {1249, *, 20199}, {1476, *, 3698}, {1743, *, 4052}, {2162, *, 4699}, {2218, *, 3876}, {2980, *, 11451}, {3224, *, 31276}, {3426, *, 5071}, {3431, *, 15694}, {3445, *, 3617}, {3532, *, 3522}, {5237, *, 33386}, {5238, *, 33387}, {8770, *, 3620}, {9292, *, 7851}, {9315, *, 17304}, {11270, *, 3}, {11738, *, 19709}, {11816, *, 15026}, {13452, *, 3843}, {14810, *, 9751}, {16835, *, 5}, {17962, *, 29590}, {20421, *, 15693}, {22261, *, 11444}, {29374, *, 15017}, {33895, 33895, *}, {34435, *, 15674}, {34449, *, 3567}, {35258, 35258, *}, {35372, *, 15081}, {36614, *, 4704},

Aunque, geométricamente, el punto Q no está definido cuando P está sobre la circunferencia circunscrita (su triángulo circunceviano no está definido), por continuidad sí está definido, a partir de su expresión algebraica (son los pares en "bold" de la lista anterior).

TRES CASOS PARTICULARES:

• , P el baricentro.
Q es el conjugado isotómico de X₃₇₆₃.
Q₂ = ( 1/(a^2 + 2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.30533510949353, 1.67774557866739, 1.41514749229456).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,5007}, {3,14492}, {4,5092}, {5,14458}, {6,10159}, {10,17352}, {13,11290}, {14,11289}, {76,3589}, {83,7784}, {98,1656}, {140,262}, {275,11331}, {315,18841}, {316,5395}, {321,17367}, {550,14488}, {598,6656}, {620,1916}, {671,7770}, {1327,7388}, {1328,7389}, {2996,7803}, {3329,7869}, {3399,25555}, {3407,7808}, {3424,5056}, {3523,14484}, {3533,14494}, {3618,7894}, {3851,7919}, {3972,33021}, {4045,14034}, {5485,7827}, {5503,32954}, {6539,16816}, {6704,7755}, {7375,14241}, {7376,14226}, {7757,16895}, {7760,10302}, {7772,16896}, {7782,14037}, {7822,13571}, {7834,11606}, {7847,14031}, {7870,19694}, {7876,11057}, {7877,34573}, {7913,14045}, {7914,7926}, {7930,11174}, {7936,16897}, {8370,17503}, {10484,16923}, {11172,32975}, {11303,12817}, {11304,12816}, {14762,33010}, {14789,18316}, {14971,16921}, {17381,17758}, {18842,32956}, {21156,33423}, {21157,33422}, {30435,31268}, {31455,35005}.

• Triángulo antipodal de ABC, P el circuncentro.
Q=X(2)X(53)∩X(3)X(51) es el producto baricéntrico del circuncentro y el conjugado isotómico de X₆₃₁.
Q₃ = ( (a^2) (a^2 - b^2 - c^2) /(3 a^4 + (b^2 - c^2)^2 - 4 a^2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (1.48276440225193, 1.08112266475115, 2.20784214373269).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,53}, {3,51}, {5,22270}, {6,97}, {20,11282}, {22,5481}, {216,394}, {276,2052}, {343,3926}, {418,3066}, {631,1217}, {1214,3306}, {1297,7485}, {1656,22268}, {1995,26909}, {2351,19357}, {3346,3523}, {3526,14938}, {3796,6641}, {5013,11433}, {5020,26907}, {5407,26922}, {5422,36748}, {5943,26865}, {6720,34579}, {7516,34225}, {7542,32132}, {14489,16419}, {14919,17811}, {15421,35361}, {15693,18317}, {17810,26874}, {17825,31626}, {26898,35259}.

• , P el ortocentro.
Q es el producto baricéntrico del ortocentro y el conjugado isotómico de X₁₆₅₆ (centro de homotecia del triángulo antipodal de ABC y el triángulo medial).
Q₄ = ( (2 a^4 + 2 b^4 - 3 b^2 c^2 + c^4 - a^2 (4 b^2 + 3 c^2)) (2 a^8 - (b^2 - 2 c^2) (b^2 - c^2)^3 - a^6 (3 b^2 + 4 c^2) + a^2 (b^2 - c^2)^2 (3 b^2 + 4 c^2) + a^4 (-b^4 + b^2 c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (4.73934200803839, 7.07284362059621, -3.44330818221533).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,10985}, {4,11423}, {17,472}, {18,473}, {25,7608}, {30,13599}, {98,5064}, {262,428}, {264,11140}, {427,7607}, {458,10159}, {470,10187}, {471,10188}, {1585,10194}, {1586,10195}, {2052,6748}, {3087,8796}, {3543,31363}, {5094,10185}, {7714,14494}, {9221,18559}.
Miércoles, 4 de marzo del 2020
Haz elíptico de circunferencias

El 4 de marzo de 1678 nació Antonio Vivaldi, compositor barroco y violinista italiano, famoso por "Las Cuatro Estaciones". Su maestría se refleja en haber cimentado el género del concierto. "Apri le luci, e mira"

Un tipo de haces de circunferencias es el formado por las de un segmento. Las circunferencias no tienen puntos comunes y al haz se dice que es "elíptico".

Polars and poles w.r. to members of a pencil (Paris Pamfilos)

Considering the poles of a fixed line ε w.r. to the circle-members {κ} of a pencil we find them defining certain hyperbolas and in some cases parabolas and degenerate conics.

Theorem 6. The poles of a fixed line w.r. to the circle-members of a pencil lie on a conic, which is a hyperbola or parabola or a degenerate conic.

Dado un triángulo ABC, sean ℓ una recta que pasa por A y 𝒜_k el haz de circunferencias de Apolonio del segmento BC. El lugar geométrico de los de ℓ respecto a las circunferencias del haz 𝒜_k es un cónica 𝒞_ℓ.

La cónica 𝒞_ℓ pasa por cuatro puntos, a saber, B, C, A' (antipodal de A en la circunferencia circunscrita) y el punto del infinito A_i de la dirección perpendicular a la de la recta BC; por consiguiente, cuando ℓ gira alrededor de A, las cónicas 𝒞_ℓ forman un haz de cónicas. Si M es el otro punto en el que la recta ℓ corta a la circunferencia circunscrita, su antipodal M' también está en la cónica. Por tanto, dado la recta ℓ, la cónica 𝒞_ℓ puede ser construida, ver (IPPPP) o bien (5P₁0T), §2.2.
( Mostrar/Ocultar figura )
El lugar geométrico de los centros de las cónicas 𝒞_ℓ es una cónica 𝒫_a, y como el haz de cónicas posee una parábola (pasa por B, C, A' y su eje es perpendicular a BC; es la cónica del haz que corresponde a la recta paralala a BC por A) y tres cónicas degeneradas, que son los tres pares de rectas {BA', CA_i}, {CA', BA_i}, {BC', A'A_i}, 𝒫_a contiene a los tres puntos de intersección de estos tres pares de rectas (puntos diagonales del BCA'A_i) y A_i es su único punto en el infinito. Así, 𝒫_a es una parábola. El foco F_a puede ser determinado construyendo las tangentes en dos de sus puntos y trazando sus reflexiones en las paralelas en sus puntos de contacto a la dirección del eje. Conocido el foco y una tangente se puede obtener la directriz d_a.

Descripción analítica en coordenadas baricéntricas:

La ecuación de una recta ℓ por A se puede poner en la forma ty-z=0; una circunferencia de Apolonio del segmento BC:
𝒜_ℓ: a^2y z + b^2z x +c^2x y - (x+y+z)((-c^2+b^2k^2)x/(k^2-1)) + a^2k^2y/(k^2-1) - a^2z/(k^2-1)) = 0.
El polo de ℓ respecto a 𝒜_ℓ es:
L = (2a^2k^2(a^2(-1+t)+(b^2-c^2)(1+t)) : 2a^2(c^2+b^2(1-2k^2))t-a^4(-k^2+t)-(b^2-c^2)^2(k^2+t) : k^2(-2a^2(b^2k^2+c^2(-2+k^2))+a^4(k^2-t)+(b^2-c^2)^2(k^2+t))).
El lugar geométrico de este punto, cuando k varía, es la cónica:
𝒞_ℓ: (2b^2x+a^2y+b^2y-c^2y)(a^2x-b^2x+c^2x+2a^2z)t - (a^2x+b^2x-c^2x+2a^2y)(2c^2x+a^2z-b^2z+c^2z) = 0.
La intersección de de cada recta cuya ecuación forma parte del coeficiente de t con cada recta que aparece en el término independendiente, dan los cuatro puntos base de este haz de cónicas. estos son:
B=(0:1:0), C=(0:0:1),
A'=(a^4-(b^2-c^2)^2 : 2b^2(-a^2+b^2-c^2) : 2c^2(-a^2-b^2+ c^2)) (antipodal de A),
A_i=(-2a^2 : a^2+b^2-c^2 : a^2-b^2+c^2) (punto en el infinito de la dirección perpendicular a la de la recta BC).
La expresión de las coordenadas del centro de la cónica 𝒞_ℓ es:
L_o = (-2 a^2 (-1 + t) (a^2 (-1 + t) + (b^2 - c^2) (1 + t)) :
a^4 (1 - 3 t) - (b^2 - c^2)^2 (1 + t) + 4 a^2 t (c^2 + b^2 t) :
a^4 (-3 + t) t - (b^2 - c^2)^2 t (1 + t) + 4 a^2 (c^2 + b^2 t)).
Y su ecuación implícita:
𝒫_a: (a^4 - 2 a^2 b^2 - 3 b^4 - 2 a^2 c^2 + 6 b^2 c^2 - 3 c^4) x^2 + (-2 a^4 - 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2) y^2 4 a^4 y z + (-2 a^4 + 2 a^2 b^2 - 2 a^2 c^2) z^2 + (a^4 - 8 a^2 b^2 - b^4 + 4 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) x y + (a^4 + 4 a^2 b^2 - b^4 - 8 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) x z = 0.
Se trata de una parábola de foco:
F_a = (-2 a^2 (a^4 + 5 (b^2 - c^2)^2 - 2 a^2 (b^2 + c^2)) : 9 a^6 + (b^2 - c^2)^3 - 3 a^4 (7 b^2 + 5 c^2) + a^2 (19 b^4 - 26 b^2 c^2 + 7 c^4) : 9 a^6 - (b^2 - c^2)^3 - 3 a^4 (5 b^2 + 7 c^2) + a^2 (7 b^4 - 26 b^2 c^2 + 19 c^4)),
y directriz:
d_a: (7 a^4 + 11 (b^2 - c^2)^2 - 14 a^2 (b^2 + c^2)) x + (-a^4 + 3 (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)) y + (-a^4 + 3 (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2 (b^2 + c^2)) z = 0.
Procediendo cíclicamente, se obtienen las parábolas 𝒫_b y 𝒫_c, sus focos F_b y F_c y sus directrices d_b y d_c.
( Mostrar/Ocultar figura )
Los ejes de las parábolas 𝒫_a, 𝒫_b, 𝒫_c concurren en X₅₅₀, punto medio del circuncentro y el .
El centro de homotecia de ABC y el triángulo formado por las directrices d_a, d_b y d_c de las parábolas 𝒫_a, 𝒫_b y 𝒫_c es:

Z = ( a^4 - 2 a^2 (b^2 + c^2)- 3 (b^2 - c^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (2.30425578069583, 3.06634037483221, 0.454310785164003).
Es la reflexión de X₃₂₈₁₇ en X₇₇₇₈.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,99}, {4,6}, {5,5024}, {20,187}, {30,1384}, {32,3146}, {39,3091}, {69,7841}, {76,2996}, {83,32979}, {141,33190}, {183,32986}, {193,316}, {194,14063}, {230,376}, {232,6623}, {297,30227}, {315,6392}, {325,16041}, {346,34542}, {381,7736}, {382,5305}, {384,32826}, {385,33017}, {390,9664}, {439,7857}, {460,26864}, {546,9605}, {550,15655}, {599,5485}, {625,34511}, {626,32830}, {631,3054}, {966,17677}, {1007,31859}, {1015,5274}, {1078,33023}, {1107,31418}, {1131,31411}, {1194,7378}, {1196,7396}, {1285,5306}, {1383,7519}, {1478,16785}, {1479,16784}, {1495,6620}, {1500,5261}, {1506,5068}, {1562,1899}, {1571,9780}, {1572,9812}, {1574,8165}, {1609,12082}, {1975,14064}, {1992,8352}, {2023,7709}, {2275,10591}, {2276,10590}, {2548,3832}, {3053,3529}, {3055,3090}, {3085,9598}, {3086,9597}, {3247,13161}, {3269,3981}, {3314,32836}, {3329,33016}, {3421,21956}, {3520,21397}, {3522,7756}, {3523,7746}, {3525,15815}, {3528,5585}, {3543,5008}, {3544,22332}, {3545,3815}, {3546,15075}, {3600,9651}, {3618,8370}, {3619,6656}, {3627,30435}, {3631,7784}, {3634,31421}, {3763,33230}, {3785,6655}, {3788,15301}, {3817,9592}, {3830,18907}, {3839,5475}, {3843,22246}, {3845,15484}, {3851,31406}, {3855,9607}, {3926,5025}, {3934,33202}, {3944,24247}, {4208,16589}, {4294,10987}, {5023,11742}, {5028,5921}, {5030,36670}, {5033,12203}, {5056,31401}, {5059,7755}, {5071,31489}, {5140,6467}, {5177,5283}, {5225,16502}, {5319,7747}, {5354,7391}, {5355,14075}, {5395,7878}, {6034,10485}, {6200,12123}, {6321,26316}, {6337,7887}, {6390,11318}, {6396,12124}, {6411,36703}, {6412,36701}, {6422,31412}, {6459,8375}, {6460,8376}, {6531,18850}, {6564,31403}, {6680,33201}, {6781,15683}, {6973,34460}, {7375,32790}, {7376,32789}, {7383,14806}, {7388,13934}, {7389,9600}, {7400,10979}, {7486,31455}, {7487,10985}, {7749,15717}, {7750,33238}, {7752,32980}, {7753,14930}, {7754,11008}, {7758,7825}, {7761,15589}, {7763,32972}, {7769,32988}, {7774,14041}, {7777,33006}, {7778,32817}, {7781,32831}, {7782,32989}, {7783,32829}, {7785,32996}, {7786,32987}, {7787,14068}, {7789,32822}, {7791,32828}, {7792,14033}, {7793,32997}, {7795,7861}, {7797,14035}, {7800,7872}, {7803,32971}, {7806,33007}, {7816,33181}, {7818,10513}, {7823,33279}, {7824,32838}, {7828,32973}, {7833,17008}, {7834,33198}, {7836,32824}, {7839,14062}, {7842,14023}, {7847,32832}, {7850,11054}, {7851,14001}, {7862,32835}, {7864,16924}, {7865,32874}, {7868,33223}, {7886,33203}, {7888,32841}, {7891,33248}, {7898,19570}, {7906,14045}, {7912,32825}, {7920,14042}, {7921,14044}, {7923,16898}, {7924,16990}, {7925,32837}, {7928,32868}, {7932,14037}, {7934,32833}, {7989,31396}, {8164,31477}, {8355,11165}, {8356,34229}, {9214,34169}, {9300,14482}, {9463,14957}, {9465,31099}, {9574,10175}, {9575,18483}, {9593,19925}, {9608,34484}, {9609,35921}, {9721,18347}, {9734,20398}, {9741,22110}, {9744,14639}, {9752,11676}, {9880,11179}, {10304,21843}, {10583,14031}, {10588,31448}, {10592,31461}, {10653,31710}, {10654,31709}, {10895,31402}, {10986,18533}, {11174,32983}, {11180,11646}, {11303,11488}, {11304,11489}, {11361,16989}, {11541,22331}, {11580,16063}, {13492,34165}, {13637,13832}, {13757,13831}, {14484,22682}, {14568,14907}, {14712,33192}, {15031,32991}, {15433,15437}, {15603,15696}, {16051,24855}, {16317,32216}, {16984,33255}, {17000,33032}, {17004,33008}, {18404,22121}, {18581,36252}, {18582,36251}, {18840,33232}, {18842,32532}, {19053,33456}, {19054,33457}, {20065,33019}, {20081,32452}, {21312,34809}, {21448,30739}, {23055,35955}, {27318,33057}, {32818,33292}, {32839,32967}, {32867,33001}, {32883,33015}, {32956,34573}, {34866,35473}, {35060,35687}.

La razón de homotecia entre estos triángulos es:
(18(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-13(a^4+b^4+c^4))/(8(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)).
Lunes, 2 de marzo del 2020
Polares del incentro respecto a tres circunferencias

El 2 de marzo de 1943, bajo el Régimen de Franco, se promulga en España la Ley de Rebelión Militar, por la que serán juzgados por procedimiento sumarísimo, todos los delitos políticos en Consejo de guerra.
LEY DE 2 DE MARZO DE 1943 por la que se equiparan al delito de rebelión militar las transgresiones de orden jurídico que tengan una manifiesta repercusión en la vida pública.

Dado un triángulo ABC, sean I=X₁ su incentro, su y Γ_a, Γ_b, Γ_c las circunferencias inscritas en los triángulos T_aBC, T_bCA, T_cAB.
Las paralelas por el incentro a los lados AB y AC son tangentes a Γ_a en A_b y A_c, respectivamente.
Las paralelas por el incentro a los lados BC y BA son tangentes a Γ_b en B_c y B_a, respectivamente.
Las paralelas por el incentro a los lados CA y CB son tangentes a Γ_c en C_a y C_b, respectivamente.
La rectas A_bA_c, B_cB_a y C_aC_b forman un triángulo .
( Mostrar/Ocultar figura )
En coordenadas baricéntricas:
B_c = (b(b+c)+a(b+2c) : -b(a+b-c) : 2c^2), C_b = (c(b+c)+a(2b+c) : 2b^2 : -c(a-b+c)),

A_a = (a(-2a^2+3a(b+c)+(b+c)^2) : a b(b+c)-(b-c)(b+c)^2 -a^2(2b+c) : a c(b+c)+(b-c)(b+c)^2-a^2(b+2c)).

Sea A'B'C' el triángulo formado por las polares del incentro respecto a las circunferencias circunscritas a los triángulos , y .
Las ecuaciones de la circunferencia circunscrita a y de la polar del incentro respecto a ella son:
b c (-3 a + b + c)x^2 -b (-4 a^2 - 2 b^2 - b c + c^2 + a (-6 b + c))y^2+ ( -4 a^3 - a (-6 b^2 + 2 b c - 6 c^2) + 2 (b^3 + c^3))y z +( -2 b (-2 a^2 - a (b - 2 c) + b (b + c)))z x +( -2 c (-2 a^2 + a (2 b - c) + c (b + c))) x y = 0,

b c (-a + b + c) x - c (c (b + c) + a (2 b + c)) y - b (b (b + c) + a (b + 2 c)) z = 0.

A' = ( -a (a^3 + 3 a b c + a^2 (b + c) + b c (b + c)) : b (a^2 (b + 2 c) + c (2 b^2 + b c - c^2) + a (b^2 + 3 b c + c^2)) : c (a^2 (2 b + c) + a (b^2 + 3 b c + c^2) + b (-b^2 + b c + 2 c^2))).

Las rectas AA', BB', CC' concurren en el punto

W = ( a/(a^3 - a^2 (b + c) - a (2 b^2 + 3 b c + 2 c^2) - b c (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.46828505689763, 1.49878355956316, 1.92537506825713).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,33097}, {7,24851}, {8,2650}, {9,1046}, {21,3720}, {171,943}, {256,942}, {314,3664}, {940,987}, {941,986}, {983,5711}, {1042,17097}, {2346,5255}, {4888,10435}, {15315,18398}}.

Las rectas IB_c y IC_b vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita a en:
B'_c = (3 a + b + c : -a + b - c : 2 c) y C'_b = (3 a + b + c : 2 b : -a - b + c).
Los puntos C'_a, A'_c, A'_b y B'_a, se define cíclicamente.
Los seis puntos B'_c, C'_b, C'_a, A'_c, A'_b y B'_a están en una misma cónica
( -a^2 x^2-2 a b x^2+3 b^2 x^2-2 a c x^2+2 b c x^2+3 c^2 x^2-2 a^2 x y-12 a b x y-2 b^2 x y-8 a c x y-8 b c x y+2 c^2 x y+3 a^2 y^2-2 a b y^2-b^2 y^2+2 a c y^2-2 b c y^2+3 c^2 y^2-2 a^2 x z-8 a b x z+2 b^2 x z-12 a c x z-8 b c x z-2 c^2 x z+2 a^2 y z-8 a b y z-2 b^2 y z-8 a c y z-12 b c y z-2 c^2 y z+3 a^2 z^2+2 a b z^2+3 b^2 z^2-2 a c z^2-2 b c z^2-c^2 z^2 = 0)
con centro en I y

P = ( 1/(a^2 + 2 a (b + c) + b^2 + 8 b c + c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (2.23582220511136, 1.76913301213817, 1.38396214806810).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,3707}, {2,3902}, {57,551}, {81,16483}, {88,3616}, {89,3622}, {277,17382}, {392,1002}, {519,25430}, {957,10179}, {1022,4778}, {1219,6051}, {1255,3241}, {8056,25055}.
Viernes, 28 de febrero del 2020
Elipses con diámetros los lados de un triángulo

El 28 de febrero de 1789 una Real Cédula del rey de España Carlos IV, permite el tráfico de esclavos africanos en Cuba. Cuba fue una de las primeras colonias a las que llegaron los esclavos africanos, motivado por la temprana extinción de la población indígena a manos de los colonizadores españoles y la creciente necesidad de explotar las nuevas tierras conquistadas. Entre los últimos países en abolir la esclavitud se encuentran Cuba, bajo dominio español, en 1888.

Dados un triángulo ABC y un punto P, sean A₁, A₂ y A₄ tres puntos tales que P es el incentro de A₁BC, el baricentro de A₂BC y el ortocentro de A₄BC.
Los puntos A₁, A₂, A₄ están alineados si y solo si P está sobre la elipse con eje principal el segmento BC y eje secundario de longitud a/√‍3.
Siendo (u:v:w) las coordenadas baricéntricas de P respecto a ABC,
A₁ = (-u ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w)) : -(b u - a v) (b u + a v) ((b^2 - c^2) u - a^2 (u + 2 w)) : ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) (c u - a w) (c u + a w)),

A₂ = (3 u : -u + 2 v - w : -u - v + 2 w),

A₄ = (-((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w)) : ((b^2 - c^2) u + a^2 (u + 2 v)) (b^2 (-u + w) + a^2 (u + w) - c^2 (u + w)) : (c^2 (-u + v) + a^2 (u + v) - b^2 (u + v)) ((-b^2 + c^2) u + a^2 (u + 2 w))).
Los puntos A₁, A₂, A₄ están alineados (en una recta paralela a BC y A₁ es el punto medio del segmento A₂A₄) si y sólo si P está sobre la cónica de ecuación:
(2a^4-3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2)x^2+ 2a^4y z + a^2(a^2+b^2-c^2)z x + a^2(a^2-b^2+c^2)x y = 0.
Se trata de una elipse ℰ_a cuyo vértices del eje principal son B y C, y la longitud del eje secundario es a/√‍3.

La de A respecto a ℰ_a es:
p_a: 2 (2 a^4 - 3 a^2 (b^2 + c^2)+ (b^2 - c^2)^2)x + a^2 (a^2 - b^2 + c^2)y + a^2 (a^2 + b^2 - c^2)z = 0.
Procediendo cíclicamente se definen las elipses ℰ_b y ℰ_c, y las polares p_b y p_c.
El triángulo formado por las rectas p_a, p_b, p_c es pespectivo con ABC, con centro de perspectividad X₁₄₄₉₁ (a^2/(5 a^4 + 2 (b^2 - c^2)^2 - 7 a^2 (b^2 + c^2)):...:...).
( Mostrar/Ocultar figura )
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Consideremos otras elipses con diámetros BC, CA, AB:

Sean A'B'C' el , correspondiente a un ángulo θ, ℰ'_a la elipse con vértices los puntos B, C, A' y ℓ_a la polar de A, respecto a ℰ'_a. Cíclicamente, se definen la elipses ℰ'_b y ℰ'_c, y las polares ℓ_b y ℓ_c.

Si t=Cot(θ):
ℰ'_a: (a^4 (1 + t^2)-2 a^2 (b^2 + c^2) t^2 + (b^2 - c^2)^2 (-1 + t^2))x^2 + 4 a^4y z + 2 a^2 (a^2 + b^2 - c^2)z x + 2 a^2 (a^2 - b^2 + c^2)x y = 0.

ℓ_a: (a^4 (1 + t^2)-2 a^2 (b^2 + c^2) t^2 + (b^2 - c^2)^2 (-1 + t^2)) x + a^2 (a^2 - b^2 + c^2) y + a^2 (a^2 + b^2 - c^2) z = 0.

El triángulo UVW formado por las rectas ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad
T = T(θ) = (a^2/((a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))t^2+ 2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2): ... : ...).

El lugar geométrico de T, cuando θ varía, es la .
( Mostrar/Ocultar figura )
• T(π/6)=X₁₄₄₉₁.

• Cuando θ=π/4, las elipses son circunferencias y las tres polares pasan por el ortocentro.

• T(π/3) = X₁₁₇₃₈ (conjugado isogonal de X₃₅₃₄).
X₁₁₇₃₈

[Antreas Hatzipolakis]:

Let ABC be a triangle and A'B'C', A"B"C" the cevian triangles of H, G, resp.

Denote: Ma, Mb, Mc = the midpoints of AA', BB', CC', resp.
M1, M2, M3 = the midpoints of AA", BB", CC", resp.

Na, Nb, Nc = the NPC centers of GMaM1, GMbM2, GMcM3, resp.
N1, N2, N3 = the NPC centers of HMaM1, HMbM2, HMcM3, resp.

1. ABC, NaNbNc are orthologic.
The orthologic center (NaNbNc, ABC) lies on the Euler line.

2. ABC, N1N2N3 are orthologic.
The orthologic center (N1N2N3, ABC) lies on the Euler line. Orthologic centers?

[Peter Moses and César Lozada]:

The orthologic center (ABC,N1N2N3) is
a^2 (2 a^4-4 a^2 b^2+2 b^4+5 a^2 c^2+5 b^2 c^2-7 c^4) (2 a^4+5 a^2 b^2-7 b^4-4 a^2 c^2+5 b^2 c^2+2 c^4)::
isogonal conjugate of X(3534)

• T(ArcTan[2]) = X₆₄.
X(64) isogonal conjugate of .

Una construcción de X₆₄ aparece en Emile Lemoine, "Quelques questions se rapportant à l'étude des antiparallèles des côtes d'un triangle", Bulletin de la S. M. F., tome 14 (1886), p. 107-128, concretamente, en la página 111. Este artículo está disponible en Numdam

(dans page 110)
ABC est un triangle. En B je mène une perpendiculaire à AB qui coupe AC en i_a; en C une perpendiculaire à AC qui coupe AB en i_c. La droite i_bi_c se denota por (I_a). De même, les droite (I_b) et (I_c) sont définies.
Nous appellerons I_a, I_b, I_c les sommets du triangle formé par les droites (I_a), (I_b), (I_c), Ia étant l'intersection des droites (I_b), (I_c),...
Le deux triangles ABC, I_aI_bI_c sont homologiques; le centre d'homologie a pour coordonnées
1/(cosA-cosB cosC), 1/(cosB-cosC cosA), 1/(cosC-cosA cosB)
( Mostrar/Ocultar figura )
• T(ω) es el conjugado isogonal de X₁₁₂₈₇ (ω es el ).
T(ω) = (a^2/((a^4 - 3 a^2 (b^2 + c^2) - 2 (b^4 + c^4))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.616790984512116, 0.862110481634613, 2.75914600177021).
Es el punto de intersección de las rectas X₆₉X₁₂₈₅ y X₈₉₅X₅₀₃₉.
Miércoles, 26 de febrero del 2020
Homotecia directa entre las circunferencia inscrita y circunscrita

El 26 de febrero de 2001, fallece el cuentista, poeta, intelectual, ensayista, novelista y político venezolano Arturo Uslar Pietri, cuyo interés por su país quedó claramente reflejado en su obra narrativa y en su actividad política. Su novela "Las lanzas coloradas", de 1931, contribuyó a moldear el género hispanoamericano del llamado "realismo mágico" (mostrar lo irreal como algo cotidiano y común).

Dado un triángulo ABC con incentro I=X₁, la recta t_a que corta a los lados en los puntos AC y AB en A_b y A_c, respectivamente, tal que ∠IBC=∠AIA_c y ∠ICB=∠AIA_b, es tangente a la circunferencia inscrita, en un punto A'.
Procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC, se definen las rectas t_b y t_c, los puntos B_c, Ba, C_a, C_b, B' y C'. Sean D=t_b∩t_c, E=t_c∩t_a y F=t_a∩t_b.
Los triángulos ABC y A'B'C' son homotéticos en la homotecia directa de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC; el centro de homotecia es X₅₆. DEF es la imagen, mediante esta homotecia, del , .
Los triángulos A'B'C' y DEF son perspectivos con centro de perspectividad es X₁₄₆₉, producto trilineal de X₅₆ y X₉₈₄ (reflexión en el incentro del complemento del conjugado isotómico del incentro).
( Mostrar/Ocultar figura )
En coordenadas baricéntricas, se tiene que:
A_b=(-(a + b - c) (b + c) : 0 : c (a - b - c)), A_c=((a - b + c) (b + c) : b (-a + b + c) : 0).

A'=((a + b - c) (a - b + c) (b + c)^2 : b^2 (a + b - c) (-a + b + c) : -(a - b - c) c^2 (a - b + c)),

D = (a^2 (-a^2 + (b - c)^2) : b (a + c) (-a^2 + b^2 + 2 a c - c^2) : -(a + b) c (a^2 - 2 a b + b^2 - c^2)).
El centro de la de ABC y DEF ( cónica
( a^4 b c x^2-a^3 b^2 c x^2-a^2 b^3 c x^2+a b^4 c x^2-a^3 b c^2 x^2-a^2 b^2 c^2 x^2+a b^3 c^2 x^2+b^4 c^2 x^2-a^2 b c^3 x^2+a b^2 c^3 x^2+2 b^3 c^3 x^2+a b c^4 x^2+b^2 c^4 x^2+2 a^4 b c x y-2 a^3 b^2 c x y-2 a^2 b^3 c x y+2 a b^4 c x y+a^4 c^2 x y-2 a^2 b^2 c^2 x y+b^4 c^2 x y+a^3 c^3 x y-3 a^2 b c^3 x y-3 a b^2 c^3 x y+b^3 c^3 x y-a^2 c^4 x y-2 a b c^4 x y-b^2 c^4 x y-a c^5 x y-b c^5 x y+a^4 b c y^2-a^3 b^2 c y^2-a^2 b^3 c y^2+a b^4 c y^2+a^4 c^2 y^2+a^3 b c^2 y^2-a^2 b^2 c^2 y^2-a b^3 c^2 y^2+2 a^3 c^3 y^2+a^2 b c^3 y^2-a b^2 c^3 y^2+a^2 c^4 y^2+a b c^4 y^2+a^4 b^2 x z+a^3 b^3 x z-a^2 b^4 x z-a b^5 x z+2 a^4 b c x z-3 a^2 b^3 c x z-2 a b^4 c x z-b^5 c x z-2 a^3 b c^2 x z-2 a^2 b^2 c^2 x z-3 a b^3 c^2 x z-b^4 c^2 x z-2 a^2 b c^3 x z+b^3 c^3 x z+2 a b c^4 x z+b^2 c^4 x z-a^5 b y z-a^4 b^2 y z+a^3 b^3 y z+a^2 b^4 y z-a^5 c y z-2 a^4 b c y z-3 a^3 b^2 c y z+2 a b^4 c y z-a^4 c^2 y z-3 a^3 b c^2 y z-2 a^2 b^2 c^2 y z-2 a b^3 c^2 y z+a^3 c^3 y z-2 a b^2 c^3 y z+a^2 c^4 y z+2 a b c^4 y z+a^4 b^2 z^2+2 a^3 b^3 z^2+a^2 b^4 z^2+a^4 b c z^2+a^3 b^2 c z^2+a^2 b^3 c z^2+a b^4 c z^2-a^3 b c^2 z^2-a^2 b^2 c^2 z^2-a b^3 c^2 z^2-a^2 b c^3 z^2-a b^2 c^3 z^2+a b c^4 z^2 = 0)
que pasa por A_b, A_c, B_c, Ba, C_a, C_b) es:
U = ( a^2 (a^2 - (b - c)^2) (b + c) (a^2 (b + c) - a (b^2 + c^2) - b c (b + c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (7.15669680131694, 8.08134630993316, -5.25720456403870).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,9551}, {7,8049}, {42,181}, {55,34429}, {65,1418}, {73,3649}, {256,13265}, {1064,1537}, {1071,3931}, {1214,15185}, {1284,2594}, {1404,2309}, {1409,2293}, {1818,3696}, {1827,1880}, {2171,2667}, {3747,21741}, {4068,4559}, {4334,5586}, {4343,14100}, {4424,11570}, {4551,29822}, {4552,25295}, {10052,24248}, {17077,17135}, {21035,21794}, {21859,22279}.
El es esta cónica es:
V = ( a (b + c)/((b + c - a) (2 a ( b + c) + b c)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (0.605773815052770, 0.759341410764849, 2.83537866750744). <
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {7, 7243}, {56, 7225}, {65, 22271}, {959, 3671}, {29883, 32013}.
( Mostrar/Ocultar figura )
Los triángulos ABC y DEF están inscritos en una misma cónica
( a^2 (a + b - c) (a - b + c) (b + c)y z +b^2 (b + c-a) (a + b - c) (a + c) z x + (a + b) (b + c-a) c^2 (a - b + c) = 0)
de perspector (respecto a ABC) X₁₄₀₀, y que pasa por los centros X₁₀₉, X₆₆₄, X₁₄₁₁, X₁₉₄₅, X₄₅₅₁, X₄₅₅₉, X₃₂₆₇₄, X₃₆₁₂₇. El perspector de esta cónica respecto a DEF es la reflexión de X₂₂₉₃ en el incentro:
W = ( a (a + b - c) (a - b + c) (b + c) (a^2 - a b - a c - 2 b c) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (1.07408533580664, 1.10639666326397, 2.37896586773703). Es la reflexión de X₂₂₉₃ en X₁.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,7}, {8,26125}, {10,21931}, {12,3214}, {34,1839}, {37,65}, {38,5173}, {42,226}, {43,5226}, {56,7225}, {57,968}, {72,21039}, {73,3649}, {181,28387}, {238,8543}, {241,15569}, {256,17097}, {354,7004}, {651,4649}, {674,1469}, {740,1441}, {774,942}, {899,5219}, {916,7352}, {934,28842}, {940,9316}, {941,5665}, {954,1253}, {976,28081}, {984,7672}, {1001,1471}, {1066,6147}, {1100,1456}, {1125,17077}, {1193,3485}, {1201,30097}, {1214,1962}, {1245,28786}, {1254,3931}, {1386,34253}, {1411,32259}, {1423,3340}, {1450,15950}, {1457,17301}, {1463,4864}, {1736,30329}, {1738,21617}, {1757,29007}, {1818,5880}, {1834,21955}, {1836,14547}, {1854,2654}, {1892,2356}, {1953,3827}, {2310,5728}, {2318,3925}, {2340,2550}, {2647,17016}, {2650,12709}, {2772,5425}, {3293,3947}, {3660,17450}, {3682,12609}, {3751,8545}, {3812,25067}, {3869,24554}, {3870,30699}, {3883,17152}, {3886,4441}, {3911,30950}, {3993,4552}, {4038,17074}, {4365,6358}, {4658,34043}, {4848,21803}, {4854,6354}, {5249,25941}, {5263,10030}, {5311,8270}, {5435,26102}, {7073,10118}, {7237,15556}, {7613,30275}, {7677,16484}, {7986,15934}, {9791,17950}, {11246,22053}, {11375,17278}, {11518,18216}, {11526,16496}, {11529,33536}, {14942,21453}, {17017,34036}, {17080,17592}, {17257,19860}, {21454,29814}, {24789,28253}, {25453,28776}, {28082,28089}, {28774,29635}, {28780,29633}.

La cónica circunscrita a los triángulos ABC y DEF, vuelve a cortar a los lados del triángulo tangencial en puntos que unidos con los vértices opuestos forman tres rectas concurrentes en X₂₁₇₆₇.
( Mostrar/Ocultar figura )
GENERALIZACIÓN de este último resultado.

X₂₁₇₆₇ es la imagen del ortocentro en la homografía σ, que aplica {A, B, C,, X₁} en {T_a, T_b, T_c, X₆}.
σ(u:v:w) = (a^2 b c u - a^3 c v - a^3 b w : -b^3 c u + a b^2 c v - a b^3 w : -b c^3 u - a c^3 v + a b c^2 w).

Si se toma una cónica circunscrita a ABC con perspector P=(u:v:w), ésta vuelve a cortar a los lados del triángulo tangencial en puntos que unidos con los vértices opuestos forman tres rectas concurrentes en:
Q = f(P) = (3 a^2 b^4 c^4 u^2 - a^6 (c^2 v - b^2 w)^2 - 2 a^4 b^2 c^2 u (c^2 v + b^2 w) : 3 a^4 b^2 c^4 v^2 - b^6 (c^2 u - a^2 w)^2 - 2 a^2 b^4 c^2 v (c^2 u + a^2 w) : -a^4 c^6 v^2 - 2 a^2 b^2 c^4 v (-c^2 u + a^2 w) - b^4 (c^6 u^2 + 2 a^2 c^4 u w - 3 a^4 c^2 w^2)).
Lista {{X_i, X_j}, X_k=σ(X_i)=f(X_j)}, para los índices {{í,j},k}:

{{42, 21753}, 1}, {{31, 3051}, 3}, {{1, 6}, 6}, {{48, 217}, 25}, {{37, 20970}, 31}, {{38, 11205}, 32}, {{6, 213}, 55}, {{55, 20229}, 56}, {{204, 20232}, 64}, {{19, 32}, 154}, {{56, 20228}, 198}, {{17442, 31390}, 206}, {{1755, 9419}, 237}, {{656, 3269}, 647}, {{513, 1015}, 649}, {{650, 14936}, 663}, {{2254, 35505}, 665}, {{649, 1977}, 667}, {{798, 9427}, 669}, {{44, 1017}, 902}, {{58, 2300}, 1030}, {{19614, 20233}, 1033}, {{2192, 20230}, 1035}, {{221, 20231}, 1436}, {{41, 9449}, 1486}, {{2173, 9408}, 1495}, {{75, 39}, 1613}, {{269, 16502}, 1615}, {{200, 30706}, 1616}, {{32, 21751}, 1631}, {{23493, 23551}, 1740}, {{518, 20662}, 1914}, {{240, 9475}, 1971}, {{190, 667}, 1979}, {{1580, 36213}, 2076}, {{4575, 30451}, 2079}, {{292, 21760}, 2110}, {{192, 20971}, 2162}, {{2, 42}, 2176}, {{3, 1409}, 2178}, {{21, 21748}, 2305}, {{1575, 20671}, 3009}, {{1577, 20975}, 3050}, {{9, 41}, 3052}, {{63, 184}, 3053}, {{57, 31}, 3207}, {{3223, 2}, 3360}, {{3112, 20965}, 3499}, {{1967, 32748}, 3511}, {{25, 21750}, 3556}, {{512, 21755}, 3733}, {{667, 21762}, 4057}, {{1707, 3167}, 5023}, {{905, 3270}, 6586}, {{523, 20982}, 7252}, {{163, 3049}, 7669}, {{100, 649}, 9259}, {{2349, 1495}, 9412}, {{799, 669}, 9431}, {{17957, 9482}, 9480}, {{82, 5007}, 10329}, {{10, 2092}, 16685}, {{101, 3063}, 16686}, {{350, 20457}, 18278}, {{81, 2308}, 18755}, {{2053, 23522}, 20676}, {{39, 21752}, 20990}, {{40, 2199}, 20991}, {{2156, 1501}, 20993}, {{7, 1475}, 20995}, {{2162, 21757}, 20996}, {{662, 512}, 20998}, {{1740, 194}, 21001}, {{514, 3271}, 21007}, {{4, 1400}, 21767}, {{8, 2347}, 21769}, {{22, 21749}, 21771}, {{66, 21744}, 21774}, {{69, 23620}, 21775}, {{76, 3778}, 21776}, {{83, 20964}, 21777}, {{85, 21746}, 21778}, {{86, 20963}, 21779}, {{87, 1}, 21780}, {{88, 902}, 21781}, {{89, 21747}, 21782}, {{99, 20981}, 21783}, {{239, 20663}, 21788}, {{668, 20979}, 21790}, {{693, 20974}, 21791}, {{7121, 23546}, 23857}, {{92, 51}, 32445}, {{24041, 20976}, 33704}, {{561, 20859}, 33786}.
Martes, 25 de febrero del 2020
Conjugado isogonal respecto al triángulo de contacto interior

El 25 de Febrero de 1983 muere el dramaturgo estadounidense Tennessee Williams, ganador del Premio Pulitzer de teatro en 1948 por "Un tranvía llamado Deseo", y en 1955 por "La gata sobre el tejado de zinc caliente".

Dados un triángulo ABC y un punto P, sean Q el de P respecto al DEF de P y T el de la recta PQ.
Utilizando coordenadas baricéntricas, respecto a ABC, si P=(u:v:w),
Q = (u (v w (u^2 - v w) a^2 - u^2 (v + w) (v c^2 + w b^2) ): ... : ...),

T = (u/ (a^2 (v - w) - (b^2 - c^2) (v + w)) : ... : ...).
Pares de {P=X_i, T_i=X_j}, para los índices: {1, 651}, {2, 99}, {3, 4558}, {5, 14570}, {6, 112}, {8, 646}, {9, 44}, {10, 3952}, {11, 2401}, {19, 1783}, {21, 4612}, {22, 4611}, {25, 112}, {30, 2407}, {33, 1783}, {34, 32714}, {46, 651}, {52, 14570}, {71, 4574}, {74, 34568}, {76, 4609}, {110, 18879}, {113, 2407}, {114, 2396}, {115, 2395}, {116, 2400}, {117, 2406}, {118, 2398}, {119, 2397}, {120, 2414}, {121, 2415}, {122, 2416}, {123, 2417}, {124, 2399}, {125, 2394}, {126, 2418}, {127, 2419}, {132, 2409}, {133, 2404}, {137, 2413}, {155, 4558}, {184, 14586}, {186, 14590}, {193, 99}, {208, 32714}, {226, 4566}, {237, 14966}, {243, 1981}, {278, 36118}, {297, 877}, {321, 27808}, {371, 110}, {372, 110}, {393, 6529}, {403, 16237}, {468, 4235}, {487, 4563}, {488, 4563}, {497, 3732}, {511, 2396}, {512, 2395}, {513, 2401}, {514, 2400}, {515, 2406}, {516, 2398}, {517, 2397}, {518, 2414}, {519, 2415}, {520, 2416}, {521, 2417}, {522, 2399}, {523, 2394}, {524, 2418}, {525, 2419}, {526, 2411}, {571, 14586}, {950, 14543}, {1499, 2408}, {1503, 2409}, {1510, 2413}, {1828, 17906}, {1986, 16237}, {2039, 30509}, {2040, 30508}, {2183, 2427}, {2211, 34859}, {2362, 108}, {2899, 646}, {2900, 644}, {2901, 3952}, {2914, 14590}, {3258, 2411}, {3309, 2402}, {3413, 30509}, {3414, 30508}, {3667, 2403}, {5095, 4235}, {5510, 2403}, {5511, 2402}, {5512, 2408}, {5663, 2410}, {6000, 2404}, {6001, 2405}, {6110, 4240}, {6111, 4240}, {6525, 6529}, {6776, 35278}, {7133, 6135}, {9752, 35278}, {16232, 108}, {25640, 2405}, {25641, 2410}, {25642, 2412}, {35015, 10015}

Entre los once primeros centros , falta el par {X₇, T₇}.
El tripolo de la recta que pasa por el y por su conjugado isogonal respecto al es:

T₇ = ( 1/(a (b - c) (b + c - a)^3) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (0.0250801001568389, -0.0260896737123586, 3.64715113286670).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {7,3022}, {85,23058}, {279,34018}, {658,3732}, {664,4569}, {927,934}, {1088,1111}, {4573,4617}, {7056,7215}, {9442,10481}, {17079,30682}, {24002,24011}.

César Lozada en Euclid#659, expone otras propiedades de T₇, entre las que están:
• Es el de X(4130).
• Tripolo de la tangente, X₇X₃₅₄, a la del punto de Gergonne.
( Mostrar/Ocultar figura )
X(354) = .

Let A', B', C' be the intersections of line X(7)X(8) and lines BC, CA, AB, resp. The circumcircles of AB'C', BC'A', CA'B' concur in X(927). (Randy Hutson, March 25, 2016)

Let P be a point on line X(4)X(7) other than X(4). Let A' be the reflection of P in BC, and define B' and C' cyclically. The circumcircles of AA'B', BC'A', and CA'B' concur at X(934). (Randy Hutson, July 20, 2016)

X(3022) = Steiner point of intouch triangle.

La envolvente de la recta PQ, cuando P recorre una recta ℓ que pasa por el ortocentro H, es la cónica 𝒞_ℓ inscrita a ABC, tangente a ℓ en H. (tttt_P)
El lugar geométrico del L de 𝒞_ℓ, cuando ℓ gira alrededor de H es la cuártica 𝒬, conjugada isogonal de la cónica inscrita de perspector el circuncentro.
( Mostrar/Ocultar figura )
La cuártica
( (-a^8+4 a^6 b^2-6 a^4 b^4+4 a^2 b^6-b^8+2 a^4 c^4-4 a^2 b^2 c^4+2 b^4 c^4-c^8) x^2 y^2+(2 a^8-4 a^6 b^2+4 a^2 b^6-2 b^8-4 a^6 c^2+8 a^4 b^2 c^2-4 a^2 b^4 c^2-4 a^2 b^2 c^4+4 b^4 c^4+4 a^2 c^6-2 c^8) x^2 y z+(-2 a^8+4 a^6 b^2-4 a^2 b^6+2 b^8-4 a^4 b^2 c^2+8 a^2 b^4 c^2-4 b^6 c^2+4 a^4 c^4-4 a^2 b^2 c^4+4 b^2 c^6-2 c^8) x y^2 z+(-a^8+2 a^4 b^4-b^8+4 a^6 c^2-4 a^2 b^4 c^2-6 a^4 c^4+2 b^4 c^4+4 a^2 c^6-c^8) x^2 z^2+(-2 a^8+4 a^4 b^4-2 b^8+4 a^6 c^2-4 a^4 b^2 c^2-4 a^2 b^4 c^2+4 b^6 c^2+8 a^2 b^2 c^4-4 a^2 c^6-4 b^2 c^6+2 c^8) x y z^2+(-a^8+2 a^4 b^4-b^8-4 a^4 b^2 c^2+4 b^6 c^2+2 a^4 c^4-6 b^4 c^4+4 b^2 c^6-c^8) y^2 z^2 = 0)
𝒬 pasa por los centros X₁₅₇₄₂, X₁₈₀₂₀, X₃₂₂₃₀ y los vértices de ABC son cúspides con tangentes las alturas.
Viernes, 21 de febrero del 2020
Varias propiedades geométricas de X(468)

El 21 de febrero de 1924, Miguel de Unamuno es destituido por la dictadura de Primo de Rivera como rector de la Universidad de Salamanca y desterrado a la isla canaria de Fuerteventura.

Dado un triángulo ABC, sea A'B'C' su . El incentro I' y el circuncentro O' de A'B'C' son, respectivamente, X₃ y X₂₆= ( - 3) X₃ + 2X₄, por lo tanto I'O' es la de ABC.
AoPS (TelvCohl)

Given a ABC and a point P. Let P_aP_bP_c be the pedal triangle of P WRT ABC and let H_a, H_b, H_c be the orthocenter of AP_bP_c, BP_cP_a, C_aP_b, respectively. Then H_aH_bH_c and the medial triangle M_aM_bM_c of ABC are perspective if and only if P lies on the Stammler hyperbola of ABC. If that's the case, the perspector P' lies on the Euler line of ABC.
( Mostrar/Ocultar figura )
Con las notaciones de esta referencia, si P un punto sobre la , sean Q el de P respecto a A'B'C' y P' el centro de perspectividad de y .
La correspondencia Q ↦ P' es una proyectividad sobre la recta de Euler y su punto central (punto medio de sus puntos dobles) es X₄₆₈.

En coordenadas baricéntricas,
H_a = (c^2(a^2-c^2)v-b^4w+b^2(a^2w+c^2(2u+v+w)) : b^2(-a^2+b^2+c^2)w : c^2(-a^2+b^2+c^2)v).

Si Q = X₃ + t X₄ y P' = X₃ + t' X₄, se tiene:
t ↦ t' = (2a^2b^2c^2-(a^6-a^4(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)-a^2(b^4+c^4))t) / (2a^2b^2c^2+(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)t).
Los puntos dobles de esta proyectividad corresponden a los valores de t:
t = (1/2) (1 ± Sqrt[(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(b^2+c^2- a^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)] / ((b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)),
que son imaginarios conjugados si el triángulo ABC es obtusángulo.

OTRAS PROPIEDADES DE X₆₄₈

• HG290114: Dado un triángulo ABC y un punto variable P sobre la recta de Euler, el lugar geométrico de los centros de la hipérbola equilátera circunscrita al triángulo pedal de P y que pasa por P es una recta, que corta a la recta de Euler en X₄₆₈.

• HG311216: Dados un triángulo ABC y un punto P, sean y los triángulos y de P.
Se denotan por Γ_ab y Γ_ac las circunferencias circunscritas a los triángulos AB₁C₂, AB₂C₁ y por d₁ su eje radical. Similarmente, se definen los ejes radicales d₂ y d₃.
Si P=X(2930) (conjugado isogonal respecto al triángulo tangencial de X₂₃), los ejes radicales d₁, d₂ y d₃ concurren en X₄₆₈.

• HG250118: Dados un triángulo ABC y un punto P, sean DEF el de P, el de ABC y LMN el triángulo medial de DEF.
Denotamos por A' el punto de intersección (distinto de A) de las circunferencias Γ y Γ_a, circunscritas a ABC y AEF, respectivamente. A₁ es el punto medio de la cuerda en Γ_a determinada por la tangente en A a Γ y A₂ es el punto medio de la cuerda en Γ determinada por la tangente en A a Γ_a.
Las rectas PA', A₁M_a, A₂L son concurrentes, en un punto P_a. Se definen, de forma análoga, los puntos P_b y P_c.
El centro de perspectividad de los triángulos ABC y , cuando P es X₆₇₁ o X₂₃₇₃ es X₄₆₈.

• HG290318: Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' el . Se denota por B_a y C_a las proyecciones de B' y C' sobre AA', respectivamente; por B₁ y C₁ las reflexiones de B_a y C_a en BB' y CC', respectivamente; y por O_a, O_b y O_c los circuncentros de los triángulos A'B₁C₁, B'C₁A₁ y C'A₁B₁, respectivamente.
Los triángulos ABC y son homotéticos, mediante una homotecia de centro X₃₀₉₁ = 2 O + 3 H = 2 H + 3 G y razón -1/4.
X₄₆₈ es la imagen de X₁₀₂₉₆ (reflexión del en la ), mediante esta homotecia.

• HG140918: Dado un triángulo ABC de , las circunferencias (BM_aM_b) y (CM_aM_c) se vuelven a cortar en A'. Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
Los triángulos ABC y A'B'C' son perspectivos con centro de perspectividad X₄₆₈, intersección de la y el

• HG191018: Si una recta p corta a los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC en los puntos D, E, F, respectivamente, sea D' el punto medio de las reflexiones D_c y D_b de D en las rectas AB y AC. Los puntos E' y F' se definen de forma análoga, procediendo cíclicamente sobre los lados de ABC. Entonces, los puntos D', E', F' están alineados, sobre una recta p'.
Cuando la recta p gira alrededor de un punto P, la recta p' gira alrededor de P', del circuncentro y P.
La correspondencia p ↦ p' es una proyectividad entre los haces de rectas de puntos base P y P'; por lo que, el punto de intersección Q de las rectas p y p' describe una hipérbola rectangular que pasa por el , P, P' y sus asíntotas son paralelas a las de .
Si P_o es su centro, la correspondencia σ: P ↦ P_o es una transformación afín. X₄₆₈ es la imagen mediante σ de X₁₁₀ (centro de la .

• HG150519: Dado un triángulo ABC, sean el , el y A'B'C' el triángulo obtenido reflejando A, B, C en el circuncentro O. Las rectas A'M_a, B'M_b y C'M_c intersecan de nuevo a la circunferencia circunscrita en A", B" y C", respectivamente.
Los puntos D=BC∩H_bH_c, E=CA∩H_cH_a, F=AB∩H_aH_b, D'=B"C"∩M_bM_c, E'=C"A"∩M_cM_a, F'=A"B"∩M_aM_b quedan sobre el (eje de perspectividad común de los pares de triángulos ABC y , y A"B"C").
En la proyectividad σ, sobre el eje órtico, que aplica D, E, F en D', E', F', X₄₆₈ es la imagen de X₁₄₅₈₀ ( de X₁₁₁= y X₂₅=centro de homotecia de los triángulos órtico y tangencial).

• HG151219: Si ABC es un triángulo, de DEF, entonces el X₄₆₈ (inverso en la circunferencia circunscrita del centro de homotecia de los triángulos órtico y ) es el único punto cuyos triángulos pedales (no degenerados) y , respecto a ABC y DEF, tienen la misma área y son .

• HG190220: Dado un triángulo ABC, sean DEF el , B_a and C_a los pies de las perpendiculares desde D a CA y AB, respectivamente. Se denota por G_a el baricentro del triángulos DB_aC_a, y se definen G_b y G_c cíclicamente. Las rectas AG_a, BG_b, CG_c concurren en X(3527). (Randy Hutson, June 7, 2019)
X₄₆₈ es la imagen de X₃₂₃ (inverso en del baricentro) mediante la transformación afín que aplica ABC en .
Miércoles, 19 de febrero del 2020
X(428) centro de una cónica lugar de intersección de rayos homólogos

El 19 de febrero de 1473 nació Nicolás Copérnico, astrónomo polaco considerado el primero en sugerir que la Tierra y los demás planetas orbitan alrededor del Sol. Su libro "Sobre las revoluciones de las esferas celestes" será considerado libro herético por la Iglesia Católica en 1616.

Dado un triángulo ABC, sean DEF el , B_a and C_a los pies de las perpendiculares desde D a CA y AB, respectivamente. Se denota por G_a el baricentro del triángulos DB_aC_a, y se definen G_b y G_c cíclicamente. Las rectas AG_a, BG_b, CG_c concurren en X(3527). (Randy Hutson, June 7, 2019)

La transformación afín
( σ(x:y:z) =
((-2 a^2 (b^2-c^2)^2+a^4 (b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) x-a^2 (a^4+b^4-4 b^2 c^2+3 c^4-2 a^2 (b^2+2 c^2)) y-a^2 (a^4+3 b^4-4 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (2 b^2+c^2)) z :
-b^2 (a^4+b^4-4 b^2 c^2+3 c^4-2 a^2 (b^2+2 c^2)) x+(a^6-a^4 (2 b^2+c^2)+(-b^2 c+c^3)^2+a^2 (b^4+4 b^2 c^2-c^4)) y-b^2 (3 a^4+(b^2-c^2)^2-4 a^2 (b^2+c^2)) z :
-c^2 (a^4+3 b^4-4 b^2 c^2+c^4-2 a^2 (2 b^2+c^2)) x-c^2 (3 a^4+(b^2-c^2)^2-4 a^2 (b^2+c^2)) y+(a^6-a^4 (b^2+2 c^2)+(b^3-b c^2)^2+a^2 (-b^4+4 b^2 c^2+c^4)) z) )
σ, que aplica ABC en , tiene punto fijo propio el . Los puntos fijos en la recta del infinito son las direcciones de las asíntotas de la .
Pares {P=X_i, P'=σ(P)=X_j}, para {i, j}: {3,51}, {4,11245}, {6,6}, {20,428}, {74,1112}, {110,12099}, {155,2}, {323,468}, {399,125}, {1147,5943}, {1350,9971}, {1480,65}, {1498,1853}, {1511,11746}, {3098,9969}, {3157,354}, {3167,373}, {3173,17718}, {3211,374}, {3288,2501}, {3426,185}, {4550,389}, {4846,16657}, {5448,32068}, {6126,15904}, {7689,21849}, {8548,8584}, {9927,11225}, {10661,396}, {10662,395}, {10665,32787}, {10666,32788}, {11456,427}, {11472,5890}, {11820,32062}, {12163,3060}, {12164,3917}, {12302,12824}, {12364,11064}, {13509,16318}, {14627,34566}, {15037,34565}, {15068,13567}, {15083,3819}, {15106,12828}, {15316,3167}, {16266,10192}, {17834,34751}, {17838,15131}, {18451,26869}, {19139,597}, {19140,15118}, {19149,23327}, {22146,6793}, {23128,5306}, {32139,23332}, {32320,9209}, {33533,32191}, {33878,1843}, {34117,10169}, {34801,568}, {35237,4}, {36747,11402}.
( Mostrar/Ocultar figura )
σ induce una proyectividad entre las rectas que pasan un punto P y las que pasan por P'=σ(P).
En particular, cuando P=X₁₁₄₇₂ (reflexión de X₄₈₄₆ en el centro de la ) y P'=X₅₈₉₀ (baricentro del ), la cónica lugar de los puntos de intersección de rectas homólogas (Charles–Steiner) es una hipérbola
( 4 a^6 b^4 c^2 x^2-7 a^4 b^6 c^2 x^2+2 a^2 b^8 c^2 x^2+b^10 c^2 x^2-4 a^6 b^2 c^4 x^2+6 a^2 b^6 c^4 x^2-2 b^8 c^4 x^2+7 a^4 b^2 c^6 x^2-6 a^2 b^4 c^6 x^2-2 a^2 b^2 c^8 x^2+2 b^4 c^8 x^2-b^2 c^10 x^2-a^10 c^2 x y-2 a^8 b^2 c^2 x y+11 a^6 b^4 c^2 x y-11 a^4 b^6 c^2 x y+2 a^2 b^8 c^2 x y+b^10 c^2 x y+2 a^8 c^4 x y-4 a^6 b^2 c^4 x y+4 a^2 b^6 c^4 x y-2 b^8 c^4 x y+7 a^4 b^2 c^6 x y-7 a^2 b^4 c^6 x y-2 a^4 c^8 x y+2 b^4 c^8 x y+a^2 c^10 x y-b^2 c^10 x y-a^10 c^2 y^2-2 a^8 b^2 c^2 y^2+7 a^6 b^4 c^2 y^2-4 a^4 b^6 c^2 y^2+2 a^8 c^4 y^2-6 a^6 b^2 c^4 y^2+4 a^2 b^6 c^4 y^2+6 a^4 b^2 c^6 y^2-7 a^2 b^4 c^6 y^2-2 a^4 c^8 y^2+2 a^2 b^2 c^8 y^2+a^2 c^10 y^2+a^10 b^2 x z-2 a^8 b^4 x z+2 a^4 b^8 x z-a^2 b^10 x z+2 a^8 b^2 c^2 x z+4 a^6 b^4 c^2 x z-7 a^4 b^6 c^2 x z+b^10 c^2 x z-11 a^6 b^2 c^4 x z+7 a^2 b^6 c^4 x z-2 b^8 c^4 x z+11 a^4 b^2 c^6 x z-4 a^2 b^4 c^6 x z-2 a^2 b^2 c^8 x z+2 b^4 c^8 x z-b^2 c^10 x z+a^10 b^2 y z-2 a^8 b^4 y z+2 a^4 b^8 y z-a^2 b^10 y z-a^10 c^2 y z+7 a^6 b^4 c^2 y z-4 a^4 b^6 c^2 y z-2 a^2 b^8 c^2 y z+2 a^8 c^4 y z-7 a^6 b^2 c^4 y z+11 a^2 b^6 c^4 y z+4 a^4 b^2 c^6 y z-11 a^2 b^4 c^6 y z-2 a^4 c^8 y z+2 a^2 b^2 c^8 y z+a^2 c^10 y z+a^10 b^2 z^2-2 a^8 b^4 z^2+2 a^4 b^8 z^2-a^2 b^10 z^2+2 a^8 b^2 c^2 z^2+6 a^6 b^4 c^2 z^2-6 a^4 b^6 c^2 z^2-2 a^2 b^8 c^2 z^2-7 a^6 b^2 c^4 z^2+7 a^2 b^6 c^4 z^2+4 a^4 b^2 c^6 z^2-4 a^2 b^4 c^6 z^2 = 0)
con centro X₄₂₈ (baricentro del tercer triangulo pedal del ortocentro), asíntotas paralelas a las de la hipérbola de Jerabek y pasa por los centros X_i, para i: 6, 52, 2574, 2575 (estos últimos en la recta del infinito), 5890, 11381, 11472, 12272, 15305, 15801, 16658, 16835, 32616, 32617.
Martes, 18 de febrero del 2020
Puntos simétricos respecto a los puntos medios de los lados de un triángulo

El 18 de febrero de 1883 nació Nikos Kazantzakis, escritor griego, el que será considerado en su país como el escritor y filósofo más importante del siglo XX. Autor de "Alexis Zorbas", escrita en 1946, que será llevada a la gran pantalla con el nombre de "Zorba el griego". Otra obra suya, "La última tentación de Cristo", también se llevará al cine.

AoPS (Arne)

Let ABC be a triangle, and M the midpoint of its side BC. Let γ be the incircle of triangle ABC. The median AM of triangle ABC intersects the incircle γ at two points K and L. Let the lines passing through K and L, parallel to BC, intersect the incircle γ again in two points X and Y. Let the lines AX and AY intersect BC again at the points P and Q. Then BP = CQ.

Las coordenadas baricéntricas de los puntos P y Q, en la referencia anterior, son:
(0 : -a^3+2 a Sqrt[a^2-(b-c)^2] (b-c)+2 (b-c)^3+a^2 (-2 b+Sqrt[a^2-(b-c)^2]+2 c) : -a^3+a^2 (2 b+Sqrt[a^2-(b-c)^2]-2 c)-2 (b-c)^3+2 a Sqrt[a^2-(b-c)^2] (-b+c)),

(0 : -a^3-a^2 (2 b+Sqrt[a^2-(b-c)^2]-2 c)+2 (b-c)^3+2 a Sqrt[a^2-(b-c)^2] (-b+c) : -a^3+2 a Sqrt[a^2-(b-c)^2] (b-c)-2 (b-c)^3-a^2 (-2 b+Sqrt[a^2-(b-c)^2]+2 c)).
Procediendo cíclicamente, se obtienen pares de puntos en los lados CA y AB, simétricos respecto a sus puntos medios.
Estos seis puntos están en una misma cónica,
(
𝔖_{_{abc xyz}} (2 a^2 - 4 a b + 2 b^2 - c^2)^2 (2 a^2 - b^2 - 4 a c + 2 c^2)^2 ((a^2 - 2 (b - c)^2)^2 x^2 - 2 (a^4 + 4 a^2 (b - c)^2 - 4 (b - c)^4) y z) = 0.
)
su centro es:
W = ( a^4 (16 a^12 - 64 a^11 (b + c) - 352 a^9 b c (b + c) + 16 a^10 (5 b^2 + 16 b c + 5 c^2) - 16 a^8 (5 b^4 - 8 b^3 c - 35 b^2 c^2 - 8 b c^3 + 5 c^4) - 32 a^6 b c (5 b^4 - b^3 c - 10 b^2 c^2 - b c^3 + 5 c^4) + 32 a^7 (2 b^5 + 4 b^4 c - 11 b^3 c^2 - 11 b^2 c^3 + 4 b c^4 + 2 c^5) - 32 a^3 b (b - c)^2 c (4 b^5 - 3 b^4 c - 3 b c^4 + 4 c^5) + 32 a (b - c)^4 (2 b^7 - b^5 c^2 - b^2 c^5 + 2 c^7) - 32 a^5 (2 b^7 - 5 b^6 c + 3 b^4 c^3 + 3 b^3 c^4 - 5 b c^6 + 2 c^7) - 8 (b - c)^4 (2 b^8 - 2 b^6 c^2 + b^4 c^4 - 2 b^2 c^6 + 2 c^8) - 8 a^2 (b - c)^2 (10 b^8 - 24 b^7 c + 12 b^6 c^2 + 4 b^5 c^3 - 5 b^4 c^4 + 4 b^3 c^5 + 12 b^2 c^6 - 24 b c^7 + 10 c^8) + a^4 (80 b^8 - 128 b^7 c - 32 b^6 c^2 + 96 b^5 c^3 - 33 b^4 c^4 + 96 b^3 c^5 - 32 b^2 c^6 - 128 b c^7 + 80 c^8))/(a^2 - 2 (b - c)^2)^2 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (11.6062851978057, -2.26388888802463, -0.148774840755044).
( Mostrar/Ocultar figura )
Lunes, 17 de febrero del 2020
El centro del triángulo X(3527)

El 17 de febrero de 1600 fue asesinado por la Inquisición , quemándolo vivo, Giordano Bruno, astrónomo, filósofo, teólogo, matemático y poeta italiano.
Sus teorías cosmológicas superaron el modelo copernicano, pues propuso que el Sol era simplemente una estrella; que el universo debía contener un infinito número de mundos habitados por animales y seres inteligentes. Propuso en el campo teológico una forma particular de panteísmo, lo cual difería considerablemente de la visión cosmológica sostenida por la Iglesia católica.

X(3527) = Isogonal conjugate of X(631), 3/5*OG.

Let H_A be the foot of the A-altitude. Let B_A and C_A be the feet of perpendiculars from H_A to CA and AB, resp. Let G_A be the centroid of H_AB_AC_A. Define G_B and G_C cyclically. The lines AG_A, BG_B, CG_C concur in X(3527). (Randy Hutson, June 7, 2019)

AoPS (Pindp)

Let ABC be an acute triangle, altitudes AD, BE, CF. Line passes though B and perpendicular to AB cuts AD at A_b, line passes though C and perpendicular to AC cuts AD at A_c. FA_b cuts EA_c at X. Define B_a, B_c, C_a, C_b, Y and Z similarly. Prove that XD, YE, ZF are concurrent.
( Mostrar/Ocultar figura )
Con las notaciones de las anteriores referencias, los triángulos ABC, , XYZ forman una tripleta de triángulos , con centro de perspectividad común:
X₃₅₂₇ = (a^2/(3 a^4 - 4 a^2 b^2 + b^4 - 4 a^2 c^2 - 2 b^2 c^2 + c^4) : ... : ...).
Sean d₁, d₂, d₃ los ejes de perspectividad de los pares de triángulos (ABC, ), (ABC, XYZ), (, XYZ), respectivamente.

Los tres ejes de perspectividad, d₁, d₂, d₃, concurren (Theorem 17. The Geometry of Homological Triangles (Florentin Smarandache and Ion Pătraşcu) ) en:
W = ( (b^2-c^2) (5 a^6-15 a^4 (b^2+c^2)+11 a^2 (b^2-c^2)^2-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) (a^6-3 a^4 (b^2+c^2)+a^2 (3 b^4+14 b^2 c^2+3 c^4)-(b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)) (5 a^12-18 a^10 (b^2+c^2)+a^8 (19 b^4-50 b^2 c^2+19 c^4)+4 a^6 (b^6+43 b^4 c^2+43 b^2 c^4+c^6)-a^4 (21 b^8+100 b^6 c^2+142 b^4 c^4+100 b^2 c^6+21 c^8)+2 a^2 (b^2-c^2)^2 (7 b^6+b^4 c^2+b^2 c^4+7 c^6)-(b^2-c^2)^4 (3 b^4-10 b^2 c^2+3 c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-14.8362178539846, 15.2549181686618, -0.0729475484039892).
Ninguna recta, determinada por centros de ETC, pasa por W.
Lunes, 10 de febrero del 2020
El centro X(14683) como foco de una parábola

El 10 de febrero de 1943, el Mahatma Gandhi inicia una huelga de hambre contra su detención.

X(14683) = of the cubic K753

Dado un triángulo ABC con baricentro G=X₂, sean ℰ la y C(U) la cónica circunscrita de un punto U, Q el de intersección de ℰ y C(U) y DEF de Q.

El lugar geométrico de los puntos de intersección de las polares de una recta δ, que pasa por el baricentro, respecto a ℰ y a C(U) es una hipérbola ℋ(δ), circunscrita a DEF (salvo cuando δ es la recta GU, que es una parábola tangente a los lados de ABC en los vértices de DEF). Una asíntota de ℋ(δ) tiene la dirección del polo de la recta GU, respecto a ℰ.
Cuando δ gira alrededor de G, la envolvente de la otra asíntota de ℋ(δ) es una parábola 𝒫(U), cuyo eje tiene la dirección del polo del la recta GU respecto a ℰ.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si, en coordenadas baricéntricas, U(u:v:w) el foco de 𝒫(U) es:
U₀ = (3 a^2 (u-v) (u-w)+(v-w) (b^2 (u-v)+c^2 (-u+w)): ...:...).
En los siguientes pares {X_i, X_j}, X_j es el foco de la parábola 𝒫(U), para cualquier U sobre la recta GX_i. Para {i,j}: {1,20096}, {6,14683}, {37,20095}, {39,20094}, {514,20098}, {523,20099}, {647,5984}, {650,20097}.

Así, cuando U está sobre la recta X₂X₆, el foco de la parábola 𝒫(X₆)
( 4 a^4 x^2-4 a^2 b^2 x^2+9 b^4 x^2-4 a^2 c^2 x^2-14 b^2 c^2 x^2+9 c^4 x^2+12 a^4 x y-6 a^2 b^2 x y+12 b^4 x y-18 a^2 c^2 x y-18 b^2 c^2 x y+18 c^4 x y+9 a^4 y^2-4 a^2 b^2 y^2+4 b^4 y^2-14 a^2 c^2 y^2-4 b^2 c^2 y^2+9 c^4 y^2+12 a^4 x z-18 a^2 b^2 x z+18 b^4 x z-6 a^2 c^2 x z-18 b^2 c^2 x z+12 c^4 x z+18 a^4 y z-18 a^2 b^2 y z+12 b^4 y z-18 a^2 c^2 y z-6 b^2 c^2 y z+12 c^4 y z+9 a^4 z^2-14 a^2 b^2 z^2+9 b^4 z^2-4 a^2 c^2 z^2-4 b^2 c^2 z^2+4 c^4 z^2 = 0)
es K₀=X₁₄₆₈₃, su directriz es la recta de Euler y pasa por los centros X₅₂₃ (dirección del eje, conjugado isogonal del foco de la ), X₆₅₆₂, X₃₁₂₉₉ y es tangente a los lados del triángulo de Steiner, ceviano del .

Cuando U está sobre la recta de Euler, el foco de la parábola 𝒫(X₃),
( eq = 0)
cuyo eje tiene la dirección de X₅₂₅, es:
O₀ = ( 3 a^10 - b^10 + b^8 c^2 + b^2 c^8 - c^10 - 3 a^8 (b^2 + c^2) + 4 a^4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + a^6 (-4 b^4 + 11 b^2 c^2 - 4 c^4) + a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^4 - 3 b^2 c^2 + c^4) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-8.68995726341834, -3.88530296053060, 10.3412391146217).
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {4, 13310}, {8, 13221}, {20, 13200}, {1297, 14900}, {3146, 12384}, {13219, 112}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,112}, {4,13310}, {8,13221}, {20,12253}, {23,11641}, {132,3832}, {148,2794}, {193,2781}, {376,13115}, {390,6020}, {1297,3522}, {1587,35880}, {1588,35881}, {2799,20094}, {2806,20095}, {2825,20077}, {2838,20097}, {2844,20098}, {2853,20100}, {3091,10749}, {3172,26170}, {3320,3600}, {3543,12918}, {3617,13280}, {3622,11722}, {3623,10705}, {3839,19163}, {5261,13296}, {5274,13297}, {6995,13166}, {7500,20099}, {7665,9157}, {7762,12086}, {7793,14676}, {9517,14683}, {9518,20096}, {9530,15683}, {9541,35828}, {9778,12408}, {10735,17578}, {12087,12413} ,{13312,14986}.

El perspector de 𝒫(U), respecto al triángulo ceviano de Q, es:
P_U = ((v - w)^3 (3 u^2 + v^2 + v w + w^2 - 3 u (v + w)) : ... : ...).
Para todo punto U sobre la recta X₁X₂ el perspector P_U es X₂₄₁₂₉.

Si U se mueve sobre la recta de Euler, el perspector P_U es:
P_O = ( (-b^4+c^4+a^2 (b^2-c^2))^3 (3 a^8-3 a^6 (b^2+c^2)+a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (-2 b^4+7 b^2 c^2-2 c^4)+(b^2-c^2)^2 (b^4-b^2 c^2+c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (26.568252714286, 66.51164605626, -54.66813019440).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {75,100}, {85,17718}, {312,18037}, {3119,30854}, {3673,17725}, {4872,20947}, {6745,7112}, {14594,31637}, {18057,18743}, {18149,18156}}.
Domingo, 9 de febrero del 2020
Dos triángulos bilógicos

El 9 de febrero de 1946 la Asamblea General de la ONU, en su Resolución número 32, condena el régimen fascista de Franco y le prohíbe su ingreso en la organización.

Dado un triángulo ABC con circuncentro O=X₃, ortocentro H=X₄ y centro de la N=X₅, sea DEF el de O. La perpendicular por D a BC corta en A_b y A_c a las rectas BH y CH, respectivamente.
Sea O_a el circuncentro del triángulo HA_bA_c, y se definen cíclicamente los puntos O_b y O_c.
Los triángulos ABC y son .
El centro de ortología de ABC respecto a es el circuncentro y centro de ortología de respecto a ABC es la reflexión de X₂₃₁₈₁ en X₅:

U = ( a^14 (b^2+c^2)-4 a^12 (b^4+b^2 c^2+c^4)+a^10 (5 b^6+8 b^4 c^2+8 b^2 c^4+5 c^6)-a^8 (11 b^6 c^2+2 b^4 c^4+11 b^2 c^6)-a^6 (5 b^10-11 b^8 c^2+2 b^6 c^4+2 b^4 c^6-11 b^2 c^8+5 c^10)+4 a^4 (b^2-c^2)^2 (b^8-b^4 c^4+c^8)-a^2 (b^2-c^2)^4 (b^6+c^6)-b^2 c^2 (b^2-c^2)^6 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (1.37065148455076, -0.504731759795997, 3.35748578428126).
Es la reflexión de X₂₃₁₈₁ en X₅.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4,110}, {5,23181}, {52,13450}, {53,1625}, {94,12219}, {115,577}, {265,526}, {311,5891}, {317,6528}, {327,11185}, {338,12358}, {381,3613}, {382,17703}, {1141,3153}, {1624,36160}, {2797,6321}, {2980,31723}, {3091,16837}, {5961,30512}, {8797,18537}, {10419,14989}, {11591,25043}, {13556,21731}, {15470,36184}, {15619,31724}, {18404,22261}, {18569,34449}, {23306,35235}.
( Mostrar/Ocultar figura )
El centro de perspectividad de ABC y es el punto medio del ortocentro y X₃₁₃₈₁:
W = ( 1/(a^8-3a^6(b^2+c^2)+ a^4(3b^4+5b^2c^2+3c^4)- a^2(b^6+b^4c^2+b^2c^4+c^6)-b^2c^2(b^2-c^2)^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-6.02156715848267, -9.24648646248150, 12.8212630290790).
Es el punto medio de X₄ y X₃₁₃₈₁.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {4, 19172}, {5, 389}, {53, 235}, {184, 22261}, {311, 13160}, {403, 13450}, {971, 8064}, {1141, 1614}, {2888, 5877}, {2980, 26883}, {3091, 17500}, {3574, 3613}, {6663, 13406}, {6759, 34449}, {7399, 27356}, {7507, 34845}, {8800, 15760}, {8901, 21659}, {9512, 17824}, {11816, 14157}, {13881, 32445}, {14264, 16868}, {15761, 27361}, {21011, 21670}.
Viernes, 7 de febrero del 2020
El centro X(13419) como centro radical

El 7 de febrero de 1816 nació Jean Frédéric Frenet, matemático francés. Un fragmento de su tesis doctotal alberga la teoría de curvas en el espacio, incluyendo las fórmulas que actualmente son conocidas como ‘fórmulas de Frenet – Serret’. Frenet aportó seis de dichas fórmulas, mientras que Serret proporcionó las nueve restantes.

X(13419) : Antreas Hatzipolakis and Peter Moses, Hyacinthos 26047.

[Antreas Hatzipolakis]:

Let ABC be a triangle and A'B'C' the pedal triangle of H (orthic triangle).
Denote: A"B"C" = the reflection triangle (ie A", B", C" = the reflections of A,B,C in BC, CA, AB, resp.)

Ab, Ac = the orthogonal projections of A" on BB', CC', resp.
Na = the NPC center of A"AbAc. Similarly Nb, Nc.

ABC, NaNbNc are orthologic.

[Peter Moses]:

X(13419) is the orthologic center of NaNbNc wrt ABC.

Dado un triángulo ABC, sean A'B'C' su reflexión en el centro de la y DEF el . Sean A_b y A_c las reflexiones de A en C y B, respectivamente, y la circunferencia Γ_a
( Ecuación baricéntrica:
a^6 x^2-2 a^4 b^2 x^2+a^2 b^4 x^2-2 a^4 c^2 x^2-2 a^2 b^2 c^2 x^2+4 b^4 c^2 x^2+a^2 c^4 x^2+4 b^2 c^4 x^2+2 a^6 x y-4 a^4 b^2 x y+2 a^2 b^4 x y-4 a^4 c^2 x y+4 b^4 c^2 x y+2 a^2 c^4 x y+a^6 y^2-2 a^4 b^2 y^2+a^2 b^4 y^2-2 a^4 c^2 y^2+2 a^2 b^2 c^2 y^2+a^2 c^4 y^2+2 a^6 x z-4 a^4 b^2 x z+2 a^2 b^4 x z-4 a^4 c^2 x z+2 a^2 c^4 x z+4 b^2 c^4 x z+2 a^6 y z-4 a^4 b^2 y z+2 a^2 b^4 y z-4 a^4 c^2 y z+2 a^2 c^4 y z+a^6 z^2-2 a^4 b^2 z^2+a^2 b^4 z^2-2 a^4 c^2 z^2+2 a^2 b^2 c^2 z^2+a^2 c^4 z^2 = 0)
de centro A' y tangente a A_bA_c. Las circunferencias Γ_a y Γ_a, se definen cíclicamente.
El de las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c es X₁₃₄₁₉.
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Sea un punto P sobre su circunferencia circunscrita Γ y D un punto sobre la recta BC, sean D_b y D_c las reflexiones de D en PB y PC, respectivamente.
La envolvente de la recta D_bD_c, cuando D varía en BC, es una parábola de foco P y directriz d_a.
La envolvente de d_a, cuando P se mueve sobre Γ, es una circunferencia Γ_a. (ver Euclid #611).
Miércoles, 5 de febrero del 2020
El centro X(243) como punto fijo finito de una transformación afín

Kirk Douglas, actor y productor de cine estadounidense, uno de los últimos supervivientes de la era dorada de Hollywood, protagonista de joyas del cine como Espartaco o Senderos de Gloria, falleció este miércoles en Los Ángeles a los 103 años de edad.

Dado un triángulo ABC, sean H su ortocentro, DEF y los triángulos y del L. La paralela por L a la recta DH corta a L_bL_c en A', entonces AA' es la mediana por A.
Los puntos B' y C' se definen cíclicamente.
El punto fijo finito de la transformación afín σ, que aplica ABC en A'B'C' es X₃₄₃, del de la de H, respecto a la circunferencia circunscrita a ABC; es decir, el punto cuyas coordenadas son los coeficientes de la ecuación de la polar de H, respecto a la circunferencia circunscrita a ABC.
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Las coordenadas baricéntricas de A' son:
(2 a^2 (-a^2 + b^2 + c^2) : a^4 - (b^2 - c^2)^2 ; a^4 - (b^2 - c^2)^2).
La matriz M asociada de la transformación afín σ que aplica ABC en A'B'C' tiene las entradas:
M[1,1] = -2 a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (a^4 + b^4 - b^2 c^2 - a^2 (2 b^2 + c^2)) (a^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + 2 c^2)),

M[1,2] = (a^4 + b^4 - b^2 c^2 - a^2 (2 b^2 + c^2)) (a^6 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^3 (b^2 + c^2) - a^4 (b^4 + 3 c^4) + a^2 (-b^6 + b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 + 3 c^6)),

M[1,3] = (a^2 - b^2 + c^2) (a^4 - b^2 c^2 + c^4 - a^2 (b^2 + 2 c^2)) (a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 2 a^2 (b^4 + c^4)).
El punto fijo finito de σ, que corresponde la valor propio
λ = 2 (a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - a^2 c^2 - b^2 c^2) (a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) (a^4 - a^2 b^2 - 2 a^2 c^2 - b^2 c^2 + c^4),
es
X₃₄₃ = ((a^2 - b^2 - c^2) (a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + 2 b^2 c^2 - c^4) : ... : ...).

Pares de centros {X_i, X_j = σ(X_i)}, para los índices {i, j}: {5, 3}, {52, 6146}, {343, 343}, {1953, 18650}, {6663, 5447}, {12077, 3265}, {13157, 2}, {14213, 18607}, {15912, 1216}, {31802, 19467}.
Martes, 4 de febrero del 2020
Puntos de Dixit y puntos de Steiner

El 4 de febrero de 1928 falleció (a los 75 años) Antoon Lorentz, físico neerlandés galardonado con el Premio Nobel de Física del año 1902.
Formuló conjuntamente con George Francis FitzGerald una teoría sobre el cambio de forma de un cuerpo como resultado de su movimiento. En la teoría de la relatividad especial, las transformaciones de Lorentz son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física obtenidas por dos observadores diferentes. Matemáticamente el conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman el grupo de Lorentz.

X(3590) = 1st DIXIT POINT

Atul Dixit. Hyacinthoos #2183 (Dec 22, 2000)

Let ABC be a triangle with AD,BE and CF as the medians and with centroid G. Construct semi-circles with diameters BD,DC and BC all outwardly.(shoemaker's knife).Let T1 be circle touching the three semi-circles BD,DC and BC and let A' be the centre of this circle .(It is easy to prove that the radius of T1 is one-sixth of BC).Similarly define B' and C' .It seems that AA',BB' and CC' are concurrent.
Paul Yiu. Hyacinthoos #2184 (Dec 22, 2000)

Yes, they are. According to what you have calculated, this perspector is clearly on the , corresponding to the angle θ satisfying tan θ = 2/3. It therefore has homogeneous barycentric coordinates
(1/() : 1/(2S_B + 3S) : 1/(2S_C+3S)).

Dado un triángulo ABC, en el cuadrado BCDE, levantado externamente sobre le lado BC, se considera el punto medio, A_e, de DE. Sea S_ab y S_ac los de los triángulos BEA_e y CDA_e, respectivamente. El centro de la circunferencia Γ_a, que pasa por A_e, S_ab y S_ac se denota por A'.
Análogamente, procediendo cíclicamente, se definen los puntos B', C' y las circunferencias Γ_b y Γ_c.
Los puntos A', B', C' son los centros de las circunferencias consideradas por Atul Dixit.
( Mostrar/Ocultar figura )
La circunferencia Γ_a tiene radio 2a/4 y su ecuación baricéntrica es:
c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z + (x + y + z) ((7 a^2 - 6 b^2 - 6 c^2 - 8 S) x + a^2 y + a^2 z)/12 = 0.

Las coordenadas de S_ab y S_ac son:
S_ab = (8 a^2 (49 a^4+73 (b^2-c^2)^2-98 a^2 (b^2+c^2)) (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 S+384 a^2 (4 a^8+9 (b^2-c^2)^4-16 a^6 (b^2+c^2)-26 a^2 (b^2-c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (29 b^4+6 b^2 c^2+29 c^4)) S^3+4608 a^2 (b^2-c^2)^2 S^5 :
29 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^4-4 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 (49 a^6+64 (b^2-c^2)^3-2 a^4 (29 b^2+69 c^2)+a^2 (-7 b^4-146 b^2 c^2+153 c^4)) S-48 (16 a^10+33 (b^2-c^2)^5-8 a^2 (b^2-c^2)^3 (7 b^2+16 c^2)-a^8 (51 b^2+77 c^2)+8 a^6 (8 b^4+3 b^2 c^2+21 c^4)-2 a^4 (3 b^6-9 b^4 c^2-95 b^2 c^4+101 c^6)) S^3-2304 (b^2-c^2)^2 (a^2+b^2-c^2) S^5 :
-3 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^4-4 (a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 (49 a^6-82 (b^2-c^2)^3-4 a^4 (39 b^2+10 c^2)+a^2 (189 b^4-146 b^2 c^2-43 c^4)) S-48 (16 a^10-39 (b^2-c^2)^5+8 a^2 (b^2-c^2)^3 (19 b^2+10 c^2)-a^8 (83 b^2+45 c^2)+8 a^6 (24 b^4+3 b^2 c^2+5 c^4)+a^4 (-238 b^6+202 b^4 c^2+6 b^2 c^4+30 c^6)) S^3-2304 (b^2-c^2)^2 (a^2-b^2+c^2) S^5),

S_ac = (8 a^2 (49 a^4+73 (-b^2+c^2)^2-98 a^2 (b^2+c^2)) (a^4+(-b^2+c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 S+384 a^2 (4 a^8+9 (-b^2+c^2)^4-16 a^6 (b^2+c^2)-26 a^2 (-b^2+c^2)^2 (b^2+c^2)+a^4 (29 b^4+6 b^2 c^2+29 c^4)) S^3+4608 a^2 (-b^2+c^2)^2 S^5 :
-3 (a^4+(-b^2+c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^4-4 (a^4+(-b^2+c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 (49 a^6-82 (-b^2+c^2)^3-4 a^4 (10 b^2+39 c^2)+a^2 (-43 b^4-146 b^2 c^2+189 c^4)) S-48 (16 a^10-39 (-b^2+c^2)^5+8 a^2 (-b^2+c^2)^3 (10 b^2+19 c^2)-a^8 (45 b^2+83 c^2)+8 a^6 (5 b^4+3 b^2 c^2+24 c^4)+a^4 (30 b^6+6 b^4 c^2+202 b^2 c^4-238 c^6)) S^3-2304 (a^2+b^2-c^2) (-b^2+c^2)^2 S^5 :
29 (a^4+(-b^2+c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^4-4 (a^4+(-b^2+c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2))^2 (49 a^6+64 (-b^2+c^2)^3-2 a^4 (69 b^2+29 c^2)+a^2 (153 b^4-146 b^2 c^2-7 c^4)) S-48 (16 a^10+33 (-b^2+c^2)^5-8 a^2 (-b^2+c^2)^3 (16 b^2+7 c^2)-a^8 (77 b^2+51 c^2)+8 a^6 (21 b^4+3 b^2 c^2+8 c^4)-2 a^4 (101 b^6-95 b^4 c^2-9 b^2 c^4+3 c^6)) S^3-2304 (-b^2+c^2)^2 (a^2-b^2+c^2) S^5).

El de las circunferencias Γ_a, Γ_b, Γ_c es:
U = ( 16 a^4 + 13 a^2 (b^2 + c^2) - 29 (b^2 - c^2)^2 + 4 (14 a^2 - b^2 - c^2) S : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.297935989725528, -0.0833711154923310, 3.83589186481393).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,6398}, {3818,20583}, {14235,15687}.

Si los cuadrados son construidos hacia el interior del triángulo ABC, el centro radical de las circunferencias Γ'_a, Γ'_b , Γ'_c, que se obtienen, es:
V = ( 16 a^4 + 13 a^2 (b^2 + c^2) - 29 (b^2 - c^2)^2 - 4 (14 a^2 - b^2 - c^2) S : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (3.89275950744947, 7.07838894098036, -3.05641686528640). Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,6221}, {3818,20583}, {14239,15687}.
Sábado, 1 de febrero del 2020
Circunferencias mixtilíneas y cuadriláteros armónicos

En memoria de mi hija Marta

Dado un triángulo ABC, la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilineo formado por los dos segmentos AB y AC y el arco BC de la circunferencia circunscrita, que no contiene al vértice A () es tangente en A_c, A_b y T_a, respectivamente.
Si I es el incentro de ABC, los cuadriláteros IT_aBA_c e IT_aCA_b son . Entonces, la diagonal IB y las tangentes en T_a y A_c a la circunferencia circunscrita a IT_aBA_c, son concurrentes en un punto P_ab y, así mismo, la diagonal IC y las tangentes en T_a y A_b a la circunferencia circunscrita a IT_aCA_b, son concurrentes en un punto P_ac.
P_ab = (-a c (a - b + c), b (a^2 + 2 a b + b^2 - a c + b c - 2 c^2), -c^2 (a - b + c)),
P_ac = (-a b (a + b - c), -b^2 (a + b - c), c (a^2 - a b - 2 b^2 + 2 a c + b c + c^2)).
Los puntos P_bc, P_ba, P_ca y P_cb, se definen cíclicamente.
Las rectas P_abP_ac, P_bcP_ba, P_caP_cb forman un triángulo perspectivo con ABC. El centro de perspectividad es:

W = ( a/(a^3-a^2 b-2 a b^2-a^2 c+7 a b c-b^2 c-2 a c^2-b c^2) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-8.19169066752207, -9.48027122196374, 13.9847094821233).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {8,17460}, {9,20972}, {256,5919}, {314,17195}, {1149,1320}, {2320,17715}, {3680,13541}, {4866,33795}, {4900,16569}, {4947,6018}, {5255,15179}, {6085,23838}.
( Mostrar/Ocultar figura )
Las coordenadas de A₁ son:
(a(3a^4+2a^3(b+c)+(b+c)^2(2b^2-5b c+2c^2)-a^2(5b^2+9b c+5c^2)-2a(b^3-5b^2c-5b c^2+c^3)) :
b(-(2b-c)c(b+c)^2-a^2c(10b+c)+a^3(b+2c)-a(b^3-8b^2c-7b c^2+2c^3)) :
c(b(b-2c)(b+c)^2+a^3(2b+c)-a^2b(b+10c)-a(2b^3-7b^2c-8b c^2+c^3))).
La matriz M asociada de la transformación afín σ que aplica ABC en tiene las entradas:
M[1,1] = -a (a + b - 3 c) (b - c) (a - 3 b + c) (3 a^4 + 2 a^3 (b + c) + (b + c)^2 (2 b^2 - 5 b c + 2 c^2) - a^2 (5 b^2 + 9 b c + 5 c^2) - 2 a (b^3 - 5 b^2 c - 5 b c^2 + c^3)),

M[1,2] = a (a + b - 3 c) (a - c) (3 a^4 (b + 2 c) - a^3 (b^2 + 27 b c - 7 c^2) + c (b + c)^2 (2 b^2 - 3 b c + c^2) - a^2 (3 b^3 - 38 b^2 c + 16 b c^2 + 3 c^3) + a (b^4 - 15 b^3 c + 13 b c^3 - 3 c^4)),

M[1,3] = -a (a - b) (a - 3 b + c) (3 a^4 (2 b + c) + a^3 (7 b^2 - 27 b c - c^2) + b (b + c)^2 (b^2 - 3 b c + 2 c^2) - a^2 (3 b^3 + 16 b^2 c - 38 b c^2 + 3 c^3) + a (-3 b^4 + 13 b^3 c - 15 b c^3 + c^4)).
El punto fijo finito de σ, que corresponde la valor propio
λ = (a - b) (b - c) (c - a) (a + b - 3 c)(3 a - b - c) (a - 3 b + c) (a + b + c)^2,
es:
F = ( a (a - b) (a - c) (3 a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.0584634128350354, -0.106904526326922, 3.74165842144226).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {7,17724}, {40,10696}, {55,17074}, {57,3315}, {78,13539}, {81,3256}, {88,1421}, {100,109}, {108,901}, {165,17080}, {603,3871}, {643,4565}, {644,1415}, {750,8543}, {902,7677}, {934,1293}, {1155,4318}, {1442,4689}, {1457,13587}, {2222,8697}, {2283,8638}, {3052,3756}, {3100,17613}, {3550,4334}, {3562,11248}, {3579,4296}, {3722,14151}, {4188,34040}, {4427,14594}, {4617,7045}, {4848,16948}, {9352,34036}, {11717,13462}, {12515,33649}, {17549,24806}, {24465,33148}, {34474,34586}.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

CASO DE LAS EXCIRCUNFERENCIAS MIXTILÍNEAS

La es tangente a AB y AC, respectivamente, en
A'_c = (-a - b + c : 2 b : 0) y A'_b = (a - b + c : 0 : -2 c),
y a la circunferencia circunscrita, exteriormente, en
T'_a = (a (a^2 - (b - c)^2) : -2 b^2 (a - b + c) : -2 (a + b - c) c^2).
Si I_a es el de ABC, los cuadriláteros I_aT'_aBA'_c e I_aT'_aCA'_b son armónicos. Entonces, la diagonal I_aB y las tangentes en T'_a y A'_c a la circunferencia circunscrita a I_aT'_aBA'_c, son concurrentes en un punto P'_ab y, así mismo, la diagonal I_aC y las tangentes en T'_a y A'_b a la circunferencia circunscrita a I_aT'_aCA'_b, son concurrentes en un punto P'_ac.
P'_ab = (a (a + b - c) c : -b (a^2 + b^2 + b c - 2 c^2 + a (-2 b + c)) : -(a + b - c) c^2),
P'_ac = (a b (a - b + c) : b^2 (-a + b - c) : -c (a^2 - 2 b^2 + a (b - 2 c) + b c + c^2)).
Los puntos P'_bc, P'_ba, P'_ca y P'_cb, se definen cíclicamente.
Los seis puntos P'_ab, P'_ac, P'_bc, P'_ba, P'_ca y P'_cb están en una misma cónica,
( a^4 b^3 c^3 x^2-2 a^2 b^5 c^3 x^2+b^7 c^3 x^2+4 a^2 b^4 c^4 x^2-4 b^6 c^4 x^2-2 a^2 b^3 c^5 x^2+6 b^5 c^5 x^2-4 b^4 c^6 x^2+b^3 c^7 x^2+2 a^7 b c^2 x y-3 a^6 b^2 c^2 x y-6 a^5 b^3 c^2 x y+14 a^4 b^4 c^2 x y-6 a^3 b^5 c^2 x y-3 a^2 b^6 c^2 x y+2 a b^7 c^2 x y-4 a^6 b c^3 x y+16 a^5 b^2 c^3 x y-12 a^4 b^3 c^3 x y-12 a^3 b^4 c^3 x y+16 a^2 b^5 c^3 x y-4 a b^6 c^3 x y-3 a^5 b c^4 x y-14 a^4 b^2 c^4 x y+34 a^3 b^3 c^4 x y-14 a^2 b^4 c^4 x y-3 a b^5 c^4 x y+12 a^4 b c^5 x y-8 a^3 b^2 c^5 x y-8 a^2 b^3 c^5 x y+12 a b^4 c^5 x y-8 a^3 b c^6 x y+9 a^2 b^2 c^6 x y-8 a b^3 c^6 x y+a b c^8 x y+a^7 c^3 y^2-2 a^5 b^2 c^3 y^2+a^3 b^4 c^3 y^2-4 a^6 c^4 y^2+4 a^4 b^2 c^4 y^2+6 a^5 c^5 y^2-2 a^3 b^2 c^5 y^2-4 a^4 c^6 y^2+a^3 c^7 y^2+2 a^7 b^2 c x z-4 a^6 b^3 c x z-3 a^5 b^4 c x z+12 a^4 b^5 c x z-8 a^3 b^6 c x z+a b^8 c x z-3 a^6 b^2 c^2 x z+16 a^5 b^3 c^2 x z-14 a^4 b^4 c^2 x z-8 a^3 b^5 c^2 x z+9 a^2 b^6 c^2 x z-6 a^5 b^2 c^3 x z-12 a^4 b^3 c^3 x z+34 a^3 b^4 c^3 x z-8 a^2 b^5 c^3 x z-8 a b^6 c^3 x z+14 a^4 b^2 c^4 x z-12 a^3 b^3 c^4 x z-14 a^2 b^4 c^4 x z+12 a b^5 c^4 x z-6 a^3 b^2 c^5 x z+16 a^2 b^3 c^5 x z-3 a b^4 c^5 x z-3 a^2 b^2 c^6 x z-4 a b^3 c^6 x z+2 a b^2 c^7 x z+a^8 b c y z-8 a^6 b^3 c y z+12 a^5 b^4 c y z-3 a^4 b^5 c y z-4 a^3 b^6 c y z+2 a^2 b^7 c y z+9 a^6 b^2 c^2 y z-8 a^5 b^3 c^2 y z-14 a^4 b^4 c^2 y z+16 a^3 b^5 c^2 y z-3 a^2 b^6 c^2 y z-8 a^6 b c^3 y z-8 a^5 b^2 c^3 y z+34 a^4 b^3 c^3 y z-12 a^3 b^4 c^3 y z-6 a^2 b^5 c^3 y z+12 a^5 b c^4 y z-14 a^4 b^2 c^4 y z-12 a^3 b^3 c^4 y z+14 a^2 b^4 c^4 y z-3 a^4 b c^5 y z+16 a^3 b^2 c^5 y z-6 a^2 b^3 c^5 y z-4 a^3 b c^6 y z-3 a^2 b^2 c^6 y z+2 a^2 b c^7 y z+a^7 b^3 z^2-4 a^6 b^4 z^2+6 a^5 b^5 z^2-4 a^4 b^6 z^2+a^3 b^7 z^2-2 a^5 b^3 c^2 z^2+4 a^4 b^4 c^2 z^2-2 a^3 b^5 c^2 z^2+a^3 b^3 c^4 z^2 = 0)
𝒞.
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De las 60 posibles de los hexágonos formados por los seis puntos considerados, la del hexágono P'_abP'_acP'_bcP'_baP'_caP'_cb, inscrito en 𝒞, es la recta que pasa por X(15599) y tiene la dirección de X₅₁₃, del del .

Los puntos donde los lados opuestos del hexágono P'_abP'_acP'_bcP'_baP'_caP'_cb se cortan son:
U = (-a (b - c) (a^2 + (b - c)^2 - 2 a (b + c)) : -b (a^3 - 3 a (b - c)^2 + 2 (b - c)^2 (b + c)) : c (a^3 - 3 a (b - c)^2 + 2 (b - c)^2 (b + c))),

V = (a (b^3 - 3 b (-a + c)^2 + 2 (-a + c)^2 (a + c)) : -b (-a + c) (b^2 + (-a + c)^2 - 2 b (a + c)) : -c (b^3 - 3 b (-a + c)^2 + 2 (-a + c)^2 (a + c))),

W = (-a (2 (a - b)^2 (a + b) - 3 (a - b)^2 c + c^3) : b (2 (a - b)^2 (a + b) - 3 (a - b)^2 c + c^3) : -(a - b) c ((a - b)^2 - 2 (a + b) c + c^2)).

Hay otras dos rectas de Pascal paralelas a la anteriormente considerada, que pasan por X₆₄₈ y X₅₅₃₇, y que son, respectivamente, las que corresponden a los hexágonos P'_abP'_cbP'_bcP'_acP'_caP'_ba y P'_abP'_baP'_bcP'_cbP'_caP'_ac. El punto de Steiner correspondiente a estas tres rectas de Pascal es el X₅₁₃.

X(648) = Of .

X(5537) = Gibert-Burek-Moses concurrent circles image of isogonal conjugate of .

Let P be a point in the plane of a triangle ABC with orthocenter H. Let DEF be the excentral triangle of ABC. The circumcircles of APD, BPE, CPF concur in two points, P and Q. The point Q = Q(P) is the Gibert-Burek-Moses concurrent circles image of P.

X(15599) = Center of the perspeconic of these triangles: 1st circumperp and yff contact

The perpendicular bisector of BC meets the circumcircle in two points A' and A" (A' in the same side of BC as A). Define B', B", C', C" cyclically. The triangle A'B'C' is the 1st circumperp triangle.
The Yff contact triangle is the cevian triangle of X(190).

Yff has studied the parabola tangent to sidelines BC, CA, AB and having focus X(101). If A',B',C' are the respective points of tangency, then the lines AA', BB', CC' concur in X(190).
Jueves, 30 de enero del 2020
Polares respecto a dos cónicas circunscritas

El 30 de enero de 1948, en Nueva Delhi (capital de India), el fanático hinduista Nathuram Godse, aparentemente relacionado con grupos ultraderechistas de la India, asesina al pacifista Mahatma Gandhi, líder de la independencia de India.
En este día, los colegios y centros se convierten en instrumentos de paz y entendimiento entre personas de distinta formación, raza, cultura y religión.

Dados un triángulo ABC, tres puntos L, P y U, una recta δ que pasa por U y las cónicas circunscritas 𝒞(L) y 𝒞(P) a ABC, de L y P, sea 𝒞(δ)
( Si, en coordenadas baricéntricas, L=(l:m:n), P=(p:q:r), U=(u:v:w) y δ: (t v - w)x -t uy+uz =0
𝒞(δ): (n q t v-m r t v-n q w+m r w) x^2+(n p t u-l r t u) y^2+(m p u-l q u) z^2
+(n q t u-m r t u+n p t v-l r t v-n p w+l r w) x y+(-n q u+m r u-m p t v+l q t v+m p w-l q w) x z+(n p u-l r u+m p t u-l q t u) y z= 0)
la cónica lugar geométrico de los puntos de intersección de las , ℓ y p, de los puntos de δ, respecto a 𝒞(L) y 𝒞(P).
La cónica 𝒞(δ) pasa por los polos, L_δ y P_δ, de la recta δ respecto a las cónicas 𝒞(L) y 𝒞(P), respectivamente.

Cuando δ gira alrededor de U, la polar u, de U respecto 𝒞(δ) pasa por un punto fijo, Q.
Si U está sobre la recta LP, entonces Q es el , D, de intersección de 𝒞(L) y 𝒞(P).
Si, en coordenadas baricéntricas, L=(l:m:n), P=(p:q:r) y U=(u:v:w), entonces
Q = (u/(3 (n q-m r) u+(n p-l r) v-(m p-l q) w):...:...).
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EN PARTICULAR, P=X₆, Q=X₂, U=X₂:

Las polares de los puntos de una recta δ, respecto a la circunferencia circunscrita y a la de un triánguo ABC, se intersecan en puntos sobre una hipérbola ℋ(δ), de entre las cuales solo hay una rectangular (cuando la recta δ tiene la dirección del . X₅₂₅, del punto de intersección, X₁₁₂, de las reflexiones, en los lados del triángulo, de la recta que pasa por el ortocentro y simediano).
Esta hipérbola rectangular, de ecuación
𝔖_{_{abc xyz}} (b^2-c^2)((2a^4-(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2))x^2 + 2((b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2)y z) = 0,
tiene centro en X(14731) y pasa por los centros del triángulo X₃, X₈, X₃₀ (punto del infinito de la recta de Euler), X₂₉₈, X₂₉₉, X₅₂₃, X₁₄₂₆₄ y por los vértices de los triángulos de y .

Cuando la recta δ gira alrededor del baricentro, el lugar geométrico del centro D de la hipérbola ℋ(δ) es una parábola
( (-b^4+2 b^2 c^2-c^4) x^2+(-2 a^4+2 a^2 b^2-2 b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-2 c^4) x y+(-a^4+2 a^2 c^2-c^4) y^2+(-2 a^4+2 a^2 b^2-2 b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-2 c^4) x z+(-2 a^4+2 a^2 b^2-2 b^4+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-2 c^4) y z+(-a^4+2 a^2 b^2-b^4) z^2 = 0)
𝒫, que pasa por los centros X₅₂₃ (dirección de su eje, conjugado isogonal del foco de la ), X₆₅₆₃, X₁₄₆₁₁, X₁₄₇₂₁, X₁₄₇₃₁, X₁₄₇₇₉, X₁₇₁₆₁, X₃₀₅₀₈, X₃₀₅₀₉, X₃₁₂₉₆.
La directriz d de 𝒫 es la paralela a la recta de Euler por el circuncentro, X₈₁₅₁, del triángulo de Steiner.
Su foco de 𝒫 es la reflexión de X₁₅₁₁ (punto de intersección de la normal a la circunferencia circunscrita en , con la de X₁₁₀) en X₃₂₂₀₄ (centro de la del triángulo de Steiner):
F = ( (b^2 - c^2) (a^10 + b^10 + 6 a^6 b^2 c^2 - b^8 c^2 - b^2 c^8 + c^10 - 2 a^8 (b^2 + c^2) + a^4 (3 b^6 - 5 b^4 c^2 - 5 b^2 c^4 + 3 c^6) + a^2 (-3 b^8 + 3 b^6 c^2 + b^4 c^4 + 3 b^2 c^6 - 3 c^8)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (12.5375409127293, -6.03607074065305, 2.03292534263837).
Es el punto medio de X₁₅₃₅₇ y X₁₅₃₅₇.
Es la reflexión de X₁₅₁₁ en X₃₂₂₀₄.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,12064}, {110,11123}, {125,523}, {1511,32204}, {5663,8151}, {5972,10190}, {6723,10278}, {8029,15059}, {9168,13291}, {10279,34128}, {15357,19598}.

El punto F ha sido incorporado a ETC con el número X(36739).
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Las polares de los puntos de una recta δ , respecto a la circunferencia circunscrita y a la circunelipse de Steiner de un triángulo, se intersecan en puntos sobre una hipérbola ℋ(δ). Cuando la recta δ gira alrededor de un punto U, el lugar geométrico del centro D de la hipérbola ℋ(δ) es una parábola 𝒫(U) si y solo si U está sobre la
( b^2 x^2-c^2 x^2+a^2 x y-b^2 x y-a^2 y^2+c^2 y^2-a^2 x z+c^2 x z+b^2 y z-c^2 y z+a^2 z^2-b^2 z^2 = 0
Pasa por los centros X(i), para i: {2, 3, 39, 114, 618, 619, 629, 630, 641, 642, 1125, 1649, 2482, 3413, 3414, 3666, 5664, 5745, 5976, 6292, 6337, 6503, 6509, 6626, 7710, 8290, 8299, 8786, 10291, 10335, 11147, 11165, 13701, 13821, 13882, 13934, 14713, 15349, 15810, 15814, 15819, 15850, 22848, 22892, 27929, 30471, 30472, 33364, 33365, 33614, 33615, 33616, 33617, 33618, 33619, 33620, 33621, 34452, 34834, 34835})
del .

Cuando U=G (baricentro), el foco de 𝒫(G) es X(36739).
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Ya que los perspectores de la circunferencia circunscrita y de la elipse circunscrita de Steiner (el simediano y el baricentro) son conjugados isogonales, se puede generalizar el caso particular considerado, tomando las cónicas circunscritas C(P) y C(P*), de perspectores un punto P y su conjugado isogonal P*.

Las polares de los puntos de una recta δ, respecto a C(P) y C(P*) es una cónica 𝒞(δ).
( Si P(p:q:r) y δ: (-r + q t) x - p t y + p z=0,
-c^2 p q^2 r x^2+b^2 p r^3 x^2+c^2 p q^3 t x^2-b^2 p q r^2 t x^2-c^2 p^2 q r x y+a^2 q r^3 x y+2 c^2 p^2 q^2 t x y-b^2 p^2 r^2 t x y-a^2 q^2 r^2 t x y+c^2 p^3 q t y^2-a^2 p q r^2 t y^2-c^2 p^2 q^2 x z+2 b^2 p^2 r^2 x z-a^2 q^2 r^2 x z-b^2 p^2 q r t x z+a^2 q^3 r t x z+c^2 p^3 q y z-a^2 p q r^2 y z+b^2 p^3 r t y z-a^2 p q^2 r t y z+b^2 p^3 r z^2-a^2 p q^2 r z^2 = 0)

Cuando la recta δ gira alrededor de P, el lugar del centro D de 𝒞(δ) es una parábola 𝒫(P) si y solo si P está sobre la quíntica Q042 del catálogo de Bernard Gibert.
Cuando P está sobre Q042 la cónica 𝒞(δ) es hipérbola, del haz de cónicas que pasan por los vértices del triángulo ceviano del cuarto punto de intersección de las cónicas c(P) y C(P*) y por el punto del infinito de la polares (que son la misma recta) de P respecto a C(P*) y de P* respecto a C(P). El cual determina la dirección del eje de la parábola 𝒫(P).

Cuando P=G (baricentro), el foco de la parábola 𝒫(G) es X(36739).
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Como, cuando P está sobre Q042, se conoce la dirección del eje de la parábola 𝒫(P), que tiene punto en el infinito el polo de la recta PP* respecto a C(P), para construirla sólo necesitamos conocer tres puntos sobre ella (IPPPC_p(2)). Es decir, tomar los centros de tres hipérbolas del haz; por ejemplo, las que pasan por los vértices de ABC (IPPPP).
Martes, 28 de enero del 2020
Polo del eje de Brocard respecto a la elipse circunscrita de Steiner

El 28 de enero de 1701 nació Charles-Marie de La Condamine, naturalista, matemático y geógrafo francés, famoso por su expedición de la Académie Royale des Sciences de París a Sudamérica para la medición del meridiano terrestre en la zona del Ecuador, colonia española. Felipe V, primo el rey Luis XV de Francia, quiso participar en la empresa y ordenó elegir a dos oficiales (Jorge Juan y Antonio de Ulloa), para que acompañasen y ayudaran a los científicos franceses en todas las operaciones de la medición (considerados como colaboradores administrativos por La Condamine).
El objetivo era comparar esta medida con una equivalente realizada por otra expedición enviada a Laponia y así determinar si la Tierra está aplanada por los polos o por el ecuador. En sus trabajos contó con colaboración de ilustrados locales.

Ejercicio nº41

Dada una recta r en el plano proyectivo, demostrar que las rectas polares de los puntos de r respecto de dos cónicas dadas se intersecan sobre una tercera cónica.
Si R₁ y R₂ son los polos de la recta r, respecto a dos cónicas dadas, 𝒞₁ y 𝒞₂. A cada punto de r le corresponde una polar por R₁ y otra por R₂; estas correspondencias son proyectividades. Se tiene así, una correspondecia entre rectas que pasan por R₁ y que pasan por R₂ que es una proyectividad. Por tanto, sus puntos de intersección están sobre una tercera cónica. Esta cónica pasa por R₁ y R₂.
Si P₁ es el polo de R₁R₂, respecto a 𝒞₁, la polar de P₁ respecto a 𝒞₂ es la tangente en R₂ a 𝒞₂. Y, análogamente, si P₂ es el polo de R₁R₂, respecto a 𝒞₂, la polar de P₂ respecto a 𝒞₁ es la tangente en R₁ a 𝒞₁.

X(31296) is the pole of wrt .

Dado un triángulo ABC, sean Γ la circunferencia circunscrita y ℰ la elipse circunscrita de Steiner.
X₃₁₂₉₆ es el centro de la hipérbola, ℋ, lugar geométrico del punto de intersección de las polares, con respecto a Γ y ℰ, de un punto que recorre la .
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La ecuación de ℋ es:
𝔖_{_{abc xyz}} (a^2-b^2-c^2) (b^2-c^2)^2x^2-2 a^2 (a^2-b^2) (a^2-c^2)y z = 0.
Sus asíntotas son la rectas X₂₃X₃₈₅ (polar de X₂ respecto a Γ) y X₃₂₃X₄₀₁ (polar de X₃ respecto a ℰ). Pasa por los centros X₅₂₃, X₅₂₅ (sus puntos del infinito), X₄₅₆₀, X₅₆₆₄, X₁₈₃₁₁, X₂₀₅₇₇, X₂₀₅₈₀.
Lunes, 27 de enero del 2020
Conjugada isogonal de la circunferencia circunscrita al triángulo antimedial

El 27 de enero de 1945, en Polonia, el Ejército Soviético libera el campo de concentración nazi de Auschwitz.

Preamble of X(34178):

Let P be a point on the line at infinity. The locus of the , as P varies, is a quartic which is the isogonal conjugate of the anticomplementary circle.
This quartic passes through the vertices of ABC and the tangential triangle, the circular points at infinity, and centers X(3446), X(3447), X(9217), X(22259), X(34130), X(34178), X(34179), X(34180), X(34181), X(34182), X(34183), X(34184), X(34185), X(34187), X(34189), X(34190), X(34191) and X(34192). If ABC is acute, the quartic is a closed curve. If ABC is obtuse, it meets the line at infinity at the isogonal conjugates of the anticomplements of PU(4) (the circumcircle intercepts of the anticomplementary circle).

Peter Moses gives the equation for the quartic as:

c^6 x^2 y^2 + b^2 c^2 (a^2 + b^2 + c^2) x^2 y z + a^2 c^2 (a^2 + b^2 + c^2) x y^2 z + b^6 x^2 z^2 + a^2 b^2 (a^2 + b^2 + c^2) x y z^2 + a^6 y^2 z^2 = 0.

Dado un punto P sobre la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, sea Q=P* su (en la recta del infinito), el de Q y el de Q.
Los triángulos ABC y son perspectivos y, cuando P varía sobre la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, el lugar geométrico de su centro de perspectividad, Z, es la cuártica , conjugada isogonal de la circunferencia circunscrita al .
El punto Z es el "P*-vertex conjugate of P*" y el conjugado isogonal de la imagen de P en la homotecia de centro el baricentro y razón -2.

Otra construcción del punto Z:

Sea P^aP^bP^c el de P (sobre la circunferencia circunscrita al triángulo ABC) y se denota por ℓ_a el de las circunferencias circunscritas a ABP^b y ACP^c. Los ejes radicales ℓ_b y ℓ_c se definen cíclicamente.
Las rectas ℓ_a, ℓ_b, ℓ_c concurren en el punto Z.
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Más en general, si A'B'C' es un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad P=(u:v:w), (coordenadas baricéntricas) se puede poner:
A'=(u + ξ u + v + w : ξ v : ξ w), B'=(η u : u + v + η v + w : η w), B'=(ζ u : ζ v : u + v + w + ζ w).
Entonces, el eje radical de (ABB') y (ACC') es:

ℓ_a: (1 + η) w (b^2 u^2 + a^2 u v + b^2 u v + c^2 ζ u v + a^2 v^2 + b^2 u w + b^2 ζ u w + a^2 v w + a^2 ζ v w)y -(1 + ζ) v (c^2 u^2 + c^2 u v + c^2 η u v + a^2 u w + c^2 u w + b^2 η u w + a^2 v w + a^2 η v w + a^2 w^2)z=0.

Las ecuaciones de ℓ_b y ℓ_c se deducen por permutación cíclica.

El punto de intersección de estos tres ejes radicales es:
((1 + η) (1 + ζ) u (a^2 ξ v w + c^2 v (u + ξ u + v + w) + b^2 w (u + ξ u + v + w)) :
(1 +ξ) (1 + ζ) v (b^2 η u w + c^2 u (u + v + η v + w) + a^2 w (u + v + η v + w)):
(1 + ξ) (1 +η) w (c^2 ζ u v + b^2 u (u + v + w + ζ w) + a^2 v (u + v + w +ζ w)).
Si ABC = P^aP^bP^c,
Z = ( u (u + v - w) (u - v + w) (c^2 u v + b^2 u w - a^2 v w) : v (u + v - w) (-u + v + w) (c^2 u v - b^2 u w + a^2 v w) : (u - v - w) w (u - v + w) (c^2 u v - (b^2 u + a^2 v) w)).
Si P(a^2 (-1 + t) t : -b^2 (-1 + t) : c^2 t), está sobre la circunferencia circunscrita:
Z = ( -b^2 (-1 + t) + (c^2 - a^2 (-1 + t)) t : b^2 (-1 + t) + (c^2 + a^2 (-1 + t)) t : -b^2 (-1 + t) - c^2 t + a^2 (-1 + t) t),
que está sobre la cuártica de ecuación

c^6 x^2 y^2 + b^2 c^2 (a^2 + b^2 + c^2) x^2 y z + a^2 c^2 (a^2 + b^2 + c^2) x y^2 z + b^6 x^2 z^2 + a^2 b^2 (a^2 + b^2 + c^2) x y z^2 + a^6 y^2 z^2 = 0.
Jueves, 23 de enero del 2020
El punto X(15647) como centro de una cónica bitangente a la hipérbola de Jerabek

El 23 de enero de 1862 nació David Hilbert, matemático alemán, desarrolló la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.

Suppose that P = p : q : r (barycentyrics) is a point in the plane of a triangle ABC, and let A'B'C' be the cevian triangle of P. Let A'' be the point, other than P, of the interserction of the circumcircles of PBC' and PCB', and define B'' and C'' cyclically. Then A''B''C'' is perspective to ABC, and the perspector is the point (See X(18771))
f(P) = a^2(p + q)(p + r) : b^2(q + r)(q + p) : c^2(r + p)(r + q).
( Mostrar/Ocultar figura )
El lugar geométrico de f(P), cuando P varía sobre la , es la y si P* es el conjugado isogonal de P, la envolvente de la recta P*f(P) es la cónica, 𝒞, bitangente a la hipérbola de Jerabek en el simediano (X₆) y en el conjugado isogonal del punto del infinito de la recta de Euler (X₇₄), y tangente a la recta de Euler en X₂₄, centro de homotecia de los triángulos y .

La cónica
( 4 a^12 b^8 c^4 x^2-12 a^10 b^10 c^4 x^2+9 a^8 b^12 c^4 x^2+4 a^6 b^14 c^4 x^2-6 a^4 b^16 c^4 x^2+b^20 c^4 x^2-8 a^12 b^6 c^6 x^2+12 a^10 b^8 c^6 x^2+16 a^8 b^10 c^6 x^2-36 a^6 b^12 c^6 x^2+12 a^4 b^14 c^6 x^2+8 a^2 b^16 c^6 x^2-4 b^18 c^6 x^2+4 a^12 b^4 c^8 x^2+12 a^10 b^6 c^8 x^2-50 a^8 b^8 c^8 x^2+32 a^6 b^10 c^8 x^2+22 a^4 b^12 c^8 x^2-24 a^2 b^14 c^8 x^2+4 b^16 c^8 x^2-12 a^10 b^4 c^10 x^2+16 a^8 b^6 c^10 x^2+32 a^6 b^8 c^10 x^2-56 a^4 b^10 c^10 x^2+16 a^2 b^12 c^10 x^2+4 b^14 c^10 x^2+9 a^8 b^4 c^12 x^2-36 a^6 b^6 c^12 x^2+22 a^4 b^8 c^12 x^2+16 a^2 b^10 c^12 x^2-10 b^12 c^12 x^2+4 a^6 b^4 c^14 x^2+12 a^4 b^6 c^14 x^2-24 a^2 b^8 c^14 x^2+4 b^10 c^14 x^2-6 a^4 b^4 c^16 x^2+8 a^2 b^6 c^16 x^2+4 b^8 c^16 x^2-4 b^6 c^18 x^2+b^4 c^20 x^2+4 a^16 b^4 c^4 x y-10 a^14 b^6 c^4 x y+4 a^12 b^8 c^4 x y+4 a^10 b^10 c^4 x y+4 a^8 b^12 c^4 x y-10 a^6 b^14 c^4 x y+4 a^4 b^16 c^4 x y-4 a^16 b^2 c^6 x y+24 a^12 b^6 c^6 x y-20 a^10 b^8 c^6 x y-20 a^8 b^10 c^6 x y+24 a^6 b^12 c^6 x y-4 a^2 b^16 c^6 x y+10 a^14 b^2 c^8 x y-24 a^12 b^4 c^8 x y-6 a^10 b^6 c^8 x y+40 a^8 b^8 c^8 x y-6 a^6 b^10 c^8 x y-24 a^4 b^12 c^8 x y+10 a^2 b^14 c^8 x y-4 a^12 b^2 c^10 x y+28 a^10 b^4 c^10 x y-24 a^8 b^6 c^10 x y-24 a^6 b^8 c^10 x y+28 a^4 b^10 c^10 x y-4 a^2 b^12 c^10 x y-6 a^10 b^2 c^12 x y-4 a^8 b^4 c^12 x y+18 a^6 b^6 c^12 x y-4 a^4 b^8 c^12 x y-6 a^2 b^10 c^12 x y+4 a^8 b^2 c^14 x y+4 a^2 b^8 c^14 x y-2 a^6 b^2 c^16 x y-8 a^4 b^4 c^16 x y-2 a^2 b^6 c^16 x y+4 a^4 b^2 c^18 x y+4 a^2 b^4 c^18 x y-2 a^2 b^2 c^20 x y+a^20 c^4 y^2-6 a^16 b^4 c^4 y^2+4 a^14 b^6 c^4 y^2+9 a^12 b^8 c^4 y^2-12 a^10 b^10 c^4 y^2+4 a^8 b^12 c^4 y^2-4 a^18 c^6 y^2+8 a^16 b^2 c^6 y^2+12 a^14 b^4 c^6 y^2-36 a^12 b^6 c^6 y^2+16 a^10 b^8 c^6 y^2+12 a^8 b^10 c^6 y^2-8 a^6 b^12 c^6 y^2+4 a^16 c^8 y^2-24 a^14 b^2 c^8 y^2+22 a^12 b^4 c^8 y^2+32 a^10 b^6 c^8 y^2-50 a^8 b^8 c^8 y^2+12 a^6 b^10 c^8 y^2+4 a^4 b^12 c^8 y^2+4 a^14 c^10 y^2+16 a^12 b^2 c^10 y^2-56 a^10 b^4 c^10 y^2+32 a^8 b^6 c^10 y^2+16 a^6 b^8 c^10 y^2-12 a^4 b^10 c^10 y^2-10 a^12 c^12 y^2+16 a^10 b^2 c^12 y^2+22 a^8 b^4 c^12 y^2-36 a^6 b^6 c^12 y^2+9 a^4 b^8 c^12 y^2+4 a^10 c^14 y^2-24 a^8 b^2 c^14 y^2+12 a^6 b^4 c^14 y^2+4 a^4 b^6 c^14 y^2+4 a^8 c^16 y^2+8 a^6 b^2 c^16 y^2-6 a^4 b^4 c^16 y^2-4 a^6 c^18 y^2+a^4 c^20 y^2-4 a^16 b^6 c^2 x z+10 a^14 b^8 c^2 x z-4 a^12 b^10 c^2 x z-6 a^10 b^12 c^2 x z+4 a^8 b^14 c^2 x z-2 a^6 b^16 c^2 x z+4 a^4 b^18 c^2 x z-2 a^2 b^20 c^2 x z+4 a^16 b^4 c^4 x z-24 a^12 b^8 c^4 x z+28 a^10 b^10 c^4 x z-4 a^8 b^12 c^4 x z-8 a^4 b^16 c^4 x z+4 a^2 b^18 c^4 x z-10 a^14 b^4 c^6 x z+24 a^12 b^6 c^6 x z-6 a^10 b^8 c^6 x z-24 a^8 b^10 c^6 x z+18 a^6 b^12 c^6 x z-2 a^2 b^16 c^6 x z+4 a^12 b^4 c^8 x z-20 a^10 b^6 c^8 x z+40 a^8 b^8 c^8 x z-24 a^6 b^10 c^8 x z-4 a^4 b^12 c^8 x z+4 a^2 b^14 c^8 x z+4 a^10 b^4 c^10 x z-20 a^8 b^6 c^10 x z-6 a^6 b^8 c^10 x z+28 a^4 b^10 c^10 x z-6 a^2 b^12 c^10 x z+4 a^8 b^4 c^12 x z+24 a^6 b^6 c^12 x z-24 a^4 b^8 c^12 x z-4 a^2 b^10 c^12 x z-10 a^6 b^4 c^14 x z+10 a^2 b^8 c^14 x z+4 a^4 b^4 c^16 x z-4 a^2 b^6 c^16 x z-2 a^20 b^2 c^2 y z+4 a^18 b^4 c^2 y z-2 a^16 b^6 c^2 y z+4 a^14 b^8 c^2 y z-6 a^12 b^10 c^2 y z-4 a^10 b^12 c^2 y z+10 a^8 b^14 c^2 y z-4 a^6 b^16 c^2 y z+4 a^18 b^2 c^4 y z-8 a^16 b^4 c^4 y z-4 a^12 b^8 c^4 y z+28 a^10 b^10 c^4 y z-24 a^8 b^12 c^4 y z+4 a^4 b^16 c^4 y z-2 a^16 b^2 c^6 y z+18 a^12 b^6 c^6 y z-24 a^10 b^8 c^6 y z-6 a^8 b^10 c^6 y z+24 a^6 b^12 c^6 y z-10 a^4 b^14 c^6 y z+4 a^14 b^2 c^8 y z-4 a^12 b^4 c^8 y z-24 a^10 b^6 c^8 y z+40 a^8 b^8 c^8 y z-20 a^6 b^10 c^8 y z+4 a^4 b^12 c^8 y z-6 a^12 b^2 c^10 y z+28 a^10 b^4 c^10 y z-6 a^8 b^6 c^10 y z-20 a^6 b^8 c^10 y z+4 a^4 b^10 c^10 y z-4 a^10 b^2 c^12 y z-24 a^8 b^4 c^12 y z+24 a^6 b^6 c^12 y z+4 a^4 b^8 c^12 y z+10 a^8 b^2 c^14 y z-10 a^4 b^6 c^14 y z-4 a^6 b^2 c^16 y z+4 a^4 b^4 c^16 y z+a^20 b^4 z^2-4 a^18 b^6 z^2+4 a^16 b^8 z^2+4 a^14 b^10 z^2-10 a^12 b^12 z^2+4 a^10 b^14 z^2+4 a^8 b^16 z^2-4 a^6 b^18 z^2+a^4 b^20 z^2+8 a^16 b^6 c^2 z^2-24 a^14 b^8 c^2 z^2+16 a^12 b^10 c^2 z^2+16 a^10 b^12 c^2 z^2-24 a^8 b^14 c^2 z^2+8 a^6 b^16 c^2 z^2-6 a^16 b^4 c^4 z^2+12 a^14 b^6 c^4 z^2+22 a^12 b^8 c^4 z^2-56 a^10 b^10 c^4 z^2+22 a^8 b^12 c^4 z^2+12 a^6 b^14 c^4 z^2-6 a^4 b^16 c^4 z^2+4 a^14 b^4 c^6 z^2-36 a^12 b^6 c^6 z^2+32 a^10 b^8 c^6 z^2+32 a^8 b^10 c^6 z^2-36 a^6 b^12 c^6 z^2+4 a^4 b^14 c^6 z^2+9 a^12 b^4 c^8 z^2+16 a^10 b^6 c^8 z^2-50 a^8 b^8 c^8 z^2+16 a^6 b^10 c^8 z^2+9 a^4 b^12 c^8 z^2-12 a^10 b^4 c^10 z^2+12 a^8 b^6 c^10 z^2+12 a^6 b^8 c^10 z^2-12 a^4 b^10 c^10 z^2+4 a^8 b^4 c^12 z^2-8 a^6 b^6 c^12 z^2+4 a^4 b^8 c^12 z^2 = 0)
𝒞 pasa por los centros del triángulo X(6), X(24), X(74), X(1498), X(1614), X(1620) y su centro es X(15647) (HG211217):
(a^2(2a^10 -3a^8(b^2+c^2) -2a^6(b^4-5b^2c^2+c^4) +a^4(4b^6-5b^4c^2-5b^2c^4+4c^6) -4a^2b^2c^2(b^2-c^2)^2 -(b^2-c^2)^2(b^6+c^6)) : ... : ...).
Sábado, 18 de enero del 2020
Una propiedad geométrica del centro X(6353)

El 18 de enero de 1904 nació Cary Grant, actor de origen británico. Según la lista del American Film Institute, está considerado la segunda estrella masculina más importante, trás Humphrey Bogart, de los primeros cien años del cine.

X(6353) = X(393)- OF X(4)
X(393) is the Brianchon point (perspector) of the inellipse that is the barycentric square of the orthic axis. (Randy Hutson, October 15, 2018)

Dado un triángulo ABC con ortocentro H=X₄, centro de la N=X₅ y DEF, sea D' la reflexión de D en N.
Las recta D'H, vuelve a corta a la circunferencia de los nueve puntos, γ, en A' y pasa por el punto A", en el que la paralela a BC por A vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita, Γ, a ABC.
La tangente a γ en A' y el eje radical de de Γ y γ se cortan en P_a. Los puntos de contacto de las tangentes por P_a a Γ son A" y T_a. Las dos circunferencias tangentes a γ en A' y que son tangentes a Γ pasan por A" y T_a.
Los puntos T_b y T_c se definen cíclicamente.
es el de X₆₃₅₃.
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Viernes, 17 de enero del 2020
Triángulo medial y excircunferencias mixtilíneas

El 17 de enero del 1966, cerca de las costas de España colisionan dos aeronaves de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Caen cuatro bombas atómicas, tres en las cercanías de Palomares y otra en las proximidades de Almería.

Dado un triángulo ABC con circuncentro O y DEF, sean Γ_a la circunferencia circunscrita al triángulo AEF, (O_a) el de AEF y T_a el punto de tangencia de ambas.
La circunferencia que pasa por B, C y O es tangente a (O_a) en A₁. Existe otra circunferencia tangente a (O_a) y que pasa por B y C; sea A₂ su punto de tangencia.
Los puntos de tangencia, T_b, B₁, B₂, T_c, C₁, C₂, se definen cíclicamente.
Las rectas AT_a, BT_b y CT_c concurren en X₅₅ (centro de homotecia interior de las circunferencias inscrita y circunscrita a ABC).
Las rectas AA₁, BB₁ y CC₁ concurren en X₅₉ (conjugado isogonal de ).
Las rectas AA₂, BB₂ y CC₂ concurren en X₆₀₆₅ (perspector de ABC y la reflexión del en la recta que pasa por el incentro y simediano).
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El del triángulo AEF tiene coordenadas baricéntricas:
I'_a = (-2 a + b + c : b : c).
La perpendicular en I'_a a la bisectriz interior en A, corta a los lados AB y AC en los puntos de tangencia de la A-excircunferencia mixtilínea de AEF, cuya ecuación es:
(O_a): a^2 y z + b^2 x z + c^2 x y - (x + y + z) ((b^2 c^2 x)/(-a + b + c)^2 + (c^2 (a^2 - 2 a c + c^2) y)/(-a + b + c)^2 + ( b^2 (a^2 - 2 a b + b^2) z)/(-a + b + c)^2) = 0.
Esta circunferencia y la circunscrita a AEF,
Γ_a: a^2 y z + b^2 x z+c^2 x y + (x + y + z) (-((c^2 y)/2) - (b^2 z)/2) = 0,
son tangentes en el punto:
T_a = (-a^3 - (b - c)^2 (b + c) + 2 a (b^2 - b c + c^2) : b^2 (a - b + c) : (a + b - c) c^2).
La circunferencia que pasa por B, C, O, de ecuación
a^2 y z+ b^2 x z +c^2 x y - ( b^2 c^2 x (x + y + z))/(-a^2 + b^2 + c^2) = 0,
es tangente a (O_a) en:
A₁ = (a (a - b) (a - c) (a^2 - b^2 - c^2) : -(a - b)^2 b^2 (a + b - c) : -(a - c)^2 c^2 (a - b + c)).
Los puntos de tangencia A₁ y A₂ de las dos circunferencias que pasan por B y C y son tangentes a (O_a) están en la polar, respecto a (O_a), del punto P(0 : (a - b)^2 b^2 : -(a - c)^2 c^2), de intersección de BC y el , -b^2 c^2 x + (-a^2 c^2 + 2 a c^3 - c^4) y + (-a^2 b^2 + 2 a b^3 - b^4) z=0, de (O_a) y la circunferencia circunscrita a ABC.
A₂ = (-a (a - b) (a - c) (a^2 + b^2 + c^2 - 2 a (b + c)) : -(a - b)^2 b^2 (a - b + c) : -(a - c)^2 (a + b - c) c^2).

Las rectas AT_a, BT_b y CT_c concurren en:
X₅₅ = (a^2 (a b+ c-a) : b^2 (a - b + c) : c^2 (a + b - c)).
Las rectas AA₁, BB₁ y CC₁ concurren en:
X₅₉ = (a^2 (a - b)^2 (a - c)^2 (a + b - c) (a - b + c) : ... : ...).
Las rectas AA₂, BB₂ y CC₂ concurren en:
X₆₀₆₅ = (a^2 (a - b)^2 (a - c)^2 (a - b - c) : ... : ...).
Jueves, 16 de enero del 2020
Pares de puntos conjugados isotómicos y punto de Miquel

a Aye, por su "cumple"

Dados un triángulo ABC, S su , ℰ la y una recta ℓ (distinta de la ), sea 𝒞_ℓ la cónica circunscrita, lugar geométrico de los de los puntos de ℓ. Además de en los vértices de ABC, 𝒞_ℓ y ℰ se cortan en un Q (conjugado isotómico del punto del infinito de la recta ℓ).
Sean U, V dos puntos sobre la recta ℓ y U', V' sus conjugados isotómicos, el del cuadrilátero completo formado por las rectas UV, UV', U'V, U'V' está sobre la circunferencia del haz de cónicas generado por ℰ y la cónica degenerada producto de las rectas ℓ y SQ.
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Si px+qy+rz=0 es la ecuación de la recta ℓ, la ecuación del haz SQ · ℓ + λ ℰ es:
((b^2-c^2)(q-r)x+(a^2-c^2)(p-r)y+(a^2-b^2)(p-q)z)(p x+q y+r z) + λ (x y + x z + y z) = 0
La circunferencia Γ_ℓ de este haz de cónicas se obtiene para
λ = -a^2 (p - q) (p - r) + (q - r) (b^2 (p - q) + c^2 (-p + r)),
y su ecuación es:
a^2 y z + b^2 x z+ c^2 x y - (x + y + z) (
(b^2 p q - c^2 p q - b^2 p r + c^2 p r) x /(p^2 - p q + q^2 - p r - q r +r^2) +
(a^2 p q - c^2 p q - a^2 q r + c^2 q r) y /(p^2 - p q + q^2 - p r - q r + r^2) +
(a^2 p r - b^2 p r - a^2 q r + b^2 q r) z /(p^2 - p q + q^2 - p r - q r + r^2)) = 0.
El centro de esta circunferencia es:
Z = ( a^4 (p^2 + q^2 + q r + r^2 - 2 p (q + r)) - a^2 (b^2 (p^2 + q^2 + r^2 - p (2 q + r)) + c^2 (p^2 + q^2 + r^2 - p (q + 2 r)))-(b^2 - c^2) (b^2 (p - q) r + c^2 q (-p + r)) : ... : ...).
Pares {L=X_i, Z=X_j} (siendo L el de ℓ), para los índices {i, j}: {76, 99}, {83, 9862}, {99, 2}, {671, 376}, {1916, 3098}, {8781, 69}. El primer caso corresponde a ℓ=GK, que pasa por el baricentro y simediano, para cuyos puntos, el punto de Miquel es fijo, M=X₉₉.

Cuando la recta ℓ gira alrededor de un punto P(u:v:w), el lugar geométrico de Z es una elipse,
( (a^4 b^4 u^3-2 a^4 b^2 c^2 u^3+a^4 c^4 u^3-a^6 b^2 u^2 v+2 a^4 b^4 u^2 v+a^6 c^2 u^2 v-3 a^4 b^2 c^2 u^2 v+a^4 c^4 u^2 v-a^4 b^4 u v^2+2 a^2 b^6 u v^2+a^6 c^2 u v^2-a^4 b^2 c^2 u v^2-3 a^2 b^4 c^2 u v^2+3 a^2 b^2 c^4 u v^2-a^2 c^6 u v^2+b^8 v^3-2 a^2 b^4 c^2 v^3-2 b^6 c^2 v^3+a^4 c^4 v^3+2 a^2 b^2 c^4 v^3+3 b^4 c^4 v^3-2 a^2 c^6 v^3-2 b^2 c^6 v^3+c^8 v^3+a^6 b^2 u^2 w+a^4 b^4 u^2 w-a^6 c^2 u^2 w-3 a^4 b^2 c^2 u^2 w+2 a^4 c^4 u^2 w-a^8 u v w+2 a^6 b^2 u v w-2 a^4 b^4 u v w+a^2 b^6 u v w+2 a^6 c^2 u v w-a^4 b^2 c^2 u v w-2 a^4 c^4 u v w+a^2 c^6 u v w+a^4 b^4 v^2 w-2 a^2 b^6 v^2 w+3 b^8 v^2 w-a^6 c^2 v^2 w+a^4 b^2 c^2 v^2 w-3 a^2 b^4 c^2 v^2 w-6 b^6 c^2 v^2 w+3 a^4 c^4 v^2 w+3 a^2 b^2 c^4 v^2 w+9 b^4 c^4 v^2 w-5 a^2 c^6 v^2 w-6 b^2 c^6 v^2 w+3 c^8 v^2 w+a^6 b^2 u w^2-a^2 b^6 u w^2-a^4 b^2 c^2 u w^2+3 a^2 b^4 c^2 u w^2-a^4 c^4 u w^2-3 a^2 b^2 c^4 u w^2+2 a^2 c^6 u w^2-a^6 b^2 v w^2+3 a^4 b^4 v w^2-5 a^2 b^6 v w^2+3 b^8 v w^2+a^4 b^2 c^2 v w^2+3 a^2 b^4 c^2 v w^2-6 b^6 c^2 v w^2+a^4 c^4 v w^2-3 a^2 b^2 c^4 v w^2+9 b^4 c^4 v w^2-2 a^2 c^6 v w^2-6 b^2 c^6 v w^2+3 c^8 v w^2+a^4 b^4 w^3-2 a^2 b^6 w^3+b^8 w^3+2 a^2 b^4 c^2 w^3-2 b^6 c^2 w^3-2 a^2 b^2 c^4 w^3+3 b^4 c^4 w^3-2 b^2 c^6 w^3+c^8 w^3) x^2+(2 a^6 b^2 u^3-2 a^6 c^2 u^3-2 a^4 b^2 c^2 u^3-2 a^2 b^4 c^2 u^3+2 a^4 c^4 u^3+4 a^2 b^2 c^4 u^3-2 a^2 c^6 u^3-a^8 u^2 v+2 a^6 b^2 u^2 v+2 a^4 b^4 u^2 v-a^2 b^6 u^2 v-3 a^4 b^2 c^2 u^2 v-2 a^2 b^4 c^2 u^2 v+4 a^2 b^2 c^4 u^2 v-a^2 c^6 u^2 v-a^6 b^2 u v^2+2 a^4 b^4 u v^2+2 a^2 b^6 u v^2-b^8 u v^2-2 a^4 b^2 c^2 u v^2-3 a^2 b^4 c^2 u v^2+4 a^2 b^2 c^4 u v^2-b^2 c^6 u v^2+2 a^2 b^6 v^3-2 a^4 b^2 c^2 v^3-2 a^2 b^4 c^2 v^3-2 b^6 c^2 v^3+4 a^2 b^2 c^4 v^3+2 b^4 c^4 v^3-2 b^2 c^6 v^3+a^8 u^2 w+4 a^6 b^2 u^2 w-2 a^4 b^4 u^2 w+a^2 b^6 u^2 w-6 a^6 c^2 u^2 w-3 a^4 b^2 c^2 u^2 w-4 a^2 b^4 c^2 u^2 w+6 a^4 c^4 u^2 w+8 a^2 b^2 c^4 u^2 w-5 a^2 c^6 u^2 w-2 a^8 u v w+6 a^6 b^2 u v w-8 a^4 b^4 u v w+6 a^2 b^6 u v w-2 b^8 u v w+3 a^6 c^2 u v w-2 a^4 b^2 c^2 u v w-2 a^2 b^4 c^2 u v w+3 b^6 c^2 u v w-6 a^4 c^4 u v w+5 a^2 b^2 c^4 u v w-6 b^4 c^4 u v w+4 a^2 c^6 u v w+4 b^2 c^6 u v w-3 c^8 u v w+a^6 b^2 v^2 w-2 a^4 b^4 v^2 w+4 a^2 b^6 v^2 w+b^8 v^2 w-4 a^4 b^2 c^2 v^2 w-3 a^2 b^4 c^2 v^2 w-6 b^6 c^2 v^2 w+8 a^2 b^2 c^4 v^2 w+6 b^4 c^4 v^2 w-5 b^2 c^6 v^2 w+a^8 u w^2+3 a^6 b^2 u w^2-6 a^4 b^4 u w^2+3 a^2 b^6 u w^2-b^8 u w^2-3 a^6 c^2 u w^2+a^4 b^2 c^2 u w^2-a^2 b^4 c^2 u w^2+3 b^6 c^2 u w^2+3 a^2 b^2 c^4 u w^2-6 b^4 c^4 u w^2+a^2 c^6 u w^2+5 b^2 c^6 u w^2-3 c^8 u w^2-a^8 v w^2+3 a^6 b^2 v w^2-6 a^4 b^4 v w^2+3 a^2 b^6 v w^2+b^8 v w^2+3 a^6 c^2 v w^2-a^4 b^2 c^2 v w^2+a^2 b^4 c^2 v w^2-3 b^6 c^2 v w^2-6 a^4 c^4 v w^2+3 a^2 b^2 c^4 v w^2+5 a^2 c^6 v w^2+b^2 c^6 v w^2-3 c^8 v w^2+2 a^6 b^2 w^3-4 a^4 b^4 w^3+2 a^2 b^6 w^3-2 a^4 c^4 w^3+2 a^2 b^2 c^4 w^3-2 b^4 c^4 w^3+2 a^2 c^6 w^3+2 b^2 c^6 w^3-2 c^8 w^3) x y+(a^8 u^3-2 a^6 c^2 u^3-2 a^4 b^2 c^2 u^3+3 a^4 c^4 u^3+2 a^2 b^2 c^4 u^3+b^4 c^4 u^3-2 a^2 c^6 u^3-2 b^2 c^6 u^3+c^8 u^3+2 a^6 b^2 u^2 v-a^4 b^4 u^2 v-3 a^4 b^2 c^2 u^2 v-a^2 b^4 c^2 u^2 v+b^6 c^2 u^2 v+3 a^2 b^2 c^4 u^2 v-b^2 c^6 u^2 v+2 a^4 b^4 u v^2-a^2 b^6 u v^2-3 a^2 b^4 c^2 u v^2+b^6 c^2 u v^2+b^4 c^4 u v^2+a^4 b^4 v^3-2 a^2 b^4 c^2 v^3+b^4 c^4 v^3+3 a^8 u^2 w-2 a^6 b^2 u^2 w+a^4 b^4 u^2 w-6 a^6 c^2 u^2 w-3 a^4 b^2 c^2 u^2 w+a^2 b^4 c^2 u^2 w-b^6 c^2 u^2 w+9 a^4 c^4 u^2 w+3 a^2 b^2 c^4 u^2 w+3 b^4 c^4 u^2 w-6 a^2 c^6 u^2 w-5 b^2 c^6 u^2 w+3 c^8 u^2 w+a^6 b^2 u v w-2 a^4 b^4 u v w+2 a^2 b^6 u v w-b^8 u v w-a^2 b^4 c^2 u v w+2 b^6 c^2 u v w-2 b^4 c^4 u v w+b^2 c^6 u v w+a^4 b^4 v^2 w+a^2 b^6 v^2 w-3 a^2 b^4 c^2 v^2 w-b^6 c^2 v^2 w+2 b^4 c^4 v^2 w+3 a^8 u w^2-5 a^6 b^2 u w^2+3 a^4 b^4 u w^2-a^2 b^6 u w^2-6 a^6 c^2 u w^2+3 a^4 b^2 c^2 u w^2+a^2 b^4 c^2 u w^2+9 a^4 c^4 u w^2-3 a^2 b^2 c^4 u w^2+b^4 c^4 u w^2-6 a^2 c^6 u w^2-2 b^2 c^6 u w^2+3 c^8 u w^2-a^6 b^2 v w^2+a^2 b^6 v w^2+3 a^4 b^2 c^2 v w^2-a^2 b^4 c^2 v w^2-3 a^2 b^2 c^4 v w^2-b^4 c^4 v w^2+2 b^2 c^6 v w^2+a^8 w^3-2 a^6 b^2 w^3+a^4 b^4 w^3-2 a^6 c^2 w^3+2 a^4 b^2 c^2 w^3+3 a^4 c^4 w^3-2 a^2 b^2 c^4 w^3-2 a^2 c^6 w^3+c^8 w^3) y^2+(-2 a^6 b^2 u^3+2 a^4 b^4 u^3-2 a^2 b^6 u^3+2 a^6 c^2 u^3-2 a^4 b^2 c^2 u^3+4 a^2 b^4 c^2 u^3-2 a^2 b^2 c^4 u^3+a^8 u^2 v-6 a^6 b^2 u^2 v+6 a^4 b^4 u^2 v-5 a^2 b^6 u^2 v+4 a^6 c^2 u^2 v-3 a^4 b^2 c^2 u^2 v+8 a^2 b^4 c^2 u^2 v-2 a^4 c^4 u^2 v-4 a^2 b^2 c^4 u^2 v+a^2 c^6 u^2 v+a^8 u v^2-3 a^6 b^2 u v^2+a^2 b^6 u v^2-3 b^8 u v^2+3 a^6 c^2 u v^2+a^4 b^2 c^2 u v^2+3 a^2 b^4 c^2 u v^2+5 b^6 c^2 u v^2-6 a^4 c^4 u v^2-a^2 b^2 c^4 u v^2-6 b^4 c^4 u v^2+3 a^2 c^6 u v^2+3 b^2 c^6 u v^2-c^8 u v^2-2 a^4 b^4 v^3+2 a^2 b^6 v^3-2 b^8 v^3+2 a^6 c^2 v^3+2 a^2 b^4 c^2 v^3+2 b^6 c^2 v^3-4 a^4 c^4 v^3-2 b^4 c^4 v^3+2 a^2 c^6 v^3-a^8 u^2 w-a^2 b^6 u^2 w+2 a^6 c^2 u^2 w-3 a^4 b^2 c^2 u^2 w+4 a^2 b^4 c^2 u^2 w+2 a^4 c^4 u^2 w-2 a^2 b^2 c^4 u^2 w-a^2 c^6 u^2 w-2 a^8 u v w+3 a^6 b^2 u v w-6 a^4 b^4 u v w+4 a^2 b^6 u v w-3 b^8 u v w+6 a^6 c^2 u v w-2 a^4 b^2 c^2 u v w+5 a^2 b^4 c^2 u v w+4 b^6 c^2 u v w-8 a^4 c^4 u v w-2 a^2 b^2 c^4 u v w-6 b^4 c^4 u v w+6 a^2 c^6 u v w+3 b^2 c^6 u v w-2 c^8 u v w-a^8 v^2 w+3 a^6 b^2 v^2 w-6 a^4 b^4 v^2 w+5 a^2 b^6 v^2 w-3 b^8 v^2 w+3 a^6 c^2 v^2 w-a^4 b^2 c^2 v^2 w+3 a^2 b^4 c^2 v^2 w+b^6 c^2 v^2 w-6 a^4 c^4 v^2 w+a^2 b^2 c^4 v^2 w+3 a^2 c^6 v^2 w-3 b^2 c^6 v^2 w+c^8 v^2 w-a^6 c^2 u w^2-2 a^4 b^2 c^2 u w^2+4 a^2 b^4 c^2 u w^2-b^6 c^2 u w^2+2 a^4 c^4 u w^2-3 a^2 b^2 c^4 u w^2+2 a^2 c^6 u w^2-c^8 u w^2+a^6 c^2 v w^2-4 a^4 b^2 c^2 v w^2+8 a^2 b^4 c^2 v w^2-5 b^6 c^2 v w^2-2 a^4 c^4 v w^2-3 a^2 b^2 c^4 v w^2+6 b^4 c^4 v w^2+4 a^2 c^6 v w^2-6 b^2 c^6 v w^2+c^8 v w^2-2 a^4 b^2 c^2 w^3+4 a^2 b^4 c^2 w^3-2 b^6 c^2 w^3-2 a^2 b^2 c^4 w^3+2 b^4 c^4 w^3+2 a^2 c^6 w^3-2 b^2 c^6 w^3) x z+(-2 a^8 u^3+2 a^6 b^2 u^3-2 a^4 b^4 u^3+2 a^6 c^2 u^3+2 a^4 b^2 c^2 u^3+2 b^6 c^2 u^3-2 a^4 c^4 u^3-4 b^4 c^4 u^3+2 b^2 c^6 u^3-3 a^8 u^2 v+a^6 b^2 u^2 v-3 a^2 b^6 u^2 v+b^8 u^2 v+5 a^6 c^2 u^2 v+3 a^4 b^2 c^2 u^2 v+a^2 b^4 c^2 u^2 v+3 b^6 c^2 u^2 v-6 a^4 c^4 u^2 v-a^2 b^2 c^4 u^2 v-6 b^4 c^4 u^2 v+3 a^2 c^6 u^2 v+3 b^2 c^6 u^2 v-c^8 u^2 v-5 a^6 b^2 u v^2+6 a^4 b^4 u v^2-6 a^2 b^6 u v^2+b^8 u v^2+8 a^4 b^2 c^2 u v^2-3 a^2 b^4 c^2 u v^2+4 b^6 c^2 u v^2-4 a^2 b^2 c^4 u v^2-2 b^4 c^4 u v^2+b^2 c^6 u v^2-2 a^6 b^2 v^3+2 a^4 b^4 v^3-2 a^2 b^6 v^3+4 a^4 b^2 c^2 v^3-2 a^2 b^4 c^2 v^3+2 b^6 c^2 v^3-2 a^2 b^2 c^4 v^3-3 a^8 u^2 w+5 a^6 b^2 u^2 w-6 a^4 b^4 u^2 w+3 a^2 b^6 u^2 w-b^8 u^2 w+a^6 c^2 u^2 w+3 a^4 b^2 c^2 u^2 w-a^2 b^4 c^2 u^2 w+3 b^6 c^2 u^2 w+a^2 b^2 c^4 u^2 w-6 b^4 c^4 u^2 w-3 a^2 c^6 u^2 w+3 b^2 c^6 u^2 w+c^8 u^2 w-3 a^8 u v w+4 a^6 b^2 u v w-6 a^4 b^4 u v w+3 a^2 b^6 u v w-2 b^8 u v w+4 a^6 c^2 u v w+5 a^4 b^2 c^2 u v w-2 a^2 b^4 c^2 u v w+6 b^6 c^2 u v w-6 a^4 c^4 u v w-2 a^2 b^2 c^4 u v w-8 b^4 c^4 u v w+3 a^2 c^6 u v w+6 b^2 c^6 u v w-2 c^8 u v w-a^6 b^2 v^2 w-b^8 v^2 w+4 a^4 b^2 c^2 v^2 w-3 a^2 b^4 c^2 v^2 w+2 b^6 c^2 v^2 w-2 a^2 b^2 c^4 v^2 w+2 b^4 c^4 v^2 w-b^2 c^6 v^2 w-5 a^6 c^2 u w^2+8 a^4 b^2 c^2 u w^2-4 a^2 b^4 c^2 u w^2+b^6 c^2 u w^2+6 a^4 c^4 u w^2-3 a^2 b^2 c^4 u w^2-2 b^4 c^4 u w^2-6 a^2 c^6 u w^2+4 b^2 c^6 u w^2+c^8 u w^2-a^6 c^2 v w^2+4 a^4 b^2 c^2 v w^2-2 a^2 b^4 c^2 v w^2-b^6 c^2 v w^2-3 a^2 b^2 c^4 v w^2+2 b^4 c^4 v w^2+2 b^2 c^6 v w^2-c^8 v w^2-2 a^6 c^2 w^3+4 a^4 b^2 c^2 w^3-2 a^2 b^4 c^2 w^3+2 a^4 c^4 w^3-2 a^2 b^2 c^4 w^3-2 a^2 c^6 w^3+2 b^2 c^6 w^3) y z+(a^8 u^3-2 a^6 b^2 u^3+3 a^4 b^4 u^3-2 a^2 b^6 u^3+b^8 u^3-2 a^4 b^2 c^2 u^3+2 a^2 b^4 c^2 u^3-2 b^6 c^2 u^3+b^4 c^4 u^3+3 a^8 u^2 v-6 a^6 b^2 u^2 v+9 a^4 b^4 u^2 v-6 a^2 b^6 u^2 v+3 b^8 u^2 v-2 a^6 c^2 u^2 v-3 a^4 b^2 c^2 u^2 v+3 a^2 b^4 c^2 u^2 v-5 b^6 c^2 u^2 v+a^4 c^4 u^2 v+a^2 b^2 c^4 u^2 v+3 b^4 c^4 u^2 v-b^2 c^6 u^2 v+3 a^8 u v^2-6 a^6 b^2 u v^2+9 a^4 b^4 u v^2-6 a^2 b^6 u v^2+3 b^8 u v^2-5 a^6 c^2 u v^2+3 a^4 b^2 c^2 u v^2-3 a^2 b^4 c^2 u v^2-2 b^6 c^2 u v^2+3 a^4 c^4 u v^2+a^2 b^2 c^4 u v^2+b^4 c^4 u v^2-a^2 c^6 u v^2+a^8 v^3-2 a^6 b^2 v^3+3 a^4 b^4 v^3-2 a^2 b^6 v^3+b^8 v^3-2 a^6 c^2 v^3+2 a^4 b^2 c^2 v^3-2 a^2 b^4 c^2 v^3+a^4 c^4 v^3+2 a^6 c^2 u^2 w-3 a^4 b^2 c^2 u^2 w+3 a^2 b^4 c^2 u^2 w-b^6 c^2 u^2 w-a^4 c^4 u^2 w-a^2 b^2 c^4 u^2 w+b^2 c^6 u^2 w+a^6 c^2 u v w+b^6 c^2 u v w-2 a^4 c^4 u v w-a^2 b^2 c^4 u v w-2 b^4 c^4 u v w+2 a^2 c^6 u v w+2 b^2 c^6 u v w-c^8 u v w-a^6 c^2 v^2 w+3 a^4 b^2 c^2 v^2 w-3 a^2 b^4 c^2 v^2 w+2 b^6 c^2 v^2 w-a^2 b^2 c^4 v^2 w-b^4 c^4 v^2 w+a^2 c^6 v^2 w+2 a^4 c^4 u w^2-3 a^2 b^2 c^4 u w^2+b^4 c^4 u w^2-a^2 c^6 u w^2+b^2 c^6 u w^2+a^4 c^4 v w^2-3 a^2 b^2 c^4 v w^2+2 b^4 c^4 v w^2+a^2 c^6 v w^2-b^2 c^6 v w^2+a^4 c^4 w^3-2 a^2 b^2 c^4 w^3+b^4 c^4 w^3) z^2 = 0)
Ψ. Sus puntos de intersección con la recta del infinito se determinan sustituyendo en su ecuación las coordenadas (1:-t:t-1) de un punto genérico de dicha recta. La ecuación de segundo grado que resulta tiene discriminate -3(a-b-c)^2(a+b-c)^2(a-b+c)^2(a+b+c)^2(a^4- a^2b^2+b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4)^2(uv+uw+vw)^2, por lo que esta ecuación no tiene soluciones reales; es decir, se trata en efecto de una elipse, que degenera cuando P está sobre ℰ.

El centro de Ψ es:
D = ((b^2 - c^2) (b^2 (u - v) + c^2 (-u + w)) + a^4 (5 u + 2 (v + w)) - a^2 (b^2 (4 u + 3 v + 2 w) + c^2 (4 u + 2 v + 3 w)) : .. : ...).
Pares {P=X_i, D=X_j}, para los índices {i, j}: {2, 3}, {69, 599}, {76, 22712}, {99, 376}, {115, 549}, {148, 381}, {298, 5463}, {299, 5464}, {316, 6054}, {325, 2482}, {385, 14830}, {598, 9774}, {620, 34200}, {671, 2}, {1916, 11171}, {2482, 8703}, {5077, 7761}, {5461, 12100}, {5485, 7610}, {5503, 7618}, {6034, 17508}, {6722, 14891}, {7788, 7801}, {7799, 21166}, {7840, 8724}, {8352, 114}, {8353, 32152}, {8354, 7830}, {8591, 3534}, {8596, 3830}, {8597, 6033}, {9166, 3524}, {9870, 14666}, {10754, 11179}, {11054, 98}, {11055, 11257}, {11161, 1352}, {11646, 11178}, {12156, 12252}, {12243, 9756}, {14041, 15561}, {14061, 15692}, {14568, 34473}, {14971, 17504}, {15300, 550}, {15533, 34507}, {20094, 15681}, {22247, 15759}, {31274, 15714}.

Cuando P es el incentro, el centro de la elipse Ψ es:
D₁ = ( 5 a^5 + 2 a^4 (b + c) - 4 a^3 (b^2 + c^2) - a^2 (3 b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + 3 c^3) + a (b^2 - c^2)^2 - b^5 + b^3 c^2 + b^2 c^3 - c^5 : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (7.37992384394338, 6.87478766669592, -4.52492259993282).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1,28862}, {3,2784}, {165,28870}, {516,3534}, {1385,28897}, {3576,28845}, {4655,11711}, {5731,28850}, {10186,28866}, {17502,28901}.
Miercoles, 8 de enero del 2020
La cuártica Q120 estrechamente relacionada con las cúbicas K257 y K258

El 8 de enero de 1888 nació Richard Courant, matemático alemán. Con Herbert Robbins escribió la obra divulgativa ¿Qué es la Matemática?, que todavía se reimprime. El "Instituto Courant" de la Universidad de Nueva York lleva su nombre, del que fue uno de los fundadores.

Dado un triángulo ABC con circuncentro O y centro de la N, sean ℓ una recta que pasa por O y L su .
El centro, D, de la cónica 𝒞_ℓ, a ABC tal que uno de sus ejes es ℓ, es la intersección de las rectas ℓ y NL.
El lugar geométrico de D, cuando ℓ gira alrededor de O, es la cúbica K258.
El lugar geométrico del de 𝒞_ℓ, P ( del de D), es la cúbica K257.

Sean A", B" y C" los puntos de contacto de 𝒞_ℓ con los lados B'C', C'A' y A'B', del triángulo A'B'C', reflexión de ABC en ℓ.
Las rectas AA", BB", CC" son concurrentes y el lugar del punto de concurrencia, W, cuando ℓ gira alrededor de O, es la cuártica Q120, conjugada isogonal de la circunferencia de los nueve puntos.
( Mostrar/Ocultar figura )
NOTA: La recta AA" pasa por el punto en el que ℓ vuelve a corta a la circunferencia (OBC). Análogamente, para BB" y CC".

La ecuación baricéntrica de una recta ℓ que pasa por O se puede poner de la forma:
(a^2 (-c^2 + b^2 t) - (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)) x + a^2 (a^2 - b^2 - c^2) t y + a^2 (-a^2 + b^2 + c^2) z = 0.
Su ortopolo es:
L = ((-1 + t) (a^2 (-c^2 + b^2 t) - (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)) : (a^2 - b^2 - c^2) t (a^2 - c^2 - b^2 t) : (a^2 - b^2 - c^2) (-c^2 + (a^2 - b^2) t)),
y las coordenadas de D son:
D = (-a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (-1 + t) (-(c^2 + b^2 t)^2 + a^2 (c^2 + b^2 t^2)) : (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)^3 + a^6 (c^2 - b^2 t^2) + a^4 (-3 c^4 + b^2 c^2 (-1 + t) + b^4 t^2 (2 + t)) + a^2 (3 c^6 + b^2 c^4 t (2 + t) - b^6 t^2 (1 + 2 t) + b^4 c^2 t (-1 - 3 t + t^2)) : (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)^3 + a^6 t (c^2 - b^2 t^2) - a^4 (-b^2 c^2 (-1 + t) t^2 - 3 b^4 t^3 + c^4 (1 + 2 t)) + a^2 (-3 b^6 t^3 + c^6 (2 + t) - b^4 c^2 t (1 + 2 t) + b^2 c^4 (-1 + 3 t + t^2))).
El lugar geométrico de D, cuando ℓ gira alrededor de O es la cúbica K258:
𝔖_{_{abc xyz}} b^2 c^2 (b^2 - c^2) x^3 + a^2 y z (c^2 (a^2 + 2 b^2 - c^2) y - b^2 (a^2 - b^2 + 2 c^2) z) = 0.

El perspector de la cónica
( a^8 c^8 x^2+2 a^6 b^2 c^8 x^2+a^4 b^4 c^8 x^2-4 a^6 c^10 x^2-6 a^4 b^2 c^10 x^2-2 a^2 b^4 c^10 x^2+6 a^4 c^12 x^2+6 a^2 b^2 c^12 x^2+b^4 c^12 x^2-4 a^2 c^14 x^2-2 b^2 c^14 x^2+c^16 x^2-2 a^10 c^6 t x^2-4 a^8 b^2 c^6 t x^2+2 a^6 b^4 c^6 t x^2+4 a^4 b^6 c^6 t x^2+8 a^8 c^8 t x^2+6 a^6 b^2 c^8 t x^2-16 a^4 b^4 c^8 t x^2-10 a^2 b^6 c^8 t x^2-12 a^6 c^10 t x^2+6 a^4 b^2 c^10 t x^2+26 a^2 b^4 c^10 t x^2+6 b^6 c^10 t x^2+8 a^4 c^12 t x^2-14 a^2 b^2 c^12 t x^2-12 b^4 c^12 t x^2-2 a^2 c^14 t x^2+6 b^2 c^14 t x^2+a^12 c^4 t^2 x^2+4 a^10 b^2 c^4 t^2 x^2-5 a^8 b^4 c^4 t^2 x^2-6 a^6 b^6 c^4 t^2 x^2+6 a^4 b^8 c^4 t^2 x^2-4 a^10 c^6 t^2 x^2-2 a^8 b^2 c^6 t^2 x^2+30 a^6 b^4 c^6 t^2 x^2-4 a^4 b^6 c^6 t^2 x^2-20 a^2 b^8 c^6 t^2 x^2+6 a^8 c^8 t^2 x^2-18 a^6 b^2 c^8 t^2 x^2-30 a^4 b^4 c^8 t^2 x^2+40 a^2 b^6 c^8 t^2 x^2+15 b^8 c^8 t^2 x^2-4 a^6 c^10 t^2 x^2+26 a^4 b^2 c^10 t^2 x^2-10 a^2 b^4 c^10 t^2 x^2-30 b^6 c^10 t^2 x^2+a^4 c^12 t^2 x^2-10 a^2 b^2 c^12 t^2 x^2+15 b^4 c^12 t^2 x^2-2 a^12 b^2 c^2 t^3 x^2+2 a^10 b^4 c^2 t^3 x^2+6 a^8 b^6 c^2 t^3 x^2-10 a^6 b^8 c^2 t^3 x^2+4 a^4 b^10 c^2 t^3 x^2+2 a^10 b^2 c^4 t^3 x^2-20 a^8 b^4 c^4 t^3 x^2+14 a^6 b^6 c^4 t^3 x^2+24 a^4 b^8 c^4 t^3 x^2-20 a^2 b^10 c^4 t^3 x^2+6 a^8 b^2 c^6 t^3 x^2+14 a^6 b^4 c^6 t^3 x^2-60 a^4 b^6 c^6 t^3 x^2+20 a^2 b^8 c^6 t^3 x^2+20 b^10 c^6 t^3 x^2-10 a^6 b^2 c^8 t^3 x^2+24 a^4 b^4 c^8 t^3 x^2+20 a^2 b^6 c^8 t^3 x^2-40 b^8 c^8 t^3 x^2+4 a^4 b^2 c^10 t^3 x^2-20 a^2 b^4 c^10 t^3 x^2+20 b^6 c^10 t^3 x^2+a^12 b^4 t^4 x^2-4 a^10 b^6 t^4 x^2+6 a^8 b^8 t^4 x^2-4 a^6 b^10 t^4 x^2+a^4 b^12 t^4 x^2+4 a^10 b^4 c^2 t^4 x^2-2 a^8 b^6 c^2 t^4 x^2-18 a^6 b^8 c^2 t^4 x^2+26 a^4 b^10 c^2 t^4 x^2-10 a^2 b^12 c^2 t^4 x^2-5 a^8 b^4 c^4 t^4 x^2+30 a^6 b^6 c^4 t^4 x^2-30 a^4 b^8 c^4 t^4 x^2-10 a^2 b^10 c^4 t^4 x^2+15 b^12 c^4 t^4 x^2-6 a^6 b^4 c^6 t^4 x^2-4 a^4 b^6 c^6 t^4 x^2+40 a^2 b^8 c^6 t^4 x^2-30 b^10 c^6 t^4 x^2+6 a^4 b^4 c^8 t^4 x^2-20 a^2 b^6 c^8 t^4 x^2+15 b^8 c^8 t^4 x^2-2 a^10 b^6 t^5 x^2+8 a^8 b^8 t^5 x^2-12 a^6 b^10 t^5 x^2+8 a^4 b^12 t^5 x^2-2 a^2 b^14 t^5 x^2-4 a^8 b^6 c^2 t^5 x^2+6 a^6 b^8 c^2 t^5 x^2+6 a^4 b^10 c^2 t^5 x^2-14 a^2 b^12 c^2 t^5 x^2+6 b^14 c^2 t^5 x^2+2 a^6 b^6 c^4 t^5 x^2-16 a^4 b^8 c^4 t^5 x^2+26 a^2 b^10 c^4 t^5 x^2-12 b^12 c^4 t^5 x^2+4 a^4 b^6 c^6 t^5 x^2-10 a^2 b^8 c^6 t^5 x^2+6 b^10 c^6 t^5 x^2+a^8 b^8 t^6 x^2-4 a^6 b^10 t^6 x^2+6 a^4 b^12 t^6 x^2-4 a^2 b^14 t^6 x^2+b^16 t^6 x^2+2 a^6 b^8 c^2 t^6 x^2-6 a^4 b^10 c^2 t^6 x^2+6 a^2 b^12 c^2 t^6 x^2-2 b^14 c^2 t^6 x^2+a^4 b^8 c^4 t^6 x^2-2 a^2 b^10 c^4 t^6 x^2+b^12 c^4 t^6 x^2-2 a^8 b^2 c^6 t x y+2 a^4 b^6 c^6 t x y+6 a^6 b^2 c^8 t x y-2 a^2 b^6 c^8 t x y-6 a^4 b^2 c^10 t x y+2 a^2 b^2 c^12 t x y+4 a^10 b^2 c^4 t^2 x y-2 a^8 b^4 c^4 t^2 x y-8 a^6 b^6 c^4 t^2 x y+6 a^4 b^8 c^4 t^2 x y-10 a^8 b^2 c^6 t^2 x y+12 a^6 b^4 c^6 t^2 x y+6 a^4 b^6 c^6 t^2 x y-8 a^2 b^8 c^6 t^2 x y+6 a^6 b^2 c^8 t^2 x y-18 a^4 b^4 c^8 t^2 x y+2 a^2 b^6 c^8 t^2 x y+2 a^4 b^2 c^10 t^2 x y+8 a^2 b^4 c^10 t^2 x y-2 a^2 b^2 c^12 t^2 x y-2 a^12 b^2 c^2 t^3 x y+12 a^8 b^6 c^2 t^3 x y-16 a^6 b^8 c^2 t^3 x y+6 a^4 b^10 c^2 t^3 x y+2 a^10 b^2 c^4 t^3 x y-10 a^8 b^4 c^4 t^3 x y+2 a^6 b^6 c^4 t^3 x y+18 a^4 b^8 c^4 t^3 x y-12 a^2 b^10 c^4 t^3 x y+6 a^8 b^2 c^6 t^3 x y+12 a^6 b^4 c^6 t^3 x y-26 a^4 b^6 c^6 t^3 x y+8 a^2 b^8 c^6 t^3 x y-10 a^6 b^2 c^8 t^3 x y+6 a^4 b^4 c^8 t^3 x y+12 a^2 b^6 c^8 t^3 x y+4 a^4 b^2 c^10 t^3 x y-8 a^2 b^4 c^10 t^3 x y+2 a^12 b^4 t^4 x y-8 a^10 b^6 t^4 x y+12 a^8 b^8 t^4 x y-8 a^6 b^10 t^4 x y+2 a^4 b^12 t^4 x y+2 a^12 b^2 c^2 t^4 x y-4 a^8 b^6 c^2 t^4 x y-8 a^6 b^8 c^2 t^4 x y+18 a^4 b^10 c^2 t^4 x y-8 a^2 b^12 c^2 t^4 x y-6 a^10 b^2 c^4 t^4 x y+6 a^8 b^4 c^4 t^4 x y+18 a^6 b^6 c^4 t^4 x y-30 a^4 b^8 c^4 t^4 x y+12 a^2 b^10 c^4 t^4 x y+6 a^8 b^2 c^6 t^4 x y-20 a^6 b^4 c^6 t^4 x y+6 a^4 b^6 c^6 t^4 x y+8 a^2 b^8 c^6 t^4 x y-2 a^6 b^2 c^8 t^4 x y+12 a^4 b^4 c^8 t^4 x y-12 a^2 b^6 c^8 t^4 x y-2 a^12 b^4 t^5 x y+6 a^10 b^6 t^5 x y-4 a^8 b^8 t^5 x y-4 a^6 b^10 t^5 x y+6 a^4 b^12 t^5 x y-2 a^2 b^14 t^5 x y-8 a^8 b^6 c^2 t^5 x y+24 a^6 b^8 c^2 t^5 x y-24 a^4 b^10 c^2 t^5 x y+8 a^2 b^12 c^2 t^5 x y+6 a^8 b^4 c^4 t^5 x y-10 a^6 b^6 c^4 t^5 x y+2 a^4 b^8 c^4 t^5 x y+2 a^2 b^10 c^4 t^5 x y-4 a^6 b^4 c^6 t^5 x y+12 a^4 b^6 c^6 t^5 x y-8 a^2 b^8 c^6 t^5 x y+2 a^10 b^6 t^6 x y-8 a^8 b^8 t^6 x y+12 a^6 b^10 t^6 x y-8 a^4 b^12 t^6 x y+2 a^2 b^14 t^6 x y-2 a^6 b^6 c^4 t^6 x y+4 a^4 b^8 c^4 t^6 x y-2 a^2 b^10 c^4 t^6 x y+a^8 b^4 c^4 t^2 y^2-2 a^6 b^6 c^4 t^2 y^2+a^4 b^8 c^4 t^2 y^2-2 a^6 b^4 c^6 t^2 y^2+2 a^4 b^6 c^6 t^2 y^2+a^4 b^4 c^8 t^2 y^2-2 a^10 b^4 c^2 t^3 y^2+6 a^8 b^6 c^2 t^3 y^2-6 a^6 b^8 c^2 t^3 y^2+2 a^4 b^10 c^2 t^3 y^2+2 a^8 b^4 c^4 t^3 y^2-4 a^6 b^6 c^4 t^3 y^2+2 a^4 b^8 c^4 t^3 y^2+2 a^6 b^4 c^6 t^3 y^2-2 a^4 b^6 c^6 t^3 y^2-2 a^4 b^4 c^8 t^3 y^2+a^12 b^4 t^4 y^2-4 a^10 b^6 t^4 y^2+6 a^8 b^8 t^4 y^2-4 a^6 b^10 t^4 y^2+a^4 b^12 t^4 y^2+2 a^10 b^4 c^2 t^4 y^2-6 a^8 b^6 c^2 t^4 y^2+6 a^6 b^8 c^2 t^4 y^2-2 a^4 b^10 c^2 t^4 y^2-6 a^8 b^4 c^4 t^4 y^2+12 a^6 b^6 c^4 t^4 y^2-6 a^4 b^8 c^4 t^4 y^2+2 a^6 b^4 c^6 t^4 y^2-2 a^4 b^6 c^6 t^4 y^2+a^4 b^4 c^8 t^4 y^2-2 a^12 b^4 t^5 y^2+8 a^10 b^6 t^5 y^2-12 a^8 b^8 t^5 y^2+8 a^6 b^10 t^5 y^2-2 a^4 b^12 t^5 y^2+2 a^10 b^4 c^2 t^5 y^2-6 a^8 b^6 c^2 t^5 y^2+6 a^6 b^8 c^2 t^5 y^2-2 a^4 b^10 c^2 t^5 y^2+2 a^8 b^4 c^4 t^5 y^2-4 a^6 b^6 c^4 t^5 y^2+2 a^4 b^8 c^4 t^5 y^2-2 a^6 b^4 c^6 t^5 y^2+2 a^4 b^6 c^6 t^5 y^2+a^12 b^4 t^6 y^2-4 a^10 b^6 t^6 y^2+6 a^8 b^8 t^6 y^2-4 a^6 b^10 t^6 y^2+a^4 b^12 t^6 y^2-2 a^10 b^4 c^2 t^6 y^2+6 a^8 b^6 c^2 t^6 y^2-6 a^6 b^8 c^2 t^6 y^2+2 a^4 b^10 c^2 t^6 y^2+a^8 b^4 c^4 t^6 y^2-2 a^6 b^6 c^4 t^6 y^2+a^4 b^8 c^4 t^6 y^2+2 a^10 c^6 x z-2 a^6 b^4 c^6 x z-8 a^8 c^8 x z+4 a^4 b^4 c^8 x z+12 a^6 c^10 x z-2 a^2 b^4 c^10 x z-8 a^4 c^12 x z+2 a^2 c^14 x z-2 a^12 c^4 t x z+6 a^8 b^4 c^4 t x z-4 a^6 b^6 c^4 t x z+6 a^10 c^6 t x z-8 a^8 b^2 c^6 t x z-10 a^6 b^4 c^6 t x z+12 a^4 b^6 c^6 t x z-4 a^8 c^8 t x z+24 a^6 b^2 c^8 t x z+2 a^4 b^4 c^8 t x z-8 a^2 b^6 c^8 t x z-4 a^6 c^10 t x z-24 a^4 b^2 c^10 t x z+2 a^2 b^4 c^10 t x z+6 a^4 c^12 t x z+8 a^2 b^2 c^12 t x z-2 a^2 c^14 t x z+2 a^12 b^2 c^2 t^2 x z-6 a^10 b^4 c^2 t^2 x z+6 a^8 b^6 c^2 t^2 x z-2 a^6 b^8 c^2 t^2 x z+2 a^12 c^4 t^2 x z+6 a^8 b^4 c^4 t^2 x z-20 a^6 b^6 c^4 t^2 x z+12 a^4 b^8 c^4 t^2 x z-8 a^10 c^6 t^2 x z-4 a^8 b^2 c^6 t^2 x z+18 a^6 b^4 c^6 t^2 x z+6 a^4 b^6 c^6 t^2 x z-12 a^2 b^8 c^6 t^2 x z+12 a^8 c^8 t^2 x z-8 a^6 b^2 c^8 t^2 x z-30 a^4 b^4 c^8 t^2 x z+8 a^2 b^6 c^8 t^2 x z-8 a^6 c^10 t^2 x z+18 a^4 b^2 c^10 t^2 x z+12 a^2 b^4 c^10 t^2 x z+2 a^4 c^12 t^2 x z-8 a^2 b^2 c^12 t^2 x z-2 a^12 b^2 c^2 t^3 x z+2 a^10 b^4 c^2 t^3 x z+6 a^8 b^6 c^2 t^3 x z-10 a^6 b^8 c^2 t^3 x z+4 a^4 b^10 c^2 t^3 x z-10 a^8 b^4 c^4 t^3 x z+12 a^6 b^6 c^4 t^3 x z+6 a^4 b^8 c^4 t^3 x z-8 a^2 b^10 c^4 t^3 x z+12 a^8 b^2 c^6 t^3 x z+2 a^6 b^4 c^6 t^3 x z-26 a^4 b^6 c^6 t^3 x z+12 a^2 b^8 c^6 t^3 x z-16 a^6 b^2 c^8 t^3 x z+18 a^4 b^4 c^8 t^3 x z+8 a^2 b^6 c^8 t^3 x z+6 a^4 b^2 c^10 t^3 x z-12 a^2 b^4 c^10 t^3 x z+4 a^10 b^4 c^2 t^4 x z-10 a^8 b^6 c^2 t^4 x z+6 a^6 b^8 c^2 t^4 x z+2 a^4 b^10 c^2 t^4 x z-2 a^2 b^12 c^2 t^4 x z-2 a^8 b^4 c^4 t^4 x z+12 a^6 b^6 c^4 t^4 x z-18 a^4 b^8 c^4 t^4 x z+8 a^2 b^10 c^4 t^4 x z-8 a^6 b^4 c^6 t^4 x z+6 a^4 b^6 c^6 t^4 x z+2 a^2 b^8 c^6 t^4 x z+6 a^4 b^4 c^8 t^4 x z-8 a^2 b^6 c^8 t^4 x z-2 a^8 b^6 c^2 t^5 x z+6 a^6 b^8 c^2 t^5 x z-6 a^4 b^10 c^2 t^5 x z+2 a^2 b^12 c^2 t^5 x z+2 a^4 b^6 c^6 t^5 x z-2 a^2 b^8 c^6 t^5 x z+2 a^10 b^2 c^4 t y z-4 a^8 b^4 c^4 t y z+2 a^6 b^6 c^4 t y z-6 a^8 b^2 c^6 t y z+8 a^6 b^4 c^6 t y z-2 a^4 b^6 c^6 t y z+6 a^6 b^2 c^8 t y z-4 a^4 b^4 c^8 t y z-2 a^4 b^2 c^10 t y z-2 a^12 b^2 c^2 t^2 y z+6 a^10 b^4 c^2 t^2 y z-6 a^8 b^6 c^2 t^2 y z+2 a^6 b^8 c^2 t^2 y z+2 a^10 b^2 c^4 t^2 y z-8 a^8 b^4 c^4 t^2 y z+10 a^6 b^6 c^4 t^2 y z-4 a^4 b^8 c^4 t^2 y z+6 a^8 b^2 c^6 t^2 y z-2 a^6 b^4 c^6 t^2 y z-4 a^4 b^6 c^6 t^2 y z-10 a^6 b^2 c^8 t^2 y z+4 a^4 b^4 c^8 t^2 y z+4 a^4 b^2 c^10 t^2 y z+4 a^12 b^2 c^2 t^3 y z-10 a^10 b^4 c^2 t^3 y z+6 a^8 b^6 c^2 t^3 y z+2 a^6 b^8 c^2 t^3 y z-2 a^4 b^10 c^2 t^3 y z-10 a^10 b^2 c^4 t^3 y z+24 a^8 b^4 c^4 t^3 y z-18 a^6 b^6 c^4 t^3 y z+4 a^4 b^8 c^4 t^3 y z+6 a^8 b^2 c^6 t^3 y z-18 a^6 b^4 c^6 t^3 y z+12 a^4 b^6 c^6 t^3 y z+2 a^6 b^2 c^8 t^3 y z+4 a^4 b^4 c^8 t^3 y z-2 a^4 b^2 c^10 t^3 y z-2 a^12 b^2 c^2 t^4 y z+2 a^10 b^4 c^2 t^4 y z+6 a^8 b^6 c^2 t^4 y z-10 a^6 b^8 c^2 t^4 y z+4 a^4 b^10 c^2 t^4 y z+6 a^10 b^2 c^4 t^4 y z-8 a^8 b^4 c^4 t^4 y z-2 a^6 b^6 c^4 t^4 y z+4 a^4 b^8 c^4 t^4 y z-6 a^8 b^2 c^6 t^4 y z+10 a^6 b^4 c^6 t^4 y z-4 a^4 b^6 c^6 t^4 y z+2 a^6 b^2 c^8 t^4 y z-4 a^4 b^4 c^8 t^4 y z+2 a^10 b^4 c^2 t^5 y z-6 a^8 b^6 c^2 t^5 y z+6 a^6 b^8 c^2 t^5 y z-2 a^4 b^10 c^2 t^5 y z-4 a^8 b^4 c^4 t^5 y z+8 a^6 b^6 c^4 t^5 y z-4 a^4 b^8 c^4 t^5 y z+2 a^6 b^4 c^6 t^5 y z-2 a^4 b^6 c^6 t^5 y z+a^12 c^4 z^2-2 a^10 b^2 c^4 z^2+a^8 b^4 c^4 z^2-4 a^10 c^6 z^2+6 a^8 b^2 c^6 z^2-2 a^6 b^4 c^6 z^2+6 a^8 c^8 z^2-6 a^6 b^2 c^8 z^2+a^4 b^4 c^8 z^2-4 a^6 c^10 z^2+2 a^4 b^2 c^10 z^2+a^4 c^12 z^2-2 a^12 c^4 t z^2+2 a^10 b^2 c^4 t z^2+2 a^8 b^4 c^4 t z^2-2 a^6 b^6 c^4 t z^2+8 a^10 c^6 t z^2-6 a^8 b^2 c^6 t z^2-4 a^6 b^4 c^6 t z^2+2 a^4 b^6 c^6 t z^2-12 a^8 c^8 t z^2+6 a^6 b^2 c^8 t z^2+2 a^4 b^4 c^8 t z^2+8 a^6 c^10 t z^2-2 a^4 b^2 c^10 t z^2-2 a^4 c^12 t z^2+a^12 c^4 t^2 z^2+2 a^10 b^2 c^4 t^2 z^2-6 a^8 b^4 c^4 t^2 z^2+2 a^6 b^6 c^4 t^2 z^2+a^4 b^8 c^4 t^2 z^2-4 a^10 c^6 t^2 z^2-6 a^8 b^2 c^6 t^2 z^2+12 a^6 b^4 c^6 t^2 z^2-2 a^4 b^6 c^6 t^2 z^2+6 a^8 c^8 t^2 z^2+6 a^6 b^2 c^8 t^2 z^2-6 a^4 b^4 c^8 t^2 z^2-4 a^6 c^10 t^2 z^2-2 a^4 b^2 c^10 t^2 z^2+a^4 c^12 t^2 z^2-2 a^10 b^2 c^4 t^3 z^2+2 a^8 b^4 c^4 t^3 z^2+2 a^6 b^6 c^4 t^3 z^2-2 a^4 b^8 c^4 t^3 z^2+6 a^8 b^2 c^6 t^3 z^2-4 a^6 b^4 c^6 t^3 z^2-2 a^4 b^6 c^6 t^3 z^2-6 a^6 b^2 c^8 t^3 z^2+2 a^4 b^4 c^8 t^3 z^2+2 a^4 b^2 c^10 t^3 z^2+a^8 b^4 c^4 t^4 z^2-2 a^6 b^6 c^4 t^4 z^2+a^4 b^8 c^4 t^4 z^2-2 a^6 b^4 c^6 t^4 z^2+2 a^4 b^6 c^6 t^4 z^2+a^4 b^4 c^8 t^4 z^2 = 0)
𝒞_ℓ es:
P = (-a^2 b^2 c^2 (a^2 - b^2 - c^2) (-1 + t) t : c^2 (-a^2 + c^2 + b^2 t) (a^2 (-c^2 + b^2 t) - (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)) : -b^2 t (c^2 + (-a^2 + b^2) t) (a^2 (c^2 - b^2 t) + (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t))).
El lugar geométrico de P, cuando t varía, es la cúbica K257::
2(a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2) + 𝔖_{_{abc xyz}} b^2c^2x((a^2+b^2-c^2)y^2-(a^2-b^2+c^2)z^2) = 0.

Las coordenadas de los puntos A", B" y C" de contacto de 𝒞_ℓ con los lados B'C', C'A' y A'B', del triángulo A'B'C' son:
A" =(-a^2 (a^2 - b^2 - c^2) (-1 + t) t (a^2 (-c^2 + b^2 t) - (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)) : b^2 (-a^2 + c^2 + b^2 t) (c^2 + (-a^2 + b^2) t)^2 : c^2 t (-a^2 + c^2 + b^2 t)^2 (c^2 + (-a^2 + b^2) t)),

B" = (a^2 b^2 (a^2 - b^2 - c^2) (-1 + t) (c^2 + (-a^2 + b^2) t)^2 : (-a^2 + b^2 + c^2)^2 t (a^2 - c^2 - b^2 t) (a^2 (-c^2 + b^2 t) - (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)) : b^2 c^2 (-1 + t)^2 (c^2 + (-a^2 + b^2) t) (a^2 (c^2 - b^2 t) + (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t))),

C" = (-a^2 c^2 (a^2 - b^2 - c^2) (-1 + t) t (-a^2 + c^2 + b^2 t)^2 : -b^2 c^2 (-1 + t)^2 (-a^2 + c^2 + b^2 t) (a^2 (c^2 - b^2 t) + (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t)) : -(-a^2 + b^2 + c^2)^2 t (-c^2 + (a^2 - b^2) t) (a^2 (-c^2 + b^2 t) - (b^2 - c^2) (c^2 + b^2 t))).
Las rectas AA", BB", CC" concurren en:
W = (a^2 (a^2 - b^2 - c^2) t (a^2 - c^2 - b^2 t) (-c^2 + a^2 t - b^2 t) : b^2 (-1 + t) (c^2 - a^2 t + b^2 t) (a^2 c^2 + b^2 c^2 - c^4 - a^2 b^2 t + b^4 t - b^2 c^2 t) : -c^2 (-1 + t) t (-a^2 + c^2 + b^2 t) (-a^2 c^2 - b^2 c^2 + c^4 + a^2 b^2 t - b^4 t + b^2 c^2 t)).
El lugar geométrico de W, cuando ℓ gira alrededor de O, es la cuártica Q120:
𝔖_{_{abc xyz}} a^2 y z (-2 b^2 c^2 x^2 + a^2 (-a^2 + b^2 + c^2) y z) = 0.
Domingo, 5 de enero del 2020
Circunferencia osculatriz y cónicas circunscritas

El 5 de enero de 2020 se ha dado el máximo acercamiento (perihelio) entre la Tierra y el Sol. Desde el último perihelio han transcurrido 367 días; el próximo será dentro de 363 días, el 2 de enero de 2021.

Dado un triángulo ABC y un punto P, sean K el , Γ y co(P) la circunferencia y la cónica , de K y P, respectivamente.
Sean Q el de intersección de Γ y co(P), ci(Q) la de co(P) en Q.
( Mostrar/Ocultar figura )
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P:
Q = (1/(-c^2 v + b^2 w) : 1/(c^2 u - a^2 w) : 1/(-b^2 u + a^2 v)),

Γ: a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y = 0,

co(P): u y z+ v z x + w x y = 0,

ci(Q): u (c^2 v - b^2 w)^3 (c^4 u^2 v - 2 a^2 c^2 u v w + w (-b^4 u^2 + 2 a^2 b^2 u v + a^4 v (-v + w)))x^2 +
(c^10 u^4 v^3 - 2 c^8 u^3 v^2 (b^2 u + a^2 v) w + (b^2 u - a^2 v) w^3 (b^8 u^3 - a^2 b^6 u^2 v + a^6 b^2 u v (u + 4 v - w) - a^8 v^2 (u + v + w) + a^4 b^4 u v (-3 u + 2 w)) + c^6 u^2 v w (b^4 u^2 (-u + w) + a^4 v^2 (-3 u + 2 v + w) + 2 a^2 b^2 u v (2 u - v + 2 w)) + c^2 u v w^2 (-2 b^8 u^3 + 2 a^2 b^6 u^2 (2 u + 2 v - w) + 4 a^6 b^2 v (u + v) (u + w) - a^8 v^2 (2 u + 5 w) + a^4 b^4 u (-2 u^2 - 2 v^2 - 2 v w + w^2 + u (-8 v + w))) + c^4 u v w (b^6 u^3 (-u + v) + a^6 v^2 (u^2 - u v + 7 u w - 2 v w) + a^4 b^2 u v (-2 u^2 + v^2 + u (v - 8 w) - 2 v w - 2 w^2) + a^2 b^4 u^2 (u^2 - 2 (v - w)^2 + u (v + w)))) y z + .... = 0.

Para obtener la ecuación de la circunferencia osculatriz ci(Q) podemos utilizar la ecuación de las cónicas del haz osculatriz determinado por co(P) y la cónica degenerada producto de la tangente t en Q a co(P) y una recta variable ℓ que pase por Q:
t ℓ + λ co(P) = f x^2+g y^2 + h z^2 + 2p y z + 2q z x + 2r x y = 0,

ℓ: (c^2 v - b^2 w) (c^2 u + b^2 μ u - a^2 (μ v + w)) x + μ (b^2 u - a^2 v) (c^2 u - a^2 w) y - (b^2 u - a^2 v) (c^2 u - a^2 w) z = 0,

t: u (c^2 v - b^2 w)^2 x + v (c^2 u - a^2 w)^2 y + (b^2 u - a^2 v)^2 w z = 0.
La circunferencia de este haz de cónicas se obtiene imponiendo:
(g + h - 2 p)/a^2 = (h + f - 2 q)/b^2 = (f + g - 2 r)/c^2.
Lo que permite obtener los valores de λ y μ,
(λ = -(((b^2 c^2 u^2-a^2 c^2 u v-b^2 c^2 u v+c^4 u v+a^2 c^2 v^2-a^2 b^2 u w+b^4 u w-b^2 c^2 u w+a^4 v w-a^2 b^2 v w-a^2 c^2 v w+a^2 b^2 w^2) (c^8 u^3 v^2+a^2 b^2 c^4 u^3 v w-b^4 c^4 u^3 v w-b^2 c^6 u^3 v w-a^4 c^4 u^2 v^2 w+a^2 b^2 c^4 u^2 v^2 w-2 a^2 c^6 u^2 v^2 w+b^6 c^2 u^3 w^2-2 a^4 b^2 c^2 u^2 v w^2+2 a^2 b^2 c^4 u^2 v w^2+2 a^6 c^2 u v^2 w^2-a^4 b^2 c^2 u v^2 w^2+a^4 c^4 u v^2 w^2-a^2 b^6 u^2 w^3+a^6 b^2 u v w^3+a^4 b^4 u v w^3-a^4 b^2 c^2 u v w^3-a^8 v^2 w^3))/(-c^4 u^2 v+c^4 u v^2+2 a^2 c^2 u v w-2 b^2 c^2 u v w+b^4 u w^2-a^4 v w^2)),
μ -((c^6 u^2 v^2-b^4 c^2 u^3 w+2 a^2 b^2 c^2 u^2 v w-2 b^2 c^4 u^2 v w-a^4 c^2 u v^2 w-a^2 c^4 u v^2 w+a^2 b^4 u^2 w^2+b^4 c^2 u^2 w^2-2 a^4 b^2 u v w^2+2 a^2 b^2 c^2 u v w^2+a^6 v^2 w^2-a^2 b^4 u w^3)/((b^2 u-a^2 v) (-c^4 u^2 v+c^4 u v^2+2 a^2 c^2 u v w-2 b^2 c^2 u v w+b^4 u w^2-a^4 v w^2))))
que sustituidos en la ecuación del haz de cónicas nos la ecuación de la circunferencia osculatriz ci(Q).

La circunferencia osculatriz, ci(Q), vuelve cortar a la circunferencia circunscrita, Γ, en el punto U_P, de primera coordenada baricéntrica:
U_P = (a^2 / (u (c^2v-b^2w)^2(2(b^2-c^2)u v w a^2 + u^2(c^4v-b^4w))) : ... : ...).
Los únicos pares encontrados son {P=X_i, U_P=X_j}, para {i,j}: {44, 6551}, {9456, 6551}.

La circunferencia osculatriz, ci(Q), y la cónica circunscrita, co(P), tienen tres puntos comunes confundidos en Q y se vuelven cortar en el punto V_P:
V_P = (u / (v w(v-w)a^4 -2u v w(b^2-c^2)a^2 - u^2(c^4v-b^4w)) : ... : ...).
Pares {P:{X_i, X_j,...}, V_P=X_k}, para {{i,j,...}. k}: {{6189, 6190}, 99}, {{1989}, 476}, {{9468}, 805}, {{232, 325}, 877}, {{385}, 880}, {{111}, 892}, {{9456}, 901}, {{1990, 3284}, 4240}, {{187, 524}, 5468}, {{34581}, 6082}, {{3, 67}, 17708}, {{44}, 17780}, {{81, 17961}, 17929}, {{86, 17962}, 17930}, {{333, 17963}, 17931}, {{69, 248, 4558}, 17932}, {{17966}, 17933}, {{17731, 17735}, 17934}, {{5291, 19623}, 17935}, {{17967}, 17936}, {{17968, 22329}, 17937}, {{2501}, 18808}, {{16318}, 23977}, {{8755}, 23987}, {{32, 32740}, 32729}, {{9182, 17964}, 34760}, {{34369}, 34761}.

CASOS PARTICULARES.

• . P=X₂, Q=X₉₉, U₂:=U_X₂ es el conjugado isogonal de X₃₃₉₁₉ y V₂:=V_X₂=X₈₉₂.
U₂ = ( a^2/((b^2 - c^2)^3 (-2 a^2 + b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-0.263163227091243, 0.473326808260612, 3.43443664253838).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {98,30786}, {99,11123}, {111,34539}, {249,843}, {476,892}, {805,32729}, {2770,4590}, {2868,34537}, {5466,14734}, {5468,20404}, {5970,23357}, {19610,20976}, {32583,32694}.

• . P=X₂₅₀₁, Q=X₁₃₀₀, V₂₅₀₁:=V_{X₂₅₀₁}= X₁₈₈₀₈.
U₂₅₀₁ = ( a^2/((b^2 - c^2) (a^2 - b^2 - c^2) (2 a^4 - (b^2 - c^2)^2 - a^2 (b^2 + c^2)) (a^4 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) - 2 a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4))^2 ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (3.24370963525445, -1.52118733575515, 3.19669742115897).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {476,687}, {10419,32710}, {32681,32708}.

• . P=X₆₄₇, Q=X₇₄,
U₆₄₇ = ( a^2/((b^2 - c^2) (a^2 - b^2 - c^2) (-2 a^4 + (b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2))^2 (a^6 (b^2 + c^2) + 3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + a^4 (-3 b^4 + 4 b^2 c^2 - 3 c^4) - (b^2 - c^2)^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4))) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC ({0.774973070608706, -0.808994008857256, 3.84305737852769).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {1294,34601}, {2693,2972}, {5897,14919}, {9064,34568}.
V₆₄₇ = ( (b^2 - c^2) (a^2 - b^2 - c^2) /(a^6 (b^2 + c^2) + 3 a^2 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2) + a^4 (-3 b^4 + 4 b^2 c^2 - 3 c^4) - (b^2 - c^2)^2 (b^4 + 4 b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (308.157816395030, -245.409435159552, 31.3128197177373).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {3,2416}, {4,520}, {6,2430}, {64,523}, {66,8675}, {68,30211}, {74,1294}, {525,3426}, {526,11744}, {684,1942}, {1177,9003}, {1650,14380}, {4846,8673}, {6368,16835}, {9517,10293}, {23977,32646}.

• . P=X₅₂₃, Q=X₉₈,
U₅₂₃ = ( a^2/((b^2 - c^2) (b^4 + c^4 - a^2 (b^2 + c^2))^2 (2 a^6 - a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) ) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.439663817772149, 0.939926603598172, 3.19286782608048).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {248,1297}, {2710,3269}, {2857,9476}, {32687,32696}.
V₅₂₃ = ( (b^2 - c^2)/ (2 a^6 - a^4 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-389.796844571481, 217.729341018539, 32.8112028097563).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {2,2419}, {4,525}, {98,1297}, {459,2501}, {514,3429}, {523,3424}, {850,2052}, {877,17932}, {2867,23977}, {4240,17708}, {6330,9979}, {9476,34765}, {14458,23878}.

• . P=X₃, Q=X₁₁₀, V₃:=V_X₃=X₁₇₇₀₈,
U₃ = ( a^2 (a^4 - (b^2 - c^2)^2)^2/((b^2 - c^2)^3 (-a^4 + b^4 - b^2 c^2 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (-0.0155222527416984, 0.0235010200063900, 3.63155866162997).
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {98,8791}, {842,23964}, {2697,23357}, {2867,17708}.
Miércoles, 1 de enero del 2020
Un punto sobre el eje de Lemoine

El 1 de enero de 1959, Fidel Castro llegó a Santiago de Cuba, declarándola capital provisional de Cuba y proclamando al magistrado Manuel Urrutia Lleó como presidente de la nación. Por el momento, el gobierno de Estados Unidos reconoció al gobierno revolucionario como legítimo, poniendo fin, tanto de jure como de facto a la dictadura de Batista.

Dado un triángulo ABC con , la tangente en A a la circunferencia circunscrita corta a los lados M_aM_b y M_aM_c, del , en los puntos A_c y A_b, respectivamente.
Las rectas BA_b, BA_c, CA_b, CA_c vuelven a cortar a la circunferecia circunscrita en los puntos B_ab, B_ac, C_ab, C_ac, respectivamente.
Sea A' el punto de intersección de las rectas B_abC_ab, B_acC_ac. Los puntos B' y C' se obtienen cíclicmente.
Las coordenadas baricéntricas de A' son:
(2 (b^2 + c^2)^2 : -a^2 b^2 : -a^2 c^2).
( Mostrar/Ocultar figura )
Los triángulos ABC, A'B'C' y forma una terna de triángulos con centro de perspectividad común (el ) y los tres ejes de perspectividad concurren en

T = ( a^2 (b^2 - c^2) (a^6 (b^2 + c^2) + 2 a^2 (b^2 + c^2)^3 + a^4 (b^4 + c^4) + 2 (b^2 + c^2)^2 (b^4 + c^4)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en (-8.73259709580097, 14.9567656389673, -2.68358999316176).
T está sobre el , el cual pasa los 131 centros X_i, para i= 187, 237, 351, 512, 647, 649, 663, 665, 667, 669, 887, 890, 902, 1055, 1495, 1946, 1960, 2223, 2488, 2502, 2978, 3005, 3009, 3010, 3016, 3229, 3230, 3231, 3250, 3288, 3331, 3569, 3724, 3747, 3804, 4775, 4834, 5027, 5029, 5040, 5075, 5098, 5106, 5113, 5147, 5163, 5167, 5168, 5191, 5202, 5638, 5639, 6137, 6138, 6139, 6140, 7660, 8618, 8619, 8620, 8621, 8622, 8623, 8624, 8625, 8626, 8627, 8628, 8629, 8630, 8631, 8632, 8633, 8634, 8635, 8636, 8637, 8638, 8639, 8640, 8641, 8642, 8643, 8644, 8645, 8646, 8647, 8648, 8649, 8650, 8651, 8653, 8654, 8655, 8656, 8657, 8658, 8659, 8660, 8661, 8662, 8663, 8664, 8665, 9135, 9208, 9210, 9264, 9409, 9420, 9486, 9489, 9491, 9494, 11186, 14270, 14318, 15451, 17414, 17428, 18117, 18773, 18774, 21444, 21645, 21646, 21731, 22388, 23220, 32442, 32518.

El punto fijo finito de la transformación afín.
( matriz asociada:
{{2 (a^2+b^2) (2 a^2+2 b^2-c^2) (a^2+c^2) (b^2+c^2)^2 (2 a^2-b^2+2 c^2),a^2 b^2 (a^2+b^2) (2 a^2+2 b^2-c^2) (b^2+c^2) (a^2-2 (b^2+c^2)),a^2 c^2 (a^2+c^2) (b^2+c^2) (2 a^2-b^2+2 c^2) (a^2-2 (b^2+c^2))}, {-a^2 b^2 (a^2+b^2) (2 a^2+2 b^2-c^2) (a^2+c^2) (2 a^2-b^2+2 c^2),-2 (a^2+b^2) (2 a^2+2 b^2-c^2) (a^2+c^2)^2 (b^2+c^2) (a^2-2 (b^2+c^2)),b^2 c^2 (a^2+c^2) (b^2+c^2) (2 a^2-b^2+2 c^2) (a^2-2 (b^2+c^2))}, {-a^2 (a^2+b^2) c^2 (2 a^2+2 b^2-c^2) (a^2+c^2) (2 a^2-b^2+2 c^2),b^2 (a^2+b^2) c^2 (2 a^2+2 b^2-c^2) (b^2+c^2) (a^2-2 (b^2+c^2)),-2 (a^2+b^2)^2 (a^2+c^2) (b^2+c^2) (2 a^2-b^2+2 c^2) (a^2-2 (b^2+c^2))}})
σ, que aplica ABC en A'B'C' es:
F = ((b^2 + c^2) (a^2 - 2 (b^2 + c^2)) : ... : ...),
que tiene números de búsqueda en ETC (4.78942863012863, 1.85645410321279, 0.144921504239237).
Es la reflexión de X_i en X_j para los índices {i,j}: {5008, 7820}, {7853, 3314}.
Es el punto de intersección de las rectas X_iX_j s.e.u.o., para los índices {i,j}: {32,33242}, {37,4668}, {39,141}, {69,187}, {76,625}, {99,7848}, {115,14711}, {183,7908}, {193,5007}, {194,7849}, {315,33280}, {325,7603}, {384,7882}, {385,7880}, {524,5008}, {538,3314}, {574,599}, {1384,15533}, {1975,7873}, {2482,22165}, {3096,32450}, {3618,5041}, {3620,34511}, {3630,8369}, {3631,6390}, {3734,7788}, {3788,17008}, {3793,7789}, {3849,7850}, {3926,7854}, {3934,7777}, {4403,34542}, {5368,33185}, {6144,33237}, {6329,7889}, {6683,7906}, {6781,14929}, {7737,10513}, {7738,30776}, {7746,32958}, {7748,32830}, {7751,7874}, {7754,7852}, {7760,7915}, {7761,32833}, {7763,33188}, {7764,31239}, {7767,7863}, {7768,7816}, {7770,7916}, {7776,17130}, {7778,17131}, {7779,7804}, {7780,7836}, {7781,7879}, {7783,32027}, {7798,7868}, {7800,31652}, {7805,7832}, {7811,32456}, {7815,32821}, {7817,7931}, {7819,7890}, {7830,32820}, {7833,15301}, {7842,7939}, {7843,7917}, {7861,7922}, {7865,31859}, {7871,31276}, {7886,7909}, {7913,22253}, {7918,20105}, {7934,32457}, {7947,17006}, {8024,31125}, {8356,14148}, {8368,15480}, {11185,31173}, {13468,31274}, {14075,15534}, {14077,26932}, {18440,30270}, {18860,34507}, {23297,31078}, {31455,32818}, {32875,33023}, {32877,32982}, {32878,32980}.
( Mostrar/Ocultar figura )
El único par de centros del triángulo (X,X'=σ(X)) que figuran actualmente en ETC es:
(X₁₄₁, X₃₄₅₁₂).
Esto es, la imagen del del simediano es el baricentro del () en el triángulo de vértices los centros de curvatura de la en los vértices de ABC.

GENERALIZACIÓN

Sea un punto P, Q su y c(Q) la cónica circunscrita de Q.
La tangente en A a c(Q) corta a los lados P_aP_b y P_aP_c, del de P, en los puntos A_c y A_b, respectivamente.
Las rectas BA_b, BA_c, CA_b, CA_c vuelven a cortar a c(Q) en los puntos B_ab, B_ac, C_ab, C_ac, respectivamente.
Sea A' el punto de intersección de las rectas B_abC_ab, B_acC_ac. Los puntos B' y C' se obtienen cíclicmente.
Los triángulos ABC, A'B'C' y el de c(Q) forma una , con centro de perspectividad común, Q. Los tres ejes de perspectividad concurren en el punto de coordenadas baricéntricas:
(a^2 u^3 (c^2 v^2 - b^2 w^2) (2 c^8 u^6 v^8 + 2 c^6 u^4 v^6 (2 b^2 u^2 + a^2 v^2) w^2 + c^4 u^2 v^4 (4 b^4 u^4 + 6 a^2 b^2 u^2 v^2 + a^4 v^4) w^4 + c^2 v^2 (4 b^6 u^6 + 6 a^2 b^4 u^4 v^2 + a^6 v^6) w^6 + b^2 (2 b^6 u^6 + 2 a^2 b^4 u^4 v^2 + a^4 b^2 u^2 v^4 + a^6 v^6) w^8):...: ...).
Cuando P es el baricentro se obtiene el punto T.